Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда
Исследован класс некоммутативных гиперкомплексных числовых систем четвертой размерности, построенных с помощью некоммутативной процедуры удвоения Грассмана—Клиффорда систем второй размерности, и установлена их связь с обобщенными кватернионами. Исследованы выполняемые в них операции, а также методы...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2015 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101100 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 17-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859613958450708480 |
|---|---|
| author | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. |
| author_facet | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. |
| citation_txt | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 17-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Исследован класс некоммутативных гиперкомплексных числовых систем четвертой размерности, построенных с помощью некоммутативной процедуры удвоения Грассмана—Клиффорда систем второй размерности, и установлена их связь с обобщенными кватернионами. Исследованы выполняемые в них операции, а также методы вычисления алгебраических характеристик: сопряжения, нормирования, вид делителей нуля.
Досліджено клас некомутативних гіперкомплексних числових систем четвертої вимірності, побудованих за допомогою некомутативної процедури подвоєння Грасмана—Кліфорда систем другої вимірності, та встановлено їхній зв’язок з узагальненими кватерніонами. Досліджено виконання операцій у них, а також методи обчислення алгебраїчних характеристик: спряження, нормування, вигляд дільників нуля.
The class of non-commutative hypercomplex number systems of the 4th dimension constructed by using of non-commutative procedure of Grassman—Clifford doubling of 2-dimensional systems has been investigated in the article and their relationships with the generalized quaternions has been established. Algorithms of operations performance and methods of algebraic characteristics calculation in them, such as conjugation, normalization, a type of zero divisors are investigated
|
| first_indexed | 2025-11-28T15:40:54Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ:004.492
ß.À. Êàëèíîâñêèé, ä-ð òåõí. íàóê, À.Ñ. Òóðåíêî, àñïèðàíò
Èí-ò ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, óë. Í.Øïàêà, 2,
å-mail: kalinovsky@i.ua; asturenko@mail.ru),
Þ.Å. Áîÿðèíîâà, êàíä. òåõí. íàóê, ß.Â. Õèöêî
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû
«Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 03056, Êèåâ, ïð-ò Ïîáåäû, 37,
å-mail: ub@ua.fm; yannuary@yandex.ua)
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ è èõ ñâÿçü
ñ ïðîöåäóðîé óäâîåíèÿ Ãðàññìàíà—Êëèôôîðäà
Èññëåäîâàí êëàññ íåêîììóòàòèâíûõ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì ÷åòâåðòîé ðàç-
ìåðíîñòè, ïîñòðîåííûõ ñ ïîìîùüþ íåêîììóòàòèâíîé ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ Ãðàññìàíà—
Êëèôôîðäà ñèñòåì âòîðîé ðàçìåðíîñòè, è óñòàíîâëåíà èõ ñâÿçü ñ îáîáùåííûìè êâàòåð-
íèîíàìè. Èññëåäîâàíû âûïîëíÿåìûå â íèõ îïåðàöèè, à òàêæå ìåòîäû âû÷èñëåíèÿ àë-
ãåáðàè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê: ñîïðÿæåíèÿ, íîðìèðîâàíèÿ, âèä äåëèòåëåé íóëÿ.
Äîñë³äæåíî êëàñ íåêîìóòàòèâíèõ ã³ïåðêîìïëåêñíèõ ÷èñëîâèõ ñèñòåì ÷åòâåðòî¿ âèì³ð-
íîñò³, ïîáóäîâàíèõ çà äîïîìîãîþ íåêîìóòàòèâíî¿ ïðîöåäóðè ïîäâîºííÿ Ãðàñìàíà—
Êë³ôîðäà ñèñòåì äðóãî¿ âèì³ðíîñò³, òà âñòàíîâëåíî ¿õí³é çâ’ÿçîê ç óçàãàëüíåíèìè êâàòåð-
í³îíàìè. Äîñë³äæåíî âèêîíàííÿ îïåðàö³é ó íèõ, à òàêîæ ìåòîäè îá÷èñëåííÿ àëãåáðà¿÷íèõ
õàðàêòåðèñòèê: ñïðÿæåííÿ, íîðìóâàííÿ, âèãëÿä ä³ëüíèê³â íóëÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êâàòåðíèîí, îáîáùåííûé êâàòåðíèîí, ãèïåðêîìïëåêñíàÿ ÷èñëîâàÿ
ñèñòåìà, äåëèòåëü íóëÿ, ïñåâäîíîðìà, ñîïðÿæåíèå, ïðîöåäóðà óäâîåíèÿ Ãðàññìàíà—
Êëèôôîðäà.
Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû (Ã×Ñ), ÿâëÿþùèåñÿ ðàñøèðåíèåì
ñèñòåìû êîìïëåêñíûõ ÷èñåë [1], øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ â ìåõàíèêå òâåð-
äîãî òåëà — äëÿ îïèñàíèÿ âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå, ïðè ðåøåíèè çàäà÷
íàâèãàöèè, îðèåíòàöèè è óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì; â êîìïüþòåðíîé àíèìà-
öèè, ïðè èññëåäîâàíèè äåôîðìàöèè óïðóãèõ êîíñòðóêöèé, ôèëüòðàöèè
öâåòíûõ èçîáðàæåíèé; â êðèïòîãðàôèè è äðóãèõ íàïðàâëåíèÿõ. Íàõîäÿò
ïðèìåíåíèå è äðóãèå ñèñòåìû èññëåäóåìîãî êëàññà. Ñèñòåìà àíòèêâà-
òåðíèîíîâ Ä ( , , )C W 4 è ñèñòåìà Ä ( , , )W W 4 ïðèìåíÿþòñÿ â ñïåöèàëüíîé
òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè [2], ãäå ñ èõ ïîìîùüþ êîìïàêòíî îïèñûâàþòñÿ
âðàùåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå Ìèíêîâñêîãî. Ñèñòåìû ýòîãî êëàññà öåëåñîîá-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 17
� ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî, 2015
ðàçíî èñïîëüçîâàòü â êðèïòîãðàôèè, â ÷àñòíîñòè â àëãîðèòìàõ ãåíåðàöèè
öèôðîâîé ïîäïèñè è çàäà÷è ðàçäåëåíèÿ ñåêðåòà [3]. Äàííûå àëãîðèòìû
îñíîâàíû íà ïîñòðîåíèè ñèñòåìû îñòàòî÷íûõ êëàññîâ ñ èñïîëüçîâàíèåì
ìîäóëÿðíîé àðèôìåòèêè [3] äëÿ ñèñòåì êîìïëåêñíûõ, äâîéíûõ, äóàëüíûõ
÷èñåë è îáîáùåíû äëÿ Ã×Ñ áîëåå âûñîêèõ ðàçìåðíîñòåé, â òîì ÷èñëå è äëÿ
ñèñòåìû Ä ( , , )C D 4 , ïðèìåíåíèå êîòîðîé ïðèâîäèò ê ïîâûøåíèþ óñòîé-
÷èâîñòè ýòèõ àëãîðèòìîâ.
Ñèñòåìà êîììóòàòèâíûõ êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë ýôôåêòèâíî ïðèìå-
íÿåòñÿ â öèôðîâîé ôèëüòðàöèè ñèãíàëîâ, ÷òî ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ ÷óâñò-
âèòåëüíîñòè ê èñêàæåíèÿì àìïëèòóäíî-÷àñòîòíîé õàðàêòåðèñòèêè ôèëüò-
ðà [4]. Èçó÷àåòñÿ âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ òàêæå ñèñòåì Ä ( , , )D D 4 è
Ä ( , , )W D 4 , ðàçðÿæåííûå òàáëèöû Êåëè êîòîðûõ ïîçâîëÿþò ñîêðàòèòü
îáúåì âû÷èñëåíèé.
Çàäà÷à óñòàíîâëåíèÿ ñâÿçè ìåæäó îáîáùåííûìè êâàòåðíèîíàìè è
ñèñòåìàìè ÷åòâåðòîé ðàçìåðíîñòè, ïîñòðîåííûìè ñ ïîìîùüþ íåêîììóòà-
òèâíîé ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ Ãðàññìàíà—Êëèôôîðäà (ÃÊ-ïðîöåäóðû),
ïðåäñòàâëÿåòñÿ âåñüìà àêòóàëüíîé.
Îáîáùåííûå êâàòåðíèîíû. Âïåðâûå îáîáùåííûå êâàòåðíèîíû áû-
ëè ïðèìåíåíû ïðè èçîáðàæåíèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ãðóïï â
1949 ã. Â ðàáîòå [5] ïðåäñòàâëåíî ðåøåíèå óðàâíåíèé Ýéíøòåéíà ãðàâèòà-
öèîííîãî ïîëÿ ñ ïîìîùüþ ýòèõ êâàòåðíèîíîâ. Îáîáùåííûå êâàòåðíèîíû
èññëåäîâàíû ìíîãèìè àâòîðàìè [6—11]. Ïðîàíàëèçèðóåì íåêîòîðûå ïî-
ëó÷åííûå èìè ðåçóëüòàòû.
Îáîáùåííûé êâàòåðíèîí èìååò âèä
q a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4, (1)
ãäå ai — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; ei , i �2 4,..., , — ìíèìûå åäèíèöû, îïðåäå-
ëÿåìûå èç ñëåäóþùåé òàáëèöû Êåëè:
H e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e e e
e
��
� �
� �
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
� �
� �
4 4 3 2 1e e e e� � ��� �
, (2)
ãäå �� � R. Ïîñêîëüêó e1 — äåéñòâèòåëüíàÿ åäèíèöà, îáîáùåííûé êâà-
òåðíèîí ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé: äåéñòâèòåëüíîé è ìíèìîé, ñîîòâåòñò-
âåííî S q a e( ) � 1 1 è V q a e a e a e( ) � � �2 2 3 3 4 4. Ñëåäîâàòåëüíî, (1) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
q S q V q� �( ) ( ). (3)
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Ñèñòåìà êâàòåðíèîíîâ ïðèíàäëåæèò êëàññó îáîáùåííûõ êâàòåðíèî-
íîâ ïðè � �1, � �1. Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ � è � â (2), ïîëó÷èì òàáëèöó
Êåëè ñèñòåìû êâàòåðíèîíîâ
H e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4 4 3
� �
� �
�e e2 1�
. (4)
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ ïîäðîáíî îïèñàíû â ðàáîòàõ [9,
10]. Îïåðàöèÿ óìíîæåíèÿ ââîäèòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ ëþáûõ äðóãèõ ãè-
ïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ ñëåäóþùåå ïðàâèëî:
( ) ( )a e a e a e a e b e b e b e b e1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 2 2 3 3 4 4� � � � � � �
� � � � �( )a b a b a b a b e1 1 2 2 3 3 4 4 1� � �� ( )a b a b a b a b e2 1 1 2 4 3 3 4 2� � � �� �
� � � � � � � �( ) ( )a b a b a b a b e a b a b a b a b e3 1 4 2 1 3 2 4 3 4 1 3 2 2 3 1 4 4� � . (5)
Ñ ïîìîùüþ (3) ïðàâèëî (5) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
qp S q S p V q V p S q V p S p V q V p V q� � � � �
( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),
ãäå
S q a e( ) � 1 1, S p b e( ) � 1 1, V q V p a b a b a b( ), ( ) � � �� � ��2 2 3 3 4 4;
V p( )
� � � � � �V q a b a b e a b a b e a b a b e( ) ( ) ( ) ( )� �3 4 4 3 2 4 2 2 4 3 2 3 3 2 4.
