Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями

Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями

С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппро...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :Электронное моделирование
Дата:2013
Автор: Гаврыш, В.И.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2013
Теми:
Применение методов и средств моделирования
Онлайн доступ:https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100901
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100901
record_format dspace
spelling Гаврыш, В.И.
2016-05-28T12:37:07Z
2016-05-28T12:37:07Z
2013
Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
0204-3572
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100901
536.24
С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и интегрального преобразования Фурье построено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с граничными условиями второго рода. Выполнен численный анализ для однослойной бесконечной пластины со сквозным тепловыделяющим включением.
За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропної безмежної багатошарової пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, яка містить чужорідне наскрізне теплоактивне включення.Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Фур’є знайдено аналітично-числовий розв’язок задачі теплопровідності з крайовими умовами другого роду. Виконано числовий аналіз для одношарової безмежної пластини з наскрізним включенням, що виділяє тепло.
A heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic multi-layer plate with thermally insulated surfaces which contains a heat-generating foreign through inclusion has been deduced with the use of generalized functions. A numerical-analytical solution for the heat equation with boundary conditions of the second kind has been constructed using a piecewise linear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and Fourier integral transform. The numerical analysis of a single-layer infinite plate with a through heat-generating inclusion has been made.
ru
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
Электронное моделирование
Применение методов и средств моделирования
Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
Article
published earlier
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
title Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
spellingShingle Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
Гаврыш, В.И.
Применение методов и средств моделирования
title_short Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_full Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_fullStr Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_full_unstemmed Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
title_sort моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями
author Гаврыш, В.И.
author_facet Гаврыш, В.И.
topic Применение методов и средств моделирования
topic_facet Применение методов и средств моделирования
publishDate 2013
language Russian
container_title Электронное моделирование
publisher Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format Article
description С использованием обобщенных функций получено уравнение теплопроводности с разрывными и сингулярными коэффициентами для изотропной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, которая содержит инородное сквозное тепловыделяющее включение. С использованием кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения и интегрального преобразования Фурье построено численно-аналитическое решение задачи теплопроводности с граничными условиями второго рода. Выполнен численный анализ для однослойной бесконечной пластины со сквозным тепловыделяющим включением. За узагальненими функціями отримано рівняння теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами для ізотропної безмежної багатошарової пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, яка містить чужорідне наскрізне теплоактивне включення.