Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью
Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высш...
Збережено в:
| Дата: | 2014 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101057 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101057 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1010572025-02-23T17:55:12Z Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью Integro-algorithmic method for computation the matrix logarithm with arbitrary accuracy Аристов, В.В. Математическое моделирование и вычислительные методы Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высших производных. В нем обобщены известные алгоритмы логарифмирования на основе формул Паде. В результате итерационных коррекций повышается их порядок и точность. Предложенные соотношения и программные решения позволяют определять необходимые параметры для организации процессов вычисления логарифмов матрицы с произвольно заданной высокой точностью. Запропоновано інтегро-алгоритмічний метод апроксимації та ітераційної корекції для обчислення з високою точністю логарифмів матриці. Метод базований на застосуванні лінійних багатокрокових формул чисельного інтегрування різницевого типу, а також різницево-диференціальних формул Обрешкова з урахуванням вищих похідних. В ньому узагальнено відомі алгоритми логарифмування на основі формул Паде. В результаті використання ітераційної корекції підвищується їх порядок і точність. Запропоновані співвідношення і програмні рішення дозволяють визначати необхідні параметри для організації процесів обчислення логарифмів матриці з довільно заданою високою точністю. The integro-algorithmic method of approximation and iteration correction for high-accuracy computation of matrix logarithms is proposed. The method is based on the use of linear multistep formulas of numerical integration of the difference type as well as the Obreshkov difference-differential formulas with allowance for higher derivatives. Due to iterations in this case there is not a necessity to choose a high-fidelity primary approximating formula and a basic criterion is a receipt of high-rate of convergence. In addition, the offered method summarizes the known algorithms of taking logs based on the Pade formulas of iteration corrections and increases their order and accuracy. The proposed relations and program solutions permit determining necessary parameters for organizing the processes of matrix logarithms calculations with arbitrary preset high accuracy. 2014 Article Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101057 051.3 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы Аристов, В.В. Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью Электронное моделирование |
| description |
Предложен интегро-алгоритмический метод аппроксимации и итерационной коррекции для вычисления с высокой точностью логарифмов матрицы. Метод основан на применении линейных многошаговых формул численного интегрирования разностного типа, а также разностно-дифференциальных формул Обрешкова с учетом высших производных. В нем обобщены известные алгоритмы логарифмирования на основе формул Паде. В результате итерационных коррекций повышается их порядок и точность. Предложенные соотношения и программные решения позволяют определять необходимые параметры для организации процессов вычисления логарифмов матрицы с произвольно заданной высокой точностью. |
| format |
Article |
| author |
Аристов, В.В. |
| author_facet |
Аристов, В.В. |
| author_sort |
Аристов, В.В. |
| title |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| title_short |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| title_full |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| title_fullStr |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| title_full_unstemmed |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| title_sort |
интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2014 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101057 |
| citation_txt |
Интегро-алгоритмический метод вычисления логарифма матрицы с произвольной точностью / В.В. Аристов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 3-15. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT aristovvv integroalgoritmičeskijmetodvyčisleniâlogarifmamatricysproizvolʹnojtočnostʹû AT aristovvv integroalgorithmicmethodforcomputationthematrixlogarithmwitharbitraryaccuracy |
| first_indexed |
2025-11-24T04:03:36Z |
| last_indexed |
2025-11-24T04:03:36Z |
| _version_ |
1849642992363634688 |
| fulltext |
ÓÄÊ 051.3
Â.Â. Àðèñòîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ-164, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4243251, å-mail: vasily@aristov.com)
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ
ëîãàðèôìà ìàòðèöû ñ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòüþ
Ïðåäëîæåí èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä àïïðîêñèìàöèè è èòåðàöèîííîé êîððåêöèè
äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñ âûñîêîé òî÷íîñòüþ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû. Ìåòîä îñíîâàí íà ïðè-
ìåíåíèè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ðàçíîñòíîãî òèïà,
à òàêæå ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë Îáðåøêîâà ñ ó÷åòîì âûñøèõ ïðîèçâîä-
íûõ. Â íåì îáîáùåíû èçâåñòíûå àëãîðèòìû ëîãàðèôìèðîâàíèÿ íà îñíîâå ôîðìóë Ïàäå. Â
ðåçóëüòàòå èòåðàöèîííûõ êîððåêöèé ïîâûøàåòñÿ èõ ïîðÿäîê è òî÷íîñòü. Ïðåäëîæåííûå
ñîîòíîøåíèÿ è ïðîãðàììíûå ðåøåíèÿ ïîçâîëÿþò îïðåäåëÿòü íåîáõîäèìûå ïàðàìåòðû
äëÿ îðãàíèçàöèè ïðîöåññîâ âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìîâ ìàòðèöû ñ ïðîèçâîëüíî çàäàííîé
âûñîêîé òî÷íîñòüþ.
Çàïðîïîíîâàíî ³íòåãðî-àëãîðèòì³÷íèé ìåòîä àïðîêñèìàö³¿ òà ³òåðàö³éíî¿ êîðåêö³¿ äëÿ
îá÷èñëåííÿ ç âèñîêîþ òî÷í³ñòþ ëîãàðèôì³â ìàòðèö³. Ìåòîä áàçîâàíèé íà çàñòîñóâàíí³
ë³í³éíèõ áàãàòîêðîêîâèõ ôîðìóë ÷èñåëüíîãî ³íòåãðóâàííÿ ð³çíèöåâîãî òèïó, à òàêîæ
ð³çíèöåâî-äèôåðåíö³àëüíèõ ôîðìóë Îáðåøêîâà ç óðàõóâàííÿì âèùèõ ïîõ³äíèõ.  íüîìó
óçàãàëüíåíî â³äîì³ àëãîðèòìè ëîãàðèôìóâàííÿ íà îñíîâ³ ôîðìóë Ïàäå.  ðåçóëüòàò³ âèêî-
ðèñòàííÿ ³òåðàö³éíî¿ êîðåêö³¿ ï³äâèùóºòüñÿ ¿õ ïîðÿäîê ³ òî÷í³ñòü. Çàïðîïîíîâàí³ ñï³ââ³ä-
íîøåííÿ ³ ïðîãðàìí³ ð³øåííÿ äîçâîëÿþòü âèçíà÷àòè íåîáõ³äí³ ïàðàìåòðè äëÿ îðãàí³çàö³¿
ïðîöåñ³â îá÷èñëåííÿ ëîãàðèôì³â ìàòðèö³ ç äîâ³ëüíî çàäàíîþ âèñîêîþ òî÷í³ñòþ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ëîãàðèôì ìàòðèöû, ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå, èíòåãðî-àëãî-
ðèòìè÷åñêèé ìåòîä, ìíîãîøàãîâûå ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ, ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè,
ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ.
