О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом

Рассмотрена задача о границах применимости теории балок Тимошенко при определении изгибных колебаний круговой цилиндрической оболочки с присоединенным абсолютно твердым телом. Показано, что учет деформаций сдвига поперечного сечения балки позволяет определять низшие частоты и формы колебаний рассмат...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2003
Main Author:	Троценко, Ю.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут гідромеханіки НАН України 2003
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1010
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 54-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

_version_	1860256998095847424
author	Троценко, Ю.В.
author_facet	Троценко, Ю.В.
citation_txt	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 54-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
collection	DSpace DC
description	Рассмотрена задача о границах применимости теории балок Тимошенко при определении изгибных колебаний круговой цилиндрической оболочки с присоединенным абсолютно твердым телом. Показано, что учет деформаций сдвига поперечного сечения балки позволяет определять низшие частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы для сравнительно коротких оболочек. Розглянуто задачу про межі застосування теорії балок Тимошенка при визначенні згинних коливань кругової циліндричної оболонки з приєднаним абсолютно твердим тілом. Показано, що врахування деформацій зсуву поперечного перерізу балки дозволяє визначати нижчі частоти та форми коливань розглянутої механічної системи для порівняно коротких оболонок. The problem of scope of applicability of the theory of Timoshenko's beams to determination of bending vibrations of a circular cylindrical shell with attached absolute rigid body is considered. It is shown that accounting for shear strains of the beam's cross-section allows to determine the lowest frequencies and vibrational eigenforms of the considered mechanical system for rather short shells.
first_indexed	2025-12-07T18:50:20Z
format	Article
fulltext	ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 УДК 539.3:534.13 О ПРИМЕНЕНИИ МОДЕЛИ БАЛКИ ТИМОШЕНКО В ЗАДАЧЕ О СОБСТВЕННЫХ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ПРИСОЕДИНЕННЫМ ТВЕРДЫМ ТЕЛОМ Ю. В. ТРО Ц ЕН К О Институт математики НАН Украины, Киев Получена 22.10.2003 Рассмотрена задача о границах применимости теории балок Тимошенко при определении изгибных колебаний кру- говой цилиндрической оболочки с присоединенным абсолютно твердым телом. Показано, что учет деформаций сдвига поперечного сечения балки позволяет определять низшие частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы для сравнительно коротких оболочек. Розглянуто задачу про межi застосування теорiї балок Тимошенка при визначеннi згинних коливань кругової цилiн- дричної оболонки з приєднаним абсолютно твердим тiлом. Показано, що врахування деформацiй зсуву поперечного перерiзу балки дозволяє визначати нижчi частоти та форми коливань розглянутої механiчної системи для порiвняно коротких оболонок. The problem of scope of applicability of the theory of Timoshenko’s beams to determination of bending vibrations of a circular cylindrical shell with attached absolute rigid body is considered. It is shown that accounting for shear strains of the beam’s cross-section allows to determine the lowest frequencies and vibrational eigenforms of the considered mechanical system for rather short shells. ВВЕДЕНИЕ Как правило, в инженерной практике при реше- нии задач динамики составных механических кон- струкций, представляющих собой различного рода соединения оболочек, пластин и деформируемых тел возникают вопросы по определению характе- ристик собственных колебаний таких связанных систем. Отметим, что подобные задачи относятся к разряду неклассических задач математической физики, поскольку речь идет о соединении элемен- тов, поведение которых описывается уравнениями различной размерности. Это вызывает определен- ные трудности при их решении, поэтому на прак- тике используют модели реальных конструкций, упрощенные за счет введения в рассмотрение до- полнительных гипотез и допущений. Данная статья является логическим продолже- нием работы [1], где решена задача об опреде- лении собственных колебаний тонкостенной кру- говой цилиндрической оболочки с присоединен- ным на одном из ее торцов абсолютно твердым телом, а также даны рекомендации по исполь- зованию упрощенной балочной расчетной схемы указанной конструкции. Для упрощенной схемы использована классическая балочная теория Эй- лера – Бернулли. Естественным образом