Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением
В статье рассматривается подмножество самосопряженных операторов, у которых определенные собственные значения обладают фиксированной кратностью. С помощью метода, предложенного D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh. Yukita, показывается, что исследуемое подмножество является банаховым подмногообразием, коразме...
Saved in:
| Date: | 2007 |
|---|---|
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10113 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением / Е.А. Масюта // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 74-86. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860222522171064320 |
|---|---|
| author | Масюта, Е.А. |
| author_facet | Масюта, Е.А. |
| citation_txt | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением / Е.А. Масюта // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 74-86. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| description | В статье рассматривается подмножество самосопряженных операторов, у которых определенные собственные значения обладают фиксированной кратностью. С помощью метода, предложенного D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh. Yukita, показывается, что исследуемое подмножество является банаховым подмногообразием, коразмерность которого зависит только от кратности отслеживаемых собственных значений и вычисляется по формуле, предложенной В.И.Арнольдом.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:18:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
74 Нелинейные граничные задачи 17, 74-86 (2007)
c©2007. Масюта Е.А.
МНОГООБРАЗИЕ САМОСОПРЯЖЕННЫХ
ОПЕРАТОРОВ, ОБЛАДАЮЩИХ ИЗОЛИРОВАННЫМ
СОБСТВЕННЫМ ЗНАЧЕНИЕМ
В статье рассматривается подмножество самосопряженных операторов,
у которых определенные собственные значения обладают фиксированной
кратностью. С помощью метода, предложенного D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.
Yukita, показывается, что исследуемое подмножество является банаховым
подмногообразием, коразмерность которого зависит только от кратности от-
слеживаемых собственных значений и вычисляется по формуле, предложен-
ной В.И.Арнольдом.
Ключевые слова: кратность собственного значения, многообразие са-
мосопряженных операторов
MSC (2000): 35З05
Введение.
В своей работе [1] В.И.Арнольд обратил внимание на то, что
самосопряженные конечномерные операторы, у которых опреде-
ленное собственное значение имеет определенную кратность, об-
разуют подмногообразие в пространстве всех операторов, причем
коразмерность этого подмногообразия зависит только от кратно-
сти собственного значения и не зависит ни от номера собственного
значения, ни от размерности объемлющего пространства. Также
им была выведена формула коразмерности таких подмногообра-
зий. Гипотеза В.И.Арнольда состоит в том, что это наблюдение
справедливо для естественных семейств самосопряженных опе-
раторов.
Для случая компактных операторов гипотеза рассматрива-
лась в работах группы японских математиков D.Fujiwara, M.Tani-
kawa, Sh.Yukita [2], итальянских - D.Lupo и A.M.Micheletti [3], а
также в работах Я.М.Дымарского (например, в [4]).
В настоящей работе исследуется случай ограниченных са-
мосопряженных операторов, имеющих изолированное собствен-
ное значение фиксированной кратности. С помощью метода ра-
боты [2] подтверждается гипотеза Арнольда – рассматриваемые
операторы образуют многообразие, коразмерность которогозави-
Многообразие самосопряженных операторов 75
сит только от кратности отслеживаемого собственного значения.
Также получен подобный результат и для случая самосопряжен-
ных операторов, имеющих счетное число изолированных собствен-
ных значений.
Автор выражает благодарность Я.М.Дымарскому за поста-
новку проблемы и подробное обсуждение.
1. Вспомогательная лемма.
Здесь пойдет речь о диффеоморфизме, введенном в рабо-
те [2]. Мы дадим основные определения, сформулируем и дока-
жем вспомогательную лемму.
Итак, пусть H – вещественное гильбертово сепарабельное
пространство со скалярным произведением 〈·, ·〉. Ls – банахово
пространство ограниченных самосопряженных операторов. Пусть
A0 – фиксированный оператор из Ls, Vε(A
0) = {A : ‖A−A0‖ < ε},
λ0 – изолированная точка спектра оператора A0. Тогда [6] λ0 –
это изолированное собственное значение (и только) оператора A0
некоторой кратности m ≤ ∞. Обозначим через Ls(A
0, ε, m) ⊂ Ls
множество всех таких операторов A, что:
1. A ⊂ Vε(A
0);
2. ∃ λ ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε) – изолированное в указанной окрест-
ности собственное значение для оператора A.
