Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями

Рассмотрена стационарная задача теплопроводности для изотропной бесконечной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, содержащей инородное включение и нагреваемой локально сосредоточенным на граничной поверхности тепловым потоком. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на гран...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2015
Main Author:	Гаврыш, В.И.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2015
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Применение методов и средств моделирования
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101145
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 109-118. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101145
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1011452025-02-23T17:44:39Z Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями Modeling of temperature conditions in non-homogeneous elements of electronic devices with through foreign inclusions Гаврыш, В.И. Применение методов и средств моделирования Рассмотрена стационарная задача теплопроводности для изотропной бесконечной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, содержащей инородное включение и нагреваемой локально сосредоточенным на граничной поверхности тепловым потоком. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения с использованием интегрального преобразования Фурье получено численноаналитическое решение краевой задачи. Выполнены числовые расчеты температурного поля для заданных геометрических и теплофизических параметров. Розглянуто стаціонарну задачу теплопровідності для ізотропної безмежної пластини з теплоізольованими лицевими поверхнями, яка містить чужерідне включення та нагрівається локально зосередженим на межовій поверхні тепловим потоком. Після кусково-лінійної апроксимації температури на краях включення із використанням інтегрального перетворення Фур’є отримано аналітично-числовий розв’язок крайової задачі. Виконано числові розрахунки температурного поля для заданих геометричних і теплофізичних параметрів. The paper considers a stationary heat conduction problem for isotropic infinite plate having heat-insulated faces, containing a foreign inclusion and being warmed by a heat flow locally concentrated on the boundary surface. After the piecewise-linear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and after the application of integral Fourier transform, an analytical-numerical solution of the input boundary-value problem is obtained. Numerical calculations of temperature field were conducted and analyzed for the preset geometrical and thermophysical parameters. 2015 Article Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 109-118. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101145 536.24 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования
spellingShingle	Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Гаврыш, В.И. Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями Электронное моделирование
