Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий
Рассмотрен метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов с учетом особенности симметричных граничных условий. Розглянуто метод дослідження динаміки нестаціонарних теплових процесів з врахуванням особливoсті симетричних граничних умов. The method for studying of the dynamics of transi...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101004 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий / В.А. Федорчук, А.И. Махович // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 71-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859953425045782528 |
|---|---|
| author | Федорчук, В.А. Махович, А.И. |
| author_facet | Федорчук, В.А. Махович, А.И. |
| citation_txt | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий / В.А. Федорчук, А.И. Махович // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 71-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрен метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов с учетом особенности симметричных граничных условий.
Розглянуто метод дослідження динаміки нестаціонарних теплових процесів з врахуванням особливoсті симетричних граничних умов.
The method for studying of the dynamics of transient thermal processes, which takes into account the symmetric boundary conditions, is considered in the article.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:18:12Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.021
Â.À. Ôåäîð÷óê, ä-ð òåõí. íàóê, À.È. Ìàõîâè÷
Êàìåíåö-Ïîäîëüñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Èâàíà Îãèåíêî
(Óêðàèíà, 32300, Êàìåíåö-Ïîäîëüñêèé, óë. Îãèåíêî, 61,
òåë. (03849) 31642, e-mail: fedva@ukr.net; umismag@gmail.com)
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè
íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ
ïðè íàëè÷èè ñèììåòðè÷íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
Ðàññìîòðåí ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ ñ ó÷åòîì
îñîáåííîñòè ñèììåòðè÷íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
Ðîçãëÿíóòî ìåòîä äîñë³äæåííÿ äèíàì³êè íåñòàö³îíàðíèõ òåïëîâèõ ïðîöåñ³â ç âðàõóâàí-
íÿì îñîáëèâoñò³ ñèìåòðè÷íèõ ãðàíè÷íèõ óìîâ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìîäåëèðîâàíèå òåïëîâûõ ïðîöåññîâ, ñèììåòðè÷íûå ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ, óíèâåðñàëüíîñòü âûðàæåíèé.
Èññëåäîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïðîâîäíîñòè ÿâëÿåòñÿ âàæíûì ýòàïîì ïðè
ðåøåíèè çàäà÷ ïðîåêòèðîâàíèÿ ýëåìåíòîâ ñîâðåìåííûõ òåõíè÷åñêèõ ñèñ-
òåì, ïîñêîëüêó íàäåæíîñòü ðàçëè÷íûõ ïðîìûøëåííûõ èçäåëèé, à òàêæå
îòäåëüíûõ óçëîâ è äåòàëåé, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè çàâèñèò îò òåìïåðà-
òóðíûõ ðåæèìîâ, ïðè êîòîðûõ ýòè èçäåëèÿ è èõ îòäåëüíûå ÷àñòè ýêñïëóà-
òèðóþòñÿ. Ñëîæíîñòü òàêèõ çàäà÷ îáóñëîâëåíà õàðàêòåðîì èññëåäóåìûõ
ïðîöåññîâ, à òàêæå âèäîì ãðàíè÷íûõ è íà÷àëüíûõ óñëîâèé [1, 2].
Áàçîâûìè ìàòåìàòè÷åñêèìè ïðåäñòàâëåíèÿìè ïðîöåññîâ òåïëîïðî-
âîäíîñòè ÿâëÿþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ïàðàáîëè÷åñêîãî òèïà, äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ êîòîðûõ â íàñòîÿùåå
âðåìÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìíîæåñòâî ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ êîìïüþ-
òåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ (íàïðèìåð, 3D-MAX, ANSYS, T-FLEX, MAYA,
CATI è äð.). Ïðè ýòîì èñïîëüçóþòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî ñåòî÷íûå ìåòîäû,
òðåáóþùèå áîëüøèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìîùíîñòåé [3].
