Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях
Для модели энергосистемы с импульсным воздействием и запаздывающим регулированием численно найдены оценки области асимптотической устойчивости в пространстве управляющих параметров с помощью разрывных матричных функций Ляпунова двух типов и условий Разумихина. Для моделі енергосистеми з імпульсною д...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2014 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101058 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 17-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859731656152186880 |
|---|---|
| author | Иванов, И.Л. |
| author_facet | Иванов, И.Л. |
| citation_txt | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 17-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Для модели энергосистемы с импульсным воздействием и запаздывающим регулированием численно найдены оценки области асимптотической устойчивости в пространстве управляющих параметров с помощью разрывных матричных функций Ляпунова двух типов и условий Разумихина.
Для моделі енергосистеми з імпульсною дією та керуванням з запізненням чисельно знайдено оцінки області асимптотичної стійкості в просторі керуючих параметрів за допомогою розривних матричних функцій Ляпунова двох типів та за умов Разуміхіна.
Estimations of the region of asymptotic stability in the space of control parameters are found for a power systemmodelwith pulse effects and delayed control by applying Lyapunov discontinuousmatrix functions and Razumikhin conditions. The piecewise exponential and piecewise linear functions were used as Lyapunov functions. Numerical estimations of stability regions in the space of control parameters were obtained by using each of these two types of Lyapunov functions. A comparison of the effectiveness of these two types of functions has been performed. The mechanisms of losing stability by the power system while varying its parameters are described.
|
| first_indexed | 2025-12-01T13:52:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ: 531.36
È.Ë. Èâàíîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò ìåõàíèêè èì. Ñ.Ï.Òèìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, óë. Ï.Íåñòåðîâà, 3,
òåë. (044) 4566140, å-mail: center@inmech.kiev.ua)
Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì
ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ
Äëÿ ìîäåëè ýíåðãîñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì è çàïàçäûâàþùèì ðåãóëèðîâà-
íèåì ÷èñëåííî íàéäåíû îöåíêè îáëàñòè àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè â ïðîñòðàíñòâå
óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ ñ ïîìîùüþ ðàçðûâíûõ ìàòðè÷íûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà äâóõ
òèïîâ è óñëîâèé Ðàçóìèõèíà.
Äëÿ ìîäåë³ åíåðãîñèñòåìè ç ³ìïóëüñíîþ 䳺þ òà êåðóâàííÿì ç çàï³çíåííÿì ÷èñåëüíî
çíàéäåíî îö³íêè îáëàñò³ àñèìïòîòè÷íî¿ ñò³éêîñò³ â ïðîñòîð³ êåðóþ÷èõ ïàðàìåòð³â çà äî-
ïîìîãîþ ðîçðèâíèõ ìàòðè÷íèõ ôóíêö³é Ëÿïóíîâà äâîõ òèï³â òà çà óìîâ Ðàçóì³õ³íà.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ýíåðãîñèñòåìà, ìåòîä Ëÿïóíîâà, çàïàçäûâàíèå, èìïóëüñíîå âîç-
äåéñòâèå, àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü.
Ó÷åò èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ â êëàññè÷åñêèõ ìîäåëÿõ [1] ñèñòåì
ýëåêòðîãåíåðàòîðîâ, ïîäêëþ÷åííûõ ê åäèíîé ýíåðãîñåòè (äàëåå áóäåì èõ
íàçûâàòü ýíåðãîñèñòåìàìè), ÿâëÿåòñÿ íîâûì ïåðñïåêòèâíûì íàïðàâëå-
íèåì èññëåäîâàíèÿ [2, 3]. Òàêîå îïèñàíèå ìîæåò áûòü óìåñòíûì â ñëó÷àå,
êîãäà ýíåðãîñèñòåìà ïîäâåðãàåòñÿ êðàòêîâðåìåííîìó âëèÿíèþ (êîòîðîå
îáû÷íî èìååò ðàçðóøàþùèé õàðàêòåð), ïðèâîäÿùåìó ê ðåçêîìó èçìåíå-
íèþ åå ñîñòîÿíèÿ.
Âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ òàêîé ñèñòåìû ìîæåò
áûòü êîððåêòíûì ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè ýòî ðàâíîâåñèå â ñèñòåìå ñó-
ùåñòâóåò, ò.å. îíî íå íàðóøåíî èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì.
 êà÷åñòâå ìåòîäà ðåãóëèðîâàíèÿ âûáðàí ïðîïîðöèîíàëüíî-äèôôå-
ðåíöèàëüíûé ðåãóëÿòîð ñ çàïàçäûâàíèåì. Íàëè÷èå çàïàçäûâàíèÿ â ðåãó-
ëÿòîðå ïîçâîëÿåò ó÷èòûâàòü òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî èíôîðìàöèÿ î ñîñòîÿ-
íèè ñèñòåìû, ó÷èòûâàåìàÿ ïðè åå êîððåêòèðîâêå, íå ïîñòóïàåò ìãíîâåííî.
