Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости

На основе гипотезы Кирхгофа—Лява в геометрически нелинейной постановке приведена математическая модель задачи о динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных ортотропных пластин переменной жесткости с учетом распространения упругих волн. С помощью метода Бубнова—Галеркина, основанного на мног...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2014
Main Author:	Абдикаримов, Р.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2014
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Применение методов и средств моделирования
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101006
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости / Р.А. Абдикаримов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 95-103. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101006
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1010062025-02-09T09:31:32Z Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости Абдикаримов, Р.А. Применение методов и средств моделирования На основе гипотезы Кирхгофа—Лява в геометрически нелинейной постановке приведена математическая модель задачи о динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных ортотропных пластин переменной жесткости с учетом распространения упругих волн. С помощью метода Бубнова—Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации прогиба и перемещений, задача сведена к решению систем нелинейных интегродифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Рассмотрено влияние вязкоупругих свойств материала и изменения толщины на процесс динамической устойчивости ортотропной пластины. На основі гіпотези Кірхгофа—Лява в геометрично нелінійній постановці наведено математичну модель задачі про динамічну стійкість в’язкопружних прямокутних ортотропних пластин змінної жорсткості з урахуванням розповсюдження пружних хвиль. За допомогою метода Бубнова—Гальоркина, базованого на багаточленній апроксимації прогибу і переміщень, задачу зведено до розв’язку систем нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь із змінними коефіцієнтами. Розглянуто вплив в’язкопружних властивостей матеріалу та зміни товщини на процес динамічної стійкості ортотропної пластини. Based on the Kirchhoff—Love hypothesis a mathematical model of the problem on dynamic stability of visco-elastic rectangular orthotropic plates of variable rigidity is presented in geometric nonlinear posing with respect to propagation of elastic waves. The problem is reduced to solution of the system of nonlinear integro-differential equations with variable coefficient with the help of Bubnov—Galyorkin method based on the polynomial approximation of a sagging and translations. The effect of visco-elastic properties of material and thickness changes on the process of dynamic stability of the orthotropic plate has been considered. 2014 Article Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости / Р.А. Абдикаримов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 95-103. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101006 608.03 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования
spellingShingle	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Абдикаримов, Р.А. Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости Электронное моделирование
description	На основе гипотезы Кирхгофа—Лява в геометрически нелинейной постановке приведена математическая модель задачи о динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных ортотропных пластин переменной жесткости с учетом распространения упругих волн. С помощью метода Бубнова—Галеркина, основанного на многочленной аппроксимации прогиба и перемещений, задача сведена к решению систем нелинейных интегродифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Рассмотрено влияние вязкоупругих свойств материала и изменения толщины на процесс динамической устойчивости ортотропной пластины.
format	Article
author	Абдикаримов, Р.А.
author_facet	Абдикаримов, Р.А.
author_sort	Абдикаримов, Р.А.
