Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I
Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка (НЛЗ) круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной машине НЛЗ. Исходной является векторн...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101062 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 67-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859552314971389952 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. |
| citation_txt | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 67-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка (НЛЗ) круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной машине НЛЗ. Исходной является векторная система интегральных уравнений. Рассмотрена вспомогательная задача, когда влияние вихревых токов в кристаллизаторе не учитывается.
Отримано скалярну систему інтегральних рівнянь, яка описує в циліндричній системі координат тривимірний розподіл вихрових струмів в системі безперервно лита заготовка (БЛЗ) круглого перерізу—кристалізатор при електромагнітному перемішуванні у вертикальній машині БЛЗ. Вихідною є векторна система інтегральних рівнянь. Розглянуто допоміжну задачу, коли вплив вихрових струмів в кристалізаторі не враховано.
The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of coordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC) of round cross-section—mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account.
|
| first_indexed | 2025-11-26T06:17:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû,
Å.È. Ïåòðóøåíêî, êàíä. òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
å-mail: dep_7@ voliacable .com)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé
çàãîòîâêå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. I
Ïîëó÷åíà ñêàëÿðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ â öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå íåïðåðûâíî
ëèòàÿ çàãîòîâêà (ÍËÇ) êðóãëîãî ñå÷åíèÿ—êðèñòàëëèçàòîð ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðå-
ìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ìàøèíå ÍËÇ. Èñõîäíîé ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòå-
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ðàññìîòðåíà âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à, êîãäà âëèÿíèå âèõðåâûõ òîêîâ
â êðèñòàëëèçàòîðå íå ó÷èòûâàåòñÿ.
Îòðèìàíî ñêàëÿðíó ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü, ÿêà îïèñóº â öèë³íäðè÷í³é ñèñòåì³
êîîðäèíàò òðèâèì³ðíèé ðîçïîä³ë âèõðîâèõ ñòðóì³â â ñèñòåì³ áåçïåðåðâíî ëèòà çàãîòîâêà
(ÁËÇ) êðóãëîãî ïåðåð³çó—êðèñòàë³çàòîð ïðè åëåêòðîìàãí³òíîìó ïåðåì³øóâàíí³ ó âåðòè-
êàëüí³é ìàøèí³ ÁËÇ. Âèõ³äíîþ º âåêòîðíà ñèñòåìà ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü. Ðîçãëÿíóòî
äîïîì³æíó çàäà÷ó, êîëè âïëèâ âèõðîâèõ ñòðóì³â â êðèñòàë³çàòîð³ íå âðàõîâàíî.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, âèõðåâûå òîêè,
íåïðåðûâíî ëèòàÿ çàãîòîâêà, êðóãëîå ñå÷åíèå, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïåðåìåøèâàíèå.
Ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõ-
ðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòûõ çàãîòîâêàõ (ÍËÇ) êàê êâàäðàòíîãî, òàê è
êðóãëîãî ñå÷åíèÿ [1, ðèñ. 1] îïèñûâàþòñÿ âåêòîðíîé ñèñòåìîé èíòå-
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÂÑÈÓ) [2]. Îäíàêî, ïðåîáðàçîâàíèå ÂÑÈÓ ê ñêàëÿð-
íîé ÑÈÓ (ÑêÑÈÓ) â ñëó÷àÿõ êâàäðàòíîãî è êðóãëîãî ñå÷åíèÿ îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ ïî-ðàçíîìó: â ïåðâîì ñëó÷àå èñïîëüçóåòñÿ äåêàðòîâà ñèñòåìà êîîð-
äèíàò, âî âòîðîì — öèëèíäðè÷åñêàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 67
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
� Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, 2014
Âåêòîðíàÿ ÑÈÓ, îïèñûâàþùàÿ òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðå-
âûõ òîêîâ â óåäèíåííîé ÍËÇ, íàõîäÿùåéñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóê-
òîðà, â îáìîòêàõ êîòîðîãî ïðîòåêàþò èçìåíÿþùèåñÿ âî âðåìåíè òî-
êè. Ïóñòü â îäíîðîäíîé â ìàãíèòíîì îòíîøåíèè ñðåäå ýëåêòðîìàãíèòíîå
ïîëå âîçáóæäàåòñÿ êâàçèñòàöèîíàðíûìè òîêàìè â îáìîòêàõ. Âåêòîð ïëîò-
íîñòè ýòèõ òîêîâ îáîçíà÷èì �0, à îáúåì, çàíèìàåìûé èìè, — Vo.  çàãî-
òîâêå, ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿùåå òåëî îáúåìîì Vc,
èíäóêòèðóþòñÿ âèõðåâûå òîêè ïëîòíîñòüþ �.
