Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей
Рассмотрен метод получения аналитического выражения функций времени посредством представления экспериментально полученных данных в виде решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Достигнуто повышение точности аппроксимации при использовании метода нахождения пс...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100898 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей / Н.Л. Костьян, О.А. Наконечная // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 27-35. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859834718767284224 |
|---|---|
| author | Костьян, Н.Л. Наконечная, О.А. |
| author_facet | Костьян, Н.Л. Наконечная, О.А. |
| citation_txt | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей / Н.Л. Костьян, О.А. Наконечная // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 27-35. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрен метод получения аналитического выражения функций времени посредством представления экспериментально полученных данных в виде решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Достигнуто повышение точности аппроксимации при использовании метода нахождения псевдообратной матрицы.
Розглянуто метод отримання аналітичного виразу функцій часу засобами представлення експериментально отриманих даних у вигляді розв’язку однорідного лінійного різницевого рівняння з постійними коефіцієнтами. Досягнуто підвищення точнoсті апроксимації при використанні методу знаходження псевдооберненої матриці.
The paper deals with method to obtain analytical expressions for the functions of time by representation of experimentally obtained data in a form of solution of a homogeneous linear differential equation with constant coefficients. The increase of the approximation accuracy was achieved by using the method of finding the pseudoinverse matrix.
|
| first_indexed | 2025-12-07T15:33:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3.057:518.12
Í.Ë. Êîñòüÿí
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò òåõíîëîãèé è äèçàéíà
(Óêðàèíà, 01011, Êèåâ, óë. Íåìèðîâè÷à-Äàí÷åíêî, 2,
òåë. 047 2640043, å-mail: friit_ikt@uke.net),
Î.À. Íàêîíå÷íàÿ
Âîñòî÷íîåâðîïåéñêèé óíèâåðñèòåò ýêîíîìèêè è ìåíåäæìåíòà
(Óêðàèíà, 18028, ×åðêàññû, óë. ×èêîâàíè, 17,
òåë. 067 4705750, e-mail: nakonechnaya@ukr.net)
Ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
Ðàññìîòðåí ìåòîä ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ôóíêöèé âðåìåíè ïîñðåäñòâîì
ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûõ äàííûõ â âèäå ðåøåíèÿ îäíîðîäíîãî ëèíåéíî-
ãî ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Äîñòèãíóòî ïîâûøåíèå òî÷íîñòè
àïïðîêñèìàöèè ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà íàõîæäåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû.
Ðîçãëÿíóòî ìåòîä îòðèìàííÿ àíàë³òè÷íîãî âèðàçó ôóíêö³é ÷àñó çàñîáàìè ïðåäñòàâëåííÿ
åêñïåðèìåíòàëüíî îòðèìàíèõ äàíèõ ó âèãëÿä³ ðîçâ’ÿçêó îäíîð³äíîãî ë³í³éíîãî ð³çíèöå-
âîãî ð³âíÿííÿ ç ïîñò³éíèìè êîåô³ö³ºíòàìè. Äîñÿãíóòî ï³äâèùåííÿ òî÷íoñò³ àïðîêñèìàö³¿
ïðè âèêîðèñòàíí³ ìåòîäó çíàõîäæåííÿ ïñåâäîîáåðíåíî¿ ìàòðèö³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : àïïðîêñèìàöèÿ, z-ïðåîáðàçîâàíèå, îäíîðîäíîå ëèíåéíîå ðàçíîñò-
íîå óðàâíåíèå, ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà.
 òåîðåòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèÿõ è ïðàêòè÷åñêèõ ðàçðàáîòêàõ ïðè ðåøåíèè
ìíîãèõ çàäà÷ äèíàìèêè òðåáóþòñÿ àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ çàâèñèìîñ-
òåé, ò.å. ôóíêöèé âðåìåíè, ïðåäñòàâëåííûõ äèñêðåòíûìè çíà÷åíèÿìè
(òàáëèöàìè), ïîëó÷åííûìè ýêñïåðèìåíòàëüíî èëè â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòîâ. Êàê
ïðàâèëî, òàêèå çàâèñèìîñòè ðåãèñòðèðóþòñÿ íà âûõîäàõ ôèçè÷åñêèõ îáúåê-
òîâ, â òîì ÷èñëå ðàçëè÷íûõ èçìåðèòåëüíûõ ïðèáîðîâ èëè äðóãèõ òåõíè-
÷åñêèõ óñòðîéñòâ.  ñâÿçè ñ ýòèì öåëåñîîáðàçíî ðàññìîòðåòü âîçìîæíîå
ïðåäñòàâëåíèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé â âèäå ðåøåíèé äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé êàê äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé øèðîêîãî êëàññà ôèçè÷åñ-
êèõ îáúåêòîâ. Òàêîé ïîäõîä ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ìíîãèõ ìåòîäîâ èäåíòè-
ôèêàöèè â çàäà÷àõ äèíàìèêè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåïðåðûâíûå, îãðàíè÷åí-
íûå ïî ìîäóëþ ôóíêöèè âðåìåíè, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 27
� Í.Ë. Êîñòüÿí, Î.À. Íàêîíå÷íàÿ, 2013
èëè ðàñ÷åòà. Ïðè ýòîì âîñïîëüçóåìñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïîëîæåíèÿìè
òåîðèè äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì [1, 2], ñîãëàñíî êîòîðûì âñÿêóþ íåïðåðûâ-
íóþ, îãðàíè÷åííóþ ïî ìîäóëþ, ôóíêöèþ âðåìåíè ìîæíî ñ íàïåðåä çàäàí-
íîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðîâàòü èíòåãðàëîì îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè íà êîíå÷-
íîì îòðåçêå t t tk0 � � èëè íà âñåé ïîëóîñè 0 � � � �t , åñëè ôóíêöèÿ ñòðå-
ìèòñÿ ê ïðåäåëó ïðè t � � �. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ýòè ïîëîæåíèÿ ñïðà-
âåäëèâû äëÿ äèñêðåòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèè â ðàâíîîòñòîÿùèõ òî÷êàõ â
ñëó÷àå ïðåäñòàâëåíèÿ çàâèñèìîñòåé ðåøåíèÿìè îäíîðîäíîãî ëèíåéíîãî
ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè.
Ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå n-ãî
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
f t a f t a f t a f t
n
n
n( ) ( )
( ) ( ) ... ( ) ( )� � � � � �
1
1
1 0 0 . (1)
Ïóñòü r r rv1 2, , ..., — êîðíè åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ êðàòíîñòè
1 2, , ..., v . Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) èìååò âèä f t( ) �
� � � �
�
i
v
i i i
r tc c t c t e
i
i i
1
0 1 1
1( ... ),
, ãäå cij — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Òåïåðü ðàññìîòðèì îäíîðîäíîå ëèíåéíîå ðàçíîñòíîå óðàâíåíèå n-ãî
ïîðÿäêà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
f k n T a f k n T a f k T a f kTn[( ) ] [( ) ] ... [( ) ] ( )� � � � � � � � 1 1 01 1 0 (2)
òàêîå, ÷òî êîðíè åãî õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èìåþò âèä �1
1� e
r T
,
� 2
2� e
r T
, ..., � v
r T
e� 0 , à
1 2, , ..., v — êðàòíîñòü ýòèõ êîðíåé. Îáùåå
ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
f kt c c t c t e
i
v
i i i
r t
i
i i( ) ( ... ),� � � �
�
1
0 1 1
1
,
(3)
ãäå cij — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå. Åñëè f kT f kT( ) ( )� ïðè k �0 1 2, , , ..., à
f t( ) — àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ äëÿ íåêîòîðîé ôóíêöèè
( )t , òî è
f kT( ) áóäåò àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèåé äëÿ
( )t ñ òàêîé æå ïîãðåø-
íîñòüþ àïïðîêñèìàöèè â òî÷êàõ t kT� .
Ïðè ïðåäñòàâëåíèè êàêîé-ëèáî ôóíêöèè èíòåãðàëîì äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ âîçíèêàþò òðóäíîñòè, ñâÿçàííûå ñ òåì, ÷òî íåèçâåñòíû
çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ ïðè t �0, ÿâëÿþùèåñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Â
ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ n-ãî ïîðÿäêà íà-
÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ÿâëÿþòñÿ èçâåñòíûå çíà÷åíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé
ôóíêöèè ïðè t kT� , k n� 0 1 2 1, , , ..., .