Ïðè ðåøåíèè îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷, òðåáóþùèõ âûñîêîé ñêîðîñòè
âû÷èñëåíèé, âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü â ðàçðàáîòêå óíèâåðñàëüíûõ è îò-
íîñèòåëüíî ïðîñòûõ ìåòîäîâ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ìîäåëåé äèíàìèêè
íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ äàííîé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 71
� Â.À. Ôåäîð÷óê, À.È. Ìàõîâè÷, 2014
ïðîáëåìû ÿâëÿåòñÿ ó÷åò îñîáåííîñòè îáúåêòà ìîäåëèðîâàíèÿ.  ñëó÷àå
ñèììåòðè÷íûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà ïåðñ-
ïåêòèâíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìåòîä ñå÷åíèé äëÿ ïîëó÷åíèÿ àïïðîêñèìè-
ðóþùèõ âûðàæåíèé.
Ïîëó÷åíèå àïïðîêñèìèðóþùèõ óðàâíåíèé íåñòàöèîíàðíûõ òåï-
ëîâûõ ïðîöåññîâ ìåòîäîì ñå÷åíèé. Ìåòîäèêó ïðåîáðàçîâàíèÿ óðàâíå-
íèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ â ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé áåç ïîòåðè îáùíîñòè ðàññìîòðèì íà ïðèìåðå îäíîìåðíîãî
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè
�
�
�
�
u x t
t
a x
u x t
x
f x t
( , )
( )
( , )
( , )� �2
2
2
, � � �1 1x , (1)
c ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî ðîäà u x t F tx( , )| ( )�� �1 ãð1 , ãäå F tãð1( ) —
âõîäíîå âîçäåéñòâèå, è íà÷àëüíûì óñëîâèåì u x t E xt( , )| ( )� �0 . Ïðåäïîëà-
ãàåì, ÷òî ðåøåíèå u x t( , ) óðàâíåíèÿ (1) ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî àïïðîê-
ñèìèðîâàíî ðÿäîì
u x t V t Q x
n
n n( , ) ( ) ( )�
�
1
,
â êîòîðîì Q xn ( ) — èçâåñòíûå ôóíêöèè, íàïðèìåð x n, x n2 , cos nx è äðó-
ãèå, èìåþùèå ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî ïðîèçâîäíûõ ïî x. Ïðîèçâîäíûå
�
�
�
�
u x t
x
u x t
x
( , )
,
( , )2
2
ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ìîãóò áûòü ðàçëîæåíû â ðÿäû ïî
ôóíêöèÿì u x t( , ):
�
�
�
�
2
2
1
2
2
1
u x t
x
V t
Q x
x
D x x u x
n
n
n
i
i i i
( , )
( )
( )
( , ) (� �
�
�
, )t . (2)
Êîýôôèöèåíòû D x xi i( , ) áóäåì âûðàæàòü ÷åðåç èçâåñòíûå ôóíêöèè
Q xn ( ), èõ ïðîèçâîäíûå è ÷åðåç ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. ßâíûé âèä âûðàæåíèé
äëÿ êîýôôèöèåíòîâ D x xi i( , ) ìîæíî îïðåäåëèòü ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.
Ìîæíî ïîñòðîèòü èíòåðïîëÿöèîííûé ïîëèíîì Ëàãðàíæà
u x t u x t
x x x x
x x x x
( , ) ( , )
( )( )
( )( )
�
� �
� �
�0
2
1
2 2
2
2
0
2
1
2
0
2
2
2
�
� �
� �
�u x t
x x x x
x x x x
u x t( , )
( )( )
( )( )
( , )1
2
0
2 2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
2 2
( )( )
( )( )
x x x x
x x x x
2
0
2 2
1
2
2
2
0
2
2
2
1
2
� �
� �
,
Â.À. Ôåäîð÷óê, À.È. Ìàõîâè÷
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
ïðîõîäÿùèé ÷åðåç çàäàííûå îïîðíûå òî÷êè x0, x1, x2, è âûðàæåíèÿ ÷àñòíûõ
ïðîèçâîäíûõ ïîëó÷àòü åãî äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî êîîðäèíàòå x.