Ïîíÿòèå ëîãàðèôìà ÷èñëà a, àëãîðèòì âû÷èñëåíèé òàêîãî ëîãàðèôìà è
íàáîð ñîîòâåòñòâóþùèõ òàáëèö ïðåäëîæåíû Äæîíîì Íåïåðîì â íà÷àëå
XVII âåêà. Íåñêîëüêî ïîçæå äðóãîé ìàòåìàòèê, Ãåíðè Áðèãñ, íà îñíîâå
èäåé Ä. Íåïåðà ðàçðàáîòàë óñîâåðøåíñòâîâàííûé àïïðîêñèìàöèîííûé
àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìîâ b a� ln è îïóáëèêîâàë âûñîêîòî÷íûå
òàáëèöû ñíà÷àëà ñ âîñåìüþ äîñòîâåðíûìè äåñÿòè÷íûìè öèôðàìè (â 1617 ã.),
à çàòåì — ñ 14 öèôðàìè (â 1624 ã.). Â 1633 ã. èì áûëè îïóáëèêîâàíû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 3
�����������
���
��
��
�����
�������
���
��������
��
� Â.Â. Àðèñòîâ, 2014
òàáëèöû äåñÿòè÷íûõ ëîãàðèôìîâ îò òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òàêàÿ
âûñîêàÿ òî÷íîñòü â òå âðåìåíà (áåç èñïîëüçîâàíèÿ êîìïüþòåðíûõ ñðåäñòâ)
áûëà äîñòèãíóòà â ðåçóëüòàòå ïðîñòîòû è ýôôåêòèâíîñòè ðàçðàáîòàííîãî
àëãîðèòìà. Ñóòü èñïîëüçîâàííîãî àëãîðèòìà âû÷èñëåíèé — ìàñøòàáèðîâà-
íèå ÷èñëà a ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ k îïåðàöèé èçâëå÷åíèÿ êâàäðàòíîãî êîð-
íÿ ~ /a a
k
� 1 2 , àïïðîêñèìàöèÿ ïðîñòåéøåé ôóíêöèåé F ëîãàðèôìà ln~ (~)a F a�
äëÿ ïðîìåæóòî÷íîé ïåðåìåííîé ~a è êîððåêöèÿ ýôôåêòà ìàñøòàáèðîâàíèÿ
b a ak� �ln ln~2 .
 ëîãàðèôìàõ ìàòðèöû âìåñòî ñêàëÿðíîãî çíà÷åíèÿ a èñïîëüçóåòñÿ
êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà A, ò.å. B A� ln . (Íàðÿäó ñ òåðìèíîì «ëîãàðèôì ìàòðè-
öû» â íàó÷íîé ëèòåðàòóðå èñïîëüçóåòñÿ òàêæå òåðìèí «ìàòðè÷íûé ëîãà-
ðèôì».) Ñóùåñòâóåò äîñòàòî÷íî ìíîãî ïðàêòè÷åñêèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ íå-
îáõîäèìîñòüþ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ, â îñíîâíîì äëÿ
ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ðàçëè÷íûõ äèñêðåòíûõ ïðîöåññîâ. Ìàòðè÷íûé ëîãà-
ðèôì íåêîòîðîé ìàòðèöû A — ýòî íåêîòîðàÿ ìàòðèöà B A� ln , ýêñïîíåíòà
êîòîðîé eB ýêâèâàëåíòíà èñõîäíîé ìàòðèöå A, ò.å. ìàòðè÷íûé ëîãàðèôì
åñòü îáðàòíàÿ ôóíêöèÿ îò ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû [1—4].
Íå âñå ìàòðèöû èìåþò ëîãàðèôì, à òå ìàòðèöû, êîòîðûå èõ èìåþò,
ìîãóò èìåòü íåñêîëüêî èëè äàæå áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî ëîãàðèôìîâ. B
êîìïëåêñíîé ïîñòàíîâêå ìàòðèöà èìååò ëîãàðèôì, åñëè è òîëüêî åñëè îíà
íåâûðîæäåííàÿ. Ëîãàðèôì íå åäèíñòâåííûé, íî åñëè ìàòðèöà íå èìååò
îòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë, òî îíà èìååò åäèíñò-
âåííûé ëîãàðèôì. Âåùåñòâåííàÿ ìàòðèöà A èìååò âåùåñòâåííûé ëîãà-
ðèôì B òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ó ìàòðèöû A ëèáî ñîâñåì íåò ýëåìåí-
òàðíûõ äåëèòåëåé, ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðèöàòåëüíûì õàðàêòåðèñòè÷åñêèì
÷èñëàì, ëèáî êàæäûé òàêîé ýëåìåíòàðíûé äåëèòåëü ïîâòîðÿåòñÿ ÷åòíîå
÷èñëî ðàç.
Ñóùåñòâóþò òî÷íûå àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ.
Åñëè A ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü â ýêâèâàëåíòíóþ äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó,
A V A V� �1 , ñîñòàâëåííóþ èç ñîáñòâåííûõ ÷èñåë � i , ãäå V — ìàòðèöà
ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ, òî, âû÷èñëèâ äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó lnA, ó êîòî-
ðîé aii i� ln� , ïîëó÷àåì B V A V A� � � �ln ln1= .
 ñëó÷àå, êîãäà A íå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â äèàãîíàëüíîì âèäå, åå ñ
ïîìîùüþ ïðåîáðàçóþùåé ìàòðèöû U, âûïîëíèâ âû÷èñëåíèÿ
~
A U AU� �1 ,
ñâîäÿò ê íîðìàëüíîé æîðäàíîâîé ôîðìå è äàëåå — ê âèäó
~
)A E K� � � + ,
ãäå E è K — åäèíè÷íàÿ è êâàçèäèàãîíàëüíàÿ íèëüïîòåíòíàÿ ìàòðèöû èç
ýëåìåíòîâ � i
�1. Òîãäà ïîëó÷àåì
B U A U U E
K
U A=
ss
m
ln
~
ln
( )
ln�
�
�
��
�
�
��
�
�� ��1
1
1
1� .
