Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II
Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ, с учетом влияния вихревых токов в кри...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2014 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2014
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101070 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 61-82. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859681345154842624 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| citation_txt | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 61-82. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ, с учетом влияния вихревых токов в кристаллизаторе. Исходной является векторная система интегральных уравнений.
Отримано скалярну систему інтегральних рівнянь, яка описує в циліндричній системі координат тривимірний розподіл вихрових струмів в системі безперервно лита заготовка круглого перерізу—кристалізатор при електромагнітному перемішуванні в вертикальній МБЛЗ, з врахуванням впливу вихрових струмів в кристалізаторі. Вихідною є векторна система інтегральних рівнянь.
The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of coordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC) of round cross-section—mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account.
|
| first_indexed | 2025-11-30T18:46:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû,
Å.È. Ïåòðóøåíêî, êàíä. òåõí. íàóê,
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. 4241063, e-mail:dep_7@voliacable.com),
Â.À. Êó÷àåâ
ÎÎÎ «ÌÊ Áåëè÷àíêà»
(Óêðàèíà, Êèåâ, óë. Áóëàõîâñêîãî, 2, e-mail: vitalku07@yandex.ru)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå
êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. II
Ïîëó÷åíà ñêàëÿðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ â öèëèíäðè÷åñêîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå íåïðåðûâíî
ëèòàÿ çàãîòîâêà êðóãëîãî ñå÷åíèÿ — êðèñòàëëèçàòîð ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâà-
íèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ, ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â êðèñòàëëèçàòîðå. Èñõîä-
íîé ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
Îòðèìàíî ñêàëÿðíó ñèñòåìó ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü, ÿêà îïèñóº â öèë³íäðè÷í³é ñèñòåì³
êîîðäèíàò òðèâèì³ðíèé ðîçïîä³ë âèõðîâèõ ñòðóì³â â ñèñòåì³ áåçïåðåðâíî ëèòà çàãîòîâêà
êðóãëîãî ïåðåð³çó — êðèñòàë³çàòîð ïðè åëåêòðîìàãí³òíîìó ïåðåì³øóâàíí³ â âåðòèêàëüí³é
ÌÁËÇ, ç âðàõóâàííÿì âïëèâó âèõðîâèõ ñòðóì³â â êðèñòàë³çàòîð³. Âèõ³äíîþ º âåêòîðíà
ñèñòåìà ³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, âèõðåâûå òîêè,
íåïðåðûâíî ëèòàÿ çàãîòîâêà, êðóãëîå ñå÷åíèå, ýëåêòðîìàãíèòíîå ïåðåìåøèâàíèå, âåðòè-
êàëüíàÿ ÌÍËÇ.
 ïåðâîé ÷àñòè ñòàòüè [1] ïîëó÷åíà ñêàëÿðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé (ÑêÑÈÓ), îïèñûâàþùàÿ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â óåäèíåííîé íåïðåðûâíî ëèòîé
çàãîòîâêå (ÍËÇ) êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â
âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. Òåïåðü ïîëó÷èì ÑêÑÈÓ, îïèñûâàþùóþ â öèëèíä-
ðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â
ñèñòåìå ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ — êðèñòàëëèçàòîð êîëüöåâîãî ñå÷åíèÿ (òîð
ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ) ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòè-
êàëüíîé ÌÍËÇ, ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â êðèñòàëèçàòîðå.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 61
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
� Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ, 2014
Çàãîòîâêà â ôîðìå òîðà ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ è áëèçêî ðàñïîëîæåí-
íûé ê íåé èçîëèðîâàííûé êðèñòàëëèçàòîð â ôîðìå òîðà ïðÿìîóãîëüíîãî
ñå÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóêòîðà, â îáìîòêå êîòîðîãî ïðî-
òåêàåò èçìåíÿþùèéñÿ âî âðåìåíè òîê. Â îñíîâå ìîäåëè òðåõìåðíîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå íåïðåðûâíî ëèòàÿ çàãîòîâêà — êðèñòàë-
ëèçàòîð ëåæèò âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÂÑÈÓ), ïîëó-
÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå îáîáùåíèÿ ÂÑÈÓ äëÿ óåäèíåííîé çàãîòîâêè [1, 2] íà
ñèñòåìó äâóõ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ èçîëèðîâàííûõ ïðîâîäíèêîâ, êàêè-
ìè ÿâëÿþòñÿ çàãîòîâêà è êðèñòàëëèçàòîð ÌÍËÇ. Èñõîäíàÿ ÂÑÈÓ ïðåîáðà-
çîâàíà ê ÑêÑÈÓ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ïóñòü ÍËÇ íàõîäèòñÿ â êðèñòàëëèçàòîðå [2, ñì. ðèñóíîê]. Ðàñïðåäåëå-
íèå âèõðåâûõ òîêîâ â çàãîòîâêå çàâèñèò îò èõ ðàñïðåäåëåíèÿ â êðèñòàë-
ëèçàòîðå, è íàîáîðîò. Ïîëàãàÿ, ÷òî ÍËÇ è êðèñòàëëèçàòîð âçàèìíî èçîëè-
ðîâàíû, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â îáúåìå êàæäîãî
ïðîâîäíèêà ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà,
ïðèâåäåííîé â [2, 3].
Îáîçíà÷èì âåêòîð ïëîòíîñòè òîêîâ â îáìîòêå èíäóêòîðà ÷åðåç �0, à
îáúåì, çàíèìàåìûé îáìîòêàìè — ÷åðåçV0 [1].  çàãîòîâêå, êîòîðàÿ ïðåä-
ñòàâëÿåò ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿùåå òåëî (òîð ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ)
îáúåìà Vc , èíäóêòèðóþòñÿ âèõðåâûå òîêè ïëîòíîñòüþ �c , à â êðèñòàëëè-
çàòîðå, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿùåå òåëî (òîð ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ) îáúåìà Vk , — èíäóêòèðóþòñÿ âèõðåâûå òîêè ïëîò-
íîñòüþ �k .
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáúåìå çàãî-
òîâêèVc [2] ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì
� Ac c� �� �0 , (1)
� � c �0, (2)
à â îáúåìå êðèñòàëëèçàòîðàVk — ê óðàâíåíèÿì
� Ak k� �� �0 , (3)
� � k �0. (4)
 ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì îáúåìû Vc è Vk , óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà ñâî-
äÿòñÿ ê óðàâíåíèþ
� A0 0 0� �� � , (5)
 îäíîðîäíîé ìàãíèòíîé ñðåäå ðåøåíèå óðàâíåíèé (1), (3), (5) èìååò âèä
A Q t
M t
r
d
M t
r
d
V QM
M
V QM
M( , )
( , ) ( , )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�0 0 0
4 4
0 c
c 0
4�
�
�
V
k
QM
M
k
M t
r
d
( , )
, (6)
ãäå rQM — ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè Q x y zQ Q Q( , , ) è M x y zM M M( , , ).