Після кусково-лінійної апроксимації температури на межових поверхнях включення та інтегрального перетворення Фур’є знайдено аналітично-числовий розв’язок задачі теплопровідності з крайовими умовами другого роду. Виконано числовий аналіз для одношарової безмежної пластини з наскрізним включенням, що виділяє тепло. A heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic multi-layer plate with thermally insulated surfaces which contains a heat-generating foreign through inclusion has been deduced with the use of generalized functions. A numerical-analytical solution for the heat equation with boundary conditions of the second kind has been constructed using a piecewise linear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and Fourier integral transform. The numerical analysis of a single-layer infinite plate with a through heat-generating inclusion has been made.
issn 0204-3572
url https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100901
citation_txt Моделирование температурных режимов в кусочно-однородных элементах электронных устройств со сквозными тепловыделяющими инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2013. — Т. 35, № 6. — С. 63-74. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT gavryšvi modelirovanietemperaturnyhrežimovvkusočnoodnorodnyhélementahélektronnyhustroistvsoskvoznymiteplovydelâûŝimiinorodnymivklûčeniâmi
first_indexed 2025-11-24T02:11:39Z
last_indexed 2025-11-24T02:11:39Z
_version_ 1850839891505577984
fulltext ÓÄÊ 536.24 Â.È. Ãàâðûø, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê Íàöèîíàëüíèé óíèâåðñèòåò «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà», (Óêðàèíà, 79013, Ëüâîâ, óë. Ñ. Áàíäåðû, 12, òåë. (032) 2582578, e-mail: ikni.pz@gmail.com) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ ñî ñêâîçíûìè òåïëîâûäåëÿþùèìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè Ñ èñïîëüçîâàíèåì îáîáùåííûõ ôóíêöèé ïîëó÷åíî óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ðàçðûâ- íûìè è ñèíãóëÿðíûìè êîýôôèöèåíòàìè äëÿ èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû ñ òåïëî- èçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîòîðàÿ ñîäåðæèò èíîðîäíîå ñêâîçíîå òåïëî- âûäåëÿþùåå âêëþ÷åíèå. Ñ èñïîëüçîâàíèåì êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè òåìïåðàòóðû íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ âêëþ÷åíèÿ è èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîñòðîåíî ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòî- ðîãî ðîäà. Âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç äëÿ îäíîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñî ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì. Çà óçàãàëüíåíèìè ôóíêö³ÿìè îòðèìàíî ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ç ðîçðèâíèìè òà ñèíãó- ëÿðíèìè êîåô³ö³ºíòàìè äëÿ ³çîòðîïíî¿ áåçìåæíî¿ áàãàòîøàðîâî¿ ïëàñòèíè ç òåïëî³çîëüî- âàíèìè ëèöåâèìè ïîâåðõíÿìè, ÿêà ì³ñòèòü ÷óæîð³äíå íàñêð³çíå òåïëîàêòèâíå âêëþ÷åííÿ. ϳñëÿ êóñêîâî-ë³í³éíî¿ àïðîêñèìàö³¿ òåìïåðàòóðè íà ìåæîâèõ ïîâåðõíÿõ âêëþ÷åííÿ òà ³íòåãðàëüíîãî ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º çíàéäåíî àíàë³òè÷íî-÷èñëîâèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ òåïëîïðî- â³äíîñò³ ç êðàéîâèìè óìîâàìè äðóãîãî ðîäó. Âèêîíàíî ÷èñëîâèé àíàë³ç äëÿ îäíîøàðîâî¿ áåçìåæíî¿ ïëàñòèíè ç íàñêð³çíèì âêëþ÷åííÿì, ùî âèä³ëÿº òåïëî. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òåìïåðàòóðà, òåïëîïðîâîäíîñòü, ñòàöèîíàðíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, èçîòðîïíàÿ ïëàñòèíà, èíîðîäíîå âêëþ÷åíèå, èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò. Âàæíîå çíà÷åíèå äëÿ ïðîèçâîäñòâà ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ èìåþò êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû, ñðåäè êîòîðûõ îñîáîå ìåñòî çàíèìàþò êóñî÷íî- îäíîðîäíûå ñòðóêòóðû (ñëîèñòûå, îäíîðîäíûå è ñëîèñòûå ñ èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè), êîòîðûå øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â èíòåãðàëüíûõ ñåíñîðàõ äëÿ ìîíèòîðèíãà òåìïåðàòóðû è âëàæíîñòè, ñâåòîèçëó÷àþùèõ ýëåìåíòàõ äëÿ äèíàìè÷åñêèõ ñâåòîäèîäíûõ ïîäñâåòîê, òåìïåðàòóðíûõ ïðåîáðàçîâà- òåëÿõ è äð. Ïîñêîëüêó óêàçàííûå ñòðóêòóðû è â ïðîöåññå ïðîèçâîäñòâà, è ïðè ýêñïëóàòàöèè ïîäâåðãàþòñÿ òåìïåðàòóðíîìó âîçäåéñòâèþ â øèðîêîì ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 63 � Â.