title	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
title_short	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
title_full	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
title_fullStr	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
title_full_unstemmed	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
title_sort	моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2014
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101006
citation_txt	Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости / Р.А. Абдикаримов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 3. — С. 95-103. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT abdikarimovra modelirovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihortotropnyhprâmougolʹnyhplastinperemennojžestkosti
first_indexed	2025-11-25T06:20:23Z
last_indexed	2025-11-25T06:20:23Z
_version_	1849742204387459072
fulltext	ÓÄÊ 608.03 Ð.À. Àáäèêàðèìîâ, êàíä. òåõí. íàóê Òàøêåíòñêèé ôèíàíñîâûé èí-ò (Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100084, Òàøêåíò, Êè÷èê õàëêà éóëè, 7, òåë. (99871) 2346641, e-mail: rabdikarimov@mail.ru) Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí ïåðåìåííîé æåñòêîñòè Íà îñíîâå ãèïîòåçû Êèðõãîôà—Ëÿâà â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå ïðèâåäåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëü- íûõ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí ïåðåìåííîé æåñòêîñòè ñ ó÷åòîì ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ âîëí. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà, îñíîâàííîãî íà ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñè- ìàöèè ïðîãèáà è ïåðåìåùåíèé, çàäà÷à ñâåäåíà ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåëèíåéíûõ èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïåðåìåííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ðàññìîòðåíî âëèÿíèå âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà è èçìåíåíèÿ òîëùèíû íà ïðîöåññ äèíàìè÷åñêîé óñòîé- ÷èâîñòè îðòîòðîïíîé ïëàñòèíû. Íà îñíîâ³ ã³ïîòåçè Ê³ðõãîôà—Ëÿâà â ãåîìåòðè÷íî íåë³í³éí³é ïîñòàíîâö³ íàâåäåíî ìàòå- ìàòè÷íó ìîäåëü çàäà÷³ ïðî äèíàì³÷íó ñò³éê³ñòü â’ÿçêîïðóæíèõ ïðÿìîêóòíèõ îðòîòðîïíèõ ïëàñòèí çì³ííî¿ æîðñòêîñò³ ç óðàõóâàííÿì ðîçïîâñþäæåííÿ ïðóæíèõ õâèëü. Çà äîïî- ìîãîþ ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëüîðêèíà, áàçîâàíîãî íà áàãàòî÷ëåíí³é àïðîêñèìàö³¿ ïðîãèáó ³ ïåðåì³ùåíü, çàäà÷ó çâåäåíî äî ðîçâ’ÿçêó ñèñòåì íåë³í³éíèõ ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç çì³ííèìè êîåô³ö³ºíòàìè. Ðîçãëÿíóòî âïëèâ â’ÿçêîïðóæíèõ âëàñòèâîñòåé ìàòå- ð³àëó òà çì³íè òîâùèíè íà ïðîöåñ äèíàì³÷íî¿ ñò³éêîñò³ îðòîòðîïíî¿ ïëàñòèíè. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à : ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü, âÿçêîóïðóãîñòü, îðòîòðîïíîñòü, äèíàìè- ÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ìåòîä Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà. Â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ òåõíèêè øèðîêî âíåäðÿþòñÿ ïëàñòèíû è îáîëî÷êè ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Ýòî ñâÿçàíî, ïðåæäå âñåãî, ñ ïðåäúÿâëÿåìûìè òðå- áîâàíèÿìè ê ïðî÷íîñòè, äîëãîâå÷íîñòè, à òàêæå ê äèçàéíó òîíêîñòåííûõ ýëåìåíòîâ ñîâðåìåííûõ êîíñòðóêöèé. Íàðÿäó ñ òîíêîñòåííûìè ýëåìåíòà- ìè êîíñòðóêöèé èç òðàäèöèîííûõ ìåòàëëè÷åñêèõ ìàòåðèàëîâ øèðîêî èñ- ïîëüçóþòñÿ êîíñòðóêöèè èç êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè èçó÷åíèÿ îðòîòðîïíûõ èëè, â îáùåì ñëó÷àå, àíèçîòðîï- íûõ ïëàñòèí è îáîëî÷åê. Òàêèå çàäà÷è ñëåäóåò îïèñûâàòü ñ ïîìîùüþ ìîäåëåé òåîðèè ïëàñòèí è îáîëî÷åê â êëàññè÷åñêîé è óòî÷íåííîé ïîñòàíîâêàõ. Èññëåäîâàíèÿ ïëàñ- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 95 � Ð.À. Àáäèêàðèìîâ, 2014 òèí è îáîëî÷åê ïåðåìåííîé æåñòêîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé äîñòàòî÷íî ñëîæíóþ çàäà÷ó, à èíîãäà ñâÿçàíû ñ íåïðåîäîëèìûìè òðóäíîñòÿìè. Ñ îäíîé ñòîðîíû, òðåáóåòñÿ ðåøåíèå äîâîëüíî ãðîìîçäêèõ óðàâíåíèé, ïî- ëó÷àåìûõ ïîñðåäñòâîì ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ, ïðè ñòðåìëåíèè îòðàçèòü ðåàëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñóùíîñòü ïðîöåññà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äëÿ ðåøåíèÿ ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé îòñóòñòâóþò ïîäõîäÿùèå óíèâåðñàëüíûå ÷èñëåííûå ìåòîäû è åäèíûå âû÷èñëèòåëüíûå àëãîðèòìû. Ïðèìåíåíèå ñîâðåìåííûõ êîìïüþòåðîâ è ïðîãðàììíûõ ïðîäóêòîâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè ïëàñòèí è îáîëî÷åê ïåðåìåííîé æåñòêîñòè ñïîñîáñòâóåò áîëåå øèðîêîìó èñïîëüçîâàíèþ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ. Ðàçðàáîòêà ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, âû÷èñëèòåëüíûõ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ îòðî- òðîïíûõ ýëåìåíòîâ òîíêîñòåííûõ êîíñòðóêöèé ïåðåìåííîé æåñòêîñòè ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìîé. Èññëåäîâàíèþ êîëåáàíèé è äèíàìè÷åñ- êîé óñòîé÷èâîñòè ýëåìåíòîâ òîíêîñòåííûõ êîíñòðóêöèé òèïà ïëàñòèí è îáîëî÷åê ïåðåìåííîé òîëùèíû â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå ïðè ó÷åòå âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïîñâÿùåíû ðàáîòû [1—8]. Èññëåäóåì âëèÿíèå âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà è èçìåíåíèÿ òîë- ùèíû íà ïðîöåññ äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïëàñòèíû ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïëàñòèíû ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Ïîñò- ðîèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿç- êîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû (0� �x a, 0� �y b) ïåðåìåííîé òîë- ùèíû h h x y� ( , ) â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå ñîãëàñíî êëàñ- ñè÷åñêîé òåîðèè Êèðõãîôà—Ëÿâà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âÿçêîóïðóãàÿ ïëàñ- òèíà èçãîòîâëåíà èç ìàòåðèàëà, îáëàäàþùåãî îðòîòðîïíûìè ñâîéñòâàìè, íàãðóæåíà ïîïåðå÷íîé íàãðóçêîé q è ïîäâåðãàåòñÿ áûñòðîâîçðàñòàþùåìó ñæàòèþ âäîëü ñòîðîíû a ñèëîé P t t( ) �� , ãäå � — ñêîðîñòü íàãðóæåíèÿ. Â ýòîì ñëó÷àå ôèçè÷åñêóþ çàâèñèìîñòü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè � x , � y , � xy è äåôîðìàöèÿìè � x , � y , xy çàïèøåì â âèäå [9, 10] � � �x x yB B� � 11 11 12 121 1( ) ( )* � � , ( , )x y 1 2 , � xy xyB� 2 1( )� , (1) ãäå� �* , ij — èíòåãðàëüíûå îïåðàòîðû ñ ÿäðàìè ðåëàêñàöèè ñîîòâåòñòâåí- íî � ( )t è �ij t( ), � � ( ) ( )� � � � �� 0 t t d ; � �ij t ij t d* ( ) ( )� � � � �� 0 , i j, ,�1 2; Ð.