Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков
Получены общие выражения для определения математического ожидания и дисперсии оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков, которые позволяют вычислять среднеквадратические ошибки оценок этих коэффициентов. Проанализированы ошибки оценок кумулянтных коэффициентов γs, s=3, 6, некоторых...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100982 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков / В.С. Берегун, О.В. Гармаш, А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 1. — С. 17-28. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860073632309444608 |
|---|---|
| author | Берегун, В.С. Гармаш, О.В. Красильников, А.И. |
| author_facet | Берегун, В.С. Гармаш, О.В. Красильников, А.И. |
| citation_txt | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков / В.С. Берегун, О.В. Гармаш, А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 1. — С. 17-28. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Получены общие выражения для определения математического ожидания и дисперсии оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков, которые позволяют вычислять среднеквадратические ошибки оценок этих коэффициентов. Проанализированы ошибки оценок кумулянтных коэффициентов γs, s=3, 6, некоторых типовых симметричных распределений при фиксированном объеме выборки. Определен минимальный объем выборки, при котором обеспечивается наперед заданная относительная ошибка оценок кумулянтных коэффициентов этих распределений.
Отримано загальні вирази для визначення математичного сподівання та дисперсії оцінок кумулянтних коефіцієнтів п’ятого та шостого порядків, які дозволяють обчислювати середньоквадратичні помилки оцінок цих коефіцієнтів. Проаналізовано помилки оцінок кумулянтних коефіцієнтів γs, s=3, 6, деяких типових симетричних розподілів при фіксованому об’ємі вибірки. Визначено мінімальний об’єм вибірки, при якому забезпечується наперед задана відносна помилка оцінок кумулянтних коефіцієнтів цих розподілів.
General expressions have been obtained for determining mathematical expectation and dispersion of estimates for cumulant coefficients of the fifth and sixth orders which permit calculating mean-root-square errors of estimates of these coefficients. Estimation errors of cumulant coefficients γs, s=3, 6, some type symmetric distributions at the fixed volume of a sample have been analyzed. Minimum volume of the sample is determined, when a preset relative error of estimates of cumulant coefficients of these distributions is provided.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:12:00Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.22:681.2.08
Â.Ñ. Áåðåãóí, êàíä. òåõí. íàóê, Î.Â. Ãàðìàø,
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «ÊÏÈ»
(Óêðàèíà, 03056 Êèåâ, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 16, êîðï. 12,
òåë. (044) 4549072, å-mail: viktorberegun@i.ua; îks.garmash@gmail.com),
À.È. Êðàñèëüíèêîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû,
(Óêðàèíà, 03057 Êèåâ, óë. Æåëÿáîâà, 2à,
òåë. (044) 4532857, å-mail: tangorov@voliacable.com)
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ
êîýôôèöèåíòîâ ïÿòîãî è øåñòîãî ïîðÿäêîâ
Ïîëó÷åíû îáùèå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè
îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïÿòîãî è øåñòîãî ïîðÿäêîâ, êîòîðûå ïîçâîëÿþò
âû÷èñëÿòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïðîàíàëèçèðîâà-
íû îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ �s, s � 3 6, , íåêîòîðûõ òèïîâûõ ñèììåò-
ðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå âûáîðêè. Îïðåäåëåí ìèíèìàëüíûé
îáúåì âûáîðêè, ïðè êîòîðîì îáåñïå÷èâàåòñÿ íàïåðåä çàäàííàÿ îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà
îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ýòèõ ðàñïðåäåëåíèé.
Îòðèìàíî çàãàëüí³ âèðàçè äëÿ âèçíà÷åííÿ ìàòåìàòè÷íîãî ñïîä³âàííÿ òà äèñïåðñ³¿ îö³íîê
êóìóëÿíòíèõ êîåô³ö³ºíò³â ï’ÿòîãî òà øîñòîãî ïîðÿäê³â, ÿê³ äîçâîëÿþòü îá÷èñëþâàòè ñå-
ðåäíüîêâàäðàòè÷í³ ïîìèëêè îö³íîê öèõ êîåô³ö³ºíò³â. Ïðîàíàë³çîâàíî ïîìèëêè îö³íîê
êóìóëÿíòíèõ êîåô³ö³ºíò³â �s, s � 3 6, , äåÿêèõ òèïîâèõ ñèìåòðè÷íèõ ðîçïîä³ë³â ïðè ô³ê-
ñîâàíîìó îá’ºì³ âèá³ðêè. Âèçíà÷åíî ì³í³ìàëüíèé îá’ºì âèá³ðêè, ïðè ÿêîìó çàáåçïå÷óºòü-
ñÿ íàïåðåä çàäàíà â³äíîñíà ïîìèëêà îö³íîê êóìóëÿíòíèõ êîåô³ö³ºíò³â öèõ ðîçïîä³ë³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: îöåíêà, ìîìåíòû, êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû, ñðåäíåêâàäðàòè-
÷åñêàÿ îøèáêà, îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ðåøåíèå ìíîãèõ ïðèêëàäíûõ çàäà÷ [1—3], îñíîâàííûõ
íà âåðîÿòíîñòíîì ïîäõîäå, áàçèðóåòñÿ íà íåãàóññîâñêèõ ìîäåëÿõ èññëå-
äóåìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ïðè àíàëèçå íåãàóñ-
ñîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò êóìóëÿíòíûå êîýôôè-
öèåíòû � � ��s s
s� / /2. Çäåñü �s — êóìóëÿíòû ðàñïðåäåëåíèÿ [4, 5],
�s
s
s s
u
d f u
i d u
�
�
ln ( )
0
,
ãäå f u( ) — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ; i � �1.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 17
� Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ, 2014
Èç âñåõ êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ÷àùå âñåãî èñïîëüçóþòñÿ êîýô-
ôèöèåíòû àñèììåòðèè � 3 è ýêñöåññà � 4, ÿâëÿþùèåñÿ ïðîñòûìè è óäîá-
íûìè ÷èñëîâûìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ïîêàçûâàþùèìè ñòåïåíü îòëè÷èÿ
èññëåäóåìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îò ãàóññîâñêîãî, äëÿ êîòîðîãî � s = 0 ïðè s � 3.
