Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами
Рассмотрены постановки задач синхронизации и управления нелинейными физическими системами дробного порядка. Критерием реализации задачи является понятие среднего времени возврата Пуанкаре. Предложено обобщенное компактное метрическое пространство Пуанкаре с размерностью <τ>. Приведен алгоритм...
Збережено в:
| Дата: | 2015 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2015
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101140 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами / Э.И. Владимирский, Б.И. Исмайлов // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 53-62. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101140 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1011402025-02-09T22:48:00Z Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами Poincare recurrences as a criterion of topological synchronization and control of fractional systems Владимирский, Э.И. Исмайлов, Б.И. Математическое моделирование и вычислительные методы Рассмотрены постановки задач синхронизации и управления нелинейными физическими системами дробного порядка. Критерием реализации задачи является понятие среднего времени возврата Пуанкаре. Предложено обобщенное компактное метрическое пространство Пуанкаре с размерностью <τ>. Приведен алгоритм определения потерь памяти при обучении системы. Розглянуто постановки задач синхронізації та керування нелінійними фізичними системами дробового порядку. Критерієм реалізації задачі є поняття середнього часу повернення Пуанкаре. Запропоновано узагальнений компактний метричний простір Пуанкаре з вимірністю <τ>. Наведено алгоритм визначення втрат пам’яті при навчанні системи. Statements of the synchronization and control problems for nonlinear physical systems of a fractional order have been considered. The criterion of the problem realization is the concept of the average time of Poincare recurrence. A generalized compact metrical space with Poincare dimensionality <τ> was proposed. The algorithm is provided for determination the memory losses when training system. 2015 Article Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами / Э.И. Владимирский, Б.И. Исмайлов // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 53-62. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101140 517.9 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы |
| spellingShingle |
Математическое моделирование и вычислительные методы Математическое моделирование и вычислительные методы Владимирский, Э.И. Исмайлов, Б.И. Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами Электронное моделирование |
| description |
Рассмотрены постановки задач синхронизации и управления нелинейными физическими системами дробного порядка. Критерием реализации задачи является понятие среднего времени возврата Пуанкаре. Предложено обобщенное компактное метрическое пространство Пуанкаре с размерностью <τ>. Приведен алгоритм определения потерь памяти при обучении системы. |
| format |
Article |
| author |
Владимирский, Э.И. Исмайлов, Б.И. |
| author_facet |
Владимирский, Э.И. Исмайлов, Б.И. |
| author_sort |
Владимирский, Э.И. |
| title |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| title_short |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| title_full |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| title_fullStr |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| title_full_unstemmed |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| title_sort |
возвраты пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2015 |
| topic_facet |
Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101140 |
| citation_txt |
Возвраты Пуанкаре как критерий топологической синхронизации и управления дробными системами / Э.И. Владимирский, Б.И. Исмайлов // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 53-62. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT vladimirskiiéi vozvratypuankarekakkriteriitopologičeskoisinhronizaciiiupravleniâdrobnymisistemami AT ismailovbi vozvratypuankarekakkriteriitopologičeskoisinhronizaciiiupravleniâdrobnymisistemami AT vladimirskiiéi poincarerecurrencesasacriterionoftopologicalsynchronizationandcontroloffractionalsystems AT ismailovbi poincarerecurrencesasacriterionoftopologicalsynchronizationandcontroloffractionalsystems |
| first_indexed |
2025-12-01T13:11:31Z |
| last_indexed |
2025-12-01T13:11:31Z |
| _version_ |
1850311644121399296 |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.9
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ, êàíäèäàòû òåõí. íàóê
Àçåðáàéäæàíñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ íåôòÿíàÿ àêàäåìèÿ
(Àçåðáàéäæàíñêàÿ ðåñïóáëèêà, AZ 1010, Áàêó, ïð. Àçàäëûã, 20,
òåë: (+994) 12 4651147, 12 4986220,
å-mail: Eduard.Vladimirsky@hotmail.com; ismbahram@mail.ru)
Âîçâðàòû Ïóàíêàðå êàê êðèòåðèé òîïîëîãè÷åñêîé
ñèíõðîíèçàöèè è óïðàâëåíèÿ äðîáíûìè ñèñòåìàìè
Ðàññìîòðåíû ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñèíõðîíèçàöèè è óïðàâëåíèÿ íåëèíåéíûìè ôèçè÷åñêèìè
ñèñòåìàìè äðîáíîãî ïîðÿäêà. Êðèòåðèåì ðåàëèçàöèè çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñðåäíåãî
âðåìåíè âîçâðàòà Ïóàíêàðå. Ïðåäëîæåíî îáîáùåííîå êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñò-
ðàíñòâî Ïóàíêàðå ñ ðàçìåðíîñòüþ ���. Ïðèâåäåí àëãîðèòì îïðåäåëåíèÿ ïîòåðü ïàìÿòè
ïðè îáó÷åíèè ñèñòåìû.
Ðîçãëÿíóòî ïîñòàíîâêè çàäà÷ ñèíõðîí³çàö³¿ òà êåðóâàííÿ íåë³í³éíèìè ô³çè÷íèìè ñèñ-
òåìàìè äðîáîâîãî ïîðÿäêó. Êðèòåð³ºì ðåàë³çàö³¿ çàäà÷³ º ïîíÿòòÿ ñåðåäíüîãî ÷àñó ïîâåð-
íåííÿ Ïóàíêàðå. Çàïðîïîíîâàíî óçàãàëüíåíèé êîìïàêòíèé ìåòðè÷íèé ïðîñò³ð Ïóàíêàðå ç
âèì³ðí³ñòþ <�>. Íàâåäåíî àëãîðèòì âèçíà÷åííÿ âòðàò ïàì’ÿò³ ïðè íàâ÷àíí³ ñèñòåìè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñèñòåìû ñ ïàìÿòüþ, âîçâðàòû Ïóàíêàðå, ôðàêòàëüíîñòü, äðîá-
íîñòü, âèçóàëèçàöèÿ.