À. Àáäèêàðèìîâ 96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3 B E 11 1 1 21 � � � ; B E 22 2 1 21 � � � ; B B B B12 21 1 22 2 11� � �� ; B G � 2 ; E1, E2 — ìîäóëè óïðóãîñòè â íàïðàâëåíèè îñåé x è y; G — ìîäóëü ñäâèãà; �1, �2 — êîýôôèöèåíòû Ïóàññîíà. Çäåñü è â äàëüíåéøåì ñèìâîëû x y , 1 2 óêàçûâàþò íà òî, ÷òî îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ êðóãîâîé ïîäñòàíîâêîé èíäåêñîâ. Ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè � x , � y , xy è ïåðåìåùåíèÿìè u, v, w ïî íàïðàâëåíèÿì x, y, z ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ íåïðà- âèëüíîñòåé ïðåäñòàâèì â âèäå [11] � � � � � � � x u x w x w x � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 0 2 , � � � � � � � y v y w y w y � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 2 0 2 , � � � � � � � � � � � � xy u y v x w x w y w x w y � � � 0 0 , (2) ãäå w w x y0 0� ( , ) — íà÷àëüíûé ïðîãèá ïëàñòèíû. Èçãèáàþùèå M x , M y è êðóòÿùèå H ìîìåíòû ñ ó÷åòîì (2) èìåþò âèä [9, 10] M h B w w x B w w x � � 3 11 11 2 0 2 12 12 2 0 12 1 1( ) ( ) ( ) ( )* � � � � � �y 2 � � � � � � , ( , )x y 1 2 , H Bh w w x y � 3 2 0 3 1( ) ( )� � � � . (3) Ïîäñòàâëÿÿ (1) è (3) â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ [11] � � � � � � � N x N y h u t x xy� � 2 2 0, � � � � � � � N x N y h v t xy y� � 2 2 0, � � � � � � � � � � � � � M x M y H x y x N w x N w y x x x xy2 2 2 2 2� � � �� y N w x N w y P t w x q h w t xy y ( ) 2 2 2 2 0, ïîëó÷àåì ñèñòåìó èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèç- âîäíûõ: h B x B x B y x y xy 11 11 12 121 1 2 1( ) ( ) ( )* * * � � � � � � �� Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 97 � � � � � � � � � � h x B B B h y x y xy[ ( ) ( ) ] ( )* * * 11 11 12 121 1 2 1� � � �� h u t 2 2 0 , h B y B y B x y x xy 22 22 21 211 1 2 1( ) ( ) ( )* * * � � � � � � �� 2 1 1 121 21 22 22B h x h y B Bxy x y � � � � � � �( ) [ ( ) ( ) ]* * � � � �� h v t 2 2 0 , (4) D B w w x B B B11 11 4 0 4 12 121 8 1 1( ) ( ) ( ( ) ( ) * * � � � � � � � � � � � 21 21 4 0 2 2 1( )) ( )* �� w w x y � � � � � B w w y D x B w w 22 22 4 0 4 4 2 11 11 2 1 1( ) ( ) ( ) (* � � � � � � � 0 2 ) �x � � �� B w w y D y B w w 12 12 2 0 2 22 22 3 1 2 1( ) ( ) ( ) ( � � � � � � � 0 3 21 211 ) ( ( ) �y B� � � � � � � � � � � 4 1 1 3 0 2 2 2 22 22 2 B w w x y D y B w w ( )) ( ) ( ) (* � � � � � � � � 0 2 ) �y � � � � � � � � � B w w x D x y B w w 21 21 2 0 2 2 2 01 8 1( ) ( ) ( ) ( ) � � � � � � � � � �x y � � �� ! � � � �� w x h B x B x x y 11 11 12 121 1( ) ( ) � � � � �� 2 1 1 111 11 12 12B y h x B B xy x( ) [ ( ) ( ) * � � � �� y xyB h y ] ( )� " # $ 2 1 � � �� h w x B B w y h Bx y � � � � � � 2 2 11 11 12 12 221 1 1[ ( ) ( ) ] (* � � �22 ) �� y y �� ! � � � �� B y B x B h x x xy x21 211 2 1 2 1( ) ( ) ( )* * � � � �� y � � � " # $ � � � � � � % % h y B B h w y Bx y[ ( ) ( ) ] [ ( * 21 21 22 22 211 1� � 1 21 ��* )� x � � �B h w x y B P t w x hy xy22 22 2 1 4 1( ) ] ( ) ( )* � �� % % % � w t q 2 � . Ð.