Ниже будет показано, что при малом ε кратность отслежи-
ваемого собственного значения λ(A) ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε) равна m.
Поэтому в обозначении Ls(A
0, ε, m) мы поставили m.
Определим локальный диффеоморфизм в окрестности Vε(A
0).
Пусть H1 ⊂ H – собственное подпространство A0, порожденное
собственными векторами, которые отвечают собственному значе-
нию λ0; {u
0
1, u
0
2, . . .} – ортонормированный базис в H1. Пусть H⊥
– ортогональное дополнение к H1 в H . Обозначим через ν1 и ν⊥
ортогональные проекторы на H1 и H⊥ соответственно. Понятно,
что оператор B представим в виде B = B11 + B1⊥ + B⊥1 + B⊥⊥
или блочном виде
B =
(
B11 B1⊥
B⊥1 B⊥⊥
)
.
76 Масюта Е.А.
Определим антисимметрический оператор Ant(B) = −B1⊥ + B⊥1
и самосопряженный блочно-диагональный оператор Diag(B) =
B11 + B⊥⊥.
Рассмотрим отображение
Ψ : Ls → Ls Ψ(B) = exp(Ant(B))(A0 + Diag(B))(exp(−Ant(B)),
где операторная экспонента exp(C) = E + C + 1
2!
C2 + . . ..
Лемма 1. Существует такое ε > 0, что отображение Ψ диф-
феоморфно отображает некоторую окрестность V (0) ⊂ Ls ну-
ля пространства Ls на ε-окрестность Vε(A
0) ⊂ Ls точки A0.
Доказательство. Сначала покажем, что отображение Ψ действу-
ет из Ls в Ls. Рассмотрим экспоненту exp(Ant(B)) = U от ан-
тисимметрического оператора. Известно [7], что это изометри-
ческий изоморфизм. Следовательно, операторы A0 + Diag(B) и
Ψ(B) ортогонально эквивалентны. Так как A0 +Diag(B) ∈ Ls, то
и Ψ(B) ∈ Ls. Убедимся в том, что Ψ(0) = A0:
Ψ(0) = exp(Ant(0))(A0+Diag(0)) exp(−Ant(0)) = E(A0+0)E = A0.
Отображение Ψ, в силу определения, бесконечно дифферен-
цируемо. Найдем производную DΨ(0) в точке 0 ∈ Ls и докажем
что она является линейным изоморфизмом. Тогда утверждение
леммы непосредственно будет следовать из теоремы о существо-
вании обратного отображения. Чтобы найти производную опера-
тора Ψ, разложим операторную экспоненту в ряд, а затем выде-
лим линейную часть:
Ψ(0 + ∆B) − Ψ(0) =
= exp(Ant(∆B))(A0 + Diag(∆B)) exp(−Ant(∆B)) − A0 =
= (E + Ant(∆B) + 1
2!
(Ant(∆B))2 + . . .)(A0 + Diag(∆B))×
×(E − Ant(∆B) + 1
2!
(Ant(∆B))2 − . . .) − A0 =
= Diag(∆B) + Ant(∆B) · A0 − A0 · Ant(∆B) + o(∆B),
Многообразие самосопряженных операторов 77
где lim∆B→0
‖o(∆B)‖
‖∆B‖
= 0.
Следовательно
DΨ(0)∆B =
= Diag(∆B) + (Ant(∆B) · A0 − A0 · Ant(∆B)) =
=
(
∆B11 0
0 ∆B⊥⊥
)
+
(
0 −∆B1⊥ · A0
⊥⊥
∆B⊥1 · A
0
11 0
)
−
−
(
0 −A0
11 · ∆B1⊥
A0
⊥⊥ · ∆B⊥1 0
)
.
