Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей
Рассмотрены возможности численной реализации интегральных динамических моделей, которые являются непараметрическими и представлены интегральными уравнениями Вольтерры II и I рода, а также интегро-дифференциальными уравнениями. Разработаны рекуррентные численные алгоритмы решения указанных уравнений....
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101002 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 41-57. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860008041766715392 |
|---|---|
| author | Верлань, Д.А. |
| author_facet | Верлань, Д.А. |
| citation_txt | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 41-57. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрены возможности численной реализации интегральных динамических моделей, которые являются непараметрическими и представлены интегральными уравнениями Вольтерры II и I рода, а также интегро-дифференциальными уравнениями. Разработаны рекуррентные численные алгоритмы решения указанных уравнений. Для построения алгоритмов использован метод вырожденных (разделяющихся) ядер. Предложен оптимизационный метод аппроксимации ядер интегральных операторов Вольтерры.
Розглянуто можливості чисельної реалізації інтегральних динамічних моделей, які є непараметричними і представлені інтегральними рівняннями Вольтерри II і I роду, а також інтегро-диференціальними рівняннями. Розробленоано чисельні алгоритми розв’язування зазначених рівнянь. Для побудови алгоритмів використовано метод вироджених (що розділяються) ядер. Запропоновано оптимізаційний метод апроксимації ядер інтегральних операторів Вольтерри.
The possibilities of numerical implementation of integral dynamic models are considered. The models are non-parametric and are presented by Volterra integral equations of type II and type I, and also by integro-differential equations. Recurrent numerical algorithms for solving these equations are developed. The degenerate (separable) kernels method is used for constructing the algorithms. The optimization method of approximation for kernels of the Volterra integral operators is proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:40:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Ä.À. Âåðëàíü, àñïèðàíò
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Ò. Øåâ÷åíêî
(Óêðàèíà, 03127, Êèåâ, ïðîñï. Àêàäåìèêà Ãëóøêîâà, 4ä,
òåë. (+38) 0632779797, å-mail: dmitriverlan@gmail.com)
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé
ðåàëèçàöèè èíòåãðàëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé
Ðàññìîòðåíû âîçìîæíîñòè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè èíòåãðàëüíûõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íåïàðàìåòðè÷åñêèìè è ïðåäñòàâëåíû èíòåãðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè
Âîëüòåððû II è I ðîäà, à òàêæå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Ðàçðàáîòàíû
ðåêóððåíòíûå ÷èñëåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ óêàçàííûõ óðàâíåíèé. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ
àëãîðèòìîâ èñïîëüçîâàí ìåòîä âûðîæäåííûõ (ðàçäåëÿþùèõñÿ) ÿäåð. Ïðåäëîæåí îïòèìè-
çàöèîííûé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè ÿäåð èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ Âîëüòåððû.
Ðîçãëÿíóòî ìîæëèâîñò³ ÷èñåëüíî¿ ðåàë³çàö³¿ ³íòåãðàëüíèõ äèíàì³÷íèõ ìîäåëåé, ÿê³ º
íåïàðàìåòðè÷íèìè ³ ïðåäñòàâëåí³ ³íòåãðàëüíèìè ð³âíÿííÿìè Âîëüòåððè II ³ I ðîäó, à
òàêîæ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèìè ð³âíÿííÿìè. Ðîçðîáëåíîàíî ÷èñåëüí³ àëãîðèòìè ðîçâ’ÿ-
çóâàííÿ çàçíà÷åíèõ ð³âíÿíü. Äëÿ ïîáóäîâè àëãîðèòì³â âèêîðèñòîâàíî ìåòîä âèðîäæåíèõ (ùî
ðîçä³ëÿþòüñÿ) ÿäåð. Çàïðîïîíîâàíî îïòèì³çàö³éíèé ìåòîä àïðîêñèìàö³¿ ÿäåð ³íòåãðàëü-
íèõ îïåðàòîð³â Âîëüòåððè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ, àëãîðèòìû, àïïðîêñèìàöèÿ, ðåçîëüâåí-
òà, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
Îäíèì èç àêòóàëüíûõ íàïðàâëåíèé ðàçâèòèÿ ÷èñëåííûõ è êîìïüþòåðíûõ
ìåòîäîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ
ïðèìåíåíèå íåïàðàìåòðè÷åñêèõ äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé â âèäå èíòåãðàëü-
íûõ è èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. ßäðà èíòåãðàëüíûõ îïåðà-
òîðîâ, ñîñòàâëÿþùèõ îñíîâó óêàçàííûõ ìîäåëåé, ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé
ôóíêöèè äâóõ ïåðåìåííûõ è îòîáðàæàþò äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè
èññëåäóåìûõ îáúåêòîâ. Âàæíûìè äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè èíòåãðàëü-
íûõ îïåðàòîðîâ ÿâëÿþòñÿ ñãëàæèâàþùèå ñâîéñòâà è óñòîé÷èâîñòü îïåðà-
öèé èíòåãðèðîâàíèÿ.
Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû II ðîäà, èìåþùèå âèä
y t K t y d f t
a
t
( ) ( , ) ( ) ( )� �� � � � , (1)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 41
� Ä.À. Âåðëàíü, 2014
ãäå ÿäðî K t( , )� è ôóíêöèÿ f t( ) çàäàíû, à ôóíêöèÿ y ( )� — èñêîìàÿ,
ïîëó÷àþò âñå áîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå â êà÷åñòâå ìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ
îáúåêòîâ ðàçëè÷íîé ôèçè÷åñêîé ïðèðîäû è íàçíà÷åíèÿ [1]. Îñîáåííî
âàæíà ðîëü ýòèõ óðàâíåíèé ïðè èññëåäîâàíèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ îáúåê-
òàìè ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè è ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Ïðè ýòîì îñî-
áîå çíà÷åíèå èìåþò çàäà÷è ôîðìèðîâàíèÿ è ðåàëèçàöèè ìîäåëåé, ïðåä-
íàçíà÷åííûõ äëÿ ñèíòåçà óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì â ñëó÷àÿõ, êîãäà óïðàâëÿþ-
ùàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (ðåãóëÿòîð) ïîñòðîåíà â âèäå ïðèëîæåíèé, îðãàíèçî-
âàííûõ ïî çàäàííîé äèíàìè÷åñêîé ìîäåëè.  ýòîì ñëó÷àå ê àëãîðèòìàì è
ïðîãðàììàì ðåàëèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ìîäåëåé ïðåäúÿâëÿþòñÿ âûñîêèå
òðåáîâàíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäèòåëüíîñòè, ò.å. ïðîãðàììû äîëæíû
îáåñïå÷èâàòü ôóíêöèîíèðîâàíèå ñèñòåìû â ðåàëüíîì âðåìåíè. Ýòî ñâèäå-
òåëüñòâóåò î íàëè÷èè ñîîòâåòñòâóþùèõ òðåáîâàíèé ê ðàçðàáîòêå ÷èñëåí-
íûõ àëãîðèòìîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèé.