À. Àáäèêàðèìîâ 98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3 Ïîëó÷åííàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü (4) ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ãðàíè÷íûìè è íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ó÷èòûâàåò îäíîâðåìåííî âÿçêîóïðóãèå è îðòo- òðîïíûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà, à òàêæå ïåðåìåííîñòü òîëùèíû. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðó- ãèõ ñèñòåì â èçîòðîïíîé ïîñòàíîâêå â ñèñòåìå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëü- íûõ óðàâíåíèé ó÷àñòâóåò òîëüêî îäíî ÿäðî ðåëàêñàöèè ñ òðåìÿ ðàçëè÷íû- ìè ðåîëîãè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè, òî â îðòîòðîïíîé ïîñòàíîâêå ñîãëàñíî ãèïîòåçå Êèðõãîôà—Ëÿâà ïðèíèìàþò ó÷àñòèå ïÿòü ðàçëè÷íûõ ÿäåð ñ 15-þ ðåîëîãè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè âÿçêîñòè. Ïðè ðàñ÷åòàõ â êà÷åñòâå ÿäåð ðå- ëàêñàöèè� ( )t ,�ij t( ), i j, ,�1 2, èñïîëüçóþòñÿ ñèíãóëÿðíûå ÿäðà Êîëòóíîâà— Ðæàíèöûíà [10]: � ( )t Ae tt� & ' 1 ( )0 1( (' , �ij ij t t A e tij ij( ) � & ' 1 ( )0 1( (' ij . Äèñêðåòíàÿ ìîäåëü çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêî- óïðóãîé îðòîòðîïíîé ïëàñòèíû ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Íàèáîëåå ýô- ôåêòèâíûì ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ äèñêðåòíîé ìîäåëè íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè íàñëåäñòâåííîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè ÿâëÿåòñÿ âàðèàöèîííûé ìåòîä Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïîëó÷èì îñíîâíûå ðàç- ðåøàþùèå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äàííîé çàäà÷è. Ïóñòü çàâèñèìîñòü èçìåíåíèÿ òîëùèíû èìååò âèä h x� �1 ' , h h0 0� �( ) �const, ãäå '* — ïàðàìåòð èçìåíåíèÿ òîëùèíû. Ðåøåíèå ñèñòåìû (4), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, áóäåì èñêàòü îòíîñèòåëü- íî ïåðåìåùåíèé u è v, à òàêæå ïðîãèáà w â âèäå u x y t u t x y n N m M nm nm( , , ) ( ) ( , )� � � ) ) 1 1 * , v x y t v t x y n N m M nm nm( , , ) ( ) ( , )� � � ) ) 1 1 � , w x y t w t x y n N m M nm nm( , , ) ( ) ( , )� � � ) ) 1 1 + . (5) Ïîäñòàâëÿÿ (5) â ñèñòåìó óðàâíåíèé (4) è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà— Ãàëåðêèíà, ñ ó÷åòîì áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí u h/ 0, v h/ 0, w h/ 0, w h0 0/ , x a/ , y b/ , h h/ 0, , � a b/ , - � b h/ 0, t P P t P t S P P* / / / /� � � �êð êð êð � . , P P E b h * � � � � � � � 0 2 , q q E b h * � � � � � � � 0 4 , S P cEh b � � � �� êð 3 / � 0 3 4 2 è ïðè ñîõðàíåíèè ïðåæíèõ îáîçíà÷åíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó îñ- íîâíûõ ðàçðåøàþùèõ íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: 1 1 1 1 1 1 1 11 1 S a u d n N m M k m nm n N m M � � � � ) ) )) � ! ln �� {[( )0 � k m k m nmd uln