Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I
Для упрощения решения основной задачи решена вспомогательная задача — построена интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке без учета влияния вихревых токов в кристаллизаторе, в основе которой лежит векторная система интегральных уравнений, эквивалентная...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2013 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2013
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100900 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 49-62. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100900 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. 2016-05-28T12:35:43Z 2016-05-28T12:35:43Z 2013 Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 49-62. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100900 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Для упрощения решения основной задачи решена вспомогательная задача — построена интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке без учета влияния вихревых токов в кристаллизаторе, в основе которой лежит векторная система интегральных уравнений, эквивалентная уравнениям Максвелла в проводящей среде. Для спрощення розв’язку основної задачі розв’язана допоміжна задача — побудовано інтегральну модель тривимірного розподілу вихрових струмів у безперервно литій заготовці без врахування впливу вихрових струмів в кристалізаторі, в основу якої покладено векторну систему інтегральних рівнянь, еквівалентну рівнянням Максвела в середовищі, що проводить. An auxiliary problem has been solved to simplify the solution of the basic problem: the integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in the continuous casting has been constructed making no allowance for eddy flows in a mould; the model is based on the vector system of integral equations, equivalent to Maxwell equations in the conducting medium. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I |
| spellingShingle |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Применение методов и средств моделирования |
| title_short |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I |
| title_full |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I |
| title_fullStr |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I |
| title_full_unstemmed |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I |
| title_sort |
интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной мнлз. i |
| author |
Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. |
| author_facet |
Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. |
| topic |
Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| publishDate |
2013 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| description |
Для упрощения решения основной задачи решена вспомогательная задача — построена интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке без учета влияния вихревых токов в кристаллизаторе, в основе которой лежит векторная система интегральных уравнений, эквивалентная уравнениям Максвелла в проводящей среде.
Для спрощення розв’язку основної задачі розв’язана допоміжна задача — побудовано інтегральну модель тривимірного розподілу вихрових струмів у безперервно литій заготовці без врахування впливу вихрових струмів в кристалізаторі, в основу якої покладено векторну систему інтегральних рівнянь, еквівалентну рівнянням Максвела в середовищі, що проводить.
An auxiliary problem has been solved to simplify the solution of the basic problem: the integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in the continuous casting has been constructed making no allowance for eddy flows in a mould; the model is based on the vector system of integral equations, equivalent to Maxwell equations in the conducting medium.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100900 |
| citation_txt |
Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке квадратного сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 49-62. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT evdokimovvf integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekvadratnogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzi AT petrušenkoei integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekvadratnogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzi |
| first_indexed |
2025-11-26T22:45:49Z |
| last_indexed |
2025-11-26T22:45:49Z |
| _version_ |
1850778863289761792 |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû,
Å.È. Ïåòðóøåíêî, êàíä. òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. 4241063, å-mail: dep_7@voliacable.com)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå
êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. I
Äëÿ óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è ðåøåíà âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à — ïîñòðîåíà
èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé
çàãîòîâêå áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â êðèñòàëëèçàòîðå, â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò
âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ýêâèâàëåíòíàÿ óðàâíåíèÿì Ìàêñâåëëà â
ïðîâîäÿùåé ñðåäå.
Äëÿ ñïðîùåííÿ ðîçâ’ÿçêó îñíîâíî¿ çàäà÷³ ðîçâ’ÿçàíà äîïîì³æíà çàäà÷à — ïîáóäîâàíî
³íòåãðàëüíó ìîäåëü òðèâèì³ðíîãî ðîçïîä³ëó âèõðîâèõ ñòðóì³â ó áåçïåðåðâíî ëèò³é çàãî-
òîâö³ áåç âðàõóâàííÿ âïëèâó âèõðîâèõ ñòðóì³â â êðèñòàë³çàòîð³, â îñíîâó ÿêî¿ ïîêëàäåíî
âåêòîðíó ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü, åêâ³âàëåíòíó ð³âíÿííÿì Ìàêñâåëà â ñåðåäîâèù³,
ùî ïðîâîäèòü.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, âèõðåâûå òîêè,
íåïðåðûâíî ëèòàÿ çàãîòîâêà, êâàäðàòíîå ñå÷åíèå, âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé, ñêàëÿðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé , êîìïëåêñíàÿ ôîðìà, àëãåáðàè-
÷åñêàÿ ôîðìà ,ýëåêòðîìàãíèòíîå ïåðåìåøèâàíèå, âåðòèêàëüíàÿ ÌÍËÇ.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ â ñâÿçè ñ âíåäðåíèåì ýíåðãîñáåðåãàþùèõ òåõíîëîãèé,
ïîâûøåíèåì ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ìàøèí íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê
(ÌÍËÇ) è êà÷åñòâà çàãîòîâîê ïîÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ íîâîãî
è óëó÷øåíèÿ êîíñòðóêöèé ñóùåñòâóþùåãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî îáîðóäî-
âàíèÿ. Îäíèì èç âèäîâ òàêîãî îáîðóäîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå
ïåðåìåøèâàòåëè (ÝÌÏ) (ñì. ðèñóíîê). Ê ÷èñëó ìåð, ïîçâîëÿþùèõ óñêî-
ðèòü ðàçðàáîòêó ÝÌÏ, îòíîñèòñÿ ïðèìåíåíèå ïðè èõ ïðîåêòèðîâàíèè
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ. Ýòî ïîçâîëÿåò íå òîëüêî èçáåæàòü ãðî-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 49
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ
И СРЕДСТВ МОДЕЛИРОВАНИЯ
� Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, 2013
ìîçäêèõ ðàñ÷åòîâ, íî è çàìåíèòü äî-
ðîãîñòîÿùèé ôèçè÷åñêèé ýêñïåðè-
ìåíò ìàòåìàòè÷åñêèì.
