О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона
Рассматривается спектральная задача, порождённая модельной линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томсона, а также её обобщение для случая тройки абстрактных гильбертовых пространств. Доказано, что спектры этого класса задач являются вещественными и дискретными, системы собственных элемен...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10111 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 31-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860261094741770240 |
|---|---|
| author | Войтицкий, В.И. |
| author_facet | Войтицкий, В.И. |
| citation_txt | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 31-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | Рассматривается спектральная задача, порождённая модельной линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томсона, а также её обобщение для случая тройки абстрактных гильбертовых пространств. Доказано, что спектры этого класса задач являются вещественными и дискретными, системы собственных элементов образуют ортонормированные базисы. Также получены некоторые оценки роста собственных значений и достаточные условия существования положительной, либо положительной и отрицательной ветвей собственных значений.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:55:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 17, 31-49 (2007) 31
c©2007. В.И. Войтицкий
О СПЕКТРАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ, ПОРОЖДЁННЫХ
ЛИНЕАРИЗОВАННОЙ ЗАДАЧЕЙ СТЕФАНА
С УСЛОВИЕМ ГИББСА-ТОМПСОНА
Рассматривается спектральная задача, порождённая модельной линеа-
ризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томсона, а также её обобще-
ние для случая тройки абстрактных гильбертовых пространств. Доказано,
что спектры этого класса задач являются вещественными и дискретными,
системы собственных элементов образуют ортонормированные базисы. Так-
же получены некоторые оценки роста собственных значений и достаточные
условия существования положительной, либо положительной и отрицатель-
ной ветвей собственных значений.
Ключевые слова: гильбертово пространство, вложение пространств,
спектральная задача, спектральный параметр, самосопряжённый опе-
ратор, ортонормированный базис
MSC (2000): 35P05, 35P10
1. Введение. Постановка модельной линеари-
зованной задачи Стефана с условием
Гиббса-Томсона.
Задачей Стефана называют проблему определения поля тем-
пературы и границы фазового перехода при плавлении или кри-
сталлизации в чистом веществе. При таких процессах различные
части вещества могут находиться в различных агрегатных состя-
ниях (в различных фазах). При этом формы границ раздела фаз
со временем меняются.
История изучения задачи Стефана насчитывает более 150
лет. Ее исследованием занималось огромное число математиков
практически во всех странах мира. Существенный вклад в раз-
витие аналитических методов исследования сделали И. И. Дани-
люк, П. Я. Полубаринова-Кочина, М. А. Лаврентьев, О. А. Олей-
ник, В. А. Солонников, Л. Н. Ниренберг, А. Фридман, А. Мейр-
манов, Е. В. Радкевич, Б. В. Базалий и др.
Различают однофазные и двухфазные, одномерные и много-
мерные, стационарные и квазистационарные, классические и мо-
дифицированные задачи Стефана. При этом спектральные зада-
32 В.И. Войтицкий
чи, порождённые задачей Стефана, по-видимому, ранее не изуча-
лись. Исторический обзор результатов по задаче Стефана можно
найти, например, в [1].
В данной статье рассматриваются спектральные задачи, по-
рождённые одной модельной линеаризованной однофазной зада-
чей Стефана в области Ω с фиксированной липшицевой границей.
Линеаризованные постановки задачи Стефана возможны, если
рассматривать задачу на малом интервале времени t ∈ [0;T ],
считая, что неизвестная граница меняется за это время незна-
чительно (см. [1], §3). Итак, рассмотрим следующую постановку
задачи Стефана с условием Гиббса-Томсона:
В ограниченной области Ω ⊂ Rm с липшицевой границей
∂Ω = Γ ∪ S (Γ ∩ S = ∅) необходимо решить уравнение
∂u
∂t
(t, x) − ∆u(t, x) = f(t, x), x ∈ Ω, (1)
с краевыми условиями
u(t, x) + ∆Γσ(t, x) = g(t, x), x ∈ Γ; (2)
−
∂u
∂n
(t, x) +
∂σ
∂t
(t, x) = h(t, x), x ∈ Γ; (3)
u(t, x) = 0, x ∈ S; (4)
σ(t, x) = 0, x ∈ ∂Γ, (5)
и начальными условиями
u(0, x) = u0(x), x ∈ Ω; (6)
σ(0, x) = σ0(x), x ∈ Γ. (7)
Здесь неизвестными являются функции u(t, x), σ(t, x), опреде-
лённые соответственно на множествах [0;T ]×Ω и [0;T ]×Γ; u0(x)
и σ0(x) — заданные функции; ∆ — оператор Лапласа; ∆Γ — опе-
ратор Лапласа-Бельтрами, действующий на границе Γ. За малые
изменения части границы Γ в поставленной задаче отвечает за-
данная на Γ неизвестная функция σ(t, x). Условия (4) – (5) вве-
дены для удобства рассмотрений.
Следует отметить, что данная начально-краевая задача изу-
чалась ранее в полупространстве проф. Волевичем Л. Р. Резуль-
таты его исследований были представлены на Крымских осенних
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 33
математических школах в 2004 и 2005 годах. Постановка этой за-
дачи проистекает, например, из задачи, рассмотренной в [2] (см.
также [3] – [5]).
