Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ
Построена векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литом слитке (НЛС) и кристаллизаторе в системе электромагнитный перемешиватель (ЭМП) —НЛС. В отличие от ранее разработанных предлагаемая модель учитывает влияние на распределение вихревых токов магнитопрово...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2015 |
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101133 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 63-78. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859634291400507392 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. |
| citation_txt | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 63-78. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Построена векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литом слитке (НЛС) и кристаллизаторе в системе электромагнитный перемешиватель (ЭМП) —НЛС. В отличие от ранее разработанных предлагаемая модель учитывает влияние на распределение вихревых токов магнитопровода статора ЭМП. В ее состав входит система, состоящая из пяти интегральных уравнений (ИУ) для токов намагничивания на поверхности магнитопровода, два ИУ для вихревых токов в НЛС и два ИУ для вихревых токов в кристаллизаторе.
Побудовано векторну інтегральну модель тривимірного розподілу вихрових струмів в безперервно литому злитку (БЛЗ) та кристалізаторі в системі електромагнітний перемішувач (ЕМП)—БЛЗ. На відміну від раніше розроблених запропонована модель враховує вплив на розподіл вихрових струмів магнітопровода статора ЕМП. До її складу входить п’ять інтегральних рівнянь (ІР) для струмів намагніченості на поверхні магнітопровода, два ІР для вихрових струмів в БЛЗ, два ІР для вихрових струмів в кристалізаторі.
The vector integral model of three-dimensional distribution of eddy currents is constructed in CCI in the EMS-CCI system. Unlike the before developed models, the offered model allows for the influence on distribution of eddy currents of EMS stator magnetic core. The model includes the system of five integral equations (IE) for magnetization currents on-the-spot of magnetic core, two IE for eddy currents in CCI and two IE for eddy currents in the mould.
|
| first_indexed | 2025-12-07T13:14:37Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû
Å.È. Ïåòðóøåíêî, êàíä. òåõí. íàóê,
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà,03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. 4241063, e-mail: dep_7@ voliacable.com),
Â.À. Êó÷àåâ, ÎÎÎ «ÌÊ ÁÅËÈ×ÀÍÊÀ»
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, Áóëàõîâñêîãî, 2,
å-mail: vitalku07@yandex.ru)
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü
òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ
Ïîñòðîåíà âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â
íåïðåðûâíî ëèòîì ñëèòêå (ÍËÑ) è êðèñòàëëèçàòîðå â ñèñòåìå ýëåêòðîìàãíèòíûé ïåðåìå-
øèâàòåëü (ÝÌÏ) —ÍËÑ.  îòëè÷èå îò ðàíåå ðàçðàáîòàííûõ ïðåäëàãàåìàÿ ìîäåëü ó÷èòû-
âàåò âëèÿíèå íà ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ ìàãíèòîïðîâîäà ñòàòîðà ÝÌÏ. Â åå ñîñòàâ
âõîäèò ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç ïÿòè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé (ÈÓ) äëÿ òîêîâ íàìàãíè÷è-
âàíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, äâà ÈÓ äëÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ÍËÑ è äâà ÈÓ äëÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â êðèñòàëëèçàòîðå.
Ïîáóäîâàíî âåêòîðíó ³íòåãðàëüíó ìîäåëü òðèâèì³ðíîãî ðîçïîä³ëó âèõðîâèõ ñòðóì³â â
áåçïåðåðâíî ëèòîìó çëèòêó (ÁËÇ) òà êðèñòàë³çàòîð³ â ñèñòåì³ åëåêòðîìàãí³òíèé ïåðåì³øóâà÷
(ÅÌÏ) — ÁËÇ. Íà â³äì³íó â³ä ðàí³øå ðîçðîáëåíèõ çàïðîïîíîâàíà ìîäåëü âðàõîâóº âïëèâ
íà ðîçïîä³ë âèõðîâèõ ñòðóì³â ìàãí³òîïðîâîäà ñòàòîðà ÅÌÏ. Äî ¿¿ ñêëàäó âõîäèòü ï’ÿòü
³íòåãðàëüíèõ ð³âíÿíü (²Ð) äëÿ ñòðóì³â íàìàãí³÷åíîñò³ íà ïîâåðõí³ ìàãí³òîïðîâîäà, äâà ²Ð
äëÿ âèõðîâèõ ñòðóì³â â ÁËÇ, äâà ²Ð äëÿ âèõðîâèõ ñòðóì³â â êðèñòàë³çàòîð³.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå, âèõðåâûå òîêè,
íåïðåðûâíî ëèòàÿ çàãîòîâêà, âåêòîðíàÿ ñèñòåìà èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
 íàñòîÿùåå âðåìÿ íàáëþäàåòñÿ òåíäåíöèÿ ê âíåäðåíèþ ýíåðãîñáåðå-
ãàþùèõ òåõíîëîãèé, ïîâûøåíèþ ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ìàøèí íåïðåðûâ-
íîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê (ÌÍËÇ) è êà÷åñòâà çàãîòîâîê.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíè-
êàåò íåîáõîäèìîñòü ñîçäàíèÿ íîâîãî è óëó÷øåíèÿ êîíñòðóêöèé ñóùåñò-
âóþùåãî ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ, îäíèì èç âèäîâ êîòîðîãî
ÿâëÿþòñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûå ïåðåìåøèâàòåëè (ÝÌÏ) [1—6]. Ê ÷èñëó ìåð,
ïîçâîëÿþùèõ óñêîðèòü ðàçðàáîòêó ÝÌÏ, îòíîñèòñÿ øèðîêîå ïðèìåíåíèå
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 63
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
� Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ, 2015
ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â ïðîöåññå èõ ïðîåêòèðîâàíèÿ. Ýòî èç-
áàâëÿåò ðàçðàáîò÷èêîâ íå òîëüêî îò ãðîìîçäêèõ ðàñ÷åòîâ, íî è îò çíà÷è-
òåëüíîé äîëè äîðîãîñòîÿùåãî ôèçè÷åñêîãî ýêñïåðèìåíòà ïðè çàìåíå åãî
ìàòåìàòè÷åñêèì. Îäíàêî ýòî âîçìîæíî ïðè óñëîâèè, ÷òî â îñíîâå ìàòåìà-
òè÷åñêèõ ìîäåëåé ëåæèò äîñòàòî÷íî òî÷íîå ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå
ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ÝÌÏ.
Êîíñòðóêòèâíûå îñîáåííîñòè ÝÌÏ òàêîâû, ÷òî ýëåêòðîìàãíèòíûå,
ãèäðîäèíàìè÷åñêèå è òåïëîâûå ïîëÿ â íèõ ñóùåñòâåííî òðåõìåðíûå [4—
6].  ñâÿçè ñ ýòèì â îñíîâó ïàêåòà ïðîãðàìì äëÿ ðàñ÷åòîâ ÝÌÏ äîëæíû
áûòü ïîëîæåíû òðåõìåðíûå ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà, Íàâüå—Ñòîêñà
è Ôóðüå.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ýòèõ ñèñòåì íåîáõîäèìî ðåøàòü êðàåâûå
çàäà÷è â íåîãðàíè÷åííîé íåîäíîðîäíîé îáëàñòè, ñîäåðæàùåé ãåîìåòðè-
÷åñêè ñëîæíûå ôåððîìàãíèòíûå (ìàãíèòîïðîâîä) è ïðîâîäÿùèå (êîðïóñ,
îáå÷àéêà, ãèëüçà, æèäêàÿ ñòàëü) òåëà.
Ñëîæíîñòü óêàçàííûõ çàäà÷, ñ îäíîé ñòîðîíû, è íåîáõîäèìîñòü ðàçðà-
áîòêè ïðàêòè÷åñêè ðåàëèçóåìûõ íà äîñòóïíûõ ÝÂÌ ïðîãðàìì, ñ äðóãîé
ñòîðîíû, ïîáóæäàåò èñêàòü òàêèå ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýòèõ
ñèñòåì, ïðè êîòîðûõ âî âíîâü ïîëó÷åííûõ ñèñòåìàõ äîñòàòî÷íî ïðîñòî è ñ
ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ ó÷èòûâàëàñü áû ñïåöèôèêà ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëåé â
ÝÌÏ. Îäíèì èç òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèé ÿâëÿåòñÿ ñâåäåíèå êðàåâûõ çàäà÷ ê
ýêâèâàëåíòíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì (ÈÓ). Äîñòàòî÷íî ïîëíî ýòîò
ïîäõîä ðåàëèçîâàí äëÿ äâóìåðíûõ çàäà÷ [7—12].
