Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь

Стаття присвячена актуальнiй проблемi дослiдження властивостей узагальнених крайових значень розв’язкiв пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь. Одержано умови щодо нелiнiйної частини, за яких регулярнi всерединi областi та iз певного вагового L¹-простору розв’язки пiвлiнiйних елiптичних та п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2007
Hauptverfasser:	Лопушанська, Г.П., Чмир, О.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2007
Schlagworte:	The generalized traces on the boundary for solutions of semilinear elliptic and parabolic equations
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10112
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь / Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 51-73. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10112
record_format	dspace
spelling	Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. 2010-07-23T14:21:20Z 2010-07-23T14:21:20Z 2007 Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь / Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 51-73. — Бібліогр.: 16 назв. — укр. 0236-0497 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10112 Стаття присвячена актуальнiй проблемi дослiдження властивостей узагальнених крайових значень розв’язкiв пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь. Одержано умови щодо нелiнiйної частини, за яких регулярнi всерединi областi та iз певного вагового L¹-простору розв’язки пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь порядку 2m набувають крайових значень iз простору узагальнених функцiй. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України The generalized traces on the boundary for solutions of semilinear elliptic and parabolic equations Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
spellingShingle	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю. The generalized traces on the boundary for solutions of semilinear elliptic and parabolic equations
title_short	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
title_full	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
title_fullStr	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
title_full_unstemmed	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
title_sort	узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь
author	Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю.
author_facet	Лопушанська, Г.П. Чмир, О.Ю.
topic	The generalized traces on the boundary for solutions of semilinear elliptic and parabolic equations
topic_facet	The generalized traces on the boundary for solutions of semilinear elliptic and parabolic equations
publishDate	2007
language	Ukrainian
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
format	Article
description	Стаття присвячена актуальнiй проблемi дослiдження властивостей узагальнених крайових значень розв’язкiв пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь. Одержано умови щодо нелiнiйної частини, за яких регулярнi всерединi областi та iз певного вагового L¹-простору розв’язки пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь порядку 2m набувають крайових значень iз простору узагальнених функцiй.
issn	0236-0497
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10112
citation_txt	Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь / Г.П. Лопушанська, О.Ю. Чмир // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 51-73. — Бібліогр.: 16 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT lopušansʹkagp uzagalʹneníkraiovíznačennârozvâzkívpívlíníinihelíptičnihtaparabolíčnihrívnânʹ AT čmiroû uzagalʹneníkraiovíznačennârozvâzkívpívlíníinihelíptičnihtaparabolíčnihrívnânʹ
first_indexed	2025-11-27T08:27:28Z
last_indexed	2025-11-27T08:27:28Z
_version_	1850808787148996608
fulltext	Нелинейные граничные задачи 17, 51-73 (2007) 51 c©2007. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ ПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ТА ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ Стаття присвячена актуальнiй проблемi дослiдження властивостей узагаль- нених крайових значень розв’язкiв пiвлiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь. Одержано умови щодо нелiнiйної частини, за яких регулярнi всере- динi областi та iз певного вагового L1-простору розв’язки пiвлiнiйних елiп- тичних та параболiчних рiвнянь порядку 2m набувають крайових значень iз простору узагальнених функцiй. Ключовi слова: напiвлiнiйне елiптичне рiвняння, напiвлiнiйне пара- болiчне рiвняння, узагальненi крайовi значення розв’язку,узагальненi початковi значення розв’язку, узагальнена функцiя,ваговий L1-простiр. MSC (2000): 35J67, 35K35 1. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних елiптичних рiвнянь. 1.1. Основнi позначення та допомiжнi твердження. Нехай Ω – обмежена область в Rn з межею S класу C∞. Використовуватимемо позначення: • α – мультиiндекс з компонентами (α1, ..., αn), αi ∈ Z+, i = 1, n, \|α\| = α1 + ...+ αn – довжина мультиiндексу α, • A(x,Dx) = ∑ \|α\|≤2m aα(x)Dα – елiптичний диференцiальний вираз порядку 2m, aα ∈ C∞(Ω), Dα ≡ Dα x = ∂\|α\| ∂x α1 1 ·...·∂xαn n ; • на S заданi крайовi диференцiальнi вирази Bj(x,Dx)= ∑ \|α\|≤mj , bjα(x)Dα, bjα ∈ C∞(S), j = 1, m, система {Bj(x,Dx)} m j=1 нормальна i задовольняє умову Ло- патинського для A(x,Dx), 52 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. • Tj, B̂j , T̂j – такi нормальнi системи крайових диференцiаль- них виразiв вiдповiдно порядкiв m̂j , 2m−m̂j−1, 2m−mj−1, j = 1, m, що правильна (див., напр., [1]) формула Грiна ∫ Ω (vAu− uA∗v) dx = = m∑ j=1 ∫ S (B̂jvTju− T̂jvBju) dS, u, v ∈ C∞(Ω), (1) де A∗ – формально спряжений до A диференцiальний опе- ратор. Нехай ε0 – фiксоване мале число. Вiдомо, що паралельнi до поверхнi S класу C∞ поверхнi Sε при ε ∈ (0, ε0) також є кла- су C∞. Мiж точками S та Sε є взаємооднозначна вiдповiднiсть: xε = x + εν(x) = ψ(x, ε), x ∈ S, x = ψ−1(xε, ε) з якобiаном Wε(x), де ν(x) – орт внутрiшньої нормалi до S у точцi x ∈ S, lim ε→0 Wε(x) = 1. Гомеоморфiзми ψ та ψ−1 є нескiнченно диферен- цiйовними та обмеженими разом з усiма похiдними (див. [1]). Нехай Ωε – пiдобласть Ω з межею Sε. Для ϕ iз простору гладких функцiй D(S) = C∞(S) визначи- мо їх значення ψ∗ϕ на поверхнях Sε: (ψ∗ϕ)(xε) = ϕ(ψ(x, ε)) = ϕ(x) для ε ∈ [0, ε0 2 ] та (ψ∗ϕ)(xε) = 0 для ε > ε0. Якщо B̃j(x,Dx) = ∑ \|α\|≤j b̃jα(x)Dα, j = 0, 2m− 1 – система Дiрiх- ле порядку 2m на S [1], то продовжуючи iз S всередину Ω коефi- цiєнти b̃jα операторiв B̃j(x,Dx), на Sε визначаємо B̃j(xε, Dxε)v = ∑ \|α\|≤j (ψ∗b̃jα)(xε)D α xε v(xε), v ∈ D(Ω). Так визначенi оператори B̃j(xε, Dxε), j = 0, 2m− 1 також утворюють систему Дiрiхле на Sε (див. [2, ч. 111]). У [3] на при- кладi задачi Дiрiхле для системи рiвнянь другого порядку пока- зано, що при досить малих ε цi оператори також задовольняють умову Лопатинського. За продовженими на Sε виразами {Bj , Tj} m j=1 визначаються однозначно такi B̂j , T̂j на Sε, при яких правильна формула (1) для областi Ωε, при цьому lim ε→0 (B̂iv)(xε) = (B̂iv)(x), lim ε→0 (T̂iv)(xε) = (T̂iv)(x), i = 1, m. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 53 Нехай l1⋃ l=1 Ul – покриття S обмеженими множинами iз R n, Vl = Ul ∩ S, l = 1, l1. В кожному околi Ul введемо розпрямляючу локальну систему координат ξ(l) = (ξ ′ (l), ξ (l) n ) = (ξ (l) 1 , ..., ξ (l) n−1, ξ (l) n ) з початком у деякiй точцi S та вiссю ξn у напрямi внутрiшньої нормалi до S у цiй точцi. Лема 1. Для довiльних основних функцiй ϕ0, ϕ1, . . . , ϕ2m−1 з но- сiями в координатному околi V ⊂ S i для довiльного натурально- го числа s iснують основнi функцiї ϕ2m, . . . , ϕ2m+s−1 з носiями у V такi, що A ( 2m+s−1∑ i=0 ξi nϕi(ξ ′) ) = ξs nϕ(ξ′, ξn), де ϕ(ξ′, ξn) – нескiн- ченно диференцiйовна i обмежена функцiя у крайовому коорди- натному околi U , що вiдповiдає координатному околу V (див. [4, c. 13]). Доведення. Перерахуємо у локальнiй розпрямляючiй системi ко- ординат оператор A(x,Dx) : Dxl = n−1∑ j=1 rlj(ξ ′, ξn)Dξj + rl(ξ ′, ξn)Dξn, Dβ x = rβ1 1 (ξ) · · · · · rβn n Dβ ξn +Qβ(ξ,Dξ), rl, rlj ∈ C∞(Ul), Qβ(ξ,Dξ) = Qβ,1(ξ,Dξ′)D β−1 ξn + · · ·+Qβ,\|β\|(ξ,Dξ′), де другий iндекс вказує на найбiльший порядок похiдних за змiн- ними ξ1, . . . , ξn−1 оператора. Тепер A(x,Dx) = ∑ \|β\|=2m aβ(x) [ rβ1 1 (ξ) · · · · · rβn n (ξ)D2m ξn +Qβ(ξ,Dξ) ] + + ∑ \|β\|≤2m−1 aβ(x) [ rβ1 1 (ξ) · · · · · rβn n (ξ)Dβ ξn +Qβ(ξ,Dξ) ] = = Q̃0(ξ)D 2m ξn + 2m∑ t=1 Q̃t(ξ,Dξ′)D 2m−t ξn , де Q̃0(ξ) = ∑ \|β\|=2m aβ(x)rβ1 1 (ξ) · · · · · rβn n (ξ), x = x(ξ), Q̃0(ξ) 6= 0 за елiптичнiстю оператора, Q̃t(ξ,Dξ′) (t = 1, 2m) – дотичнi ди- ференцiальнi оператори з похiдними за змiнними ξ1, . . . , ξn−1 до 54 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. порядку t. Тодi A(x,Dx) [ 2m+s−1∑ i=0 ξi nϕi(ξ ′) ] = = Q̃0(ξ) 2m+s−1∑ i=2m i(i− 1) . . . (i− 2m+ 1)ξi−2m n ϕi(ξ ′)+ + 2m∑ t=1 Q̃t(ξ,Dξ′)× × ( 2m+s−1∑ i=2m−t i(i− 1) . . . (i− 2m+ t+ 1)ξi−2m+t n ϕi(ξ ′) ) = = s−1∑ j=0 ξj n [ Q̃0(ξ)(j + 2m) . . . (j + 1)ϕj+2m(ξ′)+ + 2m∑ t=1 Q̃t(j + 2m− t) . . . (j + 1)ϕj+2m−t(ξ ′) ] . (2) Оскiльки Q̃0(ξ) = Q0(ξ ′)+ξnQ (1) 0 (ξ′)+ξ2 nQ (2) 0 (ξ′)+ · · ·+ξs nR̃0(ξ ′, ξn), Q̃t(ξ,Dξ′) = Q (0) t (ξ′, Dξ′) + ξnQ (1) t (ξ′, Dξ′) + · · · + ξs nR̃t(ξ ′, ξn, Dξ′), R̃0 ∈ C∞(U) i обмежена, R̃t–дотичнi диференцiальнi оператори порядку менше або рiвне t з нескiнченно диференцiйовними ко- ефiцiєнтами в U , то збираючи коефiцiєнти бiля ξ0 n, ξ 1 n, . . . , ξ r−1 n у тотожностi (2) i прирiвнюючи їх до нуля отримуємо (2m)!Q0(ξ ′)ϕ2m(ξ′) + 2m∑ t=1 (2m− t)!Q (0) t (ξ′, Dξ′)ϕ2m−t(ξ ′) = 0, (2m+ 1)!Q0(ξ ′)ϕ2m+1(ξ ′)+ + 2m∑ t=1 (2m− t+ 1)!Q (0) t (ξ′, Dξ′)ϕ2m−t+1(ξ ′)+ +(2m+ 2)!Q (1) 0 (ξ′)ϕ2m(ξ′)+ + 2m∑ t=1 (2m+ 2 − t)!Q (1) t (ξ′, Dξ′)ϕ2m−t(ξ ′)=0, (3) Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . (2m+ s− 1)!Q0(ξ ′)ϕ2m+s−1(ξ ′)+ + 2m∑ t=1 (2m− t+ s− 1)!Q (0) t (ξ′, Dξ′)ϕ2m−t+s−1(ξ ′) + · · · = 0. Звiдси знаходимо ϕ2m, . . . , ϕ2m+s−1. Iншi доданки у виразi (2) дають ξs nϕ(ξ′, ξn), де • ϕ(ξ′, ξn) = (2m)!