Àíàëèç äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìîäåëåé ñèñòåì ýëåêòðîãåíåðàòîðîâ, â êî-
òîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ çàïàçäûâàíèå, ÿâëÿåòñÿ àêòóàëüíûì íàïðàâëåíèåì
èññëåäîâàíèé [4, 5].
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 17
� È.Ë. Èâàíîâ, 2014
Ìîäåëü è åå ïðåîáðàçîâàíèå. Ðàññìîòðèì óðàâíåíèÿ äèíàìèêè ýíåð-
ãåòè÷åñêîé ñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì
M
d
dt
P P Pi
i
mi ei i
2
2
�
�� � � , t k� � , k �,
� ( ) ( ), � ( ))� �
� � � �i k i i k i k
I� � , � ( ) ( )� � � �i k i k
� � , i n�1,..., ,
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè � �
i it t( ) )� , t r t t0 0� � � . Çäåñü M i — èíåð-
öèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ: � i — óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà i-ãî ãåíåðàòîðà; Pmi —
ïîñòîÿííûå, ñîîòâåòñòâóþùèå ìåõàíè÷åñêîé ìîùíîñòè íà âàëó ìàøèíû;
P Ci
n
� ( , )� � — óïðàâëåíèå ñ çàïàçäûâàíèåì, ðàâíûì r
0; � k
� — ñîêðà-
ùåííîå îáîçíà÷åíèå âûðàæåíèÿ�
k
� 0 , t k0 1� � � �� �... ..., k � ; lim
k
k
��
��� ;
I Cki
1 2( , )� � ; � i C r �1 0([ , ], )� ; Pei — àêòèâíûå ìîùíîñòè, îïðåäå-
ëÿåìûå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ
P E E Y E UYei
j
n
i j ij i j i i n i� � �
�
��
1
1sin ( ) sin,� � � ,
ãäå Ei — ý.ä.ñ. i-é ìàøèíû; Yii — ñîáñòâåííûå ïðîâîäèìîñòè ìàøèíû;
Yij — âçàèìíûå ïðîâîäèìîñòè, Y Yij ji� , i j n, , ...,�1 ; Yi n, �1 — ïðîâîäèìîñòü
i-ãî ãåíåðàòîðà ñ øèíàìè ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ; U — âåëè÷èíà íàïðÿ-
æåíèÿ, ïîñòóïàþùåãî ñ øèí.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äèíà-
ìèêè ýíåðãåòè÷åñêîé ñèñòåìû íå ñîäåðæèò äåìïôèðîâàíèÿ. Âìåñòå ñ òåì,
ïîñêîëüêó íàëè÷èå ïðîèçâîëüíîãî äåìïôèðîâàíèÿ íå ïðèâîäèò ê ïîòåðå
óñòîé÷èâîñòè, âñå îöåíêè, ïîëó÷åííûå äëÿ îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, àê-
òóàëüíû è äëÿ ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûì äåìïôèðîâàíèåì [6].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíû êîîðäèíàòû ðàâíîâåñèÿ � i
0, è ìîùíîñòè
íà âàëó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå P Pmi
j
n
ij�
�
�
1
, ãäå P E Bij i i i� sin ( )� 0 , è
P E E Bij i j ij i j� �sin ( )� �0 0 ïðè i j� . Ïîñëå ïåðåõîäà ê ïåðåìåííûì ïðè
âîçìóùåííîì äâèæåíèè è ëèíåàðèçàöèè áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñèñòåìó â
âèäå
M
d
dt
P x P x x a x t r b x ti
i
i i
j
j i
n
ij i j i i i
2
2
1
x
� � � � � �
�
�
� ( ) ( ) � ( �r), i n�1,..., , (1)
� ( ) ( ) � ( )x c x c xi k ki i k ki i k
� � �� � �1 2 , i n�1,..., , (2)
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
x t ti i( ) )��
, t r t t0 0� � � , (3)
È.Ë. Èâàíîâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ãäå cki1 è cki 2 — íåêîòîðûå äåéñòâèòåëüíûå ïîñòîÿííûå; ai , bi — ïàðà-
ìåòðû ïðîïîðöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî ðåãóëÿòîðà, i n�1,..., ; âåëè÷èíà
çàïàçäûâàíèÿ r óäîâëåòâîðÿåò îöåíêå 2 1r k k� ��� � , k �.
Îïèñàíèå ïîäõîäîâ. Èññëåäóåì óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû (1), (2) íà
îñíîâå ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà ñ ïðèìåíåíèåì óñëîâèé Ðàçóìèõèíà.
