Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток
Рассмотрен способ адаптивного построения вложенных разностных сеток, сгущающихся в зонах быстрого изменения искомой функции для решения двумерного нестационарного уравнения теплопроводности. Предложен алгоритм поиска зон со значительными градиентами искомой функции. Розглянуто спосіб адаптивної побу...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101059 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток / В.В. Домбровский, Д.С. Смаковский, А.Н. Смаковская // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 27-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860173371667382272 |
|---|---|
| author | Домбровский, В.В. Смаковский, Д.С. Смаковская, А.Н. |
| author_facet | Домбровский, В.В. Смаковский, Д.С. Смаковская, А.Н. |
| citation_txt | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток / В.В. Домбровский, Д.С. Смаковский, А.Н. Смаковская // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 27-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрен способ адаптивного построения вложенных разностных сеток, сгущающихся в зонах быстрого изменения искомой функции для решения двумерного нестационарного уравнения теплопроводности. Предложен алгоритм поиска зон со значительными градиентами искомой функции.
Розглянуто спосіб адаптивної побудови вкладених різницевих сіток, які згущаються в зонах швидкої зміни шуканої функції для розв’язання двовимірного нестаціонарного рівняння теплопровідності. Запропоновано алгоритм пошуку зон зі значними градієнтами шуканої функції.
This paper is devoted to the method of constructing the adaptive nested grid in the areas of rapid change of the unknown function for solving two-dimensional unsteady heat equation. Partial differential equations are widely used in modeling of various natural phenomena. The effectiveness of solving a particular problem largely depends on the number of grid points and their location. The purpose of the paper is to develop the method of constructing the grid which dynamically adapts to the zones of significant gradients. The construction of nested grids is based on the local error estimate obtained from the difference of solutions with various spatial and temporal grid steps. A search algorithm of zones with significant gradients of the unknown function is proposed. The applied software tool can be used for computer modeling of problems described by the heat equation. The proposed method of constructing the adaptive nested grid permits reducing the use of machine resources required for solving the problem.
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:59:30Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, êàíä. òåõí. íàóê,
À.Í. Ñìàêîâñêàÿ
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 03056, óë. Ïîëèòåõíè÷åñêàÿ, 6, ê. 414 à,
òåë. 0919005451, e-mail: smakovskiy@ukr.net)
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è
ñ çîíàìè çíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ ðåøåíèÿ
ñ ïîìîùüþ âëîæåííûõ àäàïòèâíûõ ñåòîê
Ðàññìîòðåí ñïîñîá àäàïòèâíîãî ïîñòðîåíèÿ âëîæåííûõ ðàçíîñòíûõ ñåòîê, ñãóùàþùèõñÿ
â çîíàõ áûñòðîãî èçìåíåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè äëÿ ðåøåíèÿ äâóìåðíîãî íåñòàöèîíàðíîãî
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïðåäëîæåí àëãîðèòì ïîèñêà çîí ñî çíà÷èòåëüíûìè ãðà-
äèåíòàìè èñêîìîé ôóíêöèè.
Ðîçãëÿíóòî ñïîñ³á àäàïòèâíî¿ ïîáóäîâè âêëàäåíèõ ð³çíèöåâèõ ñ³òîê, ÿê³ çãóùàþòüñÿ â
çîíàõ øâèäêî¿ çì³íè øóêàíî¿ ôóíêö³¿ äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ äâîâèì³ðíîãî íåñòàö³îíàðíîãî ð³â-
íÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³. Çàïðîïîíîâàíî àëãîðèòì ïîøóêó çîí ç³ çíà÷íèìè ãðà䳺íòàìè
øóêàíî¿ ôóíêö³¿.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ, ìåòîä
êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, ðàçíîñòíàÿ ñåòêà, âëîæåííàÿ ñåòêà.
Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (ÄÓ×Ï) øèðîêî
ïðèìåíÿþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðàçëè÷íûõ ïðèðîäíûõ ÿâëåíèé.  îñ-
íîâå ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ëåæèò ïðèíöèï çàìå-
íû íåïðåðûâíîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè äèñêðåòíûì
ìíîæåñòâîì òî÷åê (ñåòêîé). Äëÿ ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè ÷èñëåííîãî
ìåòîäà â ìåñòàõ çíà÷èòåëüíûõ èçìåíåíèé ôóíêöèè ñåòêó ñãóùàþò. Èñ-
ïîëüçîâàíèå â ðàñ÷åòàõ àäàïòèâíûõ ñåòîê îáúÿñíÿåòñÿ æåëàíèåì îáåñïå-
÷èòü íåîáõîäèìóþ òî÷íîñòü, ìèíèìèçèðîâàâ ÷èñëî óçëîâ ðàñ÷åòíîé ñåò-
êè, è òåì ñàìûì ïîâûñèòü ðåñóðñîåìêîñòü âû÷èñëåíèé.
