Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов
Рассмотрены основные свойства обобщения гиперкомплексной системы кватернионов —антикватернионов. Введено определение и исследованы сопряжения антикватернионов, их норма и делитель нуля, а также правила выполнения операций с ними. Построено представление экспоненты антикватернионной переменной с помо...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101061 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 49-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860243396554129408 |
|---|---|
| author | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. |
| author_facet | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. |
| citation_txt | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 49-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрены основные свойства обобщения гиперкомплексной системы кватернионов —антикватернионов. Введено определение и исследованы сопряжения антикватернионов, их норма и делитель нуля, а также правила выполнения операций с ними. Построено представление экспоненты антикватернионной переменной с помощью ассоциированной системы линейных дифференциальных уравнений.
Розглянуто основні властивості узагальнення гіперкомплексної системи кватерніонів — антикватерніонів. Введено визначення та досліджено спряження антикватерніонів, їх норма та дільник нуля, а також правила виконання операцій з ними. Побудовано представлення експоненти антикватерніонної змінної за допомогою асоційованої системи лінійних диференціальних рівнянь.
The main properties of antiquaternions as generalization of hypercomplex system of quaternions are presented in the article. Definitions and rules of performance of operations with antiquaternions, conjugate antiquaternions, their norm and zero divider are introduced and investigated, and representation of exponential function of antiquaternion variable by using the method of associated system of the linear differential equations is constructed as well. Such studies would allow one to formulate and solve new practical problems and improve the efficiency of solving the problems already discussed earlier.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:33:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.942
ß.À. Êàëèíîâñêèé, ä-ð òåõí. íàóê, À.Ñ. Òóðåíêî, àñïèðàíòêà
Èí-ò ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, óë. Í.Øïàêà, 2,
å-mail: kalinovsky@i.ua; asturenko@mail.ru),
Þ.Å. Áîÿðèíîâà, êàíä. òåõí. íàóê, ß.Â. Õèöêî
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 03056, Êèåâ, ïð-ò Ïîáåäû, 37,
e-mail: ub@ua.fm; yannuary@yandex.ua)
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé
â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé
ñèñòåìå àíòèêâàòåðíèîíîâ
Ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ñâîéñòâà îáîáùåíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíîé ñèñòåìû êâàòåðíèîíîâ —
àíòèêâàòåðíèîíîâ. Ââåäåíî îïðåäåëåíèå è èññëåäîâàíû ñîïðÿæåíèÿ àíòèêâàòåðíèîíîâ,
èõ íîðìà è äåëèòåëü íóëÿ, à òàêæå ïðàâèëà âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ñ íèìè. Ïîñòðîåíî
ïðåäñòàâëåíèå ýêñïîíåíòû àíòèêâàòåðíèîííîé ïåðåìåííîé ñ ïîìîùüþ àññîöèèðîâàííîé
ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ðîçãëÿíóòî îñíîâí³ âëàñòèâîñò³ óçàãàëüíåííÿ ã³ïåðêîìïëåêñíî¿ ñèñòåìè êâàòåðí³îí³â —
àíòèêâàòåðí³îí³â. Ââåäåíî âèçíà÷åííÿ òà äîñë³äæåíî ñïðÿæåííÿ àíòèêâàòåðí³îí³â, ¿õ
íîðìà òà ä³ëüíèê íóëÿ, à òàêîæ ïðàâèëà âèêîíàííÿ îïåðàö³é ç íèìè. Ïîáóäîâàíî ïðåä-
ñòàâëåííÿ åêñïîíåíòè àíòèêâàòåðí³îííî¿ çì³ííî¿ çà äîïîìîãîþ àñîö³éîâàíî¿ ñèñòåìè
ë³í³éíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êâàòåðíèîí, àíòèêâàòåðíèîí, ãèïåðêîìïëåêñíàÿ ÷èñëîâàÿ ñèñòå-
ìà, äåëèòåëü íóëÿ, ýêñïîíåíòà, ïñåâäîíîðìà, ñîïðÿæåííûé àíòèêâàòåðíèîí.
Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ðàçëè÷íûõ
ìåòîäàõ ïðåäñòàâëåíèÿ è îáðàáîòêè èíôîðìàöèè. Âàæíóþ ðîëü ïðè ýòîì
èãðàþò ýëåìåíòàðíûå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíêöèè îò ãèïåðêîìïëåêñíûõ
ïåðåìåííûõ, ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ïîâûøàåò ýôôåêòèâíîñòü êàê âû÷èñëè-
òåëüíûõ ïðîöåäóð, òàê è ñèíòåç ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Ïðèìåíåíèå ñèñòåìû êâàòåðíèîíîâ ïîçâîëÿåò ðåøàòü òàêèå âàæíûå
ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è, êàê íàâèãàöèÿ è óïðàâëåíèå ïîäâèæíûìè îáúåê-
òàìè, çàäà÷è ìåõàíèêè, ýëåêòðîäèíàìèêè, êðèïòîãðàôèè, öèôðîâîé îáðà-
áîòêè ñèãíàëîâ è äð. Øèðîêîå ïðèìåíåíèå êâàòåðíèîíîâ îáóñëîâëåíî èõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 49
�������� �
��
�
�� ���������� ��
� ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî, 2014
ñâîéñòâàìè, ïîçâîëÿþùèìè ýôôåêòèâíî âûïîëíÿòü ðàçëè÷íûå îïåðàöèè ñ
âåêòîðàìè â òðåõìåðíîé äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïîýòîìó öåëåñî-
îáðàçíî ðàññìîòðåòü ñâîéñòâà è ôóíêöèè äðóãèõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñ-
ëîâûõ ñèñòåì, íàïðèìåð òàêîãî îáîáùåíèÿ êâàòåðíèîíîâ, êàê ñèñòåìà
àíòèêâàòåðíèîíîâ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü è ðåøèòü íîâûå
ïðàêòè÷åñêèå çàäà÷è èëè ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷, ðàñ-
ñìîòðåííûõ ðàíåå.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èññëåäóåì ãèïåðêîìïëåêñíóþ ÷èñëîâóþ ñèñòå-
ìó àíòèêâàòåðíèîíîâ, êàê ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ ê ñèñòåìå êîìïëåêñíûõ
÷èñåë ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ Ãðàññìàíà — Êëèôôîðäà ñèñòåìîé äâîéíûõ
÷èñåë, à òàêæå ðàññìîòðèì îñíîâíûå ñâîéñòâà àíòèêâàòåðíèîíîâ è àëãî-
ðèòìû âûïîëíåíèÿ àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïðèìåíå-
íèÿ ñèñòåìû àíòèêâàòåðíèîíîâ â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè è ïîñò-
ðîåíèÿ íà èõ îñíîâå ýêñïîíåíòû àíòèêâàòåðíèîííîé ïåðåìåííîé.