Äëÿ çàäà÷, èìåþùèõ ñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå, âûáåðåì ôóíêöèþ
Q x xn
n( ) � 2 è îãðàíè÷èìñÿ òðåìÿ ÷ëåíàìè ðÿäà â (2). Âûáðàâ îïîðíûå
òî÷êè x = 0, x1 = 0,5 è x2 = 1, çàïèøåì
u x t u t
x x
( , ) ( , )
( )
( )
�
��
�
�
�
� �
��
�
�
�
� �
�0
1
4
1
0
1
4
0 1
2 2
� �
�
�
�
�
� �
��
�
�
�
� ��
�
�
�
�
�u t
x x
u t
1
2
0 1
1
4
0
1
4
1
1
2 2
,
( )( )
( , )
( )
( )
x x2 20
1
4
1 0 1
1
4
� ��
�
�
�
�
� ��
�
�
�
�
,
îòêóäà
u x t x x u t( , ) ( ) ( , )� � � �4 5 1 04 2
� � �
�
�
�
� � �
16
3
1
1
2
1
3
4 12 2 2 2x x u t x x F t( ) , ( ) ( )ãð1 . (3)
Äèôôåðåíöèðóÿ (3) ïî x, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé ïåð-
âîãî ïîðÿäêà
�
�
u x t
x
x x u t x x u t
( , )
( ) ( , ) ( ) ,� � � � �
�
�
�
��2 8 5 0
32
3
1 2
1
2
22 2
3
8 12x x F t( ) ( )� ãð1 ,
îòêóäà
�
�
2
2
248 10 0
u x t
x
x u t
( , )
( ) ( , )� � �
� ��
�
�
�
� �
�
�
�
� � ��
�
�
�
�
32
3
64
1
2
16
2
3
2 2x u t x F t, ( )ãð1 . (4)
Ïîäñòàâèâ â (1) âûðàæåíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé (4), çàïèøåì
�
�
u x t
t
a x x u t
( , )
( ) ( ) ( , )� � ��
��
2 248 10 0
� ��
�
�
�
� �
�
�
�
�� ��
�
�
�
� �
��
32
3
64
1
2
16
2
3
2 2x u t x F t, ( )ãð1 � f x t( , ). (5)
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 73
Ïîëàãàÿ â (5) x = 0 è x �1 2/ , ïîëó÷àåì ñèñòåìó äâóõ îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí u t( , )0 è u t( / , )1 2 ,
�
�
u t
t
a u t u t a
( , )
( ) ( , ) ,
0
0 10 0
32
3
1
2
2
3
2 2� � �
�
�
�
��
��
�
��
� � ( ) ( ) ( , )0 0F t f tãð1 � ,
�
�
u t
t
a u t u t
1
2 1
2
2 0
16
3
1
2
2
,
( , ) ,
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� � � �
�
�
�
��
��
�
��
� �
�
�
�
� � �
�
�
�
�
10
3
1
2
1
2
2a F t f tãð1( ) , ,
(6)
ñ çàäàííûìè ñîîòâåòñòâóþùèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Ðåøàÿ ñèñòåìó
(6), ñ ó÷åòîì (3) ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè
u x t( , ) â ëþáîé òî÷êå.
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (6) ñïðàâåäëèâû äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ãðàíè÷-
íûõ óñëîâèé ïåðâîãî ðîäà. Åñëè çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âòîðîãî ðîäà
�
�
u x t
x
F t
x
( , )
( )
��
� �
1
ãð2 ,
òî àïïðîêñèìàöèÿ ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ïåðåìåííîé x
ôóíêöèè u x t( , ) èìååò âèä
�
�
2
2
264
7
3 1 0
1
2
1
7
u x t
x
x u t u t
( , )
( ) ( , ) , (� � � �
�
�
�
��
��
�
��
� 24 12x F t� ) ( )ãð2 , (7)
à ÷àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà — ñîîòâåòñòâåííî âèä
�
�
u x t
x
x x u t u t x
( , )
( ) ( , ) , (� � � �
�
�
�
��
��
�
��
�
64
7
1 0
1
2
1
7
82 x F t2 1� ) ( )ãð2 . (8)
Ïðîèíòåãðèðîâàâ (8) ïî ïåðåìåííîé x, ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ âû÷èñ-
ëåíèÿ ôóíêöèè u x t( , ) â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå â ñëó÷àå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
âòîðîãî ðîäà:
u x t x x u t u t x x( , ) ( ) ( , ) ,� � � �
�
�
�
��
��
�
��
�
16
7
2 0
1
2
1
7
22 2 2 2 ��
�
�
�
� �
1
2
0F t u tãð2( ) ( , ). (9)
Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé â (9) çíà÷åíèé x â îïîðíûõ òî÷êàõ ïîëó-
÷àåì ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ u t( , )0 è u t( / , )1 2 .
