Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей
Рассмотрен процесс фильтрации жидкости с частичным насыщением пор, описываемый нелинейным параболическим уравнением в области с подвижной границей. Поставлена обратная задача по определению скорости фильтрационного потока во входном сечении пористой среды по заданному закону движения подвижной грани...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2015 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101077 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей / Х.М. Гамзаев // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101077 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Гамзаев, Х.М. 2016-05-30T17:59:51Z 2016-05-30T17:59:51Z 2015 Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей / Х.М. Гамзаев // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101077 532.546: 519.63 Рассмотрен процесс фильтрации жидкости с частичным насыщением пор, описываемый нелинейным параболическим уравнением в области с подвижной границей. Поставлена обратная задача по определению скорости фильтрационного потока во входном сечении пористой среды по заданному закону движения подвижной границы. С применением методов выпрямления фронтов и разностной аппроксимации поставленная задача сводится к решению системы разностных уравнений. Предложен вычислительный алгоритм для решения полученной системы. Розглянуто процес фільтрації рідини з частковим насиченням пор, описуваний нелінійним параболічним рівнянням в області з рухливою межею. Поставлено обернену задачу визначення швидкості фільтраційного потоку у вхідному перерізі пористого середовища по заданому закону руху рухливої межі. При застосуванні методів спрямлення фронтів та різницевої апроксимації поставлену задачу зведено до розв’язку системи різницевих рівнянь. Запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язування отриманої системи. The article describes the process of filtration of a fluid with partial saturation then described by a nonlinear parabolic equation in a region with moving boundary. The inverse problem is posed on determination of filtration flow speed in the inlet section of the porous medium under the given law of motion of a mobile boundary. Applying methods of rectification fronts and differential approximation, the problem is reduced to solving systems of difference equations. A numerical algorithm was proposed to solve the obtained system of difference equations. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей Numerical solution of problem of unsaturated filtration with a moving boundary Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| spellingShingle |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей Гамзаев, Х.М. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title_short |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| title_full |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| title_fullStr |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| title_full_unstemmed |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| title_sort |
численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей |
| author |
Гамзаев, Х.М. |
| author_facet |
Гамзаев, Х.М. |
| topic |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| publishDate |
2015 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Numerical solution of problem of unsaturated filtration with a moving boundary |
| description |
Рассмотрен процесс фильтрации жидкости с частичным насыщением пор, описываемый нелинейным параболическим уравнением в области с подвижной границей. Поставлена обратная задача по определению скорости фильтрационного потока во входном сечении пористой среды по заданному закону движения подвижной границы. С применением методов выпрямления фронтов и разностной аппроксимации поставленная задача сводится к решению системы разностных уравнений. Предложен вычислительный алгоритм для решения полученной системы.
Розглянуто процес фільтрації рідини з частковим насиченням пор, описуваний нелінійним параболічним рівнянням в області з рухливою межею. Поставлено обернену задачу визначення швидкості фільтраційного потоку у вхідному перерізі пористого середовища по заданому закону руху рухливої межі. При застосуванні методів спрямлення фронтів та різницевої апроксимації поставлену задачу зведено до розв’язку системи різницевих рівнянь. Запропоновано обчислювальний алгоритм розв’язування отриманої системи.
The article describes the process of filtration of a fluid with partial saturation then described by a nonlinear parabolic equation in a region with moving boundary. The inverse problem is posed on determination of filtration flow speed in the inlet section of the porous medium under the given law of motion of a mobile boundary. Applying methods of rectification fronts and differential approximation, the problem is reduced to solving systems of difference equations. A numerical algorithm was proposed to solve the obtained system of difference equations.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101077 |
| citation_txt |
Численное решение задачи ненасыщенной фильтрации с подвижной границей / Х.М. Гамзаев // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 15-24. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT gamzaevhm čislennoerešeniezadačinenasyŝennoifilʹtraciispodvižnoigranicei AT gamzaevhm numericalsolutionofproblemofunsaturatedfiltrationwithamovingboundary |
| first_indexed |
2025-11-27T06:53:04Z |
| last_indexed |
2025-11-27T06:53:04Z |
| _version_ |
1850805902119010304 |
| fulltext |
ÓÄÊ 532.546: 519.63
Õ.Ì. Ãàìçàåâ, ä-ð òåõí. íàóê
Àçåðáàéäæàíñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ íåôòÿíàÿ àêàäåìèÿ
(Àçåðáàéäæàí, AZ 1010, Áàêó, ïð-ò Àçàäëûã, 20,
òåë. (994 55) 6826701, å-mail: xan.h@rambler.ru)
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íåíàñûùåííîé
ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé
Ðàññìîòðåí ïðîöåññ ôèëüòðàöèè æèäêîñòè ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ïîð, îïèñûâàåìûé
íåëèíåéíûì ïàðàáîëè÷åñêèì óðàâíåíèåì â îáëàñòè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé. Ïîñòàâëåíà
îáðàòíàÿ çàäà÷à ïî îïðåäåëåíèþ ñêîðîñòè ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà âî âõîäíîì ñå÷åíèè
ïîðèñòîé ñðåäû ïî çàäàííîìó çàêîíó äâèæåíèÿ ïîäâèæíîé ãðàíèöû. Ñ ïðèìåíåíèåì
ìåòîäîâ âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ è ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ñâî-
äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ðàçíîñòíûõ óðàâíåíèé. Ïðåäëîæåí âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì
äëÿ ðåøåíèÿ ïîëó÷åííîé ñèñòåìû.