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
Âõîäÿùèå â (6) âèõðåâûå òîêè ïëîòíîñòüþ �c â îáúåìå Vc è ïëîò-
íîñòüþ �k â îáúåìå Vk íåèçâåñòíû. Äëÿ èõ îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìî âîñ-
ïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (4) èç ðàáîòû [2]:
E Q t
A Q t
t
Q tc
c
c( , )
( , )
( , )� � �
�grad , Q Vc� , (7)
E Q t
A Q t
t
Q tk
k
k( , )
( , )
( , )� � �
�grad , Q Vk� . (8)
Ïîäñòàâëÿÿ â (7) è (8) âûðàæåíèå (6), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ÂÑÈÓ:
E Q t M
E M t
t r
d Mc
V
c
c
QM
M
V
k
c k
( , ) ( )
( , )
(
�
�
�
�
�
�
�0 0
4
1
4
)
( , )
�
E M t
t r
dk
QM
M
1
�
� � �
�
�
�
� �0 0
4
1
0
M t
t r
d
V QM
M c
( , )
grad , Q Vc� , (9)
E Q t M
E M t
t r
d Mk
V
k
k
QM
M
V
c
k c
( , ) ( )
( , )
(
�
�
�
�
�
�
�0 0
4
1
4
)
( , )
�
E M t
t r
dc
QM
M
1
�
� � �
�
�
�
� �0
4
1
0
M t
t r
d Q t
V QM
M k
0
grad
( , )
( , ), Q Vk� . (10)
Îïðåäåëèì ñêàëÿðíûå ïîòåíöèàëû � c Q t( , ), Q Vc� è � k Q t( , ), Q Vk�
ðåøèâ çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèé (2) è (4) ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ:
�
c
Sc
cn
Sc
Q t
n
A Q t
t
( , ) ( , )
� � ,
�
k
S
kn
S
Q t
n
A Q t
t
k k
( , ) ( , )
� � ,
ãäå Acn — ïðîåêöèÿ âåêòîðà Ac íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè çàãîòîâêè S c
â òî÷êå Q; Akn — ïðîåêöèÿ âåêòîðà Ak íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè
êðèñòàëëèçàòîðà S k â òî÷êå Q; ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå nQ ïðèíÿòî
èñõîäÿ èç îáúåìîâ çàãîòîâêè è êðèñòàëëèçàòîðà â îêðóæàþùåå ïðîñò-
ðàíñòâî. Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ áóäåì èñêàòü ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëà ïðîñ-
òîãî ñëîÿ ïëîòíîñòüþ � c íà ïîâåðõíîñòè S c :
�
�
�
c
S QM
MQ t
M t
r
ds
c
( , )
( , )
�
1
4
c , Q Vc� , (11)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 63
è ïëîòíîñòüþ � k íà ïîâåðõíîñòè S k :
�
�
�
k
S
k
QM
MQ t
M t
r
ds
k
( , )
( , )
�
1
4
, Q Vk� . (12)
Ïðè ýòîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ � c è � k íà ïîâåðõíîñòÿõ S c è S k íåîáõîäèìî
ðåøèòü ñëåäóþùèå èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà:
�
�
�
c
S
Q QM
QM
M
cnQ t M t
n r
r
ds
A Q t
c
( , ) ( , )
cos ( ) ( ,
� �
1
2
2
2c
)
t
, Q S c� , (13)
�
�
�
k
S
k
Q QM
QM
M
knQ t M t
n r
r
ds
A Q t
k
( , ) ( , )
cos ( ) ( ,
� �
1
2
2
2
)
t
, Q S k� . (14)
Ïîäñòàâèâ (11) â óðàâíåíèå (9), ïîëó÷èì
E Q t M
E M t
t r
d Mc
V
c
c
QM
M
V
k
c k
( , ) ( )
( , )
(
�
�
�
�
�
�
�0 0
4
1
4
)
( , )
�
E M t
t r
dk
QM
M
1
� �
1
2
1
4
10 0
0
�
�
�
�
�
M t
r
ds
M t
t r
S
Q
QM
M
V Q
c
c grad( , )
( , )
M
Md� , Q Vc� . (15)
Ïîäñòàâèâ â (15) âûðàæåíèå
gradQ
QM
M Q
QM
X
M Q
QM
Y
M Q
QM
Z
QM
r
x x
r
e
y y
r
e
z z
r
e
r
r
1
3 3 3
�
�
�
�
�
QM
3
(16)
è, êðîìå òîãî, çàìåíèâ âåêòîð E Q tc ( , ) âåêòîðîì � c Q t( , ), ïîëó÷èì ñëå-
äóþùåå èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (ÈÓ):
�
��
�
�
�
c
c V QM
M
V
kQ t
Q
M t
t r
d
M t
t r
k
( , )
( )
( , ) ( , )
c
c 1 1
QM
Md�
� �
1 1
0
3�
�
�
�M t
r
r
ds
M t
t r
d
S
c
QM
QM
M
V QM
M
c
( , )
( , )
0
0
, Q Vc� . (17)
Òåïåðü ïîäñòàâèì â (13) âûðàæåíèå (6) è ïîëó÷èì
�
�
� �
�
c
S
c
Q QM
QM
M
V
cnQ
Q t M t
n r
r
d s
c c
( , ) ( , )
cos ( )
1
2
2
2
( , )M t
t r
d
QM
M
�
1
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
� �
2
1
2
1
0
0�
�
� �
�
�
V
knQ
QM
M
V
nQ
QM
k
M t
t r
d
M t
t r
d
( , ) ( , )
M , Q S c� . (18)
Ïîäñòàâèâ ïîòåíöèàë � k (12) â (10), ïîëó÷èì
E Q t M
E M t
t r
d Mk
V
k
k
QM
M
V
c
k c
( , ) ( )
( , )
(
�
�
�
�
�
�
�0 0
4
1
4
)
( , )
�
E M t
t r
dc
QM
M
1
� �
1
2
1
4
10
0
�
�
�
�
�
M t
r
ds
M t
t r
S
k Q
QM
M
V Q
k
( , )
( , )
grad
0
M
Md� , Q Vc� . (19)
Ïîäñòàâèâ (16) â (19) è çàìåíèâ â íåì âåêòîð E Q tk ( , ) âåêòîðîì � k Q t( , ),
ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ÂÈÓ:
�
��
�
�
�
k
k V
k
QM
M
V
cQ t
Q
M t
t r
d
M t
t r
k c
( , )
( )
( , ) ( , )
1 1
QM
Md�
� �
1 1
0
3�
�
�
�M t
r
r
ds
M t
t r
d
S
k
QM
QM
M
V QM
M
k
( , )
( , )
0
0
, Q Vk� . (20)
Òåïåðü ïîäñòàâèì â ÈÓ (14) âûðàæåíèå (6) è ïîëó÷èì
�
�
� �
�
k
S
k
Q QM
QM
M
V
cnQ
Q t M t
n r
r
ds
k c
( , ) ( , )
cos ( )
1
2
2
2
( , )M t
t r
d
QM
M
�
1
� �
2
1
2
1
0
0�
�
� �
�
�
V
knQ
QM
M
V
nQ
QM
k
M t
t r
d
M t
t r
d
( , ) ( , )
M , Q S k� . (21)
Òàêèì îáðàçîì, ñ ïîìîùüþ ÂÑÈÓ (17),(18),(20),(21) ïðè çàäàííûõ íà-
÷àëüíûõ óñëîâèÿõ � c Q O( , ), Q Vc� , � k Q O( , ), Q V Q O Q Vk� �, ( , ), ,�0 0
ðåøåíà çàäà÷à ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå ÍËÇ — êðèñòàëëèçàòîð â
íåñòàöèîíàðíûõ ðåæèìàõ.
Äëÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ÂÑÈÓ (17),(20) ê ÑêÑÈÓ ïîòðåáóþòñÿ âûðàæå-
íèÿ îðòîâ e M�( ), e M� ( ) ÷åðåç îðòû e Q�( ), e Q� ( ) [4, ðèñ. 3]:
e M e Q e QM Q M Q� � �� � � �( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( )� � � ,
e M e Q e QM Q M Q� � �� � � �( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( )� � � � .
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 65
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî âåêòîð rQM ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç îðòû e Q�( ),
e Q� ( ), ez :
r e Q r e Q r e Q rQM QM QM z QM
zQ Q Q� �
�
�
�
( ) ( ) ( ) , r
QM M M Q Q
Q�
� � � �� � �cos ( ) ,
r
QM M M Q
Q�
� � �� �sin ( ), r z z
QM
z
M Q
Q � �( ),
r r r rQM QM QM QM
zQ Q Q2 2 2 2� �( ) ( ) ( )
� �
�� � � � � �M Q M Q M Q M Qz z2 2 22 � � �cos ( ) ( ) ,
r z z
QM M Q M Q M Q M Q� � � �� � � � � �2 2 22 cos ( ) ( ) .
Ïðåîáðàçîâàíèå ÂÈÓ (17) äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â
ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ â ÑêÑÈÓ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîð-
äèíàò. Çàïèøåì âåêòîðû � c cQ t( , ), � c cM t( , ), �0 0( , )M t , � k kM t( , ), âõîäÿ-
ùèå â óðàâíåíèå (17), â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
� � � �� � � �c c c Q c c c Q c c cZQ t Q t e Q Q t e Q Q
c c
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� c Zt e, ) ,
� � � �� � � �c c c M c c c M c c cZM t M t e M M t e M M
c c
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� c zt e, ) ,
� � � �� � � �0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM� ( , )M t ez0 ,
� � � �� � � �k k k M k k k M k k kZM t M t e M M t e M M
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� k Zt e, ) .
(22)
Äëÿ âûðàæåíèÿ âåêòîðîâ (22) ÷åðåç îðòû e Q�( ), e Q� ( ), ez èñïîëüçóåì âû-
ðàæåíèÿ îðòîâ e M c�( ), e M c� ( ) ÷åðåç îðòû e Qc�( ), e Qc� ( ):
e M e Q e Qc c M Q c M Qc c c c� � �� � � � �( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( )� � , (23)
e M e Q e Qc c M Q c M Qc c c c� � �� � � � �( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( )� � � . (24)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (23) è (24) âî âòîðîå âûðàæåíèå (22):
� � �� � � �c c c M c c c M c cM t M t e M M t e M
c c
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )�
� � � � � �� �cZ c z c M c c M QM t e M t e Q
c c c
( , ) ( , )[ ( ) cos ( )
� � �e Q M t e Qc M Q c M c c M Qc c c c� � �� � � � �( ) sin ( )] ( , )[ ( ) sin (
c
)
� �e Q M t e M t e Qc M Q cZ c z c Q c cc c c� � �� � � �( ) cos ( )] ( , ) ( , ) ( )
� �� �c Q c c cZ c Zc
M t e Q t M t e( , ) ( , ) ( , ) , (25)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
ãäå
� �� � � �� � �c Q c c M c M Q c Mc c c c c
M t M t M t( , ) ( , )cos ( ) ( , ) sin (� � � �M Qc c
� ),
� �� � � �� � �c Q c c M c M Q c M cc c c c c
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qc c
� .
(26)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ �0 0( , )M t :
� � � �0 0 0 0 00
( , ) ( , ) ( )M t M t e MM�
� �� �0 0 0 0 00 0M ZM zM t e M M t e( , ) ( ) ( , ) . (27)
Ïîäñòàâèì â (27) îðòû e M�( )0 , e M� ( )0 , âûðàæåííûå ÷åðåç îðòû e Qc�( ),
e Qc� ( ), èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (23), (24):
� � �� � � �0 0 0 0 0 0 0 00 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M�
� � � � � �� �0 0 0 00 0 0ZM z M c M QM t e M t e Q
c
( , ) ( , ) [ ( ) cos ( )
� � �e Q M t e Qc M Q M c M Qc� � �� � � � �( ) sin ( )] ( , ) [ ( ) sin (
0 0 00 0 c
)
� �e Q M t e M t e Qc c M Q ZM Z Qc c
( ) cos ( )] ( , ) ( , ) (� � � � � �0 00 0 0 0 c )
� �� �0 0 0 00Q c ZM Zc
M t e Q M t e( , ) ( ) ( , ) , (28)
ãäå
� �� � � �� � �0 0 0 0 0 00 0 0Q M M Q Mc c
M t M t M t( , ) ( , )cos ( ) ( , ) sin� � ( )� �M Qc0
� ,
� �� � � �� � �0 0 0 0 0 00 0 0Q M M Q Mc c
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qc0
� .
(29)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà �k kM t( , ):
� � �� � � �k k k M k k k M k kM t M t e M M t e M
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )�
� � � � � �� �kZ k Z k M k c M QM t e M t e Q
k k c
( , ) ( , ) [ ( ) cos ( )
� � �e Q M t e Qc M Q k M k c M Qk c k k� � �� � � � �( ) sin ( )] ( , ) [ ( ) sin (
c
)
� �e Q M t e M t e Qc M Q kZ k Z k Q k ck c c� � �� � � �( ) cos ( )] ( , ) ( , ) ( )
� �� �k Q k c kZ k Zc
M t e Q M t e( , ) ( ) ( , ) , (30)
ãäå
� �� � � �� � �k Q k k M k M Q k M kc k k c k
M t M t M t( , ) ( , )cos ( ) ( , ) sin� � ( )� �M Qk c
� ,
� �� � � �� � �k Q k k M k M Q k M kc k k c k
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qk c
� .
