Метод обеспечения адекватности динамических моделей
Исследована задача синтеза адекватного математического описания физических процессов. Показано, что в общем случае эта задача сводится к решению нескольких интегральных уравнений Вольтерры первого рода (некорректная задача). Предложено несколько возможных постановок таких задач. Для получения устойч...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101001 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод обеспечения адекватности динамических моделей / Ю.Л. Меньшиков // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 31-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860256284327018496 |
|---|---|
| author | Меньшиков, Ю.Л. |
| author_facet | Меньшиков, Ю.Л. |
| citation_txt | Метод обеспечения адекватности динамических моделей / Ю.Л. Меньшиков // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 31-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Исследована задача синтеза адекватного математического описания физических процессов. Показано, что в общем случае эта задача сводится к решению нескольких интегральных уравнений Вольтерры первого рода (некорректная задача). Предложено несколько возможных постановок таких задач. Для получения устойчивых результатов синтеза использована модификация метода регуляризации.
Досліджено задачу синтезу адекватного математичного опису фізичних процесів. Показано, що в загальному випадку ця задача зводиться до розв’язку декількох інтегральних рівнянь Вольтерри першого роду (некоректна задача). Запропоновано декілька можливих постановок таких задач. Для отримання стійких результатів синтезу використано модифікацію методу регуляризації.
The problem of synthesis of adequate mathematical description of physical processes has been studied. It is shown that in the general case, this problem is reduced to solution of some first kind Volterra integral equations (ill-posed problem). Several possible statements of such problems were proposed. Modifications of the regularization method were used for obtaining stable results of synthesis.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:49:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 518: 517.948
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Äíåïðîïåòðîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Î. Ãîí÷àðà
(Óêðàèíà, 49050, Äíåïðîïåòðîâñê, ïð-ò Ãàãàðèíà,72,
òåë. (056) 7609461, å-mail: Menshikov2003@list.ru)
Ìåòîä îáåñïå÷åíèÿ
àäåêâàòíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
Èññëåäîâàíà çàäà÷à ñèíòåçà àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåñ-
ñîâ. Ïîêàçàíî, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ íåñêîëüêèõ èíòåãðàëü-
íûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ïåðâîãî ðîäà (íåêîððåêòíàÿ çàäà÷à). Ïðåäëîæåíî íåñêîëüêî
âîçìîæíûõ ïîñòàíîâîê òàêèõ çàäà÷. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñòîé÷èâûõ ðåçóëüòàòîâ ñèíòåçà
èñïîëüçîâàíà ìîäèôèêàöèÿ ìåòîäà ðåãóëÿðèçàöèè.
Äîñë³äæåíî çàäà÷ó ñèíòåçó àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷íîãî îïèñó ô³çè÷íèõ ïðîöåñ³â. Ïîêà-
çàíî, ùî â çàãàëüíîìó âèïàäêó öÿ çàäà÷à çâîäèòüñÿ äî ðîçâ’ÿçêó äåê³ëüêîõ ³íòåãðàëüíèõ
ð³âíÿíü Âîëüòåððè ïåðøîãî ðîäó (íåêîðåêòíà çàäà÷à). Çàïðîïîíîâàíî äåê³ëüêà ìîæëèâèõ
ïîñòàíîâîê òàêèõ çàäà÷. Äëÿ îòðèìàííÿ ñò³éêèõ ðåçóëüòàò³â ñèíòåçó âèêîðèñòàíî ìîäè-
ô³êàö³þ ìåòîäó ðåãóëÿðèçàö³¿.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, àäåêâàòíîñòü, èíòåãðàëüíûå
óðàâíåíèÿ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëè-
ðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì èëè ïðîöåññîâ ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå ñ çàäàí-
íîé òî÷íîñòüþ ðåçóëüòàòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííû-
ìè (èçìåðåíèÿìè). Ïîä ìàòåìàòè÷åñêèì îïèñàíèåì ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà
ïîíèìàåòñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ñâÿçü (äèôôåðåíöèàëüíàÿ, àëãåáðàè÷åñêàÿ, èí-
òåãðàëüíàÿ è äð.) ìåæäó âûáðàííûìè ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ èññëåäóå-
ìîé ñèñòåìû è âíåøíèìè âîçäåéñòâèÿìè (íàãðóçêàìè). Ïîýòîìó çàäà÷à
îáåñïå÷åíèÿ àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêèõ ïðîöåñ-
ñîâ ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâíûõ ýòàïîâ ìåòîäà ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ [1, 2]. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðåìåííûå ñîñòîÿíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñîîòâåòñòâóþò âûáðàííûì õàðàêòåðèñòèêàì ðåàëü-
íîãî ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà. Åñòåñòâåííî, ñòðóêòóðà ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè,
÷èñëî ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ, çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ìîãóò áûòü ðàçëè÷-
íûìè è îïðåäåëÿòüñÿ öåëÿìè èçó÷åíèÿ êîíêðåòíîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è [3, 4].