Â.Â. Àðèñòîâ
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàòðè÷íûõ ëîãàðèôìîâ òî÷íûìè ìåòîäàìè òðåáóåò-
ñÿ îïðåäåëåíèå ñîáñòâåííûõ ÷èñåë è ìàòðèöû ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ èëè
ïðåîáðàçóþùåé ìàòðèöû, àëãîðèòìû âû÷èñëåíèÿ êîòîðûõ äîñòàòî÷íî òðó-
äîåìêèå. Ïîýòîìó øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ àïïðîêñèìàöèîííûå ìåòîäû.
Ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå [5] ìåòîä îñíîâàí íà ðàçâèòèè óïîìÿíóòîãî
àëãîðèòìà Ã. Áðèãñà ïðèìåíèòåëüíî ê ìàòðè÷íîìó àðãóìåíòó ëîãàðèôìà.
Ïóñòü A� �
�
n n — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, íå èìåþùàÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë íà
�
� . Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó cíà÷àëà äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî öåëîãî s
èçâëåêàþò s ðàç êâàäðàòíûå êîðíè A
1 2/ s
, ÷òîáû ïðîìåæóòî÷íàÿ ìàòðèöà
A
1 2/ s
ñòàëà äîñòàòî÷íî áëèçêîé ê åäèíè÷íîé äèàãîíàëüíîé E. Çàòåì âûïîë-
íÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ ëîãàðèôìà îò ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ln ( )/
A
1 2s
âû-
÷èñëåíèåì rm
s
( )/
A E
1 2 � , ãäå rm — ïîëèíîì Ïàäå ïîðÿäêà [m/m] äëÿ
àïïðîêñèìàöèè ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè ln ( )1 x . Îêîí÷àòåëüíûé ðå-
çóëüòàò ïî ôîðìèðîâàíèþ ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà ñîîòâåòñòâóåò âûðàæå-
íèþ ln ( ) ( )/
A A E� �2 1 2s
mr
s
.
 ðàáîòàõ [3, 4] èçëîæåíû ìîäèôèêàöèè äàííîãî ìåòîäà äëÿ ïîâû-
øåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè âû÷èñëåíèé ëîãàðèôìà ìàòðèöû ñ çàäàííîé òî÷-
íîñòüþ ïîñðåäñòâîì ñáàëàíñèðîâàííîãî âûáîðà çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ s è
m, à òàêæå ôîðìèðîâàíèÿ êâàçè-âåðõíåòðåóãîëüíîé ìàòðèöû ìåòîäîì ðàç-
ëîæåíèÿ Øóðà [6].
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Äëÿ îáîáùåíèÿ âàðèàíòîâ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷-
íûõ ëîãàðèôìîâ íà îñíîâå ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ àïïðîêñèìà-
öèé, âêëþ÷àÿ àïïðîêñèìàöèè Ïàäå, è äîñòèæåíèÿ ïðîèçâîëüíîé òî÷íîñòè
ïðåäëàãàåòñÿ àïïðîêñèìàöèîííî-èòåðàöèîííûé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãà-
ðèôìîâ ìàòðèö íà îñíîâå ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåé èì àíàëèòè÷åñ-
êîé ìîäåëè, êîòîðûé íàçîâåì èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèì.
Ìàòðè÷íûå ëîãàðèôìû ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè íåïðåðûâíûõ
ìîäåëåé ðàçëè÷íûõ äèñêðåòíûõ ïðîöåññîâ: â ìàðêîâñêèõ ìîäåëÿõ [7], ïðè
ðåøåíèè ÑËÀÓ ìåòîäîì ïðîñòîé èòåðàöèè [8], äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ îáîá-
ùåííîé ìîäåëè ëèíåéíûõ ìíîãîøàãîâûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî èíòåãðèðî-
âàíèÿ (Ô×È) [9].  ðàáîòàõ [8, 9] ïðåäëîæåíû âàðèàíòû ñîîòíîøåíèé äëÿ
âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà B E G� ln ( )H , ïîëó÷åííûå íà îñíîâå
àäåêâàòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé îäíîøàãîâûõ ëèíåéíûõ ôîðìóë ÷èñëåííîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ.
Ìîäåëü äèñêðåòíîãî èíòåãðèðîâàíèÿ. Çàïèøåì â îáùåì âèäå ìíî-
ãîøàãîâóþ Ô×È ñ ïîñòîÿííûì øàãîì H, ó÷èòûâàÿ âûñøèå ïðîèçâîäíûå:
y a y c H fi
v n
n
v i v
s
m
v n
n
sv
s
i v
s
b
p
b
p
��
� ��
� � � �1
0
1 ( ) , (1)
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 5
ãäå y i j è f i j — äèñêðåòíûå çíà÷åíèÿ èíòåãðàëà, îïðåäåëÿåìûå äëÿ ti j �
� t i j H0 ( ) , è èñõîäíûå çíà÷åíèÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, f fi j i j � ( )0 ;
f
i j
s
( ) — s -ÿ ïðîèçâîäíàÿ ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè, s � 1 � m ; j — èíäåêñ
ó÷èòûâàåìûõ äèñêðåò íà êàæäîì øàãå âû÷èñëåíèé, j��nb � np ; a�, c0� , cs� —
âåñîâûå êîýôôèöèåíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ äèñêðåò.