Í.Ë. Êîñòüÿí, Î.À. Íàêîíå÷íàÿ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèè â âèäå ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ.
Ïîäâåðãíåì óðàâíåíèå (2) z-ïðåîáðàçîâàíèþ. Îáîçíà÷èì F z( ) èçîáðàæåíèå
ðåøåíèÿ f kT( ) óðàâíåíèÿ (2), óäîâëåòâîðÿþùåãî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì
f f( )0 0� , f T f( ) � 1, f T f( )2 2� , ..., f n T f n[( ) ] � 1 1. (4)
Èñïîëüçóÿ òåîðåìó ñäâèãà è òåîðåìó ëèíåéíîñòè, ïîëó÷àåì
F z z f z f z f z f z a F z zn n n
n n
z
n
n( ) ... [ ( ) �
0 1
1
2
2
1 1
1 f z n
0
1
� � � �
f z f z a F z z f z a F zn
n1
2
2 1 0 0 0... ] ... [ ( ) ] ( ) .
Ãðóïïèðóÿ ÷ëåíû óðàâíåíèÿ ïî ñòåïåíÿì z è ðåøàÿ åãî îòíîñèòåëüíî F z( ),
íàõîäèì
F z
b z
a z
i
n
n i
n i
j
n
n j
n j
( )
( )
� �
�
�
�
�
0
1
1
0
, an �1, (5)
ãäå
b fn �1 0,
b f a fn n � �2 1 1 0,
b f a f a fn n n � � �3 2 1 1 2 0, (6)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b f a f a f a fn n n n n0 1 1 2 2 3 1 0� � � � � ... .
Ôîðìóëà (5) óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü ìåæäó èçîáðàæåíèåì F z( ) ðåøåíèÿ
f kT( ) è êîýôôèöèåíòàìè a an 1 0,..., óðàâíåíèÿ (3), à òàêæå ìåæäó F z( ) è
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (4).
Ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ z-ïðåîáðàçîâàíèÿ èçîáðàæåíèå ôóíêöèè f kT( )
ìîæíî òàêæå ïðåäñòàâèòü â âèäå
F z f z
k
k
k( ) �
�
�
�
0
,
(7)
ãäå f f kTk � ( ), k = 0, 1, 2, … Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè (5)
íà z n è ïðèðàâíÿâ åå ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ (7), ïîëó÷èì
j
n
n j
j
k
k
k
i
n
n i
ia z f z b z
�
�
�
�
�
� � ��
0 0 0
1
( ) .
Ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 29
Óìíîæàÿ ñòåïåííûå ðÿäû â ëåâîé ÷àñòè, íàõîäèì
j
n
n j
j
k
k
k
q
q
qa z f z c z
�
�
�
�
�
� � ��
0 0 0
,
c a fq
s
q
n s q s�
�
�
0
, an s �0, s n� .
(8)
Ñëåäîâàòåëüíî,
i
n
n i
i
q
q
qb z c z
�
�
�
�
� ��
0
1
1
0
( ) .
Ïîñêîëüêó ðåçóëüòàò ñóììèðîâàíèÿ íå çàâèñèò îò îáîçíà÷åíèÿ ïåðå-
ìåííîé, â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà ìîæíî çàìåíèòü áóêâó q
áóêâîé i. Ïðèðàâíèâàÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòå-
ïåíÿõ z è ïðèíèìàÿ bn i � �( )1 0 äëÿ n i � �( )1 0, ò.å. äëÿ i n� , ñ ó÷åòîì (8)
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
b a fn i
s
i
n s i s �
�
� �( )1
0
, i = 0, 1, 2, ...,
ãäå bn i � �( )1 0, i n� ; an s �0, s n� ; f i s — çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f kT( ) ïðè
k i s� . Ïðèäàâàÿ i ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ
i n n n n m
n m
� � � 0 1 2 1 1 1, , ,..., , , , ...,
çíà åíèé çíà åí
� �� ��
èé
� ��� ���
, m n� ,
ïîëó÷àåì n + m òàêèõ ñîîòíîøåíèé:
i �0 , b fn �1 0,
i �1, b f a fn n � �2 1 1 0,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (9)
i n� 1, b f a f a fn n n0 1 1 2 1 0� � � � ... ;
i n� , 0 1 1 1 1 0 0� � � � � f a f a f a fn n n ... ,
i n� �1, 0 1 1 1 2 0 1� � � � �� f a f a f a fn n n ... ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i n� 2 1, 0 2 1 1 2 2 1 0 1� � � � � f a f a f a fn n n n n... , (10)
Í.Ë. Êîñòüÿí, Î.À. Íàêîíå÷íàÿ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
÷ ÷
i n�2 , 0 2 1 2 1 1 1 0� � � � � �f a f a f a fn n n n n... ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i n m� � 1, 0 1 1 2 1 0 1� � � � �� � f a f a f a fn m n n m m m... .