Ñîïðÿæåíèÿ äëÿ äàííûõ Ã×Ñ ââîäÿòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ êâàòåðíèîíîâ, ò.å.
åñëè èñõîäíîå ÷èñëî q a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4, òî ñîïðÿæåííîå ê íåìó
èìååò âèä
q a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4. (6)
Íà îñíîâå ñîïðÿæåíèÿ ââîäèòñÿ íîðìà, îïðåäåëÿåìàÿ èç ðàâåíñòâà
N q qq qq a a a a( ) � � � � � �1
2
2
2
3
2
4
2� � �� . (7)
 ðàáîòå [9] ðàññìîòðåíû êîíêðåòíûå Ã×Ñ äëÿ ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ
îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ:
1. � �� �1 — H �� — ñèñòåìà êâàòåðíèîíîâ;
2. � �� � �1 1, — H �� — ñèñòåìà àíòèêâàòåðíèîíîâ;
3. � �� �1 0, — H �� — ñèñòåìà ïñåâäî-êâàòåðíèîíîâ;
4. � �� � �1 0, — H �� — ñèñòåìà ïñåâäî-àíòèêâàòåðíèîíîâ;
5. � �� �0 0, — H �� — ñèñòåìà 1/4-êâàòåðíèîíîâ.
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ è èõ ñâÿçü ñ ïðîöåäóðîé óäâîåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 19
Ã×Ñ ÷åòâåðòîé ðàçìåðíîñòè, ïîñòðîåííûå ñ ïîìîùüþ ÃÊ-ïðî-
öåäóðû. Êàê ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé [12], ñóùåñòâóåò ñâÿçü
ìåæäó ñèñòåìàìè, ïîëó÷åííûìè ñ ïîìîùüþ íåêîììóòàòèâíîé ÊÃ-ïðîöå-
äóðû, è îáîáùåííûìè êâàòåðíèîíàìè. Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ ýòîé ñâÿçè ðàñ-
ñìîòðèì ïîñòðîåíèå ñèñòåì, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ íåêîììóòàòèâíîé
ÃÊ-ïðîöåäóðû, è èõ ñâîéñòâà.
Èññëåäóåìûé â ðàáîòå [12] êëàññ íåêîììóòàòèâíûõ Ã×Ñ ÷åòâåðòîé
ðàçìåðíîñòè ñîñòîèò èç íåêîììóòàòèâíûõ óäâîåíèé Ã×Ñ âòîðîé ðàçìåð-
íîñòè ñ ïîìîùüþ ÃÊ-ïðîöåäóðû. Áàçèñ òàêèõ Ã×Ñ ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ
ýëåìåíòîâ: g g g g g e f e f e f e f� �{ , , , } { , , , }1 2 3 4 1 1 1 2 2 1 2 2 . Èññëåäóåìûé êëàññ
Ã×Ñ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè:
1. Ýëåìåíòû áàçèñîâ e1 è f 1 — åäèíè÷íûå ýëåìåíòû ñâîèõ ñèñòåì.
2. Ýëåìåíòû òàáëèöû Êåëè Ã×Ñ g ÿâëÿþòñÿ ïðîèçâåäåíèÿìè âèäà
g g e f e fi k j s t r� , çíà÷åíèå êîòîðûõ ìîæíî âû÷èñëèòü ñ ïîìîùüþ êîììó-
òàöèè ìíîæèòåëåé è èñïîëüçîâàíèÿ òàáëèö Êåëè óäâàèâàåìûõ Ã×Ñ. Ïðè
ýòîì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî e1 è f 1 êîììóòèðóþò ñ e2 è f 2, ò.å. e f f e1 2 2 1� ,
e f f e2 1 1 2� , à ïîñëåäíèå àíòèêîììóòèðóþò ìåæäó ñîáîé, ò.å. e f f e2 2 2 2� � .
