Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем
Рассмотрена возможность использования гармонического подхода к анализу предельных режимов электрических систем как наиболее адекватной математической модели исследуемого процесса. Проведен сопоставительный анализ полученных результатов с результатами исследования предельных режимов в рамках комплекс...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101081 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем / С.И. Клипков // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 113-127. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859700339997933568 |
|---|---|
| author | Клипков, С.И. |
| author_facet | Клипков, С.И. |
| citation_txt | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем / С.И. Клипков // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 113-127. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Рассмотрена возможность использования гармонического подхода к анализу предельных режимов электрических систем как наиболее адекватной математической модели исследуемого процесса. Проведен сопоставительный анализ полученных результатов с результатами исследования предельных режимов в рамках комплексных и гиперкомплексных систем уравнений установившихся режимов.
Розглянуто можливість використання гармонічного підходу до аналізу граничних режимів електричних систем як найбільш адекватної математичної моделі досліджуваного процесу. Проведено порівняльний аналіз одержаних результатів з результатами дослідження граничних режимів в рамках комплексних та гіперкомплексних систем рівнянь усталених режимів.
The paper deals with the problems of harmonic approach to the analysis of limit modes of electrical systems as the most adequate mathematical model of the process under investigation. A comparative analysis with the results of the research of limiting regimes in the framework of complex and hypercomplex systems of equations of the established regimes is presented.
|
| first_indexed | 2025-12-01T01:04:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.942; 512.554; 621.311
Ñ.È. Êëèïêîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Ãëàâíûé èíôîðìàöèîííî-âû÷èñëèòåëüíûé öåíòð ÍÝÊ «Óêðýíåðãî»
(Óêðàèíà, 01032, Êèåâ, óë. Ñ. Ïåòëþðû, 27,
òåë. (044) 2491216, e-mail: klipkov.s@gmail.com)
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà
ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
Ðàññìîòðåíà âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ãàðìîíè÷åñêîãî ïîäõîäà ê àíàëèçó ïðåäåëüíûõ
ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì êàê íàèáîëåå àäåêâàòíîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè èññëå-
äóåìîãî ïðîöåññà. Ïðîâåäåí ñîïîñòàâèòåëüíûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ðåçóëü-
òàòàìè èññëåäîâàíèÿ ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ â ðàìêàõ êîìïëåêñíûõ è ãèïåðêîìïëåêñíûõ
ñèñòåì óðàâíåíèé óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ.
Ðîçãëÿíóòî ìîæëèâ³ñòü âèêîðèñòàííÿ ãàðìîí³÷íîãî ï³äõîäó äî àíàë³çó ãðàíè÷íèõ ðåæè-
ì³â åëåêòðè÷íèõ ñèñòåì ÿê íàéá³ëüø àäåêâàòíî¿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ äîñë³äæóâàíîãî
ïðîöåñó. Ïðîâåäåíî ïîð³âíÿëüíèé àíàë³ç îäåðæàíèõ ðåçóëüòàò³â ç ðåçóëüòàòàìè äîñë³ä-
æåííÿ ãðàíè÷íèõ ðåæèì³â â ðàìêàõ êîìïëåêñíèõ òà ã³ïåðêîìïëåêñíèõ ñèñòåì ð³âíÿíü
óñòàëåíèõ ðåæèì³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ãàðìîíè÷åñêèé àíàëèç, ïðåäåëüíûå ðåæèìû, êîìïëåêñíûå ÷èñëà,
ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà, ìàòðèöà ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Äëÿ ðàñ÷åòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïåðåìåííîãî òîêà, êàê ïðàâèëî, èñïîëü-
çóåòñÿ ñèìâîëè÷åñêèé (êîìïëåêñíûé) ìåòîä, ïðåäëîæåííûé àìåðèêàíñêèì
ó÷åíûì ×.Ï. Øòåéíìåöåì åùå â êîíöå ÕIÕ â. [1]. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
äëÿ íå ñîâïàäàþùèõ ïî ôàçå ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé àëãåáðàè-
÷åñêîå ñóììèðîâàíèå â ñîîòâåòñòâèè ñ çàêîíàìè Êèðõãîôà ÿâëÿåòñÿ äîñ-
òàòî÷íî ãðîìîçäêîé è òðóäîåìêîé ïðîöåäóðîé. Óêàçàííûé ìåòîä îñíîâàí
íà èçîáðàæåíèè ãàðìîíè÷åñêè èçìåíÿþùèõñÿ âî âðåìåíè íàïðÿæåíèé è
òîêîâ êîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè è ïîçâîëÿåò ïðè îïèñàíèè öåïåé ïåðåìåí-
íîãî òîêà èñïîëüçîâàòü ôîðìàëüíóþ àíàëîãèþ ñ îïèñàíèåì öåïåé ïîñ-
òîÿííîãî òîêà.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñèìâîëè÷åñêèé ìåòîä íå ìîæåò áûòü èñïîëü-
çîâàí äëÿ íåëèíåéíîé àëãåáðàè÷åñêîé îïåðàöèè óìíîæåíèÿ ãàðìîíè÷åñ-
êèõ âåëè÷èí, òàê êàê ïðîèçâåäåíèþ ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñè-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 113
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
� Ñ.È. Êëèïêîâ, 2015
íóñîèäàëüíûé òîê íåëüçÿ ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå ïðîèçâåäåíèå èõ êîìï-
ëåêñíûõ èçîáðàæåíèé [2]. Ïîïûòêà ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñèìâîëè÷åñêîãî ìå-
òîäà íà íåëèíåéíóþ îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ íàïðÿæåíèé
íà ñèíóñîèäàëüíûå òîêè ïðèâåëà ê ïîÿâëåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ïîíÿòèÿ
êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè [3], îïðåäåëÿåìîé êàê ïðîèçâåäåíèå êîìïëåêñ-
íîãî íàïðÿæåíèÿ íà ñîïðÿæåííîå çíà÷åíèå êîìïëåêñíîãî òîêà [4]. Ïðè
ýòîì äåéñòâèòåëüíàÿ è ìíèìàÿ ñîñòàâëÿþùèå êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè
ïîëó÷èëè íàçâàíèå ñîîòâåòñòâåííî àêòèâíîé è ðåàêòèâíîé ìîùíîñòè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  [3] ïîêàçàíî, ÷òî àíàëèç ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ
ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì êîìïëåêñíûì ìåòîäîì, îñíîâàííûì íà èñïîëüçî-
âàíèè ïîíÿòèÿ ïñåâäîïðîèçâîäíîé äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû
ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïðèâîäèò ê íåñêîëüêî èíûì ðåçóëüòàòàì, ÷åì àíà-
ëèç ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ñ ïðèìåíåíèåì îáùåïðèíÿòîé ìàòðèöû ßêîáè
äåéñòâèòåëüíûõ óðàâíåíèé óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà. Íåñîîòâåòñòâèå çà-
êëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî äèñêðèìèíàíòíàÿ ïîâåðõíîñòü, ñîîòâåòñòâóþùàÿ
ðàâåíñòâó íóëþ îïðåäåëèòåëÿ äåéñòâèòåëüíîé ìàòðèöû ßêîáè è îãðàíè-
÷èâàþùàÿ îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìîâ, ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïîäìíîæåñò-
âîì ìíîæåñòâà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàâåíñòâó íóëþ
îïðåäåëèòåëÿ óêàçàííîé êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ.