Ïåðâûå n ñîîòíîøåíèé â (9) (ïðè i = 0, 1, ..., n – 1) óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü
ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ â âûðàæåíèè (5) è ïåð-
âûìè n çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f kT( ), à èìåííî f f f n0 1 1, ,..., , è ñîâïàäàþò ñ
ñîîòíîøåíèÿìè (6). Îñòàëüíûå m ñîîòíîøåíèé (10) (ïðè i = n, n + 1, ..., n +
+ m – 1) óñòàíàâëèâàþò ñâÿçü ìåæäó n � m çíà÷åíèÿìè ôóíêöèè f kT( ),
f f f n m0 1 1, ,..., � , è êîýôôèöèåíòàìè çíàìåíàòåëÿ a an 1 0,..., , êîòîðûå ÿâ-
ëÿþòñÿ òàêæå êîýôôèöèåíòàìè ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ (2). Çàïèøåì ýòè
ñîîòíîøåíèÿ â âèäå ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà:
( ) �
�
�
1
1
2 1
2
1
1 2 1 0
1 2
f
f
f
f
f
f f f f
f f f f
n
n
n
n
n m
n n
n n
�
�
�
� 1
2 2 2 3 1
2 1 2 2 1
2 3
�
�
�
�
�
f f f f
f f f f
f f
n n n n
n n n n
n m n m
�
� � f f
a
a
a
m m
n
n
1
1
2
0
�
, (11)
èëè â ñîêðàùåííîé ôîðìå,
f Fa� , (12)
ãäå f — ñòîëáåö, f f f fn n n m� � � ( , ,..., )1 1 ; F — ïðÿìîóãîëüíàÿ (m � n)-ìàò-
ðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f kT( ) îò f 0 äî
f n m� 2; a — ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ a a an� ( ,..., )1 0 . Ðàâåíñòâî (12), ñîîò-
íîøåíèÿ (9) è ôîðìóëà (5) ïîçâîëÿþò ðåøèòü çàäà÷ó àïïðîêñèìàöèè.
Ïîâûøåíèå òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè. Ïóñòü òåïåðü f (t) — çàäàí-
íàÿ ôóíêöèÿ, êîòîðóþ íóæíî àïïðîêñèìèðîâàòü ðàçíîñòíûì óðàâíåíèåì
n-ãî ïîðÿäêà. Äëÿ ýòîãî ïîëîæèì m = n, ðàçîáüåì èíòåðåñóþùèé íàñ îòðå-
çîê àïïðîêñèìàöèè íà n + m – 1 = 2n – 1 ðàâíûõ ÷àñòåé T è îïðåäåëèì çíà-
÷åíèÿ ôóíêöèè f (t) â òî÷êàõ ðàçáèåíèÿ f f f n0 1 2 1, ,..., . Òîãäà äëÿ ðàâåíñòâà
(12) ïîëó÷èì: f — ñòîëáåö, f f f fn n n� � ( , ,..., )1 2 1 ; F — êâàäðàòíàÿ n � n-
ìàòðèöà, ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f f f n0 1 2 1, ,..., ;
a — ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ a a an� ( ,..., )1 0 . Ðåøèâ (12) îòíîñèòåëüíî a,
íàéäåì a F f� 1 , ãäå F 1 — îáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ êâàäðàòíîé ìàòðèöû F.
Åñëè ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé (9) âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíòû b bn 1 0,...,
è ïîñòðîèòü èçîáðàæåíèå ðàçíîñòíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå (5), òî îðèãèíàë
Ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 31
ýòîãî èçîáðàæåíèÿ è áóäåò àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèåé f (t). Îáå ôóíê-
öèè áóäóò ñîâïàäàòü ïðè 2n çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà t = 0, T, 2T, ..., (2n – 1) T.