возникает вопрос о возможности расширения границ приме- нимости упрощенной модели путем учета дефор- маций сдвига и инерции поворота поперечного се- чения балки [2]. Несмотря на то, что исследованию собственных колебаний балки Тимошенко, в том числе и с при- соединенными твердыми телами на торцах, посвя- щено достаточное количество работ [3 – 9], пробле- ма определения границ применимости этой теории при моделировании тонкостенных составных кон- струкций остается не решенной. По-видимому, впервые вопрос о возможности моделирования цилиндрической оболочки балкой Тимошенко с теоретической точки зрения рассмо- трен в работе К. Форсберга [3], где сделан вывод о том, что включение деформаций сдвига и инер- ции вращения в уравнения балочной теории су- щественно улучшает точность балочного прибли- жения до значений относительных длин оболочки l/R≥7, тогда как элементарная балочная теория дает хорошие результаты только для очень длин- ных оболочек (l/R>20). Работа [4] посвящена определению границ при- менимости и оценке погрешности балочной аппро- ксимации удлиненной тонкостенной конструкции при определении ее динамических характеристик. Здесь речь шла о возможности инкорпорации в балочную расчетную схему дискретных включе- ний типа масс и осцилляторов, расположенных в оболочечной конструкции несимметрично относи- тельно оси вращения оболочки, а также масс, рав- 54 c© Ю.В.Троценко, 2003 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 номерно распределенных по кольцевой координате оболочки (включая учет шпангоута). Проанализи- рован случай шарнирного опирания торцов цилин- дрической оболочки. В работе [5] рассмотрена задача о собственных колебаниях балки Тимошенко при действии на нее осевой и поперечной сил. Показано, что влияние инерции вращения и сдвига на собственную часто- ту основного тона изгибных колебаний увеличива- ется с увеличением значений осевой и поперечной сил. Собственные изгибные колебания консольно за- крепленной балки Тимошенко, несущей абсолютно твердое тело на свободном торце, исследованы в работе [6]. Проведено сравнение расчетных дан- ных с результатами, полученными по элементар- ной балочной теории. Работа [7] посвящена построению частотного уравнения для определения собственных изгиб- ных колебаний балки Тимошенко с присоединен- ными на торцах твердыми телами. Изучен вопрос о влиянии на поведение частот положения центра масс твердого тела. В работе [8] рассмотрены собственные изгиб- ные колебания свободно опертой балки. Сделан вывод о том, что частоты изгибных колебаний бал- ки Тимошенко нельзя удовлетворительным обра- зом выразить с помощью только одного поправо- чного коэффициента. В связи с этим предложены модифицированные формулы, обладающие более высокой точностью. Работа [9] также посвящена построению более точной теории для анализа ко- лебаний коротких балок. Данная статья посвящена обобщению результа- тов работы [1] и установлению границ применимо- сти упрощенной балочной модели Тимошенко при определении неосесимметричных колебаний тон- кой круговой цилиндрической оболочки с абсолю- тно твердым телом, присоединенным на одном из ее торцов. Постановка задачи и ее решение с уче- том оболочечных эффектов, а также ее упрощение на основе элементарной балочной теории представ- лены в [1]. Ниже даны постановка задачи и ее то- чное решение для определения собственных изгиб- ных колебаний балки Тимошенко с присоединен- ным на торце абсолютно твердым телом; приведе- ны некоторые результаты расчетов, на основании которых можно сделать выводы о границах при- менимости приведенной расчетной схемы. 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим механическую систему, состоящую из балки Тимошенко и абсолютно твердого тела, которое жестко прикреплено к одному из ее тор- цов. Предположим, что второй торец балки неко- торым образом закреплен. Считаем, что тело обла- дает двумя взаимно ортогональными плоскостями симметрии, линией пересечения которых является ось Oz, совпадающая с нейтральной линией балки. Координатную плоскость Oxz совместим с одной из плоскостей симметрии твердого тела, а начало системы координат Oxyz расположим в плоскости торцевого сечения балки, свободного от твердого тела. Для описания перемещений твердого тела введем прямоугольную систему координат Cxcyczc с началом в центре инерции твердого тела и ося- ми Cxc, Cyc, параллельными осям Ox и Oy соо- тветственно. Кроме того, удобно ввести в рассмо- трение систему координат O1x1y1z1 с единичными ортами ~i1, ~j1, ~k1, оси которой параллельны осям Ox, Oy и Oz, а начало связано с точкой крепле- ния твердого тела к балке. Поскольку механическая система имеет две пло- скости