2.Спектральная задача Стефана с условием
Гиббса-Томсона.
Будем изучать соответствующую однородную задачу, считая,
что
u(x, t) = u(x)e−λt, x ∈ Ω; (8)
σ(x, t) = σ(x)e−λt, x ∈ Γ. (9)
Подставляя выражения (8) – (9) в уравнения (1) – (7), приходим
к спектральной задаче с неизвестными функциями σ(x) и u(x):
−∆u(x) = λu(x), x ∈ Ω; (10)
−∆Γσ(x) = u(x), x ∈ Γ; (11)
∂u
∂n
(x) = −λσ(x), x ∈ Γ; (12)
u(x) = 0, x ∈ S; (13)
σ(x) = 0, x ∈ ∂Γ. (14)
В этой задаче можно исключить неизвестную функцию σ(x). Для
этого рассмотрим оператор B:
Bσ := −∆Γσ, D(B) = {σ(x) ∈ C2(Γ) : σ|∂Γ = 0}, (15)
действующий в гильбертовом пространстве L2(Γ).
Лемма 2.1. Оператор B является симметрическим и положи-
тельно определенным.
Замечание 2.1. В силу леммы 2.1 оператор B можно расши-
рить по Фридрихсу до самосопряженного оператора B̃ с тем
же энергетическим пространством. Будем считать, что эта
процедура проделана и далее всюду B := B̃ — самосопряженный
положительно определенный оператор. Тогда, очевидно, что су-
ществует оператор B−1, и он является самосопряжённым огра-
ниченным положительным оператором. Можно доказать, что
B−1 является также компактным оператором.
34 В.И. Войтицкий
Подействуем на обе части уравнения (11) ограниченным опе-
ратором B−1. Тогда
σ(x) = B−1u(x), x ∈ Γ, (16)
и возникает спектральная задача
−∆u(x) = λu(x), x ∈ Ω; (17)
∂u
∂n
(x) = (−λ)B−1u(x), x ∈ Γ; (18)
u(x) = 0, x ∈ S, (19)
для одной искомой функции u(x). Функцию σ(x) можно находить
по формуле (16).
Будем исследовать задачу (17) – (19), считая, что B−1 произ-
вольный самосопряжённый ограниченный положительный опера-
тор, действующий в пространстве L2(Γ). Назовём ее спектраль-
ной задачей Стефана с условием Гиббса-Томсона.
Особенностью спектральной задачи (17) – (19) является при-
сутствие спектрального параметра λ в уравнении и в краевом
условии. Задачи подобного вида, когда B−1 = I, и перед λ в (18)
стоит знак “плюс”, изучались ранее в работах [6] – [9].
В [10] было представленно рассмотрение задачи (17) – (19) в
пространстве пар H = L2(Ω)⊕L2(Γ). Было показано, что спектр
задачи вещественный, дискретный, состоит из ветви положитель-
ных и, по-видимому, из ветви отрицательных собственных зна-
чений с предельными точками λ = ±∞. Система собственных
элементов образует ортонормированный базис в некотором гиль-
бертовом (энергетическом) пространстве HA ⊂ H.
В данной статье предложено исследование абстрактной спек-
тральной задачи, являющейся обобщением спектральной задачи
(17) – (19). С помощью абстрактной формулы Грина доказано,
что свойства системы собственных элементов и спектра абстракт-
ной спектральной задачи аналогичны свойствам задачи (17) –
(19).
3. Формулировка абстрактной спектральной
задачи Стефана.
Пусть F , E и G — произвольные сепарабельные гильберто-
вы пространства, такие, что F ограниченно (плотно) вложено в
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 35
E (обозначение: F ⊂→ E), и на F определён ограниченный аб-
страктный оператор следа γ : F → G такой, что R(γ) =: G+ ⊂→
G. Тогда (см. [11], а также [12] – [15]) можно однозначно по
E, F, G (со скалярными произведениями (·, ·)E, (·, ·)F и (·, ·)G)
и γ построить абстрактные дифференцальные выражения
L : D(L) = F → F ∗ ⊃ E; (20)
∂ : D(∂) = F → (G+)∗ =: G− ⊃ G, (21)
такие, что справедлива абстрактная формула Грина
〈v, Lu〉E = (v, u)F − 〈γv, ∂u〉G, ∀v, u ∈ F. (22)
Здесь выражения в косых скобках являются функционалами, дей-
ствующими на v ∈ F и γv ∈ G+, и определяемыми элементами
Lu ∈ F ∗ и ∂u ∈ G−.
Заметим при этом, что если Lu ∈ E, а ∂u ∈ G, то эти функци-
оналы являются обычными скалярными произведениями, и тогда
справедлива формула
(v, Lu)E = (v, u)F−(γv, ∂u)G, ∀v, u ∈ F : Lu ∈ E, ∂u ∈ G. (23)
Будем обозначать далее N := Kerγ, M := F ⊖ N и считать,
что N и M — бесконечномерные подпространства пространства
F .
Пусть пространства E,F,G и оператор следа γ заданы и по
ним построены операторы L и ∂. Тогда по аналогии с задачей
(17) – (19) можно рассмотреть следующую спектральную задачу:
Lu = λu (в E); (24)
∂u = (±λ)V γu (в G). (25)
Здесь V = V ∗ ∈ L(G+;G−), 〈ϕ, V ϕ〉G > 0, ∀ϕ 6= 0, ϕ ∈ G+.