Êàê ïðàâèëî, òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ â çîíàõ, ãäå ãðàäèåíò èñ-
êîìîé ôóíêöèè äîñòèãàåò áîëüøèõ âåëè÷èí, â çíà÷èòåëüíîé ìåðå âëèÿåò
íà òî÷íîñòü ðåøåíèÿ ïî âñåé îáëàñòè. Ïîýòîìó, ñãóùàÿ ñåòêó â òàêèõ çî-
íàõ, ìîæíî ïîâûñèòü òî÷íîñòü ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ.  òî æå âðåìÿ, ñ
öåëüþ ýêîíîìèè ìàøèííûõ ðåñóðñîâ æåëàòåëüíî èìåòü ðàçðåæåííóþ ñåò-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 27
� Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, À.Í. Ñìàêîâñêàÿ, 2014
êó â îáëàñòÿõ ïëàâíîãî èçìåíåíèÿ ðåøåíèÿ. Ýòèì îáúÿñíÿåòñÿ íåîáõîäè-
ìîñòü èñïîëüçîâàíèÿ íåðàâíîìåðíûõ ñåòîê.
Àêòóàëüíîñòü ïðîáëåìû. Ñóùåñòâóåò òðè îñíîâíûõ êëàññà ñåòîê,
êîòîðûå øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ â ìíîãîìåðíûõ îáëàñ-
òÿõ: ñòðóêòóðíûå, íåñòðóêòóðíûå, ãèáðèäíûå [1]. Äëÿ ðåøåíèÿ äâóìåð-
íîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ
êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé îñîáûé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò ñòðóêòóðíûå ñåòêè è
ãèáðèäíûå, ñîñòîÿùèå èç ãðóáîé (ãëîáàëüíîé) ñòðóêòóðíîé ñåòêè è âëî-
æåííûõ (ðåãèîíàëüíûõ) áëîêîâ — ñòðóêòóðíûõ ñåòîê.
Ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ïîñòðîåíèÿ íåðàâíîìåðíûõ ñåòîê äî íà÷àëà
âû÷èñëåíèé, îñíîâàííûå íà îïðåäåëåíèè âîçìîæíûõ çîí âûñîêèõ ãðà-
äèåíòîâ, íå ýôôåêòèâíû ïðè ðåøåíèè íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷ â ñëó÷àÿõ,
êîãäà ýòè çîíû ìîãóò ñî âðåìåíåì ìåíÿòü ñâîå ïîëîæåíèå. Áîëåå ýôôåê-
òèâíûì ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå àäàïòèâíîãî àëãîðèòìà [2], ñ ïîìîùüþ
êîòîðîãî â ïðîöåññå ðåøåíèÿ çàäà÷è àíàëèçèðóåòñÿ ïîâåäåíèå ôóíêöèè,
êîíòðîëèðóåòñÿ ïîãðåøíîñòü, ñòðîèòñÿ ïåðåìåííàÿ ïî âðåìåíè è íåðàâ-
íîìåðíàÿ ðàçíîñòíàÿ ñåòêà.
Óêàçàííûé àëãîðèòì îáåñïå÷èâàåò ñãóùåíèå óçëîâ ñåòêè â çîíàõ ðåç-
êîãî èçìåíåíèÿ èñêîìîé ôóíêöèè è óâåëè÷åíèå øàãà ñåòêè òàì, ãäå ôóíê-
öèÿ èçìåíÿåòñÿ ïëàâíî. Ïîñòðîåíèå ðàçíîñòíîé ñåòêè îñóùåñòâëÿåòñÿ íà
îñíîâàíèè îöåíêè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè ïðè ñðàâíåíèè ðåøåíèé, ïîëó-
÷åííûõ äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé âðåìåííîãî è ïðîñòðàíñòâåííûõ øàãîâ ñåò-
êè. Ïðè ýòîì ñãóùåíèÿ óçëîâ àâòîìàòè÷åñêè ïåðåìåùàþòñÿ îäíîâðåìåííî
ñî ñìåíîé ïîëîæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå çîíû áîëüøèõ ãðàäèåíòîâ.
Íåäîñòàòêîì ýòîãî àëãîðèòìà ÿâëÿåòñÿ ëèøíåå ñãóùåíèå óçëîâ â çî-
íàõ, êîòîðûå ýòîãî íå òðåáóþò, íî èìåþò òàêóþ æå êîîðäèíàòó x èëè y, êàê
è çîíà ñî çíà÷èòåëüíûì ãðàäèåíòîì (ðèñ. 1, à). Äàííûé íåäîñòàòîê óñòðàíåí â
ìåòîäàõ, îñíîâàííûõ íà âëîæåííûõ ñåòêàõ. Ïðè ýòîì ïîÿâëÿåòñÿ çàäà÷à
ñîãëàñîâàíèÿ ðåøåíèÿ íà ãðàíèöàõ âëîæåííûõ ðàñ÷åòíûõ îáëàñòåé.
 çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà âçàèìîäåéñòâèÿ ðåãèîíàëüíîé è ãëîáàëüíîé
îáëàñòåé ìîäåëè âëîæåííûõ ñåòîê ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà:
1) ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ (äàííûå ïåðåäàþòñÿ êàê èç ãëîáàëüíîé îáëàñòè â
ðåãèîíàëüíûå â âèäå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, òàê è èç ðåãèîíàëüíûõ îáëàñòåé
â ãëîáàëüíóþ äëÿ óòî÷íåíèÿ ðåøåíèÿ) [3];
2) áåç îáðàòíîé ñâÿçè (äàííûå ïåðåäàþòñÿ òîëüêî èç ãëîáàëüíîé îáëàñòè
â ðåãèîíàëüíûå) [4, 5].
 ðàáîòå [6] îïèñàí ìåòîä ïðèìåíåíèÿ âëîæåííûõ ñåòîê ïðè ìîäåëè-
ðîâàíèè ïðîöåññà ôèëüòðàöèè. Â çîíå ñ áîëüøèìè ãðàäèåíòàìè èñïîëü-
çóþòñÿ áîëåå ïîäðîáíûå, âëîæåííûå îäíà â äðóãóþ, ñåòêè. Ãëàâíîé ïðîá-
ëåìîé ðàñ÷åòà ïðè èñïîëüçîâàíèè ñèñòåìû âëîæåííûõ ñåòîê ÿâëÿåòñÿ
ïåðåäà÷à çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ âåëè÷èí èç îäíîé îáëàñòè â äðóãóþ. Îñ-
Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, À.Í. Ñìàêîâñêàÿ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
íîâíîé íåäîñòàòîê óêàçàííûõ ìåòîäîâ — îòñóòñòâèå êîíòðîëÿ ïîãðåø-
íîñòè â ïðîöåññå ðàñ÷åòà.
Ðàññìîòðèì àëãîðèòì, ïðåäëîæåííûé â ðàáîòå [2], äëÿ îöåíêè ëîêàëü-
íîé ïîãðåøíîñòè ðåøåíèÿ â ñëó÷àå äâóìåðíîãî íåñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ
òåïëîïðîâîäíîñòè. Ïóñòü èçâåñòíî çíà÷åíèå ôóíêöèè U x y t( , , ) íà íåêîòî-
ðîì âðåìåííîì øàãå k íà íåðàâíîìåðíîé ñåòêå ñ øàãàìè h x xx i i i, � � �1 ïî
ïåðåìåííîé x è h y yy j j j, � � �1 ïî ïåðåìåííîé y, à òàêæå øàãîì � ïî
ïåðåìåííîé t. Äëÿ ïåðåõîäà íà ñëåäóþùèé âðåìåííîé ñëîé íåîáõîäèìî
íàéòè ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ âðåìåííîãî è
ïðîñòðàíñòâåííûõ øàãîâ: uh hx y, , � , u
h h
x y
2 2 2
, ,
� , uh
hx
y
2
, , �
è u
h
h
x
y
, ,
2
�
. Ïîñëå ýòîãî
ìîæíî îöåíèòü ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü eij äëÿ êàæäîãî óçëà:
e U u t B B h B h uh h ij
k
ij
k
x y hx y x
, ,
,
( )� �� � � � � �� �1 1
1
2
2
2
3
2
2
4
3
h h h ijy x y
u e
2 2
,
, ,� �� � .
Êîýôôèöèåíòû B1, B2, B3 ñîäåðæàò èíôîðìàöèþ î ñòàðøèõ ïðîèçâîä-
íûõ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè è ïîçâîëÿþò îöåíèòü èõ âêëàä â çíà÷åíèå ëîêàëü-
íîé ïîãðåøíîñòè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü êîýôôèöèåíòû
èçìåíåíèÿ øàãîâ ïî íàïðàâëåíèÿì è ïîñòðîèòü íîâóþ ñåòêó. Ñëåäîâà-
òåëüíî, ïðåäñòàâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíûì ñãðóïïèðîâàòü óçëû ñ äîñòàòî÷íî
áîëüøèìè çíà÷åíèÿìè ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè â ïðÿìîóãîëüíûå îáëàñòè è
ïîñòðîèòü áîëåå ïëîòíûå îòäåëüíûå ñåòêè â ýòèõ îáëàñòÿõ (ðèñ. 1, á).