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé
ñðåäå ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé B A� rot , div A �0,
E
A
t
� � �
�
�
�grad
(1)
ìîæíî ñâåñòè ê óðàâíåíèÿì
�A � � �0 , (2)
�� �0. (3)
 îäíîðîäíîé ñðåäå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (2) èìååò âèä
A Q t
M t
r
d
M t
r
d
V
QM
M
V
QM
M( , )
( , ) ( , )
�
� �
�
�
�
�
�
�0 0
4 4
c
. (4)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âõîäÿùèõ â (4) âèõðåâûõ òîêîâ, ïëîòíîñòü � êîòîðûõ
íåèçâåñòíà, íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (1). Ïîäñòàâëÿÿ
(4) â (1), ïîëó÷àåì
�
��
��
�
��
�
�
�( , )
( )
( , ) ( , )Q t
Q
M t
t r
d
M t
t r
V
QM
M
V
Qc
c
� �� �
1 1
M
Md
�
��
1
grad ,
Q V� c,
(5)
ãäå
� � �0 4/ . (6)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà � â îáúåìå ïðîâîäíèêà íåîá-
õîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèÿ (3) ïðè ãðàíè÷íîì óñëîâèè
��
�
�
�n
A
tS
n
Sc c
� � , (7)
ãäå An— ïðîåêöèÿ âåêòîðà
~
À íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêà Sc â
òî÷êå Q. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íîðìàëè nQ ïðèíÿòî ñîîòâåòñòâåííî
îáúåìó ïðîâîäíèêà Vc â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî. Óñëîâèå (7) ÿâëÿåòñÿ
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ñëåäñòâèåì óñëîâèÿ �n= 0 íà Scè ñîîòíîøåíèÿ (1). Ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëà
ïðîñòîãî ñëîÿ ïëîòíîñòüþ � íà ïîâåðõíîñòè Sc,
�
�
�
( , )
( , )
Q t
M t
r
ds
S
QM
M� �
1
4
c
, (8)
ýòà çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà
�
�
�
�
�
( , ) ( , )
cos ( ) ( , )
Q t M t
n r
r
ds
A Q t
t
S
Q QM
QM
M
n
� ��
1
2
2
2
c
, Q S� c. (9)
Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå (5) ïîòåíöèàë � (8), à â óðàâíåíèå (9) — ïîòåíöèàë
A Q t( , ) (4), ïîëó÷èì
�
��
��
�
�
( , )
( )
( , )
( , )
Q t
Q
M t
t r
d M t
r
r
V
QM
M
S
QM
Qc
c c
� �
1 1
0 M
Mds
3
�
� � �
V
QM
M
M t
t r
d
î
�
�
( , ) 1
, Q V� c,
(10)
�
�
� �
��
( , ) ( , )
cos ( ) ( ,
Q t M t
n r
r
ds
M t
S
Q QM
QM
M
V
nQ
� �
1
2
2
2
c c
)
�
t r
d
QM
M
1
�
� � �2
10�
��
�
V
nQ
QM
M
M t
t r
d
î
( , )
, Q S� c. (11)
Ñ ïîìîùüþ ÂÑÈÓ (10) è (11) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
� ( , )Q O , Q V� c, �î ( , )Q O , Q V� î, (12)
ìîæíî ðàññ÷èòàòü âèõðåâûå òîêè â ìàññèâíîì ïðîâîäíèêå ñëîæíîé ôîð-
ìû â íåñòàöèîíàðíûõ ðåæèìàõ. Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÂÑÈÓ (10),(11) ê
ÑêÑÈÓ ïîòðåáóþòñÿ âûðàæåíèÿ îðòîâ e M�( ), e M�( )÷åðåç îðòû e Q�( ), e Q�( )
[3, ðèñ. 2] :
e M e Q e QM Q M Q� � �� � � �( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( )� �
� , (13)
e M e Q e QM Q M Q� � �� � � �( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( )� � �
� . (14)
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîð rQM ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îðòû e Q�( ),
e Q�( ), ez:
r e Q r e Q r e Q rQM QM QM z QM
zQ Q Q�
�
�
�
�
( ) ( ) ( ) ,
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 69
rQM M M Q Q
Q�
� � � �� � �cos ( ) ,
rQM M M Q
Q�
� � �� �sin ( ) ,
r z zQM
z
M Q
Q � �( ) ,
r r r rQM QM QM QM
zQ Q Q2 2 2 2�
�( ) ( ) ( )
� �
�
� �
�� � � � � �M Q M Q M Q M Qz z2 2 22 cos ( ) ( ) ,
r z zQM M Q M Q M Q M Q� � � � � � �2 2 22
� �
�cos ( ) ( ) .