Îïðåäåëåíèå è îñíîâíûå ñâîéñòâà àíòèêâàòåðíèîíîâ. Êàê èçâåñò-
íî [1, 2], ñèñòåìîé êâàòåðíèîíîâ H íàçûâàåòñÿ ãèïåðêîìïëåêñíàÿ ÷åòû-
ðåõìåðíàÿ ñèñòåìà ÷èñåë ñ áàçèñîì{ , , , }e e e e1 2 3 4 , òàáëèöà óìíîæåíèÿ ýëå-
ìåíòîâ êîòîðîãî èìååò âèä
H e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 – e1 e4 – e3
e3 e3 – e4 – e1 e2
e4 e4 e3 – e2 – e1
Êâàòåðíèîíû ÿâëÿþòñÿ ðåçóëüòàòîì àíòèêîììóòàòèâíîãî óäâîåíèÿ ñ
ïîìîùüþ ïðîöåäóðû Ãðàññìàíà — Êëèôôîðäà ñèñòåìû êîìïëåêñíûõ
÷èñåë C òîé æå ñèñòåìîé ÷èñåë. Èñïîëüçóÿ ñèñòåìó îáîçíà÷åíèé, ââåäåí-
íóþ â [3], ìîæíî çàïèñàòü H Ä C C� ( , ). Åñëè àíòèêîììóòàòèâíî óäâîèòü
ñèñòåìó êîìïëåêñíûõ ÷èñåë Ñ ñèñòåìîé äâîéíûõ ÷èñåëW e( , )2 ñ òàáëèöåé
óìíîæåíèÿ
W e1 e2
e1 e1 e2
e2 e2 e1
òî ïîëó÷èì ñèñòåìó àíòèêâàòåðíèîíîâ AH, èëè, èñïîëüçóÿ îïåðàòîð óä-
âîåíèÿ Ä, — AH Ä C e W f� ( ( , ), ( , ))2 2 . Äåéñòâèòåëüíî, âçÿâ êîìïîçèöèþ
áàçèñîâ{ , }e e1 2 è{ , }f f1 2 , ïîëó÷èì áàçèñ { , , , }e f e f e f e f1 1 2 1 1 2 2 2 .
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
,
.
Òàáëèöó óìíîæåíèÿ ïîëó÷åííîé ãè-
ïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìû ïîñò-
ðîèì ñ ïîìîùüþ ïåðåìíîæåíèÿ ýëåìåíòîâ
ýòîãî áàçèñà. Ïðè ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü,
÷òî áàçèñíûå ýëåìåíòû, ïðèíàäëåæàùèå îäíîìó áàçèñó, ïåðåìíîæàþòñÿ ïî
ïðàâèëàì ñèñòåì C è W. Ïðè óìíîæåíèè èõ ìåæäó ñîáîé êîììóòàòèâíîñòü
ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà õîòÿ áû îäèí ìíîæèòåëü åñòü e1 èëè f 1.
Áàçèñíûå ýëåìåíòû e2 è f 2 àíòèêîììóòèðóþò: e f f e2 2 2 2� � .
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî ïðèìåðîâ óìíîæåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñ ó÷å-
òîì ýòèõ ïðàâèë:
e f e f e e f f e f1 1 1 1 1 1 1 1 1 1� � � � ,
e f e f e e f f e f2 1 2 1 2 2 1 1 1 1� � � � � ,
e f e f e e f f e f2 2 2 2 2 2 2 2 1 1� � � � � .
Åñëè äâóõñèìâîëüíûå èìåíà áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ïåðåèìåíîâàòü â îäíî-
ñèìâîëüíûå, e f e1 1 1� , e f e2 1 2� , e f e1 2 3� , e f e2 2 4� , òî ïîëó÷èì ñëå-
äóþùóþ òàáëèöó óìíîæåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñèñòåìû àíòèêâàòåð-
íèîíîâ [4]:
AH e1 e2 e3 e4
e1 e1 e2 e3 e4
e2 e2 – e1 e4 – e3
e3 e3 – e4 e1 – e2
e4 e4 e3 e2 e1
Ïðèíöèï óìíîæåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñõåìàòè÷åñêè ïðåäñòàâëåí
íà ðèñ. 1, íà êîòîðîì áàçèñíûå ýëåìåíòû ñèñòåìû àíòèêâàòåðíèîíîâ ÿâ-
ëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà. Ïðîèçâåäåíèå ëþáûõ äâóõ ýëåìåíòîâ èç
ýòîé òðîéêè ðàâíî òðåòüåìó, åñëè äâèæåíèå îò ïåðâîãî êî âòîðîìó ìíîæè-
òåëþ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ñòðåëêè. Åñëè äâèæåíèå îò ïåðâîãî êî
âòîðîìó ìíîæèòåëþ ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ ñòðåëêè, òî èõ ïðîèç-
âåäåíèå ðàâíî òðåòüåìó ýëåìåíòó ñî çíàêîì ìèíóñ. Ñëåäîâàòåëüíî, àíòè-
êâàòåðíèîíû — ýòî ÷èñëà âèäà w a e a e� �1 1 2 2 � �a e a e3 3 4 4, ãäå a Ri � .
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 51
e4
e2
e3
. (1)
Ðèñ. 1. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå òàáëèöû óì-
íîæåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ ñèñòåìû àíòèêâàòåð-
íèîíîâ
Ñëîæåíèå è óìíîæåíèå àíòèêâàòåðíèîíîâ. Ñóììà äâóõ àíòèêâà-
òåðíèîíîâ, w a e a e a e a e1 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � è w b e b e b e b e2 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � , åñòü
àíòèêâàòåðíèîí w3:
w w w a b e a b e a b e a b e3 1 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4� � � � � � � � � �( ) ( ) ( ) ( ) .