Îäíàêî â èíòåðâàëàõ ìåæäó òî÷êàìè ðàçáèåíèÿ ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíûå
îòêëîíåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè îò çàäàííîé.
Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè âî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà àï-
ïðîêñèìàöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü îäèí èç ìåòîäîâ íàèëó÷øåãî ïðèáëè-
æåíèÿ. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé (11), êîãäà m > n. Êàê è ðàíåå,
ðàçîáüåì îòðåçîê àïïðîêñèìàöèè íà n + m – 1 ðàâíûõ ÷àñòåé è îïðåäåëèì
çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f (t) â òî÷êàõ ðàçáèåíèÿ f f f n m0 1 1, , ..., � . Òåïåðü ñèñòåìà
(11) ÿâëÿåòñÿ íåñîâìåñòíîé è ìîæåò èìåòü áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî
ðåøåíèé. Â òåîðèè ìàòðèö äîêàçàíî [2], ÷òî òàêàÿ ñèñòåìà âñåãäà èìååò
îäíî è òîëüêî îäíî íàèëó÷øåå ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå (ïî ìåòîäó íàè-
ìåíüøèõ êâàäðàòîâ), êîòîðîå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
a F f0 � � , (13)
ãäå F � — ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé m � n-ìàòðèöû F.
Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèâ ïñåâäîîáðàòíóþ ìàòðèöó F � è óìíîæèâ åå
íà ñòîëáåö f, íàéäåì ñòîëáåö êîýôôèöèåíòîâ a a an� ( ,..., )1
0
0
0 , ÿâëÿþ-
ùèõñÿ íàèëó÷øèì ïðèáëèæåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìû (11). Âû÷èñëèâ,
äàëåå, ïî ôîðìóëàì (9) êîýôôèöèåíòû b bn 1
0
0
0,..., , ïîñòðîèì èçîáðàæåíèå
(5). Îðèãèíàë f t0( ) ýòîãî èçîáðàæåíèÿ åñòü íàèëó÷øåå ïðèáëèæåíèå (ïî
ìåòîäó íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ) ê çàäàííîé ôóíêöèè f (t). Åñëè âñå ïî-
ëþñû F (z) ïðîñòûå (ýòîò ñëó÷àé ïðåäñòàâëÿåò íàèáîëüøèé ïðàêòè÷åñêèé
èíòåðåñ), òî àïïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ áóäåò ñóììîé ÷ëåíîâ âèäà
Ae kT�( ) , e B kT C kTkT� � �( ) [ cos ( ) sin ( )]� .
Âåëè÷èíû m è n âûáèðàþòñÿ ïî âèäó àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè.
Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè ìîæíî îöåíèòü ïî îòíîñèòåëüíîé âåëè÷èíå
ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè
E
f kT f kT
f kT
k
n m
k
n m
�
�
�
�
�
�
�
0
1
0 2
0
1
2
[ ( ) ( )]
[ ( )]
. (14)
Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì íàõîæäåíèÿ ïñåâäîîáðàòíîé ìàòðèöû [3], êîòî-
ðûé òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëåé è ýôôåêòèâíî ðåàëèçóåòñÿ íà ÝÂÌ.
Àïðîáàöèÿ ìåòîäà.  òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f t( ), ïî-
ëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ðàñ÷åòà.
Í.Ë. Êîñòüÿí, Î.À. Íàêîíå÷íàÿ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Äëÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè ïðèíÿòî n = 3, m = 14. Â ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ ïî ôîðìóëå (13) ìàòðè÷íîãî ðàâåíñòâà
( )
,
,
,
,
,
,
,
,
1
0 4561
0 4003
02735
01527
00787
00460
00315
00273
00226
00164
00105
03136 00659 00002
0 4561 0313
,
,
,
, , ,
, ,
�
6 00659
0 4003 0 4561 03136
02735 0 4003 0 4561
01527 0
,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
, , ,
,
2735 0 4003
00787 01527 02735
00460 00787 01527
00315 00460 00787
00273 00315 00460
00226 00273 0031
, ,
, , ,
, , , 5
00164 00226 00273
2
1
0
, , ,
a
a
a
�
ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ a2
0 = – 1,6346, a1
0 = – 1,1087, a0
0 = – 0,3362,
à ïî ñîîòíîøåíèÿì (9) íàéäåíû êîýôôèöèåíòû b1
0 = 0,0634, b0
0 = 0,2075.