È. Ãàâðûø, 2013 äèàïàçîíå, ÷òî ïðèâîäèò ê îáðàçîâàíèþ ñòðóêòóðíûõ äåôåêòîâ, ïðè ïðîãíî- çèðîâàíèè íàäåæíîñòè óñòðîéñòâ âàæíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðíûõ ïîëåé è èõ ãðàäèåíòîâ.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêëà íåîáõî- äèìîñòü ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ëèíåéíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðîöåññà òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ òåë ñ èíîðîäíûìè ñêâîçíûìè òåïëîâûäå- ëÿþùèìè âêëþ÷åíèÿìè è ðàçðàáîòêè ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ âîçíè- êàþùèõ ïðè ýòîì ëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.  ðàáîòàõ [1, 2] ïðèâåäåíû íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îäíîðîäíûõ òåë.  ðàáîòå [3] ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé è ïåðåìåííîé òîëùèíû â ïðîñòðàíñòâåííîé ïîñòà- íîâêå. Ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé òðåõìåðíàÿ çàäà÷à ñâåäåíà ê äâóìåð- íîé. Äëÿ ïëàñòèíû ñî ñëîÿìè ïåðåìåííîé òîëùèíû ïîëó÷åíà ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ïîëó÷åí- íûå äâóìåðíûå êðàåâûå çàäà÷è. Äëÿ ïëàñòèí ñ îäíîðîäíûìè ñëîÿìè ïî- ñòîÿííîé òîëùèíû ïîñòðîåíî ðåøåíèå â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì, ïîëó÷åííûì ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.  ðàáîòå [4] ïîñòðîåíî âíåøíåå àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøå- íèÿ çàäà÷è íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñëîèñòûõ àíèçîòðîï- íûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà íà ëèöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ïîëó÷åííûå äâóìåðíûå ðå- øàþùèå óðàâíåíèÿ è èññëåäîâàíû àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ðåøåíèé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïîëó÷åíû îöåíêè òî÷íîñòè, ñ êîòîðîé òåìïå- ðàòóðà â ïëàñòèíå çà ïðåäåëüíûì ñëîåì ñ÷èòàåòñÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîé èëè êóñî÷íî-êâàäðàòè÷íîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî òîëùèíå ñëîèñòîé êîíñòðóê- öèè. Ïðèâåäåíî ôèçè÷åñêîå îáîñíîâàíèå íåêîòîðûõ îñîáåííîñòåé àñèìï- òîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ òåìïåðàòóðû. Ðàáîòû [5—10] ïîñâÿùåíû ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ òåïëîîòäà÷åé äëÿ êîíñòðóêöèé äâó- ìåðíîé êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû.  ðàáîòàõ [11,12] ïðèâåäåíû îá- ùèå óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ òåë. Ðàññìîòðèì ëèíåéíóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ñòàöèîíàðíîãî ïðî- öåññà òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, èìåþùåé ñêâîçíîå èíî- ðîäíîå òåïëîâûäåëÿþùåå âêëþ÷åíèå, èñïîëüçóÿ ìåòîäèêó ðåøåíèÿ çàäà- ÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè âòîðîãî ðîäà. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èçîòðîïíàÿ (îòíîñèòåëüíî òåïëîôèçè÷åñêèõ ïà- ðàìåòðîâ) ìíîãîñëîéíàÿ áåñêîíå÷íàÿ ïëàñòèíà, îòíåñåííàÿ ê ïðÿìî- Â.È. Ãàâðûø 64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 óãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Îxyz ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè | |z ��, èìååò èíîðîäíîå ñêâîçíîå âêëþ÷åíèå, â îáëàñòè �0 0� � � � �{( , , ) :| | , , | | }x y z x h y y zn � êîòîðîãî äåéñòâóþò ðàâíîìåðíî ðàñ- ïðåäåëåííûå âíóòðåííèå èñòî÷íèêè òåïëà ìîùíîñòüþ q0 �const. Íà ãðàíè÷- íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K x z x z0 0� � � �{( , , ) :| | , | | }� , K x y z xn n� � �{( , , ) :| | , | | }z � � ïëàñòèíû çàäàíû êðàåâûå óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà, à íà ïîâåðõíîñòÿõ ñîïðÿæåíèÿ K x y z x h zj j� �{( , , ) : | , | | }� ( , )j n� 1 1 ðàçíîðîäíûõ ñëîåâ ïëàñòèíû, ãäå y j — òîëùèíà j-ãî ñëîÿ, è ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K h y z y y zn� � � � � �{( , , ) : , | | }0 � âêëþ÷åíèÿ îñóùåñòâëÿåòñÿ èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò (ðèñ. 1). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è. Còàöèîíàðíîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå t x y( , ) â ïðèâåäåííîé ñèñòåìå íàõîäèì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè [11, 12] div grad[ ( , ) ] ( )� x y q S h x� 0 (1) ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè x �� �0, � � � � � �x y yx y y yn �� � � � � � 0 0, (2) ãäå� ( , )x y — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû, � � � �( , ) [ ( ) ( )] ( , )x y S h x N y y j n j j j� � � � 1 0 1 ; (3) � j è � 0 — êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëîâ ñîîòâåòñòâåííî j-ãî ñëîÿ ïëàñòèíû è âêëþ÷åíèÿ; � t tc — èçáûòî÷íàÿ òåìïåðàòóðà; tc — Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 65 Ðèñ.1. Ñå÷åíèå èçîòðîïíîé ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì ïëîñêîñòüþ z � 0: 1, 2 — ñëîè ïëàñòèíû òåìïåðàòóðà âíåøíåé ñðåäû; N y y S y y S yj j j( , ) ( ) ( ) � � � 1 1 1 ; y0 0� ; S �( )� — àñèììåòðè÷åñêèå åäèíè÷íûå ôóíêöèè [13], S � � � � � � � �� ( ) , , , , , , , . � � � � 1 0 0 5 0 5 0 0 0 � Ââåäåì ôóíêöèþ T x y�� ( , ) (4) è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åå ïî ïåðåìåííûì x è y c ó÷åòîì (3).  ðåçóëüòà- òå ïîëó÷èì � � � � � � � �( , ) ( ) ( ) ( , )x y x T x x h N y y x h j n j j� � � � � � 1 0 1 , � � � � � � � �( , ) ( ) ( )x y y T y y y j n j j y y j j � � � � �� 1 1 1 . (5) Çäåñü � � � � � ��( ) ( )dS d — àñèììåòðè÷åñêèå äåëüòà-ôóíêöèè Äèðàêà [13]. Ïîäñòàâèâ (5) â ñîîòíîøåíèå (1), ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâ- íåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ñ ðàçðûâíûìè è ñèíãóëÿðíûìè êîýôôè- öèåíòàìè � � � �T x h N y y x h j n j j� � � � � �( ) ( ) ( , ) 1 0 1 � � � � � � � j n j j y y j j y y q S h x 1 1 1 0( ) ( ) ( )� � � , (6) ãäå � — îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäè- íàò, � � � � � � � 2 2 2 2x y . Ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè. Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ ( , )�h y â âèäå ( , ) ( ) (( ) ( ) ( ) (� � � � � � � � �h y S y yjh k m k jh k jh k1 1 1 1 j )* ) , (7) Â.È. Ãàâðûø 66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 ãäå y y y k j j j ( )* ] , [� 1 ; y y yj j m j 1 2 1 ( ) ( ) ( )* * * ...� � � ; m — ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåð- âàëà ] , [y yj j 1 ; k jh( )� (k m�1, , j n�1, ) — íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ. Ïîäñòàâèâ (7) â óðàâíåíèå (6), ïîëó÷èì � � � � � � �T y y j n j j y y j j n j j � � � � � � � � �� � 1 1 1 1 0( ) ( ) ( )[ ( )( ( , )( )x h N y yjh j � 1 1 � � � � � � k m k jh k jh k j jN y y y x h 1 1 1 ( ) ( , , )) ( )(( ) ( ) ( )* � 1 1 ( ) ( , ) �jh jN y y � � � � k m k jh k jh k j jN y y y q S h 1 1 1 0( ) ( , , ))] (( ) ( ) ( )* x ), (8) ãäå N y y y S y y S y y k j j k j j ( , , ) ( ) ( )( ) ( )* * � � . Ïðèìåíèâ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå x ê óðàâ- íåíèþ (8) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2) ñ ó÷åòîì (4), ïðèõîäèì ê îáûêíîâåííî- ìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè d T dy T y y j n j j y y j j 2 2 1 1 1 � � � � � ��� � � �� ( ) ( ) � � � � � �1 2 1 0 1 1 � � � � �i e N y y j n j i h jh j( )[ ( ( , )( ) � � � � k m k jh k jh k j j i hN y y y e 1 1 1 1 ( ) ( , , )) (( ) ( ) ( ) (* � �jh jN y y) ( , )1 � � � � � k m k jh k jh k j jN y y y q 1 1 1 02 ( ) ( , , ))] si( ) ( ) ( )* � n�h � � � (9) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì dT dy dT dyy y yn� � � � 0 0 , (10) ãäå T — òðàíñôîðìàíòà ôóíêöèè T, T e Tdxi x� � � 1 2� � ; � — ïàðàìåòð èíòå- Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 67 ãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå; i � 1— ìíèìàÿ åäèíèöà. Ðåøèâ óðàâ- íåíèå (9), ïîëó÷èì T C ch y C sh y y ch y y S j n j j j j� � � � � ��1 2 1 1 1� � � � !