Êîíñòðóêòèâíûå îñîáåííîñòè
ÝÌÏ òàêîâû, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå
ïîëÿ â íèõ — ñóùåñòâåííî òðåõìåð-
íû. Ïîýòîìó â îñíîâó ïàêåòà ïðî-
ãðàìì äëÿ ðàñ÷åòîâ ÝÌÏ ïîëîæåíû
òðåõìåðíûå óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà. Â
îáùåì ñëó÷àå äëÿ ýòîé ñèñòåìû íå-
îáõîäèìî ðåøàòü êðàåâûå çàäà÷è â
íåîãðàíè÷åííîé íåîäíîðîäíîé îá-
ëàñòè, ñîäåðæàùåé ãåîìåòðè÷åñêè
ñëîæíûå ôåððîìàãíèòíûå (ìàãíèòî-
ïðîâîä) è ïðîâîäÿùèå (êîðïóñ, îáå-
÷àéêà, ãèëüçà, æèäêàÿ ñòàëü) òåëà. Ñëîæíîñòü óêàçàííûõ çàäà÷, ñ îäíîé
ñòîðîíû, è íåîáõîäèìîñòü ðàçðàáîòêè ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ íà äîñòóï-
íûõ ÝÂÌ ïðîãðàìì, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñòèìóëèðóåò ïîèñê òàêèõ ýêâèâàëåíò-
íûõ ïðåîáðàçîâàíèé ýòèõ ñèñòåì, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ âî âíîâü ïîëó÷åííûõ
ñèñòåìàõ äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ ó÷èòûâàëàñü áû
ñïåöèôèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé â ÝÌÏ.
Îäíèì èç òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñâåäåíèå êðàåâîé çàäà÷è ê
ýêâèâàëåíòíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ (ÈÓ). Åñëè â êà÷åñòâå òàêîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ èñïîëüçîâàòü ìåòîäû òåîðèè ïîòåíöèàëà, òî íåèçâåñòíûìè â
ïîëó÷åííûõ ÈÓ áóäóò ïëîòíîñòè èñòî÷íèêîâ ïîëÿ: ïëîòíîñòè òîêîâ â îáìîò-
êàõ, ïëîòíîñòè òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè (ÒÍ) íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðî-
âîäîâ, ïëîòíîñòè âèõðåâûõ òîêîâ (ÂÒ) â ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ. Ïîñêîëüêó
îáúåìû îáìîòîê, ïîâåðõíîñòè ôåððîìàãíèòíûõ ìàãíèòîïðîâîäîâ, îáúåìû
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ çàíèìàþò, êàê ïðàâèëî, íåçíà÷èòåëüíóþ ÷àñòü
ïðîñòðàíñòâà, ïåðåõîä ê ÈÓ ñóùåñòâåííî óïðîùàåò çàäà÷ó.
Äàííàÿ çàäà÷à äåëèòñÿ íà äâå ÷àñòè:
ïåðâàÿ — ðàñ÷åò èñòî÷íèêîâ ïîëÿ (ïëîòíîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè
ìàãíèòîïðîâîäîâ è ïëîòíîñòè ÂÒ â îáúåìå ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ) ïî-
ñðåäñòâîì ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ ÈÓ;
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Âåðòèêàëüíàÿ ÌÍËÇ äëÿ çàãîòîâîê êâàäðàò-
íîãî ñå÷åíèÿ c ÝÌÏ: 1 — íåïðåðûâíî ëèòàÿ
çàãîòîâêà (ÍËÇ) êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ; 2 —
êðèñòàëëèçàòîð; 3 — îáìîòêà ÝÌÏ; 4 — ìàã-
íèòîïðîâîä ÝÌÏ; 5 — ïîãðóæíîé ñòàêàí
âòîðàÿ — ðàñ÷åò ïîëÿ â ëþáîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà èíòåãðèðîâàíèåì
ïî èñòî÷íèêàì ïîëÿ.