(1)
Покажем, что DΨ(0) является биекцией. Поскольку произ-
вольные операторы ∆B, C ∈ Ls единственным образом предста-
вимы в виде:
∆B = Diag(∆B) + ∆B1⊥ + ∆B⊥1,
C = Diag(C) + C1⊥ + C⊥1,
то решение относительно ∆B уравнения DΨ(0)∆B = C равно-
сильно системе:
Diag(∆B) = Diag(C); (2)
C1⊥ = A0
11 · ∆B1⊥ − ∆B1⊥ · A0
⊥⊥,
C⊥1 = ∆B⊥1 · A
0
11 − A0
⊥⊥ · ∆B⊥1.
(3)
Первое уравнение полученной системы тривиально разрешимо
относительно Diag(∆B). Уравнения (3) очевидно сопряжены, по-
этому достаточно исследовать первое. Учитывая, что
A0 = Diag(A0) = λ0E11 + A0
⊥⊥,
получаем
A0
11 · ∆B1⊥ − ∆B1⊥ · A0
⊥⊥ =
= λ0∆B1⊥ − ∆B1⊥ · A0
⊥⊥ = ∆B1⊥(λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥).
78 Масюта Е.А.
Поэтому уравнение (3) равносильно уравнению
C1⊥ = ∆B1⊥(λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥).
Поскольку λ0 не является точкой спектра оператора A0
⊥⊥, то опе-
ратор (λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥) является изоморфизмом. Следовательно,
существует обратный оператор (λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥)−1 , поэтому
∆B1⊥ = C1⊥ · (λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥)−1, ∆B⊥1 = (λ0E⊥⊥ − A0
⊥⊥)−1 · C⊥1.
Итак, DΨ(0)∆B – биекция. И, следовательно, лемма доказана. 2
2. Основная теорема.
Мы будем следить за одним изолированным собственным зна-
чением фиксированной кратности. Определим линейные функци-
оналы
lij : Ls → R, lij(B) := 〈Bui, uj〉 − δij〈Bu1, u1〉, (4)
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, если m конечно, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если m
бесконечно, i · j > 1, δij – символ Кронекера.
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1. Существует такое малое ε > 0, что Ls(A
0, ε, m) ⊂ Ls яв-
ляется C∞-подмногообразием.
2. Кратность собственного значения λ оператора
A ∈ Ls(A
0, ε, m) равна m.
3. Если m < ∞, то коразмерность Ls(A
0, ε, m) вычисляется
по формуле Арнольда:
co dim Ls(A
0, ε, m) =
(m − 1)(m + 2)
2
.
4. Если m = ∞, то co dim Ls(A
0, ε,∞) = ∞.
Многообразие самосопряженных операторов 79
5. Подмногообразие Ls(A
0, ε, m) определяется следующим об-
разом:
Ls(A
0, ε, m) =
= {C ∈ Vε(A
0) : 〈Ψ−1(C)ui, uj〉 − δij〈Ψ
−1(C)u1, u1〉 = 0},
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, если m конечно, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m бесконечно, i · j > 1.
6. Касательное пространство TA0Ls(A
0, ε, m) в точке A0 опре-
деляется условиями:
TA0Ls(A
0, ε, m) = {B ∈ Ls : lij(B) = 0} (5)
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, если m конечно, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m бесконечно, i · j > 1.
Доказательство. Итак, есть оператор A0 = λ0E11 + A0
⊥⊥. Если
m конечномерно, то блок (λ0E11) – конечен, а если m = ∞ –
бесконечен. Возьмем произвольный оператор вида
B =
(
δE11 B1⊥
B⊥1 B⊥⊥
)
∈ Ls
и применим к нему отображение Ψ. Полученный оператор
A := Ψ(B) =
= exp
(
0 −B1⊥
B⊥1 0
)
×
×
(
(λ0 + δ)E11 0
0 A0
⊥⊥ + B⊥⊥
)
exp
(
0 B1⊥
−B⊥1 0
)
.
Оператор A и оператор
(
(λ0 + δ)E11 0
0 A0
⊥⊥ + B⊥⊥
)
∈ Ls(A
0, ε, m)
ортогонально эквивалентны. Поэтому и A ∈ Ls(A
0, ε, m).
