Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде

Разработана математическая модель сингулярно возмущенного процесса конвективно-диффузионно-адсорбционного массопереноса двух сортов загрязняющего вещества в среде, состоящей из частиц микропористой структуры. Соответствующая краевая задача решена в криволинейном четырехугольном параллелепипеде. Пост...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Authors:	Бомба, А.Я., Присяжнюк, Е.В.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2015
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Математическое моделирование и вычислительные методы
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101139
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде / А.Я. Бомба, Е.В. Присяжнюк // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 37-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101139
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1011392025-02-09T21:06:35Z Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде Modeling of nonlinear singularly perturbed processes of two-component convection-diffusion mass transfer in nanoporous medium Бомба, А.Я. Присяжнюк, Е.В. Математическое моделирование и вычислительные методы Разработана математическая модель сингулярно возмущенного процесса конвективно-диффузионно-адсорбционного массопереноса двух сортов загрязняющего вещества в среде, состоящей из частиц микропористой структуры. Соответствующая краевая задача решена в криволинейном четырехугольном параллелепипеде. Построено асимптотическое разложение ее решения, что дает возможность автономно дополнять к конвективной составляющей решения его массообменные и диффузионные составляющие, а также поправки на выходе фильтрационного течения и влияние боковых источников загрязнений. Приведены результаты численных расчетов. Розроблено математичну модель сингулярно збуреного процесу конвективно-дифузійно-адсорбційного масопереносу двох сортів забруднюючої речовини в середовищі, що складається з частинок мікропористої структури. Відповідну крайову задачу розв’язано в криволінійному чотирикутному паралелепіпеді. Побудовано асимптотичне розкладання її розв’язку, що дає можливість автономно доповнювати до конвективної складової розв’язку масообмінні та дифузійні складові, а також поправки на виході фільтраційної течії та вплив бічних джерел забруднень. Наведено результати числових розрахунків. Mathematical model of singularly perturbed process of convection-diffusion-adsorption mass transfer of two types of pollutant in a medium consisting of particles of microporous structure is developed. The corresponding boundary value problem is solved in a curvilinear quadrangular parallelepiped. An asymptotic expansion of its decision is constructed, which makes it possible to complement autonomously the convective component of solution with mass transfer and diffusion components, and take into account the amendments on the output of the filter flow and the impact of lateral sources. The results of numerical calculations are given. 2015 Article Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде / А.Я. Бомба, Е.В. Присяжнюк // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 37-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101139 517.955:544.034.23 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы
spellingShingle	Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы Бомба, А.Я. Присяжнюк, Е.В. Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде Электронное моделирование
description	Разработана математическая модель сингулярно возмущенного процесса конвективно-диффузионно-адсорбционного массопереноса двух сортов загрязняющего вещества в среде, состоящей из частиц микропористой структуры. Соответствующая краевая задача решена в криволинейном четырехугольном параллелепипеде. Построено асимптотическое разложение ее решения, что дает возможность автономно дополнять к конвективной составляющей решения его массообменные и диффузионные составляющие, а также поправки на выходе фильтрационного течения и влияние боковых источников загрязнений. Приведены результаты численных расчетов.
format	Article
author	Бомба, А.Я. Присяжнюк, Е.В.
author_facet	Бомба, А.Я. Присяжнюк, Е.В.
author_sort	Бомба, А.Я.
title	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
title_short	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
title_full	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
title_fullStr	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
title_full_unstemmed	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
title_sort	моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Математическое моделирование и вычислительные методы
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101139
