Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений
Представлен трехэтапный метод получения приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе с помощью индивидуальной равномерной дискретизации ядра игры вдоль каждого из измерений куба. После дискретизации согласно предлагаемым требованиям выполнено взаимообратимое преобр...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101012 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений / В.В. Романюк // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 4. — С. 33-49. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859610923826675712 |
|---|---|
| author | Романюк, В.В. |
| author_facet | Романюк, В.В. |
| citation_txt | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений / В.В. Романюк // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 4. — С. 33-49. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Представлен трехэтапный метод получения приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе с помощью индивидуальной равномерной дискретизации ядра игры вдоль каждого из измерений куба. После дискретизации согласно предлагаемым требованиям выполнено взаимообратимое преобразование многомерной матрицы игры в двухмерную матрицу, в результате чего получено приближенное решение. Приемлемость этого решения оценивается по согласованности спектров оптимальных стратегий игроков, где его изменение ограничивается в минимальной окрестности шагов дискретизации.
Представлено трьохетапний метод отримання наближеного розв’язку нескінченної антагоністичної гри на одиничному гіперкубі за допомогою індивідуальної рівномірної дискретизації ядра гри уздовж кожного з вимірів куба. Після дискретизації відповідно до запропонованих вимог здійснено взаємозворотне перетворення багатовимірної матриці гри у двовимірну матрицю, результатом чого є наближений розв’язок. Прийнятність цього розв’язку оцінюється за узгодженістю спектрів оптимальних стратегій гравців, де його зміна обмежується в мінімальному околі кроків дискретизації.
A three-stage method is presented for obtaining the approximate solution of the infinite antagonistic game on unit hypercube with specified uniform sampling of the game kernel along each of the cube dimensions. After the sampling in accordance with the suggested requirements is accomplished, mutually invertible reshaping of the game multidimensional matrix into the two-dimensional matrix is implemented, whereupon the approximate solution results. Admissibility of this solution is estimated over the consistency of the players’ optimal strategies supports, where its variation is restricted within minimal neighborhood of the sampling steps.
|
| first_indexed | 2025-11-28T11:58:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.832+514.752.44
Â.Â. Ðîìàíþê, êàíä. òåõí. íàóê
Õìåëüíèöêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 29016, Õìåëüíèöêèé, óë. Èíñòèòóòñêàÿ, 11,
òåë. (0382) 725237, e-mail: romanukevadimv@mail.ru)
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ
áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå ïðè èíäèâèäóàëüíîé
äèñêðåòèçàöèè â êàæäîì èç åãî èçìåðåíèé
Ïðåäñòàâëåí òðåõýòàïíûé ìåòîä ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãî-
íèñòè÷åñêîé èãðû íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå ñ ïîìîùüþ èíäèâèäóàëüíîé ðàâíîìåðíîé
äèñêðåòèçàöèè ÿäðà èãðû âäîëü êàæäîãî èç èçìåðåíèé êóáà. Ïîñëå äèñêðåòèçàöèè ñîãëàñ-
íî ïðåäëàãàåìûì òðåáîâàíèÿì âûïîëíåíî âçàèìîîáðàòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîìåð-
íîé ìàòðèöû èãðû â äâóõìåðíóþ ìàòðèöó, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷åíî ïðèáëèæåííîå
ðåøåíèå. Ïðèåìëåìîñòü ýòîãî ðåøåíèÿ îöåíèâàåòñÿ ïî ñîãëàñîâàííîñòè ñïåêòðîâ îïòèì-
àëüíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ, ãäå åãî èçìåíåíèå îãðàíè÷èâàåòñÿ â ìèíèìàëüíîé îêðåñòíîñòè
øàãîâ äèñêðåòèçàöèè.
Ïðåäñòàâëåíî òðüîõåòàïíèé ìåòîä îòðèìàííÿ íàáëèæåíîãî ðîçâ’ÿçêó íåñê³í÷åííî¿ àíòà-
ãîí³ñòè÷íî¿ ãðè íà îäèíè÷íîìó ã³ïåðêóá³ çà äîïîìîãîþ ³íäèâ³äóàëüíî¿ ð³âíîì³ðíî¿ äèñê-
ðåòèçàö³¿ ÿäðà ãðè óçäîâæ êîæíîãî ç âèì³ð³â êóáà. ϳñëÿ äèñêðåòèçàö³¿ â³äïîâ³äíî äî
çàïðîïîíîâàíèõ âèìîã çä³éñíåíî âçàºìîçâîðîòíå ïåðåòâîðåííÿ áàãàòîâèì³ðíî¿ ìàòðèö³
ãðè ó äâîâèì³ðíó ìàòðèöþ, ðåçóëüòàòîì ÷îãî º íàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê. Ïðèéíÿòí³ñòü
öüîãî ðîçâ’ÿçêó îö³íþºòüñÿ çà óçãîäæåí³ñòþ ñïåêòð³â îïòèìàëüíèõ ñòðàòåã³é ãðàâö³â, äå
éîãî çì³íà îáìåæóºòüñÿ â ì³í³ìàëüíîìó îêîë³ êðîê³â äèñêðåòèçàö³¿.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: áåñêîíå÷íàÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà, åäèíè÷íûé ãèïåðêóá, ìíî-
ãîìåðíàÿ ìàòðèöà, ñïåêòð îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, ñîãëàñîâàííîñòü ïðèáëèæåííîãî
ðåøåíèÿ.
Áåñêîíå÷íàÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà êàê ìîäåëü ðàöèîíàëüíîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ðåñóðñîâ. Ãëàâíîé ïðè÷èíîé âîçíèêíîâåíèÿ êîíôëèêòíûõ
ñèòóàöèé ÿâëÿåòñÿ ïðåîáëàäàíèå òðåáîâàíèé è çàïðîñîâ íàä âîçìîæíîñ-
òÿìè (ðåñóðñàìè). Ïðè ýòîì ó÷àñòíèêàìè (ñòîðîíàìè) êîíôëèêòîâ âûñòó-
ïàþò êàê îäóøåâëåííûå îáúåêòû, òàê è ïðîòèâîñòîÿùèå èì ïðèðîäíûå
ôàêòîðû èëè îáñòîÿòåëüñòâà (íåîïðåäåëåííîñòè) [1, 2]. Äëÿ ðàçðåøåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 33
�������� �
��
�
�� ���������� ��
� Â.Â. Ðîìàíþê, 2014
êîíôëèêòíûõ ïðîöåññîâ ïðèìåíÿåòñÿ òåîðèÿ èãð, ôóíäàìåíòàëüíîé ñîñ-
òàâëÿþùåé êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ òåîðèÿ àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãð [3, 4].
Àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðîâàÿ ìîäåëü ïîçâîëÿåò ñïðàâåäëèâî è ëîãè÷íî
ðàñïðåäåëÿòü ðåñóðñû, óñòðàíÿòü íåîïðåäåëåííîñòè â íàèáîëåå òðóäíî
ïðîãíîçèðóåìûõ ñèòóàöèÿõ, êîãäà ïðèìåíèì ìèíèìàêñíûé ïðèíöèï îï-
òèìàëüíîñòè.  áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ âîçìîæíîå äåéñòâèå (èëè êîíòð-
äåéñòâèå) îïèñûâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ïðè-
íèìàþò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðûõ èíòåðâàëîâ, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ïîëó÷àþòñÿ
áåñêîíå÷íûå èãðû íà åâêëèäîâûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ ðàçìåðíîñòüþ äâà è
áîëåå [5, 6].
Òèïè÷íûìè ïðèìåðàìè òàêèõ áåñêîíå÷íûõ àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãð
ÿâëÿþòñÿ ìîäåëè ðàöèîíàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ îãðàíè÷åííûõ ðåñóðñîâ
(â ÷àñòíîñòè, ïðîèçâîäñòâåííûõ ìîùíîñòåé) â óñëîâèÿõ ÷àñòè÷íîé íåîï-
ðåäåëåííîñòè, ïðåäëîæåííûå â [7, 8], ãäå èñïîëüçîâàí ñëó÷àé èãðû íà
åäèíè÷íîì êâàäðàòå, êîòîðûé áûë ðàññìîòðåí â ðàáîòå [3]. Ïîäîáíûå
èãðû íà åäèíè÷íûõ ãèïåðêóáàõ ðåøåíû ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ âûïóêëîñòè èõ
ÿäåð [9, 10]. Íî â ñëó÷àÿõ áîëåå îáùèõ, êîãäà ÿäðî èãðû íå îáëàäàåò íè
ñâîéñòâîì âûïóêëîñòè èëè âîãíóòîñòè, íè êàêîé-ëèáî äðóãîé õàðàêòåðíîé
îñîáåííîñòüþ, ñóùåñòâóåò ñðàâíèòåëüíî íåáîëüøîé ïåðå÷åíü ìåòîäîâ,
ïîçâîëÿþùèõ íàéòè ðåøåíèå èãðû àíàëèòè÷åñêè [3, 4, 11].