Ïðåîáðàçîâàíèå âåêòîðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ (ÂÈÓ)(10)
äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â óåäèíåííîé çàãîòîâêå êðóãëîãî
ñå÷åíèÿ ê ÑêÑÈÓ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ïðåîáðàçóåì
ÂÈÓ (10) ê ÑêÑÈÓ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Äëÿ ýòîãî
âåêòîðû � ( , )Q t , � ( , )M t , �0 0( , )M t , âõîäÿùèå â (10), çàïèøåì â öèëèíäðè-
÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
� � � �� � � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )Q t Q t e Q Q t e Q Q t eQ Q Z Z�
,
� � � �� � � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )M t M t e M M t e M M t eM M Z z�
, (15)
� � � �� � � �î î î î î î î î îî î î
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM�
( , )M t ezî .
Äëÿ òîãî ÷òîáû âûðàçèòü âåêòîðû (15) ÷åðåç îðòû e Q�( ), e Q�( ), ez, èñïîëüçóåì
âûðàæåíèÿ îðòîâ e M�( ), e M�( ) ÷åðåç îðòû e Q�( ), e Q�( ) (13), (14):
� � � �� � � �( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )M t M t e M M t e M M t eM M Z z�
�
�� � � � �� � �M M Q M QM t e Q e Q( , ) [ ( ) cos ( ) ( ) sin ( )]�
�
�� � � � �� � �M M Q M QM t e Q e Q( , ) [ ( ) sin ( ) ( ) cos ( )]� �
�
�
e M t e Q M t e Q M t e M tZ Z Q Q Z Z� � � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) , (16)
ãäå
� � � � � � �� � �Q M M Q M M QM t M t M t( , ) ( , ) cos ( ) ( , ) sin ( )� � � � ,
� � � � � � �� � �Q M M Q M M QM t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos ( )� �
� .
(17)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ �o( , )M t0 :
� � � �� � � �î î î î î î î î îî î î
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM�
( , )M t ezî �
�
e Q M t e Q M t e M tQ Q Z Z� � � �� � �( ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )î î î î î î , (18)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ãäå
� �î îQ M t( , ) �
� � � �� � � � � �� �î î î îî î î îM M Q M M QM t M t( , ) cos ( ) ( , ) sin ( ),
� �o oQ M t( , ) �
� �
�� � � � � �� �o o o oo o o oM M Q M M QM t M t( , ) sin ( ) ( , ) cos ( ). (19)
Ïîäñòàâèì â (10) âûðàæåíèÿ (15), (16), (18):
� � �
��
� � � �Q Q ZQ ZQ t e Q Q t e Q Q t e Q
Q
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )
( )
c
�
V
Q Q ZQ ZM t e Q M t e Q M t e M
t
c
� � � �
�
� � � �[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )] 1
r
dv
QM
M
��
1
0
3
� �
�
�
�
S
QM
Q
QM
Q
Z QM
ZQ
QM
MM t
e Q r e Q r e r
r
ds
c
( , )
( ) ( )
� �
� � � �� � � �[ ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (o o o o o oQ Q ZQ ZM t e Q M t e Q M t e M o
î
)]
�
t r
d
QM
M
V
1
� .
