Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью
Рассмотрены системы интегральных уравнений Вольтерры с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Установлены принципиальные отличия таких систем от интегральных уравнений первого и второго родов. Определены условия существования единственного непрерывного решения. Розглянуто системи ін...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2014 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101000 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью / М.В. Булатов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 19-29. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859693950297702400 |
|---|---|
| author | Булатов, М.В. |
| author_facet | Булатов, М.В. |
| citation_txt | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью / М.В. Булатов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 19-29. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрены системы интегральных уравнений Вольтерры с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Установлены принципиальные отличия таких систем от интегральных уравнений первого и второго родов. Определены условия существования единственного непрерывного решения.
Розглянуто системи інтегральних рівнянь Вольтерри з тотожною виродженою матрицею перед головною частиною. Встановлено принципові відміни таких систем від інтегральних рівнянь першого та другого родів. Визначено умови існування єдиного неперервного розв’язку.
The article deals with a system of Volterra integral equations with a singular matrix before the principal part. The fundamental differences of such systems from integral equations of the first and the second kinds have been established. The conditions of existence of unique continuous solution have been defined.
|
| first_indexed | 2025-12-01T00:19:29Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.968
Ì.Â. Áóëàòîâ, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò äèíàìèêè ñèñòåì è òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÑÎ ÐÀÍ
(Ðîññèÿ, 664033, Èðêóòñê, óë. Ëåðìîíòîâà, 134,
òåë. 8 (3952) 453018, e-mail: mvbul@icc.ru)
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ïåðåä ãëàâíîé ÷àñòüþ*
Ðàññìîòðåíû ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé
ìàòðèöåé ïåðåä ãëàâíîé ÷àñòüþ. Óñòàíîâëåíû ïðèíöèïèàëüíûå îòëè÷èÿ òàêèõ ñèñòåì îò
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäîâ. Îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ
åäèíñòâåííîãî íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ.
Ðîçãëÿíóòî ñèñòåìè ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü Âîëüòåððè ç òîòîæíîþ âèðîäæåíîþ ìàòðèöåþ
ïåðåä ãîëîâíîþ ÷àñòèíîþ. Âñòàíîâëåíî ïðèíöèïîâ³ â³äì³íè òàêèõ ñèñòåì â³ä ³íòåãðàëü-
íèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî òà äðóãîãî ðîä³â. Âèçíà÷åíî óìîâè ³ñíóâàííÿ ºäèíîãî íåïåðåðâíîãî
ðîçâ’ÿçêó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû, èíäåêñ, ìàòðè÷íûå ïîëèíî-
ìû, èíòåãðî-àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ.
Ïåðâûå ðåçóëüòàòû, îòíîñÿùèåñÿ ê òåîðèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, áûëè
ïîëó÷åíû â íà÷àëå XIX âåêà (Æ.Á. Ôóðüå —1811 ã., Í. Àáåëü — 1823 ã.,
Æ. Ëèóâèëëü — 1837 ã.). Îäíàêî äåòàëüíîå èññëåäîâàíèå òàêèõ óðàâíåíèé
íà÷àëîñü íåñêîëüêî ïîçæå — â êîíöå XIX è â íà÷àëå XX âåêà — è ñâÿçàíî ñ
èìåíàìè Â. Âîëüòåððû è Ý.È. Ôðåäãîëüìà. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè îïóá-
ëèêîâàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìîíîãðàôèé è ñòàòåé, ïîñâÿùåííûõ ðàç-
ëè÷íûì àñïåêòàì êà÷åñòâåííîé òåîðèè è òåîðèè ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøå-
íèÿ ðàçëè÷íûõ êëàññîâ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå
ïðîáëåìû, èñòîðè÷åñêèé îáçîð è äîñòàòî÷íî ïîëíóþ áèáëèîãðàôèþ ìîæ-
íî íàéòè â ðàáîòàõ [1—8].
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü âçàèìîñâÿçàííûå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëü-
òåððû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà, êîãäà ÷èñëî óðàâíåíèé ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì
èñêîìûõ ôóíêöèé. Îáúåäèíèâ ýòè óðàâíåíèÿ â îäíó ñèñòåìó, ïîëó÷èì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 19
* Èññëåäîâàíèÿ ïîääåðæàíû ãðàíòîì ÐÔÔÈ ¹ 13-01-93002-Âüåò_à.
� Ì.Â. Áóëàòîâ, 2014
ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ãëàâíîé
÷àñòüþ. Òàêèå çàäà÷è ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò êëàññè÷åñêèõ èíòå-
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà. Ïîýòîìó èñ-
ïîëüçîâàòü ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ êëàññè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ óðàâ-
íåíèé, íå âñåãäà âîçìîæíî. Èññëåäîâàíèå òàêèõ óðàâíåíèé íà÷àëîñü îòíî-
ñèòåëüíî íåäàâíî — ïåðâàÿ ñòàòüÿ âûøëà â 1987 ã. [5, 9, 10—13].