симметрии, то ее колебания в плоскостях Oxz и Oyz можно рассматривать независимо. По- этому далее будем рассматривать движения сис- темы только в плоскости Oxz. Обозначим перемещения точек нейтральной ли- нии упругой балки в направлении оси Ox через w(z, t). Тогда угол наклона касательной можно представить в виде [2] ∂w ∂z = ψ + τ, (1) где ψ – угол наклона касательной к упругой линии балки от действия только изгибающих моментов; τ – угол наклона от изменения перерезывающих сил. В точке крепления твердого тела при z= l (l – длина балки) должны выполняться кинематиче- ские условия сопряжения, т. е. равенство соответ- ствующих перемещений и углов поворота балки и тела w(l, t) = w0, ψ(l, t) = ϑ02. Здесь w0 и ϑ02 – перемещение точки O1 и угол поворота твердого тела относительно оси O1y1. Вектор перемещения точек твердого тела ~U∗ можно представить в виде ~U∗ = ~U0 + [~θ0 × ~r], (2) где ~r – радиус-вектор точек твердого тела; ~U0 ={w0, 0, 0} и ~θ0 ={0, ϑ02, 0} – векторы мало- го перемещения и поворота системы координат O1x1y1z1. В развернутом виде для вектора (2) бу- дем иметь следующее выражение: ~U∗ = (w0 + z1ϑ02)~i1 + (−ϑ02x1)~k1. (3) Ю.В.Троценко 55 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 Для вывода уравнений движения системы во- спользуемся принципом возможных перемещений. Потенциальная энергия деформации для балки Тимошенко имеет вид [10]: Π = 1 2 l ∫ 0 EJ ( ∂2w ∂z2 − ∂τ ∂z )2 dz+ 1 2 l ∫ 0 κGFτ2dz, (4) где κ – коэффициент, зависящий от характера ра- спределения сдвигов по сечению и способа опре- деления среднего значения для угла сдвига τ ; EJ и GF – изгибная и сдвиговая жесткости соответ- ственно. Работа сил инерции на возможных перемещени- ях будет иметь вид δA = −γ ∫∫∫ V ~̈U ∗ δ~U∗dV− −ρF l ∫ 0 ẅδwdz − ρJ l ∫ 0 ψ̈δψdz, (5) где γ и ρ – плотности материалов твердого тела и балки соответственно. Двоеточие над величинами в уравнении (5) означает двукратное дифферен- цирование по времени t. Приравняв вариацию потенциальной энергии деформации балки к работе внешних сил на воз- можных перемещениях, получим следующее вари- ационное уравнение: EJ l ∫ 0 ∂ψ ∂z ( ∂δψ ∂z ) dz + κGF l ∫ 0 τ ∂δw ∂z dz− −κGF l ∫ 0 τδψdz = −ρF l ∫ 0 ẅδwdz− −ρJ l ∫ 0 ψ̈δψdz − ( m0ẅ0 + L03ϑ̈02 ) δw0− − ( L03ẅ0 + Jy1 ϑ̈02 ) δϑ02. (6) Здесь L03 = γ ∫∫∫ V z1dV и Jy1 = γ ∫∫∫ V (x2 1+z2 1)dV — статический момент инерции твердого тела отно- сительно плоскости O1y1z1 и момент инерции твердого тела относительно оси O1y1 соответ- ственно; m0 – масса твердого тела. Обозначим через lc координату центра тяжести твердого тела в системе координат O1y1z1. Тогда будем иметь L03 = m0lc, Jy1 = m0l 2 c + Jyc , где Jyc – момент инерции твердого тела относи- тельно оси Cyc. Выполнив в левой части уравнения (6) интегри- рование по частям и приняв во внимание кине- матические условия сопряжения, а также незави- симость вариаций δw и δψ, получим следующую начально-краевую задачу:          ρF ∂2w ∂t2 − κGF ( ∂2w ∂z2 − ∂ψ ∂z ) = 0, ρJ ∂2ψ ∂t2 − EJ ∂2ψ ∂z2 − κGF ( ∂w ∂z − ψ ) = 0, (7) [ κGF ( ∂w ∂z −ψ ) +m0 ∂2w ∂t2 +L03 ∂2ψ ∂t2 ] z=l =0, [ EJ ∂ψ ∂z +L03 ∂2w ∂t2 +Jy1 ∂2ψ ∂t2 ] z=l =0. (8) Для жестко закрепленного торца балки будем иметь следующие граничные условия: w(0, t) = 0, ψ = 0. (9) В случае свободного торца получим ( ∂w ∂z − ψ ) z=0 = 0, ∂ψ ∂z ∣ ∣ ∣ ∣ z=0 = 0. (10) К соотношениям (7) – (10) необходимо добавить соответствующие начальные условия на искомые функции. Систему уравнений (7), путем несложных пре- образований, приведем к виду                                EJ ∂4w ∂z4 − ρJ ( 1 + E κG ) ∂4w ∂z2∂t2 + + ρ2J κG ∂4w ∂t4 + ρF ∂2w ∂t2 = 0, EJ ∂4ψ ∂z4 − ρJ ( 1 + E κG ) ∂4ψ ∂z2∂t2 + + ρ2J κG ∂4ψ ∂t4 + ρF ∂2ψ ∂t2 = 0. (11) Для случая свободных гармонических колеба- ний системы с частотой ω представим функции w(z, t) и ψ(z, t) как w(z, t) = W (z)eiωt, ψ(z, t) = Ψ(z)eiωt. (12) Введем в рассмотрение следующие безразмер- ные величины, которые связаны с соответствую- 56 Ю.В.Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 щими размерными по формулам β2 = ω2L4ρF EJ r2 = J FL2 , s2 = EJ κGFL2 , m̄0 = m0 ρFL J̄yc = Jyc ρFL3 , l̄c = lc L , W̄ = W L , z̄= z L , L̄03 =m̄0 l̄c, J̄y1 =m̄0 l̄ 2 c +J̄yc . (13) Здесь β – безразмерная собственная частота коле- баний системы; r2 – квадрат радиуса инерции бал- ки (коэффициент учитывающий инерцию поворо- та поперечного сечения балки); s2 – коэффициент, учитывающий влияние деформаций сдвига; L – не- который (пока произвольный) линейный размер. В дальнейшем черточки над безразмерными величи- нами для простоты записи будем опускать. С учетом формул (12) и (13) соотношения (7) – (11) запишем в виде                        d4W dz4 + β2 ( r2 + s2 )d2W dz2 + +β2 ( β2r2s2 − 1 ) W = 0, d4Ψ dz4 + β2 ( r2 + s2 )d2Ψ dz2 + +β2 ( β2r2s2 − 1 ) Ψ = 0, (14)          d2W dz2 − dΨ dz + β2s2W = 0, s2 d2Ψ dz2 + dW dz + ( β2r2s2 − 1 ) Ψ = 0, (15) ( dW dz − Ψ − β2s2m0W− −β2s2m0lcΨ ) z=l = 0, ( dΨ dz − β2L03W − β2Jy1 Ψ ) z=l = 0. (16) Граничные условия для свободного торца зада- ются соотношениями ( dW dz − Ψ ) z=0 = 0, dΨ dz ∣ ∣ ∣ ∣ z=0 = 0. (17) При защемленном торце должны выполняться условия W (0) = 0, Ψ(0) = 0. (18) Соотношения (15) дают возможность выразить Ψ и dΨ/dz через функцию W и ее производные:          Ψ = s2 b0 d3W dz3 + (β2s4 + 1) b0 dW dz , dΨ dz = d2W dz2 + β2s2W. (19) Подставив выражения (19) в уравнения (16) – (18), получим следующую краевую задачу на соб- ственные значения относительно функции W при жестком закреплении торца оболочки при z=0: d4W dz4 + b2 d2W dz2 − β2b0W = 0, (20) ( f1 d3W dz3 +f2 dW dz +f3W ) z=l = 0, ( f4 d3W dz3 +f5 d2W dz2 +f6 dW dz +f7W ) z=l = 0, (21) W (0) = 0, ( b1 dW dz + s2 d3W dz3 ) z=0 = 0. (22) В случае свободного торца балки при z=0 гра- ничные условия (22) следует заменить на ( d2W dz2 + β2s2W ) z=0 = 0, ( d3W dz3 + b2 dW dz ) z=0 = 0. (23) Здесь введены следующие обозначения: b0 = 1 − β2r2s2; b1 = β2s4 + 1; b2 = β2(r2 + s2); f1 = 1 + β2s2L03; f2 = β2b1L03 + b2; f3 = β2m0b0; f4 = β2s2Jy1 ; f5 = −b0; f6 = β2b1Jy1 ; f7 = b0β 2(L03 − s2). (24) Таким образом, решение задачи о собственных изгибных колебаниях балки Тимошенко с присое- диненным на торце абсолютно твердым телом све- лось к интегрированию обыкновенного дифферен- циального уравнения с постоянными коэффициен- тами (20) при соответствующих граничных усло- виях. При необходимости определения величин Ψ и dΨ/dz необходимо воспользоваться выражения- ми (19). Заметим, что если в уравнениях (19) – (24) поло- жить r2 =s2 =0, то как частный случай получим Ю.В.Троценко 57 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 задачу о собственных колебаниях балки Эйлера – Бернулли с присоединенным твердым телом [1]. Соответственно, если пренебречь только членами, учитывающими деформации сдвига (s2 =0), будем иметь балку Рэлея. 2. ПОСТРОЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ Перейдем к построению точного решения сфор- мулированной краевой задачи. Общим решением уравнения (20) при µ≥b2/2 будет W (β, z) = Ash γ1z + Bch γ1z+ +C sin γ2z +D cos γ2z, (25) где γ1 = √ µ−b2/2; γ2 = √ µ+b2/2. Для случая, ко- гда µ<b2/2, будем иметь W (β, z) = A′ sin γ1z + B′ cos γ1z+ +C ′ sin γ2z +D′ cos γ2z, (26) где γ1 = √ b2/2−µ, γ2 = √ µ+b2/2. В форму- лах (25), (26) µ= √ (b2/2)2+b0β2. Решения (25), (26) удобно представить в следу- ющем виде: Wi(β, z) = C1iSi(β, z) + C2iTi(β, z)+ +C3iUi(β, z) + C4iVi(β, z). (27) Здесь и далее i = { 1, ∀µ ≥ b2/2, 2, ∀µ < b2/2. Линейно независимые функции Si, Ti, Ui и Vi яв- ляются линейными комбинациями функций, вхо- дящих в выражения (25), (26), и обладают тем свойством, что матрица Коши для них при z=0 является единичной. Указанные функции можно представить следующим образом: S1(β, z) = 1 2µ ( γ2 2ch γ1z + γ2 1 cos γ2z ) , T1(β, z) = 1 2µ ( γ2 2 γ1 sh γ1z + γ2 1 γ2 sin γ2z ) , U1(β, z) = 1 2µ ( ch γ1z − cos γ2z ) , V1(β, z) = 1 2µ ( 1 γ1 sh γ1z − 1 γ2 sin γ2z ) ; (28) S2(β, z) = 1 2µ ( γ2 2 cos γ1z − γ2 1 cos γ2z ) , T2(β, z) = 1 2µ ( γ2 2 γ1 sinγ1z − γ2 1 γ2 sin γ2z ) , U2(β, z) = 1 2µ ( cos γ1z − cos γ2z ) , V2(β, z) = 1 2µ ( 1 γ1 sin γ1z − 1 γ2 sin γ2z ) . (29) Следует отметить, что приведенные функции не- сколько отличаются от известных балочных функ- ций Крылова в том смысле, что не удается выра- зить первые три производные от них по перемен- ной z через эти же функции (как это делается в элементарной балочной теории). В связи с этим дополнительно введем в рассмотрение следующие функции: Q11(β, z) = 1 2µ ( γ1sh γ1z + γ2 sin γ2z ) , Q21(β, z) = 1 2µ ( γ2 1ch γ1z + γ2 2 cos γ2z ) , Q31(β, z) = 1 2µ ( γ3 1 sh γ1z − γ3 2 sin γ2z ) , Q12(β, z) = 1 2µ ( γ2 sin γ2z − γ1 sin γ1z ) , Q22(β, z) = 1 2µ ( γ2 2 cos γ2z − γ2 1 cos γ1z ) , Q32(β, z) = 1 2µ ( γ3 1 sinγ1z − γ3 2 sin γ2z ) . (30) Здесь второй индекс соответствует значению ин- декса i. Тогда первые три производные от Wi(β, z) по переменной z можно вычислить по следующим 58 Ю.В.Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 формулам: W ′ 1(β, z) = C11ζV1(β, z) +C21S1(β, z)+ +C31Q11(β, z) + C41U1(β, z), W ′′ 1 (β, z) = C11ζU1(β, z) + C21ζV1(β, z)+ +C31Q21(β, z) + C41Q11(β, z), W ′′′ 1 (β, z) = C11ζQ11(β, z) +C21ζU1(β, z)+ +C31Q31(β, z) + C41Q21(β, z), W ′ 2(β, z) = −C12ζV2(β, z) + C22S2(β, z)+ C32Q12(β, z) +C42U2(β, z), W ′′ 2 (β, z) = −C12ζU2(β, z) −C22ζV2(β, z)+ +C32Q22(β, z) + C42Q12(β, z), W ′′′ 2 (β, z) = −C12ζQ12(β, z) − C22ζU2(β, z)+ +C32Q32(β, z) + C42Q22(β, z). Здесь и далее ζ=γ2 1γ 2 2 . При представлении реше- ний в форме (27) произвольные постоянные можно выразить через значения функций Wi и их прои- зводных в точке z=0: Wi(β, 0) = C1i, W ′ i (β, 0) = C2i, W ′′ i (β, 0) = C3i, W ′′′ i (β, 0) = C4i. (31) Рассмотрим случай, когда свободный от твердо- го тела торец балки жестко закреплен. Подставляя решение (27) в граничные условия (21) и (22), по- лучим однородную алгебраическую систему отно- сительно постоянных интегрирования C3i и C4i. Она имеет следующий вид:      C3ia (i) 11 + C4ia (i) 12 = 0, C3ia (i) 21 + C4ia (i) 22 = 0. (32) При этом C1i=0; C2i =−K1C4i, где K1 =s2/b1. Ве- личины a (i) kj , входящие в систему уравнений (32), определяются по формулам a (1) 11 = f1Q31(β, l) + f2Q11(β, l) + f3U1(β, l), a (1) 12 = f1 ( Q21(β, l) −K1ζU1(β, l) ) + +f2 ( U1(β, l) −K1S1(β, l) ) + +f3 ( V1(β, l) −K1T1(β, l) ) , a (1) 21 = f4Q31(β, l) + f5Q21(β, l)+ +f6Q11(β, l) + f7U1(β, l), a (1) 22 = f4 ( Q21(β, l) −K1ζU1(β, l) ) + +f5 ( Q11(β, l) −K1ζV1(β, l) ) + +f6 ( U1(β, l) −K1S1(β, l) ) + +f7 ( V1(β, l) −K1T1(β, l) ) , a (2) 11 = f1Q32(β, l) + f2Q12(β, l) + f3U2(β, l), a (2) 12 = f1 ( Q22(β, l) +K1ζU2(β, l) ) + +f2 ( U2(β, l) −K1S2(β, l) ) + +f3 ( V2(β, l) −K1T2(β, l) ) , a (2) 21 = f4Q32(β, l) + f5Q22(β, l)+ +f6Q12(β, l) + f7U2(β, l), a (2) 22 = f4 ( Q22(β, l) +K1ζU2(β, l) ) + +f5 ( Q12(β, l) +K1ζV2(β, l) ) + +f6 ( U2(β, l) −K1S2(β, l) ) + +f7 ( V2(β, l) −K1T2(β, l) ) . Из условия существования решения алгебраи- ческой системы (32) получим характеристическое уравнение для определения параметра β: det ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ a (i) 11 a (i) 12 a (i) 21 a (i) 22 ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ = 0. (33) Если параметр β определен, то из решения систе- мы (32) найдем C3i=−C4i(a (i) 12/a (i) 11 ). Аналогичным образом, удовлетворяя усло- вия (21) и (23), получим систему алгебраических уравнений относительно постоянных C1i и C2i для случая, когда левый торец балки свободен от нагрузок:    C1ia (i) 11 +C2ia (i) 12 = 0, C1ia (i) 21 +C2ia (i) 22 = 0. (34) Ю.В.Троценко 59 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 При этом C3i =−K2C1i; C4i=−b2C2i, где K2 =s2β2 . Соответственно величины a (i) kj , входя- щие в систему уравнений (34), будут определяться как a (1) 11 = f1 ( ζQ11(β, l) −K2Q31(β, l) ) + +f2 ( ζV1(β, l) −K2Q11(β, l) ) + +f3 ( S1(β, l) −K2U1(β, l) ) ; a (1) 12 = f1 ( ζU1(β, l) − b2Q21(β, l) ) + +f2 ( S1(β, l) − b2U1(β, l) ) + +f3 ( T1(β, l) − b2V1(β, l) ) ; a (1) 21 = f4 ( ζQ11(β, l) −K2Q31(β, l) ) + +f5 ( ζU1(β, l) −K2Q21(β, l) ) + +f6 ( ζV1(β, l) −K2Q11(β, l) ) + +f7 ( S1(β, l) −K2U1(β, l) ) , a (1) 22 = f4 ( ζU1(β, l) − b2Q21(β, l) ) + +f5 ( ζV1(β, l) − b2Q11(β, l) ) + +f6 ( S1(β, l) − b2U1(β, l) ) + +f7 ( T1(β, l) − b2V1(β, l) ) , a (2) 11 = −f1 ( ζQ12(β, l) +K2Q32(β, l) ) − −f2 ( ζV2(β, l) +K2Q12(β, l) ) + +f3 ( S2(β, l) −K2U2(β, l) ) , a (2) 12 = −f1 ( ζU2(β, l) + b2Q22(β, l) ) + +f2 ( S2(β, l) − b2U2(β, l) ) + +f3 ( T2(β, l) − b2V2(β, l) ) , a (2) 21 = −f4 ( ζQ12(β, l) +K2Q32(β, l) ) − −f5 ( ζU2(β, l) +K2Q22(β, l) ) − −f6 ( ζV2(β, l) +K2Q12(β, l) ) + +f7 ( S2(β, l) −K2U2(β, l) ) , a (2) 22 = −f4 ( ζU2(β, l) + b2Q22(β, l) ) − −f5 ( ζV2(β, l) + b2Q12(β, l) ) + +f6 ( S2(β, l) − b2U2(β, l) ) + +f7 ( T2(β, l) − b2V2(β, l) ) . Частотное уравнение снова будет иметь вид (33). После определения β из решения системы (34) найдем C2i =−C1i(a (i) 11 /a (i) 12 ). Таким образом, получена достаточно простая расчетная схема решения задачи о собственных из- 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.00 −0.50 0.00 0.50 1.00 W i Z β 1 =1.71507 β 2 =7.40153 β 3 =18.64123 β 4 =31.80522 Рис. 1. Первые четыре собственные формы колебаний и соответствующие им частоты консольно закрепленной балки Тимошенко с присоединенным на торце твердым телом гибных колебаниях балки Тимошенко с присоеди- ненным на торце абсолютно твердым телом. Реше- ния представлены для жесткого крепления и неза- крепленного торца балки. За счет представления решения в виде (27) можно без особых затрудне- ний реализовать и другие наиболее часто встре- чающиеся на практике типы граничных условий. Предложенная формульная схема решения рас- сматриваемой задачи удобна и для реализации ее на ПЭВМ. 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ Ниже приведены некоторые результаты расче- тов для случая жесткого крепления торца оболоч- ки при z=0. На рис. 1 показаны первые четыре собственные формы и соответствующие им часто- ты колебаний консольно закрепленной балки Ти- мошенко, несущей на свободном торце твердое те- ло. В качестве исходных данных приняты данные из работы [6]: e=0.2, η=0.01, µ=1, j=0.2, κ=1/1.2, ν=0.3. Связь безразмерных величин, введенных в ней, с величинами, представленными формула- ми (13), осуществляется по формулам η = r2, λ = 2(1 + ν) κ , e = lc, µ = m0, s2 = λη, Jy1 = µ(e2 + j2), j = √ Jyc µl2 . При этом все линейные размеры отнесены к длине балки (L= l). 