Ïðîèçâåäåíèå äâóõ àíòèêâàòåðíèîíîâ, w1 è w2, åñòü àíòèêâàòåðíèîí w3:
w w w a b a b a b a b e a b a b a b a3 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 3 4 4� � � � � � � � �( ) ( b e3 2) �
� � � � � � � �( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e1 3 3 1 2 4 4 2 3 1 4 4 1 2 3 3 2 4. (2)
Ýòè îïåðàöèè îáëàäàþò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè.
1. Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ êîììóòàòèâíà: w w w w1 2 2 1� � � .
2. Îïåðàöèÿ ñëîæåíèÿ àññîöèàòèâíà: ( ) ( )w w w w w w1 2 3 1 2 3� � � � � .
3. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ íåêîììóòàòèâíà:
w w w w1 2 2 1 . (3)
Äåéñòâèòåëüíî,
w w a e a e a e a e b e b e b e b e1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � � � � �( ) ( )
� � � � � � � � �( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 3 4 4 3 2
� � � � � � � �( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e1 3 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 4 1 4,
îäíàêî ñîãëàñíî (3)
w w b e b e b e b e a e a e a e a e2 1 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � � � � �( ) ( )
� � � � � � � � �( ) ( )b a b a b a b a e b a b a b a b a e1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 3 4 4 3 2
� � � � � � � � �( ) ( )b a b a b a b a e b a b a b a b a e1 3 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 4 1 4
� � � � � � � � �( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 3 4 4 3 2
� � � � � � � � ( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e w1 3 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 4 1 4 1 2w .
4. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ àññîöèàòèâíà: w w w w w w1 2 3 1 2 3( ) ( )� . Ýòî ìîæ-
íî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ (2).
5. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ äèñòðèáóòèâíà îòíîñèòåëüíî ñëîæåíèÿ:
w w w w w w w1 2 3 1 2 1 3( )� � � . Ýòî òàê æå ìîæíî äîêàçàòü, èñïîëüçóÿ (2).
6. Îïðåäåëåíî äåéñòâèå óìíîæåíèÿ íà ñêàëÿð k R� : kw ka e1 1 1� �
� � �ka e ka e ka e2 2 3 3 4 4.
7. Äëÿ
�k k R1 2, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî ( ) ( ) ( )k w k w k k w w1 1 2 2 1 2 1 2� .
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Îïðåäåëåíèå íîðìû àíòèêâàòåðíèîíîâ. Â ðàáîòå [2] íîðìà ãèïåð-
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
N w a
i
n
ij
k
i( ) �
�
�
1
� ,
ãäå � ij
k — ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìû
àíòèêâàòåðíèîíîâ AH, îïðåäåëÿåìûå èç (1). Òàêèì îáðàçîì,
N w
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
( ) �
�
�
�
�
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
. (4)
Âû÷èñëèâ äåòåðìèíàíò ìàòðèöû (4), ïîëó÷èì íîðìó àíòèêâàòåðíèîíà w:
N w a a a a( ) ( )� � � �1
2
2
2
3
2
4
2 2. (5)
Ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé êâàòåðíèîíîâ áóäåì íàçûâàòü ïñåâäîíîðìîé
àíòèêâàòåðíèîíîâ êâàäðàòíûé êîðåíü èç íîðìû (5), êîòîðóþ òàêæå îáî-
çíà÷èì N w( ):
N w a a a a( ) � � � �1
2
2
2
3
2
4
2. (6)
Êàê âèäíî èç (6), ïñåâäîíîðìà ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíîé. Â ðàáîòå [5]
ïîêàçàíî, ÷òî ïñåâäîíîðìà ìóëüòèïëèêàòèâíà:
N w w N w N w( ) ( ) ( )1 2 1 2� . (7)
Îïðåäåëåíèå è ñâîéñòâà ñîïðÿæåííûõ àíòèêâàòåðíèîíîâ. Ââåäåì
îïðåäåëåíèå ñîïðÿæåííîãî àíòèêâàòåðíèîíà
w a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4 (8)
íà îñíîâå ðàâåíñòâà
ww N w� ( ), (9)
êàê ïðåäëîæåíî â ðàáîòå [2]. Ïîäñòàâèâ (9) â (2) è (5) è ïðèðàâíÿâ êîýô-
ôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ, ïîëó÷èì ëèíåéíóþ
àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ b1, b2, b3, b4,
a b a b a b a b a a a a1 1 2 2 3 3 4 4 1
2
2
2
3
2
4
2� � � � � � � ,
a b a b a b a b1 2 2 1 3 4 4 3 0� � � � ,
a b a b a b a b1 3 3 1 2 4 4 2 0� � � � ,
a b a b a b a b1 4 4 1 2 3 3 2 0� � � � ,
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 53
ðåøåíèÿ êîòîðîé èìåþò âèä b a1 1� , b a2 2� � , b a3 3� � , b a4 4� � . Ïîýòîìó,
åñëè èñõîäíûì ÿâëÿåòñÿ àíòèêâàòåðíèîí (8), òî ñîïðÿæåííûé ê íåìó
àíòèêâàòåðíèîí èìååò âèä w a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4.
Îïðåäåëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ñîïðÿæåííûõ àíòèêâàòåðíèîíîâ.
1. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå ñîïðÿæåííûõ àíòèêâàòåðíèîíîâ — äåéñò-
âèòåëüíûå ÷èñëà.
2. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ê ñóììå, ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñîïðÿæåííûõ ÷èñåë:
w w w w1 2 1 2� � � .
3. ×èñëî, ñîïðÿæåííîå ê ïðîèçâåäåíèþ, ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì ñî-
ïðÿæåííûõ ÷èñåë, w w w w1 2 1 2� , ÷òî ìîæíî ïðîâåðèòü íåïîñðåäñòâåííî.
Äåëèòåëè íóëÿ è èõ ñâîéñòâà. Â ñîîòâåòñòâèè ñ òåîðåìîé Ôðîáåíèó-
ñà [1] â ñèñòåìå àíòèêâàòåðíèîíîâ ñóùåñòâóþò äåëèòåëè íóëÿ. Îòëè÷íûé
îò íóëÿ àíòèêâàòåðíèîí w1 0 íàçûâàåòñÿ äåëèòåëåì íóëÿ, åñëè ñóùåñòâóåò
òàêîé àíòèêâàòåðíèîí w2 0 , ÷òî èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíî íóëþ, w w1 2 0� .