citation_txt	Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде / А.Я. Бомба, Е.В. Присяжнюк // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 37-52. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT bombaaâ modelirovanienelineinyhsingulârnovozmuŝennyhprocessovdvuhkomponentnogokonvektivnodiffuzionogomassoperenosavnanoporistoisrede AT prisâžnûkev modelirovanienelineinyhsingulârnovozmuŝennyhprocessovdvuhkomponentnogokonvektivnodiffuzionogomassoperenosavnanoporistoisrede AT bombaaâ modelingofnonlinearsingularlyperturbedprocessesoftwocomponentconvectiondiffusionmasstransferinnanoporousmedium AT prisâžnûkev modelingofnonlinearsingularlyperturbedprocessesoftwocomponentconvectiondiffusionmasstransferinnanoporousmedium
first_indexed	2025-11-30T18:46:53Z
last_indexed	2025-11-30T18:46:53Z
_version_	1850242157016776704
fulltext	ÓÄÊ 517.955:544.034.23 À.ß. Áîìáà, ä-ð òåõí. íàóê, Å.Â. Ïðèñÿæíþê, àñïèðàíò Ðîâåíñêèé ãîñóäàðñòâåííûé ãóìàíèòàðíûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 33028, Ðîâíî, óë. Îñòàôîâà, 31, êàá. 110, e-mail: lenapris@ukr.net) Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ äâóõêîìïîíåíòíîãî êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ìàññîïåðåíîñà â íàíîïîðèñòîé ñðåäå Ðàçðàáîòàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîãî ïðîöåññà êîíâåêòèâíî- äèôôóçèîííî-àäñîðáöèîííîãî ìàññîïåðåíîñà äâóõ ñîðòîâ çàãðÿçíÿþùåãî âåùåñòâà â ñðåäå, ñîñòîÿùåé èç ÷àñòèö ìèêðîïîðèñòîé ñòðóêòóðû. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à ðåøåíà â êðèâîëèíåéíîì ÷åòûðåõóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå. Ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñ- êîå ðàçëîæåíèå åå ðåøåíèÿ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü àâòîíîìíî äîïîëíÿòü ê êîíâåêòèâíîé ñîñòàâëÿþùåé ðåøåíèÿ åãî ìàññîîáìåííûå è äèôôóçèîííûå ñîñòàâëÿþùèå, à òàêæå ïîïðàâêè íà âûõîäå ôèëüòðàöèîííîãî òå÷åíèÿ è âëèÿíèå áîêîâûõ èñòî÷íèêîâ çàãðÿç- íåíèé. Ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ. Ðîçðîáëåíî ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü ñèíãóëÿðíî çáóðåíîãî ïðîöåñó êîíâåêòèâíî-äèôóç³éíî- àäñîðáö³éíîãî ìàñîïåðåíîñó äâîõ ñîðò³â çàáðóäíþþ÷î¿ ðå÷îâèíè â ñåðåäîâèù³, ùî ñêëà- äàºòüñÿ ç ÷àñòèíîê ì³êðîïîðèñòî¿ ñòðóêòóðè. Â³äïîâ³äíó êðàéîâó çàäà÷ó ðîçâ’ÿçàíî â êðèâîë³í³éíîìó ÷îòèðèêóòíîìó ïàðàëåëåï³ïåä³. Ïîáóäîâàíî àñèìïòîòè÷íå ðîçêëàäàííÿ ¿¿ ðîçâ’ÿçêó, ùî äàº ìîæëèâ³ñòü àâòîíîìíî äîïîâíþâàòè äî êîíâåêòèâíî¿ ñêëàäîâî¿ ðîçâ’ÿç- êó ìàñîîáì³íí³ òà äèôóç³éí³ ñêëàäîâ³, à òàêîæ ïîïðàâêè íà âèõîä³ ô³ëüòðàö³éíî¿ òå÷³¿ òà âïëèâ á³÷íèõ äæåðåë çàáðóäíåíü. Íàâåäåíî ðåçóëüòàòè ÷èñëîâèõ ðîçðàõóíê³â. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: êîíâåêöèÿ, äèôôóçèÿ, ìàññîïåðåíîñ, íàíîïîðèñòàÿ ñðåäà. Ïðîöåññû ðàçäåëåíèÿ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ñìåñåé øèðîêî ðàñïðîñòðàíåíû âî ìíîãèõ îòðàñëÿõ ïðîìûøëåííîñòè. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé [1—10] ñâèäåòåëüñòâóåò î íàëè÷èè ñëîæíîé ñòðóêòóðû âçàèìîçàâèñèìîñòåé ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, îïðåäåëÿþùèõ ïðîöåññû îäíî- è ìíîãîêîìïîíåíòíîãî êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ è íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ. Â ðàáîòàõ [1, 2] ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðî- âàíèÿ ìàññîïåðåíîñà ðàçëè÷íîé ïðèðîäû â ïîðèñòûõ ñðåäàõ áåç ó÷åòà âíóò- ðåííåé ñòðóêòóðû ïîðèñòûõ ÷àñòèö. Êîìïåòèòèâíàÿ äèôôóçèÿ çàãðÿç- íÿþùåãî âåùåñòâà â êðèñòàëëè÷åñêèõ ñðåäàõ ÷àñòèö ìèêðîïîðèñòîé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 37 � À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê, 2015 ñòðóêòóðû èññëåäîâàíà â ðàáîòàõ [7, 8]. Àêòóàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ìàòåìà- òè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ ìíîãîêîìïîíåíòíîãî ìàññîïåðåíîñà â íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ â ñëó÷àå ïðåâàëèðîâàíèÿ îäíèõ ñîñòàâëÿþùèõ ïðî- öåññà íàä äðóãèìè, ÷òî ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ìàëîãî ïàðàìåòðà ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ÷ëåíàõ óðàâíåíèÿ. Èññëåäóåì âçàèìîâëèÿíèå ìàññîïåðåíîñà êîìïîíåíòîâ ïðè ìîäåëè- ðîâàíèè ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ î÷èñòêè æèäêîñòè îò ìíî- ãîêîìïîíåíòíûõ ïðèìåñåé â ñðåäå, ñîñòîÿùåé èç ÷àñòèö ìèêðîïîðèñòîé ñòðóêòóðû â ñëó÷àå ïðåâàëèðîâàíèÿ êîíâåêòèâíûõ ñîñòàâëÿþùèõ ïðîöåñ- ñà íàä äðóãèìè (äèôôóçèîííûìè, ìàññîîáìåííûìè). Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Â îáëàñòè G G Rz� � � �( , ) ( , )0 0 , ãäå G z � �ABCDA B C D * * * — îäíîðîäíûé êðèâîëèíåéíûé ïàðàëëåëåïèïåä, îãðàíè÷åííûé ãëàäêèìè îðòîãîíàëüíûìè ìåæäó ñîáîé â óãëîâûõ òî÷êàõ è ïî ðåáðàì ýêâèïîòåíöèàëüíûìè ïîâåðõíîñòÿìè ABB A* * � � �{ : ( , , ) }z f x y z1 0 , CDD C f x y z* * { : ( , , ) }� �z 2 0 è ïîâåðõíîñòÿìè òå÷åíèÿ ADD A f x y z* * { : ( , , ) }� �z 3 0 , BCC B f x y z* * { : ( , , ) }� �z 4 0 , ABCD � � �{ : ( , , ) }z f x y z5 0 , A B C D f x y z* * * * { : ( , , ) }� �z 6 0 (ðèñ. 1, à), ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëüíóþ çàäà÷ó ïðîöåññà äâóõêîìïîíåíòíîãî êîíâåêòèâíî- àäñîðáöèîííî-äèôôóçèîííîãî ìàññîïåðåíîñà â íàíîñðåäå ÷àñòèö ìèêðî- ïîðèñòîé ñòðóòóðû [7, 10 ]: D c D c c S q r S q r j j j j j1 1 2 2 1 1 2 2� �~ ~ ~ ~ ~ � � � � � � �v grad � � � � r R jc t� � * ~ � � � 1 , (1) D q r r q r D q r r q j j1 1 2 1 1 2 2 22 2* * ~ ~ ~ ~� � � � � � � � � � � �� r q t j �� 2 ~ , (2) ~ ( , , , ) ~ ( , , )c x y z t c x y zj t j� � 0 0 , ~ ( , , , , ) ~ ( , , , )q x y z r t q x y z rj t j� � 0 0 , j �1 2, , ~ ~ ( , ) * * * c c M tj ABB A j � , ~ ~ ( , ) * * c c M tj CDD C j� , ~ ~ ( , ) * ** c c M tj BCC B j � , (3) ~ ~ ( , ) * * c c M tj ADD A j� , ~ ~ ( , ) * c c M tj ABCD j � , ~ ~ ( , ) * * * * **c c M tj A B C D j� , ~ ( , , , , ) ~ ( , , , )q x y z r t k c x y z tj r R j j� � , � � ~ ( , , , , )q x y z r t r j r� � 0 0, (4) v �grad�, div v �0, � �\| * * ABB A � , � �\| * * DCC D � , �� n ADD A A D C B BCC B ADCB* * * * * * * � � � �0 . (5) Çäåñü ~ ( , , , )c x y z t j è ~ ( , , , , )q x y z r tj — êîíöåíòðàöèÿ j-ãî ñîðòà çàãðÿçíÿþ- ùåãî âåùåñòâà ñîîòâåòñòâåííî â ìåæ÷àñòè÷íîì ïðîñòðàíñòâå è â ìèêðî- À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 ÷àñòèöàõ; D djs js�� è D djs js �� — êîýôôèöèåíòû äèôôóçèè â ìåæ÷àñòè÷- íîì ïðîñòðàíñòâå è â ìèêðî÷àñòèöàõ; S js — êîýôôèöèåíòû âëèÿíèÿ âíóòðè÷àñòè÷íîãî ïåðåíîñà íà ìåæ÷àñòè÷íûé; kj — êîýôôèöèåíòû àä- ñîðáöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ, j �1 2, , s �1 2, ; M è n — áåãóùàÿ òî÷êà è íîð- ìàëü ê ñîîòâåòñòâóþùåé ïîâåðõíîñòè; v( ( , , ), ( , , ), ( , , ))v x y z v x y z v x y zx y z — âåêòîð, à � �� ( , , )x y z — ïîòåíöèàë ñêîðîñòè ôèëüòðàöèè ( ( , , ) ( , , ) ( , , )v x y z v x y z v x y zx y z 2 2 2 0� � �� , 0� � � � �� ) â òî÷êå z = x y z( , , ); � — ìàëûé ïàðàìåòð; R* — ðàäèóñ ìèêðî÷àñòèöû; �1, � 2 — êîýôôèöèåíòû ïîðèñòîñòè ñîîòâåòñòâåííî ìàêðî- è ìèêðîñðåäû; ~ ( , , )c x y zj 0 , ~ ( , , , )q x y z rj 0 , ~ ( , ) * c M t j , ~ ( , )c M tj , ~ ( , ) * c M t j , ~ ( , )c M tj , ~ ( , ) * c M t j , ~ ( , )**c M tj , j �1 2, — äîñòàòî÷íî ãëàäêèå ôóíêöèè, ñîãëàñîâàííûå ìåæäó ñîáîé â óãëîâûõ òî÷êàõ è ïî ðåáðàì îáëàñòè G. Ïîëàãàåì, ÷òî ôèëüòðàöèîííàÿ çàäà÷à (5) ðåøåíà ñ ïîìîùüþ ÷èñëåí- íîãî ìåòîäà ïðîñòðàíñòâåííîãî êîíôîðìíîãî îòîáðàæåíèÿ [3, 4] G Gwz � (èëè G Gw � z), â ÷àñòíîñòè, íàéäåíî ïîëå ñêîðîñòè v ( ( , , ),v x y zx v x y z v x y zy z( , , ), ( , , )). Çäåñü G ww � �{ ( , , ) :� � � � � �� , Q Q* � �� , Q Q* *� �� } — ñîîòâåòñòâóþùàÿ Gz îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà; � �� ( )x, y, z , � �� ( )x, y, z — ôóíêöèè òå÷åíèÿ (êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ê � �� ( )x, y, z ); Q Q Q� 0 0 — ïîòîê ÷åðåç ïðîèçâîëüíîå ïîïåðå÷íîå ñå÷å- íèå òå÷åíèÿ Gz, ãäå Q Q Q0 � � * è Q Q Q0 � � — ïîòîêè ÷åðåç ñîîò- âåòñòâóþùèå ãîðèçîíòàëüíûé è âåðòèêàëüíûé ñëîè. Ïàðàìåòð Q íàõîäèì â ïðîöåññå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Òîãäà, ñäåëàâ çàìåíó ïåðåìåííûõ x x� ( , , )� � � , y y� ( , , )� � � , z z� ( , , )� � � , t t� , â óðàâíåíèÿõ (1), (2) è óñëîâèÿõ (3), (4), ïðèõîäèì ê ñîîòâåòñòâóþùåé çàäà÷å äëÿ îáëàñòè Gw: Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 39 z B* A* ( )z C A D x R C* 0 � � �* * B D* R* Q* Q* A� * � � A� B `� Gw B * � C * � C � D � D� * y Gz ( )w 0 Ðèñ. 1. Ïðîñòðàíñòâåííàÿ ôèçè÷åñêàÿ îáëàñòü Gz (à) è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé îáëàñòü êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà Gw (á) � �� s js s s s s sD v c b c b c b c b c � � � � � � � 1 2 2 11 12 21 22( ) � � � ��v c S q S q cj j r j r r R jt 2 1 1 2 2 1� �( )\| , (6) � � �2 1 1 1 2 2 2 2 2 q D q r q D q r qjt j rr r j rr r� � � � �� * * , (7) c t cj t j( , , , )\| ( , , )� � � � � �� 0 0 , q r t q rj t j( , , , , )\| ( , , , )� � � � � �� 0 0 , c t c tj j ( , , , ) ( , , )* * � � � � �� , c c j j\| * * � �� , c c j Q j \| * *�� , c c j Q j\| �� , (8) c c j Q j \| *�� , c c j Q j\| *** �� , q r t k c tj r R j( , , , , )\| ( , , , )� � � � � �� 1 1 � � � k c t q r t r j j r 2 2 0 0( , , , ), ( , , , , , ) � � � � � � � � , (9) ãäå c c t c x y z tj j j� �( , , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ), )� � � � � � � � � � � � , q j � � �q r t q x y z r tj j( , , , , ) ( ( , , ), ( , , ), ( , , ), , ),� � � � � � � � � � � � ..., b11 � � � � �b x y z11 2 2 2( , , )� � � � � � , b b x y z12 12 2 2 2� � � �( , , )� � � � � � , b21 � � � � �b xx yy zz21( , , )� � � � � � , b b xx yy zz22 22� � � �( , , )� � � � � � . Ðåøåíèå çàäà÷è (5)—(9) ñ òî÷íîñòüþ äî O n( )� �1 ïîëó÷àåì â âèäå àñèìïòîòè÷åñêèõ ðÿäîâ [10]: c t cj i n i j i i n i j i i n ( , , , ) ( , ) ( , )� � � � �� 0 0 1 0 2 1 � � �i j i i n i j iP/ , / , 2 2 0 2 1 2 2 � � � � � � � � � �� i n i j i i n i j iH T R 0 2 1 2 2 0 2 1 2 2 � �/ , / , j n, 1 , (10) q r t q Fj i n i j i i n i j i( , , , , ) ( , ) / , � � � � �� 0 0 2 1 2 2 � �R j n, 2 . (11) Çäåñü c tj i, ( , , , )� � � , q r tj i, ( , , , , )� � � , i n�0, , — ÷ëåíû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðåãóëÿðíûõ ÷àñòåé àñèìïòîòèêè; Ï tj i, ( , , , )� � � , i n� �0 1, , — ôóíêöèè òèïà ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ â îêðåñòíîñòè � �� * (ïîïðàâêè íà âûõîäå ôèëüò- ðàöèîííîãî òå÷åíèÿ èç äàííîãî ïëàñòà Gw); P tj i, / ( , , , )2 � � , Ã tj i, / ( , , , )2 � ! � , H tj i, / ( , , , )2 � � " , T tj i, / ( , , , )2 � � # , F tj i, / ( , , , , )2 � � � $ , i n� �0 2 1, , — ôóíêöèè òèïà ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ñîîòâåòñòâåííî â îêðåñòíîñòÿõ � �Q* , � �Q* , À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 � �Q ,� �Q è r R� ;� � � �� ( )* 1; � �� ( )* /Q 1 2; ! � �� ( )* /Q 1 2; " � �� ( ) /Q 