description	Рассмотрена стационарная задача теплопроводности для изотропной бесконечной пластины с теплоизолированными лицевыми поверхностями, содержащей инородное включение и нагреваемой локально сосредоточенным на граничной поверхности тепловым потоком. После кусочно-линейной аппроксимации температуры на граничных поверхностях включения с использованием интегрального преобразования Фурье получено численноаналитическое решение краевой задачи. Выполнены числовые расчеты температурного поля для заданных геометрических и теплофизических параметров.
format	Article
author	Гаврыш, В.И.
author_facet	Гаврыш, В.И.
author_sort	Гаврыш, В.И.
title	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
title_short	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
title_full	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
title_fullStr	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
title_full_unstemmed	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
title_sort	моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2015
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101145
citation_txt	Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями / В.И. Гаврыш // Электронное моделирование. — 2015. — Т. 37, № 4. — С. 109-118. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT gavryšvi modelirovanietemperaturnyhrežimovvneodnorodnyhélementahélektronnyhustrojstvsoskvoznymiinorodnymivklûčeniâmi AT gavryšvi modelingoftemperatureconditionsinnonhomogeneouselementsofelectronicdeviceswiththroughforeigninclusions
first_indexed	2025-11-24T04:03:41Z
last_indexed	2025-11-24T04:03:41Z
_version_	1849642997303476224
fulltext	ÓÄÊ 536.24 Â.È. Ãàâðûø, ä-ð òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò “Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà”, (Óêðàèíà, 79013, Ëüâîâ, óë. Ñ. Áàíäåðû, 12, òåë. (032) 2582578, å-mail: ikni.pz@gmail.com) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â íåîäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ ñî ñêâîçíûìè èíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè Ðàññìîòðåíà ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ èçîòðîïíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñ- òèíû ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè, ñîäåðæàùåé èíîðîäíîå âêëþ÷å- íèå è íàãðåâàåìîé ëîêàëüíî ñîñðåäîòî÷åííûì íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè òåïëîâûì ïîòî- êîì. Ïîñëå êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè òåìïåðàòóðû íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ âêëþ÷åíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ïîëó÷åíî ÷èñëåííî- àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è. Âûïîëíåíû ÷èñëîâûå ðàñ÷åòû òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ äëÿ çàäàííûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ è òåïëîôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Ðîçãëÿíóòî ñòàö³îíàðíó çàäà÷ó òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ ³çîòðîïíî¿ áåçìåæíî¿ ïëàñòèíè ç òåïëî³çîëüîâàíèìè ëèöåâèìè ïîâåðõíÿìè, ÿêà ì³ñòèòü ÷óæåð³äíå âêëþ÷åííÿ òà íàãð³âàºòüñÿ ëîêàëüíî çîñåðåäæåíèì íà ìåæîâ³é ïîâåðõí³ òåïëîâèì ïîòîêîì. Ï³ñëÿ êóñêîâî-ë³í³éíî¿ àïðîêñèìàö³¿ òåìïåðàòóðè íà êðàÿõ âêëþ÷åííÿ ³ç âèêîðèñòàííÿì ³íòåãðàëüíîãî ïåðåòâîðåííÿ Ôóð’º îòðèìàíî àíàë³òè÷íî-÷èñëîâèé ðîçâ’ÿçîê êðàéîâî¿ çàäà÷³. Âèêîíàíî ÷èñëîâ³ ðîçðàõóí- êè òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ äëÿ çàäàíèõ ãåîìåòðè÷íèõ ³ òåïëîô³çè÷íèõ ïàðàìåòð³â. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: òåìïåðàòóðà, òåïëîïðîâîäíîñòü, ñòàöèîíàðíàÿ çàäà÷à, èçîò- ðîïíàÿ ïëàñòèíà, èíîðîäíîå ñêâîçíîå âêëþ÷åíèå, èäåàëüíûé òåïëîâîé êîíòàêò, òåïëî- âîé ïîòîê. Îò ýôôåêòèâíîñòè ïðîöåññîâ òåïëî- è ìàññîîáìåíà çàâèñèò òåìïåðàòóð- íûé ðåæèì îêðóæàþùåé ñðåäû è æèëûõ ïîìåùåíèé, à òàêæå ðàáî÷èå ïðîöåññû â ðàçëè÷íûõ òåõíîëîãè÷åñêèõ óñòàíîâêàõ. Ïîýòîìó â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ òåîðèÿ òåïëîîáìåíà èíòåíñèâíî ðàçâèâàëàñü â ñâÿçè ñ ïîòðåá- íîñòÿìè òåïëîýíåðãåòèêè, àòîìíîé ýíåðãåòèêè, êîñìîíàâòèêè è äð. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ðàçðàáàòûâàþòñÿ ñïîñîáû òåïëîâîé çàùèòû âûñî- êîñêîðîñòíûõ ëåòàòåëüíûõ óñòàíîâîê, â òîì ÷èñëå êîñìè÷åñêèõ ìíîãî- ðàçîâîãî äåéñòâèÿ, â àêòèâíûõ çîíàõ ðåàêòîðîâ, â ìàãíèòîãèäðîäèíàìè- ÷åñêèõ ãåíåðàòîðàõ (óñòàíîâêàõ äëÿ ïðÿìîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ òåïëîòû â ýëåêòðè÷åñêóþ ýíåðãèþ), â ãàçîòóðáèííûõ óñòàíîâêàõ. Èññëåäóþòñÿ ïðî- ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 109 � Â.È. Ãàâðûø, 2015 öåññû òåïëîîáìåíà ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, â ÷àñòíîñòè â óñòàíîâêàõ ñ èñïîëüçîâàíèåì ýôôåêòà ñâåðõïðîâîäèìîñòè, íàïðèìåð â ìàãíèòàõ, ñîç- äàþùèõ çíà÷èòåëüíûå ïîëÿ. Ïðîäîëæàþòñÿ ðàáîòû ïî ñîçäàíèþ êðèîõè- ðóðãè÷åñêèõ èíñòðóìåíòîâ äëÿ îïåðàöèé ñ áûñòðûì çàìîðàæèâàíèåì îò- äåëüíûõ ó÷àñòêîâ òêàíè. Ïðîãðåññ â ýòîé îáëàñòè â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè ñâÿçàí ñ ïðàâèëüíîé îðãàíèçàöèåé ïðîöåññîâ òåïëîîáìåíà êàê â ñàìîì èíñò- ðóìåíòå, òàê è â òêàíè. Ïðîâîäÿòñÿ ðàáîòû ïî ñîçäàíèþ óñòàíîâîê äëÿ ñóáëèìàöèîííîé ñóøêè ïðîäóêòîâ ïèòàíèÿ, óñïåøíàÿ ðàçðàáîòêà êîòîðûõ çàâèñèò îò ïðàâèëüíîé îðãàíèçàöèè ïðîöåññîâ ñóáëèìàöèè è äåñóáëèìàöèè. Ñîâåðøåíñòâóþòñÿ ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïðîöåññîâ òåïëîîáìåíà íà Çåìëå è â åå àòìîñôåðå, â ÷àñòíîñòè ïðîãíîçèðîâàíèÿ ïîãîäû. Çàïðîñû ðàçëè÷íûõ îòðàñëåé ïðîìûøëåííîñòè ñòèìóëèðóþò óñòîé- ÷èâîå è áûñòðîå ðàçâèòèå èññëåäîâàíèé â îáëàñòè òåïëîîáìåíà. Íàèìåíåå èññëåäîâàíû äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè òåïëîîáìåíà â ñëîæíûõ ýëåêòðîííûõ ñèñòåìàõ ñ ó÷åòîì êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû êîíñòðóêöèîííûõ ýëåìåíòîâ è èõ òåðìî÷óâñòâèòåëüíîñòè â îïðåäåëåííûõ èíòåðâàëàõ òåìïåðàòóð, ÷òî âëèÿåò íà òî÷íîñòü ðàñ÷åòà òåìïåðàòóðíûõ ïîëåé è ýôôåêòèâíîñòü ìåòîäîâ ïðîåêòèðîâàíèÿ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ. Îïðåäåëåíèå òåïëîâîãî ñîñòîÿíèÿ êàê îäíîðîäíûõ òàê è íåîäíîðîä- íûõ êîíñòðóêöèé ïðèâëåêàåò âíèìàíèå ìíîãèõ èññëåäîâàòåëåé [1—6]. Â [7] ðàçðàáîòàíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü êâàçèñòàöèîíàðíîãî òåìïåðàòóð- íîãî ïîëÿ ñïëîøíîãî öèëèíäðà âðàùåíèÿ èç êîìïîçèòíîãî ìàòåðèàëà ñ íåëèíåéíûìè êðàåâûìè óñëîâèÿìè, â êîòîðûõ ó÷òåíà çàâèñèìîñòü òåïëî- ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê ìàòåðèàëîâ îò òåìïåðàòóðû. Ïîëó÷åííûå àíà- ëèòè÷åñêèå âûðàæåíèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðíûõ ïîëåé ïîçâîëÿþò ïîäîáðàòü ñîñòàâ êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ äëÿ äåòàëåé öèëèíäðè÷åñêîãî òèïà ñ öåëüþ óâåëè÷åíèÿ ñðîêà èõ ýêñïëóàòàöèè. Ðàññìîòðåíû îäíîìåð- íûå (ïëîñêàÿ, öèëèíäðè÷åñêè-ñèììåòðè÷íàÿ è ñôåðè÷åñêè-ñèììåòðè÷- íàÿ) íåëèíåéíûå çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ çàäàííîãî ïîòîêà òåïëà â íà÷àëå êîîðäèíàò â âèäå ñòåïåííîé ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè. Ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ çàäà÷ è ïðîàíàëè- çèðîâàíà èõ ñõîäèìîñòü [8]. Ïîñòðîåíî àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè íà îñíîâå èíòåãðàëüíîãî ìåòîäà òåïëîâîãî áàëàíñà [9]. Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ðåøåíèÿ òåìïåðàòóðíàÿ ôóíêöèÿ àïïðîêñè- ìèðóåòñÿ ïîëèíîìàìè âûñîêèõ ñòåïåíåé. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ïîëèíîìîâ ââåäåíû äîïîëíèòåëüíûå êðàåâûå óñëîâèÿ. Ïîêàçàíî, ÷òî ââå- äåíèå äîïîëíèòåëüíûõ êðàåâûõ óñëîâèé óæå âî âòîðîì ïðèáëèæåíèè ïðèâî- äèò ê çíà÷èòåëüíîìó ïîâûøåíèþ òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è. Â ðàáîòå [10] ïîñòðîåíî ÷èñëåííî-àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåñòàöèî- íàðíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ïîëîãî øàðà, òåïëîôèçè÷åñêèå õà- Â.È. Ãàâðûø 110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 ðàêòåðèñòèêè ìàòåðèàëà êîòîðîãî ìåíÿþòñÿ ñ èçìåíåíèåì òåìïåðàòóðû. Â ÷àñòíîì ñëó÷àå ïîëó÷åíî ðåøåíèå äëÿ ñïëîøíîãî øàðà. Íà îñíîâå âàðèà- öèîííîãî ïîäõîäà ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîé íå- ëèíåéíîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ äâóìåðíîé ñðåäû ñ òîíêèì âêëþ- ÷åíèåì, ïîçâîëÿþùàÿ ó÷åñòü ìàëóþ òîëùèíó òîíêîãî âêëþ÷åíèÿ. Äëÿ ëèíåàðèçàöèè ñôîðìóëèðîâàííîé çàäà÷è ïðèìåíåí ìåòîä Íüþòîíà— Ðàôñîíà. Äèñêðåòèçàöèÿ ïî âðåìåííîé ïåðåìåííîé âûïîëíåíà ñîãëàñíî ñõåìå ïðîìåæóòî÷íîé òî÷êè. Âàðèàöèîííàÿ ôîðìóëèðîâêà çàäà÷è ïðèâåäåíà â ôîðìå ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà [11]. Ðàáîòû [12—14] ïîñâÿùåíû ðàç- âèòèþ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ñòàöèîíàðíûõ íåëèíåéíûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ êîíñòðóêöèé äâóìåðíîé êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü. Ðàññìîòðèì èçîòðîï- íóþ îòíîñèòåëüíî òåïëîôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ áåñêîíå÷íóþ ïëàñòèíó øèðèíû 2l ñ òåïëîèçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè \| \|z ��, â êîòîðîé ñîäåðæèòñÿ èíîðîäíîå ñêâîçíîå âêëþ÷åíèå îáúåìà 8hl�, îò- íåñåííóþ ê äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò (Oxyz) ñ íà- ÷àëîì â öåíòðå âêëþ÷åíèÿ. Íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ âêëþ÷åíèÿ L h� � � � � �{( , , ) :\| \| , \| \| }h y z y l z � âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ èäåàëüíîãî òåïëîâîãî êîíòàêòà, ãðàíè÷íàÿ ïîâåðõíîñòü K x z x z� � � �{( , ) :\| \| , \| \| }� ïëàñòèíû òåï- ëîèçîëèðîâàíà, à íà äðóãîé åå ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè â ïðÿìîóãîëüíèêå {( , ) :\| \| , \| \| }x z x h z� � � ñîñðåäîòî÷åí òåïëîâîé ïîòîê c ïîâåðõíîñòíîé ïëîò- íîñòüþ q0 �const (ðèñ. 1). Ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû t x y( , ) â ïðèâåäåííîé ñèñòåìå ïîëó÷èì, ðåøèâ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè [15, 16] � � x x t x x t y ( ) ( )� � � �� 2 2 0 (1) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â íåîäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 111 Ðèñ. 1. Ñå÷åíèå èçîòðîïíîé áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ èíîðîäíûì ñêâîçíûì âêëþ÷åíèåì ïëîñêîñòüþ z � 0 ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè t tx\|\| \|� � c, t x x\| \|� � 0, t y y l� � 0, t y q S h x y l�� 0 ( \| \|) , (2) ãäå �( )x — êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè íåîäíîðîäíîé ïëàñòèíû, � � � �( ) ( ) ( \| \|)x S h x� � � ��1 0 1 ; (3) �1 è� 0 — êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè ìàòåðèàëîâ ïëàñòèíû è âêëþ- ÷åíèÿ; tc — òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåé ñðåäû; S �( )� — àñèììåòðè÷íûå åäèíè÷íûå ôóíêöèè [17], S � � � � � � � � � � ( ) , , , , , , , . � � � � 1 0 0 5 05 0 0 0 � Ââåäåì ôóíêöèþ T x�� ( ) (4) è ïðîäèôôåðåíöèðóåì åå ïî ïåðåìåííîé x ñ ó÷åòîì êîýôôèöèåíòà òåïëî- ïðîâîäíîñòè � ( )x (3). Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì � � � � � � � � � �( ) ( )[ ( ) ( )]x x T x x h x hx h x h� � � � � �� 0 1 . (5) Çäåñü � � �t tc — èçáûòî÷íàÿ òåìïåðàòóðà; � � � � � ��( ) ( )dS d — àñèììåòðè÷- íûå äåëüòà-ôóíêöèè Äèðàêà [17]. Ïîäñòàâëÿÿ âûðàæåíèå (5) â ñîîòíî- øåíèå (1), ïðèõîäèì ê äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ â ÷àñòíûõ ïðîèç- âîäíûõ ñ ñèíãóëÿðíûìè êîýôôèöèåíòàìè �T x h x hx h x h� � � � � �� ( )[ ( ) ( )] ,� � � � � � � �0 1 0 (6) ãäå � — îïåðàòîð Ëàïëàñà â äåêàðòîâîé ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìå êîîð- äèíàò, � � � 2 2 2 2x y . Èòàê, èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå â ðàññìîòðåííîé ñèñòåìå ïîë- íîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ èç (6) ïðè ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ (2). Ðåøåíèå êðàåâîé çàäà÷è. Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ �( , )�h y (ðèñ. 2) âûðàæåíèåì � � � �( , ) ( ) ( )� � � � �� h y S y y j n j j j1 1 1 1 , (7) Â.È. Ãàâðûø 112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 ãäå � �y l lj � ; ; y y yn1 2 1� � � �... ; � j � ( , )j n�1 — íåèçâåñòíûå àïïðîêñè- ìèðóþùèå çíà÷åíèÿ èçáûòî÷íîé òåìïåðàòóðû. Ïîäñòàâèâ (7) â óðàâíåíèå (6), ïîëó÷èì �T S y y j n j j j� � � � � � � � � � � � � !� � � � � � ��( ) ( ) ( )� � � � �0 1 1 1 1 1 �� ( )x h � � � � � � � � � ! � " # $ � � � � � � � �� 1 1 1 1 j n j j jS y y x h( ) ( ) ( ) . (8) Ïðèìåíèâ èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ïî êîîðäèíàòå x ê óðàâíåíèþ (8) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (2) ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (4), ïðè- õîäèì ê îáûêíîâåííîìó äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè d T dy T i e Si h j n j j 2 2 0 1 1 1 1 1 2 �%& � � � �� % ' � � � � �%( ) ( ) ( )y y j� � � � � � � � � � � � � � � � � � � " # $ � � � � � � � ��e S y yi h j n j j j % � � �1 1 1 1( ) ( ) . (9) è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì dT dy y l� �0, dT dy q h y l�� 2 0 ' % %sin , (10) Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â íåîäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 113 � �( , )h y 0 y y y y1 2 1n� � � � 1 2 � Ðèñ. 2. Àïïðîêñèìàöèÿ ôóíêöèè � ( , )�h y ãäå T — òðàíñôîðìàíòà ôóíêöèè, T e Tdi x� � � ( 1 2' %% ; % — ïàðàìåòð èíòå- ãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå; i � �1— ìíèìàÿ åäèíèöà. Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (9) íàéäåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà âàðèàöèè ïîñòîÿííûõ â âèäå T C e C ey y� � �� 1 2 % % � � � � � �� i e ch y yi h j n j j j % ' � � � � � %% 2 10 1 1 1 1 1( ) ( )( ( )) ( )S y y j� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��e ch y y S y yi h j n j j j j % � � � %1 1 1 1 1( )( ( )) ( )� � � � " # $ , ãäå C C1 2, — ïîñòîÿííûå èíòåãðèðîâàíèÿ. Èñïîëüçîâàâ ãðàíè÷íûå óñëî- âèÿ (10), ïîëó÷èì ÷àñòè÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è (9), (10): T i e ch y li h j n j j� � � � � � �� % ' � � � � � %% 2 0 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) sh l sh l y j 2% %) * + � � � � � � � � � , - . � �� ( ( )) ( )1 ch y y S y yj j% � � � � � �) * +� � � � � ��e ch y l sh l shi h j n j j % � � � % % %1 1 1 1 2 ( ) ( ) (l y j� �) � � � � , - . � �� " # $ � � �( ( )) ( ) ( ) 1 2 2 0 2 ch y y S y y q ch y l sh j j% ' % % %l hsin% . (11) Ïðèìåíèâ îáðàòíîå èíòåãðàëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ê ñîîòíîøåíèþ (11), ïîëó÷èì T x t x h( , ) {( ) sin ( )� � � /� � ( 1 1 0 0 1 ' % � � % / � ) * ++ � �) * + �� % % %1 1 1 1 2j n j j ch l y sh l sh l y( ) ( ) ( j j jch y y S y y) ( ( ) ( ))� � � , - . � , - .��1 % � � � ) * ++ � �)� � � � � ��sin ( ) ( ) ( ) % � � � % % x h ch l y sh lj n j j1 1 1 1 2* + � �sh l y j% ( ) � � � � , - . � �� ( ( )) ( )) cos sin ( 1 2 0ch y y S y y q x h ch y j j% % % % % l sh l d ) 2% %" # $ . (12) Â.È. Ãàâðûø 114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 Íåèçâåñòíûå àïïðîêñèìèðóþùèå çíà÷åíèÿ � j � ( , )j n�1 èçáûòî÷íîé òåìïå- ðàòóðû íàõîäèì, ðåøèâ ñèñòåìó 2n ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïîëó÷åííóþ èç (12). Èòàê, èñêîìîå òåìïåðàòóðíîå ïîëå â áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíå ñ òåïëî- èçîëèðîâàííûìè ëèöåâûìè ïîâåðõíîñòÿìè ñî ñêâîçíûì âêëþ÷åíèåì, íà- ãðåâàåìîé ëîêàëüíî ñîñðåäîòî÷åííûì íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè òåïëî- âûì ïîòîêîì, îïèñûâàåò ôîðìóëà (12), èç êîòîðîé ïîëó÷àåì çíà÷åíèå òåìïåðàòóðû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ïëàñòèíû. Àíàëèç ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ âûïîëíåí ïðè áåçðàçìåðíîé èçáûòî÷íîé òåìïåðàòóðå T q h* / ( )� � �0 0 äëÿ ñëåäóþùèõ èñõîäíûõ äàí- íûõ: ìàòåðèàë ñëîÿ — êðåìíèé 0�1 67� /W m K/ ( )), ìàòåðèàë âêëþ÷å- íèÿ — ñåðåáðî 0� 0 419� /W m K/ ( )), n � 10— ÷èñëî ðàçáèåíèé èíòåðâàëà ] : [� l l ; L l h� �/ 1. Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò X x h� / è Y y h� / . Êàê âèäèì, òåìïåðàòóðà äîñòèãàåò ìàêñèìó- Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â íåîäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 115 Ðèñ. 3. Çàâèñèìîñòü áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíûõ êîîðäèíàò X è Y X = 0 X = 2 Y T * 2 � �1 2 12 1 0 3 4 Ðèñ. 4. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè áåçðàçìåðíîé òåìïåðàòóðû T* îò áåçðàçìåðíîé êîîðäèíàòû Y ìà â îáëàñòè äåéñòâèÿ ëîêàëüíî ñîñðåäîòî÷åííîãî òåïëîâîãî ïîòîêà, à íà ãðàíè÷íûõ ïîâåðõíîñòÿõ âêëþ÷åíèÿ íàáëþäàåòñÿ âûïîëíåíèå óñëîâèé èäåàëüíîãî òåïëîâîãî êîíòàêòà (îòñóòñòâóåò ñêà÷îê òåìïåðàòóðû), ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ðàññìàòðèâàåìîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè. Íà ðèñ. 4 ïðåäñòàâëåíû êðèâûå èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû T* â çàâèñè- ìîñòè îò êîîðäèíàòû Y ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ X. Êàê âèäíî èç ðèñ. 4, òåìïåðàòóðà èçìåíÿåòñÿ ëèíåéíî â ïëàñòèíå âíå âêëþ÷åíèÿ (X �2) è ïðàê- òè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé. Â îáëàñòè âêëþ÷åíèÿ (X �0) îíà èçìåíÿåòñÿ ïî êðèâîé ê åãî öåíòðó, à â äàëüíåéøåì — ïðàêòè÷åñêè ñòàíîâèòñÿ ïîñ- òîÿííîé. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ñîîòâåòñòâóþò ïðåäëîæåííîé ìàòåìàòè- ÷åñêîé ìîäåëè. ×èñëî ðàçáèåíèé n �10 èíòåðâàëà ] : [� l l äëÿ óêàçàííûõ êîýôôèöèåíòîâ òåïëîïðîâîäíîñòè (ìàòåðèàëîâ ïëàñòèíû è âêëþ÷åíèÿ) è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (øèðèíû ïëàñòèíû è äëèíû âêëþ÷åíèÿ) êîíñòðóêöèè ïîçâîëÿåò âûïîëíèòü âû÷èñëåíèÿ ñ òî÷íîñòüþ 3 � �10 6. Âûâîäû Ïîëó÷åííîå ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëüíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå ÷èñëåííî- àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå (12) ãðàíè÷íîé çàäà÷è òåïëîïðîâîäíîñòè (1), (2) ïîçâîëÿåò â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå ðàññìàòðèâàåìîé ñòðóêòóðû âû÷èñëÿòü çíà- ÷åíèÿ òåìïåðàòóðû íà îñíîâå ðàçðàáîòàííîãî àëãîðèòìà è ïðîãðàììíûõ ñðåäñòâ, ïðîãíîçèðîâàòü ðåæèìû ðàáîòû îòäåëüíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîííûõ óñòðîéñòâ è èäåíòèôèöèðîâàòü íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, ÷òî ñïîñîáñòâóåò ïîâûøåíèþ òåðìîïðî÷íîñòè è óâåëè÷èâàåò ñðîê èõ ýêñïëóàòàöèè. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Carpinteri A., Paggi M. Thermoelastic mismatch in nonhomogeneous beams // J. Eng. Math. — 2008. — Vol. 61, No 2—4. — P. 371—384. 2. Noda N. Thermal stresses in materials with temperature-dependent properties // Appl. Mech. Rev. — 1991. — Vol. 44. — P. 383—397. 3. Otao Y., Tanigawa O., Ishimaru O. Optimization of material composition of functionality graded plate for thermal stress relaxation using a genetic algorithm // J. Therm. Stresses. — 2000. — Vol. 23. — P. 257—271. 4. Tanigawa Y., Akai T., Kawamura R. Transient heat conduction and thermal stress problems of a nonhomogeneous plate with temperature-dependent material properties // Ibid. — 1996. — Vol. 19, No 1. — P. 77—102. 5. Tanigawa Y., Otao Y. Transient thermoelastic analysis of functionally graded plate with tem- perature-dependent material properties taking into account the thermal radiation // Nihon Kikai Gakkai Nenji Taikai Koen Ronbunshu. — 2002. — Vol. 2. — P. 133—134. 6. Yangian Xu, Daihui Tu. Analysis of steady thermal stress in a ZrO2/FGM/Ti-6Al-4V com- posite ECBF plate with temperature-dependent material properties by NFEM //2009-WASE Int. Conf. on Informa. Eng. Vol. 2 —2. — P. 433—436. 