Íàó÷íîå íàïðàâëåíèå ôèçèêà îòêðûòûõ ñèñòåì ðàññìàòðèâàåò åäèíûé
ïîäõîä ê îïèñàíèþ ðàçíîîáðàçíûõ íåëèíåéíûõ ÿâëåíèé. Â íàñòîÿùåå
âðåìÿ â îòêðûòûõ ñèñòåìàõ íàáëþäàþòñÿ ïðîöåññû è ÿâëåíèÿ, äëÿ êîòî-
ðûõ õàðàêòåðíû íåëîêàëüíîñòü, ýðåäèòàðíîñòü, íåìàðêîâîñòü, ôðàêòàëü-
íîñòü, íåãàìèëüòîíîâîñòü. Ñóùåñòâåííîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ èññëåäîâà-
íèÿì ñòåïåííîé íåëîêàëüíîñòè è ñòåïåííîé äîëãîâðåìåííîé ïàìÿòè. Â
ñâÿçè ñ ýòèì ñòàíîâèòñÿ àêòóàëüíîé ïðîáëåìà ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåòîäîâ îäíîãî èç ñîâðåìåííûõ íàïðàâëåíèé òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè —
äðîáíîé äèíàìèêè [1]. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ äðîáíîé äèíàìèêè îòêðû-
âàåò íîâûå âîçìîæíîñòè äëÿ ðåøåíèÿ ïðîáëåì ïðîãíîçà è ïðèíÿòèÿ ðåøå-
íèé â îòêðûòûõ ñèñòåìàõ [2, 3].
Èçâåñòíî, ÷òî óðàâíåíèÿ â äðîáíûõ ïðîèçâîäíûõ îïèñûâàþò ýâîëþ-
öèþ íåêîòîðîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ïîòåðÿìè, â êîòîðîé äðîáíûé ïîêà-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 53
� Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ, 2015
çàòåëü ïðîèçâîäíîé óêàçûâàåò íà äîëþ ñîñòîÿíèé ñèñòåìû, ñîõðàíÿþ-
ùèõñÿ çà âñå âðåìÿ ýâîëþöèè t. Òàêèå ñèñòåìû íàçûâàþò ñèñòåìàìè ñ
îñòàòî÷íîé ïàìÿòüþ. Îíè çàíèìàþò ïðîìåæóòî÷íîå ïîëîæåíèå ìåæäó
ïàìÿòüþ, ñ îäíîé ñòîðîíû, è ìàðêîâñêèìè ñèñòåìàìè — ñ äðóãîé [4].
 ðàáîòå [4, ñ. 354] óêàçàíî, ÷òî â ñèñòåìå ñ çàäàííîé ïðîñòðàíñòâåííîé
ãåîìåòðèåé â ïðîöåññå ýâîëþöèè «âûæèâàåò» òîëüêî ÷àñòü ñîñòîÿíèé, à äðó-
ãàÿ ÷àñòü èõ îáùåãî ÷èñëà íåîáðàòèìî òåðÿåòñÿ, ò.å. îíè ñòàíîâÿòñÿ íå-
äîñòóïíûìè äëÿ ñèñòåìû. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ
àñïåêòîâ èññëåäîâàíèÿ ðàçëè÷íîãî ðîäà ÿâëåíèé â îòêðûòûõ ñèñòåìàõ ÿâ-
ëÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòü ó÷åòà íåëîêàëüíûõ ýôôåêòîâ ïî âðåìåíè (ýôôåêò
ïàìÿòè), «ôèçè÷åñêîé» ïðè÷èíîé êîòîðûõ åñòü ìåäëåííàÿ ðåëàêñàöèÿ êîððå-
ëÿöèîííûõ ñâÿçåé ìåæäó ýëåìåíòàìè ñèñòåìû.
Ìàòåìàòè÷åñêîé îñíîâîé ïðè ìîäåëèðîâàíèè òàêîãî ðîäà ÿâëåíèé
ÿâëÿåòñÿ àïïàðàò äðîáíîãî èñ÷èñëåíèÿ.
Îïðåäåëåíèå 1 [5]. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïëîòíîñ-
òè êîòîðîãî çàâèñèò îò çíà÷åíèé ïëîòíîñòè â ïðåäøåñòâóþùèå ìîìåíòû
âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ ýðåäèòàðíûì. Ýòîò òåðìèí ýêâèâàëåíòåí ïîíÿòèÿì ïà-
ìÿòè, ïîñëåäåéñòâèÿ, çàïàçäûâàíèÿ, íàñëåäñòâåííîñòè, îñòàòî÷íîñòè.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè äðîáíîé äèíàìèêè â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ ôèçè-
÷åñêèõ ñèñòåì âîçíèêàåò ïðîáëåìà âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå — îäíà èç íàèáî-
ëåå âàæíûõ îñîáåííîñòåé äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (ñèñòåì) ñ îãðàíè÷åí-
íûì òèïîì óñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé [6—12]. Âðåìåíà âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñíîâíûå èíäèêàòîðû è õàðàêòåðèñòèêè, ïîêàçûâàþ-
ùèå, êàê îïðåäåëåííûå ñîñòîÿíèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû ïîâòîðÿþòñÿ âî
âðåìåíè.  îáùåì ñëó÷àå ïîëíûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ âðåìåí âîçâðàùåíèÿ â
ïðîèçâîëüíûå íà÷àëüíûå ñîñòîÿíèÿ íåðåàëåí. Òðàäèöèîííûì ÿâëÿåòñÿ
ïîäõîä, ñâÿçàííûé ñ èçó÷åíèåì ñòàòèñòè÷åñêèõ ñâîéñòâ âîçâðàòîâ Ïóàí-
êàðå è òèïè÷íûõ îðáèò äëÿ íåêîòîðûõ èíâàðèàíòíûõ ìåð [12, 13].  ñâÿçè
ñ èçëîæåííûì âûçûâàþò èíòåðåñ ñèñòåìû ñ ïàìÿòüþ ïðè ðåøåíèè çàäà÷
òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè è óïðàâëåíèÿ.
Ñèñòåìû ñ îñòàòî÷íîé ïàìÿòüþ.  ðàáîòå [14] äàíî ñëåäóþùåå
îïðåäåëåíèå.
Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìû, îáëàäàþùèå îñòàòî÷íîé ïàìÿòüþ, îïèñû-
âàþòñÿ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà M z D( )� � � , z t �( )1
� . Çäåñü D —
ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü, ÿâëÿþùàÿñÿ êîëè÷åñòâåííîé ìåðîé ïðîÿâëåíèÿ
ýôôåêòîâ ïàìÿòè;
— ïàðàìåòð ïîäîáèÿ, îïðåäåëÿþùèé, íàñêîëüêî óìåíü-
øàåòñÿ âåëè÷èíà áëîêà íà êàæäîì øàãå ïîñòðîåíèÿ ôðàêòàëüíîé ðàç-
ìåðíîñòè D j �ln / ln
1, ãäå j — ÷èñëî áëîêîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ýëåìåí-
òàðíûé ôðàãìåíò ôðàêòàëà.
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ
54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4
Ôîðìàëüíî íàëè÷èå ïàìÿòè îçíà÷àåò, ÷òî åñëè â ìîìåíò âðåìåíè �t íà
ñèñòåìó äåéñòâóåò ñèëà f t( )� , òî âîçíèêàåò ïîòîê J, âåëè÷èíà êîòîðîãî â
ïîñëåäóþùèé ìîìåíò t t� � çàäàåòñÿ [14] â âèäå
J t M t t f t dt
t
( ) ( ) ( ) � � � ��
0
. (1)
Äëÿ ñèñòåìû, íå îáëàäàþùåé ïàìÿòüþ, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü ôóíêöèè
ïàìÿòè M t t( )� � èìååò âèä
M t t t t( ) ( )� � � �
� , (2)
ãäå
— ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ; � ( )t t� � — �-ôóíêöèÿ Äèðàêà. Ïîä-
ñòàâëÿÿ (2) â (1), ïîëó÷àåì ôîðìóëó J t f t( ) ( )
, ñîãëàñíî êîòîðîé ïðè
ïîòåðå ïàìÿòè íà ïîòîê J t( ) âëèÿåò òîëüêî çíà÷åíèå ñèëû f t( ), äåéñò-
âóþùåé â òîò æå ìîìåíò t. Ïðè èäåàëüíîé ïàìÿòè �� �, ò.å. J t( ) ôîð-
ìèðóåòñÿ íà âñåì ïðîòÿæåíèè äåéñòâèÿ ñèëû f t( )� äî ìîìåíòà t. Ôîð-
ìàëüíî ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî [14, ñ. 12] M t t t( ) /� �
.
Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ.  îòëè÷èå îò òðàäèöèîííûõ ìåòî-
äîâ ñèíõðîíèçàöèè â [11] ïðåäëàãàåòñÿ ïîíÿòèå òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðî-
íèçàöèè ñâÿçàííûõ õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì.
Îïðåäåëåíèå 3 [11]. Äâå ñèñòåìû òîïîëîãè÷åñêè ñèíõðîíèçèðîâàíû,
åñëè èõ âðåìåíà âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå âåäóò ñåáÿ ïîõîæèì îáðàçîì.
Èíäèêàòîðîì ñõîæåñòè ïîâåäåíèÿ ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå, îñíîâàí-
íîå íà âðåìåíàõ âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå. Ñîâïàäåíèå ðàçìåðíîñòåé äàííûõ
äâóõ ñèñòåì — ýòî ëèøü íåîáõîäèìîå óñëîâèå òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðî-
íèçàöèè: îíî óêàçûâàåò íà «ïîõîæåñòü â ñðåäíåì» [11, ñ. 253]. Êðèòåðèé
òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè ìîæíî ïðèìåíÿòü â ñëó÷àÿõ ñâÿçàííûõ
ãåòåðîãåííûõ ñèñòåì. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî îñîáåííîñòüþ ñèíõðîíèçà-
öèè ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå íåêîòîðîãî ÷àñòîòíîãî ñîîòíîøåíèÿ: â äàííîì
ñëó÷àå — ýòî ñîîòíîøåíèå ìåæäó âðåìåíàìè âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå. Èí-
âàðèàíòíîñòü òàêèõ ñîîòíîøåíèé — ñóòü ðåæèìà ñèíõðîíèçàöèè.
Òîïîëîãèÿ ôðàêòàëüíîãî ïðîñòðàíñòâà. Ðàçìåðíîñòü Õàóñäîðôà—
Áåçèêîâè÷à — ìåòðè÷åñêîå ïîíÿòèå [15]. Îäíàêî ñóùåñòâóåò åå ôóí-
äàìåíòàëüíàÿ ñâÿçü ñ òîïîëîãè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ dimE, óñòàíîâëåííàÿ
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèíûì è Ë.Ñ. Øíèðåëüìàíîì, êîòîðûå ââåëè ïîíÿòèå ìåòðè-
÷åñêîãî ïîðÿäêà [16].
Îïðåäåëåíèå 4. Ìåòðè÷åñêèì ïîðÿäêîì êîìïàêòà A íàçûâàåòñÿ ÷èñëî
k N A �lim ( ln ( / ln )�� � , ãäå � — ñôåðà ðàäèóñà �; N ( )� — ÷èñëî ñôåð â
êîíå÷íîì ïîäïîêðûòèè ìíîæåñòâà.
Íèæíÿÿ ãðàíèöà ìåòðè÷åñêèõ ïîðÿäêîâ äëÿ âñåõ ìåòðèê êîìïàêòà A
(íàçûâàåìàÿ ìåòðè÷åñêîé ðàçìåðíîñòüþ), ðàâíà åãî Ëåáåãà ðàçìåðíîñòè.
Âîçâðàòû Ïóàíêàðå êàê êðèòåðèé òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 55
Îäíàêî îêàçàëîñü, ÷òî ìåòðè÷åñêèé ïîðÿäîê, ââåäåííûé â [16], ñîâïàäàåò ñ
íèæíåé ãðàíüþ ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè Õàóñäîðôà—Áåçèêîâè÷à, îïðå-
äåëÿåìîé â òåðìèíàõ box-counding.
Òåîðåìà 1 [16]. Äëÿ ëþáîãî êîìïàêòíîãî ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà X
dim inf lim
log ( )
log
:,X
N X
d Xd
�
�
�
� ��
�
�0
åñòü ìåòðèêà íà
�
�
�
,
ãäå N X u ud�, ( ) min{| | : eñòü êîíå÷íîå îòêðûòîå ïîêðûòèe X}.
