Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей
Предложен метод решения минимаксной задачи размещения источников физического поля, которое описывается смешанной краевой задачей с использованием уравнения Пуассона. Функция цели — максимальное значение физического поля на конечном множестве точек области. Множество допустимых значений параметров ра...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101063 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей / В.Б. Крыжановский // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 81-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859710403321266176 |
|---|---|
| author | Крыжановский, В.Б. |
| author_facet | Крыжановский, В.Б. |
| citation_txt | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей / В.Б. Крыжановский // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 81-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложен метод решения минимаксной задачи размещения источников физического поля, которое описывается смешанной краевой задачей с использованием уравнения Пуассона. Функция цели — максимальное значение физического поля на конечном множестве точек области. Множество допустимых значений параметров размещения источников определяется условиями взаимного непересечения и невыхода источников за пределы области. Предложен способ вычисления частных производных решения краевой задачи по параметрам размещения.
Запропоновано метод розв’язання мінімаксної задачі розміщення джерел фізичного поля, яке описується змішаною крайовою задачею для рівняння Пуассона. Функція цілі — максимальне значення фізичного поля на скінченній множині точок області. Множина припустимих значень параметрів розміщення джерел визначається умовами взаємного неперетину та невиходу джерел за межі області. Запропоновано спосіб обчислення частинних похідних розв’язку крайової задачі за параметрами розміщення.
The paper deals with minimax placement problem of discrete physical field sources. The field distribution is described by Poisson’s equation with mixed boundary conditions. The objective function is a maximum of field on a finite point set. In the practice these points form a regular grid on a given domain. The set of admissible values of source placement parameters is defined by mutual non-overlapping and belonging of sources to the given domain. The domain and sources are supposed to be rectangles. One of the methods for solving minimax problems, which provides a local optimum and requires computation of partial derivatives with respect to source placement parameters, is used as the solution method. Since the boundary value problem is solved by the method of finite elements, the algorithm to obtain these derivatives is proposed. As a practical example we solved the placement problem for electronic devices with thermal criterion.
|
| first_indexed | 2025-12-01T04:34:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.85
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Æèòîìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíîëîãè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 10005, Æèòîìèð, óë. ×åðíÿõîâñêîãî, 103,
òåë./ôàêñ: +38 (0412) 241422, e-mail: officerector@ztu.edu.ua)
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ
èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ,
îïèñûâàåìîãî ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷åé
Ïðåäëîæåí ìåòîä ðåøåíèÿ ìèíèìàêñíîé çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî
ïîëÿ, êîòîðîå îïèñûâàåòñÿ ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷åé ñ èñïîëüçîâàíèåì óðàâíåíèÿ
Ïóàññîíà. Ôóíêöèÿ öåëè — ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ íà êîíå÷íîì ìíî-
æåñòâå òî÷åê îáëàñòè. Ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ðàçìåùåíèÿ èñòî÷-
íèêîâ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèÿìè âçàèìíîãî íåïåðåñå÷åíèÿ è íåâûõîäà èñòî÷íèêîâ çà ïðå-
äåëû îáëàñòè. Ïðåäëîæåí ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ êðàåâîé
çàäà÷è ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ.
Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ ì³í³ìàêñíî¿ çàäà÷³ ðîçì³ùåííÿ äæåðåë ô³çè÷íîãî ïîëÿ,
ÿêå îïèñóºòüñÿ çì³øàíîþ êðàéîâîþ çàäà÷åþ äëÿ ð³âíÿííÿ Ïóàññîíà. Ôóíêö³ÿ ö³ë³ —
ìàêñèìàëüíå çíà÷åííÿ ô³çè÷íîãî ïîëÿ íà ñê³í÷åíí³é ìíîæèí³ òî÷îê îáëàñò³. Ìíîæèíà
ïðèïóñòèìèõ çíà÷åíü ïàðàìåòð³â ðîçì³ùåííÿ äæåðåë âèçíà÷àºòüñÿ óìîâàìè âçàºìíîãî
íåïåðåòèíó òà íåâèõîäó äæåðåë çà ìåæ³ îáëàñò³. Çàïðîïîíîâàíî ñïîñ³á îá÷èñëåííÿ ÷àñ-
òèííèõ ïîõ³äíèõ ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ çà ïàðàìåòðàìè ðîçì³ùåííÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: îïòèìèçàöèÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ìàòåìà-
òè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ.
Ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû. Ìíîãèå òåõíè÷åñêèå ñèñòåìû ñîäåðæàò äèñêðåò-
íûå èñòî÷íèêè òåïëîòû, íàïðèìåð îäíîêðèñòàëüíûå ñèñòåìû (system on a
chip, SoC) [1], ðàäèàöèîííûå ïå÷è áåç êîíâåêöèîííîé ñåêöèè (radiant fur-
nace) [2] è äðóãèå [3]. Èõ ôóíêöèîíèðîâàíèå â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè
çàâèñèò îò ïîëîæåíèÿ èñòî÷íèêîâ òåïëîòû, êîòîðûå â íèõ ñîäåðæàòñÿ.
 ñîâðåìåííûõ óñòðîéñòâàõ èñïîëüçóþòñÿ ìèëëèîíû òðàíçèñòîðîâ,
ðàáîòàþùèõ íà ãèãàãåðöîâûõ ÷àñòîòàõ [1]. Ïðè ýòîì âûäåëÿåòñÿ çíà-
÷èòåëüíîå êîëè÷åñòâî ýíåðãèè, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ òåìïåðàòóðû
îäíîêðèñòàëüíûõ ñèñòåì. Ýòè òåðìè÷åñêèå ýôôåêòû îêàçûâàþò íåæåëà-
òåëüíîå âîçäåéñòâèå íà ôóíêöèîíèðîâàíèå îäíîêðèñòàëüíûõ ñèñòåì. Íà-
ïðèìåð, áîëüøèå ãðàäèåíòû òåìïåðàòóðû ïðèâîäÿò ê âîçíèêíîâåíèþ çíà-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 81
� Â.Á. Êðûæàíîâñêèé, 2014
÷èòåëüíûõ òåðìîíàïðÿæåíèé, ÷òî ìîæåò âûçâàòü îøèáêè ôóíêöèîíèðî-
âàíèÿ èëè äàæå ðàçðóøåíèå ìèêðîñõåìû.