Çäåñü è äàëåå ïîä îáëàñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìîâ ïîäðàçóìåâàåòñÿ
îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèõ
óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì. Ïðè ýòîì îïðåäåëÿåìîå òàêèì îáðàçîì ìíîæåñò-
âî ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ñâÿçàíî ñ ðåøåíèÿìè ïàðàìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû
ãèïåðêîìïëåêñíûõ óðàâíåíèé [3], êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ àíàëèòè÷åñêèì ïðî-
äîëæåíèåì íåëèíåéíûõ êîìïëåêñíûõ óðàâíåíèé óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæè-
ìà â ãèïåðêîìïëåêñíóþ îáëàñòü [5, 6]. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî âûÿñíèòü,
êàêîå âëèÿíèå íà ðåçóëüòàò àíàëèçà ïðåäåëüíîñòè ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ
ñèñòåì (ÝÑ) ïåðåìåííîãî òîêà îêàçûâàåò ïåðåõîä îò ãàðìîíè÷åñêèõ ôóíê-
öèé ê èõ êîìïëåêñíûì èçîáðàæåíèÿì.
Ãàðìîíè÷åñêèé ïîäõîä ê àíàëèçó ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ. Åñëè â
ïðîèçâîëüíîì óçëå f ÝÑ âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîé ýëåêòðè÷åñêîé ìîù-
íîñòè ðàññìàòðèâàòü êàê ïðîèçâåäåíèå ñèíóñîèäàëüíîãî íàïðÿæåíèÿ â
ýòîì óçëå u U tf mf uf� �sin ( )� � íà ñèíóñîèäàëüíûé òîê ýòîãî óçëà i f �
� �I tmf ifsin ( )� � , òî ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå [4]:
p U I U I t
f mf mf uf if mf mf uf if� � �
1
2
1
2
2cos ( cos ( )� � �� � � � . (1)
Èç âûðàæåíèÿ (1) ñëåäóåò, ÷òî ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ñîñòîèò èç äâóõ
ñîñòàâëÿþùèõ: ïîñòîÿííîé è ïóëüñèðóþùåé. Ïîñòîÿííàÿ ïðåäñòàâëÿåò
Ñ.È. Êëèïêîâ
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
ñîáîé óçëîâóþ àêòèâíóþ ìîùíîñòü P U I
f f f f� cos , ãäå U f è I f —
äåéñòâóþùèå çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèÿ è òîêà, à � �f uf if� � — óãîë ìîù-
íîñòè. Ïóëüñèðóþùàÿ ìîùíîñòü èçìåíÿåòñÿ ñ äâîéíîé ÷àñòîòîé ïî îòíî-
øåíèþ ê ÷àñòîòå íàïðÿæåíèÿ è òîêà. Ñ ó÷åòîì ïðèâåäåííûõ ñîîòíîøåíèé
çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ óçëîâîé ìãíîâåííîé ìîùíîñòè:
p P S t
f f f uf f� � � �cos ( )2 2� � , (2)
ãäå S U If f f� — ïîëíàÿ (êàæóùàÿñÿ) ìîùíîñòü â ðàññìàòðèâàåìîì óçëå.
Ðàñêëàäûâàÿ ïóëüñèðóþùóþ ñëàãàåìóþ íà îðòîãîíàëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå
ñîñòàâëÿþùèå, ìîæíî ïîëó÷èòü åùå îäíî âûðàæåíèå äëÿ ìãíîâåííîé
ìîùíîñòè:
p P P Q t
f ff f uf uf� � � �( sin cos sin2 2 2� � � �
� �( cos sin cosP Q tf uf uff
2 2 2� � � � , (3)
ãäå Q U I
f f f f� sin — óçëîâàÿ ðåàêòèâíàÿ ìîùíîñòü.
Äëÿ âûÿñíåíèÿ âîçìîæíîñòåé ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ
ðåæèìîâ ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð ÝÑ, ðàñ÷åòíàÿ ñõåìà êîòîðîé
ñîñòîèò èç äâóõ óçëîâ, è îäèí èç íèõ — áàëàíñèðóþùèé.  ýòîì ñëó÷àå
óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì îïèñûâàåòñÿ îäíèì óðàâíåíèåì, îïðåäåëÿþùèì
ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå óçëà, â êîòîðîì çíà÷åíèÿ àêòèâíîé P è ðåàêòèâíîé
Q ìîùíîñòåé çàäàíû, à õàðàêòåðèñòèêè U m, � u ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ
íàïðÿæåíèÿ u íå èçâåñòíû. Çàäàåì òàêæå çíà÷åíèå àìïëèòóäû ìãíîâåí-
íîãî íàïðÿæåíèÿ â áàëàíñèðóþùåì óçëåU m á. ó , ôàçó êîòîðîãî ïðèíèìàåì
ðàâíîé íóëþ. Ñ ó÷åòîì (2) óêàçàííîå óðàâíåíèå áàëàíñà ìãíîâåííûõ
ìîùíîñòåé â àíàëèçèðóåìîì óçëå ïðèíèìàåò âèä
w P S t uiu� � � � � �cos ( )2 2 0� � , (4)
ãäå u U tm u� �sin ( )� � — ìãíîâåííîå íàïðÿæåíèå â óçëå; i I tm i� �sin ( )� � —
ìãíîâåííûé òîê ïî âåòâè, ñîåäèíÿþùåé àíàëèçèðóåìûé óçåë ñ áàëàí-
ñèðóþùèì óçëîì. Òàêèì îáðàçîì, â óðàâíåíèè (4) çàäàííûìè âåëè-
÷èíàìè ÿâëÿþòñÿ àêòèâíàÿ ìîùíîñòü P, à òàêæå îäíîçíà÷íî îïðåäå-
ëÿåìûå ñ ïîìîùüþ P è Q ïîëíàÿ ìîùíîñòü S P Q� �2 2 è óãîë ìîùíîñòè
�arctg ( / )Q P .
Êàê èçâåñòíî [4], àìïëèòóäà è ôàçà ìãíîâåííîãî òîêà â äàííîì ñëó÷àå
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
I
U U U
r L
m
m u m m u�
� �
�
( cos ) ( sin )
( )
� �
�
á. ó
2 2
2 2
, (5)
�
�
�
�
i
m u
m u m
U
U U
L
r
�
�
�arctg arctg
á. ó
sin
cos
, (6)
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 115
ãäå r è L — àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå è èíäóêòèâíîñòü âåòâè. Äèôôåðåí-
öèðóÿ (4) ïî åäèíñòâåííîé â äàííîì ñëó÷àå ïåðåìåííîé u è ïðèðàâíèâàÿ
ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ê íóëþ, ïîëó÷àåì ãàðìîíè÷åñêîå óñëîâèå ïðåäåëü-
íîñòè ðåæèìà:
dw
du
S t
d
du
i u
di
du
u
u� � � � � �2 2 2 0sin ( )� �
�
, (7)
ãäå
di
du
dI
du
t I t
d
du
m
i m i
i� � � �
�
�
�
�sin ( ) cos ( )� � � �
�
. (8)
Êàê ñëåäóåò èç âûðàæåíèé (5), (6) è (7), (8), â ëþáîì ðåæèìå ðàññìàò-
ðèâàåìîé äâóõóçëîâîé ñõåìû èçâåñòíû âñå âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â (7), (8), çà
èñêëþ÷åíèåì äâóõ îòíîøåíèé äèôôåðåíöèàëîâ: d duu� / è dU dum / . Ïîýòî-
ìó ïåðåä òåì, êàê ïåðåéòè ê àíàëèçó ïðåäåëüíîñòè òîãî èëè èíîãî ðåæèìà,
îïðåäåëèì, ÷åìó ðàâíû óêàçàííûå îòíîøåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ.