Ñôîðìóëèðóåì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ äëÿ
êëàññà ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé
ãëàâíîé ÷àñòüþ. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåì àïïàðàò ïîëèíîìèàëüíûõ ìàòðèö,
ìàòðè÷íûõ ïó÷êîâ [14, 15] è ïîëóîáðàòíûõ (îáîáùåííûõ îáðàòíûõ) ìàò-
ðèö [14, 16].
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
A t x t K t x d f t
t
( ) ( ) ( , ) ( ) ( )� ��
0
� � � , 0� � �� �t , (1)
ãäå A t( ) è K t( , )� — (n n )-ìàòðèöû; f t( ) è x t( )— çàäàííàÿ è èñêîìàÿ
n-ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè. Ïîä ðåøåíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû áóäåì ïîíè-
ìàòü ëþáóþ íåïðåðûâíóþ âåêòîð-ôóíêöèþ, îáðàùàþùóþ (1) â òîæäåñò-
âî. Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýëåìåíòû ìàòðèö A t( ), K t( , )� è âåêòî-
ðû ôóíêöèé f t( ) è x t( ) îáëàäàþò íåîáõîäèìîé ñòåïåíüþ ãëàäêîñòè.
Ïðèìåì ñëåäóþùóþ êëàññèôèêàöèþ ñèñòåìû (1) [2, 3, 6]:
1) åñëè A t( )
0 — íóëåâàÿ ìàòðèöà, òî òàêèå çàäà÷è íàçûâàþò ñèñòå-
ìàìè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ïåðâîãî ðîäà (ÈÓÂ1);
2) åñëè A t E( )
— åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà èëè det ( )A t � 0 �
t [ , ]0 1 , òî
òàêèå çàäà÷è íàçûâàþò ñèñòåìàìè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû
âòîðîãî ðîäà (ÈÓÂ2);
3) åñëè det ( )A t j �0, t j
[ , ]0 1 , òî òàêèå çàäà÷è íàçûâàþò ñèñòåìàìè
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû òðåòüåãî ðîäà (ÈÓÂ3), à òî÷êè t j , â
êîòîðûõ ïðîèñõîäèò âûðîæäåíèå ìàòðèöû A t( ), — îñîáûìè òî÷êàìè.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ è ÷èñëåííûå ìåòîäû äëÿ
ÈÓÂ2, â òîì ÷èñëå è ñ ðàçëè÷íûìè îñîáåííîñòÿìè â ÿäðå, äîñòàòî÷íî ïîë-
íî ðàçðàáîòàíà [2—4, 6]. Èçâåñòíû ìíîãî÷èñëåííûå ïóáëèêàöèè ïî ðàç-
ëè÷íûì àñïåêòàì êà÷åñòâåííîé òåîðèè è ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ íåêîòîðûõ
êëàññîâ ÈÓÂ1 è ÈÓÂ3 [1, 3, 5 —7, 17].
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (1) ïðè óñëîâèè
det ( )A t
0 . (2)
Òàêèå óðàâíåíèÿ ïðèíÿòî íàçûâàòü èíòåãðî-àëãåáðàè÷åñêèìè óðàâíå-
íèÿìè (ÈÀÓ), à òàêæå ñèñòåìàìè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ÷åò-
âåðòîãî ðîäà [12] è èíòåãðàëüíûìè àíàëîãàìè äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåá-
Ì.Â. Áóëàòîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÄÀÓ) [18]. Åñëè x t( ) — ôóíêöèÿ, òî ðàññìàòðèâàå-
ìûå çàäà÷è áóäóò ÈÓÂ1:
0
t
K t x d f t� �( , ) ( ) ( )� � � , 0� � �� �t , (3)
ãäå K t( , )� è f t( ) — çàäàííûå ôóíêöèè.
Èçâåñòíî [2, 7, 8], ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
K t K t K t t
t t t t
r
t
r
( , ) ( , ) ... ( , ) ( , )( )� � � �� � �� �
�
�
� � � ��2
2 0 ,
K t k t
t
r
t
r�
�
�
� �
1
1 0( ) ( , ) ( )�
�
, t
[ , ]0 1 , (4)
f f f r( ) ( ) ... ( )( )0 0 0 01� � � � ��
óðàâíåíèå (3) èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå è ýêâèâàëåíòíî
ÈÓÂ2
x t K t x d t
t
( ) ( , ) ( ) ( )� ��
0
1 � � � � , 0� � �� �t ,
ãäå
K t
K t
k t
t
r
r
1( , )
( , )
( )
( )
�
�
� , � ( )
( )
( )
( )
t
f t
k t
r
� .