1 2; # � �� ( ) /Q 1 2; $ �� ( ) /R r 1 2— ñîîòâåòñòâóþùèå ðåãóëÿðèçèðóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ; R R tj n j n, , ( , , , , )1 1� � � � � , R j n, 2 �R j n, ( ,2 � � � �, , , , )r t — îñòàòî÷íûå ÷ëåíû, îöåíêà êîòîðûõ óñòàíàâëèâàåòñÿ íà îñíîâå ïðèíöèïà ìàêñèìóìà [4]; R — ðàäèóñ îáðàçà ìèêðî÷àñòèöû, êîòî- ðûé ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ âûñøåãî ïîðÿäêà ïî ñðàâíåíèþ ñ R* ïðèíè- ìàåì â âèäå øàðà (àíàëîãè÷íî òîìó, êàê ïðè ïëîñêèõ êîíôîðìíûõ îòîáðà- æåíèÿõ â ìàëîì êðóã ïåðåõîäèò â êðóã): R V V R G G w� z 3 * . Ïðè ýòîì êîýôôè- öèåíò ðàñòÿæåíèÿ % (R R�% * ) â òî÷êå ( , , )x y z ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ÿêîáèàíà äàííîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ (â ñëó÷àå ïëîñêèõ îòîáðàæåíèé êîýôôèöèåíò ñîâïàäàåò ñ ìîäóëåì ïðîèçâîäíîé ñîîòâåòñòâóþùåé àíàëè- òè÷åñêîé ôóíêöèè). Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ (äëÿ ñïåöèàëüíûõ òèïîâ îáëàñòåé) ýòîò êîýôôèöèåíò ìîæåò áûòü óñðåäíåí ïî îáëàñòè. Íàïðèìåð, äëÿ ìàëî èñêðèâëåííûõ îáëàñòåé çíà÷åíèå % 3 ìîæíî ïðèíÿòü ïðèáëèæåííî ðàâ- íûì îòíîøåíèþ îáúåìîâ ïîëó÷åííîé îáëàñòè êîìïëåêñíîãî ïîòåíöèàëà ê èñõîäíîé ôèçè÷åñêîé îáëàñòè. Ïîäñòàâëÿÿ (10), (11) â (6)—(9) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ � [3, 10], ïîëó÷àåì òàêèå çàäà÷è äëÿ íàõîæäåíèÿ ðå- ãóëÿðíûõ ÷àñòåé àñèìïòîòèêè: v c t c t gj i j i t j i 2 1( , , ) ( , , , ) ( , , , )( , ) ( , ) ,� � � � � � � � � �� &� � ( , , , )� � � t , c wj i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � � � �0 1� , c t w tj i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � �0 2� ; � � � � � � �2 2q r t g r tj i t j i( , ) ,( , , , , ) ( , , , , )� , q r w rj i j i( , ) ,( , , , , ) ( , , , )� � � � � �0 3� . Çäåñü g tj, ( , , , )0 1 0� � � � ; w cj j, ( , , ) ( , , )0 1 0� � � � � �� ; w t c tj j, * ( , , ) ( , , )0 2 � � � �� ; g t D v c b cj i s js s i s i, ( , ) ( , )( , , , ) ( (1 1 2 2 1 11 1� � � �� b c b cs i s i12 1 21 1( , ) ( , ) � � � �� b c S q F Fs i js s i r s i r s i22 1 1 1 1 2 ( , ) * ( , ) ( , ) / ( ,) (� � 1 2/ ) ) )r r R� ; w j i, ( , , )1 � � � � � �w j i, ( , , )2 0� � � ; g r tj, ( , , , , )0 2 0� � � � ; w r q rj j, ( , , , ) ( , , , )0 3 0� � � � � �� ; g r t D q q r Dj i j i rr i r j, * ( , ) ( , )( , , , , ) ( / )2 1 1 1 1 1 22� � � � � �� * ( , ) ( , )( / )q q ri rr i r2 1 2 12� �� , w rj i, ( , , )3 0� � � , i n�1, , j �1 2, . Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 41 Ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà õàðàêòåðèñòèê â âèäå c t c f f t t f j j , ( , , , ) ( ( ( , , ) ), , ), , ), ( , 0 0 1 � � � � � � � � � � � � � �� , ), ( ( , , ), , ), ( , , ); * c t f t f j � ' ( ) * +* q r t q r j j, ( , , , , ) ( , , , ) 0 0� � � � � �� ; c tj i, ( , , , )� � � � � � � �, �1 1 0 0 1 � � � � � � � � t j ig f f t t t dt t f, ( ( ( , , ) ~ , , ), , , ~ ) ~ , ( , , ), (~, , (~, , ) ( , , )) (~ * , � � � � � �- � � � � � � � � , � �g f t f v j i 1 2 � � � � � � � , , ) ~, ( , , );d t f' ( ) * * + * * q r t D q r j s js t s rr, * ( , ) ( , , , , ) ( ( , , , , ~ 1 2 1 2 0 0 1 � � � � � � �� , t r q r t dt s r ) ( , , , , ~ )) ~ ( , ) � 2 0 � � � . Çäåñü f d v ( , , ) ~ (~, , ) * � � � � � � � �� ,1 2 — âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùè- ìè ÷àñòèöàìè ïóòè îò òî÷êè ( , , )* * � � � . � � � �A B B A ê òî÷êå ( , , )� � � .Gw âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåé ëèíèè òå÷åíèÿ; f �1 — ôóíêöèÿ, îáðàòíàÿ f îòíî- ñèòåëüíî ïåðåìåííîé �. Çàìåòèì, ÷òî òàêàÿ ôóíêöèÿ ñóùåñòâóåò, ïî- ñêîëüêó ~ ( , , )v 2 � � � — íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ, îãðàíè÷åííàÿ, ïî- ëîæèòåëüíî-îïðåäåëåííàÿ ôóíêöèÿ, à �1 0� — ïîñòîÿííàÿ. Â ñëó÷àå, êîãäà êîýôôèöèåíò âëèÿíèÿ âíóòðè÷àñòè÷íîãî ïåðåíîñà íà ìåæ÷àñòè÷íûé íå ÿâëÿåòñÿ ìàëûì, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå çàäà÷è äëÿ íà- õîæäåíèÿ ðåãóëÿðíûõ ÷àñòåé àñèìïòîòèêè: v c t c t gj i j i t j i 2( , , ) ( , , , ) ( , , , ) ~ ( , ) ( , ) ,� � � � � � � � � �� &� � 1 ( , , , )� � � t , c wj i j i( , ) .( , , , ) ~ ( , , )� � � � � �0 1� , c t w tj i j i( , ) ,( , , , ) ~ ( , , )� � � �0 2� , � � � � � � �2 2q r t g r tj i t j i( , ) ,( , , , , ) ~ ( , , , , )� , q r w rj i j i( , ) ,( , , , , ) ~ ( , , , )� � � � � �0 3� , ãäå ~ ( , , , ) (, ( , ) ( , ) / ( ,g t S q F Fj s js s r s r s0 1 1 2 0 0 1 2� � � �� 1 2/ ) )r r R� ; À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 ~ ( , , ) ( , , ),w cj j0 1 1� � � � � �� ; ~ ( , , ) ( , , ), w t c tj j0 2 � � � �� ; ~ ( , , ),w j i 1 0� � � � ; ~ ( , , ),w tj i 2 0� � � ; ~ ( , , , , ),g r tj 0 2 0� � � � ; ~ ( , , , ) ( , , , ),w r q rj j0 3 0� � � � � �� ; ~ ( , , , ) ( (, ( , ) ( , )g t D v c b cj i s js s i s i 1 1 2 2 1 11 1� � � �� b c b cs i s i12 1 21 1( , ) ( , ) � � � �� b c S q F Fs i js s i r s i r s i22 1 1 2 1 2( , ) * ( , ) ( , ) / ( , / )) (� � r r R ) )� ; g r t D q q r Dj i j i rr i r j, * ( , ) ( , )( , , , , ) ( / )2 1 1 1 1 1 22� � � � � �� * , ) ( , )( /q q ri rr i r2 1 2 12� �� , w rj i, ( , , )3 0� � � , i n�1, , j �1 2, . Çàäà÷è äëÿ íàõîæäåíèÿ ïðèãðàíè÷íûõ ïîïðàâîê Ï i( , )1 (i n� �0 1, , j �1 2, ) â