 ïðåäëàãàåìîé ïîëíîé âåêòîðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè òðåõìåðíîãî
ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîì ñëèòêå (ÍËÑ) è
êðèñòàëëèçàòîðå ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé
ÌÍËÇ ó÷òåíû ñòàòîð ÝÌÏ (ìàãíèòîïðîâîä è îáìîòêà), ÍËÑ è êðèñòàëëè-
çàòîð. Âëèÿíèå êîðïóñà, îáå÷àéêè, îáøèâêè ñòàòîðà íå ó÷èòûâàåòñÿ.
Ïåðåõîä îò óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà ê ýêâèâàëåíòíîé ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé (ÑÈÓ) âûçâàí íàëè÷èåì â ÝÌÏ ñèëüíûõ ïîëåé ðàññåèâàíèÿ,
êîòîðûå ñ ïîìîùüþ ÑÈÓ ó÷èòûâàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèì âûáîðîì ïîòåí-
öèàëîâ, íàïðèìåð êîìáèíàöèåé íüþòîíîâà ïîòåíöèàëà è ïîòåíöèàëà
ïðîñòîãî ñëîÿ.
Ïðèìåíåíèå ìåòîäà êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ (ÌÊÝ) äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñèñòåìå ÍËÑ—ÝÌÏ ñâÿçàíî ñ íåîáõîäè-
ìîñòüþ âûïîëíåíèÿ áîëüøîãî îáúåìà èçáûòî÷íûõ âû÷èñëåíèé. Äåéñòâè-
òåëüíî, äëÿ ó÷åòà ïîëåé ðàññåèâàíèÿ ïî ÌÊÝ äèàìåòð ðàñ÷åòíîé îáëàñòè
äîëæåí áûòü â íåñêîëüêî ðàç áîëüøå äèàìåòðà ñèñòåìû ÍËÑ—ÝÌÏ.
Ìàãíèòíîå ïîëå ïî ÌÊÝ íåîáõîäèìî ðàññ÷èòûâàòü âî âñåõ óçëàõ ñåòêè,
ïîêðûâàþùåé ðàñ÷åòíóþ îáëàñòü, à ñëåäîâàòåëüíî, è â óçëàõ, íå îòíîñÿ-
ùèõñÿ ê îáúåìó çàãîòîâêè. Îäíàêî â ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè ñòîëü ïîëíîé
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
64 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
èíôîðìàöèè íå òðåáóåòñÿ, òàê êàê äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêîðîñòåé â îáúåìå
æèäêîãî ìåòàëëà äîñòàòî÷íî çíàòü ðàñïðåäåëåíèå ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ
óñèëèé (ÝÄÓ), êîòîðûå âû÷èñëÿþòñÿ ïî âèõðåâûì òîêàì è ìàãíèòíîìó
ïîëþ â ýòîì îáúåìå.
Êîíñòðóêöèÿ ÝÌÏ ñ ÿâíîïîëþñíûì ñòàòîðîì. Â ÝÌÏ ÌÍËÇ
êðóãëîãî ñå÷åíèÿ [13, 14, ðèñ. 1] îñü Z äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò XYZ
ñîâìåùåíà ñ îñüþ ñèñòåìû, à îñè X è Y — ñ îñÿìè ñèììåòðèè îáìîòêè
îäíîé èç ôàç, íàïðèìåð ïåðâîé. Ïðèíöèï äåéñòâèÿ ñèñòåìû òàêîé æå, êàê
è àñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ. Â ñòàòîðå ÝÌÏ, ñîñòîÿùåì èç ìàãíèòîïðîâîäà
è òðåõôàçíîé îáìîòêè [13, ðèñ. 2], ïðè ïðîòåêàíèè â îáìîòêå òðåõôàçíîãî
òîêà ñîçäàåòñÿ âèõðåâîå ìàãíèòíîå ïîëå (ÂÌÏ), èíäóêòèðóþùåå â êðèñ-
òàëëèçàòîðå è çàãîòîâêå âèõðåâûå òîêè. Â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ è ìàãíèòíîãî ïîëÿ âîçíèêàþò ÝÄÓ, êîòîðûå âðàùàþò
æèäêèé ìåòàëë â çàãîòîâêå.
Òðåõôàçíàÿ îáìîòêà ñîñòîèò èç òðåõ ôàçíûõ îáìîòîê, ñîåäèíåííûõ â
âèäå çâåçäû èëè òðåóãîëüíèêà. Êàæäàÿ ôàçíàÿ îáìîòêà ñîñòîèò èç äâóõ
îäèíàêîâûõ ÷àñòåé, ðàñïîëîæåííûõ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ïîëþñàõ ìàãíè-
òîïðîâîäà. ×èñëî âèòêîâ â êàæäîé ôàçíîé îáìîòêå 2W. Àêòèâíûå ïëîñ-
êîñòè îáìîòîê ïåðåñåêàþòñÿ ïî îñè Z è îáðàçóþò óãîë 120° [13, ðèñ. 2].
Áóäåì ñ÷èòàòü çàäàííûìè òîêè â âèòêàõ îáìîòêè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ôàçíûå òîêè îáðàçóþò ñèììåòðè÷íóþ òðåõôàçíóþ ñèñòåìó. Åñëè ïðèíÿòü
ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèå òîêîâ â ôàçíûõ îáìîòêàõ îò íà÷àëà ê êîíöó,
òî ôàçíûå òîêè ìîæíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå:
i t I tm1( ) sin� � , i t I tm2
2
3
( ) sin� ��
�
�
��
�
, i t I tm3
2
3
( ) sin�
�
�
�
��
�
,
ãäå� ��2 f ; f — ÷àñòîòà òîêîâ; I m — àìïëèòóäà ôàçíûõ òîêîâ. Êîìïëåêñ-
íûå àìïëèòóäû ôàçíûõ òîêîâ â àëãåáðàè÷åñêîé ôîðìå çàïèøåì òàê:
�I I m1 � , �I I e I jm
j
m2
2
3 1
2
3
2
� �
�
�
�
�
�
�
, �I I e I jm
j
m3
2
3 1
2
3
2
� �
�
�
�
�
�
.
Ðàñ÷åòíàÿ ìîäåëü. Ðåàëüíàÿ êîíñòðóêöèÿ ñèñòåìû ÍËÑ—ÝÌÏ äîñ-
òàòî÷íî ñëîæíà äëÿ âûïîëíåíèÿ ïîëåâûõ ðàñ÷åòîâ äàæå íà ñîâðåìåííûõ
ÖÂÌ. Ïîýòîìó åñòåñòâåíåí ïåðåõîä ê òîé èëè èíîé ðàñ÷åòíîé ìîäåëè.
Îáìîòêó ðåàëüíîãî ÝÌÏ â ðàñ÷åòíîé ìîäåëè çàìåíèì ñèñòåìîé çàìê-
íóòûõ ñîîñíûõ âèòêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ëåæèò â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäè-
êóëÿðíîé îñè îáìîòêè, è ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî ïëîñêîñòè XOY. Âèò-
êè îáìîòêè áóäåì ãðóïïèðîâàòü â æãóòû. Æãóò ýòî íåêîòîðîå ÷èñëî
ïëîòíî óëîæåííûõ âèòêîâ. Áóäåì ñ÷èòàòü äèàìåòð ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ
æãóòà íàñòîëüêî ìàëûì, ÷òî çàìåíà îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ ïî òîêàì â
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 65
æãóòå îïåðàöèåé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî îñè æãóòà, ïî êîòîðîé ïðîòåêàåò
ïîëíûé òîê æãóòà, íå ïðèâîäèò ê ñóùåñòâåííîé ïîãðåøíîñòè. Íå óìàëÿÿ
îáùíîñòè çàäà÷è, à ïðåñëåäóÿ öåëü óïðîñòèòü çàïèñü ÈÓ, êàæäóþ ïîëî-
âèíó ôàçíîé îáìîòêè, çàìåíÿåì îäíèì æãóòîì.