Ïîýòîìó íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ òàêèõ îäíîêðèñòàëüíûõ ñèñòåì âîç-
íèêàåò çàäà÷à ðàçìåùåíèÿ òåïëîâûäåëÿþùèõ ýëåìåíòîâ òàêèì îáðàçîì,
÷òîáû ìèíèìèçèðîâàòü íåãàòèâíîå âëèÿíèå çíà÷èòåëüíûõ ïåðåïàäîâ òåì-
ïåðàòóðû. Ïîñêîëüêó â íàñòîÿùåå âðåìÿ ïðîåêòèðîâàíèå îñóùåñòâëÿåòñÿ
ñ ïîìîùüþ ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ (CAD/CAE ñèñ-
òåìû), îöåíêà àëüòåðíàòèâíûõ ïðîåêòíûõ ðåøåíèé è âûáîð èç íèõ îïòè-
ìàëüíîãî, ïî îïðåäåëåííîìó êðèòåðèþ, ÿâëÿåòñÿ ïåðñïåêòèâíûì íàïðàâ-
ëåíèåì ñîâåðøåíñòâîâàíèÿ è ðàçâèòèÿ CAD/CAE ñèñòåì.
 ðàáîòå [2] ðàññìîòðåí ïðèìåð ðàäèàöèîííîé ïå÷è, â êîòîðîé äëÿ
îáðàáàòûâàåìîé äåòàëè ñëåäóåò ïîëó÷èòü ðàâíîìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå
òåìïåðàòóðû. Òåïëîâûäåëÿþùèå ýëåìåíòû íàõîäÿòñÿ íà ñòåíêàõ ðàáî÷åé
çîíû ïå÷è. Òåõíîëîãè÷åñêè îíè ðàçìåùåíû â âèäå ìàòðèöû. Ïîñðåäñòâîì
èçìåíåíèÿ èõ òåïëîâûäåëåíèÿ ôîðìèðóåòñÿ æåëàåìîå òåìïåðàòóðíîå ïî-
ëå. Ñ òî÷êè çðåíèÿ îïòèìèçàöèè òàêóþ çàäà÷ó ìîæíî êëàññèôèöèðîâàòü
êàê ðàçìåùåíèå èñòî÷íèêîâ ðàçëè÷íîé èíòåíñèâíîñòè íà çàäàííûå ïîñà-
äî÷íûå ìåñòà. Íà ýòàïå ïîäãîòîâêè ïðîèçâîäñòâà îïðåäåëåíèå ðàçìåùå-
íèÿ èñòî÷íèêîâ â ìàòðèöå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïðîâåðêîé ïðîåêòíûõ ðåøåíèé
ñ ïîìîùüþ ÑÀD/CAE ñèñòåì.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ðàññ÷èòàòü òåìïåðàòóðíîå ïîëå â çàäàííîé îáëàñòè,
ñëåäóåò ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó òåïëîïðîâîäíîñòè. Îäíèì èç ìåòîäîâ
ðåøåíèÿ òàêèõ êðàåâûõ çàäà÷ â ÑÀD/CAE ñèñòåìàõ ÿâëÿåòñÿ ìåòîä êîíå÷-
íûõ ýëåìåíòîâ. Ñ îäíîé ñòîðîíû, äàííûå çàäà÷è êàñàþòñÿ îïòèìèçàöèè
ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, ñ äðóãîé, — â íèõ íåîáõîäèìî
ó÷åñòü ãåîìåòðè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå èñòî÷íè-
êîâ. Ìåòîäû, àëãîðèòìû, îñîáåííîñòè è êëàññèôèêàöèÿ çàäà÷ äàííîãî
êëàññà ïîäðîáíî ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [3—5 è äð.].
Áûëî óñòàíîâëåíî [6], ÷òî îäíèì èç ïåðñïåêòèâíûõ íàïðàâëåíèé ðàç-
ðàáîòêè óêàçàííûõ ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìèíèìàêñíûõ ìåòî-
äîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ. Ïîñêîëüêó êðèòåðèé êà÷åñòâà
ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ çàâèñèò îò ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è, âîçíèêàåò
íåîáõîäèìîñòü èññëåäîâàíèÿ çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è îò
ïàðàìåòðîâ ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ. Äëÿ îäíîãî êëàññà êðàåâûõ çàäà÷
äèôôåðåíöèðóåìîñòü èõ ðåøåíèÿ ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ äîêàçàíà â
ðàáîòàõ [7, 8]. Îäíàêî êðàåâûå çàäà÷è â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìîæíî
ðåøàòü òîëüêî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, â ÷àñòíîñòè ìåòîäîì êîíå÷íûõ
ýëåìåíòîâ. Ïîýòîìó äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ áûëè íàïðàâëåíû íà ïîèñê
àëãîðèòìîâ ÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ ïî
ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ [9].
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðàññìîòðèì ìèíèìàêñíóþ çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî ðàçìåùåíèÿ èñòî÷-
íèêîâ â ñëó÷àå, êîãäà ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû îïèñûâàåòñÿ ñìåøàí-
íîé êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ ýëëèïòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü A x y( , ) — ôèíèòíàÿ
ôóíêöèÿ â ïðîñòðàíñòâå R 2. Åå íîñèòåëåì ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûé îáúåêò
� [10], êîòîðûé íàçîâåì íîñèòåëåì èñòî÷íèêà D ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ è
îáîçíà÷èì supp D. Ôóíêöèÿ A x y( , ) â ýòîì ñëó÷àå íàçûâàåòñÿ èíòåíñèâ-
íîñòüþ èñòî÷íèêà D.
