Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики
Предложено рассматривать нечеткое множество (НМ) как объект, наделенный иерархической структурой, полученной с помощью методов иерархической кластеризации. Введено понятие структурной принадлежности, определяемое в зависимости от иерархической структуры универсального множества и учитывающее норму 2...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101102 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 41-58. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860110277418156032 |
|---|---|
| author | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| author_facet | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. |
| citation_txt | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 41-58. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложено рассматривать нечеткое множество (НМ) как объект, наделенный иерархической структурой, полученной с помощью методов иерархической кластеризации. Введено понятие структурной принадлежности, определяемое в зависимости от иерархической структуры универсального множества и учитывающее норму 2-адического числа, эквивалентного иерархической структуре. Предложено рассматривать структурированное НМ как объединение стандартного НМ с нормой 2-адического числа, полученного на основе бинарного дерева, являющегося результатом иерархической кластеризации НМ. Введен обобщенный показатель структурированности НМ—структурно дефадзифицированное число.
Запропоновано розглядати нечітку множину (НМ) як об’єкт, наділений ієрархічною структурою, отриманою за допомогою методів ієрархічної кластерізації. Введено поняття структурної належності, яке визначається в залежності від ієрархічної структури універсальної множини та враховує норму 2-адичного числа, еквівалентного ієрархічній структурі. Запропоновано розглядати структуровану НМ як об’єднання стандартної НМ з нормою 2-адичного числа, отриманого на основі бінарного дерева, яке є результатом ієрархічної кластерізації НМ. Введено узагальнений показник структурованості НМ— структурно дефадзифіковане число.
It is proposed to consider a fuzzy set as an object provided with hierarchic structure obtained with the help of the methods of hierarchic clusterization. Anotion of structure belonging has been introduced which is determined depending on the hierarchic structure of the universal set and considers the norm of the 2-adic number equivalent to the hierarchic structure. It has been proposed to consider the structured FS as the union of the standard FS with the norm of 2-adic number obtained on the basis of binary tree being a result of hierarchic FS clusterization. A generalized indicator of FS structurization - structurally dephadzificated number
|
| first_indexed | 2025-12-07T17:33:59Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.11+519.92
Þ.Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê
Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-ò Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1,
òåë. (044) 2495454, e-mail: min14@ukr.net),
Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà êàíäèäàòû òåõí. íàóê
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû
(Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-ò, 31,
òåë. (044) 2486427, 2425462, e-mail: filimonova @nm.ru, jumin @big-mir.net)
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë
íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà íà âû÷èñëèòåëüíûå
ïðîöåäóðû íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè
Ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü íå÷åòêîå ìíîæåñòâî (ÍÌ) êàê îáúåêò, íàäåëåííûé èåðàðõè-
÷åñêîé ñòðóêòóðîé, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ èåðàðõè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèè. Ââå-
äåíî ïîíÿòèå ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæíîñòè, îïðåäåëÿåìîå â çàâèñèìîñòè îò èåðàðõè-
÷åñêîé ñòðóêòóðû óíèâåðñàëüíîãî ìíîæåñòâà è ó÷èòûâàþùåå íîðìó 2-àäè÷åñêîãî ÷èñëà,
ýêâèâàëåíòíîãî èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðå. Ïðåäëîæåíî ðàññìàòðèâàòü ñòðóêòóðèðîâàí-
íîå ÍÌ êàê îáúåäèíåíèå ñòàíäàðòíîãî ÍÌ ñ íîðìîé 2-àäè÷åñêîãî ÷èñëà, ïîëó÷åííîãî íà
îñíîâå áèíàðíîãî äåðåâà, ÿâëÿþùåãîñÿ ðåçóëüòàòîì èåðàðõè÷åñêîé êëàñòåðèçàöèè ÍÌ.
Ââåäåí îáîáùåííûé ïîêàçàòåëü ñòðóêòóðèðîâàííîñòè ÍÌ—ñòðóêòóðíî äåôàäçèôèöèðî-
âàííîå ÷èñëî.
Çàïðîïîíîâàíî ðîçãëÿäàòè íå÷³òêó ìíîæèíó (ÍÌ) ÿê îá’ºêò, íàä³ëåíèé ³ºðàðõ³÷íîþ
ñòðóêòóðîþ, îòðèìàíîþ çà äîïîìîãîþ ìåòîä³â ³ºðàðõ³÷íî¿ êëàñòåð³çàö³¿. Ââåäåíî ïîíÿòòÿ
ñòðóêòóðíî¿ íàëåæíîñò³, ÿêå âèçíà÷àºòüñÿ â çàëåæíîñò³ â³ä ³ºðàðõ³÷íî¿ ñòðóêòóðè
óí³âåðñàëüíî¿ ìíîæèíè òà âðàõîâóº íîðìó 2-àäè÷íîãî ÷èñëà, åêâ³âàëåíòíîãî ³ºðàðõ³÷í³é
ñòðóêòóð³. Çàïðîïîíîâàíî ðîçãëÿäàòè ñòðóêòóðîâàíó ÍÌ ÿê îá’ºäíàííÿ ñòàíäàðòíî¿ ÍÌ ç
íîðìîþ 2-àäè÷íîãî ÷èñëà, îòðèìàíîãî íà îñíîâ³ á³íàðíîãî äåðåâà, ÿêå º ðåçóëüòàòîì
³ºðàðõ³÷íî¿ êëàñòåð³çàö³¿ ÍÌ. Ââåäåíî óçàãàëüíåíèé ïîêàçíèê ñòðóêòóðîâàíîñò³ ÍÌ—
ñòðóêòóðíî äåôàäçèô³êîâàíå ÷èñëî.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íå÷åòêîå ìíîæåñòâî, èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ, ð-àäè÷åñêèé
àíàëèç, ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà, áèíàðíîå äåðåâî.
Ðåøåíèå çàäà÷ óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ñêîíöåíòðèðîâàíî íà âîçìîæíîñòÿõ òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (ÒÍÌ). Ââå-
äåíèå ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ), ïîçâîëèâøåé ôîðìàëèçîâàòü ýêñïåðò-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 41
�������� �
��
�
�� ���������� ��
� Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà, 2015
íîå (ñóáúåêòèâíîå) ïðåäñòàâëåíèå îá îáúåêòå óïðàâëåíèÿ, ñîçäàíèå è èñïîëü-
çîâàíèå ïîäìíîæåñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (ÏÓÏ) çíà åíèå /ÔÏ
x
xx
� ��� ���
�{ / }�
äàëî âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûå (ñêðûòûå) çíàíèÿ è òåì ñà-
ìûì ïîâûñèòü ýôôåêòèâíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ [1]. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî
(ÍÌ), íåñìîòðÿ íà êàæóùóþñÿ ïðîñòîòó, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëîæíûé
îáúåêò. Ïîýòîìó äîëæíû áûòü èññëåäîâàíû åãî ñòðóêòóðíûå ñâîéñòâà è
õàðàêòåðèñòèêè, èáî íàëè÷èå ñòðóêòóðû (èåðàðõè÷åñêîé) åñòü ïî îïðåäå-
ëåíèþ ïðèçíàê ñëîæíîãî îáúåêòà [2].
Ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå èññëåäîâàíèé èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû
ÍÌ. Îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò î âëèÿíèè èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû (ÈÑ) íà
ÍÌ áûëà ðàáîòà [3], â êîòîðîé ÈÑ ñâÿçàíà ñ ÔÏ. Â áîëüøèíñòâå ïðè-
ëîæåíèé ïàðàìåòðè÷åñêàÿ ôîðìà ÔÏ ñ÷èòàåòñÿ èçâåñòíîé, íî â ñèòóàöèÿõ,
êîãäà îòñóòñòâóåò ïðåäøåñòâóþùàÿ èíôîðìàöèÿ, òåõíèêà, ïîäîáíàÿ êëàñ-
òåðèçàöèè, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ èçó÷åíèÿ ÔÏ è âíóòðåííåé
ñòðóêòóðû äàííûõ.  ðàáîòå [3] ïîêàçàíî, ÷òî èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçà-
öèÿ (ÈÊ) ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ ïðåäâàðèòåëüíîé îáðàáîòêè äîñ-
òóïíîé èíôîðìàöèè è ïîëó÷åíèÿ íà îñíîâå ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ âíóò-
ðåííåé ñòðóêòóðû äàííûõ. Ýòî íîâîå çíàíèå ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî
äëÿ ïîñëåäóþùåé îáðàáîòêè äàííûõ ïîñðåäñòâîì íå÷åòêîãî àëãîðèòìà
êëàñòåðèçàöèè.
Ïðè íå÷åòêîì ìîäåëèðîâàíèè ÈÊ ïîçâîëÿåò ïðîâåñòè àíàëèç êëàñ-
òåðîâ îòíîñèòåëüíî ïðåäñòàâëåíèÿ ìíîæåñòâà äàííûõ (ÌÄ). Ïîëó÷åííóþ
èíôîðìàöèþ ìîæíî èñïîëüçîâàòü â ïðîöåññå êëàñòåðèçàöèè äëÿ òîãî,
÷òîáû ïîëó÷èòü íå÷åòêèå ïðàâèëà è ôóíêöèîíàëüíóþ ôîðìó ÍÌ. Ìíî-
æåñòâî äàííûõ, èìåþùèå ÈÑ, îáëàäàþò óëüòðàìåòðè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè
[4] è, õîòÿ óëüòðàìåòðè÷åñêèå ñâîéñòâà ÈÊ õîðîøî èçó÷åíû, â ïîñëåäíåå
âðåìÿ ê íèì âíîâü âîçíèê èíòåðåñ â ñòàòèñòè÷åñêîé ìåõàíèêå, òåîðèè îï-
òèìèçàöèè, ôèçèêå. Â ðàáîòå [4] ïîêàçàíî, ÷òî ðàçðåæåííûå âûñîêîðàç-
ìåðíûå ïðîñòðàíñòâà èìåþò òåíäåíöèþ áûòü óëüòðàìåòðè÷åñêèìè.