Åñëè ãàðìîíè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ u U tm u� �sin ( )� � ïîëó÷èëà íåêîòîðîå
ïðèðàùåíèå â âèäå ïðèðàùåíèÿ àìïëèòóäû �U m è ïðèðàùåíèÿ ôàçîâîãî
óãëà � � u (óãëîâóþ ñêîðîñòü � â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåì ïîñòîÿííîé),
òî ïðèðàùåíèå òàêîé ôóíêöèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
� � �u U U t U tm m u u m u� � � � � �( ) sin ( ) sin ( )� � � � � .
Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ïðèðàùåíèÿ ôàçîâîãî óãëà ê ïðèðàùåíèþ
ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè èìååò âèä
�
�
�
� �
� �
� � � � �
u u
m m u u m uu U U t U t
�
� � � � �( ) sin ( ) sin ( )
. (9)
Ðàçäåëèâ ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü âûðàæåíèÿ (9) íà � � u , ïðåäâàðèòåëüíî
âûïîëíèâ â çíàìåíàòåëå ïðîñòûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ïðåîáðàçîâàíèÿ è
ïåðåéäÿ îò ïðèðàùåíèé ê äèôôåðåíöèàëàì, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðà-
æåíèå äëÿ èñêîìîãî îòíîøåíèÿ äèôôåðåíöèàëîâ
d
du K t U t
u
u u m u
�
� � � �
�
� � �
1
sin ( ) cos ( )
, (10)
ãäå K dU du m u� / � . Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå
dU
du
K
K t U t
m u
u u m u
�
� � �sin ( ) cos ( )� � � �
. (11)
Êàê ñëåäóåò èç âûðàæåíèé (10), (11), îòíîøåíèÿ äèôôåðåíöèàëà ôàçî-
âîãî óãëà ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ê äèôôåðåíöèàëó ñàìîé ãàðìîíè÷åñêîé
Ñ.È. Êëèïêîâ
116 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
ôóíêöèè è äèôôåðåíöèàëà àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ê äèô-
ôåðåíöèàëó ñàìîé ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé â îáùåì
ñëó÷àå íåãàðìîíè÷åñêèå âåëè÷èíû, çàâèñÿùèå îò îòíîøåíèÿ äèôôåðåí-
öèàëà àìïëèòóäû ê äèôôåðåíöèàëó ôàçîâîãî óãëà. Ïîýòîìó âûðàæåíèÿ
(10), (11) áóäåì íàçûâàòü â äàëüíåéøåì ïñåâäîïðîèçâîäíûìè. Çàìåòèì,
÷òî ïîíÿòèå ïñåâäîïðîèçâîäíîé äëÿ ôóíêöèé êîìïëåêñíîãî ïåðåìåííîãî
ðàññìàòðèâàëîñü â [3] è ðàíåå. Èç (10) ìîæíî òàêæå ïîëó÷èòü âûðàæåíèå
äëÿ äèôôåðåíöèàëà ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè u U tm u� �sin ( )� � :
du dU t d U t D tm u u m u u u� � � � � �sin ( ) cos ( ) sin ( )� � � � � � � ,
ãäå Du è �u — ìîäóëü è óãîë äèôôåðåíöèàëà du,
D dU
U
K
U
K
u m u
m
u
u u
m
u
u� �
�
�
�
� � �
�
�
�
�cos sin sin cos� � � �
2 2
,
�
� �
� �
u
u u m u
u u m u
K U
K U
�
�
�
�
�
�
�arctg
sin cos
cos sin
. (12)
Òàêèì îáðàçîì, ãàðìîíè÷åñêèé àíàëèç ïðåäåëüíîñòè èññëåäóåìîãî
ðåæèìà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òîáû äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñîâîêóïíîñòè
ðåæèìíûõ õàðàêòåðèñòèê îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé K u , ïðè êîòî-
ðîì dw du/ �0. Ñóùåñòâîâàíèå õîòÿ áû îäíîãî òàêîãî çíà÷åíèÿ ìîæåò
ñâèäåòåëüñòâîâàòü î ïðåäåëüíîñòè ðåæèìà, òàê êàê â ýòîé òî÷êå ðàññìàò-
ðèâàåìàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìîæåò ìåíÿòü çíàê. È íàîáîðîò, åñëè íå ñóùåñòâóåò
íè îäíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé K u , ïðè êîòîðîì âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (7),
ýòî îçíà÷àåò, ÷òî àíàëèçèðóåìûé ðåæèì íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì. Äëÿ
âûïîëíåíèÿ òàêîãî àíàëèçà ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå (7) ñ ó÷åòîì (5), (6),
(8), (10) è (11) è ðàçëîæèì ãàðìîíè÷åñêèå ÷ëåíû ïîëèíîìà íà îðòîãîíàëü-
íûå ãàðìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå óñ-
ëîâèå ïðåäåëüíîñòè:
dw
du
A A t A ts c� � � �0 2 22 2 0sin cos� � , (13)
ãäå A0, As2, Ac2 — êîýôôèöèåíòû,
A A K Au0 01
0
00� � , A A K As s u
s
s2 21
2
20� � , A A K Ac c u
c
c2 21
2
20� � . (14)
Âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ A01, A00, As21, As20, Ac21, Ac20 ïðèâåäåíû â [7].
Èõ çíà÷åíèÿ çàâèñÿò òîëüêî îò õàðàêòåðèñòèê êîíêðåòíîãî ðåæèìà.
Ðàâåíñòâî íóëþ ãàðìîíè÷åñêîãî ïîëèíîìà (13) òðåáóåò ñîâìåñòíîãî
âûïîëíåíèÿ òðåõ óñëîâèé: A0 0� , As2 0� è Ac2 0� , êàæäîå èç êîòîðûõ ïîçâî-
ëÿåò îïðåäåëèòü çíà÷åíèå ïåðåìåííîé K u . Ïîýòîìó óñëîâèå ïðåäåëüíîñòè
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 117
ðåæèìà ñîîòâåòñòâóåò òàêîìó ñî÷åòàíèþ ðåæèìíûõ õàðàêòåðèñòèê, ïðè
êîòîðîì ïîëó÷åííûå èç òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé (14) çíà÷åíèÿ K u áóäóò
ñîâïàäàòü. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, îçíà÷àåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå îòíîøåíèå
äèôôåðåíöèàëîâ K dU du m u� / � , âõîäÿùåå â ñîñòàâ ïñåâäîïðîèçâîäíûõ
(10), (11), ïðè êîòîðîì ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ âûðàæåíèå (13).
Ïðèìåðû è àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ.  êà÷åñòâå ïðîñòîãî
ïðèìåðà ðàññìîòðèì ðåæèìíûå õàðàêòåðèñòèêè ïðè äâóõ çíà÷åíèÿõ P è Q
â äâóõóçëîâîé ñõåìå ñ ïàðàìåòðàìè âåòâè r �5 Îì, �L �10 Îì è äåéñò-
âóþùèì çíà÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ â áàëàíñèðóþùåì óçëå U á. ó � 500 êÂ.
1. P �24000 ÌÂò, Q �8000 ÌÂÀð. Ýòà òî÷êà ðàñïîëîæåíà â îáëàñòè
ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, ïîýòîìó â íåé ñóùåñòâóþò äâà
ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèõ (4):
1)U m
1 984965� , êÂ, � u
1 35052� , °;
2)U m
2 57432� , êÂ, � u
2 99948� , ° .
Äëÿ ïåðâîãî ðåøåíèÿ çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ â (14) ñëåäóþùèå [7]:
A01 44 06565� � , , A00 30806 24847� , , As21 25 26359� � , , As20 2740312424� , ,
Ac21 5968041� , , Ac20 1480624847� � , . Ïîýòîìó ïåðåìåííûå ïñåâäîïðîèç-
âîäíûõ, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé, ïðèíèìàþò
çíà÷åíèÿ: K u
0 699 099� � , , K u
s2 1084 689� � , , K u
c2 248 092� � , ..