Ïðîâåäåì äåêîìïîçèöèþ. Â ñèñòåìå (1) íåçàâèñèìûå ïîäñèñòåìû îïè-
ñûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè
M
d x
dt
P x a x t r b x t ri
i
i i i i i
2
2
� � � � � �( ) � ( ), i �1 2 3, , ,
è ñâÿçè ìåæäó íèìè ïðåäñòàâëåíû ôóíêöèÿìè
g x x P x xi
j
j i
n
ij i j( , �) ( )� � �
�
�
�
1
, i n�1,..., .
Ñ ó÷åòîì äåêîìïîçèöèè ñèñòåìû (1) ðàññìîòðèì ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ
Ëÿïóíîâà U ( )x ñ êîìïîíåíòàìè v P x xij i j ij i j( , ) ( )x x � � 2, i j� , v ii i( )x �
� � �M x R x x P xi i i i i i i� �
2 22 . Îïðåäåëÿåìóþ íåêîòîðûì âåêòîðîì � �
n ñêà-
ëÿðíóþ ôóíêöèþ V UT
0( ) ( )x x�� � áóäåì ñòðîèòü äëÿ ñëó÷àÿ åäèíè÷íîãî
âåêòîðà � â âèäå
V v
i j
n
ij i j0
1
0( ) ( , )
,
,x x x� �
�
�
� � � � �
� �
�
� �
i
n
i i i i i i i i
i j
i j
n
ij iM x M R x x P x P x x
1
2 2
1
2( � � ) (
,
j )2,
ãäå Ri — íåêîòîðûå ïàðàìåòðû, i n�1,..., .
Íà îñíîâå ôóíêöèè V0( )x ïîñòðîèì ðàçðûâíóþ êóñî÷íî-ýêñïîíåí-
öèàëüíóþ ôóíêöèþ â âèäå
V t V ev t k
exp
( )( , ) ( )x x� �
0
� , t k k �[ , )� � 1 , k � 0, (4)
è êóñî÷íî-ëèíåéíóþ ôóíêöèþ â âèäå
V t V v t klin ( , ) ( ) ( ( ))x x� � �0 1 � , t k k �[ , )� � 1 , k � 0, (5)
ãäå � 0 0� t ; v
0 — íåêîòîðàÿ íåîïðåäåëåííàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ôóíêöèè (4) è
(5) ñ ïîëîæèòåëüíûì çíàêîì ïîñòîÿííîé v ïðèìåíÿþòñÿ â ñëó÷àå óñòîé÷è-
âîñòè íåïðåðûâíîé ìîäåëè ñèñòåìû, ÷òî èñêëþ÷àåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçà-
öèè åå èìïóëüñàìè. Åñëè èìïóëüñíîå âîçäåéñòâèå íîñèò ðàçðóøàþùèé õà-
ðàêòåð, òî òàêîå ïðåäïîëîæåíèå áóäåò åñòåñòâåííûì. ÔóíêöèèU ( )x èV0( )x
ïðèíàäëåæàò êëàññó ôóíêöèé �V0.
Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 19
Îïðåäåëåíèå. Ôóíêöèÿ v t x( , ) ïðèíàäëåæèò êëàññó �V0, åñëè âûïîë-
íÿþòñÿ óñëîâèÿ:
1) v t x( , ) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà íà ìíîæåñòâå
([ , ) \{ } )t r k k
n
0 � � � �
�
� ;
2) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ a êëàññà Õàíà òàêàÿ, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ îöåíêà
a x v t x b x(|| ||) ( , ) (|| ||)� � ïðè âñåõ ( , )t x n ��� � ;
3) ñóùåñòâóþò ïðåäåëû lim ( , ) ( , )
t k
k
v t x v x
� �
�
�
�
0
, lim ( , )
t k
v t x
� �
�
� 0
� �v xk( , )� 0 äëÿ âñåõ k �1 2, , ...
 òåðìèíàõ ôóíêöèé èç ýòîãî êëàññà ñôîðìóëèðóåì òðåáóåìûé ðåçóëü-
òàò. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì,
dx
dt
f t x i� ( , ), t k� � ,
x Ik k k
( ) ( )� �� � , t
k
�� , (6)
è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ
x t t( ) ( )�� 0 , t t r t �[ , ]0 0 , (7)
ãäå � k � � ïðè k � �. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà÷àëüíàÿ çàäà÷à (6), (7) èìååò
åäèíñòâåííîå ðåøåíèå íà [ , )t0 �� â êëàññå äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé ñ
íå áîëåå ÷åì ñ÷åòíûì ÷èñëîì òî÷åê ðàçðûâà.