Ñëåäîâàòåëüíî, ( , )X d f — êîìïàêòíîå ôðàêòàëüíîå ìåòðè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî ñ ðàçìåðíîñòüþ d f . Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî ïðè îïèñàíèè
ñâîéñòâ ñèñòåì ñ äðîáíîé ñòðóêòóðîé íåâîçìîæíî èñïîëüçîâàòü åâêëè-
äîâó ãåîìåòðèþ. Ýòè ïðîöåññû ñëåäóåò àíàëèçèðîâàòü â òåðìèíàõ ãåîìåò-
ðèè äðîáíîé ðàçìåðíîñòè.
Çàìå÷àíèå.  [17] ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ñâÿçè äðîáíîãî èíòåãðî-
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (â òåðìèíàõ Ðèìàíà—Ëèóâèëëÿ èëè Ãðþíâàëüäà—
Ëåòíèêîâà) ñ êðèâûìè Êîõà. Óêàçàíî, ÷òî âçàèìíî îäíîçíà÷íîé ñâÿçè
ìåæäó ôðàêòàëàìè è äðîáíûìè îïåðàòîðàìè íå ñóùåñòâóåò: ôðàêòàëû
ìîãóò ãåíåðèðîâàòüñÿ è îïèñûâàòüñÿ áåç èñïîëüçîâàíèÿ äðîáíûõ îïå-
ðàöèé, à îïðåäåëåííûé äðîáíûé îïåðàòîð íå îáÿçàòåëüíî ïîðîæäàåò îïðå-
äåëåííûé (îäíîçíà÷íî ñ íèì ñâÿçàííûé) ôðàêòàëüíûé ïðîöåññ èëè ôðàê-
òàëüíîå ìíîãîîáðàçèå.
Îäíàêî èñïîëüçîâàíèå äðîáíûõ îïåðàöèé ïîçâîëÿåò ãåíåðèðîâàòü íà
îñíîâå çàäàííîãî ôðàêòàëüíîãî ïðîöåññà (ìíîãîîáðàçèÿ) äðóãîé ôðàê-
òàëüíûé ïðîöåññ (ìíîãîîáðàçèå), ôðàêòàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü êîòîðîãî ñâÿ-
çàíà ñ ïîêàçàòåëåì äðîáíîãî èíòåãðîäèôôåðåíöèðîâàíèÿ ëèíåéíûì ñîîò-
íîøåíèåì.
 [17] äðîáíûå èíòåãðàëû Ðèìàíà—Ëèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ èíòåãðàëàìè
ïî ïðîñòðàíñòâó äðîáíîé ðàçìåðíîñòè. Ïðè ýòîì ïîêàçàòåëü èíòåãðè-
ðîâàíèÿ ñâÿçàí ñ ðàçìåðíîñòüþ ïðîñòðàíñòâà îäíîçíà÷íûì ñîîòíîøå-
íèåì. Â ñâÿçè ñ ýòèì âûçûâàåò èíòåðåñ ðàññìîòðåíèå ðàçìåðíîñòè õàîòè-
÷åñêèõ ñèñòåì äðîáíîãî ïîðÿäêà.  [18] óêàçàíî, ÷òî ðàçìåðíîñòü òàêèõ
ñèñòåì ìîæåò îïðåäåëÿòüñÿ ñóììîé äðîáíûõ ïîêàçàòåëåé �, ïðè ýòîì çíà÷å-
íèå � < 3 — íàèáîëåå ýôôåêòèâíî.
Ðàññìîòðèì õàîòè÷åñêóþ äðîáíóþ ñèñòåìó Ëîðåíöà [18, ñ. 1, 2]:
d
dt
x y x
�
�
� �( ) ,
d
dt
y x y xz r
�
�
� � � ,
d
dt
z xy bz
� , (3)
ãäå � 10, � 28, b 8 3/ , 0 1� �� �
, , , r �1. Òîãäà äðîáíàÿ ðàçìåðíîñòü
ñèñòåìû óðàâíåíèé (3) áóäåò èìåòü âèä
� �
� . (4)
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ
56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4
Òàê, íàïðèìåð, äëÿ ñèñòåìû Ëîðåíöà ñ äðîáíûìè ïîêàçàòåëÿìè � �
099, , ýôôåêòèâíàÿ ðàçìåðíîñòü � 297, .
Ïðåäïîëîæèì
~
X — ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî íåëèíåéíûõ ôèçè÷åñêèõ
ñèñòåì, A� — ïîäìíîæåñòâî ìíîæåñòâà
~
X ñèñòåì äðîáíîãî ïîðÿäêà ñ
ïàìÿòüþ A X� !
~
. Òîãäà òðèàäà (
~
, ,X A� �� — êîìïàêòíîå äðîáíîå ìåòðè-
÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî ñ ðàçìåðíîñòüþ � .
Ââåäåì îáîçíà÷åíèå W X d f"( , ). Íà îñíîâàíèè äàííûõ ðàáîòû [4, ñ.
354] è ñ ó÷åòîì çàìå÷àíèÿ (
~
, ,X A W� ��! ðàññìîòðèì òðàíñôîðìàöèþ
ñèñòåìû W, ó÷èòûâàÿ ñâÿçè ñðåäíåãî âðåìåíè âîçâðàòà Ïóàíêàðå � ñ
ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòüþ d f è îñòàòî÷íîé ïàìÿòüþ J t( ). Ïðè ýòîì
g d f: � # , l d J tf: ( )# , $ �: ( , )# g l . Òîãäà U X"( , )� — îáîáùåííîå
êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî Ïóàíêàðå ñ ðàçìåðíîñòüþ � .