60 Ю.В.Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 Таблица. Частоты колебаний системы, полученные по различным расчетным схемам: (I) – оболочечная схема, (II) – балочная схема Тимошенко, (III) и (IV)– балочная схема с учетом только деформаций сдвига или только инерции поворота, (V) – балочная схема Эйлера –Бернулли l/R 2 4 6 8 10 (I) 0.04104 0.02062 0.01266 0.00868 0.00640 (II) 0.04152 0.02073 0.01269 0.00868 0.00640 β∗ 1 (III) 0.04156 0.02076 0.01271 0.00869 0.00640 (IV) 0.05582 0.02372 0.01367 0.00909 0.00660 (V) 0.05600 0.02376 0.01369 0.00910 0.00660 (I) 0.21491 0.16684 0.12665 0.09380 0.07040 (II) 0.21560 0.16707 0.12666 0.09380 0.07040 β∗ 2 (III) 0.21856 0.16971 0.12842 0.09490 0.07110 (IV) 0.45942 0.24775 0.16542 0.11600 0.08380 (V) 0.46749 0.25257 0.16903 0.11840 0.08530 (I) 0.59670 0.34020 0.25126 0.20393 0.16650 (II) 0.68582 0.35616 0.25673 0.20530 0.16650 β∗ 3 (III) 0.68635 0.35722 0.25836 0.20749 0.16890 (IV) 2.39765 0.86431 0.46155 0.30342 0.22220 (V) 3.86339 1.02308 0.501883 0.32016 0.23180 (I) 0.84825 0.57846 0.39471 0.30000 0.24788 (II) 1.29893 0.62354 0.40681 0.30614 0.25096 β∗ 4 (III) 1.33409 0.64521 0.41891 0.31307 0.25542 (IV) 3.99919 1.69206 0.94024 0.60134 0.42342 (V) 10.47193 2.65297 1.20558 0.70117 0.46959 Сравнение полученных результатов с частотами и формами, представленными в работе [6], свиде- тельствует об их полном совпадении. Обратимся к вопросу о применимости приведен- ной расчетной схемы для определения собствен- ных колебаний цилиндрической оболочки с при- соединенным на торце абсолютно твердым телом. Для проведения сравнения полученных результа- тов перейдем к безразмерным величинам, введен- ным в работе [1] (далее они обозначены индексом ∗). Отметим, что в цитируемой работе считалось, что к оболочке присоединено твердое тело, имею- щее форму кругового цилиндра с радиусом R и длиной H=2lc. Если в формулах (13) положить L=R, а также учесть, что F =2πRh, J=πR3h, где h – толщина оболочки, то β∗2 = (1 − ν2) 2 β2, m0 = 1 2 m∗ 0 , r2 = 1 2 , Jy1 = 1 2 [ m∗ 0l 2 c + m∗ 0 12 (H2 + 3) ] . Все остальные соотношения для введенных по формулам (13) безразмерных величин остаются без изменений. Во всех расчетах коэффициент сдвига κ определялся по следующей формуле [12]: κ = 2(1 + ν) (4 + 3ν) . (35) В таблице приведены результаты вычислений пер- вых четырех частот изгибных колебаний системы. При этом приняты следующие исходные данные: m∗ 0 =50, l∗c =0.5, ν=0.3, h=0.01. Длина оболочки l варьировалась. Расчеты проведены на основе те- хнической теории оболочек – (I), с использовани- ем балочной теории Тимошенко – (II), по балоч- ной теории с учетом только деформаций сдвига (r2 =0) – (III), c учетом только инерции поворота поперечного сечения балки (s2 =0) – (IV) и по ба- лочной схеме Эйлера – Бернулли (r2 =s2 =0) – (V). Данные таблицы показывают, что при выбран- ной массе тела элементарная теория балок дает хо- рошие результаты при вычислении первой часто- ты только для длинных оболочек (l/R≥10). Учет деформаций сдвига и инерции вращения в урав- нениях балки значительно улучшают точность ба- лочного приближения рассматриваемой констру- кции. Так, при l/R>6 первые две частоты, вычи- сленные по теории оболочек и по теории балок Ти- мошенко, практически совпадают, а для третьей и четвертой частот расхождение составляет не бо- Ю.В.Троценко 61 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 лее 3 %. При этом определяющую роль играет учет деформаций сдвига. Инерция поворота может ока- зывать существенное влияние при расчете высших частот системы. Пространственное изображение поверхности относительной погрешности определения первых трех частот колебаний системы по балочной теории Тимошенко δi как функции от массы при- соединенного тела и длины оболочки представлено на рис. 2 (правые графики соответствуют более узким диапазонам изменения m0). Из рисунка видно, что погрешности δi существенно зависят от массы присоединенного тела и длины оболочки. Увеличение длины оболочки при фиксированной массе тела и увеличение массы тела при фиксиро- ванной длине оболочки приводит к уменьшению погрешностей δi. Так, уже при m∗ 0>1 и l/R>1 погрешность определения первой частоты систе- мы не превышает 5 %. Погрешности определения первых трех частот системы не превышают 1 % при m∗ 0>1 и l/R>6. Амплитудные значения Wi первых четырех ра- диальных форм