Ðàññìîòðèì â äâóìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå îáëàñòü �, ñîäåð-
æàùóþ íîñèòåëè èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ supp Di , i m�1,..., . Ñâÿæåì
ñ êàæäûì íîñèòåëåì èñòî÷íèêà ñîáñòâåííóþ ëîêàëüíóþ ñèñòåìó êîîð-
äèíàò Q x yi i i , i m�1,..., , à ñ îáëàñòüþ �— ãëîáàëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò
Oxy. Âîçìîæíîñòü ïîâîðîòà ëîêàëüíûõ ñèñòåì êîîðäèíàò îòíîñèòåëüíî
ãëîáàëüíîé íå äîïóñêàåòñÿ. Â ðåçóëüòàòå ïîëîæåíèå êàæäîãî íîñèòåëÿ â
ãëîáàëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îïðåäåëÿåòñÿ ïîëîæåíèåì òî÷êè îòñ÷åòà
Oi ñîáñòâåííîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Îáîçíà÷èì êîîðäèíàòû Oi ÷åðåç z i i i� ( , )� � , i m�1,..., , â ãëîáàëüíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëîæåíèå âñåõ íîñèòåëåé â ãëîáàëü-
íîé ñèñòåìå êîîðäèíàò çàäàíî âåêòîðîì Z z z zm� ( , ,..., )1 2 . Íà ðèñ. 1 ïðåä-
ñòàâëåíû íîñèòåëè èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ, ðàñïîëîæåííûå â îá-
ëàñòè �, â ñëó÷àå, êîãäà îíè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè.  êà÷åñòâå Oi ,
i �1 2, , âûáðàíû ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïðÿìîóãîëüíèêîâ. Îñè ñîáñòâåí-
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 83
0
+ P1
+ P2
+ kP
dj
di
y, �
lj
li
yj
yi
xj
xi
Oj
Oi
suppDj
suppDi
�i ��
�� ��
��
�
� j x� � a
b
�i
� j
Ðèñ. 1. Íîñèòåëè èñòî÷íèêîâ ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû, ðàñïîëîæåííûå â îáëàñòè �
íûõ ñèñòåì êîîðäèíàò äëÿ óäîáñòâà âûáðàíû ïàðàëëåëüíûìè îñÿì ãëî-
áàëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ôèçè÷åñêîå ïîëå, èíäóöèðóåìîå èñòî÷íèêàìè â ðàññìàòðèâàåìîé
ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû, îïèñûâàåòñÿ
ñëåäóþùåé êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà:
k
u
x
u
y
f x y Z
�
�
�
�
2
2
2
2
�
�
�
�
�
� � � ( , , ) ,
(1)
u k
u
n
q�
�
�
�
�
�
�
1
2
� � �, , (2)
f x y Z
A x y z x y D
x y
i i i
i
m( , , )
( , , ), ( , )
, ( , )
�
�
� �
�
if supp
if s0
1
uppDi
�
�
�
��
, (3)
ãäå ��1, ��2 — ó÷àñòêè ãðàíèöû îáëàñòè �; n — íîðìàëü ê ��2; � è q —
ôóíêöèè, çàäàííûå íà ��1 è ��2; k — êîýôôèöèåíò, îòðàæàþùèé ñâîéñò-
âà ìàòåðèàëà ðàñ÷åòíîé îáëàñòè �.
Ôóíêöèÿ öåëè, çàâèñÿùàÿ îò ðàçìåùåíèÿ íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ ôèçè-
÷åñêîãî ïîëÿ, èìååò âèä
F Z u x y Z
j
j j( ) max ( , , )� , j p�{ , , ..., }1 2 , (4)
ãäå P x yj j j( , ), j p�1 2, , ..., , — ôèêñèðîâàííûå òî÷êè îáëàñòè �. Êîîðäè-
íàòû ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê îáëàñòè �, ïî êîòîðûì áåðåòñÿ ìàêñèìóì
çíà÷åíèé ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ, îïðåäåëÿþòñÿ ðåøàåìîé ïðàêòè÷åñêîé çàäà-
÷åé. Åñëè ðàññìàòðèâàòü çíà÷åíèÿ ïîëÿ â óçëàõ íåêîòîðîé ðåãóëÿðíîé
ñåòêè â �, òî ìîæíî ïîëó÷èòü â íåêîòîðîì ïðèáëèæåíèè ìàêñèìàëüíîå
çíà÷åíèå ïîëÿ â îáëàñòè �.
Ïðè ïîñòàíîâêå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è íåîáõîäèìî ðàçìåñòèòü
èñòî÷íèêè ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ â îáëàñòè òàê, ÷òîáû çàäàííàÿ ôóíêöèÿ ìàê-
ñèìóìà äîñòèãëà ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, êîãäà íîñèòåëè èñòî÷íèêîâ íå
ïåðåñåêàþòñÿ ìåæäó ñîáîé è íå âûõîäÿò çà ãðàíèöû îáëàñòè:
óñëîâèå íåïåðåñå÷åíèÿ íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ —
supp suppD Di j� � �, i j m� �1 2, , ..., , (5)
óñëîâèå íåâûõîäà èñòî÷íèêîâ çà ãðàíèöû îáëàñòè —
i
m
iD
�
�
1
� supp � .
(6)
Óñëîâèÿ (5), (6) îïðåäåëÿþò äîïóñòèìîå ìíîæåñòâî G çíà÷åíèé Z.
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à îïòèìèçàöèè èìååò âèä F Z( ) min� , Z G� , è êëàñ-
ñèôèöèðóåòñÿ êàê íåïðåðûâíàÿ ìèíèìàêñíàÿ çàäà÷à [11]. Èñïîëüçîâàíèå
ñîîòâåòñòâóþùèõ ìåòîäîâ äëÿ îòûñêàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèè
F Z( ) íà ìíîæåñòâå G òðåáóåò âû÷èñëåíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè
u x y Z( , , ) ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ.