Ñèíõðîíèçàöèÿ îáúåäèíåííûõ õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì äðîáíîãî
ïîðÿäêà, ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü
d X
dt
f X
�
�
( ),
d Y
dt
g Y U t
�
�
( ) ( ) ,
ãäå � — äðîáíûé ïîêàçàòåëü ñòåïåíè,�"( , ]0 1 , âåäóùåé X R n" è âåäîìîé
Y R n" ñèñòåì; f R Rn n: � è � :g R Rn n� — âåêòîðíûå ïîëÿ âåäóùåé è âå-
äîìîé ñèñòåì.  îáùåì ñëó÷àå óñëîâèå ñèíõðîíèçàöèè ñèñòåì îïðåäåëÿåòñÿ
êàê U t u un
T( ) ( , ..., ) 1 , ò.å. lim
t
X Y
��
� , ãäå % — Åâêëèäîâà íîðìà [19].
Ïóñòü âåäóùàÿ ñèñòåìà èìååò âèä [20]
d x
dt
a y x k x x
�
�
� � �( ) ( ) ( ),25 10 1
d y
dt
a x xz a y k y y
�
�
� � � � �( ) ( ) ( ),28 35 29 1 2
(5)
d z
dt
xy a z k z z
�
�
� � �( ) / ( ),8 3 3
ãäå a — ïàðàìåòð ñèñòåìû, 0� a, à âåäîìàÿ ñèñòåìà — ñëåäóþùèé âèä:
d x
dt
a y x k x x
�
�
�
� � � � �( )( ) ( ),25 10 1
d y
dt
a x x z a y k y y
�
�
�
� � � � � � � � �( ) ( ) ( ),28 35 29 1 2
(6)
d z
dt
x y
a
z k z z
�
�
�
� � �
� � �( )
( ),
8
3
3
Âîçâðàòû Ïóàíêàðå êàê êðèòåðèé òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 57
ãäå k k k1 2 3, , — ñâÿçàííûå êîýôôèöèåíòû; e x xx � �, e y yy � �, e z zz � �—
ìíîæåñòâî îøèáîê. Òîãäà ñèñòåìà ñ îøèáêàìè ìåæäó (5) è (6) èìååò âèä
d e
dt
a e a k ex
y x
�
�
� �( ) ( ) ,25 10 25 10 2 1
d e
dt
a e z e xe a k ey
x x z y
�
�
� � � � � �( ) ( ) ,28 35 29 1 2 2
d e
dt
y e xe a k ez
x y z
�
�
� � [( ) / ] .8 3 2 3
Îäíàêî àíàëèòè÷åñêèå ìåòîäû ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà ñèíõðîíèçàöèè
ïðåäñòàâëÿþò íåêîòîðûå íåóäîáñòâà.
Ïóñòü ñèñòåìàU X"( )� íàòÿíóòà íà S U" , ãäå S ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
äèàäó S x SC ( � ,
~
). Çäåñü � { }x xn n
N �0 — íàáëþäàåìûå ãåòåðîãåííûå äðîáíûå;
~
SC — àëãîðèòì òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè è óïðàâëåíèÿ ñèñòåìîé
äðîáíîãî ïîðÿäêà. Àêñèîìàòè÷åñêàÿ ïîääåðæêà ñèñòåìû S x SC U "( � ,
~
)
âîçìîæíà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà:
1) � ( || ||) / ( ),
,x R x x J ti j
m
i i j �� & � , x R m" , i j N, , ..., 1 [7, 8];
2) � ( )x J t" — äðîáíûå íàáëþäàåìûå ñ ïàìÿòüþ;
3) H E F E F( , ) ! � è F E! � — ôðàêòàëüíàÿ ìåòðèêà Õàóñäîðôà;
4) � � �d f ln — ñðåäíåå âðåìÿ âîçâðàòà Ïóàíêàðå, d f — ôðàêòàëü-
íàÿ ðàçìåðíîñòü [13];
5) AI — ôóíêöèÿ ãîòîâíîñòè îáúåêòà ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ.
Àëãîðèòì è ïðèìåð åãî ðåàëèçàöèè.
Ø à ã 1. Âûïîëíÿåì îïåðàöèþ ìîäåëèðîâàíèÿ ïî àëãîðèòìó âåäóùåé
è âåäîìîé ñèñòåì äðîáíîãî ïîðÿäêà [21].
Ø à ã 2. Ïîëó÷àåì äðîáíûå íàáëþäàåìûå � { }x x i n
N �� 0 è ~ { }y y i n
N �� 0.
Ø à ã 3. Ïðåäñòàâëÿåì âåäîìóþ äðîáíóþ íàáëþäàåìóþ â âèäå ~y
�� '{ }y i n
N
0 , ãäå � { }' '� �i n
N
0.
Ø à ã 4. Îòîáðàæàåì �x è � �y ' íà R x Ri j
m
i j
m
,
,
,
,: �
� �# , ( � � ) ,
,y Ri j
m #' � .
Ø à ã 5. Ïîëó÷àåì äèàãðàììû Ïóàíêàðå äðîáíîãî ïîðÿäêà � Dx� è
� 'D y( � � ) .
Ø à ã 6. Îïðåäåëÿåì ôðàêòàëüíûå ðàçìåðíîñòè äèàãðàìì Ïóàíêàðå
d f 1 è d f 2.
Ø à ã 7. Îïðåäåëÿåì âðåìåíà âîçâðàòà Ïóàíêàðå ïî ôîðìóëå � 1 2,
�d df f1 2( ) ln � .
Ø à ã 8. Îïðåäåëÿåì áëèçîñòü ïîëó÷åííûõ ôðàêòàëüíûõ ðàçìåðíîñ-
òåé d f 1 è d f 2 è ñîîòâåòñòâåííî � 1 è � 2, èñïîëüçóÿ ôðàêòàëüíóþ ìåòðèêó
Õàóñäîðôà [22].
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ
58 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4
Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Òåîðåìà 2 [22]. Ïóñòü E è F — êîìïàêòíûå ïîäìíîæåñòâà �
n , � �0. Ðàñ-
ñòîÿíèå Õàóñäîðôà H E F( , ) óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèÿì H E F( , ) � (�
( !E F �, F E! �, ãäå � �0— äîïóñòèìûé ïîðîã. Òîãäà òîïîëîãè÷åñêàÿ
ñèíõðîíèçàöèÿ âîçìîæíà, åñëè
� � �1 2( ) ( )x y! , � � �2 1( ) ( )y x! . (7)
 ñëó÷àå, åñëè ñîîòíîøåíèÿ (7) íå óäîâëåòâîðÿþòñÿ, ïðîâîäèòñÿ îáó-
÷åíèå âåäîìîé ñèñòåìû ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåëëåêòóàëüíîãî ñäâèãà ïî
êðèòåðèþ AI x y I
V
( � , � ) sup inf�
def
sem
, ãäå AI — îáëàñòü èíòåðåñîâ.