Óëüòðàìåòðè÷íîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêè, íî íåôîðìàëüíî åå
ìîæíî îïèñàòü êàê íàëè÷èå åñòåñòâåííîé èåðàðõè÷åñêîé èëè âñòðîåííîé
ñòðóêòóðû â äàííûõ èëè íàáëþäåíèÿõ. Èåðàðõè÷åñêèé êëàñòåðíûé àíàëèç
(ÈÊÀ) ïîðîæäàåò óëüòðàìåòðè÷åñêîå ìíîæåñòâî ñîîòíîøåíèé íà îáúåê-
òàõ èëè íàáëþäåíèÿõ. Â ðàáîòå [5] èññëåäîâàíû ïåðñïåêòèâû óëüòðàìåò-
ðè÷åñêîé òîïîëîãèè êàê ÷àñòü ìîäåëè ÷åëîâå÷åñêîãî ñîçíàíèÿ è ñäåëàí
âàæíûé âûâîä î òîì, ÷òî ïðîñòðàíñòâà, ñîäåðæàùèå òî÷êè, ñâÿçàííûå ñ
ìíîæåñòâîì íàáëþäåíèé, õàðàêòåðèçóþòñÿ óëüòðàìåòðè÷åñêèìè (èåðàð-
õè÷åñêèìè) ñîîòíîøåíèÿìè. Ðàáîòó [6] ìîæíî òðàêòîâàòü áîëåå ðàñøè-
ðåííî: îò íå÷åòêèõ äàííûõ (ïðåäñòàâëåííûõ ÏÓÏ) — ê ð-àäè÷åñêèì ìîäå-
ëÿì. Ñëåäóåò, îäíàêî, óïîìÿíóòü î ñïåöèôè÷íîñòè ð-àäè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
÷
 ðàáîòå [7] ïîêàçàíî, ÷òî íå÷åòêîå îòíîøåíèå òîëåðàíòíîñòè
� : [ , ]X X� � 0 1 , èìåþùåå ñâîéñòâà � ( , )x xi i �1, � �( , ) ( , )x x x xi j j i� , íå-
÷åòêîå îòíîøåíèå ýêâèâàëåíåòíîñòè � � �( , ) min{ ( , ), ( , )}x x x x x xi j i k k j� ,
òðàíçèòèâíîå çàìûêàíèå íå÷åòêîãî îòíîøåíèÿ òîëåðàíòíîñòè � ( , )x xi j �
�max {min{ ( , ), ( , ), ..., ( , )}p i k k k k jx x x x x x
p
� � �
1 1 2
è îáúåêò, íàäåëåííûé
óëüòðà ìåòðèêîé � �( , ) ( , )x x x xi j i j� 1 , îáëàäàþùèé ñâîéñòâàìè
� ( , )x xi i �0, � �( , ) ( , )x x x xi j j i� ,
� � �( , ) max{ ( , ), ( , )}x x x x x xi j i k k j
,
ÿâëÿþòñÿ òàêèìè, ÷òî ïîíÿòèÿì íå÷åòêîé ýêâèâàëåíòíîñòè, óëüòðàìåò-
ðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (ÓÏ) è ÈÊ ñîîòâåòñòâóåò îäèí ìàòåìàòè÷åñêèé
îáúåêò. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïðîèçâîëüíîå ÓÏ èçîìåòðè÷íî âêëàäûâàåòñÿ â
ñôåðó Ãèëüáåðòîâà ïðîñòðàíñòâà [8].
 ðàáîòàõ [9—11] ïðåäëîæåíî àíàëèçèðîâàòü ÈÑ ÍÌ
~
{ , }A U� ��
�{ / }( )ui i
u� , �
i
u( ) � [0, 1],
~
[ , ]A U� � 0 1 , ãäå U — óíèâåðñóì, � — ÔÏ, èñ-
ïîëüçóÿ ÍÌ-ãðàíóëó, êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìíîæåñòâî 2�n ïàð,
~
{ / } ( ) ( ; ...;( )
( )
( ) ( )A u A u u ui i
u
i i
u
i
n u
n n� � � ��� � � �1 1 1 1
( ) )u , ãäå ðàçìåðíîñòü
A( )1 — 2�n. ÍÌ-ãðàíóëå A( )1 ñîïîñòàâëÿåòñÿ ÈÑ, ïîëó÷åííàÿ ìåòîäàìè
ÈÊ, ñïåöèôèêà êîòîðûõ çàêëþ÷àåòñÿ â èñïîëüçîâàíèè ìàòðèöû ðàññòîÿ-
íèé ìåæäó îáúåêòàìè êëàñòåðèçàöèè è ïîñëåäóþùåé ãðóïïèðîâêîé ýòèõ
îáúåêòîâ (â ñîîòâåòñòâèè ñ ìàòðèöåé ðàññòîÿíèé) â ÈÑ ïî îïðåäåëåííîìó
êðèòåðèþ (íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþò maxmax d x y( , ) èëè minmin d x y( , )).
Çàäà÷à ñîñòîèò â îïðåäåëåíèè ñòðóêòóðû ÍÌ, êîìïîíåíòàìè êîòîðîãî
ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð ( ; ...; )u u
u
n
un
1
1� � , à ìàòðèöà
áëèçîñòè îñíîâàíà íà âû÷èñëåíèè ðàññòîÿíèé ìåæäó ïàðàìè ýëåìåíòîâ
{ }ui
ui� è{ }ui
ui
�
�
1
1� è äð.
Âîçìîæíîñòü ìîäåëèðîâàíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè íà óðîâíå ð-àäè-
÷åñêèõ ìîäåëåé. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî — îäíî èç âîçìîæíûõ ïðåäñòàâëå-
íèé îáúåêòà â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè îáùåì ðàññìîòðåíèè
ìîæíî çàìåòèòü äâå îñîáåííîñòè:
1. Íàëîæåíèå ýâðèñòè÷åñêîé (ìåíòàëüíîé) ÔÏ, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîç-
âîëèëî ôîðìàëèçîâàòü íåîïðåäåëåííîñòü, ñ äðóãîé ñòîðîíû, — âêëþ÷èëî
ýòîò îáúåêò â îáëàñòü òàêèõ, àíàëèç êîòîðûõ íåîáõîäèìî âûïîëíÿòü íà óðîâ-
íå, ñîîòâåòñòâóþùåì àíàëèçó ìûñëèòåëüíîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà.
2. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî êàê ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð {çíà÷å-
íèå/ÔÏ} ìîæåò áûòü ïðîàíàëèçèðîâàíî êàê ñîâîêóïíîñòü ïàðíûõ ðàç-
ëè÷èé ñ âûòåêàþùèìè îòñþäà ïîñëåäñòâèÿìè.
Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå ÍÌ êàê ïðîäóêòà èíòåëëåêòóàëüíîé äåÿòåëü-
íîñòè ÷åëîâåêà è êàê îáúåêòà, íàäåëåííîãî âîçìîæíîñòüþ îöåíèâàòü ïàð-
íûå ðàçëè÷èÿ ìåæäó åãî ýëåìåíòàìè, ïîçâîëÿåò è â ïåðâîì è âòîðîì
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 43
ñëó÷àÿõ àíàëèçèðîâàòü ÍÌ íà óðîâíå ÈÑ [12, 13].  óñëîâèÿõ íåîïðå-
äåëåííîñòè îáúåêò, íå çàäàííûé îäíîçíà÷íî, ñòðóêòóðà êîòîðîãî íå îïðå-
äåëåíà è íè÷åãî íå èçâåñòíî î åãî óïîðÿäî÷åííîñòè, ðàññìàòðèâàåòñÿ ïî-
ìåùåííûì â óíèâåðñàëüíîå ìíîæåñòâî (ÓÌ), ò.å. ~x X
. Âîçìîæíîñòü ñðàâ-
íèòü äâà ïðîèçâîëüíûõ îáúåêòà, ~x X
è ~y X
, îòñóòñòâóåò äî òåõ ïîð, ïîêà
óêàçàííûå îáúåêòû íå ïîëó÷àò ñòàòóñ ìíîæåñòâ óïîðÿäî÷åííûõ ïàð â ðå-
çóëüòàòå îïðåäåëåíèÿ ÔÏ, ò.å. ïîêà íå áóäåò âûïîëíåíà îïåðàöèÿ ìåíòàëü-
íîãî óïîðÿäî÷åíèÿ. Ïðè ýòîì ÓÌ ìîæåò áûòü òàêæå èåðàðõè÷åñêè ñòðóêòó-
ðèðîâàíî ïîñðåäñòâîì ó÷åòà ïàðíûõ ðàçëè÷èé ìåæäó åãî ýëåìåíòàìè.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ÍÌ, â êîòîðîì ÔÏ — ïðîäóêò âèðòóàëüíîãî (ìåí-
òàëüíîãî) ïðîñòðàíñòâà, — íàêëàäûâàåòñÿ íà ôèçè÷åñêèé îáúåêò, êàê è íà
ëþáîé äðóãîé îáúåêò, ôóíêöèîíèðîâàíèå èëè ïîâåäåíèå êîòîðîãî îïðå-
äåëÿåòñÿ êàêîé-ëèáî ýâðèñòèêîé, ÿâëÿåòñÿ â èçâåñòíîé ìåðå ýëåìåíòîì
(îáúåêòîì) ìåíòàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Â ðàáîòå [5] ïîêàçàíî, ÷òî òàêèå
ïðîñòðàíñòâà îïèñûâàþòñÿ ð-àäè÷åñêèìè äåðåâüÿìè. Ïðè ýòîì ôàêò íàëî-
æåíèÿ äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðû íà òàêîé îáúåêò èãðàåò çíà÷èòåëüíî áîëü-
øóþ ðîëü, ÷åì îñîáåííîñòè ÓÏ èëè ñâîéñòâà ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë, äëÿ
êîòîðûõ ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàçëè÷íûõ ð-àäè÷åñêèõ ïðåäñòàâ-
ëåíèé. Ïîëÿ ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë äëÿ ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ ÷èñåë ð-íåèçî-
ìîðôíû. Òàêèì îáðàçîì, 2-àäè÷åñêîå îïèñàíèå íå ýêâèâàëåíòíî 3-àäè÷åñ-
êîìó. Íåèçîìîðôíîñòü ðàçëè÷íûõ ïîëåé � p ïîðîæäàåò ïðîáëåìó ïðè
ïîñòðîåíèè ð-àäè÷åñêèõ ìîäåëåé, ñîñòîÿùóþ â íåîäíîçíà÷íîñòè âûáîðà
ïðîñòîãî ÷èñëà ð äëÿ ñèñòåìû êîîðäèíàò (èåðàðõè÷åñêîãî äåðåâà).
