Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины
Предложен метод решения нелинейных граничных задач теплопроводности на примере бесконечной термочувствительной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, конвективным теплообменом и локально сосредоточенными внутренними источниками тепла. Выполнен численный анализ температур...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101003 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 59-70. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860126141513203712 |
|---|---|
| author | Гаврыш, В.И. |
| author_facet | Гаврыш, В.И. |
| citation_txt | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 59-70. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложен метод решения нелинейных граничных задач теплопроводности на примере бесконечной термочувствительной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, конвективным теплообменом и локально сосредоточенными внутренними источниками тепла. Выполнен численный анализ температурного поля для двухслойной пластины. Приведены результаты эксперимента.
Запропоновано метод розв’язування нелінійних крайових задач теплопровідності на прикладі нескінченної термочутливої багатошарової пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, конвективним теплообміном і локально зосередженими внутрішніми джерелами тепла. Виконано числовий аналіз температурного поля для двошарової пластини. Наведено результати експерименту.
A method has been proposed for solving the nonlinear boundary value problems of heat conduction as an example of an infinite plate with temperature-sensitive multilayer insulated facial surfaces, convective heat transfer and locally focused internal heat sources. A numerical analysis of temperature field for the two-layer plate has been done with results of the experiment presented.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:42:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 536.24
Â.È. Ãàâðûø, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíèé óíèâåðñèòåò «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà»,
(Óêðàèíà, 79013, Ëüâîâ, óë. Ñ.Áàíäåðû, 12,
òåë. (032) 2582578, e-mail: ikni.pz@gmail.com)
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå
ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé
çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ áåñêîíå÷íîé
òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû
Ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè íà ïðèìåðå
áåñêîíå÷íîé òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé ìíîãîñëîéíîé ïëàñòèíû ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè
ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîíâåêòèâíûì òåïëîîáìåíîì è ëîêàëüíî ñîñðåäîòî÷åííûìè
âíóòðåííèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà. Âûïîëíåí ÷èñëåííûé àíàëèç òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ äëÿ
äâóõñëîéíîé ïëàñòèíû. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòà.
Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ðîçâ’ÿçóâàííÿ íåë³í³éíèõ êðàéîâèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ íà
ïðèêëàä³ íåñê³í÷åííî¿ òåðìî÷óòëèâî¿ áàãàòîøàðîâî¿ ïëàñòèíè ç òåïëî³çîëüîâàíèìè ëè-
öåâèìè ïîâåðõíÿìè, êîíâåêòèâíèì òåïëîîáì³íîì ³ ëîêàëüíî çîñåðåäæåíèìè âíóòð³øí³ìè
äæåðåëàìè òåïëà. Âèêîíàíî ÷èñëîâèé àíàë³ç òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ äëÿ äâîøàðîâî¿ ïëàñ-
òèíè. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè åêñïåðèìåíòó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : òåìïåðàòóðà, òåïëîïðîâîäíîñòü, êîíâåêòèâíûé òåïëîîáìåí,
èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò, òåðìî÷óâñòâèòåëüíûå êóñî÷íî-îäíîðîäíûå ñòðóêòóðû.
Èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè â ýëåìåíòàõ ìèêðîýëåêòðîí-
íûõ óñòðîéñòâ ñïîñîáñòâóåò áîëåå ãëóáîêîìó ïîíèìàíèþ ïðîèñõîäÿùèõ
â íèõ ìèêðîïðîöåññîâ, ñâÿçàííûõ ñ äâèæåíèåì è ðàññåèâàíèåì ýëåìåí-
òàðíûõ ÷àñòèö. Íè îäíî èç ÿâëåíèé ïåðåíîñà íå äàåò òàêèõ âñåîáúåì-
ëþùèõ ñâåäåíèé î êîëåáàíèÿõ ðåøåòêè, î âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè ýëåêò-
ðîíîâ, î âçàèìîäåéñòâèè ýëåêòðîíîâ ñ ðåøåòêîé â ïîëóïðîâîäíèêàõ, êàê
òåïëîïðîâîäíîñòü. Â ýëåìåíòàõ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, â êîòîðûõ
ïðîòåêàåò ýëåêòðè÷åñêèé òîê, âñåãäà ïðîèñõîäèò íåîäíîðîäíîå âûäåëåíèå
òåïëà, à â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ñîçäàåòñÿ áîëüøîé ãðàäèåíò òåìïåðàòóðû.