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 31
� Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ, 2014
Çàäà÷à ñèíòåçà àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ â íàñòîÿùåå
âðåìÿ îñòàåòñÿ ìàëîèçó÷åííîé è ïëîõî ôîðìàëèçóåòñÿ [1, 5]. Ïðè ðåøåíèè
ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ èññëåäîâàòåëè, êàê ïðàâèëî, ïîëüçóþòñÿ ìàòåìàòè-
÷åñêèìè îïèñàíèÿìè, ïîëó÷åííûìè äðóãèìè àâòîðàìè, à ñàìîñòîÿòåëü-
íóþ çàäà÷ó ïîëó÷åíèÿ òàêèõ îïèñàíèé íå ðåøàþò [3, 4]. Îäíàêî ïðè
ïðîâåðêå âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ àäåêâàòíîñòè âîçíèêàþò ïðèíöèïèàëüíûå
òðóäíîñòè. Íàïðèìåð, êàê ïðîâåðèòü àäåêâàòíîñòü ïîñòðîåííîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îïèñàíèÿ â äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ?  íîâûõ ýêñïåðèìåí-
òàõ ìîãóò èçìåíèòüñÿ ïàðàìåòðû ïðîöåññà è âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ íà
íåãî. Ãäå ãàðàíòèè, ÷òî â íîâûõ óñëîâèÿõ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå
àäåêâàòíîñòè? Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íåîáõîäèìîå ñîâïàäåíèå ñ
ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòîâ óæå íå áóäåò âûïîëíÿòüñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
íåîáõîäèìî ñòðîèòü íîâîå îïèñàíèå ïðîöåññà â íîâûõ óñëîâèÿõ. Äàëåå
ïðîöåññ ïðîâåðêè àäåêâàòíîñòè ïîâòîðÿåòñÿ.
Ïðîáëåìîé òàêæå ÿâëÿåòñÿ îöåíêà ñòåïåíè ñîâïàäåíèÿ ðåçóëüòàòîâ
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Âî ìíî-
ãèõ ñëó÷àÿõ íåîáõîäèìî ñðàâíèâàòü âçàèìíîå îòêëîíåíèå äâóõ âåêòîð-ôóíê-
öèé â íåêîòîðîì ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå ñ âûáðàííîé ìåòðèêîé.
Îäíàêî ñïîñîáîâ çàäàíèÿ ìåòðèê ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Êðîìå
òîãî, åñòü íåîïðåäåëåííîñòü â âûáîðå äèàïàçîíà èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ, íà
êîòîðîì ñðàâíèâàþòñÿ äâå âåêòîð-ôóíêöèè. Î÷åâèäíî, ÷òî îäèí è òîò æå
ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ ìîæåò èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî àäåêâàòíûõ
ìàòåìàòè÷åñêèõ îïèñàíèé. Ýòè íåîïðåäåëåííîñòè óñëîæíÿþò ôîðìàëè-
çàöèþ çàäà÷è.
Ïåðå÷èñëåííûå òðóäíîñòè ìîãóò áûòü ÷àñòè÷íî ïðåîäîëåíû, åñëè â
îïðåäåëåíèè àäåêâàòíîñòè èçìåíèòü íåêîòîðûå óñëîâèÿ.
Îïðåäåëåíèå. Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå áóäåì ïîëàãàòü àäåêâàòíûì
èññëåäóåìîìó ïðîöåññó, åñëè ðåçóëüòàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâà-
íèÿ (simulation) ñîâïàäàþò ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè
äàííûìè (èçìåðåíèÿìè), à ïàðàìåòðû àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïè-
ñàíèÿ óñòîé÷èâû ê ìàëûì èçìåíåíèÿì èñõîäíûõ äàííûõ [6].
Ïðè òàêîé ôîðìóëèðîâêå áëèçîñòü ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìî-
äåëèðîâàíèÿ è áóäóùèõ ðåçóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà ïðè ìàëûõ èçìåíåíèÿõ
èñõîäíûõ äàííûõ (ýêñïåðèìåíòà è ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ïðîöåññà) ãàðàíòèðîâàíà.
Ñôîðìóëèðóåì îáùèå òðåáîâàíèÿ, êîòîðûì äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü
àäåêâàòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà:
1. Àäåêâàòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå ñóùåñòâóåò.
2. Õàðàêòåðèñòèêà àäåêâàòíîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ ôîðìè-
ðóåòñÿ êîíå÷íûìè öåëÿìè èññëåäîâàíèé ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà è åãî ïàðà-
ìåòðû äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ åäèíñòâåííûì ñïîñîáîì.
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
3. Ïàðàìåòðû àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ óñòîé÷èâû ê ìà-
ëûì èçìåíåíèÿì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ è ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ïðîöåññà.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñóùåñòâóåò äâà îñíîâíûõ ïîäõîäà ê ïðîáëåìå
ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ [2—10]:
1) ïî ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ñ âûáðàííîé àïðèîðè ñòðóêòóðîé è íå-
òî÷íûìè (íåèçâåñòíûìè) ïàðàìåòðàìè îïðåäåëÿåòñÿ ìîäåëü âíåøíåãî
âîçäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ â ñîâîêóïíîñòè ñ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ ïðîöåññà
îáåñïå÷èâàåò óñëîâèå àäåêâàòíîñòè;
2) ïî íåêîòîðîé çàäàííîé àïðèîðè ìîäåëè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ïîä-
áèðàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà, êîòîðàÿ â ñîâîêóïíîñòè ñ ìî-
äåëüþ âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ îáåñïå÷èâàåò ñîâïàäåíèå ñ ýêñïåðèìåíòàëü-
íûìè äàííûìè.
