Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга
Рассмотрено представление гранул нечеткого множества (НМ) в виде 2-адического дерева как способ определения структуры НМ и ее учета при использовании в системе гранулярного компьютинга. Показана возможность учета структуры НМ, посредством вычисления характеризующего ее порядка 2-адического числа, вы...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101079 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 77-95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859677800984739840 |
|---|---|
| author | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| author_facet | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| citation_txt | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 77-95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрено представление гранул нечеткого множества (НМ) в виде 2-адического дерева как способ определения структуры НМ и ее учета при использовании в системе гранулярного компьютинга. Показана возможность учета структуры НМ, посредством вычисления характеризующего ее порядка 2-адического числа, вычисляемого на основе структурной матрицы бинарного дерева. Приведены примеры, показывающие степень влияния структуры НМ на его свойства.
Розглянуто представлення гранул нечіткої множини (НМ) у вигляді 2-адичного дерева як засіб визначення структури НМ та її врахування при використанні в системі гранулярного компьютингу. Показано можливість врахування структури НМ, через обчислення порядку 2-адичного числа, що її характеризує, обчисленого за допомогою структурної матриці бінарного дерева. Наведено приклади, які показують ступінь впливу структури НМ на його властивості.
The questions of presentation of FS-granules in the form of 2-adical tree as a way of determination of hierarchical structure FS and its account under further use of FS-granules in the system of granular computing are considered. The posibility of the structure account by calculation of 2-adical (fractal) numbers, defined on the basis of structured matrix, characterizing binary tree, and 2-adical order is shown. FS is a subset of ordered pairs {value/ belonging function} obtains an additional objective characteristic in the form of structured matrixes, that extends potentialities of the FS theory in deciding the problems of management in conditions of uncertainty. The presented examples show a degree of the FS structure influence on its characteristics.
|
| first_indexed | 2025-11-30T16:31:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.11+519.92
Þ.Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-êò êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1,
òåë. (044) 2495454, å-mail: min_14@ukr.net),
Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà, êàíäèäàòû òåõí. íàóê
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû
(Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-êò, 31,
òåë. (044) 2486427, 2425462, å-mail: filimonova@nm.ru; jumin@big-mir.net)
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
â çàäà÷àõ ãðàíóëÿðíîãî êîìïüþòèíãà
Ðàññìîòðåíî ïðåäñòàâëåíèå ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà (ÍÌ) â âèäå 2-àäè÷åñêîãî äåðåâà
êàê ñïîñîá îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðû ÍÌ è åå ó÷åòà ïðè èñïîëüçîâàíèè â ñèñòåìå ãðàíó-
ëÿðíîãî êîìïüþòèíãà. Ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ó÷åòà ñòðóêòóðû ÍÌ, ïîñðåäñòâîì âû÷èñ-
ëåíèÿ õàðàêòåðèçóþùåãî åå ïîðÿäêà 2-àäè÷åñêîãî ÷èñëà, âû÷èñëÿåìîãî íà îñíîâå ñòðóê-
òóðíîé ìàòðèöû áèíàðíîãî äåðåâà. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû, ïîêàçûâàþùèå ñòåïåíü âëèÿíèÿ
ñòðóêòóðû ÍÌ íà åãî ñâîéñòâà.
Ðîçãëÿíóòî ïðåäñòàâëåííÿ ãðàíóë íå÷³òêî¿ ìíîæèíè (ÍÌ) ó âèãëÿä³ 2-àäè÷íîãî äåðåâà ÿê
çàñ³á âèçíà÷åííÿ ñòðóêòóðè ÍÌ òà ¿¿ âðàõóâàííÿ ïðè âèêîðèñòàíí³ â ñèñòåì³ ãðàíóëÿðíîãî
êîìï�þòèíãó. Ïîêàçàíî ìîæëèâ³ñòü âðàõóâàííÿ ñòðóêòóðè ÍÌ, ÷åðåç îá÷èñëåííÿ ïîðÿä-
êó 2-àäè÷íîãî ÷èñëà, ùî ¿¿ õàðàêòåðèçóº, îá÷èñëåíîãî çà äîïîìîãîþ ñòðóêòóðíî¿ ìàòðèö³
á³íàðíîãî äåðåâà. Íàâåäåíî ïðèêëàäè, ÿê³ ïîêàçóþòü ñòóï³íü âïëèâó ñòðóêòóðè ÍÌ íà
éîãî âëàñòèâîñò³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, ãðàíóëÿðíûé êîìïüþòèíã, ð-àäè÷åñêèé àíà-
ëèç, ìàòðèöû áëèçîñòè, áèíàðíîå äåðåâî.
 ïîñëåäíåå äåñÿòèëåòèå çíà÷èòåëüíî âîçðîñ èíòåðåñ ê ãðàíóëèðîâàíèþ
èíôîðìàöèè è ãðàíóëÿðíûì âû÷èñëåíèÿì (ãðàíóëèðîâàííûé êîìïüþòèíã
(ÃðÊ)). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ, ïðåæäå âñåãî, òåì, ÷òî èíôîðìàöèîííûå ãðàíóëû
(ÈÃ) èìåþò îñíîâíîå çíà÷åíèå â ïðåäñòàâëåíèè è îáðàáîòêå çíàíèé êîã-
íèòèâíûìè àãåíòàìè. Âûÿâëåíèå ñêðûòûõ çíàíèé, îïðåäåëåíèå íîâûõ
ñâîéñòâ èíôîðìàöèîííûõ îáúåêòîâ íà îñíîâå ìåòîäîâ èíòåëëåêòóàëüíîãî
àíàëèçà äàííûõ (ÈÀÄ), íàïðèìåð èíòåëëåêòóàëüíûé êëàñòåðíûé àíàëèç â
óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè [1], è äðóãèå çàäà÷è óñïåøíî ðåøàþòñÿ ïðè
èñïîëüçîâàíèè ãðàíóëÿðíîé ïàðàäèãìû.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 77
� Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà, 2015
Ãðàíóëÿðíûé êîìïüþòèíã, ïîíèìàåìûé êàê ìåòîäîëîãèÿ è ìåòîäèêà
èíôîðìàöèîííîãî àíàëèçà íåî÷åâèäíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ ñèñòåì, ñ îäíîé
ñòîðîíû, îáåñïå÷èâàåò ñæàòèå èíôîðìàöèè, ñ äðóãîé, — äàåò âîçìîæíîñòü
ðàáîòàòü ñ äàííûìè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè ïîñòðîåíèè ãðàíóë
íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî ãðàíóëû — èíôîðìàöèîííî èçáûòî÷íûå îáúåê-
òû, óðîâåíü ãðàíóëÿöèè (ðàçìåð è ôîðìà ãðàíóë) èìååò ñóùåñòâåííîå çíà-
÷åíèå äëÿ îïèñàíèÿ ïðîáëåìû è âûáîðà ñòðàòåãèè ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ñëåäî-
âàòåëüíî, âîçíèêàþò âîïðîñû: â êàêèõ ñëó÷àÿõ è íàñêîëüêî äîñòàòî÷íî
íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà (ÍÌ) ñ òðåóãîëüíîé ôóíêöèåé ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ)
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñëîæíûõ ãðàíóë; íàñêîëüêî öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàíèå
ÍÌ-ãðàíóë ñ ÔÏ, èìåþùèõ ôîðìó, îòëè÷íóþ îò òðåóãîëüíîé. Ñëåäóåò çà-
ìåòèòü, ÷òî ÍÌ-ãðàíóëû, ïîñòðîåííûå íà ÍÌ ~ { / }x x x� � ïðè ~x X� è ~x X� 1,
Õ � Õ1, — ðàçëè÷íû, õîòÿ ñåìàíòè÷åñêè îíè ýêâèâàëåíòíû.
Ãðàíóëÿðíîå ïðåäñòàâëåíèå ÷èñëîâûõ ÔÏ ÍÌ-ãðàíóë îáåñïå÷èâàåò
êîìïëåêñíûé è êà÷åñòâåííûé âçãëÿä íà ÍÌ è ðåçóëüòàòû èõ îáðàáîòêè.
Çàìåòèì, ÷òî èíòåðâàë, ìíîæåñòâî (÷åòêîå èëè íå÷åòêîå, â òîì ÷èñëå ìíî-
æåñòâî çíà÷åíèé è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÔÏ) ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê àòîìàð-
íûå ãðàíóëû. Íàïðèìåð, ÍÌ — ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð —
{ / }( )x x� , � ( ) [ , ]x � 0 1 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáúåäèíåíèå àòîìàðíûõ
ãðàíóë ( )( )x x
� � .
 íàñòîÿùåå âðåìÿ ñ÷èòàþò, ÷òî ÃðÊ — ñêîðåå òåîðåòè÷åñêàÿ ïåðñïåê-
òèâà, ÷åì êîíêðåòíîå ìíîæåñòâî ìåòîäîâ èëè ïðèíöèïîâ. ÃðÊ ñïîñîáñò-
âóåò óñîâåðøåíñòâîâàíèþ ìåòîäîâ îáðàáîòêè äàííûõ, ïîçâîëÿþùèõ ðàñ-
ïîçíàâàòü è èñïîëüçîâàòü ñêðûòûå íàñòîÿùèå çíàíèÿ â äàííûõ íà ðàçíûõ
óðîâíÿõ ðàçðåøåíèÿ èëè øêàëèðîâàíèÿ. Ïðè ýòîì ÃðÊ îõâàòûâàåò âñå
ìåòîäû, îáåñïå÷èâàþùèå ãèáêîñòü è ïðèñïîñîáëÿåìîñòü ðåøåíèÿ, â êîòî-
ðîì çíàíèÿ (èëè íîâàÿ èíôîðìàöèÿ) èçâëåêàþòñÿ è ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå
ãðàíóë [2].
Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå ïðîáëåìû, îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ, ïîñòà-
íîâêà çàäà÷è. Âïåðâûå âîïðîñ ãðàíóëèðîâàíèÿ íå÷åòêîé èíôîðìàöèè è
îïðåäåëåíèÿ ñïîñîáîâ åå îáðàáîòêè áûë ïîñòàâëåí â ðàáîòå [3], â êîòîðîé
ãðàíóëà îïðåäåëåíà êàê ãðóïïà îáúåêòîâ (èëè òî÷åê), ïðåäñòàâëåííûõ
(èçîáðàæåííûõ) ñîâìåñòíî íà îñíîâå ðàçëè÷èìîñòè, ñõîäñòâà è áëèçîñòè.