×èñëî r ïðèíÿòî íàçûâàòü èíäåêñîì íåêîððåêòíîñòè óðàâíåíèÿ (3) [1,
19]. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáîòàíû ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (3) ñ
èíäåêñîì íåêîððåêòíîñòè r �1 èëè r �2 [1, 5—7, 17]. Ìíîãèå ÷èñëåííûå
àëãîðèòìû äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïðè r �2ïîðîæäàþò íåóñòîé÷èâûå ïðîöåññû.
Äëÿ òîãî ÷òîáû îáîñíîâàòü ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ÈÀÓ (1),
íåîáõîäèìî îòâåòèòü íà íåïðîñòûå âîïðîñû: èìååò ëè èñõîäíàÿ çàäà÷à
ðåøåíèå, è åñëè èìååò, òî åäèíñòâåííîå ëè îíî. Ïðèâåäåì ïðèìåðû.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó
a u t
v t
b
c d t
u
v
t
0
0 0
0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
��
( )
( ) ( )
( )
(�
�
�)
( )
( )
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�d
t
t
�
�
�
, (5)
ãäå a, b, c, d — ñêàëÿðíûå ïàðàìåòðû. Åñëè a � 0, b � 0, c � 0, d � 0, � ( )t �
� �� ( )t 0 è ad cb� �0, òî íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò
ìíîæåñòâî ðåøåíèé u g t� ( ), v ag t b� � �( ) / , ãäå �g t( ) — ëþáàÿ íåïðåðûâíî
äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ.
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 21
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî òî÷êè, â êîòîðûõ ìàòðèöà A t( )ìåíÿåò ñâîé ðàíã,
íå âñåãäà ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè. Íàïðèìåð, â ñèñòåìå
� �
�
( ) ( )
( )
( )
( )
t u t
v t
u
v
t
0
0 0
1 0
0 1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�d
f t
�
0
( )
, f ( )0 0� , (6)
òî÷êè, â êîòîðûõ�( )t îáðàùàåòñÿ â íóëü, ÿâëÿþòñÿ îñîáûìè.  ÷àñòíîñòè,
åñëè �( )t t� � , òî äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ñåìåéñòâî ðåøåíèé u t c( ) � ,
v t f t( ) ( )� � , ãäå c — ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî.
Àíàëîãè÷íàÿ ïðåäûäóùåé ñèñòåìà
� �
�
( ) ( )
( )
( )
( )
t u t
v t
u
v
t
0
0 0
0 1
1 0
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�d
f t
�
0
( )
, f ( )0 0� , (7)
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå u t f t( ) ( )� � , v t t f t( ) ( ( ) ( ))� � � �� ïðè ëþáûõ
çíà÷åíèÿõ f t( ) è �( )t , óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì f ( )0 0� , � ( ) ( )0 0 0� �f
è f t C( )
1,� ( ) ( )t f t C�
1. Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ðåçóëüòàòà î ñóùåñòâîâàíèè
åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) ïðèâåäåì íåîáõîäèìûå ñâåäåíèÿ.
Ìàòðè÷íûå ïó÷êè è ìíîãî÷ëåíû. Ïðèâåäåì ñëåäóþùèå îïðåäå-
ëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1 [15]. Ïó÷êîì ìàòðèö íàçîâåì ñóììó �A B� , ãäå � —
ñêàëÿð; A è B — (m n )-ìàòðèöû.
Îïðåäåëåíèå 2 [14]. Åñëè m n� è îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû �A B� òîæ-
äåñòâåííî íå ðàâåí íóëþ, òî ìàòðè÷íûé ïó÷îê íàçûâàþò ðåãóëÿðíûì.  ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå (m n� èëè det ( )�A B�
0 ) ïó÷îê íàçûâàþò ñèíãóëÿðíûì.
Îïðåäåëåíèå 3 [14]. Èíäåêñîì ðåãóëÿðíîãî ìàòðè÷íîãî ïó÷êà íàçû-
âàþò ìèíèìàëüíîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî l, ïðè êîòîðîì ñïðà-
âåäëèâî ðàâåíñòâî
rank rank(( ) ) (( ) )� �A B A A B Al l� � �� � �1 1 1 .
Îïðåäåëåíèå 4 [9]. Ïó÷îê ïåðåìåííûõ ìàòðèö �A t B t( ) ( )� óäîâëåòâî-
ðÿåò êðèòåðèþ «ðàíã—ñòåïåíü» (èìååò ïðîñòóþ ñòðóêòóðó è èíäåêñ 1) íà
îòðåçêå [0, 1], åñëè rank constA t r( ) � �1 �
t [ , ]0 1 è deg det (�A t B t( ) ( ))� �
� �r1 const�
t [ , ]0 1 . Çäåñü deg ( )� îçíà÷àåò ïîêàçàòåëü ñòåïåíè ïîëèíî-
ìà ïî �.