×èñëåííîå ðåøåíèå îäíîðîäíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÎÄÓ) âèäà
� �Y AY, Y Y( )t0 0� (2)
ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (1) ìîæåò áûòü îïèñàíî íåïðåðûâíîé ìîäåëüþ íà
îñíîâå ñëåäóþùèõ êàíîíè÷åñêèõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé (ÊÏÔ):
ïðÿìîé —
S p
p
S p
p
H p
r
r
r r( ) ( )� �
�
�
�1 1
0
0
� ,
ñèñòåìíîé —
R P PR P P P( ) ( )� �
�
�
�0
0r
r
r rH� ,
(3)
îáðàòíîé —
G p pG p p H p
r
r
r r( ) ( )� �
�
�
�0
0
�
(èëè îáðàòíîé ñèñòåìíîé — G P PG P P P( ) ( )� �
�
�
�0
0r
r
r rH� ) [8,10]. Çäåñü
p — îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè, p
d
d t
r
r
r
��
� ; P � A — ìàòðè÷íûé
îïåðàòîð äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ÎÄÓ (2); � r , � r , � r — áåçðàçìåðíûå êîýô-
ôèöèåíòû ÊÏÔ äëÿ êîíêðåòíîé èòåðàöèîííîé ôîðìóëû (1). Ýòè êîýô-
ôèöèåíòû âçàèìîñâÿçàíû: îïðåäåëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî, íàïðèìåð �r, ìîæíî â
ñëó÷àå íåîáõîäèìîñòè ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèòü è îñòàëüíûå êîýôôè-
öèåíòû, ÷òî âûòåêàåò èç ñîîòíîøåíèé ìåæäó ôîðìàëüíûìè ñòåïåííûìè
ðÿäàìè ÊÏÔ:
S p G p
p
p R p
0 0
1
0
1
( ) ( )
[ ( )]
� ��
�
, R p
p G p
p
p S p
p
0
0
1
0
1 1
( )
[ ( )] [ ( )]
� �
� � �
,
G p S p
p R p
p
0 0
1 0
1
( ) ( )
[ ( )]
� ��
�
,
(4)
Â.Â. Àðèñòîâ
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ãäå � �� �1 1( ) / ( )x x — èíâåðñèÿ ðÿäà � ( )x , à �� ( )]x �1 — åãî îáðàùåíèå.
Ñõîäèìîñòü áåñêîíå÷íûõ ðÿäîâ è åå ñêîðîñòü çàâèñèò êàê îò ïàðàìåòðîâ
Ô×È, îïðåäåëÿþùèõ êîýôôèöèåíòû � r , � r è � r , òàê è îò âåëè÷èíû øàãà
èíòåãðèðîâàíèÿ è íîðìû A .
Ðåêóððåíòíàÿ ôîðìóëà äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ �r ëþáîé
Ô×È èç (1) èìååò âèä
�
��
r
v v
v
r l n
n
s
r r m
s
r
a
c
p
b
p
b
�
�
�
�
��
�� �
�
�
� �0
0
1
0
0! min{ , }
l
r r s
s
r r s r sl
r r s�
�
� �
�
��
� � � � � � �
� �
� � �
0
1 1
0
0 0 1
1
( )
( )!
�
�
�
��
�
�
�� �( )
( )!
( )
(
1 11
0 1
1
0
0
r
v v
v
r r
j
r
r j
j
r r
a
r
p
b
��
�
�
�
�
��
�
j
a
v v
v
r j
p
b
)!
�� 0 . (5)
Ñîîòâåòñòâóþùèé ýòîé ôîðìóëå âàðèàíò ïðîöåäóðû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ëþ-
áîãî íàáîðà êîýôôèöèåíòîâ ÊÏÔ íà ÿçûêå ìàòåìàòè÷åñêîãî ïàêåòà Maple
ïðèâåäåí â ðàáîòå [11].
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìûõ Ô×È (1) ôîðìàëüíûå ðÿäû ÊÏÔ ìîãóò áûòü
ïðåäñòàâëåíû è â ñâåðíóòîì âèäå. Òàê, äëÿ ðàçíîñòíûõ ôîðìóë áåç ó÷åòà
âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ (m = 0) çàïèøåì
S p p
c e
e a e
l n
n
l
l p
p
v n
n
v
v p
b
p
b
p
0
0
( ) �
�
��
��
�
�
, (6)
à äëÿ îäíîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È ñ ó÷åòîì âûñøèõ
ïðîèçâîäíûõ (m � 0) —
R p
p
c p
c p
s
m
s
s
s
m
s
s
0
0
0
1
0
1
1
1
1
1
( ) ln�
�
�
�
�
�
, (7)
ãäå p Hp� .
Èç ýòèõ âûðàæåíèé ïî âåñîâûì êîýôôèöèåíòàì a� , c�� è cs� Ô×È òàêæå
ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû íåîáõîäèìûå êîýôôèöèåíòû � r , � r è � r ÊÏÔ.
Îäíàêî äëÿ òàêèõ êîýôôèöèåíòîâ ïðè èòåðàöèîííûõ óòî÷íåíèÿõ áîëåå ïðåä-
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 7
ïî÷òèòåëüíû ÿâíûå àíàëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ. Íàïðèìåð, äëÿ êîýôôèöèåí-
òîâ � r ñèñòåìíîé ÊÏÔ îäíîøàãîâîé Ô×È Îáðåøêîâà ïðè m = 1
Y Y A Y Y A Y Yi i i i i i
H H
� �1 1
2
2
1
2 12
( ) ( ) (8)
äëÿ ëþáîãî r ñïðàâåäëèâà ÿâíàÿ ôîðìóëà
�
� �
r
r
r
r r
r
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
cos cos
( )
2 1
6 2
2 3 11
1
2
, (9)
à äëÿ ðàçíîñòíîé ôîðìóëû èíòåãðèðîâàíèÿ òðàïåöèè — ôîðìóëà p r2 �
� �4 2 1r r/ ( ).
Íà îñíîâå ñèñòåìíîé ÊÏÔ (3) ìîæåò áûòü ñôîðìèðîâàíà íîâàÿ ñèñ-
òåìà ÎÄÓ
�Y B Y= , Y Y( )t0 0� , B A�
�
�
�
r
r
r rp H
0
1, (10)
ðåøåíèå êîòîðîé â òî÷êàõ êâàíòîâàíèÿ xj ýêâèâàëåíòíî ðåøåíèþ ñèñòåìû
(2) ñ ïîìîùüþ èòåðàöèîííîé ôîðìóëû (1) ïðè ñîãëàñîâàííîì [9] âûáîðå
ó÷àñòêà ðàçãîíà. Ïîãðåøíîñòü àïïðîêñèìàöèè B äëÿ ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà
(10) ïðè óâåëè÷åíèè çíà÷åíèÿ r ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Êîýôôèöèåíòû � r ,� r è
� r çàâèñÿò îò ïàðàìåòðîâ Ô×È (1) è ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû êàê â
÷èñëåííîì, òàê è ñèìâîëüíîì âèäå. Ñîñòàâëåííàÿ èç ìèíèìèçèðóåìûõ
âûðàæåíèé äëÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé ñ íåîïðåäå-
ëåííûìè ïàðàìåòðàìè è íåîáõîäèìûìè äîïîëíèòåëüíûìè îãðàíè÷åíèÿ-
ìè ìîæåò ñòàòü îñíîâîé äëÿ ñèíòåçà Ô×È ñ æåëàåìûìè ñâîéñòâàìè.