Ðîçãëÿíóòî ïðîöåñ ô³ëüòðàö³¿ ð³äèíè ç ÷àñòêîâèì íàñè÷åííÿì ïîð, îïèñóâàíèé íåë³í³é-
íèì ïàðàáîë³÷íèì ð³âíÿííÿì â îáëàñò³ ç ðóõëèâîþ ìåæåþ. Ïîñòàâëåíî îáåðíåíó çàäà÷ó
âèçíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ô³ëüòðàö³éíîãî ïîòîêó ó âõ³äíîìó ïåðåð³ç³ ïîðèñòîãî ñåðåäîâèùà
ïî çàäàíîìó çàêîíó ðóõó ðóõëèâî¿ ìåæ³. Ïðè çàñòîñóâàíí³ ìåòîä³â ñïðÿìëåííÿ ôðîíò³â òà
ð³çíèöåâî¿ àïðîêñèìàö³¿ ïîñòàâëåíó çàäà÷ó çâåäåíî äî ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè ð³çíèöåâèõ
ð³âíÿíü. Çàïðîïîíîâàíî îá÷èñëþâàëüíèé àëãîðèòì ðîçâ’ÿçóâàííÿ îòðèìàíî¿ ñèñòåìè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåíàñûùåííàÿ ôèëüòðàöèÿ, êðàåâàÿ çàäà÷à ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé,
îáðàòíàÿ çàäà÷à, ìåòîä âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ, ðàçíîñòíîé ìåòîä.
Èçâåñòíî, ÷òî â ãðóíòàõ çîíû àýðàöèè, çàëåãàþùèõ ìåæäó ïîâåðõíîñòüþ
çåìëè è ãðóíòîâûì ïîòîêîì, ïîðû â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ìîãóò áûòü
çàïîëíåíû àòìîñôåðíûìè ãàçàìè èëè âîäÿíûì ïàðîì. Ïîýòîìó â îòëè÷èå
îò ãëóáîêèõ ïëàñòîâ, ôèëüòðàöèÿ æèäêîñòåé â ãðóíòàõ çîíû àýðàöèè ìî-
æåò ïðîèñõîäèòü ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ïîð ãðóíòîâ.
Ìíîãî÷èñëåííûå ýêñïåðèìåíòû ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî ïðè
ôèëüòðàöèè æèäêîñòåé â ïîðèñòîé ñðåäå ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ãëàâ-
íûìè äåéñòâóþùèìè ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ ñèëû êàïèëëÿðíîãî äàâëåíèÿ è
ãðàâèòàöèè [1—3]. Ïîñêîëüêó êàïèëëÿðíîå äàâëåíèå áîëüøå äàâëåíèÿ â
ãàçîâîé ôàçå, ìîæíî ïðåíåáðå÷ü äàâëåíèåì ãàçîâîé ôàçû è íå ó÷èòûâàòü
åå äâèæåíèå. Îáû÷íî ïðè ìîäåëèðîâàíèè ôèëüòðàöèè æèäêîñòåé â ïîðèñ-
òîé ñðåäå ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì èñõîäíûìè ÿâëÿþòñÿ:
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 15
� Õ.Ì. Ãàìçàåâ, 2015
çàêîí ôèëüòðàöèè (çàêîí Äàðñè), ñâÿçûâàþùèé ñêîðîñòü ïîòîêà ñ
ãðàäèåíòîì äåéñòâóþùèõ ñèë —
u
k p
x
k� �
�
�
�
, v
k p
y
k� �
�
�
�
, �
�
�
�
�� � ��
�
�
k p
z
k , (1)
çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìàññû —
� �
�
� �
�
� �
�
���
�
w
t
u
x
v
y z
� � � �0, (2)
êàïèëëÿðíîå ñîîòíîøåíèå —
p p wk k� ( ). (3)
Çäåñü z — âåðòèêàëüíàÿ îñü, íàïðàâëåííàÿ âíèç; x, y — ãîðèçîíòàëüíûå
îñè; t — âðåìÿ; u, v,�— êîìïîíåíòû ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè; w — îáúåìíàÿ
âëàæíîñòü ãðóíòà (îòíîøåíèå îáúåìà æèäêîñòè ê îáúåìó âñåãî ãðóíòà, âêëþ-
÷àÿ åãî ñêåëåò, æèäêîñòü è ãàç); pk — êàïèëëÿðíîå äàâëåíèå; � — ïëîòíîñòü
æèäêîñòè; k — êîýôôèöèåíò ôèëüòðàöèè, çàâèñÿùèé îò âëàæíîñòè ãðóíòà
w; � — óäåëüíûé âåñ æèäêîñòè.