Èçâåñòíî [2], ÷òî íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå êâàäðàòóðíûå ìåòîäû
ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1), èìåþùèå ðÿä ïðåèìóùåñòâ (ïðîñ-
òîòà àëãîðèòìà, âûñîêàÿ óñòîé÷èâîñòü ðàñ÷åòíîãî ïðîöåññà), äëÿ ÿäåð
ïðîèçâîëüíîãî âèäà îáëàäàþò òàêèì ñâîéñòâîì, ÷òî ïðè êàæäîì íîâîì
øàãå ðàñ÷åòîâ ÷èñëî îïåðàöèé âîçðàñòàåò.
Ýôôåêòèâíûì ïîäõîäîì ê ïðåîäîëåíèþ äàííîé òðóäíîñòè ìîæåò
áûòü ïðèìåíåíèå ìåòîäà âûðîæäåííûõ ÿäåð [3], ïîçâîëÿþùåãî ñòðîèòü
àëãîðèòìû ðåøåíèÿ, â êîòîðûõ ÷èñëî îïåðàöèé íà êàæäîì øàãå äèñêðå-
òèçàöèè íå çàâèñèò îò íîìåðà øàãà. Äåéñòâèòåëüíî, èíòåãðàëüíîå óðàâíå-
íèå (1) ñ âûðîæäåííûì ÿäðîì
K t t
i
N
i i( , ) ( ) ( )� � � �
�
1
, (2)
ãäå � i t( ) è � �i ( ) — çàäàííûå ôóíêöèè, ïðèíèìàåò âèä
y t t y f t
i
N
i
a
t
i
j
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �
�
�
1
� � � � . (3)
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (3) â äèñêðåòíóþ ôîðìó:
y t t y f tj
i
N
i j
a
t
i j( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �
�
�
1
� � � � , j n�1, .
Ýòî ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ îäíó èç
êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë [4] è ïîëó÷èòü ðåêóððåíòíîå âûðàæåíèå
y
x x
f x xl
i
N
i l i l
l
i
N
i l
j
l
i j�
�
�
�
� �
�
1
1
1
1 1
1
� �
� �
( ) ( )
( ) ( ) A yj j
�
��
�
�
�� , l n�2, , y f1 1� ,
Ä.À. Âåðëàíü
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé íà êàæäîì øàãå îñòàåòñÿ
íåèçìåííûì, òàê êàê äëÿ âû÷èñëåíèÿ êàæäîé èç N ñóìì
j
l
i j j jx A y
�
�
1
1
� ( )
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðåçóëüòàòîì âû÷èñëåíèé íà ïðåäûäóùåì øàãå:
j
l
i j j j
j
l
i j j j i j j jx A y x A y x A y
�
�
�
�
� �
� �
1
1
1
2
1 1� � �( ) ( ) ( ) �1, l n�3, .
Èìåííî ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè îñîáåííîñòü
ðàçäåëåíèÿ ÿäåð.
Ïðèìåíåíèå îáùåé êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû ñ ïîñòîÿííûì øàãîì
h hi� �const ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ðàñ÷åòíîå âûðàæåíèå â âèäå
y
h
x x
f h xl
i
N
i l i l
l
i
N
i l
j
l
i�
�
�
�
� �
�
1
1
2 1
1 1
1
� �
� �
( ) ( )
( ) (x A yj j j) ~�
��
�
�
��, l n�2, ,
~ ( ) ( )y a f a1 1� ,
ãäå l n�2 3, ,..., ; x a h il � � �( )1 ;
A
j
j
j �
�
�
�
�
�
0 5 1
1 1
, ,
.
ïðè
ïðè
Àïïðîêñèìàöèÿ ÿäðà.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1),
êîãäà ÿäðî èìååò ïðîèçâîëüíûé âèä, ïðèìåíåíèå ìåòîäà âûðîæäåííûõ
ÿäåð òðåáóåò ïðåäâàðèòåëüíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäðà âûðîæäåííûì ÿäðîì
è äîïîëíèòåëüíûõ âû÷èñëåíèé äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà àïïðîêñèìàöèè.
Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íå ÿâëÿåòñÿ ïðåïÿòñòâèåì äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà âû-
ðîæäåííûõ ÿäåð êàê â èññëåäîâàòåëüñêèõ çàäà÷àõ, íå ñâÿçàííûõ ñ òðåáî-
âàíèåì ê áûñòðîäåéñòâèþ àëãîðèòìîâ, òàê è ïðè ñèíòåçå ñèñòåì óïðàâëåíèÿ,
ïîñêîëüêó ýòè çàäà÷è ðåøàþòñÿ íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåìû.
Ïðåäñòàâëåíèå ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ â óäîáíîì äëÿ âû÷èñëåíèÿ
âèäå — àêòóàëüíàÿ çàäà÷à ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ èññëåäîâàòåëüñêèõ è
ïðîåêòíûõ ïðîáëåì â ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêå, ýëåêòðîíèêå, áèîôèçèêå,
ñèñòåìàõ èçìåðåíèÿ, óïðàâëåíèÿ è âî ìíîãèõ äðóãèõ íàó÷íûõ è ïðèê-
ëàäíûõ îáëàñòÿõ.  âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå ðàñïðîñòðàíåí ïîäõîä ê
àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äâóõ ïåðåìåííûõ, êîòîðûé ñîñòîèò â ïðåäâà-
ðèòåëüíîì âûáîðå îäíîé èëè äâóõ ñèñòåì êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé è ïîñëå-
äóþùåì îòûñêàíèè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ èñõîäíîé ôóíêöèè èç
óñëîâèé âûáðàííîãî êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè.
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 43
Ðàññìîòðèì ÷èñëåííûå àëãîðèòìû àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äâóõ ïå-
ðåìåííûõ. Ïðè ýòîì ôóíêöèè îäíîé ïåðåìåííîé, ñóììà ïàðíûõ ïðîèç-
âåäåíèé êîòîðûõ àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíóþ ôóíêöèþ, ôîðìèðóþòñÿ îï-
òèìàëüíî ïî êðèòåðèþ ìèíèìóìà êâàäðàòè÷íîé íåâÿçêè. Çàäà÷à àïïðîê-
ñèìàöèè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
� � �
�
�
�
�
�
�� �
�a
b
a
b
i
N
i iK t t dtd( , ) ( ) ( )� � � � �
1
2
. (4)
Ñíà÷àëà íàõîäèì ïåðâîå ïðèáëèæåíèå çàäàííîé ôóíêöèè â âèäå îäíîãî
ñëàãàåìîãî � � �1 1( ) ( )t , êîòîðîå ôîðìèðóåì ñëåäóþùèì îáðàçîì: çàäàåì
� �
1
0( ) ( ) — íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè � �
1
( ) è èç óñëîâèé ìèíèìóìà
ôóíêöèîíàëà
��
�� �!
�
��!