Äëÿ îïèñàíèÿ ãåîìåòðè÷åñêèõ è äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ àòòðàêòîðà
èñïîëüçóþò íîâóþ ôðàêòàëüíóþ ðàçìåðíîñòü Êàïëàíà— Éîðêå [16]:
D mkY
i
m
i
m
)
1
1
*
*| |
,
ãäå*i — ïîêàçàòåëè Ëÿïóíîâà; m — ðàçìåð ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Òîãäà
âûðàæåíèÿ (7) ïðèìóò âèä
� � �1 2( ( )) ( ( ))D x D ykY kY! , � � �2 1( ( )) ( ( ))D y D xkY kY! .
 ðàáîòå [11] óïîìÿíóòî, ÷òî âðåìåíà âîçâðàòà Ïóàíêàðå äëÿ õàîòè-
÷åñêèõ ñèñòåì îïðåäåëÿþòñÿ ïðè èçâåñòíîé ôðàêòàëüíîé ðàçìåðíîñòè
ïðîöåññà. Îäíàêî, ïðè íàëè÷èè ñïåêòðà âðåìåí âîçâðàòà ñîâåðøåííî î÷å-
âèäíî, ÷òî ñèñòåìà îáðàòèìà. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ýêâèâàëåíòíîñòü
ìåæäó ñïåêòðîì âðåìåí âîçâðàòà è ðàñïðåäåëåíèåì ïàìÿòè. Ïîýòîìó ïîòåðè
ïàìÿòè îïðåäåëÿþòñÿ ðàçíîñòüþ ìåæäó ãëîáàëüíîé è ëîêàëüíîé ôðàê-
òàëüíûìè ðàçìåðíîñòÿìè, ÷òî îçíà÷àåò ñîîòâåòñòâåííî îáðàòèìîñòü è
íåîáðàòèìîñòü ïðîöåññà (ñì. ðèñóíîê íà âêëåéêå).
Îòíîñèòåëüíî òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè è óïðàâëåíèÿ äðîáíûõ
ñèñòåì ñ ïàìÿòüþ àêòóàëüíîé ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìà ðåàëèçàöèè íåêîòîðîé
àäàïòèâíîé ñèñòåìû ïî êðèòåðèþ ìèíèìóìà ïîòåðü (ìèíèìóìà âðåìåíè
âîçâðàòà).
Îïðåäåëåíèå 5. Äâå ñèñòåìû òîïîëîãè÷åñêè óïðàâëÿåìû òîãäà è
òîëüêî òîãäà, êîãäà îíè òîïîëîãè÷åñêè ñèíõðîíèçèðîâàíû.
Ïðè ýòîì âàæåí òîò ôàêò, ÷òî ïðîöåññ ðåàëèçàöèè òàêîé ñèñòåìû
áóäåò ñîïðîâîæäàòüñÿ âèçóàëüíûì îòîáðàæåíèåì â òåðìèíàõ íåëèíåé-
íîãî ðåêóððåíòíîãî àíàëèçà [16].
Âîçâðàòû Ïóàíêàðå êàê êðèòåðèé òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 59
Âûâîäû
Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ñèíõðîíèçàöèè ñâÿçàííûõ õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì
äðîáíîãî ïîðÿäêà ðàññìîòðåíà â êîìïàêòíîì ìåòðè÷åñêîì ïðîñòðàíñòâå
Ïóàíêàðå. Âèçóàëèçàöèÿ âðåìåí âîçâðàòà Ïóàíêàðå â âèäå íåëèíåéíûõ
ðåêóððåíòíûõ äèàãðàìì ïîçâîëèò ïðèíèìàòü îáîñíîâàííûå ðåøåíèÿ â
çàäà÷àõ ïðîãíîçà è óïðàâëåíèÿ.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Òàðàñîâ Â.Å. Ìîäåëè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè ñ èíòåãðî-äèôôåðåíöèðîâàíèåì äðîá-
íîãî ïîðÿäêà. Àâòîðåô. äèñ. … ä-ðà ôèç.-ìàò. íàóê. — Ìîñêâà, 2011. — 31 ñ.
2. Tarasov V.E. The fractional oscillator as an open system// Central European Journal of Phys-
ics. — 2012. — 10 (2). — P. 382—389. DOI 10.2478/s11534-012-0008-0.
3. Tarasov V.E. Fractional Dynamics of Open Quantum Systems// Fractional Dynamics Non-
linear Physical Science.— 2010.— Vol. 0. — Ð. 467—490. DOI 10.1007/978-3-642-
14003-7_20.
4. Íèãìàòóëëèí Ð.Ð. Äðîáíûé èíòåãðàë// Òåîðåòè÷åñêàÿ è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. —
1992. — 90, ¹3.— Ñ. 354—367.
5. Ó÷àéêèí Â.Â. Äðîáíî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.— http://
www.rfbr.ru/rffi/ru/books/0_14704%20-%20p.14.
6. Âëàäèìèðñêèé Ý.È. Âðåìåíà âîçâðàùåíèÿ Ïóàíêàðå ïðè âçàèìîäåéñòâèè õàîòè÷åñêèõ
è ñòîõàñòè÷åñêèõ ñèñòåì // Âîñòî÷íî-Åâðîïåéñêèé æóðíàë ïåðåäîâûõ òåõíîëîãèé.—
2012. — 6/4 (60). — Ñ. 4—8.
7. Âëàäèìèðñêèé Ý.È., Èñìàéëîâ Á.È. Äðîáíàÿ ñòðóêòóðà «ïåðåìåøèâàíèå-òðàíñïîðò»
êàê îòêðûòàÿ ñèñòåìà// Òàì æå.— 2014. — 4/4 (70). — Ñ. 4—9.