Îïðåäåëåíèå 5. Íàçîâåì �-ìàòðèöåé ñòåïåíè k ìàòðèöó âèäà
A A
j
l
k j
j( )� ��
�
��
0
,
ãäå A A Ak0 1, ,..., — ìàòðèöû îäèíàêîâûõ ðàçìåðíîñòåé.
Ì.Â. Áóëàòîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Ïðè èññëåäîâàíèè ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ âàæíîå
çíà÷åíèå èìååò ñëåäóþùåå.
Îïðåäåëåíèå 6 [18]. Êâàäðàòíàÿ �-ìàòðèöà
A A
j
k
k j
j( )� ��
�
��
0
, A0 0� ,
îáëàäàåò äîìèíàíòíûì ñâîéñòâîì (ÄÑ), åñëè deg det rankA k A( )� � 0.
Îïðåäåëåíèå 7 [14, 16]. Ìàòðèöà, îáîçíà÷àåìàÿ äàëåå A� , íàçûâàåòñÿ
ïîëóîáðàòíîé ê ìàòðèöå A, åñëè îíà óäîâëåòâîðÿåò ìàòðè÷íîìó óðàâíå-
íèþ AAA A� � , êîòîðîå ïåðåïèøåì â âèäå ( )E AA A� �� 0 .
Åñëè det A � 0, òî ïîëóîáðàòíàÿ ìàòðèöà — åäèíñòâåííàÿ è ñîâïàäàåò ñ
îáðàòíîé, à åñëè det A �0, òî A� îïðåäåëåíà êàê íååäèíñòâåííàÿ. Îäíîé èç
ïîëóîáðàòíûõ ìàòðèö ÿâëÿåòñÿ ïñåâäîîáðàòíàÿ ìàòðèöà, êîòîðàÿ ñóùåñò-
âóåò è îïðåäåëåíà åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì äëÿ ëþáîé (â òîì ÷èñëå è
ïðÿìîóãîëüíîé) ìàòðèöû A [16].
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà �-ìàòðèö.
Ñâîéñòâî 1. Åñëè A ( )� — ðåãóëÿðíàÿ ìàòðèöà, íå îáëàäàþùàÿ ÄÑ, òî
ñóùåñòâóåò öåëîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî m òàêîå, ÷òî ìàòðèöà � �mA ( ) îá-
ëàäàåò ÄÑ.
Ñâîéñòâî 2. Åñëè ìàòðèöà A ( )� îáëàäàåò ÄÑ, òî ìàòðèöà ( (E E� ��
� �A A A0 0
� )) ( ) òàêæå îáëàäàåò ÄÑ.
Îáðàçóåì öåïî÷êó �-ìàòðèö ïî ïðàâèëó
A E E A A Ai i i i( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( )) ( )� � � �� � � � � �
0
1
0
1 1 , (8)
ãäå A A
0
0
0
( ) � , A A
0
0
0
( ) ( ) ( )� �� , i p�1 2, , ..., . Çäåñü âåðõíèå èíäåêñû óêàçûâàþò
íîìåð èòåðàöèè; A i( )� �1 — ïîëóîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê A i( )�1 . Îïóñêàÿ âûê-
ëàäêè, ïðèâåäåì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå p èç ôîðìóëû (8), ïðè êîòîðîì â
ìàòðèöå
A Ap
j
k
k j
j
p( ) ( )( )� ��
�
��
0
ìàòðèöà A p
0
( ) íåâûðîæäåíà:
p
nk s n r nk s n r
nk s n r
�
� � � �
� �
( ) / ( ), ,
[( ) / ( )
åñëè êðàòíî
]�
�
�
1 â ïðîòèâíîì ñëó àå.
Çäåñü [ ]� — öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà; s A= deg det ( )� ; r A� rank 0; n — ðàçìåðíîñòü
ìàòðèöû A ( )� . Ïðèâåäåííûå âûðàæåíèÿ è ñâîéñòâî 1 ïîçâîëÿþò âû÷èñ-
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 23
÷
ëèòü èíäåêñ ìàòðè÷íîãî ïó÷êà �A B� (ñì. îïðåäåëåíèå 3) äðóãèì ñïî-
ñîáîì:
l
n s n r n s n r
n s n r
�
� � � �
� � �
( ) / ( ), ,
[( ) / ( )]
åñëè êðàòíî
1 â ïðîòèâíîì ñëó àå.
�
�
Çäåñü s A B= deg det (� � ); r A� rank .
Òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ ÈÀÓ. Ïðèâåäåì
äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (1).
Òåîðåìà 1 [9]. Ïóñòü äëÿ çàäà÷è (1) âûïîëíåíû óñëîâèÿ:
1) ýëåìåíòû A t( ) è K t( , )� , f t( ) ïðèíàäëåæàò êëàññó C 1;
2) rank rank (A A f( ) ( )| ( ))0 0 0� ;
3) rank deg det ( constA t A t B t r( ) ( ) ( ))� � � �� 1 �
t [ , ]0 1 .