îêðåñòíîñòè � �� * ïîëó÷èì ïîñëå ââåäåíèÿ ïåðåìåííîé ðàñòÿæåíèÿ � �/� � � �&* )� â âèäå D Ï D Ï Ï g tj i j i j i j i1 1 2 2 3 ( , ) ( , ) ( , ) , ( , , , )�� , j �1 2, , Ï tj( , ) ( , , , )0 0� � � � 0 0� , Ï t w tj i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )0 3� � � �� , (12) ãäå g j, ( , , )0 3 0� � � � ; w t c t c tj j j, * ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , )0 3 0 � � � � � � �� ; g t v Ïj j t, ( , )( , , , ) ( , , ) (1 3 2 1 0 1 � � � � � � � � � � � � � �2 1 1 0 2 2 0� � � � � � �� v v D Ï D Ï Ïj j( , , ) ( , , )( , ( , ) , ( , ) ( , ) ))j 0 � ; g t v Ï V Dj i j i t s i s j, ( , )( , , , ) ( , , ) ( (3 2 1 1 1 1 1 � � � � � � � � � �� Ï i s( , )1 � �� D Ï Ï B D Ïj i s j i s s i s j i2 2 0 2 11 1 1 2( , ) ( , ) , ( ,) (�� s j i sD Ï) ( , ) )�� 2 2 2 � � � � � � � � �� s i s j i s j i sB D Ï D Ï 0 2 12 1 1 2 2 2 2, ( , ) ( , )( )�� s i s j i s j i sB D Ï D Ï 0 2 21 1 1 2 2 2 2, ( , ) ( , )( )� � � � � � � � � �� s i s j i s j i sB D Ï D Ï 0 2 22 1 1 2 2 2 2, ( , ) ( , )( ))� � , i n� �2 1, ; Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 43 w t c t c tj i j j i, * ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , )3 � � � � � � �� , i n�1, , w tj n, ( , , )� �1 3 0� � ; Vs, B s11, , B s12, , B s21, , B s22, — êîýôôèöèåíòû ïðè s-õ ñòåïåíÿõ � â ðàç- ëîæåíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé ~ ( , )v 2 � ��-� �� , b11( , , )� �� , b12( , , )� �� , b21( , , )� �� , b22( , , )� �� â ðÿä Òåéëîðà â îê- ðåñòíîñòè � �� . Ðåøåíèå ñèñòåìû (12) ïîëó÷àåì ìåòîäîì Ëàãðàíæà: Ï D D g t D g t Di i i( , ) , ,( , , , ) ( , , , )1 21 21 1 3 11 2 3 21 1 � � �� ($ $& � � e e l l1 2 2� � � � � � � �, � e t e D D D D l l d e l l l1 1 2 0 12 21 11 22 1 2 0 � � � � � 1 � � ( , ) ( )( ) , � � � � � � � 1 � � � ( , ) ( )( ) t e D D D D l l d l2 12 21 11 22 1 2 � � � ��( )D D D D l e l 12 21 11 22 1 1$& � � � � �, � l e l e t e D D D D l l l l l 2 2 1 0 12 21 11 22 1 2 1 1 $ 1 �� ( , ) ( )( 2 ) d� � � � � � � , 1 � 1 � 1� � � ( , ) ( , ) ( )( ) t t l D D D D l l l e l1 12 21 11 22 1 2 2 0 2 ( , ) ( )( ) � � � t e D D D D l l d l� � � � 2 12 21 11 22 1 2 � � � � � � � � 1 � 1 ��( , ) ( , ) ( )( ) t t l D D D D l l 2 12 21 11 22 1 2 , Ï e e e t e D D D i l l l l ( , ) ( , ) ( 2 2 0 12 21 11 1 2 1 1 � � � �, � $ $ 1 � & � � � � � D l l d 22 1 2)( )� �� , � e t e D D D D l l d l l 2 2 0 12 21 11 22 1 2 � � �1 � � ( , ) ( )( ) , ãäå 1 � � � � � � �� ( , ) ( ( , , , )) ( ( , , , )), ,t D g t D g ti i� � � �21 1 3 11 2 3 � � � � � g t D D D D D D D gi i2 3 21 22 11 11 22 12 21 1 3 , ,( , , , ) ( ) ( ,� � � � �, , )� t , l D D D D D D D D D D 1 2 11 22 11 2 11 22 22 2 12 21 11 22 2 3 4 2 / ( ) ( � � � 2 � � � �D D12 21 ) . À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ áîêîâûõ èñòî÷íèêîâ çàãðÿçíåíèÿ èñïîëüçóåì ïîï- ðàâêè P tj i, / ( , , , )2 � � , Ã tj i( , / ) ( , , , )2 � ! � , H tj i( , / ) ( , , , )2 � � " , T tj i( , / ) ( , , , )2 � � # , i n� �0 2 1, , êîòîðûå íàõîäèì èç ðåøåíèÿ ñëåäóþùèõ çàäà÷: b Q D P D P v Q Pj i j i11 1 1 2 2 2( , , ) ( ) ~ ( , , )* ( , ) ( , ) * (� ! � � � � j i j ig t, ) , ( , , , )� � �� 4 , P t j i( , ) ( , , , )� � 0 0� 0, P t w t j i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � �0 4� , j �1 2, ; (13) b Q D Ã D Ã v Q Ãj i j i11 1 1 2 2 2( , , )( ) ~ ( , , )* ( , ) ( , ) * (� ! � �!! !!� � j i j ig t, ) , ( , , , )� � ! �� 5 , Ã t j i( , ) ( , , , )� ! � ! 0 0� 0, Ã t w t j i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � �0 5� , j �1 2, ; (14) b Q D H D Hj i j i12 1 1 2 2( , ) ( ) ( , ) ( , )� �- "" ""� � � �~ ( , ) ( , , , ) ( , ) ,v Q H g tj i j i 2 6� �- � � "� , H t j i( , ) ( , , , )� � " " 0 0� 0, H t w t j i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � �0 6� , j �1 2, ; (15) b Q D T D Tj i j i12 1 1 2 2( , , ) ( ) ( , ) ( , )� � ## ##� � � �~ ( , , ) ( , , , ) ( , ) ,v Q T g tj i j i 2 7� � � � ## , T t j i, ( , , , )� � # # 0 0� 0, T t w t j i j i( , ) ,( , , , ) ( , , )� � � �0 7� , j �1 2, , (16) ãäå g tj, ( , , , )0 4 0� � � ; g tj, ( , , , )0 5 0� ! � � ; g tj, ( , , , )0 6 0� � " � ; g tj, ( , , , )0 7 0� � # � ; g t V P B P Bj j, / / ( , ) , / ,( , , , ) ~ ~ ~ ~ 1 2 4 1 2 0 11 1 2 0 21 1� � � � � � / ~ 2 0P ; ~ ( )( , ) ( , )P D P D Pi i i� �11 1 12 2 ; g t V P Bj s i i j i s s i , / / , ( , , , ) ~ ~ 1 2 4 1 2 2 1 1� � � � � � � � � � � � � 1 2 2 21 2 2 , / , / ~ ~ ~ i i s i i sP B P� �� s i i i s s i i i sV P B P 0 2 2 2 2 0 2 12 2 2 2 ~ ~ ~ ~ / , / �� s i i i sB P � � � �� 0 2 22 2 2 2 ~ ~ , / � ; g t V P B Ã Bj j, / / * ( , ) , / ( , , , ) ~ ~ ~ ~ 1 2 5 1 2 0 11 1 2 0 21� ! � � !!