(31)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 67
Ïîäñòàâèì â ÂÈÓ (17) âûðàæåíèÿ (25), (28), (30):
� � �� � � �c Q c c c Q c c cZQ c Zc c c
Q t e Q Q t e Q Q t e( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( Q
Q
c
c c
)
( )��
V
c Q c c c Q c c cZQ c
c
c c c
M t e Q M t e Q M
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t e M
t r
dv
Z c
Q M
M
c c
1
V
k Q k c k Q k c kZQ k
k
c c c
M t e Q M t e Q M
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )t e M
t
Z k
�
�
1 1
0r
dv M t
e Q r e Q r
Q M
M
S
c Q M
Q
c Q M
Q
c k c
c
c
c
�
�
�
�
�
�
( , )
( ) ( ) c
c
ce r
r
d s
Z Q M
ZQ
QM
M
�
3
� �
V
Q c Q c ZQc c c
M t e Q M t e Q M
0
0 0 0 0 0
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( 0 0, ) ( )t e M
t
Z
�
�
1
0
r
dv
Q M
M
c
. (32)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îäíîèìåííûõ îðòàõ ñïðàâà è ñëåâà â (32),
ïîëó÷àåì òðè ÑêÈÓ. Ïåðâîå èç íèõ ïîëó÷àåì, ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ
ïðè îðòàõ e Qc�( ):
�
��
�
�
� �c Q c
c c V
c Q c
Q M
M
V
c c
c c k
Q t
Q
M t
t r
d
( , )
( )
( , )
c
1 �
�k Q k
Q M
M
c
k k
M t
t r
dv
( , ) 1
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t r
S
Q M
Q
Q M
M
V
Q
c
c
c
c
c( , )
( , )
0
0
Q M
M
c
d
0
� . (33)
Ïîäñòàâëÿÿ â (33) âìåñòî � �c Q cc
Q t( , ), � �k Q kc
M t( , ), � �0 Qc
M t( , )0 èõ âûðàæå-
íèÿ (22), (29), (31), ïîëó÷àåì
�
��
� � �
� �c Q c
c c V
c M c M Qc c c c
Q t
Q
M t
t
( , )
( )
[ ( , ) cos ( )]
�
c
1
r
d
Q M
M
c c
� �
�
�
V
c M c M Q
Q M
M
c c c
c c
M t
t r
d
c
� � �
��[ ( , ) sin ( )] 1
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
�
�
V
k M k M Q
Q M
M
k
k k c
k k
M t
t r
d
� � �
��[ ( , ) cos ( )] 1
�
�
V
k M k M Q
Q M
M
Sk
k k c
c k c
M t
t r
d
� � �
�
�
��[ ( , ) sin ( )] 1 1
0
c
Q M
Q
Q M
MM t
r
r
dsc
c
c
( , )
�
3
�
� �
� � �
V
M M Q M MM t M t
c
0
0 0 0 00 0 0 0
�� � � � �� �( , ) cos ( ) ( , ) sin ( �
Q
Q M
M
c
c
t r
dv
) 1
,
Q Vc c� . (34)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ñïðàâà è ñëåâà îò e Qc� ( ), ïîëó÷àåì âòîðîå ÑêÈÓ:
�
��
�
�
� �c Q c
c c V
c Q c
Q M
M
V
c c
c c k
Q t
Q
M t
t r
d
( , )
( )
( , )
c
1 �
�k Q k
Q M
M
c
c k
M t
t r
dv
( , ) 1
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t r
S
Q M
Q
Q M
M
V
Q
c
c
c
c
c( , )
( , )
0
0
Q M
M
c
d
0
� , Q Vc c� . (35)
Ïîäñòàâèâ â (35) âìåñòî � �c Q cc
Q t( , ), � �k Q kc
M t( , ), � �0 Qc
M t( , )0 èõ âûðà-
æåíèÿ (26), (29), (31), ïîëó÷èì
�
��
�c Q c
c c
c
Q t
Q
( , )
( )
� �
V
c M c M Q c M c Mc c c c c
M t M t
c
� � � � � �� �[ ( , )sin ( ) ( , )cos ( Q
Q M
M
c
c c
t r
d
)]
�
1
� �
V
k M k M Q k M k M
k
k k c k k
M t M t
� � � � � �� �[ ( , )sin ( ) ( , )cos ( Q
Q M
M
c
c k
t r
d
)]
�
1
�
1
0
3�
�
�
M t
r
r
ds
S
Q M
Q
Q M
M
c
c
c
c
( , )
� �
� �
V
M M Q M MM t M t
c
0
0 0 0 00 0 0 0
�� � � � �� �( , )sin ( ) ( , )cos ( �
Q
Q M
M
c
c
t r
dv
) 1
0
,
Q Vc c� . (36)
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 69
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ñïðàâà è ñëåâà îò eZ , ïîëó÷àåì òðåòüå ÑêÈÓ:
�
��
�
�
�cZQ c
c c V
cZ c
Q M
M
V
kZ
Q t
Q
M t
t r
d
c c k
( , )
( )
( , )
c
1 ( , )M t
t r
dvk
Q M
M
c k
1
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t r
S
Q M
ZQ
Q M
M
V
Z
Q
c
c
c
c c
( , )
( , )
0
0
M
Md
0
� , Q Vc c� . (37)
Ïðåîáðàçîâàíèå ÑêÈÓ (18) â ÑêÑÈÓ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðå-
âûõ òîêîâ â ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, ïîìåùåííîé â êðèñòàëëèçàòîð, â
öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò. Çàïèøåì ÑêÈÓ (18) â âèäå ÑêÑÈÓ
íà êàíîíè÷åñêèõ ïîäîáëàñòÿõ S ci , i �1 4,..., , ïîâåðõíîñòè ñëèòêà:
�
�
�c ci
j S
c cj
Q Q M
Q
Q t M t
n r
r
j
ci ci cj
c
( , ) ( , )
cos ( )
�
�
1
2 1
4
i cjM
Mds
2
2
1
2�
�
� �
�
V
cnQ c
Q M
M
V
knQ k
c
ci
ci c k
ci
M t
t r
d
M t( , ) ( , )
�
t r
d
Q M
M
ci k
1
�
� �
2
1
0 0
0 0�
�
�
V
nQ
Q M
M
ci
ci
M t
t r
d
( , )
, Q Sci ci� , i �1 4,..., . (38)
ßäðà ÑêÑÈÓ (38) áóäåì âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â òàá-
ëèöàõ â ðàáîòå [4]. Óïðîñòèì ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, âõî-
äÿùèõ â óðàâíåíèå (38):
V
cnQ c
Q M
M
ci
ci c
M t
t r
d
c
�
�
( , )
,
1
Q Sci ci� , i �1 4,..., , (39)
V
knQ c
Q M
M
k
ci
ci k
M t
t r
d
�
�
( , )
,
1
Q Sci ci� , i �1 4,..., , (40)
V
nQ
Q M
M
ci
ci
M t
t r
d
0
�
�0 0 1
0
( , )
, Q Sci ci� , i �1 4,..., . (41)
Äëÿ óïðîùåíèÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (39) çàïèøåì åãî â ðàçâåðíóòîì
âèäå:
V
cnQ c
Q M
M
V
Q c cci
ci c
ci
M t
t r
d
n M t
t
c c
�
�
�
�
( , ) ( , ( , ))1 1
r
d
Q M
M
ci c
� �
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
�
V
Q ci c Q c
Q M
M
n e Q M t
t r
dci ci
ci cc
�
�� �( , ( ) ( , )) 1
V
Q ci c Q c
Q M
M
n e Q M t
t r
dci ci
ci cc
�
�� �( , ( ) ( , )) 1
V
Q Z ci cZ c
Q M
M
n e Q M t
t r
d
ci Qci
ci cc
�
�
( , ( ) ( , ) 1
, Q Sci ci� , i �1 4,..., . (42)
Ïóñòü i = 1. Òîãäà n eQ Zc1
� � . Ïîäñòàâèâ nQc1
â âûðàæåíèå (42), ïîëó÷èì
V
cnQ c
Q M
M
V
Q c cc
c c
c
M t
t r
d
n M t
t
c c
�
�
�
�
1
1
11( , ) ( , ( , )) 1
1
r
d
Q M
M
c c
� �
�
V
Q c c c
Q M
M
n e Q M t
t r
d
c Qc
c cc
�
�
� �( , ( ) ( , ))
1 1
1
1 1
V
Q c c Q c
Q M
M
c
c c
c c
n e Q M t
t r
d
�
�� �( , ( ) ( , ))
1 1
1
1 1
� �
V
Q Z c cZ c
Q M
M
Vc
c Qc
c c c
n e Q M t
t r
d
�
�
�( , ( ) ( , ))
1 1
1
1 1 Q c
Q M
M
c
c c
M t
t r
d1
1
1( , )
� .