Ðàññìîòðèì àëãîðèòì ïîëó÷åíèÿ àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñà-
íèÿ â ðàìêàõ ïåðâîãî ïîäõîäà íà ïðèìåðå äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ñîñðå-
äîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíîé ñèñ-
òåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
�x Ax Bz� � (1)
ñ óðàâíåíèåì íàáëþäåíèÿ
y Cx� . (2)
Ïðè ýòîì x t x t x t x tn
T( ) ( ( ), ( ),..., ( ))� 1 2 1
— âåêòîð-ôóíêöèÿ ïåðåìåííûõ ñîñ-
òîÿíèÿ ((.)Ò — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ); z t z t z t z tm
T( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 1
— âåê-
òîð-ôóíêöèÿ âíåøíèõ âîçäåéñòâèé; y t y t y t y tn
T( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))� 1 2 1
— âåêòîð-
ôóíêöèÿ íàáëþäàåìûõ â ýêñïåðèìåíòå ïåðåìåííûõ [2, 6]. Ïîä âíåøíèìè
âîçäåéñòâèÿìè (íàãðóçêàìè) áóäåì ïîíèìàòü ôóíêöèè z t z t z tm1 2 1
( ), ( ), ..., ( ),
êîòîðûå èçìåíÿþòñÿ íåçàâèñèìî îò ñóáúåêòèâíûõ ôàêòîðîâ èëè ñâîéñòâ è
ïîâåäåíèÿ èñõîäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (1). Ïîëîæèì x X� , z Z� ,
y Y� ; A, B, C — ìàòðèöû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ñîîòâåòñòâóþ-
ùåé ðàçìåðíîñòè. Äëÿ ïðîñòîòû ðàññóæäåíèé áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ìàò-
ðèöà Ñ — åäèíè÷íàÿ (X Y� ).
Ðàññìîòðèì îäíîðîäíóþ ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
ñîîòâåòñòâóþùóþ ñèñòåìå (1):
�x Ax� . (3)
Ââåäåì ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó F t t[ , ]0 îäíîðîäíîé ñèñòåìû (3) [11]. Â
äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî t0 0� . Èçìåíåíèå êîîðäèíàòû x t( ) �
� x t t x( , , )0
0 ñèñòåìû (1), óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x x( )0 0� ,
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè [11]:
x t F t x F t Bz d P A B x z
t
( ) [ ] [ ] ( ) ( , , , )� � � ��
0
0
0� � � ,
Ìåòîä îáåñïå÷åíèÿ àäåêâàòíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 33
ãäå P x z p A B x z p A B x zn
T( , ) ( ( , , , ), ..., ( , , , ))0
1
0 0� — âåêòîð-ôóíêöèÿ, êàæ-
äàÿ êîìïîíåíòà êîòîðîé çàâèñèò îò ìàòðèö A, B è îò âåêòîð-ôóíêöèé x z0, .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàáëþäàåìàÿ â ýêñïåðèìåíòå âåêòîð-ôóíêöèÿ y t( ) �
� �( ( ), ..., ( )) ( ( ), ..., ( ))y t y t x t x tn
T
n
T
1 11 1
îòëè÷àåòñÿ îò òî÷íîé âåêòîð-ôóíê-
öèè x t x t x tn
Tex ex ex( ) ( ( ), ..., ( ))� 1 1
íà èçâåñòíóþ âåëè÷èíó ïîãðåøíîñòè ýêñïå-
ðèìåíòàëüíûõ èçìåðåíèé :
y t x t
X
( ) ( )�
ex .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåçóëüòàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ A, B è âåêòîð-ôóíêöèè z àäåê-
âàòíû ýêñïåðèìåíòàëüíûì èçìåðåíèÿì, åñëè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
� �X P A B x z y( ( , , , ), )0
, (4)
ãäå � X P y( , ) — ðàññòîÿíèå ìåæäó âåêòîð-ôóíêöèÿìè P è y â íåêîòîðîì
ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå X; � — òðåáóåìàÿ òî÷íîñòü ñîâïàäåíèÿ ðå-
çóëüòàòîâ ýêñïåðèìåíòà ñ ðåçóëüòàòàìè ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå (ïðè ôèêñèðîâàííûõ ìàò-
ðèöàõ A, B) óñòîé÷èâîñòü àäåêâàòíîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ óñòîé÷èâîñòüþ
âåêòîð-ôóíêöèè z ê ìàëûì èçìåíåíèÿì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ.
Îäíèì èç âîçìîæíûõ âàðèàíòîâ íåðàâåíñòâà (4) ìîæåò áûòü ñëå-
äóþùåå:
P A B x z y
X
( , , , )0 �
�, (5)
ãäå
X
— íîðìà â ôóíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå X. Âåëè÷èíà � çàäàåòñÿ
àïðèîðè è õàðàêòåðèçóåò æåëàåìîå êà÷åñòâî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðî-
âàíèÿ (ñòåïåíü àäåêâàòíîñòè åãî ðåçóëüòàòîâ). Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè âûïîë-
íåíèè íåðàâåíñòâà (5) ìàòðèöû A, B è âåêòîð-ôóíêöèÿ z îêàçûâàþòñÿ
ñâÿçàííûìè. Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííûõ ìàòðèöàõ A, B
ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ âåêòîð-ôóíêöèé z, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ íåðàâåíñòâó (5). È, íàîáîðîò, ïðè ôèêñèðîâàííîé âåêòîð- ôóíê-
öèè z ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëè÷íûõ ìàòðèö A, B, äëÿ êîòîðûõ
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî (5) [2].
Ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðîâåðêà íåðàâåíñòâà (5), êàê
ïðàâèëî, íå îñóùåñòâëÿåòñÿ, íî åãî âûïîëíåíèå ïîäðàçóìåâàåòñÿ. Ïî-
ñêîëüêó îäíèì èç îáÿçàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, ñîñòàâëÿþùèõ âåëè÷èíó �,
ÿâëÿåòñÿ ïîãðåøíîñòü èçìåðèòåëüíîé àïïàðàòóðû , ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî
âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî �
��.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ îòêðûòûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì êðèòåðèþ àäåê-
âàòíîñòè ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ìîãóò óäîâëåòâî-
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ðÿòü ñîâåðøåííî ðàçëè÷íûå ñèñòåìû (ðàçëè÷íûå ìàòðèöû A, B) ñ ðàçëè÷-
íûìè âåêòîð-ôóíêöèÿìè z (t). Åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà çàìêíóòàÿ, òî
âåêòîð-ôóíêöèÿ P A B x z( , , , )0 áóäåò çàâèñåòü òîëüêî îò ìàòðèöû A è âåê-
òîðà x 0: P A B x z P A x( , , , ) ( , )0 0� . Íåðàâåíñòâî (5) â ýòîì ñëó÷àå òàêæå áó-
äåò îïðåäåëÿòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðàçëè÷íûõ ìàòðèö A. Ñëåäîâà-
òåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå êðèòåðèÿ âûáîðà îäíîé «õîðîøåé» ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè íå ñóùåñòâóåò.
Âîçìîæíûé àëãîðèòì ñèíòåçà ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ (ìîäåëè
âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ). Ïóñòü ïîâåäåíèå íåêîòîðîãî ôèçè÷åñêîãî ïðî-
öåññà îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå-
íèé (1) ñ óðàâíåíèåì íàáëþäåíèÿ (2). Ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå (1) ñ
ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ x t( ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîâîêóïíîñòè
âçàèìîäåéñòâóþùèõ îòäåëüíûõ ýëåìåíòàðíûõ çâåíüåâ ñ âûõîäíûìè èëè
âíóòðåííèìè ïåðåìåííûìè x t x t x tn1 2 1
( ), ( ), ..., ( ). Âçàèìîäåéñòâèå îòäåëü-
íûõ çâåíüåâ îïðåäåëÿåòñÿ ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ (âíóòðåííèõ âçàèìî-
äåéñòâèé). Åñëè ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóòåì èçìåðèòü, íàïðèìåð, ïåðåìåí-
íóþ ñîñòîÿíèÿ x tk ( ), òî èñõîäíóþ ñèñòåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
îäíîé èëè äâóõ áîëåå ïðîñòûõ ïîäñèñòåì, ïðèëîæèâ äîïîëíèòåëüíûå
âíåøíèå âîçäåéñòâèÿ d x tk k ( ) è � d x tk k ( ) ê ñîîòâåòñòâóþùèì ÷àñòÿì (dk —
const). Íàçîâåì òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå k-ì ñå÷åíèåì èñõîäíîé ñèñòåìû [6].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñ ïîìîùüþ ðÿäà «ñå÷åíèé» óêàçàííîãî òèïà âûäå-
ëåíà ïîäñèñòåìà èñõîäíîé ñèñòåìû, ó êîòîðîé èçâåñòíû âñå âíåøíèå
âîçäåéñòâèÿ (÷àñòü èç íèõ ïîëó÷åíà ñ ïîìîùüþ ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ)
êðîìå îäíîãî, èñêîìîãî, — z tk ( ), à òàêæå èçâåñòíà îäíà èç ïåðåìåííûõ
ñîñòîÿíèÿ ýòîé ïîäñèñòåìû, íàïðèìåð x tJ ( ).
Äëÿ äàííîãî ñëó÷àÿ ñ ïîìîùüþ ðÿäà ñå÷åíèé ìîæåò áûòü âûäåëåíà
ïîäñèñòåìà èñõîäíîé ñèñòåìû, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ñèñòåìîé
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
�x A x B z� �1 1 , (6)
ñ óðàâíåíèåì íàáëþäåíèÿ
y C x D z� �1 1 , (7)
ãäå x t x t x t x tn( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))*� 1 2 ; z t z t z t z tm( ) ( ( ), ( ), ..., ( ))*� 1 2 ; y t( ) �
� ( ( ), ( ), ..., ( ))*y t y t y tm1 2 ; A B C D1 1 1 1, , , — ìàòðèöû ñ ïîñòîÿííûìè êîýô-
ôèöèåíòàì ñîîòâåòñòâóþùåé ðàçìåðíîñòè; D1 — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà ñ
ïåðâûì íóëåâûì äèàãîíàëüíûì ýëåìåíòîì; ìàòðèöàC1 èìååò òîëüêî îäèí
íåíóëåâîé ýëåìåíò â ïåðâîé ñòðîêå, íàïðèìåð ïåðâûé ýëåìåíò c1. Ñëå-
äîâàòåëüíî, áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ïîäñèñòåìà èìååò îäíó èç-
âåñòíóþ ïåðåìåííóþ ñîñòîÿíèÿ x t1( ) è âñå èçâåñòíûå âíåøíèå âîçäåéñò-
âèÿ, çà èñêëþ÷åíèåì ïåðâîãî z t1( ).