Ýòî îçíà÷àåò òàêîå æå ñîîòíîøåíèå ìåæäó èõ ïñåâäîíîðìàìè:
N w w( )1 2 0� . (10)
Ñîãëàñíî (7) ïñåâäîíîðìà äåëèòåëÿ íóëÿ äîëæíà ðàâíÿòüñÿ íóëþ:
N w( )1 0� . (11)
Íî èç (10) ñëåäóåò, ÷òî w w2 1� , ò.å. åñëè w AH� — äåëèòåëü íóëÿ, òî è w —
òîæå äåëèòåëü íóëÿ. Òàêèì îáðàçîì, (11) ÿâëÿåòñÿ ïðèçíàêîì äåëèòåëÿ
íóëÿ â ñèñòåìå àíòèêâàòåðíèîíîâ AH: a a a a1
2
2
2
3
2
4
2� � � .
Îïåðàöèÿ äåëåíèÿ àíòèêâàòåðíèîíîâ. Ââèäó íåêîììóòàòèâíîñòè
óìíîæåíèÿ àíòèêâàòåðíèîíîâ ñóùåñòâóþò äâà âèäà äåëåíèÿ: ëåâîå è ïðà-
âîå. ×àñòíîå îò ëåâîãî äåëåíèÿ àíòèêâàòåðíèîíà w1 íà àíòèêâàòåðíèîí w2
åñòü ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
w x w2 1� . (12)
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðåøèòü óðàâíåíèå (12), íåîáõîäèìî óìíîæèòü ñëåâà îáå
åãî ÷àñòè ñíà÷àëà íà w2, à çàòåì íà1 2
2
/ w , ãäå w2
2
0 . Ïîëó÷èì
x
w
w wl �
1
2
2 2 1. (13)
Ïîäñòàâëÿÿ (13) â (12), âûÿñíÿåì, ÷òî äàííîå âûðàæåíèå (13) ÿâëÿåòñÿ
ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ (12). Ïðàâîå äåëåíèå ââîäèì íà îñíîâå óðàâíåíèÿ
xw w2 1� , (14)
îòêóäà íàõîäèì x
w
w wr �
1
2
2 1 2. Ïîñêîëüêó ïðîèçâåäåíèå àíòèêâàòåðíèî-
íîâ çàâèñèò îò ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé, ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî x xl r .
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (12)
íàçûâàåòñÿ ëåâûì ÷àñòíûì, à óðàâíåíèÿ
(14) — ïðàâûì ÷àñòíûì [3,6]. Ñëåäóåò
çàìåòèòü, ÷òî îïåðàöèÿ äeëåíèÿ àíòè-
êâàòåðíèîíîâ, â îòëè÷èå îò ïîëåé
äåéñòâèòåëüíûõ è êîìïëåêñíûõ ÷èñåë,
íåâîçìîæíà íå òîëüêî íà íóëü, íî è íà
äåëèòåëè íóëÿ.
Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë àíòè-
êâàòåðíèîíîâ. Âåêòîðíûå ÷àñòè àíòè-
êâàòåðíèîíîâ Vec ( )w a e a e� � �2 2 3 3
� a e4 4 îáðàçóþò òðåõìåðíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî, êîòîðîå íàçîâåì
ìíèìûì ïðîñòðàíñòâîì àíòèêâàòåðíèîíîâ. Áóäåì åãî èçîáðàæàòü â òðåõ-
ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé
�w AH. Ïóñòü p N w� ( ). Çàôèêñèðóåì ñêàëÿð-
íóþ ÷àñòü. Òîãäà a a a p a a a a a p2
2
3
2
4
2
1
2
3
2
4
2
2
2
1
2� � � �
� � � � . Äàííîå âûðà-
æåíèå â òðåõìåðíîì ìíèìîì ïðîñòðàíñòâå àíòèêâàòåðíèîíîâ ïðåäñòàâëåíî â
ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìå íà ðèñ. 2, ãäå ðàññìîòðåíû ñëåäóþùèå ñëó÷àè.
1. Åñëè a p1
2 0� � , òî ìíîæåñòâî àíòèêâàòåðíèîíîâ îáðàçóåò îäíîïî-
ëîñòíîé ãèïåðáîëîèä:
a
a p
a
a p
a
a p
3
2
1
2
4
2
1
2
2
2
1
2
1
�
�
�
�
�
� .
2. Åñëè a p1
2 0� � , òî ìíîæåñòâî àíòèêâàòåðíèîíîâ îáðàçóåò êîíóñ:
a a a3
2
4
2
2
2 0� � � .
3. Åñëè a p1
2 0� � , òî ìíîæåñòâî àíòèêâàòåðíèîíîâ âèäà (8), ãäå a p1
2 �
îáðàçóåò äâóõïîëîñòíîé ãèïåðáîëîèä:
a
a p
a
a p
a
a p
3
2
1
2
4
2
1
2
2
2
1
2
1
�
�
�
�
�
� � .
Ïîñòðîåíèå ýêñïîíåíòû îò ãèïåðêîìïëåêñíîé ïåðåìåííîé çàêëþ-
÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì [2, 7, 8]. Ïðåäñòàâëåíèå ýêñïîíåíòû â ñèñòåìå� ( , )e n
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 55
1
2
3
Ðèñ. 2. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà àíòèêâàòåðíèî-
íîâ â òðåõìåðíîì ìíèìîì ïðîñòðàíñòâå: 1 —
a p1
2 0� � ; 2 — a p1
2 0� � ; 3 — a p1
2 0� �
îò ÷èñëà M e n�� ( , ) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ðåøåíèåì ãèïåðêîìïëåêñíîãî ëè-
íåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
�X MX� , (15)
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì
Exp( )0 1� e . (16)
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðåøåíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíîãî ëèíåéíîãî äèôôåðåí-
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (15) ïðåäñòàâèì åãî â âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå,
� ( � , ..., � )X x xn
r� 1 , à âåêòîð-ñòîëáåö MX , ïîëó÷åííûé èç ãèïåðêîìïëåêñíîãî
÷èñëà MX, — â âèäå ìàòðè÷íîãî ïðîèçâåäåíèÿ íåêîòîðîé ìàòðèöû M
ðàçìåðàìè n n� , ýëåìåíòàìè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûå êîìáèíàöèè
êîìïîíåíò ãèïåðêîìïëåêñíîãî ÷èñëà M íà âåêòîð-ñòîëáåö X : MX X�M .