Âàðèàíò ïðîãðàììíîé ðåàëèçàöèè ïðîöåäóðû SintERDF() íà ÿçûêå
Maple äëÿ ñèíòåçà ëþáîé ìíîãîøàãîâîé ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíîé
Ô×È (1) èìååò ñëåäóþùèé âèä:
SintERDF:=proc(W0::list) local W1,s,p1, FNI,rk,rmm,p0,fF,rm,
W,L,i,j,XY,YX,i1,j1,k, l,H; global nb, np, m, eC;
eC:=array(-1..m,-nb..np,[]): W1:=(sum(eC[-1,s],s=-nb..np)-1):
FNI:=proc(r::integer)
local sm,s,l; global m,nb,np,eC;
sm:=min(r,m): sum(sum(eC[s,l]*(l-1)**(r-s)/(r-s)!,s=0..sm),l=-nb..
np) + sum(eC[-1,l]*(1-l)**(r+1), l=-nb..np)*(-1)**(r+1)/ (r+1)!;
end proc: p1 := proc() nargs end proc:
rk:=(m+2)*(nb+np+1): rmm:=rk-p1(W0): p0:=-1: fF:=1:
while fF=1 do
rk:=rk-1: rm:=rmm+p0: eC:=array(-1..m,-nb..np,[]):
Â.Â. Àðèñòîâ
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
W:=map(FNI,[seq(L,L=0..rm)]): W:=[op(W),W0[],W1]:
XY:=seq(seq(eC[i,j],j=-nb..np),i=-1..m): YX:=solve(W,[XY]):
if nops(YX)=0 then p0:=p0-1
else fF:=0:
for i1 from -1 to m do for j1 from -nb to np do
k:=(i1+1)*(nb+np+1)+j1+nb+1;
eC[i1,j1]:=(sscanf(nprintf(“%q”, YX[1,k]),"%*s%*s%a"))[]:
if type(eC[i1,j1],indexed) then fF:=1: p0:=p0+1 end if:
end do: end do: end if:
if rk<1 then print(“Unsolved!”): fF:=0: end if:
end do:
end proc:
Èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ ýòîé ïðîöåäóðû ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðû ôîð-
ìóëû (1) nb = nb, np = np, m = m è ñïèñîê W0 ñ âîçìîæíûìè îãðàíè÷åíèÿìè
íà ñèíòåçèðóåìûå êîýôôèöèåíòû Ô×È, à â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì äâóìåð-
íûé ìàññèâ eC:=array(-1..m,-nb..np,[ ]) èç ñèíòåçèðóåìûõ êîýôôèöèåíòîâ a�
(â ïåðâîé ñòðîêå) è cs� (â ïîñëåäóþùèõ).
Ìàòðèöà B ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìû (10) çàâèñèò êàê îò ïàðàìåòðîâ
Ô×È, òàê è îò øàãà èíòåãðèðîâàíèÿ H.  äàëüíåéøåì â êà÷åñòâå òåñòîâîé
ìàòðèöû áóäåì èñïîëüçîâàòü ìàòðèöó Ãèëüáåðòà G, â êîòîðîé g i j, �
� �1 1/ ( )i j . Äëÿ íåå õàðàêòåðåí áîëüøîé äèàïàçîí çíà÷åíèé ñîáñòâåí-
íûõ ÷èñåë — ïðèáëèçèòåëüíî 101,5nG, ãäå nG — ðàçìåðíîñòü G. Íàïðèìåð,
ïðè nG = 12 êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà G èìååò ìàêñèìàëüíîå �max è ìèíèìàëü-
íîå �min ñîáñòâåííûå ÷èñëà, ðàâíûå ñîîòâåòñòâåííî 1,79537205956 è
1,0479463979 �10–16.
 ñëó÷àå ðåøåíèÿ ÎÄÓ (2) ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè ïðè A = G ñîáñòâåí-
íûå ÷èñëà ýêâèâàëåíòíîé ìàòðèöû B äåôîðìèðóþòñÿ (ñì. òàáëèöó). Åñ-
òåñòâåííî, ÷åì âûøå ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè èñïîëüçóåìîé Ô×È è ìåíü-
øå øàã èíòåãðèðîâàíèÿ H, òåì ìåíüøå èçìåíÿþòñÿ ñîáñòâåííûå ÷èñëà �
è, ñëåäîâàòåëüíî, òî÷íåå ôîðìèðóåòñÿ ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ èñõîä-
íîé ñèñòåìû (2).
 òàáëèöå ïðèâåäåíû äàííûå äëÿ ðàçíîñòíûõ Ô×È, ò.å. áåç èñïîëü-
çîâàíèÿ âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ (m = 0 â (1)).  ýòîì ñëó÷àå íà îñíîâå ïðÿ-
ìîé ÊÏÔ (6) ìîæíî çàïèñàòü òî÷íîå äðîáíî-ðàöèîíàëüíîå âûðàæåíèå
äëÿ ýêâèâàëåíòíîé ìàòðèöû B. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèå (4), ïîëó÷àåì
R p
p
e a e
c e
p
v n
n
v
vp
l n
n
l
l p
b
p
b
p
0
0
1
( ) �
�
!
"
"
"
"
"
#
$
%
%
%
��
��
�
� %
%
�1
.
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 9
Òîãäà äëÿ ìàòðè÷íîãî îïåðàòîðà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ P = A çàïèøåì
B A R A
A A A
=
e a e c eH
v n
n
v
vH
l n
n
l
l H
b
p
b
p
0
0
( ) �
�
�
�
�
�
�
�
�� ��
� �
�
�
�
�
�
�
!