Òîãäà çàäà÷à (1) èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå.
Óñëîâèå 2 òåîðåìû 1 — ýòî óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè ñèñòåìû ëèíåéíûõ
óðàâíåíèé (òåîðåìà Êðîíåêåðà—Êàïåëëè), óñëîâèå 3 îçíà÷àåò îòñóòñòâèå
íà îòðåçêå [0, 1] ñèíãóëÿðíûõ òî÷åê. Íàïðèìåð, â ñèñòåìå (6) rank A t( ) �1è
deg det (� �A t K t( ) ( , ))� �1, åñëè �( )t � 0. Åñëè �( )t j �0, òî â ýòèõ òî÷êàõ
rank A t( ) �0è deg det ( deg ( ( ) +1) =1� � � �A t K t t( ) ( , ))� � . Òàêèì îáðàçîì, â
òî÷êàõ t j ðàíã A t( ) è ñòåïåíü det (� �A t K t( ) ( , ))� ÿâëÿþòñÿ ïåðåìåííûìè,
ò.å. â ýòèõ òî÷êàõ íàðóøàåòñÿ óñëîâèå 3 òåîðåìû.
 ñèñòåìå (7) deg det ( deg ( 1) = 0� �A t K t( ) ( , ))� � � ïðè ëþáûõ çíà÷å-
íèÿõ �( )t . Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòû òåîðåìû 1 íåïðèìå-
íèìû äëÿ àíàëèçà (â ñèëó èõ äîñòàòî÷íîñòè).
Õàðàêòåðèñòèêîé ñëîæíîñòè ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ ïîíÿ-
òèå èíäåêñà.
Îïðåäåëåíèå 8. Ìèíèìàëüíîå ÷èñëî r, ïðè êîòîðîì ñóùåñòâóåò ëè-
íåéíûé äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð,
L Z t Z t
d
dt
Z t
d
dt
r r
r
� � � � �
�
�
�
�
�0 1( ) ( ) ... ( ) ,
ãäå Z tj ( ), j r�0 1, , ..., , — (n n )-ìàòðèöû ñ íåïðåðûâíûìè ýëåìåíòàìè, òà-
êîé, ÷òî
L A t x t K t x d A t x t K t xr
t t
�( ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) (� �� �
0 0
� � �! � � � �) d ,
ãäå det A t( ) � 0�
t [ , ]0 1 , íàçîâåì èíäåêñîì ÈÀÓ (1).  ÷àñòíîñòè, åñëè äëÿ
ñèñòåìû (1) âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû 1, òî åå èíäåêñ ðàâåí åäèíèöå è
îïåðàòîð L1 ìîæíî âûáèðàòü â âèäå
L E E A t A t
d
dt
1 � � � �( ( ) ( ))
Ì.Â. Áóëàòîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
÷
èëè
L A t A t E A t A t
d
dt
1 � � �� �( ) ( ) ( ( ) ( )) .
Äëÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ðîäà (3) ïðè óñëîâèÿõ (4) îïðå-
äåëåíèå 8 ñîâïàäàåò ñ ïîíÿòèåì èíäåêñà íåêîððåêòíîñòè.  ýòîì ñëó÷àå
îïåðàòîð èìååò âèä L
d
dt
r
r
��
�
�
�
�
� .
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé çàäà÷è (1):
Ax t K t x d f t
t
( ) ( ) ( ) ( )� � ��
0
� � � , 0� � �� �t , (9)
ãäå A — ïîñòîÿííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, detA �0. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ âîï-
ðîñà î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è (9) ìîæíî ïðè-
ìåíÿòü ðàçëè÷íûå èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ. Îäíàêî ïðè òàêîì ïîä-
õîäå ïðèäåòñÿ âû÷èñëÿòü ðÿä íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ
íåïðîñòîé çàäà÷åé.
Âûäåëèì ñåìåéñòâî çàäà÷ (9), äëÿ êîòîðûõ ïðèâåäåì äîñòàòî÷íî ïðîñ-
òîå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ èíäåêñà è ïðåäëîæèì ðåäóêöèþ ê ñèñòåìå ÈÓÂ2.