Ñ èñïîëüçîâàíèåì êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4 îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð àïïðîê-
ñèìèðóþùèõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòè èç ñèñòåì ðàñïðåäåëåíèé Ïèðñîíà
[6] è Äæîíñîíà [7]. Â ðàáîòå [8] êîýôôèöèåíòû � 3 è � 4 èñïîëüçîâàíû â
êà÷åñòâå èíôîðìàòèâíûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ äèàãíîñòèêè ïîäøèïíèêîâ êà-
÷åíèÿ. Îäíàêî èñïîëüçîâàíèå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ òîëüêî êîýôôèöèåíòîâ
àñèììåòðèè � 3 è ýêñöåññà � 4 ìîæåò ïðèâåñòè ê îøèáî÷íûì ðåçóëüòàòàì. Â
÷àñòíîñòè, íåòðóäíî óáåäèòñÿ, ÷òî çíà÷åíèÿì � 3 = 0 è � 4 = 3 ñîîòâåòñòâóþò
ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà è Ñòüþäåíòà ñ ïàðàìåòðîì = 6, ñâîéñòâà êîòîðûõ
ñóùåñòâåííî ðàçëè÷íû.
Êðîìå òîãî, ïðè ðåøåíèè ðÿäà ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ âîçíèêàåò íåîáõî-
äèìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ âûøå ÷åòâåðòîãî
ïîðÿäêà. Íàïðèìåð, êîýôôèöèåíòû � s, s �3 6, , íåîáõîäèìû äëÿ àïïðîêñè-
ìàöèè íåãàóññîâñêîé ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè îòðåçêàìè îðòîãîíàëüíûõ
ðÿäîâ [9], ãàóññîâñêîé ñìåñüþ ðàñïðåäåëåíèé [10], ïðèáëèæåííîãî íàõîæ-
äåíèÿ ïóàññîíîâñêîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè áåçãðàíè÷íî äåëèìûõ ñëó-
÷àéíûõ âåëè÷èí [11].  ðàáîòå [12] èññëåäîâàíà âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ
êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � s, s �3 6, , äëÿ ðàííåé äèàãíîñòèêè çàáîëå-
âàíèé êîëåííûõ ñóñòàâîâ.
Ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ èñïîëü-
çóþòñÿ èõ îöåíêè �� s, ïîëó÷àåìûå ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì. Ïî-
ñêîëüêó ëþáûå îöåíêè ÿâëÿþòñÿ ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, íåîáõîäèìî çíàòü
îøèáêè îöåíîê, â ÷àñòíîñòè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè, âûðàæàåìûå
÷åðåç ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ îöåíîê.  ðàáîòàõ [4, 5] ïî-
ëó÷åíû ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ � s, s � 3 4, . Äëÿ s � 5 òàêèå ðåçóëüòàòû íåèçâåñòíû.
Îïðåäåëèì ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèè îöåíîê êóìóëÿíò-
íûõ êîýôôèöèåíòîâ � s, s � 5 6, , ÷òî ïîçâîëèò íàõîäèòü ñðåäíåêâàäðàòè-
÷åñêèå îøèáêè îöåíîê ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è îñíîâíûå èñõîäíûå ôîðìóëû. Ïóñòü èìååòñÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
, ó êîòîðîé ñóùåñòâóþò êóìóëÿíòû �s, s �1 12, . Â
ðåçóëüòàòå ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòà ñî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé
ïîëó÷àåì
âûáîðêó
1 ,..., N îáúåìà N, ýëåìåíòû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè
îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè. Íåîáõîäèìî ïîëó-
÷èòü ôîðìóëû äëÿ îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � s, s �5 6, , è íàéòè
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè ýòèõ îöåíîê.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû èñïîëüçóþòñÿ
ðàçëè÷íûå ìåòîäû [5, 13, 14], â ÷àñòíîñòè ìåòîä ìîìåíòîâ, ìåòîä ìàêñè-
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
ìàëüíîãî ïðàâäîïîäîáèÿ, ìåòîä íàèìåíüøèõ êâàäðàòîâ, ìåòîä ìàêñèìè-
çàöèè ïîëèíîìà è äð. Ôîðìóëû äëÿ îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
� s, s �5 6, , íåñëîæíî ïîëó÷èòü ïî ìåòîäó ìîìåíòîâ, èñïîëüçóÿ èçâåñòíûå
ñîîòíîøåíèÿ [4, 5], âûðàæàþùèå êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû ÷åðåç öåíò-
ðàëüíûå ìîìåíòû:
�
� � �
( � ) /
�
� � �
�
5
5 3 2
2
5 2
10
�
�
, (1)
�
� � � ( � )
( � )
�
� � � �
�
6
6 4 2 3
2
2
3
15 10
30�
� �
� ,
(2)
ãäå ��s — îöåíêè öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ,
� ( � )�
s
k
N
k
s
N
m� �
�
1
1
, �m
N k
N
k�
�
1
1
.
 ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêå [4, 5, 13, 15] îñíîâíûìè õàðàêòåðèñ-
òèêàìè êà÷åñòâà îöåíîê ëþáîãî ïàðàìåòðà � ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
ÿâ-
ëÿþòñÿ íåñìåùåííîñòü è ñîñòîÿòåëüíîñòü îöåíêè ��. Îöåíêà �� ïàðàìåòðà�
íàçûâàåòñÿ íåñìåùåííîé, åñëè åå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ðàâíî � ïðè
ëþáîì îáúåìå âûáîðêè, ò.å. M{��� �� . Åñëè äàííîå óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ,
òî îöåíêà �� ÿâëÿåòñÿ ñìåùåííîé, à âåëè÷èíà �{� {��� ��� ��M íàçûâàåòñÿ
ñìåùåíèåì îöåíêè. Åñëè ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà âûáîðêè ñìåùåíèå ñòðå-
ìèòñÿ ê íóëþ, òî îöåíêà ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè íåñìåùåííîé.
Îöåíêà �� íàçûâàåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé, åñëè ïðè óâåëè÷åíèè îáúåìà
âûáîðêè îíà ñõîäèòñÿ ïî âåðîÿòíîñòè ê ïàðàìåòðó �. Êðèòåðèåì ñîñòîÿ-
òåëüíîñòè ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèÿ lim {�
N ��
�D �� 0.  òåõíè÷åñêèõ çà-
äà÷àõ [15, 16] õàðàêòåðèñòèêîé òî÷íîñòè îöåíêè �� ïàðàìåòðà � ÿâëÿåòñÿ
ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêàÿ îøèáêà
� ���� ���� ���� [ {� {�D , (3)
â êîòîðîé äèñïåðñèÿ D{��� õàðàêòåðèçóåò ñëó÷àéíóþ îøèáêó îöåíêè, à
ñìåùåíèå �{���— åå ñèñòåìàòè÷åñêóþ îøèáêó. Ïðè óñëîâèè � � 0 óäîáíî
ðàññìàòðèâàòü îòíîñèòåëüíóþ îøèáêó îöåíêè �� â âèäå
� � �� / . (4)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè îöåíîê (1) è
(2), âõîäÿùèõ â ôîðìóëó (3), âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíîé òåîðåìîé [4], ñóòü
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 19
êîòîðîé çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü H k( � , ..., � )� �1 — ôóíêöèÿ îò
îöåíîê ìîìåíòîâ. Òîãäà
� �M{ ( � , ..., � )} ( , ..., )H H O Nk k� � � �1 1 1� � ,
(5)
D{ ( � , ..., � )} {� , � } ( )
,
/H H H O Nk
j l
k
j l l j� � � � �1
1
11
3 21� �
�
, (6)
ãäå H j — çíà÷åíèÿ ïåðâûõ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè H k( � , ..., � )� �1 â
òî÷êàõ �� �j j� , j k�1, ; � � �11 {� , � }l j — ñìåøàííûé âòîðîé öåíòðàëüíûé
ìîìåíò îöåíîê öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ l-ãî è j-ãî ïîðÿäêîâ,
� � �
� � � � � � � � �
11
1 1 1 1 2
{� , � }l j
l j l j l j l j ll j lj
�
� � � �� � � � � �1 1
2
1� j
N
O
N
� � �
�
� �
�
; (7)
O g x( ( ))— âåëè÷èíà òîãî æå ïîðÿäêà, ÷òî è ôóíêöèÿ g x( ).  ñëó÷àå, êîãäà
ïîðÿäêè ðàâíû, l j� , ôîðìóëà (7) ïðèìåò âèä
� � � � �
� � � � � �
11 2
2 1 1
2 2
2 1
22
{� , � } {� }l l l
l l l l ll l
N
� �
� � �� � � � �
�
� �
�
O
N
1
2
, (8)
ãäå � �2 {� }l — äèñïåðñèÿ îöåíêè öåíòðàëüíîãî ìîìåíòà l-ãî ïîðÿäêà.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè îöåíèâàíèè ìîìåíòîâ òðåáóþòñÿ áîëüøèå îáúåìû
âûáîðîê N, â äàëüíåéøåì âòîðûìè ñëàãàåìûìè â ôîðìóëàõ (5)—(8) áóäåì
ïðåíåáðåãàòü.