Òîãäà ãèïåðêîìïëåêñíîå óðàâíåíèå (15) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñèñ-
òåìû èç n ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà:
X X�M . (17)
Çàòåì íåîáõîäèìî íàéòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà � �1 ,..., i ìàòðèöû M,
ò.å. ðåøèòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå
M E� �� 0 . (18)
Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà � �1 ,..., i çàâèñÿò îò êîìïî-
íåíòîâ ãèïåðêîìïëåêñíîãî ÷èñëà M.
Äàëåå ñòðîèì îáùåå ðåøåíèå, çàâèñÿùåå îò n2 ïðîèçâîëüíûõ êîíñ-
òàíò, èç êîòîðûõ n n2 � ëèíåéíî çàâèñèìû îò n ïðîèçâîëüíûõ ïåðåìåííûõ.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòèõ ëèíåéíûõ çàâèñèìîñòåé íåîáõîäèìî ðåøèòü ñèñòåìó
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé [1], ïîñëå ÷åãî ïîëó÷èì îáùåå ðåøåíèå (17), çàâè-
ñÿùåå îò ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò, X t C C n( , ,..., )1 , çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðå-
äåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ (16). Êîìîíåíòû âåêòîð-ñòîëáöà
ðåøåíèÿ X ÿâëÿþòñÿ êîìïîíåíòàìè ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíòû îò ãèïåð-
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà M:
Exp( )M x e
i
n
i i�
�
�
1
.
(19)
Ïîñòðîåíèå ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíòû àíòèêâàòåðíèîííîé ïåðå-
ìåííîé. Ïóñòü M AH e� ( , )4 . Âû÷èñëÿåì ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (15).
Ñîãëàñíî (1)
MX m e m e m e m e x e x e x e x e� � � � � � � �( ) ( )1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4
� � � � � � � � �( ) ( )m x m x m x m x e m x m x m x m x e1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 1 3 4 4 3 2
� � � � � � � �( ) ( )m x m x m x m x e m x m x m x m x e1 3 2 4 3 1 4 2 3 1 4 2 3 3 2 4 1 4.
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ïîýòîìó óðàâíåíèå (15) ïðèíèìàåò âèä
� ( ) ( )X m x m x m x m x e m x m x m x m x e� � � � � � � �1 1 2 2 3 3 4 4 1 2 1 1 2 4 3 3 4 2 �
� � � � � � � �( ) ( )m x m x m x m x e m x m x m x m x e3 1 4 2 1 3 2 4 3 4 1 3 2 2 3 1 4 4.
Îòñþäà ïîëó÷àåì àññîöèèðîâàííóþ ñèñòåìó â âèäå
�x m x m x m x m x1 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � ,
�x m x m x m x m x2 2 1 1 2 4 3 3 4� � � � ,
(20)
�x m x m x m x m x3 3 1 4 2 1 3 2 4� � � � ,
�x m x m x m x m x4 4 1 3 2 2 3 1 4� � � � .
Äëÿ ðåøåíèÿ (20) íåîáõîäèìî íàéòè êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ (18), ãäå
M�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
;
E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ñ ó÷åòîì èçëîæåííîãî âûøå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå
óðàâíåíèå èìååò âèä
m m m m
m m m m
m m m m
m m m m
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
� �
� �
� �
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 . (21)
Âû÷èñëèâ (21), ïîëó÷èì óðàâíåíèå (( )m m m m1 3
2
2
2
4
2 2 0� � � � ���� , îòêóäà
îïðåäåëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà
�������� � � � �m m m m1 3
2
4
2
2
2. (22)
Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ÷èñëà ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûìè â çàâèñèìîñòè îò òî-
ãî, êàêîé çíàê èìååò ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè.
I. m m m3
2
4
2
2
2 0� � � . Ââåäåì îáîçíà÷åíèå m m m m� � �3
2
4
2
2
2. Òîãäà ïîëó-
÷èì êðàòíûå êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ �������� � �m1 i m m m2
2
3
2
4
2� � .
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 57
Äëÿ óäîáñòâà ââåäåì îáîçíà÷åíèå ~m m m m� � �2
2
3
2
4
2. Òîãäà êîðíè õà-
ðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (21) ïðèìóò âèä
�������� � �m im1
~ . (23)
Ñîãëàñíî (23) ðåøåíèå ñèñòåìû (20) íàéäåì â ñëåäóþùåé ôîðìå:
X t e A B t mt C D t mtk
m t
k k k k( ) (( ) cos ~ ( ) sin ~ )� � � �1 , k �1 4,..., . (24)
Âû÷èñëÿåì ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ:
� ( ) (( ~ ( ~ ) ) cos ~X t e m A B mC m B mD t mtm t
k k k k k� � � � � �1
1 1
� � � � �( ~ ( ~ ) ) sin ~ )m C D mA m D mB t mtk k k k k1 1 , k �1 4,..., . (25)
Ïîäñòàâèâ ðàâåíñòâà (24) è (25) â àññîöèèðîâàííóþ ñèñòåìó (20) è èñïîëü-
çîâàâ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ïîëó÷èì ñèñòåìó 16 óðàâ-
íåíèé ñ 16 íåèçâåñòíûìè, êîòîðóþ ìîæíî ñâåñòè ê âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé
ñèñòåìå, ââåäÿ ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
Q
m m m
m m m
m m m
m m m
�
�
�
�
�
0
0
0
0
2 3 4
2 4 3
3 4 2
4 3 2
, A
A
A
A
A
�
1
2
3
4
, B
B
B
B
B
�
1
2
3
4
, C
C
C
C
C
�
1
2
3
4
, D
D
D
D
D
�
1
2
3
4
.
Ìàòðèöà Q èìååò òàêîå ñâîéñòâî:
QQ m E� � ~ 2 . (26)
Òîãäà âåêòîðíî-ìàòðè÷íàÿ ñèñòåìà ïðèìåò âèä
B mC QA� �~ ,
~mD QB� ,
� � �~mA D QC ,
(27)
� �~mB QD.
Åñëè ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (27) óìíîæèòü íà ìàòðèöó Q, òî
ïîëó÷èì � �~mQB QQD. Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (26) è ñîê-
ðàòèòü íà ~m, òî ïîëó÷èì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (27). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî
âòîðîå è ÷åòâåðòîå óðàâíåíèÿ ëèíåéíî çàâèñèìû. Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ
âûðàçèì D ÷åðåç B, D QB m� / ~ , è ïîäñòàâèì â òðåòüå óðàâíåíèå, à ïåðâîå
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
óðàâíåíèå óìíîæèì ñëåâà íà Q. Ñ ó÷åòîì (26) ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ
ñèñòåìó:
QB mQC QQA� �~ ,
� � �~
~
mA
m
BQ QC
1
.