"
"
#
$
%
%
� �1 1
H
,
ãäå, êàê è â (4), () –1 — èíâåðñèÿ âûðàæåíèÿ, à [] –1 — îáðàùåíèå.
Ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ. Äå-
ôîðìàöèÿ ìàòðèöû A â ýêâèâàëåíòíóþ ìàòðèöó B âñëåäñòâèå ïîãðåø-
íîñòåé àïïðîêñèìàöèè íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ íåäîñòàòêîì Ô×È. Ðåçóëüòàò B
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íåêîòîðóþ ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ îò A. Ýòî õî-
ðîøî âèäíî íà ïðèìåðå ìåòîäîâ Ýéëåðà è òðàïåöèè (ñì. òàáëèöó). Ïî-
ñêîëüêó ýòè ìåòîäû îäíîøàãîâûå, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ÊÏÔ (7):
B A R A
E A E A
=
c H c H
s
m
s
s
s
m
s
0
0
0
1
0
1
( )
ln ( ) ( )
�
�
��
�
�� �
�
�
� � s
H
�
�
��
�
��
�
�
�
�
�
�
1
1
,
îòêóäà ïðè m = 0 ñëåäóåò
B
E A E A
=
c H c H
H
ln (( ( )) ( ( )) ) � �
00 01
1
.
Òîãäà äëÿ ìåòîäà òðàïåöèè c00 = c10 = 1/2 ïîëó÷àåì
B
E A E A
A=
H / H /
H
H /
ln (( ) ( )) )
( )
�
�
�2 2
2 2
1
arth ,
Â.Â. Àðèñòîâ
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ïîãðåø-
íîñòü
Ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ
Ýéëåðà
(ÿâíûé)
Òðàïåöèÿ
Ìèëíà (4)
(ÿâíûé)
Àäàìñà (4)
(ÿâíûé)
Àäàìñà (4)
(íåÿâíûé)
Àäàìñà (5)
(íåÿâíûé)
&�max ïðè
H = 1/2
28,629448 –7,6658 3,1161 –0,9089 –0,3949
&�min ïðè
H = 1/2
–1,7728�10–13 –1,7392�10–15 3,90726�10–15 Íåò ñõî-
äèìîñòè
–3,4824�10–15 4,217�10–15
&�max ïðè
H = 1/4
17,395 –1,731 0,281 0,703 –0,0762 –0,020
&�min ïðè
H = 1/4
8,661�10–14 –8,288�10–16 2,278�10–16 5,988�10–16 –7,916�10–17 6,0155�10–18
Ïðèìå÷àíèå: (4) — ÷åòûðåõøàãîâàÿ Ô×È, (5) — ïÿòèøàãîâàÿ Ô×È.
Îòíîñèòåëüíàÿ äåôîðìàöèÿ (%) ñîáñòâåííûõ ÷èñåë �max è �min ìàòðèöû B
ò.å. ôîðìèðóåòñÿ ìàòðè÷íûé àíàëîã ñêàëÿðíîé îáðàòíîé ãèïåðáîëè÷åñêîé
ôóíêöèè. Ïðåäñòàâëåíèå ýòîé ôóíêöèè ñòåïåííûì ðÿäîì ñèñòåìíîé ÊÏÔ
äëÿ ìåòîäà òðàïåöèè ïðèíèìàåò âèä
B A A A= H / H
r
H
r
r
r r
r
r
r r2 2
4
2 10
1
0
2 2 1arth ( )
( )
� �
�
�
�
�
�
� �� .
Äëÿ ÿâíîé Ô×È Ýéëåðà c00 = 1 è c10 = 0. Òîãäà ïðè H = 1 ïîëó÷àåì
B E A= +ln ( ), ò.å. ôóíêöèþ ëîãàðèôìà ìàòðèöû (E + A). Ñëåäîâàòåëüíî,
ñèñòåìà ÎÄÓ (10), ÿâëÿþùàÿñÿ íåïðåðûâíîé ìîäåëüþ äèñêðåòíîãî ðåøå-
íèÿ ìåòîäîì Ýéëåðà,
Y Y A Yi i iH � 1 , H �1, (11)
èñõîäíîé ñèñòåìû ÎÄÓ (2) ñ ìàòðèöåé A = (C – E), èìååò ýêâèâàëåíòíóþ
ìàòðèöó B, ðàâíóþ ìàòðè÷íîìó ëîãàðèôìó C, ò.å. B C� ln ( ). Ïðåäñòàâ-
ëåíèå ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà ñòåïåííûì ðÿäîì ñèñòåìíîé ÊÏÔ Ô×È
Ýéëåðà ïðèíèìàåò âèä ðàçëîæåíèÿ â ñòåïåííîé ðÿä Ìåðêàòîðà:
B C E A A A= +
rr
r
r
r
r
rln ( ) ln ( )
( )
( )
� � �
�
�
�
�
�
� �
0
1
0
11
1
� . (12)
Åñëè íåâûðîæäåííàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà C óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ñó-
ùåñòâîâàíèÿ ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà è íîðìà A óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
ñõîäèìîñòè áåñêîíå÷íîãî ðÿäà (12), òî ýòîò ðÿä ñ ëþáîé çàäàííîé òî÷-
íîñòüþ ñõîäèòñÿ ê îäíîìó èç çíà÷åíèé ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà ln ( )C . Ê ñî-
æàëåíèþ, ðÿä (12) îáû÷íî ñõîäèòñÿ î÷åíü ìåäëåííî, ïîýòîìó âû÷èñëåíèå
ìàòðè÷íîãî ëîãàðèôìà ïî ôîðìóëå (12) íåäîñòàòî÷íî ýôôåêòèâíî.
Ñóùåñòâóåò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ Ô×È ñî çíà÷èòåëüíî
áîëåå áûñòðîé ñõîäèìîñòüþ ðÿäà B A=
r
r
r
�
�
�
0
1� , î ÷åì ñâèäåòåëüñòâóþò
ãðàôèêè, ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 1, ãäå òàêæå ïðèâåäåíû ãðàôèêè äëÿ îï-
òèìàëüíûõ ïî òî÷íîñòè âàðèàíòîâ ìíîãîøàãîâûõ Ô×È (1) ïðè m = 0.