� � � , / ~ 1 2 0Ã !, ~ ( )( , ) ( , )Ã D Ã D Ãi i i� �11 1 12 2 ; Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 45 g tj, / ( , , , )1 2 5 � ! � � � � � � � � � � �� s i i j i s s i i i sV Ã B Ã 1 2 2 1 11 2 2 ~ ~ ~ ~ / * , , / * � !! � � � � � �� ~ ~ ~ ~ , / * / B Ã V Ãi i s s i i i s21 2 2 0 2 2 2 2 ! �� s i i i s s i i i sB Ã B Ã 0 2 12 2 2 2 0 2 22 2 2 2 ~ ~ ~ ~ , / , / �� ; g t V H B H Bj j, / / ( , ) , / , / ( , , , ) ~ ~ 1 2 6 1 2 0 12 1 2 0 22 1 2 � � " � ""� � � H 0" , ~ ( )( , ) ( , )H D H D Hi i i� �11 1 12 2 ; g t V Hj s i i j i s, / / , ( , , , )1 2 6 1 2 2 � � " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � s i i i s i i s s i B H B H 1 12 2 2 22 2 2 0 , / , / ~ ~ "" " 2 2 2 2 � � � �V Hi i s/ ~ �� s i i i s s i i i sB H B H 0 2 11 2 2 2 0 2 21 2 2 2 , / , / ~ ~ �� ; g t V T B T Bj j, / / ( , ) , / , /( , , , ) ~ 1 2 7 1 2 0 12 1 2 0 22 1� � # � � ##� � � 2 0 * ~ T # , ~ ( )( , ) ( , )T D T D Ti i i� �11 1 12 2 ; g t V T Bj s i i j i s s i , / / * , ( , , , )1 2 7 1 2 2 1 12� � # � � � � � � � � � � � , / * , / ~ ~ i i s i i sT B T2 2 22 2 2 � �� ## # � � � � � � � � � � �� s i i s s i i i sV T B T 0 2 1 2 2 2 0 2 11 2 2 2 / , / ~ ~ �� s i i i sB T � � � �� 0 2 21 2 2 2 , / ~ � , i n� �2 2 1, ; w t c t c Q t Ïj j j j, ** ( , ) * ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) (0 4 0 0 � � � � � � �� , , , )Q t� ; w t c t c Q t Ïj j j j, * ( , ) * ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , ) (0 5 0 0 � � � � � � �� , , , )Q t� ; w t c t c Q t Ïj j j j, ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , )0 6 0 0 � � � � � �� ( , , , )� � Q t , w t c t c Q t Ïj j j j, * ( , ) ( , ) ( , , ) ( , , ) ( , , , )0 7 0 0 � � � � � �� ( , , , )� � Q t ; À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 / 3 / 3w t c Q t Ï Q t j i j i j i , / , / * , / * ( , , ) ( , , , ) ( , , , ), 2 4 2 2� � � � � � � � � åñëè åòíîå, 0, åñëè íå åòíîå, i i i n � � � � ( ) * +* 1 2 1, ; / 3 / 3w t c Q t Ï Q t j i j i j i , / , / * , / * ( , , ) ( , , , ) ( , , , ), 2 5 2 2� � � � � � � � � åñëè åòíîå, 0, åñëè íå åòíîå, i i i n � � � � ( ) * +* 1 2 1, ; / 3 / 3w t c Q t Ï Q t j i j i j i , / , / , / ( , , ) ( , , , ) ( , , , 2 6 2 2� � � � � � � � � ), , ; åñëè åòíîå, 0, åñëè íå åòíîå, i i i n � � � � ( ) * +* 1 2 1 / 3 / 3w t c Q t Ï Q t j i j i j i , / , / , / ( , , ) ( , , , ) ( , , , 2 7 2 2� � � � � � � � � ), , ; åñëè åòíîå, 0, åñëè íå åòíîå, i i i n � � � � ( ) * +* 1 2 1 ~ Vs, ~ ,B s11 , ~ ,B s12 , ~ ,B s21 , ~ ,B s22 , ~Vs , ~ , B s11 , ~ , B s12 , ~ , B s21 , ~ , B s22 ,Vs, B s11, , B s12, , B s21, , B s22, , Vs , B s11, * , B s12, * , B s21, * , B s22, * — êîýôôèöèåíòû ïðè s-õ ñòåïåíÿõ � â ðàçëîæå- íèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé v Q2( , , ) * � � �� , b Q11( , , ) * � � �� , b Q12( , , ) * � � �� , b Q21( , , ) * � � �� , b Q22( , , ) * � � �� , v Q2( , , )� � ! �� , b Q11( , , )� � ! �� , b Q12( , , )� � ! �� , b Q21( , , )� � ! �� , b Q22( , , )� � ! �� , v Q2( , ) * � �- � "� , b Q11( , ) � �- � "� , b Q12( , , ),� � � "� b Q21( , ) � �- � "� , b Q22( , ) � �- � "� , v Q2( , , )� � � #� , b Q11( , , )� � � #� , b Q12( , , ),� � � "� b Q21( , , )� � � #� , b Q22( , , )*� � � #� â ðÿä Òåéëîðà â îêðåñòíîñòÿõ� �Q ,� �Q* , � �Q , � �Q . Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ ïðèãðàíè÷íûå ôóíêöèè [10] / 3F t j i, / ( , , , , ) 2 � � � $ , i n� �0 2 1, , ó÷èòûâàþùèå ïåðåõîä çàãðÿçíåíèÿ èç ìåæ÷àñòè÷íîãî ïðîñò- ðàíñòâà âíóòðü ìèêðî÷àñòèö, ò.å. â îêðåñòíîñòè r R� . Çàäà÷è äëÿ èõ íàõîæäåíèÿ èìåþò âèä � � � � $2 2 F t j i( , / ) ( , , , , ) � � �D F t D Fj i j i1 1 2 2 2 2 * ( , / ) * ( , / ) ( , , , , ) ( , , , ,$$ $$� � � $ � � � $ t g tj i) ( , , , , ),, /� 2 8 � � � $ F j i( , / ) ( , , , , ) 2 0 0� � � $ � , F t w t j i j i( , / ) , /( , , , , ) ( , , , ) 2 2 80� � � � � �� , Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 47 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ F t j i( , / ) ( , , , , ) 2 0$ $ � � � $ 0� � ; g tj, ( , , , , )0 8 0� � � $ � , g tj i, / ( , , , , )2 8 � � � $ � � � � � � � � � � � � s i s s j i j R D F t D 1 1 1 1 1 2 2 2$ � � � $ $ * , ( , , , , ) * , ( , , , , )F t i 2 1 2 � � � � � � �$ � � � $ , i n� �1 2 1, ; w tj i, / ( , , , )2 8 � � � � � � � � � �k c Ï P Ã H Tj j i j i j i j i j i ( ( , / ) ( , / ) ( , / ) ( , / ) ( , / )2 2 2 2 2 ( , / ) ( , / ) ( , / ) ( , / ), ; ( j i j j i j i j i j k P Ã H 2 2 2 2 åñëè åòíîå� � � ) ( , / ) ), ;� � ( ) * +* T j j i 2 åñëè íå åòíîå w t k Ï P Ã Hj n j j i j i j i j, ( , / ) ( , / ) ( , / ) ( ( , , , ) (� � � � �1 8 2 2 2 � � � , / ) ( , / ) ) i j i T 2 2 � . Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ïîñëåäíåé çàäà÷è, à òàêæå çàäà÷ (13)—(16), òðåáóåòñÿ ïðèìåíåíèå òàêèõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ, êàê íàïðè- ìåð, ìåòîäà ñåòîê [11], ìåòîä êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ. Îäíàêî, ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî â ñîîòâåòñòâóþùèõ óðàâíåíèÿõ ôèãóðèðóþò âòîðûå ïðîèçâîä- íûå ïî îäíèì ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì, à ïåðâûå — ïî äðóãèì (îðòîãîíàëüíûì ê ïåðâûì), ïðè âûïîëíåíèè ïðîöåäóðû ðàñùåïëåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåêîòîðûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû [12]. À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 0,039 0,037 0,035 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 4 3 C1 2 1 0,033 0,031 0,029 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 4 3 C2 2 1 � a á Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèé ïåðâîãî (à) è âòîðîãî (á) ñîðòîâ çàãðÿç- íÿþùèõ âåùåñòâ âäîëü ëèíèè òå÷åíèÿ { ( , , ), }� � �� 1 1 0 1 â ìîìåíò