Âû÷èñëåíèå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ èñ-
òî÷íèêîâ. ×àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè u x y Z( , , ) âû÷èñëÿåì êàê îïèñàíî
â [9]. Ñîãëàñíî ìåòîäó êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå êðàåâîé
çàäà÷è ïîëó÷àåì â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì:
�u a N
e
M
e e� �
�
!
1
, (7)
ãäå ! è áàçèñíûå ôóíêöèè N e , e M�1 2, ,..., , âûáèðàþòñÿ òàê, ÷òîáû âûïîë-
íÿëîñü ðàâåíñòâî u u� � íà ��1, ò.å.! �� è N e �0, e M�1 2, ,..., , íà ��2.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ae , e M�1 2, ,..., , èñïîëü-
çóåì óðàâíåíèå ìåòîäà âçâåøåííûõ íåâÿçîê
k
u
x
u
y
W dxdy W f x y Z dxdyl l
� �
" "�
#
$
%
&
'
( � �
�
�
�
�
2
2
2
2
� �
( , , ) ,
� �
�
� �
�
� �"
�
�
�
�
)k
u
n
q W dl
�
,0 l M�1 2, , ..., ,
ãäåWl ,Wl — âåñîâûå ôóíêöèè. Íà îñíîâàíèè ôîðìóëû Ãðèíà ïîëó÷àåì
� �#
$%
&
'(
�" "k
W
x
u
x
W
y
u
y
dxdy W f x y Z dxl l
l
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( , , ) dy �
� �
�
� �
�
� �
�
" "
� � �
�
�
�
�
� � �
) � )
1
0k
u
n
W d k
u
n
q W dl l
� �
. (8)
Âûáèðàåì âåñîâûå ôóíêöèè íà ãðàíèöå îáëàñòè: Wl � 0 íà ��1 è
W Wl l� � íà ��2. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî èíòåãðàëû, ñîäåðæàùèå ïðîèç-
âîäíóþ ïî íîðìàëè ê ãðàíèöå, âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ è ñîîòíîøåíèå (8)
ïðèíèìàåò âèä:
k
W
x
u
x
W
y
u
y
dxdy W f x y Z dxdl l
l
� �
" "�#
$%
&
'(
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
( , , ) y W qdl� �"
��
) 0 . (9)
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 85
Ïîäñòàâèâ â óðàâíåíèå (9) ðàçëîæåíèå u ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì (7) è
ïîëîæèâ â êà÷åñòâå áàçèñíûõ ôóíêöèé W Nl l� ,*l, ïîëó÷èì ñèñòåìó ëè-
íåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ðàç-
ëîæåíèÿ
Ka b� , (10)
ãäå ýëåìåíòû ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöû K è ïðàâîé ÷àñòè b îïðåäåëÿþòñÿ èç
óðàâíåíèé
K k
N
x
N
x
N
y
N
y
dxdyij
i j i j� �
�
�
�
�
�"
�
�
�
�
�
�
�
�
�
, 1+ +i j M, ,
b N f x y Z dxdy N qd k
N
x x
N
y
i l i
i i� � � �" " "
� � �
)( , , )
�
�
�
�!
�
�
�
�!
�y
dxdy
�
�
�
�
� ,
1+ +i M . (11)
 (11) ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (10) äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ
ðàçëîæåíèÿ (7) çàâèñèò îò ïàðàìåòðîâ ðàçìåùåíèÿ Z. Ðåøàÿ ñèñòåìó óðàâ-
íåíèé (10), ïîëó÷àåì êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ êàê ôóíêöèè îò ïàðà-
ìåòðîâ ðàçìåùåíèÿ. Ïîñêîëüêó öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîëó÷åíèå ÷àñòíûõ ïðîèç-
âîäíûõ ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ, ñëåäóåò b ïðîäèôôåðåí-
öèðîâàòü ïî ïàðàìåòðàì èñòî÷íèêîâ è ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé (10),
ïîäñòàâèâ ïîëó÷åííûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî òîìó èëè èíîìó ïàðà-
ìåòðó â êà÷åñòâå ïðàâîé ÷àñòè (10).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ïðèáëèæåíèå
÷àñòíîé ïðîèçâîäíîé â âèäå ðàçëîæåíèÿ
�
��
� , -
��
�u a
N
k e
M
k
e�
�
1
.
.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ñïîñîá äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ôóíêöèè f x y Z( , , )ïî
ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì åå â âèäå
ðàçëîæåíèÿ â äâîéíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ðÿä:
f x y Z d
j x
a
k y
bj k
jk( , , ) sin sin�
�
/
�
/
1 1
0 0
,
(12)
ãäå
d
ab
f x y Z
j x
a
k y
b
dxdyjk
a b
� " "
4
0 0
( , , ) sin sin
0 0
;
a è b — ðàçìåðû ïðÿìîóãîëüíèêà, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ îáëàñòü �. Äëÿ
ïîëó÷åíèÿ ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè f x y Z( , , ) ñëåäóåò ïðîäèôôå-
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
ðåíöèðîâàòü ðàçëîæåíèå (12) ïî òðåáóåìîìó ïàðàìåòðó, ðåçóëüòàò ïîäñòà-
âèòü â (11) è ðåøèòü ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (10).
Ãåîìåòðè÷åñêèå îãðàíè÷åíèÿ íà ðàçìåùåíèÿ.  ñëó÷àå ïðÿìî-
óãîëüíîé îáëàñòè� è ïðÿìîóãîëüíûõ íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ supp Di îãðà-
íè÷åíèÿ (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå
� i
il1
2
, �i
id
1
2
, � i
ia
l
+ �
2
, �i
ib
d
+ �
2
, i m�1 2, ,..., ,
ãäå a, b è li, di — ðàçìåðû îáëàñòè W è íîñèòåëåé supp Di . Î÷åâèäíî, ÷òî
íîñèòåëè supp Di è supp D j íå ïåðåñåêàþòñÿ, åñëè âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû
îäíî èç ñëåäóþùèõ íåðàâåíñòâ:
� �i j i jl l� � � 1( ) /2 0, � �j i i jl l� � � 1( ) /2 0 ,
� �i j i jd d� � � 1( ) /2 0, � �j i i jd d� � � 1( ) /2 0 .