(28)
 ðåçóëüòàòå ñëîæåíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåìû (28) ïîëó÷èì óðàâíåíèå 2 0QB � ,
èç êîòîðîãî ñëåäóåò
B D� �0 , (29)
ò.å.
B �
0
0
0
0
, D �
0
0
0
0
.
Òîãäà, ïîäñòàâèâ (29) â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (27), ïîëó÷èì
C
m
QA�
1
~
, (30)
ãäå A — ïðîèçâîëüíàÿ. Ñ ó÷åòîì (24), (29) è (30) çàïèøåì
X t e A mt
m
QA mtm t
( ) cos ( ~ )
~
sin ( ~ )� ��
�
� �
�
�1
1
. (31)
 âûðàæåíèå (31) âõîäèò ïðîèçâîëüíûé âåêòîð-ñòîëáåö, ñîñòîÿùèé èç
÷åòûðåõ êîíñòàíò èíòåãðèðîâàíèÿ, äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîòîðûõ èñïîëüçóåì
íà÷àëüíîå óñëîâèå, ò.å. ðàññìîòðèì îïîðíóþ òî÷êó t = 0, K = 0. Ïîäñòàâèâ
ýòè çíà÷åíèÿ â ðÿä äëÿ ýêñïîíåíòû, ïîëó÷èì
Exp ( )0 1 0 0 01 2 3 4� � � �e e e e , (32)
îòêóäà
X ( )0
1
0
0
0
� . (33)
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 59
Ïîäñòàâëÿÿ (33) â (24), íàõîäèì A1 1� , A2 0� , A3 0� , A4 0� . Ðåøåíèå ñèñòå-
ìû ïîëó÷èì, ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ A1, A2, A3, A4 â (24):
x e mtm t
1
1� cos ( ~ ),
x
m
m
e mtm t
2
2 1�
~
sin ( ~ ),
x
m
m
e mtm t
3
3 1�
~
sin ( ~ ),
x
m
m
e mtm t
4
4 1�
~
sin ( ~ ).
Ñ ïîìîùüþ îáùèõ ðåøåíèé çàïèøåì ýêñïîíåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ îò
àíòèêâàòåðíèîííîé ïåðåìåííîé, ïðèíÿâ m t mi i :
Exp ( ) cos ~ sin ~
~
( )M e me
m
m
m e m e m em� � � ��
�
� �
�
� �1
1 2 2 3 3 4 4
� � � �
� �
� �
e m m m e
m m m
m m m
m em1
2
2
3
2
4
2
1
2
2
3
2
4
2
2
2
3
2
4
2
2cos
sin
( 2 3 3 4 4� �
�
�
�
��
�
�
�
��
m e m e ) .
Èñïîëüçóÿ ñâÿçè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ãèïåðáîëè÷åñêèìè, ìî-
æåì çàïèñàòü
Exp ch( )M e m m m em� � � � �
�
�
�
�
1
2
2
3
2
4
2
1
�
� �
� � �
� � �
�
�
�
��
( )m e m e m e
m m m
m m m2 2 3 3 4 4
2
2
3
2
4
2
2
2
3
2
4
2sh , (34)
II. m m m3
2
4
2
2
2 0� � � .  ýòîì ñëó÷àå èìååì äâà êðàòíûõ äåéñòâèòåëüíûõ
êîðíÿ: �������� � �m m1 . Ðåøåíèå ñèñòåìû (7) íàõîäèì â ñëåäóþùåì âèäå:
X t e A B t e C D tk
m m t
k k
m m t
k k( ) ( ) ( )
( ) ( )� � � � �� �1 1
� � � ��e e A B t e C D tm t m t
k k
m t
k k
1 ( ( ) ( )), k �1 4,..., . (35)
Âû÷èñëÿåì ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ:
dX t
dt
e e A B t m m Bk m t m t
k k k
( )
( (( ) ( ) )� � � � �1
1
� � � ��e C D t m m Dm t
k k k(( )( ) ))1 , k �1 4,..., . (36)
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Êàê è â ñëó÷àå I, ïîäñòàâèì ðàâåíñòâà (35) è (36) â àññîöèèðîâàííóþ
ñèñòåìó (20) è èñïîëüçóåì ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Â ðå-
çóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó 16 óðàâíåíèé ñ 16 íåèçâåñòíûìè, ðåøèâ êîòî-
ðóþ çàïèøåì ñëåäóþùèå îáùèå ðåøåíèÿ:
x e
m m m m
m m
A
m m m m
m m
Am m t
1
3 2 4
4
2
3
2 3
4 2 3
4
2
3
2 4
1�
�
�
�
�
�
�
�
��
�( ) �
�
�� �
�
� �
�
�
� �
�
�
�
��
�e
m m m m
m m
C
m m m m
m m
Cm m t( )1 3 2 4
4
2
3
2 3
4 2 3
4
2
3
2 4
�
�
�� ,
x e
m m m m
m m
A
m m m m
m m
Am m t
2
4 2 3
4
2
3
2 3
2 4 3
4
2
3
2 4
1�
�
�
�
�
�
�
�
��
�( ) �
�
�� �
�
� �
�
�
�
�
�
�
��
��e
m m m m
m m
C
m m m m
m m
Cm m t( )1 4 2 3
4
2
3
2 3
2 4 3
4
2
3
2 4
�
�� ,
x e A e Cm m t m m t
3 3 3
1 1� �� �( ) ( )
, x e A e Cm m t m m t
4 4 4
1 1� �� �( ) ( )
.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò èñïîëüçóåì ðà-
âåíñòâî (32):
A1
1
2
� , A
m
m
2
21
2
� , A
m
m
3
31
2
� , A
m
m
4
41
2
� , B1 0� , B2 0� , B3 0� , B4 0� ,
C1
1
2
� , C
m
m
2
21
2
� � , C
m
m
3
31
2
� � , C
m
m
4
41
2
� � ,
D1 0� , D2 0� , D3 0� , D4 0� .