� " �( ) , ( ) ( )y y j � � � � � � ��1 2 1 0 1� � � � ��i e ch y y S y y j n j i h jh j j( )[ ( ( ( ) (( ) ) � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch y 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y S y y k j k j( ) ( )* * ) ( ) � � �N y y y e ch y y S y y k j j i h jh j j( , , ))) ( ( ( ) ( )( ) ( )* � � 1 � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y y S y y k j k j � ( ) ( )* * ) ( ) � � � � � N y y y q h k j j( , , )))] sin( )* 2 0 2� � , (11) ãäå C1, C 2 — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Âåëè÷èíû �( , )y j ( j n� 1 1, ) îïðåäåëÿåì, ðåøèâ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé � � � � � � !� "s s s s j n j j jy C ch y C sh y y c( , ) ( ) ,� � � � ��1 2 1 1 1 h y ys j� ( ) # # � � � � � � �S y y i e ch ys j j n j i h jh s( ) ( )[ ( ( (( )1 2 1 0 1� � � � �� �y S y yj s j) ( ) � � � ch y y S y y N y ys j s j s j�( ) ( ) ( , ))1 1 1 � � � �� k m k jh k jh s j s jch y y S y y 1 1 1 ( )( ( ) ( )( ) ( ) � � ch y y S y y N y y ys k j s k j s k j j� ( ) ( ) ( , , )))( ) ( ) ( )* * * � �e ch y y S y y ch y y Si h jh s j s j s j � � �( ( ( ) ( ) ( ) (( ) 1 1 y ys j � 1 ) � � � � �N y y ch y ys j k m k jh k jh s j( , )) ( )( ( )( ) ( ) 1 1 1 1 � S y ys j� ( ) Â.È. Ãàâðûø 68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 � � ch y y S y y N y y y q s k j s k j s k j j� ( ) ( ) ( , , )))]( ) ( ) ( )* * * 2 0 2� �sin h � � � â âèäå � � �( , ) ( ) ( )y c F c Fs s c s s� � �1 2 � � � � � � � � �1 2 1 0 1 1 1 � � � � $ ��i e j n j i h jh s j k m ( )[ ( ( ) (( ) ( ) % � k jh k jh sk j � 1 ( ) ( ) ( )) ( )) � � � �e i h jh s j k m k jh k jh� $ � %( ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 sk j s q( ) ( ))] (� � �"� � � � 2 0 2 & , s n� 1 1, , (12) ãäå F ch yc 1 1 1 ( )� � � � ; F ch y ch y y Fr c r r r r c( ) ( ) ( ) (� � � � � � � ' ' ' ' '� � ( ) * � ��1 1 1 1 ) + , - ; F sh ys 1 1 1 ( )� � � � ; F sh y sh y y Fr s r r r r s( ) ( ) ( ) ( )� � � � � � � ' ' ' ' '� � ( ) � ��1 1 1 1* + , - ; $ � � �1 1 1 1( ) ( )j ch y � ; $ � � � �r j r r j r jch y y ch y y( ) ( ) [ ( ) ( )� � 1 1 1 � � �� ' ' ' ' '� � � $ � 1 1 1 r r jch y y( ) ( ) ( )]( ) ; % � � � �1 1 1 1 k j j k jch y y ch y y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * � ; % � � � � rk j r r j r k jch y y ch y y( ) ( )( ) [ ( ) ( ) * � � 1 � � �� ' ' ' ' '� � � % � 1 1 1 r r k jch y y( ) ( ) ( )]( ) ; & � �1 1 1 ( ) � ; & � � � � � � ' ' ' ' 'r r r rch y y( ) ( ) ( ) ( )� � ��1 1 1 1 & , r n� 2 1, . Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (10) íàõîäèì ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ: C1 1� � �/ * , C 2 0� . (13) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 69 Çäåñü � � � � � �* ( ) ( ) ( )� � � ��sh y F sh y yn j n j j j c n j 1 1 1 ; � �1 1 1 2 � � � * , ãäå �1 1 0 1 * ( )( ){ [ ( ( ) (� � �i e sh y y sh y y j n j i h jh n j n j� � � �� �1 ) � � � � � �� � l n l l l j n l k m k sh y y 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )) (( ) (� � $ � � jh k jh nsh y) ( ) )( ( � � � ��y sh y y sh yj n k j l n l l lk j) ( ) ( ) ( ) (( ) ( )* � � � % � � 1 1 1 n ly ))] � e sh y y sh y yi h jh n j n j � � �[ ( ( ) ( )( ) 1 1 � � � �� l n l l l j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))( )� � $ � � � � � � k m k jh k jh n j n k jsh y y sh y y 1 1 1 ( )( ( ) (( ) ( ) ( � � )* ) (� � �� l n l 1 1 1� � % � � � � �l lk j n l j n j j j sh y y q ) ( ) ( ))]} ( )( ) � � �� 2 0 2 1 1 1 & ( ) ( )� �sh y yn j . Ïðèìåíèâ ê âûðàæåíèþ (11) îáðàòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå, ñ ó÷åòîì (12), (13) ïîëó÷èì T x h ch y y j n j jh j� � � � � � �1 1 0 1 0 1� � � � � �( )[sin ( )( ( (( ) ) ( )S y y j� � � � ch y y S y y N y yj j j� ( ) ( ) ( , )1 1 1 � � � �� l n l l l j l lch y y S y y ch y 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (( ) * � � $ � � � � sh y yn j� ( ) � � ��sh y y sh y yn j l n l l l j n l� � � $ � �( ) ( ) ( ) ( )))( ) 1 1 1 1 � � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch y 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y S y y k j k j( ) ( )* * ) ( )� � Â.