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè íåîïðåäåëåííîñòè (äàæå íà óðîâíå ÒÍÌ) íå ó÷è-
òûâàåòñÿ, ÷òî íåîïðåäåëåííîñòü, â ÷àñòíîñòè, åñòü îòñóòñòâèå ïîðÿäêà. Íàè-
áîëåå ïîëíî ýòî ìîæíî ó÷åñòü, èñïîëüçóÿ ð-àäè÷åñêèå ÷èñëà, òàê êàê íà ìíî-
æåñòâå ð-àäè÷åñêèõ ÷èñåë íåâîçìîæíî ââåñòè ïîðÿäêîâóþ ñòðóêòóðó.  òî æå
âðåìÿ, ñòðóêòóðà èåðàðõèè íà ð-àäè÷åñêîì äåðåâå ïîçâîëÿåò îöåíèòü âëèÿíèå
ÔÏ, çàäàííîé íà ÓÌ, ïðè ñðàâíåíèè ñòðóêòóð ÓÌ è ÍÌ.
 ðàáîòàõ [12, 13] ïîêàçàíî, ÷òî íà áèíàðíîì äåðåâå (ÁÄð) — íåêî-
òîðîì àíàëîãå ÍÌ, îïðåäåëåííîì íà � p , ñóùåñòâóåò åñòåñòâåííàÿ ìåòðè-
êà, ñîñòîÿùàÿ â òîì, ÷òî äâå áåñêîíå÷íûå âåòâè äåðåâà áëèçêè, åñëè äëèíà
èõ îáùåé ÷àñòè, âûõîäÿùåé èç êîðíÿ, âåëèêà. Ýòà ìåòðèêà� p , ÿâëÿþùàÿñÿ
óëüòðàìåòðèêîé, íå òîëüêî ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àåòñÿ îò íå÷åòêîé (íåàä-
äèòèâíîé) ìåðû, ïðèíÿòîé â ÒÍÌ, íî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî óëüòðàìåò-
ðè÷åñêàÿ ãåîìåòðèÿ íå ñîâïàäàåò ñ åâêëèäîâîé ãåîìåòðèåé. Ñîãëàñíî ëî-
ãèêå [12] ÒÍÌ êàê îáúåêò, ïîñòðîåííûé ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåíòàëüíûõ
îáúåêòîâ, ìîæåò áûòü àäåêâàòíî îïèñàíà è â óëüòðàìåòðè÷åñêîé ãåî-
ìåòðèè, ïðèñóùåé ìåíòàëüíûì ïðîñòðàíñòâàì. Ìåíòàëüíîå ïðîñòðàíñòâî
â ð-àäè÷åñêîé ìåòðèêå èìååò êîãíèòèâíóþ èíòåðïðåòàöèþ. Ê ñîæàëåíèþ,
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
ýòî óòâåðæäåíèå íåâîçìîæíî ïîëíîñòüþ ïåðåíåñòè íà ÒÍÌ, íî ðîëü èåðàð-
õè÷åñêîé äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðû â ÒÍÌ, ïî-âèäèìîìó, äîëæíà áûòü
ó÷òåíà â ïîëíîé ìåðå. Çàìåòèì, ÷òî ëþáîå àáñòðàêòíîå ÓÏ ìîæåò áûòü
ïðåäñòàâëåíî â âèäå òàêîãî äåðåâà.
 ðàáîòå [9] ïðèâåäåíû ïðèìåðû îïðåäåëåíèÿ ÈÑ ÍÌ ìåòîäàìè ÈÊ, â
÷àñòíîñòè, äëÿ HM
trapmf
~ { / / / / }
5
2 0 3 1 7 1 9 0�� ,
~
{ }5 2 3 7 9trapmf
�U . Áèíàðíîå
äåðåâî ÍÌ, çàêîäèðîâàííîå àëôàâèòîì {0, 1}, è ñòðóêòóðíàÿ ìàòðèöà
ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1. Íà îñíîâàíèè ñòðóêòóðíîé ìàòðèöû âû÷èñëåíû
2-àäè÷åñêîå (ôðàêòàëüíîå) ÷èñëî è åãî 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê ñîîòâåòñòâåííî
evalp (a, 2, 9) = 23 + 25 + 2 10 = a := 1064 è ordp (a, 2)� 3. Â ñòðóêòóðíûõ ìàòðè-
öàõ òðè íèæíèå ñòðîêè, ñîñòîÿùèå èç íóëåé (0*20, 0*21, 0*22), îïóùåíû.
Èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû ÍÌ, ïðåäñòàâëåííûå â âèäå ÁÄð, èìåþò
óëüòðàìåòðè÷åñêóþ ïðèðîäó, â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðîé ðàññòîÿíèÿ rAB, rBC
è rAC ìåæäó ëþáûìè òðåìÿ òî÷êàìè A, B, C â ïðîñòðàíñòâå H óäîâëåò-
âîðÿþò óñëîâèþ r r rAC AB BC
max{ , }. ÁÄð, ïîëó÷åííûå íà îñíîâå ìàòðèöû
ðàññòîÿíèé ïîñðåäñòâîì êëàñòåðèçàöèè îáúåêòîâ ìåòîäàìè íàèáîëåå óäà-
ëåííîãî (ÍÓÑ) è íàèáîëåå áëèçêîãî ñîñåäà (ÍÁÑ), ñîîòâåòñòâåííî
max ( , )( ) ( )d x xi j è min ( , )( ) ( )d x xi j , x x Xi j( ) ( ),
, ÿâëÿþòñÿ òàêèìè, ÷òî äëÿ
ëþáûõ òðåõ ýëåìåíòîâ, i, j, k, ñïðàâåäëèâî ñèëüíîå íåðàâåíñòâî òðåóãîëü-
íèêà (ÑÍÒ) — ãëàâíûé ïðèçíàê ÓÏ, çàïèñûâàåìûé â âèäå d x xi k( , )
max ( ( , ), ( , ))d x x d x xi k1 1 èëè d x xi k( , ) �min ( ( , ), ( , ))d x x d x xi k1 1 .
Áèíàðíûå äåðåâüÿ (äåíäðîãðàììà).  îáùåì ñëó÷àå äåíäðîãðàììà
[4, 6, 13—15] — ýòî îïðåäåëåííîå èçîáðàæåíèå äðåâîïîäîáíîé ñõåìû, ïî-
ðîæäåííîé èåðàðõè÷åñêîé êëàññèôèêàöèåé äàííûõ. Íàçíà÷åíèå äåíäðî-
ãðàìì — îïèñàíèå ÈÑ, îáíàðóæèâàåìîé â ïðåäåëàõ íåêîòîðîãî ïîäìíî-
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 45
Ðèñ. 1. Èåðàðõè÷åñêèå ñòðóêòóðû è 2-àäè÷åñêèå ìàòðèöû (Ñ = {cij}) ÁÄð: à — ÍÌ
~
5trapmf ;
á, ã — ôðàêòàëüíîå ÷èñëî �1 2 3 4 1064� � � � = 23 + 25 + 2 10 ; â, ã — ÓÌU �{ }2 3 7 9
æåñòâà èñõîäíîãî ÌÄ (ÈÌÄ). Òåì íå ìåíåå, ÷àñòî ýòî ïðåäñòàâëåíèå
ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì èåðàðõèè äàííûõ è çàâèñèò îò âûáîðà íåêîòîðîãî
ïîêàçàòåëÿ.  ñâîþ î÷åðåäü, èåðàðõè÷íîñòü ñòðóêòóðû òåñíî ñâÿçàíà ñ åå
óëüòðàìåòðè÷íîñòüþ. Ìíîãî÷èñëåííûå ðàáîòû â ýòîé îáëàñòè çíàíèé
ïîñâÿùåíû îïðåäåëåíèþ óëüòðàìåòðè÷íîñòè äàííûõ è îáíàðóæåíèþ â
íèõ èåðàðõèè. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî äðåâîâèäíàÿ ñòðóêòóðà ÿâëÿåòñÿ
èñòî÷íèêîì ëþáîãî óëüòðàìåòðè÷åñêîãî ðàññòîÿíèÿ.