Ìîäåëü ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ÝÌÏ äîëæíà áûòü âûïîëíåíà òàê,
÷òîáû ïðè äîáàâëåíèè êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ ïðèíöèïû ïîñòðîåíèÿ
ìîäåëè íå èçìåíÿëèñü. Ýòîìó òðåáîâàíèþ óäîâëåòâîðÿåò ïðåäëîæåííàÿ
èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü, â îñíîâå êîòîðîé ëåæèò âåêòîðíîå ÈÓ äëÿ ïëîòíîñ-
òè òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè (ÒÍ) íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà è âèõ-
ðåâûõ òîêîâ â îáúåìàõ ÍËÑ è êðèñòàëëèçàòîðà.
Îáîñíîâàíèå çàäà÷è ðàñ÷åòà ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ ÝÌÏ â
ÌÍËÇ ñ ïîìîùüþ âåêòîðíûõ ÈÓ. Äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíûõ ïîëåé â
íåîäíîðîäíûõ ñðåäàõ ÷àñòî ïðèìåíÿþò ÈÓ îòíîñèòåëüíî ñâÿçàííûõ çàðÿ-
äîâ [14], êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ñêàëÿðíûìè êàê äëÿ äâóìåðíûõ, òàê è äëÿ
òðåõìåðíûõ ïîëåé. Îäíàêî, åñëè íå ïðèáåãàòü ê êàêèì-ëèáî ïðåîáðàçîâà-
íèÿì, òî âîñïîëüçîâàòüñÿ êîíöåïöèåé ñâÿçàííûõ çàðÿäîâ íå âñåãäà âîç-
ìîæíî. Ýòî îòíîñèòñÿ, â ÷àñòíîñòè, ê ÝÌÏ, ó êîòîðûõ îáìîòêè è ìàññèâ-
íûå ïðîâîäíèêè ïîëíîñòüþ çàïîëíÿþò îêíî ìàãíèòîïðîâîäà.
Ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿåò îáëàñòü ïðèìåíåíèÿ ìàãíèòíûõ çàðÿäîâ ìåòîä
ñâåäåíèÿ âèõðåâûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ê ïîòåíöèàëüíûì [15—17]. Âìåñòå ñ
òåì, ïðèìåíåíèå ýòîãî ìåòîäà ñâÿçàíî ñ ðåøåíèåì äîïîëíèòåëüíîé çàäà÷è
ìèíèìèçàöèè îáúåìîâ, çàíèìàåìûõ ìàãíèòíûìè ìàññàìè.  ðÿäå ñëó÷àåâ ýòà
çàäà÷à ðåøàåòñÿ ââåäåíèåì îáúåìíûõ ìàãíèòíûõ ìàññ â îáëàñòè, çàíÿòîé
òîêàìè, ïðîñòûõ è äâîéíûõ ìàãíèòíûõ ñëîåâ íà ïîâåðõíîñòè ïðîâîäíèêîâ è
íà íåêîòîðîé ïîâåðõíîñòè â îáëàñòè, íå çàíÿòîé òîêàìè.
Ê ïîñòðîåíèþ óíèâåðñàëüíûõ àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì ðàñ÷åòà ìàãíèò-
íûõ ïîëåé è ïàðàìåòðîâ ÝÌÏ ñ ëþáîé êîíñòðóêöèåé ìàãíèòîïðîâîäà è
îáìîòîê, ñ ó÷åòîì ìàññèâíûõ êîíñòðóêòèâíûõ ýëåìåíòîâ (çàãîòîâêà, êðèñ-
òàëëèçàòîð, êîæóõ è äð.), ïðèâîäèò èñïîëüçîâàíèå ñâÿçàííûõ òîêîâ è ñîîò-
âåòñòâóþùèõ ÈÓ [18], êîòîðûå äëÿ êðàòêîñòè ÷àñòî íàçûâàþò òîêîâûìè â
îòëè÷èå îò óïîìÿíóòûõ âûøå çàðÿäîâûõ. Òîêîâûå ÈÓ â òðåõìåðíûõ è íåêî-
òîðûõ äâóìåðíûõ ïîëÿõ — âåêòîðíûå. Ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èõ â
ëèòåðàòóðå îïèñàíû ïðèìåíèòåëüíî ê òðàíñôîðìàòîðàì òîêîâ [19]. Ðåàëè-
çàöèÿ ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè, êàê è áîëåå ñëîæíûõ èíòåãðàëüíûõ ìîäåëåé
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ â ÝÌÏ, â êîòîðûõ ó÷èòûâàëèñü áû ìàññèâíûå
ïðîâîäíèêè (íàðóæíûé è âíóòðåííèé êîðïóñ ÌÍËÇ, îáå÷àéêà, ãèëüçà, çàãî-
òîâêà), ïîçâîëèò óñîâåðøåíñòâîâàòü àëãîðèòìû è ïðîãðàììû ðåøåíèÿ òîêî-
âûõ ÈÓ. Ýòî èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ îöåíêè âîçìîæíîñòè ðàçðàáîòêè
èíòåãðàëüíûõ ìîäåëåé ñâÿçàííûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ, ìåõàíè÷åñêèõ, ãèäðî-
ìåõàíè÷åñêèõ è òåïëîâûõ ïðîöåññîâ â ÝÌÏ.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
66 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
Òîêîâîå ÈÓ íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ÝÌÏ ïðè íàëè÷èè
âèõðåâûõ òîêîâ â ÍËÑ è êðèñòàëëèçàòîðå. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáî-
çíà÷åíèÿ: V
, Vo, Vc, V ê , V � — îáúåìû ìàãíèòîïðîâîäà, îáìîòêè, ÍËÑ,
êðèñòàëëèçàòîðà è îêðóæàþùåãî ïðîñòðàíñòâà, V V
k
kî î�
�
�
1
3
; S, S c, S ê —
ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà, ñëèòêà, êðèñòàëëèçàòîðà; � ( , )Q t — âåêòîð
ïëîòíîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè S ìàãíèòîïðîâîäà â òî÷êå Q îáìîòêè,
�
�
�
�
0
01 01
02 02
03
( , )
( , ), ,
( , ), ,
( , ),
Q t
Q t Q V
Q t Q V
Q t Q V
�
�
�
� 03;
�
�
�
�
�
�c( , )Q t — âåêòîð ïëîòíîñòè âèõðåâîãî òîêà â îáüåìåVc ñëèòêà; � ê ( , )Q t —
âåêòîð ïëîòíîñòè âèõðåâîãî òîêà â îáüåìå V ê êðèñòàëëèçàòîðà; �î —
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü â îáúåìàõ Vî,Vc,V ê ,V � .
Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì ÝÌÏ, ó êîòîðîãî â îáúåìå ìàãíèòîïðî-
âîäàV
ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü�
ïîñòîÿííà. Âûâåäåì òîêîâîå ÈÓ íà
ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà ÝÌÏ ïðè íàëè÷èè âèõðåâûõ òîêîâ â ÍËÑ è
êðèñòàëëèçàòîðå. Íà ãðàíèöå ðàçäåëà ñðåä S âåêòîð èíäóêöèè B óäîâëåò-
âîðÿåò ñîîòíîøåíèþ
n
B Q t B Q t
Q ,
( , ) ( , )�
�
�
�
�
�
� �� � �
î î
0, (1)
ãäå nQ — íîðìàëü ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Q, ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå
êîòîðîé ïðèíÿòî èç îáúåìàV
â îáúåì V � ; B Q t�( , ) è B Q t
( , ) — âåêòîðû
ìàãíèòíîé èíäóêöèè B â òî÷êå Q äëÿ îáúåìîâV � èV
.
Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ãðàíèöó ðàçäåëà ñðåä âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè
B èñïûòûâàåò ñêà÷îê:
B Q t�( , ) – B Q t Q t nQ
�( , ) [ ( , ), ]� �î .
(2)
Ñîîòíîøåíèå (2) ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùèì äâóì:
B Q t B Q t
Q t nQ� � �( , ) ( , )
[ ( , ), ]0
2
� �î
,
B Q t B Q t
Q t nQ
�
( , ) ( , )
[ ( , ), ]0
2
� �î
.
(3)
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 67
Çäåñü B Q t0( , ) — âåêòîð èíäóêöèè íà ãðàíèöå S, îáóñëîâëåííûé âñåìè òî-
êàìè, çà èñêëþ÷åíèåì ýëåìåíòà òîêà � ( , )Q t dsQ ,
B Q t B Q t B Q t B Q t B Q to
c ê( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � �� 0 , (4)
ãäå
B Q t A
M t
r
ds
r M
S QM
M
S
QM
� �
�
�
� �
�
�
( , )
( , ) [ ( ,
� � �� �rot rot o o
4 4
t
r
ds
QM
M
)]
3
,
B Q t A
M t
r
ds
r
V QM
M
V
QM
o o
o o orot rot
o o
( , )
( , ) [
� � �� �
�
�
� �
�
�
4 4
o( , )]M t
r
dv
QM
M3
,
B Q t A
M t
r
ds
r
V QM
M
V
QM
c c
o c orot rot
c c
( , )
( , ) [
� � �� �
�
�
� �
�
�
4 4
c( , )]M t
r
dv
QM
M3
,
B Q t A
M t
r
ds
r
V QM
M
V
QM
ê ê
o ê orot rot
ê ê
( , )
( , ) [
� � �� �
�
�
� �
�
�
4 4
ê ( , )]M t
r
dv
QM
M3
.
Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèÿ (3) â ñîîòíîøåíèå (1), ïîëó÷àåì
n
B Q t Q t n B Q t Q t n
Q
Q Q
,
( , ) [ ( , ), ] ( , ) [ ( , ), ]0
0
0
0
2 2�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
��
�
�
�
�
� �
n
B Q t Q t n
Q
Q
,
( , ) [ ( , ), ]�
� �
�
�
�1 1
2
0
0
0
,
èëè
n B Q t n Q t nQ Q Q
2
0
0
�
�
�0( , ) [ [ ( , ) ]]
�
��
�
��
� � , (5)
ãäå �
�
�
�
�
1
1
. Èñïîëüçóÿ òîæäåñòâî âåêòîðíîé àëãåáðû, ïðåîáðàçóåì âòî-
ðîå ñëàãàåìîå ðàâåíñòâà (5) è çàïèøåì
[ [ ( , ) ]] ( , ) ( ( , ))n Q t n Q t n n Q tQ Q Q Q� � ��
.
Íî âåêòîð � ( , )Q t ëåæèò â êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè S â òî÷êå Q ïëîñ-
êîñòè, ò.å. � ( , )Q t nQ� è ( ( , ))n Q tQ� �0. Ñëåäîâàòåëüíî,
� �( , ) [ [ ( , ) ]]Q t n Q t nQ Q� . (6)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
68 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
Ñ ó÷åòîì (6) è (5) ïîëó÷àåì
�
�
�
( , ) , ( , )Q t n B Q tQ� �
��
�
��
�
2
0
0
0 . (7)
Ïîäñòàâëÿÿ (4) â (7), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå òîêîâîå ÈÓ äëÿ âåêòîðà ïëîò-
íîñòè ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè S ìàãíèòîïðîâîäà ÝÌÏ ïðè íàëè÷èè âèõðåâûõ
òîêîâ â ÍËÑ è êðèñòàëëèçàòîðå:
�
�
�
� �
�
�
( , )
[ [ ( , )]] [ [
Q t
n r M t
r
ds
n r
S
Q QM
QM
M
V
Q QM� �
� �2 23
o
( , )]]M t
r
dv
QM
M3
� �
�
�
� �
�
�
2 23
V
Q QM
QM
M
V
Q QMn r M t
r
dv
n r M t
c ê
c ê[ [ ( , )]] [ [ ( , )]]
r
dv
QM
M3
. (8)
Çàïèøåì âåêòîðíîå ÈÓ (ÂÈÓ) (8) äëÿ ìãíîâåííîãî çíà÷åíèÿ âåêòîðà
ïëîòíîñòè ÒÍ �( , )Q t íà ïîâåðõíîñòè S ìàãíèòîïðîâîäà â îïåðàòîðíîé
ôîðìå:
2�
�
� � �
�
�
�( , )Q t D D D Dss s s s� o 0 c c ê ê , Q S� . (9)
Çäåñü
D
n r M t
r
dsss
S
Q QM
QM
M� �
�
�
[ [ ( , )]]
3
, Q S� ,
D
n r M t
r
dvs
V
Q QM
QM
Mo o
o
�
� � �
[ [ ( , )]]
3
, Q S� ,
D
n r M t
r
dvs
V
Q QM
QM
Mc c
c
c
�
�
� �
[ [ ( , )]]
3
, Q S� ,
(10)
D
n r M t
r
dvs
V
Q QM
QM
Mê ê
ê
ê
�
�
�
�
� �2 3
[ [ ( , )]]
, Q S� .
Ïðè äîïóùåíèè î òîì, ÷òî êàæäàÿ ïîëîâèíà îáìîòêè ÿâëÿåòñÿ æãóòîì ñ
äîñòàòî÷íî ìàëûì äèàìåòðîì ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, (10) ïðèíèìàåò âèä
D
n r M t
r
dv
n r
s
V
Q QM
QM
M
k V
Q QM
o o
o o
�
� � � �� � �
�
[ [ ( , )]] [ [
3
1
3 ( , )]]M t
r
dv
QM
M3
�
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 69
� �
� ! � !!
� � � �W
n r i M t
r
dl W
n
k L
Q QM k
QM
M
k Lk k
1
3
3
1
3
0 0
[ [ ( , )]] [ Q QM k
QM
M
r i M t
r
dl
[ ( , )]]
3
�
� ! � !!
� �
� �W D i W D i
k
Sk k
k
Sk k
1
3
1
3
,
(11)
ãäå
! �
!
�D i
n r i M t
r
dlSk k
L
Q QM k
QM
M
k0
3
[ [ ( , )]]
, Q S� ;
!! �
!!
�D i
n r i M t
r
dlSk k
L
Q QM k
QM
M
k0
3
[ [ ( , )]]
, Q S� ;
!L k0 è !!L k0 — îñåâûå ëèíèè ïåðâîãî è âòîðîãî æãóòîâ îáìîòêè k-é ôàçû;
i M tk ( , ) — ìãíîâåííûé âåêòîð òîêà â òî÷êå M îñåâîé ëèíèè L L Lk k k0 0 0� ! � !!
îáìîòêè k-é ôàçû, i M t l M i tk k k( , ) ( ) ( )� . Çäåñü l Mk ( ) — îðò êàñàòåëüíîé ê
ëèíèè L k0 â òî÷êå M, õàðàêòåðèçóþùèé ïðîòåêàíèå òîêà â ïðîñòðàíñòâå è
åãî íàïðàâëåíèå ñîâïàäàåò ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì òîêà â îáìîò-
êå k-é ôàçû; i tk ( ) — òîê â îáìîòêå k-é ôàçû. Ïîäñòàâèâ (11) â (9), ïîëó÷èì
ñëåäóþùåå ÂÈÓ äëÿ ÝÌÏ:
2�
�
� � �
�
�
�( , )Q t D D D Dss s s s� o o c c ê ê , Q S� , (12)
ãäå D W D i W D is
k
Sk k
k
Sk ko o� � ! � !!
� �
� �
1
3
1
3
.