Ïîýòîìó ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ ñóùåñòâåí-
íî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ, óñòàíàâëèâàþùèõñÿ â ïðîöåññå
íàãðåâàíèÿ. Ýòî îñîáåííî âàæíî äëÿ óñòðîéñòâ, â êîòîðûõ ïðèìåíÿþòñÿ
òîíêîïëåíî÷íûå ñëîè.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 59
�������� �
��
�
�� ���������� ��
� Â.È. Ãàâðûø, 2014
 ïðîöåññå ïðîåêòèðîâàíèÿ è ýêñïëóàòàöèè îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ è
óçëîâ ìèêðîýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ, ðàáîòàþùèõ â øèðîêîì äèàïàçîíå
òåìïåðàòóð ïðè âîçäåéñòâèè âûñîêèõ òåïëîâûõ íàãðóçîê, âîçíèêàåò ðÿä
ñëîæíûõ èíæåíåðíûõ ïðîáëåì, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ íåîáõîäèìî èìåòü
äîñòîâåðíóþ èíôîðìàöèþ îá èõ òåïëîâîì ñîñòîÿíèè è òåìïåðàòóðíûõ ðå-
æèìàõ. Òàêóþ èíôîðìàöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü òîëüêî ðàñ÷åòíûì ïóòåì, òàê
êàê ýêñïåðèìåíòàëüíûå èññëåäîâàíèÿ íåâîçìîæíû âñëåäñòâèå âûñîêèõ òåì-
ïåðàòóð è ãåðìåòèçèðóþùèõ ñâîéñòâ ñèñòåì òåïëîîòâîäà. Ýòî, â ñâîþ î÷å-
ðåäü, òðåáóåò ðåøåíèÿ ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ êðàåâûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîä-
íîñòè, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, ìàêñèìàëüíî îòðà-
æàþùèõ ñóùåñòâåííûå àñïåêòû òåïëîôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, îñóùåñòâëÿå-
ìûõ â ðàññìàòðèâàåìûõ òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ êîíñòðóêöèÿõ.
Îïðåäåëåíèþ òåïëîâîãî ñîñòîÿíèÿ îäíîðîäíûõ è íåîäíîðîäíûõ êîíñò-
ðóêöèé ñ ó÷åòîì òåðìî÷óâñòâèòåëüíîñòè (çàâèñèìîñòè òåïëîôèçè÷åñêèõ
ïàðàìåòðîâ îò òåìïåðàòóðû) ïîñâÿùåíû ìíîãèå èññëåäîâàíèÿ.
 ðàáîòàõ [1—6] ðàññìîòðåíà òåïëîâàÿ ìîäåëü îñåñèììåòðè÷íîé áè-
ïîëÿðíîé òðàíçèñòîðíîé ñòðóêòóðû ñ íåîäíîðîäíîñòüþ òåïëîôèçè÷åñ-
êîãî òèïà â îáëàñòè êîíòàêòà êðèñòàëë—òåïëîîòâîä è òåìïåðàòóðíî çàâè-
ñèìîé ïëîòíîñòüþ òîêà. Íàéäåíû íåîäíîðîäíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñ-
òè òåïëîâîãî ïîòîêà è òåìïåðàòóðû â àêòèâíîé îáëàñòè â çàâèñèìîñòè îò
ìîäåëüíûõ ïàðàìåòðîâ, õàðàêòåðèçóþùèõ ðàçìåð äåôåêòà Ks è åãî òåïëî-
ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà Kd. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîêàçàòåëü íåîäíîðîäíîñòè òåìïå-
ðàòóðû íåëèíåéíî çàâèñèò îò ïàðàìåòðà Ks. Äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé
âåëè÷èí ìîäåëüíûõ ïàðàìåòðîâ ïîëóïðîâîäíèêîâîé ñòðóêòóðû ïðîâåäåíà
îöåíêà îòíîøåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ òåìïåðàòóð àêòèâíîé îáëàñòè êðèñòàëëà ñ
äåôåêòîì è áåç íåãî. Íàéäåíî ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû íà ïîâåðõíîñòè
òðàíçèñòîðíîé ñòðóêòóðû â óñëîâèÿõ èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ êîëëåêòîð —
áàçà è òîêà êîëëåêòîðà [7] .
 ðàáîòå [8] ñôîðìóëèðîâàíà çàäà÷à ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè
äëÿ ñëîèñòûõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé è ïåðåìåííîé òîëùèíû â ïðîñòðàíñò-
âåííîé ïîñòàíîâêå. Ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé òðåõìåðíàÿ çàäà÷à ñâå-
äåíà ê äâóìåðíîé. Äëÿ ïëàñòèíû ñî ñëîÿìè ïåðåìåííîé òîëùèíû ïîëó-
÷åíà ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðîàíàëèçèðî-
âàíû ïîëó÷åííûå äâóìåðíûå êðàåâûå çàäà÷è. Äëÿ ïëàñòèí ñ îäíîðîäíûìè
ñëîÿìè ïîñòîÿííîé òîëùèíû ïîñòðîåíî ðåøåíèå â àíàëèòè÷åñêîé ôîðìå
è ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ðåøåíèå ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì, ïîëó÷åííûì ìåòî-
äîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ.
 ðàáîòå [9] èññëåäîâàíû òåïëîïåðåíîñ è íàïðÿæåííîå ñîñòîÿíèå â
ñëîèñòîé ïëàñòèíå ñ ñîñòàâëÿþùèìè ðàçëè÷íîé ïðîçðà÷íîñòè, ñîåäèíåí-
íûìè òîíêèì ïðîìåæóòî÷íûì ñëîåì, â óñëîâèÿõ òåïëîâîãî îáëó÷åíèÿ ñî
Â.È. Ãàâðûø
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ñòîðîíû ÷àñòè÷íî ïðîçðà÷íîãî ñëîÿ. Ñ ïîìîùüþ ýôôåêòèâíîãî êîýôôè-
öèåíòà îòðàæåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè êîíòàêòà ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå
ñîîòíîøåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ èçëó÷åíèÿ â îñíîâíîì ÷àñòè÷íî ïðîç-
ðà÷íîì ñëîå. Íàéäåíû ïðèáëèæåííûå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ íàïðÿæåíèé â
ïëàñòèíå, ó÷èòûâàþùèå õàðàêòåðèñòèêè æåñòêîñòè íà èçãèá è ðàñòÿæåíèå
ïðîìåæóòî÷íîãî ñëîÿ. Íåëèíåéíàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à òåïëîïåðåíîñà ðåøåíà
ìåòîäîì êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé ñ ïðèìåíåíèåì ïðîöåäóðû êâàçèëèíåàðèçà-
öèè. Ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ îäíîìåðíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà ôóíêöèé Ãðèíà ïîçâîëèëî ïðåîá-
ðàçîâàòü ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå ê íåëèíåéíîìó èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ
Âîëüòåððû âòîðîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî òåìïåðàòóðû, êîòîðîå ðåøàåòñÿ ìåòî-
äîì êâàäðàòè÷íûõ ôîðì. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà ðåêóððåíòíûõ óðàâíåíèé ðå-
øåíà ÷èñëåííî. Ïðîàíàëèçèðîâàíî âëèÿíèå íåëèíåéíîñòè íà ïðîôèëè
òåìïåðàòóðû [10].
Ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàöèîííîãî ìåòîäà è ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ
èíòåðâàëîâ ðåøåíû íåëèíåéíûå çàäà÷è íåñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòè ñ
ïåðåìåííûì êîýôôèöèåíòîì òåïëîîáìåíà, ñ íåëèíåéíîñòüþ ïåðâîãî è âòî-
ðîãî ðîäà, à òàêæå çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè ñ îáùåé íåëèíåéíîñòüþ [11].
Ðàáîòû [12—17] ïîñâÿùåíû ðàçâèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàð-
íûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ êîíñòðóêöèé êóñî÷íî-îäíî-
ðîäíîé ñòðóêòóðû (ñëîèñòûå, îäíîðîäíûå è ñëîèñòûå ñ èíîðîäíûìè âêëþ-
÷åíèÿìè).
Ðàññìîòðèì ìåòîä ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëî-
ïðîâîäíîñòè äëÿ òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ (ñëîèñòûõ)
ñòðóêòóð íà ïðèìåðå áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëè-
öåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, íà ãðàíèöàõ êîòîðîé îñóùåñòâëÿåòñÿ êîíâåêòèâ-
íûé òåïëîîáìåí ñ âíåøíåé ñðåäîé è â îäíîì èç ñëîåâ ëîêàëüíî ñîñðåäîòî-
÷åíû âíóòðåííèå èñòî÷íèêè òåïëà.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì èçîòðîïíóþ (îòíîñèòåëüíî òåïëî-
ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ) òåðìî÷óâñòâèòåëüíóþ ìíîãîñëîéíóþ áåñêîíå÷-
íóþ ïëàñòèíó òîëùèíîé 2� ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñ-
òÿìè | |z ��, ñîñòîÿùóþ èç n ðàçíîðîäíûõ ñëîåâ ñ ðàçëè÷íûìè ãåîìåòðè-
÷åñêèìè è òåïëîôèçè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè, îòíåñåííóþ ê äåêàðòîâîé ïðÿ-
ìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò Oxyz ñ íà÷àëîì íà îäíîé èç åå ãðàíè÷íûõ
ïîâåðõíîñòåé (ðèñ.1).
 îáëàñòè ïàðàëëåëåïèïåäà, èìåþùåãî j-é ñëîé ( , )j n� �2 1 ïëàñòèíû
îáúåìîì 4 1h y yj j� ( )� � , äåéñòâóþò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûå âíóòðåííèå
èñòî÷íèêè òåïëà ìîùíîñòüþ q0 = const. Íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K k �
� � � �{( , , ) : | | , | | }x y z x zk � , k n� �1 1, , ñëîåâ îñóùåñòâëÿåòñÿ èäåàëüíûé
òåïëîâîé êîíòàêò, à íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ K x z x z0 0� � � �{( , , ) : | | , | | }� ,
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 61
K x y z x zn n� � � �{( , , ) : | | , | | }� ïëàñòèíû ïðîèñõîäèò êîíâåêòèâíûé òåïëî-
îáìåí ñ âíåøíåé ñðåäîé ïîñòîÿííîé òåìïåðàòóðû tc = const.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è. Ðàñïðåäåëåíèå ñòàöèîíàðíîãî òåì-
ïåðàòóðíîãî ïîëÿ t x y( , ) â ìíîãîñëîéíîé òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé áåñêîíå÷-
íîé ïëàñòèíå íàõîäèì â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè [18, 19]
div grad[ ( , ) ] ( , ) ( , ) y t t q N x h N y y j� � �0 1 1 (1)
ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè
�1
0
0 0
( ) ( )t
t
y
t t
y
y c
� �
�
� ,
�n
y y
n c y y
t
t
y
t t
n
n
( ) ( )
� �
�
� ,
t
x| |
,�� � 0
�
��
t
x x
| |
0 ,
(2)
ãäå ( , )y t — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè íåîäíîðîäíîé ïëàñòèíû,
( , ) ( ) [ ( ) ( )] ( )y t t t t S y y
k
n
k k k�
� �
�
�
��1
1
1
1 ;
k t( ) — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè k-ãî ñëîÿ ïëàñòèíû; � 0 è � n —
êîýôôèöèåíòû òåïëîîòäà÷è ñ ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòåé K 0 è K n ïëàñòèíû;
Â.È. Ãàâðûø
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Ðèñ. 1. Ñå÷åíèå èçîòðîïíîé òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû
ïëîñêîñòüþ z � 0
N y y S y y S y yj j j1 1 1( , ) ( ) ( )� � � �� � � � ; N x h S x h S x h( , ) ( ) ( )�
� ��
;
S �( )� — àñèììåòðè÷åñêèå åäèíè÷íûå ôóíêöèè [20],
S � �
�
�
�
�
�
�
��
( )
, ,
, , , ,
, .