âðåìåíè t � 5ñóò:1— c t1 0, ( , , , )� � � è c t2 0, ( , , , )� � � ñîîòâåòñòâåííî äëÿ à è á; 2—4 — c ti ( , , , )� � � � � �c t c ti i, ,( , , , ) ( , , , )0 1� � � � � � � äëÿ à è á ïðè S S11 22 310� � � , S S12 21 0� � (êðèâûå 2), S S11 22 310� � � , S S12 21 410� � � (êðèâûå 3), S S11 22 32 10� � 4 � , S S12 21 410� � � (êðèâûå 4) ÷ ÷ Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ýêñïåðèìåíòà. Äëÿ êîìïüþòåðíîãî ìîäåëè- ðîâàíèÿ ïðîöåññà äâóõêîìïîíåíòíîãî ìàññîïåðåíîñà çàãðÿçíÿþùèõ âå- ùåñòâ â íàíîïîðèñòîé ñðåäå èñïîëüçîâàí èäåàëüíûé ôèëüòðàöèîííûé ôîí â îáëàñòè Gz [4] ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ: k �0 45, ì/ñóò, �1 087� , , � 2 094� , , D11 810� � ì2/ñóò, D12 910� � ì2/ñóò, D21 910� � ì2/ñóò, D22 � � �10 8 ì2/ñóò, D11 76 10* � 4 � ì2/ñóò, D22 74 10* � 4 � ì2/ñóò, D D12 21 1210* � � � ì2/ñóò, k1 08� , , k2 095� , è ñëåäóþùèõ íà÷àëüíûõ è ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ: c c1 0 2 0 0( , , ) ( , , )� � � � � �� , q rj 0 0( , , , )� � � � , c t t t t 1 002 5 002 5 004 5 ( , , ) , cos ( ) , , , , , , � � 5 56 56 � � � � � c t t t t 2 0017 10 0017 1 0034 * ( , , ) , cos ( ) , , , , , � � 5 56 7 56 � � � � � 17. Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ âíóòðè÷àñ- òè÷íîãî ïåðåíîñà íà ìåæ÷àñòè÷íûé, à íà ðèñ. 3 — ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ íàêîïëåíèÿ äâóõ ñîðòîâ çàãðÿçíÿþùåãî âåùåñòâà â ìèêðî÷àñòèöàõ ïðè � 1 0 02� , ,�1 01� , , � 1 01� , . Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 49 0,03 0,02 0,01 0 0,01 0,02 1 * 2 * 3* 3 q1 2 1 0,03 0,02 0,01 0 0,01 0,02 1 * 2 * 3 * 3 q2 2 1 r a á Ðèñ. 3. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ êîíöåíòðàöèé ïåðâîãî ( ( , , , , ))q r t1 1 1 1� � � è âòîðîãî ( ( , , , , ))q r t2 1 1 1� � � ñîðòîâ çàãðÿçíÿþùèõ âåùåñòâ â ìèêðî÷àñòèöàõ: 1 — t �1 ñóò; 2 — t � 3 ñóò; 3 — t � 5 ñóò ïðè D D11 22 410* � � � ì2/ñóò.; 1—3* — ïðè D D11 22 510* *� � � ì2/ñóò Âûâîäû Íà îñíîâå ïîñòðîåííîãî àñèìïòîòè÷åñêîãî ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñò- âóþùåé ïðîñòðàíñòâåííîé íåëèíåéíîé ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííîé êðàåâîé çàäà÷è ïðîâåäåí êîìïüþòåðíûé ýêñïåðèìåíò, â ÷àñòíîñòè ãðàôè÷åñêè èçîá- ðàæåíî ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèé äâóõ ñîð- òîâ çàãðÿçíÿþùèõ âåùåñòâ â ìåæ÷àñòè÷íîì ïðîñòðàíñòâå è â ìèêðî÷àñòèöàõ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà è ðàçëè÷íûõ ñîîòíîøåíèÿõ õàðàêòåðèñòèê âõîäíûõ êîìïîíåíòîâ. Ïðåäëàãàåìàÿ ìåòîäèêà ýôôåêòèâíà òàêæå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííî-àäñîðáöèîííîãî ìàññî- ïåðåíîñà áîëåå ÷åì äâóõ ðàñòâîðèìûõ âåùåñòâ. Òàêèå çàäà÷è âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè ñîîòâåòñòâóþùèõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ. Â ïåðñïåêòèâå ïðåäëàãàåòñÿ èäåíòèôèêàöèÿ ïàðàìåòðîâ òàêîãî ðîäà ïðîöåññîâ, èññëåäîâàíèÿ ìàññîïåðåíîñà ìíîãîêîìïîíåíòíîãî çàãðÿçíåíèÿ â ìíîãî- ñëîéíûõ íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ, à òàêæå áîëåå ïîäðîáíîå èññëåäîâàíèå âçàèìîâëèÿíèÿ ìåæ÷àñòè÷íîãî è âíóòðè÷àñòè÷íîãî ñîñòàâëÿþùèõ ïðî- öåññà, ÷òî ñâÿçàíî ñ ïðîãíîçèðîâàíèåì ïðîöåññîâ î÷èñòêè æèäêîñòåé ïóòåì ôèëüòðîâàíèÿ ÷åðåç íàíîïîðèñòûå ñðåäû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ruthven D.M. Principles of adsorption and adsorption processes. — N Y: Wiley-Inter- science, 1984. — 464 p. 2. Âåðèãèí Í.Í., Øåðæóêîâ Á.Ñ. Äèôôóçèÿ è ìàññîîáìåí ïðè ôèëüòðàöèè æèäêîñòåé â ïîðèñòûõ ñåðåäàõ// Ðàçâèòèå èññëåäîâàíèé ïî òåîðèè ôèëüòðàöèè â ÑÑÑÐ (1917— 1967). — Ì. : Íàóêà, 1969. — Ñ. 237—313. 3. Áîìáà À.ß., Áóëàâàöüêèé Â.Ì., Ñêîïåöüêèé Â.Â. Íåë³í³éí³ ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ ïðîöå- ñ³â ãåîã³äðîäèíàì³êè. — Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2007. — 308 ñ. 4. Áîìáà À.ß., Êëèìþê Þ.ª. Ìàòåìàòè÷íå ìîäåëþâàííÿ ïðîñòîðîâèõ ñèíãóëÿðíî-çáó- ðåíèõ ïðîöåñ³â òèïó ô³ëüòðàö³ÿ-êîíâåêö³ÿ-äèôóç³ÿ.— Ð³âíå: «Àñîëü», 2014. — 273 ñ. 5. Rolando M.A. Roque-Malherbe Adsorption and Diffusion in Nanoporous Materials. — Boca Raton: CRC Press, 2012. — 288 p. 6. Quirke N. Adsorption and Transport at the Nanoscale. — Taylor & Francis, 2006. — 186 p. 7. Petryk M. Mathematical modeling of mass transfer in symmetric heterogeneous and na- noporous media with a system of n-interface interactions// Cybernetics and System Analy- sis.— 2007.— Vo. 43, ¹ 1.— Ð. 94—111. 8. Ïåòðèê Ì.Ð., Ôðåññàðä Æ., Ìèõàëèê Ä.Ì. Ìîäåëèðîâàíèå è àíàëèç êîíöåíòðàöèîí- íûõ ïîëåé íåëèíåéíîé êîìïåòèòèâíîé äâóõêîìïîíåíòíîé äèôôóçèè â ñðåäå íàíî- ïîðèñòûõ ÷àñòèö // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2009. — ¹ 4. — Ñ. 73—83. 9. Äåéíåêà Â.Ñ. , Ïåòðèê Ì.Ð., Ôðåññàðä Æ. Èäåíòèôèêàöèÿ êèíåòè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ ìàññîïåðåíîñà â ñîñòàâëÿþùèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ íåîäíîðîäíûõ íàíîïîðèñòûõ ñðåä ñèñòåìû êîìïåòèòèâíîé äèôôóçèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.— 2011. — ¹ 5. — Ñ. 45—64. 10. Áîìáà À.ß., Ïðèñÿæíþê ².Ì., Ïðèñÿæíþê Î.Â. Àñèìïòîòè÷íèé ìåòîä ðîçâ’ÿçàííÿ îäíîãî êëàñó ìîäåëüíèõ ñèíãóëÿðíî çáóðåíèõ çàäà÷ ïðîöåñó ìàñîïåðåíîñó â ð³çíî- ïîðèñòèõ ñåðåäîâèùàõ // Äîï. ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2013. — ¹ 3. — Ñ. 28—34. À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 11. Ñàìàðñêèé À.À., Ãóëèí À.Â. ×èñëåííûå ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè.— Ì.: Íàó÷- íûé ìèð, 2000. —358 c. 12. Âîåâîäèí À.Ô., Ãîí÷àðîâà Î.Í. Ìåòîä ðàñùåïëåíèÿ ïî ôèçè÷åñêèì ïðîöåññàì äëÿ ðàñ- ÷åòà çàäà÷ êîíâåêöèè // Ìàòåì. ìîäåëèðîâàíèå. — 2001. — 13. — ¹ 5. — C. 90—96. A.Ya. Bomba, O.V. Prysiazhniuk MODELING OF NONLINEAR SINGULARLY PERTURBED PROCESSES OF TWO-COMPONENT CONVECTION-DIFFUSION MASS TRANSFER IN NANOPOROUS MEDIUM Mathematical model of singularly perturbed process of convection-diffusion-adsorption mass transfer of two types of pollutant in a medium consisting of particles of microporous structure is developed. The corresponding boundary value problem is solved in a curvilinear quadrangular parallelepiped. An asymptotic expansion of its decision is constructed, which makes it possible to complement autonomously the convective component of solution with mass transfer and diffusion components, and take into account the amendments on the out- put of the filter flow and the impact of lateral sources. The results of numerical calculations are given. K e y w o r d s: convection, diffusion, mass transfer, nanoporous medium. REFERENCES 1. Ruthven, D.M. (1984), Principles of adsorption and adsorption processes, Wiley- Interscience, New York, USA. 2. Verigin, N.N. and Sherzhukov, B.S. (1969), “Diffusion and mass transfer at liquid fil- tration in porous media”, Razvitie issledovaniy po teorii filtratsii v SSSR (1917-1967), pp. 237-313. 3. Bomba, À.Ya., Bulavatskyy, V.M. and Skopetskyy, V.V. (2007), Neliniyni matema- tychni modeli protsesiv heohidrodynamiky [Nonlinear mathematical models of the hy- drodynamics], Naukova Dumka, Kyiv, Ukraine. 4. Bomba, À.Ya. and Klymyuk, Yu. E. (2014), Matematychne modelyuvannya prostorovykh syngulyarno-zburenykh protsesiv typu filtratsiya-konvektsiya-difuziya [Mathematical modeling of spatial singularly perturbed process type filtration-convection-diffusion], Asol, Rivne, Ukraine. 5. Rolando, M.A. Roque-Malherbe (2012), Adsorption and Diffusion in Nanoporous Ma- terials, CRC Press, Taylor & Francis, Boca Raton, USA. 6. Quirke, N. (2006), Adsorption and Transport at the Nanoscale, CRC Press, Taylor & Francis, Boca Raton, USA. 7. Petryk, M. (2007), “Mathematical modeling of mass transfer in symmetric heteroge- neous and nanoporous media with a system of n-interface interactions”, Cybernetics and System Analysis, Vol. 43, no. 1, pp. 94-111. 8. Petryk, Ì.R., Fressard, G. and Mihalyk, D.M. (2009), “Modeling and analysis of con- centration fields of nonlinear competitive binary diffusion among particles”, Problemy upravleniya i informatiki, no. 4, pp. 73-83. 9. Deineka, V.S., Petryk, M.R. and Fressard, G. (2011), “Identification of kinetic parame- ters of components of multicomponent mass transfer in inhomogeneous media nanopo- rous system kompetetive diffusion”, Kibernetika i systemnyi analiz, no. 5, pp. 45-64. Ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ ïðîöåññîâ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 51 10. Bomba, À.Ya., Prysiazhniuk, I.M. and Prysiazhniuk, O.V. (2013), “An asymptotic method for solving a class of singularly perturbed model problems of mass transfer pro- cess in different porous environments”, Dopovidi NAN Ukrayiny, no. 3, pp. 28-34. 11. Samarskiy, A.A. and Gulin, A.V. (2000), Chislennye metody matematicheskoy fiziki [Numerical methods of mathematical physics], Nauchnyi mir, Moscow, Russia. 12. Voevodin, A.F. and Goncharova, O.N. (2001) “Method of splitting into physical pro- cesses for numerical investigation of convection problems”, Matematicheskoe mode- lirovanie, Vol. 13, no. 5, pp. 90-96. Ïîñòóïèëà 16.03.15; ïîñëå äîðàáîòêè 27.05.15 ÁÎÌÁÀ Àíäðåé ßðîñëàâîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâåäóþùèé êàôåäðîé ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè Ðîâåíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ãóìàíèòàðíîãî óíèâåðñèòåòà. Â 1972 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. È. Ôðàíêî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñëîâûå ìåòîäû êîìïëåêñíîãî àíàëèçà è òåîðèè âîçìóùåíèé ìîäåëèðîâàíèÿ íåëèíåéíûõ ïðîöåññîâ â ïîðèñòûõ ñðåäàõ ñ ïîñëåäåéñòâèåì â óñëîâèÿõ óïðàâëåíèÿ, èäåíòè- ôèêàöèè è îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ. ÏÐÈÑßÆÍÞÊ Åëåíà Âèêòîðîâíà, àñïèðàíò êàôåäðû ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è èíôîð- ìàòèêè Ðîâåíñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ãóìàíèòàðíîãî óíèâåðñèòåòà, êîòîðûé îêîí÷èëà â 2010 ã.è Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû òåîðèè âîçìóùåíèé ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ ñèíãóëÿðíî âîçìóùåííûõ çàäà÷ êîíâåêòèâíî-äèôôóçèîííîãî ìàññîïåðåíîñà â ïîðèñòûõ è íàíîïîðèñòûõ ñðåäàõ. À.ß. Áîìáà, Å.Â. Ïðèñÿæíþê 52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4

Моделирование нелинейных сингулярно возмущенных процессов двухкомпонентного конвективно-диффузионого массопереноса в нанопористой среде

Institution

Similar Items