�
��!� �� �
a
b
a
b
K t t dtd[ ( , ) ( ) ( )]� � � � �2 (5)
ïîëó÷àåì ��
��! ( )t , ò.å. íà÷àëüíîå ïðèáëèæåíèå �� ( )t .  ñîîòâåòñòâèè ñ
èçâåñòíûì âàðèàöèîííûì ìåòîäîì äëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (5) íåîáõî-
äèìî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
�
� � � �
� � �
�
��!
�
��!
�
��!
( )
( , ) ( )
( ( ))
t
K t d
d
a
b
a
b
�
�
�
2
.
Çàòåì èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà
��
�� !
�
��!
�
� !1 1 2� �� �
a
b
a
b
K t t dtd[ ( , ) ( ) ( )]� � � � �
íàõîäèì ïåðâîå ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè � �� ( ):
� �
� �
�
�
��!
�
��!
�
��!
( )
( , ) ( )
( ( )
�
�
�
a
b
a
b
K t t dt
t) dt2
è òàê äàëåå. Ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ, êàê òîëüêî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ
a
b
n n
� � "( ( ) ( ))� � � � #�
� ��!
�
� ! 2 ,
a
b
n nt t� � "( ( ) ( ))� � #�
� ��!
�
� ! 2 ,
ãäå # — ïîêàçàòåëü çàäàííîé òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé� �� ( )è�� ( )t .
Ä.À. Âåðëàíü
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Ïîñëå äîñòèæåíèÿ çàäàííîé òî÷íîñòè�� ( )t è� �� ( ), àíàëîãè÷íî âûïîë-
íÿåì ïðèáëèæåíèå ôóíêöèè K t t( , ) ( ) ( )� � � �� � � ïðîèçâåäåíèåì � � �$ $( ) ( )t ,
èñõîäÿ èç òîãî æå êðèòåðèÿ îïòèìàëüíîñòè (4), ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíî
óñëîâèå
a
b
a
b
i
N
i iK t t dtd� �
�
�
�
�
�
�
�
�
( , ) ( ) ( )� � � � � % #
1
2
a ,
ãäå # à — çàäàííàÿ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷àåì
ðÿä
j
N
j jt
�
1
� � �( ) ( ), êîòîðûé ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðóåò èñõîä-
íóþ ôóíêöèþ K t( , )� .
Ðàññìîòðåííûé àëãîðèòì àïïðîêñèìàöèè, êàê è åãî ìîäèôèêàöèè [5,
6], îáëàäàåò ñâîéñòâîì ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ìèíèìèçàöèè ÷èñëà N
÷ëåíîâ àïïðîêñèìèðóþùåãî ðÿäà, ÷òî âûãîäíî îòëè÷àåò åãî îò òðàäè-
öèîííûõ àíàëîãîâ, îñíîâàííûõ íà èñïîëüçîâàíèè êàêèõ-ëèáî íàáîðîâ
êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé, ïîëó÷àåìûõ, íàïðèìåð, ïîñðåäñòâîì ðàçëîæåíèÿ
â ðÿä Òåéëîðà, Ôóðüå è äð. [7]. Ðåøåíèå ìíîãî÷èñëåííûõ òåñòîâûõ ïðèìå-
ðîâ è ïðèêëàäíûõ çàäà÷ ïîäòâåðæäàåò óêàçàííîå ñâîéñòâî àëãîðèòìà.
Íà ðèñ. 1 (ñì. âêëåéêó) ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåí ðåçóëüòàò ïðèìåíå-
íèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî àëãîðèòìà ïðè àïïðîêñèìàöèè îñöèëëèðóþùåé
ôóíêöèè K x s e xs( , ) sin ( )� � â îáëàñòè 0 2" "x s, & ñ øàãîì h �0 01, è ðåçóëüòè-
ðóþùåé òî÷íîñòüþ eapr � �0 1 5, . Ãðàôèêè ïîëó÷åííîãî íàáîðà àïïðîêñè-
ìèðóþùèõ ôóíêöèé îäíîé ïåðåìåííîé ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2. Àïïðîê-
ñèìèðîâàíà ôóíêöèÿ ïðè h �0 01, .
Ðåçîëüâåíòà. Ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîìîùüþ ðåçîëü-
âåíòû [2] ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ ìíîãèõ
çàäà÷ ôèçèêè, áèîëîãèè, òåõíèêè. Íî ñëîæíîñòè ýòîãî ïîäõîäà ñóùåñò-
âåííî îãðàíè÷èâàþò âîçìîæíîñòü åãî ïðèìåíåíèÿ êàê â àíàëèòè÷åñêîì,
òàê è â ÷èñëîâîì âèäå.  ñëó÷àå âûðîæäåííîãî ÿäðà èíòåãðàëüíîãî óðàâ-
íåíèÿ ýôôåêòèâíîñòü ðåàëèçàöèè ìåòîäà çíà÷èòåëüíî ïîâûøàåòñÿ.
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1) ïîñðåäñòâîì ðåçîëüâåíòû èìååò âèä
y t R t f d f t
a
t
( ) ( , ) ( ) ( )� �� � � � .
Ïðè ýòîì îñíîâíûì ñïîñîáîì ïîëó÷åíèÿ (âû÷èñëåíèÿ) ðåçîëüâåíòû ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå åå â âèäå ñóììû áåñêîíå÷íîãî ðÿäà
R t K t K t K t K t K
n
n
n
t
n( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � '
�
� � � �
�
(
�
(
�
2 2
�1( , )' � 'd ,
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 45
ãäå K tn�1( , )� , n �2 3, ,..., — èíòåãðèðîâàííûå ÿäðà (î÷åâèäíî, K t K t1( , ) ( , )� �� ).
Êàê âèäèì, îïðåäåëåíèå ðåçîëüâåíòû ñâÿçàíî ñ ìíîãîêðàòíûì ïîëó÷å-
íèåì ðåçóëüòàòîâ èíòåãðèðîâàíèÿ ïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé ôóíêöèé äâóõ
ïåðåìåííûõ è èõ ñóììèðîâàíèåì, ò.å. ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ñëîæíîé âû-
÷èñëèòåëüíîé çàäà÷åé. Äðóãèì ñïîñîáîì îïðåäåëåíèÿ ðåçîëüâåíòû ÿâ-
ëÿåòñÿ ðåøåíèå èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
R t K t R t K d
t
( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � ' ' � '
�
� � � ,
÷òî íå óïðîùàåò âû÷èñëèòåëüíóþ çàäà÷ó.
Åñëè â óðàâíåíèè (1) ÿäðî ÿâëÿåòñÿ âûðîæäåííûì, òî ðåøåíèå ïî-
ñðåäñòâîì ðåçîëüâåíòû ïðèíèìàåò âèä
y x f x x
n
n
n( ) ( ) ( )� �
�
(
1
) * ,
ãäå
* � � *n
a
b
i
l
i i nx x s ds
n
( ) ( ) ( )� �
�
�
1
1 .