Покажем, что с помощью Ψ мы получим все операторы A ∈
Ls(A
0, ε, m). Возьмем малый оператор B, у которого B11 6= δE11.
Тогда спектр оператора (λ0E11+B11+A0
⊥⊥+B⊥⊥) в ε-окрестности
80 Масюта Е.А.
точки λ0 отличен от изолированной точки. Поэтому спектр уни-
тарно-изоморфного ему оператора A = Ψ(B) обладает тем же
свойством. Последнее противоречит определению множества
Ls(A
0, ε, m).
Итак, операторы A ∈ Ls(A
0, ε, m) являются образом при диф-
феоморфизме Ψ операторов, вида
(
δE11 B1⊥
B⊥1 B⊥⊥
)
, которые обра-
зуют окрестность нуля в замкнутом подпространстве TA0 ⊂ Ls,
определяемом условием: блок B11 = δE11 состоит из скалярных
операторов и только из них.
Прямым дополнением к подпространству TA0 является за-
мкнутое подпространство T ′
A0 операторов, удовлетворяющих усло-
вию B = ν1Bν1 = G11, где G11 – произвольный оператор, удовле-
творяющий условию: 〈G11u
0
1, u
0
1〉 = 0. Очевидно, что T ′
A0 ∩ TA0 =
0 ∈ Ls и для любого B ∈ Ls верно B = B1 + B2, где
B1 = 〈Bu0
1, u
0
1〉 · E11 + B1⊥ + B⊥1 + B⊥⊥ ∈ TA0 ,
B2 = (B11 − 〈Bu0
1, u
0
1〉 · E11) + 01⊥ + 0⊥1 + 0⊥⊥ ∈ T ′
A0 .
Следовательно, подпространство TA0 ⊂ Ls разлагает простран-
ство Ls. Поэтому [8], образ Ψ(TA0 ∩ V (0)) = Ls(A
0, ε, m) является
банаховым подмногообразием.
Заметим, что выполнение условий, определяющих подпро-
странство TA0 , есть выполнение условий (5). Если m конечно, то
количество условий подсчитать не трудно – их будет
(m−1)(m+2)
2
штук. Следовательно, co dim Ls(A
0, ε, m) = (m−1)(m+2)
2
. Если же m
бесконечно, то и количество условий бесконечно, следовательно
co dimLs(A
0, ε,∞) = ∞.
Покажем, что условия (5) определяют именно касательное
пространство к подмногообразию Ls(A
0, ε, m), то есть
TA0Ls(A
0, ε, m) = TA0 . Так как Ls(A
0, ε, m) = ImΨ(TA0 ∩V (0)), то
TA0Ls(A
0, ε, m) = ImDΨ(0)(TA0). Пусть ∆B ∈ TA0 . Мы знаем, что
DΨ(0)∆B = Diag(∆B)+(Ant(∆B)·A0−A0 ·Ant(∆B)). Из (1) сле-
дует, что DΨ(0) не меняет диагональные компоненты. Следова-
тельно DΨ(0)(TA0) ⊂ TA0 . С другой стороны, DΨ(0) – линейный
изоморфизм, поэтому DΨ(0)(TA0) = TA0 . Итак, TA0Ls(A
0, ε, m) =
TA0 .
Теорема полностью доказана. 2
Многообразие самосопряженных операторов 81
3. Случай нескольких собственных значений.
Будем отслеживать конечное число собственных значений
конечной или бесконечной кратности.
Пусть A0 – фиксированный оператор из Ls, у которого име-
ются изолированные точки спектра λ0
1, .., λ
0
k, .., λ
0
n (k = 1, .., n),
которые являются [6] собственными значениями кратности m1 ≤
∞, . . . , mk ≤ ∞, . . . , mn ≤ ∞ соответственно. Заметим, что k =
1, . . . , n это не номер собственного значения, а внутренняя нуме-
рация выбранных нами изолированных точек спектра оператора
A0. Понятно, что у оператора A0 могут быть и другие изолиро-
ванные собственные значения. Обозначим через ζn = (m1, . . . ,
mk, . . . , mn) набор из кратностей выбранных собственных значе-
ний оператора A0.