Îøèáêè îöåíêè êóìóëÿíòíîãî êîýôôèöèåíòà �� 5. Ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå îöåíêè (1) êîýôôèöèåíòà � 5 íà îñíîâàíèè (5) èìååò âèä
M{� }
) /
�
� � �
��
�5
5 3 2
2
5 2 5
10
�
�
� , (9)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà (1) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, ò.å. ñèñòåìàòè÷åñ-
êàÿ îøèáêà îòñóòñòâóåò.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñëó÷àéíîé îøèáêè îöåíêè (1) îïðåäåëèì åå äèñïåð-
ñèþ. Çàïèøåì âûðàæåíèå (6) ñ ó÷åòîì (1):
D{� } {� } {� } {� } {�� � � � � � � �5 1
2
2 2 2
2
2 3 3
2
2 5 1 2 112� � � �H H H H H � �2 3, � }�
� �2 2
1 3 11 2 5 2 3 11 3 5H H H H� � � � � �{� , � } {� , � }. (10)
Íàéäåì ñîñòàâëÿþùèå âûðàæåíèÿ (10), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (7) è (8):
H
H
s s
1
2 3 5
2
2 3 5
2
7 2
30 5
2
� �
�
�
! � � �
!�
� � �
�� �
( � , � , � )
�
�
/
,
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
H
H
s s
2
2 3 5
3 2
3 2
10
� � �
�
! � � �
!� �� �
( � , � , � )
�
�
/
, H
H
s s
3
2 3 5
5 2
5 2
1
� �
�
! � � �
!� �� �
( � , � , � )
�
;
�
/ (11)
� �
� ��
�
2 2
4{ � }�
�
N
, (12)
� �
� � � � �"
� "
2 3
6 2 4 26 9
{ � }�
� � �
N
, (13)
� �
� � � � � �#
�
2 5
10 4 6 2 4
210 25
{ � }�
� � �
N
, (14)
� � �
� � �
11 2 3
5 2 34
{ � , � }�
�
N
, (15)
� � �
� � � � �
11 2 5
7 3 4 2 55
{ � , � }�
� �
N
, (16)
� � �
� � � � � � � �� �
$
11 3 5
8 4 2 6 3 5 25 3 15
{ � , � }�
� � � �
N
. (17)
Îáîçíà÷èì ÷åðåç M s íîðìèðîâàííûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû:
M s s
s� � ���
��. (18)
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (11)—(17) â ôîðìóëó (10) è ó÷èòûâàÿ (18), ïîñëå
ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì
D{� } /� 5 5� c N, (19)
ãäå
c M M M M M M M M5 3
2
4 3
2
3 4 5 3 575 875 50 435� � � � �
� � � � � �
25
4
191
4
900 160 900
4 5
2
5
2
6 4M M M M M
� � � � � �M M M M M M M M M
10 4 6 4
2
3 7 5 7 8
10 125 30 5 20 . (20)
Èç âûðàæåíèÿ (19) ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà (1) ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé.
Äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé âûðàæåíèÿ (9) è (20) ïðèíèìàþò
ñëåäóþùèé âèä:
M{� }� 5 0� ,
c M M M M M M M5 6 4 10 4 6 4
2
8160 900 900 10 125 20� � � � � � � . (21)
Îøèáêè îöåíêè êóìóëÿíòíîãî êîýôôèöèåíòà �� 6. Ìàòåìàòè÷åñêîå
îæèäàíèå îöåíêè (2) êîýôôèöèåíòà � 6 íà îñíîâàíèè (5) çàïèøåì â âèäå
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 21
M{� }
( )
( )
�
� � � �
�
�6
6 4 2 3
2
2
3 6
15 10
30�
� �
� � ,
(22)
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà (2) ÿâëÿåòñÿ íåñìåùåííîé, ò.å. ñèñòåìàòè÷åñ-
êàÿ îøèáêà îòñóòñòâóåò.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñëó÷àéíîé îøèáêè îöåíêè (2) ïîëó÷èì åå äèñïåðñèþ.
Çàïèøåì âûðàæåíèå (6) ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (2):
D{� } {� } {� } {� } {� }� � � � � � � � �6 1
2
2 2 2
2
2 3 3
2
2 4 4
2
2 6� � � �H H H H �
� � �2 2 2
1 2 11 2 3 1 3 11 2 4 1 4 11 2H H H H H H� � � � � � � �{� , � } {� , � } {� , � }�6 �
� � �2 2 2
2 3 11 3 4 2 4 11 3 6 3 4 11 4H H H H H H� � � � � � � �{� , � } {� , � } {� , � }�6 . (23)
Íàéäåì ñîñòàâëÿþùèå âûðàæåíèÿ (23), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (7) è (8):
H
H
s s
1
2 3 4 6
2
6 2 43 30 30
� �
� � �
�
! � � � �
!�
� � � �
� �
"
�( � , � , � , � )
�
�
�2
4
,
H
H
s s
2
2 3 4 6
3
3
2
3
20
� � �
�
! � � � �
!�
�
�� �
( � , � , � , � )
�
�
,
H
H
s s
3
2 3 4 6
4 2
2
15
� � �
�
! � � � �
!� �� �
( � , � , � , � )
�
�
, (24)
H
H
s s
4
2 3 4 6
6 2
3
1
� �
�
! � � � �
!� �� �
( � , � , � , � )
�
�
;
� �
� � � � � �$
� �
2 4
8 3 5 2 38 16
{ � }�
� � �
N
,
� �
� � � � � �%
�
2 6
12 5 7 2 5
212 36
{ � }�
� � �
N
,
� � �
� � � ��
11 2 4
6 3 2 44
{ � , � }�
� �
N
,
� � �
� � � � �
11 2 6
8 3 5 2 66
{ � , � }�
� �
N
, (25)
� � �
� � � � � � �� "
11 3 4
7 3 4 2 5 25 3 12
{ � , � }�
� � �
N
,
� � �
� � � � � � � � �� #
11 3 6
9 4 5 2 7 3 6 26 3 18
{ � , � }�
� � � �
N
,
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
� � �
� � � � � � � � ��
#
11 4 6
10 5 3 7 4 6 2 3
6 4 24
{ � , � }�
� � � �
N
.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (12), (13), (15), (24), (25) â ôîðìó-
ëó (23) ñ ó÷åòîì (18), ïîñëå óïðîùåíèÿ ïîëó÷àåì
D{� } /� 6 6� c N, (26)
ãäå
c M M M M M M M M M M6 3
4
4 3
4
3
2
4 6 3
2
6 4 6
2900 7100 180 1180 9 86� � � � � � M 6
2 �
� � � � � �1800 2100 180 225 840 9003
2
4
2
3
2
4 4
2
6 4
2
4 6M M M M M M M M M M 4
3 �
� � � � � � �14400 225 5040 60 12 2163
2
8 3 5 3
2
8 5 7 5
2M M M M M M M M M
� � � � � �1560 1320 156 603
3
5 3 4 5 3 5 6 12 4 8
M M M M M M M M M M M
� � � �6 840 40 30
6 8 3 7 3 9 10
M M M M M M M . (27)
Èç âûðàæåíèÿ (26) ñëåäóåò, ÷òî îöåíêà (2) ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿòåëüíîé.
Äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé âûðàæåíèÿ (22) è (27) ñ ó÷åòîì (18)
ïðèíèìàþò âèä
M{� }� 6 6 4
15 30� � �M M ,
c M M M M M M M M6 4 6
2
6
2
4
2
6 4
2
4 69 86 180 225 840� � � � � �
� � � � � �900 225 60 6 304
3
8 12 4 8 6 8 10
M M M M M M M M . (28)
Îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ òèïîâûõ ðàñïðå-
äåëåíèé. Ïðèìåíèì ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû äëÿ àíàëèçà îøèáîê îöåíîê
êîýôôèöèåíòîâ � s, s �3 6, , íåñêîëüêèõ òèïîâûõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðå-
äåëåíèé [17] (òàáë. 1). Äëÿ àíàëèçà îøèáîê îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4
âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè ðàáîòû [5]. Îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4
íàõîäèì ïî ôîðìóëàì
�
�
( � ) /
�
�
��
3
3
3 2
� , �
�
( � )
�
�
��
4
4
2
3� � .
Èõ ìàòåìàòè÷åñêèå îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè çàïèñûâàåì â âèäå [5]
M{� }� �3 3� , M{� }� �4 4� , D{� } /� 3 3� c N, D{� } /� 4 4� c N, ãäå c3, c4 — êîýô-
ôèöèåíòû, âû÷èñëÿåìûå ïî ôîðìóëàì
c M M M M M M M3 6 3 5 4 3
2
4 3
23 6
9
4
35
4
9� � � � � � , (29)
c M M M M M M M M M M4 8 4 6 3 5 4
3
4
2
3
2
4 3
24 8 4 16 16� � � � � � � , (30)
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 23
à ìîìåíòû M s — ïî ôîðìóëå (18). Îöåíêè êîýôôèöèåíòîâ � s, s �3 6, ,
ÿâëÿþòñÿ íåñìåùåííûìè, ïîýòîìó èõ ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè
èìåþò âèä � �s s sc N� �D{� } / è ïðè ôèêñèðîâàííîì îáúåìå âûáîðêè
çàâèñÿò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòîâ cs.
Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ cs îöåíîê �� s, s �3 6, , ðàññ÷èòàííûå ïî ôîð-
ìóëàì (21), (28)—(30), ïðèâåäåíû â òàáë. 2, èç êîòîðîé âèäíî, ÷òî ïðè
ôèêñèðîâàííîì îáúåìå N âûáîðêè ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê
âîçðàñòàþò ñ âîçðàñòàíèåì ïîðÿäêà îöåíèâàåìîãî êîýôôèöèåíòà è ñó-
ùåñòâåííî çàâèñÿò îò òèïà ðàñïðåäåëåíèÿ.
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
Pàñïðåäåëåíèå Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè Öåíòðàëüíûé ìîìåíò
Ãàóññîâñêîå p x
x m
( ) exp
( )
� �
�&
'
(
)
*
+
1
2 2
2
2, - ,
�
,
s s
s
s s s
�
�
� � . �
&
'
(
0
1 3 3 1
,
( ) ( )... ,
íå åòíîå;
åòíîå.
Ëàïëàñà p x x m( ) exp ( | | )� � �
1
2
/ / �
/
s
s
s
s
s
�
�
�
&
'
0
(0
0,
!
,
íå åòíîå;
åòíîå.
Ñòüþäåíòà p x
v
x
( )�
��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�1
1
-
1
2
2
1
2
1
2
,
ãäå 1 ( )x — ãàììà-ôóíêöèÿ
�
� � � $ �
s
s
s
s�
�
. . . . �
0
1 3 5 1 2
,
... ( )
( ) ( )... (
/
íå åòíîå;
s
s
)
, �
&
'
0
(
0 åòíîå,
2 s
Ëîãèñòè÷åñêîå p x
x m
x m
( )
exp
exp
�
��
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
3
45
6
78
/
/
/
1
2
�
�/-�
s s s
s
s
B s
�
�
� �
&
'
(
0
2 2
,
( ) | |,
íå åòíîå;
åòíîå,
ãäå Bs – ÷èñëà Áåðíóëëè, B2 1 6� / ,
B4 1 30�� / , B6 1 42� / , B8 1 30�� / ,
B10 5 66� / , B12 691 2730�� /
Òàáëèöà 1
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
Ðàñïðåäåëåíèå
Çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà
c3 c4 c5 c6
Ãàóññîâñêîå 6 24 120 720
Ëàïëàñà 63 1,188 · 103 7,2 · 104 4,479 · 106
Ñòüþäåíòà, = 13 15,810 204,868 8,601 · 103 1,435 · 106
Ñòüþäåíòà, = 200 6,282 26,317 140,555 918,077
Ëîãèñòè÷åñêîå 23,657 294,912 9,126 · 103 3,463 · 105
Òàáëèöà 2
Äëÿ ñðàâíåíèÿ â òàáë. 3 ïðèâåäåíû ðàññ÷èòàííûå ñðåäíåêâàäðàòè-
÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � s äëÿ âûáîðîê îáúå-
ìà N = 106. Èç òàáë. 3 âèäíî, ÷òî íàèáîëüøèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèá-
êè èìåþò îöåíêè êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ðàñïðåäåëåíèÿ Ëàïëàñà,
íàèìåíüøèå — ãàóññîâñêîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äèàïàçîí âîçìîæíûõ
çíà÷åíèé îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ. Åñëè èñïîëüçîâàòü ðåçóëü-
òàòû ðàáîòû [5] è ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îöåíêè èìåþò àñèìïòîòè÷åñêè ãàóñ-
ñîâñêîå ðàñïðåäåëåíèå, òî çíà÷åíèÿ îöåíîê ëåæàò â äèàïàçîíå M{� }� �s s93 ñ
âåðîÿòíîñòüþ 0,9973.