Ìåòîä îáåñïå÷åíèÿ àäåêâàòíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 35
Äâèæåíèå ïîäñèñòåìû (6) x t x t t x1 1 0 1
0( ) ( , , )� ñèñòåìû (1), óäîâëåòâî-
ðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x x1 1
00( ) � , îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé Êîøè
[11]. Èç óðàâíåíèÿ íàáëþäåíèÿ (7) íàõîäèì
x t y t Q t x Q t Bz d
t
1 1
0
0
( ) ( ) [ ] [ ] ( )� � � �� � � �,
x t y t d z t2 2 2 2( ) ( ) ( )� � , (8)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
x t y t d z tm m m m( ) ( ) ( )� � ,
ãäå Q t t[ , ]0 — ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà îäíîðîäíîé ñèñòåìû (6). Â ðå-
çóëüòàòå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èç ñèñòåìû (8) ìîæíî ïîëó÷èòü óðàâ-
íåíèå äëÿ èñêîìîé ôóíêöèè z t1( ):
K t z d P t
t
1
0
1 1� � �( ) ( ) ( )� � � , (9)
ãäå P t1( ) , K t1 ( )�� — èçâåñòíûå ôóíêöèè. Ïðåäñòàâèì (9) â âèäå
A z u B xp p p� � , , (10)
ãäå Ap — ëèíåéíûé îïåðàòîð, A Z Up : ;� z Z� ; u Up , ;� x X � ;
B X Up : � — ëèíåéíûé îïåðàòîð; x — èñõîäíûå ýêñïåðèìåíòàëüíûå
äàííûå, x x t z t z t z tr
T
� ( ( ), ( ), ( ), ..., ( ))1 2 ; z z� 1 — èñêîìàÿ ôóíêöèÿ; Z, U,
X — ôóíêöèîíàëüíûå ïðîñòðàíñòâà.
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî îïåðàòîðû Ap è B p íåïðåðûâíî çàâèñÿò îò íå-
êîòîðîãî âåêòîðà ïàðàìåòðîâ p ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè äâèæåíèÿ äèíàìè-
÷åñêîé ñèñòåìû: p p p p p Rn
T n� �( , , , ..., )1 2 3 .  îáùåì ñëó÷àå îïåðàòîðû
Ap , B p ìîãóò çàâèñåòü îò ðàçíûõ âåêòîðîâ èëè îò ðàçíûõ âåêòîðîâ ñ
íåñêîëüêèìè ñîâïàäàþùèìè êîìïîíåíòàìè. Îäíàêî ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ
óðàâíåíèÿ (9) äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (6) ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â ýòîì
ñëó÷àå îïåðàòîðû Ap è B p çàâèñÿò îò îäíîãî âåêòîðà p, òàê êàê îíè îïðå-
äåëÿþòñÿ ôóíêöèÿìè q ti
1 ( ), êîòîðûå ïîñòðîåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì âñåõ êîì-
ïîíåíò âåêòîðà—ïàðàìåòðîâ p ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè (6).  áîëüøèíñòâå
ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷ îïåðàòîð Ap ÿâëÿåòñÿ âïîëíå íåïðåðûâíûì [7].
 äàëüíåéøåì áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ýëåìåíò x çàäàí â âèäå ýêñïåðèìåí-
òàëüíî ïîëó÷åííîé çàâèñèìîñòè ñ èçâåñòíîé ïîãðåøíîñòüþ: x xT X
�
,
ãäå xT — òî÷íàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ èñõîäíûõ äàííûõ; — const, > 0.
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Îáîçíà÷èì ÷åðåç Q p , ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé îáðàòíîé çàäà-
÷è èäåíòèôèêàöèè ìîäåëè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ (10) ïðè ôèêñèðîâàííûõ
îïåðàòîðàõ Ap , B p :
Q z A z B x Bp p p U p , { :|| || || || }� �
� 0 .
Ïîñêîëüêó îïåðàòîð Ap — âïîëíå íåïðåðûâåí, ìíîæåñòâî Q p , äëÿ ëþáûõ
p è ÿâëÿåòñÿ íåîãðàíè÷åííûì â Z (íåêîððåêòíàÿ çàäà÷à) [12]. Îäíàêî
ëþáàÿ ôóíêöèÿ z èç ìíîæåñòâà Q p , ÿâëÿåòñÿ «õîðîøåé» ìîäåëüþ âíåø-
íåãî âîçäåéñòâèÿ, òàê êàê ôóíêöèÿ A zp ñîâïàäàåò ñ B xp ñ òî÷íîñòüþ
èçìåðåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, îïåðàòîðû Ap , B p è ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç ìíî-
æåñòâà Q p , ñîñòàâëÿåò òðîéêó, êîòîðàÿ îáåñïå÷èò àäåêâàòíîñòü ðåçóëüòà-
òîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ñ òî÷íîñòüþ �0 � .
Ïðîöåññ íàõîæäåíèÿ z Q p� , áóäåì íàçûâàòü çàäà÷åé ñèíòåçà ìîäåëè
âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ ìåòîäîì èäåíòèôèêàöèè [2, 6, 13]. Äëÿ âûáîðà
íàèëó÷øåé ìîäåëè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ z p , èç áåñêîíå÷íîãî ìíîæåñòâà
Q p , ðàçëè÷íûõ õîðîøèõ ìîäåëåé ïðåäëàãàåòñÿ íåñêîëüêî óñòîé÷èâûõ
àëãîðèòìîâ [2, 13]. Íàïðèìåð, ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, àäåêâàòíî îïèñû-
âàþùàÿ ôèçè÷åñêèé ïðîöåññ, ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê ðåøåíèå ñëåäóþ-
ùåé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è:
� �[ ] inf [ ],
,
z zp
z Q p
�
�
, (11)
ãäå � [ ]z — ñòàáèëèçèðóþùèé ôóíêöèîíàë [12]. Ïðè ýòîì íåò îñíîâàíèé
ïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ z p , áëèçêà ê ðåàëüíîìó âíåøíåìó âîçäåéñòâèþ zÒ.