Обозначим через Ls(A
0, ε, ζn) множество таких операторов A,
что:
1. A ⊂ Vε(A
0) ⊂ Ls;
2. ∃ λk ∈ (λ0
k − ε; λ0
k + ε) – изолированные в указанных окрест-
ностях собственные значения оператора A.
Определим, как и в пункте I, локальный диффеоморфизм в
окрестности Vε(A
0), согласованный с отслеживаемыми собствен-
ными подпространствами. Пусть Hk ⊂ H – mk-мерное векторное
подпространство порожденное ортонормированными собственны-
ми векторами uk,1, . . . , uk,mk
, которые отвечают mk-кратному соб-
ственному значению λ0
k, где k = 1, . . . , n. Пусть H⊥ – ортогональ-
ное дополнение к H1 ⊕ . . . ⊕ Hn в H . Понятно, что оператор A0
имеет следующий блочный вид:
A0 =
λ0
1E11 0 0 0
. . .
0 0 λ0
nEnn 0
0 0 0 A0
⊥⊥
.
Представим произвольный оператор B в блочном виде, согласо-
82 Масюта Е.А.
ванным с разложением на блоки оператора A0:
B =
B11 · · · B1n B1⊥
...
. . .
...
...
Bn1 · · · Bnn Bn⊥
B⊥1 · · · B⊥n B⊥⊥
.
Определим самосопряженный блочно-диагональный оператор
Diag(B) =
B11 0 · · · 0 0
0 B22 · · · 0 0
...
...
. . .
...
...
0 0 · · · Bnn 0
0 0 · · · 0 B⊥⊥
и антисимметрический оператор
Ant(B) =
0 −B12 −B13 · · · −B1n −B1⊥
B21 0 −B23 · · · −B2n −B2⊥
B31 B32 0 · · · −B3n −B3⊥
...
...
...
. . .
...
...
Bn1 Bn2 Bn3 · · · 0 −Bn⊥
B⊥1 B⊥2 B⊥3 · · · B⊥n 0
.
Рассмотрим отображение
Ψ : Ls → Ls,
Ψ(B) = exp(Ant(B))(A0 + Diag(B))(exp(−Ant(B)).
Лемма 2. Существует такое ε > 0, что отображение Ψ диф-
феоморфно отображает некоторую окрестность V (0) ⊂ Ls ну-
ля пространства Ls на ε-окрестность Vε(A
0) ⊂ Ls точки A0.
Доказательство леммы 2 осуществляется аналогично доказатель-
ству леммы 1.
Так, для случая двух собственных значений, решение отно-
сительно ∆B уравнения
Многообразие самосопряженных операторов 83
DΨ(0)∆B = C равносильно системе, аналогичной (2) и (3) :
Diag(∆B) = Diag(C),
C12 = −∆B12A
0
22 + A0
11B12, C21 = ∆B21A
0
11 − A0
22∆B21,
C13 = −∆B13A
0
33 + A0
11∆B13, C31 = ∆B31A
0
11 − A0
33∆B31,
C23 = −∆B23A
0
33 + A0
22∆B23, C32 = ∆B32A
0
22 − A0
33∆B32.
Дальнейшие рассуждения в точности повторяют доказательство
леммы 1. 2
Аналогично (4), определим линейные функционалы
lkij : Ls → R, lkij(B) := 〈Buk,i, uk,j〉 − δij〈Buk,1, uk,1), (6)
где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если m = ∞,
i · j > 1, k = 1, . . . , n, δij – символ Кронекера.
Имеет место
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения:
1. Сущестует ε > 0, что Ls(A
0, ε, ζn) ⊂ Ls – C∞-подмногообра-
зие коразмерности
co dimLs(A
0, ε, ζn) =
n∑
i=1
(mi − 1)(mi + 2)
2
.
2. Кратность собственного значения λk оператора
A ∈ Ls(A
0, ε, ζn) равна mk, где k = 1, . . . , n.