Случай различных знаков в (25) будет рассматриваться одновре-
менно. Назовём эту задачу абстрактной спектральной задачей
Стефана.
Следует отметить, что подобная задача в случае знака “плюс”
в уравнении (25) исследовалась ранее в [12] (см. п. 4.4.). Случай
же знака “минус” в (25) ранее не исследовался.
36 В.И. Войтицкий
Задача (17) – (19) получается из задачи (24) – (25), если в
абстрактном краевом условии (25) перед λ стоит знак “минус”,
V = B−1, и в качестве тройки гильбертовых пространств взяты
следующие пространства:
E = L2(Ω); (26)
F = H1
0,S(Ω) = {u ∈ H1(Ω) : u = 0 (на S)}; (27)
G = L2(Γ); (28)
γ : F = H1
0,S(Ω) → H1/2(Γ) = G+, γu := u|Γ. (29)
В этом случае согласно теоремам вложения С. Л. Соболева F =
H1
0,S(Ω) компактно вложено в L2(Ω) = E, γ — оператор следа, для
которого R(γ) = G+ = H1/2(Γ) компактно вложено в L2(Γ) = G,
N = H1
0(Ω) = {u ∈ H1(Ω), u|∂Ω = 0} плотно в L2(Ω) = E, M =
H1
0,S(Ω) ⊖ H1
0(Ω) = H1
h,S(Ω) := {u ∈ H1
0,S(Ω) : ∆u = 0 (в Ω)} —
пространство гармонических функций, обращающих в нуль на S.
В качестве оператора L в спектральной задаче Стефана с
условиями Гиббса-Томсона выступает оператор −∆, а в качестве
∂ — оператор производной по нормали. Абстрактная формула
Грина (23) в этом случае превращается в первую формулу Грина
для оператора Лапласа:
−
∫
Ω
(∆u)vdΩ =
∫
Ω
∇u · ∇vdΩ −
∫
∂Ω
∂u
∂n
vdS. (30)
В [16] задача (24) – (25) сводится к спектральной задаче
для компактного самосопряжённого оператора в пространстве
пар H = E ⊕ G. Там доказано, что в предположении компакт-
ности вложений F в E (обозначение F ⊂→⊂→ E ) и G+ в G,
при дополнительном условии N = E, задача имеет собственный
ортонормированный базис в гильбертовом пространстве F ∔G+.
Спектр задачи (24) – (25) вещественный, дискретный. В случае
знака “плюс” в уравнении (25) он состоит из ветви положитель-
ных собственных значений с предельной точкой λ = +∞, а в
случае знака “минус” — из ветви положительных и ветви отрица-
тельных собственных значений с предельными точками λ = ±∞.
В данной статье педлагается другой метод исследования задачи
(24) – (25). А именно, метод рассмотрения абстрактной задачи
Неймана для уравнения Пуассона.
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 37
4. Операторная форма абстрактной спектраль-
ной задачи Стефана.
Рассмотрим общую вспомогательную абстрактную задачу Ней-
мана для уравнения Пуассона:
Lu = f (в F ∗); (31)
∂u = ψ (в G−). (32)
Эта задача рассматривалась в статьях [12] (п. 3.2) и [11] (п. 2.4),
а также в [13].
Определение 4.1. Решение задачи (31) – (32) при условии f ∈
F ∗, ψ ∈ G−, будем называть слабым решением.
Определение 4.2. Слабое решение задачи (31) – (32), отвеча-
ющее случаю f ∈ E, ψ ∈ G, назовём обобщённым решением.
Теорема 4.1.При условии N = E элемент u ∈ F тогда и только
является слабым решением задачи (31) – (32), когда выполняет-
ся тождество
(v, u)F = 〈v, f〉E + 〈γv, ψ〉G, ∀v ∈ F. (33)
Для любых f ∈ F ∗, ψ ∈ G−, существует единственное сла-
бое решение задачи (31) – (32). Оно находится по формуле
u = Ã−1f +Kψ, (34)
где Ã : F → F ∗ — расширение оператора A гильбертовой пары
(F ;E), а K : G− → M ⊂ F — ограниченный оператор, сопря-
жённый к γ и определяемый из тождества
(v,Kψ)F = 〈γv, ψ〉G, ∀v ∈ F, ψ ∈ G−. (35)
Справедливо и обратное: любой элемент, определяемый фор-
мулой (34), является слабым решением соответствующей абс-
трактной краевой задачи.
Доказательство. Пусть элемент u ∈ F является слабым реше-
нием задачи (31) – (32). Применяя к нему абстрактную формулу
Грина (22) непосредственно получаем, что он удовлетворяет тож-
деству (33).