Èçîáðàæåíèå àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè èìååò âèä
F z
z z z
z z z
( )
( , , , )
, ,
�
� �
�
00002 00634 0 2075
16346 11087
2
3 2 0 3362,
.
Äëÿ îðèãèíàëà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè â âèäå
f t e e tt t0 0 558 0 8090 7241 0 7239 17040 0 3( ) , ( , cos , ,, ,� � 307 17040sin , )t .
Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè f t0( ) ïðèâåäåíû â òàáëèöå.
Ãðàôèêè ôóíêöèé f t( ) è f t0( ) ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1. Îòíîñèòåëüíàÿ
âåëè÷èíà ñðåäíåãî êâàäðàòà îøèáêè, âû÷èñëåííàÿ ïî ôîðìóëå (14), ñîñ-
òàâëÿåò E � 5 %.
Ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 33
t f t( ) f t
0
( ) t f t( ) f t
0
( )
0 0,0002 0,0002 3,5 0,0787 0,0680
0,5 0,0659 0,0657 4,0 0,0460 0,0462
1,0 0,3136 0,3133 4,5 0,0315 0,0407
1,5 0,4561 0,4399 5,0 0,0273 0,0422
2,0 0,4003 0,3937 5,5 0,0226 0,0416
2,5 0,2735 0,2611 6,0 0,0164 0,0313
3,0 0,1527 0,1380 6,5 0,0105 0,0207
Îñîáåííîñòüþ ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî óâåëè-
÷åíèå ïîðÿäêà àïïðîêñèìèðóþùèõ óðàâíåíèé íå âëèÿåò íà òî÷íîñòü
ïðèáëèæåíèÿ. Ðàññìîòðèì ýòî óòâåðæäåíèå íà ñëåäóþùåì ïðèìåðå. Âû-
ïîëíåíà àïïðîêñèìàöèÿ êðèâîé çàòóõàþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà
(ðèñ. 2). Ïîñêîëüêó ïðîöåññ ãàðìîíè÷åñêèé, ïðèíÿòî n = 2 è ïîëó÷åíà àï-
ïðîêñèìèðóþùàÿ ôóíêöèÿ f t e t tt0 1 055 6 275 10136 6 275( ) (cos , , sin , ),� � . Çà-
òåì ïðîâåäåíà àïïðîêñèìàöèÿ ïðè n = 4, âñëåäñòâèå ÷åãî âíåñåíî äâà ïàðà-
çèòíûõ êîðíÿ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò äâà äîïîëíèòåëüíûõ ÷ëåíà â àïïðîê-
ñèìèðóþùåé ôóíêöèè
f t e t tt0 0 9972 6 280 10308 6 280( ) ( , cos , , sin , )� � �
� � e t tt3 095 00028 7 615 00052 7 615, ( , cos , , sin , ). (15)
Í.Ë. Êîñòüÿí, Î.À. Íàêîíå÷íàÿ
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0
1 2 3 4 5 6 t
f t( )
f ,
f
f
0
0
(t)
Ðèñ. 1. Àïïðîêñèìàöèÿ ðàñ÷åòíûõ çíà÷åíèé ôóíêöèé f t( ) è f t
0
( )
f 0 (t)
0,8
0,4
0
0,4
0,8
1,2
0,6 1,2 1,6 2,2 2,8 3,4
t
Ðèñ. 2. Êðèâàÿ çàòóõàþùåãî ãàðìîíè÷åñêîãî ïðîöåññà
Êàê âèäíî èç (15) è ðèñ. 2, ïàðàçèòíûå ÷ëåíû èìåþò ìàëóþ àìïëèòóäó,
áîëüøîé îòðèöàòåëüíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ýêñïîíåíöèàëüíîãî ñîìíî-
æèòåëÿ è áûñòðî çàòóõàþò.  îáîèõ ñëó÷àÿõ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ñîñ-
òàâëÿëà E � 2 %.