Ýòî ëèøü óñòîé÷èâàÿ êîìïîíåíòà ìîäåëè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ, îáåñïå-
÷èâàþùàÿ àäåêâàòíîñòü ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ [2,
13]. Àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó âûøå ìîæíî ïîëó÷èòü ìîäåëü âíåøíåãî
âîçäåéñòâèÿ, êîòîðàÿ ñîâìåñòíî ñ îïåðàòîðàìè A, B â ñèñòåìå (1) áóäåò
îáåñïå÷èâàòü àäåêâàòíûå ðåçóëüòàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â äàííûõ çàäà÷àõ íå èìååò ñìûñëà ðàññìàò-
ðèâàòü ïîâåäåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ z p , ïðè � 0 è îöåíèâàòü
ïîãðåøíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ. Ýòà ïîãðåøíîñòü ìîæåò èìåòü ïðîèç-
âîëüíóþ âåëè÷èíó, íå èìåþùóþ íèêàêîãî çíà÷åíèÿ äëÿ ïîñòðîåíèÿ àäåê-
âàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, íå òðåáóåòñÿ, ÷òîáû
îïåðàòîð, îáåñïå÷èâàþùèé ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è (10),
áûë ðåãóëÿðèçèðóþùèì [12]. Áîëåå âàæíî, ÷òîáû ýòî îïèñàíèå áûëî
óñòîé÷èâûì ê ìàëûì èçìåíåíèÿì èñõîäíûõ äàííûõ.
Ñëó÷àé íåòî÷íîãî çàäàíèÿ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ôèçè÷åñêîãî ïðîöåññà.  ïðàêòèêå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íå-
ðåäêè ñëó÷àè, êîãäà ïàðàìåòðû ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà íå îïðå-
äåëåíû òî÷íî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p âåêòîð ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
Ìåòîä îáåñïå÷åíèÿ àäåêâàòíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 37
äåëè ïðîöåññà.  ñèëó íåòî÷íîñòè ïàðàìåòðîâ âåêòîð p ìîæåò ïðèíèìàòü
çíà÷åíèÿ â íåêîòîðîé çàìêíóòîé îáëàñòè D R n� , ò.å. p D� . Êàæäîìó
âåêòîðó ïàðàìåòðîâ p D� ñîîòâåòñòâóþò îïðåäåëåííûå îïåðàòîðû Àp, Âp â
óðàâíåíèè (10), êîòîðûå îáðàçóþò äâà êëàññà îïåðàòîðîâ, K AA p� { },
K BB p� { }, ïðè èçìåíåíèè p âíóòðè D. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî âñå îïåðàòîðû
Ap — ëèíåéíûå è íåïðåðûâíûå, à îïåðàòîðû Âp — ëèíåéíûå è íåîáðà-
òèìûå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç h1 è d1 âåëè÷èíû ìàêñèìàëüíîãî îòêëîíåíèÿ
îïåðàòîðîâ Àp èç êëàññà KA è îïåðàòîðîâ Bp èç êëàññà KB :
sup || ||
,p p D
p pA A h
� �
� �
�
�
1, sup || ||
,p p D
p pB B d
� �
� �
�
�
1.
 ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (10) ñëåäóåò ðàñøèðèòü äî
ìíîæåñòâà
Q z A z B x h z Bh d p p Z1 1 1 0� , { : || || || || }� �
� , (12)
ãäå B d x BX p0 1� �|| || || || .
Ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç ìíîæåñòâà (12) âûçûâàåò îòêëèê ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè, ñîâïàäàþùèé ñ îòêëèêîì ðåàëüíîãî îáúåêòà ñ ïîãðåøíîñòüþ,
êîòîðàÿ ó÷èòûâàåò ïîãðåøíîñòü ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èçìåðåíèé è ïîãðåø-
íîñòü âîçìîæíîãî îòêëîíåíèÿ ïàðàìåòðîâ âåêòîðà p D� . Çàäà÷à íàõîæäåíèÿ
z Qh d�
1 1� , íàçâàíà ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùåé çàäà÷åé ñèíòåçà ìîäåëè âíåø-
íåãî âîçäåéñòâèÿ ìåòîäîì èäåíòèôèêàöèè äëÿ êëàññà ìîäåëåé [5, 13].
Çàìåòèì, ÷òî â ìíîæåñòâå ðåøåíèé îáðàòíîé çàäà÷è ñèíòåçà ïðè ôèê-
ñèðîâàííîì îïåðàòîðå Ap èç K A ñîäåðæàòñÿ ýëåìåíòû ñ íåîãðàíè÷åííîé
íîðìîé (íåêîððåêòíàÿ çàäà÷à). Ïîýòîìó âåëè÷èíà h z Z1 || || ìîæåò áûòü
áåñêîíå÷íî áîëüøîé. Ôîðìàëüíî òàêàÿ ñèòóàöèÿ íåïðèåìëåìà, òàê êàê îíà
îçíà÷àåò, ÷òî ïîãðåøíîñòü ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ðàâíà áåñêî-
íå÷íîñòè, åñëè â êà÷åñòâå ìîäåëåé èñïîëüçîâàòü ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ
èç (12). Ñëåäîâàòåëüíî, íå âñå ôóíêöèè èç (12) áóäóò õîðîøèìè ìîäåëÿìè
âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ó÷èòûâàÿ ïîãðåøíîñòü îïåðàòîðà
Ap â íåðàâåíñòâå (5), íåîáõîäèìî âåëè÷èíó � â îáùåì ñëó÷àå ïîëàãàòü
ðàâíîé áåñêîíå÷íîñòè, ò.å. íåðàâåíñòâî (5) â ñëó÷àå �� íåëüçÿ îáîñíîâàòü
ïîãðåøíîñòüþ îïåðàòîðà.