Òåì íå ìåíåå, çàäà÷à ðåøåíèÿ ÈÓ îñòàåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé.
Ïðåäëàãàåòñÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ÂÒ â
ÍËÇ êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòè-
êàëüíîé ÌÍËÇ áåç ó÷åòà âëèÿíèÿ ÂÒ â êðèñòàëëèçàòîðå. Çàãîòîâêà ïîìåùåíà
â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòîðà (áåç ìàãíèòîïðîâîäà), â îáìîòêå êîòîðîãî ïðî-
òåêàåò ñèíóñîèäàëüíûé òîê. Èñõîäíàÿ âåêòîðíàÿ ÑÈÓ (ÂÑÈÓ) ïðåîáðàçî-
âàíà ê ñêàëÿðíîé (ÑêÑÈÓ) â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîñêîëüêó òîêè
â îáìîòêàõ ÝÌÏ èçìåíÿþòñÿ ñèíóñîèäàëüíî âî âðåìåíè, ÑêÑÈÓ çàïèñàíà â
êîìïëåêñíîé ôîðìå. Âåùåñòâåííàÿ ÑêÑÈÓ âûòåêàåò èç êîìïëåêñíîé â ðå-
çóëüòàòå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîìïëåêñîâ â àëãåáðàè÷åñêóþ ôîðìó.
Âåêòîðíàÿ ÑÈÓ, îïèñûâàþùàÿ òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÂÒ â
óåäèíåííîé ÍËÇ, íàõîäÿùåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòîðà, â îáìîò-
êàõ êîòîðîãî ïðîòåêàþò ñèíóñîèäàëüíûå òîêè. Ïóñòü â îäíîðîäíîé
ñðåäå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âîçáóæäàåòñÿ êâàçèñòàöèîíàðíûìè òîêàìè â
îáìîòêàõ. Âåêòîð ïëîòíîñòè ýòèõ òîêîâ îáîçíà÷èì �0, à îáúåì, çàíèìàå-
ìûé èìè, — Vo. Â çàãîòîâêå, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿ-
ùåå òåëî îáúåìà V, èíäóêòèðóþòñÿ ÂÒ ïëîòíîñòüþ �.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé
ñðåäå
rot H � �, rot E
B
t
� �
�
�
, � � �E, div� � 0, div B � 0, B H� �0 (1)
ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé B A� rot ,
div A � 0, (2)
E
A
t
� � �
�
�
grad
(3)
ìîæíî ñâåñòè ê óðàâíåíèÿì
A � � � �0 , (4)
� 0 . (5)
 îäíîðîäíîé ñðåäå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (4) èìååò âèä
A Q t
M t
r
d
M t
r
d
V QM
M
V QM
M( , )
( , ) ( , )
� �� �
�
�
�
�
�
�0 0
4 4
o
o , (6)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 51
ãäå rQM — ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè Q x y zQ Q Q( , , ) è M x y zM M M( , , ),
r x x y y z zQM M Q M Q M Q� � � � � �( ) ( ) ( )2 2 2.
Ïëîòíîñòü � ÂÒ, âõîäÿùèõ â (6), íåèçâåñòíà. Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ íåîáõî-
äèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (3). Ïîäñòàâèâ (6) â (3), ïîëó÷èì
E Q t M
E M t
t r
d
V QM
M( , ) ( )
( , )
� ��
�
�
�
�
�0
4
1
� � ��
�
��
� 0
4
1
V QM QM
M
M t
r r
d
o
o grad
( , )
, Q V� . (7)
Ïðè çàäàííîé ïðàâîé ÷àñòè è íà÷àëüíîì óñëîâèè E Q( , )0 óðàâíåíèå (7)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Â ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, åñëè ñèììåòðèçî-
âàòü ÿäðî óðàâíåíèÿ (7) çàìåíîé ïåðåìåííûõ E Q t Q E Q t( , ) ( ) ( , )� � è
ïðèìåíèòü ê íåìó ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ïî ïåðåìåííîé t.