Ïîäñòàâèâ â (2) çíà÷åíèÿ u, v, � èç (1), à çàòåì pk èç (3) è ñ÷èòàÿ � ïîñ-
òîÿííîé, ïîëó÷èì òàê íàçûâàåìîå óðàâíåíèå íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè:
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�w
t x
D w
w
x y
D w
w
y z
D w
w
� �
�
�
�
�
�
�
�( ) ( ) ( )
�
�
�z
k w
z
�
�
�
�
( )
, (4)
ãäå D — êîýôôèöèåíò äèôôóçèè,
D w
k w p w
w
k( )
( ) ( )
�
�
�
�
.
Àíàëîãè÷íîå óðàâíåíèå âïåðâûå ïîëó÷åíî Ë.À. Ðè÷àðäñîì [4]. Îíî
îïèñûâàåò ïðîöåññ ôèëüòðàöèè æèäêîñòåé ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ïî-
ðèñòîé ñðåäû, â òîì ÷èñëå ïðîöåññ ïðîíèêíîâåíèÿ â ïî÷âó ñëîÿ æèäêîñòåé,
ðàçëèòûõ ïî ïîâåðõíîñòè çåìëè, è àòìîñôåðíûõ îñàäêîâ. Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî ôóíêöèè D w( ) è k w( ) îïðåäåëÿþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíî [5].
Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèè ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì
íà îñíîâå óðàâíåíèÿ íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè (4) íåîáõîäèìî èìåòü
èíôîðìàöèþ î íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ïîðèñòîé ñðåäû è óñëîâèÿõ íà ãðà-
íèöå îáëàñòè ôèëüòðàöèè. Îäíàêî âî ìíîãèõ ïðîöåññàõ ôèëüòðàöèè ñ
÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ïðîöåññ ïðîèñõîäèò â îáëàñòè ñ ïîäâèæíîé ãðà-
íèöåé, çàêîí ïåðåìåùåíèÿ êîòîðîé çàðàíåå íåèçâåñòåí. Ïîýòîìó èññëåäî-
âàíèå òàêèõ ïðîöåññîâ íà îñíîâå ìîäåëè (4) ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ êðàåâîé
çàäà÷è ñ íåèçâåñòíîé ïîäâèæíîé ãðàíèöåé.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò
Õ.Ì. Ãàìçàåâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
íåîáõîäèìîñòü â ðàçðàáîòêå ìåòîäîâ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåñ-
ñîâ ôèëüòðàöèè ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì â îáëàñòè ñ íåèçâåñòíîé ïîä-
âèæíîé ãðàíèöåé.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü â ñå÷åíèè ïîðèñòîé ñðåäû z �0 ïîäàåòñÿ
ïîòîê æèäêîñòè ñî ñêîðîñòüþ q t( ). Ïîä äåéñòâèåì ñèë ãðàâèòàöèè è
êàïèëëÿðíîãî äàâëåíèÿ â ïîðèñòîé ñðåäå îáðàçóåòñÿ îäíîìåðíûé ôèëüò-
ðàöèîííûé ïîòîê ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì, äâèãàþùèéñÿ ñ êîíå÷íîé
ñêîðîñòüþ â íàïðàâëåíèè ãðàâèòàöèè. Â ïîðèñòîé ñðåäå îáðàçóåòñÿ îá-
ëàñòü ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé s t( ). Ïðè ýòîì � �s t( ) 0, t �0, ò.å.