ϕ2m(ξ′)R̃0(ξ ′, ξn)+ 2m∑ t=1 (2m− t)!R̃t(ξ ′, ξn, Dξ′)× ×ϕ2m−t(ξ ′) + (2m+ 1)!Q (s−1) 0 (ξ′)ϕ2m+1(ξ ′)+ + 2m∑ t=1 (2m+ 1 − t)!Q (s−1) t (ξ′, ξn, Dξ′)ϕ2m+1−t(ξ ′)+ + · · ·+ (2m+s−1)! (s−1)! Q (1) 0 (ξ′)ϕ2m+s−1(ξ ′)+ + 2m∑ t=1 (2m+s−1−t)! (s−1)! Q (1) t (ξ′, ξn, Dξ′)ϕ2m+s−1−t(ξ ′), • ϕ(ξ′, ξn) – обмежена в U , iснує lim ξn→0 ϕ(ξ′, ξn), а оскiльки ϕ2m+j таQ (s−j) t ϕ2m+j−t є лiнiйними виразами вiд ϕk (k = 0, 2m− 1) та їх похiдних до порядкiв 2m+ j − k, j = 0, s− 1, то \|ϕ(ξ′, ξn)\| ≤ C 2m−1∑ k=0 [ ∑ \|l\|≤2m+s−k sup ξ′∈V \|Dl ξ′ϕk(ξ ′)\| ] . 2 (4) Лема 2. Для довiльних ϕj ∈ D(S) та системи Дiрiхле {B̃j(x,Dx)}, j = 0, 2m− 1 на S, довiльного натурального s iснує така функ- цiя ψ ∈ C∞(Ω), що B̃jψ \|S = ϕj, j = 0, 2m− 1 i A∗ψ(x) = O(ds(x)) при d(x) = dist(x, S) → 0 ( див. [4, c. 16]). 56 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Доведення. Як при доведеннi леми 1, записуємо B̃j(x,Dx) = ∑ \|α\|≤j bαj(x)r α1 1 . . . rαn n Dα ξn + \|α\|∑ t=1 Qα,t(ξ ′, Dξ′)D α−t ξn = = Q̂j(ξ ′)Dj ξn + j∑ t=1 Q̂j,t(ξ ′, Dξ′)D j−t ξn , де Q̂j(ξ ′) = ∑ \|α\|=j−1 bαjr α1 1 . . . rαn n 6= 0 для довiльних x ∈ S (за нормальнiстю системи {B̃j} 2m−1 j=0 ). Застосуємо оператори B̃j до функцiї Φ, яка у кожному крайовому координатному околi Ul у розпрямляючiй локальнiй системi координат має вигляд Φ(l) = 2m+s−j∑ i=0 ξi nϕ̃ (l) i (ξ′), де ϕ̃ (l) i (ξ′) – поки-що невiдомi нескiнченно дифе- ренцiйовнi в Vl функцiї. Одержуємо B̃0Φ \|S∩Vl = B̃0Φ (l) \|ξn=0 = b0(ξ ′)ϕ̃ (l) 0 (ξ′) = ϕ (l) 0 (ξ′), B̃jΦ \|S∩Vl ≡ B̃jΦ (l) \|ξn=0 ≡ 2m+s−1∑ i=0 [i(i− 1) . . . (i− j + 2)Q̂j(ξ ′)ϕ̃ (l) i (ξ′)ξi−j+1 n + + j−1∑ t=1 i(i− 1) . . . (i− j + 2 − t)Q̂j,t(ξ ′, Dξ′)ϕ̃ (l) i (ξ′)ξi−j+t+1 n ] \|ξn=0 ≡ ≡ (j − 1)!Q̂ (0) j (ξ′)ϕ̃ (l) j−1(ξ ′)+ + j−1∑ t=1 (j − 1 − t)!Q̂ (0) j,t (ξ ′, Dξ′)ϕ̃ (l) j−1−t(ξ ′) = ϕ (l) j (ξ′). Звiдси знаходимо ϕ̃ (l) 0 (ξ′) = ϕ (l) 0 (ξ′) b0(ξ′) , (j − 1)!ϕ̃ (l) j−1(ξ ′) = = (Q̂ (0) j (ξ′))−1 [ ϕ (l) j−1(ξ ′) − j−1∑ t=1 (j − 1 − t)!Q̂ (0) j,t (ξ ′, Dξ′)ϕ̃ (l) j−1−t(ξ ′) ] , j= 1, 2m− 1. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 57 Вибираючи потiм ϕ̃2m, ϕ̃2m+1,..., ϕ̃2m+s−1 за лемою 1, замi- нивши оператор A оператором A∗, добиваємось того, що A∗Φ(l) = O(ξs n) при ξn → 0. Використовуючи розклад одиницi, пiдпорядкований покрит- тю поверхнi S системою координатних околiв {Vl} l1 l=1, знаходимо шукану функцiю ψ, ψ = Φ(l)(ξ′, ξn) у Ul. 2 Лема 2 узагальнює вiдому лему iз [5]. 1.2. Узагальненi крайовi значення регулярних розв’язкiв. Через D′(S) позначатимемо простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених функцiй) на D(S), через < ϕ, F > – значення узагальненої функцiї F ∈ D′(S) на основнiй функцiї ϕ ∈ D(S), запис s(F ) ≤ k′ означає, що порядок сингулярностi узагальненої функцiї F ∈ D′(S) не бiльший, нiж k′, тобто при k′ ≥ 0 < ϕ, F >= ∑ \|α\|≤k′ ∫ S DαϕfαdS ∀ϕ ∈ D(S), fα ∈ L1(S) (див. [6]). Означення 1 [7, 8, 9, 4]. Кажемо, що регулярна всерединi об- ластi Ω функцiя u набуває на S узагальнених крайових значень F ∈ D′(S), якщо iснує lim ε→0 ∫ Sε ϕ(xε)u(xε) dS =< ϕ, F > ∀ϕ ∈ D(S). Ця границя не залежить вiд того, як визначено продовження ϕ ∈ D(S) до функцiї з D(Sε). Справдi, переходячи до iнтегрування за S, одержуємо∫ Sε ϕ(xε)u(xε) dS = ∫ S ϕ(x+εν(x))u(x+εν(x))Wε(x) dS. За лемою [6, c. 70] з iснування границi цього виразу випливає, що iснує також lim ε→0 ∫ S (lim ε→0 ϕ(x+ εν(x))) · u(x+ εν(x)) ·Wε(x) dS = = lim ε→0 ∫ S ϕ(x) · u(x+ εν(x)) dS = lim ε→0 ∫ Sε ϕ(x) · u(xε) dS. 58 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Через ̺1(x) (x ∈ Ω) позначаємо нескiнченно диференцiйов- ну невiд’ємну функцiю, яка додатна в Ω, має порядок d(x) при d(x) ≤ ε0 2 ; ̺1(x) ≤ 1, x ∈ Ω та ̺1(x) = 1 при d(x) ≥ ε0. При k > 0 визначаємо (непорожний за лемою 2) функцiйний простiр [4]Xk(Ω) = {ϕ ∈ C∞(Ω) : (A∗ϕ)(x) = O(dk(x)) при d(x) → 0, B̂jϕ = 0, j = 1, m}, а також M̃k(Ω) = M̃k,0(Ω), де M̃k, r(Ω) = {v ∈ W r 1,loc(Ω) : \|\|v\|\|k, r = ∑ \|γ\|≤r ∫ Ω [̺1(x)] k+\|γ\|\|Dγv(x)\| dx < +∞}, k ∈ R. Зауважимо, що M̃k(Ω) є простором регулярних узагальнених функцiй на просторi C∞(Ω) (див.