�
�
�
�
1 0
05 05 0
0 0
�
Ââåäåì ôóíêöèþ
� � �
��
� �� � �
�
�
0
1
1t x y
k
n
k
t x y
t x y
kd S y y
k
( , )
( , )
( , )
( ) ( ) [
�1( ) ( )]� � �k d , (3)
ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ êîòîðóþ ïî ïåðåìåííûì x è y, ïîëó÷èì
�
��x
y t
t
x
t t
t
xk
n
k k
y
� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�( , ) [ ( ) ( )]
1
1
y
k
k
S y y� �( ),
�
y
y t
t
y
� ( , ) .
(4)
Ñ ó÷åòîì (4) èñõîäíîå óðàâíåíèå (1) ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä:
��
��
� � ��
��
!"
�
�
�
��
x
t t
t
x
S y y
k
n
k k
y y
k
k
1
1( ( ) ( )) ( )
�
�
�
�
�
�
�
� �q N x h N y y j0 1 1( , ) ( , ). (5)
Èñïîëüçîâàâ ñîîòíîøåíèå (3), ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (2) çàïèøåì â âèäå
� �
�
�
�
�
y
t t
y
y c
0
0 0
( ),
� �
�
�
�
�
y
t t
y y
n c y y
n
n
( ),
�
| |
,
x �� �0
�
��
�
x x| |
0.
(6)
Òàêèì îáðàçîì, íåëèíåéíàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (1), (2) ñ ïî-
ìîùüþ ôóíêöèè (3) ïðèâåäåíà ê ÷àñòè÷íî ëèíåàðèçîâàííîé ãðàíè÷íîé
çàäà÷å (5), (6).
Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèè t x( , )0 , t x yk( , ) âûðàæåíèÿìè
t x y t t t S x xk
k
l
m
l
k
l
k
l( , ) ( ) ( )( ) ( ) ( )�
� �
�
�
��1
1
1
1
,
(7)
ãäå k n�0, ; y0 0� ; x x xl # �] ; [* * ; x x xm1 2 1� � � �... ; m — ÷èñëî ðàçáèåíèé
èíòåðâàëà ] ; [* *�x x ; x* — çíà÷åíèå àáñöèññû, äëÿ êîòîðîé òåìïåðàòóðà
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 63
ïðàêòè÷åñêè ðàâíà tc ( , )k n�0 è íóëþ ( )0� �k n (îïðåäåëÿåòñÿ ðåøåíèåì
ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíåéíîé çàäà÷è); t
l
k( ) , l m�1, , k n�1, , — íåèçâåñòíûå
àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ. Ïîäñòàâèâ (7) â (5) è (6), ïîëó÷èì ëèíåé-
íóþ ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó îòíîñèòåëüíî ôóíêöèè �:
��
�� ��
� � � �
� �
� �
k
n
l
m
l
k
l
k
k l
kt t t
1 1
1 1 1
( ) [ ( )( ) ( ) ( )
� $ � � �
� � � �k l
k
l k jt x x S y y q N x h N y y( )] ( ) ( ) ( , ) ( , )( )
1 0 1 , (8)
�
� � �
�
�
�
���
�
��y
t t t S x x t
y l
m
l l l c
0
0 1
0
1
1
0 0( ) ( ) ( )( ) ( )
�
�
!
" ,
� �
� � �
�
�
���
�
��y
t t t S x x t
y y
n
n
l
m
l
n
l
n
l
n
1
1
1
( ) ( ) ( )( ) ( ) c
�
�
�
!
" , (9)
�
| |
,
x �� �0
�
��
�
x x| |
0 .
Çäåñü � �
2
2
2
2x y
— îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò; � �
�
�
�
��( )
( )dS
d
— àñèììåòðè÷åñêàÿ äåëüòà-ôóíêöèÿ
Äèðàêà [20].
Ðåøåíèå ãðàíè÷íîé çàäà÷è. Ïðèìåíèâ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâà-
íèå Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå x ê çàäà÷å (8), (9), ïîëó÷èì îáûêíîâåííîå äèô-
ôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
d
dy
i e t t
k
n
l
m
i x
l
k
l
l
%
%
�� ��
&�
& �
'
&
2
1 1
1
1
2
� �
�
�
�
�
� �
� � ( ( ) (k
k l
k
k l
kt t) ( ) ( ))[ ( ) ( )]
� (1 1 1
( �
�
�
�
� �S y y q
shi h
N y yk j( ) ( , )2 0 1 1
&
&
(10)
è ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
d
dy
i
t t e
y l
m
l l
i xl
�
'
�
& ��
&
�
�
� ��
0
0
1
1
0 01
2
( ) ,( ) ( )
d
dy
i
t t e
y y
n
l
m
l
n
l
n i x
n
l
�
'
�
& ��
&
�
�
� � ��1
2
1
1
( )( ) ( ) ,
(11)
Â.È. Ãàâðûø
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ãäå � �
'
�&1
2 ��
�
� e dxi x — òðàíñôîðìàíòà ôóíêöèè �; & — ïàðàìåòð èíòå-
ãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå; i � �1— ìíèìàÿ åäèíèöà.