îáëàñòü ôèëüòðàöèè ìîíîòîííî ðàñøèðÿåòñÿ. Òîãäà óðàâíåíèå (4) äëÿ
äàííîãî ôèëüòðàöèîííîãî ïðîöåññà ïðèíèìàåò âèä
�
�
�
�
�
�
�
�
w
t z
D w
w
z
k w
w
z
� �
�
�
� �( ) ( ) , ( , ) { ( ), }z t z s t t Ts� � � � � �� 0 0 . (5)
Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t �0 âëàæíîñòü ïîðèñòîé ñðåäû è
ïîëîæåíèå ïîäâèæíîé ãðàíèöû èçâåñòíû, ò.å. äëÿ óðàâíåíèÿ (5) çàïèøåì
ñëåäóþùèå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ:
w wt s| � �0 , 0 0� �z s ( ) , (6)
s s( ) *0 � , s* � 0. (7)
 ñå÷åíèè z �0 äëÿ óðàâíåíèÿ (5) ïðèìåì ñëåäóþùåå ãðàíè÷íîå óñëîâèå:
� � �D w
w
z
k w q t( ) ( ) ( )
�
�
, z �0, 0� �t T. (8)
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî âëàæíîñòü íà ïîäâèæíîé ãðàíèöå ðàâíà íà÷àëüíîé âëàæ-
íîñòè â ïîðèñòîé ñðåäå ws, óñëîâèå íà ïîäâèæíîé ãðàíèöå ïðåäñòàâèì â
âèäå
w z t ws( , ) � , z s t� ( ), 0� �t T. (9)
Çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (5) âûïîëíÿåòñÿ â îáëàñòè ñ ïîäâèæíîé ãðà-
íèöåé, à çàêîí ïåðåìåùåíèÿ ïîäâèæíîé ãðàíèöû íåèçâåñòåí. Ñëåäîâàòåëüíî,
äëÿ êîððåêòíîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è íåîáõîäèìî çàäàòü äîïîëíèòåëüíîå óñ-
ëîâèå. Ó÷èòûâàÿ ôèçè÷åñêîå ñâîéñòâî íåíàñûùåííîãî ôèëüòðàöèîííîãî
ïîòîêà â ïîðèñòîé ñðåäå, â êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ ïðèìåì ñëå-
äóþùåå:
�
�
w
z
�0, z s t� ( ), 0� �t T. (10)
Ïðÿìàÿ çàäà÷à ôèëüòðàöèè ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì ñîñòîèò â íà-
õîæäåíèè ôóíêöèé w z t( , ), s t( ), óäîâëåòâîðÿþùèõ óðàâíåíèþ (5) ñ çàäàí-
íûìè ôóíêöèÿìè D w( ), k w( ) è äîïîëíèòåëüíûìè óñëîâèÿìè (6)—(10). Åå
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 17
ñóùåñòâåííîé îñîáåííîñòüþ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå ïîäâèæíîé ãðàíèöû, çàêîí
ïåðåìåùåíèÿ êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ â õîäå ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðÿìàÿ çàäà-
÷à (5)—(10) îòíîñèòñÿ ê êëàññó êðàåâûõ çàäà÷ ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé
[6—9]. Îäíàêî äëÿ ïðîöåññîâ ôèëüòðàöèè ñ ÷àñòè÷íûì íàñûùåíèåì âàæ-
íîå ïðàêòè÷åñêîå çíà÷åíèå èìåþò çàäà÷è, â êîòîðûõ ïî çàðàíåå çàäàííîìó
çàêîíó äâèæåíèÿ ïîäâèæíîé ãðàíèöû îïðåäåëÿþòñÿ òå ðåæèìû âî âõîäíîì
ñå÷åíèè ïîðèñòîé ñðåäû, ïðè êîòîðûõ òàêèå äâèæåíèÿ âîçìîæíû.
 ñâÿçè ñ ýòèì ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ îáðàòíóþ çàäà÷ó: îïðåäåëèòü òàêîé
ðåæèì âî âõîäíîì ñå÷åíèè ïîðèñòîé ñðåäû, êîòîðûé îáåñïå÷èâàë áû ïåðå-
ìåùåíèÿ ïîäâèæíîé ãðàíèöû ïî çàäàííîìó çàêîíó. Òàêèì îáðàçîì, çàêîí
ïåðåìåùåíèÿ ïîäâèæíîé ãðàíèöû s t( ) ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíûì è òðåáóåòñÿ
îïðåäåëèòü ôóíêöèè q t( ), w z t( , ) ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèé (5) è äîïîëíèòåëü-
íûõ óñëîâèé (6)—(10).
Ìåòîä ðåøåíèÿ. Èñïîëüçóÿ ìåòîä âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ, ïðåîáðà-
çóåì çàäà÷ó (5)—(10). Çàìåíîé ïåðåìåííûõ y z s t� / ( ), t t� , w z t w y t( , ) ( , )�
îáëàñòü çàäàíèÿ óðàâíåíèÿ (5) � s îòîáðàçèì íà îáëàñòü � � � �{ ,0 1y
0� �t T}. Òîãäà óðàâíåíèå (5) è óñëîâèÿ (6)—(10) ïðèíèìàþò âèä
s t
w
t
u y t
w
y y
D w
w
y
s t k w
w2( ) ( , ) ( ) ( ) ( )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
� �
�y
,
( , ) { , }y t y t T� � � � � �� 0 1 0 , (11)
w wt s| � �0 , 0 1� �y , (12)
s s( ) *0 � , s* � 0 , (13)
� � �D w
w
y
s t k w q t s t( ) ( ) ( ) ( ) ( )
�
�
, y �0, 0� �t T, (14)
w y t ws( , ) � , y �1, 0� �t T, (15)
�
�
w
z
�0, z �1, 0� �t T, (16)
ãäå u y t ys t ds dt( , ) ( )( ) /� . Ïðåèìóùåñòâî òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ çàêëþ-
÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïîëó÷åííàÿ çàäà÷à (11)—(16) ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïðÿìî-
óãîëüíîé îáëàñòè � ñ ôèêñèðîâàííûìè ãðàíèöàìè. Ïîñêîëüêó íåèçâåñò-
íûìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèè w y t( , ) è q t( ), çàäà÷à (11)—(16) îòíîñèòñÿ ê
êëàññó ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ [10, 11].
Ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå äèôôåðåíöèàëüíîé çàäà÷å (11)—(16) ðàç-
íîñòíóþ çàäà÷ó, ïðîâåäÿ äèñêðåòèçàöèþ ïî ïðîñòðàíñòâó è âðåìåíè. Äëÿ
ýòîãî ââåäåì ðàâíîìåðíóþ ðàçíîñòíóþ ñåòêó� �h i j iy t y ih� �{( , ) : , t jj � �,
Õ.Ì. Ãàìçàåâ
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
i n j m� �0 1 2 0 1 2, , , ..., , , , , ..., }ñ øàãàìè h n�1/ ïî ïåðåìåííîé y è � �T m/
ïî ïåðåìåííîé t. Ðàçíîñòíûé àíàëîã óðàâíåíèÿ (11) íà ñåòêå� �h çàïèøåì
â âèäå
( )
/
s
w w
u
w w
h h
D
w wj i
j
i
j
i
j i
j
i
j
i
j i
j
i
j
2
1
1
1 2
1 11�
�
�
�
��
�
�
� �
� h
D
w w
h
i
j i
j
i
j
�
��
�
�
�
�
� ��
� �
1 2
1 1
/
� �
�� �s k w
w w
h
j
i
j i
j
i
j
( )1 1, i n� �1 2 1, ,..., , j m�1 2, ,..., .
Ðàçíîñòíûå àíàëîãè íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (12)—(16) çàïèøåì
â âèäå
w wi s
0 � , 0� �i n, s s0 � * ,
�
�
� �� �D w
w w
h
s k w q sj
j j
j j j j( ) ( )
0
1 1 0
0
1 ,
w wn
j
s� ,
w w
h
n
j
n
j�
��1 0,
ãäå
w w y t
i
j
i j� ( , ); D D w D w
i
j
i
j
i
j
�
� �� �
1 2
1
1
1 1 2
/
( ( ) ( )) / ;
q q tj
j� ( ); s s tj
j� ( ); u u y t
i
j
i j� ( , ).
Ïðåîáðàçóåì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâ-
íåíèé ê âèäó
a w c w b w fi i
j
i i
j
i i
j
i
j
� �
�� � � �
1 1
1, i n� �1 1, , (17)
w wi s
0 � , 0� �i n, (18)
s s0 � * , (19)
w w r qj j j
1 0
� � � ! , (20)
w wn
j
s� , (21)
w wn
j
n
j� �1
, (22)
ãäå
a
D
h
s k w
h
i
i
j j
i
j
� �
��
� �
1 2
1
2
1
/
( )
; b
D
h
u
h
i
i
j
i
j
� ��
�
1 2
1
2
/ ; c a b
s
i i i
j
� � �
( )2
�
;
f
s
w
i
j
j
i
j� ��1
2
1( )
�
; r
k w hs
D w
j j
j
�
�
�
( )
( )
0
1
0
1
; ! �
�
hs
D w
j
j( )
0
1
.
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 19
Çàìåòèì, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (17) èìååò
òðåõäèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå îïðåäåëåíèÿ q j ðåøå-
íèå äàííîé ñèñòåìû ìîæíî íàéòè óñòîé÷èâûì ìåòîäîì ïðîãîíêè. Äëÿ
ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîé ñèñòåìû èñïîëüçóåì ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé â
[12]. Ðåøåíèå ñèñòåìû (17)—(22) ïðè êàæäîì ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè j
ïðåäñòàâèì â âèäå
w w
i
j
i i
j
i� � �� �
1 1 1" # , i n� �0 1 2 1, , ,..., , (23)
ãäå " i�1, #i�1 — íåèçâåñòíûå ïîêà êîýôôèöèåíòû. Àíàëîãè÷íî çàïèøåì
w w
i
j
i i
j
i� ��" #
1
. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ w
i
j , w
i
j
�1
â óðàâíåíèå (17), ïîëó-
÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ " i è #i :
"
"
i
i
i i i
a
c b
�
� �1
, #
#
"
i
i i i
j
i i i
b f
c b
�
�
�
�
�
�
1
1
1
, i n n� � �1 2 1, ,..., .
Íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ êîýôôèöèåíòîâ íàõîäèì, âûïîëíÿÿ òðåáîâàíèÿ
ýêâèâàëåíòíîñòè óñëîâèÿ (22) óðàâíåíèþ (23) ïðè i n� : " n �1, #n �0.