3. Подмногообразие Ls(A
0, ε, ζn) определяется следующим об-
разом:
Ls(A
0, ε, ζn) = {C ∈ Vε(A
0) : 〈Ψ−1(C)uk,i, uk,j〉−
−δij〈Ψ
−1(C)uk,1, uk,1〉 = 0},
где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m = ∞, i · j > 1, k = 1, . . . , n.
4. Касательное пространство TA0Ls(A
0, ε, ζn) в точке A0 опре-
деляется условиями:
TA0Ls(A
0, ε, ζn) = {B ∈ Ls : lkij(B) = 0},
где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m = ∞, i · j > 1, k = 1, . . . , n.
84 Масюта Е.А.
Доказательство этой теоремы осуществляется аналогично дока-
зательству теоремы 1. 2
Рассмотрим теперь самый общий случай счетного числа соб-
ственных значений произвольной кратности.
Пусть A0 – фиксированный оператор из Ls, у которого име-
ются изолированные точки спектра λ0
k (k = 1, 2, . . .), которые
являются собственными значениями кратности mk ≤ ∞ соответ-
ственно. Обозначим через ζ∞ = (m1, . . . , mk, . . .) счетный набор
кратностей собственных значений. Пусть Ls(A
0, ε, ζ∞) – множе-
ство таких операторов A, что:
1. A ⊂ Vε(A
0) ⊂ Ls;
2. ∃ λk ∈ (λ0
k − ε; λ0
k + ε) – изолированные в указанных окрест-
ностях собственные значения оператора A.
Аналогично рассуждениям, приведенным выше, введем блочное
разбиение операторов B ∈ Ls (в этом случае количество блоков
бесконечно), определим самосопряженный блочно-диагональный
Diag(B) и антисимметрический Ant(B) операторы, локальный
диффеоморфизм Ψ в окрестности Vε(A
0), линейные функциона-
лы (6), где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m = ∞, i · j > 1, k = 1, 2, . . . .
Справедлива
Лемма 3. Существует такое ε > 0, что отображение Ψ диф-
феоморфно отображает некоторую окрестность V (0) ⊂ Ls ну-
ля пространства Ls на ε-окрестность Vε(A
0) ⊂ Ls точки A0.
Имеет место
Теорема 3. Справедливы следующие утверждения:
1. Сущестует ε > 0, что Ls(A
0, ε, ζ∞) ⊂ Ls – C∞-подмногообра-
зие коразмерности ∞.
2. Кратность собственного значения λk оператора
A ∈ Ls(A
0, ε, ζ∞) равна mk, где k = 1, 2, . . . .
3. Подмногообразие Ls(A
0, ε, ζ∞) определяется следующим об-
разом:
Ls(A
0, ε, ζ∞) = {C ∈ Vε(A
0) : 〈Ψ−1(C)uk,i, uk,j〉−
−δij〈Ψ
−1(C)uk,1, uk,1〉 = 0},
Многообразие самосопряженных операторов 85
где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m = ∞, i · j > 1, k = 1, 2, . . . .
4. Касательное пространство TA0Ls(A
0, ε, ζ∞) в точке A0 опре-
деляется условиями:
TA0Ls(A
0, ε, ζ∞) = {B ∈ Ls : lkij(B) = 0}, (7)
где 1 ≤ i ≤ j ≤ mk, если mk < ∞, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если
m = ∞, i · j > 1, k = 1, 2, . . . .
Доказательство. Проводя рассуждения, аналогичные доказатель-
ству теоремы 1, можно показать, что операторы A ∈ Ls(A
0, ε, ζ∞)
являются образом при диффеоморфизме Ψ операторов, близких
к нулю, вида
B =
δ1E11 B12 B13 · · · B1⊥
B21 δ2E22 B23 · · · B2⊥
B31 B32 δ3E33 · · · B3⊥
...
...
...
. . .
...
B⊥1 B⊥2 B⊥3 · · · B⊥⊥
,
имеющих бесконечное количество блоков. Эти операторы B об-
разуют окрестность нуля в замкнутом подпространстве TA0 ⊂ Ls,
определяемом условием: блоки Bkk = δkEkk, (k = 1, 2, . . .) состоят
из скалярных операторов и только из них.