Âåêòîðíàÿ ÑÈÓ, îïèñûâàþùàÿ òðåõìåðíîå ðàñïðåäåëåíèå âèõðå-
âûõ òîêîâ â ñèñòåìå ÍËÇ — êðèñòàëëèçàòîð â ÝÌÏ ñ ó÷åòîì âëèÿ-
íèÿ ìàãíèòîïðîâîäà ñòàòîðà. Çàãîòîâêà â ôîðìå òîðà ïðÿìîóãîëüíîãî
ñå÷åíèÿ è áëèçêî ðàñïîëîæåííûé ê íåé èçîëèðîâàííûé êðèñòàëëèçàòîð
â ôîðìå òîðà ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ íàõîäÿòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå èíäóê-
òîðà, â îáìîòêå êîòîðîãî ïðîòåêàåò èçìåíÿþùèéñÿ âî âðåìåíè òîê. Â
îñíîâå ìîäåëè òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå
ÍËÇ — êðèñòàëëèçàòîð ëåæèò âåêòîðíàÿ ÑÈÓ, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå
îáîáùåíèÿ âåêòîðíîé ÑÈÓ äëÿ óåäèíåííîé çàãîòîâêè [13, 21] íà ñèñòåìó
äâóõ áëèçêî ðàñïîëîæåííûõ èçîëèðîâàííûõ ïðîâîäíèêîâ, êàêèìè ÿâ-
ëÿþòñÿ çàãîòîâêà è êðèñòàëëèçàòîð ÌÍËÇ. Èñõîäíàÿ âåêòîðíàÿ ÑÈÓ
ïðåîáðàçîâàíà ê ñêàëÿðíîé ÑÈÓ â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò.
Ïóñòü ÍËÇ íàõîäèòñÿ â êðèñòàëëèçàòîðå [13, ðèñ. 1, 21]. Ðàñïðåäåëå-
íèå âèõðåâûõ òîêîâ â çàãîòîâêå çàâèñèò îò ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
70 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
â êðèñòàëëèçàòîðå, è íàîáîðîò. Ñ÷èòàÿ, ÷òî çàãîòîâêà è êðèñòàëëèçàòîð
èçîëèðîâàíû äðóã îò äðóãà, äëÿ îïèñàíèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ â
îáúåìå êàæäîãî ïðîâîäíèêà ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
Ìàêñâåëëà [13]. Èñïîëüçóåì îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â [13].  çàãîòîâêå,
êîòîðàÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿùåå òåëî (òîð ïðÿìîóãîëü-
íîãî ñå÷åíèÿ) îáúåìà Vc, èíäóêòèðóþòñÿ âèõðåâûå òîêè ïëîòíîñòüþ �c. Â
êðèñòàëëèçàòîðå, êîòîðûé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ìàññèâíîå ïðîâîäÿùåå òå-
ëî (òîð ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ) îáúåìà Vê, èíäóêòèðóþòñÿ âèõðåâûå
òîêè ïëîòíîñòüþ � ê .
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáúåìå çàãîòîâ-
êè Vc ñâîäÿòñÿ ê ñëåäóþùèì óðàâíåíèÿì
" �
� �Ac î c, (13)
"# c �0. (14)
Óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â îáúåìå êðèñòàë-
ëèçàòîðà Vê ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì
" �
� �Aê î ê , (15)
"# ê �0. (16)
 ïðîñòðàíñòâå, îêðóæàþùåì îáúåìû Vc è Vê, óðàâíåíèÿ Ìàêñâåëëà
ñâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèÿì
" �
� �Ao o o, (17)
" �
� �Ao o . (18)
Äëÿ îäíîðîäíîé ìàãíèòíîé ñðåäû ðåøåíèå óðàâíåíèé (13), (15), (17) è
(18) èìååò âèä
A Q t
M t
r
d
M t
r
d
V QM
M
V QM
M( , )
( , ) ( , )]
� � �� �
�
�
�
$
�
�
�
$o o o c
o c
4 4
� �� �
�
�
�
$
�
�
�o ê o
ê
4 4
V QM
M
QM
M
s
M t
r
d
M t
r
ds
( , ) ( , )]
. (19)
Îäíàêî â (19) âõîäÿò âèõðåâûå òîêè ïëîòíîñòüþ �c â îáúåìå çàãîòîâêè Vc
è ïëîòíîñòüþ � ê â îáúåìå êðèñòàëëèçàòîðà Vê, êîòîðûå íåèçâåñòíû. Äëÿ
èõ îïðåäåëåíèÿ íåîáõîäèìî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñîîòíîøåíèåì (4) èç [21],
çàïèñàííîì äëÿ îáúåìîâ Vc è Vê:
E Q t
A Q t
t
Q tc
c
cgrad( , )
( , )
( , )�
%
%
# , Q V� c,
(20)
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 71
E Q t
A Q t
t
Q tê
ê
êgrad( , )
( , )
( , )�
%
%
# , Q V� ê .
(21)
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (19) â (20) è (21), ïîëó÷èì âåêòîðíóþ ÑÈÓ
E Q t M
E M t
t r
d M
V QM
M
V
c
o
c
c o
ê
c ê
( , ) ( )
( , )
( )� �� �
�
�
&
%
%
$
�
�
&
4
1
4
%
%
$
E M t
t r
d
QM
M
ê ( , ) 1
�
� �
� �
�
�
%�
%
�
�
%�
%
$o o o
o
4
1
4
1( , ) ( , )M t
t r
ds
M t
t r
d
S QM
M
V QM
M grad c# , Q V� c,
(22)
E Q t M
E M t
t r
d M
V QM
M
V
ê
o
ê
ê o
c
ê c
( , ) ( )
( , )
( )� �� �
�
�
&
%
%
$
�
�
&
4
1
4
%
%
$
E M t
t r
d
QM
M
c( , ) 1
�
� �
� �
�
�
%�
%
�
�
%�
%
$o o o
o
4
1
4
1( , ) ( , )M t
t r
ds
M t
t r
d
S QM
M
V QM
M grad ê# , Q V� ê .
(23)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíûõ ïîòåíöèàëîâ # c( , )Q t , Q V� c è # ê ( , )Q t ,
Q V� ê íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷è Íåéìàíà äëÿ óðàâíåíèé (14) è (16) ïðè
ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ
%#
%
%
%
c c
c c
( , ) ( , )Q t
n
A Q t
nS
n
S
�
, (24)
%#
%
%
%
ê ê
ê ê
( , ) ( , )Q t
n
A Q t
nS
n
S
�
. (25)
 (24) A nc — ïðîåêöèÿ âåêòîðà A (19) íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè
çàãîòîâêè Sc â òî÷êå Q. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íîðìàëè nQ ïðèíÿòî
èñõîäÿ èç îáúåìà çàãîòîâêè â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî. Â (25) A nê —
ïðîåêöèÿ âåêòîðà A (19) íà íîðìàëü nQ ê ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëèçàòîðà Sê
â òî÷êå Q. Ïîëîæèòåëüíîå íàïðàâëåíèå íîðìàëè nQ ïðèíèìàåì èñõîäÿ èç
îáúåìà êðèñòàëëèçàòîðà â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî.