Ïóñòü i = 2. Òîãäà n e QQ cc2 2� � �( ). Ïîäñòàâèâ nQc2
â (42), ïîëó÷èì
V
cnQ c
Q M
M
V
Q c cc
c c
c
M t
t r
d
n M t
t
c c
�
�
�
�
2
2
21( , ) ( , ( , )) 1
2
r
d
Q M
M
c c
� �
�
V
Q c c c
Q M
M
n e Q M t
t r
d
c Qc
c cc
�
�
� �( , ( ) ( , ))
2 2
2
2 1
V
Q c c Q c
Q M
M
c
c c
c c
n e Q M t
t r
d
�
�� �( , ( ) ( , ))
2 2
2
2 1
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 71
�
V
Q Z c cZ c
Q M
M
c
c Qc
c c
n e Q M t
t r
d
�
�
( , ( ) ( , ))
2 2
2
2 1
� � �
V
e Q c
Q M
M
c
c
c c
M t
t r
d
�
�� 2
2
1( , )
� �
� �
V
c M c M Q c M c Mc c c c c
M t M t
c
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin (
2
� �
Q
Q M
M
c
c c
t r
dv2
2
1)]
.
Åñëè i = 3, òî n eQ Zc3
� . Ïîäñòàâèâ nQc3
â (42), ïîëó÷èì
V
cnQ c
Q M
M
V
Q c cc
c c
c
M t
t r
d
n M t
t
c c
�
�
�
�
3
3
31( , ) ( , ( , )) 1
3
r
d
Q M
M
c c
� �
�
V
Q c c c
Q M
M
n e Q M t
t r
d
c Qc
c cc
�
�
� �( , ( ) ( , ))
3 3
3
3 1
V
Q c c Q c
Q M
M
c
c c
c c
n e Q M t
t r
d
�
�� �( , ( ) ( , ))
3 3
3
3 1
� �
V
Q Z c cZ c
Q M
M
Vc
c Qc
c c c
n e Q M t
t r
d
�
�
�( , ( ) ( , ))
3 3
3
3 1 cZQ c
Q M
M
c
c c
M t
t r
d3
3
1( , )
� .
Ïóñòü i = 4, òîãäà n e QQ cc4 4� �( ). Ïîäñòàâèâ nQc4
â (42), ïîëó÷èì
V
cnQ c
Q M
M
V
Q c cc
c c
c
M t
t r
d
n M t
t
c c
�
�
�
�
4
4
41( , ) ( , ( , )) 1
4
r
d
Q M
M
c c
� �
�
V
Q c c c
Q M
M
n e Q M t
t r
d
c Qc
c cc
�
�
� �( , ( ) ( , ))
4 4
4
4 1
V
Q c c Q c
Q M
M
c
c c
c c
n e Q M t
t r
d
�
�� �( , ( ) ( , ))
4 4
4
4 1
�
V
Q Z c cZ c
Q M
M
c
c Qc
c c
n e Q M t
t r
d
�
�
( , ( ) ( , ))
4 4
4
4 1
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
� �
V
e Q c
Q M
M
c
c
c c
M t
t r
d
�
�� 4
4
1( , )
=
� �
� �
V
c M c M Q c M c Mc c c c c
M t M t
c
� � � � �� �[ ( , ) cos( ) ( , ) sin (
4
� �
Q
Q M
M
c
c c
t r
dv4
4
1)]
.
Óïðîùåííûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (41) âûâîäÿòñÿ àíà-
ëîãè÷íî. Ïðè i = 1 ïîëó÷àåì
V
nQ
Q M
M
V
Z
c
c
Qc
M t
t r
d
M t
t r
0 0
� �
�
�
�
0 0 0 0
1
1 0
11 1( , ) ( , )
Q M
M
c
d
1 0
� ;
ïðè i = 2
V
nQ
Q M
M
V
c
c
Qc
M t
t r
d
M t
t r
0 0
� �
�
�
�
�0 0 0 0
2
2 0
21 1( , ) ( , )
Q M
M
c
d
2 0
� �
� �
� �
V
M M Q M MM t M t
c
0
� � � � �� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin (0 0 0 00 0 2 0 0
�
�
�
Qc
t
2
)]
�
1
2 0
r
dv
Q M
M
c
;
ïðè i = 3
V
nQ
Q M
M
V
Z
Q
c
c
Qc
M t
t r
d
M t
t r
0 0
�
�
�
�
0 0 0 0
3
3 0
31 1( , ) ( , )
c cM
Md
3
� ;
ïðè i = 4
V
nQ
Q M
M
V
c
Q
c
c c
Qc
M t
t r
d
M t
t r
0 0
�
�
�
�
�0 0 0
4
4
41 1( , ) ( , )
c cM
Md
4
� �
�
� � �
V
M M Q M MM t M t
c c
c
� � � � �� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin (0 0 0 00 0 4 0
�
Qc
t
4
)]
�
�
1
4 0
r
dv
Q M
M
c
.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 73
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (40) àíàëîãè÷íî ïîëó÷åíû ñëåäóþùèå
ôîðìóëû: ïðè i = 1
V
knQ k
Q M
M
V
Z k
Q
k
c
c k
Qc
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
1
1
11 1( , ) ( , )
k c kM
Md
1
� ;
ïðè i = 2
V
knQ k
Q M
M
V
k Q k
k
c
c k k
c
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
�2
2
21 1( , ) ( , )
Q M
M
c k
d
2
� �
� �
� �
V
k M k M Q k M k M
k
k k c k k
M t M t
� � � � �� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin (
2
�
�
�
Qc
t
2
)]
�
1
2
r
dv
Q M
M
c k
;
ïðè i = 3
V
knQ k
Q M
M
V
cZ k
Q
k
c
c k k
Qc
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
3
3
31 1( , ) ( , )
c kM
Md
3
� ;
ïðè i = 4
V
knQ k
Q M
M
V
k Q k
Q
k
c
c k k
c
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
�4
4
41 1( , ) ( , )
c kM
Md
4
� �
�
� �
V
k M k M Q k M k Mk k c kc k
M t M t
k
� � � � �� �[ ( , ) cos ( ) ( , ) sin (
4
�
�
�
Qc
t
4
)]
�
1
4
r
dv
Q M
M
c k
.