Íàïðèìåð,
g g e f e f e e f f e f g1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1� � � � ,
g g e f e f e e f f e f g2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2� � � � ,
g g e f e f e e f f e f g2 3 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 4� � � � � � � ,
g g e f e f e e f f e f f2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2� � � ,
g g e f e f e e f f4 4 2 2 2 2 2 2 2 2� � � .
Ïîñëåäíèå äâà ýëåìåíòà òàáëèöû Êåëè ìîæíî îêîí÷àòåëüíî âû÷èñëèòü
òîëüêî äëÿ êîíêðåòíûõ Ã×Ñ.
3. Ýëåìåíòû òàáëèöû Êåëè, íàõîäÿùèåñÿ ïîä ãëàâíîé äèàãîíàëüþ, íî
íå â ïåðâîì ñòîëáöå, ïðîòèâîïîëîæíû ýëåìåíòàì, ñèììåòðè÷íûì îòíîñè-
òåëüíî ãëàâíîé äèàãîíàëè, ò.å. g g g g3 2 2 3� � ; g g g g4 2 2 4� � ; g g g g4 3 3 4� � .
Ñ ó÷åòîì ýòèõ óñëîâèé îáîáùåííàÿ òàáëèöà Êåëè äëÿ Ã×Ñ èññëå-
äóåìîãî êëàññà èìååò ñëåäóþùèé âèä:
g g g g
g g g g g
g g e f f g e f f
g g g e e f
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 2 2 4 2 2 2
3 3 4 2 2 1
� �
e e f
g g e f f e e f e e f f
2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2� �
. (8)
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Êàê èçâåñòíî [13—16], ñóùåñòâóþò òðè êëàññà èçîìîðôèçìîâ Ã×Ñ
âòîðîé ðàçìåðíîñòè. Âûáåðåì èç ýòèõ êëàññîâ ïî îäíîìó ïðåäñòàâèòåëþ:
ñèñòåìó êîìïëåêñíûõ ÷èñåë C, ñèñòåìó äâîéíûõ ÷èñåë W è ñèñòåìó
äóàëüíûõ ÷èñåë D. Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [14], ïåðâûõ äâà îïåðàíäà â
îïåðàòîðå óäâîåíèÿ ìîæíî êîììóòèðîâàòü, òàê êàê ïîëó÷åííûå òàáëèöû
Êåëè îòëè÷àþòñÿ òîëüêî ïîðÿäêîì ñòðîê è ñòîëáöîâ, ò.å. îíè ÿâëÿþòñÿ
èçîìîðôíûìè. Ïîýòîìó èññëåäóåìûé êëàññ Ã×Ñ ñîñòîèò èç øåñòè êëàññîâ
èçîìîðôèçìîâ:
1. Ä ( , , )C C H4 � — ñèñòåìà êâàòåðíèîíîâ;
2. Ä ( , , )C W AH4 � — ñèñòåìà àíòèêâàòåðíèîíîâ;
3. Ä Ä( , , ) ( , , )C D C D4 4� ;
4. Ä ( , , )W W 4 ;
5. Ä ( , , )D D 4 ;
6. Ä Ä( , , ) ( , , )W D D W4 4� .
Òàáëèöû Êåëè ïðèâåäåííûõ øåñòè êëàññîâ èçîìîðôèçìîâ ìîæíî ëåã-
êî ïîëó÷èòü, ïîäñòàâèâ â (8) áàçèñíûå ýëåìåíòû ñèñòåì êîìïëåêñíûõ,
äâîéíûõ è äóàëüíûõ ÷èñåë è çàìåíèâ äâóõñèìâîëüíûå ýëåìåíòû áàçèñà
îäíîñèìâîëüíûìè. Âûïîëíèâ òàêóþ ïîäñòàíîâêó äëÿ êàæäîãî èç øåñòè
êëàññîâ èçîìîðôèçìîâ, ïîëó÷èì òàáëèöû Êåëè ÷åòâåðòîé ðàçìåðíîñòè
(òàáë. 1).
Ñâÿçü ñèñòåì, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ÃÊ-ïðîöåäóðû, ñ îáîáùåííû-
ìè êâàòåðíèîíàìè. Êàê âèäíî èç òàáë. 1, óìíîæåíèå áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ
ñèñòåìû êâàòåðíèîíîâ óäîâëåòâîðÿåò òàáëèöå Êåëè êâàòåðíèîíîâ (4). Ïðî-
àíàëèçèðîâàâ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, âèäèì, ÷òî ñèñòåìå àíòèêâàòåðíèîíîâ
AH ñîîòâåòñòâóåò âòîðîé ñëó÷àé îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ, ñèñòåìå
Ä( , , )C D 4 — òðåòèé ñëó÷àé, ñèñòåìå Ä( , , )W D 4 — ÷åòâåðòûé ñëó÷àé. Ïÿòîìó
ñëó÷àþ 1/4-êâàòåðíèîíîâ ñîîòâåòñòâóåò ñèñòåìà Ä( , , )D D 4 (ñì. òàáë. 1).