38 В.И. Войтицкий
Докажем, что при условии N = E призвольный элемент u ∈
F , удовлетворяющий тождеству (33), является слабым решением
задачи (31) – (32). Для этого рассмотрим тождество (33) при v ∈
N . Получаем
(v, u)F = 〈v, f〉E, ∀v ∈ N. (36)
С другой стороны согласно абстрактной формуле Грина
(v, u)F = 〈v, Lu〉E, ∀v ∈ N. (37)
Отсюда
〈v, Lu− f〉E = 0, ∀v ∈ N. (38)
При условии N = E последнее тождество означает, что 〈v, Lu −
f〉E является нулевым функционалом из пространства N∗. Одна-
ко по условию задачи (31) – (32) Lu, f ∈ F ∗. Отсюда следует, что
Lu = f ∈ F ∗. Далее, вычитая из абстрактной формулы Грина
(v, u)F = 〈v, Lu〉E + 〈γv, ∂u〉G, ∀v, u ∈ F, (39)
тождество (33), с учётом Lu = f получим
〈γv, ∂u− ψ〉G = 0, ∀v ∈ F. (40)
Отсюда ∂u = ψ ∈ G−.
Порождающий оператор A гильбертовой пары (F ;E) опре-
деляется из тождества
(v, u)F = (v, Au)E, ∀v ∈ F, u ∈ D(A) ⊂ F, (41)
а его расширение Ã из тождества
(v, u)F = 〈v, Ãu〉E, ∀v, u ∈ F. (42)
Переписывая теперь тождество (33) с учётом (35) и (42), получа-
ем
〈v, Ãu〉E = 〈v, f〉E + 〈v, ÃKψ〉E, ∀v ∈ F. (43)
Отсюда следует, что Ãu = f + ÃKψ, и, следовательно, справед-
лива формула (34).
Проделывая обратные выкладки, несложно показать, что лю-
бой элемент u = Ã−1f +Kψ удовлетворяет тождеству (33). Сле-
довательно он является слабым решением соответствующей аб-
страктной краевой задачи. 2
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 39
Справедливо следующее утверждение (см., например, [12]).
Лемма 4.1.Порождающий оператор A гильбертовой пары (F ;E)
при N = E удовлетворяет следующим свойствам:
Au := Lu, D(A) := {u ∈ D(L) : Lu ∈ E, ∂u = 0} ⊂ F. (44)
Он является самосопряженным положительно определённым
оператором, действующим в пространстве E. В случае F ⊂→⊂→
E обратный к нему оператор A−1 : E → D(A) является ком-
пактным. При этом справделиво тождество
(A−1u, v)F = (u, v)E, ∀u ∈ E, v ∈ F. (45)
На основании теоремы 4.1 множество решений u ∈ F аб-
страктной спектральной задачи Стефана (24) – (25) будет совпа-
дать с множеством решений задачи
u = A−1(λu) +K(±λV γu) = λ
(
A−1 ±KV γ
)
u. (46)
Назовём задачу (46) операторной формой абстрактной спект-
ральной задачи Стефана.
Здесь f = λu, ψ = ±λV γu. Вместо оператора Ã будем рас-
сматривать сужение оператора A, такое, что R(A) = F . Тогда
согласно тождеству (45) оператор A−1 будет являться самосопря-
женным положительным оператором, действующим в простран-
стве F . Он будет компактным, если F ⊂→⊂→ E. Действительно,
согласно лемме 4.1 оператор A−1 : E → F является компактным,
т.е. переводит любое ограниченное множество в предкомпактное.
Произвольное множество в F в силу F ⊂→⊂→ E является пред-
компактным, а значит ограниченным в E. Следовательно опера-
тор A−1 : F → F также переводит любое ограниченное множе-
ство в предкомпактное, т.е. является компактным оператором в
F .
5. О свойствах спектра и о базисности систе-
мы собственных элементов.
Будем изучать свойства решений задачи (46), считая далее
всюду N = E.
40 В.И. Войтицкий
Заметим сначала, что число λ = 0 не является собственным
значением задачи (46). Действительно, иначе
u = 0 ·
(
A−1 ±KV γ
)
u = 0. (47)
Сделаем замены
µ := 1/λ, C± := A−1 ±KV γ. (48)
Тогда задачу (46) можно записать в виде спектральных задач для
операторов C±:
C±u = µu, u ∈ F. (49)
Лемма 5.1. При условии N = E квадратичная форма
Φ(u) := (u, u)E − 〈γu, V γu〉G, u ∈ F, (50)
принимает положительные и отрицательные значения на под-
пространствах бесконечных размерностей.
Доказательство. Очевидно, что ∀u ∈ N справедливо Φ(u) > 0,
поэтому для доказательства леммы достаточно показать, что су-
ществует бесконечно много линейно независимых элементов, на
которых форма (50) принимает отрицательные значения.
Действительно, так как M — бесконечное подпространство
F , то в нём существет ортонормированный базис {uk}k∈N. В силу
того, что M ∩ N = {0} имеем 〈γuk, V γuk〉G =: ak > 0. Так как
N = E, то ∀{εk}k∈N : 0 < εk < ak, ∃{vk}k∈N ⊂ N : ‖uk−vk‖
2
E < εk.