Ðåøåíèå áåñêîíå÷íûõ àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãð íà êîìïàêòàõ. Êàê
èçâåñòíî, ðåøåíèå êîíå÷íûõ àíòàãîíèñòè÷åñêèõ (ìàòðè÷íûõ) èãð îñó-
ùåñòâëÿåòñÿ ìåòîäàìè ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ [3, 4, 12]. Ëþáàÿ ìàò-
ðè÷íàÿ èãðà èëè, âîîáùå ãîâîðÿ, èãðà íà êîíå÷íîì ìíîæåñòâå ñèòóàöèé â
÷èñòûõ ñòðàòåãèÿõ âñåãäà èìååò ðåøåíèå (ïî êðàéíåé ìåðå, â ñìåøàííûõ
ñòðàòåãèÿõ), è ïðîáëåìà åãî îòûñêàíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ ëèøü âî âðåìåíè âû-
÷èñëåíèé (îïåðàöèé).
Áåñêîíå÷íûå èãðû äàæå â òðèâèàëüíûõ ïðèìåðàõ íå èìåþò ðåøåíèÿ
íè â ÷èñòûõ, íè â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ.  êà÷åñòâå ïðèìåðà ìîæíî
ïðèâåñòè êëàññ èãð íà îòêðûòîì åäèíè÷íîì êâàäðàòå, ÿäðà êîòîðûõ ÿâ-
ëÿþòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ [3].  îáîáùåí-
íîì ñëó÷àå ðàññìàòðèâàåòñÿ êëàññ èãð íà îòêðûòîì åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå,
ãäå ÿäðî êàæäîé èãðû ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé êîìáèíàöèåé êîìïîíåíò ÷èñòûõ
ñòðàòåãèé èãðîêîâ.
Åñëè èãðà íåïðåðûâíà è êîìïàêòíà (ò.å. åå ÿäðî çàäàíî íà êîìïàêòíîì
ìíîæåñòâå è èçìåðèìî), òî îíà èìååò ðåøåíèå, ïî êðàéíåé ìåðå, â ñìå-
øàííûõ, à òàêæå â �-îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ, ÿâëÿþùèõñÿ ñìåñÿìè êî-
íå÷íîãî ÷èñëà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé [3, 4, 12]. Âïîëíå îãðàíè÷åííàÿ èãðà òàêæå
èìååò ðåøåíèå â �-îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ, êîòîðîå â èçâåñòíîì ñìûñëå
Â.Â. Ðîìàíþê
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì, õîòÿ âî âïîëíå îãðàíè÷åííûõ èãðàõ ñóùåñòâóþò
�-îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ñ êîíå÷íûì ñïåêòðîì [3, 4, 12].
Åñëè ÿäðî èãðû ñóòü íåèçìåðèìàÿ ôóíêöèÿ èëè îíî çàäàåòñÿ íà íåêîì-
ïàêòíîì ìíîæåñòâå, ïðèõîäèòñÿ äîâîëüñòâîâàòüñÿ ïðèáëèæåííûì ðåøå-
íèåì [13]. Èçáàâèòüñÿ îò ïðèáëèæåííîñòè íå óäàñòñÿ ïðè äîïîëíåíèè
ìíîæåñòâ ÷èñòûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ òàê, ÷òîáû îíè ñîâïàäàëè ñ èõ çàìû-
êàíèÿìè (è ñîîòâåòñòâåííî ïðåâðàùàëèñü â êîìïàêòû), ïîñêîëüêó òàêîå
äîïîëíåíèå âûïîëíÿåòñÿ ñòðîãî äîìèíèðóåìûìè ÷èñòûìè ñòðàòåãèÿìè,
íå èçìåíÿþùèìè ñóòü ðåøåíèÿ [3, 13]. Îäíàêî åñëè ðåøåíèå è ñóùåñòâóåò
(íàïðèìåð, àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãð íà êîìïàêòàõ åâêëèäîâûõ êîíå÷íîìåð-
íûõ ïðîñòðàíñòâ), òî ýòî íå îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò èçâåñòíûé ñïîñîá
åãî íàõîæäåíèÿ.
Âíåäðåíèå ðåøåíèÿ â ôîðìå îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ñ áåñêîíå÷íûì
ñïåêòðîì âûçûâàåò êîíöåïòóàëüíûå òðóäíîñòè, òàê êàê òðåáóåò ìíîãî-
ðàóíäîâûõ ïîâòîðîâ èãðû âïëîòü äî íåîãðàíè÷åííîñòè [14]. Ïîýòîìó ïðè-
õîäèòñÿ çàíèìàòüñÿ èãðàìè, ïîëó÷àåìûìè âñëåäñòâèå ëèáî äèñêðåòèçàöèè,
ëèáî ïîñòðîåíèÿ �-ñåòåé äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ îãðàíè÷åííûõ èãð
[3, 13, 15]. Îäíàêî òàêèå èãðû íå âñåãäà ïðåâðàùàþòñÿ â ìàòðè÷íûå, ïî-
ñêîëüêó ïåðâîíà÷àëüíî ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ èãðîêà ìîæåò áûòü ìíîãîêîì-
ïîíåíòíîé.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàñïðîñòðàíåííîñòü àíòàãîíèñòè÷åñêèõ ìîäå-
ëåé íà êîìïàêòàõ åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ (áîëüøîé ðàçìåðíîñòè) è îò-
ñóòñòâèå àëãîðèòìèçèðîâàííîãî ïîäõîäà ê èõ ðåøåíèþ ìîòèâèðóåò èñ-
ñëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïåðåâîäà áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
â êîíå÷íóþ (ìàòðè÷íóþ). Ïîýòîìó öåëü ñîñòîèò â ðàçðàáîòêå ìåòîäà
òàêîãî ïåðåâîäà ñ ñîõðàíåíèåì âñåõ îñîáåííîñòåé ÿäðà èñõîäíîé áåñêî-
íå÷íîé èãðû. Äëÿ äîñòèæåíèÿ ýòîé öåëè íåîáõîäèìî â ïåðâóþ î÷åðåäü
âûïîëíèòü äèñêðåòèçàöèþ ÿäðà èãðû. Ïîñêîëüêó äèñêðåòèçàöèÿ íå ìîæåò
âûïîëíÿòüñÿ ïðîèçâîëüíî, ñëåäóåò óêàçàòü òðåáîâàíèÿ ê åå ïàðàìåòðàì, èç
êîòîðûõ ãëàâíûì ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå âûáîðà øàãà äèñêðåòèçàöèè.
Ïîñëå äèñêðåòèçàöèè ÿäðà èãðû ïîëó÷åííóþ ìíîãîìåðíóþ ìàòðèöó
íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü â îáû÷íóþ è òîãäà ïîëó÷åíèå ðåøåíèÿ ìàò-
ðè÷íîé èãðû êàê ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé íå ñîñòàâèò îñîáîãî
òðóäà (âîïðîñ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò ëåæèò â èíîé ïëîñêîñòè èññëå-
äîâàíèÿ òåîðèè èãð). Ïðè ýòîì ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîìåðíîé ìàòðèöû â
äâóõìåðíóþ äîëæíî áûòü îäíîçíà÷íûì è âçàèìîîáðàòèìûì. È, ïîñêîëü-
êó êà÷åñòâî ðåøåíèÿ îïðåäåëåíî ñòåïåíüþ äèñêðåòèçàöèè, ïðèíöèïèàëü-
íî âàæíî çíàòü, íàñêîëüêî áóäóò áëèçêè ðåøåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ øàãàõ
äèñêðåòèçàöèè. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èñõîäíîé
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 35
áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû äîëæíà áûòü óñòàíîâëåíà åãî ïðèåì-
ëåìîñòü (ñîâìåñòèìîñòü).
Äèñêðåòèçàöèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû. Ïóñòü ìíî-
æåñòâà ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ïåðâîãî è âòîðîãî èãðîêîâ ñóòü ãèïåðêóáû ñîîò-
âåòñòâåííî
U M
m
M
M� ��
�1
0 1[ ; ] ,� (1)
U N
n
N
N� ��
�1
0 1[ ; ] ,� (2)
ãäå M ��, N��. Ðàññìîòðèì àíòàãîíèñòè÷åñêóþ èãðó ñ èçìåðèìûì ÿäðîì
K ( , )X Y ïðè X�U M è Y�U N , ãäå X � ��[ ] ,xm M
M
1 � Y � ��[ ]yn N
N
1 � ,
îïðåäåëåííûì íà åäèíè÷íîì ( )M N� -ìåðíîì ãèïåðêóáå
U UM N
m
M
n
N
k
� �
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�� � �
� �1 1
0 1 0 1[ ; ] [ ; ]
�
�
�
�
��
�
�
��
�
1
0 1
M N
M N[ ; ] � . (3)
Ïîëó÷åííàÿ èãðà
U U KM N, , ( , )X Y (4)
èçîìîðôíà àíòàãîíèñòè÷åñêèì èãðàì ñ èçìåðèìûì ÿäðîì, îïðåäåëÿåìûì
íà êîìïàêòå â ïðîñòðàíñòâå �
M N� , â êîòîðîì ìíîæåñòâà ïåðâîãî è âòî-
ðîãî èãðîêîâ ÿâëÿþòñÿ êîìïàêòàìè ñîîòâåòñòâåííî â ïðîñòðàíñòâàõ �
M è
�
N. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÿäðî K ( , )X Y äèôôåðåíöèðóåìî ïî ëþáîé èç ïå-
ðåìåííûõ{{ } ,{ } }x ym m
M
n n
N
� �1 1 . Êðîìå òîãî, ñóùåñòâóþò ñìåøàííûå ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè K ( , )X Y ïî ëþáîé ñîâîêóïíîñòè ïåðåìåííûõ, êóäà
êàæäàÿ ïåðåìåííàÿ âõîäèò íå áîëåå îäíîãî ðàçà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü äèñêðåòèçàöèþ âäîëü êàæäîãî èç M èçìåðåíèé â
U M è êàæäîãî èç N èçìåðåíèé â U N ñ íåêîòîðûìè èíäèâèäóàëüíûìè
øàãàìè. Ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî øàã â êàæäîì èç M N� èçìåðåíèé áóäåò
íåèçìåííûì. Ðàçîáüåì m-å èçìåðåíèå ïðîñòðàíñòâà �
M ó ïåðâîãî èãðîêà
íà Lm èíòåðâàëîâ îäèíàêîâîé ìåðû (äëèíû), à n-å èçìåðåíèå ïðîñòðàíñòâà
�
N ó âòîðîãî èãðîêà — íà LM n� îäèíàêîâûõ èíòåðâàëîâ, m M�1, è n N�1, .
Óñëîâèìñÿ òàêæå îáÿçàòåëüíî âûáèðàòü òî÷êè ðàçáèåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ
êîíöàìè åäèíè÷íûõ ñåãìåíòîâ. Òîãäà ôîðìàëüíî Lk �� ïðè k M N� �1, ñ
ó÷åòîì ñàìîé «ãðóáîé» äèñêðåòèçàöèè äëÿ êàæäîãî èç èãðîêîâ. Òåïåðü â
m-ì èçìåðåíèè ó ïåðâîãî èãðîêà âìåñòî ñåãìåíòà [ ; ]0 1 çíà÷åíèé m-é êîì-
ïîíåíòû åãî ÷èñòîé ñòðàòåãèè X áóäåò ìíîæåñòâî òî÷åê
D L xm m m
s
s
Lm
m
mX
( ) { }� �
�
1
1, x
s
L
m
s m
m
m �
�1
� �m M1, . (5)
Â.Â. Ðîìàíþê
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
 n-ì èçìåðåíèè ó âòîðîãî èãðîêà âìåñòî ñåãìåíòà [ ; ]0 1 çíà÷åíèé n-é
êîìïîíåíòû åãî ÷èñòîé ñòðàòåãèè Y áóäåò ìíîæåñòâî òî÷åê
D L yn M n n
s
s
LM n
M n
M nY
( ) { }� �
�� �
�
�
1
1, y
s
L
n
s M n
M n
M n� �
��
�
1
� �n N1, . (6)
 ðåçóëüòàòå âûïîëíåííîé äèñêðåòèçàöèè ïîëó÷àåì êîíå÷íóþ àíòà-
ãîíèñòè÷åñêóþ èãðó, â êîòîðîé ïåðâûé è âòîðîé èãðîêè îáëàäàþò ìíî-
æåñòâàìè ÷èñòûõ ñòðàòåãèé ñîîòâåòñòâåííî
D D L x
m
M
m m
m
M
m
s
s
Lm
m
mX X� �� �
� � �
�
1 1
1
1( ) {{ } } (7)
è
D D L y
n
N
n M n
n
N
n
s
s
LM n
M n
M nY Y� �� �
�
�
� �
��
�
�
1 1
1
1( ) {{ } }.
(8)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â k-ì èçìåðåíèè ãèïåðêóáà (3) øàã äèñêðåòèçàöèè
ðàâåí Lk
�1, k M N� �1, . Òàêæå î÷åâèäíî, ÷òî ïîëó÷åííàÿ êîíå÷íàÿ àíòà-
ãîíèñòè÷åñêàÿ èãðà
D D K
X Y
X Y, , ( , ) , X
X�D , Y
Y�D (9)
åùå íå ÿâëÿåòñÿ, âîîáùå ãîâîðÿ, ìàòðè÷íîé âñëåäñòâèå ñòðóêòóðû åå ÿäðà,
îïðåäåëÿåìîãî íà ðåøåòêå D D
X Y� .
Òðåáîâàíèÿ ê âûáîðó øàãîâ äèñêðåòèçàöèè ÿäðà áåñêîíå÷íîé àíòà-
ãîíèñòè÷åñêîé èãðû (4). Åñòåñòâåííî, øàãè äèñêðåòèçàöèè { } ,Lk k
M N�
�
�1
1
èëè ÷èñëà { } ,L
k k
M N
�
�
1 íå ìîãóò âûáèðàòüñÿ ïðîèçâîëüíî. Èõ âûáîð, îïðå-
äåëÿþùèé ïåðåâîä èãðû (4) â èãðó (9) ïîñðåäñòâîì îòîáðàæåíèé ãèïåð-
êóáîâ (1) è (2) â ðåøåò÷àòûå ìíîæåñòâà (7) è (8), íå äîëæåí êîðåííûì
îáðàçîì ïîâëèÿòü íà ðåøåíèe èãðû (9), êîòîðîå îáÿçàíî áûòü «ïîõîæèì»
íà ðåøåíèå èãðû (4). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ñîõðàíÿòü âñå õàðàêòåðíûå
îñîáåííîñòè ÿäðà èñõîäíîé áåñêîíå÷íîé èãðû.
Òàêèå îñîáåííîñòè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé è ÷àñòíûå ëîêàëüíûå ýêñòðå-
ìóìû, è òî÷êè, ãäå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå íå ñóùåñòâóþò, è òî÷êè ðàçðûâà
ïåðâîãî èëè âòîðîãî ðîäà. Èíûìè ñëîâàìè, ïîñëå âûáîðà ÷èñåë{ }L
k k
M N
�
�
1 â
êàæäîì èç
m
M
mL
�
�
1
ñåãìåíòîâ
{{[ ; ]} }x xm
s
m
s
s
L
m
Mm m
m
m�
� �
1
1 1
(10)
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 37
è
n
N
M nL
�
��
1
ñåãìåíòîâ
{{[ ; ]} }y yn
s
n
s
s
L
n
NM n M n
M n
M n� �
�
��
� �
1
1 1
(11)
íå äîëæíî áûòü íè ÷àñòíûõ ëîêàëüíûõ ýêñòðåìóìîâ, íè òî÷åê, ãäå ÷àñòíûå
ïðîèçâîäíûå íå ñóùåñòâóþò, íè òî÷åê ðàçðûâà ïåðâîãî è âòîðîãî ðîäà.
Ñëåäîâàòåëüíî, íåïîñðåäñòâåííûì òðåáîâàíèåì ê âûáîðó øàãîâ äèñê-
ðåòèçàöèè ÿâëÿåòñÿ òàêîå óñëîâèå: äëÿ âñåõ s Lm m�1, è s LM n M n� ��1,
äîëæíî áûòü
�
� � � � � �
M N
M N
K
x x x y y y
�
�
( , )
... ...
X Y
1 2 1 2
0 èëè
�
� � � � � �
M N
M N
K
x x x y y y
�
�
( , )
... ...
X Y
1 2 1 2
0
� � �
x x xm m
s
m
sm m[ ; ]
1
, � � � � �
y y yn n
s
n
sM n M n[ ; ]
1
, m M�1, è n N�1, . (12)
Îäíàêî äàæå ïðè ñîáëþäåíèè óñëîâèÿ (12) ìîæåò ñëó÷èòüñÿ òàê, ÷òî
ïåðåâîä èãðû (4) â èãðó (9) íèâåëèðóåò îñîáåííîñòè ÿäðà èãðû, ñîïðÿ-
æåííûå ñ åãî áûñòðî îñöèëëèðóþùèìè çíà÷åíèÿìè â ïðåäåëàõ íåêîòîðûõ
ñåãìåíòîâ èç ìíîæåñòâ (10) è (11). Îòñþäà âûòåêàåò åùå îäíî âàæíîå
òðåáîâàíèå ê âûáîðó øàãîâ äèñêðåòèçàöèè ÿäðà èãðû: äëÿ âñåõ s Lm m�1, è
s LM n M n� ��1, äîëæíî áûòü
�
� � � � � �
�
M N
M N
K
x x x y y y
�
�
( , )
... ...