Îáîçíà÷èì
A0 = A, A Ki
i� �( ) ( )1 0 , i r�1 2, , ..., , (10)
ãäå A è K u( ) — òå æå ìàòðèöû, ÷òî è â èñõîäíîì óðàâíåíèè (9). Îáðàçóåì
öåïî÷êó óðàâíåíèé
A x t K t x d f ti
t
i i
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � ��
0
� � � , 0� � �� �t , (11)
ãäå
A x t A V Ki i
i i
( ) ( )( ) ( )� ��
� �
1
1 1 0 ; (12)
K u K u V K ui i i i( ) ( ) ( )� � �� � �1 1 1 ; (13)
f ti ( ) � � �� � �f t V f ti i i1 1 1( ) ( ) ; (14)
A A( )0 � , K u K u0( ) ( )� , f t f t0( ) ( )� ;
V Ei� � �1 A Ai i( ) ( )� � �1 1 ;
A i( )� �1 — ïîëóîáðàòíàÿ ìàòðèöà ê ìàòðèöå A i( )�1 , i r�1 2, , ..., .
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 25
Ñôîðìóëèðóåì áåç äîêàçàòåëüñòâà âûâîä î ñóùåñòâîâàíèè åäèíñòâåííî-
ãî íåïðåðûâíîãî ðåøåíèÿ è ðàññìîòðèì âû÷èñëåíèå èíäåêñà ÈÀÓ (9).
Òåîðåìà 2. Ïóñòü äëÿ çàäà÷è (9) âûïîëíåíû è ñëåäóþùèå óñëîâèÿ:
1) äëÿ ÈÀÓ ñóùåñòâóåò òàêîå r, ÷òî ìàòðèöà A ( )� îáëàäàåò ÄÑ, ãäå Ai
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (10);
2) rank rank (A A fi i
i
( ) ( ) | ( ))� 0 , i r� �0 1 1, ,..., ;
3) ýëåìåíòû ïðàâîé ÷àñòè è ÿäðà K u( ) ïðèíàäëåæàò êëàññó C r�1.
Òîãäà:
1) èñõîäíîå ÈÀÓ (9) ýêâèâàëåíòíî ëþáîé èç ÈÀÓ (11);
2) ÈÀÓ (9) èìååò åäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå ðåøåíèå;
3) ïðè i r� â ñèñòåìå (11) det ( )A r � 0 (ò.å. (11) ïðè i r� ÿâëÿåòñÿ ñèñ-
òåìîé ÈÓÂ2).
Ïðèìåíèì òåîðåìó 2 ê íåîäíîðîäíîé ñèñòåìå (5) ñ ïàðàìåòðàìè a �1è
c �1. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó
1 0
0 0
0
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
�
�
�
��
u t
v t
b
d t
u
v
t
( )
( ) ( )
( )
(�
�
�)
( )
( )
�
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�d
t
t
�
�
�
, 0� � �� �t , (15)
ãäå b è d — ïàðàìåòðû. Âíà÷àëå âûÿñíèì, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ, íàêëà-
äûâàåìûõ íà ïðàâóþ ÷àñòü è ïàðàìåòðû b è d, äàííàÿ ñèñòåìà èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, è íàéäåì åãî. Ïîäñòàâèâ â ñèñòåìó t �0, ïîëó÷èì
óñëîâèå� ( )t �0. Äèôôåðåíöèðóÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (15), íàõîäèì
u t t d v d
t
( ) ( ) ( )� � � �� � �
0
.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (15), ïîëó÷àåì
0
t
b d v d t t� � � �( ) ( ) ( ) ( )� � �� � .
Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé � �( ) ( )0 0 0� � � è b d� ïîñëåäíåå óðàâíåíèå
èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå
v t
t t
b d
( )
( ) ( )
�
� �� � �
�
.
Ïðèìåíèì äëÿ ýòîé ñèñòåìû òåîðåìó 2. Âû÷èñëÿåì èíäåêñ ñèñ-
òåìû (15). Ìàòðèöà� �A A A K0 1 0� � � ( )íå îáëàäàåò ÄÑ, òàê êàê rank A0 1� ,
à deg det ( deg (1) = 0�A K� �( ))0 . Ìàòðèöà
� � � �" "A A A A K K s
s0 1 2 0
0� � � � � �
�( ) ( )
Ì.Â. Áóëàòîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
îáëàäàåò ÄÑ ïðè b d� , òàê êàê
deg det (� �" "A K K s d b
s
� � � � � ��( ) ( ) ) deg (( ) )0 2
0
.
Ñëåäîâàòåëüíî, äàííàÿ ñèñòåìà èìååò èíäåêñ 2, ò.å. â öåïî÷êå (11) ïðè i �2
ïîëó÷èì ñèñòåìó ÈÓÂ2.
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (11) ïðè i �1, i �2 è óñëîâèÿ íà ïðàâóþ ÷àñòü.
Ñîãëàñíî óñëîâèþ 2 òåîðåìû 2 � ( )0 0� , à â ñèñòåìå
A x t K t x d f t
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
0
1 1� � �� � � � , (16)
ìàòðèöû A( )1 , K t1( ��! è f t
1
( ) îïðåäåëåíû â âèäå (ñì. ôîðìóëû (12)—(14))
A A VK( ) ( )1 0
1 0
1 0
� � ��
�
�
�
�
� ,
K t K t VK t
b
d t
t1
0
1 1
( ) ( ) ( )
( )
� � � � � � �
� �
�
�
�
�
�
�� � �
�
,
f f t Vf t t tt T
1
( ) ( ) ( ( ), ( ) ( ))� � � � � �� � � , V E AA� � � .