Çíà÷åíèÿ àíàëèçèðóåìûõ âåëè÷èí äëÿ âòîðîãî ðåøåíèÿ ñëåäóþùèå:
A01 53 27493� � , , A00 5193 75153� , , As21 16 56959� � , , As20 14596 87576� , ,
Ac21 62 6534� � , , Ac20 10806 24847� , , K u
0 97 49� � , , K u
s2 880 944� � , , K u
c2 �
� �172 477, .
Òàêèì îáðàçîì, íè â îäíîì èç ðåøåíèé àíàëèçèðóåìûå ïåðåìåííûå
ïñåâäîïðîèçâîäíûõ íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïîýòîìó àíàëèçèðóåìàÿ òî÷êà
îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìîâ ïðè ñôîðìóëèðîâàííîì âûøå óñëîâèè
íå ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé.
2. P � 40000 ÌÂò, Q � 4000 ÌÂÀð. Ðàññìàòðèâàåìàÿ òî÷êà ðàñïîëî-
æåíà âíå îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìîâ [7]. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ðåøåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ãèïåðêîìïëåêñ-
íîå óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ îáîáùåíèåì (àíàëèòè÷åñêèì ïðîäîëæåíèåì)
êîìïëåêñíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ðàâíîâåñíîå ñîñòîÿíèå àíàëèçè-
ðóåìîãî óçëà. Òîãäà ãèïåðêîìïëåêñíîå óðàâíåíèå çàïèøåì â âèäå [3]
IU YUU YU U S
~
�
~
�
~
�� � �á. ó , (15)
ãäå I I I i� �� �
ä ì — ãèïåðêîìïëåêñíûé óçëîâîé òîê; U U U i� �� �
ä ì — ãèïåð-
êîìïëåêñíîå óçëîâîå íàïðÿæåíèå;
~
� �U U U i� �ä ì — ÷àñòè÷íî-ñîïðÿæåííîå
ãèïåðêîìïëåêñíîå óçëîâîå íàïðÿæåíèå; �Y — êîìïëåêñíàÿ ïðîâîäèìîñòü
âåòâè. Çäåñü, òîêè è íàïðÿæåíèÿ ïðåäñòàâëåíû ãèïåðêîìïëåêñíûìè ÷èñ-
ëàìè â âèäå äåéñòâèòåëüíûõ ( �I ä , �U ä ) è ìíèìûõ ( �I ì, �U ì) êîìïëåêñíûõ
Ñ.È. Êëèïêîâ
118 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
ñîñòàâëÿþùèõ. Èñïîëüçóåìûå ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà ÿâëÿþòñÿ ýëåìåí-
òàìè ïàðàìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñ îïåðàöèåé óìíî-
æåíèÿ, çàâèñÿùåé îò ïàðàìåòðà ãèïåðêîìïëåêñíîé ñèñòåìû k [5, 6].
Åñëè k �0, òî ñîîòâåòñòâóþùóþ ãèïåðêîìïëåêñíóþ ñèñòåìó ñîñòàâ-
ëÿþò êâàäðèïëåêñíûå ÷èñëà, åñëè k �1— êâàòåðíèîíû. Ïðè äðóãèõ çíà÷å-
íèÿõ k ïðîäóöèðóåìûå ãèïåðêîìïëåêñíûå ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ ñëîæíûìè
íåêîììóòàòèâíûìè, íåàññîöèàòèâíûìè àëãåáðàìè. Òåì íå ìåíåå, îíè ïîç-
âîëÿþò ïîëó÷èòü ãèïåðêîìïëåêñíûå ðåøåíèÿ â ñëó÷àÿõ, êîãäà êîìïëåêñ-
íûõ ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò.
Ïåðåõîä îò ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êè P � 40000 ÌÂò, Q � 4000 ÌÂÀð ê
ãðàíèöå îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ äëÿ êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë è êâàòåðíèî-
íîâ ïîêàçàí â [7].  äàííîì ñëó÷àå êîìïëåêñíûå ñîñòàâëÿþùèå êâàäðè-
ïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ ñëåäóþùèå: �U jä
êä � �250 760, � ,U jì
êä � �524 5 0. Ïðå-
äåëüíàÿ òî÷êà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâóåò �U ä
êä , òàê êàê äëÿ
ðàññìàòðèâàåìîé ïðîñòîé ñõåìû ��U U á. ó /2, ÷òî è ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì
ïðåäåëüíîñòè.
Ðàññìàòðèâàåìàÿ ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé áèôóðêàöèè äâóõ
êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé [8], â êîòîðîé îíè, ïåðåä òåì êàê ñòàòü äâóìÿ
ãèïåðêîìïëåêñíûìè ðåøåíèÿìè, ñëèâàþòñÿ.  ýòîé òî÷êå óçëîâûå ìîù-
íîñòè ïðèíèìàþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: P �51004 ÌÂò, Q � 26008 ÌÂÀð.
Ïðè ýòîì U m
ïð �1131 459, êÂ, � u
ïð � �71792, , A01 67 70726� � , , A00 25200 0� , ,
As21 9511257� � , , As20 35400 0� , , Ac21 13 97134� � , , Ac20 5200 0� , .
Êàê ñëåäóåò èç (14), èñêîìûå ïåðåìåííûå ïñåâäîïðîèçâîäíûõ â äàí-
íîì ñëó÷àå ðàâíû ìåæäó ñîáîé: K K Ku u
s
u
c0 2 2 372191� � � � , . Ñëåäîâà-
òåëüíî, ñóùåñòâóåò òàêîå îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ, K dU du m u� �/ �
� �372 191, , ïðè êîòîðîì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (7) è (13). Ïîýòîìó â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé òî÷êå ïðåäåëüíûé îòíîñèòåëüíî ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèì ÿâ-
ëÿåòñÿ ïðåäåëüíûì è îòíîñèòåëüíî ñôîðìóëèðîâàííîãî âûøå ãàðìîíè-
÷åñêîãî ïîäõîäà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî óãîë � íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ
ðåæèìà ïðè ðàâåíñòâå íóëþ ðàññìàòðèâàåìîé â [3] ïñåâäîïðîèçâîäíîé
óðàâíåíèÿ áàëàíñà êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè â àíàëèçèðóåìîì óçëå,
d S dU YU Ie j� � / � � � �� � � 2� , (16)
îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
� � �� �k ä ì. (17)
Ïîñêîëüêó â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå k �0, � ä arctg�
760
250
= � u
ïð � �71792, ,
� ì arctg� �
0
524 5
0
,
, òî è � �0. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (12), âû÷èñëèì óãîë
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 119
äèôôåðåíöèàëà ìãíîâåííîãî íàïðÿæåíèÿ �u , ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëó÷åííî-
ìó çíà÷åíèþ K u .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì �u �0. Òàêèì îáðàçîì, óãëû � è �u ,
ñîîòâåòñòâóþùèå ïðåäåëüíîìó ðåæèìó, â äàííîì ñëó÷àå ñîâïàäàþò.