(13)
Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ ðåøåíèé G ìîæåò áûòü ïîêðûòî
êîíå÷íûì ÷èñëîì âûïóêëûõ ïîäìíîæåñòâ Gk , k
m m
�
�
1 4
1
2, ...,
( )
:
G G
k
k
m m
�
�
�
1
4
1
2
( )
� .
Çäåñü Gk îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ
� i
il� 1
2
0, i m�1,..., ,
�i
id
� 1
2
0, i m�1,..., ,
�� j
ia
l
� � 1
2
0, i m�1,..., , (14)
��i
ib
d
� � 1
2
0, i m�1,..., ,
Eij i j i j( , , , )� � � � 1 0, i j m� �1 2, ,..., ,
ãäå Eij i j i j( , , , )� � � � 1 0 — îäíî èç íåðàâåíñòâ (13). Ïåðåïèøåì (14) â
ìàòðè÷íîé ôîðìå:V Z Dk k� 1 0.
Ðåøåíèå îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è. Èòàê, íåîáõîäèìî âû÷èñëèòü
çíà÷åíèå Z* òàêîå, ÷òî Z F Z Z G* argmin{ ( ) : }� � . Ïîñêîëüêó äàííàÿ çàäà÷à
ÿâëÿåòñÿ ìíîãîýêñòðåìàëüíîé [3], ïîèñê ãëîáàëüíîãî îïòèìóìà — ÷ðåçâû-
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 87
÷àéíî ñëîæíàÿ çàäà÷à. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåì àëãîðèòì ïîèñêà ñòàöèî-
íàðíîé òî÷êè.
À ë ã î ð è ò ì.
1. Ôîðìèðóåì íà÷àëüíîå ðàçìåùåíèå Z0, ñîîòâåòñòâóþùåå äîïóñ-
òèìîìó ðàçìåùåíèþ íîñèòåëåé supp Di , i m�1 2, ,..., , â îáëàñòè�. Äëÿ ýòîãî
óäîáíî èñïîëüçîâàòü øòðàôíûå ôóíêöèè [12].
2. Îïðåäåëÿåì âûïóêëîå ìíîæåñòâî G
i*
, êîòîðîå ñîäåðæèò Z0.
3. Íàõîäèì ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó Zi *
ôóíêöèè F Z( ) íà ìíîæåñòâå G
i*
.
4. Åñëè Zi *
ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ïî îòíîøåíèþ êî âñåì
ïîäìíîæåñòâàì Gi , i �1,...,2, êîòîðûå ñîäåðæàò Zi *
, òî îñòàíàâëèâàåìñÿ.
Ðåøåíèå ïîëó÷åíî. Èíà÷å, åñëè Gk äîïóñêàåò óëó÷øåíèå F Z( ), òî ïåðå-
õîäèì ê øàãó 3.
Îïèøåì òåïåðü àëãîðèòì ïîèñêà ñòàöèîíàðíîé òî÷êè ôóíêöèè (4) íà
âûïóêëîì ìíîæåñòâå G
i*
. Çàïèøåì ôóíêöèþ (4) â âèäå F Z u Z
j j( ) max ( )� ,
ãäå u Z u x y Zj j j( ) ( , , )� , j p�{ , ,..., }1 2 , Z G
i
� * . Äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé ìèíè-
ìàêñíîé çàäà÷è èñïîëüçóåì ñëåäóþùèé èòåðàòèâíûé ìåòîä [11].
Ïóñòü Q Z g G g Z
i i* *( ) { :|| || }� � � +1 , ãäå || ||3 — íîðìà â R m2 . Ââåäåì
ñëåäóþùèå ôóíêöèè:
! ( ) min max ( ),
* ( ) ( )
Z u Z g Z
g Q Z j R Z
j
i
� 4 �
� �
,
!5
5
( ) min max ( ),
* ( ) ( )
Z u Z g Z
g Q Z j R Z
j
i
� 4 �
� �
,
ãäå R Z( ) � { j p�{ , , ..., }1 2 : u Z F Zj ( ) ( )� }; R Z5 ( ) � { j p�{ , , ..., }1 2 : F Z( )�
� +u Zj ( ) 5}; 3 3, — ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå.
Ïóñòü 5 0 06 , 7 0 06 è Z G
i
0� * . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà l-é èòåðàöèè
Z Gl
i
� * . Åñëè ! ( )Zl �0 , òî Zl — ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà ôóíêöèè F Z( ) íà
ìíîæåñòâå G
i*
. Ïðîöåññ ðåøåíèÿ çàêîí÷åí.
Åñëè ! ( )Zl � 0 , òî ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÷èñåë 5 58 8� 0 2/ ,
8� 0 1 2, , , ..., è íàéäåì 8 8� � òàêîå, ÷òî!
7
5
55 88�
( ) �Zl + � 0
0
.
Ïóñòü 5 58� �� . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî g Q
i i* *� , òàê ÷òî
!5
5
�
( )
( ) max ( ),
�
*Z u Z g Zl
j R Z
j
l
i
l
l
� 4 �
�
.
Äëÿ òîãî ÷òîáû íàéòè òî÷êó g Q
i i* *� , íåîáõîäèìî ðåøèòü ñëåäóþùóþ
çàäà÷ó ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ:
y u Z g Z y j R Zj
l l l� 4 � + �min, ( ), , ( ),�5 V Z D
i i* *� 1 0, | |g Zl� +1.
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Òåïåðü ðàññìîòðèì îòðåçîê S S Z g Z
i
l
i
l� � � �* *( ) ( )9 9 , 0 1+ +9 .