(20)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îäíîèìåííûõ îðòàõ ñïðàâà è ñëåâà â (20),
ïîëó÷àåì òðè ñêàëÿðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèÿ. Ïåðâîå èç íèõ, ïîëó-
÷àåìîå ïðèðàâíèâàíèåì âûðàæåíèÿ ïðè îðòàõ e Q�( ), èìååò âèä
�
� �
��
��
�� �Q
V
Q
QM
M
S
Q t
Q
M t
r
dv M t
r( , )
( )
( , )
( , )
c
c c
� �
1 1
0
QM
Q
QM
M
r
ds
�
3
�
� � �
V
Q
QM
M
M t
t r
d
î
î î��
�
� ( , ) 1
, Q V� c.
(21)
Ïîäñòàâèâ â (21) âìåñòî ��Q Q t( , ), ��Q M t( , ), � �î îQ M t( , ) èõ âûðàæåíèÿ (15),
(17), (19), ïîëó÷èì
�
��
� � � �
�
� �c
c
c
c
Q
V
M M Q
QM
M
Q t
Q
M t
t r
dv
( , )
( )
[ ( , ) cos ( )]
�
�
1
�
�
�
� �
V
M M Q
QM
M
S
M t
t r
dv M t
r
ñ ñ
ñ
ñ
� � � �
�
��[ ( , ) sin ( )]
( , )
1 1
0
QM
Q
QM
M
r
ds
�
3
�
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 71
� �
� � �
�
V
M M Q M MM t M t
î
î î î îî î î î� � � � � � �� �[ ( , ) cos( ) ( , ) sin( Q
QM
Mt r
d
)]
�
1
,
Q V� c. (22)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îðòàõ e Q�( ), ïîëó÷àåì âòîðîå ñêàëÿðíîå èí-
òåãðàëüíîå óðàâíåíèå:
�
��
��
��
�� �Q
V
Q
QM
M
S
Q t
Q
M t
r
dv M t
r( , )
( )
( , )
( , )
c
c c
� �
1 1
0
QM
Q
QM
M
r
ds
�
3
�
� � �
V
Q
QM
M
M t
t r
d
î
î î��
�
� ( , ) 1
, Q V� c. (23)
Ïîäñòàâèâ â (23) âìåñòî ��Q Q t( , ), ��Q M t( , ), � �î oQ M t( , ) èõ âûðàæåíèÿ
(15), (17), (19), ïîëó÷èì
� � � � � �
��
� �c c
c
Q Q Q Q Q QQ t Q t
Q
( , ) sin ( ) ( , ) cos ( )
( )
�
�
�
�
�
V
M M Q M M QM t M t
t r
c
c c� � � � � � �
�
� �[ ( , ) sin ( ) ( , ) cos ( )] 1
QM
Mdv
��
1
0
3
�
�
S
QM
Q
QM
MM t
r
r
ds
c
c ( , )
� �
�
�
�
V
M M Q M MM t M t
o
o o o oo o c o� � � � � � �� �[ ( , ) sin ( ) ( , ) cos ( Q
QM
Mt r
d
)]
,
�
1
Q V� c. (24)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îðòàõ eZ , ïîëó÷àåì òðåòüå ñêàëÿðíîå
èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå:
�
� �
��
�
�ZQ
V
ZQ
QM
M
S
Q t
Q
M t
t r
d M t
r( , )
( )
( , )
( , )
c
c c
� �
1 1
0
QM
ZQ
QM
M
r
ds
3
�
� � �
V
ZQ
QM
M
M t
t r
d
î
î î��
�
( , ) 1
, Q V� c. (25)
Òàêèì îáðàçîì, ÂÈÓ (10) ïðåîáðàçîâàíî ê ÑêÑÈÓ (22), (24), (25).
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ãåîìåòðè÷åñêàÿ õàðàêòåðèñòèêà ïîâåðõíîñòè ñëèòêà. Ñëèòîê,
ôîðìà êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. 1 â ðàáîòå [3], ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òîð
ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ. Ïîâåðõíîñòü òîðà Sñ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ êàíî-
íè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ, S S S S Sc � 1 2 3 4� � � , èç êîòîðûõ S1 è S3— êîëüöà, S2è
S4— áîêîâûå ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà.