Íàéäÿ êîýôôèöèåíòû" i ,#i äëÿ âñåõ i n�1, , îïðåäåëèì çàâèñèìîñòü ìåæäó
wn
j è q j â ÿâíîì âèäå. Äëÿ ýòîãî óðàâíåíèå (23) çàïèøåì ïðè i n� �1: wn
j �
� ��" #n n
j
nw
1
. Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèå w w
n
j
n n
j
n� � � �� �
1 1 2 1" # , ïîëó÷èì
w wn
j
n n n
j
n n n� � �� � �" " " # #1 2 1 . (24)
Äàëåå, ïîäñòàâëÿÿ â óðàâíåíèå (24) âûðàæåíèÿ äëÿ w
n
j
�2
, w
n
j
�3
, ..., w j
1
,
ïîëó÷àåì ôîðìóëó, â êîòîðîé wn
j âûðàæåíî ÷åðåç w j
0
:
w wn
j j
i
n
i
i
n
i
l i
n
l n� � �
� �
�
� �
$ % $0
1 1
1
1
" # " # . (25)
Òåïåðü, èñêëþ÷èâ w j
1
èç ñèñòåìû óðàâíåíèé
w wj j
1 1 0 1� �" # ,
w w r qj j j
1 0
� � �! ,
ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå, ñâÿçûâàþùåå w j
0
è q j :
w
r
qj j
0
1
1 11 1
�
�
�
�
�
#
"
!
"
. (26)
Õ.Ì. Ãàìçàåâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Ïîäñòàâëÿÿ ñîîòíîøåíèå (26) â óðàâíåíèå (25), ïîëó÷àåì èñêîìóþ
çàâèñèìîñòü ìåæäó wn
j è q j :
w
r
qn
j
i
n
i
j
i
n
i
i
n
i
l i
n
�
�
�
�
�
�
� � �
�
� �
$ $ %
#
"
"
!
"
" #1
1 1 1 1 1
1
11 1
$ �" #l n .
Îòñþäà íàõîäèì
q
r
w
j
n
j
i
n
i
l i
n
l n
i
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
� �
% $
#
!
# " # "
!
1 1
1
1
11( )
�
$
1
n
i"
.
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 21
t
Çíà÷åíèå q t( )
Òî÷íîå
Ðàññ÷èòàííîå äëÿ âõîäíûõ äàííûõ
òî÷íûõ ïðè � � 0 01, ñ ïîãðåøíîñòüþ
& = 0,01 ïðè � � 0 1,
0,1 0,494 0,494 0,488
0,2 0,488 0,488 0,499
0,3 0,482 0,482 0,495
0,4 0,476 0,476 0,450
0,5 0,470 0,470 0,466
0,6 0,464 0,464 0,490
0,7 0,458 0,458 0,441
0,8 0,452 0,452 0,448
0,9 0,446 0,446 0,470
1,0 0,440 0,440 0,447
1,1 0,434 0,434 0,410
1,2 0,428 0,428 0,478
1,3 0,422 0,422 0,377
1,4 0,417 0,417 0,407
1,5 0,411 0,411 0,376
1,6 0,405 0,405 0,430
1,7 0,400 0,400 0,489
1,8 0,394 0,394 0,342
1,9 0,388 0,388 0,399
2,0 0,383 0,383 0,334
Îïðåäåëèâ q j, ïî ôîðìóëå (26) ìîæíî íàéòè w j
0
è çàòåì ïî ðåêóððåíòíîé
ôîðìóëå (23) îïðåäåëèòü w j
1
, w j
2
, ..., w
n
j
�1
. Ïðè ïåðåõîäå íà ñëåäóþùèé
âðåìåííîé ñëîé îïèñàííàÿ ïðîöåäóðà âû÷èñëåíèé ïîâòîðÿåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðåäëîæåííûé ÷èñëåííûé ìåòîä ïîçâîëÿåò â êàæäîì
âðåìåííîì ñëîå îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ôèëüòðàöèîííîãî ïîòîêà âî âõîäíîì
ñå÷åíèè ïîðèñòîé ñðåäû, êîòîðûé îáåñïå÷èâàåò äâèæåíèå ïîäâèæíîé ãðàíè-
öû ïî çàäàííîìó çàêîíó è ðàñïðåäåëåíèå âëàæíîñòè â ïîðèñòîé ñðåäå.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Äëÿ âûÿñíåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè
ïðåäëîæåííîãî âû÷èñëèòåëüíîãî àëãîðèòìà áûëè ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå
ýêñïåðèìåíòû äëÿ ìîäåëüíûõ çàäà÷. Ñõåìà ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ñëå-
äóþùàÿ. Äëÿ çàäàííûõ ôóíêöèé q t( ), s t( ) ðåøàåòñÿ ïðÿìàÿ çàäà÷à (11)—
(14), (16). Íàéäåííàÿ çàâèñèìîñòü w t( , )1 ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå òî÷íûõ
äàííûõ äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ïî âîññòàíîâëåíèþ
ôóíêöèè q t( ) .