Ðåøåíèå ýòèõ çàäà÷ áóäåì èñêàòü ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî
ñëîÿ ïëîòíîñòüþ ' c íà ïîâåðõíîñòè Sc,
#
�
'
c
c
c
( , )
( , )
Q t
M t
r
ds
S QM
M� �
1
4
, Q V� c,
(26)
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
72 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
è ïëîòíîñòüþ ' ê íà ïîâåðõíîñòè Sê,
#
�
'
ê
ê
ê
( , )
( , )
Q t
M t
r
ds
S QM
M� �
1
4
, Q V� ê . (27)
Ïðè ýòîì äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîòíîñòè ' c íà ïîâåðõíîñòè Sc íåîáõîäèìî
ðåøèòü ÈÓ Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà
'
�
'
%
c c
c
c
( , ) ( , )
cos ( ) ( , )
Q t M t
n r
r
ds
A Q t
S
Q QM
QM
M
n� �
�
1
2
2
2 %t
, Q S� c. (28)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîòíîñòè ' ê íà ïîâåðõíîñòè Sê íåîáõîäèìî ðåøèòü ÈÓ
Ôðåäãîëüìà âòîðîãî ðîäà
'
�
'
%
ê ê
ê
ê
( , ) ( , )
cos ( ) ( , )
Q t M t
n r
r
ds
A Q t
S
Q QM
QM
M
n� �
�
1
2
2
2 %t
, Q S� ê . (29)
Ïîäñòàâèâ ïîòåíöèàë # c (26) â óðàâíåíèå (22), ïîëó÷èì
E Q t M
E M t
t r
d M
V QM
M
V
c
o
c
c o
ê
c ê
( , ) ( )
( , )
( )� �� �
�
�
&
%
%
$
�
�
&
4
1
4
%
%
$
E M t
t r
d
QM
M
ê ( , ) 1
�
� � �� �
�
�
%�
% �
'o
c
c
grad
4
1 1
2
1( , )
( , )
M t
t r
ds M t
r
ds
S QM
M
S
Q
QM
M
�
�
�
�
%�
%
$o o
o
4
1
V QM
M
M t
t r
d
( , )
, Q V� c. (30)
Ïîäñòàâèâ â (30) âûðàæåíèå
gradQ
QM
M Q
QM
X
M Q
QM
Y
M Q
QM
Z
QM
r
x x
r
e
y y
r
e
z z
r
e
r
r
1
3 3 3
�
�
�
�
QM
3
(31)
è çàìåíèâ âåêòîð E Q tc( , ) âåêòîðîì �c( , )Q t , ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ÈÓ:
�
(&
%�
%
$
%�
%
c
c
c ê
c ê
( , )
( )
( , ) ( , )Q t
Q
M t
t r
d
M t
t r
V QM
M
V
� �� �
1 1
QM
Md$ �
� � �� �
S QM
M
S
QM
QM
M
M t
t r
ds M t
r
r
ds
%�
% �
'
( , )
( , )
1 1
3
î
c
c
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 73
�
�
V QM
M
M t
t r
d
o
o%�
%
$
( , ) 1
, Q V� c. (32)
Òåïåðü, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (19) â ÈÓ (28), ïîëó÷èì
'
�
' (
%�
c c
c
c c
( , ) ( , )
cos ( ) (
Q t M t
n r
r
ds
S
Q QM
QM
M
V
nQ� �� �
1
2
2
2
M t
t r
d
QM
M
, )
%
$
1
�
� � �� �2
1
2
1
(
%�
%
(
%�
%
$
S
nQ
QM
M
V
nQ
QM
M
M t
t r
ds
M t
t r
d
( , ) ( , )
ê
ê
�
�2
1
(
%�
%
$
V
nQ
QM
M
M t
t r
d
o
o ( , )
, Q S� c. (33)
Ïîäñòàâèì â óðàâíåíèå (23) ïîòåíöèàë # ê (27). Ïîëó÷èì
�
(&
%�
%
$
%�
%
ê
ê
ê c
ê c
( , )
( )
( , ) ( , )Q t
Q
M t
t r
d
M t
t r
V QM
M
V
� �� �
1 1
QM
Md$ �
� � �� �
S QM
M
S
Q
QM
M
M t
t r
ds M t
r
ds
%�
% (
'
( , )
( , )
1 2 1
ê
ê grad
�
�
V QM
M
M t
t r
d
o
o%�
%
$
( , ) 1
, Q V� c. (34)
Ïîäñòàâèì âûðàæåíèå (31) â (34) è çàìåíèì â íåì âåêòîð E Q tê ( , ) âåêòî-
ðîì � ê ( , )Q t . Òîãäà ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ÈÓ:
�
(&
%�
%
$
%�
%
ê
ê
ê c
ê c
( , )
( )
( , ) ( , )Q t
Q
M t
t r
d
M t
t r
V QM
M
V
� �� �
1 1
QM
Md$ �
� � �� �
S QM
M
S
QM
QM
M
M t
t r
ds M t
r
r
ds
%�
% �
'
( , )
( , )
1 1
3
î
ê
ê
�
�
V QM
M
M t
t r
d
o
o%�
%
$
( , ) 1
, Q V� ê . (35)
Òåïåðü, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (19) â ÈÓ (29), ïîëó÷èì
'
�
' (
%�
ê ê
c
ê c
( , ) ( , )
cos ( ) (
Q t M t
n r
r
ds
M
S
Q QM
QM
M
V
n� �� �
1
2
2
2
, )t
t r
d
QM
M
%
$
1
�
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
� � �� �2
1
2
1
(
%�
%
(
%�
%
$
S
nQ
QM
M
V
nQ
QM
M
M t
t r
ds
M t
t r
d
( , ) ( , )
ê
ê
�
�2
1
(
%�
%
$
V
nQ
QM
M
M t
t r
d
o
o ( , )
, Q S� ê . (36)
Âåêòîðíàÿ ÑÈÓ (12), (32), (33), (35), (36) ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíûõ
óñëîâèÿõ �c( , )Q O , Q V� c, � ê ( , )Q O , Q V� ê , �o( , )Q O , Q V� o, ïîçâîëÿåò ðå-
øàòü çàäà÷ó ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå ÍËÇ — êðèñòàëëèçàòîð â
íåñòàöèîíàðíûõ ðåæèìàõ ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà ñòàòîðà.
Âûâîäû
Ìàãíèòîïðîâîä âëèÿåò íà ðàñïðåäåëåíèå âèõðåâûõ òîêîâ â îáúåìå
ÍËÑ è êðèñòàëëèçàòîðà ÷åðåç ìàãíèòíîå ïîëå ÒÍ íà åãî ïîâåðõíîñòè.
Âåêòîð ïëîòíîñòè ýòèõ òîêîâ óäîâëåòâîðÿåò ÈÓ, â êîòîðîå âõîäÿò òîêè â
îáìîòêå è âèõðåâûå òîêè â ÍËÑ è êðèñòàëëèçàòîðå. Ýòè òîêè òàêæå
óäîâëåòâîðÿþò ÈÓ, â êîòîðûå âõîäÿò ÒÍ íà ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà.
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà âåêòîðíàÿ ÑÈÓ, ïîçâîëÿþùàÿ ðàññ÷èòûâàòü âèõ-
ðåâûå òîêè â ñèñòåìå ÍËÇ — êðèñòàëëèçàòîð.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Lehman A., Sjoden O., Kuchaev A. Electromagnetic equipment for non contacting treatment
of liquid metal in metallurgical processes // Magnetohydrodynamics. — 2006. — Vol. 42,
No. 2—3. — P. 3—10.
2. Miki Y. Applications of MHD to Continuous Casting of Steel // The 5th Int. Symposium on Elec-
tromagnetic Processing of Materials, 2006. Sendai, Japan, June 27-July 1, 2006. — Ð. 26—30.
3. Kuchaev A., Kasyan G., Jakobshe R. Using of Electromagnetic Stirring in Continuous Cast-
ing of Round Billets//Proceedings 6th International Conference on Electromagnetic Process-
ing of Materials. October 19—23, 2009. — Dresden, Germany. — Ð. 243—246.
4. Tallb��àck G.R., Lavers J.D., Beitelman L.S. Simulation and Measurement of EMS Induced
Fluid Flow in Billet/Bloom Casting Systems // Intern. Congress Electromagn. Process of
Materials. Lyon, October 14—17, 2003. Proc. — Lyon, 2003. — P. 113—117.
5. Natarajan T.T., El-Kaddah N. Finite Element Analysis of Electromagnetically Driven
Flow in Sub-mold Stirring of Steel Billets and Slabs // ISIJ Int. — 1998. — Vol. 38, No. 7. —
P. 707—714.
6. Lavers J.D., Tallback G.R., Lavers E.D. et al . Flow Control in Continuous Casting Mold with
Dual Coil EMS: Computational Simulation Study // The 5th Int. Symposium on Electromagnetic
Processing of Materials. 2006. Sendai, Japan, June 27-July 1, 2006. — P. 33—38.
7. Íàéäåê Â.Ë., Äóáîäåëîâ Â.È., Åâäîêèìîâ Â.Ô. è äð. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â
ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð-èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ
çàãîòîâîê // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 1. — Ñ. 30—52.