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (10) íàõîäèì ìåòîäîì âàðèàöèè ïîñòîÿí-
íûõ â ñëåäóþùåì âèäå:
� �
' &
& &
�� ��
&C e C e
i
e ty y
k
n
l
m
i x
l
kl
1 2
1 1
1
1
2
�
�
�
�
�
� �
� � ( ( ) � � (
t t t
l
k
k l
k
k l
k( ) ( ) ( ))[ ( ) ( )] 1 1 1
( � � �
(�( ( )) ( )1
2 0
2
ch y y S y y
q shi h
k k&
&
&
( � � �
� �� � � � �[ ( , ) ( ) ( ) ( ) (N y y ch y y S y y ch y y S y yj j j j1 1 1 1& & j )
�
�
�
,
ãäå C C1 2, — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Èñïîëüçîâàâ ãðàíè÷íûå óñëî-
âèÿ (11), ïîëó÷èì ÷àñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è (10), (11):
� �
' &
�� ��
&�
�
�
�
�
� �
� �1
2
1 1
1 1
i
e t t
k
n
l
m
i x
l
k
l
k
k
l ( ) [( ) ( ) ( ) ( )]( ) ( )t t
l
k
k l
k
� (
1 1
( � � �
��
�
�
!
"
�( ( )) ( )
( )
1 ch y y S y y ch y
sh y y
sh y
k k
n k
n
& &
&
&
� � �
� � � �
2 0
2 1 1 1 1
q e
N y y ch y y S y y
i h
j j j
&
&
&[ ( , ) ( ) ( )
� �
� � �
�
�
ch y y S y y ch y
sh y y sh y y
sh y
j j
n j n j& &
& &
&
( ) ( )
( ) ( )1
n
!
"
�
�
�
�1
1
1 0
1
& &
� & �
��
&
��sh y
e t t ch y
n
n
l
m
i x
l
n
l
n
l
m
l ( )( ) ( ) �
� �
�
�
�
!
"
�
�
�
e t t ch y yi x
l l n
l& &( ) ( )( ) ( )
1
0 0 .
(12)
Ïðèìåíèâ îáðàòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ñîîòíîøåíèþ
(12), íàéäåì âûðàæåíèå äëÿ ôóíêöèè �:
� �
'
�� ��
�
�
�
�
�
� �
� �1
1 1
1 1 1
k
n
l
m
l
k
l
k
k l
kt t t( ) [ (( ) ( ) ( ) ) ( )]
sin ( )( )�
�
(
�
�
&
&
k l
k lt
x x
1
0
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 65
( � � �
��
�
�
!
"�( ( )) ( )
( )
1 ch y y S y y
sh y y
sh y
ch y dk k
n k
n
&
&
&
& &
� �
� �
�
� ��q
x h x h
N y y ch y yj j0
0
3 1 1 1
[sin ( ) sin ( )]
( , ) (
& &
&
& ) ( )S y y j� ��)
*
+
1
� �
� � �
�
�
ch y y S y y ch y
sh y y sh y y
sh y
j j
n j n j& &
& &
&
( ) ( )
( ) ( )1
n
d
,
-
..
&
�
��
�
� ��
&
& &
&
��
n
l
m
l
n
l
n l
n
t t
x x
sh y
ch yd
1
1
0
2
( )
sin ( )( ) ( ) &
�
��
�
� ��
&
& &
&
��
0
1
1
0 0
0
2
l
m
l l
l
n
t t
x x
sh y
ch y( )
sin ( )
(( ) ( ) �
�
�
�
��
y dn ) & . (13)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ çàâèñèìîñòè êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè
îò òåìïåðàòóðû äëÿ êàæäîãî èç ñëîåâ ïëàñòèíû â ñîîòíîøåíèÿ (3), (13),
ïîñëå íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé
äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ àïïðîêñèìèðóþùèõ çíà÷åíèé òåìïåðàòóðû
t
l
k( ) , k n� �0 1, , l m�1, . Èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé
ñèñòåìû îïðåäåëÿåì ñ ïîìîùüþ ïîëó÷åííîãî íåëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ
ïîñëå ïîäñòàíîâêè â (3), (13) êîíêðåòíûõ âûðàæåíèé çàâèñèìîñòåé êîýô-
ôèöèåíòà òåïëîïðîâîäíîñòè îò òåìïåðàòóðû äëÿ ìàòåðèàëîâ êàæäîãî
ñëîÿ ïëàñòèíû.
Ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû äëÿ òðåõñëîéíîé ïëàñòèíû. Ðàññìîòðèì
ïëàñòèíó, ñîñòîÿùóþ èç òðåõ ñëîåâ, ñ âíóòðåííèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà â
ñðåäíåì ñëîå (n = 3, j = 2). Ïóñòü çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà òåïëîïðîâîä-
íîñòè îò òåìïåðàòóðû äëÿ ìàòåðèàëîâ êàæäîãî èç ñëîåâ ïëàñòèíû, êîòîðàÿ
èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ ìíîãèõ ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, îïèñûâàåòñÿ ñîîò-
íîøåíèåì ( ) ( )t kt� �0 1 [21, 22], ãäå 0 è k — îïîðíûé è òåìïåðàòóð-
íûé êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè. Èç âûðàæåíèé (3), (13) ïîëó÷èì
ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû t:
â îáëàñòè 0 1� �y y —
t k k� � �( / ) /1 1 2 1 1
0
1� , (14)
â îáëàñòè y y y1 2� � —
t k k� � �
( ( / )) /*1 1 2 2 2
0
1 2� � , (15)
Â.È. Ãàâðûø
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
â îáëàñòè y y y2 3� � —
t k k� � �
( ( / )) /*1 1 2 3 3
0
2 3� � , (16)
ãäå
� / / 1 1
0
2
0
1 1
0
2
0
21
1
2
1
* ( ) ;� �
��
��
!"