[6]). Нехай r ∈ N, r ≤ 2m − 1, а M(r) – кiлькiсть мультиiндексiв α таких, що \|α\| ≤ r. Позначимо через ∂ru = (u, ux1 , ..., Dαu, ...), \|α\| ≤ r M(r)-вимiрний вектор, компонентами якого є функцiя u та її похiднi за просторовими змiнними до порядку r. Пiд MM(r) розумiтимемо простiр векторiв розмiрностi M(r). Вважаємо функцiю f(x, z) визначеною та неперервною в Ω× MM(r). Теорема 1. Нехай s – довiльне цiле невiд’ємне число, u – уза- гальнений розв’язок класу C2m−1(Ω) ∩ M̃s(Ω) рiвняння A(x,D)u(x) = f(x, ∂ru(x)), x ∈ Ω. (5) Умова ∫ Ω \|f(x, ∂ru(x))\| dx < +∞. (6) виконується тодi i тiльки тодi, коли для довiльних крайових диференцiальних виразiв B̃j(x,D) порядкiв j = 0, 2m− 1 з нескiн- ченно диференцiйовними коефiцiєнтами, якi утворюють систе- му Дiрiхле, функцiї B̃ju набувають на S узагальнених крайових значень F̃j ∈ D′(S) порядкiв сингулярностей s(F̃j) ≤ s + j + 1, j = 0, 2m− 1 вiдповiдно. Доведення. Нехай S̃ – така замкнена нескiченно диференцiйовна поверхня всерединi Ω, що S̃ ⊂ l1⋃ l=1 Ul (dist(S̃, S) > ε), Ω∗ ε– пiдоб- ласть Ω, розмiщена мiж Sε та S̃, ε ∈ (0, ε0). У розпрямляючих локальних координатах ξ = (ξ′, ξn) Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 59 точки x ∈ S∩Ul, l = 1, l1 мають координати (ξ′, 0), а вiдповiднi їм точки xε ∈ Sε– координати (ξ′, ε), Φε(ξ) = 2m+s−1∑ i=0 (ξn − ε)iϕi(ξ ′, ε), де ϕi(ξ ′, 0) -довiльнi функцiї iз D(Ul ∩S), i = 0, 2m− 1, а ϕ2m+j ∈ D(Ul∩S), j = 0, s i такi, що A∗Φε(ξ) = (ξn−ε) sϕε(ξ ′, ξn), де ϕε – ра- цiональна за ξn та ε i обмежена в Ω∗ ε функцiя. З леми 1 випливає iснування цих функцiй, iснує lim ε→0 ϕε(ξ ′, ξn) = ϕ(ξ′, ξn), ϕ обмежена в областi Ω∗ (мiж S̃ та S) та має оцiнку (4). Iз формули Грiна в Ω∗ ε для функцiй u та Φε ∫ Ω∗ ε u · A∗Φε dx− ∫ Ω∗ ε Φε · f dx = 2m∑ j=1 ∫ Sε B̃ju · T̃jΦε dS, (7) де T̃j = 2m−1−j∑ t=0 T̃jt(ξ ′, ∂ ∂ξ′ )( ∂ ∂ξn )2m−1−j−t, j = 0, 2m− 1, ξ′ ∈ Vl, T̃jt – дотичнi диференцiальнi оператори порядкiв ≤ t, T̃j0 = T̃j0(ξ ′) 6= 0, j = 0, 2m− 1, так що (7) набуває вигляду ∫ Ω∗ ε u·(ξn−ε) s·ϕε(ξ ′, ξn) dξ− ∫ Ω∗ ε 2m+s−1∑ i=0 (ξn−ε) i·ϕi(ξ ′, ε)·f(x, ∂ru(x)) dξ = = ∫ Sε 2m−1∑ j=0 B̃ju · { 2m−1−j∑ t=0 T̃j tϕ2m−1−t−j · (2m− 1 − t− j)! } dS. (8) За умовою u ∈ M̃s(Ω) та обмеженiстю ϕ в Ω∗ послiдовнiсть функ- цiоналiв∫ Ω∗ ε u · ξs n · ϕ(ξ′, ξn) dξ обмежена й iснує lim ε→0 ∫ Ω∗ ε u · ξs n · ϕ(ξ′, ξn) dξ = ∫ Ω∗ u · ξs n · ϕ(ξ′, ξn) dξ. Тодi за лемою [6, c.70] iснує lim ε→0 ∫ Ω∗ ε u · (ξn − ε)s · ϕε(ξ ′, ξn) dξ = = lim ε→0 ∫ Ω∗ ε u · lim ε→0 ((ξn − ε)s · ϕε(ξ ′, ξn)) dξ = = lim ε→0 ∫ Ω∗ ε u · ξs n · ϕ(ξ′, ξn) dξ = ∫ Ω∗ u · ξs n · ϕ(ξ′, ξn) dξ. 60 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Оскiльки 2m+s−1∑ i=0 ξi n·ϕi(ξ ′) обмежена в Ω∗, то iз (8) випливає, що (6) виконується тодi i лише тодi, коли iснує границя правої частини (8). Так що достатнiсть доведена. Припускаючи виконання (6), матимемо iснування границi правої частини (8). Нехай ϕ0 ≡ ϕ1 ≡ . . . ≡ ϕ2m−2 ≡ 0. Введемо лiнiйний функ- цiонал F̃0: < ϕ, F̃0 >= lim ε→0 ∫ Sε B̃0u · ϕdS, ϕ ∈ D(S). Iз (8) T̃00(2m− 1)! < ϕ2m−1, F̃0 >= ∫ Ω∗ ξs n · u · ϕdξ− ∫ Ω∗ [ξ2m−1 n · ϕ2m−1(ξ ′) + ξ2m n · ϕ2m(ξ′) + · · ·+ +ξ2m+s−1 n · ϕ2m+s−1(ξ ′)] · f(x, ∂ru(x)) dξ. (9) Iз формули (4) \|ϕ(ξ′, ξn)\| ≤ C̃2m−1 · ∑ \|γ\|≤s+1 sup ξ′⊂S \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−1(ξ ′)\|, тому ∫ Ω∗ ξs n · \|u · ϕ(ξ′, ξn)\| dξ ≤ C̃ ′ 2m−1 · ∑ \|γ\|≤s+1 sup ξ′⊂S \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−1(ξ ′)\|, де C̃ ′ 2m−1 = C̃2m−1 ∫ Ω∗ ξs n · \|u\| dξ; \|ξ2m−1 n · ϕ2m−1(ξ ′) + · · · + ξ2m+s−1 n · ϕ2m+s−1(ξ ′)\| ≤ ≤ C̃ ′ · ∑ \|γ\|≤s sup ξ′⊂S \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−1(ξ ′)\|. Враховуючи умову (6), iз (9) одержуємо \| < ϕ, F̃0 > \| ≤ C ′ 1 ∑ \|γ\|≤s+1 sup ξ′⊂S \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ(ξ′)\| ∀ϕ ∈ D(S), де C ′ 1 = C ′ 1(\|\|u\|\|s). Отже, функцiонал F̃0 лiнiйний, неперервний на D(S) i має порядок сингулярностi s(F̃0) ≤ s+ 1. Вважаючи далi по черзi вiдмiнними вiд нуля тiльки по однiй iз функцiй ϕ2m−2, . . . , ϕ1, ϕ0, з (8) так само одержуємо iснування lim ε→0 ∫ Sε ϕ · B̃ju dS =< ϕ, F̃j >, ϕ ∈ D(S), j = 0, 2m− 2. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 61 Справдi, F̃0 ∈ D′(S), а припустивши iснування F̃j ∈ D′(S) iз s(F̃j) ≤ s + j + 1 при j = 0, l − 1, де l = 1, 2m− 1, вважаючи ϕ2m−1−j = 0 для всiх j 6= l, у правiй частинi (8) матимемо вiдмiн- ними вiд нуля тiльки доданки при t+j = l, а тодi з (8) одержуємо iснування lim ε→0 ∫ Sε B̃lu · T̃l0ϕ2m−l−1 dS = − l−1∑ i=0 < T̃i l−iϕ2m−l−1, F̃i > + + 1 (2m−l−1)! {∫ Ω∗ ξs n · u · ϕ(ξ′, ξn) dξ − ∫ Ω∗ [ξ2m−l−1 n · ϕ2m−l−1(ξ ′)+ + · · ·+ ξ2m+s−1 n · ϕ2m+s−1(ξ ′)] · f(x,Dru(x)) dξ } , де T̃i l−i–дотичнi диференцiальнi оператори порядкiв l−i. Оскiль- ки \| < T̃i l−iϕ2m−l−1, F̃i > \| ≤ C ′ i ∑ \|γ\|≤s+i+1 sup ξ′ \|( ∂ ∂ξ′ )γT̃i l−iϕ2m−l−1(ξ ′)\| ≤ ≤ C̃ ′ i ∑ \|γ\|≤s+l+1 sup ξ′ \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−l−1(ξ ′)\| i = 0, l − 1, \| ∫ Ω∗ ξs n · u · ϕdξ\| ≤ C̃ ′ 2m−l−1 ∑ \|γ\|≤s+l+1 sup ξ′ \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−l−1(ξ ′)\|, \|ξ2m−l−1 n · ϕ2m−l−1(ξ ′) + · · ·+ ξ2m+s−1 n · ϕ2m+s−1(ξ ′)\| ≤ ≤ C̃”2m−l−1 ∑ \|γ\|≤s+l sup ξ′ \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−l−1(ξ ′)\|, то \| lim ε→0 ∫ Sε B̃lu · T̃l 0ϕ2m−l−1 dS\| = \| < T̃l0ϕ2m−l−1, F̃l > \| ≤ ≤ C ′ l ∑ \|γ\|≤s+l+1 sup ξ′ \|( ∂ ∂ξ′ )γϕ2m−l−1(ξ ′)\|, а оскiльки T̃l0 6= 0, то лiнiйний функцiонал F̃l є неперервним на D(S) i має порядок сингулярностi s(F̃l) ≤ s+ l + 1. Зокрема, iснують lim ε→0 ∫ Sε ϕ · BjudS =< ϕ, Fj >, ϕ ∈ D(S), узагальненi функцiї Fj мають порядки сингулярностей s(Fj) ≤ s+mj + 1, j = 1, m. 2 62 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Зауваження. Використовуючи подiбнi мiркування та форму- лу (8), показуємо таке: якщо для узагальненого розв’язку u ∈ C2m−1(Ω) рiвняння (5) виконується умова (6) та ( ∂ ∂ν )tu для всiх t = 0, 2m− 1 набувають узагальнених крайових значень iз D′(S) порядкiв сингулярностей ≤ s+ t+ 1, то u ∈ M̃s, 2m−1(Ω). 1.3. Формулювання узагальненої крайової задачi. Нехай Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj, j = 1, m, s > s0 def = max 1≤j≤m {sj − mj − 1}. Розглядаємо узагальнену нормальну елiптичну крайову за- дачу A(x,D)u(x) = f(x, ∂ru(x)), x ∈ Ω, Bj(x,D)u \|S = Fj , j = 1, m (10) за умови, що вiдповiдна їй лiнiйна однорiдна крайова задача од- нозначно розв’язна. Формулювання 1 задачi. Знайти функцiю u ∈ M̃s, r(Ω) ∩ C2m−1(Ω), яка є узагальненим розв’язком рiвняння (5) в Ω та задовольняє крайовi умови lim ε→0 ∫ Sε ϕBju dS =< ϕ, Fj > ∀ϕ ∈ D(S), j = 1, m. (11) Формулювання 2 задачi. Знайти функцiю u ∈ M̃s, r(Ω) таку, що ∫ Ω A∗ψu dx = ∫ Ω ψfdx+ m∑ j=1 < T̂jψ, Fj > ∀ψ ∈ Xs(Ω). (12) Теорема 2. Функцiя u ∈ M̃s, r(Ω) ∩ C2m−1(Ω), для якої вико- нується (6), є розв’язком задачi (10) у формулюваннi 1 тодi й тiльки тодi, коли вона є розв’язком цiєї задачi у формулюваннi 2. Доведення. Нехай u є розв’язком задачi (10) у формулюваннi 1. За теоремою 1 також iснують lim ε→0 ∫ Sε ϕ·Tju dS для довiльної ϕ ∈ D(S), Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 63 j = 1, m. Тодi за лемою [6, c. 70] iснують границi lim ε→0 ∫ Sε B̂jψ · Tju dS = lim ε→0 ∫ Sε (lim ε→0 B̂jψ) · Tju dS = 0 для всiх ψ ∈ Xs(Ω), j = 1, m. Запишемо формулу Грiна в Ωε для u та ψ ∈ Xs(Ω) ∫ Ωε A∗ψ · u dx = ∫ Ωε ψ(x) · f(x, ∂ru(x)) dx+ + = m∑ j=1 ∫ Sε ( Bju · T̂jψ − Tju · B̂jψ ) dS. (13) Переходячи в (13) до границi при ε → 0, використовуючи викори- стовуючи iснування узагальнених крайових значень Tju, j = 1, m та лему [6, c. 70], одержуємо ∫ Ω A∗ψ · u dx = ∫ Ω ψ(x) · f(x, ∂ru(x)) dx+ + lim ε→0 m∑ j=1 ∫ Sε (Bju)(xε) · (lim ε→0 T̂jψ(xε)) dS ∀ψ ∈ Xs(Ω). (14) Згiдно з умовами (11) рiвнiсть (14) набуває вигляду (12). Нехай тепер u є розв’язком задачi (10) у формулюваннi 2. Iз (12) при supp ψ ⊂ Ωε (ε > 0) матимемо ∫ Ω A∗ψ · u dx = ∫ Ω ψ(x) · f(x, ∂ru(x)) dx, тобто функцiя u – узагальнений розв’язок рiвнян- ня (5). Тодi за теоремою 1 Bju та Tju набувають на S деяких узагальнених крайових значень iз D′(S). Залишається показати, що Bju набувають на S заданих узагальнених крайових значень Fj, j = 1, m. Оскiльки iснує границя при ε→ 0 кожного з доданкiв у (13), то маємо (14). Вiднiмаючи (14) вiд (12), одержуємо lim ε→0 m∑ j=1 ∫ Sε (Bju)· (T̂jψ) dSε = m∑ j=1 < T̂jψ, Fj > при ψ ∈ Xs(Ω). Згiдно з лемою 2, для довiльних ϕj ∈ D(S), j = 1, m iснує така ψ ∈ Xs(Ω), що T̂jψ = ϕj, j = 1, m, тому iз останньої рiвностi одержуємо (11). � У [4, 10] встановлено достатнi умови розв’язностi задачi (10). 2. Узагальненi крайовi та початковi значен- ня розв’язкiв пiвлiнiйних параболiчних рiв- нянь. 64 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. 2.1. Основнi позначення. Функцiйнi простори. Нехай Q = Ω × (0, T ], Σ = S × (0, T ], 0 < T < +∞, A(x, t,Dx) = ∑ \|α\|≤2m aα(x, t)D α, aα(x, t) ∈ C∞(Q); L(x, t,Dx, ∂ ∂t ) ≡( ∂ ∂t −A(x, t,Dx)) – параболiчний диференцiальний оператор; Bj(x, t,Dx) = ∑ \|α\|≤mj bj α(x, t)D α, bj α ∈ C∞(Σ) (j = 1, m, \|α\| ≤ mj) – система крайових диференцiальних виразiв. Припускаємо, що {Bj} m j=1 є нормальною на Σ ([11, c. 178]) i задовольняє умову Лопатинського ([11, c. 15]). Згiдно з [11, c. 178], [12] iснують крайовi диференцiальнi ви- рази B̂j , Cj , Ĉj типу Bj , j = 1, m порядкiв вiдповiдно 2m−1−m̂j , m̂j , 2m− 1 −mj ∫ Q [v(Lu) − (L∗v)u] dxdt = m∑ j=1 ∫ Σ [(B̂jv)(Cju) − (Ĉjv)(Bju)] dSdt+ + ∫ Ω v(x, t)u(x, t)\|t=T t=0 dx для довiльних u, v ∈ C∞(Q), (15) де L∗ = −( ∂ ∂t + A∗). Використовуватимемо такi функцiйнi простори: D(Q) = C∞(Q), D(Σ) = C∞(Σ), D(Ω) = C∞(Ω); D0(Q) = {ϕ ∈ D(Q) : ∂k ∂tk ϕ \| t=T = 0, k = 0, 1, . . .