Óëüòðàìåòðè÷åñêîå ðàññòîÿíèå ïîðîæäåíî ñâîéñòâîì ð-àäè÷åñêèõ ÷è-
ñåë ïîïîëíÿòü ïîëå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ïðîöåäóðà ïîñòðîåíèÿ äåíäðî-
ãðàìì ñëåäóþùàÿ:
1) êîäèðîâàíèå ÌÄ X x xn� { , ..., }1 p-àäè÷åñêèìè ÷èñëàìè Y, èìåþ-
ùèìè ÈÑ;
2) ïîñòðîåíèå äåíäðîãðàììû äëÿ X â êîäàõ Y.
Äåíäðîãðàììó äëÿ X îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò Y. Åå âû÷èñëåíèå è ïîñò-
ðîåíèå ìîæåò áûòü ðåàëèçîâàíî áûñòðî, íî äîñòàòî÷íî òðóäíî íàéòè
íóæíîå êîäèðîâàíèå p-àäè÷åñêîãî ÷èñëà. Òåì íå ìåíåå, äëÿ ìíîãèõ çàäà÷
p-àäè÷åñêîå êîäèðîâàíèå ìîæíî âûïîëíÿòü ïðåäëàãàåìûìè ìåòîäàìè.
Ïðè ïîñòðîåíèè äåíäðîãðàììû, òî÷íåå ìåòðèçîâàííîãî äåðåâà ñ êî-
íå÷íûì ÷èñëîì ïîìå÷åííûõ êîíöîâ, àïðèîðè äîïóñêàþò, ÷òî â êàæäîì
ÌÄ X åñòü ïîäìíîæåñòâà, íåîáõîäèìûå äëÿ ïîñòðîåíèÿ äåíäðîãðàììû
ïðè îáíàðóæåíèè ÈÑ â ïðåäåëàõ X. Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàþò äîïîëíè-
òåëüíóþ îáðàáîòêó ÈÌÄ äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïàðíûõ ðàçëè÷èé ìåæäó ýëå-
ìåíòàìè, íà îñíîâàíèè êîòîðûõ ìîæíî âûäåëèòü ñïåöèàëüíûå ãðóïïû
ýëåìåíòîâ (êëàñòåðû), îáðàçóþùèõ âèðòóàëüíóþ ÈÑ.
Öåëü àíàëèçà ÍÌ è ÓÌ, íà êîòîðîì îïðåäåëåíî äàííîå ÍÌ, íà óðîâíå
ÈÑ, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ïàðíûõ ñðàâíåíèé, ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïîëó-
÷èòü íîâûå çíàíèÿ, îáóñëîâëåííûå ñîçäàíèåì íîâîãî îáúåêòà — ÍÌ,
ïðîäóêòà èíòåëëåêòóàëüíîé äåÿòåëüíîñòè ÷åëîâåêà.
Ìíîæåñòâî X ñ çàäàííîé â íåì ìåòðèêîé d íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì
ïðîñòðàíñòâîì. Îíî ìîæåò ñîäåðæàòü ìíîãî ðàçëè÷íûõ ñòðóêòóð ìåòðè-
÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (X, d). Åñëè X ñíàáæåíî ìåòðèêîé, òî ìîæíî îïðå-
äåëèòü, êàê ýòà ìåòðèêà îòîáðàæàåòñÿ â óëüòðàìåòðèêó. Íà ïðàêòèêå, êàê
ïðàâèëî, íåò íåîáõîäèìîñòè ïðåäñòàâëÿòü X ñîâìåñòíî ñ ìåòðèêîé. Èåðàð-
õèÿ H êàê äâîè÷íîå êîðíåâîå óïîðÿäî÷åííîå äåðåâî, îïðåäåëÿåò ìíî-
æåñòâî âëîæåííûõ ïîäìíîæåñòâ äàííîãî ìíîæåñòâà îáúåêòîâ X, èíäåêñè-
ðóåìûõ ìíîæåñòâîì I. Ñóùåñòâóåò âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå
ìåæäó èåðàðõèåé è ÓÏ, à òàêæå ýêâèâàëåíòíîñòü ìåæäó âëîæåííûìè
ïîäìíîæåñòâàìè, èåðàðõèåé è äâîè÷íûì äåðåâîì ñîãëàñíî êîíñòðóêòèâ-
íîìó ìåòîäó ïîðîæäåíèÿ H íà ìíîæåñòâå I. Ïðîñòðàíñòâî âåòîê áåñêî-
íå÷íîãî äåðåâà îïèñûâàåòñÿ ðåàëüíûìè ÷èñëàìè â ð-àäè÷åñêîé ôîðìå.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Äåðåâüÿ — ÷àñòè÷íûå ïîðÿäêè, íà êîòîðûõ ìîæíî îïðåäåëèòü öåïè êàê
ìàðøðóòû. p-Àäè÷åñêîå êîäèðîâàíèå, îïðåäåëåííîå äëÿ ëþáîãî îáúåêò-
íîãî íàáîðà, ìîæåò áûòü âûðàæåíî äëÿ ëþáîãî îáúåêòà x, ñâÿçàííîãî ñ
òåðìèíàëüíûì óçëîì, â âèäå x c p
j
n
j
j�
�
�
1
1
, ãäå c j
{ , }0 1 , èëè áîëåå äåòàëüíî:
x c pi
j
n
ij
j�
�
�
1
1
, ãäå cij
{ , }0 1 . Çäåñü j — óðîâåíü èëè ðàíã (êîðåíü: n – 1;
òåðìèíàë: 1), i — îáúåêòíûé èíäåêñ. Â ïðèìåðå íà ðèñ. 1 èñïîëüçîâàíî: 0
äëÿ ëåâîé âåòêè è 1 äëÿ ïðàâîé âåòêè. Ìàòðè÷íàÿ ôîðìà ýòîãî êîäèðî-
âàíèÿ ñëåäóþùàÿ. Ïóñòü x — âåêòîð-ñòîëáåö{ , ,..., }x x xn
t
1 2 , ð — âåêòîð-
ñòîëáåö { , ,..., }p p pn
t
1 2 1 . Çäåñü t — ñèìâîë òðàíñïîçèöèè. Ñèìâîëüíàÿ
ìàòðèöà C ïåðåõîäîâ â êîäàõ 0 è 1 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì âåëè÷èí cij
{ , }0 1 ,
ãäå i I
— èíäåêñû îáúåêòà; j
{1, 2, ..., n – 1} — èíäåêñû äåíäðîãðàììíûõ
óðîâíåé.
Äëÿ äàííîãî óðîâíÿ j i( )� àáñîëþòíûå âåëè÷èíû |cij| îïðåäåëÿþò
ôóíêöèþ ÷ëåíñòâà óçëà j, ïðî÷èòàííîãî ïîñòîëáöîâî, èëè îáúåêòà ñ
èíäåêñîì i, ïðî÷èòàííîãî ïîñòðî÷íî. Ìàòðè÷íàÿ ôîðìà p-àäè÷åñêîãî
êîäèðîâàíèÿ èìååò âèä x = Cp, ãäå x — äåñÿòè÷íîå êîäèðîâàíèå, C —
ìàòðèöà äåíäðîãðàììíûõ ïåðåõîäîâ â êîäàõ {0, 1}, p — âåêòîð ñòåïåíåé
ôèêñèðîâàííîãî öåëîãî p.
Êàê óêàçàíî â ðàáîòàõ [13, 14], ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíîñòü ìåæäó
p-àäè÷åñêèì ÷èñëîì, p-àäè÷åñêèì ðàñøèðåíèåì è ýëåìåíòîì � p (p-àäè-
÷åñêèå öåëûå). ×èñëà ìåæäó 0 è p – 1 — íàèáîëåå î÷åâèäíûé âûáîð êîäîâ
äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ñóùåñòâóþò, òåì íå ìåíåå, ñèòóàöèè, êîãäà
äðóãîé âûáîð ìîæåò áûòü áîëåå öåëåñîîáðàçíûì.
Ìàòðè÷íîå êîäèðîâàíèå ÁÄð ïîçâîëÿåò, ñ îäíîé ñòîðîíû, ïîëó÷èòü
ð-àäè÷åñêîå ÷èñëî è ð-àäè÷åñêóþ íîðìó êàê õàðàêòåðèñòèêó ÍÌ, ò.å.
~ { / }x x xx n� �
� 1 2� , c äðóãîé ñòîðîíû, ~x ñîîòâåòñòâóåò ÁÄð�x . Åñòåñò-
âåííî, åñëè âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü ðåàëèçàöèè ìàòåìàòè÷åñêèõ îïåðà-
öèé ~* ~x y, òî ýòî äîëæíî áûòü àäåêâàòíî îòðàæåíî íà óðîâíå èõ ñòðóêòóð:
�x*str�y , ãäå � �x x~,� �y y~; *str — îïåðàöèÿ íà ñòðóêòóðàõ. Îïåðàöèè
ñëîæåíèÿ è óìíîæåíèÿ äëÿ ð-àäè÷åñêèõ ÁÄð îïðåäåëåíû â ðàáîòå [15], à
èìåííî: ãðóïïîâàÿ ñòðóêòóðà â ð-àäè÷åñêè çàêîäèðîâàííîì îáúåêòå îïðåäå-
ëÿåòñÿ íà îñíîâå îïåðàöèè ñëîæåíèÿ. Îäíàêî ðåàëèçîâàòü «ñëîæåíèå ñ ïåðå-
íîñîì», èñïîëüçóÿ òðàäèöèîííûå ïóòè, íåâîçìîæíî, òàê êàê ýòî íå èìååò
ñìûñëà â ðàññìàòðèâàåìîì êîíòåêñòå. Âìåñòî ýòîãî ïðåäëîæåíî îïðåäåëÿòü
«ñðåäíåå ÷èñëî è ïîðîã» ôóíêöèîíèðîâàíèÿ äëÿ ëþáûõ êîýôôèöèåíòîâ (âå-
ëè÷èí p, êàê â âûðàæåíèÿõ äëÿ x è xi): 1 + 1 = 1, 1 + 0 = 0.