 ðîáîòàõ [6—11] ñôîðìèðîâàíû ïÿòü íåêîììóòàòèâíûõ ñèñòåì ÷åò-
âåðòîé ðàçìåðíîñòè, à ñ ïîìîùüþ ÃÊ-ïðîöåäóðû ïîëó÷åíà øåñòàÿ ñèñ-
òåìà — Ä ( , , )W W 4 . Ïðîàíàëèçèðîâàâ òàáëèöó Êåëè ýòîé ñèñòåìû, âèäèì
÷òî îíà ñîîòâåòñòâóåò òàáëèöå óìíîæåíèÿ áàçèñíûõ ýëåìåíòîâ îáîáùåí-
íûõ êâàòåðíèîíîâ (2) äëÿ ñëó÷àÿ � �� � � �1 1, .
Èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ ïîëó÷åííîãî êëàññà Ã×Ñ. Ââåäåì ñëåäóþ-
ùåå îáîçíà÷åíèå: w a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4, ãäå a Ri .  äàííûõ Ã×Ñ
îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ âûïîëíÿåì ïî ïðàâèëó óìíîæåíèÿ ëþáûõ äâóõ
ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ñ ó÷åòîì òàáëèöû Êåëè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñ-
òåìû èëè ïîäñòàíîâêîé â (5) ñîîòâåòñòâóþùèõ çíà÷åíèé � è � äëÿ êàæäîé
ñèñòåìû.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîëó÷àåì îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû.
 ðàáîòå [3] íîðìà ãèïåðêîìïëåêñíîãî ÷èñëà â îáùåì ñëó÷àå íàéäåíà
ïî ôîðìóëå
N w a
i
n
ij
k
i( ) �
�
�
1
� ,
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ è èõ ñâÿçü ñ ïðîöåäóðîé óäâîåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 21
ãäå � ij
k — ñòðóêòóðíûå êîíñòàíòû ðàññìàòðèâàåìîé Ã×Ñ èç òàáë. 1. Íà ýòîé
îñíîâå ïîñòðîåíà ìàòðèöà íîðìû, ïîñëå âû÷èñëåíèÿ äåòåðìèíàíòà êîòî-
ðîé ïîëó÷åíà íîðìà ãèïåðêîìïëåêñíîãî ÷èñëà.
Ïî àíàëîãèè ñ òåîðèåé êâàòåðíèîíîâ íàçîâåì ïñåâäîíîðìîé ãèïåð-
êîìïëåêñíîãî ÷èñëà ëþáîé ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû ïîäêîðåííîå âûðà-
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Ã×Ñ Ïñåâäîíîðìà Äåëèòåëü íóëÿ
H N w a a a a( ) � � � �1
2
2
2
3
2
4
2
Îòñóòñòâóåò
AH N w a a a a( ) � � � �1
2
2
2
3
2
4
2 a a a a1
2
2
2
3
2
4
2� � �
Ä ( , , )C D 4 N w a a( ) � �1
2
2
2 a a1
2
2
2 0� �
Ä ( , , )W W 4 N w a a a a( ) � � � �1
2
2
2
3
2
4
2 a a a a1
2
4
2
3
2
2
2� � �
Ä ( , , )D D 4 N w a( ) � 1
2 a1
2 0�
Ä ( , , )W D 4 N w a a( ) � �1
2
2
2 a a1
2
2
2�
Òàáëèöà 2
Íîìåð
êëàññà
èçîìîð-
ôèçìîâ
Òàáëèöà Êåëè
Íîìåð
êëàññà
èçîìîð-
ôèçìîâ
Òàáëèöà Êåëè
1
H e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4 4 3
� �
� �
�e e2 1�
4
Ä e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e e e
e
( , , )W W 4 1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4
� �
e e e e4 3 2 1� �
2
AH e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4 1 2
4 4 3
� �
� �
e e2 1
5
Ä e e e e
e e e e e
e e e
e e e
e e
( , , )D D 4
0 0
0 0
0 0 0
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 4
3 3 4
4 4
�
3
Ä e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e
e e
( , , )C D 4
0 0
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4
4
� �
�
4 3 0 0e
6
Ä e e e e
e e e e e
e e e e e
e e e
e e
( , , )W D 4
0 0
1 2 3 4
1 1 2 3 4
2 2 1 4 3
3 3 4
4 4
�
�e3 0 0
Òàáëèöà 1
æåíèå íîðìû N w( ). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ýòèõ ñèñòåì ìàòðèöû íîð-
ìû áóäóò ðàçëè÷íûìè, à ñîîòâåòñòâåííî áóäóò îòëè÷àòüñÿ è ïðåäñòàâ-
ëåíèÿ ïñåâäîíîðìû (òàáë. 2). Åñëè â (7) ïîäñòàâèòü çíà÷åíèÿ � è �, ñîîò-
âåòñòâóþùèå êàæäîé ñèñòåìå, òî ïîëó÷èì îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû. Êàê
âèäíî èç òàáë. 2, â íåêîòîðûõ ñèñòåìàõ ïñåâäîíîðìà ìîæåò áûòü îòðèöà-
òåëüíîé. Ñëåäîâàòåëüíî, òàêèì ñïîñîáîì ââåäåíà ìóëüòèïëèêàòèâíàÿ
ïñåâäîíîðìà äëÿ êàæäîé ñèñòåìû, ò.å. âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
N w w N w N w( ) ( ) ( )1 2 1 2� . (9)
Ñîïðÿæåííîå ÷èñëî îïðåäåëÿåì èç ðàâåíñòâà [3] ww N w� ( ), ãäå
w b e b e b e b e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4. Ïîäñòàâèâ ââåäåííûå îáîçíà÷åíèÿ (ñì. òàáë. 2)
è ïðèðàâíÿâ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ áàçèñíûõ ýëåìåíòàõ, ïî-
ëó÷èì ëèíåéíóþ àëãåáðàè÷åñêóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ
b b b b1 2 3 4, , , . Íàïðèìåð, äëÿ Ã×Ñ Ä ( , , )D D 4 òàêàÿ ëèíåéíàÿ àëãåáðàè-
÷åñêàÿ ñèñòåìà âûãëÿäèò òàê:
a b a
a b a b
a b a b
a b a b a b a
1 1 1
2
1 2 2 1
1 3 3 1
1 4 4 1 2 3 3
0
0
�
� �
� �
� � �
,
,
,
b2 0� .