Âûâîäû
Èçëîæåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü íåîáõîäèìîå àíàëèòè÷åñêîå âû-
ðàæåíèå ôóíêöèè âðåìåíè, çàäàííîé ñ èñïîëüçîâàíèåì ýêñïåðèìåíòàëü-
íûõ äàííûõ. Ïîñêîëüêó íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ðåøåíèÿ ðàçíîñòíîãî
óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ôóíêöèè, äàííûé ìå-
òîä áîëåå ïðåäïî÷òèòåëåí, ÷åì àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèè èíòåãðàëîì äèô-
ôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïðè êîòîðîì íà÷àëüíûå óñëîâèÿ íåèçâåñòíû.
Ïîäõîä, èñïîëüçîâàííûé äëÿ íàèëó÷øåãî ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè, ýôôåê-
òèâíî ðåàëèçóåòñÿ àëãîðèòìè÷åñêè. Òî÷íîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ôóíêöèè íå
çàâèñèò îò ïîðÿäêà àïïðîêñèìèðóþùèõ óðàâíåíèé.
The paper deals with method to obtain analytical expressions for the functions of time by repre-
sentation of experimentally obtained data in a form of solution of a homogeneous linear differen-
tial equation with constant coefficients. The increase of the approximation accuracy was achie-
ved by using the method of finding the pseudoinverse matrix.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Íåéìàðê Þ.È. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû è óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû. — Ì. : Ëèáðîêîì,
2010. — 336 ñ.
2. Ñòåïàíüÿíö Ã.À. Òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì. — Ì. : Ëèáðîêîì, 2010. — 312 ñ.
3. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Ôèçìàòëèò, 2004. — 560 ñ.
Ïîñòóïèëà 04.10.13
ÊÎÑÒÜßÍ Íàòàëüÿ Ëåîíèäîâíà, ñò. ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîðìàöèîííî-êîìïüþòåðíûõ
òåõíîëîãèé è ôóíäàìåíòàëüíûõ äèñöèïëèí Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà òåõíîëî-
ãèé è äèçàéíà.  1999 ã. îêîí÷èëà ×åðêàññêèé èíæåíåðíî-òåõíîëîãè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå , ïàðàìåòðè÷åñêàÿ
èäåíòèôèêàöèÿ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ.
ÍÀÊÎÍÅ×ÍÀß Îêñàíà Àíäðååâíà, ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé è
ýêîíîìè÷åñêîé êèáåðíåòèêè Âîñòî÷íîåâðîïåéñêîãî óíèâåðñèòåòà ýêîíîìèêè è ìåíåäæìåí-
òà.  2001 ã. îêîí÷èëà ×åðêàññêóþ àêàäåìèþ ìåíåäæìåíòà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.
Ìåòîä àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ çàâèñèìîñòåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100898 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T15:33:54Z |
| publishDate | 2013 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Костьян, Н.Л. Наконечная, О.А. 2016-05-28T12:29:21Z 2016-05-28T12:29:21Z 2013 Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей / Н.Л. Костьян, О.А. Наконечная // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 27-35. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100898 681.3.057:518.12 Рассмотрен метод получения аналитического выражения функций времени посредством представления экспериментально полученных данных в виде решения однородного линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Достигнуто повышение точности аппроксимации при использовании метода нахождения псевдообратной матрицы. Розглянуто метод отримання аналітичного виразу функцій часу засобами представлення експериментально отриманих даних у вигляді розв’язку однорідного лінійного різницевого рівняння з постійними коефіцієнтами. Досягнуто підвищення точнoсті апроксимації при використанні методу знаходження псевдооберненої матриці. The paper deals with method to obtain analytical expressions for the functions of time by representation of experimentally obtained data in a form of solution of a homogeneous linear differential equation with constant coefficients. The increase of the approximation accuracy was achieved by using the method of finding the pseudoinverse matrix. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей Article published earlier |
| spellingShingle | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей Костьян, Н.Л. Наконечная, О.А. Математические методы и модели |
| title | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| title_full | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| title_fullStr | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| title_full_unstemmed | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| title_short | Метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| title_sort | метод аналитического представления экспериментальных зависимостей |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100898 |
| work_keys_str_mv | AT kostʹânnl metodanalitičeskogopredstavleniâéksperimentalʹnyhzavisimostei AT nakonečnaâoa metodanalitičeskogopredstavleniâéksperimentalʹnyhzavisimostei |