Êîìïëåêñíûå ñîñòàâëÿþùèå êâàòåðíèîííîãî ðåøåíèÿ â ðàññìàòðè-
âàåìîé òî÷êå èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: � ,U jä
êâ � �250 453582, �U ì
êâ �
� �205 480 372 808, ,j [7]. Òî÷êà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ êîìïëåêñíîìó íàïðÿæå-
íèþ �U ä
êâ (U m
ïð � 732 443, êÂ, � u
ïð � �61138, , P �23872 718, ÌÂò, Q �2387 272,
ÌÂÀð), òàêæå êàê è â ñëó÷àå êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë, ÿâëÿåòñÿ ïðåäåëüíîé
ïî óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà. Ïðè ýòîì A01 �
� �47 24214, , A00 1907163291� , , As21 57 32794� � , , As20 23143 26582� , , Ac21 �
�2 29965, , Ac20 928 36709� � , , K K Ku u
s
u
c0 2 2 403 6996� � � � , . Ñëåäîâàòåëüíî, â
äàííîé ïðåäåëüíîé òî÷êå òàêæå ñóùåñòâóåò îòíîøåíèå äèôôåðåíöèàëîâ
K dU du m u� � �/ ,� 403 6996, ïðè êîòîðîì âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (7) è (13).
Ïîýòîìó ïîëó÷åííàÿ íà îñíîâàíèè êâàòåðíèîííîãî ðåøåíèÿ ïðåäåëüíàÿ
ïî óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ïðå-
äåëüíîé è îòíîñèòåëüíî ãàðìîíè÷åñêîãî ïîõîäà.  ýòîé ïðåäåëüíîé òî÷êå
àíàëèçèðóåìûå óãëû èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: � ä � �61 138, , � ì �
� � �61138, , � = 0, �u �0. Òàêèì îáðàçîì, â ýòîì ñëó÷àå óãëû äèôôåðåíöèàëîâ
êîìïëåêñíîãî � è ìãíîâåííîãî �u íàïðÿæåíèé òàêæå ñîâïàäàþò.
Ðàññìîòðèì áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé — òðåõóçëîâóþ ðàçîìêíóòóþ ÝÑ
ñ áàëàíñèðóþùèì óçëîì 3 â êîíöå. Ïðèâåäåííàÿ íà ðèñóíêå ðàñ÷åòíàÿ
ñõåìà ÝÑ èìååò ñëåäóþùèå ïàðàìåòðû: r12 10� Îì, �L12 25� Îì, r23 5� Îì,
�L23 30� Îì. Ïðè ýòîì z r L12 12
2
12
2� � ( )� è z r L23 23
2
23
2� � ( )� . Óñòàíî-
âèâøèéñÿ ðåæèì â ýòîé ñõåìå îïèñûâàåòñÿ äâóìÿ óðàâíåíèÿìè, êîòîðûå
îòðàæàþò áàëàíñ (ðàâíîâåñèå) ýëåêòðè÷åñêèõ ìîùíîñòåé â íåçàâèñèìûõ
óçëàõ 1, 2 â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè:
w P S t u iu1 1 1 1 1 122 2 0� � � � � �cos ( )� � � ,
w P S t u i u iu2 2 2 2 2 2 21 2 232 2 0� � � � � � �cos ( )� � . (18)
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå, ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ïñåâäîïðîèç-
âîäíûõ (10), (11) è ïðåäñòàâëÿþùèå ñîáîé ýëåìåíòû ãàðìîíè÷åñêîé ìàò-
Ñ.È. Êëèïêîâ
120 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
3
Z 12
P1, Q
1
1 2
P2, Q 2
500 êÂ
Z 23
ðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ, äëÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (18) èìåþò âèä
a
dw
du
S t
d
du
i u
di
du
u
u
11
1
1
1 1 1
1
1
12 1
122 2 2� � � � � �sin ( )� �
�
1
,
a
dw
du
u
di
du
12
1
2
1
12
2
� � , a
dw
du
u
di
du
21
2
1
2
21
1
� � , (19)
a
dw
du
S t
d
du
i u
di
du
u
u
22
2
2
2 2 2
2
2
21 2
212 2 2� � � � � �sin ( )� �
�
2
23 2
23
2
� �i u
di
du
,
à îöåíêà ïðåäåëüíîñòè óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ðàññìàòðèâàåìîé ÝÑ â
äàííîì ñëó÷àå ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ îïðå-
äåëèòåëü
j a a a a� �11 22 21 12 (20)
ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü âûðà-
æåíèå (20) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (5), (6), (8), (10), (11), (19) è ðàçëîæèòü
ãàðìîíè÷åñêèå ÷ëåíû ðåçóëüòèðóþùåãî ïîëèíîìà íà îðòîãîíàëüíûå ãàð-
ìîíè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå. Òîãäà îïðåäåëèòåëü (20) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí
â âèäå
j A A t A t A t A ts c s c� � � � �0 2 2 4 42 2 4 4sin cos sin cos� � � � ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî ðàâåíñòâî íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðè-
öû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ òðåáóåò ðàâåíñòâà íóëþ ïÿòè êîýôôèöèåíòîâ,
A A A A As c s c0 2 2 4 4 0� � � � � , êîòîðûå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì [7]
A A K K A K A K Au u u u0 0 12 1 2 0 1 1 0 2 2 0 0� � � �_ _ _ _ , (21)
A A K K A K A K As s u u s u s u s2 2 12 1 2 2 1 1 2 2 2 2 0� � � �_ _ _ _ , (22)
A A K K A K A K Ac c u u c u c u c2 2 12 1 2 2 1 1 2 2 2 2 0� � � �_ _ _ _ , (23)
A A K K A K A K As s u u s u s u s4 4 12 1 2 4 1 1 4 2 2 4 0� � � �_ _ _ _ , (24)
A A K K A K A K Ac c u u c u c u c4 4 12 1 2 4 1 1 4 2 2 4 0� � � �_ _ _ _ . (25)
Âûðàæåíèÿ (21)—(25), â ñâîþ î÷åðåäü, ñîäåðæàò êîýôôèöèåíòû A, çàâèñÿ-
ùèå îò ïàðàìåòðîâ ýëåêòðè÷åñêîé ñõåìû è õàðàêòåðèñòèê óñòàíîâèâøå-
ãîñÿ ðåæèìà â èññëåäóåìîé òî÷êå, à òàêæå ïåðåìåííûå ïñåâäîïðîèç-
âîäíûõ K dU du m u1 1 1� / � , K dU du m u2 2 2� / � , ÿâëÿþùèåñÿ îòíîøåíèÿìè
äèôôåðåíöèàëîâ àìïëèòóä ê äèôôåðåíöèàëàì ôàçîâûõ óãëîâ ãàðìîíè-
÷åñêèõ íàïðÿæåíèé.
Òàêèì îáðàçîì, îöåíêà ïðåäåëüíîñòè ðåæèìà â äàííîì ñëó÷àå ñâî-
äèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé K u1,
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 121
K u2, ïðè êîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿ (21)—(25) ïðèíèìàëè áû íóëåâûå çíà÷å-
íèÿ. Â ðàññìîòðåííîì âûøå ïðèìåðå äâóõóçëîâîé ñõåìû ÝÑ óñëîâèåì
ïðåäåëüíîñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìà ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî íóëþ òðåõ êîýô-
ôèöèåíòîâ,
A A As c0 2 2 0� � � , (26)
êîòîðîå ñâÿçàíî ñ âîçìîæíîñòüþ èçìåíåíèÿ çíàêîâ ïîñòîÿííîé ñîñòàâ-
ëÿþùåé è ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé óäâîåííîé óãëîâîé ÷àñòîòû �
îïðåäåëèòåëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ.  ñëó÷àå
òðåõóçëîâîé ÝÑ äîáàâëÿåòñÿ óñëîâèå A As c4 4 0� � , ïðè êîòîðîì âîçìîæíî
èçìåíåíèÿ çíàêà ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ó÷åòâåðåííîé óãëîâîé ÷àñ-
òîòû. Ïîýòîìó öåëåñîîáðàçíî èññëåäîâàòü ðàññìàòðèâàåìûå óñëîâèÿ è â
îòäåëüíîñòè, è â ñîâîêóïíîñòè.