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (7) îòíîñèòåëüíî âåêòîðà � ( , )Q t . Âîñïîëüçî-
âàâøèñü ñâÿçüþ ìåæäó âåêòîðàìè � ( , )Q t è E Q t( , ) (1), ïîëó÷èì
�
��
��
�
�
( , )
( )
( , )Q t
Q
M t
t r
d
V QM
M� ��
1
� � ��
V QM QM
M
M t
r r
d
o
o grad
��
�
�
( , ) 1 1
, Q V� , (8)
ãäå � �
� 0 4/ . Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà â îáúåìå ïðî-
âîäíèêà íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó Íåéìàíà îòíîñèòåëüíî óðàâíåíèÿ (5) ïðè
ãðàíè÷íîì óñëîâèè
�
�
�
�n
A
tS
n
S
� � , (9)
ãäå An — ïðîåêöèÿ âåêòîðà A íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà S â
òî÷êå Q. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íîðìàëè nQ ïðèíÿòî ñîîòâåòñòâåí-
íî îáúåìó ïðîâîäíèêà V â îêðóæàþùåì ïðîñòðàíñòâå. Óñëîâèå (9) åñòü
ñëåäñòâèå óñëîâèÿ �n S
� 0 è ñîîòíîøåíèÿ (3).
Ðàçðåøèìîñòü ýòîé çàäà÷è ñëåäóåò èç (2). Äåéñòâèòåëüíî,
S S
n
V
n
ds
t
A ds
t
A d� � �� � � � �
�
�
�
�
�
�
�div 0.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ ñ ó÷åòîì ïëîòíîñòè � íà ïîâåðõ-
íîñòè S
�
( , )
( , )
Q t
M t
r
ds
QM
M
S
� �
1
4
(10)
ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî
ðîäà [2]
�
�
�
�
( , ) ( , )
cos ( � ) ( , )
Q t M t
n r
r
ds
A Q t
t
S
Q QM
QM
M
n� � ��
1
2
2
2
, Q S� , (11)
Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå (8) ïîòåíöèàë (10), ïîëó÷èì
�
��
��
�
�
�
�
( , )
( )
( , )
( , )
Q t
Q
M t
t r
d M t
r
V QM
M
S
Q
Q
� �� �
1 1 1
0
grad
M
Mds �
� � �
��
�o
o
( , )M t
r r
d
QM QM
M
V
1
, Q V� . (12)
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ gradQ
QMr
1
èìåþò âèä
gradQ
QM
QM
QM
r
r
r
1
3
� ,
(13)
gradQ
QM
r
QM
X
r
QM
Y
r
QM
r
Q M
r
e
Q M
r
e
Q M
r
e
1
2 2 2
� � �
� � �( , ) ( , ) ( , )
Z ,
ãäå
r x x e y y e z z eQM M Q X M Q Y M Q Z� � � � � �( ) ( ) ( ) ,
(14)
� r
M Q
QM
Q M
x x
r
( , ) �
�
, �r
M Q
QM
Q M
y y
r
( , ) �
�
, � r
M Q
QM
Q M
z z
r
( , ) �
�
.
Ïîäñòàâëÿÿ (13) â (12), ïîëó÷àåì
�
��
��
�
�
�
�
( , )
( )
( , )
( , )
Q t
Q
M t
t r
d M t
r
r
d
V QM
M
S
QM
QM
� �� �
1 1
0
3
sM �
� ��
V
k
QM QM
M
K
M t
r r
d
��
�
( , ) 1
, Q V� . (15)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 53
Òåïåðü, ïîäñòàâèâ (6) â (11), ïîëó÷èì
�
� �
��
( , ) ( , )
cos ( � ) ( ,
Q t M t
n r
r
ds
M t
S
Q QM
QM
M
V
nQ� �� �
1
2
2
2
)
�
�
t r
d
QM
M
1
�
� � �2
1
�
��
�
�
V
knQ
QM
M
k
M t
t r
d
( , )
, Q S� . (16)
Âåêòîðíàÿ ÑÈÓ (15) , (16) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
� ( , )Q O , Q V� , �o( , )Q O , Q V� o, (17)
ïîçâîëÿåò ðåøèòü çàäà÷ó ðàñ÷åòà ÂÒ â ìàññèâíîì ïðîâîäíèêå ñëîæíîé
ôîðìû â íåñòàöèîíàðíûõ ðåæèìàõ.
Ïðåîáðàçîâàíèå ÂÑÈÓ(15), (16) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ÂÒ â óåäèíåí-
íîé ÍËÇ êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ â ÑêÑÈÓ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîð-
äèíàò. Âåêòîðíîå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (ÂÈÓ) (15) ïðåîáðàçóåì â
ÑêÑÈÓ â äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Äëÿ ýòîãî âõîäÿùèå â (15) âåê-
òîðû ïðåäñòàâèì â âèäå
� � � �( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t Q t e Q t e Q t eX X Y Y Z Z� � � ,
� � � �o o o o( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t Q t e Q t e Q t eX X Y Y Z Z� � � .