�
�
�
�
�
� �
k k t t t
y y
y y y y
k k� �� � �
1 1
1 1 2 1 1
0
1( / ) /� ;
� / / 2 2
0
3
0
2 2
0
3
0
31
1
2
2
* ( )� �
��
��
!"
�
�
�
�
�
�
�
k k t t
y y
�
��
��
!"
�
�
�
�
�
� �
1 1
2
3
0 2
0
1
0
1 1
0
2 2
0
1
( )k k t t
y y
;
t k k
y y y y� �� � �
2 2
1 1 2 2 2
0
1 2( ( / )) /*� � .
Ôîðìóëû (14)—(16) ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòó-
ðû â òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé ìíîãîñëîéíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíå ñ òåïëî-
èçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, êîíâåêòèâíûì òåïëîîáìåíîì
è ëîêàëüíî ñîñðåäîòî÷åííûìè âíóòðåííèìè èñòî÷íèêàìè òåïëà.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ïëàñòèíó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ ñëîåâ ñ ðàâíî-
ìåðíî ðàñïðåäåëåííûìè èñòî÷íèêàìè òåïëà íà ïîâåðõíîñòÿõ ñîïðÿæåíèÿ
ñëîåâ (ðèñ. 2). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ ïëàñòèíû
y y� � 1 , y y� 2 òåìïåðàòóðà ñîîòâåòñòâåííî ñîñòàâëÿåò t1 0� , t2 700� °C.
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ñîîòíîøåíèÿ (1)—(5) è (13) cîîòâåòñò-
âåííî ïðèìóò âèä
d
dy
y t
dt
dy
q y �( , ) ( )
�
��
!"
� � 0 , t t
y y�� �
1
1, t t
y y� �
2
2,
� � � � � ��
�� ��
t
t
t
t
d S y d
1 1
1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( )] ,
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 67
Ðèñ. 2. Äâóõñëîéíàÿ òåðìî÷óâñòâèòåëüíàÿ áåñêîíå÷íàÿ ïëàñòèíà
d
dy
q y
2
2 0
�
�� � ( ), �
y y�� �
1
0, �
y y
t
t
t
t
t dt t t dt� �
�� �2
1
2
1
2
1 2 1( ) [ ( ) ( )] ,
� � � � ��
�� ��
y y
y y
y q d S y
t
t
t
t
1
1 2
2 0 1 2 1
1 1
( ) ( ) [ ( ) ( )]d y q S y�
�
�
�
��
�
�
�
��
� 0 ( ),
ãäå ( , ) ( ) [ ( ) ( )] ( )y t t t t S y�
� �1 2 1 ; � ( )y — äåëüòà-ôóíêöèÿ Äèðàêà;
S y( )— ñèììåòðè÷åñêàÿ åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ.  êà÷åñòâå ìàòåðèàëîâ ñëîåâ
ïëàñòèíû âîçüìåì ñòàëü Ó12 è 08. Â äèàïàçîíå òåìïåðàòóð îò íóëÿ äî 700 °C
ýòè ìàòåðèàëû îïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèìè çàâèñèìîñòÿìè êîýôôèöèåíòà
òåïëîïðîâîäíîñòè îò òåìïåðàòóðû:
1 47 5 1 0 37( ) , ,t t�
0
)
*
+
,
-
.
Âò
ì ãðàä
1
ãðàä
, 2 64 5 1 0 49( ) , , .t t�
0
)
*
+
,
-
.
Âò
ì ãðàä
1
ãðàä
Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â ðàññìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðå îïðåäåëÿåòñÿ
èç êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ äëÿ ïåðâîãî ñëîÿ,
1
0
1
2
1
0
1
0
1 1 1
1
1 2
2 0 1
0
12 2 2k t t t k t
y y
y y
y q t�
�
�( ) { (2 21 1 2
0
2 2 2�
�
k t t k t) ( )
� � � �t k t k t0 1
0
1 0 2
0
2 02 2 0[ ( ) ( )]} ,
è äëÿ âòîðîãî ñëîÿ —
2
0
2
2
2
0
1
0
1 1 1 1
0
0 1 0 2
0
02 2 2 2k t t t k t t k t t�
� � �
�( ) ( ) ( k t
y y
y y
y q2 0
1
1 2
2 02) {
�
� �
�
� � � 1
0
1 1 1 2
0
2 2 2 0 1
0
1 0 2
02 2 2 2t k t t k t t k t( ) ( ) [ ( ) ( k t yq2 0 02 0)]}� � .