Ïîäñòàâèâ â (1) âûðàæåíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé (7), ïîëó÷èì
�
�
u x t
t
( , )
�
� � � �
�
�
�
��
��
�
��
� �
1
7
64 3 1 0
1
2
24 12 2 2a x x u t u t x( ) ( ) ( , ) , ( ) F t f x tãð2( ) ( , )�
�
�
�
�
�
� . (10)
Â.À. Ôåäîð÷óê, À.È. Ìàõîâè÷
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
Äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé u t( , )0 è u t( / , )1 2 íåîáõîäèìî ïîä-
ñòàâèòü â (10) ïî î÷åðåäè x �0è x �1 2/ , ïîëó÷èòü ñèñòåìó äâóõ îáûêíîâåí-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà ,
�
�
u t
t
a u t u t F t
( , )
( ) , ( , ) (
0 1
7
0 64
1
2
02� �
�
�
�
���
��
�
��
� ãð2 ) ( , )�
�
�
�
�
�
� f t0 ,
�
�
u t
t
a u t u t
1
2 1
7
1
2
16
1
2
02
,
, ( , )
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� �
�
�
�
���
��
�
��
��
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�5
1
2
F t f tãð2( ) , ,
è ðåøèòü åå.
Ïðè çàäàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ òðåòüåãî ðîäà
� ��
��
�
��
�
��
� �
�
�
u x t
u x t
t
F t
x
( , )
( , )
( )
1
ãð3
âûðàæåíèå äëÿ àïïðîêñèìàöèè ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé âòîðîãî ïîðÿäêà ïî
ïåðåìåííîé x ïðèìåò âèä
�
�
� � � �
� �
2
2
248 3 8 30 128
3 14
0
u x t
x
x
u t
( , ) ( )
( , )�
� � �
�
�
�
�
�
�
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
32
4 6 2
3 14
1
2
48 2
3
2 2� � � �
� � �
( )
,
x
u t
x
14�
F tãð3( ) . (11)
×àñòíàÿ ïðîèçâîäíàÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà áóäåò èìåòü âèä
�
�
� � � �
� �
u x t
x
x x
u t
( , ) ( ) ( )
( ,�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
16 3 8 30 128
3 14
0
3
)�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( ) ( )
,
32 128 64 128
3 14
1
2
2
3� � � �
� �
x x
u t x
x
F t
8 1
3 14
2�
�� �
ãð3( ),
à âûðàæåíèå äëÿ ïðèáëèæåííîãî âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèè:
u x t
x x
u t( , )
( ) ( )
( , )�
� � �
�
�
�
�
�
�
� �
4 3 8 15 64
3 14
0
4 2� � � �
� �
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
( ) ( )
,
16 64 16 32
3 14
1
2
2 4
2� � � �
� �
x x
u t x
4 1
3 14
0
2x
F t u t
�
�
�
� �
ãð3( ) ( , ).
(12)
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 75
Ïîñëå ïîäñòàíîâêè ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé óáåæäàåìñÿ, ÷òî â òî÷êàõ
x �0è x �1 2/ èç âûðàæåíèÿ (12) ìîæíî ïîëó÷èòü ñîîòâåòñòâåííî çíà÷åíèÿ
u t( , )0 è u t( / , )1 2 .
Ïîäñòàâèâ â (1) âûðàæåíèå ÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé (11), ïîëó÷èì
�
� � �
� � � �
u x t
t
a x
x u
( , ) ( )
( ( ) ) ( ,�
�
�
��
� � �
2
2
3 14
48 3 8 30 128 0 t) �
� � � � �
�
�
�
�� � �
��
32 4 6 2
1
2
2 24 12 2( ( ) ) , ( ) ( )� � � � x u t x F tãð3 � f x t( , ) . (13)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ èñêîìûõ ôóíêöèé u t( , )0 è u t( / , )1 2 íåîáõîäèìî ïîäñòà-
âèòü â (13) ïî î÷åðåäè x �0è x �1 2/ , ïîëó÷èòü ñèñòåìó äâóõ îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà è ðåøèòü åå.