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 75
8. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íûõ ñîñ-
òàâëÿþùèõ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ â ñå÷åíèè ñèñòåìû êðèñòàëëèçàòîð—
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 1. — Ñ. 73—96.
9. Äóáîäåëîâ Â.È., Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êîíäðàòåíêî È.Ï. è äð. Áëî÷íûé àëãîðèòì ðåàëè-
çàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ
òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ èíäóêöèîííûì ïåðåìåøè-
âàòåëåì // Òàì æå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 57—74.
10. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êàñüÿí Ã.È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ
ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñè-
ëèé â êðèñòàëëèçàòîðå ñ ÿâíîïîëþñíûì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïåðåìåøèâàòåëåì // Òàì
æå. — 2010. — 32, ¹ 1. — Ñ. 40—55.
11. Dubodelov V., Kondratenko I., Kuchaev A. et al. Modelling of 2D distribution of electro-
magnetic forces in continuous caster mold with double-wound induction stirrer // Joint 15th
Riga and 6th PAMIR Int. Conference on fundamental and applied MHD, Riga, Latvia, June
27-July 1. — 2005. — Vol. 2. — Ð. 69—72.
12. Dubodelov V., Yevdokimov V., Zhiltsov A. et al. Modelling of Electromagnetic Forces Distri-
bution in Caster Mold with Double-Wound Induction Stirrer at Presence of Angle between
Axes of Winding Sections // The 5th Int. Symposium on Electromagnetic Processing of Ma-
terials, 2006, Sendai, Japan, June 27-July 1. — 2006. — Vol. 2. — Ð. 845—849.
13. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ
ìîäåëü ìàãíèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðî-
âàíèå. — 2010. — 32, ¹ 4. — Ñ. 93—112.
14. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðî-
ìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ.I //Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
2013. — 35. ¹ 6.— Ñ. 49—62 .
15. Òîçîíè Î.Â. Ìåòîä âòîðè÷íûõ èñòî÷íèêîâ â ýëåêòðîòåõíèêå. — Ì. : Ýíåðãèÿ, 1975. —
296 ñ.
16. Äåìèð÷àí Ê.Ñ., ×å÷óðèí Â.Ë. Ìåòîä ðàñ÷åòà âèõðåâûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé ñ ïîìîùüþ
ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ýíåðãåòèêà è òðàíñïîðò. —
1970, ¹ 4. — Ñ. 106—116.
17. Äåìèð÷àí Ê.Ñ., ×å÷óðèí Â.Ë. Ðàñ÷åò âèõðåâûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé íà îñíîâå èñïîëüçî-
âàíèÿ ñêàëÿðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà // Ýëåêòðè÷åñòâî. — 1982, ¹ 1. — Ñ. 7—14.
18. Ïåòðóøåíêî Å.È. Ê ðàñ÷åòó òðåõìåðíûõ ìàãíèòíûõ ïîëåé â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ
ñðåäàõ ñ ïîìîùüþ âåêòîðíûõ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. —
1983, ¹ 5. — Ñ. 27— 32.
19. Ìîäåëèðîâàíèå íà ÝÂÌ òðåõìåðíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ëèíåéíîãî îäíîýëåìåíòíîãî
òðàíñôîðìàòîðà òîêà íà îñíîâå âåêòîðíîãî èíòåãðàëüíîãî óðàâíåíèÿ / Å.È. Ïåòðó-
øåíêî, À.È. Ïàøêî, Í.Ë. Òðîôèìóê, Ã.À. Ôèëèïïîâà. — Êèåâ, 1986. — 46 ñ. (Ïðå-
ïðèíò/ÀÍ ÓÑÑÐ, Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå; 34).
20. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Êó÷àåâ À.À., Ïåòðóøåíêî Å.È., Êó÷àåâ Â.À. Ìîäåëü òðåõìåðíîãî
ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñòàòîðà öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïåðåìåøèâàòåëÿ ñ
ó÷åòîì ðàñïðåäåëåíèÿ òîêîâ íàìàãíè÷åííîñòè ïî ïîâåðõíîñòè ìàãíèòîïðîâîäà. I //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2012. — 34, ¹ 1. — Ñ. 48—51.
21. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðî-
ìàãíèòíîì ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. II // Òàì æå. — 2014. — 36, ¹ 1. —
Ñ. 81—95.
22. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Ïåòðóøåíêî Å.È. Èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òð¸õìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â íåïðåðûâíî ëèòîé çàãîòîâêå êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ïðè ýëåêòðîìàãíèòíîì
ïåðåìåøèâàíèè â âåðòèêàëüíîé ÌÍËÇ. I // Òàì æå. — 2014. — 36, ¹ 5. — Ñ. 67—80.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
V.F. Evdokimov, E.I. Petrushenko, V.A. Kuchaev
COMPLETE VECTOR INTEGRAL MODEL OF THREE-DIMENSIONAL
DISTRIBUTION OF EDDY CURRENTS IN CONTINUOUS CASTING
UNDER ELECTROMAGNETIC STIRRING IN VERTICAL MCC
The vector integral model of three-dimensional distribution of eddy currents is constructed in
CCI in the EMS-CCI system. Unlike the before developed models, the offered model allows for
the influence on distribution of eddy currents of EMS stator magnetic core. The model includes
the system of five integral equations (IE) for magnetization currents on-the-spot of magnetic
core, two IE for eddy currents in CCI and two IE for eddy currents in the mould.
K e y w o r d s: integral model, three-dimensional distribution, eddy currents, continuous casting,
vector system of integral equations.
REFERENCES
1. Lehman, A., Sjoden, O. and Kuchaev, A. (2006), Electromagnetic equipment for non con-
tacting treatment of liquid metal in metallurgical processes, Magnetohydrodynamics, Vol.
42, no. 2-3, pp. 3-10.
2. Miki, Y. (2006), “Applications of MHD to continuous casting of steel”, The 5th Int. Symposium
on Electromagnetic Processing of Materials, Sendai, Japan, June 27-July 1, 2006, pp. 26-30.
3. Kuchaev, A., Kasyan, G. and Jakobshe, R. (2009), “Using of electromagnetic stirring in con-
tinuous casting of round billets” , Proceedings of the 6th International conference on electro-
magnetic processing of materials, Dresden, Germany, October 19-23, 2009, pp. 243-246.
4. Tallb��àck, G.R., Lavers, J.D. and Beitelman, L.S. (2003), “Simulation and measurement of
EMS induced fluid flow in billet/bloom casting systems” , International Congress of Elec-
tromagnetic Processes of Materials, Lyon, France, October 14-17, 2003. — pp. 113-117.
5. Natarajan, T.T. and El-Kaddah, N. (1998), “Finite element analysis of electromagnetically
driven flow in sub-mold stirring of steel billets and slabs”, ISIJ Int., Vol. 38, no. 7, pp. 707-
714.
6. Lavers, J.D., Tallback, G.R., Lavers, E.D. et al. (2006), “Flow control in continuous casting
mold with dual coil EMS: Computational simulation study”, The 5th International Symposium
on Electromagnetic Processing of Materials, Sendai, Japan, June 27-July 1, 2006, pp. 33-38.
7. Naidek, V.L., Dubodelov, V.I., Evdokimov, V.F. et al. (2004), “Two-dimensional integro-
differential model od distribution of eddy currents and electrodynamic efforts in the system
crystallizer — induction stirrer of continuous ingot casting machine”, Elektronnoe modeli-
rovanie, Vol. 26, no. 1, pp. 30-52.
8. Evdokimov, V.F., and Petrushenko, E.I. (2005), “Integral equations for symmetric compo-
nents of sinusoidal eddy currents in the cross-section of the system crystallizer – induction
stirrer”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 26, no. 1, pp. 73-96.
9. Dubodelov, V.I., Evdokimov, V.F., Kondratenko, I.P. et al. (2005), “Unit algorithm of real-
ization of two-dimensional integral model of distribution of sinusoidal eddy currents and
electrodynamical efforts in crystallizer with induction stirrer”, Elektronnoe modelirovanie
Vol. 27, no.4, pp. 57-74.