Òåîðåìà [6]. Ïóñòü äëÿ ñèñòåìû (6) ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ v t x( , ) êëàññà
�V0 è ìîíîòîííàÿ ôóíêöèÿ g R R: � �� , g ( )0 0� , g s( )
0, s
0 òàêèå, ÷òî:
1)
d
dt
v t x t g v t x t( , ( )) | ( ( , ( )))� � , åñëè v t x t p v t x t( , ( )) ( ( , ( )))� �� äëÿ
� � �[ , ]r 0 (óñëîâèå Ðàçóìèõèíà), ãäå �
r 0, p s s( )
ïðè s
0, p ( )0 0� , p s( ) —
íåïðåðûâíà;
2) v x v x
k k k k
( , ( )) ( , ( ))� � � �� � .
Òîãäà ñèñòåìà (6) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà.
Áóäåì òðåáîâàòü âûïîëíåíèå óñëîâèé äàííîé òåîðåìû ê ïîñòðîåííûì
ôóíêöèÿì, çàïèñàâ èõ â âèäå
dV t t
dt
V t t
( , ( ))
( , ( ))
( )
x
x
1
� �� , t k� � , k �,
åñëè
V t t pV t t( , ( )) ( , ( ))x x
� �� � , � �2r , (8)
ãäå �
0; p ( , )0 1 — íåêîòîðûå ïàðàìåòðû; �2 02 0r r t t r� � � �[max{ , }, ), è
V Vk k k k( , ( )) ( , ( ))� � � �� � �0 0x x , k � . (9)
È.Ë. Èâàíîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ïîäñòàâèâ â (8) è (9) âûðàæåíèå (4) äëÿ êóñî÷íî-ýêñïîíåíöèàëüíîé
ôóíêöèè Vexp, ïîëó÷èì óñëîâèÿ äëÿ ôóíêöèè V0 ïðè t k k �( , )� � 1 :
dV t t
dt
V t t0
1
0
( , ( ))
( ) ( , ( ))
( )
x
x� � �� � , t k� � , k �,
åñëè V t pe V tv
0 0( ( )) ( ( ))x x
�� � , � �2r , ïðè � �k rt � �2 ; V t0( ( ))x
�� � � �pe V t
v tk k( ) )
( ( ))
� �
� � � �� 1
0 x , � �2r , ïðè � �k rt �2 , ãäå �� � �k k k� ��1 .
Íà ïîâåäåíèå ñèñòåìû â ìîìåíòû èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ íàëàãàåòñÿ
îãðàíè÷åíèåV e Vk
v
k
k k
0 00 1( ( )) ( ( ))
( )
x x� �� �� � � � , k �.
Äëÿ êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà ïîëó÷èì àíàëîãè÷íûå óñ-
ëîâèÿ â âèäå
dV t
dt v t
V t
k
0
1
0
1
( ( ))
( )
( ( ))
( )
x
x� � �
� �
�
�
��
!
""�
�
�
, t k� � , k �,
åñëè
V t p
v t
v t
V t0 0
1
1
( ( ))
( )
( )
( ( ))x x
� � �
� �
�
� �
�
� , � �2r , ïðè � �k rt��2 .
V t p
v t t
v t
V tk k
0
1
0
1
1
( ( ))
( ) )
( )
( (x x
� � � � � �
� �
��� � �
� � �
�
�
�)), � �2r ,
ïðè � �k rt �2 .
Óñëîâèÿ, ïðèìåíÿåìûå â ìîìåíòû èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ, ñëåäóþ-
ùèå:V v Vk k k0 00 0 1( , ( )) ( ) ( ( ))� � � �#� � � �x x , k �. Ïðîâåðêà ýòèõ óñëîâèé
ïðîâîäèòñÿ íà îñíîâàíèè îöåíîê, ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèÿì Ðàçóìè-
õèíà, ñ ïðèìåíåíèåì ìåòîäîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè, ýëåìåíòàð-
íûõ òîæäåñòâ òèïà Íüþòîíà—Ëåéáíèêà è äð. Ïðè ýòîì, èññëåäóÿ ïîâåäåíèå
ñèñòåìû âíå ìîìåíòîâ èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ, íåîáõîäèìî ðàññìàòðè-
âàòü íåñêîëüêî ñëó÷àåâ â çàâèñèìîñòè îò íàëè÷èÿ èìïóëüñîâ â «íåäàâíåì
ïðîøëîì» áåç êîíêðåòèçàöèè òîãî, êàêîå èìåííî íåäàâíåå ïðîøëîå ïîä-
ðàçóìåâàåòñÿ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî âåëè÷èíà 2r, óïîìèíàåìàÿ, íàïðèìåð,
â óñëîâèÿõ Ðàçóìèõèíà, ñîîòâåòñòâóåò âûáðàííîìó ìåòîäó äàëüíåéøèõ
îöåíîê è ïðè íåîáõîäèìîñòè ìîæåò áûòü çàìåíåíà ïðîèçâîëüíûì ïîëî-
æèòåëüíûì ÷èñëîì. Óñëîâèå 2 1r k k� ��� � , k �, òàêæå òðåáóåòñÿ äëÿ âû-
ïîëíåíèÿ íåêîòîðûõ èñïîëüçóåìûõ îöåíîê è ìîæåò áûòü äðóãèì äëÿ
äðóãèõ îöåíîê.