8. Âëàäèìèðñêèé Ý.È., Èñìàéëîâ Á.È. Âèçóàëèçàöèÿ âðåìåí âîçâðàòà Ïóàíêàðå â îòêðû-
òûõ ñèñòåìàõ äðîáíîãî ïîðÿäêà// Ñá. ñòàòåé Ìåæäóí. ÍÏÊ «Íîâûå çàäà÷è òåõíè÷.
íàóê è ïóòè èõ ðåøåíèÿ» 1 ñåíòÿáðÿ 2014 ã, ã. Óôà. —Óôà: Àýòåðíà, 2014. — Ñ. 4—8.
9. Altman Eduardo G., Elton C. da Silva, Ibere L. Caldas Memory Effect on the Poincare Re-
currence Time Series. — arXiv: nlin/0304027v2 [nlin. CD] 2 Sep 2003. — P. 1—9.
10. Santhanam M.S., Holger Kantr Return interval distribution of extreme events and long term
memory.— arXiv: 0803.1706v1 [g-fin ST] 12 Mar. 2008. — Ð. 1—8.
11. Àôðàéìîâè÷ Â., Óãàëüäå Ý., Óðèàñ Õ. Ôðàêòàëüíûå ðàçìåðíîñòè äëÿ âðåìåí âîçâðà-
ùåíèÿ Ïóàíêàðå.— Ì.: Èæåâñê, ÍÈÖ «Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà», Èæåâñ-
êèé èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2011. — 292 ñ.
12. Àíèùåíêî Â.Ñ., Àñòàõîâ Ñ.Â. Òåîðèÿ âîçâðàòîâ Ïóàíêàðå è åå ïðèëîæåíèå ê çàäà÷àì
íåëèíåéíîé ôèçèêè// ÓÔÍ.— 2013. — 183, ¹10.— Ñ. 1009—1028. DOI: 10.3367/
UFNr.0183.201310a.1009.
13. Âëàäèìèðñêèé Ý.È., Èñìàéëîâ Á.È. Íåëèíåéíûé ðåêóððåíòíûé àíàëèç êàê ìàòåìà-
òè÷åñêàÿ ìîäåëü óïðàâëåíèÿ õàîòè÷åñêèìè ïðîöåññàìè // Èíôîðìàöèîííûå òåõíî-
ëîãèè. — 2011. — ¹5 (177). — Ñ. 42—45.
14. Îëåìñêîé À.È., Ôëàò À.ß. Èñïîëüçîâàíèå êîíöåïöèè ôðàêòàëà â ôèçèêå êîíäåíñèðî-
âàííîé ñðåäû.— ÓÔÍ.— 1993. — 163, ¹12. — Ñ. 1—49.
15. Ibedou Ismail, Takahisa Miyata The Theorem of Pontrjagin-Schnirelmann and approcsimate
sequences// New Zeeland Journal of Mathematics. — 2008. — Vol. 38. — P. 121— 128.
16. Âëàäèìèðñêèé Ý.È., Èñìàéëîâ Á.È. Ñèíåðãåòè÷åñêèå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ õàîòè÷åñ-
êèìè ñèñòåìàìè. — Áàêó: ELM, 2011. — 240 ñ.
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ
60 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4
17. Áóòêîâñêèé À.Ã., Ïîñòíîâ Ñ.Ñ., Ïîñòíîâà Å.À. Äðîáíîå èíòåãðîäèôôåðåíöèàëüíîå
èñ÷èñëåíèå è åãî ïðèëîæåíèÿ â òåîðèè óïðàâëåíèÿ. I. Ìàòåìàòè÷åñêèå îñíîâû è
ïðîáëåìà èíòåðïðåòàöèè// Àâòîìàòèêà è Òåëåìåõàíèêà.— 2013. —¹4.— C. 3—42.
18. Grigorenko I., Grigorenko E. Chaotic Dynamics of the Fractional Lorenz System// Physics
Review Letters. — 2003. — Vol. 91. — P. 1—4.
19. Matouk A.E. Chaos Synchronization between Two Different Fractional systems of Lorenz
Family// Mathematical Problems Engineering. — 2009. — 11 p. DOI :10.1155/2009/572—
724.
20. Ke-hui Sun, Jian Ren, Shui-sheng Qiu. Co-coupled synchronization of fractional-order uni-
fied chaotic systems. — arXiv: 0909.2410[nlin.CD], 2009. — 8 p.
21. Petras Ivo. Fractional-Order Nonlinear Systems. Modeling, Analysis and Simulation.—
Springer, 2011. — 218 p.
22. Êðîíîâåð Ð. Ôðàêòàëû è õàîñ â äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. — Ì. : Òåõíîñôåðà, 2008. —
488 ñ.
E.I. Vladimirskiy, B.I. Ismailov
POINCARE RECURRENCES AS A CRITERION OF TOPOLOGICAL
SYNCHRONIZATION AND CONTROL OF FRACTIONAL SYSTEMS
Statements of the synchronization and control problems for nonlinear physical systems of a frac-
tional order have been considered. The criterion of the problem realization is the concept of the
average time of Poincare recurrence. A generalized compact metrical space with Poincare
dimensionality ��� was proposed. The algorithm is provided for determination the memory
losses when training system.
K e y w o r d s: systems with memory, Poincare recurrences, fractality, fractionality, visualization.
REFERENCES
1. Tarasov, V.E. (2011), “Models of theoretical physics with integro-differentiation of frac-
tional order”, Abstract of Dr. Sci. (Phys.-Math.) dissertation, Moscow, Russia.
2. Tarasov, V.E. (2012), “The fractional oscillator as an open system”, Cent. Eur. Phys., Vol.
10, no. 2, pp. 382-389. DOI 10.2478/s11534-012-0008-0.
3. Tarasov, V.E. (2010), “Fractional Dynamics of Open Quantum Systems”, Fractional Dyna-
mics Nonlinear Physical Science, Vol. 0, pp. 467-490. DOI 10.1007/978-3-642-14003-7_20.
4. Nigmatullin, R.R. (1992), “Fractional integral”, Teoreticheskaya i matematicheskaya fizika,
Vol. 90, no. 3, pp. 354-367.
5. Uchaykin, V.V., “Fractional-differential model of dynamic system”, available at
www.rfbr.ru/rffi/ru/books/0_14704.