Ïðè ýòîì
�
�� � �
�
�
�� � �
�
�
�� � �
�
Q
Q t e
Q
Q t e
Q
Q t eX X Y Y Z Z( , ) ( , ) ( , )� � �
� � �� �
V
X
QM
M X
V
Y
QM
M Y
M t
t r
d e
M t
t r
d e
��
�
�
��
�
�
( , ) ( , )1 1
� �� �
V
Z
QM
M Z
S
r
QM
M X
M t
t r
d e M t
Q M
r
ds e
��
�
�
�
�
�( , )
( , )
( , )1 1
0
2
�
� �� �
1 1
0
2
0�
�
�
�
�
�
S
r
QM
M Y
S
r
QM
M t
Q M
r
ds e M t
Q M
r
( , )
( , )
( , )
( , )
2
ds eM Z �
� � � �� �
V
X
QM
M X
V
Y
QM
M Y
M t
t r
d e
M t
t r
d e
o o
o o��
�
�
��
�
�
( , ) ( , )1 1
� �
V
Z
QM
M Z
M t
t r
d e
o
o��
�
�
( , ) 1
, Q V� .
(18)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îäíîèìåííûõ îðòàõ ñïðàâà è ñëåâà â (18),
ïîëó÷àåì òðè ñêàëÿðíûõ ÈÓ:
�
�� � �
�
��
�
�
�
�
�
Q
Q t
M t
t r
d M t
Q
X
V
X
QM
M
S
r( , )
( , )
( , )
( ,
� �� �
1 1
0
M
r
ds
QM
M
)
2
�
� � �
V
X
QM
M
M t
t r
d
o
o��
�
�
( , ) 1
, Q V� ; (19)
�
�� � �
�
��
�
�
�
�
�
Q
Q t
M t
t r
d M t
Q
Y
V
Y
QM
M
S
r( , )
( , )
( , )
( ,
� �� �
1 1
0
M
r
ds
QM
M
)
2
�
� � �
V
Y
QM
M
M t
t r
d
o
o��
�
�
( , ) 1
, Q V� ; (20)
�
�� � �
�
��
�
�
�
�
�
Q
Q t
M t
t r
d M t
Q
Z
V
Z
QM
M
S
r( , )
( , )
( , )
( ,
� �� �
1 1
0
M
r
ds
QM
M
)
2
�
� � �
V
Z
QM
M
M t
t r
d
o
o��
�
�
( , ) 1
, Q V� . (21)
Ïðåîáðàçóåì ñêàëÿðíîå ÈÓ (16) ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Äëÿ
ýòîãî çàïèøåì íîðìàëü â òî÷êå Q S� :
n Q e Q e Q eQ X Y Z� � �� � �( ) ( ) ( ) ,
� ( ) cos ( , )Q n eQ X� , � ( ) cos ( , )Q n eQ Y� , � ( ) cos ( , )Q n eQ Z� . (22)
Ïîäñòàâëÿÿ (22) è (14) â âûðàæåíèå äëÿ cos ( , )n rQ QM , ïîëó÷àåì
cos ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )n r Q Q M Q Q M Q Q MQ QM r r r� � �� � � � � � . (23)
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ
� � � � � � �n x y zQ
M t M t Q M t Q M t Q( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )� � � ,
� � � � � � �o o o on x y zQ
M t M t Q M t Q M t Q( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )� � � .
Ïîäñòàâèâ (23) â (16), ïîëó÷èì
�
� �� � �
��
( , ) ( , )
cos ( � ) (
Q t M t
n r
r
ds Q
S
Q QM
QM
M
V
x� �� �
1
2
2
2
M t
t r
d
QM
M
, )
�
�
1
�
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 55
� �� �2
1
2
1
�� � �
��
�
� �� � �
��
�
Q
M t
t r
d Q
M t
t r
V
y
QM
M
V
z
Q
( , ) ( , )
M
Md� �
� � �� �2
1
2�� � �
��
�
� �� � �
��
Q
M t
t r
d Q
M t
V
x
QM
M
V
y
o o
o o( , ) ( , )
�
�
t r
d
QM
M
1
�
� �2
1
�� � �
��
�
�Q
M t
t r
d
V
z
QM
M
o
o ( , )
, Q S� . (24)
Ñêàëÿðíàÿ ÑÈÓ (19)—(21), (24) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
(17) îïèñûâàåò ðàñïðåäåëåíèå íåñòàöèîíàðíûõ ÂÒ â ìàññèâíûõ ïðîâîä-
íèêàõ.