}, D0(Σ) = {ϕ ∈ D(Σ) : ∂k ∂tk ϕ \| t=T = 0, k = 0, 1, . . .}, D0(Σ) = {ϕ ∈ D(Σ) : ∂k ∂tk ϕ \|t=0 = 0, k = 0, 1, . . .}, D0 0(Σ) = D0(Σ) ∩D0(Σ), D0(Ω) = {ϕ ∈ D(Ω) : B̂jϕ \|S = 0, j = 1, m}. Позначатимемо через (D0 0(Σ)) ′ , (D0(Ω)) ′ – простори лiнiй- них неперервних функцiоналiв вiдповiдно на просторах функ- цiй D0 0(Σ), D0(Ω), через (ϕ, F )1 – значення узагальненої функ- цiї F ∈ (D0 0(Σ))′ на основнiй функцiї ϕ ∈ (D0 0(Σ)), через (ϕ, F )2 – значення F ∈ (D0(Ω))′ на ϕ ∈ D0(Ω), а пiд s(F ) розумiтиме- мо порядкок сингулярностi узагальненої функцiї F ([6, c. 123]). Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 65 Зауважимо, що при F ∈ (D(Σ))′, s(F ) ≤ q1 та q1 ≥ 0 (ϕ, F )1 = ∑ \|α\|+2mα0≤q1 ∫ Σ ∂α0 ∂tα0 Dα xϕ(x, t)fα(x, t) dSdt, ∀ϕ ∈ D(Σ), fα ∈ L1(Σ), а при F ∈ (D(Ω))′, s(F ) ≤ q2 та q2 ≥ 0 (ϕ, F )2 = ∑ \|α\|≤q2 ∫ Ω Dαϕ(x)fα(x) dx для довiльних ϕ ∈ D(Ω), fα ∈ L1(Ω). Нехай ̺2(t) (t ∈ (0, T ]) – нескiнченно диференцiйовна невiд’- ємна функцiя, яка має порядок t при t → 0 i, крiм того, 0 < ̺2(t) ≤ 1, t ∈ (0, T ], ̺2(t) ≡ 1 при t ≥ ε0 ̺(x, t) = min[̺1(x), 2m √ ̺2(t)], тобто ̺(x, t) = ̺1(x) при d(x) → 0, ̺(x, t) = 2m √ ̺2(t) при t → 0, ̺(x, t) = 1 при d(x) ≥ ε0 та t ≥ ε0. Введемо функцiйнi простори: Xk(Q) = {ψ ∈ D0(Q) : ψ(·, 0) ∈ D0(Ω), B̂jψ \|Σ = 0, j = 1, m, L∗ψ(x, t) = O(̺k(x, t)), ̺(x, t) → 0} (у [4, c. 136-137] доведено, що Xk(Q) непорожний при k ≥ 0); Mk, r(Q) = {v∈W r 1,loc(Q) : \|\|v\|\|k, r = ∑ \|γ\|≤r ∫ Q ̺k+\|γ\|(x, t)\|Dγv(x, t)\| dxdt < +∞}, k ∈ R, Mk(Q) = Mk,0(Q). 2.2. Узагальненi крайовi та початковi значення регу- лярних розв’язкiв. Нехай Σ εε1 = Sε × (ε1, T ], (xε, t) ∈ Σ εε1 , якщо xε = x+ εν(x), t ∈ (ε1, T ], (x, t) ∈ Σ. Для ϕ ∈ D(Σ) визначаємо ϕ(xε, t) = ϕ(x, t), якщо (xε, t) ∈ Σ εε1 , ε ∈ (0, ε0], ε1 > 0. 66 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Означення 2.([4, c. 142]) Кажемо, що регулярна всерединi об- ластi Q функцiя u набуває узагальнених початкових значень Fm+1 ∈ (D0(Ω))′, якщо iснує lim ε, t→0 ∫ Ωε ϕ(x)u(x, t) dx = (ϕ, Fm+1)2 ∀ϕ ∈ D0(Ω), (16) а функцiї Bju, j = 1, m набувають на Σ узагальнених крайових значень вiдповiдно Fj ∈ (D0 0(Σ))′, якщо iснує lim ε, ε1→0 ∫ Σε ε1 ϕ(xε, t)Bju(xε, t) dSdt = (ϕ, Fj)1 ∀ϕ ∈ D0 0(Σ), j = 1, m. (17) Припустимо, що F0(x, t, z) (z = (z(0,...,0), z(1,0,...,0), ..., zα, ...)) – визначена та неперервна функцiя в Q× MM(r), r ≤ 2m− 1. Теорема 3. Нехай s – довiльне цiле невiд’ємне число, u – уза- гальнений розв’язок класу C2m−1, 0(Q) ∩Ms(Q) рiвняння L(x, t,Dx, ∂ ∂t )u(x, t) = F0(x, t, ∂ru(x, t)), (x, t) ∈ Q. (18) Умова ∫ Q \|F0(x, t, ∂ru(x, t))\| dxdt < +∞ (19) виконується тодi i лише тодi, коли для довiльних крайових ди- ференцiальних виразiв B̃j(x, t,Dx), j = 0, 2m− 1 з нескiнчен- но диференцiйовними коефiцiєнтами, якi утворюють систему Дiрiхле, функцiї B̃ju набувають на Σ узагальнених крайових зна- чень f̃j ∈ (D0 0(Σ))′ порядкiв сингулярностей s(f̃j) ≤ s + j + 1, j = 0, 2m− 1, а функцiя u набуває на Ω узагальнених початкових значень f̂m+1 ∈ (D0(Ω))′ порядку сингулярностi s(f̂m+1) ≤ s+2m. Доведення. Нехай, подiбно до елiптичного випадку, Σ ⊂ U = l1⋃ l=1 Ul, де Ul – такi обмеженi множини з Rn, що ̺1(x) < 2m √ ̺2(t) при (x, t) ∈ U , так, що ̺(x, t) = ̺1(x) в U . Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 67 Нехай Σ̃ – замкнена нескiнченно диференцiйовна поверхня всерединi Q i така, що Σ̃ ⊂ U (dist(Σ̃, Σ) > ε); Q1 ε ε1 – пiдобласть Q, розмiщена мiж Σε ε1 та Σ̃, ε ∈ (0, ε0], ε1 > 0. Нехай функцiя Φε у кожному крайовому координатному околi Uj у розпрямляючих локальних координатах має вигляд Φ (j) ε (ξ ′ (j), ξ (j) n , t) = 2m+s−1∑ i=0 (ξ (j) n − ε)iϕ (j) i (ξ ′ (j), t), де ϕ0, ϕ1,..., ϕ2m−1 – довiльнi iзD0 0(Σ), i = 0, 2m− 1. Як в елiптичному випадку (див. також лему 4.1[4, c. 136] та лему 6 [13, с. 29]) встановлюємо iснування для довiльного на- турального числа s функцiй ϕi ∈ D0 0(Σ), i = 2m, 2m+ s− 1 та такої нескiнченно диференцiйовної i обмеженої в кожному край- овому координатному околi Uj функцiї ϕ, що L∗Φε(ξ ′ , ξn, t) = (ξn − ε)sϕ(ξ ′ , ξn − ε, t), при цьому функцiї ϕ2m+j , j = 0, s− 1 ви- ражаються через ϕi, i = 0, 2m− 1 та їх похiднi за змiнними ξ1,..., ξn−1 до порядкiв 2m+ j − i вiдповiдно, через похiдну за змiнною t вiд ϕj , j = 0, s− 1, функцiя ϕ обмежена в областi Q1 (мiж Σ̃ та Σ) i є лiнiйною комбiнацiєю вiд ϕ0,..., ϕ2m+s−1 та їх похiдних: \|ϕ(ξ ′ , ξn, t)\| ≤ 2m−1∑ j=0 Kj ∑ \|γ\| + 2mγ0 ≤ ≤ 2m + s − j t sup (ξ ′ ,t)⊂Σ \|Dγ ξ′ ∂γ0 ∂tγ0 ϕj(ξ ′ , t)\|, ∀ξ = (ξ ′ , ξn) ∈ Ul, (20) де Kj = const > 0. Запишемо формулу Ґрiна в областi Q1 ε ε1 для функцiй u та Φε. Матимемо ∫ Q1 ε ε1 u · (ξn − ε)s · ϕ(ξ ′ , ξn − ε, t) dξdt− − ∫ Q1 ε ε1 2m+s−1∑ i=0 (ξn − ε)i · ϕi(ξ ′ , t) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dξdt = = ∫ Σε ε1 2m−1∑ j=0 B̃ju× ×{ 2m−1−j∑ p=0 C̃j pϕ2m−1−p−j · (2m− 1 − p− j)!