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 47
Îïðåäåëåíèå p-àäè÷åñêîãî äåíäðîãðàììíîãî óìíîæåíèÿ ðåàëèçîâàíî
èñêëþ÷èòåëüíî ñ èñïîëüçîâàíèåì îïåðàòîðà ðàñøèðåíèÿ — ýòî óìíîæåíèå
íà 1/p [15]. Ïîñêîëüêó ñëîæåíèå è óìíîæåíèå íà äåðåâüÿõ âîçìîæíî, ñëåäî-
âàòåëüíî, åñòü ñèììåòðèÿ îòíîñèòåëüíî ïðèëîæåíèÿ ýòèõ îïåðàöèé.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è, ìåòîä è àëãîðèòìû åå ðåøåíèÿ. Ðàññìîòðèì
âëèÿíèå ñòðóêòóðû ÍÌ íà àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè. Ïóñòü ~ { / }a a a� � ,
~a U a
è
~
{ / }b b b� � ,
~
b U b
, ~ ~*
~
c a bf� , c U c
, ~a,
~
b, ~c — ÍÌ, Ua, Ub, Uc —
ÓÌ, * { , ,*, /}f
� . Êàæäîå ÍÌ áóäåì õàðàêòåðèçîâàòü ÈÑ, ïðåäñòàâëåí-
íîé â âèäå êîðòåæà K, ñîñòîÿùåãî èç ÁÄð, ñòðóêòóðíîé ìàòðèöû, 2-àäè-
÷åñêîãî ÷èñëà è 2-àäè÷åñêîãî ïîðÿäêà (íîðìû), ãäå K M�{ , ,� � evalp (a, 2, 9),
ordp (a, 2)}, à — 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, ïîëó÷åííîå â âèäå ñóììû êîìïî-
íåíò-âåòâåé ÁÄð; evalp (a, 2, 9) — íîðìàëèçîâàííîå 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî,
êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ êîòîðîãî îãðàíè÷åíî ÷èñëîì 9; ordp (a, 2) — 2-àäè-
÷åñêèé ïîðÿäîê.
Ç à ä à ÷ à 1. Äëÿ ~ ~*
~
c a bf� ïðè èçâåñòíûõ êîðòåæàõ K � è K � îïðå-
äåëèòü:
à) K � äëÿ ÍÌ ~c êàê ôóíêöèþ ðåçóëüòàòà îïåðàöèè, ò.å. K f a bf
� � (~*
~
);
á) K � äëÿ ÍÌ ~c êàê ôóíêöèþ êîðòåæåé, ò.å. K f K K� � �� ( , ).
Ç à ä à ÷ à 2. Íîâûé ýëåìåíò — êîýôôèöèåíò ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæ-
íîñòè (ÊÑÏ) ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ôóíêöèÿ, çàâèñÿùàÿ îò èåðàðõè÷åñêîé
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Ðèñ. 2. Íå÷åòêèå ïåðåìåííûå è èõ ÈÑ: à — ÍÏ
~
3�
�
trimf ([0 : 1 : 16], [2 3 7]),
~
7�
�
trimf ([0 : 1 : 16],
[3 7 9]), ñóììà ÷èñåë
~ ~
3 7� è èõ ÁÄð; á — ÁÄð äëÿ ÓÌ, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû ÍÏ
ñòðóêòóðû ÓÌ è ÍÌ, çàäàííîãî íà äàííîì ÓÌ. Äëÿ óñëîâèé íåîïðåäå-
ëåííîñòè ïðåäëîæèì íîâûé èíôîðìàöèîííûé îáúåêò: âìåñòî ïîäìíî-
æåñòâà óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (çíà÷åíèå, ÔÏ) — ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åí-
íûõ òðîåê: çíà÷åíèå, ÔÏ (ðàñøèðåíèå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè),
ÊÑÏ. Íåîáõîäèìî âûïîëíèòü àíàëèç ýôôåêòèâíîñòè ïðèìåíåíèÿ ðàñ-
ñìàòðèâàåìîãî ÊÑÏ.
Äàííûå çàäà÷è áóäåì ðåøàòü, ðàññìîòðåâ ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îïåðà-
öèé íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè äëÿ íå÷åòêèõ ïåðåìåííûõ (ÍÏ):
~
3�� trimf ([0 : 1 :
16], [2 3 7]),
~
7�� trimf ([0 : 1 : 16], [3 7 9]), ñóììû
~ ~
3 7� , ñôîðìèðîâàâ ÁÄð äëÿ
ÍÌ è ÓÌ. Óêàçàííûå îáúåêòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2. Ïðè ýòîì ÷èñëî
êëàñòåðîâ ïðèíÿòî ðàâíûì äåâÿòè è ÓÌ, íà êîòîðîì îïðåäåëåíû ÍÌ,
çàäàíî ñ øàãîì åäèíèöà, ò.å. X � [ : : ]0 1 20 ,
~
A ,
~
B,
~ ~
A B X�
.
Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñòðóêòóð, îïðåäåëåííûõ äëÿ ìèíèìàëü-
íîãî (ðèñ. 3, á) è ìàêñèìàëüíîãî (ðèñ. 3, â) ÷èñëà êëàñòåðîâ, ÿâëÿåòñÿ èõ
âèçóàëüíàÿ áëèçîñòü. Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ âûïîëíåíà ïî ìåòîäó
ÍÓÑ. Âû÷èñëåíû 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî è 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê. Êàê âèäíî èç
ðèñ. 3, ïðè çàäàííîì ÓÌ 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, îïðåäåëåííîå íà îñíîâå ÁÄð,
2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê ïðè çàäàííîé òî÷íîñòè äëÿ ÍÏ
~
,
~
3 7 è ñóììû
~ ~
3 7�
ñîâïàäàþò. Íàïðèìåð, äëÿ ñëó÷àÿ, ïðåäñòàâëåííîãî ðèñ. 3, á, > a := 28 + 218.
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 49
Ðèñ. 3. Íå÷åòêèå ïåðåìåííûå 3, 7 è ñóììà
~ ~
3 7� , îïðåäåëåííûå íà ÓÌ U = [0 : 20] (à), è ÁÄð
äëÿ ìèíèìàëüíîãî (á) è ìàêñèìàëüíîãî (â) ÷èñëà êëàñòåðîâ
Àíàëîãè÷íàÿ ñèòóàöèÿ íàáëþäàåòñÿ ïðè ïîñòðîåíèè ÈÑ ìåòîäàìè
ÍÁÑ è ÍÓÑ. Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé ïîçâîëÿþò ñäåëàòü
âûâîä î òîì, ÷òî ñòðóêòóðû ÍÏ
~
,
~
3 7,
~ ~
3 7� è ÓÌ, íà êîòîðûõ îíè îïðåäå-
ëåíû, ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâû. Ýòî ìîæåò îçíà÷àòü, ÷òî ÓÌ îïðåäåëÿåò
ñòðóêòóðó âñåõ ïîäìíîæåñòâ, êîòîðûå íà íåì çàäàíû. Ñàì ôàêò íàëè÷èÿ
ÓÌ îïðåäåëÿåò óñëîâèÿ íåîïðåäåëåííîñòè.
Äëÿ îöåíêè âëèÿíèÿ ñòðóêòóðû ÍÌ-ãðàíóëû (ÍÌÃð) íåîáõîäèìî ðàñ-
ñìîòðåòü èçìåíåíèå ÔÏ è äåôàäçèôèöèðîâàííîãî çíà÷åíèÿ ÍÏ, à òàêæå
èçìåíåíèå ðåçóëüòàòà îïåðàöèè íàä ÍÏ ñ ó÷åòîì èõ ñòðóêòóð. Ðåøåíèå
ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìîæíî âûïîëíèòü â äâà ýòàïà: íà ïåðâîì ýòàïå îïðå-
äåëèòü õàðàêòåðèñòèêè ñòðóêòóðû, íà âòîðîì — îáîáùåííóþ ÔÏ, ñîñòîÿ-
ùóþ èç ÔÏ, íàçíà÷åííîé ýêñïåðòàìè ýâðèñòè÷åñêè, è òàê íàçûâàåìîé
ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæíîñòè (ÑÏ), è ðàññìàòðèâàòü â îáùåì ñëó÷àå íå
ïîäìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð (çíà÷åíèå, ÔÏ), à ïîäìíîæåñòâî óïî-
ðÿäî÷åííûõ òðîåê (çíà÷åíèå, ÔÏ, ÑÏ).