Ïðåîáðàçîâàíèå ÑêÈÓ (20) â ÑêÑÈÓ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðå-
âûõ òîêîâ â êðèñòàëëèçàòîðå êîëüöåâîãî ñå÷åíèÿ, âíóòðè êîòîðîãî
íàõîäèòñÿ ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîð-
äèíàò. Âåêòîðû �k kQ t( , ), �k kM t( , ), �0( , )M t0 , �c kM t( , ), âõîäÿùèå â óðàâ-
íåíèå (20), çàïèøåì â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:
� � � �� � � �k k k Q k k k Q k k kZQ t Q t e Q Q t e Q Q
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� k Z kt e Q, ) ( ),
� � � �� � � �k k k M k k k M k k kZM t M t e M M t e M M
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� k zt e, ) ,
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
� � � �� � � �0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM� ( , )M t ez0 ,
� � � �� � � �c c c M c c c M c c cZM t M t e M M t e M M
c c
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� k Zt e, ) .
(43)
Äëÿ âûðàæåíèÿ âåêòîðîâ (43) ÷åðåç îðòû e Qk�( ), e Qk� ( ), ez áóäåì èñïîëü-
çîâàòü âûðàæåíèÿ îðòîâ e M k�( ), e M k� ( ) ÷åðåç îðòû e Qk�( ), e Qk� ( ):
e M e Q e Qk k M Q k M Qk k k k� � �� � � � �( ) ( ) cos ( ) ( ) sin ( )� � , (44)
e M e Q e Qk k M Q k M Qk k k k� � �� � � � � �( ) ( ) sin ( ) ( ) cos ( )� � . (45)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèÿ (44), (45) âî âòîðîå âûðàæåíèå (43), çàïèøåì
� � � �� � � �k k k M k k k M k k kZM t M t e M M t e M M
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� k zt e, ) �
� � �� � � � �� � �k M k k M Q k M Qk k k k k
M t e Q e Q( , ) [ ( ) cos ( ) ( ) sin ( )]
� � �� � � � �� � �k M k k M Q k M Qk k k k k
M t e Q e Q( , ) [ ( ) sin ( ) ( ) cos ( )]
� � � � �� � � �kZ k z k Q k k k Q k kM t e M t e Q M t e Q
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) kZ k ZM t e( , ) ,
(46)
ãäå
� �� � � �� � �k Q k k M k M Q k M kk k k k k
M t M t M t( , ) ( , )cos ( ) ( , ) sin� � ( )� �M Qk k
� ,
� �� � � �� � �k Q k k M k M Q k M kk k k k k
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qk k
� .
(47)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ �0( , ):M t0
� � � �� � � �0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM� ( , )M t ez0 .
(48)
Ïîäñòàâèì â (48) îðòû e M�( )0 , e M� ( )0 , âûðàæåííûå ÷åðåç îðòû e Qk�( ),
e Qk� ( ), èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (44), (45):
� � � �� � � �0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )M t M t e M M t e MM M ZM� ( , )M t ez0 �
� � �� � � � �� � �0 00 0 0M k M Q k M QM t e Q e Q
k k
( , ) [ ( ) cos ( ) ( ) sin ( )]
� � �� � � � �� � �0 00 0 0M k M Q k M QM t e Q e Q
k k
( , ) [ ( ) sin ( ) ( ) cos ( )]
� � � � �0 0 0 00ZM Z Q kM t e M t e Q
k
( , ) ( , ) ( )
� �� �0 0 0 0Q k ZQ Zk k
M t e Q M t e( , ) ( ) ( , ) , (49)
ãäå
� �� � � �� � �0 0 0 0 0 00 0 0Q M M Q Mk k
M t M t M t( , ) ( , ) cos ( ) ( , ) sin� � ( )� �M Qk0
� ,
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 75
� �� � � �� � �0 0 0 0 0 00 0 0Q M M Q Mk k
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qk0
� .
(50)
Àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå äëÿ âåêòîðà �c cM t( , ):
� � � �� � � �c c c M c c c M c c cZM t M t e M M t e M M
c c
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) (� c Zt e, ) �
� � �� � � � �� � �c M c k M Q k M Qc c k c k
M t e Q e Q( , ) [ ( ) cos ( ) ( ) sin ( )]
� � �� � � � �� � �c M c k M Q k M Qc c k c k
M t e Q e Q( , ) [ ( ) sin ( ) ( ) cos ( )]
� � � � �� � � �cZ c Z c Q c k c Q c kM t e M t e Q M t e Q
k k
( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) cZ c ZM t e( , ) ,
(51)
ãäå
� �� � � �� � �c Q c c M c M Q c M ck c c k c
M t M t M t( , ) ( , ) cos ( ) ( , ) sin� � ( )� �M Qc k
� ,
� �� � � �� � �c Q c c M c M Q c M ck c c k c
M t M t M t( , ) ( , ) sin ( ) ( , ) cos� ( )� �M Qc k
� .
(52)
Ïîäñòàâèâ â ÂÈÓ (20) âûðàæåíèÿ (46), (49), (51), ïîëó÷èì
� � �� � � �k Q k k k Q k k kZQ k Zk k k
Q t e Q Q t e Q Q t e( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( Q
Q
k
k k
)
( )��
V
k Q k k k Q k k kZQ k
k
k k k
M t e Q M t e Q M
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )]t e Q
t r
d v
Z k
Q M
M
k k
1
V
c Q c k c Q c k cZQ c
c
k k k
M t e Q M t e Q M
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( )]t e Q
t r
dv
Z k
Q M
M
k c
1
1
0�
�
�
�
�
�
M t
e Q r e Q r e r
S
k
k Q M
Q
k Q M
Q
Z Q M
Z
k
k
k
k
k
k( , )
( ) ( ) Q
Q M
M
k
k
r
d s
3
�
��
V
Q k Q k ZQk k k
M t e Q M t e Q M
0
0 0 0 0 0
�� � �� � � �( , ) ( ) ( , ) ( ) ( 0 1
0
, ) ( )]t e Q
t r
d
Z k
Q M
M
k
� .