X Y
1 2 1 2
� � �
x x xm m
s
m
sm m[ ; ]
1
,
� � � � �
y y yn n
s
n
sM n M n[ ; ]
1
, m M�1, è n N�1, , (13)
ãäå � — äîïóñòèìàÿ ñêîðîñòü îñöèëëèðîâàíèÿ ÿäðà èãðû íà êàæäîì èç
ñåãìåíòîâ âî ìíîæåñòâàõ (10) è (11). Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà � âûáèðàåòñÿ èç
ïðàêòè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, îñíîâàííûõ íà ðàçìåðíîñòè çíà÷åíèé ÿäðà
èãðû, òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
� �� � �
�
� � �
�� � � �
max max ( , ) min min ( , )
X Y X Y
X Y X Y
U U U UM N M N
K K �,
ãäå ��{ , , , , , , , }0001 0005 001 005 , íî ýëåìåíòû ýòîãî ìíîæåñòâà ïðåäëîæåíû
â òðàäèöèîííîì ïåðå÷íå è ìîãóò áûòü èçìåíåíû, åñëè ýòî ïîòðåáóåòñÿ.
Îäíàêî îêîí÷àòåëüíûé âûáîð ÷èñåë { }L
k k
M N
�
�
1 è ïàðàìåòðîâ { , }� � çàâèñèò
îò òîãî, îêàæåòñÿ ëè âïîñëåäñòâèè ïðèåìëåìûì ðåøåíèå èãðû (9) â êà-
÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èãðû (4).
Â.Â. Ðîìàíþê
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
Âçàèìîîáðàòèìîå ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîìåðíîé ìàòðèöû àíòàãî-
íèñòè÷åñêîé èãðû (9) â äâóõìåðíóþ ìàòðèöó. Ïîñëå Lm
�1-äèñêðåòèçàöèè
m-ãî èçìåðåíèÿ ÷èñòîé ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà è LM n�
�1 -äèñêðåòèçàöèè
n-ãî èçìåðåíèÿ ÷èñòîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà âìåñòî ãèïåðïîâåðõíîñ-
òè K ( , )X Y íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå (3) ïîëó÷àåì ( )M N� -ìåðíóþ ìàò-
ðèöó P � [ ]pJ MN�
ôîðìàòà
�MN
k
M N
kL� ��
�
�
1
1( )
ñ èíäåêñàìè
J jk k
M N� �
�{ } 1 , j Lk k� �{ , }1 1 � � �k M N1, , (14)
åå ýëåìåíòîâ
p KJ � ( , )X Y , x L jm m m� ��1 1( ) � �m M1, ,
y L jn M n M n� ��
�
�
1 1( ) � �n N1, . (15)
Ïåðâûå M èíäåêñîâ { }j Jm m
M
� �1 ýëåìåíòà (15) ( )M N� -ìåðíîé ìàòðè-
öû P � [ ]pJ MN�
cîîòâåòñòâóþò êîìïîíåíòàì ÷èñòîé ñòðàòåãèè ïåðâîãî èã-
ðîêà, à ïîñëåäíèå N èíäåêñîâ{ }j JM n n
N
� � �1 ýëåìåíòà (15) — êîìïîíåíòàì
÷èñòîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà. Ïîýòîìó ( )M N� -ìåðíóþ ìàòðèöó
P � [ ]pJ MN�
ìîæíî ïåðåôîðìàòèðîâàòü (îñóùåñòâèòü åå ïðåîáðàçîâàíèå) â
îáû÷íóþ äâóõìåðíóþ
G � [ ]g uw �2
(16)
ôîðìàòà
�2
1 1
1 1� � � �
� �
�� �
m
M
m
n
N
M nL L( ) ( )
ñ ýëåìåíòàìè g puw j� , èíäåêñû êîòîðûõ èìåþò âèä
u L j m
m
M
m
m
M m M m� �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
� �
�
� � � �� �
1 1
1
1 1
1
1
1 1( ) ( (sign )) , (17)
w L j
n
N
n
n
M N n M N n� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
�
� � � � � �� �
1 1
1
1 1
1
1
1( ) ( sign ( ))n�1 . (18)
Òàêèì îáðàçîì, âìåñòî áåñêîíå÷íîé èãðû (4) ïðè óñëîâèÿõ (12) è (13)
äëÿ ÿäðà K ( , )X Y íà ãèïåðêóáå (3) ìîæíî ðàññìîòðåòü åå àïïðîêñèìàöèþ â
ôîðìå ìàòðè÷íîé �2-èãðû
{ ({ } )} , { ({ } )} ,z L z Lu m m
M
u
Q
w M n n
N
w
QX Y
G� � � � �1 1 1 1
1 2 , (19)
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 39
â êîòîðîé ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ z Lu m m
MX
({ } )�1 ïåðâîãî èãðîêà ñîîòâåòñòâóåò åãî
ñòðàòåãèè X â èñõîäíîé èãðå (4) ñ êîìïîíåíòàìè
{ ( )}x L jm m m m
M� ��
�
1
11 , Q L
m
M
m1
1
1� �
�
� ( ),
à ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ z Lw M n n
NY
({ } )� �1 âòîðîãî èãðîêà ñîîòâåòñòâóåò ñòðàòåãèè
Y â èãðå (4) ñ êîìïîíåíòàìè
{ ( )}y L jn M n M n n
N� ��
�
� �
1
11 , Q L
n
N
M n2
1
1� �
�
�� ( ) .
Ïî èíäåêñàì (17) è (18) ÷èñòûõ ñòðàòåãèé z Lu m m
MX
({ } )�1 è z Lw M n n
NY
({ } )� �1
äîëæíû îäíîçíà÷íî âîññòàíàâëèâàòüñÿ òî÷êè åäèíè÷íûõ ãèïåðêóáîâ (1)
è (2). Ýòî îñóùåñòâèìî ñ ïîìîùüþ ïåðåõîäà îò (17) ê èíäåêñàì{ }jm m
M
�1 è îò
(18) ê èíäåêñàì { }j M n n
N
� �1 âo ìíîæåñòâå (14). Òàêóþ âîçìîæíîñòü îáåñ-
ïå÷èâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà. Ïðåîáðàçîâàíèå ìíîãîìåðíîé ìàòðèöû P � [ ]pJ MN�
â äâóõ-
ìåðíóþ ìàòðèöó (16) âçàèìîîáðàòèìî.
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Ïóñòü ôóíêöèÿ ( , )a b âîçâðàùàåò äðîáíóþ
÷àñòü äðîáè a b/ . Òîãäà M-é (ïîñëåäíèé) èíäåêñ âo ìíîæåñòâå { }jm m
M
�1
îïðåäåëÿåòñÿ òàê:
j u L L u LM M M M� � � � � � ( , ) ( ) ( [ ( , )])1 1 1 1sign . (20)
Äëÿ îñòàëüíûõ M �1èíäåêñîâ èíäóêòèâíî ïîëó÷àåì
j
u j L j
M m
M
m
m
m
m
M m M
�
�
�
�
� �
� �
� � �
�
�
�
�
�
�
�
�� �
1
1
1 2
1
2
1
1
1
1
( ) ( �
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
m
m
m
M m
M m
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
)
( )
, (21)
ïðè m M� �1 1, . Àíàëîãè÷íî ïî èíäåêñó (18) ÷èñòîé ñòðàòåãèè z Lw M n n
NY
({ } )� �1
âîññòàíàâëèâàåòñÿ òî÷êà ãèïåðêóáà (2), èíäåêñû { }j M n n
N
� �1 êîòîðîé íàõî-
äÿòñÿ â òîì æå ïîðÿäêå, íà÷èíàÿ ñ ïîñëåäíåãî:
j w L L w LM N M N M N M N� � � �� � � � � � ( , ) ( ) ( [ ( , )])1 1 1 1sign , (22)
j M N n� � � �1
Â.Â. Ðîìàíþê
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
�
w j L jM N
n
n
n
n
M N n M N� � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�
�
�
� � � �� �
1 2
1
2
1
1
1
1 1( ) ( �
�
� � �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
n
n
n
M N n
M N n
L
L
1
1
1
1
1
1
1
1
)
( )
, (23)
ïðè n N� �1 1, . Èòàê, ñîîòíîøåíèÿ (17), (20), (21) óñòàíàâëèâàþò âçàèìî-
îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå) ïåðâîãî èíäåêñà êàæäîãî ýëå-
ìåíòà ìàòðèöû (16) è ïåðâûõ M èíäåêñîâ êàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû
P � [ ]pJ MN�
, à ñîîòíîøåíèÿ (18), (22), (23) óñòàíàâëèâàþò âçàèìîîäíîçíà÷-
íîå ñîîòâåòñòâèå (îòîáðàæåíèå) âòîðîãî èíäåêñà êàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðè-
öû (16) è ïîñëåäíèõ N èíäåêñîâ êàæäîãî ýëåìåíòà ìàòðèöû P � [ ]pJ MN�
.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Ñëàáàÿ ñîãëàñîâàííîñòü ñïåêòðîâ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé èãðî-
êîâ. Îáîçíà÷èì ðåøåíèå ìàòðè÷íîé �2-èãðû (19) ÷åðåç ìíîæåñòâî
{{ ( ({ } ))} , { ( ({ } ))}* *p z L q z Lu m m
M
u
Q
w M n n
N
w
X Y
� � � � �1 1 1 1
1 Q2 } , (24)
â êîòîðîì p z Lu m m
M
* ( ({ } ))
X
�1 — îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèìåíåíèÿ ïåð-
âûì èãðîêîì åãî ÷èñòîé ñòðàòåãèè z Lu m m
MX
({ } )�1 , à q z Lw M n n
N
* ( ({ } ))
Y
� �1 —
îïòèìàëüíàÿ âåðîÿòíîñòü ïðèìåíåíèÿ âòîðûì èãðîêîì åãî ÷èñòîé ñòðà-
òåãèè z Lw M n n
NY
({ } )� �1 . Òåïåðü íåîáõîäèìî óñòàíîâèòü, íàñêîëüêî ïðèåì-
ëåìî ðåøåíèå (24) ìàòðè÷íîé �2-èãðû (19), ÿâëÿþùåéñÿ àïïðîêñèìàöèåé
áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû (4). Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðîâåñòè
àíàëèç ñòðóêòóðû ðåøåíèÿ (24) è ïîðîæäàåìîãî èì îïòèìàëüíîãî çíà-
÷åíèÿ v Lk k
M N
* ({ } )�
�
1 â �2-èãðå (19).