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è ñ çîíàìè çíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 29
a á
Ðèñ. 1. Íåðàâíîìåðíàÿ (à) è âëîæåííàÿ (á) ñåòêè
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü äàíî äâóìåðíîå óðàâíåíèå òåïëîïðî-
âîäíîñòè
�
�
�
�
�
�
U x y t
t
U x y t
x
U x y t
y
RU x y t
( , , ) ( , , ) ( , , )
( , , )� � � �
2
2
2
2
F x y t( , , ) ,
0 1� �x , 0 1� �y , 0 1� �t ,
ãäå U x y t( , , )— òåìïåðàòóðà ïëàñòèíû â òî÷êå (x, y) â ìîìåíò âðåìåíè t;
R (x, y) = � 20; F (x, y) — íåêîòîðûå êîýôôèöèåíòû, îïðåäåëÿþùèå òåïëî-
îáìåí ñ âíåøíåé ñðåäîé,
F x y
x y
x y( , )
, , , , , , ,
, , , , , ,�
2 0 7 09 02 0 4
2 0 3 0 4 0 7 08,
.0
�
�
�
Êðàåâûå óñëîâèÿ ñîîòâåòñòâóþò îòñóòñòâèþ òåïëîîáìåíà íà ãðàíèöàõ
îáëàñòè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:
�
�
�
�
�
�
�
�
U
x
U
x
U
y
U
yx x y y� � � �
� � � �
0 1 0 1
0 .
Íà÷àëüíîå óñëîâèå U x y( , , )0 = 0 ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíîé òåìïåðà-
òóðå ïî âñåé îáëàñòè íà íà÷àëüíîì ýòàïå.
Ðàññìîòðèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ G â âèäå ïðÿìîóãîëüíèêà ñ ãðàíèöåé
� : { , }G a x b c y d� � � � � , ãäå a �0, b �1, c �0, d �1. Îòðåçêè[ , ]a b è[ , ]c d ðàç-
áèâàþòñÿ òî÷êàìè ñîîòâåòñòâåííî x a x x x bNx0 1 2� �, , , ..., è y c y y0 1 2� , , , ...
..., y dNy � . ×åðåç òî÷êè ïðîâîäèì ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå ñîîòâåòñòâóþ-
ùèì îñÿì.  ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïðÿìûõ ïîëó÷àåì óçëû ( , )i j ñ
êîîðäèíàòàìè ( , )x yi j , êîòîðûå îáðàçóþò ñåòêó � � �{( , ) }x y Gi j . Ïóñòü íà
íåé çàäàíî çíà÷åíèå íåêîòîðîé ñåòî÷íîé ôóíêöèè u U x yij
k
i j k� ( , , )� , ÿâ-
ëÿþùååñÿ ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ ÄÓ×Ï íà âðåìåííîì øàãå k. Íåîáõîäèìî íà
k �1 øàãå ïîñòðîèòü âëîæåííûå ñåòêè, ýôôåêòèâíî îõâàòûâàþùèå óçëû
ôóíêöèè uij
k , â êîòîðûõ ïîãðåøíîñòü âû÷èñëåíèÿ íåóäîâëåòâîðèòåëüíà.
Ìåòîä ðåøåíèÿ. Çàäà÷ó ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è ñ
ïîìîùüþ âëîæåííûõ àäàïòèâíûõ ñåòîê ìîæíî ðàçäåëèòü íà ñëåäóþùèå
ïîäçàäà÷è: îöåíêà òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé, ïîèñê è âûäåëåíèå çîí âûñîêîãî
ãðàäèåíòà, ïîñòðîåíèå âëîæåííûõ ñåòîê è ðåøåíèå ÄÓ×Ï.
Äëÿ îöåíêè òî÷íîñòè ïðèìåíèì ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [2], ê çíà÷å-
íèÿì ôóíêöèè uij
k .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì êîýôôèöèåíòû èçìåíåíèÿ âðå-
ìåííîãî øàãà �ij è çíà÷åíèÿ ëîêàëüíûõ ïîãðåøíîñòåé eij. Ñëåäóþùèé øàã
çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè êîîðäèíàò ïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòåé, â êîòî-
ðûõ ñëåäóåò ïîñòðîèòü âëîæåííûå ñåòêè íà îñíîâàíèè ìàòðèöû êîýôôè-
öèåíòîâ �ij . Äëÿ ýòîãî ïðåäëàãàåòñÿ àëãîðèòì, ïðåäñòàâëåííûé íà ðèñ. 2.
Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, À.Í. Ñìàêîâñêàÿ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è ñ çîíàìè çíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 31
Íà÷àëî ïîèñêà
Èçâëå÷ü óçåë èç ñòåêà
Êîîðäèíàòû îáëàñòè �
max (êîîðäèíàòû îáëàñòè,
êîîðäèíàòû óçëà)
Ñ-ôàêòîð ñâÿçíîñòè
Äëÿ êàæäîãî óçëà íà
ðàññòîÿíèè Ñ îò òåêóùåãî
Ñ = Ñ �1
Äîáàâèòü îáëàñòü â ìàññèâ
íàéäåííûõ îáëàñòåé
Ïîìåòèòü âñå íå ïîìå÷åííûå
óçëû íàéäåííîé îáëàñòè
Îáúåäèíèòü
ïåðåñåêàþùèåñÿ îáëàñòè
Êîíåö ïîèñêà
Íåò Óçåë [ k ]
íå ïîìå÷åí,
� [ ] >k �ï
Íåò
Íåò
Ñòåê íå
ïóñò
Íåò
ÍåòÓçåë k
íå ïîìå÷åí,
� [ ] >k �ï
Íåò
Äà
k < ÷èñëî
óçëîâ
Äà
Äîáàâèòü óçåë â ñòåê
Ïîìåòèòü óçåë
Êîîðäèíàòû îáëàñòè êîîðäèíàòû� óçëà
Äà
Äà
Ñ > 0
Äà
Äîáàâèòü óçåë â ñòåê
Ïîìåòèòü íàïðàâëåíèå
Äà
Êîîðäèíàòû
îáëàñòè
óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèÿì
Ðèñ. 2. Àëãîðèòì ïîèñêà âûñîêîãðàäèåíòíûõ çîí
 ñîîòâåòñòâèè ñ äàííûì àëãîðèòìîì âûïîëíÿåòñÿ öèêëè÷åñêèé îá-
õîä óçëîâ ñåòêè. Åñëè óçåë íå áûë îòìå÷åí êàê ïðîéäåííûé è çíà÷åíèå �ij
äëÿ âûáðàííîãî óçëà ìåíüøå ïðåäâàðèòåëüíî âûáðàííîãî ïîðîãîâîãî çíà-
÷åíèÿ �n, äîáàâëÿåì êîîðäèíàòû óçëà â ñòåê. Ïîêà ñòåê íå ïóñò, èçâëåêàåì
èç íåãî óçëû. Êîîðäèíàòû íàéäåííîé îáëàñòè ðàñøèðÿþòñÿ äî êîîðäèíàò
âûáðàííîãî óçëà, êîòîðûé îòìå÷àåòñÿ êàê ïðîéäåííûé.
Ïðîâåðÿåì êàæäûé óçåë, óäîâëåòâîðÿþùèé êðèòåðèþ ñâÿçíîñòè ñ
òåêóùèì. Åñëè óçåë íå áûë îòìå÷åí êàê ïðîéäåííûé è çíà÷åíèå �ij äëÿ
íåãî ìåíüøå âåëè÷èíû �n, äîáàâëÿåì êîîðäèíàòû óçëà â ñòåê. Åñëè ñòåê
ïóñò, äîáàâëÿåì êîîðäèíàòû íàéäåííîé îáëàñòè â ñïèñîê íàéäåííûõ îá-
ëàñòåé. Ïî îêîí÷àíèè ïðîõîäà âñåõ óçëîâ ñåòêè îáúåäèíèì ïåðåñåêàþ-
ùèåñÿ îáëàñòè èç ñïèñêà íàéäåííûõ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñïèñîê èç m
îáëàñòåé, îãðàíè÷åííûõ èíäåêñàìè óçëîâ im,min, jm,min, im,max, jm,max, â êîòî-
ðûõ íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü âëîæåííûå ñåòêè.
Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê çíà÷åíèé 1/�ij è èçîáðàæåíû íàéäåííûå
îáëàñòè âûñîêîãðàäèåíòíûõ çîí, ãäå òî÷êàìè îáîçíà÷åíû óçëû, â êîòîðûõ
�ij > �n. Èñïîëüçóÿ êîýôôèöèåíòû �ij, ðàñ÷èòàííûå äëÿ ãëàâíîé ñåòêè ïðè
îöåíêå òî÷íîñòè, âû÷èñëÿåì êîýôôèöèåíòû �m, �m, �m, äëÿ m-é îáëàñòè ïî
ôîðìóëàì �m = minij �ij, �m = minij �ij, �m = minij �ij, ãäå i i im m�[ , ], min , max ,
j j im m�[ , ], min , max . Êîýôôèöèåíòû èçìåíåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ øàãîâ
ñåòêè �ij è �ij äëÿ m-é îáëàñòè âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â [2],
èñïîëüçóÿ ðàíåå ïîëó÷åííîå çíà÷åíèå �m.
Êîýôôèöèåíòû èçìåíåíèÿ øàãîâ äëÿ ãëàâíîé ñåòêè íàõîäèì òàêèì
æå ñïîñîáîì, èãíîðèðóÿ çíà÷åíèÿ â óçëàõ, ïðèíàäëåæàùèõ íàéäåííûì
îáëàñòÿì, ò.å. � �� min ij ij , � �� min ,ij ij � �� min ,ij ij ãäå i i im m�[ , ], min , max ,
j j im m�[ , ], min , max .
Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, À.Í. Ñìàêîâñêàÿ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðèñ. 3. Ãðàôèê çíà÷åíèé 1/�ij (à) è îáëàñòè, íàéäåííûå ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà (á)
Íîâóþ ñåòêó ïåðåñòðàèâàåì ñ øàãàìè h hx x, íîâ � � , h hy y, íîâ � � , âðåìåí-
íîé øàã âûáèðàåì � ��íîâ � . Íà êàæäîé èç m îáëàñòåé ñòðîèì âëîæåííóþ
ñåòêó ñ ïðîñòðàíñòâåííûìè øàãàìè h hm x m x, , íîâ �� , h hm y m y, , íîâ � � . Âî èç-
áåæàíèå èíòåðïîëèðîâàíèÿ çíà÷åíèé ïðè ñèíõðîíèçàöèè ðåøåíèé âëîæåí-
íûõ è ãëàâíîé ñåòîê øàã ïî âðåìåíè � m âûáèðàåì áëèæàéøèì ê âåëè÷èíå
� �m è êðàòíûì øàãó ãëàâíîé ñåòêè. Çíà÷åíèÿ â óçëàõ âëîæåííûõ è íîâîé
ãëàâíîé ñåòîê ðàññ÷èòûâàþò íà îñíîâàíèè èñõîäíîé ãëàâíîé ñåòêè ìåòîäîì
àäàïòèâíîé èíòåðïîëÿöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì êðèâûõ Ôåðãþññîíà [7].
Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ îäíîãî ñëîÿ ãëàâíîé ñåòêè è ïàðàëëåëüíîãî âû÷èñ-
ëåíèÿ � ��íîâ m ñëîåâ m-é âëîæåííîé ñåòêè íåîáõîäèìî ñèíõðîíèçèðîâàòü
âëîæåííûå ñåòêè ñ ãëàâíîé. Çíà÷åíèÿ íà ãðàíèöàõ âëîæåííûõ ñåòîê çàïîë-
íÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè, ïîëó÷åííûìè â ðåçóëüòàòå èíòåðïîëÿöèè ðåøåíèÿ,
íàéäåííîãî íà ãëàâíîé ñåòêå, à çíà÷åíèÿ â óçëàõ ãëàâíîé ñåòêè â ïðåäåëàõ
ãðàíèö âëîæåííûõ, èíòåðïîëèðóþòñÿ íà îñíîâàíèè çíà÷åíèé ñîîòâåòñò-
âóþùåé âëîæåííîé ñåòî÷íîé ôóíêöèè.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. Ýôôåêòèâíîñòü àäàïòèâíîãî
ìåòîäà èññëåäîâàíà ïîñðåäñòâîì ñðàâíåíèÿ ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòîâ, ïðîâå-
äåííûõ ñ ôèêñèðîâàííîé è âëîæåííîé ñåòêàìè. Òî÷íûì áûëî ïðèíÿòî
ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå íà øàãàõ hx = 0,0033, hy = 0,0033, � = 0,00001. Âû÷èñ-
ëåíèÿ ñ ïîìîùüþ àäàïòèâíîãî àëãîðèòìà ïðîâåäåíû äëÿ ìèíèìàëüíûõ
øàãîâ ôèêñèðîâàííîé ñåòêè, âûáðàííûõ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ øàãîâ âëî-
æåííûõ ñåòîê òåêóùåãî ýêñïåðèìåíòà ñ öåëüþ îáåñïå÷èòü èäåíòè÷íóþ
ëîêàëüíóþ ïîãðåøíîñòü ðåøåíèÿ.
 òàáëèöå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé íà àäàïòèâíîé âëîæåí-
íîé ñåòêå è ñåòêå ñ ôèêñèðîâàííûì øàãîì. Êàê âèäíî èç òàáëèöû, ïðè
èñïîëüçîâàíèè àäàïòèâíîãî ìåòîäà ñêîðîñòü ðàáîòû âîçðàñòàåò ñ óìåíü-
øåíèåì äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòè eäîï .
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííûé ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ âëîæåííîé àäàïòèâíîé ñåòêè ïîçâî-
ëÿåò çíà÷èòåëüíî ñîêðàòèòü ìàøèííîå âðåìÿ, íåîáõîäèìîå äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷, èìåþùèõ çíà÷èòåëüíûå ãðàäèåíòû â íåêîòîðûõ çîíàõ âû÷èñëè-
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è ñ çîíàìè çíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 33
eäîï hx hy T
Âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ, c
Íà ôèêñèðîâàííîé ñåòêå Íà âëîæåííûõ ñåòêàõ
0,001 0,0042 0,0059 0,00069 1,3 0,5
0,0001 0,0019 0,0028 0,000042 25,6 3,8
0,00001 0,0008 0,0011 0,000009 407 40
Ýôôåêòèâíîñòü àäàïòèâíîãî ìåòîäà
òåëüíîé îáëàñòè, ïðè êîíòðîëå ëîêàëüíîé ïîãðåøíîñòè. Ðåøåíèå çàäà÷è
äëÿ ãëàâíîé è âëîæåííûõ ñåòîê ìîæíî âûïîëíÿòü ïàðàëëåëüíî, ÷òî ïîç-
âîëèò åùå áîëåå ñîêðàòèòü âðåìÿ ðåøåíèÿ ïðè èñïîëüçîâàíèè ìíîãî-
ÿäåðíûõ ñèñòåì.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ëèñåéêèí Â.Ä. Îáçîð ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðíûõ àäàïòèâíûõ ñåòîê // Æ. âû÷èñë.