Ïîñëåäóþùåå ðàçâèòèå èäåè ãðàíóëèðîâàíèÿ íå÷åòêîé èíôîðìàöèè ïî-
ëó÷èëè â ðàáîòå [4].
 ðàáîòå [5] ïðèâåäåíû ïðèìåðû èåðàðõè÷åñêîé ñóòè ãðàíóëèðîâàíèÿ.
Íåðåøåííûìè îñòàëèñü ñëåäóþùèå âîïðîñû:
ÿâëÿåòñÿ ëè íåðàçëè÷èìîñòü ñëåäñòâèåì îòñóòñòâèÿ èíôîðìàöèè èëè
îáúåêòû ìîãóò áûòü ðàçëè÷èìûìè â îäíîé øêàëå è íåðàçëè÷èìûìè, ò.å.
òîæäåñòâåííûìè, â äðóãîé, áîëåå óêðóïíåííîé èëè ðàçìûòîé;
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
äîëæíû ëè â ýòèõ óñëîâèÿõ èñïîëüçîâàòüñÿ ïðèíöèïèàëüíî ðàçëè÷íûå
ñèñòåìû êîîðäèíàò, íàïðèìåð äåêàðòîâû èëè ð-àäè÷åñêèå;
â êàêîé ìåòðèêå (àðõèìåäîâîé èëè íåàðõèìåäîâîé) âîçíèêàåò (èëè
äîëæíà áûòü èññëåäîâàíà) íåðàçëè÷èìîñòü è íå÷åòêîñòü.
Òåðìèíû ãðàíóëà è ãðàíóëèðîâàíèå ïîÿâèëèñü â ñâÿçè ñ ïðîáëåìàìè
ÈÀÄ, òàê êàê ïîïûòêà ìîäåëèðîâàíèÿ èíôîðìàöèîííûõ ñèñòåì íà óðîâíå
ìîäåëåé èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà íåèçáåæíî ïðèâîäèò ê ÈÃ. Â ðàáîòå
6
óêàçàíî, ÷òî ïåðåõîä ê ãðàíóëÿðíûì âû÷èñëåíèÿì ñâÿçàí ñ ðåøåíèåì
ðÿäà êëþ÷åâûõ ïðîáëåì.  ÷àñòíîñòè, ïî îïðåäåëåíèþ ÷åòêîå ìíîæåñòâî,
ÍÌ, èíòåðâàë ÿâëÿþòñÿ ÈÃ, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ íèõ íåîáõîäèìî îïðåäå-
ëèòü èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó è åå ðîëü â ôîðìèðîâàíèè áîëåå êðóïíûõ
ÈÃ, òàê êàê ëþáîå óêðóïíåíèå (óñëîæíåíèå) íåèçáåæíî âëå÷åò çà ñîáîé
èçìåíåíèå ñòðóêòóðû îáúåêòà (ñëîæíîñòü ïî Ñàéìîíó 7
íàïðÿìóþ ñâÿ-
çàíà ñî ñòðóêòóðîé îáúåêòà), íàïðèìåð ïðè âûïîëíåíèè àðèôìåòè÷åñêèõ è
ëîãè÷åñêèõ îïåðàöèé ñ ãðàíóëàìè. (Çäåñü è äàëåå ïîíÿòèå ñòðóêòóðà
ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê èåðàðõè÷åñêàÿ ñòðóêòóðà).
Èñïîëüçîâàíèå ÈÃ îïðåäåëÿåò îáùóþ ïðîáëåìó ãðàíóëÿðíîé îíòîëî-
ãèè êàê îíòîëîãèè ïðåäñòàâëåíèÿ ñëîæíûõ åäèíèö èíôîðìàöèè è âûÿâ-
ëåíèÿ çíàíèé èç äàííûõ, îïðåäåëåíèÿ ïóòè è ìåòîäîâ, êîòîðûìè ýòà
ïðîáëåìà ìîæåò áûòü ðåøåíà 6
. Ñïåöèôèêà ñîâðåìåííîãî ãðàíóëèðîâà-
íèÿ èíôîðìàöèè îñíîâàíà íà íåêëàññè÷åñêîì ïðåäñòàâëåíèè ìíîæåñòâ.
Êëàññè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå îñíîâàíî íà ïðèíöèïàõ ïðèíàäëåæíîñòè è
ðàçëè÷èìîñòè ýëåìåíòîâ, ãðàíóëà ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ íåðàçëè÷èìûõ
îáúåêòîâ (ýëåìåíòîâ) è îïðåäåëÿåòñÿ èõ êîëè÷åñòâîì è òèïîì 6
.
Ïðèíöèï ïîñòðîåíèÿ ãðàíóë çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì: íåðàçëè÷è-
ìîñòü ñëåäóåò ïîíèìàòü êàê íåðàçëè÷èìîñòü ïî òèïó, äîïóñêàþùóþ êîëè-
÷åñòâåííóþ îöåíêó. Íàïðèìåð, ÔÏ íåðàçëè÷èìû ïî ñâîåé ïðèðîäå, íî èõ
êîëè÷åñòâî èçâåñòíî, â òî æå âðåìÿ, ÔÏ áëèçêè è ñõîäíû ïî ñâîåé ïðè-
ðîäå. Êðîìå òîãî, ïðè ïîñòðîåíèè ãðàíóë âîçíèêàåò âîïðîñ, êàê ìîæíî â
ÍÌ è èíòåðâàëå, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãðàíóëàìè, ñîñòîÿùèìè èç ýëåìåíòîâ,
ó÷èòûâàòü ìàòðèöó âíóòðåííåé áëèçîñòè (ñõîäñòâà), îïðåäåëÿþùóþ ïî-
ïàðíóþ áëèçîñòü ýëåìåíòîâ x i i
x/�� � , x i i
x
1 1
/ ,...�� � ; êàê èíòåðïðåòèðîâàòü
ýòè ìàòðèöû, êàê ó÷èòûâàòü âëîæåííîñòü ÍÌ è óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñò-
âà (ÓÌ) íà óðîâíå ìàòðèö áëèçîñòè.
Âàæíàÿ îñîáåííîñòü ãðàíóë — öåëîñòíîñòü äèíàìè÷åñêîé èíôîðìà-
öèîííîé ñòðóêòóðû è åå öåëåíàïðàâëåííîñòü. Ðàçìåð ãðàíóëû ÿâëÿåòñÿ
ïðîáëåìíî-îðèåíòèðîâàííûì, çàâèñÿùèì îò çàäà÷è è ïðåäïîëàãàåìîãî
ñïîñîáà åå ðåøåíèÿ, îäíàêî ðîëü ñòðóêòóðû â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ïðàêòè-
÷åñêè íå ðàññìîòðåíà. Êðîìå òîãî, ïðåîáðàçîâàíèå ãðàíóë — ïðîáëåìà â
ãðàíóëèðîâàííîì âû÷èñëåíèè.
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 79
 ðàáîòå 8
ÍÌ îïðåäåëåíû êàê ãðàíóëèðîâàííûå ïðåäñòàâèòåëè ÷èñ-
ëîâûõ äàííûõ, îáúåäèíÿåìûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ÔÏ â êîìïàêòíûé îáúåêò.
ßâëÿÿñü àãðåãàòàìè ÷èñëîâûõ äàííûõ ÍÌ ôîðìèðóþòñÿ ñ ïîìîùüþ èõ êëàñ-
òåðèçàöèè (ãðóïïèðîâàíèÿ). Òîò ôàêò, ÷òî êàæäàÿ ãðàíóëà îáëàäàåò âíóòðåí-
íèìè, âíåøíèìè è êîíòåêñòóàëüíûìè ñâîéñòâàìè, ñâèäåòåëüñòâóåò î åå àâòî-
íîìíîñòè è ñàìîäîñòàòî÷íîñòè.
Ïðîöåññ ãðàíóëÿöèè â îáùåì ñëó÷àå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èòåðàòèâíóþ
àëãîðèòìè÷åñêóþ ïðîöåäóðó ïîñëåäîâàòåëüíîãî âûäåëåíèÿ ÷àñòåé ðàç-
ëè÷íîãî óðîâíÿ îáùíîñòè è ñîãëàñîâàíèÿ óðîâíåé àáñòðàêöèè è ðåäóêöèè.
Ïðè àíàëèçå íåî÷åâèäíî ñòðóêòóðèðîâàííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì åãî
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî ÍÌ-ãðàíóëû (èëè f-ãðàíóëû)
ïðåäñòàâëåíû â âèäå òåíçîðà.
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé êîìïëåêñ çàäà÷, ïîëàãàÿ, ÷òî ñòðóêòóðíàÿ
ìîäåëü ÈÃ ïðåäñòàâëåíà â âèäå òåíçîðîâ ñ ìàòðèöàìè 2 �m èëè m � m, ãäå
m — ÷èñëî ðàçëè÷èìûõ ýëåìåíòîâ èëè ÷èñëî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð{ / }( )x x m� 1
����
â ñëó÷àå ÍÌ:
ïîëó÷åíèå íîâîé (ñêðûòîé) èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ ÍÌ,
ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå ãðàíóë;
îöåíêà âëèÿíèÿ ÔÏ íà ðåçóëüòàò àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè ñ ÈÃ.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ÍÌ (èëè ÍÌ-ãðàíóëó) ñòàíäàðòíî â âèäå ïîä-
ìíîæåñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð
~
{ , },A U� � ãäå U — óíèâåðñóì; � — ÔÍ:
~
{ / }A ui i
u� �� � , �� �
i
u � [ , ]0 1 ,
~
[ , ]A U� � 0 1 . Â ðàáîòàõ [9, 10
ÍÌ-ãðàíóëà ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ â äâóõ ôîðìàõ: êàê ìíîæåñòâî 2�n ïàð èëè òåíçîðíîå
ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîé ýëåìåíòû ìíîæåñòâà n � n
(óïîðÿäî÷åííûõ ïàð),
~
{ / } ( )( )A u u
u
u
i i
u
i i
u
i
n
u
n n
u
� � � �
�
�
�� �
�
�
� � � �
� �
� �
A 1 1
1 1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå ðàçìåðíîñòü A( )1 — 2�n, èëè êàê ìíîæåñòâà 2�n ïàð:
~
{ / } ([ ] [ ] )( )A u u
u u
i i
u u T
i
n
u
n
� � � � ��� �
� �
� � � �
� � �
A 2 1
1 1 1�
u
n
u
n n
uu u
�
� � � �� �
�
�
1
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå u u u un� [ ... ]1 2 , � = [�1 �2 … �n]; ðàçìåðíîñòü A(2) — n � n. Îáå ôîðìû
ïðåäñòàâëåíèÿ ýêâèâàëåíòíû, öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ êàæäîé èç
íèõ îïðåäåëÿåòñÿ êîíòåêñòîì çàäà÷è. Çàìåòèì, ÷òî ôîðìû ÍÌ- ãðàíóë A( )1 è
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
A( )2 òåñíî ñâÿçàíû, â ÷àñòíîñòè òåíçîðíàÿ äåêîìïîçèöèÿ ôîðìû A( )1 ñëå-
äóåò èç ôîðìû A( )2 .  îáùåì ñëó÷àå òåíçîð ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ìíî-
ãîìåðíûé ìàññèâ [11].