Ä.À. Âåðëàíü
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0 40 80 120
�1( )x
0,04
0,02
0
0,02
0,04
0,06
�
�
�
0 40 80 120
�2( )x
0,04
0,02
0
0,02
0,04
0,06
�
�
�
0 40 80 120 x
�3( )x
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0 40 80 120
�1( )s
20
10
0
10
20
�
�
10
0
10
20
�
�
0 40 80 120
�2( )s
0 40 80 120 s
�3( )s
Ðèñ. 2
Ïðè ýòîì èíòåãðèðîâàííûå ÿäðà îïðåäåëÿþòñÿ èç âûðàæåíèÿ
K x s x s xn
i
l
i
n
i
n
i
l
j
l
i
n
j
n n
( , ) ( ) ( ) ( )� �
� � �
�
�
1 1 1
1
1
� � � � ( ) ( ) ( )s t t dt
a
b
i
n
j�
�� �1 .
Òàêèì îáðàçîì, âñå âû÷èñëåíèÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåçîëüâåíòû âûïîë-
íÿþòñÿ ïîñðåäñòâîì îïåðàöèé íàä ôóíêöèåé îäíîé ïåðåìåííîé, ÷òî ñâè-
äåòåëüñòâóåò îá ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà âûðîæäåííûõ ÿäåð.
Ñèñòåìû óðàâíåíèé Âîëüòåððû II ðîäà. Â ñèñòåìå
y x y x K x s y s ds f xp
j
m
p
a
x
pj j p( ) ( ) ( , ) ( ) ( )� �
�
�
1
, (6)
ãäå K x spj ( , ) — ÿäðà, y xp ( ) — èñêîìûå ôóíêöèè, f xp ( ) — èçâåñòíûå ïðà-
âûå ÷àñòè, êàæäîå ÿäðî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå áèëèíåéíîãî ðÿäà
K x s x spj
r
q
pjr pjr
pj
( , ) ( ) ( )
�
1
� � ,
ãäå q pj — ÷èñëî ÷ëåíîâ ñîîòâåòñòâóþùåé ñóììû. Òîãäà (6) ïðèíèìàåò âèä
y x x s y s ds f xp
j
m
r
q
pjr
a
x
pjr j p
pj
( ) ( ) ( ) ( ) ( )� �
� �
�
1 1
� � . (7)
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7) ìîæíî èñïîëüçîâàòü çàìåíó èíòåãðàëà ôîð-
ìóëîé òðàïåöèé íà îòðåçêå [ , ]a b , êîòîðûé ðàçáèò íà n ðàâíûõ ÷àñòåé òàê
÷òî, ÷òî x a1 � , x x bn2 , ..., � . Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ y xp i( ), i n� �1 2 1, , ..., ,
íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ
y x x A x y x fp i
j
m
r
q
pjr i
l
i
l pjr l j l
pj
( ) ( ) ( ) ( )� �
� � �
1 1 1
� � p ix( ), (8)
ãäå
A
b a
n
l l i
b a
n
l l i
l �
�
+ � �
�
+ , ,
�
�
-
�
-
2
1
1
, , ,
, , .
Î÷åâèäíî, ÷òî y x f xp p( ) ( )1 1� , à äëÿ îïðåäåëåíèÿ êàæäîé ãðóïïû y xp i( ),
i n� �2 3 1, ,..., , íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé (8) â âèäå
y x x x y xp i
j
m
r
q
pjr i pjr i j i
pj
( ) ( ) ( ) ( )� �
� �
1 1
� �
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 47
� �
� � �
�
f x x A x y xp i
j
m
r
q
pjr i
l
i
l pjr l j l
pj
( ) ( ) ( ) (
1 1 1
1
� � ),
ãäå çíà÷åíèÿ èñêîìûõ y xj l( ) äëÿ l i% èçâåñòíû, ïîýòîìó
j
m
r
q
pjr i
l
i
l pjr l j l
pj
x A x y x
� � �
�
1 1 1
1
� �( ) ( ) ( )
ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîé èç m q pj. ñóìì
ìîæíî èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèå
l
i
l pjr l j l i pjr i j i
l
A x y x A x y x
�
�
� � �
�
� �
1
1
1 1 1
1
� �( ) ( ) ( ) ( )
i
l pjr l j lA x y x
�
2
� ( ) ( ),
÷òî ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî ðàñ÷åòîâ íà êàæäîì
øàãå.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÿäåð âèäà (2) íåîáõîäèìî ïîñòðîåíèå ïðîöåäóðû ìè-
íèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà
� pj
a
b
a
b
pj
r
q
pjr pjrK x s x s d
pj
� �
�
�
�
�
�
�
�� �
�
( , ) ( ) ( )
1
2
� � xds .
Ñëàãàåìûå ñóììû (� �pjr l pjr lx x( ) ( )) íàõîäèì ïî ôîðìóëàì
�
�
�
pjr
t a
b
pjr pjr
t
a
b
pjr
t
x
K x s s ds
s
( )
( )
( )
( )
( , ) ( )
( ( ))
�
�
�
2 ds
, (9)
�
�
�
pjr
t a
b
pjr pjr
t
a
b
pjr
t
s
K x s x dx
x
( )
( )
( )
( )
( , ) ( )
( ( ))
�
�
�
2 dx
, (10)
ãäå t — íîìåð øàãà âàðèàöèè; K x s K x spj pj1( , ) ( , )� ; �
pjr
s( ) ( )0 — çàäàåì
àïðèîðíî. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
a
b
pjr
t
pjr
ts s ds� � %�( ( ) ( ))( ) ( )� � #1 2 ,
a
b
pjr
t
pjr
tx x dx� � %�( ( ) ( ))( ) ( )� � #1 2 , (11)
Ä.À. Âåðëàíü
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ãäå # — ïîêàçàòåëü òî÷íîñòè âû÷èñëåíèÿ ôóíêöèé �
pjr
t x( ) ( ) è �
pjr
t s( ) ( ), îïðå-
äåëÿåì K x s K x s x xpj r pjr pjr pjr( ) ( , ) ( , ) ( ) ( )� � �1 � � . Èñïîëüçóÿ ðàñ÷åòíûå âûðà-
æåíèÿ (9) è (10) äî âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ (11), ïðèáëèæàåì � �
pjr pjr
x x( ) ( ) ê
K x spj r( ) ( , )�1 . Ïðîäîëæàåì ýòîò èòåðàöèîííî-âàðèàöèîííûé ïðîöåññ äî òåõ
ïîð, ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíî óñëîâèå
a
b
a
b
pj
r
q
pjr pjrK x s x s dxds
pj
� �
�
�
�
�
�
�
�
� %
�
( , ) ( ) ( )
1
2
� � # apr ,
ãäå # apr — çàäàííûé ïîêàçàòåëü òî÷íîñòè àïïðîêñèìàöèè.  ðåçóëüòàòå
ïîëó÷àåì ðÿä
r
q
pjr pjr
pj
x s
�
1
� �( ) ( ),
êîòîðûé ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ àïïðîêñèìèðóåò èñõîäíîå ÿäðî K x spj ( , ).