Ôîðìóëà àïïðîêñèìàöèè ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ è äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, ïîëó÷åííûå äëÿ çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè òðåòüåãî ðîäà,
ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå îáùèìè. Ïîëàãàÿ � �0 èëè � �0, èç íèõ îïðåäåëÿþò
ñîîòâåòñòâóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ çàäà÷ ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî
è âòîðîãî ðîäà, ñîâïàäàþùèå ñ (4) è (7).
Èññëåäîâàíèå íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ â íåîãðàíè-
÷åííîé ïëàñòèíå ñ ñèììåòðè÷íûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè ïåðâîãî
ðîäà. Èìååòñÿ íåîãðàíè÷åííàÿ ïëàñòèíà òîëùèíîé 2R (ðèñ. 1) ñ êîýôôè-
öèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòè, çàâèñÿùèì îò êîîðäèíàòû x. Òåìïåðàòóðà íà
ãðàíèöàõ ïëàñòèíû ïðèíóäèòåëüíî ìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó, çàäàííîìó ôóíêöèåé
âðåìåíè F tãð1( ). Âíóòðè ïëàñòèíû äåéñòâóåò èñòî÷íèê òåïëà, ìîùíîñòü êîòî-
ðîãî ïðîïîðöèîíàëüíà f (t).  íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè çàäàíî ðàñïðåäåëå-
íèå òåìïåðàòóðû ïî òîëùèíå. Íåîáõîäèìî íàéòè ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòó-
ðû â ëþáîé òî÷êå ïî òîëùèíå â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.
 ýòîì ñëó÷àå íåñòàöèîíàðíûé òåïëîâîé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ îäíî-
ìåðíûì óðàâíåíèåì òåïëîïðîâîäíîñòè (1), ãäå êîýôôèöèåíò òåïëîïðî-
âîäíîñòè èìååò âèä
a x
b a a x
a
2 2 0 2
2
22
( )
( )
�
�
, a a x0 2
2 0� � , 0 2 0 �a a , b2 0� ,
à âíóòðåííèé èñòî÷íèê òåïëà f t b e
b t
( ) � �
1
1 .
Äëÿ óðàâíåíèÿ (1) çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ,
T x t F t e a a ex
b t b t
( , )| ( ) ( )��
� �� � � � �1 0 21 1 2
ãð1 ,
Â.À. Ôåäîð÷óê, À.È. Ìàõîâè÷
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
è íà÷àëüíîå óñëîâèå
T x t a a xt( , )| � � �0 0 2
2. (14)
Çàäà÷à (1) èìååò òî÷íîå àíàëèòè÷åñ-
êîå ðåøåíèå:
T x t e a a x e
b t b t
( , ) ( )� � � �� �
1 1 2
0 2
2 .
Ðåøåíèå çàäà÷è áóäåì èñêàòü ìåòîäîì
ñå÷åíèé. Çàìåíèâ â (1) ÷àñòíóþ ïðîèç-
âîäíóþ âòîðîãî ïîðÿäêà ïî ïðîñòðàíñò-
âåííîé ïåðåìåííîé âûðàæåíèåì (4), çà-
ïèøåì:
�
�
T x t
t
a x x T t
( , )
( ) ( ) ( , )� � ��
��
2 248 10 0
� ��
�
�
�
� �
�
�
�
� � ��
�
�
�
� �
��
32
3
64
1
2
16
2
3
2 2x T t x F t, ( )ãð1 � f x t( , ) .
Ïîëàãàÿ ïîñëåäîâàòåëüíî x �0 è x �1 2/ , ïîëó÷àåì ñèñòåìó äâóõ îáûêíî-
âåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èí T t( , )0 è
T t( / , )1 2 :
�
�
T t
t
a T t T t a
( , )
( ) ( , ) ,
0
0 10 0
32
3
1
2
2
3
2 2� � �
�
�
�
��
��
�
��
� � ( ) ( ) ( , )0 0F t f tãð1 � ,
�
�
T t
t
a T t T t
1
2 1
2
2 0
16
3
1
2
2
,
( , ) ,
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� � � �
�
�
�
��
��
�
��
� �
�
�
�
� � �
�
�
�
�
10
3
1
2
1
2
2a F t f tãð1( ) , .