Êîìïëåêñíàÿ ôîðìà ÑêÑÈÓ (19)—(21), (24). Åñëè â îáìîòêàõ èí-
äóêòîðà ïðîòåêàþò ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè òîêè, òî ÂÒ
òàêæå èçìåíÿþòñÿ âî âðåìåíè ñèíóñîèäàëüíî. Äëÿ ðàñ÷åòà òàêèõ òîêîâ
íåîáõîäèìî ÑêÑÈÓ (19)—(21), (24) ïðåîáðàçîâàòü â êîìïëåêñíóþ ôîðìó.
Äëÿ ýòîãî ìãíîâåííûå çíà÷åíèÿ ñèíóñîèäàëüíî èçìåíÿþùèõñÿ âåëè÷èí
áóäåì èçîáðàæàòü ìíèìûìè ÷àñòÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñîâ.
Ïîêàæåì ýòî íà ïðèìåðå óðàâíåíèÿ (19):
� � � � � � �x xm x xm xQ t Q t Q Q j t Q( , ) ( ) sin ( ( )) Im [ ( ) exp ( ( )� � � � )] �
� �Im [ ( ) exp ( ) exp ] Im [� ( ) exp ]� � � � �xm x xmQ j Q j t Q j t , (25)
ãäå
� ( ) ( ) exp ( )� � �xm xm xQ Q j Q� ; (26)
� � � � � � �x xm x xm xM t M t M M j t M( , ) ( ) sin ( ( )) Im [ ( ) exp ( ( )� � � � )] �
� �Im [ ( ) exp ( ) exp ] Im [� ( ) exp ]� � � � �xm x xmM j M j t M j t ; (27)
� ( ) ( ) exp ( )� � �xm xm xM M j M� ; (28)
� � � � � � �o o o ox xm x xmM t M t M M j t( , ) ( ) sin ( ( )) Im [ ( ) exp (� � � � ox M( ))] �
� �Im [ ( ) exp ( ) exp ] Im [� ( ) exp ]� � � � �o o oxm x xmM j M j t M j t ; (29)
� ( ) ( ) exp ( )� � �o oxm xm xM M j M� ; (30)
� � � � � � �� �( , ) ( ) sin ( ( )) Im [ ( ) exp ( ( ))]M t M t M M j t Mm m� � � � �
� �Im [ ( ) exp ( )exp ] Im [� ( ) exp ]� � � � ��m mM j M j t M j t ; (31)
� ( ) ( ) exp ( )� � ��m mM M M� ; (32)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
�
�
�
�
�
� � �
t
M t
t
M t Mx xm x( , ) ( ) sin ( ( ))� � �
� � ��� � � �� �xm x xmM t M j M j t( ) cos ( ( )) Im [ � ( ) exp ] ; (33)
�
�
�
�
�
� � �
t
M t
t
M t Mx xm xo o o( , ) ( )sin( ( ))� � �
� � ��� � � �� �o o oxm x xmM t M j M j t( ) cos ( ( )) Im [ � ( ) exp ] . (34)
Ïîäñòàâèâ (25)—(34) â (19), ïîëó÷èì
�
�� � �
� � � �
�
�
�
Q
Q j M
r
d M
Q M
xm
V
xm
QM
M
S
m
r
� ( ) � ( ) � ( )
( ,
� �� �
1 1
0
)
r
ds
QM
M2
�
� � �j M
r
d
V
xm
QM
M� � �
o
o
� ( )
1
, Q V� . (35)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì ê êîìïëåêñíîé ôîðìå ÈÓ (20) è (21):
�
�� � �
� � � �
�
�
�
Q
Q j M
r
d M
Q M
ym
V
ym
QM
M
S
m
r
� ( ) � ( ) � ( )
( ,
� �� �
1 1
0
)
r
ds
QM
M2
�
� � �j M
r
d
V
ym
QM
M� � �
o
o
� ( )
1
, Q V� , (36)
�
�� � �
� � � �
�
�
�
Q
Q j M
r
d M
Q M
zm
V
zm
QM
M
S
m
r
� ( ) � ( ) � ( )
( ,
� �� �
1 1
0
)
r
ds
QM
M2
�
� � �j M
r
d
V
zm
QM
M� � �
o
o
� ( )
1
, Q V� , (37)
ãäå
� ( ) ( ) exp ( )� � �ym ym yQ Q j Q� ; � ( ) ( ) exp ( )� � �ym ym yM M j M� ;
� ( ) ( ) exp ( )� � �o o oym ym yM M j M� ; � ( ) ( ) exp ( )� � ��m mM M M� ;
� ( ) ( ) exp ( )� � �zm zm zQ Q j Q� ; � ( ) ( ) exp ( )� � �zm zm zM M j M� ;
� ( ) ( ) exp ( )� � �o o ozm zm zM M j M� .