Ïðèâåäåì èíòåðâàëû èçìåíåíèÿ öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàò �Q, �Q,
zQ òî÷êè Q è âûðàæåíèå íîðìàëè nQ ÷åðåç îðòû öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò â òî÷êå Q â ïðåäåëàõ êàæäîãî èç ó÷àñòêîâ S1 i �1 4,..., :
Q S R R z Z n n eQ Q Q Q z1 1 2 4 1 11 1 1 1
0 2� � � � � � � � �: , ,� � �� ,
Q S R Z z Z n n e QQ Q Q Q2 2 2 1 3 2 22 2 2 2
0 2� � � � � � � � �: , , ( )� � �� � ,
Q S R R z Z n n eQ Q Q Q z3 3 2 4 3 33 3 3 3
0 2� � � � � � � �: , ,� � �� ,
Q S R Z z Z n n e QQ Q Q Q4 4 4 1 3 4 44 4 4 4
0 2� � � � � � � �: , , ( )� � �� � .
Ïðåîáðàçîâàíèå ñêàëÿðíîãî ÈÓ(11) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ
òîêîâ â óåäèíåííîé çàãîòîâêå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ â öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çàïèøåì (11) â âèäå ÑêÑÈÓ íà êîíàíè÷åñêèõ ïîäîá-
ëàñòÿõ ïîâåðõíîñòè ñëèòêà:
�
�
� �( , ) ( , )
cos ( )
Q t M t
n r
r
ds
j S
Q Q M
Q M
M
Vj
i i
i
�
� � �
1
2
2
1
4
2
c
��
�
nQ
Q M
M
i
i
M t
t r
d
( , ) 1
�
� � �2
10�
��
�
V
nQ
Q M
M
i
i
M t
t r
d
î
( , )
, Q Si i� , i �1 4,..., . (26)
ßäðà ÑêÑÈÓ (26) âû÷èñëèì ïî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â òàáë. 1 è 2 â
ðàáîòå [3] . Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàëû, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå (26) :
V
nQ
Q M
M
i
i
M t
t r
d
ñ
�
��
�
( , ) 1
, Q Si i� , i �1 4,..., , (27)
V
nQ
Q M
M
i
i
M t
t r
d
î
�
��
�
0 1( , )
, Q Si i� , i �1 4,..., . (28)
Çàïèøåì èíòåãðàë (27) â ðàçâåðíóòîì âèäå:
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M
i
i
i
i
M t
t r
d
n M t
t r
d
ñ ñ
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))1 1
�
�
�
V
Q i
Q M
M
n e Q M t
t r
di Qi
i
ñ
� �
�
� �( , ( ) ( , )) 1
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 73
�
V
Q i
Q M
M
n e Q M t
t r
di Qi
i
ñ
� �
�
� �( , ( ) ( , )) 1
�
V
Q Z i Z
Q M
M
n e Q M t
t r
di
i
ñ
� �
�
( , ( ) ( , )) 1
, Q Si i� , i �1 4,..., . (29)
Ïóñòü i = 1. Òîãäà n eQ Z1
� � . Ïîäñòàâèâ nQ1
â âûðàæåíèå (29), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M
M t
t r
d
n M t
t r
d
ñ ñ
� ��
��
�
� �
�
1
1
1
1
1 1( , ) ( , ( , ))
�
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
d
Q
ñ
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
1 1
1
1 1
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
ñ
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
1 1
1
1 1
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
Z
n e Q M t
t r
d
M t
ñ ñ
� �
�
� �
�
( , ( ) ( , )) ( ( , ))
1
1
1 1
t r
d
Q M
M
1
1
.
Ïóñòü i = 2. Òîãäà n e QQ2 2� � �( ). Ïîäñòàâèâ nQ2
â âûðàæåíèå (29), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M
M t
t r
d
n M t
t r
d
ñ ñ
� ��
��
�
� �
�
2
2
2
2
1 1( , ) ( , ( , ))
�
�
�
V
Q
Q M
M
c
Q
n e Q M t
t r
d
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
2 2
2
2 1
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
c
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
2 2
2
2 1
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
n e Q M t
t r
d
M t
Q
c c
� �
�
��
�
�( , ( ) ( , )) ( , )
2
2
22 1
t r
d
Q M
M
1
2
�
�
� � �
�
V
M M Q M M QM t M t
t r
c
� � � � � � �
�
� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin ( )]
2 2
1
Q M
Md
2
.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Åñëè i = 3, òî n eQ Z3
� . Ïîäñòàâèâ nQ3
â âûðàæåíèå (29), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M
M t
t r
d
n M t
t r
d
c c
� ��
��
�
� �
�
3
3
3
3
1 1( , ) ( , ( , ))
�
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
c
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
3 3
3
3 1
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
c
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
3 3
3
3 1
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
Z
n e Q M t
t r
d
M t
c c
� �
�
� �
�
( , ( ) ( , )) ( ( , ))
3
3
3 1
t r
d
Q M
M
1
3
.