Èç ðèñ. 1 âèäíî, ÷òî ñóùåñòâóþò Ô×È ñ âûñîêîé ñêîðîñòüþ óáûâàíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ� r . Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ðÿäà ìîæåò áûòü
âåñüìà âûñîêîé, îäíàêî ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèé B ïî (10) ñ íîâûìè êîýô-
ôèöèåíòàìè � r íå áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü èñêîìîìó ìàòðè÷íîìó ëîãà-
ðèôìó ln ( )C . Íåîáõîäèìî ïðåäâàðèòåëüíî îïðåäåëèòü ìàòðèöó A íåêîòî-
ðîé íîâîé ñèñòåìû ÎÄÓ
� �Y AY, Y Y( )t0 0� (13)
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 11
èñõîäÿ èç ýêâèâàëåíòíîñòè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íà îñíîâå Ô×È Ýéëåðà
ÎÄÓ (2) ñ ìàòðèöåé A è ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ÎÄÓ (13) ñ ïîìîùüþ èíîé
Ô×È, èìåþùåé áîëåå ïîäõîäÿùèå çíà÷åíèÿ � r äëÿ áûñòðîé ñõîäèìîñòè
ñòåïåííîãî ðÿäà B A C=
r
r
r
�
�
� �
0
1� ln ( ).
Çàïèøåì Ô×È (1) â ìàòðè÷íî-âåêòîðíîé ôîðìå äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ
ÎÄÓ (13):
Y Y A Yi
v n
n
v i v
s
m
v n
n
sv
s s
i v
b
p
b
p
a c H
��
� ��
� � � �1
0
1 1( ) . (14)
Ñèñòåìíàÿ ìàòðèöà B A=
r
H
r
r
r r( )
( )
�
�
�
� 1
10
1 ìîäåëè ðåøåíèÿ ÎÄÓ (2) ñ ïî-
ìîùüþ Ô×È Ýéëåðà (11) äîëæíà áûòü òîæäåñòâåííî ðàâíà ñèñòåìíîé
ìàòðèöå
B A= H
r
r
r r
�
�
�
0
1�
(15)
Â.Â. Àðèñòîâ
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ìåòîä Ýéëåðà
[ , ]1 1
[ , ]3 3
[ , ]4 4
[ , ]6 6
[ , ]8 8
[ , ]10 10
[ , ]12 12
[ , ]14 14
1kObr1
1Obr1
ln || ||�r
�10
0
�20
�30
�40
�50
�60
�70
�80
10 20 30 40 50 60 r
Ðèñ. 1. Ãðàôèêè ìîäóëåé êîýôôèöèåíòîâ �r â ëîãàðèôìè÷åñêîì ìàñøòàáå äëÿ ðàçëè÷íûõ
Ô×È: [nb, np] — ïîøàãîâûå èíòåðâàëû; 1Obr1 — Ô×È Îáðåøêîâà (8); 1kObr1 — ìîäè-
ôèöèðîâàííûé âàðèàíò îäíîøàãîâîé Ô×È ïðè m = 1
ìîäåëè ðåøåíèÿ ÎÄÓ (13) ñ ïîìîùüþ Ô×È (14) ñ áîëåå âûñîêèì ïîðÿä-
êîì ñõîäèìîñòè. Íî åñëè ñèñòåìíûå ìàòðèöû îäèíàêîâû, òî ïðè ÷èñëåí-
íîì èíòåãðèðîâàíèè, åñëè áû îíî âûïîëíÿëîñü, áûëè áû îäèíàêîâûìè è
ñîîòâåòñòâóþùèå îáåèì ñèñòåìàì êâàíòîâàííûå âåêòîðû Yi v . Íà ñàìîì
äåëå íåò íåîáõîäèìîñòè âûïîëíÿòü ÷èñëåííîå èíòåãðèðîâàíèå. Âîñïîëü-
çóåìñÿ ïîäñòàíîâêîé ðåøåíèÿ ìåòîäîì Ýéëåðà (11) âìåñòî ðåøåíèÿ Yi v â
(14). Êâàíòîâàííûé âåêòîð äëÿ ìåòîäà Ýéëåðà Y Y AYi i iH � 1 çàïèøåì â
âèäå Y E A Yi iH � 1 ( ) , ïðè ýòîì Y E A Yi v
v
iH � ( ) . Ïîñëå ïîäñòàíîâêè
ýòîãî âåêòîðà â (14), ïîëàãàÿ a1 = – 1, ïîëó÷àåì ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå
v n
n
v
v
s
m
v n
n
sv
s s
b
p
b
p
a H c H H
�� � ��
� � � ( ) ( )( )
E A A E A
0
1 1 v � 0, (16)
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé îò èñêîìîé ìàòðèöû A .
 çàâèñèìîñòè îò èñïîëüçóåìûõ â Ô×È (1) âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ, ñ
ó÷åòîì H �1, óðàâíåíèå (16) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå ñëåäóþùèõ
âàðèàíòîâ.
1. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíûõ Ô×È, ò.å. áåç âûñøèõ ïðîèçâîäíûõ
(m = 0):
A E A E A
v n
n
v
v
v n
n
v
v
b
p
b
p
c a
�� ��
� � �0 0( ) ( ) . (17)
2. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È ñ ïåðâîé
âûñøåé ïðîèçâîäíîé (m = 1):
A E A A E A
2
1 0
v n
n
v
v
v n
n
v
v
v n
n
v
b
p
b
p
b
p
c c a
�� �� ��
� � � ( ) ( ) (E A �)v 0. (18)
3. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ Ô×È ñ ïåðâîé è
âòîðîé âûñøèìè ïðîèçâîäíûìè (m = 2):
A E A A E A
3
2
2
1
v n
n
v
v
v n
n
v
v
b
p
b
p
c c
�� ��
� � ( ) ( )
�
�� ��
� �A E A E A
v n
n
v
v
v n
n
v
v
b
p
b
p
c a0 0( ) ( ) . (19)
Îñòàëüíûå âîçìîæíûå âàðèàíòû, ïî-âèäèìîìó, ïðàêòè÷åñêè íåöåëå-
ñîîáðàçíû äëÿ ôîðìèðîâàíèÿ ìîäèôèöèðîâàííîé ìàòðèöû A.