ln� �( ) ]1 2� Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 99 � �� ) )( ) ( ) } [( * , , 1 1 112 3 4 1 1 � �d d vk m k m nm n i N m j M ln ln ��11 7 * ) d k mijln � � ( ) ( ) ]( )* 1 112 8 9 0 0� �d d w w w wk mij k mij nm ij nm ijln ln " # $ �0 , 1 1 1 1 2 1 1 21 1 S b v e n N m M k m nm n N m M � � � � ) ) )) � ! ln �� {[( )0 � k m k m nme uln ln� �( ) ]1 2� � �� ) )( ) ( ) } [( * , , 1 1 122 3 4 1 1 � �e e vk m k m nm n i N m j M ln ln ��22 7 * ) e k mijln � � ( ) ( ) ]( )* 1 121 8 9 0 0� �e e w w w wk mij k mij nm ij nm ijln ln " # $ �0 , 1 1 1 1 3 1 1 11 5 S c w f n N m M k m nm n N m M k m � � � � ) ) ))� ln ln�� [( )0 � � � �( ) ( )* 1 112 6 22 7� �f fk m k mln ln (6) � � � � � )( ) ( ) ]( ) 1 121 8 9 0 3 1 1 � �f f w wk m k m nm nm n N m ln ln 0 M k m mp w t) ln n * � ! � � � ) )0 13 1 1 11 1 211 1 n i N m j M nm k mijw , , * {[( ) ( )� �ln 1 12 31k mij k mij ijuln ln� �( ) ]� � �� [( ) ( ) ( )* * 1 1 122 4 12 5 6� � �1 1 1k mij k mij k mijln ln ln v ij }� � � � � ) ) n i r N m j s M nm k mijrsw g , , , , {[( ) ( 1 1 11 5 121 1� �ln ) ( )g gk mijrs k mijrs6 22 71ln ln� �� ( ) ( ) }* 1 121 8 9� �g gk mijrs k mijrsln ln ( )}w w w wij rs ij rs �0 0 0, ãäå ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû ñâÿçàíû ñ êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè è èõ ïðîèçâîäíûìè; c E E � 1 2 � — ñêîðîñòü çâóêà â ìàòåðèàëå ïëàñòèíû; . / � � 2 1 2 2 4 E E h P b êð ; Pêð — ñòàòè÷åñêàÿ êðèòè÷åñêàÿ íàãðóçêà; � — ïëîò- íîñòü ìàòåðèàëà ïëàñòèíû. Íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà ñîñòàâ- ëåíà ïðîãðàììà íà ÿçûêå Delphi. Ðàñ÷åò äåôîðìèðîâàíèÿ âÿçêîóïðóãîé îðòîòðîïíîé ïðÿìîóãîëü- íîé ïëàñòèíû ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (6) âû- ïîëíåíî ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìåòîäà, îñíîâàííîãî íà èñïîëüçîâàíèè Ð.À. Àáäèêàðèìîâ 100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3 êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë [12, 13]. Êàê è â ðàáîòå [11], â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ, îïðåäåëÿþùåãî êðèòè÷åñêîå âðåìÿ è êðèòè÷åñêóþ íàãðóçêó, ïðèíèìàåì óñëîâèå, ÷òî ñòðåëà ïðîãèáà íå äîëæíà ïðåâûøàòü âåëè÷èíó, ðàâíóþ òîë- ùèíå ïëàñòèíû h0. Â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, îïðåäåëÿþùåãî óñòîé÷èâîñòü ïëàñòèíû, ïðèíÿò êîýôôèöèåíò äèíàìè÷íîñòè Kä, ðàâíûé îòíîøåíèþ äè- íàìè÷åñêîé êðèòè÷åñêîé íàãðóçêè ê ýéëåðîâîé ñòàòè÷åñêîé. Íà ðèñóíêå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷è- âîñòè ïëàñòèíû èç íåîäíîðîäíîãî âÿçêîóïðóãîãî ìàòåðèàëà ïðè ðàçëè÷- íûõ ôèçè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ. Èçó÷åíî âëèÿíèå íåîäíî- ðîäíûõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà íà ïðîöåññ óñòîé÷èâîñòè ïëàñòèíû. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà à, óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà 2 � E E1 2, îïðåäåëÿþùåãî ñòåïåíü àíèçîòðîïèè, ïðèâîäèò ê áîëåå ïîçäíåìó èíòåíñèâíîìó âîçðàñòàíèþ ïðî- ãèáîâ è ñîîòâåòñòâåííî óâåëè÷åíèþ êðèòè÷åñêîãî çíà÷åíèÿ Kä. Àíàëî- ãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ïîñòîÿííîé òîëùèíû ïî- ëó÷åíû â ðàáîòå [14]. Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ èçìåíåíèÿ òîëùèíû ïëàñòèíû '* íà äèíàìè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå á. Ïðè çíà÷åíèÿõ '* = 0; 0,5; 0,8 êîýôôèöèåíò äèíàìè÷íîñòè Kä ðàâåí ñîîòâåòñòâåííî 4,85; 4,97; 5,52. Íàïîìíèì, ÷òî óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà '* âëå÷åò çà ñîáîé óâåëè- ÷åíèå òîëùèíû ïëàñòèíû. Âû÷èñëåíèÿ âûïîëíåíû ïðè ðàâíûõ îáúåìàõ ïëàñòèí ïîñòîÿííîé è ïåðåìåííîé òîëùèíû. Èç ðèñóíêà âèäíî, ÷òî ñ óâå- ëè÷åíèåì òîëùèíû ïëàñòèíû çíà÷åíèå Kä óâåëè÷èâàåòñÿ. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 101 2 = 1,0 1,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0 3 4 5 6 7 wnm '3 = 0 0,5 0,8 1,0 0,5 0 3 4 5 t 3 a á Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà ïëàñòèíû îò âðåìåíè ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðîâ � (à) è '* (á) Âûâîäû Ðàçðàáîòàííûé âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì ïîçâîëÿåò èññëåäîâàòü íåëèíåé- íûå çàäà÷è äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì ïåðåìåííîé æåñòêîñòè. Ñîçäàííûé êîìïëåêñ ïðèêëàäíûõ ïðîãðàìì íà ÿçûêå Delphi äàåò âîç- ìîæíîñòü ïîëó÷èòü ðåøåíèÿ çàäà÷ â ÷èñëîâîì è ãðàôè÷åñêîì âèäå. Èññëåäîâàíèå çàäà÷è î äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãîé îð- òîòðîïíîé ïëàñòèíû ïåðåìåííîé æåñòêîñòè íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àï- ïðîêñèìàöèè ïðîãèáîâ ïîçâîëèëî óñòàíîâèòü, ÷òî èçìåíåíèå òîëùèíû ïëàñòèíû ïî ðàçëè÷íûì çàêîíàì ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ êðèòè÷åñêîé íà- ãðóçêè â ïðåäåëàõ îò 20 äî 50 %, à ó÷åò âÿçêèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà — ê óìåíüøåíèþ êîýôôèöèåíòà äèíàìè÷íîñòè íà 20—40 %. Based on the Kirchhoff—Love hypothesis a mathematical model of the problem on dynamic sta- bility of visco-elastic rectangular orthotropic plates of variable rigidity is presented in geometric nonlinear posing with respect to propagation of elastic waves. The problem is reduced to solution of the system of nonlinear integro-differential equations with variable coefficient with the help of Bubnov—Galyorkin method based on the polynomial approximation of a sagging and transla- tions. The effect of visco-elastic properties of material and thickness changes on the process of dynamic stability of the orthotropic plate has been considered. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Âåðëàíü À.Ô., Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Ýøìàòîâ Õ. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì ñ ïåðåìåííîé æåñòêîñòüþ // Ýëåêòðîí. ìîäåëè- ðîâàíèå. — 2010. — 32. — ¹ 2. — Ñ. 3—14. 2. Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Æãóòîâ Â.Ì. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè çàäà÷ íåëèíåéíîé äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí è îáîëî÷åê ïåðåìåííîé òîëùèíû // Èíæåíåðíî- ñòðîèòåëüíûé æóðíàë. — 2010. — 23. — ¹ 6. — Ñ. 38—47. 3. Àáäèêàðèìîâ Ð.À. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ñ ïåðåìåííîé æåñò- êîñòüþ // ÄÀÍ ÐÓç. — 2010. — ¹ 4. — Ñ. 40—42. 4. Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Æãóòîâ Â.Ì. Ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîå ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëè- ðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïîëîãèõ îáîëî÷åê ïåðåìåííîé òîëùèíû // Èíæåíåðíî-ñòðîèòåëüíûé æóðíàë. — 2011. — 24. — ¹ 6. — Ñ. 12—22. 5. Abdikarimov R.A. Numerical Research of Nonlinear Vibrations of Isotropic Viscoelastic Plates with Variable Rigidity by the Method of Computer Simulation // Social and Natural Sciences Journal. — 2011. — Vol. 3. — P. 46—49. 6. Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Õóäàÿðîâ Á.À. Ìîäåëèðîâàíèå êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññîâ âÿçêîóï- ðóãèõ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí ñ ïåðåìåííîé æåñòêîñòüþ // Mechanics. Proc. of National Academy of Sciences of Armenia. — 2011. — ¹ 4 (64). — P. 30—38. 7. Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Ãîëîñêîêîâ Ä.Ï. ×èñëåííîå èññëåäîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ïåðåìåííîé òîëùèíû // Æóðíàë Óíèâåðñèòåòà âîäíûõ êîì- ìóíèêàöèé. — 2011. — ¹ 2. — Ñ. 102—107. 8. Àáäèêàðèìîâ Ð.À., Õóäàÿðîâ Á.À. Èññëåäîâàíèå âÿçêîóïðóãèõ êðóãîâûõ öèëèíäðè- ÷åñêèõ ïàíåëåé ïåðåìåííîé òîëùèíû // Âû÷èñëèòåëüíàÿ ìåõàíèêà ñïëîøíûõ ñðåä. — 2012. — 5. — ¹ 1. — Ñ. 11—18. Ð.À. Àáäèêàðèìîâ 102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 3 9. Èëüþøèí À.À., Ïîáåäðÿ Á.Å. Îñíîâû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè òåðìîâÿçêîóïðóãîñòè. — Ì. : Íàóêà, 1970. — 280 ñ. 10. Êîëòóíîâ Ì.À. Ïîëçó÷åñòü è ðåëàêñàöèÿ. — Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, 1976. — 276 ñ. 11. Âîëüìèð À.Ñ. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïëàñòèíîê è îáîëî÷åê. — Ì. : Íàóêà, 1972. — 432 ñ. 12. Áàäàëîâ Ô.Á., Ýøìàòîâ Õ., Þñóïîâ Ì. Î íåêîòîðûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ ñèñòåì ÈÄÓ, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàäà÷àõ âÿçêîóïðóãîñòè // ÏÌÌ. — 1987. — ¹ 5 (51). — Ñ. 867— 871. 13. Ýøìàòîâ Õ. Èíòåãðàëüíûé ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Àâòîðåôåðåò äèññ... ä-ðà òåõ. íàóê. — Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëè- ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêè ÍÀÍ óêðàèíû. — Êèåâ, 1991. — 40 ñ. 14. Eshmatov B.Kh. Nonlinear Vibrations and Dynamic Stability of Viscoelastic Orthotropic Rectangular Plate // Journal of Sound and Vibration. — 2007. — Vol. 300. — P. 709—726. Ïîñòóïèëà 22.01.14; ïîñëå äîðàáîòêè 07.04.14 ÀÁÄÈÊÀÐÈÌÎÂ Ðóñòàìõàí Àëèìõàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû ìàòåìàòèêè Òàøêåíòñêîãî ôèíàíñîâîãî èí-òà. Â 1982 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìîäåëèðîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ îðòîòðîïíûõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 3 103

Моделирование динамической устойчивости вязкоупругих ортотропных прямоугольных пластин переменной жесткости

Institution

Similar Items