×èñëåííûå ðåçóëüòàòû. Ïðèìåíåíèå êàæäîãî èç äâóõ ïðåäëîæåí-
íûõ ïîäõîäîâ ïðèâîäèò ê äîñòàòî÷íî ãðîìîçäêîé ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ñ
äâóìÿ íåèçâåñòíûìè. Ñîâìåñòèìîñòü ýòîé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ÿâëÿåòñÿ
Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 21
äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èñõîäíîé ýíåð-
ãîñèñòåìû.
×èñëåííîå èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè ýíåðãîñèñòåìû ïðîâåäåíî â
ïðîñòðàíñòâå óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ a è b (ðèñ. 1). Ïðè ïîñòðîåíèè
îöåíîê îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè èñïîëüçîâàíû òðè ãðàäàöèè ñåðîãî öâåòà:
òåìíî-ñåðûé — äëÿ îöåíêè, íàéäåííîé íà îñíîâå êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíê-
öèè, ñåðûé — äëÿ îöåíêè, íàéäåííîé íà îñíîâå êóñî÷íî-ýêñïîíåíöèàëü-
íîé ôóíêöèè, è ñâåòëî-ñåðûé — äëÿ îöåíêè îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû
áåç èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ, èññëåäóåìîé ñ ïîìîùüþ êëàññè÷åñêîãî óñëî-
âèÿ Ðàçóìèõèíà è ôóíêöèè V0, âçÿòîé â êà÷åñòâå ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Ïî-
È.Ë. Èâàíîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðèñ. 1. Îáëàñòü àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (1), (2) â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåò-
ðîâ a, b ïðè � � 3, M i �1, P Pi ij� �1, i �1 2 3, , , c ik2 1� , i j, , ,�1 2 3, k ��
ñêîëüêó îáëàñòè âêëàäûâàþòñÿ îäíà â äðóãóþ, ïåðåêðûòèå íåñêîëüêèõ
îáëàñòåé îêðàøèâàåòñÿ öâåòîì áîëåå òåìíîé îáëàñòè.  ÷àñòíîñòè, â èñ-
ñëåäîâàííûõ ñëó÷àÿõ îöåíêà îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷àåìàÿ íà îñíîâå
êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, îêàçûâàåòñÿ íå ëó÷øå, ÷åì îöåíêà,
ïîëó÷åííàÿ íà îñíîâå êóñî÷íî-ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè.
Ïðè âîçðàñòàíèè âåëè÷èíû çàïàçäûâàíèÿ r ïîñòðîåííûå îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè áóäóò ñóæàòüñÿ.  ÷àñòíîñòè, èç âèäà íàéäåííûõ àíàëèòè-
÷åñêèõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ñëåäóåò, ÷òî ïðè r � 0 îáëàñòü óñòîé÷èâîñ-
òè â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ a è b óâåëè÷èâàåòñÿ íåîãðàíè÷åííî. Êðîìå
òîãî, ñóùåñòâóåò òàêîå r0 0� , ïðè êîòîðîì âûïîëíåíèå íåðàâåíñòâà r r� 0
ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî îöåíêà îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííàÿ ëþáûì èç
ìåòîäîâ, îêàçûâàåòñÿ ïóñòûì ìíîæåñòâîì. Ðàññìîòðèì ýòè îñîáåííîñòè
ïîäðîáíåå.
Ïðè r � 0 19, (è íåèçìåííûõ îñòàëüíûõ ïàðàìåòðàõ) ïîëó÷èì îöåíêó
îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 1, â. Çäåñü îïóùåíà îöåíêà
îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíîé ÷àñòè. Âìåñòå ñ òåì, îöåíêà íà îñíîâå
êóñî÷íî-ëèíåéíîé ôóíêöèè áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ïóñòîå ìíîæåñòâî.
Åñëè r �0 01, , òî îöåíêà îáëàñòè ïðèìåò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 1, ã.