6. Vladimirskiy, E.I. (2012), “Times of Poincare recurrence under interaction of chaotic and
stochastic systems”, Vostochno-Evropeyskiy zhurnal peredovyh tehnologiy, no. 6/4 (60), pp. 4-8.
7. Vladimirskiy, E.I. and Ismaylov, B.I. (2014), “Fractional structure “mixing-transport” as the
open system”, Vostochno-Evropeyskiy zhurnal peredovyh tehnologiy, no. 4/4 (70), pp. 4-9.
8. Vladimirskiy, E.I. and Ismaylov, B.I. (2014), “Visualization of the Poincare recurrence
times in the open systems of fractional order”, Novye zadachi tehnicheskikh nauk i puti ikh
resheniya. Sb. statey Mezhdun. NPK [New tasks of technical sciences and the ways of its so-
lutions], Septemb.1, 2014, Aeterna, Ufa, Russia, pp. 4-8.
9. Altman, Eduardo G., Elton, C. da Silva and Ibere, L. Caldas (2003), “Memory Effect on the
Poincare Recurrence Time Series”, available at: arXiv: nlin/0304027v2 [nlin. CD] 2 Sep.
2003.
Âîçâðàòû Ïóàíêàðå êàê êðèòåðèé òîïîëîãè÷åñêîé ñèíõðîíèçàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 61
10. Santhanam, M.S. and Holger Kantr (2008), “Return interval distribution of extreme events
and long term memory”, available at: arXiv: 0803.1706v1 [g-fin ST] 12 Mar. 2008.
11. Afraymovich, V., Ugalde, E. and Urias, H. (2011), Fraktalnye razmernosti dlya vremen
vozvrascheniya Puankare [Fractal dimensions for Poincare recurrence times], NITs Regu-
lyarnaya i khaoticheskaya dinamika, Izhevskiy institut kompyuternyh issledovaniy, Mos-
cow-Izhevsk, Russia.
12. Anischenko, V.S. and Astakhov, S.V. (2013), “Theory of Poincare recurrences and its appli-
cation to the problems of nonlinear physics”, UFN, Vol. 183, no. 10, pp. 1009-1028. DOI:
10.3367/UFNr.0183.201310a.1009.
13. Vladimirskiy, E.I. and Ismaylov, B.I. (2011), “Nonlinear recurrent analysis as a mathema-
tical model of chaotic processes control”, Informacionnye tehnologii, Vol. 177, no. 5, pp. 42-45.
14. Olemskoy, A.I. and Flat, A.Ya. (1993), “Use of fractal conception in physics of condensed
medium”, UFN, Vol. 163, no. 12, pp.1-49.
15. Ibedou, Ismail and Takahisa, Miyata (2008), “The theorem of Pontrjagin-Schnirelmann and
approximate sequences”, New Zeeland Journal of Mathematics, Vol. 38, pp. 121-128.
16. Vladimirskiy, E.I. and Ismaylov, B.I. (2011), Sinergeticheskie metody upravleniya haoti-
cheskimi sistemami [Synergetic methods of control of chaotic systems], ELM, Baku,
Azerbaijan.
17. Butkovskiy, A.G., Postnov, S.S. and Postnova E.A. (2013), “Fractional integro-differential
calculus and its application in the control theory. I. Mathematical bases and interpretation
problem”, Avtomatika i Telemekhanika, no. 4, pp. 3-42.
18. Grigorenko, I. and Grigorenko, E. (2003), “Chaotic dynamics of the fractional Lorenz sys-
tem”, Phys.Rev.Let., Vol. 91, pp. 1-4.
19. Matouk, A.E. (2009), “Chaos synchronization between two different fractional systems of
Lorenz family”, Mathematical Problems Engineering . DOI : 10.1155/ 2009/ 572 724.
20. Ke-hui Sun, Jian Ren and Shui-sheng Qiu (2009), “Co-coupled synchronization of frac-
tional-order unified chaotic systems”, available at: arXiv: 0909.2410[nlin.CD].
21. Petras, Ivo (2011), Fractional-order nonlinear systems. Modeling, analysis and simulation,
Springer, USA.
22. Kronover, R. (2008), Fraktaly i haos v dinamicheskikh sistemakh [Fractals and chaos in dy-
namic systems], Tekhnosfera, Moscow Russia.
Ïîñòóïèëà 26.11.14
ÂËÀÄÈÌÈÐÑÊÈÉ Ýäóàðä Èîñèôîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñòàðøèé íàó÷. ñîòð. êàôåäðû «Èí-
ôîðìàöèîííî-èçìåðèòåëüíàÿ è êîìïüþòåðíàÿ òåõíèêà» Àçåðáàéäæàíñêîé ãîñóäàðñòâåííîé
íåôòÿíîé àêàäåìèè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñèíåðãåòèêà, òåîðèÿ õàîñà, ôèçèêà
äðîáíûõ ñèñòåì.
ÈÑÌÀÉËÎÂ Áàõðàì Èñðàôèë îãëû, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû «Èíôîðìàöèîííî-
èçìåðèòåëüíàÿ è êîìïüþòåðíàÿ òåõíèêà» Àçåðáàéäæàíñêîé ãîñóäàðñòâåííîé íåôòÿíîé àêà-
äåìèè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ñèíåðãåòèêà, òåîðèÿ õàîñà, ôèçèêà äðîáíûõ ñèñòåì.
Ý.È. Âëàäèìèðñêèé, Á.È. Èñìàéëîâ
62 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4
Ê ñòàòüå Ý.È. ÂËÀÄÈÌÈÐÑÊÎÃÎ, Á.È. ÈÑÌÀÉËÎÂÀ
Òîïîëîãè÷åñêàÿ ñèíõðîíèçàöèÿ ñâÿçàííûõ õàîòè÷åñêèõ ñèñòåì: à , á — äðîáíûå íàáëþ-
äàåìûå ñåìåéñòâà Lu — Chen; â, ã — äèàãðàììû Ïóàíêàðå; ä — ãðàôèêè ïîòåðè ïàìÿòè
ïðè ñèíõðîíèçàöèè; å — ñèíõðîíèçèðîâàííûå ñïåêòðû âðåìåí âîçâðàòà � �1 2,
|