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè õàðàêòåðèçóþò âåëè÷èíó àáñîëþòíîãî
îòêëîíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ îöåíèâàíèÿ êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � s îò èõ
èñòèííûõ çíà÷åíèé. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî ñðàâíèòü ïðè ôèêñèðîâàí-
íîì îáúåìå N âûáîðêè îòíîñèòåëüíûå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýô-
ôèöèåíòîâ � s � 0, êîòîðûå â äàííîì ñëó÷àå èìåþò âèä
�
�
�
�
� �
s
s
s
s
s s
sc
N
� � �
D{� } 1
. (31)
 òàáë. 4 ïðèâåäåíû òåîðåòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ êóìóëÿíòíûõ êîýôôè-
öèåíòîâ � s è ðàññ÷èòàííûå îòíîñèòåëüíûå îøèáêè èõ îöåíîê äëÿ âûáîðîê
îáúåìà N = 106. Èç òàáë. 4 âèäíî, ÷òî äëÿ îöåíêè êîýôôèöèåíòà � 4 âñåõ
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 25
Ðàñïðåäåëåíèå
Çíà÷åíèå ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêîé îøèáêè
�3 �4 �5 �6
Ãàóññîâñêîå 0,002 0,005 0,011 0,027
Ëàïëàñà 0,008 0,034 0,268 2,117
Ñòüþäåíòà, = 13 0,004 0,014 0,093 1,198
Ëîãèñòè÷åñêîå 0,005 0,017 0,096 0,588
Òàáëèöà 3
Ðàñïðåäåëåíèå � s �s , %
Ëàïëàñà �4 3� 1,133
�6 30� 7,057
Ñòüþäåíòà, = 13 �4 0 6667� , 2,100
�6 3 8095� , 31,448
Ëîãèñòè÷åñêîå �4 1 2� , 1,417
�6 6 8571� , 8,575
Òàáëèöà 4
ðàññìîòðåííûõ ðàñïðåäåëåíèé ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ îáúåìîì âûáîðêè N =
= 106, äëÿ îöåíêè êîýôôèöèåíòà � 6 åãî íåäîñòàòî÷íî.
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (31), ìîæíî îïðåäåëèòü ìèíèìàëüíûé îáúåì âû-
áîðêè N min , ïðè êîòîðîì îáåñïå÷èâàåòñÿ çàäàííàÿ îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà� s:
N cs s smin / )� �� � 2.  òàáë. 5 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ îáúåìà âûáîðêè N min , îáåñ-
ïå÷èâàþùèå îòíîñèòåëüíóþ îøèáêó îöåíîê � s � 001, (1%) è � s � 005, (5%)
êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � 4 è � 6 .
Ðåçóëüòàòû, ïðèâåäåííûå â òàáë. 5, ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî äëÿ
ðàñïðåäåëåíèé, êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ ñóùåñòâåííî îòëè-
÷àþòñÿ îò íóëÿ (Ëàïëàñà, Ñòüþäåíòà ( = 13), ëîãèñòè÷åñêîãî), ïîðÿäîê
ìèíèìàëüíûõ îáúåìîâ âûáîðêè N min äëÿ îáåñïå÷åíèÿ îòíîñèòåëüíûõ
îøèáîê 1% è 5% äëÿ � 4 ñîñòàâëÿåò ñîîòâåòñòâåííî 106 è 105, à äëÿ � 6 — 107
è 106. Ïðè ñòðåìëåíèè çíà÷åíèé êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ê íóëþ
(ðàñïðåäåëåíèå Ñòüþäåíòà, = 200) íåîáõîäèìî ñóùåñòâåííîå óâåëè÷å-
íèå ìèíèìàëüíîãî îáúåìà âûáîðêè: äëÿ � 4 — íà äâà ïîðÿäêà, äëÿ � 6 — íà
÷åòûðå ïîðÿäêà.
Âûâîäû
Ïîëó÷åííûå ôîðìóëû ïîçâîëÿþò âû÷èñëÿòü ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêóþ îøèáêó
îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïÿòîãî è øåñòîãî ïîðÿäêîâ ïî èç-
âåñòíûì öåíòðàëüíûì ìîìåíòàì.