Èòàê, îáùåå ðåøåíèå äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíòû àíòè-
êâàòåðíèîííîé ïåðåìåííîé èìååò âèä
Exp ch( )M e m m mm� � � � �
�
�
�
�
1
2
2
3
2
4
2
�
� �
� � �
� � �
�
�
�
�
( )m e m e m e
m m m
m m m2 2 3 3 4 4
2
2
3
2
4
2
2
2
3
2
4
2sh . (37)
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 61
Ïîñêîëüêó ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå áîëü-
øå íóëÿ, (37) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Exp ch( )M e m m mm� � � � �
�
�
�
�
1
2
2
3
2
4
2
�
� �
� � �
� � �
�
�
�
��
( )m e m e m e
m m m
m m m2 2 3 3 4 4
2
2
3
2
4
2
2
2
3
2
4
2sh . (38)
III. m m m3
2
4
2
2
2 0� � � .  ýòîì ñëó÷àå èìååì îäèí êðàòíûé äåéñòâèòåëü-
íûé êîðåíü:
�������� �m1. (39)
Ñ ó÷åòîì (39) ðåøåíèå àññîöèèðîâàííîé ñèñòåìû (20) íàõîäèì â âèäå
X t e A B t C t D tk
m m t
k k k k( ) ( )
( )� � � ��1 2 3 , k �1 4,..., . (40)
Âû÷èñëÿåì ïåðâóþ ïðîèçâîäíóþ:
dX t
dt
e m A B m B C tk m t
k k k k
( )
( ( )� � � � �1
1 1 2
� � �( ) )m C D t m D tk k k1
2
1
33 , k �1 4, ..., . (41)
Êàê è ðàíåå, ïîäñòàâèâ ðàâåíñòâà (40) è (41) â àññîöèèðîâàííóþ ñèñòåìó
(20) è èñïîëüçîâàâ ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ, ïîëó÷èì ñèñ-
òåìó 16 óðàâíåíèé ñ 16 íåèçâåñòíûìè, ðåøèâ êîòîðóþ, çàïèøåì ñëåäóþ-
ùèå îáùèå ðåøåíèÿ:
x e
m
m
A
m
m
A
m
m
B
m
m
B
m
m
B
m
m
m t
1
4
2
3
3
2
4
3
2
2 3
4
2
2 4
4
2
3
3
2
1� � � � � � � � B t4
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� ,
x e
m
m
A
m
m
A
m
m
B
m
m
B
m
m
B
m
m
Bm t
2
3
2
3
4
2
4
4
2
2 3
3
2
2 4
3
2
3
4
2
4
1� � � � � �
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
��t ,
x e A B tm t
3 3 3
1� �( ) ,
x e A B tm t
4 4 4
1� �( ).
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ïðîèçâîëüíûõ êîíñòàíò èñïîëüçóåì ðà-
âåíñòâî (32):
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
A1 1� , B1 0� , C1 0� , D1 0� ,
A2 0� , B m2 2� , C 2 0� , D2 0� ,
A3 0� , B m3 3� , C 3 0� , D3 0� ,
A4 0� , B m4 4� , C 4 0� , D4 0� .
Ïðåäñòàâëåíèå ýêñïîíåíòû â ýòîì ñëó÷àå èìååò âèä
Exp ( ) ( )M e e m e m e m em� � � �1
1 2 2 3 3 4 4 . (42)
Ñðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ (34), (38) è (42), âèäèì, ÷òî ïðåäñòàâëåíèÿ
ýêñïîíåíòû äëÿ ñëó÷àåâ I è II ñîâïàäàþò. Åñëè ïðè ýòîì óñòðåìèòü ïîä-
êîðåííîå âûðàæåíèå ðàâåíñòâà (22) ê íóëþ, òî ïîëó÷èì ïðåäñòàâëåíèå
ýêñïîíåíòû äëÿ ñëó÷àÿ III.
Âûâîäû
Èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñëåäóåò, ÷òî â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé
ñèñòåìå àíòèêâàòåðíèîíîâ îïðåäåëåí íàáîð àðèôìåòè÷åñêèõ è àëãåáðàè-
÷åñêèõ îïåðàöèé, êîòîðûé ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ýòó ÷èñëîâóþ ñèñòåìó
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è
òåõíèêè. Öåëåñîîáðàçíî ïîñòðîèòü ïðåäñòàâëåíèÿ äðóãèõ ôóíêöèé àíòè-
êâàòåðíèîíîâ, òàêèõ, êàê ëîãàðèôìè÷åñêàÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåð-
áîëè÷åñêèå ôóíêöèè, ÷òî ìîæåò áûòü ïðåäìåòîì äàëüíåéøèõ íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Êàíòîð È.Ë., Ñîëîäîâíèêîâ À.Ñ. Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà. — Ì. : Íàóêà, 1973. — 144 ñ.
2. Ñèíüêîâ Ì.Â., Áîÿðèíîâà Þ.Å., Êàëèíîâñêèé ß.À. Êîíå÷íîìåðíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëîâûå ñèñòåìû. Îñíîâû òåîðèè. Ïðèìåíåíèÿ. — Êèåâ. : Èíôîäðóê, 2010. — 388 ñ.
3. Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å. Âûñîêîðàçìåðíûå èçîìîðôíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëîâûå ñèñòåìû è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè âû÷èñëåíèé. —
Êèåâ. : Èíôîäðóê, 2012. — 183 ñ.
4. Kuzmina I., Mikes J. On pseudoconformal models of fibrations determined by the algebra of
antiquaternions and projectivization of them // Annales Mathematicae et Informaticae. —
2013. — Vol. 42. — P. 57—64.
5. Ýëèîâè÷ À.À. Î íîðìå áèêâàòåðíèîíîâ è èíûõ àëãåáð ñ öåíòðàëüíûì ñîïðÿæåíèåì.
[Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ] — Ðåæèì äîñòóïà: http://hypercomplex.xpsweb.com/page.
php?lang=ru&id=176. 2004.
6. Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å. Âûñîêîðàçìåðíûå èçîìîðôíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëîâûå ñèñòåìû è èõ ïðèìåíåíèÿ. — Êèåâ : Èíôîäðóê, 2012. — 182 ñ.
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 63
7. Ñèíüêîâ Ì.Â., Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å., Ôåäîðåíêî À.Â. Ïîñòðîåíèå íåêî-
òîðûõ ôóíêöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå 4-ãî ïîðÿäêà// Ðåºñòðàö³ÿ, çáå-
ð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2006. — 8, ¹ 1. — Ñ. 9—16.