Ïðîäîëæåíèå ñòàòüè ñì. â ñëåäóþùåì íîìåðå.
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 13
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. — Ì. : Íàóêà, 1988. — 552 ñ.
2. Culver W. J. On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix // Proc. of the
American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 17, ¹ 5. — Ð. 1146 — 1151.
3. Al-Mohy A., Higham N. Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix
logarithm // SIAM J. Sci. Comput. — 2012. — Vol. 34, ¹ 4. — Ð. C.153 — C.169.
4. Cheng S. H., Higham N. J., Kenney C. S., Laub A. J. Approximating the logarithm of a matrix
to specified accuracy // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2001. — Vol. 22. — Ð. 1112—1125.
5. Kenney C., Laub A. Condition estimates for matrix functions // Ibid. — 1989. — Vol. 10. — P.
707— 730.
6. Kenney C., Laub A. A Schur-Frechet algorithm for computing the logarithm and exponential
of a matrix // Ibid.—1998. — Vol. 19, ¹ 3. — P. 640 — 663.
7. Higham N.J. Functions of matrices. Theory and computation// Society for Industrial and Ap-
plied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2008. — 425 p. — ISBN: 978-0- 89871-646-7
MR2396439 (2009b:15001) MR2396439.
8. Àðèñòîâ Â.Â. Ôóíêöèîíàëüíûå ìàêðîîïåðàöèè: Îñíîâû èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ. —
Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ.
9. Àðèñòîâ Â.Â. Ìîäåëü ìíîãîøàãîâûõ ðàçíîñòíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ ôîðìóë èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ó÷àñòêà ðàçãîíà // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2013. — 35,
¹ 6. — Ñ. 3—26.
10. Àðèñòîâ Â.Â. Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèå âû÷èñëåíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1980. —
192 ñ.
11. Àðèñòîâ Â.Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èòåðàöèîííûõ ñîîòíîøåíèé îáîáùåííûõ
CORDIC-àëãîðèòìîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2011. — 33, ¹ 1. — Ñ. 3—29.
12. Higham N.J. Evaluating Pade approximants of the matrix logarithm // SIAM J. Matrix Anal.
Appl. — 2001. — Vol. 22, ¹ 4. — P. 1126—1135.
V.V. Aristov
INTEGRO-ALGORITHMIC METHOD FOR COMPUTATION
THE MATRIX LOGARITHM WITH ARBITRARY ACCURACY
The integro-algorithmic method of approximation and iteration correction for high-accuracy
computation of matrix logarithms is proposed. The method is based on the use of linear multistep
formulas of numerical integration of the difference type as well as the Obreshkov difference-dif-
ferential formulas with allowance for higher derivatives. Due to iterations in this case there is not
a necessity to choose a high-fidelity primary approximating formula and a basic criterion is a re-
ceipt of high-rate of convergence. In addition, the offered method summarizes the known algo-
rithms of taking logs based on the Pade formulas of iteration corrections and increases their order
and accuracy. The proposed relations and program solutions permit determining necessary
parameters for organizing the processes of matrix logarithms calculations with arbitrary preset
high accuracy.
K e y w o r d s: matrix logarithms, numerical integration, integro-algorithmic method, multistep
formulas of integration, transfer function, equivalent transformations.
Â.Â. Àðèñòîâ
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
REFERENCES
1. Gantmacher F.R. The Theory of Matrices. — Moscow: Nauka, 1988. — 552 p. (in Russian).
2. Culver W.J. On the existence and uniqueness of the real logarithm of a matrix // Proc. of the
American Mathematical Society. — 1966. — Vol. 17, ¹ 5. — P. 1146—1151.
3. Al-Mohy A., Higham N. Improved inverse scaling and squaring algorithms for the matrix
logarithm // SIAM J. Sci. Comput. — 2012. — Vol. 34, ¹ 4. — P. C153—C169.
4. Cheng S.H., Higham N.J., Kenney C.S., Laub A.J. Approximating the logarithm of a matrix
to specified accuracy // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 2001. — Vol. 22. — P. 1112—1125.
5. Kenney C., Laub A. Condition estimates for matrix functions // Ibid. — 1989. — Vol. 10. — P.
707— 730.
6. Kenney C., Laub A. A Schur-Frechet algorithm for computing the logarithm and exponential
of a matrix // SIAM J. Matrix Anal. Appl. — 1998. — Vol. 19, ¹ 3. — P. 640—663.
7. Higham N.J. Functions of matrices. Theory and computation // Society for Industrial and Ap-
plied Mathematics. SIAM-2008. Philadelphia, 2008. — 425 p.
8. Aristov V.V. Functional macrooperation: basics of iterative algorithms. — Kiev: Nauk.
Dumka, 1992. — 280 p. (in Russian).
9. Aristov V.V. Model multistep difference-differential methods integration with regard to the
influence of the starting section // Electronic Modeling. — 2013. — Vol. 35, ¹ 6. — P. 3—
26 (in Russian).
10. Aristov V.V. Integro-algorithmic computations. — Kiev: Nauk. Dumka, 1980. — 192 p. (in
Russian).
11. Aristov V.V. Mathematical models of iterative relations generalized CORDIC-algorithms //
Electronic Modeling. — 2011. — Vol. 33, ¹ 1. — P. 3—29 (in Russian).
12. Higham N.J. Evaluating Pade approximants of the matrix logarithm // SIAM J. Matrix Anal.
Appl. — Vol. 22, ¹ 4. — P. 1126—1135.
Ïîñòóïèëà 18.06.14
ÀÐÈÑÒÎÂ Âàñèëèé Âàñèëüåâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â
ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ è ðåàëèçàöèÿ èòåðàöèîííûõ àëãîðèòìîâ ìàêðîîïåðà-
öèé, ÷èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñõåìîòåõíèêà è àðõèòåêòóðà
ñïåöèàëèçèðîâàííûõ óñòðîéñòâ, ãåîèíôîðìàöèîííûå ñèñòåìû, ðàäèîòåõíèêà.
Èíòåãðî-àëãîðèòìè÷åñêèé ìåòîä âû÷èñëåíèÿ ëîãàðèôìà ìàòðèöû
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 15
|