Ïóñòü ÍÌÃð èìååò ÁÄð�, êîòîðîìó ñîîòâåòñòâóåò áèíàðíàÿ ìàòðèöà
� �{ , ,..., }m m mn1 2 , ãäå mi — ñòîëáåö ìàòðèöû, mi
�. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
1
0
2 4 6 8
À À
5
4
3
2
1
5 6 3 4 1 2
1
0
B
a á â
B B
1
0
À B� À B� À B�
5
4
3
2
1
5 6 1 2 3 4
2 4 6 8 10
5 1510 20
À
6
4
2
2 3 1 4 6 5
10
5
1 2 4 6 3 5
6
4
2
4 5 6 1 2 3
À
10
5
4 6 5 2 1 3
Ðèñ. 4. Ïðåäñòàâëåíèå ÍÌ
~
,
~
,
~ ~
A B A B� äëÿ âû÷èñëåíèÿ ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæíîñòè: à —
ÍÌÃð
~
3�
�
trimf([2 : 1 : 7], [2 3 7]),
~
7�
�
trimf ([3 : 1 : 9], [3 7 9]),
~ ~
3 7� ; á — ÁÄð ÍÌÃð; â — ÁÄð
÷åòêèõ èíòåðâàëîâ è ÓÌ äëÿ
~ ~
3 7�
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 51
ÑÏ
2-àäè÷åñêîå ÷èñëî âåòâåé ÁÄð è 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê
ÍÌ ÓÌ
ÍÏ
~
3: Ñóììà âñåõ âåòâåé ÁÄð
0,21 2^5 + 2^1 + 2^5 + 2^3 + 2^5 +
+ 2^1 + 2^3 + 2^5 + 0 + 2^1 =150
2^5 + 2^1 + 2^5 + 2^3 + 2^1 +
+ 2^5 + 0 + 2^1 = 1100,23
0,27 Íîðìàëèçîâàííîå 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî
0,28 > evalp (a, 2); 2 + 22 + 24 + 27
> ordp (a, 2); 1
> evalp (a, 2); 2 + 22 + 23 + 25 + 26
> ordp (a, 2); 10,0
0,01
ÍÏ
~
7:
0,22 2^1 + 0 + 2^1 + 2^6 + 2^1 + 2^3 +
+ 2^6 + 2^3 + 2^6 = 214
2^6 + 2^2 + 2^6 + 2^1 + 2^2 + 0 +
+ 2^6 + 2^1 + 2^3 = 2120,0
0,01 > evalp (a, 2); 2 + 22 + 24 + 26 + 27
> ordp (a, 2); 1
> evalp (a, 2); 22 + 24 + 26 + 27
> ordp (a, 2); 20,3
0,35
0,34
ÍÏ
~ ~
3 7� :
0,0 0 + 2^1 + 2^11 + 2^6 + 2^4 +
+ 2^11 + 2^3 + 2^6 = 4250
2^11 + 2^3 + 2^7 + 2^3 + 2^11 +
+ 0 + 2^7 + 2^3 = 43760,0
0,48 > evalp (a, 2); 2 + 23 + 24 + 27 + 212
> ordp (a, 2); 1
> evalp (a, 2); 23 + 24 + 28 + 212
> ordp (a, 2); 30,02
0,49
0,02
Òàáëèöà 1
ÊÑÏ
ÓÌ ÍÌ
X
A
~ X
B
~ X
A B
~ ~
�
~
A
~
B
~ ~
A B�
0,29 0,30 0,47 0,21 0,22 0,0
0,30 0,32 0,03 0,23 0,0 0,0
0,07 0,33 0,47 0,27 0,01 0,48
0,09 0,0 0,0 0,28 0,3 0,02
0,0 0,0 0,03 0,0 0,35 0,49
0,02 0,04 0,0 0,01 0,34 0,02
Òàáëèöà 2
ÈÊ âûïîëíåíà òàê, ÷òî ÷èñëî êëàñòåðîâ ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì �-óðîâíåé.
Äëÿ êàæäîãî ñòîëáöà ìîæíî âû÷èñëèòü çíà÷åíèÿ x ai
v
v
v( ) �
�
óðîâåíü
2 2� ,
ñóììà êîòîðûõ ñîñòàâèò 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, õàðàêòåðèçóþùåå íå òîëüêî
ìàòðèöó � è ÁÄð�, íî è ÍÌÃð. Îáîçíà÷èì � j j i
i
x x� �/ êîýôôèöèåíò
ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæíîñòè, 0 1
� j , ãäå xj — ñóììà ýëåìåíòîâ (2v) j-ãî
ñòîëáöà áèíàðíîé ìàòðèöû, j = 1, J;
i n
ix
�
�
1,
— ñóììà âñåõ ñòîëáöîâ ñòðóê-
òóðíîé (áèíàðíîé) ìàòðèöû. Ëåãêî çàìåòèòü, ÷òî � j — ýòî 2-àäè÷åñêèé
îòíîñèòåëüíûé ïóòü êàæäîãî ýëåìåíòà ñòðóêòóðû ïðè çàäàííîì ÷èñëå
êëàñòåðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ñòðóêòóðèðîâàííàÿ ÍÌÃð ìîæåò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíà â âèäå ~ {~, } {{ / }/ }x x x xstr � �� � � .
Âû÷èñëåíèå ñòðóêòóðíîé ïðèíàäëåæíîñòè. Ïðåäñòàâëåííûå íà ðèñ. 4
ÍÌ èìåþò ïÿòü �-óðîâíåé, ñòðóêòóðèçàöèÿ âûïîëíåíà ïî ìåòîäó ÍÓÑ. Ðå-
çóëüòàòû âû÷èñëåíèÿ ÊÑÏ äëÿ ÍÏ
~
3�� trimf ([2 : 1 : 7], [2 3 7]),
~
7�
�
trimf ([3 : 1 :
7], [3 7 9]),
~ ~
3 7� , âåëè÷èíû 2-àäè÷åñêèõ ÷èñåë è 2-àäè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ
ðàññìîòðåííûõ ÍÌ è ñîîòâåòñòâóþùèõ ÓÌ ïðèâåäåíû â òàáë. 1.
Àíàëèçèðóÿ ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ìîæíî îòìåòèòü ñëåäóþùåå. Âñå
ÍÏ, ðàññìàòðèâàåìûå êàê ÍÌÃð, ñòðóêòóðíî ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîì
óëüòðàìåòðè÷åñêîì ðàññòîÿíèè îò áàçîâîé òî÷êè (íóëÿ), à ÓÌ, íà êîòîðûõ
îïðåäåëåíû ðàññìàòðèâàåìûå ÍÌ, ðàñïîëîæåíû íà ðàçëè÷íûõ óëüòðàìåò-
ðè÷åñêèõ ðàññòîÿíèÿõ îò áàçîâîé òî÷êè. Ýòîò âàæíûé ôàêò äî íàñòîÿùåãî
âðåìåíè íå ó÷èòûâàëñÿ. 2-àäè÷åñêèå ÷èñëà, õàðàêòåðèçóþùèå ÍÌ è ÓÌ,
èìåþò ïðàêòè÷åñêè îäèíàêîâûå çíà÷åíèÿ, ò.å. íàçíà÷åíèå ýêñïåðòíîé ÔÏ
íå ïîâëèÿëî íà ïîëó÷åíèå äîïîëíèòåëüíîé èíôîðìàöèè.
 òàáë. 2 ïðèâåäåíû ÊÑÏ äëÿ ÓÌ-èíòåðâàëîâ, â êîòîðûå âêëþ÷åíû
ÍÌ, è ñîáñòâåííî ÍÌ (ñîîòâåòñòâåííî ÷åòêîå — { / }x 1 è íå÷åòêîå —
{ / }x x� ), à â òàáë. 3 — ñòðóêòóðèðîâàííûå ÍÌÃð, ãäå Êêë — 2-àäè÷åñêèé
îòíîñèòåëüíûé ïóòü êàæäîãî ýëåìåíòà ñòðóêòóðû ïðè çàäàííîì ÷èñëå
êëàñòåðîâ; A = trimf ([2 : 1 : 7], [2 3 7]); B = trimf ([3 : 7/6 : 9], [3 7 9]); AplB =
= trimf ([5 : 12/6 : 16], [5 10 16]); an = [[2 : 1 : 7 �] �A sA�]; bn = [[3 : 7/6 : 9 �] �B sB�];
aplbn = [[5 : 12/6 : 16 �] Apl �B sApl �B ]. Òàêèì îáðàçîì, ó÷åò ÈÑ ÍÌÃð
ïðèâîäèò ê ÍÌ ñ 2-ìåðíîé ÔÏ.
Ïîñêîëüêó âû÷èñëèòåëüíûé àïïàðàò ÒÍÌ õîðîøî ðàçâèò, ïðèìåíèì
åãî äëÿ íîâîé ñòðóêòóðèðîâàííîé ÍÌÃð. Ââåäåì îáîáùåííóþ ÔÏ �gen �
� �( ) /� �2 2 1 2. Íà ðèñ. 5 ïðèâåäåíû ñòàíäàðòíûå ÍÌÃð è 2-àäè÷åñêè ñòðóê-
òóðèðîâàííûå ÍÌ, à â òàáë. 3 — ðåçóëüòàòû îïåðàöèè
~ ~
A B� äëÿ ÍÌÃp
~
A ,
~
B.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Íà ðèñ. 6 ïðèâåäåíî ñðàâíèòåëüíîå èçîáðàæåíèå ñòàíäàðòíîãî
ÍÌ ~ { / }x x x� � , �x � [ , ]0 1 , ÍÌ ñ ó÷åòîì 2-àäè÷åñêîé ñòðóêòóðû
~ / ,( ) ( )x a ai
i
i�
2 2��
�
�
�
�
�
�
�
� a ai
i
i
2 2
0 1( ) ( )/ [ , ]��
�
�
�
�
��
�
�
� è îáîáùåííîå (ñòðóêòóðèðîâàí-
íîå) ÍÌ � �gen i
x x i
i
ia a� ��
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��( ) /( ) ( )
/
2
2 2
2 1 2
. Ìàêñèìàëüíûé ðàíã (ñòåïåíü,
óðîâåíü íà äåíäðîãðàììå) áèíàðíîãî ÷èñëà îïðåäåëÿåòñÿ äëèíîé èíòåðâàëà,
íà êîòîðîì çàäàíî ÍÏ, ðàíã àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè íàä ÍÏ
~ ~
A Bf
îïðåäåëÿåòñÿ äëèíîé èíòåðâàëà, â êîòîðûé âëîæåíû ÍÏ, r r r
A B A f Bf
~ ~ ~ ~
� ,
r f
A I A~ ( )� 1 , r f
B I B~ ( )� 1 , ãäå 1
I A , 1
I B — äëèíû èíòåðâàëîâ, íà êîòîðûå îïè-
ðàþòñÿ ÍÏ
~
A,
~
B; *f
{+, –, *, /}.