10. Evdokimov, V.F., Kuchaev, A.A., Petrushenko, E.I. and Kasyan, G.I. (2010), “Two-dimen-
sional integral model of distribution of sinusoidal eddy currents and electrodynamic efforts
in crystallizer with explicite pole electromagnetic stirrer”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 32,
no. 1, pp. 40-55.
11. Dubodelov, V., Kondratenko, I., Kuchaev, A. et al. (2005), “Modelling of 2D distribution of
electromagnetic forces in continuous caster mold with double-wound induction stirrer”,
Joint 15th Riga and 6th PAMIR International Conference on Fundamental and Applied
MHD, Riga, Latvia, June 27-July 1, 2005,Vol. 2, pp. 69-72.
Ïîëíàÿ âåêòîðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü òðåõìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 3 77
12. Dubodelov, V., Yevdokimov, V., Zhiltsov, A. et al. (2006), “Modeling of Electromagnetic
Forces Distribution in Caster Mold with Double-Wound Induction Stirrer at Presence of An-
gle between Axes of Winding Sections”, The 5th International Symposium on Electromag-
netic Processing of Materials, Sendai,Japan, June 27-July 1, 2006, Vol. 2, pp. 845-849.
13. Evdokimov, V.F., Kuchaev, A.A., Petrushenko, E.I., and Kuchaev, V.A. (2010), “Three-
dimentional integral model of magnetic field of electromagnetic stirrer”, Elektronnoe modeli-
rovanie, Vol. 32, no. 4, pp. 93-112.
14. Evdokimov, V.F. and Petrushenko, E.I. (2013), “Integral model of three-dimensional distri-
bution of eddy currents in continuous casting of square cross-section under electromagnetic
stirring in vertical MCC. I”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 35, no. 6, pp. 49-62.
15. Tozoni, O.V. (1975), Metod vtorichnykh istochnikov v elektrotekhnike [Method of second-
ary sources in electrical engineering], Energiya, Moscow, Russia.
16. Demirchan, K.S. and Chechurin, V.L. (1970), “Method for calculation of eddy magnetic
fields with the help of scalar magnetic potential”, Izvestiya AN SSSR. Energetika i transport,
no. 4, pp. 106-116.
17. Demirchan, K.S. and Chechurin, V.L. (1982), “Calculation of eddy magnetic fields on the
basis of using scalar magnetic potential”, Elektrichestvo, no. 1, pp. 7-14.
18. Petrushenko, E.I. (1983), “On calculation of three-dimensional magnetic fields in piece-wise
media with the help of the integral equation”, Elektronnoe modelirovanie, no. 5, pp. 27- 32.
19. Petrushenko, E.I., Pashko, A.I., Trofimuk, N.L. and Filippova, G.A. (1986), “Computer
modeling of three-dimensional magnetic field of a linear one-element current transformer on
the basis of vector integral equation”, Preprint, Institut problem modelirovaniya v energetike
Kiev, Ukraine.
20. Evdokimov, V.F., Kuchaev, A.A., Petrushenko, E.I. and Kuchaev, V.A. (2012), “Model of
three-dimensional magnetic fielf of the stator of cylindrical electromagnetic stirrer with al-
lowance for magnetization current distribution on the core surface”, Elektronnoe mode-
lirovanie, Vol. 34, no. 1, pp. 48-51.
21. Evdokimov, V.F. and Petrushenko, E.I. (2014), “Integral model of three-dimensional distri-
bution of eddy currents in continuous casting of square cross-section under electromagnetic
stirring in vertical MCC. I”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 36, no. 1, pp. 81-95.
22. Evdokimov, V.F. and Petrushenko, E.I. (2014), “Integral model of three-dimensional distri-
bution of eddy currents in continuous casting of square cross-section under electromagnetic
stirring in vertical MCC. II”, Elektronnoe modelirovanie, Vol. 36, no. 5, pp. 67-80.
Ïîñòóïèëà 06.10.14
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõ-
íè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ è ñèñòåì â
ýíåðãåòèêå, òåîðèÿ ôóíêöèîíàëüíî-îðèåíòèðîâàííûõ êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì, àíàëèç è ñèí-
òåç ïàðàëëåëüíûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ìåòîäîâ è ñèñòåì.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì ìîäåëèðî-
âàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1960 ã. îêîí÷èë Íîâî÷åðêàññêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò, à â
1963 ã. Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëè-
ðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
ÊÓ×ÀÅ Âèòàëèé Àëåêñàíäðîâè÷, àñïèðàíò îòäåëà ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ ýëåêòðîìàãíèòíîé
ãèäðîäèíàìèêè Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â
2002 ã. îêîí÷èë Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñ-
êèé èí-ò». Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Â.Ô. Åâäîêèìîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî, Â.À. Êó÷àåâ
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101133 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T13:14:37Z |
| publishDate | 2015 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. 2016-05-31T13:12:56Z 2016-05-31T13:12:56Z 2015 Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ / В.Ф. Евдокимов, Е.И. Петрушенко, В.А. Кучаев // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 3. — С. 63-78. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101133 681.3:519.711.3:517.958:621.313:669 Построена векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литом слитке (НЛС) и кристаллизаторе в системе электромагнитный перемешиватель (ЭМП) —НЛС. В отличие от ранее разработанных предлагаемая модель учитывает влияние на распределение вихревых токов магнитопровода статора ЭМП. В ее состав входит система, состоящая из пяти интегральных уравнений (ИУ) для токов намагничивания на поверхности магнитопровода, два ИУ для вихревых токов в НЛС и два ИУ для вихревых токов в кристаллизаторе. Побудовано векторну інтегральну модель тривимірного розподілу вихрових струмів в безперервно литому злитку (БЛЗ) та кристалізаторі в системі електромагнітний перемішувач (ЕМП)—БЛЗ. На відміну від раніше розроблених запропонована модель враховує вплив на розподіл вихрових струмів магнітопровода статора ЕМП. До її складу входить п’ять інтегральних рівнянь (ІР) для струмів намагніченості на поверхні магнітопровода, два ІР для вихрових струмів в БЛЗ, два ІР для вихрових струмів в кристалізаторі. The vector integral model of three-dimensional distribution of eddy currents is constructed in CCI in the EMS-CCI system. Unlike the before developed models, the offered model allows for the influence on distribution of eddy currents of EMS stator magnetic core. The model includes the system of five integral equations (IE) for magnetization currents on-the-spot of magnetic core, two IE for eddy currents in CCI and two IE for eddy currents in the mould. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ Complete vector integral model of three-dimensional distribution of eddy currents in continuous casting under electromagnetic stirring in vertical MCC Article published earlier |
| spellingShingle | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ Евдокимов, В.Ф. Петрушенко, Е.И. Кучаев, В.А. Применение методов и средств моделирования |
| title | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ |
| title_alt | Complete vector integral model of three-dimensional distribution of eddy currents in continuous casting under electromagnetic stirring in vertical MCC |
| title_full | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ |
| title_fullStr | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ |
| title_full_unstemmed | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ |
| title_short | Полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной МНЛЗ |
| title_sort | полная векторная интегральная модель трехмерного распределения вихревых токов в непрерывно литой заготовке при электромагнитном перемешивании в вертикальной мнлз |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101133 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf polnaâvektornaâintegralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkepriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlz AT petrušenkoei polnaâvektornaâintegralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkepriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlz AT kučaevva polnaâvektornaâintegralʹnaâmodelʹtrehmernogoraspredeleniâvihrevyhtokovvnepreryvnolitoizagotovkepriélektromagnitnomperemešivaniivvertikalʹnoimnlz AT evdokimovvf completevectorintegralmodelofthreedimensionaldistributionofeddycurrentsincontinuouscastingunderelectromagneticstirringinverticalmcc AT petrušenkoei completevectorintegralmodelofthreedimensionaldistributionofeddycurrentsincontinuouscastingunderelectromagneticstirringinverticalmcc AT kučaevva completevectorintegralmodelofthreedimensionaldistributionofeddycurrentsincontinuouscastingunderelectromagneticstirringinverticalmcc |