Åñëè i = 4 , òî n e QQ4 4� �( ). Ïîäñòàâèâ nQ4
â âûðàæåíèå (29), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M
M t
t r
d
n M t
t r
d
c c
� ��
��
�
� �
�
4
4
4
4
1 1( , ) ( , ( , ))
�
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
c
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
4 4
4
4 1
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
c
� �
�
� �( , ( ) ( , ))
4 4
4
4 1
�� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
n e Q M t
t r
d
M t
t
Q
c c
� �
�
��
�
�( , ( ) ( , )) ( , )
4
4
44 1 1
4
r
d
Q M
M
�
�
� � �
�
V
M M Q M M QM t M t
t r
c
� � � � � � �
�
� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin ( )]
4 4
1
Q M
Md
4
.
Ïðåîáðàçóåì èíòåãðàë (28). Äëÿ ýòîãî çàïèøåì åãî â ðàçâåðíóòîì
âèäå:
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
i
i
i
i
M t
t r
d
n M t
t r
d
0 0
0 01 1
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))
M �
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 75
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
di Qi
i
0
1 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
�
V
Q i
Q M
M
n e Q M t
t r
di Qi
i
0
0 1� �
�
� �( , ( ) ( , ))
�
V
Q Z i Z
Q M
M
n e Q M t
t r
di
i
0
0 1� �
�
( , ( ) ( , ))
, Q Si i� , i �1 4,..., . (30)
Ïóñòü i = 1 . Òîãäà n eQ Z1
� � . Ïîäñòàâèâ nQ1
â âûðàæåíèå (30), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M t
t r
d
n M t
t r
d
0
1
1
0
1
1
0 01 1
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))
M �
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
1 1
1
1 0 1� �
�
� �( , ( ) ( , ))
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
1 1
1
1 0 1� �
�
� �( , ( ) ( , ))
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
Z
n e Q M t
t r
d
M t
0
1
1
0
1 0 01� �
�
� �( , ( ) ( , )) ( ( , ))
�
t r
d
Q M
M
1
1
.
Ïóñòü i = 2. Òîãäà n e QQ2 2� � �( ). Ïîäñòàâèâ nQ2
â âûðàæåíèå (30), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M t
t r
d
n M t
t r
d
0
2
2
0
2
2
0 01 1
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))
M �
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
2 2
2
2 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
2 2
2
2 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
n e Q M t
t r
d
M t
Q
0
2
2
0
22 0 01� �
�
�� �( , ( ) ( , )) ( , )
�
t r
d
Q M
M
1
2
�
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
� �
� � �
�
V
M M Q M M QM t M t
0
0 0 2 0 00� � � � � � �� ��[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin (
2
2
1)]
�
t r
d
Q M
M .
Åñëè i = 3, òî n eQ Z3
� . Ïîäñòàâèâ nQ3
â âûðàæåíèå (30) , ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M t
t r
d
n M t
t r
d
0
3
3
0
3
3
0 01 1
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))
M �
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
3 3
3
3 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
3 3
3
3 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
� �� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
Z
n e Q M t
t r
d
M t
0
3
3
0
3 0 01� �
�
� �( , ( ) ( , )) ( ( , ))
�
t r
d
Q M
M
1
3
.
Åñëè i = 4 , òî n e QQ4 4� �( ). Ïîäñòàâèâ nQ4
â âûðàæåíèå (30), ïîëó÷èì
V
nQ
Q M
M
V
Q
Q M
M t
t r
d
n M t
t r
d
0
4
4
0
4
4
0 01 1
� ��
��
�
� �
�
( , ) ( , ( , ))
M �
�
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
4 4
4
4 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
�
V
Q
Q M
M
n e Q M t
t r
dQ
0
4 4
4
4 1� �
�
� ��( , ( ) ( , ))
�� �
V
Q Z Z
Q M
M
V
n e Q M t
t r
d
M t
Q
0
4
4
0
44 0 1� �
�
����( , ( ) ( , )) ( , )
�
t r
d
Q M
M
1
4
�
�
� � �
�
V
M M Q M M QM t M t
0
0 0 4 0 0 40 0� � � � � � �� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin ( )]
�
t r
d
Q M
M
1
4
.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 77
Âûâîäû
Ðåøåíà âñïîìîãàòåëüíàÿ çàäà÷à î ðàñïðåäåëåíèè âèõðåâûõ òîêîâ â óåäè-
íåííîé ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ (òîð ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ). Ïîëó÷åíà
ÑêÑÈÓ (22), (24)—(26), îïèñûâàþùàÿ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â óêàçàííîé çàãîòîâêå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðî-
ìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ.² // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2013. — 35, ¹ 6 — Ñ. 49—62.
2. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðî-
ìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ.II//Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2014. — 36, ¹ 1. — Ñ. 81—95.
3. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ ó÷å-
òîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. ² //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34 , ¹ 1. — C. 81—92.
V.F.Yevdokimov, E.I. Petrushenko
INTEGRAL MODEL OF THREE-DIMENSIONAL
DISTRIBUTION OF EDDY FLOWS IN CONTINUOUS CASTING
OF ROUND CROSS-SECTION UNDER ELECTROMAGNETIC
STIRRING IN VERTICAL MCC. I
The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of co-
ordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC)
of round cross-section — mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the
vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar
integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting
of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account.
K e y w o r d s: integral model, three-dimensional distribution, eddy flows, continuous casting,
round cross-section, electromagnetic stirring.
REFERENCES
1. Yevdokimov V.F., Petrushenko E.I. Integral model of three-dimensional distribution of eddy
flows in continuous casting of square cross-section under electromagnetic stirring in vertical
MCC. I // Electronic Modeling. — 2013. — Vol. 35, ¹ 6. — P. 49—62 (in Russian).
2. Yevdokimov V.F., Petrushenko E.I. Integral model of three-dimensional distribution of eddy
flows in continuous casting of square cross-section under electromagnetic stirring in vertical
MCC. II // Electronic Modeling. — 2014. — Vol. 36, ¹ 1. — P. 81—96 (in Russian).
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
3. Yevdokimov V.F., Kuchaev A.A., Petrushenko E.I., Kuchaev V.A. Model of three-dimensional
magnetic field of the stator of cylindrical electromagnetic stirrer with allowance for magne-
tization currents distribution on the magnetic circuit surface. I // Electronic Modeling. — 2012. —
Vol. 34, ¹ 1. — P. 81—92 (in Russian).
Ïîñòóïèëà 28.05.14
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è ñèñòåì â
ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíàëèç è ñèí-
òåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â
1963 ã. — Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 79
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101062 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-26T06:17:03Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. 2016-05-30T14:39:39Z 2016-05-30T14:39:39Z 2014 Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 67-79. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101062 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка (НЛЗ) круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной машине НЛЗ. Исходной является векторная система интегральных уравнений. Рассмотрена вспомогательная задача, когда влияние вихревых токов в кристаллизаторе не учитывается. Отримано скалярну систему інтегральних рівнянь, яка описує в циліндричній системі координат тривимірний розподіл вихрових струмів в системі безперервно лита заготовка (БЛЗ) круглого перерізу—кристалізатор при електромагнітному перемішуванні у вертикальній машині БЛЗ. Вихідною є векторна система інтегральних рівнянь. Розглянуто допоміжну задачу, коли вплив вихрових струмів в кристалізаторі не враховано. The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of coordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC) of round cross-section—mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I Integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section under electromagnetic stirring in vertical MCC. Article published earlier |
| spellingShingle | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Применение методов и средств моделирования |
| title | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I |
| title_alt | Integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section under electromagnetic stirring in vertical MCC. |
| title_full | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I |
| title_fullStr | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I |
| title_full_unstemmed | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I |
| title_short | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ I |
| title_sort | интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной мнлз i |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101062 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekruglogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzi AT petrušenkoei integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekruglogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzi AT evdokimovvf integralmodelofthreedimensionaldistributionofeddyflowsincontinuouscastingofroundcrosssectionunderelectromagneticstirringinverticalmcc AT petrušenkoei integralmodelofthreedimensionaldistributionofeddyflowsincontinuouscastingofroundcrosssectionunderelectromagneticstirringinverticalmcc |