ÍÌ êàê îáúåêò, ñîäåðæàùèé ðàçíîøêàëüíûå äàííûå. Àíàëèç
ÍÌ íà åäèíè÷íîì èíòåðâàëå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðåêîäèðîâêó äàííûõ,
èìåííî â ýòîé òðàêòîâêå ïîëó÷åíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû òåîðèè ÍÌ.
Àíàëèç ÍÌ ïîñðåäñòâîì ïåðåâîäà ÍÌ â ôîðìàò ìàòðèö áëèçîñòè èëè
ñõîäñòâà ìåæäó ïàðàìè { , }x i
xi� íåèçáåæíî ïðèâîäèò ê êëàñòåðíîìó àíà-
ëèçó è ñîîòâåòñòâåííî ê àíàëèçó èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð 12
. Èñïîëü-
çîâàíèå ÔÏ ïðè êîíñòðóèðîâàíèè ÍÌ åñòü ôîðìà àíàëèçà äàííûõ, ïðåä-
íàçíà÷åííàÿ äëÿ èçâëå÷åíèÿ ñêðûòûõ çíàíèé. Ïðè ýòîì ïðèõîäèòñÿ
ðàáîòàòü ñ íåíàáëþäàåìûìè ïàòòåðíàìè è ó÷èòûâàòü íåîáõîäèìîñòü îïðå-
äåëåíèÿ ñòðóêòóðû íà ìíîæåñòâàõ èññëåäóåìûõ äàííûõ. Ñëåäóåò çàìåòèòü,
÷òî ïîíÿòèå ñòðóêòóðà äîñòàòî÷íî äîëãî îïðåäåëÿëîñü èñêëþ÷èòåëüíî êàê
ñèììåòðèÿ, êîòîðàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ìíîãî ôîðì îòíîñèòåëüíî ëþáîãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ 13, 14
. Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ (ÈÊ) äàåò âîçìîæ-
íîñòü îñóùåñòâèòü åñòåñòâåííûé ïåðåõîä ê èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðå, ÷òî,
â ñâîþ î÷åðåäü, îòêðûâàåò íîâûå ïåðñïåêòèâû â âîïðîñàõ îðãàíèçàöèè
äàííûõ, âêëþ÷àÿ, ïðåæäå âñåãî, èçâëå÷åíèå çíàíèé èç âûñîêîðàçìåðíûõ,
ðàçíîðîäíûõ ìíîæåñòâ äàííûõ (ÌÄ), òàêèõ, êàê, íàïðèìåð, òðàôèê êîìïüþ-
òåðíûõ ñèñòåì, ýêîíîìè÷åñêèå ñèñòåìû è äð.
Ïðîáëåìà óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè, îòíîñèòñÿ ê êàòå-
ãîðèè ñëîæíûõ. Íåñëó÷àéíî óòâåðæäåíèå Íîáåëåâñêîãî ëàóðåàòà G. Si-
mon�à î òîì, ÷òî ïîíÿòèå èåðàðõèè — ôóíäàìåíòàëüíîå äëÿ èíòåðïðå-
òàöèè äàííûõ è ñëîæíîé äåéñòâèòåëüíîñòè, êîòîðóþ ýòè äàííûå âûðà-
æàþò. Îáëàäàÿ ôîðìàëüíîé ïðîñòîòîé, ÍÌ îòðàæàþò ñëîæíóþ äåéñòâè-
òåëüíîñòü è, åñòåñòâåííî, äîëæíû àíàëèçèðîâàòüñÿ òàêæå íà óðîâíå ñòðóê-
òóðíî-èåðàðõè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ 7
.
 ðàáîòå [15] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäîâ íå÷åòêîé
êëàñòåðèçàöèè äëÿ ïîëó÷åíèÿ àïðèîðíîãî çíàíèÿ î êîëè÷åñòâå íå÷åòêèõ
êëàññîâ èëè äðóãîé èíôîðìàöèè î âîçìîæíîì ðàñïðåäåëåíèè êëàñòåðîâ.
Íàèáîëåå ðåàëüíî îïðåäåëèòü ñòðóêòóðó îáúåêòà ìîæíî ñ ïîìîùüþ ìå-
òîäîâ ÈÊ. Ïðîáëåìà ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè òîãî, êàêàÿ èç ÈÊ íàèëó÷øèì
îáðàçîì ïðåäñòàâëÿåò ñòðóêòóðó ìíîæåñòâà îáúåêòîâ, â ðàññìàòðèâàåìîì
ñëó÷àå — ñòðóêòóðó ÍÌ.
Ñïåöèôèêà ìåòîäîâ ÈÊ çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ìàòðèöû ðàññòîÿ-
íèé ìåæäó îáúåêòàìè êëàñòåðèçàöèè è ïîñëåäóþùåé ãðóïïèðîâêè ýòèõ
îáúåêòîâ (â ñîîòâåòñòâèè ñ ìàòðèöåé ðàññòîÿíèé) â èåðàðõè÷åñêóþ ñòðóêòóðó
ïî îïðåäåëåííîìó êðèòåðèþ (íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþò maxmax d (x, y) èëè
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 81
minmin d (x, y)). Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ñòðóêòóðû ÍÌ, êîìïîíåí-
òàìè êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ,
x
x
x
n
xn
1
1�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
à ìàòðèöà áëèçîñòè îñíîâàíà íà âû÷èñëåíèè ðàññòîÿíèé ìåæäó ïàðàìè
ýëåìåíòîâ{ }x i
xi� è{ }x i
xi
1
1� , i = 1, n.
Ïîä êëàñòåðîì îáû÷íî ïîíèìàþò ÷àñòü äàííûõ (â òèïè÷íîì ñëó÷àå —
ïîäìíîæåñòâî îáúåêòîâ èëè ïîäìíîæåñòâî ïåðåìåííûõ, èëè ïîäìíîæåñò-
âî îáúåêòîâ, õàðàêòåðèçóåìûõ ïîäìíîæåñòâîì ïåðåìåííûõ), âûäåëÿåìóþ
èç îñòàëüíîé ÷àñòè íàëè÷èåì íåêîòîðîé îäíîðîäíîñòè åå ýëåìåíòîâ. Â
ïðîñòåéøåì ñëó÷àå — ýòî áëèçîñòü, âûðàæàåìàÿ ãåîìåòðè÷åñêîé áëè-
çîñòüþ ñîîòâåòñòâóþùèõ îáúåêòîâ (ôîðìàëüíî îïðåäåëÿåìîé ñ ïîìîùüþ
ðàññòîÿíèé).
Êëàñòåð-àíàëèç ïîçâîëÿåò âûïîëíÿòü ñëåäóþùåå: âûÿâëåíèå è àíàëèç
ñòðóêòóðû âçàèìîäåéñòâèÿ îñíîâíûõ ïîäñèñòåì; âèçóàëèçàöèþ ñòðóêòó-
ðû ñèñòåìû; âûÿâëåíèå îñíîâíûõ òåíäåíöèé ýâîëþöèè ñèñòåìû. Ïîñëåä-
íåå îòíîñèòñÿ â îñíîâíîì ê èíôîðìàöèè î âðåìåííûõ ðÿäàõ è ïîòîêàõ
äàííûõ, íàïðèìåð îäíîìîìåíòíûé àíàëèç îáúåêòîâ, ÍÌ ðàçíîãî òèïà,
ìîäåëèðóþùèõ îäèí è òîò æå îáúåêò. Ýòè çàäà÷è ÷ðåçâû÷àéíî âàæíû è
íàèìåíåå èññëåäîâàíû.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñòðóêòóðíûõ õàðàêòåðèñòèê ÍÌ òðåáóåòñÿ ñèñòåìà-
òèçèðîâàòü ìåòîäû êëàñòåð-àíàëèçà â ñîîòâåòñòâèè ñ ÷åòûðüìÿ êîìïî-
íåíòàìè, îäíîçíà÷íî îïðåäåëåííûìè äëÿ ëþáîãî ìåòîäà êëàñòåð-àíàëèçà:
òèï äàííûõ; âèä èñêîìîé êëàñòåðíîé ñòðóêòóðû; êðèòåðèé îöåíêè êëàñ-
òåðîé ñòðóêòóðû è ìåòîä åå ïîñòðîåíèÿ (èåðàðõèè).
Èçâåñòíî, ÷òî êëàñòåðíàÿ èåðàðõèÿ íà ìíîæåñòâå îáúåêòîâ I — ýòî
ñîâîêóïíîñòü H âëîæåííûõ ïîäìíîæåñòâ S êëàñòåðîâ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ
ñëåäóþùåìó ñâîéñòâó: ïðè ëþáûõ S1 è S2 èç H èõ ïåðåñå÷åíèå S1��S2 ëèáî
ïóñòî, ëèáî ñîâïàäàåò ñ îäíèì èç íèõ. Òàêèå èåðàðõèè ïîëó÷àþò ëèáî
ïóòåì àãëîìåðàöèè — îáúåäèíåíèÿ áîëåå ìåëêèõ êëàñòåðîâ, ëèáî ðàçäå-
ëåíèåì áîëåå êðóïíûõ êëàñòåðîâ íà áîëåå ìåëêèå. È òå è äðóãèå îáû÷íî
ïîëó÷àþò â ðåçóëüòàòå äèõîòîìèé, ò.å. îíè ÿâëÿþòñÿ áèíàðíûìè.