Íà îñíîâå ñðàâíèòåëüíîãî àíàëèçà ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèõ îøèáîê
îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ òèïîâûõ ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäå-
ëåíèé óñòàíîâëåíî, ÷òî äëÿ îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ � 4 è � 6,
çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò íóëÿ, îòíîñèòåëüíàÿ îøèá-
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
Ðàñïðåäåëåíèå � s
N min
ïðè �s
0 01, 0 05,
Ëàïëàñà �4 3� 1,32·106 0,053·106
�6 30� 49,77·106 1,991·106
Ñòüþäåíòà, = 13 �4 0 6667� , 4,610·106 0,184·106
�6 3 8095� , 988,618·106 39,545·106
Ñòüþäåíòà, = 200 �4 0 0306� , 2,808·108 0,112·108
�6 0 0063� , 2304,477·108 92,179·108
Ëîãèñòè÷åñêîå �4 1 2� , 2,048·106 0,082·106
�6 6 8571� , 73,655·106 2,946·106
Òàáëèöà 5
êà 5 % îáåñïå÷èâàåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî ïðè îáúåìå âûáîðêè íå ìåíüøå 105
è 106. Ïðè ñòðåìëåíèè çíà÷åíèé êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ê íóëþ
ìèíèìàëüíûé îáúåì âûáîðêè âîçðàñòàåò íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ.
General expressions have been obtained for determining mathematical expectation and disper-
sion of estimates for cumulant coefficients of the fifth and sixth orders which permit calculating
mean-root-square errors of estimates of these coefficients. Estimation errors of cumulant coeffi-
cients �s, s = 3,6, some type symmetric distributions at the fixed volume of a sample have been an-
alyzed. Minimum volume of the sample is determined, when a preset relative error of estimates of
cumulant coefficients of these distributions is provided.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ëåâèí Á.Ð., Øâàðö Â. Âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè è ìåòîäû â ñèñòåìàõ ñâÿçè è óïðàâëåíèÿ. —
Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1985. — 312 ñ.
2. Íîâèöêèé Ï.Â., Çîãðàô È.À. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. — Ë. :
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1991. — 304 ñ.
3. Øåëóõèí Î.È., Áåëÿêîâ È.Â. Íåãàóññîâñêèå ïðîöåññû. — ÑÏá. : Ïîëèòåõíèêà, 1992. —
312 ñ.
4. Êåíäàëë Ì., Ñòüþàðò À. Òåîðèÿ ðàñïðåäåëåíèé / Ïåð. ñ àíãë. Â.Â. Ñàçîíîâà, À.Í. Øè-
ðÿåâà; ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 588 ñ.
5. Êðàìåð Ã. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû ñòàòèñòèêè / Ïåð. ñ àíãë. À.Ñ. Ìîíèíà è À.À. Ïåò-
ðîâà; ïîä ðåä. À.Í. Êîëìîãîðîâà. — Ì. : Ìèð, 1975. — 648 ñ.
6. Ìèòðîïîëüñêèé À.Ê. Òåõíèêà ñòàòèñòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé. — Ì. : Íàóêà, 1971. — 576 ñ.
7. Õàí Ã., Øàïèðî Ñ. Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîäåëè â èíæåíåðíûõ çàäà÷àõ / Ïåð. ñ àíãë.
Å.Ã. Êîâàëåíêî; ïîä ðåä. Â.Â. Íàëèìîâà. — Ì. : Ìèð, 1969. — 396 ñ.
8. Ìàð÷åíêî Á.Ã., Ìûñëîâè÷ Ì.Â. Âèáðîäèàãíîñòèêà ïîäøèïíèêîâûõ óçëîâ ýëåêòðè-
÷åñêèõ ìàøèí. — Ê. : Íàóê. äóìêà, 1992. — 196 ñ.
9. Áåðåãóí Â.Ñ., Êðàñèëüí³êîâ Î.². Äîñë³äæåííÿ îáëàñòåé íåâ³ä’ºìíîñò³ îðòîãîíàëüíèõ ïî-
äàíü ù³ëüíîñò³ ³ìîâ³ðíîñòåé // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2010. — ¹ 3 (56). — Ñ. 73—78.
10. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Ïèëèïåíêî Ê.Ï. Ïðèìåíåíèå äâóõêîìïîíåíòíîé ãàóññîâñêîé ñìå-
ñè äëÿ èäåíòèôèêàöèè îäíîâåðøèííûõ ñèììåòðè÷íûõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé //
Òàì æå. — 2008. — ¹ 5 (46). — Ñ. 20—29.
11. Ãàðìàø Î.Â., Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ïðèìåíåíèå ôóíêöèé Ïèðñîíà äëÿ àïïðîêñèìàöèè
ïóàññîíîâñêîé ñïåêòðàëüíîé ïëîòíîñòè Êîëìîãîðîâà ëèíåéíûõ ñëó÷àéíûõ ïðîöåñ-
ñîâ // Åëåêòðîí³êà òà ñèñòåìè óïðàâë³ííÿ. — 2011. — ¹ 3 (29). — Ñ. 50—59.
12. Áåðåãóí Â.Ñ., Ãîðîâåöüêà Ò.À., Êðàñèëüí³êîâ Î.². Ñòàòèñòè÷íèé àíàë³ç øóì³â êîë³ííèõ
ñóãëîá³â // Àêóñòè÷íèé â³ñíèê. — 2011. — 14, ¹ 2. — Ñ. 3—15.