 äàííîì ñëó÷àå ïðåäëàãàåòñÿ îòêàçàòüñÿ îò ôîðìàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ
ìíîæåñòâà âîçìîæíûõ ðåøåíèé äî Qh d1 1, , . Âûáîð ìîäåëè âíåøíåãî âîç-
äåéñòâèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ àäåêâàòíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ äîëæåí
îïðåäåëÿòüñÿ êîíå÷íûìè öåëÿìè ïðè ïîñòðîåíèè àäåêâàòíîãî ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îïèñàíèÿ [13]. Íàïðèìåð, óêàçàííóþ ìîäåëü ìîæíî âûáèðàòü
êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è:
� �[ ] inf inf [ ]
,
z z
p D z Q p
0 �
� �
, p R n� . (13)
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Ôóíêöèÿ z0 îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâîå àäåêâàòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñà-
íèå, êîòîðîå äîïîëíèòåëüíî îáåñïå÷èâàåò ìèíèìàëüíóþ âåëè÷èíó ôóíê-
öèîíàëà � [ ]z äëÿ âñåõ îïåðàòîðîâ Ap è B p èç êëàññîâ K A è K B . Ýòî äîïîë-
íèòåëüíîå ñâîéñòâî ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü îïòèìàëüíûå ñâîéñòâà ìàòå-
ìàòè÷åñêèõ îïèñàíèé. Àíàëîãè÷íûìè äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè îá-
ëàäàåò àäåêâàòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå, êîòîðîå äîïîëíèòåëüíî
îáåñïå÷èâàåò ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó ôóíêöèîíàëà � [ ]z äëÿ âñåõ îïå-
ðàòîðîâ Ap è B p èç êëàññîâ K A è K B :
� �[ ] sup inf [ ]
,
z z
p D z Q p
1 �
� �
, p R n� . (14)
Ìîäåëü âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ zb , îáåñïå÷èâàþùàÿ àäåêâàòíîñòü ìà-
òåìàòè÷åñêîãî îïèñàíèÿ è îöåíêó ñíèçó îòêëèêà äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû
(1), ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà êàê ðåøåíèå ñëåäóþùåé ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è
[13, 14]:
|| || inf || ||,A z A zp b
p D
p pb
�
�
, (15)
ãäå z p , — ðåøåíèå ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (6). Àíàëîãè÷íî ìîãóò áûòü
îïðåäåëåíû è äðóãèå ìîäåëè ñ äîïîëíèòåëüíûìè ñâîéñòâàìè [2, 13]:
|| || sup || ||,A z A zp c
p D
p pc
�
�
, (16)
|| || inf sup || ||,A z B x A z B xp un p
p D p D
p a p Uun un
� � �
� �
, (17)
ãäå z a , — ðåøåíèå ýêñòðåìàëüíîé çàäà÷è (11) ïðè p a� , a D� .
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ òèïà (13)—(17) â ðàáîòàõ [13, 14] ïðåäëîæåí ìåòîä
ñïåöèàëüíûõ îïåðàòîðîâ. Ïðèìåðû ðàñ÷åòîâ êîíêðåòíûõ àäåêâàòíûõ ìà-
òåìàòè÷åñêèõ îïèñàíèé ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [2, 13, 14].
Âûâîäû
Ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ðàçðàáîòàí àëãîðèòì ñèíòåçà àäåê-
âàòíîé ìîäåëè, âêëþ÷àþùèé ïðåîáðàçîâàíèå îïèñàíèé ìîäåëèðóåìîãî
îáúåêòà, ïîëó÷åíèå óïðîùåííûõ ñîñòàâíûõ ÷àñòåé ìîäåëè ñ ó÷åòîì ìîäå-
ëè âíåøíåãî âîçäåéñòâèÿ.
The problem of synthesis of adequate mathematical description of physical processes has been
studied. It is shown that in the general case, this problem is reduced to solution of some first kind
Volterra integral equations (ill-posed problem). Several possible statements of such problems
were proposed. Modifications of the regularization method were used for obtaining stable results
of synthesis.
Ìåòîä îáåñïå÷åíèÿ àäåêâàòíîñòè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 39
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Shanon R. Systems Simulation — the Art and Science. — Prentice-Hall, Inc., Englewood
Cliffs. — New Jersey, 1975. — 329 p.
2. Ìåíüøèêîâ Þ.Ë. Îá àäåêâàòíîñòè ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Òð.
Ìåæäóíàð. êîíô. «Ìîäåëèðîâàíèå-2008». — Kèåâ : ÈÏÌÝ èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ
Óêðàèíû, 2008. — C. 119—124.
3. Soeiro N. åt al. Vibratory Working Modelling through Methods of Continuum Mechanics //
Proc. Eleventh International Congress on Sound and Vibration. — St. Petersburg (Russia),
2004. — P. 2821—2828.