Èç ñîîòíîøåíèé (24), (25) âûòåêàåò, ÷òî çíà÷åíèÿ K u1 è K u2, ñîîòâåòñò-
âóþùèå íóëåâûì ëåâûì ÷àñòÿì (26), ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû â ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ
K B K Bu u1
2
1 1 0 0� � � (27)
ñ äåéñòâèòåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè B1, B0:
B
A A A A A A A A
A
s c s c s c s c
s
1
4 0 4 12 4 1 4 2 4 12 4 0 4 2 4 1�
� � �_ _ _ _ _ _ _ _
4 1 4 12 4 12 4 1_ _ _ _A A Ac s c�
,
B
A A A A
A A A A
s ñ s c
s c s c
0
4 0 4 2 4 2 4 0
4 1 4 12 4 12 4 1
�
�
�
_ _ _ _
_ _ _ _
.
(28)
Ïðè ýòîì K
A K A
A K A
u
c u c
c u c
2
4 1 1 4 0
4 12 1 4 2
� �
�
�
_ _
_ _
. Àíàëîãè÷íûå ôîðìóëû ìîãóò áûòü
èñïîëüçîâàíû äëÿ îïðåäåëåíèÿ çíà÷åíèé K u1 è K u2, ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðàâåíñòâó íóëþ ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé óäâîåííîé ÷àñòîòû.
Ðàññìîòðèì òî÷êó P1 7000� ÌÂò, Q1 3000� ÌÂÀð, P2 3000� ÌÂò,
Q2 1000� ÌÂÀð, ðàñïîëîæåííóþ âíå îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâ-
øèõñÿ ðåæèìîâ àíàëèçèðóåìîé òðåõóçëîâîé ÝÑ. Êàê è âûøå, äëÿ ãèïåð-
êîìïëåêñíûõ ðåøåíèé â äàííîé òî÷êå èñïîëüçóåì êâàòåðíèîííûå è êâàä-
ðèïëåêñíûå óðàâíåíèÿ.
Êâàòåðíèîíû (k = 1):
U j j i1 216362 543319 201761 406571� � � �, , ( , , ) ;
U j j i2 302872 342314 147 57 245612� � � �, , ( , , ) ;
U j j i3 500 0 0 0� � � �( ) .
Ñ.È. Êëèïêîâ
122 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Êâàäðèïëåêñíûå ÷èñëà (k = 0):
U j j i1 200547 863696 57537 15989� � � �, , ( , , ) ;
U j j i2 283 786 52626 349 776 19166� � � �, , ( , , ) ;
U j j i3 500 0 0 0� � � �( ) .
Ââåäåíèå ðåæèìà â îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ñîîò-
âåòñòâóåò ïåðåõîäó ê äåéñòâèòåëüíûì êîìïëåêñíûì ñîñòàâëÿþùèì ãè-
ïåðêîìïëåêñíûõ ðåøåíèé.  ðåçóëüòàòå äëÿ êâàòåðíèîíîâ ïîëó÷àåì ñëå-
äóþùèå çíà÷åíèÿ õàðàêòåðèñòèê: � � , ,U U j1 216 362 543 319� � �1ä
êâ , � �U U2 � �2ä
êâ
� �302 872 342 314, ,j , ÷òî ñîîòâåòñòâóåò U m1 827 052� , êÂ, � �ä1 � �u1
� 68 286, �, U m2 646 39� , êÂ, � � �ä2 u2 48 498� �, . Ïðè ýòîì � �ì1 � �63 607, ,
� � � �ì2 5 002, � è â ñîîòâåòñòâèè ñ (17) � �1 4 679, �, � � ��2 � �,503 .
Èñïîëüçóÿ ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ As4 è Ac4 (ñì. òàáëèöó),
íà îñíîâàíèè âûðàæåíèé (28) âû÷èñëÿåì äåéñòâèòåëüíûå êîýôôèöèåíòû
êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (27): B1 805 06� , , B0 161968122� , . Â ðåçóëüòàòå
ðåøåíèÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (27) ïîëó÷àåì äâå ïàðû çíà÷åíèé:
K u1
1 394 636� � , , K u2
1 433 489� � , è K u1
2 410 424� � , , K u2
2 398 367� � , . Çàìåòèì,
÷òî ïðè ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèÿõ íè îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ A0, As2 è Ac2,
îïðåäåëÿåìûõ èç ñîîòíîøåíèé (21)—(23) ñ èñïîëüçîâàíèåì ÷èñëîâûõ
äàííûõ, ïðèâåäåííûõ â òàáëèöå, íå ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ. Ñëåäî-
âàòåëüíî, â àíàëèçèðóåìîé òî÷êå îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ íå ìîæåò áûòü
ðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëè-
æåíèÿ â öåëîì.  äàííîì ñëó÷àå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü òîëüêî âûðîæäåííóþ
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 123
Êîýôôèöèåíò A_ 12 A_ 1 A_ 2 A_ 0
A0
63980958 405
119078323 731
,
,
164 088
370 561
,
,
187263 166
417041 326
,
,
51097 044
87271 486
,
,
As2
101521567 548
221736424 972
,
,
224 251
524 066
,
,
259777 337
582660 389
,
,
94952 894
230985 033
,
,
Ac 2
3905018 4
49538184 223
,
,
�
182 175
195 318
,
,
12627 315
203727 61
,
,
�
69961 592
97531172
,
,
As4
10622149 754
75750566 073
,
,
�
138 496
170 58
,
,
4510 259
137253 152
,
,
�34257 798
3369 707
,
,
Ac 4
�
35752774 376
60211587 018
,
,
�
71 926
294 314
,
,
�
73199 466
140594 07
,
,
�
44222 818
123772 892
,
,
Ïðèìå÷àíèå: íàä ÷åðòîé óêàçàíû çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ À äëÿ êâàòåðíèîíîâ, ïîä
÷åðòîé — äëÿ êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë.
ãàðìîíè÷åñêóþ ñîñòàâëÿþùóþ ó÷åòâåðåííîé óãëîâîé ÷àñòîòû, êîòîðàÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ ëèøü îäíîé èç ñîñòàâëÿþùèõ óêàçàííîãî îïðåäåëèòåëÿ.
Òåïåðü, èñïîëüçîâàâ (12), îïðåäåëèì óãëû �u â óçëàõ 1, 2 (ñì. ðèñó-
íîê), ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëó÷åííûì çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ K u .  ðåçóëü-
òàòå ïîëó÷èì: �u1
1 3 795� �, , �u2
1 7 655� � �, è �u1
2 4679� �, , �u2
2 10 503� � �, . Ñðàâ-
íèâàÿ â àíàëèçèðóåìîé òî÷êå îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ ðåæèìîâ óãëû
íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ ðåæèìà (óãëû êîìïëåêñíûõ ïðèðàùåíèé íàïðÿ-
æåíèé), ïðè êîòîðûõ îïðåäåëèòåëü êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèá-
ëèæåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ (17), è óãëû äèôôåðåíöèàëîâ ìãíîâåí-
íûõ íàïðÿæåíèé, ïðè êîòîðûõ As4 è Ac4 ïðèíèìàþò íóëåâûå çíà÷åíèÿ,
îáíàðóæèâàåì ñëåäóþùåå ñîâïàäåíèå: � �1 1
2� u è � �2 2
2� u .