Прямым дополнением к подпространству TA0 является за-
мкнутое подпространство T ′
A0 операторов, имеющих вид
B = ν1Bν1 + ν2Bν2 + . . . =
G11 0 · · · 0
0 G22 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 · · · 0
,
где Gkk – произвольный оператор, удовлетворяющий условиям:
〈Gkku
0
k,1, u
0
k,1〉 = 0, k = 1, 2, . . . . Очевидно, что T ′
A0 ∩TA0 = 0 ∈ Ls.
Следовательно, подпространство TA0 ⊂ Ls разлагает простран-
ство Ls. Поэтому, образ Ψ(TA0 ∩ V (0)) = Ls(A
0, ε, ζ∞) является
банаховым подмногообразием.
86 Масюта Е.А.
Выполнение условий, определяющих подпространство TA0 ,
есть выполнение условий (7) и, очевидно, их будет бесконечное
количество. Следовательно, co dim Ls(A
0, ε, ζ∞) = ∞.
Далее, проводя рассуждения, аналогичные соответствующим
рассуждениям в доказательстве теоремы 1, можно показать, что
касательное пространство к подмногообразию Ls(A
0, ε, ζ∞) в точ-
ке A0 есть в точности TA0.
Теорема доказана. 2
1. Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его при-
ложения. - 1972. - 6, №2. - с.94-101.
2. Fujiwara D., Tanikawa M., Yukita Sh. The spectrum of Laplacian and boun-
dary perturbation. I // Proc. Jap. Acad. Ser. A. - 1978. - 54, № 4.- p. 87-91.
3. Lupo D, Micheletti A.M. On multiple egenvalues of selfadjoint compact opera-
tors. // J. Math. Anal. and Appl. -1993. - 172. - p.106-116.
4. Dymarskii Ya.M. On manifolds of self-adjoint elliptic operators with multiple
eigenvalues // Methods Funct.Anal.Topol. - 2001. - vol. 7 , № 2. - p.68-74.
5. Дымарский Я.М. Многообразия самосопряженных операторов с кратны-
ми собственными значениями // Матем.физика, анализ, геометрия - 2001.
- 8, №2. - с. 148-157.
6. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. - М.:МЦНМО,
2004. - 552 с.
7. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия: ме-
тоды и приложения. - М.:Наука, 1986. - 760 с.
8. Ленг С.Введение в теорию дифференцируемых многообразий. - М.:Мир,
1967. - 204 с.
Кафедра математического анализа и алгебры
Луганский национальный педагогический
университет им. Тараса Шевченко,
ул.Оборонная, 2,
91011 г.Луганск, Украина
cegec@yandex.ru
Получено 20.03.07
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10113 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0236-0497 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:18:22Z |
| publishDate | 2007 |
| publisher | Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Масюта, Е.А. 2010-07-23T14:23:10Z 2010-07-23T14:23:10Z 2007 Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением / Е.А. Масюта // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 74-86. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0236-0497 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10113 В статье рассматривается подмножество самосопряженных операторов, у которых определенные собственные значения обладают фиксированной кратностью. С помощью метода, предложенного D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh. Yukita, показывается, что исследуемое подмножество является банаховым подмногообразием, коразмерность которого зависит только от кратности отслеживаемых собственных значений и вычисляется по формуле, предложенной В.И.Арнольдом. ru Інститут прикладної математики і механіки НАН України Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением On manifold of self-adjoint operators with isolated eigenvalue Article published earlier |
| spellingShingle | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением Масюта, Е.А. |
| title | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| title_alt | On manifold of self-adjoint operators with isolated eigenvalue |
| title_full | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| title_fullStr | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| title_full_unstemmed | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| title_short | Многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| title_sort | многообразие самосопряженых операторов, обладающих изолированным собственным значением |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10113 |
| work_keys_str_mv | AT masûtaea mnogoobraziesamosoprâženyhoperatorovobladaûŝihizolirovannymsobstvennymznačeniem AT masûtaea onmanifoldofselfadjointoperatorswithisolatedeigenvalue |