4. Sarmar I., Malik A. Modeling, Analysis and Simulation of a Pan Tilt Platform Based on Lin-
ear and Nonlinear Sóstems // Proc. IEEE/ASME MESA. — China, 2008. — P. 147—152.
5. Menshikov Yu.L. Synthesis of Adequate Mathematical Description as Solution of Special In-
verse Problems // European Journal of Mathematical Sciences. — 2013. —Vol. 2. — N 3. —
P. 256—271.
6. Ìåíüøèêîâ Þ.Ë., Ïîëÿêîâ Í.Â. Àëãîðèòì ñèíòåçà óñòîé÷èâîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îïè-
ñàíèÿ ýâîëþöèîííîãî ïðîöåññà // Òåçè XI ̳æíàð. íàóêîâî-ïðàêòè÷íî¿ êîíô. «Ìàòå-
ìàòè÷íå òà ïðîãðàìíå çàáåçïå÷åííÿ ³íòåëåêòóàëüíèõ ñèñòåì», MPZIS-2013, 20—22
ëèñòîïàäà 2013. — Äí³ïðîïåòðîâñüê, 2013. — Ñ. 114—115.
7. Ñòåïàøêî Â.Ñ. Ìåòîä êðèòè÷åñêîé äèñïåðñèè êàê àíàëèòè÷åñêèé àïïàðàò òåîðèè èí-
äóêòèâíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2008. — ¹ 2. —
Ñ. 27—32.
8. Ãóáàðåâ Â.Ô. Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì ñ íåòî÷íûìè
äàííûìè. ×. 1. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû // Òàì æå. — 2008. — ¹ 2. — Ñ. 8—26.
9. Æóêîâ Î.À. Àëãîðèòìû èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì // Òð. 15
ìåæäóíàð. êîíô. ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ «Àâòîìàòèêà-2008». — Îäåññà :
INIA, 2008, — Ñ. 774—777.
10. Ãåëüôàíäáåéí Þ.Ì., Êîëîñîâ Ë.Ñ. Ðåòðîñïåêòèâíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ âîçìóùåíèé è
ïîìåõ. — Ì. : Íàóêà, 1972. — 246 ñ.
11. Áóáëèê Á.Í., Êèðè÷åíêî Í.Ô. Îñíîâû òåîðèè óïðàâëåíèÿ. — Êèåâ : Âèùà øêîëà, 1975. —
328 c.
12. Òèõîíîâ À.Í., Àðñåíèí Â.ß. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì. : Íàóêà, 1979. —
342 ñ.
13. Ìåíüøèêîâ Þ.Ë., Ïîëÿêîâ Í.Â. Èäåíòèôèêàöèÿ ìîäåëåé âíåøíèõ âîçäåéñòâèé. —
Äíåïðîïåòðîâñê : «Íàóêà òà Îñâ³òà», 2009. — 188 ñ.
14. Menshikov Yu.L. Identification of External Loads as Method of Adequate Mathematical De-
scription Synthesis // Proc. of 32nd IASTED International Conference on Modelling, Identi-
fication and Control (MIC 2013). February 11 — 13, 2013. — Innsbruck (Austria), 2013. —
8 p.
Ïîñòóïèëà 28.01.14
ÌÅÍÜØÈÊÎÂ Þðèé Ëåîíèäîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò, äîöåíò Äíåïðîïåòðîâñêîãî íà-
öèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Îëåñÿ Ãîí÷àðà.  1970 ã. îêîí÷èë Äíåïðîïåòðîâñêèé ãîñóíè-
âåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âîïðîñû ïîñòðîåíèÿ àäåêâàòíèõ ìàòåìàòè-
÷åñêèõ îïèñàíèé ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, òåîðèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷, ïðèëîæåíèÿ â ìåõàíèêå è
ôèçèêå.
Þ.Ë. Ìåíüøèêîâ
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101001 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:49:48Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Меньшиков, Ю.Л. 2016-05-29T17:06:42Z 2016-05-29T17:06:42Z 2014 Метод обеспечения адекватности динамических моделей / Ю.Л. Меньшиков // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 31-40. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101001 518: 517.948 Исследована задача синтеза адекватного математического описания физических процессов. Показано, что в общем случае эта задача сводится к решению нескольких интегральных уравнений Вольтерры первого рода (некорректная задача). Предложено несколько возможных постановок таких задач. Для получения устойчивых результатов синтеза использована модификация метода регуляризации. Досліджено задачу синтезу адекватного математичного опису фізичних процесів. Показано, що в загальному випадку ця задача зводиться до розв’язку декількох інтегральних рівнянь Вольтерри першого роду (некоректна задача). Запропоновано декілька можливих постановок таких задач. Для отримання стійких результатів синтезу використано модифікацію методу регуляризації. The problem of synthesis of adequate mathematical description of physical processes has been studied. It is shown that in the general case, this problem is reduced to solution of some first kind Volterra integral equations (ill-posed problem). Several possible statements of such problems were proposed. Modifications of the regularization method were used for obtaining stable results of synthesis. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Метод обеспечения адекватности динамических моделей Article published earlier |
| spellingShingle | Метод обеспечения адекватности динамических моделей Меньшиков, Ю.Л. Математические методы и модели |
| title | Метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| title_full | Метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| title_fullStr | Метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| title_full_unstemmed | Метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| title_short | Метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| title_sort | метод обеспечения адекватности динамических моделей |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101001 |
| work_keys_str_mv | AT menʹšikovûl metodobespečeniâadekvatnostidinamičeskihmodelei |