Тогда в силу того, что γvk = 0, k ∈ N, имеем
Φ(uk−vk) = ‖uk−vk‖
2
E−〈γuk, V γuk〉G < εk−ak < 0, k ∈ N. (51)
Докажем, что элементы {uk −vk}k∈N являются линейно неза-
висимыми. Пусть
∑∞
k=1 ck(uk − vk) = 0. В силу того, что M ∩
N = {0}, отсюда получаем
∑∞
k=1 ckuk =
∑∞
k=1 ckvk = 0. Так как
множество элементов {uk}k∈N является линейно независимым, то
ck = 0, k ∈ N. 2
Теорема 5.1.При условии F ⊂→⊂→ E и V ∈ S∞(G+;G−) либо
G+ ⊂→⊂→ G операторы C± являются самосопряжёнными ком-
пактными операторами, действующими в пространстве F ,
Ker C± = {0}. (52)
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 41
При этом оператор C+ — положителен, а оператор C− не яв-
ляется знакоопределённым.
Доказательство. Как было сказано выше, при условии F ⊂→⊂→
E оператор A−1 является компактным самосопряжённым поло-
жительным оператором, действующим в пространстве F . Опера-
торKV γ : F →M ⊂ F , очевидно, является компактным при вы-
полнении одного из условий V ∈ S∞(G+;G−) либо γ ∈ S∞(F ;G).
Последнее равносильно тому, что G+ ⊂→⊂→ G. Оператор KV γ
является самосопряженным в силу того, что V самосопряжён,
а K и γ взаимно сопряжены. Следовательно, операторы C± яв-
ляются самосопряжёнными компактными операторами в F как
сумма (разность) двух самосопряжённых компактных операто-
ров, действующих в пространстве F .
Далее, в силу того, что операторы A−1 и V положительны,
имеем свойство положительности оператора C+. Действительно,
(C+u, u)F = (A−1u, u)F + (KV γu, u)F =
= (A−1u, u)F + 〈γu, V γu〉G > 0, ∀u ∈ F, u 6= 0. (53)
Из этого тождества получаем также, что KerC+ = {0}.
Рассмотрим теперь квадратичную форму оператора C−.
(C−u, u)F = (A−1u, u)F − (KV γu, u)F =
= (u, u)E − 〈γu, V γu〉G = Φ(u), ∀u ∈ F. (54)
Согласно лемме 5.1 форма (C−η, η)E принимает положительные и
отрицательные значения на подпространствах бесконечных раз-
мерностей. Отсюда следует, что оператор C− не является знако-
определённым.
Докажем, что Ker C− = {0}. Действительно, пусть C−u = 0.
Тогда
A−1u = KV γu, u ∈ F. (55)
По определению R(K) ⊂ M , отсюда A−1u =: v ∈ M . Согласно
лемме 4.1
Au = Lu, D(A) := {u ∈ D(L) : Lu ∈ E, ∂u = 0}. (56)
Допустим, что элемент v ∈ D(A). Тогда согласно определению
дифференциального выражения L (см. [11], п. 2.3.) Lv = 0, с дру-
гой стороны ∂v = 0. Отсюда согласно формуле (34) для решений
42 В.И. Войтицкий
абстрактной задачи Неймана для уравнения Пуассона получаем,
что v = 0. Значит u = Av = 0. 2
На основании теоремы Фишера (см. [17], c. 256) получаем
следующее утверждение:
Лемма 5.2.Пусть A — компактный самосопряжённый неотри-
цательный оператор, действующий в гильбертовом простран-
стве H, {λn(A)}∞n=1 — множество его положительных собствен-
ных значений, упорядоченных c учётом кратности по убыванию.
Тогда
1
λn(A)
= max
{hk}
n−1
k=1
⊂H
min
(f, f)
(Af, f)
, (57)
где минимум берётся по всевозможным H ∋ f : (f, hk) =
0, ∀k = 1, n− 1.
Теорема 5.2. (Основная теорема о спектре).Пусть N = E,
F ⊂→⊂→ E и V ∈ S∞(G+;G−) либо G+ ⊂→⊂→ G.
Тогда спектр задачи (24) – (25) в случае знака “плюс” перед
λ в уравнении (25) состоит из одной ветви положительных ко-
нечнократных собственных значений {λn}n∈N : λn → +∞ (n →
∞).
В случае знака “минус” перед λ в уравнении (25) спектр за-
дачи (24) – (25) состоит из ветви {λ+
n }n∈N положительных и
из ветви {λ−n }n∈N отрицательных конечнократных собственных
значений, где λ+
n → +∞, λ−n → −∞ (n → ∞). При этом λ+
n не
меньше соответствующих положительных собственных зна-
чений вспомогательной спектральной задачи
Lu = νu (в F ∗); (58)
∂u = 0 (в G−). (59)
Аналогично λ−n не больше соответствующих отрицательных
собственных значений вспомогательной спектральной задачи
Lu = 0 (в F ∗); (60)
∂u = −ωV γu (в G−). (61)
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 43
Также справедливы оценки:
λ+
n ≥
1
λn(A−1)
= λn(A) = max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
‖u‖2
F
‖u‖2
E
, ∀n ∈ N; (62)
λ−n ≤ −
1
λn(KV γ)
= − max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
‖u‖2
F
〈γu, V γu〉G
, ∀n ∈ N. (63)
Доказательство. Знаку “плюс” перед λ в уравнении (25) соот-
ветствует оператор C+. По теореме Гильберта-Шмидта из тео-
ремы 5.1 следует, что спектр оператора C+ является веществен-
ным и дискретным. В силу положительности C+ он состоит из
одной ветви положительных конечнократных собственных зна-
чений {µn}n∈N : µn → 0 (n → ∞). Следовательно, спектр задачи
(24) – (25) в этом случае состоит из одной ветви положительных
конечнократных собственных значений λn = 1/µn → +∞ (n →
∞).