Çäåñü è äàëåå äëÿ ïðîñòîòû âû÷èñëåíèé ïîëîæèì, ÷òî A A� �� — ïñåâäîîá-
ðàòíàÿ ìàòðèöà [14—16].
Äëÿ ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (16) ñîãëàñíî óñëîâèþ 2 òåî-
ðåìû 2 (rank rank (A A f( ) ( ) | ( ))1 1
1 0� ) íàõîäèì �( )0 �� � � �� �( ) ( )0 0 0, à ñ ó÷å-
òîì � ( )0 0� ïîëó÷àåì � �( ) ( )0 0 0� � � .
 ñèñòåìå
A x t K t x d f t
t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0
2 2� � �� � � � , (17)
ó÷èòûâàÿ, ÷òî
V E A A1
1 1 0 5 0 5
0 5 0 5
� � �
�
�
�
�
�
�
�
��( ) ( ) , ,
, ,
,
ìàòðèöû A( )2 , K t2( )�� è f 2 îïðåäåëåíû â âèäå
A A V K
b d
b d
( ) ( ) ( )
, , ( )
, , ( )
2 1
1 1 0
0 5 0 5
15 0 5
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
� ,
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 27
K t K t V K t
b d
d t
t2 1 1
0 0 5
1
( ) ( ) ( )
,
( )
� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� ��#$
� ,
f t f t V f t t t t
2 1 1 0 5( ) ( ) ( ) ( ( ) , ( ( ) ( )� � � � � � � � �� � �
� �� � � � �� � �� � � � �( ), ( ) , ( ) , ( ( ) ( ))t t t t t T15 0 5 ,
V E A A1
1 1� � �( ) ( ) .
Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ çàäà÷è b d� è det ( )A d b2 � � , ñèñòåìà (17) ÿâëÿåòñÿ
ñèñòåìîé ÈÓÂ2. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî â äàííîì
ïðèìåðå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû (11) ïðè i �1 2, ñîâïàäàþò ñ ðåøå-
íèåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ.
Âûâîäû
Ñâîéñòâà ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé
ìàòðèöåé ïåðåä ãëàâíîé ÷àñòüþ ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ñâîéñòâ, õà-
ðàêòåðèçóþùèõ êà÷åñòâî òðàäèöèîííûõ âèäîâ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
Âîëüòåððû I è II ðîäà. Äàííûé âûâîä ñëåäóåò èç ïðèâåäåííûõ îïðåäå-
ëåíèé õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì óðàâíåíèé è
äîêàçàííûõ òåîðåì î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè èõ ðåøåíèé.
The article deals with a system of Volterra integral equations with a singular matrix before the
principal part. The fundamental differences of such systems from integral equations of the first
and the second kinds have been established. The conditions of existence of unique continuous
solution have been defined.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Àïàðöèí À.Ñ. Íåêëàññè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû I ðîäà: òåîðèÿ è ÷èñëåííûå ìå-
òîäû. — Íîâîñèáèðñê: Íàóêà. Ñèáèðñêàÿ èçäàòåëüñêàÿ ôèðìà ÐÀÍ, 1999. — 192 ñ.
2. Âåðëàíü À.Ô. Ñèçèêîâ Â.Ñ. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ: ìåòîäû, àëãîðèòìû, ïðîãðàììû. —
Êèåâ : Íàóê. Äóìêà, 1986. — 543 ñ.
3. Êðàñíîâ Ì.Ë. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1975. — 304 ñ.
4. Ñàìêî Ñ.Ã., Êèëáàñ À.À., Ìàðè÷åâ Î.È. Èíòåãðàëû è ïðîèçâîäíûå äðîáíîãî ïîðÿäêà è
íåêîòîðûå èõ ïðèëîæåíèÿ. —Ìèíñê: Íàóêà è òåõíèêà, 1987. — 688 ñ.
5. Brunner H. Collocation Methods for Volterra Integral and Related Funktional Differential
Equations. — Cambridge University Press, 2004. — 597 ñ.
6. Brunner H., van der Houwen P.J. The Numerical Solution of Volterra Equations. CWI
Monographs 3. — North-Holland, Amsterdam,1986. — 588 ñ.
7. Linz P. Analytical and Numerical Methods for Volterra Equations. — Studies in Applied
Mathematics. — Philadelphia, 1985. — 227 ñ.
8. Brunner H. 1896—1996: One Hundred Years of Volterra Integral Equations of the First
Kind // Applied Numerical Mathematics. — 1997. — Vol. 24. — Ð. 83—93.