(10)
Åå ðåøåíèå èìååò âèä b a1 1� , b a2 2� � , b a3 3� � , b a4 4� � . Ïîýòîìó, åñëè
èñõîäíûì ÷èñëîì ÿâëÿåòñÿ w a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4, òî ñîïðÿæåííîå ê
íåìó èìååò âèä
w a e a e a e a e� � � �1 1 2 2 3 3 4 4. (11)
Íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî äëÿ êàæäîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ Ã×Ñ ëèíåéíàÿ àëãåá-
ðàè÷åñêàÿ ñèñòåìà (10) áóäåò èìåòü äðóãîé âèä, ïðåäñòàâëåíèå ñîïðÿæåííîãî
÷èñëà äëÿ êàæäîãî ñëó÷àÿ áóäåò èìåòü âèä (11), ÷òî ñîâïàäàåò ñ (6).
Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà Ã×Ñ îïðåäåëåíû ïðèçíàêè äåëèòåëåé
íóëÿ [3]. Ñîãëàñíî (9) ñëåäóåò îæèäàòü, ÷òî N wi( ) �0, îòêóäà âûòåêàåò
íàëè÷èå ïðèçíàêîâ äåëèòåëåé íóëÿ â ëþáîé èç ðàññìàòðèâàåìûõ Ã×Ñ
(êðîìå ñèñòåìû êâàòåðíèîíîâ, â êîòîðîé ïî òåîðåìå Ôðîáåíèóñà îòñóòñò-
âóþò äåëèòåëè íóëÿ [13]) (ñì. òàáë. 2).
Âûâîäû
Óñòàíîâëåíî ñîîòâåòñòâèå ìåæäó îòäåëüíûìè ñëó÷àÿìè îáîáùåííûõ êâà-
òåðíèîíîâ è Ã×Ñ ÷åòâåðòîé ðàçìåðíîñòè, ïîñòðîåííûìè ñ ïîìîùüþ íå-
êîììóòàòèâíîé ÃÊ-ïðîöåäóðû óäâîåíèÿ ñèñòåì âòîðîé ðàçìåðíîñòè.
Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé àðèôìåòè÷åñêèõ è àëãåáðàè÷åñêèõ
ñâîéñòâ Ã×Ñ ïîçâîëÿþò ñäåëàòü âûâîä î âîçìîæíîñòè èõ èñïîëüçîâàíèÿ
äëÿ ïîñòðîåíèÿ ðàçëè÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ è èõ ñâÿçü ñ ïðîöåäóðîé óäâîåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 23
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Hamilton W.R. On a New Species of Imaginary Quantities Connected with a Theory of Qua-
ternions // Proc. of the Royal Irish Academy. — 1844. — Vol. 2. — P. 424—434.
2. Gorberashvili M. Split quaternions and particles in (2+1)-space // Eur. Phys. J. C. — 2014. —
P. 3199—3207.
3. Ñèíüêîâ Ì.Â., Áîÿðèíîâà Þ.Å., Êàëèíîâñêèé ß.À. Êîíå÷íîìåðíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå
÷èñëîâûå ñèñòåìû. Îñíîâû òåîðèè. Ïðèìåíåíèÿ. — Êèåâ. : Èíôîäðóê, 2010. — 388 ñ.
4. Toyoshima H. Computationally Efficient Implementation of Hypercomplex Digital Filters //
IEICE Trans. Fundamentals. — 2002, Aug. — Vol. E85-A, No 8. — Ð. 1870—1876.
5. Godel C. An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein`s Field Equa-
tions of Gravitation // Rev. Mod. Phys. — 1949. — Vol. 21, No. 3. — P. 447—450.
6. Szeto G. On generalized quaternion algebras // Intern. I. Math. And Math. Sci. — 1980. —
Vol. 3, No. 2. — P. 237—245.
7. Cai Yong-yu On the First-degree Algebraic Equation of the Generalized Quaternion // Chi-
nese Quarterly Journal of Mathematics. — 2002. — Vol. 17, No. 2. — P. 59—64.
8. Flaut C., Shpakivskyi V. An efficient method for solving equations in generalized quaternion
and octonion algebras. [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://arxiv.org/pdf/
1405.5652.pdf. 2014.
9. Jafari M., Yayli Y. Generalized quaternion and rotation in 3-space E��
3 . [Ýëåêòðîííûé ðå-
ñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://arxiv.org/abs/1204.2476 (accessed April 11, 2012).