ìàòåì. è ìàòåì. ôèç. — 1996. — 36, ¹ 1. — Ñ. 3—41.
2. Ëóê’ÿíåíêî Ñ.Î. Àäàïòèâí³ îá÷èñëþâàëüí³ ìåòîäè ìîäåëþâàííÿ îá’ºêò³â ç ðîçïî-
ä³ëåíèìè ïàðàìåòðàìè. — Êè¿â: IÂÖ Âèäàâíèöòâî «Ïîë³òåõí³êà», 2004. — 236 ñ.
3. Spall M.A., Holland W.R. A nested primitive equation model for oceanic applications // J. of
Physical Oceanography. —1991. — ¹ 21. — P. 205—220.
4. Martin P.J. Description of the Navy Coastal Ocean Model Version 1.0 / Naval Research Lab-
oratory Technical Report; NRIVFR/7322-00-9962. —2000. — 45 p.
5. Zavatarelli M., Pinardi N. The Adriatic Sea modelling system: a nested approach // Annales
Geophysicae. — 2003. — ¹ 21. — P. 345—364.
6. Áåëîöåðêîâñêàÿ Ì.Ñ., Îïàðèí À.Ì. Èñïîëüçîâàíèå âëîæåííûõ ñåòîê äëÿ ìîäåëèðîâà-
íèÿ ïðîöåññà ôèëüòðàöèè // Ìàòåì. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 16, ¹ 12. — Ñ. 3—10.
7. Ñìàêîâñêèé Ä.Ñ. Àäàïòèâíàÿ èíòåðïîëÿöèÿ íà îñíîâå êðèâûõ Ôåðãþññîíà äëÿ ïîñò-
ðîåíèÿ ñåòî÷íûõ ôóíêöèé // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2010. — 32, ¹ 5. — Ñ. 11—18.
V.V. Dombrovskyi, D.S. Smakovskyi, A.N. Smakovska
MODELING OF HEAT TRANSFER PROCESSES WITH
THE AREAS OF SIGNIFICANT GRADIENTS OF SOLUTION WITH
THE HELP OF NESTED ADAPTIVE GRIDS
This paper is devoted to the method of constructing the adaptive nested grid in the areas of rapid
change of the unknown function for solving two-dimensional unsteady heat equation. Partial dif-
ferential equations are widely used in modeling of various natural phenomena. The effectiveness
of solving a particular problem largely depends on the number of grid points and their location.
The purpose of the paper is to develop the method of constructing the grid which dynamically
adapts to the zones of significant gradients. The construction of nested grids is based on the local
error estimate obtained from the difference of solutions with various spatial and temporal grid
steps. A search algorithm of zones with significant gradients of the unknown function is pro-
posed. The applied software tool can be used for computer modeling of problems described by
the heat equation. The proposed method of constructing the adaptive nested grid permits reducing
the use of machine resources required for solving the problem.
K e y w o r d s: partial differential equations, finite difference method, finite difference grid,
nested grid.
REFERENCES
1. Liseykin V.D. Survey of adaptive structural grid generation technology // Computational
Mathematics and Mathematical Physics. — 1996. — Vol. 36, ¹ 1. — P. 3—41 (in Russian).
Â.Â. Äîìáðîâñêèé, Ä.Ñ. Ñìàêîâñêèé, À.Í. Ñìàêîâñêàÿ
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
2. Lukyanenko S.O. Adaptive Computational Methods for Modeling Objects with Distributed
Parameters. – Kyiv: Politechnica, 2004. — 236 p. (in Ukrainian).
3. Spall M.A., Holland W.R. A nested primitive equation model for oceanic applications // J.
Physical Oceanography. — 1996. — ¹ 21. — P. 205—220.
4. Martin P.J. Description of the Navy Coastal Ocean Model Version 1.0 // Naval Research Lab-
oratory Technical Report. — 2000. — 45 ð. — NRIVFR/7322-00-9962.
5. Zavatarelli M., Pinardi N. The Adriatic Sea modeling system: a nested approach // Annales
Geophysicae. — 2003. — ¹ 21. — P. 345—364.
6. Belotserkovskaya M.S., Oparin A.M. Nested grids using for filtration process modelling //
Mathematical Models. — 2004. — Vol. 16, ¹ 12. — P. 3—10 (in Russian).