Òàêèì îáðàçîì, âîçìîæíîìó èçìåíåíèþ çíàêà îïðåäåëèòåëÿ êîìï-
ëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò
âîçìîæíîå èçìåíåíèå çíàêà ãàðìîíè÷åñêîé ñîñòàâëÿþùåé ó÷åòâåðåííîé
÷àñòîòû, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ëèøü îäíîé èç ñîñòàâëÿþùèõ îïðåäåëèòåëÿ
ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Çíàê ñàìîãî îïðåäåëèòåëÿ
â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå èçìåíèòüñÿ íå ìîæåò.
Ýëåìåíòû êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ñ ó÷åòîì
ïñåâäîïðîèçâîäíîé (16) â îáùåì ñëó÷àå îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì [3]
� � � �J Y U I eff f f f
j f� � � 2�
, � � �J Y Uf l f l f� � , ãäå �U f è �U l — êîìïëåêñíûå íàïðÿ-
æåíèÿ â ðàññìàòðèâàåìîì è ñìåæíûõ óçëàõ; �I f — êîìïëåêñíûé óçëîâîé
òîê â ðàññìàòðèâàåìîì óçëå. Ïîýòîìó ïðè � �1 1
1� u , � �2 2
1� u , äëÿ êîòîðûõ
âåëè÷èíû As4 è Ac4 ðàâíû íóëþ, ýëåìåíòû êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî
ïðèáëèæåíèÿ èìåþò çíà÷åíèÿ � , , ,J j11 9 303 10 008� � � � , , ,J j12 15 751 14 955� �
� , , ,J j21 7 626 15165� � � , ,J j22 13 602 23 304� � � , à åå îïðåäåëèòåëü ñòàíîâèòñÿ
ðàâíûì íóëþ. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî â àíàëèçèðóåìîé òðåõóçëîâîé
ðàçîìêíóòîé ñõåìå ìîæåò ñóùåñòâîâàòü äâà íàïðàâëåíèÿ èçìåíåíèÿ ðå-
æèìà, ñâÿçàííûå ñ ðàâåíñòâîì íóëþ îïðåäåëèòåëÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû
ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ [3]. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â òî÷êàõ îáëàñòè ñóùåñò-
âîâàíèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ, â êîòîðûõ íå ñóùåñòâóåò óãëîâ �,
ñîîòâåòñòâóþùèõ îïðåäåëèòåëþ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëè-
æåíèÿ, ðàâíîìó íóëþ, íå ñóùåñòâóåò äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèé êâàäðàò-
íîãî óðàâíåíèÿ (27), îïðåäåëÿþùåãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ K u1, K u2.
Òåïåðü ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè êâàäðèïëåêñíîãî ðåøåíèÿ. Â ýòîì
ñëó÷àå â óðàâíåíèÿõ ïàðàìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë
k �0. Êàê è ðàíåå, â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ââåäåíèå ðåæèìà â îáëàñòü
ñóùåñòâîâàíèÿ ñîîòâåòñòâóåò ïåðåõîäó ê äåéñòâèòåëüíûì êîìïëåêñíûì
ñîñòàâëÿþùèì êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë: � � , ,U U j1 200 547 863 696� � �1ä
êä , �U 2 �
� � �� , ,U j2ä
êä 283 786 526 26 è U m1 1253 946� , êÂ, � � �ä1 u1 76 928� �, ,
U m2 � 845 558, êÂ,� � �ä2 u2 61 664� �, . Ïðè ýòîì� ì1 � �1 592, ,� ì2 � �3 136,
è â ñîîòâåòñòâèè ñ (17) �1 � �1592, , � 2 � �3 136, .
Ñ.È. Êëèïêîâ
124 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
Íà îñíîâàíèè ÷èñëåííûõ çíà÷åíèé As4 è Ac4 âû÷èñëèì êîýôôèöèåíòû
êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ (27), B1 762 369� , , B0 142486 083� , , è ñîîòâåòñòâóþ-
ùèå èì äâå ïàðû èñêîìûõ ïåðåìåííûõ: K u1
1 328 124� � , , K u2
1 517 593� � , è
K u1
2 434245� � , , K u2
2 208 529� � , .
 îòëè÷èå îò òî÷êè îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ, ïîëó÷åííîé ñ èñïîëüçî-
âàíèåì êâàòåðíèîííîãî ðåøåíèÿ, ïåðâàÿ ïàðà ðåøåíèé, êàê è (24), (25),
óäîâëåòâîðÿåò òàêæå óðàâíåíèÿì (21)—(23). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïåðåìåí-
íûõ ïñåâäîïðîèçâîäíûõ K u , ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðâîé ïàðå, âñå ñîñòàâ-
ëÿþùèå îïðåäåëèòåëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ
ïðèíèìàþò íóëåâîå çíà÷åíèå, ò.å. A As c4 4 0� � , è A A As c0 2 2 0� � � . Óñòàíî-
âèâøèåñÿ ðåæèìû, ñîîòâåòñòâóþùèå äåéñòâèòåëüíûì êîìïëåêñíûì ñîñ-
òàâëÿþùèì êâàäðèïëåêñíîãî ðåøåíèÿ ( )k �0 , ïðèíàäëåæàò äèñêðèìèíàíò-
íîé ïîâåðõíîñòè îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ, â òî÷êàõ êîòîðîé óñëîâèÿ ñó-
ùåñòâîâàíèÿ íàðóøàþòñÿ [3].
Îïðåäåëèâ íà îñíîâàíèè (12) óãëû äèôôåðåíöèàëîâ ìãíîâåííûõ íà-
ïðÿæåíèé â óçëàõ 1, 2 (ñì. ðèñóíîê), ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì ïåðå-
ìåííûõ K u , ïîëó÷èì çíà÷åíèÿ �u1
1 1 592� �, , �u2
1 3 136� �, è �u1
2 6 029� �, ,
�u2
2 14 482� � �, , êîòîðûå ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè óãëîâ ïðè êâàäðèïëåêñ-
íîì ðåøåíèè (� �1 1
1 1 592� � �u , , � �2 2
1 3 136� � �u , ), à òàêæå óãëîâ, ñîîòâåòñò-
âóþùèõ âûðîæäåíèþ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ [3].
Âûâîäû
Ïîñòðîåíèå ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ äëÿ óðàâíåíèé
áàëàíñà ìãíîâåííûõ ìîùíîñòåé â óçëàõ ÝÑ ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî
òîëüêî íà îñíîâå ââåäåíèÿ ïñåâäîïðîèçâîäíûõ (10), (11), êîòîðûå çàâèñÿò
îò îòíîøåíèÿ äèôôåðåíöèàëà àìïëèòóäû ãàðìîíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ ê
äèôôåðåíöèàëó ôàçû. Òî÷íî òàê æå ïîñòðîåíèå êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåð-
âîãî ïðèáëèæåíèÿ êîìïëåêñíûõ óðàâíåíèé óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà âîç-
ìîæíî òîëüêî ñ èñïîëüçîâàíèåì ïîíÿòèÿ ïñåâäîïðîèçâîäíîé íåàíàëèòè÷åñ-
êîé çàâèñèìîñòè êîìïëåêñíîé ìîùíîñòè îò êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ.
Èçìåíåíèå çíàêà îïðåäåëèòåëÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèá-
ëèæåíèÿ â òî÷êàõ äèñêðèìèíàíòíîé ïîâåðõíîñòè îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ
óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ÝÑ ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà îïðåäåëèòå-
ëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïðè ýòîì óãëû äèôôå-
ðåíöèàëîâ êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ è ôàçû äèôôåðåíöèàëîâ ìãíîâåííîãî
íàïðÿæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâó íóëþ êîìïëåêñíîãî è ãàðìîíè-
÷åñêîãî îïðåäåëèòåëåé, îäèíàêîâû.