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 53
Ñòðóêòóðèðîâàííûå ÍÌÃð
Îïîðíîå ìíîæåñòâî
ñ çàäàííûì øàãîì
Ñòàíäàðòíàÿ ÔÏ ÊÑÏ ïðè Êêë = 6
Ñòàíäàðòíîå
ÍÌ
2-àäè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà
Ñòàíäàðòíîå
ÍÌ
2-àäè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà
Ñòàíäàðòíîå
ÍÌ
2-àäè÷åñêàÿ
ñòðóêòóðà
2,00 0 0,21 3,00 0 0,22 5,00 0 0
3,00 1,00 0,23 4,17 0,29 0 7,00 0,40 0
4,00 0,75 0,27 5,33 0,58 0,01 9,00 0,80 0,48
5,00 0,50 0,28 6,50 0,88 0,30 10,00 0,83 0,02
6,00 0,25 0 7,67 0,67 0,35 13,00 0,50 0,49
7,00 0 0,01 8,83 0,08 0,34 15,00 0,17 0,02
~
A
~
B
~ ~
A B�
Òàáëèöà 3.
Ðèñ. 5. Ñòàíäàðòíûå (st) ÍÌÃð (à) è 2-àäè÷åñêè ñòðóêòóðèðîâàííûå (str) ÍÌ (á)
Ïðèìåð. Ïóñòü ÍÏ
~
3�� trimf ([2 : 1 : 7], [2 3 7]),
~
7�� trimf ([3 : 1 : 9], [3 7 9]),
~ ~
3 7� êàê ÍÌÃð èìåþò âèä
~
3
2
3
7
0
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
~
7
3
7
9
0
1
0
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
~ ~
3 7
5 0
10 1
16 0
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ñòðóêòóðèðîâàííûå ÍÌÃð èìåþò âèä
~
,3
2
3
7
0
1
0
1str �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#
,
~
,7
3
7
9
0
1
0
3str �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#
,
~ ~
,3 7
5 0
10 1
16 0
1str str� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
#
$#
%
&
#
'#
,
ãäå
~ ~
(
~ ~
)3 7 3 7str str str� ( � . Òàêèì îáðàçîì, ñòðóêòóðèðîâàííîå ÍÌ — ýòî
ìíîæåñòâî, îáúåäèíÿåìîå ñ ìíîæåñòâîì, ñîäåðæàùèì 2-àäè÷åñêèé ïîðÿ-
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
Ðèñ. 6. Ïðåäñòàâëåíèå ñòàíäàðòíîãî ÍÌ (à), ÍÌ ñ ó÷åòîì 2-àäè÷åñêîé ñòðóêòóðû (á) è
îáîáùåííîå (ñòðóêòóðèðîâàííîå) ÍÌ (â)
äîê ÷èñëà, ïîëó÷åííîãî íà îñíîâàíèè ÁÄð, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì
êëàñòåðèçàöèè ÍÌ ìåòîäîì ÍÓÑ èëè ÍÁÑ ñ ó÷åòîì ìàêñèìàëüíîãî èëè
ìèíèìàëüíîãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êëàñòåðàìè.
Íà ðèñ. 7 ïîêàçàí âîçìîæíûé ñïîñîá ïðåäñòàâëåíèÿ ñòðóêòóðèðîâàí-
íîé ÍÏ. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà ord p — ñêàëÿð è äåôàäçèôèöèðîâàííîå çíà-
÷åíèå ÍÌ — òàêæå ñêàëÿð, ìîæíî ââåñòè îáîáùåííûé ïîêàçàòåëü ñòðóê-
òóðèðîâàííîñòè ÍÌ — ñòðóêòóðíî äåôàäçèôèöèðîâàííîå ÷èñëî (ÑÄ×):
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 55
Ðèñ. 7. Ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ
~
7trimf : à — ñòàíäàðòíîå ÍÌ; á — ñ ó÷åòîì ñòðóêòóðíûõ ñâîéñòâ
ÍÏ �ord p(ÍÏ)
Ðèñ. 8. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ Adef
str : à — ÍÏ
~
A � 3trimf ,
~
B � 7trimf ,
~ ~ ~
C A B� � ; á — ÁÄð, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ÍÏ
~
A,
~
B,
~ ~
A B� (ñòðóêòóðû ÍÏ îïðåäåëåíû íà îñíîâàíèè ÈÊ ïî ìåòîäó ÍÓÑ)
A A Cdef
str
2def ord� �( (
~
) ( ) ) /2 2 1 2, ãäå def (
~
)A 2 — ÷åòêîå (äåôàäçèôèöèðîâàí-
íîå) çíà÷åíèå
~
A;ord2 C — 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê 2-àäè÷åñêîãî ÷èñëà, õàðàê-
òåðèçóþùåãî ÁÄð. Ïðèìåðû âû÷èñëåíèÿ Adef
str ïðèâåäåíû íà ðèñ. 8. Ïî-
ñêîëüêó ñòðóêòóðû ðàññìàòðèâàåìûõ ÍÌ ýëåìåíòàðíî ïðîñòû, âëèÿíèå èõ
â äàííîì ñëó÷àå íå ñóùåñòâåííî. Ñòðóêòóðíûå õàðàêòåðèñòèêè ÍÏ —
2-àäè÷åñêîå ÷èñëî, 2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê è ÑÄ× ñëåäóþùèå:
[
~
]A 2 � 2 + 22 + 24 + 27 , ord2 ([
~
]A 2) = 1, ÑÄ× = (32 + 12)1/2 = 3,162;
[
~
]B 2 � 23 + 24 + 26 + 27, ord2 ([
~
]B 2) = 3, ÑÄ× = (7+3)1/2 = 7,62;
[
~ ~
]A B� �2 2 + 22 + 23 + 27 + 212 , ord2 ([
~ ~
]A B� 2) = 2, ÑÄ× =(10 + 2)1/2 = 10,2,
ãäå [ ]~
2 — 2-àäè÷åñêèé àíàëîã ÍÏ. Ïðåäëîæåííûå ñòðóêòóðíûå õàðàêòå-
ðèñòèêè ÍÌ ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû êàê äîïîëíèòåëüíûå ïðèçíàêè ïðè
ïðèíÿòèè ðåøåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè.
Âûâîäû
 ÒÍÌ ïðàêòè÷åñêè íå ðàññìàòðèâàåòñÿ âëèÿíèå ñòðóêòóðû ÍÌ íà åãî
õàðàêòåðèñòèêè è íà ÔÏ — îñíîâíîé àòðèáóò ÍÌ, õîòÿ èãíîðèðîâàíèå
ñòðóêòóðû íå ìîæåò íå âëèÿòü íà ïðåäñòàâëåíèå íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè-
ìåíåíèå ìåòîäîâ ÈÊÀ äëÿ àíàëèçà ñòðóêòóðû ÍÌ äàåò âîçìîæíîñòü îñó-
ùåñòâèòü åñòåñòâåííûé ïåðåõîä ê ÈÑ, ïîçâîëÿåò ïðèìåíèòü íîâûå ïàðà-
äèãìû â àíàëèçå äàííûõ è îòêðûâàåò íîâûå ïåðñïåêòèâû â âîïðîñàõ îðãà-
íèçàöèè äàííûõ, âêëþ÷àÿ èçâëå÷åíèå çíàíèé.
Êàæäàÿ ñòðóêòóðà — ÁÄð, íà îñíîâàíèè êîòîðîãî ôîðìèðóåòñÿ ñòðóê-
òóðíàÿ (áèíàðíàÿ) ìàòðèöà, ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü 2-àäè÷åñêîå ÷èñëî,
2-àäè÷åñêèé ïîðÿäîê (íîðìó), 2-àäè÷åñêóþ ÑÏ, âû÷èñëÿåìóþ êàê îòíîøå-
íèå äëèíû âåòâè ÁÄð ê ñóììå äëèí âñåõ âåòâåé.
Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîäòâåðäèëè öåëåñîîáðàç-
íîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÌÃð â âèäå îáúåêòà, ó÷èòûâàþùåãî åå ñòðóêòóðó.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Baruah H.K. The Theory of Fuzzy Sets: Beliefs and Realities. International Journal of En-
ergy, Information and Communications. — 2011. — Vol. 2, Issue 2. — Ð. 1—22.
2. Simon H.A. The Sciences of the Artificial. — Cambridge: MIT Press, 1996.—216 p.
3. Delgado M., Gîmez-Skarmeta A.F., Vila A. On the Use of Hierarchical Clustering in Fuzzy
Modeling// Intern. J. of Approximate Reasoning. — 1996. — ¹ 14. — Ð. 237—257.
4. Murtagh F. Quantifying ultrametricity// Symposium Physica. COMPSTAT — 2004. —
Verlag Springer, 2004. — P.
5. Õðåííèêîâ À.Þ. Íåàðõèìåäîâ àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. — Ì. : Ôèçìàòëèò, 2003. —
216 ñ.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
6. Murtagh F. From Data to the p-Adic or Ultrametric Model. — arXiv:0805.2744v1 [stat.ML]
18 May 2008. — 34 ð.
7. Êóðêèíà Ì.Â., Ñëàâñêèé Â.Â. Îáðàòíàÿ çàäà÷à â òåîðèè íå÷åòêèõ îòíîøåíèé ýêâèâà-
ëåíòíîñòè. [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http:://www. uctt.ru›download/32/.
8. Ãóíäûðåâ È.À. Î ïîäîáíî îäíîðîäíûõ ëîêàëüíî êîìïàêòíûõ ïðîñòðàíñòâàõ ñ âíóò-
ðåííåé ìåòðèêîé // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. — 2008. — 4 (551). — Ñ. 28—42.
[Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://www. ksu. ru/journals/izv_vuz/.
9. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Èåðàðõè÷åñêàÿ êëàñòåðèçàöèÿ íå÷åò-
êèõ äàííûõ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 4. — Ñ. 3—22.
10. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Òåíçîðíûå ìîäåëè ÍÌ-ãðàíóë è èõ
ïðèìåíåíèå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ íå÷åòêîé àðèôìåòèêè// Èñêóññòâåííûé èíòåëëåêò.—
2013. — ¹ 2. — Ñ. 18—32.
11. Ìèíàåâ Þ.Í., Ôèëèìîíîâà Î.Þ., Ìèíàåâà Þ.È. Ñòðóêòóðèðîâàííûå ãðàíóëû íå÷åò-
êîãî ìíîæåñòâà â çàäà÷àõ ãðàíóëÿðíîãî êîìïüþòèíãà// Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2014. — 36, ¹ 6. — Ñ. 77—96.
12. Õðåííèêîâ À.Þ. Ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ìûøëåíèÿ â ð-àäè÷åñêèõ ñèñòåìàõ êîîð-
äèíàò. — Ì. : Ôèçìàòëèò, 2004. — 296 ñ.
13. Murtagh F. On ultrametricity, data coding, and computation // J. Classification. — 2004. —
Vol. 21. — P.167—184.
14. Bradley P.E. Mumford dendrograms// The Computer Journal. — Arxiv: 0707. 3540 [cs.DM] —
14 p.
15. Gomez S., Fernandez A., Montiel J., Torre D. MultiDendrograms: Variable-Group Agglome-
rative Hierarchical Clustering. — arXiv:1201.1623v1 [cs.IR] 8 Jan 2012. — 18 p. [Ýëåêòðîí-
íûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://deim.urv.cat/ sgomez/multidendrograms.php
Yu. N. Minaev, O.Yu. Filimonova, Yu.I. Minaeva
INFLUENCE OF HIERARCHIC STRUCTURE OF FUZZY SET GRANULES
ON COMPUTATION PROCEDURES OF FUZZY MATHEMATICS
It is proposed to consider a fuzzy set as an object provided with hierarchic structure obtained
with the help of the methods of hierarchic clusterization. A notion of structure belonging has
been introduced which is determined depending on the hierarchic structure of the universal
set and considers the norm of the 2-adic number equivalent to the hierarchic structure. It has
been proposed to consider the structured FS as the union of the standard FS with the norm of
2-adic number obtained on the basis of binary tree being a result of hierarchic FS clusterization.
A generalized indicator of FS structurization - structurally dephadzificated number
K e y w o r d s : fuzzy set, hierarchic clusterization, ð-adic analysis, structure matrix, binary
tree.
REFERENCES
1. Baruah, H. K. (2011), “The Theory of Fuzzy Sets: Beliefs and Realities”, International Jour-
nal of Energy, Information and Communications, Vol. 2, issue 2, pp. 1-22.
2. Simon, H.A. (1996), The Sciences of the Artificial, MIT PRESS, Cambridge.
3. Delgado, M., Gomez-Skarmeta, A.F. and Vila, A. (1996), “On the Use of Hierarchical Clus-
tering in Fuzzy Modeling”, Intern. J. of Approximate Reasoning, no. 14, pp. 237-257.
4. Murtagh, F. (2004), “Quantifying ultrametricity”, In J. Antoch, ed., COMPSTAT 2004 –
Proceedings in Computational Statistics, Prague, Czech Republic, Springer-Verlag,
Berlin, pp. 1561-1568.
Âëèÿíèå èåðàðõè÷åñêîé ñòðóêòóðû ãðàíóë íå÷åòêîãî ìíîæåñòâà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 2 57
5. Khrennikov, A.Y. (2003), Nearkhimedov analiz i yego prilozheniya [Non-Archimedean
analysis and its applications], Fizmatli, Moscow, Russia.
6. Murtagh, F. (2008), “From Data to the p-Adic or Ultrametric Model”, available at:
arXiv:0805.2744v1 [stat.ML], May 18, 2008.
7. Kurkina, M.V. and Slavskii, V.V. “The inverse problem in the theory of fuzzy relations of
equivalence”, available at: http:://www. uctt.ru›download/32/
8. Gundyrev, I.A. (2008), “Similarly homogeneous locally compact spaces with an intrinsic
metric”, available at: http://www. ksu. ru/journals/izv_vuz/.
9. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minaeva, Yu.I. (2012), “Hierarchical clustering of
fuzzy data”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 34, no. 4, pp. 3-22.
10. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minaeva, Yu.I. (2013), “Tensor models of FS-
granules and their application to solving problems of fuzzy arithmetic”, Iskusstvennyy
intellekt, no. 2, pp. 18-32.
11. Minayev, Yu.N., Filimonova, O.Yu. and Minaeva, Yu.I. (2014), “Structured FS-granules in
granular computing tasks”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 36, no. 6, pp. 77-96.
12. Khrennikov, A.Yu. (2004), Modelirovaniye protsessov myshleniya v ð-àdicheskikh siste-
makh koordinat [Modeling of thinking processes in p-adic coordinate systems], Fizmatlit,
Moscow, Russia.
13. Murtagh, F. (2004), “On ultrametricity, data coding, and computation”, J. Classifica-
tion, Vol. 21, pp. 167-184.
14. Bradley, P.E. “Mumford dendrograms”, The Computer Journal, To appear. Arxiv: 0707.
3540 [cs.DM].
15. Gomez, S., Fernandez, A., Montiel, J. and Torre, D. (2012), “Multidendrograms: vari-
able-group agglomerative hierarchical clustering», available at :http://deim.urv.cat/
sgomez/multidendrograms.php (assessed Jan.8, 2012).
Ïîñòóïèëà 13.10.14
ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì è
ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû.  1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé
ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ,
ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõíîëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.
ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåð-
ñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû.  1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî-ñòðîè-
òåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
ÌÈÍÀÅÂÀ Þëèÿ Èâàíîâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû îñíîâ èíôîðìàòèêè Êèåâñêîãî
íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû, êîòîðûé îêîí÷èëà â 2008 ã.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûé àíàëèç äàííûõ.
Þ.Í. Ìèíàåâ, Î.Þ. Ôèëèìîíîâà, Þ.È. Ìèíàåâà
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101102 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T17:33:59Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. 2016-05-31T05:53:42Z 2016-05-31T05:53:42Z 2015 Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова, Ю.И. Минаева // Электронное моделирование. — 2015 — Т. 37, № 2. — С. 41-58. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101102 517.11+519.92 Предложено рассматривать нечеткое множество (НМ) как объект, наделенный иерархической структурой, полученной с помощью методов иерархической кластеризации. Введено понятие структурной принадлежности, определяемое в зависимости от иерархической структуры универсального множества и учитывающее норму 2-адического числа, эквивалентного иерархической структуре. Предложено рассматривать структурированное НМ как объединение стандартного НМ с нормой 2-адического числа, полученного на основе бинарного дерева, являющегося результатом иерархической кластеризации НМ. Введен обобщенный показатель структурированности НМ—структурно дефадзифицированное число. Запропоновано розглядати нечітку множину (НМ) як об’єкт, наділений ієрархічною структурою, отриманою за допомогою методів ієрархічної кластерізації. Введено поняття структурної належності, яке визначається в залежності від ієрархічної структури універсальної множини та враховує норму 2-адичного числа, еквівалентного ієрархічній структурі. Запропоновано розглядати структуровану НМ як об’єднання стандартної НМ з нормою 2-адичного числа, отриманого на основі бінарного дерева, яке є результатом ієрархічної кластерізації НМ. Введено узагальнений показник структурованості НМ— структурно дефадзифіковане число. It is proposed to consider a fuzzy set as an object provided with hierarchic structure obtained with the help of the methods of hierarchic clusterization. Anotion of structure belonging has been introduced which is determined depending on the hierarchic structure of the universal set and considers the norm of the 2-adic number equivalent to the hierarchic structure. It has been proposed to consider the structured FS as the union of the standard FS with the norm of 2-adic number obtained on the basis of binary tree being a result of hierarchic FS clusterization. A generalized indicator of FS structurization - structurally dephadzificated number ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики Influence of hierarchic structure of fuzzy set granules on computation procedures of fuzzy mathematics Article published earlier |
| spellingShingle | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Минаева, Ю.И. Вычислительные процессы и системы |
| title | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| title_alt | Influence of hierarchic structure of fuzzy set granules on computation procedures of fuzzy mathematics |
| title_full | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| title_fullStr | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| title_full_unstemmed | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| title_short | Влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| title_sort | влияние иерархической структуры гранул нечеткого множества на вычислительные процедуры нечеткой математики |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101102 |
| work_keys_str_mv | AT minaevûn vliânieierarhičeskoistrukturygranulnečetkogomnožestvanavyčislitelʹnyeprocedurynečetkoimatematiki AT filimonovaoû vliânieierarhičeskoistrukturygranulnečetkogomnožestvanavyčislitelʹnyeprocedurynečetkoimatematiki AT minaevaûi vliânieierarhičeskoistrukturygranulnečetkogomnožestvanavyčislitelʹnyeprocedurynečetkoimatematiki AT minaevûn influenceofhierarchicstructureoffuzzysetgranulesoncomputationproceduresoffuzzymathematics AT filimonovaoû influenceofhierarchicstructureoffuzzysetgranulesoncomputationproceduresoffuzzymathematics AT minaevaûi influenceofhierarchicstructureoffuzzysetgranulesoncomputationproceduresoffuzzymathematics |