Ïåðâàÿ ñåðèÿ ðàñ÷åòîâ âûïîëíÿëàñü ñ èñïîëüçîâàíèåì òî÷íûõ äàí-
íûõ, âòîðàÿ ñåðèÿ ïðîâîäèëàñü ïðè íàëîæåíèè íà w t( , )1 íåêîòîðîé ôóíê-
öèè, ìîäåëèðóþùåé ïîãðåøíîñòü âõîäíûõ äàííûõ: ~ ( , ) ( , ) ( )w t w t t1 1� � &' ,
ãäå ' ( )t — ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ìîäåëèðóåìûé ñ ïîìîùüþ äàò÷èêà ñëó-
÷àéíûõ ÷èñåë; & — óðîâåíü ïîãðåøíîñòè. Ðàñ÷åòû âûïîëíåíû íà ïðîñò-
ðàíñòâåííî-âðåìåííîé ðàçíîñòíîé ñåòêå ñ øàãàìè h �0 04, ; � �001, , � �01, .
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ïðè D w w( ) � 2, k w w( ) � , s t t( ) ,�0 5 ,
q t t( ) , , sin ( / )� �0 5 0 3 3 ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå.
Êàê âèäíî èç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà, ïðè èñïîëüçî-
âàíèè íåâîçìóùåííûõ âõîäíûõ äàííûõ èñêîìàÿ ôóíêöèÿ q t( ) âîññòàíàâ-
ëèâàåòñÿ òî÷íî ïðè âñåõ ðàñ÷åòíûõ ñåòêàõ ïî âðåìåíè. Ïðè èñïîëüçîâàíèè
âîçìóùåííûõ âõîäíûõ äàííûõ, â êîòîðûõ ïîãðåøíîñòü èìååò ôëóêòóà-
öèîííûé õàðàêòåð, èñêîìàÿ ôóíêöèÿ q t( ) âîññòàíàâëèâàåòñÿ ñ ïîãðåø-
íîñòüþ. Ïîãðåøíîñòè âî âõîäíûõ äàííûõ ïðîÿâëÿþòñÿ áîëåå ñóùåñò-
âåííî ïðè óìåíüøåíèè øàãà ïî âðåìåíè. Îäíàêî óâåëè÷åíèå øàãà ïî
âðåìåíè (� � 01, ) îáåñïå÷èâàåò óñòîé÷èâîñòü àëãîðèòìà ê ïîãðåøíîñòÿì
âõîäíûõ äàííûõ. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà ñâèäå-
òåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â ïðåäëîæåííîì âû÷èñëèòåëüíîì àëãîðèòìå ýôôåêò
ðåãóëÿðèçàöèè îáåñïå÷èâàåòñÿ âûáîðîì ðàçíîñòíîé ñåòêè ïî âðåìåíè.
Âûâîäû
Ïðåäëîæåííûé âû÷èñëèòåëüíûé àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà èñïîëüçîâà-
íèè ìåòîäîâ âûïðÿìëåíèÿ ôðîíòîâ è ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè, ïîçâî-
ëÿåò ðåøèòü ãðàíè÷íóþ îáðàòíóþ çàäà÷ó îïðåäåëåíèÿ ðåæèìà âî âõîäíîì
ñå÷åíèè ïîðèñòîé ñðåäû, îáåñïå÷èâàþùåãî ïåðåìåùåíèÿ ïîäâèæíîé ãðà-
íèöû ïî çàäàííîìó çàêîíó.
Õ.Ì. Ãàìçàåâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ïîëóáàðèíîâà-Êî÷èíà Ï.ß. Òåîðèÿ äâèæåíèÿ ãðóíòîâûõ âîä. — Ì. : Íàóêà, 1977.
2. Âåðèãèí Í.Í. è äð. Ãèäðîäèíàìè÷åñêèå è ôèçèêî-õèìè÷åñêèå ñâîéñòâà ãîðíûõ ïîðîä. —
Ì. : Íåäðà, 1977.
3. Áîíäàðåíêî Í.Ô. Ôèçèêà äâèæåíèÿ ïîäçåìíûõ âîä.— Ì.: Íåäðà, 1973.
4. Richards L.A. Capilary conduction of liquids through porous mediums//App. Physics.—
1931. — Vol. 1, No 5. — P. 318—322.
5. Bear J. Hydraulics of Groundwater.— N Y : McGraw-Hill Ins., 1979.
6. Âåíòöåëü Ò.Ä. Îá îäíîé çàäà÷å ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé äëÿ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîä-
íîñòè // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1960. — 131, ¹ 5. — C.1000—1003.
7. Âàáèùåâè÷ Ï.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ çàäà÷ ñî ñâîáîäíîé ãðàíèöåé.— Ì. :
Èçä-âî Ìîñêîâñêîãî óí-òà, 1987.