Ïðè ðàáîòå ñ ÍÌ èñïîëüçóåì ñòðóêòóðû òðåõ âèäîâ, ïîëó÷åííûå
ìåòîäàìè íàèáîëåå áëèçêîãî (ÌÍÁÑ) è íàèáîëåå óäàëåííîãî ñîñåäà
(ÌÍÓÑ) è âçâåøåííîãî ñðåäíåãî. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðàññìîòðåòü
àëüòåðíàòèâíûå ñòðóêòóðû, ÷òî ñïîñîáñòâóåò áîëåå îáúåêòèâíîìó àíàëè-
çó íåîïðåäåëåííîñòè è óìåíüøàåò ïðîèçâîë â ïðèíÿòèè ðåøåíèÿ.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Îïðåäåëåíèå ñòðóêòóðû ÍÌ ìåòîäàìè ÈÊ. Â ðàáîòàõ [12, 16] ðàñ-
ñìîòðåíà çíà÷èìîñòü ìàòðèö è ôóíêöèé ðàçëè÷èìîñòè â èíôîðìàöèîííûõ
ñèñòåìàõ. Ñôîðìèðóåì ìàòðèöó áëèçîñòè äëÿ ÍÌ-ãðàíóëû
~
{ / }X x x n� � 1 .
Âûäåëèì ñèíãëòîíû x x x( ) { , }1
1 1� � , ..., x x xn
n n
x( ) ( ) { , }2 � � � , âû÷èñëèì
ïîïàðíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êàæäûì èç íèõ, äîïóñòèì, Åâêëèäîâû —
d x xi j( , )( ) ( ) , (�i j, ) i, j = 1, n, è ñôîðìèðóåì ìàòðèöó ðàññòîÿíèé
(ìàòðèöó áëèçîñòè) Mn�n:
M x x x
x d x x d x x
x d
n
n
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( , ) ( , )
(
1 2
1 1 2 1
2
0
�
�
x x d x x
x d x x d x
n
n n n
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) (
, ) ( , )
( , ) (
2 1 2
1
0 �
� � � � �
) ( ), )x 2 0�
.
Íà åå îñíîâå ïîñòðîèì áèíàðíîå äåðåâî (ÁÄð), ñîáèðàÿ â êëàñòåðû ñèíãë-
òîíû ïî ïðèíöèïó ìàêñèìàëüíîãî ( max ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
) èëè ìèíèìàëü-
íîãî ( min ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïàðàìè ýëåìåíòîâ â êëàñ-
òåðå è ïðèíèìàÿ â êà÷åñòâå ýëåìåíòà êëàñòåðèçàöèè íà ïåðâîì øàãå èòå-
ðàöèè îòäåëüíûé ñèíãëòîí. Ïîëó÷èì èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû ñîîòâåò-
ñòâåííî Strmax è Strmin , êîòîðûå îäíîçíà÷íî (äëÿ äàííîé ìåòðèêè) õà-
ðàêòåðèçóþò ÍÌ. Â ðåçóëüòàòå ñîçäàí íîâûé îáúåêò G X Strr � (
~
, ) ñî ñâîåé
ñòðóêòóðîé.
Íà ìàòðèöó ðàññòîÿíèé M íàëîæåíû ñëåäóþùèå îãðàíè÷åíèÿ: îíà
äîëæíà áûòü ìåòðè÷åñêîé, ìîæåò áûòü àääèòèâíî ìåòðè÷åñêîé, ìîæåò
áûòü óëüòðàìåòðè÷åñêîé. Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòàõ 16, 17
, óëüòðàìåòðè-
÷åñêàÿ ìàòðèöà ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà íà îñíîâàíèè ìåòðè÷åñêîé.
Ïðèìåð. Çàäàíî èñõîäíîå ÍÌ:
~
{ ( : : ) ; ( ,[ ]~5 0 1 9 1 2 3 7 9
5trapmf
trapmf
trapmf� � � ��
x y xT � )}.
Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü ìàòðèöû áëèçîñòè äëÿ ÓÌ x T� ( : : )0 1 9 , ÍÌ y1�
� trapmf( ,[ ])x 23 7 9 è ñîîòâåòñòâóþùèå èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû. Ðåàëè-
çàöèÿ ïðîöåäóð ÌàòËàá
x = (0:1:9)� ; x = (0:1:9)� ;
y=pdist(x,�euclidean�) y1 = trapmf(x, [2 3 7 9]);
squareform(y) x2=[x y1];
y=pdist(x2,�Euclidean� )
squareform(y)
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 83
äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ñëåäóþùèå ìàòðèöû áëèçîñòè: èñõîäíîå ÍÌ
~
5trapmf —
M HM �
0 100 200 316 412 510 608 7 07 802 900
100 0 100
, , , , , , , , ,
, , 224 316 412 510 608 7 02 800
200 100 0 141 224 316 4
, , , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,
12 510 602 7 00
316 224 141 0 100 200 300 400 502 608
412 316 224 100 0 100 200 300 403 510
510 412 31
, , , , , , , , ,
, , , 6 200 100 0 100 200 304 412
608 510 412 300 200 100
, , , , , ,
, , , , , , 0 100 206 316
7 07 608 510 400 300 200 100 0 112 224
, , ,
, , , , , , , , ,
802 7 02 602 502 403 304 206 112 0 112
900 800 7 00 6
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,08 510 412 316 224 112 0
;
óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî x = (0:1:9)� —
MÓM �
0 100 200 300 400 500 600 7 00 800 900
100 0 100
, , , , , , , , ,
, , 200 300 400 500 600 7 00 800
200 100 0 100 200 300 4
, , , , , , ,
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,
00 500 600 7 00
300 200 100 0 100 200 300 400 500 600
400 300 200 100 0 100 200 300 400 500
500 400 30
, , , , , , , , ,
, , , 0 200 100 0 100 200 300 400
600 500 400 300 200 100
, , , , , ,
, , , , , , 0 100 200 300
7 00 600 500 400 300 200 100 0 100 200
, , ,
, , , , , , , , ,
800 7 00 600 500 400 300 200 100 0 100
900 800 7 00 6
, , , , , , , , ,
, , , , , , , , ,00 500 400 300 200 100 0
.
Íà îñíîâå ìàòðèö áëèçîñòè MÓÌ MÍÌ ïîëó÷åíû èåðàðõè÷åñêèå ñòðóê-
òóðû ÓÌ è ÍÌ (ðèñ. 1) äëÿ äâóõ ñëó÷àåâ êëàñòåðèçàöèè: ìàêñèìàëüíîå
(complete) è ìèíèìàëüíîå (single) ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè.
Äëÿ èñõîäíîãî ÍÌ (ñì. ðèñ. 1, à) x = (0:1:9) �, y1 = trapmf(x, [2 3 7 9]); äëÿ
ñòðóêòóðû ÓÌ (ñì. ðèñ. 1, á) x = (0:1:9)�, y=pdist(x,�euclidean�), z=linkage(y,
�complete�), dendrogram((z),4); y=pdist(x, �euclidean�), z=linkage(y,�single�), dend-
rogram((z),4); äëÿ ñòðóêòóðû ÍÌ (ñì. ðèñ. 1, â) x = (0:1:9)�, y1 = trapmf(x, [2 3 7
9]), x2=[x y1], y=pdist(x2,�euclidean�), z=linkage(y,�complete�), dendrogram((z),4);
y=pdist(x2, �euclidean�), z=linkage(y, �single�), dendrogram((z),4) .
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Ïîëó÷åííûå ñòðóêòóðû âèçóàëüíî ðàçëè÷íû. Íàïðèìåð, ïðè êëàñòå-
ðèçàöèè ïî êðèòåðèþ max ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
äëÿ ÓÌ êëàñòåðû îáðàçóþò
ñòðóêòóðó {( ) ( )}1 3 1 3� � � , äëÿ ÍÌ — ñòðóêòóðó {( ) ( )}2 3 1 4� � � , õîòÿ
ïðàêòè÷åñêè îíè ñîâïàäàþò â 2-àäè÷åñêîì áàçèñå (èìåþò îäèíàêîâûå
2-àäè÷åñêèå ÷èñëà). Àíàëîãè÷íî ýòî ïðîèñõîäèò è ïðè êëàñòåðèçàöèè ïî
êðèòåðèþ min ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
.
Ð-àäè÷åñêèé àíàëèç. Ïðèçíàâ îáúåêòèâíîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ èåðàð-
õè÷åñêîé ñòðóêòóðû êàê àòðèáóòà ÍÌ, ïðèõîäèì ê ð-àäè÷åñêîé, èëè íåàð-
õèìåäîâîé ìàòåìàòèêå. Â àðõèìåäîâîé ìåòðèêå ðåàëèçîâàí ïîñòóëàò î
òîì, ÷òî â ïðèðîäå âñå ìîæíî èçìåðÿòü ñ ïîìîùüþ ëèíåéíûõ ìåð, à â
ð-àäè÷åñêîì àíàëèçå (îñíîâà àíàëèçà èåðàðõè÷åñêèõ ñòðóêòóð) äåéñòâóåò
íåàðõèìåäîâà (ôðàêòàëüíàÿ) ìåòðèêà, â êîòîðîé ïîíÿòèå èçìåðåíèÿ âåëè-
÷èí ïðèîáðåòàåò èíîå ñîäåðæàíèå.
Äåðåâüÿ, ìîäåëèðóþùèå ÍÌ, ìîæíî ïðåäñòàâëÿòü êàê ñõåìû ïðè÷èííî-
ñëåäñòâåííûõ ñâÿçåé âçàèìîäåéñòâèÿ îáúåêòîâ â ðàçëè÷íûõ ïðîöåññàõ â
ñîîòâåòñòâèè ñ çàäàííûì ïðîñòûì ÷èñëîì ð, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò ôèçè-
÷åñêîìó ïàðàìåòðó. Íîìåð óðîâíÿ èåðàðõèè ðàâåí ñòåïåíè óâåëè÷åíèÿ
ðàçðåøåíèÿ íàáëþäàåìîé ñòðóêòóðû êëàñòåðîâ. Â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó-
÷àå ïðè÷èííî-ñëåäñòâåííûå ñâÿçè òàêèå: äëÿ ÓÌ ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà
MU
Str , à äëÿ ÍÌ — M Str
~
5trapmf
, ò.å. ðàçíèöà â ñòðóêòóðå îïðåäåëÿåò ïðè÷èíó —
ôàêò íåîïðåäåëåííîñòè, ïðè ýòîì óðîâåíü íåîïðåäåëåííîñòè âèäåí íà
áèíàðíîì äåðåâå.