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé Âîëüòåððû II ðîäà ñ ðåêóððåíòíûì âû÷èñëåíèåì ñóìì ïîçâî-
ëÿåò çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü ÷èñëî íåîáõîäèìûõ èòåðàöèé è ïîâûñèòü
ýôôåêòèâíîñòü ðàñ÷åòîâ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðÿìûìè ìåòîäàìè áåç ïîñò-
ðîåíèÿ âûðîæäåííûõ ÿäåð.
Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. Íàëè÷èå èíòåãðàëüíûõ
îïåðàòîðîâ â èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèÿõ ÿâëÿåòñÿ îñíîâà-
íèåì äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ïðè èõ ðåøåíèè ìåòîäà âûðîæäåííûõ ÿäåð. Ðàñ-
ñìîòðèì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
L z x M z y K x y dy
a
b
[ ( )] [ ( )] ( , )� �) , (12)
ãäå
L z x
d z x
dx
a
d z x
dx
a
dz x
dx
n
n
n
n n[ ( )]
( ) ( )
...
( )
� � � � �
�
� �1
1
1 1 a z xn ( );
M z y b
d z y
dy
b
d z y
dx
b
dz y
d
m
m
m
m m[ ( )]
( ) ( )
...
( )
� � � �
�
� �0 1
1
1 1
y
b z ym� ( );
a1 ... an, b0, b1 ... bn, — ïîñòîÿííûå ÷èñëà; ) — ïàðàìåòð; K x y( , ) � * /1 1( ) ( )x y �
�* /2 2( ) ( )x y — ðàçäåëÿþùåå ÿäðî.
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 49
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12) èìååò âèä
z x c z x c z x F x F xn n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )� � � � �1 1 1 2 ,
ãäå cr — ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå; F x1( ), F x2( ) — ôóíêöèè, âèä êîòîðûõ
çàâèñèò îò âèäà ôóíêöèé * 1( )x è * 2( )x ; z xr ( ) — ëèíåéíî íåçàâèñèìûå
ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ L z x[ ( )]�0 .
Ïóñòü f l( ) �0 — õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ L z x[ ( )]�0, à g m( ) �0 — äëÿ óðàâíåíèÿ M z y[ ( )]�0. Âíà-
÷àëå ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ñëó÷àé:
* 0 �
1 1( ) ( )x x e x� , * 0 �
2 2( ) ( )x x e x� ,
ãäå 01( )x , 0 2( )x — ìíîãî÷ëåíû ñîîòâåòñòâåííî ñòåïåíè p è q. Åñëè � —
êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ f l( ) �0 êðàòíîñòè r 11, à � — êî-
ðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ g m( ) �0 êðàòíîñòè s 11, òî ðåøåíèå
óðàâíåíèÿ (12) ñëåäóåò èñêàòü â ôîðìå
z x c c x c x e c c x c xr
r x
r r r s
s( ) ( ... ) ( ...� � � � � � � ��
� � �1 2
1
1 2
� � �1 ) e x�
� � �
� � �
i r s
n
i i
r x s xc z x x e P x x e P x
1
1 2( ) ( ) ( )� � , (13)
ãäå P x1( ), P x2( ) — ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíåé p è q, êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ
ñëåäóåò ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû ðåøåíèå (13) óäîâëåòâîðÿëî óðàâíåíèþ
(12). Ïîäñòàâèâ (13) â óðàâíåíèå (12) è ïðèðàâíÿâ êîýôôèöèåíòû ïðè e x� è
e x� â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ, ïîëó÷èì äâà ìíîãî÷ëåíà ñòåïåíè p è q.
Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ,
ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ âñåãäà
ðàçðåøèìà îòíîñèòåëüíî èñêîìûõ êîýôôèöèåíòîâ.
Àíàëîãè÷íîå ðåøåíèå ìîæíî ïîëó÷èòü è äëÿ ÿäðà K x y( , ) �
� � �* / * /� �( ) ( ) ... ( ) ( )x y x yn n . Ïóñòü
K x y e x x x x yx( , ) [ ( ) cos ( ) sin ] ( )� �� 0 � 0 � /1 2 ,
ãäå 01( )x , 0 2( )x — ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè k. Çàìåíÿÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
ôóíêöèè ïîêàçàòåëüíûìè, íàõîäèì
K x y e x i x e x ii x i x( , ) { [ ( ) ( )] [ ( )) )� � � ��1
2
1 2 1
���� �� �0 0 0 0 2( )]} ( )x y/ .
Òàêèì îáðàçîì, ýòîò ñëó÷àé ñâîäèòñÿ ê ïðåäûäóùåìó. Åñëè � �2 i — êî-
ðåíü óðàâíåíèÿ f l( ) �0 êðàòíîñòè r, òî ñîãëàñíî (13) ðåøåíèå èìååò âèä
z x e c c x c x x c c xx
r
r
r r( ) [( ... ) cos ( ...� � � � � � � ��
� �
� �1 2
1
1 2 c x xr
r
2
1� �) sin ]�
Ä.À. Âåðëàíü
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
� � �
� �
�
i r
n
i i
r i x i xc z x x e P x e P x
2 1
1 2( ) [ ( ) ( )]) )���� �� � , (14)
ãäå P x1( ) è P x2( ) — ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíåé k ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîïðÿ-
æåííûå âûðàæåíèÿ P x Q x iQ x1 1 2( ) ( ) ( )� � è P x Q x iQ x1 1 2( ) ( ) ( )� � . Ïîäñòàâ-
ëÿÿ P1, P2 â (14) è ïåðåõîäÿ ê òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ôóíêöèÿì, ïîëó÷àåì
z x e c c x c x x c c xx
r
r
r r( ) [( ... ) cos ( ...� � � � � � � ��
� �
� �1 2
1
1 2 c x xr
r
2
1� �) sin ]�
� � �
� �
i r
n
i i
r xc z x x e R x x R x x
2 1
1 2( ) [ ( ) cos ( ) sin ]� � � , (15)
ãäå R Q x1 12� ( )è R Q x2 22� � ( )— ìíîãî÷ëåíû, èìåþùèå òàêóþ æå ñòåïåíü,
êàê è ìíîãî÷ëåíû 01( )x , 0 2( )x , åñëè èõ ñòåïåíè ðàâíû, è íàèáîëüøóþ
ñòåïåíü èç ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ, åñëè èõ ñòåïåíè ðàçëè÷íû.
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (15) â óðàâíåíèå (12) ïðèðàâíèâàåì âûðàæåíèÿ
ïðè cos �x, sin �x â ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî
ïðèõîäèì ê ðàâåíñòâó äâóõ ïàð ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè k. Ïðèðàâíèâàÿ
êîýôôèöèåíòû ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ x, ïîëó÷àåì
âñåãäà ðàçðåøèìóþ 2k ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îò-
íîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ R1 è R2.