10. Mamagami A.B., Jafari M. On Properties of Generalized Quaternion Algebra // Journal of
Novel Applied Sciences. — 2013. — Vol 2, No. 12. — P. 683—689.
11. Mamagami A.B., Jafari M. Some Notes on Matrix of Generalized // Intern. Research Journal
of Applied and Basic Sciences. — 2013. — Vol 7, No. 14. — P. 1164—1171.
12. Kalinovsky Y.O., Lande D.V., Boyarinova Y.E., Turenko A.S. Ñomputing Characteristics of
One Class of Non-commutative Hypercomplex Number Systems of 4-dimension. [Ýëåêòðîí-
íûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1409/1409.3193.pdf
13. Êàíòîð È.Ë., Ñîëîäîâíèêîâ À.Ñ. Ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëà. — Ì. : Íàóêà, 1973. —144 ñ.
14. Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å. Âûñîêîðàçìåðíûå èçîìîðôíûå ãèïåðêîìïëåêñ-
íûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû è èõ èñïîëüçîâàíèå äëÿ ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè âû÷èñ-
ëåíèé. — Êèåâ. : Èíôîäðóê, 2012. — 183 ñ.
15. Áîÿðèíîâà Þ.Å. Íåêàíîíè÷åñêèå ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû ðàçìåðíîñòè
2 è èõ èçîìîðôèçìû // Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2011. — 13, ¹ 1. —
Ñ. 29—38.
16. Êàëèíîâñêèé ß.À. Èññëåäîâàíèå ñâîéñòâ èçîìîðôèçìà êâàäðèïëåêñíûõ è áèêîìï-
ëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì // Òàì æå. — 2003. — 5, ¹ 1. — Ñ. 69—73.
Ya. Kalinovsky, Yu. Boyarinova, A.Turenko, Y. Khitsko
PROPERTIES OF THE GENERALIZED QUATERNIONS AND THEIR
RELATIONSHIP WITH GRASSMANN—CLIFFORD PROCEDURE OF DOUBLING
The class of non-commutative hypercomplex number systems of the 4th dimension constructed
by using of non-commutative procedure of Grassman—Clifford doubling of 2-dimensional sys-
tems has been investigated in the article and their relationships with the generalized quaternions
has been established. Algorithms of operations performance and methods of algebraic character-
istics calculation in them, such as conjugation, normalization, a type of zero divisors are investi-
gated.
K e y w o r d s: quaternion, generalized quaternion, hypercomplex number system, zero divisor,
pseudonorm, conjugation, Grassman—Clifford procedure of doubling.
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
REFERENCES
1. Hamilton, W.R. (1844), “On a new species of imaginary quantities connected with a theory
of quaternions», Proceedings of the Royal Irish Academy, Vol. 2, pp. 424-434.
2. Gorberashvili, M. (2014), “Split quaternions and particles in (2+1)-space”, Eur. Phys. J.,
pp. 3199-3207.
3. Sinkov, M.V., Boyarinova, Yu.E. and Kalinovsky, Ya.A. (2010), Konechnomernyie giper-
kompleksnyie chislovyie sistemy. Osnovy teorii. Primeneniya [Finite-dimensional hyper-
complex number systems. Fundamentals of the theory. Applications], Infodruk, Kiev,
Ukraine.
4. Toyoshima, H. (2002), “Computationally efficient implementation of hypercomplex digital
filters”, IEICE Trans. Fundamentals, Vol. E85-A, no. 8, pp. 1870-1876.
5. Godel, C. (1949), “An Example of a New Type of Cosmological Solutions of Einstein`s
Field Equations of Gravitation”, Rev. Mod. Phys, Vol. 21, no. 3, pp. 447-450.
6. Szeto, G. (1980), “On generalized quaternion algebras”, Internat. I. Math. And Math. Sci.,
Vol. 3, no. 2, pp. 237-245.
7. Cai Yong-yu (2002), “On the first-degree algebraic equation of the generalized quaternion”,
Chinese Quarterly Journal of Mathematics, Vol. 17, no. 2, pp. 59-64.
8. Flaut, C. and Shpakivskyi, V. (2014), “An efficient method for solving equations in genera-
lized quaternion and octonion algebras”, available at: http://arxiv.org/pdf/1405.5652.pdf. 2014
(accessed June 4, 2014).
9. Jafari, M. and Yayli, Y. (2012), “Generalized quaternion and rotation in 3-space”, available
at: http://arxiv.org/abs/1204.2476 (accessed April 11, 2012).
10. Mamagami, A.B. and Jafari, M. (2013), “On properties of generalized quaternion algebra”,
Journal of Novel Applied Sciences, Vol. 2, no. 12, pp. 683-689.
11. Mamagami, A.B. and Jafari, M. (2013), “Some notes on matrix of generalized quaternion»,
International Research Journal of Applied and Basic Sciences, Vol. 7, no. 14, pp. 1164-
1171.
12. Kalinovsky, Ya.O., Lande, D.V., Boyarinova, Yu.E. and Turenko, A.S. (2014), “Ñom-
puting characteristics of one class of non-commutative hypercomplex number systems of
4-dimension”, available at : http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1409/1409.3193.pdf (accessed
September 9, 2014).