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 85
Ðèñ. 1. Èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû: à — èñõîäíîå ÍÌ; á è â — ñòðóêòóðû ÓÌ è ÍÌ
Ïðèâåäåì î÷åâèäíîå óòâåðæäåíèå: ëþáîå ðåãóëÿðíîå äåðåâî èìååò
óëüòðàìåòðè÷åñêóþ ñòðóêòóðó [18] . Íàïîìíèì, ÷òî óëüòðàìåòðè÷íîñòè
ïðîñòðàíñòâà H ñîîòâåòñòâóåò ñèëüíîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà (ÑÍÒ).
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàññòîÿíèÿ rAB, rBC è rAC ìåæäó ëþáûìè òðåìÿ òî÷êàìè A,
B, C â ïðîñòðàíñòâå H óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ rAC � max{rAB, rBC}. Áèíàð-
íûå äåðåâüÿ, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ìàòðèöû ðàññòîÿíèé ïîñðåäñòâîì
êëàñòåðèçàöèè îáúåêòîâ ìåòîäîì ÌÍÓÑ ( max ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
) è ÌÍÁÑ
( min ( , )
( ) ( ),
( ) ( )
x x X
i j
i j
d x x
�
), — óëüòðàìåòðè÷åñêèå, òàê êàê äëÿ ëþáûõ òðåõ ýëå-
ìåíòîâ i, j, k ñïðàâåäëèâî ÑÍÒ, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì ïðèçíàêîì óëüòðà-
ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå d x x d x xi k i( , ) max ( ( , ),� 1
d x xk( , ))1 èëè d x x d x x d x xi k i k( , ) min ( ( , ), ( , ))� 1 1 .
Óëüòðàìåòðèêà (óëüòðàìåòðè÷åñêîå ðàññòîÿíèå) ïî îïðåäåëåíèþ óäîâ-
ëåòâîðÿåò ÑÍÒ. Óñèëåíèå ìåòðèêè åñòåñòâåííûì îáðàçîì ïîðîæäàåò òàê-
ñîíîìè÷åñêèå îòíîøåíèÿ ìåæäó îáúåêòàìè, èåðàðõè÷åñêè îáúåäèíÿÿ èõ â
êëàñòåðû, íî ïðè ýòîì ïðèâîäèò ê íåîæèäàííûì ìàòåìàòè÷åñêèì ðåçóëü-
òàòàì. Àêñèîìà Àðõèìåäà î òîì, ÷òî ëþáîé îòðåçîê ìîæíî ïåðåêðûòü
êîíå÷íûì ÷èñëîì íàëîæåíèé ìåíüøåãî îòðåçêà, äëÿ óëüòðàìåòðè÷åñêîãî
ðàññòîÿíèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ. Ïîýòîìó â óëüòðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
íåâîçìîæíî ïðîéòè áîëüøîé ïóòü, ñîâåðøèâ ñåðèþ ìàëûõ ïåðåìåùåíèé.
Ëþáîå ÷èñëî øàãîâ ôèêñèðîâàííîé äëèíû â öåëîì ñîñòàâèò ïóòü äëèíîé
íå áîëüøå îäíîãî øàãà. Èññëåäîâàòü óëüòðàìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî
«ìàëûìè øàãàìè» íåâîçìîæíî, íåîáõîäèìî äåëàòü øàãè, ñîïîñòàâèìûå ñ
ðàçìåðàìè èññëåäóåìîé îáëàñòè. Çàìåòèì, ÷òî ÍÌ è ÓÌ, íà êîòîðîì
îïðåäåëåíî äàííîå ÍÌ, â óëüòðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå â ðÿäå ñëó÷àåâ
îáëàäàþò îäèíàêîâûìè ñâîéñòâàìè.
Íåñîîòâåòñòâèå óëüòðàìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà àðõèìåäîâîé ìåò-
ðèêå äåëàåò ïðîáëåìàòè÷íûì îïèñàíèå ïðîöåññîâ âåùåñòâåííûìè ÷èñëà-
ìè, ïîñêîëüêó äâèæåíèå â óëüòðàìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå íåëüçÿ îïèñàòü ñ
ïîìîùüþ ìàëûõ ïåðåìåùåíèé. Â ýòîé ñâÿçè èñïîëüçîâàíèå äèôôåðåíöèàëü-
íîãî èñ÷èñëåíèÿ è âñåõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ìàòåìàòè÷åñêîé ôè-
çèêè ñòàíîâèòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûì (è äàæå íåâîçìîæíûì), ÷òî òàêæå ñòàâèò
ïîä ñîìíåíèå çíà÷èìîñòü ÔÏ è âñåõ ïàðàäèãì òåîðèè ÍÌ.
Ð-àäè÷åñêàÿ òîïîëîãèÿ. Ïóñòü ð — ïðîñòîå ÷èñëî â öåëûõ �. Èñïîëü-
çóÿ ð, ìîæíî îïðåäåëèòü ìåòðèêó íà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëàõ Q ÷åðåç îãðà-
íè÷åíèå íà �. Äëÿ êàæäîãî a�� îïðåäåëèì ð-âåëè÷èíó p a( ) êàê íàè-
áîëüøóþ ñòåïåíü k, äëÿ êîòîðîé pk äåëèò a (ïðè óñëîâèè p ( ):0 �!). Òàêàÿ
ôóíêöèÿ åñòü ðàñøèðåííîé ð-àäè÷åñêîé îöåíêîé p: Q � � ÷åðåç
p p pa b a b( / ) ( ) ( )� " äëÿ âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë a/b .
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè, x è y, ìîæíî
îïðåäåëèòü êàê d x y p p x y
( , )
( )� " "
. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòî åñòü îïðåäå-
ëåíèå ìåòðèêè íà Q, â êîòîðîì áëèçîñòü ê íóëþ ýêâèâàëåíòíà âûñøåé
äåëèìîñòè íà ïðîñòîå ð. Ïîïîëíåíèå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë â ýòîé òîïîëî-
ãèè ÿâëÿåòñÿ ïîëåì ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë Qp, à ïîïîëíåíèå � — ïîäêîëüöîì
ð-àäè÷åñêèõ öåëûõ — �p. Ëþáîå ð-àäè÷åñêîå öåëîå èìååò óíèêàëüíîå
ðàñøèðåíèå (êàê ñõîäÿùèéñÿ ðÿä) â ôîðìå
n
p
na p
�
!
#
0
, ãäå ap — öåëîå â
äèàïàçîíå 0 � ap < p.
Ïðèâåäåì íåñêîëüêî îïðåäåëåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ äàëüíåéøåãî ïî-
íèìàíèÿ èçëîæåíèÿ [19—21] :
1. Ýëåìåíò x � �p èìååò èíâåðñèþ â �p, åñëè è òîëüêî åñëè |x|p = 1.
2. Åñëè x — íåíóëåâîé ýëåìåíò èç � p , òî x p yp x� ord ( )
, ãäå y p�� ,
| |y p � 1.
Çàïèøåì ìíîæåñòâî p py yp p� �� ��
{ : }. Òîãäà p p� — ìàêñèìàëüíûé
èäåàë � p è � �p pp/ åñòü ïîëå èç ð ýëåìåíòîâ. Àääèòèâíîå êîìíîæåñòâî
p p� , 1 1
"
p p pp p� �, ..., ôîðìèðóåò ðàçáèåíèå íà � p . Äëÿ êàæäîãî
j p� "{ , , , ..., }0 1 2 1 èìååì j p x x j xp p p p
� � " $ � �� � �{ :| | } { :1 |x "
" $ "j pp| }1 .
Ïóñòü p p y yn
p
n
p� �� ��
{ : } (n � N). Êîìíîæåñòâà pn
p� , 1
pn
p� , ...
..., p pn
p
"
1
� ôîðìèðóþò ðàçäåëåíèå � p . Äëÿ êàæäîãî j � {0, 1, …, pn –1}
èìååì j pn
p
�� { :| | }x x j pp p
n� " $ �"
�
1 { :| | }x j p x j pn
p p
n�
" � "
� .
Ïóñòü p � {2, 3, 5, 7, 11, …} — ïðîñòîå ÷èñëî. Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî íå-
íóëåâîãî öåëîãî ÷èñëà à ïîëîæèì ordp a ðàâíûì êðàòíîñòè âõîæäåíèÿ ð â
ðàçëîæåíèå à íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè, ò.å. íàèáîëüøåìó öåëîìó íåîòðè-
öàòåëüíîìó ÷èñëó m, äëÿ êîòîðîãî a pm%0(mod ). Çàïèñü a b c% (mod )
îçíà÷àåò, ÷òî c äåëèò (a – b). Íàïðèìåð, ord535 = 1, ord5250 = 3, ord296 = 5,
ord297 = 0. Åñëè a = 0, òî ïðèíèìàþò ordp 0 = !. Îïðåäåëèì íà Q
ñëåäóþùåå îòîáðàæåíèå | |& p :
| |
, ;
, .
x p
x
x
p
p x�
'
�
�
(
)
*
)
1
0
0 0
ord
Ôóíêöèÿ | |& p ÿâëÿåòñÿ íîðìîé íà ïîëå Q. Ìíîæåñòâà a p ZN
p
íàçûâàþò
èíòåðâàëàìè (äèñêàìè) è îáîçíà÷àþò òàêæå ÷åðåç a p N
( ). Âñå èíòåð-
âàëû îäíîâðåìåííî çàìêíóòû è îòêðûòû [20]. Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ | |& p
ìîæåò ïðèíèìàòü òîëüêî «äèñêðåòíîå» ìíîæåñòâî çíà÷åíèé, à èìåííî
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 87
{ , } { }p nn �� � 0 . Åñëè a b, ��, òî a b pn% (mod ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
| | /a b p pn" �1 . Îòîáðàæåíèå | |& p ÿâëÿåòñÿ íåàðõèìåäîâîé íîðìîé íà �;
� p — ïîïîëíåíèå ïîëÿ � ïî ð-àäè÷åñêîé íîðìå | – |ð.
Ñå÷åíèå ð-àäè÷åñêîãî ÷èñëà A a a a p� ( , , ,...)0 1 2 äëèíû n — öåëîå íåîò-
ðèöàòåëüíîå ÷èñëî A a p a p a p a pn n
n�
0
0
1
1
2
2... ... . Ñóììà ð-àäè÷åñ-
êèõ ÷èñåë A è B åñòü Ñ = A + B òàêîå, ÷òî äëÿ ëþáîãî n âûïîëíÿåòñÿ ðà-
âåíñòâî C A B pn n n
n�
(mod )1 . Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèå
öåëûõ ÷èñåë.