Знаку “минус” перед λ в уравнении (25) соответствует опера-
тор C−. В силу леммы 5.1 и теоремы Гильберта-Шмидта спектр
C− состоит из ветви {µ+
n }n∈N положительных и ветви {µ−
n }n∈N от-
рицательных конечнократных собственных значений с предель-
ной точкой в нуле. Следовательно, спектр задачи (24) – (25) со-
стоит из ветви положительных и ветви отрицательных конечно-
кратных собственных значений: λ+
n = 1/µ+
n → +∞, λ−n = 1/µ+
n →
−∞ (n→ ∞).
Так как C− = A−1 + (−KV γ), где A−1 > 0, −KV γ ≤ 0, то
согласно теореме Вейля-Куранта (см. [17], c. 257) положитель-
ные собственные значения оператора C− не превосходят соответ-
ствующих положительных собственных значений оператора A−1,
а отрицательные собственные значения оператора C− не меньше
соответствующих отрицательных собственных значений операто-
ра −KV γ. Поэтому
λ+
n =
1
µ+
n
≥
1
λn(A−1)
→ +∞ (n→ ∞); (64)
λ−n =
1
µ−
n
≤
1
λn(−KV γ)
= −
1
λn(KV γ)
→ −∞ (n→ ∞). (65)
Очевидно, что 1/λn(A−1) = λn(A). Согласно теореме 4.1 (фор-
мула (34)) задачу (58) – (59) можно записать в форме u = A−1(νu).
44 В.И. Войтицкий
Отсюда
Au = νu, u ∈ F. (66)
Следовательно собственные значения задачи (58) – (59) являются
собственными значениями оператора A. Отсюда по формуле (64)
следует, что λ+
n не меньше соответствующих положительных соб-
ственных значений задачи (58) – (59).
Согласно той же теореме 4.1 задачу (60) – (61) можно запи-
сать в форме u=(−ω)KV γu. Отсюда следует, что ωn =− 1
λn
(KV γ).
Поэтому из формулы (65) следует, что λ−n не больше соответству-
ющих отрицательных собственных значений задачи (60) – (61).
Окончательно согласно лемме 5.2 имеем:
1
λn(A−1)
= max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
(u, u)F
(A−1u, u)F
=
= max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
(u, u)F
(u, u)E
; (67)
1
λn(KV γ)
= max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
(u, u)F
(KV γu, u)F
=
= max
{hk}
n−1
k=1
min
(u,hk)F =0
‖u‖2
F
〈γu, V γu〉G
. (68)
2
Теорема 5.3. (Основная теорема о базисности). Пусть N =
E, F ⊂→⊂→ E и G+ ⊂→⊂→ G либо V ∈ S∞(G+;G−). Тогда
абстрактная спектральная задача Стефана (24) – (25) (задача
(46)) имеет собственный ортонормированный базис в простран-
стве F , состоящий из системы собственных элементов {un}n∈N
соответствующего оператора C±. При этом выполняются сле-
дующие формулы ортогональности:
(up, uq)F = λp [(up, uq)E ± 〈γup, V γuq〉G] = δpq. (69)
Доказательство. Из предыдущих построений следует, что соб-
ственные элементы абстрактной спектральной задачи Стефана
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 45
являются собственными элементами соответствующего операто-
ра C±, которые согласно теореме Гильберта-Шмидта образуют
собственный ортонормированный базис. Очевидно, имеем следу-
ющие формулы ортогональности
δpq = (up, uq)F = λp(C±up, uq)F =
= λp [(A−1up, uq)F ± (KV γup, uq)F ] =
= λp [(up, uq)E ± 〈γup, V γuq〉G] .
(70)
2
6. Приложения.
Применим полученные абстрактные результаты к спектраль-
ной задаче Стефана с условием Гиббса-Томсона (17) – (19).
Можно проверить, что порождающим оператором гильберто-
вой пары (H1
0,S(Ω);L2(Ω)) является самосопряжённое расширение
A оператора Â спектральной задачи (75) – (76), сформулирован-
ной ниже:
Âu := −∆u, D(Â) := {u ∈ C2(Ω) :
∂u
∂n
∣∣∣
Γ
= 0, u|S = 0}. (71)
Это следует из первой формулы Грина:
−
∫
Ω
(∆u)vdΩ =
∫
Ω
∇u · ∇vdΩ −
∫
∂Ω
∂u
∂n
vdS, (72)
которая для элементов u ∈ D(Â) превращается в тождество
(Au, v)L2(Ω) = −
∫
Ω
(∆u)vdΩ =
∫
Ω
∇u · ∇vdΩ = (u, v)H1
0,S(Ω). (73)
Выше было сказано, что H1
0,S(Ω) = F компактно вложено в
L2(Ω) = E, H1/2(Γ) = R(γ) = G+ компактно вложено в L2(Γ) = G
(здесь γu := u|Γ), а H1
0(Ω) = N плотно в L2(Ω) = E, поэтому на
основании теорем 5.2 и 5.3 получаем следующее утверждение.