Î÷åâèäíî, ÷òî S Q
i i* *( )9 � . Äàëåå, íàéäåì òî÷êó 9
i*
[ , ]� 0 1 òàêóþ, ÷òî
F S F S
i i i
( ( )) min ( ( ))* * *
[ , ]
9 9
9
�
� 0 1
2 . Ïðè ýòîì ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ îäíèì èç
èòåðàòèâíûõ ìåòîäîâ îäíîìåðíîé îïòèìèçàöèè äëÿ íåëèíåéíûõ ôóíê-
öèé. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ïîëó÷àåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
{ , ,Z Z0 1 ..., , ...}Zl è F Z F Z F Zl( ) ( ) ... ( ) ...0 16 6 6 6 .
Èçâåñòíî [11], ÷òî åñëè äàííàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü êîíå÷íà, òî ïîñëåäíèé
åå ýëåìåíò åñòü ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèè F Z( ) íà ìíîæåñòâå G
i*
.
Åñëè ýòà ïîñëåäîâàòåëüíîñòü áåñêîíå÷íàÿ, òî ëþáàÿ ãðàíè÷íàÿ òî÷êà
ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèè F Z( ) íà ìíîæåñòâå G
i*
.
Âû÷èñëèòåëüíûé ýêñïåðèìåíò. Ãåîìåòðè÷åñêèå è òåïëîôèçè÷åñêèå
ñâîéñòâà, ÷èñëî è íà÷àëüíîå ðàçìåùåíèå èñòî÷íèêîâ äëÿ çàäà÷è (1)—(3)
òàêèå æå, êàê â ðàáîòàõ [13, 14], â êîòîðûõ ôèçè÷åñêîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ
ðàñïðåäåëåíèåì òåìïåðàòóðû â ðàñ÷åòíîé îáëàñòè. Îäíîé èç ìèíèìèçè-
ðóåìûõ ôóíêöèé åñòü ôóíêöèÿ ìàêñèìóìà òåìïåðàòóðû â óçëàõ ðåãó-
ëÿðíîé ñåòêè.
Ðàñ÷åòíûå äàííûå äëÿ çàäà÷è (1)—(3) ñëåäóþùèå: k = 0,25 Âò/(ì 3 ãðàä);
� � 0, q � 0, a = 5 ñì, b = 5 ñì; ðàññåèâàåìàÿ èñòî÷íèêîì ìîùíîñòü 0,06 Âò.
Êîîðäèíàòû ôèêñèðîâàííûõ òî÷åê îáëàñòè �, îáðàçóþùèõ ðåãóëÿðíóþ
ñåòêó, ïðèâåäåíû â òàáë. 1, à êîîðäèíàòû íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ ïðè íà-
÷àëüíîì è ïîëó÷åííîì îïòèìàëüíîì ðàçìåùåíèè — â òàáë. 2.
Íà÷àëüíîå ðàçìåùåíèå íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ supp Di , i = 1, ..., 9, â
îáëàñòè � è ðàñïðåäåëåíèå ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2, à, à
ðåçóëüòàòû ðàçìåùåíèÿ íîñèòåëåé ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà
è ñîîòâåòñòâóþùåå ðàñïðåäåëåíèå ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ — íà ðèñ. 2, á.
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 89
Íîìåð òî÷êè x, ñì y, ñì Íîìåð òî÷êè x, ñì y, ñì
1 0,5 0,5 9 0,5 3,25
2 1,75 0,5 10 1,75 3,25
3 3,25 0,5 11 3,25 3,25
4 4,5 0,5 12 4,5 3,25
5 0,5 1,75 13 0,5 4,5
6 1,75 1,75 14 1,75 4,5
7 3,25 1,75 15 3,25 4,5
8 4,5 1,75 16 4,5 4,5
Òàáëèöà 1
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
Ðèñ. 2. Íà÷àëüíîå (à) è îïòèìàëüíîå (á) ðàçìåùåíèÿ íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ (çíà÷åíèÿ
ïîëÿ óêàçàíû âîçëå ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷åê 1—9) è ñîîòâåòñòâóþùèå ôèçè÷åñêèå ïîëÿ â
îáëàñòè �
supp Di
Êîîðäèíàòû íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ ïðè ðàçìåùåíèè
íà÷àëüíîì îïòèìàëüíîì
�i �i �i �i
1 1,5 1,5 0,25 0,25
2 2,5 1,5 0,75 0,25
3 3,5 1,5 4,75 0,25
4 1,5 2,5 0,25 0,75
5 2,5 2,5 2,53 0,75
6 3,5 2,5 4,75 0,75
7 1,5 3,5 0,25 1,25
8 2,5 3,5 0,75 4,75
9 3,5 3,5 4,75 1,25
Òàáëèöà 2
Êàê âèäèì, ðàçðàáîòàííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ÷èñëåííî ïîëó÷àòü ÷àñò-
íûå ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ êðàåâîé çàäà÷è ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ
íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ.
Âûâîäû
Ïðèìåíÿåìûé äëÿ ñìåøàííûõ êðàåâûõ çàäà÷ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíî îäè-
íî÷íîãî ðàçìåùåíèÿ íîñèòåëåé èñòî÷íèêîâ [3, 4] íå ãàðàíòèðóåò ñòàöèî-
íàðíîñòè ïîëó÷àåìûõ òî÷åê. Ðàññìîòðåííàÿ â ðàáîòàõ [5, 6, 12] êðàåâàÿ
çàäà÷à áûëà î÷åíü óïðîùåííîé, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõîäèìîñòüþ ïîëó÷èòü
åå ðåøåíèå â âèäå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ðÿäà è, êàê ñëåäñòâèå, ñ âîçìîæ-
íîñòüþ ïîëó÷èòü ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïî ïàðàìåòðàì ðàçìåùåíèÿ. Ïðåä-
ëàãàåìûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü äîñòàòî÷íî øèðîêèé êëàññ
êðàåâûõ çàäà÷, âîçíèêàþùèõ íà ïðàêòèêå, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîãî ìåòîä
ðåøåíèÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè-
÷åñêîãî ïîëÿ, îïèñûâàåìîãî ñìåøàííîé êðàåâîé çàäà÷åé äëÿ äèôôåðåí-
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Chen C.C.-P., et al. Temperature-Aware Placement for SOCs // Proc. of the IEEE. — 2006. —
Vol. 94, ¹ 8. — P. 1502—1517.