Åäèíèöà åñòü ð-àäè÷åñêîå ÷èñëî E = (1, 0, 0, 0, …)p. Íàòóðàëüíîìó ÷èñ-
ëó n ñîïîñòàâèì ð-àäè÷åñêîå ÷èñëî N, ðàâíîå ñóììå Å + Å + … + Å èç n ñëà
ãàåìûõ. Íàïðèìåð, ÷èñëî 14 â 2-àäè÷åñêîé çàïèñè èìååò âèä (0, 1, 1, 1) èëè
0 & 20+ 1 & 21+ 1 & 22+ 1 & 23 , â 3-àäè÷åñêîé çàïèñè — ñîîòâåòñòâåííî (2, 1, 1,
0, …)3 èëè 2 & 30+ 1 & 31+ 1 & 32+ 0 & 33 + Î (34) .
Ìíîæåñòâî X ñ çàäàííîé â íåì ìåòðèêîé d íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì. Îäíî ìíîæåñòâî X ìîæåò âêëþ÷àòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ
ñòðóêòóð ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, d). ×àñòî â êà÷åñòâå ìíîæåñòâà X
ðàññìàòðèâàþò ïîëÿ — ìíîæåñòâà ñ äâóìÿ áèíàðíûìè îïåðàöèÿìè, «+» è
«&», òàêèìè, ÷òî ïîëå (F) ÿâëÿåòñÿ êîììóòàòèâíîé ãðóïïîé îòíîñèòåëüíî
îïåðàöèè «+», a F �{ }0 — îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè «&» ïðè âûïîëíåíèè
çàêîíà äèñòðèáóòèâíîñòè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë
� è ïîëå âåùåñòâåííûõ ÷èñåë �.
Îñíîâíóþ íîðìó íà ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îïðåäåëÿåò àáñîëþòíàÿ
âåëè÷èíà | õ |. Èíäóöèðîâàííàÿ åþ ìåòðèêà d (x, ó) = | õ – ó | ñîâïàäàåò ñ
îáû÷íûì ðàññòîÿíèåì íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ïðèâåäåì îïðåäåëåíèå èç
ðàáîòû [20]. Äâå òî÷êè áëèçêè, åñëè èõ ðàçíèöà äåëèìà íà áîëüøóþ
ñòåïåíü ïðîñòîãî ð: d (x, ó) = | õ – ó |p. Òàêèì îáðàçîì, äâà öåëûõ ÷èñëà x, y ��
áóäóò áëèçêèìè â ñîîòâåòñòâèè ñ ð-àäè÷åñêîé ìåòðèêîé, åñëè p x yn | " ïðè
áîëüøîì çíà÷åíèè n, ò.å. åñëè x y pn% mod ïðè áîëüøîì çíà÷åíèè n.
Ïðèìåð.  7-àäè÷åñêîé ìåòðèêå d (2, 51)7 < d ( 1, 2)7, òàê êàê d ( , )2 51 �
� " � � � �"| | | | | |51 2 49 7 7
1
49
7 7
2
7
2 , d ( , ) | | | | | |1 2 2 1 1 7 7 17 7
0
7
0� " � � � � . Â 2-àäè-
÷åñêîé ìåòðèêå d d( , ) ( , )2 51 1 22 2� , òàê êàê d ( , ) | | | |2 51 51 2 492 2 2� " � �
�
� �| |2 2 2 2 10 4 5
2
0 , d ( , ) | | | | | |1 2 2 1 1 2 2 12 2 2
0
2
0� " � � � � . Ïîëå ð-àäè÷åñ-
êèõ ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ íåóïîðÿäî÷åíûì, èìååòñÿ íåñêîëüêî âàæíûõ ÷àñòè÷-
íûõ ïîðÿäêîâ, ñâÿçàííûõ ñ � p .
Ð-àäè÷åñêàÿ àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà èíäóöèðóåò ìåòðèêó íà � ÷åðåç
óñòàíîâêó d a b a bp p( , ) | |� " , ÷òî äåéñòâèòåëüíî ÿâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì (âû-
ïîëíÿþòñÿ àêñèîìû ðàññòîÿíèÿ). Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòîé ìåòðèêîé äâà
ýëåìåíòà, a è b, áëèçêè, åñëè | a – b |p ìàëî, à çíà÷èò, â òîì ÷èñëå, ÷òî
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
ordp (a – b) âåëèêî, ò.å. áîëüøàÿ ñòåïåíü ð äåëèò a – b. Îñîáåííîñòè
ñòðîåíèÿ p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë ïðèäàþò èõ ñîâîêóïíîñòÿì, ò.å. ïîëÿì �m è �p
(m > 0) p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë êëàñòåðíóþ, èëè ôðàêòàëüíóþ ñòðóêòóðó. Âñå
ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë â p-àäè÷åñêîé íîðìå ñæèìàåòñÿ äî êëàñ-
òåðà �p = [1, 2, 3, ..., p – 1]n .  îáùåì ñëó÷àå ïîëå �p (èëè �p) ñîñòîèò èç
ñâîèõ êîïèé � �p
n
n
pp�
�!
� , ãäå óìíîæåíèå íà ñòåïåíü p oçíà÷àåò óâå-
ëè÷åíèå ñòåïåíè ðàçðåøåíèÿ íàáëþäåíèÿ êëàñòåðà â p pàç.
Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå ÍÌ â ð-àäè÷åñêîì áàçèñå. Ìíî-
æåñòâî p-àäè÷åñêèõ ÷èñåë ïðåäñòàâèì â âèäå äåðåâà ñ âåòâëåíèåì íà p
÷àñòåé â êàæäîé âåðøèíå. Òàêîå äåðåâî íàçûâàþò èåðàðõè÷åñêèì, èëè
ëåêñèêîãðàôè÷åñêèì. Åñëè ñëåäîâàòü ïî íåêîòîðîìó âûäåëåííîìó ïóòè
äåðåâà (ïî åãî âåòâÿì — âåêòîðèçàöèÿ ìàòðèöû ÁÄð), ïîñëåäîâàòåëüíî
âûïèñûâàÿ öèôðû â âåðøèíàõ, ïîëó÷èì êîíêðåòíîå ÷èñëî, ò.å. êàæäîìó
ïóòè ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå ÷èñëî, è íàîáîðîò.
Íà ðèñ. 2 ïîêàçàíû HM
trapmf
~ { / / / / }
5
2 0 3 1 7 1 9 0�
�
,
~
{ }5 23 7 9trapmf � �U ,
ÁÄð ÍÌ, çàêîäèðîâàííîå àëôàâèòîì {0, 1}, è âû÷èñëåíû 2-àäè÷åñêîå
(ôðàêòàëüíîå) ÷èñëî è 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê äëÿ ÍÌ
~
: ;5 1064trapmf � �a
� �
� �evalp ordp( , , ) ; ( , )a a2 9 2 2 2 2 33 5 10 (âû÷èñëåíèÿ âûïîëíåíû â
ÏÌÌ Maple).
Ðàññìîòðèì äåíäðîãðàììó D, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 2, á. Åñëè äâè-
ãàòüñÿ âíèç îò âåðøèíû âäîëü ìàðøðóòà â D, òî äàííûå x = xi áóäóò
ïîëó÷àòü ìåòêè 0 èëè 1 âäîëü ïóòè. Ïîëó÷àåì 2-àäè÷åñêîå êîäèðîâàíèå
x a� �#
óðîâåíü
2 2� , ãäå êîýôôèöèåíò a — ÷èñëî, ïîìå÷åííîå íà óðîâíå
(0 ëèáî 1). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ýòà ïðîöåäóðà ïîðîæäàåò êîíå÷íûå
2-àäè÷åñêèå ðàñøèðåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ñóòü äåíäðîãðàììû ñîñ-
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 89
Ðèñ. 2. Ïðèìåð àíàëèçà ÍÌ â 2-àäè÷åñêîì áàçèñå: à — ÍÌ; á — ÁÄð, ñîîòâåòñòâóþùåå
ÍÌ
~
5trapmf; â —ïóòè ýëåìåíòîâ 1 — 4 íà ÁÄð îò íà÷àëà ê âåðøèíå
1�0&2
3
+0&2
4
+0&2
5
+0&2
6
+0&2
7
+0&2
8
+1&2
9
2�0& 2
3
+0&2
4
+0&2
5
+0&2
6
+0&2
7
+0&2
8
+0&2
9
3�1& 2
3
+0&2
4
+0&2
5
+0&2
6
+0&2
7
+0&2
8
+0&2
9
4�0&2
3
+0&2
4
+1& 2
5
+0&2
6
+0&2
7
+0&2
8
+1&2
9
â
1,0
0,5
101 4
ÔÏ
ÁÄð9
7
5
3
2 3 1 4
2 3
Ýëåìåíòû ÍÌ
Ñ
òå
ï
åí
ü
2
Âåðøèíà
0
0
0
1
1
1
à á
0
òîèò â òîì, ÷òî ãðàíè ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê p-àäè÷åñêèå äèñêè,
êðàÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ìàêñèìàëüíûì íåòðèâèàëüíûì èõ âêëþ÷å-
íèåì. Èçâåñòíî, ÷òî êàæäûé äèñê èìååò òî÷íî p ìàêñèìàëüíî ìåíüøèõ
ïîääèñêîâ, ëåæàùèõ â òî÷íî îäíîì ìèíèìàëüíî áîëüøîì äèñêå. Ñëåäîâà-
òåëüíî, êàæäàÿ âåðøèíà èìååò òî÷íî p ãðàíåé- äåòåé è îäíó ðîäèòåëüñêóþ
âåðøèíó.
Ïóñòü p — ïðîñòîå ÷èñëî. Åñëè õ — ëþáîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, îò-
ëè÷íîå îò íóëÿ, òî åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ôîðìå x p
a
b
n� , ãäå a b, �� —
ïðîñòû îòíîñèòåëüíî p è n��. Ìîæíî îïðåäåëèòü | |x pp
n� " , | |0 0p � è
ord p x n( ) � , ord p ( )0 �!, ÷òî óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñâîéñòâàì:
1) | |x p + 0, | |x p �0, åñëè è òîëüêî åñëè x �0;
2) | | max{| | , | | }x y x yp p p
� (ñòðîãîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà),
| | max{| | , | | }x y x yp p p
� , eñëè | | | |x yp p' ;
3) | | | | | |x y x yp p p& � & .