8. Ñèíüêîâ Ì.Â., Êàëèíîâñêèé ß.À. Ïðåäñòàâëåíèÿ ýêñïîíåíò â èçîìîðôíûõ ãèïåðêîìï-
ëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåìàõ // Òàì æå. — 2011. — 13, ¹ 2. — Ñ. 27—37.
Y. Kalinovsky, J. Boyarinova, A.Turenko, Y. Khitsko
RESEARCH OF COMPUTING OPERATIONS
IN HYPERCOMPLEX NUMBER SYSTEM OF ANTIQUATERNIONS
The main properties of antiquaternions as generalization of hypercomplex system of quaternions
are presented in the article. Definitions and rules of performance of operations with anti-
quaternions, conjugate antiquaternions, their norm and zero divider are introduced and investi-
gated, and representation of exponential function of antiquaternion variable by using the method
of associated system of the linear differential equations is constructed as well. Such studies would
allow one to formulate and solve new practical problems and improve the efficiency of solving
the problems already discussed earlier.
K e y w o r d s: quaternion, antiquaternion, hypercomplex number system, zero divisor, exponent,
pseudonorm, conjugate antiquaternion.
REFERENCES
1. Kantor I.L., Solodovnikov A.S. Hypercomplex numbers. – Moscow: Nauka, 1973. — 144 p.
(in Russian).
2. Sinkov M.V., Boyarinova J.E., Kalinovsky Y.A. Finite-dimensional hypercomplex number
systems. Fundamentals of the theory. Applications. – Kyiv: Infodruk, 2010. — 388 p. (in Russian).
3. Kalinovsky Y.A., Boyarinova J.E. High-dimensional isomorphic hypercomplex number sys-
tems and their use for efficiency increase calculations. – Kyiv: Infodruk, 2012. — 183 p. (in
Russian).
4. Kuzmina I., Mikes J. On pseudoconformal models of fibrations determined by the algebra of
antiquaternions and projectivization of them // Annales Mathematicae et Informaticae. —
2013. — Vol. 42. — P. 57—64.
5. Eliovich A.A. About norm of biquaternions and other algebras with central interfaces //
Hypercomplex numbers in geometry and physics. – 2004 [Online] 4. pp. 24-50. Available
from: http://hypercomplex.xpsweb.com/articles/176/ru/pdf/02-04.pdf [Accessed]
6. Kalinovsky Y.A., Boyarinova J.E. High-dimensional isomorphic hypercomplex number sys-
tems and their applications. — Kyiv: Infodruk, 2012. — 182 p. (in Russian).
7. Sinkov M.V., Kalinovsky Y.A., Boyarinova J.E., Fedorenko A.V. Creation of some functions in
hypercomplex number system of 4 dimension // Data Recording, Storage and Processing. —
2006. — Vol. 8, ¹ 1. — P. 9—16 (in Russian).
8. Sinkov M.V., Kalinovsky Y.A. An exponent representations in isomorphic hypercomplex num-
ber systems // Ibid. — 2011. – Vol. 13, ¹ 2 — P. 27—37 (in Russian).
Ïîñòóïèëà 28.04.14
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ÊÀËÈÍÎÂÑÊÈÉ ßêîâ Àëåêñàíäðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñò-
ðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1965 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòå-
ìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ÒÓÐÅÍÊÎ Àëèíà Ñåðãååâíà, àñïèðàíòêà Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ
Óêðàèíû.  2013 ã. îêîí÷èëà Æèòîìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìà-
òè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ÁÎßÐÈÍÎÂÀ Þëèÿ Åâãåíüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíè-
âåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 1997 ã. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòå-
ìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ÕÈÖÊÎ ßíà Âëàäèìèðîâíà, ìë. íàó÷. ñîòð. Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 2005 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìà-
òè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
Èññëåäîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ îïåðàöèé â ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 65
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101061 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:33:02Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. 2016-05-30T14:38:01Z 2016-05-30T14:38:01Z 2014 Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 49-65. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101061 004.942 Рассмотрены основные свойства обобщения гиперкомплексной системы кватернионов —антикватернионов. Введено определение и исследованы сопряжения антикватернионов, их норма и делитель нуля, а также правила выполнения операций с ними. Построено представление экспоненты антикватернионной переменной с помощью ассоциированной системы линейных дифференциальных уравнений. Розглянуто основні властивості узагальнення гіперкомплексної системи кватерніонів — антикватерніонів. Введено визначення та досліджено спряження антикватерніонів, їх норма та дільник нуля, а також правила виконання операцій з ними. Побудовано представлення експоненти антикватерніонної змінної за допомогою асоційованої системи лінійних диференціальних рівнянь. The main properties of antiquaternions as generalization of hypercomplex system of quaternions are presented in the article. Definitions and rules of performance of operations with antiquaternions, conjugate antiquaternions, their norm and zero divider are introduced and investigated, and representation of exponential function of antiquaternion variable by using the method of associated system of the linear differential equations is constructed as well. Such studies would allow one to formulate and solve new practical problems and improve the efficiency of solving the problems already discussed earlier. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов Research of computing operations in hypercomplex number system of antiquaternions Article published earlier |
| spellingShingle | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. Вычислительные процессы и системы |
| title | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| title_alt | Research of computing operations in hypercomplex number system of antiquaternions |
| title_full | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| title_fullStr | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| title_full_unstemmed | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| title_short | Исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| title_sort | исследование вычислительных операций в гиперкомплексной числовой системе антикватернионов |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101061 |
| work_keys_str_mv | AT kalinovskiiâa issledovanievyčislitelʹnyhoperaciivgiperkompleksnoičislovoisistemeantikvaternionov AT turenkoas issledovanievyčislitelʹnyhoperaciivgiperkompleksnoičislovoisistemeantikvaternionov AT boârinovaûe issledovanievyčislitelʹnyhoperaciivgiperkompleksnoičislovoisistemeantikvaternionov AT hickoâv issledovanievyčislitelʹnyhoperaciivgiperkompleksnoičislovoisistemeantikvaternionov AT kalinovskiiâa researchofcomputingoperationsinhypercomplexnumbersystemofantiquaternions AT turenkoas researchofcomputingoperationsinhypercomplexnumbersystemofantiquaternions AT boârinovaûe researchofcomputingoperationsinhypercomplexnumbersystemofantiquaternions AT hickoâv researchofcomputingoperationsinhypercomplexnumbersystemofantiquaternions |