Теорема 6.1. (О свойствах решений спектральной зада-
чи Стефана с условием Гиббса-Томсона) Задача (17) – (19)
46 В.И. Войтицкий
имеет собственный ортонормированный базис в пространстве
F = H1
0,S(Ω). При этом выполняется тождество:
(up, uq)H1
0,S(Ω) :=
∫
Ω
∇up · ∇uqdΩ =
= λp
[∫
Ω
upuqdΩ −
∫
Γ
B−1upuqdΓ
]
= δpq. (74)
Спектр задачи вещественный, дискретный, состоит из вет-
ви отрицательных и из ветви положительных конечнократных
собственных значений с предельными точками λ = ±∞. При
этом положительные собственные значения λ+
n ≥ νn, где νn
— расположенные в порядке возрастания собственные значения
вспомогательной спектральной задачи для уравнения Лапласа:
−∆u(x) = νu(x), x ∈ Ω; (75)
∂u
∂n
(x) = 0, x ∈ Γ; (76)
u(x) = 0, x ∈ S, (77)
а отрицательные собственные значения λ−n ≤ −ωn, где ωn — рас-
положенные в порядке возрастания собственные значения вспо-
могательной задачи типа Стеклова:
−∆u(x) = 0, x ∈ Ω; (78)
∂u
∂n
(x) = ωB−1u(x), x ∈ Γ; (79)
u(x) = 0, x ∈ S. (80)
Замечание 6.1. Для спектральной задачи (17) – (19) в цилин-
дрической области Ω = Γ × (−h; 0), Γ ∈ Rm−1, можно осуще-
ствить разделение переменных. Для оператора B, являющего-
ся самосопряжённым расширением оператора (15), в этом слу-
чае можно получить, что спектр состоит из ветви {λ+
kp}k,p∈N
положительных и ветви {λ−k }k∈N отрицательных собственных
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 47
значений:
λ+
kp = ηk +
(pπ
h
− δkp
)2
→ +∞ (p, k → ∞); (81)
λ−k = ηk −
(
ηk +
√
η2
k + 4ηk
2
)2
≈ ηk − η2
k → −∞ (k → ∞). (82)
Здесь {ηk}k∈N : ηk → +∞ (k → ∞) — множество положи-
тельных собственных значений спектральной задачи Дирихле
для уравнения Лапласа в области Γ, δkp → 0 (p→ ∞).
В качестве другого приложения абстрактной спектральной
задачи (24) – (25) рассмотрим спектральную задачу для равно-
мерно-эллиптического формально-самосопряжённого дифферен-
циального оператора:
Lu := −
m∑
i,j=1
∂
∂xi
(
aij(x)
∂u
∂xj
)
+ c(x)u = λu, x ∈ Ω; (83)
∂u
∂ν
:=
m∑
i,j=1
aij(x)
∂u
∂xi
cos(~n, xj) = (±λ)V u, x ∈ ∂Ω. (84)
Будем предполагать, что в этой задаче c(x) > 0; aij(x) = aji(x) ∈
C1(Ω), где
m∑
i,j=1
aij(x)ξiξj ≥ c0
m∑
i,j=1
|ξi|
2, c0 > 0, ξ = (ξ1, . . . , ξm) ∈ R
m. (85)
Можно показать, что эта задача (83) – (84) является частным
случаем задачи (24) – (25), когда E = L2(Ω), G = L2(∂Ω), γu =
u|∂Ω, F — энергетическое пространство оператора
Au := Lu, D(A) := {u ∈ L2(Ω) : Lu ∈ L2(Ω),
∂u
∂ν
∣∣∣
∂Ω
= 0}, (86)
F = HA =: H̃1(Ω),
||u||2F = ||u||2A :=
∫
Ω
(
m∑
i,j=1
aij(x)
∂u
∂xi
∂u
∂xj
+ c(x)|u|2
)
dΩ. (87)
48 В.И. Войтицкий
В силу условия (85) и c(x) > 0 норма пространства H̃1(Ω) эк-
вивалентна стандартной норме пространства H1(Ω). Поэтому, со-
гласно теоремам вложения С. Л. Соболева H̃1(Ω) = F компактно
вложено в L2(Ω) = E, H1/2(Γ) = R(γ) = G+ компактно вложено
в L2(Γ) = G (здесь γu := u|∂Ω). Так как, кроме того H1
0(Ω) = N
плотно в L2(Ω) = E, то для задачи (83) – (84) выполняются все
условия теорем 5.2 и 5.3. Следовательно, задача имеет собствен-
ный ортонормированный базис, а ее спектр состоит из веществен-
ных дискретных собственных значений с предельной точкой на
бесконечности.
К абстрактной спектральной задаче (24) – (25) также сводят-
ся модельные спектральные задачи для системы сильно эллип-
тических дифференциальных уравнений второго порядка, спек-
тральные задачи для уравнений Ламе линейной теории упруго-
сти, уравнений Навье-Стокса линейной гидродинамики.
В абстракной форме можно также рассматривать различные
виды спектральных задач сопряжения для многокомпонентных
областей с различными видами линеаризованных условий на гра-
ницах. Исследование таких проблем будет являться предметом
дальнейших рассмотрений.