Ïîäñòàâèâ ord p âìåñòî | & |p , ñâîéñòâà 2 è 3 çàïèøåì â âèäå:
ord ord ordp p px y x y( ) min{ ( ), ( )}
+ , ord ord ordp p px y x y( ) ( ) ( )& �
,
ãäå | & |p — ð-àäè÷åñêàÿ âåëè÷èíà; ord p ( )& — ð-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê. Ñëîæå-
íèå è óìíîæåíèå ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë îïðåäåëåíû íà � p íà îñíîâå ðàñøè-
ðåíèÿ Ãåíçåëÿ 18—21
:
n N
n
n
n M
n
n
n N M
n n
na p a p a b p
�
!
�
!
�
!
# # #
�
min ( , )
( ) ,
n N
n
n
n M
n
n
n N M i N
n M
a p a p a
�
!
�
!
�
!
�
"
# # # #
�
�
��
�
�
��
�
�
��
�
�
�� � i n i
nb p"
�
�
��
�
�
�� .
Ëþáîé àëãîðèòì êëàñòåðèçàöèè ñ èñïîëüçîâàíèåì p-àäè÷åñêîé ìåò-
ðèêè íå ïðåäïîëàãàåò åå èçìåíåíèÿ ïðè èçìåðåíèè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó
íåïåðåñåêàþùèìèñÿ êëàñòåðàìè C1 è C2, òàê êàê dist p pC C x y( , ) | |1 2 � "
äëÿ ëþáîãî x C� 1, y C� 2. Äëÿ ÍÌ êëàñòåðû, êàê ïðàâèëî, ñîîòâåòñòâóþò
,-óðîâíÿì.
Íà ðèñ. 3 ïîêàçàíû HM
trapmf
~ { / / / / }5 2 0 3 1 7 1 9 0�� ,
~
{ }5 2 3 7 9trapmf � �U ,
ÁÄð ÍÌ è ÓÌ, çàêîäèðîâàííîå àëôàâèòîì {0, 1}, ñòðóêòóðíûå ìàòðèöû
ÁÄð è âû÷èñëåíû 2-àäè÷åñêîå (ôðàêòàëüíîå) ÷èñëî è 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê
äëÿ ÍÌ è ÓÌ:
~
: , { } : :5 1064 2 3 7 9 1064trapmf � � � � �a U a > evalp (a, 2, 9)�
� 2 2 23 5 10
; > ordp (a, 2) � 3.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 91
Ðèñ. 3. Èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû è äâóàäè÷åñêèå ìàòðèöû áèíàðíûõ äåðåâüåâ: à —
ÍÌ
~
5trapmf; á, ã — ôðàêòàëüíîå ÷èñëî
1 2 3 4
# �1064 = 23 + 25 + 210; â, ã —ÓÌ U = {2 3 7 9}
1 0 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
4
�
�
�
�
0
512
8
544
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
0 0 1 0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
2
3
4
�
�
�
�
512
0
8
544
ÁÄð
9
7
5
3
2 3 41
Ýëåìåíòû ÍÌ
Âåðøèíà
0
0
0
1
1
1
Ñ
òå
ï
åí
ü
2
ÁÄð
9
7
5
3
1 23 4
Ýëåìåíòû ÍÌ
0
0
0
1
1
1
Ñ
òå
ï
åí
ü
2
Âåðøèíà
à á â ã
à á
â
Ðèñ. 4. Ãðàíóëèðîâàííûå ÍÌ è èõ áèíàðíûå äå-
ðåâüÿ: à — òðàïåöèåâèäíàÿ (1), òðåóãîëüíàÿ (2) è
Ãàóññîâà (3) ÔÏ; á — êëàñòåðèçàöèÿ ïî ìåòîäó
ÍÓÄÑ: X = [0:1:9];
~
5trimf = trimf (X, [ 3 5 7]);
~
5trapmf �
= trapmf (X, [3 4 6 7]);
~
5gaussmf
= gaussmf (X, [ 0,5 5 ]);
�x= [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]; 1 ýëåìåíò � 1 êëàñòåð; â —
3 ýëåìåíòà � 1 êëàñòåð
 ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèÿ ôðàêòàëüíûõ ÷èñåë, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÍÌ
~
5trapmf è ÓÌ U = {2 3 7 9},
~
5trapmf � U, ïîëó÷åíî ïðàêòè÷åñêè ïîëíîå ñîâ-
ïàäåíèå ñòðóêòóðíûõ õàðàêòåðèñòèê äàííûõ îáúåêòîâ. Çàìåòèì, ÷òî âñå
ïóòè íà ÁÄð îïðåäåëåëåíû â óëüòðàìåòðèêå.
Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ãðàíóëèðîâàííûå ÍÌ, ñôîðìèðîâàííûå íà îñ-
íîâå íå÷åòêîé ïåðåìåííîé (ÍÏ) ñ òðàïåöèåâèäíîé, òðåóãîëüíîé è Ãàóñ-
ñîâîé ÔÏ. Ïîñòðîåíû áèíàðíûå äåðåâüÿ äëÿ ïðåäëîæåííûõ òèïîâ ÍÏ ïðè
ðàçëè÷íîì ÷èñëå êëàñòåðîâ (â äàííîì ñëó÷àå 9 è 3). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî è
â ïåðâîì è âî âòîðîì ñëó÷àÿõ ñòðóêòóðû ÓÌ (Unset) è ÍÌ òðåõ òèïîâ
ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàþò.
Âûâîäû
Òåîðèÿ ÍÌ ïîçâîëèëà äîñòàòî÷íî ïðîñòî ïðåäñòàâëÿòü íåîïðåäåëåííîñòè
ïðè ñâîáîäíîì âûáîðå ÔÏ è ïîñðåäñòâîì äåôàäçèôèêàöèè ïîëó÷àòü ÷åò-
êèé (åäèíñòâåííûé) ðåçóëüòàò. Íà ñàìîì äåëå íåîïðåäåëåííîñòü ñëîæíåå
ìîäåëåé, ïðåäëàãàåìûõ òåîðèåé ÍÌ.
 ðåçóëüòàòå èçó÷åíèÿ ñòðîåíèÿ ñëîæíûõ îáúåêòîâ (â óñëîâèÿõ íå-
îïðåäåëåííîñòè îáúåêò àïðèîðè íåîáõîäèìî ïðèçíàâàòü ñëîæíûì) óñòà-
íîâëåíî, ÷òî â íèõ ïðàêòè÷åñêè äî ïðîèçâîëüíî ìàëûõ ìàñøòàáîâ ïðî-
ñëåæèâàåòñÿ íåêàÿ ñòðóêòóðà, íèêîãäà íå ñâîäèìàÿ ê îäíîé òî÷êå, â òî
âðåìÿ êàê äåôàäçèôèêàöèÿ ÍÌ îáÿçàòåëüíî ñâîäèòñÿ èñêëþ÷èòåëüíî ê
òî÷êå (îäíîìó çíà÷åíèþ).
Òåîðèÿ ÍÌ ïðàêòè÷åñêè íå ðàññìàòðèâàåò âëèÿíèå ñòðóêòóðû ÍÌ íà
åãî õàðàêòåðèñòèêè, õîòÿ èãíîðèðîâàíèå ñòðóêòóðû íå ìîæåò íå âëèÿòü íà
ïðåäñòàâëåíèå íåîïðåäåëåííîñòè. Äëÿ àíàëèçà ñòðóêòóðû ÍÌ, åå ïîñòðîå-
íèÿ ïðèìåíÿþòñÿ ìåòîäû ÈÊ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü åñòåñòâåííîãî ïåðå-
õîäà ê èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðå, ïîçâîëÿåò îòêàçàòüñÿ îò òðàäèöèîííûõ
ïàðàäèãì ïðè àíàëèçå äàííûõ è îòêðûâàåò íîâûå ïåðñïåêòèâû â âîïðîñàõ
îðãàíèçàöèè äàííûõ, âêëþ÷àÿ, ïðåæäå âñåãî, èçâëå÷åíèå çíàíèé èç îã-
ðîìíûõ, âûñîêîðàçìåðíûõ, ðàçíîðîäíûõ ÌÄ, òàêèõ, êàê, íàïðèìåð, òðà-
ôèê êîìïüþòåðíûõ ñåòåé, ýêîíîìè÷åñêèå è äðóãèå ñèñòåìû.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åò-
êèõ äàííûõ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 4. — Ñ. 3—22.
2. Zadeh L.A. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centralityin human rea-
soning and fuzzy logic// Fuzzy Sets and Systems. — 1997. — Vol. 90. — Ð. 111—127.
3. Zadeh L.A. Toward a perception-based theory of probabilistic reasoning with imprecise
probabilities// J. of Statistical Planning and Inference. — 2002. — Vol. 105. — Ð. 233—264.
4. Aja-Fernandez S., Alberola-Lopez C. Fuzzy Granules as a BasicWord Representation for
Computing with Words//SPECOM’2004: 9th Conf. Speech and Computer. — St. Peters-
burg, Russia, September, 20—22. 2004.ISCA Archive. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. —
Ðåæèì äîñòóïà: http://www.isca-speech.org/archive
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
5. Òàðàñîâ Â.Á. Íåñòàíäàðòíûå ìíîæåñòâà è ãðàíóëèðîâàííûå âû÷èñëåíèÿ. Ïÿòûå Ïî-
ñïåëîâñêèå ÷òåíèÿ «Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò — ïðîáëåìû è ïåðñïåêòèâû». — [Ýëåêò-
ðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://www.posp.raai.org/data/posp2011/ tarasov.ppt
6. Pedrycz W. Handbook of Granular Computing. Ed. by W. Pedrycz, A. Skowron and V. Kreino-
vich. — John Wiley & Sons, 2008. — 1150 ð.
7. Simon H.A. The Sciences of the Artificial. — Cambridge: MIT Press, 1996. — 216 p.
8. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé
íåîïðåäåëåííîñòè. I. Òåíçîð-ïåðåìåííàÿ â ñèñòåìå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ// Ýëåêòðîí.
ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 30, ¹ 1.— C. 43—59.
9. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé
íåîïðåäåëåííîñòè. II.Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà â òåíçîðíîì áàçèñå. — Òàì æå. — 2008. —
30, ¹ 2. — Ñ. 4—21.
10. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Òåíçîðíûå ìîäåëè ÍÌ-ãðàíóë è èõ
ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íå÷åòêîé àðèôìåòèêè// Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò.—
2013. — ¹ 2. — Ñ. 28—32.