Åñëè ïðàâàÿ ÷àñòü èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (12) èìååò
âèä
L z y M z y K x y dy x
a
b
[ ( )] [ ( )] ( , ) ( )� ��) 3 ,
òî åãî ðåøåíèå ïðèíèìàåò âèä
z x c z x c z x F x F x xn n( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �1 1 1 2 4 ,
ãäå 4 ( )x — ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ L z x x[ ( )] ( )�3 . Ïðèñóòñòâèå â ðå-
øåíèè ôóíêöèè 4 ( )x ïðèâåäåò ê èçìåíåíèþ òîëüêî ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ â
ñèñòåìàõ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàññìîòðåííûé ìåòîä ìîæåò áûòü ïðèìåíåí òàê-
æå äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ÿäðàìè ïðîèç-
âîëüíîãî âèäà, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì ìåòîäîì àïïðîêñè-
ìàöèè ÿäåð.
Óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû ² ðîäà. ×èñëåííûå àëãîðèòìû ðåøåíèÿ óðàâ-
íåíèÿ Âîëüòåððû ² ðîäà
0
t
K t s y s ds f t� � �( ) ( ) ( ) (16)
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 51
îáû÷íî ïîñòðîåíû íà îñíîâå êâàäðàòóðíûõ ìåòîäîâ, ðåàëèçàöèÿ êîòîðûõ
ñâÿçàíà ñ âîçðàñòàíèåì ÷èñëà îïåðàöèé íà êàæäîì ïîñëåäóþùåì øàãå
âû÷èñëåíèé. Ðàññìîòðèì ïîñòðîåíèå âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíîãî ÷èñëåí-
íîãî àëãîðèòìà ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû I ðîäà íà
îñíîâå ñîîòâåòñòâóþùåé àïïðîêñèìàöèè ÿäðà.
Îñíîâîé óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû I ðîäà (16) ïðè ìîäåëèðîâàíèè ñêàëÿðíûõ
äèíàìè÷åñêèõ ñòàöèîíàðíûõ îáúåêòîâ ÿâëÿåòñÿ îïåðàòîð òèïà ñâåðòêè
/ *( ) ( ) ( )t K t s s ds
t
� ��
0
, (17)
ãäå èíòåãðàë ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå çàìåíÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé. Ïðè
ýòîì ìîãóò áûòü ïðèìåíåíû ðàçëè÷íûå êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû, êàæäàÿ èç
êîòîðûõ èìååò ñóùåñòâåííûå àëãîðèòìè÷åñêèå îñîáåííîñòè [2]. Òðàäè-
öèîííûå àïïðîêñèìèðóþùèå àëãåáðàè÷åñêèå çàâèñèìîñòè äëÿ èíòåãðàëü-
íîãî îïåðàòîðà (17) è èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû I ðîäà (16)
ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ïðèáëèæåííûõ âûðàæåíèé:
/ *( ) ( ) ( )t A K t t ti
j
i
i i j j �
�
1
, (18)
j
i
i i j j iA K t t y t f t
�
� �
1
( ) ( ) ( ), (19)
ãäå j i�1 2, , ..., ; ti , i n�1, , — óçëû äèñêðåòèçàöèè; Ai — êîýôôèöèåíòû
êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû. Åñëè óçëû ñëåäóþò îäèí çà äðóãèì ñ ïîñòîÿííûì
øàãîì h, òî t i hi � �( )1 . Îòñóòñòâèå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè ïîä çíàêîì
èíòåãðàëà â óðàâíåíèè (16) ïðèâîäèò ê ðÿäó îñîáåííîñòåé. Íàïðèìåð, â
ñèñòåìå (19) íåâîçìîæíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ äàëü-
íåéøåãî ðåêóðpåíòíîãî ïîëó÷åíèÿ çíà÷åíèé y h( ), y h( ), ...2 .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ y ( )0 ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ âûðàæåíèåì y
f
K
( )
( )
( )
0
0
0
�
5
.
Òåïåðü ñèñòåìà (19) ïîçâîëÿåò ïîñëåäîâàòåëüíî îïðåäåëèòü çíà÷åíèå
y t
A K
f t A K t t y ti
j
i
j
i
i i j j( )
( )
( ) ( ) ( )� � �
�
��
�
�
��
�
1
0 1
.
Ïðè âû÷èñëåíèè çíà÷åíèé 5 �
�
f
df t
d t t
( )
( )
( )
0
0
ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ðàçëè÷-
Ä.À. Âåðëàíü
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
íûìè èíòåðïîëÿöèîííûìè ñïîñîáàìè, â òîì ÷èñëå ôîðìóëîé êâàäðà-
òè÷íîé èíòåðïîëÿöèè
5 � � � �f
h
f f h f h( ) ( ( ) ( ) ( ))0
1
2
3 0 4 2 .
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïðè K ( )0 0� â èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ äëÿ
ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (16) íåâîçìîæíî ïðè-
ìåíèòü ìåòîä êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû òðàïå-
öèé, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì íåîáõîäèìî âûïîëíÿòü îïåðàöèþ äåëåíèÿ íà
K ( )0 ñîãëàñíî ðàñ÷åòíûì âûðàæåíèÿì
~ ( )
( )
( )
y
f
K
0
0
0
�
5
,
~ ( )
( )
( )
( ) ~ ( )y t
A K
f t
h
A K t t y ti
i
i
j
i
i i j j� � �
�
��
�
��
�
2
0 1
1
�� ,
(20)
ãäå t i hi � �( )1 , i �2 3, ,... ;
A
j
j
j �
+ �
+ �
�
�
�
1 2 1
1 1
/ , ,
, .
Ïîýòîìó áîëåå öåëåñîîáðàçíûì â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå
ôîðìóëû ñðåäíèõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî îïðå-
äåëèòü çíà÷åíèå èñêîìîé ôóíêöèè â óçëàõ t t j hj j� � � ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�1 2 1 2
1
2
/ / ñ ïî-
ìîùüþ âûðàæåíèé
~ ( )
y
f h
hK h
1
2 1
2
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
,
~ ( )
( )
( )/ /y t
K h
f t
h
A K t ti
i
j
i
i i j�
�
�
��
�
�
�
�
�
� �
1 2
1
2
1 2
1
1
2
~ ( )/y t j�
�
��
�
�
��1 2 .
(21)
Èç âûðàæåíèé (18), (20) è (21) âèäíî , ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì íîìåðà øàãà
äèñêðåòèçàöèè âîçðàñòàåò ÷èñëî îïåðàöèé, âûïîëíÿåìûõ íà êàæäîì øàãå
âû÷èñëåíèé, òàê êàê ÿäðî èìååò ïðîèçâîëüíûé âèä.
Èìïóëüñíûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà äèíàìè-
÷åñêèõ îáúåêòîâ ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíûìè è ïîýòîìó ìîãóò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíû â âèäå ñòåïåííîãî ðÿäà ïî òåîðåìå Âåéåðøòðàññà. Ýòî ïîçâîëÿåò
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 53
âî ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àÿõ ñ÷èòàòü ÿäðî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ
(16) âûðîæäåííûì, ò.å. èìåþùèì âèä
K t s t s
l
m
l l( ) ( ) ( )�
�
1
� � , l m�1, . (22)
Ñâîéñòâî ðàçäåëèìîñòè ÿäðà (22) â ñëó÷àå, êîãäà èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ
ôóíêöèÿ K t( ) çàäàíà àíàëèòè÷åñêè, ïîçâîëÿåò çàïèñàòü âûðàæåíèÿ (16) è
(17) â âèäå
l
m
l
t
lt s y s ds f t
�
� �
1 0
� �( ) ( ) ( ) ( ) , (23)
/ � � *( ) ( ) ( ) ( )t t s s ds
l
m
l
t
l�
�
�
1 0
. (24)
Ïðèìåíÿÿ ê âûðàæåíèÿì (23) è (24) êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû, ïîëó÷àåì
ñîîòâåòñòâåííî ôîðìóëó äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè îïåðàòîðà
/ � � *( ) ( ) ( ) ( )t t t ti
l
m
l i
j
i
l j j�
� �
�
1 1
1
(25)
è ðåêóððåíòíûå âûðàæåíèÿ äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé
~ ( )
( )
( )
y
f
K
0
0
0
�
5
,
~ ( )
( )
( ) ( ) ( ) ~ (y t
A K
f t t A t y ti
i
i
l
m
l i
j
i
j l j� �
� �
�
2
0 1 1
1
� � j )
�
��
�
�
�� .
(26)
Âûðàæåíèÿ (25) è (26), ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé àíàëèòè÷åñêîå îïè-
ñàíèå ìîäèôèöèðîâàííîãî àëãîðèòìà, îòëè÷àþòñÿ îò (18) è (20) òåì, ÷òî
êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé íà êàæäîì øàãå îñòàåòñÿ íåèçìåííûì, ïîñêîëü-
êó ñëàãàåìûå
j
i
j l j jA t y t
�
�
1
1
� ( ) ~ ( ) çàâèñÿò òîëüêî îò îäíîé ñâîáîäíîé ïå-
ðåìåííîé t j .
Øèðîêèé êëàññ ÿäåð ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí àíàëèòè÷åñêèì ñïî-
ñîáîì â âèäå ðàçäåëÿþùèõñÿ ÿäåð. Íàïðèìåð, ÿäðî K t s e t st s( ) sin ( )� � ��
ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå
K t s e t e s t e st s s( ) (sin ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ))� � �� � ,
Ä.À. Âåðëàíü
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
à ñîîòâåòñòâóþùèé îïåðàòîð ñâåðòêè — â âèäå
/ ( ) (sin ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) )t e t e s ds t e s dst
t
s
t
s� �� �
� �
0 0
.
Òàêèì îáðàçîì ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü àëãîðèòì ïðè íàëè÷èè àíà-
ëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ äëÿ ÿäðà. Îäíàêî âûðàæåíèÿ (26) íåëüçÿ ïðè-
ìåíèòü, åñëè K t( ) èìååò ýêñïåðèìåíòàëüíîå ïðîèñõîæäåíèå. Â òàêîì ñëó-
÷àå ïðàêòè÷åñêèé ïóòü îïðåäåëåíèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âèäà ôóíêöèè K t( )
ñîñòîèò â ïîëó÷åíèè ïåðåõîäíîé õàðàêòåðèñòèêè êàê ðåàêöèè èññëåäóå-
ìîãî îáúåêòà íà åäèíè÷íóþ ôóíêöèþ è ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèè
P t( ) ïðîñòûì àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì è åãî äèôôåðåíöèðîâàíèåì,
òàê êàê K t dP t dt( ) ( ) /� .
Ýôôåêòèâíûì àïïàðàòîì ïðèáëèæåíèÿ ôóíêöèè íà îòðåçêå [ , ]0 T ñ
ïîìîùüþ ïðîñòûõ àíàëèòè÷åñêèõ âûðàæåíèé (ïîëèíîìîâ) ÿâëÿþòñÿ èí-
òåðïîëÿöèîííûå ïîëèíîìèàëüíûå ñïëàéíû [8], ïðèíàäëåæàùèå êëàññó
C T[ , ]0 .  ýòîì ñëó÷àå ïðèìåíåíèå ñïëàéíîâ ïðè K t( ) , 0 è íåïðåðûâíûõ
ôóíêöèÿõ K t( ) òà 5f t( ) íà îòðåçêå [0, T] ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåé ïðîöåäóðå
ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (16).
1. Àïïðîêñèìèðóÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûå ôóíêöèè P t( ) è K t( )
èíòåðïîëÿöèîííûìè ñïëàéíàìè n-ãî ïîðÿäêà íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå
6 m i it t iH H T m i mdef � � � �{ : ; / ; , }0 ,
ïîëó÷àåì Z P tm n, ( ( )), Z f tm n, ( ( )), ãäå m — ÷èñëî òî÷åê èíòåðïîëÿöèè.
2. Îïðåäåëèâ ïðîèçâîäíóþ 5Z P tm n, ( ( )) è ïîäñòàâèâ åå â óðàâíåíèå (16)
âìåñòî K t s( )� , à Z P tm n, ( ( )) — âìåñòî f t( ), ïîëó÷èì
0
t
m n m nZ P t s y s ds Z f t� 5 � �, ,( ( ) ~ ( ) ( ( )), (27)
ãäå ~ ( )y t — ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ.
3. Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå (27) ïî t, ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâ-
íåíèå Âîëüòåððû II ðîäà
K y t Z P t s y s ds Z f t
t
m n m n( ) ~ ( ) ( ( ) ~ ( ) ( ( )), ,0
0
� 55 � � 5� . (28)
4. Èñõîäÿ èç êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë âèäà
0 0
ih
j
i
ij ij is ds h W jh R�
� �
�
* / /( ) ( ) [ ],
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 55
ãäå i N�1, , N �1 2, ,... ; h T Ndef � / ; hwij — âåñà; Ri [ ]/ — îñòàòêè ýòèõ
ôîðìóë, ïîëó÷àåì ñèñòåìó ðàñ÷åòíûõ óðàâíåíèé
K y ih W Z P ih jh y jh Z f
j
i
ij m n m n( ) ~~( ) ( ( )) ~~ ( ) (, ,0
0
� 5 � � 5
�
( ))ih , (29)
ãäå ~~ ( )y ih — ðåøåíèå ñèñòåìû (29). Óðàâíåíèå (28) è ñèñòåìà (29) ïîçâî-
ëÿþò, èñïîëüçîâàâ ñâîéñòâî (22) ÿäðà, ïîëó÷èòü ðàñ÷åòíûå âûðàæåíèÿ,
ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì ìåòîäà êâàäðàòóð-
íûõ ôîðìóë.
Òàêèì îáðàçîì, ðàññìîòðåííûé ìîäèôèöèðîâàííûé àëãîðèòì ìåòîäà
êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë äëÿ ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû I
ðîäà èìååò ðÿä íåîáõîäèìûõ äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ñâîéñòâ, â ÷àñò-
íîñòè íåáîëüøîå è ïîñòîÿííîå ÷èñëî îïåðàöèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ î÷åðåäíîãî
äèñêðåòíîãî çíà÷åíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè. Ýòî äåëàåò äàííûé àëãîðèòì
ïðèãîäíûì äëÿ ïðîãðàììíûõ èëè àïïàðàòíûõ ñïåöèàëèçèðîâàííûõ âû-
÷èñëèòåëüíûõ ñðåäñòâ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ â ðåàëüíîì âðåìåíè.