2. Chopade R.P., Mishra S.C., Mahanta P., Maruyama S. Effects of locations of a 3-D design
object in a 3-D radiant furnace for prescribed uniform thermal conditions // Applied Thermal
Engineering. — 2011. — Vol. 31, Issue 16. — P. 3262—3274.
3. Ñòîÿí Þ.Ã., Ïóòÿòèí Â.Ï. Îïòèìèçàöèÿ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èñòî÷íèêàìè ôèçè-
÷åñêèõ ïîëåé. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1988. — 192 ñ.
4. Ñòîÿí Þ.Ã., Ïóòÿòèí Â.Ï., ×óá È.À. Îïòèìèçàöèÿ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ ïåðôîðèðî-
âàííîé ïëàñòèíû ñ äèñêðåòíûìè òåïëîâûìè èñòî÷íèêàìè // Äîêë. ÀÍ ÓÑÑÐ. Ñåð. À. —
1985. — ¹ 11. — Ñ. 64—67.
5. ßðåì÷óê Ñ.È., Áóðäà Ð.Â., Ìàòóùåíêî Ñ.Ñ. Àëãîðèòì ðåøåíèÿ äèñêðåòíîé ìèíèìàêñ-
íîé çàäà÷è ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ // ʳáåðíåòèêà ³ ñèñòåìíèé
àíàë³ç. — 2009. — ¹ 5. — Ñ. 153—163.
6. ×óâàøåâà Ñ.È. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ îäíîãî êëàññà îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷
ðàçìåùåíèÿ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêèõ ïîëåé: Äèññ. êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. — Õàðüêîâ,
1984. — 107 ñ.
7. Ñòîÿí Þ.Ã., ßðåì÷óê Ñ.È., Êðûæàíîâñêèé Â.Á. Äèôôåðåíöèðóåìîñòü ïîëÿ äèñê-
ðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ïî ïàðàìåòðàì èõ ðàçìåùåíèÿ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 1995. —
¹ 10. — Ñ. 38—40.
8. Yaremchuk S., Kryzhanivskyy V. Problem of optimal placement of discrete physical field
sources // Applied Numerical Mathematics. — 2004. — Vol. 50, ¹ 1. — Ñ. 121—131.
9. Êðèæàí³âñüêèé Â.Á. ×èñåëüíå äèôåðåíö³þâàííÿ ðîçâ’ÿçêó êðàéîâî¿ çàäà÷³ çà ïàðàìåò-
ðàìè ðîçì³ùåííÿ äæåðåë ô³çè÷íîãî ïîëÿ // Ìàòåìàòè÷í³ ìàøèíè ³ ñèñòåìè. — 2011. —
¹ 3. — Ñ.73—79.
10. Ñòîÿí Þ.Ã., ßêîâëåâ Ñ.Â. Ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè è îïòèìèçàöèîííûå ìåòîäû ãåî-
ìåòðè÷åñêîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1986. — 268 ñ.
11. Äåìüÿíîâ Â.Ô., Ìàëîçåìîâ Â.Í. Ââåäåíèå â ìèíèìàêñ. — Ì. : Íàóêà, 1972. — 368 ñ.
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 91
12. Æîâíîâñüêèé Ä.Î. Ìåòîä øòðàôíèõ ôóíêö³é îïòèì³çàö³¿ ðîçì³ùåííÿ äèñêðåòíèõ
äæåðåë ô³çè÷íîãî ïîëÿ // ³ñí. Æèòîìèðñüêîãî ³íæåíåðíî-òåõíîëîã³÷íîãî ³íñòèòóòó. —
1998. — ¹ 8. — Ñ. 293—298.
13. Felczak M., Wiecek B. Application of genetic algorithms for electronic devices placement in
structures with heat conduction through the substrate // Microelectronics Reliability.—
2011. — Vol. 51, Issue 2. — P. 453—459.
14. Felczak M., Wiecek B., G. De Mey G. Optimal placement of electronic devices in forced con-
vective cooling conditions // Ibid. — 2009. — Vol. 49, Issue 12. — P. 1537—1545.
V. Kryzhanivskyy
OPTIMIZATION OF PLACEMENT OF DISCRETE SOURCES
OF PHYSICAL FIELD DESCRIBED BY MIXED BOUNDARY PROBLEM
The paper deals with minimax placement problem of discrete physical field sources. The field
distribution is described by Poisson’s equation with mixed boundary conditions. The objective
function is a maximum of field on a finite point set. In the practice these points form a regular grid
on a given domain. The set of admissible values of source placement parameters is defined by
mutual non-overlapping and belonging of sources to the given domain. The domain and sources
are supposed to be rectangles. One of the methods for solving minimax problems, which provides
a local optimum and requires computation of partial derivatives with respect to source placement
parameters, is used as the solution method. Since the boundary value problem is solved by the
method of finite elements, the algorithm to obtain these derivatives is proposed. As a practical
example we solved the placement problem for electronic devices with thermal criterion.
K e y w o r d s: optimization of distributed parameter systems, mathematical programming, finite
element method.
REFERENCES
1. Chen C.C.-P., et al. Temperature-aware placement for SOCs // Proc. of the IEEE. — 2006. —
Vol. 94, ¹ 8. — P. 1502—1517.
2. Chopade R.P., Mishra S.C., Mahanta P., Maruyama S. Effects of locations of a 3-D design
object in a 3-D radiant furnace for prescribed uniform thermal conditions // Applied Thermal
Engineering. — 2011. — Vol. 31, Issue 16. — P. 3262—3274.
3. Stoyan Yu., Putiatin V. Optimization of Technical Systems with Physical Field Sources. —
Kyiv: Nauk. Dumka, 1988. — 192 p. (in Russian).