11. Colda T.G., Bader B.W. Tensor decompositions and applications. // SIAM Review, Algo-
rithm. — 2009. — Vol. 51, No 3. — P. 455—500.
12. Mirkin B. Clustering for Data Mining. — Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. — 2005.
13. Murtagh F. On ultrametricity, data coding, and computation// J. Classification. — 2004. —
Vol. 21. — P. 167—184.
14. Bradley P.E. Mumford dendrograms// The Computer Journal. — 2010. — Vol. 53, No 4. —
P. 393—404.
15. Delgado M., Gomez-Skarmeta A.F., Vila A. On the Use of Hierarchical Clustering in
Fuzzy// Modeling. International Journal of Approximate Reasoning. — 1996. — No 14. —
P. 237—257.
16. Skowron A., Rauszer C. The discernibility matrices and functions in information systems//
Decision Support by Experience-Application of the Rough Sets Theory. Ed. R. Slowinski. —
Kluwer Academic Publishers, 1992. — P. 331—362.
17. Õðåííèêîâ À.Þ. Íåàðõèìåäîâ àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. — Ì. : «Ôèçìàòëèò», 2003. —
216 ñ.
18. Nechaev S.K., Vasilyev O.A. On metric structure of ultrametric spaces/ arXiv:cond-mat/
0310079v1 [cond-mat.stat-mech] 3 Oct 2003.
19. Schikhof W.H. Ultrametrc calculus. — (Cambridge studies in advansed mathematics; 4) 1.
P-adic numbers. — Cambridge University Press, 1984. — 317 p.
20. Êîáëèö Í. Ð-àäè÷åñêèé àíàëèç è äçåòà-ôóíêöèè/ Ïåð. ñ àíãë. Â.Â. Øîêóðîâà. — Ì. :
Ìèð, 1981. —192 ñ.
21. Êàòîê Ñ.Á. Ð-àäè÷åñêèé àíàëèç â ñðàâíåíèè ñ âåùåñòâåííûì / Ïåð. ñ àíãë. Ï.À. Êîë-
ãóøêèíà. — Ì. : ÌÖÍÌÎ, 2004. — 112 ñ.
Yu.N. Minaev, O.Yu. Filimonova, J.I. Minaeva
STRUCTURED FS-GRANULES
IN PROBLEMS OF GRANULAR COMPUTING
The questions of presentation of FS-granules in the form of 2-adical tree as a way of determina-
tion of hierarchical structure FS and its account under further use of FS-granules in the system of
granular computing are considered. The posibility of the structure account by calculation of
2-adical (fractal) numbers, defined on the basis of structured matrix, characterizing binary tree,
and 2-adical order is shown. FS is a subset of ordered pairs {value/ belonging function} obtains
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 93
an additional objective characteristic in the form of structured matrixes, that extends potentiali-
ties of the FS theory in deciding the problems of management in conditions of uncertainty. The
presented examples show a degree of the FS structure influence on its characteristics.
K e y w o r d s: fuzzy set, granular computing, p-adical analysis, matrixes of similarity, binary tree.
REFERENCES
1. Minaev Yu.N., Filimonova O.Yu., Minaeva J.I. Hierarchic clusterization of fuzzy data //
Electron. Modeling. — 2012. — Vol. 34, No 4. — P. 3—22 (in Russian).
2. Zadeh L.A. Toward a theory of fuzzy information granulation and its centralityin hu-man
reasoning and fuzzy logic // Fuzzy Sets and Systems. — 1997.— Vol. 90. — Ð. 111—127.
3. Zadeh L.A. Toward a perception-based theory of probabilistic reasoning with imp-recise
probabilities// J. of Statistical Planning and Inference. — 2002.— Vol. 105. — Ð. 233—264.
4. Aja-Fernandez S., Alberola-Lopez C. Fuzzy Granules as a Basic Word Representation for
Computing with Words // SPECOM’2004: 9th Conf. Speech and Computer. — St. Peters-
burg, Russia, September, 20—22, 2004. ISCA Archive. [Electron resource]. — Access re-
gime: http://www.isca-speech.org/archive
5. Tarasov V.B. Nonstandard Sets and Granulated Calculations. The Fifth Pospelov’s Readings
«Artificial Intellect – Problems and Prospects». — [Electron resource]. — Access Regime:
http://www.posp.raai.org/data/posp 2011/tarasov.ppt (in Russian).
6. Pedrycz W. Handbook of Granular Computing / Ed. by W. Pedrycz, A. Skowron and V. Kreino-
vich. — John Wiley & Sons, 2008. — 1150 ð.
7. Simon H.A. The Sciences of the Artificial. — Cambridge: MIT Press, 1996. — 216 p.
8. Minaev Yu.N., Filimonova O.Yu. Fuzzy mathematics based on tensor models of indetermi-
nacy. I. Òensor variable in the system of fuzzy sets // Electron. Modeling. — 2008. — Vol. 30,
No 1.— P. 43—59 (in Russian).
9. Minaev Yu.N., Filimonova O.Yu. Fuzzy mathematics based on tensor models of indetermi-
nacy. II. Fuzzy mathematics in tensor basis. – Ibid. — 2008. — Vol. 30, No 2.— P. 4—21 (in
Russian).
10. Minaev Yu.N., Filimonova O.Yu., Minaeva J.I. Tensor models of NM-granules and their use
to solve the problems of fuzzy arithmetic // Artificial Intellect. — 2013. — No 2. — P. 28—
32 (in Russian).
11. Colda T.G., Bader B.W. Tensor decompositions and applications. // SIAM Review, Algo-
rithm. — 2009.— Vol. 51, No 3. — P. 455—500.
12. Mirkin B. Clustering for Data Mining. — Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. — 2005.
13. Murtagh F. On ultrametricity, data coding, and computation// J. Classification. — 2004. —
Vol. 21. — P. 167—184.
14. Bradley P.E. Mumford dendrograms // The Computer Journal.— 2010. — Vol. 53, No 4. —
P. 393—404.
15. Delgado M., Gómez-Skarmeta A.F., Vila A. On the Use of Hierarchical Clustering in
Fuzzy// Modeling // International Journal of Approximate Reasoning. — 1996. — No 14. —
P. 237—257.
16. Skowron A. and Rauszer C. The discernibility matrices and functions in information systems //
Decision Support by Experience — Application of the Rough Sets Theory. Ed. R. Slo-
winski. Kluwer Academic Publishers, 1992. — P. 331—362.
17. Khrennikov A.Yu. Non-Archimedian Analysis and Its Applications. — Ìoscow: Fizmatlit,
2003. — 216 p.(in Russian).
18. Nechaev S.K., Vasilyev O.A. On metric structure of ultrametric spaces / arXiv:cond-mat/
0310079v1 [cond-mat.stat-mech] 3 Oct. 2003.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
19. Schikhof W.H. Ultrametric Calculus. — (Cambridge studies in advanced mathematics; 4) 1.
P-adic numbers. — Cambridge University Press, 1984. — 317 p.
20. Coblitz N. R-Adic Analysis and Dzeta-Functions / Trans. from English by V.V. Sho-
kurov. — Ìoscow: Ìèð, 1981. — 192 p.(in Russian).
21. Katok S.B. R-Adic Analysis in Comparison with Substantial One / Trans. from English by
P.A. Kolgushkin. — Ìoscow: ÌCSMA, 2004. — 112 p.(in Russian).
Ïîñòóïèëà 23.12.13;
ïîñëå äîðàáîòêè 16.06.14
ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì è
ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû.  1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé
ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ,
ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõíîëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíè-
âåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû.  1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî-ñòðîè-
òåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
ÌÈÍÀÅÂÀ Þëèÿ Èâàíîâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû îñíîâ èíôîðìàòèêè Êèåâñêîãî
íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, êîòîðûé îêîí÷èëà â 2008 ã.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 95
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101079 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-30T16:31:37Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. 2016-05-30T18:03:55Z 2016-05-30T18:03:55Z 2015 Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 77-95. — Бібліогр.: 21 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101079 517.11+519.92 517.11+519.92 Рассмотрено представление гранул нечеткого множества (НМ) в виде 2-адического дерева как способ определения структуры НМ и ее учета при использовании в системе гранулярного компьютинга. Показана возможность учета структуры НМ, посредством вычисления характеризующего ее порядка 2-адического числа, вычисляемого на основе структурной матрицы бинарного дерева. Приведены примеры, показывающие степень влияния структуры НМ на его свойства. Розглянуто представлення гранул нечіткої множини (НМ) у вигляді 2-адичного дерева як засіб визначення структури НМ та її врахування при використанні в системі гранулярного компьютингу. Показано можливість врахування структури НМ, через обчислення порядку 2-адичного числа, що її характеризує, обчисленого за допомогою структурної матриці бінарного дерева. Наведено приклади, які показують ступінь впливу структури НМ на його властивості. The questions of presentation of FS-granules in the form of 2-adical tree as a way of determination of hierarchical structure FS and its account under further use of FS-granules in the system of granular computing are considered. The posibility of the structure account by calculation of 2-adical (fractal) numbers, defined on the basis of structured matrix, characterizing binary tree, and 2-adical order is shown. FS is a subset of ordered pairs {value/ belonging function} obtains an additional objective characteristic in the form of structured matrixes, that extends potentialities of the FS theory in deciding the problems of management in conditions of uncertainty. The presented examples show a degree of the FS structure influence on its characteristics. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга Structured fs-granules in problems of granular computing Article published earlier |
| spellingShingle | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. Вычислительные процессы и системы |
| title | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| title_alt | Structured fs-granules in problems of granular computing |
| title_full | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| title_fullStr | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| title_full_unstemmed | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| title_short | Структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| title_sort | структурированные гранулы нечеткого множества в задачах гранулярного компьютинга |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101079 |
| work_keys_str_mv | AT minaevûn strukturirovannyegranulynečetkogomnožestvavzadačahgranulârnogokompʹûtinga AT filimonovaoû strukturirovannyegranulynečetkogomnožestvavzadačahgranulârnogokompʹûtinga AT minaevaûi strukturirovannyegranulynečetkogomnožestvavzadačahgranulârnogokompʹûtinga AT minaevûn structuredfsgranulesinproblemsofgranularcomputing AT filimonovaoû structuredfsgranulesinproblemsofgranularcomputing AT minaevaûi structuredfsgranulesinproblemsofgranularcomputing |