Автор благодарит проф. Копачевского Н. Д. за постановку
задачи и руководство работой.
1. Мейрманов А.М. Задача Стефана. – Новосибирск: Наука, 1986.
2. Радкевич Е.В.Поправка Гиббса-Томсона и существование классического
решения модифицированной задачи Стефана – //Доклады АН СССР. –
Т. 315, № 6. – 1990. – С. 1311–1315.
3. Luckhaus S. The Spectral problem with Hibbs-Thomson law. – Sezione di
Analisi Matematica e Probabilitita, Universita di Pisa, 2.75 (591), 1991.
4. Базалий Б.В., Дегтярёв С.П. О задаче Стефана с кинетическим и клас-
сическим условием на свободной границе //УМЖ. – Т. 44, № 2. – 1992. –
С. 155-166.
5. Радкевич Е.В. Об условиях существования классического решения моди-
фицированной задачи Стефана (закон Гиббса–Томсона) – // Матем. сб.
– Т. 183, № 2. – 1992. – С. 77–101.
6. Odnoff J. Operators generated by differential problem with eigenvalue parame-
ter in equation and boundary condition. – Lund, 1959.
7. Ercolano J., Schechter M. Spectral theory for operators generated by elliptic
boundary problems with eigenvalue parameter in boundary conditions. – I.
Comm. Pure Appl. Math. 18, 1965. – p. 83-105.
8. Барковский В. В. Разложение по собственным функциям самосопряжён-
О спектральных задачах, порождённых задачей Стефана 49
ных операторов, соответствующих общим эллиптическим задачам с соб-
ственным значением в граничных условиях //УМЖ. – Т. 19, № 1. – 1967.
С. 9-24.
9. Фещенко С. Ф., Луковский И. А., Рабинович Б. И., Докучаев Л. В. Мето-
ды определения присоеденённых масс жидкости в подвижных областях.
– К.: Наукова думка, 1969. – С. 216-224.
10. Войтицкий В.И. “Спектральная задача Стефана с условиями Гиббса-
Томсона” // Таврическая научная конференция студентов и молодых спе-
циалистов по информатике и математике, 27-28 апреля 2006, Симферо-
поль. – С. 16-19.
11. Копачевский Н. Д. Об абстрактной формуле Грина для тройки гильбер-
товых пространств и ее приложениях к задаче Стокса // Таврический
вестник информатики и математики (ТВИМ). – №2. – 2004. – С. 52-80.
12. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г. Абстрактная формула Грина для тройки
гильбертовых пространств, абстрактные краевые и спектральные задачи
//Украинский матем. вестник. – Т. 1, № 1. – 2004. – С. 69-97.
13. Копачевский Н. Д., Крейн С. Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в
линейной гидродинамике. Эволюционные и спектральные задачи. – М.:
Наука, 1989. – 416 с.
14. Обэн Ж.-П. Приближённое решение эллиптических краевых задач. – М.:
Мир, 1977. – 384 с.
15. Showalter R.Hilbert space methods for partial differential equations. – Electro-
nic journal of differential equations. 1994. – 214 pp.
16. Войтицкий В.И.Абстрактная спектральная задача Стефана //Учёные
записки Таврического национального университета им. В.И. Вернадско-
го. Серия “Математика. Механика. Информатика и Кибернетика”. – Т.
19(58).2 (2006). – C. 20-28.
17. Рисс Ф., Надь Б.-С. Лекции по функциональному анализу. – М.: Мир,
1979. – 587 с.
ул. Дмитрия Ульянова 9, кв. 2,
95013, г. Симферополь, Украина
vivoyt86@rambler.ru
Получено 20.03.07
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10111 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0236-0497 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:55:23Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Войтицкий, В.И. 2010-07-23T14:19:25Z 2010-07-23T14:19:25Z 2007 О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона / В.И. Войтицкий // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 31-49. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0236-0497 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10111 Рассматривается спектральная задача, порождённая модельной линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томсона, а также её обобщение для случая тройки абстрактных гильбертовых пространств. Доказано, что спектры этого класса задач являются вещественными и дискретными, системы собственных элементов образуют ортонормированные базисы. Также получены некоторые оценки роста собственных значений и достаточные условия существования положительной, либо положительной и отрицательной ветвей собственных значений. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона On the spectral problems generated by the linearized Stefan problem with Hibbs-Thomson law Article published earlier |
| spellingShingle | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона Войтицкий, В.И. |
| title | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона |
| title_alt | On the spectral problems generated by the linearized Stefan problem with Hibbs-Thomson law |
| title_full | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона |
| title_fullStr | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона |
| title_full_unstemmed | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона |
| title_short | О спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей Стефана с условием Гиббса-Томпсона |
| title_sort | о спектральных задачах, порожденных линеаризованной задачей стефана с условием гиббса-томпсона |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10111 |
| work_keys_str_mv | AT voitickiivi ospektralʹnyhzadačahporoždennyhlinearizovannoizadačeistefanasusloviemgibbsatompsona AT voitickiivi onthespectralproblemsgeneratedbythelinearizedstefanproblemwithhibbsthomsonlaw |