Åñëè a �0, b � �0 6, , òî ïðè êîíôèãóðàöèè ïàðàìåòðîâ, ïðåäñòàâëåííîé íà
ðèñ. 1, â, äëÿ íåêîòîðûõ íà÷àëüíûõ äàííûõ ïîëó÷èì äèíàìèêó (ðèñ. 2, à),
ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷èñëåííîìó ðåøåíèþ ñèñòåìû (1), (2), ïîñòðîåííîìó
ìåòîäîì Ðóíãå—Êóòòû, ìîäèôèöèðîâàííûì äëÿ ñèñòåìû ñ èìïóëüñàìè è
çàïàçäûâàíèåì. Íà÷àëüíûå äàííûå íà îòðåçêå [ , ]�r 0 — ïîñòîÿííûå.
Êàê èçâåñòíî èç îáùåé ëèíåéíîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè [7], äëÿ àñèìï-
òîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (1) áåç ó÷åòà èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ
ïðè r �0 íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì ÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèé bi � 0,
P ai i� �0, i � 1 2 3, , .
Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 23
Ðèñ. 2. Ðåøåíèå ñèñòåìû (1), (2) ïðè a � 0, � � 3, M i �1, P Pi ij� �1, i �1 2 3, , , c ik1 0 1� , , c ik2 1� ,
i j, , ,�1 2 3, k �
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, îáîáùåííûå íà ñëó÷àé ñ çàïàçäûâàíèåì ëè-
áî ñ èìïóëüñàìè è çàïàçäûâàíèåì, ñâèäåòåëüñòâóþò î ñóæåíèè îáëàñòè
óñòîé÷èâîñòè, êîòîðàÿ, êðîìå òîãî, ïåðåñòàåò áûòü íåîãðàíè÷åííîé.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ìåõàíèçìîâ ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè, êîòîðûå
âîçíèêàþò ïðè èçìåíåíèÿõ ïàðàìåòðîâ èçíà÷àëüíî óñòîé÷èâîé ñèñòåìû.
Ñëó÷àè, êîãäà b �0, a Pi� , òðèâèàëüíû è êà÷åñòâåííàÿ äèíàìèêà ñèñòåìû
àíàëîãè÷íà äèíàìèêå ñèñòåìû áåç èìïóëüñîâ ïðè r � 0.
Åñëè ïàðàìåòð b âçÿòü îòðèöàòåëüíûì è äîñòàòî÷íî áîëüøèì ïî ìîäó-
ëþ, òî ïîëó÷èì äèíàìèêó, ïðåäñòàâëåííóþ íà ðèñ. 2, á. Âîçíèêàþùèå
êîëåáàíèÿ óâåëè÷èâàþùåéñÿ àìïëèòóäû èìåþò ïîëóïåðèîä ïîðÿäêà âå-
ëè÷èíû çàïàçäûâàíèÿ è ñâÿçàíû ñ òåì, ÷òî ïðè ïîÿâëåíèè íåíóëåâîé
ñêîðîñòè âîçíèêàåò áîëüøîå óñêîðåíèå îáðàòíîé íàïðàâëåííîñòè, ïðèâî-
äÿùåå ê ðàñêà÷èâàíèþ.
Ïîäîáíàÿ äèíàìèêà âîçíèêàåò ïðè îòðèöàòåëüíîì è áîëüøîì ïî ìî-
äóëþ ïàðàìåòðå a (ðèñ. 3, à). Ïðè ýòîì âîçðàñòàíèå àìïëèòóäû êîëåáàíèé
ïðîèñõîäèò âñëåäñòâèå çíà÷èòåëüíîãî óñêîðåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíîãî ôà-
çîâîé ñêîðîñòè. Îäíàêî ââèäó íàëè÷èÿ çàïàçäûâàíèÿ ýòî óñêîðåíèå íå
âëèÿåò íà ñèëó òðåíèÿ, à ïðèâîäèò ê âîçðàñòàíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé.
Óâåëè÷åíèå ñèëû èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ ìîæåò ïðèâåñòè ê äèíà-
ìèêå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 3, á. Â ìîìåíòû t k�3 , k � 0 ôàçîâûå ñêî-
ðîñòè òåðïÿò ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà, ÷òî îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ
ïðèâåäåíèÿ ê íåóñòîé÷èâîñòè âñåé ñèñòåìû.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èçìåíåíèå êàêîé-ëèáî èç âåëè÷èí� è r ïðèâîäèò ê
ðàññìîòðåííûì ìåõàíèçìàì ïîòåðè óñòîé÷èâîñòè, à èçìåíåíèå âåëè÷èí Pij
è Pi ïîñðåäñòâîì çàìåíû ïåðåìåííûõ ïðèâîäèò ê ðàññìîòðåííûì ñëó÷àÿì
êîíôèãóðàöèè ïàðàìåòðîâ. Ñëåäóåò òàêæå îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî ïðè
âîçðàñòàíèè ïàðàìåòðà � ïðîèñõîäèò ðàñøèðåíèå îáëàñòåé óñòîé÷èâîñòè,
ïîñòðîåííûõ ñ ïîìîùüþ äâóõ ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ, ýôôåêòèâíîñòü
êîòîðûõ îêàçûâàåòñÿ ñîïîñòàâèìîé.