Ïóñòü ñïåêòð îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà â �2-èãðå (19)
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî
{ ({ } )} , { }
* *({ } ) ({ }
z L u
u m m
M
i
Q L
i i
Q L
i
k k
M N
kX
� � �
�
�
1 1 1
1 1 1 k
M N
m
M
mL�
�
� �
�
��
�
�
���
�1 1 1
1
)
, ( ) , (25)
à ñïåêòð îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà â ýòîé æå èãðå — ìíîæåñòâî
{ ({ } )} , { }
* *({ } ) ({
z L w
w M n n
N
l
Q L
l l
Q L
l
k k
M NY
� � � �
�
�
1 1 1
2 1 2 k k
M N
n
N
M nL
} )
, ( )�
�
� �
�
��
�
�
���
��1 1 1
1
. (26)
Òîãäà îáà èãðîêà â ñâîèõ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèÿõ âî ìíîæåñòâå (24) îáëà-
äàþò íàáîðàìè íåíóëåâûõ âåðîÿòíîñòåé
{ ( ({ } ))}*
({ } )*
p z L
u m m
M
i
Q L
i
k k
M NX
� �
�
�
1 1
1 1 , (27)
{ ( ({ } ))}*
({ } )*
q z L
w M n n
N
l
Q L
l
k k
M NY
� � �
�
�
1 1
2 1 , (28)
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 41
íà êîòîðûõ è äîñòèãàåòñÿ îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå �2-èãðû (19):
v L g p z L qk k
M N
u
Q
w
Q
uw u m m
M
* *({ } ) ( ({ } ))�
�
� �
�� � �� �1
1 1
1
1 2
X
* ( ({ } ))z Lw M n n
NY
� � �1
� �
� �
�
�
�
�
� �
i
Q L
l
Q L
u w u
k k
M N
k k
M N
i l
g p z
1 1
1 1 2 1
* *({ } ) ({ } )
* (
i l
L q z Lm m
M
w M n n
NX Y
({ } )) ( ({ } ))*� � ��
�
�
�
�
�
�
�
�1 1 . (29)
Î÷åâèäíî, ÷òî ðåøåíèå (24) ìîæíî ñ÷èòàòü ïðèáëèæåííûì ðåøå-
íèåì èãðû (4) òîëüêî òîãäà, êîãäà ïðè ìèíèìàëüíîì óìåíüøåíèè øàãîâ
äèñêðåòèçàöèè { }Lk k
M N�
�
�1
1 ìîùíîñòü ñïåêòðà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè íå
óìåíüøèòñÿ:
Q L Q Lr k k
M N
r k k
M N* *({ } ) ({ } )� ��
�
�
�1 1 1 , r�{ , }1 2 . (30)
Ýòî ëèøü îäíî èç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé ïðèåìëåìîñòè ðåøåíèÿ (24).
Åùå îäíî óñëîâèå ïðèåìëåìîñòè, áîëåå åñòåñòâåííîå, ñëåäóþùåå: çíà-
÷åíèå íîâîé ìàòðè÷íîé èãðû, ïîëó÷àåìîé ìèíèìàëüíûì óìåíüøåíèåì
øàãîâ äèñêðåòèçàöèè { }Lk k
M N�
�
�1
1 , èçìåíÿåòñÿ îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèÿ (29)
íå áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå, åñëè áû øàãè äèñêðåòèçàöèè áûëè ìèíèìàëüíî
óâåëè÷åíû:
v L v L v L vk k
M N
k k
M N
k k
M N
* * *({ } ) ({ } ) ({ } )�
�
�
�
�
�� � � � �1 1 11 1 * ({ } )Lk k
M N
�
�
1 . (31)
Åñòåñòâåííî, óñëîâèé (30) è (31) íåäîñòàòî÷íî äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ
(24) â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èãðû (4). Íàïðèìåð, ïðè âûïîëíåíèè
íåðàâåíñòâà (30) çàïðåùàåòñÿ ïðèåìëåìîìó ðåøåíèþ óìåíüøàòü ñïåêòðàëü-
íîå íàïîëíåíèå â îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè êàæäîãî èç èãðîêîâ, îäíàêî ýòî íå
èíôîðìèðóåò î òîì, êàê èçìåíÿåòñÿ ñïåêòðàëüíîå íàïîëíåíèå ïðè ìèíè-
ìàëüíîì èçìåíåíèè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè. Ïðè ìèíèìàëüíîì óìåíüøåíèè
øàãîâ äèñêðåòèçàöèè ïëîòíîñòü òî÷åê ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè èõ âûáî-
ðà íà ñîîòâåòñòâóþùåì åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå â íåêîòîðûõ ìåñòàõ ìîæåò è
óìåíüøèòüñÿ, íåñìîòðÿ íà âûïîëíåííîå óñëîâèå (30).
Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáõîäèìû äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíå-
íèè êîòîðûõ îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ áóäóò äîñòàòî÷íî «áëèç-
êèìè», ïî êðàéíåé ìåðå, â íàèìåíüøèõ îêðåñòíîñòÿõ øàãîâ äèñêðåòèçà-
öèè { }Lk k
M N�
�
�1
1 . Äëÿ ôîðìóëèðîâêè ýòèõ óñëîâèé ðàññìîòðèì ëîìàíóþ
ãèïåðïîâåðõíîñòü h u Lk k
M N
1 1( ,{ } ),�
� âåðøèíàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ òî÷êè
{{ ( )} , ( ({ } ))}*L j p z Lm m m
M
u m m
M�
� ��1
1 11
X
Â.Â. Ðîìàíþê
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
â ïðîñòðàíñòâå �
M �1, è ëîìàíóþ h w L
k k
M N
2 1( , { } )�
� , âåðøèíàìè êîòîðîé
ÿâëÿþòñÿ òî÷êè
{{ ( )} , ( ({ } ))}*L j q z LM n M n n
N
w M n n
N
�
�
� � � ��1
1 11
Y
,
â ïðîñòðàíñòâå �
N �1.