(53)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ïðè îäíîèìåííûõ îðòàõ ñïðàâà è ñëåâà â
(53), ïîëó÷àåì òðè ÑêÈÓ. Ïîñëå ïðèðàâíèâàíèÿ âûðàæåíèé ïðè îðòàõ
e Qk�( ), ïåðâîå èç íèõ èìååò âèä
�
��
�
�
� �k Q k
k k V
k Q k
Q M
M
V
k
k
k
k k c
Q t
Q
M t
t r
d
( , )
( )
( , )
1 �
�c Q c
Q M
M
k
k c
M t
t r
dv
( , ) 1
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t
S
k
Q M
Q
Q M
M
V
Q
k
k
k
k
k( , )
( , )
0
0
r
d
Q M
M
k 0
� . (54)
Ïîäñòàâèâ â (54) âìåñòî � �k Q kk
Q t( , ), � �c Q ck
M t( , ), � �0 Qk
M t( , )0 èõ âûðà-
æåíèÿ (47), (50), (52), ïîëó÷èì
�
��
� � �
� �k Q k
k k V
k M k M Qk
k
k k k
Q t
Q
M t
t
( , )
( )
[ ( , ) cos ( )]
�
1
r
d
Q M
M
k k
� �
�
�
V
k M k M Q
Q Mk
M
k
k k k
k c
M t
t r
d
� � �
��[ ( , ) sin ( )] 1
�
�
V
c M c M Q
Q M
M
c
c c k
k c
M t
t r
d
� � �
��[ ( , ) cos ( )] 1
�
�
V
c M c M Q
Q M
M
Sc
c c k
k c k
M t
t r
d
� � �
�
�
��[ ( , ) sin ( )] 1 1
0
k
Q M
Q
Q M
MM t
r
r
dsk
k
k
( , )
�
3
�
� �
� � �
V
M M Q M MM t M t
k
0
0 0 0 00 0 0 0
�� � � � �� �( , ) cos ( ) ( , ) cos ( �
Q
Q M
M
k
k
t r
dv
)
,
1
Q Vk k� . (55)
Ïðèðàâíèâàÿ âûðàæåíèÿ ñïðàâà è ñëåâà îò e Qk� ( ) â (53), ïîëó÷àåì
âòîðîå óðàâíåíèå ÑêÈÓ:
�
��
�
�
� �k Q k
k k V
k Q k
Q M
M
V
k
k
k
k k c
Q t
Q
M t
t r
d
( , )
( )
( , )
1 �
�c Q c
Q M
M
k
k c
M t
t r
dv
( , ) 1
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t
S
k
Q M
Q
Q M
M
V
Q
k
k
k
k
k( , )
( , )
0
0
r
d
Q M
M
k 0
� , Q Vk k� . (56)
Ïîäñòàâèì â (56) âìåñòî � �k Q kk
M t( , ), � �c Q ck
M t( , ), � �0 Qk
M t( , )0 èõ âûðà-
æåíèÿ (47), (50), (52).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
�
��
�k Q k
k k
k
Q t
Q
( , )
( )
� �
V
k M k M Q k M k M
k
k k k k k
M t M t
� � � � � �� �[ ( , )sin ( ) ( , )cos ( Q
Q M
M
k
k k
t r
d
)]
�
1
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 77
� �
V
c M c M Q c M c M
c
c c k c c
M t M t
� � � � � �� �[ ( , ) sin ( ) ( , ) cos ( Q
Q M
M
k
k c
t r
d
)]
�
1
�
1
0
3�
�
�
M t
r
r
ds
S
k
Q M
Q
Q M
M
k
k
k
k
( , )
� �
� �
V
M M Q M MM t M t
k
0
0 0 0 00 0 0 0
�� � � � �� �( , )sin ( ) ( , )cos ( �
Q
Q M
M
k
k
t r
dv
) 1
0
,
Q Vk k� . (57)
Ïðèðàâíÿâ âûðàæåíèÿ ñïðàâà è ñëåâà îò eZ â (53), ïîëó÷èì òðåòüå
óðàâíåíèå ÑêÈÓ:
�
��
�
�
kZQ k
k k V
kZQ k
Q M
M
V
k
k
k
k k c
Q t
Q
M t
t r
d
( , )
( )
( , )
1 �
�cZQ c
Q M
M
k
k c
M t
t r
d
( , ) 1
� �
1 1
0
3
0
�
�
�
M t
r
r
ds
M t
t
S
k
Q M
ZQ
Q M
M
V
ZQ
k
k
k
k
k( , )
( , )
0
0
r
d
Q M
M
k 0
� , Q Vk k� . (58)
Ïðåîáðàçîâàíèå ÑêÈÓ (21) â ÑêÑÈÓ äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðå-
âûõ òîêîâ â êðèñòàëëèçàòîðå êîëüöåâîãî ñå÷åíèÿ, â êîòîðûé ïîìå-
ùåíà ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ, â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Çàïèøåì ÑêÈÓ (21) â âèäå ÑêÑÈÓ íà êàíîíè÷åñêèõ ïîäîáëàñòÿõ S ki ,
i �1 4,..., , ïîâåðõíîñòè ñëèòêà:
�
�
�k ki
j S
k kj
Q Q M
Q
Q t M t
n r
r
kj
ki ki kj
( , ) ( , )
cos ( )
�
�
1
2 1
4
ki kjM
Mds
2
2
1
2�
�
� �
�
V
knQ k
Q M
M
V
cnQ k
k
ki
ki k c
ki
M t
t r
d
M t( , ) ( , )
�
t r
d
Q M
M
ki c
1
�
� �
2
1
0 0
0 0�
�
�
V
nQ
Q M
M
ki
ki
M t
t r
d
( , )
, Q Ski ki� , i �1 4,..., . (59)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
ßäðà ÑêÑÈÓ (59) âû÷èñëèì ïî ôîðìóëàì, ïðèâåäåííûì â òàáëèöàõ â
ðàáîòå [4]. Óïðîùåííûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ, âõîäÿùèõ
â óðàâíåíèå (59),
V
knQ k
Q M
M
k
ki
ki k
M t
t r
d
�
�
( , )
,
1
Q Ski ki� , i �1 4,..., , (60)
V
cnQ c
Q M
M
c
ki
ki c
M t
t r
d
�
�
( , )
,
1
Q Ski ki� , i �1 4,..., , (61)
V
nQ
Q M
M
ki
ki
M t
t r
d
0
�
�0 0 1
0
( , )
, Q Ski ki� , i �1 4,..., , (62)
âûâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî ôîðìóëàì äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ (39)—(41).
Çàïèøåì ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (60): ïðè i = 1
V
knQ k
Q M
M
V
kZ k
k
k
k k k
Qk
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
1
1
11 1( , ) ( , )
Q M
M
k k
d
1
� ;
ïðè i = 2
V
knQ k
Q M
M
V
k Q k
k
k
k k k
k
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
�2
2
21 1( , ) ( , )
Q M
M
k k
d
2
� �
� �
� �
V
k M k M Q k M k M
k
k k k k k
M t M t
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin (
2
� �
Q
Q M
M
k
k k
t r
dv2
2
1)]
;
ïðè i = 3
V
knQ k
Q M
M
V
kZ k
Q
k
k
k k k
Qk
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
3
3
31 1( , ) ( , )
k kM
Md
3
� ;
ïðè i = 4
V
knQ k
Q M
M
V
k Q k
Q
k
k
k k k
k
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
�4
4
41 1( , ) ( , )
k kM
Md
4
� �
�
� � �
V
k M k M Q k M k M
k
k k k k k
M t M t
� � � � �� �[ ( , )cos( ) ( , )sin (
4
�
Q
Q M
M
k
k k
t r
dv4
4
1)]
.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 79
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (61): ïðè i = 1
V
cnQ c
Q M
M
V
cZ c
c
k
k c c
Qk
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
1
1
11 1( , ) ( , )
Q M
M
k c
d
1
� ;
ïðè i = 2
V
cnQ c
Q M
M
V
c Q c
c
k
k c c
k
M t
t r
d
M t
t r
� �
�
�
�
�2
2
21 1( , ) ( , )
Q M
M
k c
d
2
� �
� �
� �
V
c M c M Q c M c M
c
c c k c c
M t M t
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin (
2
� �
Q
Q M
M
k
k c
t r
d v2
2
1)]
;
ïðè i = 3
V
cnQ c
Q M
M
V
cZ c
Q
c
k
k c c
Qk
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
3
3
31 1( , ) ( , )
k cM
Md
3
� ;
ïðè i = 4
V
cnQ c
Q Mc
M
V
c Q c
Q
c
k
k c
k
M t
t r
d
M t
t r
�
�
�
�
�4
4
41 1( , ) ( , )
k cM
Md
4
� �
�
� � �
V
c M c M Q c M c M
c
c c k c c
M t M t
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin (
4
�
Q
Q M
M
k
k c
t r
dv4
4
1)]
.
Ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (62): ïðè i = 1
V
nQ
Q M
M
V
Z
k
k
Qk
M t
t r
d
M t
t r
0
1
1 0 0
10 0 0 01 1
� �
�
�
�
( , ) ( , )
Q M
M
k
d
1 0
� ;
ïðè i = 2
V
nQ
Q M
M
V
Qk
k
k
M t
t r
d
M t
t r
0
2
2 0 0
20 0 0 01 1
� �
�
�
�
�( , ) ( , )
Q M
M
k
d
2 0
� �
� �
� �
V
M M Q M MM t M t
k
0
0 0 2 0 00 0 0 0
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin ( � �
Q
Q M
M
k
k
t r
dv2
2 0
1)]
;
ïðè i = 3
V
nQ
Q M
M
V
Z
Q
k
k
Qk
M t
t r
d
M t
t r
0
3
3 0 0
30 0 0 01 1
�
�
�
�
( , ) ( , )
k M
Md
3 0
� ;
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
ïðè i = 4
V
nQ
Q M
M
V
k Q
Q
k
k
k
M t
t r
d
M t
t r
0
4
4 0 0
40 0 01 1
�
�
�
�
�( , ) ( , )
k M
Md
4 0
� �
�
� � �
V
M M Q M M
c
k k
M t M t
� � � � �� �[ ( , )cos ( ) ( , )sin (0 0 0 00 0 4 0
�
Q
Q M
M
k
k
t r
dv4
4 0
1)]
.00
Âûâîäû
Ïîëó÷åíà ÑêÑÈÓ (34), (36)—(38), (55), (57)—(59), îïèñûâàþùàÿ â öè-
ëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ
òîêîâ â ñèñòåìå ÍËÇ êðóãëîãî ñå÷åíèÿ—êðèñòàëëèçàòîð êîëüöåâîãî ñå÷å-
íèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèò-
íîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. I //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2014. —
36, ¹ 5. — Ñ. 67—79.
2. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõ-
ðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. I //Òàì æå. — 2013. — 35, ¹ 6. — Ñ. 49—62.
3. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõ-
ðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïå-
ðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ.II //Òàì æå. — 2014. — 36, ¹ 1. — Ñ. 81—95.
4. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À, Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ ó÷åòîì
ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. I // Òàì æå. —
2012. — 34, ¹ 1. — C. 81—92.
V.F. Yevdokimov, E.I. Petrushenko
INTEGRAL MODEL OF THREE-DIMENSIONAL
DISTRIBUTION OF EDDY FLOWS IN CONTINUOUS CASTING
OF ROUND CROSS-SECTION UNDER ELECTROMAGNETIC
STIRRING IN VERTICAL MCC. II
The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of co-
ordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC)
of round cross-section — mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the
vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar
integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting
of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account.
Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2014. Ò. 36. ¹ 6 81
K e y w o r d s: integral model, three-dimensional distribution, eddy flows, continuous casting,
round cross-section, electromagnetic stirring.
REFERENCES
1. Yevdokimov V.F.,Petrushenko E.I. Integral model of three-dimensional distribution of eddy
flows in continuous casting of round cross-section under electromagnetic stirring in vertical
MCC. I. // Electronic Modeling. — 2014. — Vol. 36, No 5. — P. 67—79 (in Russian).
2. Yevdokimov V.F., Petrushenko E.I. Integral model of three-dimensional distribution of eddy
flows in continuous casting of square cross-section under electromagnetic stirring in vertical
MCC. I // Ibid. — 2013. — Vol. 35, No 6. — P. 49—62 (in Russian).
3. Yevdokimov V.F., Petrushenko E.I. Integral model of three-dimensional distribution of eddy
flows in continuous casting of square cross-section under electromagnetic stirring in vertical
MCC. II // Ibid. — 2014. — Vol. 36, No 1. — P. 81—95 (in Russian).
4. Yevdokimov V.F., Kuchaev A.A., Petrushenko E.I., Kuchaev V.A. Model of three-dimensional
magnetic field of the stator of cylindrical electromagnetic stirrer with allowance for magneti-
zation currents distribution on the magnetic circuit surface. I // Ibid. — 2012. — Vol. 34, No 1. —
P. 81—92 (in Russian).
Ïîñòóïèëà 20.10.14
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå ÍÀÍ Óêðàèíû èì. Ã.Å. Ïóõîâà.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è ñèñòåì â
ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíàëèç è ñèí-
òåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëèðî-
âàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â
1963 ã. Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëè-
ðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÊÓ×ÀÅ Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷, àñïèðàíò îòäåëà ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé
ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â
2002 ã. îêîí÷èë Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè-
÷åñêèé èí-ò». Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2014. V. 36. ¹ 6
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101070 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T18:46:37Z |
| publishDate | 2014 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. 2016-05-30T15:16:09Z 2016-05-30T15:16:09Z 2014 Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2014. — Т. 36, № 6. — С. 61-82. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101070 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Получена скалярная система интегральных уравнений, описывающая в цилиндрической системе координат трехмерное распределение вихревых токов в системе непрерывно литая заготовка круглого сечения—кристаллизатор при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ, с учетом влияния вихревых токов в кристаллизаторе. Исходной является векторная система интегральных уравнений. Отримано скалярну систему інтегральних рівнянь, яка описує в циліндричній системі координат тривимірний розподіл вихрових струмів в системі безперервно лита заготовка круглого перерізу—кристалізатор при електромагнітному перемішуванні в вертикальній МБЛЗ, з врахуванням впливу вихрових струмів в кристалізаторі. Вихідною є векторна система інтегральних рівнянь. The scalar set of integral equations has been obtained which describes in cylindrical system of coordinates the three-dimensional distribution of eddy flows in the system continuous casting (CC) of round cross-section—mould under electromagnetic stirring in vertical CC. It is based on the vector set of integral equations. An auxiliary problem is considered in Part I of the paper: scalar integral equations describing three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section. The effect of eddy flows is not taken in the account. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II Integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section under electromagnetic stirring in vertical MCC. II Article published earlier |
| spellingShingle | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. Применение методов и средств моделирования |
| title | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II |
| title_alt | Integral model of three-dimensional distribution of eddy flows in continuous casting of round cross-section under electromagnetic stirring in vertical MCC. II |
| title_full | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II |
| title_fullStr | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II |
| title_full_unstemmed | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II |
| title_short | Интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ. II |
| title_sort | интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке круглого сечения при электромагнитном перемешивании в вертикальной мнлз. ii |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101070 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekruglogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzii AT petrušenkoei integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekruglogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzii AT kučaevva integralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkekruglogosečeniâpriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlzii AT evdokimovvf integralmodelofthreedimensionaldistributionofeddyflowsincontinuouscastingofroundcrosssectionunderelectromagneticstirringinverticalmccii AT petrušenkoei integralmodelofthreedimensionaldistributionofeddyflowsincontinuouscastingofroundcrosssectionunderelectromagneticstirringinverticalmccii AT kučaevva integralmodelofthreedimensionaldistributionofeddyflowsincontinuouscastingofroundcrosssectionunderelectromagneticstirringinverticalmccii |