È.Ë. Èâàíîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðèñ. 3. Ðåøåíèå ñèñòåìû (1), (2) ïðè b � �0 5, , � � 3, M i �1, P Pi ij� �1, i j, , ,�1 2 3, k �
Íà ðèñ. 4 èçîáðàæåíà îáëàñòü
óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû ïðè òåõ æå
ïàðàìåòðàõ, ÷òî è íà ðèñ. 2, á, çà
èñêëþ÷åíèåì çíà÷åíèÿ �, óâåëè-
÷åííîãî â 10 ðàç. Èç ðèñ. 4 âèäíî,
÷òî ïðè ñêîëü óãîäíî áîëüøîì âîç-
ðàñòàíèè çíà÷åíèÿ � îöåíêè îáëàñ-
òè óñòîé÷èâîñòè íå ïðèáëèæàþòñÿ
ñêîëü óãîäíî áëèçêî ê îöåíêå îá-
ëàñòè óñòîé÷èâîñòè íåïðåðûâíîé
ñèñòåìû.
Âûâîäû
Òàêèì îáðàçîì, ñòàáèëèçàöèÿ ìîäåëè ýíåðãîñèñòåìû ñ èìïóëüñíûì âîç-
äåéñòâèåì, íå íàðóøàþùèì ðàâíîâåñèÿ, ìîæåò áûòü ïðîâåäåíà ñ ïîìîùüþ
çàïàçäûâàþùåãî ïðîïîðöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíîãî ðåãóëÿòîðà. Ïðè
ýòîì, êàê ñëåäóåò èç ÷èñëåííûõ ðàññ÷åòîâ, ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé óñëîâèé
óñòîé÷èâîñòè íà îñíîâå âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàç-
ðûâíûõ ôóíêöèé óêàçûâàþò íà òî, ÷òî ïðè ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è èç äâóõ
øèðîêî ïðèìåíÿåìûõ êëàññîâ ðàçðûâíûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, òàêèõ êàê
êóñî÷íî-ýêñïîíåíöèàëüíûå è êóñî÷íî-ëèíåéíûå, ïåðâûé îáëàäàåò áîëüøèì
ïîòåíöèàëîì äëÿ ïðèìåíåíèÿ.
Ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííûõ ïðèìåðîâ óñòàíîâëåíî, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå
óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ îáëàñòü óñòîé÷èâîñòè äàííîé ýíåðãîñèñòåìû
ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííûì ìíîæåñòâîì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Chiang H.D., Chu C.C., Cauley G. Direct stability analysis of electric power systems using
energy functions: Theory, applications, and perspective // Proc. of the IEEE. — 1995. — Vol.
13. — P. 1497—1529.
2. Ìàðòûíþê À.À., Èâàíîâ È.Ë. Î ñâÿçíîé óñòîé÷èâîñòè òðåõìàøèííîé ýíåðãîñèñòåìû
ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2013. — ¹ 7. — Ñ. 64—71.
3. Èâàíîâ È.Ë. Óñòîé÷èâîñòü îäíîé ìîäåëè ýíåðãîñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñ-
íûì âîçäåéñòâèåì // Àíàëiòè÷íà ìåõàíiêà òà ¿¿ çàñòîñóâàííÿ: Çá. ïðàöü Ií-òó ìàòåìà-
òèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2012. — 9, ¹ 1. — Ñ. 114—127.
4. Jia H., Yu X., Yu Y., Wang C. Power system small signal stability region with time delay // In-
tern. J. of Electrical Power & Energy Systems. — 2008. — Vol. 30, ¹ 1. — P. 16—22.
Ðåãóëèðîâàíèå ýíåðãîñèñòåì ïðè èìïóëüñíûõ âîçìóùåíèÿõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 25
Ðèñ. 4. Îáëàñòü àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷è-
âîñòè ñèñòåìû (1), (2) â ïðîñòðàíñòâå ïàðà-
ìåòðîâ a, b ïðè r � 0 1, , � � 30, M i �1, Pi �
� �Pij 1, i �1 2 3, , , c ik1 0 2� , , c ik2 1� , i j, �
�1 2 3, , , k �
5. Ayasun S., Nwankpa C.O. Probability of small-signal stability of power systems in the pre-
sence of communication delays // Intern. Conf. on Electrical and Electronics Engineering,
2009, 5—8 Nov.— P. I-70—I-74.
6. Ñëûíüêî Â.È. Îá óñëîâèÿõ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ëèíåéíûõ èìïóëüñíûõ ñèñòåì ñ
çàïàçäûâàíèåì // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà. — 2005. — 41, ¹ 6. — C. 130—138.