Âûäåëèì íåíóëåâûå âåðøèíû ëîìàíûõ ãèïåðïîâåðõíîñòåé
h u L
k k
M N
1 1( ,{ } )�
� è h w L
k k
M N
2 1( ,{ } )�
� â êà÷åñòâå òî÷åê ãèïåðêóáîâ (1) è (2),
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìíîæåñòâàì (27) è (28). Ïðèìåíÿÿ îïåðàöèè îáðàòíîé
èíäåêñàöèè (20) — (23), èíäåêñó ui èç (27) ñîïîñòàâèì òî÷êó
X i k k
M N
m
i
k k
M N
ML x L({ } ) [ ({ } )]�
�
�
�
�� �1 1 1
� � ��
�
�
�[ ( ({ } ) )]L j L Um m
i
k k
M N
M M
1
1 11 , i Q Lk k
M N� �
�1 1 1, ({ } )* , (32)
à èíäåêñó wl èç (28) — òî÷êó
Yl k k
M N
n
l
k k
M N
NL y L({ } ) [ ({ } )]�
�
�
�
�� �1 1 1
� � ��
�
� �
�
�[ ( ({ } ) )]L j L UM n M n
l
k k
M N
N N
1
1 11 , l Q Lk k
M N� �
�1 2 1, ({ } )* . (33)
 äîïîëíåíèå ê ýòîìó âûïîëíèì ñîðòèðîâêó òî÷åê (32) è (33) äëÿ èõ
ïðåîáðàçîâàíèÿ âî ìíîæåñòâà
{ ({ } )}
* ({ } )
Xi k k
M N
i
Q L
L k k
M N
�
�
�
�
�
�1 1
1 1
� � ��
�
�
� �
�
�
{[ ( ({ } ) )] }
* ({ } )
L j Lm m
i
k k
M N
M i
Q Lk k
M N
1
1 1 1
1 1 1
� �
�
�
�
�
{ ({ } )}
* ({ } )
X i k k
M N
i
Q L
L k k
M N
1 1
1 1 , (34)
{ ({ } )}
* ({ } )
Yl k k
M N
l
Q L
L k k
M N
�
�
�
�
�
�1 1
2 1
� ��
�
� �
�
� �
�{[ ( ({ } ) )] }
* ({ }
L j LM n M n
l
k k
M N
N l
Q Lk k
M
1
1 1 1
1 2 1
�
�
N )
� �
�
�
�
�
{ ({ } )}
* ({ } )
Yl k k
M N
l
Q L
L k k
M N
1 1
2 1 (35)
òàê, ÷òîáû ìèíèìóì
min [ ({ }
{ , ({ } )}*i i Q L m
M
m m
i
k k
M
k k
M N
L j L
1 1 11 1
2
1
� � �
�
�
�
�
�
� N
m
i
k k
M Nj L) ({ } )]� �
�1
1
2 (36)
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 43
áûë äîñòèãíóò ïðè i i1 1� � äëÿ êàæäîãî i Q Lk k
M N� ��
�1 11 1, ({ } )* , à ìèíèìóì
min [ ({ }
{ , ({ } )}*l l Q L n
N
M n M n
l
k k
k k
M N
L j L
1 2 11 1
2
� � �
�
�
�
�
�
� �
�
� �
��1 1
21M N
M n
l
k k
M Nj L) ({ } )] (37)
äîñòèãàëñÿ ïðè l l1 1� � äëÿ êàæäîãî l Q Lk k
M N� ��
�1 12 1, ({ } )* . Äàëåå ìîæíî
îïåðèðîâàòü ïîíÿòèÿìè «áëèçîñòè» ñïåêòðîâ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé
èãðîêîâ (25) è (26), ïîäðàçóìåâàÿ ðàçëè÷íûå ìåòðèêè ôóíêöèîíàëüíûõ
ïðîñòðàíñòâ íà ãèïåðêóáàõ (1) è (2).
Îïðåäåëåíèå 1. Ðåøåíèå (24) ìàòðè÷íîé �2-èãðû (19) íàçûâàåòñÿ
ñëàáî ñîãëàñîâàííûì äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èãðû (4), åñëè âìåñòå ñ
íåðàâåíñòâàìè (30) è (31) âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
max
[ ({ }
{ , ({ } ) }*i Q L m
M
m
i
k k
M N
k k
M N
j L
� � � �
�
�
�
�
�
�
1 1 1 1
1
1 1
1 ) ({ } )]
( )
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�
�j L
L
m
i
k k
M N
m
1
1
2
2
1
1
�
� � �
�
�
�
�
�
�max [ ({ }
{ , ({ } ) }*i Q L m
M
m m
i
k k
M
k k
M N
L j L
1 1 1
2
1
1 1
N
m
i
k k
M Nj L) ({ } )] ,�
�
��
�
�
��
�
�
�1
1
2
max
[ ({ }
{ , ({ } ) }*l Q L n
N
M n
l
k k
M
k k
M N
j L
� � � �
� �
�
�
�
�
1 1 1 1
1
2 1
1 �
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
�
N
M n
l
k k
M N
M n
j L
L
) ({ } )]
( )
1
1
2
2
1
1
(38)
�
� � �
�
�
�
�
�
�max [ ({ }
{ , ({ } ) }*l Q L n
N
M n M n
l
k k
k k
M N
L j L
1 1 1
2
2 1
�
�
�
�
�
��
�
��
�
�
��
1
1
1
2M N
M n
l
k k
M Nj L) ({ } )] ,
íåðàâåíñòâà
h u L h u L
k k
M N
k k
M N
1 1 1 11( , { } ) ( , { } )�
�
�
�� � �
� � ��
�
�
�h u L h u L
k k
M N
k k
M N
1 1 1 11( ,{ } ) ( , { } ) ,
h w L h w L
k k
M N
k k
M N
2 1 2 11( , { } ) ( , { } )�
�
�
�� � �
(39)
� � ��
�
�
�h w L h w L
k k
M N
k k
M N
2 1 2 11( , { } ) ( , { } )
Â.Â. Ðîìàíþê
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
ñîîòâåòñòâåííî íà ãèïåðêóáàõ U M èU N è íåðàâåíñòâà
h u L h u L
k k
M N
k k
M N
1 1 1 11( , { } ) ( , { } )�
�
�
�� � �
� � ��
�
�
�h u L h u L
k k
M N
k k
M N
1 1 1 11( , { } ) ( , { } ) ,
h w L h w L
k k
M N
k k
M N
2 1 2 11( , { } ) ( , { } )�
�
�
�� � �
(40)
� � ��
�
�
�h w L h w L
k k
M N
k k
M N
2 1 2 11( , { } ) ( , { } )
ñîîòâåòñòâåííî â ïðîñòðàíñòâàõ � 2( )U M è � 2( )U N .
Âîïðîñ î òîì, ìîæíî ëè ñ÷èòàòü ïðèåìëåìûì ñëàáî ñîãëàñîâàííîå
ðåøåíèå, îñòàåòñÿ äèñêóññèîííûì. Ñ îäíîé ñòîðîíû, åñëè ðåøåíèå (24)
ìàòðè÷íîé �2-èãðû (19) ñëàáî ñîãëàñîâàíî, òî ïðè ìèíèìàëüíîì óìåíü-
øåíèè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè íè ìîùíîñòü ñïåêòðà îïòèìàëüíîé ñòðàòå-
ãèè, íè ïëîòíîñòü òî÷åê ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè èõ âûáîðà íà ñîîò-
âåòñòâóþùåì åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå ñîãëàñíî (38) íå óìåíüøèòñÿ. À ñîã-
ëàñíî (39) è (40) ïðè ìèíèìàëüíîì óìåíüøåíèè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè
ëîìàíàÿ ãèïåðïîâåðõíîñòü, àïïðîêñèìèðóþùàÿ ñïåêòðàëüíîå íàïîëíåíèå
îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè èãðîêà, èçìåíèòñÿ íå áîëüøå, ÷åì åñëè áû øàãè
äèñêðåòèçàöèè áûëè ìèíèìàëüíî óâåëè÷åíû. Ýòî æå êàñàåòñÿ è çíà÷åíèé
v Lk k
M N
* ({ } )� �
�1 1 è v Lk k
M N
* ({ } )� �
�1 1 «ñîñåäíèõ» ìàòðè÷íûõ èãð. Ñ äðóãîé ñòî-
ðîíû, íåèçâåñòíî, ÷òî ïðîèñõîäèò ñ ìîùíîñòÿìè ñïåêòðîâ îïòèìàëüíûõ
ñòðàòåãèé èãðîêîâ ïðè ìèíèìàëüíîì óâåëè÷åíèè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè.
Ñèëüíàÿ ñîãëàñîâàííîñòü ñïåêòðîâ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé èãðî-
êîâ. Ñëàáàÿ ñîãëàñîâàííîñòü ñîãëàñíî (30) è (38) ïðåäóñìàòðèâàåò óõîä
äèñêðåòèçàöèè «âïðàâî». Âèäèìî, åå ìîæíî óñèëèòü, ïðåäóñìîòðåâ òàêæå
è óõîä «âëåâî». Ïîòðåáóåì, ÷òîáû äëÿ ñèëüíî ñîãëàñîâàííîãî ðåøåíèÿ
ïðè ìèíèìàëüíîì óâåëè÷åíèè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè íè ìîùíîñòü ñïåêòðà
îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè, íè ïëîòíîñòü òî÷åê ñ íåíóëåâûìè âåðîÿòíîñòÿìè
èõ âûáîðà íà ñîîòâåòñòâóþùåì åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå íå óâåëè÷èëàñü.