колебаний оболочки, отнесенные к их максимальным значениям, представлены на рис. 3 (z∗=z/l). Сплошными линиями показаны формы колебаний, определенные по теории обо- лочек, штриховыми – по теории балок Тимошен- ко и штрих-пунктирными – по элементарной те- ории балок. В качестве исходных данных выби- рались данные, при которых получены резуль- таты таблицы для l/R=4. Из графиков следует, что балочная модель Тимошенко позволяет опре- делять не только низшие частоты рассматривае- мой механической конструкции, но и соответству- ющие им формы колебаний. Максимальные ра- зличия в формах колебаний при их расчете по рассмотренным схемам наблюдаются в окрестно- стях торцевых сечений оболочки. Эти различия носят локальный характер и обусловлены прояв- лением краевых эффектов деформирования обо- лочки, которые усиливаются при уменьшении ее относительной толщины. В свою очередь, элемен- тарная теория балок при выбранных параметрах системы дает удовлетворительные результаты ли- шь при расчете первой формы колебаний. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В работе дано точное решение задачи об опре- делении собственных изгибных колебаний балки Тимошенко с присоединенным на торце абсолютно твердым телом. Решение представлено в удобной форме, позволяющей получать результаты расче- тов для различных приближенных моделей балок при любых входных данных. При проведении численных экспериментов основное внимание уделено вопросу о возможно- сти использования приведенной расчетной схемы при определении собственных частот изгибных колебаний балочного типа, совершаемых ци- линдрической оболочкой с присоединенным на торце твердым телом. Проанализировано влияние учета инерции поворота поперечного сечения балки, а также деформаций сдвига на точность балочной аппроксимации оболочки с телом. При этом показано, что именно учет деформаций сдвига позволяет с достаточной для практики точностью определять низшие частоты и формы собственных колебаний рассматриваемой механи- ческой системы. Влияние же инерции поворота оказывается незначительным. Проанализировано влияние массы твердого тела и длины оболочки на относительную погрешность частот, получаемых с использованием балочной схемы Тимошенко. Показано, что на формирова- ние низших частот системы существенное влияние оказывает твердое тело. При этом незначительное увеличение инерционных свойств последнего даже при малых длинах оболочки ведет к резкому сни- жению погрешности. Увеличение длины оболочки также влечет за собой уменьшение относительной погрешности вносимой балочным приближением. Из приведенного анализа результатов расчета частот и форм собственных колебаний цилиндри- ческой оболочки с присоединенным к ее торцу аб- солютно твердым телом следует, что балочная те- ория, построенная на учете деформаций сдвига и инерции поворота поперечного сечения, имеет существенно большую область применимости, по сравнению с классической теорией балок Эйлера – Бернулли. Она дает приемлемые для практическо- го использования результаты при определении не только низших, но и высших форм колебаний рас- сматриваемой механической системы. БЛАГОДАРНОСТИ Работа выполнена при частичной поддержке НИП N 0102 U000917. 1. Карпачев Ю. А., Троценко В. А., Троценко Ю. В. Свободные неосесимметричные колебания цилин- дрической оболочки с присоединенным твердым телом // Акуст. вiсн.– 2001.– 4, N 1.– С. 44–59. 2. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле.– М.: Наука, 1967.– 444 с. 62 Ю.В.Троценко ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 0 5 10 15 l m 0 δ 1 % 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 l m 0 δ 1 % а 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 l m 0 δ 2 % 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 0 2 4 6 8 l m 0 δ 2 % б 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 0 20 40 60 80 100 120 l m 0 δ 3 % 5 5.5 6 6.5 7 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 l m 0 δ 3 % в Рис. 2. Относительная погрешность δi (%) вычисления первых трех частот системы по балочной теории Тимошенко в зависимости от безразмерной массы твердого тела m∗ 0 и относительной длины оболочки l/R: а – первая собственная частота, б – вторая собственная частота, в – третья собственная частота Ю.В.Троценко 63 ISSN 1028 -7507 Акустичний вiсник. 2003. Том 6, N 4. С. 54 – 64 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 W 1 Z* 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.00 −0.75 −0.50 −0.25 0.00 W 2 Z* а б 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.0 −0.5 0.0 0.5 W 3 Z* 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 W 4 Z* в г Рис. 3. Сравнение амплитудных значений первых четырех форм колебаний системы (а–г соответственно), определенных по теории оболочек (сплошные), по балочной теории Тимошенко (штриховые) и по балочной теории Эйлера –Бернулли (штрих-пунктирные) 3. Форсберг К. Осесимметричные и балочного ти- па колебания тонкой цилиндрической оболочки // Ракет. техн. космонавт.