Âûâîäû
Èíòåãðàëüíûå äèíàìè÷åñêèå ìîäåëè, ïðåäñòàâëåííûå èíòåãðàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè Âîëüòåððû I è II ðîäà, à òàêæå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè ñ îïåðàòîðîì Âîëüòåððû, îòíîñÿòñÿ ê êëàññàì íåïàðàìåòðè-
÷åñêèõ ìîäåëåé è ôîðìèðóþòñÿ íà îñíîâå äèíàìè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê
îáúåêòîâ ìîäåëèðîâàíèÿ. Ïðîäóêòèâíûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ ðåêóððåíò-
íûõ ÷èñëåííûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ óêàçàííûõ óðàâíåíèé, îáåñïå÷èâàþ-
ùèé âûñîêóþ ñêîðîñòü ïðîöåññà ìîäåëèðîâàíèÿ, îñíîâàí íà ïðèìåíåíèè
âûðîæäåííûõ (ðàçäåëÿþùèõñÿ) ÿäåð ïðè ðåàëèçàöèè îïåðàòîðà Âîëüòåð-
ðû. Ïðåäëàãàåìûé îïòèìèçàöèîííûé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè ôóíêöèé äâóõ
ïåðåìåííûõ ïîçâîëÿåò ýôôåêòèâíî ïî êðèòåðèþ «ñëîæíîñòü—òî÷íîñòü»
ðåøàòü çàäà÷ó ïðèáëèæåíèÿ ÿäåð ïðîèçâîëüíîãî âèäà âûðîæäåííûìè ÿä-
ðàìè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáåñïå÷èâàåò ðàçðàáîòêó áûñòðîäåéñòâóþùèõ
àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ
èñïîëüçîâàíèåì íåïàðàìåòðè÷åñêèõ ìîäåëåé.
The possibilities of numerical implementation of integral dynamic models are considered. The
models are non-parametric and are presented by Volterra integral equations of type II and type I,
and also by integro-differential equations. Recurrent numerical algorithms for solving these
equations are developed. The degenerate (separable) kernels method is used for constructing the
algorithms. The optimization method of approximation for kernels of the Volterra integral opera-
tors is proposed.
Ä.À. Âåðëàíü
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Áóòêîâñêèé À.Ã. Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè : Ñïðàâ.
ïîñîáèå. — Ì. : Íàóêà, 1979. — 224 ñ.
2. Ìàíæèðîâ À.Â., Ïîëÿíèí À.Ä. Ñïðàâî÷íèê ïî èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì: Ìåòîäû
ðåøåíèÿ. — Ì.: Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2000. — 384ñ.
3. Âåðëàíü Ä.À. Àïðîêñèìàö³ÿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ ó çàäà÷àõ êåðóâàííÿ // Çá. ïðàöü
«Ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ». Ñåð.: Òåõí³÷í³ íàóêè. Âèï. 5. — Êàì’ÿ-
íåöü-Ïîä³ëüñüêèé íàö³îíàëüíèé óí-ò ³ì. ²âàíà Î㳺íêà. — 2011. — Ñ. 62—70.
4. Íèêîëüñêèé Ñ.Ì. Êâàäðàòóðíûå ôîðìóëû. 4-å èçä. äîï. — Ì.: Íàóêà, 1988. — 254 ñ.
5. Âåðëàíü Ä.À. ²òåðàö³éí³ àëãîðèòìè àïðîêñèìàö³¿ ôóíêö³¿ äâîõ çì³ííèõ// «Ìàòåìàòè÷-
íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ». Ñåð.: Òåõí³÷í³ íàóêè. Âèï. 2. — Êàì’ÿíåöü-Ïî-
ä³ëüñüêèé íàö³îíàëüíèé óí-ò ³ì. ²âàíà Î㳺íêà. — 2009. — Ñ. 24—32.
6. Âåðëàíü Ä.À. Ãðàäèåíòíûé àëãîðèòì áèëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ÿäåð ïðè ðåøåíèè
èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Ôðåäãîëüìà II-ãî ðîäà // «Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå». —
2013. — 35, ¹ 1.— Ñ. 73—80.
7. Áàõâàëîâ Í.Ñ., Æèäêîâ Í.Ï., Êîáåëüêîâ Ã.Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì.: Áèíîì,
2003. — 630 ñ.
8. Ñòå÷êèí Ñ.Á., Ñóááîòèí Þ.Í. Ñïëàéíû â âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêå. — Ì.: Íàóêà,
1976. — 248 ñ.
Ïîñòóïèëà 29.04.14
ÂÅÐËÀÍÜ Äìèòðèé Àíàòîëüåâè÷, àñïèðàíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
èì. Ò. Øåâ÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èë â 2011 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àïïðîêñè-
ìàöèÿ ôóíêöèé è ðåøåíèå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ìåòîä âûðîæäåííûõ ÿäåð ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 57
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101002 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:40:13Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Верлань, Д.А. 2016-05-29T17:08:07Z 2016-05-29T17:08:07Z 2014 Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей / Д.А. Верлань // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 41-57. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101002 519.6 Рассмотрены возможности численной реализации интегральных динамических моделей, которые являются непараметрическими и представлены интегральными уравнениями Вольтерры II и I рода, а также интегро-дифференциальными уравнениями. Разработаны рекуррентные численные алгоритмы решения указанных уравнений. Для построения алгоритмов использован метод вырожденных (разделяющихся) ядер. Предложен оптимизационный метод аппроксимации ядер интегральных операторов Вольтерры. Розглянуто можливості чисельної реалізації інтегральних динамічних моделей, які є непараметричними і представлені інтегральними рівняннями Вольтерри II і I роду, а також інтегро-диференціальними рівняннями. Розробленоано чисельні алгоритми розв’язування зазначених рівнянь. Для побудови алгоритмів використовано метод вироджених (що розділяються) ядер. Запропоновано оптимізаційний метод апроксимації ядер інтегральних операторів Вольтерри. The possibilities of numerical implementation of integral dynamic models are considered. The models are non-parametric and are presented by Volterra integral equations of type II and type I, and also by integro-differential equations. Recurrent numerical algorithms for solving these equations are developed. The degenerate (separable) kernels method is used for constructing the algorithms. The optimization method of approximation for kernels of the Volterra integral operators is proposed. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей Article published earlier |
| spellingShingle | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей Верлань, Д.А. Математические методы и модели |
| title | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| title_full | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| title_fullStr | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| title_full_unstemmed | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| title_short | Метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| title_sort | метод вырожденных ядер при численной реализации интегральных динамических моделей |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101002 |
| work_keys_str_mv | AT verlanʹda metodvyroždennyhâderpričislennoirealizaciiintegralʹnyhdinamičeskihmodelei |