} dSdt− − ∫ Ωε u(x, ε1)Φε(x, ε1) dξ, (21) 68 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. де C̃jp = C̃jp(ξ ′ , t, Dξ ′ ) – дотичнi диференцiальнi оператори по- рядкiв менше або рiвне p, C̃j0 = C̃j0(ξ ′ , t) 6= 0, j = 0, 2m− 1. За умовою u ∈ Ms(Q), обмеженiстю ϕ в Q1 та лемою [6, c. 70] iснує lim ε, ε1→0 ∫ Q1 ε ε1 u · (ξn − ε)s · ϕ(ξ ′ , ξn − ε, t) dξdt = = ∫ Q1 u · ξs n · ϕ(ξ ′ , ξn, t) dξdt. (22) Оскiльки 2m+s−1∑ i=0 (ξn−ε) iϕi(ξ ′ , t) обмежена в Q1, то iз (21) вип- ливає, що умова (19) виконується тодi i лише тодi, коли iснує границя при ε, ε1 → 0 правої частини (21). Використовуючи лему [6, c. 70] при ε1 → 0, одержуємо iсну- вання lim ε, ε1→0 ∫ Ωε u(x, ε1)Φε(x, ε1) dξ = lim ε, ε1→0 ∫ Ωε u(x, ε1)Φε(x, 0) dξ = 0. Припускаючи виконання (19), матимемо iснування lim ε, ε1→0 ∫ Σε ε1 2m−1∑ j=0 B̃ju× × { 2m−1−j∑ p=0 C̃j pϕ2m−1−p−j · (2m− 1 − p− j)!} dSdt. (23) Нехай ϕ0 ≡ ϕ1 ≡ ... ≡ ϕ2m−2 ≡ 0. Введемо лiнiйний функцiо- нал f̃0: (ϕ, f̃0)1 = lim ε, ε1→0 ∫ Σε ε1 B̃0u · ϕdSdt, ϕ ∈ D0 0(Σ). Iз (21) та (22), (23) одержуємо C̃0 0(2m− 1)! · (ϕ2m−1, f̃0)1·= ∫ Q1 u · ξs n · ϕ(ξ ′ , ξn, t) dξdt− − ∫ Q1 [ξ2m−1 n ·ϕ2m−1(ξ ′ , t) + ξ2m n ·ϕ2m(ξ ′ , t) + ..+ +ξ2m+s−1 n ·ϕ2m+s−1(ξ ′ , t)] · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dξdt. (24) Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 69 За формулою (20) \|ϕ(ξ ′ , ξn, t)\| ≤ K2m−1 ∑ \|γ\|+2mγ0≤s+1 sup (ξ ′ ,t)⊂Σ \|Dγ ξ′ ∂γ0 ∂tγ0 ϕ2m−1(ξ ′ , t)\|, тому ∫ Q1 ξs n · \|u · ϕ(ξ ′ , ξn, t)\| dξdt ≤ ≤ K1 2m−1 ∑ \|γ\|+2mγ0≤s+1 sup (ξ ′ ,t)⊂Σ \|Dγ ξ′ ∂γ0 ∂tγ0 ϕ2m−1(ξ ′ , t)\|, K1 2m−1 = K2m−1\|\|u\|\|s; \|ξ2m−1 n · ϕ2m−1(ξ ′ , t) + ... + ξ2m+s−1 n · ϕ2m+s−1(ξ ′ , t)\| ≤ ≤ K ′ 2m−1 ∑ \|γ\|+2mγ0≤s sup (ξ′ ,t)⊂Σ \|Dγ ξ ′ ∂γ0 ∂tγ0 ϕ2m−1(ξ ′ , t)\|, K ′ 2m−1 = const > 0. Тодi враховуючи (19), iз (24) одержуємо \|(ϕ, f̃0)1\| ≤ K ′ 0 ∑ \|γ\|+2mγ0≤s+1 sup (ξ′ ,t)⊂Σ \|Dγ ξ ′ ∂γ0 ∂tγ0 ϕ(ξ ′ , t)\| ∀ϕ ∈ D0 0(Σ), де K ′ 0 = K ′ 0(\|\|u\|\|s). Отже, функцiонал f̃0 лiнiйний, неперервний на D0 0(Σ) i має порядок сингулярностi s(f̃0) ≤ s+ 1. Вважаючи далi по черзi вiдмiнними вiд нуля тiльки по однiй iз функцiй ϕ2m−2,..., ϕ1, ϕ0, з (21) та (23) аналогiчно, одержуємо iснування lim ε, ε1→0 ∫ Σε ε1 B̃ju · ϕdSdt = (ϕ, f̃j)1, ϕ ∈ D0 0(Σ), s(f̃j) ≤ s + j + 1, j = 0, 2m− 2. Нехай Q2 ε ε1 – пiдобласть в Q така, що 2m √ ̺2(t) < ̺1(x) для довiльних (x, t) ∈ Q2 ε ε1 . Нехай Ψ(x, t) = q∑ i=0 tiψi(x), де q = [ s 2m ] + 1, ψ0 – довiльна функцiя з D0(Ω). За лемою 4.3 iз [4, с. 136], iснують такi функ- цiї ψ1,..., ψq ∈ D0(Ω), що B̂jΨ \|Σ = ĈjΨ \|Σ = 0, Ψ(x, T ) = 0, 70 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. L∗Ψ(x, t) = t s 2mψ(x, t), де ψ – нескiнченно диференцiйовна i обмежена при досить малих значеннях t функцiя. Запишемо формулу Ґрiна в областi Q2 ε ε1 для функцiй u та Ψ ∫ Q2 ε ε1 u(x, t) · t s 2mψ(x, t) dxdt− − ∫ Q2 ε ε1 Ψ(x, t) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dxdt = = m∑ j=1 ∫ Σε ε1 [(ĈjΨ)(xε, t) · (Bju)(xε, t)− −(B̂jΨ) · (Cju)] dSdt− ∫ Ωε u(x, ε1) · Ψ(x, ε1) dx. (25) Для u ∈ Ms(Q) iснує lim ε, ε1→0 ∫ Q2 ε ε1 u(x, t) · t s 2m · ψ(x, t) dxdt = ∫ Q2 u(x, t) · t s 2m · ψ(x, t) dxdt. Оскiльки функцiя Ψ обмежена в Q2, то за умовою (19) iснує lim ε, ε1→0 ∫ Q2 ε ε1 q∑ i=0 ti · ψi(x) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dxdt = = ∫ Q2 q∑ i=0 ti · ψi(x) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dxdt. За доведеним вище iснують узагальненi крайовi значення B̃ju, тому iснує границя першої групи доданкiв у правiй частинi (25), яка за лемою [6, c. 70] дорiвнює нулю. Тодi iз (25) випливає iснування lim ε, ε1→0 ∫ Ωε Ψ(x, ε1) · u(x, ε1) dx = = lim ε, ε1→0 ∫ Ωε ( lim ε1→0 q∑ i=0 εi 1 · ψi(x)) · u(x, ε1) dx = = lim ε, ε1→0 ∫ Ωε ψ0(x) · u(x, ε1) dx. Введемо лiнiйний функцiонал f̂m+1 на D0(Ω): (ϕ, f̂m+1)2 = lim ε, ε1→0 ∫ Ωε ϕ(x) · u(x, ε1) dx. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 71 Iз (25) та попереднiх мiркувань \|(ψ0, f̂m+1)2\| ≤ lim ε, ε1→0 ∫ Q2 ε ε1 t s 2m · \|u(x, t) · ψ(x, t)\| dxdt+ +\| ∫ Q2 q∑ i=0 ti · ψi(x) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dxdt\|. (26) З доведення леми 4.2 [4, с. 136], випливає оцiнка \|ψ(x, t)\| ≤ K ∑ \|γ\|≤s+2m sup x∈Ω \|Dγψ0(x)\|, де K = const > 0. Оскiльки функцiї ψj , j = 1, q виражаються через ψ0 та її похiднi до порядкiв 2mj, то \|ψ0(x) + t · ψ1(x) + ...