È. Ãàâðûø 70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 � � � ��N y y y ch y y k j j l n l l lk j( , , ) ( ) ( ) (( ) ( )* 1 1 1 1� � � �. l lS y y) ( )� � ch y sh y y sh y yn j n k j� � � �* ( )( ( ) ( ) * � � �� l n l l lk j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))))( )� � � �. � � �sin ( )( ( ( ) ( ) ( )( )� � �x h ch y y S y y ch y y Sjh j j j1 1 ( )y y j � 1 � � � � ��N y y ch y y S y yj l n l l l j l( , ) ( ) ( ) ( ) (( ) 1 1 1 1� � $ � � l ) � ch y sh y y sh y yn j n j � � � �* ( ( ) ( )1 � � � �� l n l l l j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( )))( )� � $ � � � � � �� k m k jh k jh j jch y y S y y ch 1 1 1 ( )( ( ) ( ) (( ) ( ) � � y y S y y k j k j �� ( ) ( )* * ) ( ) � � � ��N y y y ch y y k j j l n l l lk j( , , ) ( ) ( ) (( ) ( )* 1 1 1 1� � � �. l lS y y) ( )� � ch y sh y y sh y yn j n k j� � � �* ( )( ( ) ( ) * � � � �� l n l l lk j n lsh y y 1 1 1( ) ( ) ( ))))]( )� � � �. � � ( ) * � �� 2 10 2 1 1 1 q h x ch y y j n j j j j � � � � � � �sin cos ( ) ( ) (& ) ( )S y y j� + , - � � �� �� ch y sh y y d j n j j j n j � � � � � � � & * ( ) ( ) ( ) 1 1 1 . (14) Íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ òåìïåðàòóðû k jh( )� (k m�1, ; j n�1, ) íàõîäèì, ðåøèâ ñèñòåìó 2 n m ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé, ïîëó÷åííóþ èç âûðàæåíèÿ (14). Èòàê, èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå â ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñ- òèíå ñî ñêâîçíûì òåïëîâûäåëÿþùèì âêëþ÷åíèåì îïèñûâàåò ôîðìóëà Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 71 (14), èç êîòîðîé ïîëó÷àåì çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïëàñòèíû (â åå ðàçíîðîäíûõ ñëîÿõ, â îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ è íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ ðàçíîðîäíûõ ñëîåâ). Ïðèìåð è àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ. Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ïëàñòèíó ñî ñêâîçíûì èíîðîäíûì âêëþ÷åíèåì, äëÿ êîòîðîé âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç áåçðàçìåðíîé èçáûòî÷íîé òåìïåðàòóðû T T q h* / ( )� 0 2 ïðè òàêèõ èñõîäíûõ äàííûõ: ìàòåðèàë ïëàñòèíû — êåðàìèêà ÂÊ94-I, !�1 13 4� #, / ( )W m K ; ìàòåðèàë âêëþ÷åíèÿ — ñåðåáðî !� 0 419� #W m K/ ( ); n � 10 — ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåðâàëà ] , [0 1Y ; Y y h1 1 1� �/ . Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ X x h� / è Y y h� / êîîðäèíàò. Êàê âèäèì, òåìïåðàòóðà äîñòèãàåò ìàêñè- ìóìà â îáëàñòè äåéñòâèÿ ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûõ â èíîðîäíîì âêëþ- ÷åíèè âíóòðåííèõ èñòî÷íèêîâ òåïëà. Â.È. Ãàâðûø 72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6 Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò X è Y T * 4 3 2 1 0 1 0 Y X = 0 2 Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû Y Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíî èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû T* â çàâèñèìîñòè îò êîîð- äèíàòû Y ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ X. Êàê âèäíî èç ðèñ. 3, òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ ëèíåéíî è ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííà äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé X. Ïðè ýòîì ðàçëè÷èå ìåæäó åå çíà÷åíèåì â îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ (X �0) è â ïëàñòèíå âíå åãî (X �2) íåñóùåñòâåííîå, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ïðåäëîæåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Âûâîäû Ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÷èñëåííî- àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (14) ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè (1), (2) ïîçâîëÿåò â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ðàññìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðû âû÷èñëÿòü çíà- ÷åíèÿ òåìïåðàòóðû íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ, ïðîãíîçèðîâàòü ðåæèìû ðàáîòû îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ è èäåíòèôèöèðîâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, ÷òî ñïîñîáñòâóåò ïîâûøåíèþ òåðìîïðî÷íîñòè è óâåëè÷èâàåò ñðîê èõ ýêñïëóàòàöèè. A heat equation with discontinuous and singular coefficients for an isotropic multi-layer plate with thermally insulated surfaces which contains a heat-generating foreign through inclusion has been deduced with the use of generalized functions. A numerical-analytical solution for the heat equation with boundary conditions of the second kind has been constructed using a piecewise lin- ear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and Fourier inte- gral transform. The numerical analysis of a single-layer infinite plate with a through heat-genera- ting inclusion has been made. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Áåëÿåâ Í.Â., Ðÿäíî À.À. Ìåòîäû òåîðèè òåïëîïðîâîäíîñòè. ×. I. — Ì. : Âûñø. øê., 1982. — 327 ñ. 2. Íåìèðîâñêèé Þ. Â., ßíêîâñêèé À.Ï. Ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñëîèñòûõ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé //Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. — 2008. — 51, ¹ 2. — Ñ. 222—238. 3. Íåìèðîâñêèé Þ.Â., ßíêîâñêèé À.Ï. Àñèìïòîòè÷åñêèé àíàëèç çàäà÷è íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ñëîèñòûõ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ ïåðâîãî è òðåòüåãî ðîäà íà ëèöåâûõ ïîâåðõíîñòÿõ // Òàì æå. — 2007. — 50, ¹ 2. — Ñ. 160—175. 4. Havrysh V.I., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a piecewise ho- mogeneous with foreign inclusion // Materials Science. — 2012. — 47, ¹ 6. — P. 773— 782. 5. Havrysh V.I., Fedasyuk D.V., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a layer with foreign cylindrical inclusion // Ibid. — 2011. — 46, ¹ 5. — P. 702—708. 6. Gavrysh V.I. Thermal state modelling in thermosensitive elements of microelectronic de- vices with reach-through foreign inclusions // Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics. — 2012. — 15, ¹ 3. — P. 247—251. 7. Gavrysh V. Modelling the temperature conditions in the three-dimensional piecewise homo- geneous elements of microelectronic devices // Ibid. — 2011. — 14, ¹ 4. — P. 478—482. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2013. Ò. 35. ¹ 6 73 8. Ãàâðûø Â.È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâàõ ñî ñêâîçíûìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè//Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 4.— Ñ. 99—107. 9. Ãàâðûø Â.È.,Êîñà÷ À.È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíèõ ðåæèìîâ â ýëåìåíòàõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ // Òåõíîëîãèÿ è êîíñòðóèðîâàíèå â ýëåêòðîííîé àïïà- ðàòóðå. — 2011. — ¹ 1—2 (90). — C. 27—30. 10. Fedasyuk D., Gavrysh V. Modelling of temperature conditions in electrical devices of inhomogeneous structure // Computational Problems of Electrical Engineering. — 2012. — 2, ¹ 1. — P. 25—28. 11. Ïîäñòðèãà÷ ß.Ñ., Ëîìàêèí Â.À., Êîëÿíî Þ.Ì. Òåðìîóïðóãîñòü òåë íåîäíîðîäíîé ñòðóêòóðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 368 ñ. 12. Êîëÿíî Þ.Ì. Ìåòîäû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåðìîóïðóãîñòè íåîäíîðîäíîãî òåëà. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ. 13. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 720 ñ. Ïîñòóïèëà 14.10.13 ÃÀÂÐÛØ Âàñèëèé Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà».  1982 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò èì. È. Ôðàíêî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè â òåëàõ êóñî÷íî- îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû, ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíèõ è íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè. Â.È. Ãàâðûø 74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2013. V. 35. ¹ 6

Схожі ресурси