Îïðåäåëåíèå 2. Ñëàáî ñîãëàñîâàííîå ðåøåíèå (24) ìàòðè÷íîé �2-èãðû
(19) íàçûâàåòñÿ ñîãëàñîâàííûì äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èãðû (4),
åñëè âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà
Q L Q Lr k k
M N
r k k
M N* *({ } ) ({ } )�
�
�
�� �1 11 , r�{ , }1 2 , (41)
max [ ({ }
{ , ({ } ) }*i Q L m
M
m m
i
k k
M N
k k
M N
L j L
� � �
�
�
�
�
�
�
1 1 1
2
1
1 1
) ({ } )]�
�
��
�
�
��
��
�
�j Lm
i
k k
M N1
1
2
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 45
�
�
� � � �
�
�
�
�
�max
[ ({ }
{ , ({ } ) }*i Q L m
M
m
i
k k
M
k k
M N
j L
1 1 1 1
1
1 1
1 N
m
i
k k
M N
m
j L
L
) ({ } )]
( )
� �
�
�
��
�
�
��
�
�
�1
1
2
2
1
1
,
max [ ({ }
{ , ({ } ) }*l Q L n
N
M n M n
l
k k
k k
M N
L j L
� � �
�
�
� �
�
�
�
1 1 1
2
2 1
1
1
1
2M N
M n
l
k k
M Nj L�
�
�
�
��
�
��
�
�
��
�) ({ } )]
(42)
�
�
� � � �
� �
�
�
�max
[ ({ }
{ , ({ } ) }*l Q L n
N
M n
l
k k
k k
M N
j L
1 1 1 1
1
2 1
1 M N
M n
l
k k
M N
M n
j L
L
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
��
) ({ } )]
( )
1
1
2
2
1
1
.
Âûïîëíÿåìûé ïîñðåäñòâîì äèñêðåòèçàöèè ïî (5) è (6) ïåðåâîä (îòîá-
ðàæåíèå) áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû (4) â ìàòðè÷íóþ èãðó (19)
ñîõðàíÿåò âñå îñîáåííîñòè ãèïåðïîâåðõíîñòè K ( , )X Y êàê ÿäðà èãðû íå
òîëüêî â ðåçóëüòàòå êîíòðîëÿ íåðàâåíñòâ (12) è (13), íî è ñ ïîìîùüþ
(ñëàáîé) ñîãëàñîâàííîñòè ðåøåíèÿ èãðû (19). Ôàêòè÷åñêè ïðîâåðêà óñëî-
âèé (30), (31), (38)—(42) äîïîëíÿåò òðåáîâàíèÿ ê âûáîðó øàãîâ äèñêðå-
òèçàöèè. Åñëè ïîëó÷åííîå ðåøåíèå íå îêàæåòñÿ õîòÿ áû ñëàáî ñîãëàñî-
âàííûì, øàãè äèñêðåòèçàöèè ïðèäåòñÿ óìåíüøèòü.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè óñëîâèå (12) äëÿ âñåõ s Lm m�1, è sM n� �
� �1, LM n âäîëü íåêîòîðûõ èçìåðåíèé ãèïåðêóáà (3) íåâûïîëíèìî, òî íà
ýòèõ èçìåðåíèÿõ êîíñòàíòû äèñêðåòèçàöèè ñëåäóåò óâåëè÷èòü íà åäèíèöó.
Âîîáùå ãîâîðÿ, òðåáîâàíèå (12) ìîæíî çàìåíèòü òðåáîâàíèåì (13), òàê êàê
÷àñòíûå ëîêàëüíûå ýêñòðåìóìû âäîëü èçìåðåíèÿ íåîáÿçàòåëüíî äîëæíû
ðàñïîëàãàòüñÿ â òî÷êàõ äèñêðåòèçàöèè, ÷òî áóäåò ïðèâîäèòü ê íåâûïîë-
íåíèþ òðåáîâàíèÿ (12).
Äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (24) èãðû (19) â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîãî ðå-
øåíèÿ èãðû (4) ñëåäóåò ïðîâåðèòü ñîãëàñîâàííîñòü ñïåêòðîâ îïòèìàëü-
íûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ, ñîñòàâëÿþùèõ ýòî ðåøåíèå. Ïðè ýòîì îñíîâíûå
âû÷èñëèòåëüíûå çàòðàòû áóäóò ñâÿçàíû ñ ñîðòèðîâêîé ìíîæåñòâ (34) è
(35) äëÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ ìèíèçàäà÷ (36) è (37). Íåçíà÷èòåëüíîå
ñîêðàùåíèå ýòèõ çàòðàò âîçìîæíî ïðè ðàöèîíàëüíîì âûáîðå íà÷àëüíîé
òî÷êè (ñì. ðèñóíîê à), íî äëÿ âïîëíå ñìåøàííûõ ñòðàòåãèé ýòî íåñó-
ùåñòâåííî (ñì. ðèñóíîê á).
Ïîñêîëüêó ñóùåñòâîâàíèå è ðàâåíñòâî ïðåäåëà
lim ({ } )
,
*
L
k M N
k k
M N
k
v L
!"
� � �
�
�
1
1
Â.Â. Ðîìàíþê
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
îïòèìàëüíîìó çíà÷åíèþ èñõîäíîé èãðû (4) íå äîêàçàíî, è ïîêà îòñóòñòâóåò
äîêàçàòåëüñòâî òîãî, ÷òî ëîìàíûå ãèïåðïîâåðõíîñòè
lim ( ,{ } )
,
L
k M N
k k
M N
k
h u L
!"
� � �
�
�
1
1 1
è
lim ( ,{ } )
,
L
k M N
k k
M N
k
h w L
!"
� � �
�
�
1
2 1
áóäóò ñêîëü óãîäíî áëèçêèìè â ñìûñëå ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèîíàëü-
íûõ ïðîñòðàíñòâ ê îïòèìàëüíûì ñòðàòåãèÿì èãðîêîâ â èñõîäíîé èãðå (4),
îáíàðóæåíèå ñîãëàñîâàííîñòè ñïåêòðîâ îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ
íå ãàðàíòèðóåò áåçóïðå÷íîñòè ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ [13]. Ïîýòîìó
ïðåæäå ÷åì âûïîëíÿòü ðåñóðñîåìêóþ ñîðòèðîâêó òèïà (34)—(37) äëÿ
ïðîâåðêè íåðàâåíñòâ (42), ñëåäóåò ïðîâåðèòü íàëè÷èå ñëàáîé ñîãëàñîâàí-
íîñòè. Ïåðåõîä ê ñîãëàñîâàííîñòè ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â ìèíè-
ìàëüíîé îêðåñòíîñòè øàãîâ äèñêðåòèçàöèè ìîùíîñòü ñïåêòðà îïòèìàëü-
íîé ñòðàòåãèè íå óáûâàåò è íàáëþäàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåå ðàñõîæäåíèå
ìåæäó ïëîòíîñòüþ òî÷åê ñïåêòðà îïòèìàëüíîé ñòðàòåãèè êàæäîãî èãðîêà.
Òåì íå ìåíåå, ïðèáëèæåííîñòü äàæå ñëàáî ñîãëàñîâàííîãî ðåøåíèÿ (24)
ïðàêòè÷åñêè áîëåå ðåàëèçóåìà, ÷åì áåñêîíå÷íûå ñïåêòðû [14].
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 47
Ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷è ñîðòèðîâêè ñïåêòðàëüíîãî íàïîëíåíèÿ (•) îïòèìàëüíîé ñìå-
øàííîé ñòðàòåãèè èãðîêà ñ 24-ýëåìåíòíûì ñïåêòðîì (à) è òðèâèàëüíîãî ðåøåíèÿ ýòîé
çàäà÷è äëÿ îïòèìàëüíîé âïîëíå ñìåøàííîé ñòðàòåãèè èãðîêà (á) â ïðîñòðàíñòâå �
2 ïðè
{ , }4 101 1� � -äèñêðåòèçàöèè ýòèõ ñòðàòåãèé
Âûâîäû
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ èãðû (4) íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå
(3) íåîáõîäèìî âûïîëíèòü { }Lk k
M N�
�
�1
1 -äèñêðåòèçàöèþ ïî (5) è (6) è, ïîëó-
÷èâ êîíå÷íóþ àíòàãîíèñòè÷åñêóþ èãðó (9), ïåðåéòè ê ìàòðè÷íîé �2-èãðå
(19), èñïîëüçóÿ äîêàçàííóþ òåîðåìó. Âûíóæäåííûé ïåðåâîä áåñêîíå÷íîé
àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû (4) íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå (3) â ìàòðè÷íóþ
�2-èãðó (19) ïîäðàçóìåâàåò íå òîëüêî íàõîæäåíèå ïðèáëèæåííîãî ðåøå-
íèÿ èãðû (4), íî è åãî ïðàêòè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ.