Â.È. Ãàâðûø
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû òåðìî÷óâñòâèòåëüíîé ïëàñòèíû îò ïðîñòðàíñòâåííîé
êîîðäèíàòû y: a — ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû íà ìîäåëè â äèàïàçîíå òåìïåðàòóð îò íóëÿ äî 700 °Ñ;
á — 1 — ðàñ÷åòíàÿ êðèâàÿ; 2— ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ
Çäåñü t t0 0� ( ) è îïðåäåëÿåòñÿ èç êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
1 %
1
0
1
1
1 2
2
0
2 1
0
1 0 1
0 1
1 2
2
02k
y
y y
k k t
y
y y
� �
�( )] [ ( 1
0
0 1
0
1 1 12)] ( )t t k t
�
� �
� �
y
y y
y q t k t t k t1
1 2
2 0 1
0
1 1 1 2
0
2 2 22 2 2 0[ ( ) ( )] .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ, âûïîëíåííûõ ñ
ïîìîùüþ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, àäåêâàòíû ðåàëüíîìó ôèçè÷åñêîìó
ïðîöåññó (ðèñ. 3, à). Ìàêñèìàëüíàÿ îòíîñèòåëüíàÿ îøèáêà ìåæäó ðàñ÷åò-
íûìè çíà÷åíèÿìè òåìïåðàòóðû è ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðèìåíòà ñîñòàâëÿåò
15 % (ðèñ. 3, á).
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííàÿ êóñî÷íî-ëèíåéíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ òåìïåðàòóðû íà ãðàíè÷-
íûõ ïîâåðõíîñòÿõ èíîðîäíûõ ñëîåâ è ïëàñòèíû äàëà âîçìîæíîñòü ïîë-
íîñòüþ ëèíåàðèçîâàòü çàäà÷ó, ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå êîòîðîé
ïîëó÷åíî ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå.
A method has been proposed for solving the nonlinear boundary value problems of heat conduc-
tion as an example of an infinite plate with temperature-sensitive multilayer insulated facial sur-
faces, convective heat transfer and locally focused internal heat sources. A numerical analysis of
temperature field for the two-layer plate has been done with results of the experiment presented.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Carpinteri A., Paggi M. Thermoelastic Mismatch in Nonhomogeneous Beams // J. Eng.
Math. — 2008. — 61, No. 2—4. — P. 371—384.
2. Noda N. Thermal Stresses in Materials with Temperature-dependent Properties // Appl.
Mech. Rev. — 1991. — 44. — P. 383—397.
3. Otao Y., Tanigawa O., Ishimaru O. Optimization of Material Composition of Functionality
Graded Plate for Thermal Stress Relaxation Using a Genetic Algorithm // J. Therm. Stresses. —
2000. — 23. — P. 257—271.
4. Tanigawa Y., Akai T., Kawamura R. Transient Heat Conduction and Thermal Stress Prob-
lems of a Nonhomogeneous Plate With Temperature-dependent Material Properties // Ibid. —
1996. — 19, No. 1. — P. 77—102.
5. Tanigawa Y., Otao Y. Transient Thermoelastic Analysis of Functionally Graded Plate with
Temperature-dependent Material Properties Taking into Account the Thermal Radiation //
Nihon Kikai Gakkai Nenji Taikai Koen Ronbunshu. — 2002. — 2. — P. 133—134.
6. Yangian Xu, Daihui Tu. Analysis of Steady Thermal Stress in a ZrO2/FGM/Ti-6Al-4V
Composite ECBF Plate with Temperature-dependent Material Properties by NFEM //
2009-WASE Int. Conf. on Informa. Eng. — Vol. 2 —2. — P. 433—436.
7. Ñåðãååâ Â.À., Õîäàêîâ À.Ì. Òåïëîâàÿ ìîäåëü áèïîëÿðíîé òðàíçèñòîðíîé ñòðóêòóðû ñ
íåîäíîðîäíîñòüþ â îáëàñòè êîíòàêòà êðèñòàëëà ñ òåïëîîòâîäîì // Ýëåêòðîííàÿ òåõ-
íèêà. Ñåð. 2. Ïîëóïðîâîäíèêîâûå ïðèáîðû. — 2010. — ¹ 1. — Ñ. 12—18.
×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 69
8. Íåìèðîâñêèé Þ.Â., ßíêîâñêèé À.Ï. Ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè
ñëîèñòûõ àíèçîòðîïíûõ íåîäíîðîäíûõ ïëàñòèí ìåòîäîì íà÷àëüíûõ ôóíêöèé // Ìàò.
ìåòîäû òà ôèç.-ìåõ. ïîëÿ. — 2008. — 51, ¹2. — Ñ. 222—238.
9. Òóð³é Î. Íåë³í³éíà êîíòàêòíî-êðàéîâà çàäà÷à òåðìîìåõàí³êè äëÿ îïðîì³íþâàíî¿ äâî-
øàðîâî¿ ïëàñòèíè, ç’ºäíàíî¿ ïðîì³æêîâèì øàðîì // Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàí-
íÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. — 2008. — Âèï. 8. — Ñ. 118—132.
10. Áåëèê Â.Ä., Óðþêîâ Á.À., Ôðîëîâ Ã.À., Òêà÷åíêî Ã.Â. ×èñëåííî-àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä
ðåøåíèÿ íåëèíåéíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè // Èíæèíåðíî-
ôèçè÷åñêèé æóðíàë. — 2008. — 81, ¹ 6. — C. 1058—1062.