Ì.Â. Áóëàòîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
9. ×èñòÿêîâ Â.Ô. Î ñèíãóëÿðíûõ ñèñòåìàõ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé è èõ èíòåãðàëüíûõ àíàëîãàõ // Ôóíêöèè Ëÿïóíîâà è èõ ïðèìåíåíèÿ. — Íîâîñè-
áèðñê : Íàóêà, 1987. — Ñ. 231—239.
10. Áóëàòîâ Ì.Â., Áóäíèêîâà Î.Ñ. Èññëåäîâàíèå ìíîãîøàãîâûõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ èíòåã-
ðî-àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: ïîñòðîåíèå îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè // Æóðí. âû÷èñëèòåëü-
íîé ìàòåìàòèêè è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — 2013. — 53, ¹ 9. — C. 1448— 1459.
11. Áóëàòîâ Ì.Â. Ðåãóëÿðèçàöèÿ âûðîæäåííûõ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé// Òàì æå. —
2002. — 42, ¹ 3. — C. 58—63.
12. ×èñòÿêîâ Â.Ô. Î íåêîòîðûõ ñâîéñòâàõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû 4-ãî ðîäà
ñ ÿäðîì òèïà ñâåðòêè // Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè. — 2006. — 80 (1). — Ñ. 115—118.
13. Hadizadeh M., Ghoreishi F., Pishbin S. Jacobi Spectral Solution for Integral Algebraic
Equations of Index-2 // Applied Numerical Mathematics. — 2011. — Vol. 161 (1). —
P. 131—148.
14. Áîÿðèíöåâ Þ.Å. Ðåãóëÿðíûå è ñèíãóëÿðíûå ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé. — Íîâîñèáèðñê : Íàóêà, 1980. — 222 ñ.
15. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 576 ñ.
16. Âààðìàí Î. Îáîáùåííûå îáðàòíûå îòîáðàæåíèÿ. —Òàëëèíí : Âàëãóñ, 1988. — 120 ñ.
17. Òåí Ìåí ßí. Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ëèíåéíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû I
ðîäà: Àâòîðåô. äèñ.... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê . — Èðêóòñê, 1985. — 160 ñ.
18. Bulatov M.V., Chistyakov V.F. The properties of differential-algebraic systems and their in-
tegral analogs// Preprint. — Memorial University of Newfoundland, 1997. — Ð. 35.
19. Àïàðöèí À.Ñ. Äèñêðåòèçàöèîííûå ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè íåêîòîðûõ èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé ïåðâîãî ðîäà // Ñá. òð. «Ìåòîäû ÷èñëåííîãî àíàëèçà è îïòèìèçàöèè». —
Íîâîñèáèðñê : Íàóêà, 1987. — Ñ. 263—297.
Ïîñòóïèëà 14.02.14
ÁÓËÀÒÎÂ Ìèõàèë Âàëåðüÿíîâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ãë. íàó÷. ñîòð. Èí-òà äèíàìèêè ñèñòåì è
òåîðèè óïðàâëåíèÿ ÑÎ ÐÀÍ (ã. Èðêóòñê).  1982 ã. îêîí÷èë Èðêóòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îá-
ëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèõ è
èíòåãðî-àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ÷èñëåííîå ðåøåíèå îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ, äèô-
ôåðåíöèàëüíî-àëãåáðàè÷åñêèõ, èíòåãðî-àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé
Âîëüòåððû.
Èññëåäîâàíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ òîæäåñòâåííî âûðîæäåííîé ìàòðèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 29
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101000 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T00:19:29Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Булатов, М.В. 2016-05-29T17:05:16Z 2016-05-29T17:05:16Z 2014 Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью / М.В. Булатов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 19-29. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101000 517.968 Рассмотрены системы интегральных уравнений Вольтерры с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Установлены принципиальные отличия таких систем от интегральных уравнений первого и второго родов. Определены условия существования единственного непрерывного решения. Розглянуто системи інтегральних рівнянь Вольтерри з тотожною виродженою матрицею перед головною частиною. Встановлено принципові відміни таких систем від інтегральних рівнянь першого та другого родів. Визначено умови існування єдиного неперервного розв’язку. The article deals with a system of Volterra integral equations with a singular matrix before the principal part. The fundamental differences of such systems from integral equations of the first and the second kinds have been established. The conditions of existence of unique continuous solution have been defined. Исследования поддержаны грантом РФФИ № 13-01-93002-Вьет_а. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью Булатов, М.В. Математические методы и модели |
| title | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| title_full | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| title_fullStr | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| title_full_unstemmed | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| title_short | Исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| title_sort | исследование интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101000 |
| work_keys_str_mv | AT bulatovmv issledovanieintegralʹnyhuravneniistoždestvennovyroždennoimatriceiperedglavnoičastʹû |