– 1969.– 7, N 2.– С. 37–45. 4. Выломов В. Н., Малинин А. А. Анализ точности аппроксимации балочной моделью в задачах дина- мики тонкостенных конструкций // Прикл. пробл. прочн. пластич.– 1976.– N 5.– С. 42–47. 5. Григорьева Г. Н., Лурье Ф. М. Влияние инерции вращения и сдвига на собственную частоту изгиб- ных колебаний стержня // Строит. мех. расчет сооруж.– 1983.– N 2.– С. 51–54. 6. Laura P. A. A., Rossi R. E. Vibrations of a Ti- moshenko beam clamped at one end and carrying a finite mass at the other // Appl. Acoust.– 1990.– 30, N 4.– P. 293–301. 7. White M. W. D., Heppler G. R. Vibrations modes and frequensies of a Timoshenko beam with attached rigid bodies // Trans. ASME. J. Appl. Mech.– 1995.– 62, N 1.– P. 193–199. 8. Aalami B., Atzori B. Flexural vibrations and Ti- moshenko’s beam theory // AIAA J.– 1974.– vol. 12, N 5.– P. 679-685. 9. Murty A. V. K. Vibrations of short beams // AIAA J.– 1969.– N 1.– P. 34-38. 10. Вибрации в технике. Колебания линейных систем: том 1.– М.: Машиностроение, 1978.– 352 с. 11. Филипов А. П. Колебания деформируемых систем.– М.: Машиностроение, 1970.– 734 с. 12. Cowper G. R. The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory // J. Appl. Mech.– 1966.– vol. 33, N 2.– P. 335-340. 64 Ю.В.Троценко
id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1010
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
issn	1028-7507
language	Russian
last_indexed	2025-12-07T18:50:20Z
publishDate	2003
publisher	Інститут гідромеханіки НАН України
record_format	dspace
spelling	Троценко, Ю.В. 2008-07-09T15:05:39Z 2008-07-09T15:05:39Z 2003 О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом / Ю.В. Троценко // Акуст. вісн. — 2003. — Т. 6, N 4. — С. 54-64. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1028-7507 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1010 539.3:534.13 Рассмотрена задача о границах применимости теории балок Тимошенко при определении изгибных колебаний круговой цилиндрической оболочки с присоединенным абсолютно твердым телом. Показано, что учет деформаций сдвига поперечного сечения балки позволяет определять низшие частоты и формы колебаний рассматриваемой механической системы для сравнительно коротких оболочек. Розглянуто задачу про межі застосування теорії балок Тимошенка при визначенні згинних коливань кругової циліндричної оболонки з приєднаним абсолютно твердим тілом. Показано, що врахування деформацій зсуву поперечного перерізу балки дозволяє визначати нижчі частоти та форми коливань розглянутої механічної системи для порівняно коротких оболонок. The problem of scope of applicability of the theory of Timoshenko's beams to determination of bending vibrations of a circular cylindrical shell with attached absolute rigid body is considered. It is shown that accounting for shear strains of the beam's cross-section allows to determine the lowest frequencies and vibrational eigenforms of the considered mechanical system for rather short shells. ru Інститут гідромеханіки НАН України О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом On application of the model of Timoshenko's beam to a problem of eigen vibrations of a cylindrical shell with the attached rigid body Article published earlier
spellingShingle	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом Троценко, Ю.В.
title	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
title_alt	On application of the model of Timoshenko's beam to a problem of eigen vibrations of a cylindrical shell with the attached rigid body
title_full	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
title_fullStr	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
title_full_unstemmed	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
title_short	О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
title_sort	о применении модели балки тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/1010
work_keys_str_mv	AT trocenkoûv oprimeneniimodelibalkitimošenkovzadačeosobstvennyhneosesimmetričnyhkolebaniâhcilindričeskoioboločkisprisoedinennymtverdymtelom AT trocenkoûv onapplicationofthemodeloftimoshenkosbeamtoaproblemofeigenvibrationsofacylindricalshellwiththeattachedrigidbody

О применении модели балки Тимошенко в задаче о собственных неосесимметричных колебаниях цилиндрической оболочки с присоединенным твердым телом

Institution

Similar Items