11. Áåðëîâ Î.Â., Âåñåëîâñüêèé Â.Â. Ðîçâ’ÿçîê íåë³í³éíèõ çàäà÷ òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ ñêëà-
äåíèõ åëåìåíò³â êîíñòðóêö³é // Ìåòàëóðã³éíà òåïëîòåõí³êà: Çá. íàóê. ïðàöü Íàö³î-
íàëüíî¿ ìåòàëóðã³éíî¿ àêàäå쳿 Óêðà¿íè. — 2008. — C. 20—30.
12. Áàðâ³íñüêèé À.Ô., Ãàâðèø Â.². Íåë³í³éíà çàäà÷à òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ íåîäíîð³äíîãî
øàðó ç âíóòð³øí³ìè äæåðåëàìè òåïëà // Ïðîáëåìû ìàøèíîñòðîåíèÿ. — 2009. — 12,
¹ 1. — C. 47—53.
13. Ãàâðèø Â.²., Ôåäàñþê Ä.Â. Ìåòîä ðîçðàõóíêó òåìïåðàòóðíèõ ïîë³â äëÿ òåðìî÷óòëèâî¿
êóñêîâî-îäíîð³äíî¿ ñìóãè ³ç ÷óæîð³äíèì âêëþ÷åííÿì // Ïðîìûøëåííàÿ òåïëîòåõ-
íèêà. — 2010. — 32, ¹ 5. — C. 18—25.
14. Ãàâðûø Â.È. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â òåðìî÷óâñòâèòåëüíûõ ìèêðî-
ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâàõ ñî ñêâîçíûìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè // Ýëåêòðîí. ìî-
äåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 4.— Ñ. 99—107.
15. Gavrysh V.I. Thermal State Modelling in Thermosensitive Elements of Microelectronic De-
vices with Reach-through Foreign Inclusions // Semiconductor Physics, Quantum Electro-
nics & Optoelectronics. — 2012. — 15, No 3. — P. 247—251.
16. Gavrysh V.I. Modelling the Temperature Conditions in the Three-dimensional Piecewise Homo-
geneous Elements of Microelectronic Devices // Ibid. — 2011. — 14, No 4. — P. 478—482.
17. Ãàâðèø Â. Äîñë³äæåííÿ òåìïåðàòóðíèõ ðåæèì³â ó òåðìî÷óòëèâ³é ïëàñòèí³ ç ÷óæîð³ä-
íèì íàñêð³çíèì âêëþ÷åííÿì // Ô³çèêî-ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³
òåõíîëî㳿. — 2013. — Âèï. 18. — Ñ. 43—50.
18. Êîëÿíî Þ.Ì. Ìåòîäû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåðìîóïðóãîñòè íåîäíîðîäíîãî òåëà. —
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ.
19. Ïîäñòðèãà÷ ß.Ñ., Ëîìàêèí Â.À., Êîëÿíî Þ.Ì. Òåðìîóïðóãîñòü òåë íåîäíîðîäíîé
ñòðóêòóðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 368 ñ.
20. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. —
Ì. : Íàóêà, 1977. — 720 ñ.
21. Ëîìàêèí Â.À. Òåîðèÿ óïðóãîñòè íåîäíîðîäíûõ òåë. — Ì. : Èçä-âî Ìîñê. óí-òà, 1976. —
376 ñ.
22. Áåðìàí Ð. Òåïëîïðîâîäíîñòü òâåðäûõ òåë. — Ì. : Ìèð, 1979 . — 288 ñ.
Ïîñòóïèëà 13.02.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 17.03.14
ÃÀÂÐÛØ Âàñèëèé Èâàíîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, äîöåíò, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà
«Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà».  1982 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò èì. È. Ôðàíêî. Îá-
ëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè â òåëàõ êóñî÷íî-
îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû è ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ è íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ
çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè.
Â.È. Ãàâðûø
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101003 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:42:23Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Гаврыш, В.И. 2016-05-29T17:10:23Z 2016-05-29T17:10:23Z 2014 Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 59-70. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101003 536.24 Предложен метод решения нелинейных граничных задач теплопроводности на примере бесконечной термочувствительной многослойной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, конвективным теплообменом и локально сосредоточенными внутренними источниками тепла. Выполнен численный анализ температурного поля для двухслойной пластины. Приведены результаты эксперимента. Запропоновано метод розв’язування нелінійних крайових задач теплопровідності на прикладі нескінченної термочутливої багатошарової пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, конвективним теплообміном і локально зосередженими внутрішніми джерелами тепла. Виконано числовий аналіз температурного поля для двошарової пластини. Наведено результати експерименту. A method has been proposed for solving the nonlinear boundary value problems of heat conduction as an example of an infinite plate with temperature-sensitive multilayer insulated facial surfaces, convective heat transfer and locally focused internal heat sources. A numerical analysis of temperature field for the two-layer plate has been done with results of the experiment presented. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины Article published earlier |
| spellingShingle | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины Гаврыш, В.И. Вычислительные процессы и системы |
| title | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| title_full | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| title_fullStr | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| title_full_unstemmed | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| title_short | Численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| title_sort | численно-аналитическое решение нелинейной стационарной задачи теплопроводности для бесконечной термочувствительной многослойной пластины |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101003 |
| work_keys_str_mv | AT gavryšvi čislennoanalitičeskoerešenienelineinoistacionarnoizadačiteploprovodnostidlâbeskonečnoitermočuvstvitelʹnoimnogosloinoiplastiny |