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 57
Òîãäà
� ( ) � ( )
cos ( � )
��
� �� � � � �m
S
m
Q QM
QM
M
V
Q M
n r
r
ds Q j� �� �
1
2
2
2 xm
QM
MM
r
d( )
1
� �
� �� �2
1
2
1
�� � � � � � �� � � � �Q j M
r
d Q j M
r
d
V
ym
QM
M
V
zm
QM
� ( ) � ( ) �M �
� � �� �2
1
2�� � � � � � �� � � � �Q j M
r
d Q j M
V
xm
QM
M
V
ym
o o
o o
� ( ) � ( )
1
r
d
QM
M� �
� �2
1
�� � � � � �Q j M
r
d
V
zm
QM
M
o
o
� ( ) , Q S� . (38)
Çàïèøåì ÑêÑÈÓ (35) — (38) â îïåðàòîðíîé ôîðìå:
�
�� � �
� � �
�
� � ��
Q
Q j T P j TXm VV Xm VS m VV xm
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� ;
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q jT P jTXm VV Xm VS m VV xm
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� , (39)
ãäå � � ��;
T M
r
dVV xm
V
xm
QM
M
� � ( )� � �� �
1
, Q V� ;
P M
Q M
r
dsVS m
S
m
r
QM
M
� � �
�
� � ( )
( , )
� � 2
, Q V� ;
T M
r
dVV
V
xm
QM
Mo
o
o� � � ( )� �
1
, Q V� ;
�
�� � �
� � �
�
� � ��
Q
Q j T P j Tym VV ym VS m VV ym
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� ;
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q jT P jTym VV ym VS m VV ym
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� , (40)
ãäå
T M
r
dVV ym
V
ym
QM
M
� � ( )� � �� �
1
, Q V� ;
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
P M
Q M
r
ds
VS m
S
m
r
QM
M
� � �
�
� � ( )
( , )
� � 2
, Q V� ;
T M
r
dVV ym
V
ym
QM
Mo
o
o o
� � ( )� � �� �
1
, Q V� ;
�
�� � �
� � �
�
� � ��
Q
Q j T P j Tzm VV zm VS m VV zm
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� ;
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q jT P jTzm VV zm VS m VV zm
� ( ) �
�
�� � � �
1
0
o o , Q V� , (41)
ãäå
T M
r
dVV zm
V
zm
QM
M
� � ( )� � �� �
1
, Q V� ;
P M
Q M
r
ds
VS m
S
m
r
QM
M
� � �
�
� � ( )
( , )
� � 2
, Q V� ;
T M
r
dVV zm
V
zm
QM
Mo
o
o o
� � ( )� � �� �
1
, Q V� ;
� ( ) �
� � ��
� � � �� � �
m SS m SV xm SV ym SV
Q P j T j T j T� � � �
1
2
2 2 2� � � zm �
� � � �j T j T j TSV oxm SV oym SV ozm2 2 2� � �� � �� � �� � � , Q S� , (42)
ãäå
P M
n r
r
dsSS m
S
m
Q QM
QM
M� � ( )
cos ( � )
� �� � 2
, Q S� ;
T M
Q
r
dSV xm
V
xm
QM
M
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� ;
T M
Q
r
d
SV ym
V
ym
QM
M
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� ;
T M
Q
r
d
SV zm
V
zm
QM
M
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� ;
T M
Q
r
dSV xm
V
xm
QM
Mo
o
o o
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� ;
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 59
T M
Q
r
d
SV ym
V
ym
QM
M
o
o
o o
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� ;
T M
Q
r
d
SV zm
V
zm
QM
M
o
o
o o
� � �
�
�� � ( )
( )
� � , Q S� .
Òåïåðü ïðåäñòàâèì êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ÑêÑÈÓ
(39)—(42) â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå:
� ( ) ( ) ( )� � �xm xm xmQ Q j Q� � � �� , � ( ) ( ) ( )� � �ym ym ymQ Q j Q� � � �� ,
� ( ) ( ) ( )� � �zm zm zmQ Q j Q� � � �� ;
� ( ) ( ) ( )� � �xm xm xmM M j M� � � �� , � ( ) ( ) ( )� � �ym ym ymM M j M� � � �� ,
� ( ) ( ) ( )� � �zm zm zmM M j M� � � �� ; (43)
� ( ) ( ) ( )� � �o o oxm xm xmM M j M� � � �� , � ( ) ( ) ( )� � �o o oym ym ymM M j M� � � �� ,
� ( ) ( ) ( )� � �o o ozm zm zmM M j M� � � �� ;
� ( ) ( ) ( )� � �m m mQ Q j Q� � � �� , � ( ) ( ) ( )� � �m m mM M j M� � � �� .