4. Stoyan Yu., Putiatin V., Chub I. Optimization of temperature field of perforated plate with dis-
crete heat sources // Proc. Acad. Sc. of Ukraine. Section A. — 1985. — ¹ 11. — P. 64—67
(in Russian).
5. Yaremchuk S., Burda R., Matuschenko S. An algorithm to solve a discrete minimax problem
of placement of physical field sources // Cybernetics and System Analysis. — 2009. — ¹ 5. —
P. 153—163 (in Russian).
6. Chuvashova S. Numerical methods of solving of one class of optimization problems of phys-
ical field source placement: A Thesis for the Degree of Doctor of Philosophy. — Kharkov,
1984. — 107 p. (in Russian).
7. Stoyan Yu., Yaremchuk S., Kryzhanivskyy V. Differentiability of discrete source field with re-
spect to placement parameters // Proc. Acad. Sc. of Ukraine. — 1995. — ¹ 10 . — P. 38—40
(in Russian).
Â.Á. Êðûæàíîâñêèé
92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 5
,
,
8. Yaremchuk S., Kryzhanivskyy V. Problem of optimal placement of discrete physical field
sources // Applied Numerical Mathematics. — 2004. — Vol. 50, ¹ 1. — P. 121—131.
9. Kryzhanivskyy V. Numerical differentiation of boundary problem solution with respect to
placement parameters of physical field sources // Mathematical Machines and Systems. —
2011. — ¹ 3. — P. 73—79 (in Ukrainian).
10. Stoyan Yu., Yakovlev S. Mathematical models and optimization methods of geometrical de-
sign. — Kyiv: Naukova Dumka, 1986. — 268 p. (in Russian).
11. Demianov V., Malozemov V. Fundamentals of Minimax. — Moscow: Nauka, 1972. — 368 p.
(in Russian).
12. Zhovnovskyy D. Penalty functions method to solve the optimization problems of discrete phys-
ical field sources placement // Proc. Zhytomyr Technological Institute. — 1998. — ¹ 8. —
P. 293—298 (in Ukrainian).
13. Felczak M., Wiecek B. Application of genetic algorithms for electronic devices placement in
structures with heat conduction through the substrate // Microelectronics Reliability. —
2011. — Vol. 51, Issue 2. — P. 453—459.
14. Felczak M., Wiecek B., De Mey G. Optimal placement of electronic devices in forced con-
vective cooling conditions // Ibid. — 2009. — Vol. 49, Issue 12. — P. 1537— 1545.
Ïîñòóïèëà 03.01.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 10.04.14
ÊÐÛÆÀÍÎÂÑÊÈÉ Âÿ÷åñëàâ Áîðèñîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, äîöåíò êàôåäðû ïðî-
ãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ ñèñòåì Æèòîìèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíîëîãè÷åñêîãî óíèâåðñè-
òåòà.  1991 ã. îêîí÷èë Æèòîìèðñêèé ôèëèàë Êèåâñêîãî ïîëèòåõíè÷åñêîãî èí-òà. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå, ãåîìåòðè÷åñêîå ïðîåêòèðîâà-
íèå, îïòèìèçàöèÿ òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ èñòî÷íèêàìè ôèçè÷åñêèõ ïîëåé.
Îïòèìèçàöèÿ ðàçìåùåíèÿ äèñêðåòíûõ èñòî÷íèêîâ ôèçè÷åñêîãî ïîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 5 93
,
,
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101063 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T04:34:25Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Крыжановский, В.Б. 2016-05-30T14:41:14Z 2016-05-30T14:41:14Z 2014 Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей / В.Б. Крыжановский // Электронное моделирование. — 2014 — Т. 36, № 5. — С. 81-93. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101063 519.85 Предложен метод решения минимаксной задачи размещения источников физического поля, которое описывается смешанной краевой задачей с использованием уравнения Пуассона. Функция цели — максимальное значение физического поля на конечном множестве точек области. Множество допустимых значений параметров размещения источников определяется условиями взаимного непересечения и невыхода источников за пределы области. Предложен способ вычисления частных производных решения краевой задачи по параметрам размещения. Запропоновано метод розв’язання мінімаксної задачі розміщення джерел фізичного поля, яке описується змішаною крайовою задачею для рівняння Пуассона. Функція цілі — максимальне значення фізичного поля на скінченній множині точок області. Множина припустимих значень параметрів розміщення джерел визначається умовами взаємного неперетину та невиходу джерел за межі області. Запропоновано спосіб обчислення частинних похідних розв’язку крайової задачі за параметрами розміщення. The paper deals with minimax placement problem of discrete physical field sources. The field distribution is described by Poisson’s equation with mixed boundary conditions. The objective function is a maximum of field on a finite point set. In the practice these points form a regular grid on a given domain. The set of admissible values of source placement parameters is defined by mutual non-overlapping and belonging of sources to the given domain. The domain and sources are supposed to be rectangles. One of the methods for solving minimax problems, which provides a local optimum and requires computation of partial derivatives with respect to source placement parameters, is used as the solution method. Since the boundary value problem is solved by the method of finite elements, the algorithm to obtain these derivatives is proposed. As a practical example we solved the placement problem for electronic devices with thermal criterion. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей Optimization of placement of discrete sources of physical field described by mixed boundary problem Article published earlier |
| spellingShingle | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей Крыжановский, В.Б. Применение методов и средств моделирования |
| title | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| title_alt | Optimization of placement of discrete sources of physical field described by mixed boundary problem |
| title_full | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| title_fullStr | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| title_full_unstemmed | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| title_short | Оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| title_sort | оптимизация размещения дискретных источников физического поля, описываемого смешанной краевой задачейполя, описываемого смешанной краевой задачей |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101063 |
| work_keys_str_mv | AT kryžanovskiivb optimizaciârazmeŝeniâdiskretnyhistočnikovfizičeskogopolâopisyvaemogosmešannoikraevoizadačeipolâopisyvaemogosmešannoikraevoizadačei AT kryžanovskiivb optimizationofplacementofdiscretesourcesofphysicalfielddescribedbymixedboundaryproblem |