Èçìåíåíèå çíàêà îïðåäåëèòåëÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèá-
ëèæåíèÿ âíóòðè îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìîâ ÝÑ
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 125
ñîîòâåòñòâóåò èçìåíåíèþ çíàêà òîëüêî îäíîé èç ñîñòàâëÿþùèõ îïðåäå-
ëèòåëÿ ãàðìîíè÷åñêîé ìàòðèöû ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ. Ïðè ýòîì óãëû
äèôôåðåíöèàëîâ êîìïëåêñíîãî íàïðÿæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâó
íóëþ êîìïëåêñíîãî îïðåäåëèòåëÿ, è ôàçû äèôôåðåíöèàëîâ ìãíîâåííîãî
íàïðÿæåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâó íóëþ ýòîé ãàðìîíè÷åñêîé ñîñ-
òàâëÿþùåé, òàêæå ñîâïàäàþò.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Áåëüêèíä Ë.Ä. ×àðëüç Ïðîòåóñ Øòåéíìåö. — Ì. : Íàóêà, 1965. — 222 ñ.
2. Àíãî À. Ìàòåìàòèêà äëÿ ýëåêòðî- è ðàäèîèíæåíåðîâ. — Ì. : Íàóêà, 1964. — 771 ñ.
3. Êëèïêîâ Ñ.È. Èñïîëüçîâàíèå ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì äëÿ ìàòåìàòè-
÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì // Ðåºñòðàö³ÿ,
çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2012. —14, ¹ 4. — Ñ. 11—23.
4. Ïîëèâàíîâ Ê.Ì. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõíèêè. Ò. 1. — Ì. : «Ýíåðãèÿ»,
1972. — 240 ñ.
5. Êëèïêîâ Ñ.È. Î íîâîì ïîäõîäå ê ïîñòðîåíèþ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì
ðàíãà äâà íàä ïîëåì êîìïëåêñíûõ ÷èñåë // Óêð. ìàòåìàòè÷í. æóðíàë. — 2011. — 63,
¹ 1. — Ñ. 130—139.
6. Êëèïêîâ Ñ.È. Ãèïåðêîìïëåêñíûå ïàðàìåòðè÷åñêèå ÷èñëîâûå ñèñòåìû â ìàòåìàòè÷åñ-
êîì ìîäåëèðîâàíèè // Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2013. — 15, ¹ 1. —
Ñ. 3—13.
7. Êëèïêîâ Ñ.È. Èñïîëüçîâàíèå ãàðìîíè÷åñêîãî ïîäõîäà ê àíàëèçó ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ
ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì ïåðåìåííîãî òîêà // Ýëåêòðè÷åñêèå ñåòè è ñèñòåìû. — 2010. —
¹ 6. — Ñ. 71—82.
8. Àðíîëüä Â.È. Òåîðèÿ êàòàñòðîô. — Ì. : Çíàíèå, 1981. — 80 ñ.
S.I. Klipkov
FEATURES OF THE HARMONIC ANALYSIS
OF LIMIT MODES OF ELECTRICAL SYSTEMS
The paper deals with the problems of harmonic approach to the analysis of limit modes of electri-
cal systems as the most adequate mathematical model of the process under investigation. A com-
parative analysis with the results of the research of limiting regimes in the framework of complex
and hypercomplex systems of equations of the established regimes is presented.
K e y w o r d s: harmonic analysis, limiting regimes, complex numbers, hypercomplex numbers,
matrix of the first approximation.
REFERENCES
1. Belkind L.D. Charles Proteus Steinmetz. — Moscow: Nauka, 1965. — 222 p. (in Russian).
2. Ango A. Mathematics for electro- and radio-engineers — Moscow: Nauka, 1964. — 771 p.
(in Russian).
3. Klipkov S.I. The Use Hypercomplex Number Systems for Mathematical Modeling of Limit
Modes of Electrical Systems // Data Rec. Storage & Processing. — 2012. — Vol. 14, No 4 . —
P. 11—23 (in Russian).
Ñ.È. Êëèïêîâ
126 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 1
4. Polivanov K.M. Theoretical Bases of Electrical Engineering. Vol. 1.— Moscow: «Energiya»,
1972.— 240 p. (in Russian).
5. Klipkov S.I. On a New Approach to the Construction of Hypercomplex Number Systems of
Rank Two over the Field of Complex Numbers // Ukrainian Mathematical Journal. — 2011. —
Vol. 63, No 1. — P. 130—139 (in Russian).
6. Klipkov S.I. Hypercomplex Parametric Number Systems in the Mathematical Modeling //
Data Rec. Storage & Processing. — 2013. — Vol. 15, No 1. — P. 3—13 (in Russian).
7. Klipkov S.I Using the harmonic approach to the analysis of limit modes of electrical AC sys-
tems // Electrical Networks & Systems. — 2010. — No 6. — P. 71—82 (in Russian).
8. Arnold V.I. Theory of Catastrophes. — Moscow: Znanie, 1981. — 80 p. (in Russian).
Ïîñòóïèëà 15.05.14
ÊËÈÏÊΠÑåðãåé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, íà÷. îòäåëà Ãëàâíîãî èíôîðìàöèîííî- âû÷èñ-
ëèòåëüíîãî öåíòðà ãîñóäàðñòâåííîãî ïðåäïðèÿòèÿ Íàöèîíàëüíàÿ ýíåðãåòè÷åñêàÿ êîìïàíèÿ
«Óêðýíåðãî».  1974 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëå-
äîâàíèé — ýëåêòðîýíåðãåòèêà.
Îñîáåííîñòè ãàðìîíè÷åñêîãî àíàëèçà ïðåäåëüíûõ ðåæèìîâ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 1 127
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101081 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-01T01:04:32Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Клипков, С.И. 2016-05-30T18:07:55Z 2016-05-30T18:07:55Z 2015 Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем / С.И. Клипков // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 1. — С. 113-127. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101081 004.942; 512.554; 621.311 Рассмотрена возможность использования гармонического подхода к анализу предельных режимов электрических систем как наиболее адекватной математической модели исследуемого процесса. Проведен сопоставительный анализ полученных результатов с результатами исследования предельных режимов в рамках комплексных и гиперкомплексных систем уравнений установившихся режимов. Розглянуто можливість використання гармонічного підходу до аналізу граничних режимів електричних систем як найбільш адекватної математичної моделі досліджуваного процесу. Проведено порівняльний аналіз одержаних результатів з результатами дослідження граничних режимів в рамках комплексних та гіперкомплексних систем рівнянь усталених режимів. The paper deals with the problems of harmonic approach to the analysis of limit modes of electrical systems as the most adequate mathematical model of the process under investigation. A comparative analysis with the results of the research of limiting regimes in the framework of complex and hypercomplex systems of equations of the established regimes is presented. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем Features of the harmonic analysis of limit modes of electrical systems Article published earlier |
| spellingShingle | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем Клипков, С.И. Применение методов и средств моделирования |
| title | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| title_alt | Features of the harmonic analysis of limit modes of electrical systems |
| title_full | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| title_fullStr | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| title_full_unstemmed | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| title_short | Особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| title_sort | особенности гармонического анализа предельных режимов электрических систем |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101081 |
| work_keys_str_mv | AT klipkovsi osobennostigarmoničeskogoanalizapredelʹnyhrežimovélektričeskihsistem AT klipkovsi featuresoftheharmonicanalysisoflimitmodesofelectricalsystems |