Ïîäñòàâèì â (43) êîìïëåêñû � ( )� xm Q , � ( )� xm M ,� ( )�oxm M , � ( )� m M , âõîäÿùèå â
óðàâíåíèå (39):
�
� � �
� � �� �
� �� Q
Q j Q jT j Pxm xm VV xm xm V[ ( ) ( )] )� � �� � � � �� �
1
0
S m mj� �� �� � �� �)
� � � � ��jT jVV xm xmo o o( )� � , Q V� . (44)
Ïðèðàâíèâàÿ â (44) âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè ñïðàâà è ñëåâà, ïîëó-
÷àåì äâà âåùåñòâåííûõ óðàâíåíèÿ:
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Txm VV xm VS m VV xm� � �� � � � ��( )
1
0
o o , Q V� ; (45)
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Txm VV xm VS m VV xm�� � � � �� � � �( )
1
0
o o , Q V� . (46)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì êîìïëåêñíûå ÈÓ (40) è (41) ê âåùåñòâåííûì:
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Tym VV ym VS m VV ym� � �� � � � ��( )
1
0
o o , Q V� , (47)
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Tym VV ym VS m VV ym�� � � � �� � � �( )
1
0
o o , Q V� , (48)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Tzm VV zm VS m VV zm� � �� � � � ��( )
1
0
o o , Q V� , (49)
�
� � �
� �
� �
� ��
� Q
Q T P Tzm VV zm VS m VV zm�� � � � �� � � �( )
1
0
o o , Q V� . (50)
Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (42) êîìïëåêñû � ( )� m Q , � ( )� m M , � ( )� xm M , � ( )� ym M ,
� ( )� zm M , � ( )�oxm M , � ( )�oym M , � ( )�ozm M â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå (43):
� � �� � � � �� � �� �
�
� ��
m m SS m SS m SV xmQ j Q P j P j T( ) ( ) (
1
2
1
2
2� � �� �j xm� )
� � � �� � � � �� �j T j j T j
SV ym ym SV zm zm2 2� �� �� � � �( ) ( )
� � � � �� � � � �� �j T j j T jSV xm xm SV ym ym2 2� �
o o
o o o o
� �� � � �( ) ( ) j T j
SV zm zm2�
o
o o
� � �( )� � �� .
(51)
Ïðèðàâíèâàÿ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ÷àñòè â (51) ñïðàâà è ñëåâà, ïî-
ëó÷àåì äâà âåùåñòâåííûõ óðàâíåíèÿ:
� � � � �� � �� � ���
� � �� � �
m SS m SV xm SV ym SV
Q P T j T T( )
1
2
2 2 2� � � � zm �
� �� � �� � ��2 2 2� � �T T TSV xm SV ym SV zmo o o
o o o
� � �� � � , Q S� , (52)
�� � �� � � � � � ��
� � � �� � �
m SS m SV xm SV ym SV zQ P T T T( )
1
2
2 2 2� � � m �
� � � � � � �2 2 2� � �T T TSV xm SV ym SV zmo o o
o o o
� � �� � � , Q S� . (53)
Âûâîäû
Ïîëó÷åíà ñêàëÿðíàÿ âåùåñòâåííàÿ ÑÈÓ (45)—(50), (52), (53), îïèñûâàþ-
ùàÿ òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå ÂÒ â óåäèíåííîé ÍËÇ êâàäðàòíîãî ñå÷å-
íèÿ, íàõîäÿùåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòîðà, â îáìîòêàõ êîòîðîãî ïðî-
òåêàþò ñèíóñîèäàëüíûå òîêè. Îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ýòîé ÑÈÓ ÿâëÿþòñÿ
îáúåì è ïîâåðõíîñòü çàãîòîâêè. Ïðè ðåøåíèè ýòîé çàäà÷è ìåòîäîì êîíå÷-
íûõ ýëåìåíòîâ èëè êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ðàñ÷åòíîé îáëàñòüþ ÿâëÿåòñÿ
íåîãðàíè÷åííîå ïðîñòðàíñòâî.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 61
An auxiliary problem has been solved to simplify the solution of the basic problem: the integral
model of three-dimensional distribution of eddy flows in the continuous casting has been con-
structed making no allowance for eddy flows in a mould; the model is based on the vector system
of integral equations, equivalent to Maxwell equations in the conducting medium.
Ïîñòóïèëà 13.09.13
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäå-
ëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è ñèñòåì â
ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíàëèç è ñèí-
òåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëèðî-
âàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â
1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6
|