13. Àéâàçÿí Ñ.À., Åíþêîâ È.Ñ., Ìåøàëêèí Ë.Ä. Ïðèêëàäíàÿ ñòàòèñòèêà: Îñíîâû ìîäåëè-
ðîâàíèÿ è ïåðâè÷íàÿ îáðàáîòêà äàííûõ.— Ì. : Ôèíàíñû è ñòàòèñòèêà, 1983. — 471 ñ.
14. Êóí÷åíêî Þ.Ï. Ïîëèíîìèàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ áëèçêèõ ê ãàóññîâñêèì ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí. ×. I. Ñòîõàñòè÷åñêèå ïîëèíîìû, èõ ñâîéñòâà è ïðèìåíåíèå äëÿ íà-
õîæäåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ. — ×åðêàññû: ×ÈÒÈ, 2001. — 133 ñ.
15. Áåíäàò Äæ., Ïèðñîë À. Ïðèêëàäíîé àíàëèç ñëó÷àéíûõ äàííûõ / Ïåð ñ àíãë. Â.Å. Ïðè-
âàëüñêîãî è À.È. Êî÷óáèíñêîãî; ïîä ðåä. È.Í. Êîâàëåíêî. — Ì. : Ìèð, 1989. — 540 ñ.
16. Òèõîíîâ Â.È. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ ðàäèîòåõíèêà. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1982. — 624 ñ.
17. Âàäçèíñêèé Ð.Í. Ñïðàâî÷íèê ïî âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì. — ÑÏá. : Íàóêà,
2001. — 295 ñ.
Ïîñòóïèëà 22.10.13;
ïîñëå äîðàáîòêè 04.12.13
Ñðåäíåêâàäðàòè÷åñêèå îøèáêè îöåíîê êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 1 27
ÁÅÐÅÃÓÍ Âèêòîð Ñåðãååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, àññèñòåíò êàôåäðû àêóñòèêè è àêóñòî-
ýëåêòðîíèêè ôàêóëüòåòà ýëåêòðîíèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èë â 2004 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè è ìåòîäû îáðàáîòêè íåãàóññîâñêèõ ñèãíàëîâ è èõ ôóíê-
öèîíàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé â àêóñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåìàõ.
ÃÀÐÌÀØ Îêñàíà Âèêòîðîâíà, àññèñòåíò êàôåäðû àêóñòèêè è àêóñòîýëåêòðîíèêè ôàêóëü-
òåòà ýëåêòðîíèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëè-
òåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 2005 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðåòè-
÷åñêèå è ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ âåðîÿòíîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ôëóêòóàöèîííûõ
ïðîöåññîâ â àêóñòè÷åñêèõ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåìàõ.
ÊÐÀÑÈËÜÍÈÊÎÂ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, ñò. íàó÷. ñîòð.
Èí-òà òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé
èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, âåðîÿòíîñòíûå õàðàê-
òåðèñòèêè è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ôëóêòóàöèîííûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ øó-
ìîâîé äèàãíîñòèêè.
Â.Ñ. Áåðåãóí, Î.Â. Ãàðìàø, À.È. Êðàñèëüíèêîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-100982 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:12:00Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Берегун, В.С. Гармаш, О.В. Красильников, А.И. 2016-05-28T16:30:01Z 2016-05-28T16:30:01Z 2014 Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков / В.С. Берегун, О.В. Гармаш, А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 1. — С. 17-28. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100982 519.22:681.2.08 Получены общие выражения для определения математического ожидания и дисперсии оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков, которые позволяют вычислять среднеквадратические ошибки оценок этих коэффициентов. Проанализированы ошибки оценок кумулянтных коэффициентов γs, s=3, 6, некоторых типовых симметричных распределений при фиксированном объеме выборки. Определен минимальный объем выборки, при котором обеспечивается наперед заданная относительная ошибка оценок кумулянтных коэффициентов этих распределений. Отримано загальні вирази для визначення математичного сподівання та дисперсії оцінок кумулянтних коефіцієнтів п’ятого та шостого порядків, які дозволяють обчислювати середньоквадратичні помилки оцінок цих коефіцієнтів. Проаналізовано помилки оцінок кумулянтних коефіцієнтів γs, s=3, 6, деяких типових симетричних розподілів при фіксованому об’ємі вибірки. Визначено мінімальний об’єм вибірки, при якому забезпечується наперед задана відносна помилка оцінок кумулянтних коефіцієнтів цих розподілів. General expressions have been obtained for determining mathematical expectation and dispersion of estimates for cumulant coefficients of the fifth and sixth orders which permit calculating mean-root-square errors of estimates of these coefficients. Estimation errors of cumulant coefficients γs, s=3, 6, some type symmetric distributions at the fixed volume of a sample have been analyzed. Minimum volume of the sample is determined, when a preset relative error of estimates of cumulant coefficients of these distributions is provided. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков Article published earlier |
| spellingShingle | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков Берегун, В.С. Гармаш, О.В. Красильников, А.И. Математические методы и модели |
| title | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| title_full | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| title_fullStr | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| title_full_unstemmed | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| title_short | Среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| title_sort | среднеквадратические ошибки оценок кумулянтных коэффициентов пятого и шестого порядков |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/100982 |
| work_keys_str_mv | AT beregunvs srednekvadratičeskieošibkiocenokkumulântnyhkoéfficientovpâtogoišestogoporâdkov AT garmašov srednekvadratičeskieošibkiocenokkumulântnyhkoéfficientovpâtogoišestogoporâdkov AT krasilʹnikovai srednekvadratičeskieošibkiocenokkumulântnyhkoéfficientovpâtogoišestogoporâdkov |