(15)
Äëÿ óðàâíåíèé (15) çàäàåì ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ, ïîëó-
÷åííûå èç (14):
T t at( , )|0 0 0� � , T t a at( / , )| ( / )1 2 40 0 2� � � . (16)
Ðåøèâ ñèñòåìó (15), ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (3) ïîëó÷èì âîçìîæíîñòü âû-
÷èñëèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè T (x, t) â ëþáîé òî÷êå:
T x t x x T t( , ) ( ) ( , )� � � �4 5 1 04 2
� � �
�
�
�
�� �
16
3
1
1
2
1
3
4 12 2 2 2x x T t x x F t( ) , ( ) ( )ãð1 . (17)
Óðàâíåíèå (17) è ñèñòåìà (15) ìîãóò áûòü ðåøåíû ïðè ëþáûõ èìåþ-
ùèõ ôèçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿõ a x2( ), F tãð1( ), f x t( , ). Äëÿ ïðèìåðà
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 77
0 x– x
RR
T (x, t)
Ðèñ. 1. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå
îáúåêòà ìîäåëèðîâàíèÿ
âûáåðåì ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ: a0 = 2; a2 = 0,5; b1 = 0,1;
b2 = 0,5. Òîãäà a2 0 1( ) � ; a2 1 2 15 16( / ) /� ; f t f t b t( , ) ( / , ) , ,0 1 2 01 0 1� � � ;
F t e et t
ãð1( ) ,, ,� � �� �1 150 1 0 5 .
Ïðè âûáðàííûõ êîýôôèöèåíòàõ ñèñòåìà (15) ïðèìåò âèä
�
�
T t
t
T t T t e et( , )
( , ) , ,0
10 0
32
3
1
2
2
3
23
30
0 1� � � �
�
�
�
�� � �� �0 5, t ,
�
�
T t
t
T t T t e
1
2 15
8
0 5
1
2
25
8
3
1
40
0
,
( , ) , ,
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
� � � � 1 0 575
16
t te� � , .
(18)
Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà (18) ÷èñëåííî ðåøåíà ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîãî
ðåøàòåëÿ â ñðåäå Matlab. Äèñêðåòèçàöèÿ ïî âðåìåíè è ïðîñòðàíñòâåííîé
êîîðäèíàòå ïðîâåäåíà ñîîòâåòñòâåííî ñ øàãîì 0,0001 è 0,05. Ïîëó÷åííûå
ðåçóëüòàòû èñïîëüçîâàíû äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ â ëþáîé ïðîñòðàíñò-
âåííîé êîîðäèíàòå è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (17),
êîòîðàÿ ñ ó÷åòîì çàäàííûõ êîýôôèöèåíòîâ èìååò âèä
T x t x x T t( , ) ( ) ( , )� � � �4 5 1 04 2
� � �
�
�
�
� � � � �� �16
3
1
1
2
1
3
4 1 1 152 2 2 2 0 1x x T t x x e et( ) , ( )( ,, 0 5, )t .
Ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2
(ñì. âêëåéêó). Ïðè ñðàâíåíèè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ àíàëèòè÷åñêèì ïîëó-
÷åíà âåëè÷èíà îòíîñèòåëüíîé ïîãðåøíîñòè ! ( , )t x (ðèñ. 3, ñì. âêëåéêó).
Âûâîäû
Àïïðîêñèìàöèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ
ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïîçâîëèëà ñóùåñò-
âåííî óïðîñòèòü âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì ïðè óñëîâèè îáåñïå÷åíèÿ
ïðèåìëåìîé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ.