7. Smakovskyi D.S. Adaptive interpolation based on Ferguson curves for constructing the grid
functions // Electronic Modeling. — 2010. — Vol. 32, ¹ 5. — P. 11—18 (in Russian).
Ïîñòóïèëà 09.04.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 23.05.14
ÄÎÌÁÐÎÂÑÊÈÉ Âëàäèìèð Âëàäèìèðîâè÷, ìàãèñòðàíò Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåð-
ñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò». Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñ-
ëåííûå ìåòîäû.
ÑÌÀÊÎÂÑÊÈÉ Äåíèñ Ñåðãååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû àâòîìàòèçàöèè ïðîåê-
òèðîâàíèÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ è ñèñòåì Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èë â 2006 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — ÷èñëåííûå ìåòîäû, ïàðàëëåëüíûå âû÷èñëåíèÿ, ñèñòåìû îáúåêòíî-ðåëÿöèîí-
íîãî îòîáðàæåíèÿ.
ÑÌÀÊÎÂÑÊÀß Àííà Íèêîëàåâíà, àññèñòåíò êàôåäðû íà÷åðòàòåëüíîé ãåîìåòðèè, èíæåíåð-
íîé è êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé
ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò».  2010 ã. îêîí÷èëà Èçäàòåëüñêî-ïîëèãðàôè÷åñêèé èí-ò Íàöèîíàëü-
íîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò». Îáëàñòü íàó÷-
íûõ èññëåäîâàíèé — ïðèêëàäíàÿ ãåîìåòðèÿ è êîìïüþòåðíàÿ ãðàôèêà.
Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëîïåðåäà÷è ñ çîíàìè çíà÷èòåëüíûõ ãðàäèåíòîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 35
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101059 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:59:30Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Домбровский, В.В. Смаковский, Д.С. Смаковская, А.Н. 2016-05-30T14:33:58Z 2016-05-30T14:33:58Z 2014 Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток / В.В. Домбровский, Д.С. Смаковский, А.Н. Смаковская // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 27-35. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101059 519.6 Рассмотрен способ адаптивного построения вложенных разностных сеток, сгущающихся в зонах быстрого изменения искомой функции для решения двумерного нестационарного уравнения теплопроводности. Предложен алгоритм поиска зон со значительными градиентами искомой функции. Розглянуто спосіб адаптивної побудови вкладених різницевих сіток, які згущаються в зонах швидкої зміни шуканої функції для розв’язання двовимірного нестаціонарного рівняння теплопровідності. Запропоновано алгоритм пошуку зон зі значними градієнтами шуканої функції. This paper is devoted to the method of constructing the adaptive nested grid in the areas of rapid change of the unknown function for solving two-dimensional unsteady heat equation. Partial differential equations are widely used in modeling of various natural phenomena. The effectiveness of solving a particular problem largely depends on the number of grid points and their location. The purpose of the paper is to develop the method of constructing the grid which dynamically adapts to the zones of significant gradients. The construction of nested grids is based on the local error estimate obtained from the difference of solutions with various spatial and temporal grid steps. A search algorithm of zones with significant gradients of the unknown function is proposed. The applied software tool can be used for computer modeling of problems described by the heat equation. The proposed method of constructing the adaptive nested grid permits reducing the use of machine resources required for solving the problem. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток Modeling of heat transfer processes with the areas of significant gradients of solution with the help of nested adaptive grids Article published earlier |
| spellingShingle | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток Домбровский, В.В. Смаковский, Д.С. Смаковская, А.Н. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| title_alt | Modeling of heat transfer processes with the areas of significant gradients of solution with the help of nested adaptive grids |
| title_full | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| title_fullStr | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| title_full_unstemmed | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| title_short | Моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| title_sort | моделирование процессов теплопередачи с зонами значительных градиентов решения с помощью вложенных адаптивных сеток |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101059 |
| work_keys_str_mv | AT dombrovskiivv modelirovanieprocessovteploperedačiszonamiznačitelʹnyhgradientovrešeniâspomoŝʹûvložennyhadaptivnyhsetok AT smakovskiids modelirovanieprocessovteploperedačiszonamiznačitelʹnyhgradientovrešeniâspomoŝʹûvložennyhadaptivnyhsetok AT smakovskaâan modelirovanieprocessovteploperedačiszonamiznačitelʹnyhgradientovrešeniâspomoŝʹûvložennyhadaptivnyhsetok AT dombrovskiivv modelingofheattransferprocesseswiththeareasofsignificantgradientsofsolutionwiththehelpofnestedadaptivegrids AT smakovskiids modelingofheattransferprocesseswiththeareasofsignificantgradientsofsolutionwiththehelpofnestedadaptivegrids AT smakovskaâan modelingofheattransferprocesseswiththeareasofsignificantgradientsofsolutionwiththehelpofnestedadaptivegrids |