8. Ñàìàðñêèé À.À., Âàáèùåâè÷ Ï.Í. Âû÷èñëèòåëüíàÿ òåïëîïåðåäà÷à. — Ì. : Åäèòîðèàë
ÓÐÑÑ, 2003.
9. Êîñòåðèíà Å.À., Ëàïèí À.Â. Ðåøåíèå çàäà÷è î íàñûùåííî-íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè
æèäêîñòè â ãðóíòå ñ îòñëåæèâàíèåì ôðîíòà íàñûùåííîñòè// Èçâ. ÂÓÇ. Ìàòåìàòèêà. —
1995, ¹ 6. — Ñ. 42—50.
10. Ñàìàðñêèé À.À., Âàáèùåâè÷ Ï.Í. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ îáðàòíûõ çàäà÷ ìàòåìà-
òè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì. : Èçä-âî ËÊÈ, 2009.
11. Àëèôàíîâ Î.Ì., Àðòþõèí Å.À., Ðóìÿíöåâ Ñ.Â. Ýêñòðåìàëüíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîð-
ðåêòíûõ çàäà÷. — Ì .: Íàóêà, 1988.
12. Ãàìçàåâ Õ.Ì. ×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ îáðàòíîé çàäà÷è ïîðøíåâîãî âûòåñíåíèÿ íåôòè
èç ïëàñòà âîäîé// Èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèé æóðíàë. — 2012. — 85, ¹ 5. — Ñ. 925—930.
Kh.M. Gamzaev
NUMERICAL SOLUTION OF PROBLEM
OF UNSATURATED FILTRATION WITH A MOVING BOUNDARY
The article describes the process of filtration of a fluid with partial saturation then described by a
nonlinear parabolic equation in a region with moving boundary. The inverse problem is posed on
determination of filtration flow speed in the inlet section of the porous medium under the given
law of motion of a mobile boundary. Applying methods of rectification fronts and differential ap-
proximation, the problem is reduced to solving systems of difference equations. A numerical al-
gorithm was proposed to solve the obtained system of difference equations.
K e y w o r d s: unsaturated filtering, boundary value problem with moving boundary, inverse
problem, the method of straightening fronts, difference method.
REFERENCES
1. Polubarinova-Kîchinà P.Y. Theory of the movement of ground waters. — Moscow: Nauka,
1977 (in Russian).
2. Verigin N.N., et al. Hydrodynamic and physical and chemical properties of rocks. — Mos-
cow: Nedra, 1977 (in Russian).
3. Bondarenko N.F. Physics of Motion of Underground Waters. — Moscow: Nedra, 1973. ( in
Russian).
4. Richards L.A. Capillary conduction of liquids through porous mediums // Appl. Physics. —
1931. — Vol. 1, No 5. — P. 318—322.
5. Bear J. Hydraulics of Groundwater. — NY : McGraw-Hill Inc., 1979.
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷è íåíàñûùåííîé ôèëüòðàöèè ñ ïîäâèæíîé ãðàíèöåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 23
6. Venttsel T.D. About one task with free border for the heat conduction equation // Papers
Acad. Sc. of the USSR — 1960. — Vol. 131, No 5 — P. 1000—1003 (in Russian).
7. Vabishchevich P.N. Numerical Methods for Solution of Problems with Free Border. — Mos-
cow: — Moscow University Press, 1987 (in Russian).
8. Samarskiy A.A., Vabishchevich P.N. Computing Heat Transfer. — Ìoscow: Editorial of
URSS, 2003 (in Russian).
9. Kosterina E.A., Lapin A.V. Solution of a problem on saturated-unsaturated filtration of liquid
in soil with tracking the front of a saturation // Proc. of Higher Educational Institutions,
Mathematics. — 1995. — No 6. — P. 42—50 (in Russian).
10. Samarskiy A.A., Vabishchevich P.N. Numerical methods for solution of inverse problems of
mathematical physics. — Moscow: LKI Publishing House, 2009 (in Russian).
11. Alifanov O.M., Artyukhin E.A., Rumyantsev S.V. Extreme Methods for Solution of Incorrect
Problems. — Moscow: Nauka, 1988 (in Russian).
12. Gamzaev Kh.M. Numerical Method for Solving the Inverse Problem of Water-Oil Plug
Displacement from the Oil Pool // Engineering Physics J. — 2012. — Vol. 85, No 5. —
P. 1004—1010 (in Russian).
Ïîñòóïèëà 30.07.14
ÃÀÌÇÀÅÂ Õàíëàð Ìåõâàëè îãëû, ä-ð. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû ïðèêëàäîé ìàòåìàòèêè
Àçåðáàéäæàíñêîé ãîñóäàðñòâåííîé íåôòÿíîé àêàäåìèè, êîòîðóþ îêîí÷èë â 1976 ã. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïëàñòîâûõ ñèñòåì, ÷èñëåííûå
ìåòîäû.
Õ.Ì. Ãàìçàåâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
|