Ïðåäëàãàåìàÿ äèñêðåòèçàöèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
(4) íà åäèíè÷íîì ãèïåðêóáå (3) àêòóàëüíà è äëÿ íåèçìåðèìûõ ÿäåð
K ( , )X Y , äàæå åñëè íåêîòîðûå èç òðåáîâàíèé (12) è (13) îêàæóòñÿ íåâû-
ïîëíèìûìè. Òîãäà ïî ïðèáëèæåííîìó ðåøåíèþ èãðû (4) ìîæíî îöåíèòü
èñõîä ìîäåëèðóåìîãî êîíôëèêòà.
A three-stage method is presented for obtaining the approximate solution of the infinite antago-
nistic game on unit hypercube with specified uniform sampling of the game kernel along each of
the cube dimensions. After the sampling in accordance with the suggested requirements is ac-
complished, mutually invertible reshaping of the game multidimensional matrix into the two-di-
mensional matrix is implemented, whereupon the approximate solution results. Admissibility of
this solution is estimated over the consistency of the players’ optimal strategies supports, where
its variation is restricted within minimal neighborhood of the sampling steps.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìóøèê Ý., Ìþëëåð Ï. Ìåòîäû ïðèíÿòèÿ òåõíè÷åñêèõ ðåøåíèé: Ïåð. ñ íåì. — Ì. :
Ìèð, 1990. — 208 ñ.
2. Âîëîøèí Î.Ô., Ìàùåíêî Ñ.Î. Ìîäåë³ òà ìåòîäè ïðèéíÿòòÿ ð³øåíü: íàâ÷àëüíèé ïîñ³á-
íèê. — Êè¿â : ÂÏÖ «Êè¿âñüêèé óí³âåðñèòåò», 2010. — 336 ñ.
3. Âîðîáüåâ Í.Í. Òåîðèÿ èãð äëÿ ýêîíîìèñòîâ-êèáåðíåòèêîâ. — Ì. : Íàóêà, 1985. — 272 ñ.
4. Îóýí Ã. Òåîðèÿ èãð: Ïåð. ñ àíãë. Èçä. 2-å. — Ì. : Åäèòîðèàë ÓÐÑÑ, 2004. — 216 ñ.
5. Belenky A.S. A 3-person Game on Polyhedral Sets // Computers & Mathematics with Appli-
cations. — 1994. — Vol. 28, Iss. 5. — P. 53—56.
6. ßíîâñêàÿ Å.Á. Îá àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãðàõ, ðàçûãðûâàåìûõ íà ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñò-
ðàíñòâàõ // Ëèòîâñêèé ìàòåìàòè÷åñêèé ñáîðíèê. — 1967. — ¹ 3. — Ñ. 547—557.
7. Ðîìàíþê Â.Â. Ðåãóëÿðíà îïòèìàëüíà ñòðàòåã³ÿ ïðîåêòóâàëüíèêà ó ìîäåë³ ä³¿ íîðìî-
âàíîãî îäèíè÷íîãî íàâàíòàæåííÿ íà N-êîëîííó áóä³âåëüíó êîíñòðóêö³þ-îïîðó //
Ïðîáëåìè òðèáîëî㳿. — 2011. — ¹ 2. — Ñ. 111—114.
8. Ðîìàíþê Â.Â. Óçàãàëüíåíà ìîäåëü óñóíåííÿ ÷àñòêîâèõ íåâèçíà÷åíîñòåé ³ìîâ³ðí³ñ-
íîãî òèïó ÿê êîíòèíóàëüíà àíòàãîí³ñòè÷íà ãðà íà ( )2 2N � -âèì³ðíîìó ïàðàëåëåï³ïåä³ ç
ì³í³ì³çàö³ºþ ìàêñèìàëüíîãî äèñáàëàíñó // ³ñí. Õìåëüíèöüêîãî íàö³îíàëüíîãî óí³-
âåðñèòåòó. Òåõí³÷í³ íàóêè. — 2011. — ¹ 3. — Ñ. 45—60.
9. Romanuke V.V. Coming up at the Left Off-bound Projector Optimal Strategy in Support
Construction with Four Props under Unit-normed Uncertain Squeezes // Çá. íàóê. ïðàöü
²í-òó ïðîáëåì ìîäåëþâàííÿ â åíåðãåòèö³ ³ì. Ã.ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2011. —
Âèï. 60. — Ñ. 76—82.
Â.Â. Ðîìàíþê
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 4
10. Romanuke V.V. Optimal Strategies Continuum for Projecting the Four-mount Construction
under Interval Uncertainties with Incorrectly Pre-evaluated Two Left and One Right End-
points // Ðàä³îåëåêòðîí³êà, ³íôîðìàòèêà, óïðàâë³ííÿ. — 2012. — ¹ 1. — Ñ. 92—96.
11. ßíîâñêàÿ Å.Á. Òåîðåìû î ìèíèìàêñàõ äëÿ èãð íà åäèíè÷íîì êâàäðàòå // Òåîðèÿ âå-
ðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèÿ. — 1964. — 9, âûï. 3. — Ñ. 554—555.
12. Ïåòðîñÿí Ë.À., Çåíêåâè÷ Í.À., Ñåìèíà Å.À. Òåîðèÿ èãð: ó÷åá. ïîñîáèå äëÿ óí-òîâ. —
Ì. : Âûñøàÿ øêîëà, Êíèæíûé äîì «Óíèâåðñèòåò», 1998. — 304 ñ.
13. Âîðîáüåâ Í.Í. Îñíîâû òåîðèè èãð. Áåñêîàëèöèîííûå èãðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 496 ñ.
14. Romanuke V.V. Method of Practicing the Optimal Mixed Strategy with Innumerable Set in
its Spectrum by Unknown Number of Plays // Measuring and Computing Devices in Techno-
logical Processes. — 2008. — ¹ 2. — P. 196—203.
15. Ushakov V.N., Khripunov A.P. Approximate Construction of Solutions in Game-theoretic
Control Problems // J. of Applied Mathematics and Mechanics. — 1997. — Vol. 61, Iss. 3. —
P. 401 — 408.
Ïîñòóïèëà 14.01.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 06.03.14
ÐÎÌÀÍÞÊ Âàäèì Âàñèëüåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è
ñîöèàëüíîé èíôîðìàòèêè Õìåëüíèöêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà.  2001 ã. îêîí÷èë Òåõ-
íîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Ïîäîëüÿ (ã. Õìåëüíèöêèé). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäå-
ëèðîâàíèå êîíôëèêòíî-óïðàâëÿåìûõ ÿâëåíèé, ìåòîäû ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé è êëàññèôèêàöèè,
íåéðîñåòåâîå ìîäåëèðîâàíèå.
Ïðèåìëåìîñòü ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ áåñêîíå÷íîé àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 4 49
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101012 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T11:58:10Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Романюк, В.В. 2016-05-29T18:26:00Z 2016-05-29T18:26:00Z 2014 Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений / В.В. Романюк // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 4. — С. 33-49. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101012 519.832+514.752.44 Представлен трехэтапный метод получения приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе с помощью индивидуальной равномерной дискретизации ядра игры вдоль каждого из измерений куба. После дискретизации согласно предлагаемым требованиям выполнено взаимообратимое преобразование многомерной матрицы игры в двухмерную матрицу, в результате чего получено приближенное решение. Приемлемость этого решения оценивается по согласованности спектров оптимальных стратегий игроков, где его изменение ограничивается в минимальной окрестности шагов дискретизации. Представлено трьохетапний метод отримання наближеного розв’язку нескінченної антагоністичної гри на одиничному гіперкубі за допомогою індивідуальної рівномірної дискретизації ядра гри уздовж кожного з вимірів куба. Після дискретизації відповідно до запропонованих вимог здійснено взаємозворотне перетворення багатовимірної матриці гри у двовимірну матрицю, результатом чого є наближений розв’язок. Прийнятність цього розв’язку оцінюється за узгодженістю спектрів оптимальних стратегій гравців, де його зміна обмежується в мінімальному околі кроків дискретизації. A three-stage method is presented for obtaining the approximate solution of the infinite antagonistic game on unit hypercube with specified uniform sampling of the game kernel along each of the cube dimensions. After the sampling in accordance with the suggested requirements is accomplished, mutually invertible reshaping of the game multidimensional matrix into the two-dimensional matrix is implemented, whereupon the approximate solution results. Admissibility of this solution is estimated over the consistency of the players’ optimal strategies supports, where its variation is restricted within minimal neighborhood of the sampling steps. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений Article published earlier |
| spellingShingle | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений Романюк, В.В. Вычислительные процессы и системы |
| title | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| title_full | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| title_fullStr | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| title_full_unstemmed | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| title_short | Приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| title_sort | приемлемость приближенного решения бесконечной антагонистической игры на единичном гиперкубе при индивидуальной дискретизации в каждом из его измерений |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101012 |
| work_keys_str_mv | AT romanûkvv priemlemostʹpribližennogorešeniâbeskonečnoiantagonističeskoiigrynaediničnomgiperkubepriindividualʹnoidiskretizaciivkaždomizegoizmerenii |