+ tq · ψq(x)\| ≤ K1 ∑ \|γ\|≤2mq sup x∈Ω \|Dγψ0(x)\|, де K1 = const > 0. Враховуючи (19), iз (26) одержуємо \|(ψ0, f̂m+1)2\| ≤ K ′ m+1 ∑ \|γ\|≤s+2m sup x∈Ω \|Dγψ0(x)\| ∀ψ0 ∈ D0(Ω), K ′ m+1 = const. Звiдси випливає, що f̂m+1 – неперервний функцiонал на D0(Ω) i s(f̂m+1) ≤ s+ 2m. � 2.3. Формулювання узагальненої крайової задачi. Нехай F0(x, t, v) – визначена та неперервна в Q×MM(r) функ- цiя, Fj ∈ (D0 0(Σ))′, Fm+1 ∈ (D0(Ω))′, 0 ≤ s(Fj) ≤ sj , j = 1, m+ 1, s ≥s0 def = max{ max 1≤j≤m (sj −mj − 1), sm+1 − 2m}. Розглядаємо узагальнену крайову задачу L(x, t,Dx, ∂ ∂t )u(x, t) = F0(x, t, ∂ru(x, t)), (x, t) ∈ Q, (27) Bj(x, t,Dx)u(x, t) \|Σ= Fj(x, t), j = 1, m, (x, t) ∈ Σ, (28) u\|t=0 = Fm+1(x), x ∈ Ω (29) 72 Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. в подiбних до випадку лiнiйних крайових задач [14, 15] форму- люваннях. Формулювання 1 задачi (27)-(29). Знайти узагальнений розв’язок u ∈ Ms, r(Q)∩C2m−1,0(Q) рiвняння (27) в областi Q, який набу- ває узагальнених початкових значень Fm+1 ∈ (D0(Ω))′, а функцiї Bju, j = 1, m набувають узагальнених крайових значень Fj ∈ (D0 0(Σ))′, j = 1, m вiдповiдно, тобто u задовольняє початкову умову (29) в сенсi (16) та крайовi умови (28) в сенсi (17). Формулювання 2 задачi (27)-(29). Знайти функцiю u ∈ Ms, r(Q) таку, що ∫ Q (L∗ψ) · u dxdt = ∫ Q ψ(x, t) · F0(x, t, ∂ru(x, t)) dxdt+ + m∑ j=1 (Ĉjψ, Fj(x, t))1 + (ψ(·, 0), Fm+1(·))2 для довiльної ψ ∈ Xs(Q). Теорема 4. Функцiя u ∈ Ms, r(Q) ∩ C2m−1,0(Q), яка задовольняє умову (19), є розв’язком задачi (27)-(29) у формулюваннi 2 тодi i лише тодi, коли вона є розв’язком цiєї задачi у формулюваннi 1. Доведення теореми 4 проводимо подiбно до доведення теоре- ми 2. У [16] наведено достатнi умови розв’язностi задачi (27)-(29). 1. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их при- ложения. – М.: Мир, 1971. – 372 c. 2. Ройтберг Я.А. Эллиптические граничные задачи в обобщенных функци- ях. I-IV. – Чернигов: Изд-во Чернигов. педин-та, 1990, 1991. 3. Лопатинский Я.Б. Граничные свойства решений дифференциальных уравнений второго порядка эллиптического типа // Докл. АН СССР. № 2. – 1956. 4. Лопушанська Г.П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D ′ . – Львiв: Видавництво Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка, 2002. – 285 с. 5. Шехтер М. Общие граничные задачи для эллиптических уравнений в частных производных. // Математика. – 1996. – Т.4, № 5. – C. 93 - 122. 6. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй спецкурс. – М.: Наука, 1965. – 328 с. 7. Szmydt Z. Sui problemi di Dirichlet e di Neumann con dati al contorno generalizzati// Atti Accad. naz. Lincei. Rend. CI. Sci. fis. mat. e natur. – 1962. – Т. 32, № 3. – P. 867 – 872. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв пiвлiнiйних рiвнянь 73 8. Грушин В.В. О поведении решений дифференциальных уравнений вбли- зи границы // Докл. АН СССР. – 1964. – 158. – C. 264 - 267. 9. Гупало Г.С. Про узагальнену задачу Дiрiхле // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1967. – № 7. – C. 843 - 846. 10. Лопушанська Г.П. Крайовi значення iз (С∞)′ розв’язкiв напiвлiнiйних елiптичних рiвнянь //Нелинейные граничные задачи – 2006. – Т. 16. – С. 173 – 185. 11. Ивасишен С.Д. Матрицы Грина параболических граничных задач. – К.: Вища школа, 1990. – 200 с. 12. Ивасишен С.Д. Сопряженные операторы Грина. Обобщенные решения параболических граничных задач с нормальными граничными условиями // ДАН СССР. – 1971. – Т.197, № 2. – С. 261 – 264. 13. Лопушанська Г. П. Про два пiдходи до вивчення лiнiйних неоднорiдних граничних задач у просторах узагальнених функцiй// – Київ: НМК ВО, 1991. – 51 с. 14. Гупало А.С.,Лопушанская Г.П. Об обобщённых граничных значениях ре- шения однородного параболического уравнения второго порядка // Ме- тоды исследования дифференциальных и интегральных операторов. – К.: Наук. думка, 1989. – С. 54 – 59. 15. Лопушанская Г. П. О решении с помощью матрицы Грина параболиче- ской граничной задачи в пространстве обобщённых функций // Укр. мат. журн. – 1986. – Т. 38, № 6. – С. 795 – 798. 16. Лопушанська Г.П., Чмир О.Ю. Iснування та регулярнiсть розв’язкiв уза- гальненої нормальної крайової задачi для квазiлiнiйних параболiчних си- стем // Математичний вiсник НТШ – 2005. – Т. 2. – С. 123 – 134. Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка вул. Унiверситетська, 1, 79000, Львiв, Україна diffeq@franko.lviv.ua o chmyr@franko.lviv.ua Отримано 22.03.07

Узагальнені крайові значення розв'язків півлінійних еліптичних та параболічних рівнянь

Institution

Ähnliche Einträge