13. Kantor, I.L. and Solodovnikov, A.S. (1973) Giperkompleksnyie chisla [Hypercomplex num-
bers], Nauka, Moscow, Russia.
14. Kalinovsky, Ya.A. and Boyarinova, Yu.E. (2012) Vysokorazmernyie izomorfnyie giper-
kompleksnyie chislovyie sistemy i ikh ispolzovaniye dlya povysheniya efektivnosti vychis-
leniy [High-dimensional isomorphic hypercomplex number systems and their use to increase
calculation efficiency], Infodruk, Kiev, Ukraine.
15. Boyarinova, Yu.E. (2011), “Non-canonical hypercomplex number systems of dimension 2 and
their isomorphisms”, Data recording, storage and processing, Vol. 13, no. 1, pp. 29-38.
16. Kalinovsky, Ya.A. (2003), “Research of properties of isomorphism of quadriplex and bicomplex
number systems”, Data recording, storage and processing, Vol. 5, no. 1, pp. 69-73.
Ïîñòóïèëà 22.12.14;
ïîñëå äîðàáîòêè 23.01.15
ÊÀËÈÍÎÂÑÊÈÉ ßêîâ Àëåêñàíäðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò.. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñò-
ðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1965 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòå-
ìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
Ñâîéñòâà îáîáùåííûõ êâàòåðíèîíîâ è èõ ñâÿçü ñ ïðîöåäóðîé óäâîåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 25
ÒÓÐÅÍÊÎ Àëèíà Ñåðãååâíà, àñïèðàíòêà Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ
Óêðàèíû.  2013 ã. îêîí÷èëà Æèòîìèðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìà-
òè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ÁÎßÐÈÍÎÂÀ Þëèÿ Åâãåíüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíè-
âåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 1997 ã. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòå-
ìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ÕÈÖÊÎ ßíà Âëàäèìèðîâíà, ìë. íàó÷. ñîòð. Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 2005 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè-
÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè.
ß.À. Êàëèíîâñêèé, À.Ñ. Òóðåíêî, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, ß.Â. Õèöêî
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101100 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-28T15:40:54Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. 2016-05-31T05:50:21Z 2016-05-31T05:50:21Z 2015 Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда / Я.А. Калиновский, А.С. Туренко, Ю.Е. Бояринова, Я.В. Хицко // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 17-26. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101100 004.492 Исследован класс некоммутативных гиперкомплексных числовых систем четвертой размерности, построенных с помощью некоммутативной процедуры удвоения Грассмана—Клиффорда систем второй размерности, и установлена их связь с обобщенными кватернионами. Исследованы выполняемые в них операции, а также методы вычисления алгебраических характеристик: сопряжения, нормирования, вид делителей нуля. Досліджено клас некомутативних гіперкомплексних числових систем четвертої вимірності, побудованих за допомогою некомутативної процедури подвоєння Грасмана—Кліфорда систем другої вимірності, та встановлено їхній зв’язок з узагальненими кватерніонами. Досліджено виконання операцій у них, а також методи обчислення алгебраїчних характеристик: спряження, нормування, вигляд дільників нуля. The class of non-commutative hypercomplex number systems of the 4th dimension constructed by using of non-commutative procedure of Grassman—Clifford doubling of 2-dimensional systems has been investigated in the article and their relationships with the generalized quaternions has been established. Algorithms of operations performance and methods of algebraic characteristics calculation in them, such as conjugation, normalization, a type of zero divisors are investigated ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда Properties of the generalized quaternions and their relationship with Grassmann—Clifford procedure of doubling Article published earlier |
| spellingShingle | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда Калиновский, Я.А. Туренко, А.С. Бояринова, Ю.Е. Хицко, Я.В. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда |
| title_alt | Properties of the generalized quaternions and their relationship with Grassmann—Clifford procedure of doubling |
| title_full | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда |
| title_fullStr | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда |
| title_full_unstemmed | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда |
| title_short | Свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения Грассмана—Клиффорда |
| title_sort | свойства обобщенных кватернионов и их связь с процедурой удвоения грассмана—клиффорда |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101100 |
| work_keys_str_mv | AT kalinovskiiâa svoistvaobobŝennyhkvaternionoviihsvâzʹsproceduroiudvoeniâgrassmanaklifforda AT turenkoas svoistvaobobŝennyhkvaternionoviihsvâzʹsproceduroiudvoeniâgrassmanaklifforda AT boârinovaûe svoistvaobobŝennyhkvaternionoviihsvâzʹsproceduroiudvoeniâgrassmanaklifforda AT hickoâv svoistvaobobŝennyhkvaternionoviihsvâzʹsproceduroiudvoeniâgrassmanaklifforda AT kalinovskiiâa propertiesofthegeneralizedquaternionsandtheirrelationshipwithgrassmanncliffordprocedureofdoubling AT turenkoas propertiesofthegeneralizedquaternionsandtheirrelationshipwithgrassmanncliffordprocedureofdoubling AT boârinovaûe propertiesofthegeneralizedquaternionsandtheirrelationshipwithgrassmanncliffordprocedureofdoubling AT hickoâv propertiesofthegeneralizedquaternionsandtheirrelationshipwithgrassmanncliffordprocedureofdoubling |