7. Äåìèäîâè÷ Á.Ï. Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. — Ì. : Íàóêà. —
1967. — 472 ñ.
I.L. Ivanov
REGULATION OF POWER SYSTEMS
UNDER IMPULSIVE PERTURBATIONS
Estimations of the region of asymptotic stability in the space of control parameters are found for a
power system model with pulse effects and delayed control by applying Lyapunov discontinuous ma-
trix functions and Razumikhin conditions. The piecewise exponential and piecewise linear functions
were used as Lyapunov functions. Numerical estimations of stability regions in the space of control
parameters were obtained by using each of these two types of Lyapunov functions. A comparison of
the effectiveness of these two types of functions has been performed. The mechanisms of losing sta-
bility by the power system while varying its parameters are described.
K e y w o r d s: power system, Lyapunov method, delay, pulse effects, asymptotic stability.
REFERENCES
1. Chiang H.D., Chu C.C., Cauley G. Direct stability analysis of electric power systems using
energy functions: Theory, applications, and perspective // Proc. of the IEEE. — 1995. —
Vol. 13. — P. 1497—1529.
2. Martynyuk A.A., Ivanov I.L. On the connective stability of three-machine power system under
impulsive perturbations // Reports NAS of Ukraine. — 2013. — ¹7. — P. 64—71 (in Russian).
3. Ivanov I.L. Stability of a model of a power system with delay and pulse effects // Analytical
Mechanics and Its Applications: Proc. Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. — 2012. —
Vol. 9, ¹ 1. — P. 114—127 (in Russian).
4. Jia H. et al. Power system small signal stability region with time delay // Int. J. Electrical
Power & Energy Systems. — 2008. — Vol. 30, ¹ 1. — P. 16—22.
5. Ayasun S., Nwanpka C.O. Probability of small-signal stability of power systems in the pres-
ence of communication delays // Int. Conf. on Electrical and Electronics Engineering. ELECO
2009. Bursa, Turkey, 2009 5—8 Nov. // IEEE, 2009. — P. I-70—I-74.
6. Slyn’ko V.I. Stability conditions for linear impulsive systems with delay // International Ap-
plied Mechanics. — 2005. — Vol. 41, ¹ 6. — P. 130—138 (in Russian).
7. Demidovich B.P. Lectures on the Mathematical Theory of Stability. — Moscow: Nauka,
1967. — 472 ð. (in Russian).
Ïîñòóïèëà 04.07.14
ÈÂÀÍÎÂ Èãîðü Ëüâîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ìë. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ìåõàíèêè èì. Ñ.Ï. Òèìî-
øåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû.  2007 ã. îêîí÷èë ×åðêàññêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Á. Õìåëü-
íèöêîãî, à â 2009 — Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èìåíè Òàðàñà Øåâ÷åíêî. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — óñòîé÷èâîñòü ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ çàïàçäûâàíèåì è èìïóëüñíûì
âîçäåéñòâèåì.
È.Ë. Èâàíîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101058 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T13:52:54Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Иванов, И.Л. 2016-05-30T14:31:49Z 2016-05-30T14:31:49Z 2014 Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях / И.Л. Иванов // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 17-26. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101058 531.36 Для модели энергосистемы с импульсным воздействием и запаздывающим регулированием численно найдены оценки области асимптотической устойчивости в пространстве управляющих параметров с помощью разрывных матричных функций Ляпунова двух типов и условий Разумихина. Для моделі енергосистеми з імпульсною дією та керуванням з запізненням чисельно знайдено оцінки області асимптотичної стійкості в просторі керуючих параметрів за допомогою розривних матричних функцій Ляпунова двох типів та за умов Разуміхіна. Estimations of the region of asymptotic stability in the space of control parameters are found for a power systemmodelwith pulse effects and delayed control by applying Lyapunov discontinuousmatrix functions and Razumikhin conditions. The piecewise exponential and piecewise linear functions were used as Lyapunov functions. Numerical estimations of stability regions in the space of control parameters were obtained by using each of these two types of Lyapunov functions. A comparison of the effectiveness of these two types of functions has been performed. The mechanisms of losing stability by the power system while varying its parameters are described. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях Regulation of power systems under impulsive perturbations Article published earlier |
| spellingShingle | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях Иванов, И.Л. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| title_alt | Regulation of power systems under impulsive perturbations |
| title_full | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| title_fullStr | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| title_full_unstemmed | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| title_short | Регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| title_sort | регулирование энергосистем при импульсных возмущениях |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101058 |
| work_keys_str_mv | AT ivanovil regulirovanieénergosistempriimpulʹsnyhvozmuŝeniâh AT ivanovil regulationofpowersystemsunderimpulsiveperturbations |