Ñ ïîìîùüþ ïðåäëàãàåìîãî ìåòîäà ïîëó÷åíî ðåøåíèå ðàññìàòðèâàåìîé
ìîäåëüíîé çàäà÷è ñ ïîãðåøíîñòüþ, íå ïðåâûøàþùåé 0,05 %, ÷òî âïîëíå
ïðèåìëåìî äëÿ âûïîëíåíèÿ èíæåíåðíûõ ðàñ÷åòîâ â ïðàêòè÷åñêèõ çàäà-
÷àõ. Óìåðåííàÿ òî÷íîñòü êîìïåíñèðóåòñÿ óíèâåðñàëüíîñòüþ ïîëó÷åííûõ
âûðàæåíèé, â êîòîðûõ ó÷òåíû ñèììåòðè÷íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïåðâîãî,
âòîðîãî è òðåòüåãî ðîäà. Ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ìîæåò áûòü ýôôåêòèâåí â
ñëó÷àå îãðàíè÷åííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ðåñóðñîâ, à òàêæå â çàäà÷àõ, òðå-
áóþùèõ ñâåðõáûñòðîãî ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèé.
Â.À. Ôåäîð÷óê, À.È. Ìàõîâè÷
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3
The method for studying of the dynamics of transient thermal processes, which takes into account
the symmetric boundary conditions, is considered in the article.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Âåðëàíü À.Ô., Ãîðîøêî È.Î., Íèêîëàåíêî Þ.Å. Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ïðî-
öåññîâ ïåðåäà÷è òåïëà â ïåðñïåêòèâíûõ áàçîâûõ íåñóùèõ êîíñòðóêöèÿõ ñòîå÷íîãî
òèïà ñ òåïëîâûìè òðóáàìè // Ìàòåìàòè÷í³ ìàøèíè ³ ñèñòåìè. — 2008. — ¹ 2. —
Ñ. 90—99.
2. Âåðëàíü À.Ô., Åâäîêèìîâ Â.Ô. Ýëåêòðîííîå ìîäåëèðîâàíèå ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé. —
Êè¿â : Òåõí³êà, 1970. — 232 ñ.
3. Íîððè Ä., äå Ôðèç Æ. Ââåäåíèå â ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ: Ïåð ñ àíãë. — Ì. : Ìèð,
1981. — 304 ñ.
Ïîñòóïèëà 22.04.14
ÔÅÄÎÐ×ÓÊ Âëàäèìèð Àíàòîëüåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé èíôîðìàòèêè Êàìåíåö-
Ïîäîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Èâàíà Îãèåíêî.  1984 ã. îêîí÷èë Êàìåíåö-
Ïîäîëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòå-
ìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåîäíîðîäíûõ ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì è îáúåêòîâ ñ ðàñïðå-
äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè.
ÌÀÕÎÂÈ× Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, àñïèðàíò Êàìåíåö-Ïîäîëüñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñè-
òåòà èì. Èâàíà Îãèåíêî.  1995 ã. îêîí÷èë Êàìåíåö-Ïîäîëüñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ïåäàãîãè-
÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå îáúåêòîâ ñ
ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ïðîãðàììèðîâàíèå.
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ äèíàìèêè íåñòàöèîíàðíûõ òåïëîâûõ ïðîöåññîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 79
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101004 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:18:12Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Федорчук, В.А. Махович, А.И. 2016-05-29T17:11:44Z 2016-05-29T17:11:44Z 2014 Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий / В.А. Федорчук, А.И. Махович // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 71-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101004 004.021 Рассмотрен метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов с учетом особенности симметричных граничных условий. Розглянуто метод дослідження динаміки нестаціонарних теплових процесів з врахуванням особливoсті симетричних граничних умов. The method for studying of the dynamics of transient thermal processes, which takes into account the symmetric boundary conditions, is considered in the article. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий Article published earlier |
| spellingShingle | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий Федорчук, В.А. Махович, А.И. Вычислительные процессы и системы |
| title | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| title_full | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| title_fullStr | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| title_full_unstemmed | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| title_short | Метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| title_sort | метод исследования динамики нестационарных тепловых процессов при наличии симметричных граничных условий |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101004 |
| work_keys_str_mv | AT fedorčukva metodissledovaniâdinamikinestacionarnyhteplovyhprocessovprinaličiisimmetričnyhgraničnyhuslovii AT mahovičai metodissledovaniâdinamikinestacionarnyhteplovyhprocessovprinaličiisimmetričnyhgraničnyhuslovii |