7. Ãîëèöûíà Å.Â., Îñèïîâ Þ.Ð. Êâàçèñòàöèîíàðíàÿ òðåõìåðíàÿ çàäà÷à òåïëîïðîâîä- íîñòè âî âðàùàþùåìñÿ ñïëîøíîì öèëèíäðå èç êîìïîçèöèîííîãî ìàòåðèàëà ñ íåëè- íåéíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè// Êîíñòðóêöèè èç êîìïîçèöèîííûõ ìàòåðèàëîâ. — 2007. — ¹ 4. — C. 47—58. Â.È. Ãàâðûø 116 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4 8. Êóäðÿøîâ Í.À., ×ìûõîâ Ì.À. Ïðèáëèæåííûå ðåøåíèÿ ïåðâîé è âòîðîé êðàåâûõ çàäà÷ íåëèíåéíîé òåïëîïðîâîäíîñòè íà ïîëóáåñêîíå÷íîé ïðÿìîé // Èíæåíåðíàÿ ôèçèêà. — 2007. — ¹ 3. — Ñ. 12—15. 9. Kudinov V.A., Averin B.V., Stefanyuk E.V., Nazarenko S.A. Analysis of nonlinear heat con- duction based on determining the front of temperature perturbation // High Temperature. — 2006. — Vol. 44, No 4. — P. 574—583. 10. Ïîïîâè÷ Â.Ñ., ²âàíê³â Ê.Ñ. Íåë³í³éíà çàäà÷à òåïëîïðîâ³äíîñò³ äëÿ êóë³ ç òåïëîîáì³íîì // Â³ñí. Ëüâ³âñüêîãî óí-òó. Ñåð. Ïðèêë. ìàòåìàòèêà òà ³íôîðìàòèêà. — 2002. — ¹ 5. — Ñ. 136—144. 11. Ñàâóëà ß.Ã., Äÿêîíþê Ë.Ì. Äîñë³äæåííÿ âàð³àö³éíî¿ çàäà÷³ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ó áà- ãàòîøàðîâèõ ñåðåäîâèùàõ ç òîíêèìè âêëþ÷åííÿìè // Â³ñí. ËÍÓ ³ì. ². Ôðàíêà, Ñåð. ïðèêë. ìàòåì. òà ³íôîðìàò. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 125—130. 12. Havrysh V.I., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a piecewise homogeneous with foreign inclusion // Materials Science. — 2012. — Vol. 47, No 6. — P. 773—782. 13. Havrysh V.I., Fedasyuk D.V., Kosach A.I. Boundary-value problem of heat conduction for a layer with foreign cylindrical inclusion // Material Science. — 2011. — Vol. 46, No 5. — P. 702—708. 14. Ãàâðèø Â.²., Ôåäàñþê Ä.Â. Ìîäåëþâàííÿ òåìïåðàòóðíèõ ðåæèì³â ó êóñêîâî-îäíîð³ä- íèõ ñòðóêòóðàõ. — Ëüâ³â : Â-âî Íàö. óí-òó «Ëüâ³âñüêà ïîë³òåõí³êà», 2012. — 176 ñ. 15. Êîëÿíî Þ.Ì. Ìåòîäû òåïëîïðîâîäíîñòè è òåðìîóïðóãîñòè íåîäíîðîäíîãî òåëà. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1992. — 280 ñ. 16. Ïîäñòðèãà÷ ß.Ñ., Ëîìàêèí Â.À., Êîëÿíî Þ.Ì. Òåðìîóïðóãîñòü òåë íåîäíîðîäíîé ñòðóêòóðû. — Ì. : Íàóêà, 1984. — 368 ñ. 17. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 720 ñ. V.I. Havrysh MODELING OF TEMPERATURE CONDITIONS IN NON-HOMOGENEOUS ELEMENTS OF ELECTRONIC DEVICES WITH THROUGH FOREIGN INCLUSIONS The paper considers a stationary heat conduction problem for isotropic infinite plate having heat-insulated faces, containing a foreign inclusion and being warmed by a heat flow locally con- centrated on the boundary surface. After the piecewise-linear approximation of the temperature on the boundary surfaces of the inclusion and after the application of integral Fourier transform, an analytical-numerical solution of the input boundary-value problem is obtained. Numerical cal- culations of temperature field were conducted and analyzed for the preset geometrical and thermophysical parameters. K e y w o r d s: temperature, thermal conductivity, steady-state problem, isotropic plate, through foreign inclusions, perfect thermal contact, heat flow. REFERENCES 1. Carpinteri, A. and Paggi, M. (2008), “Thermoelastic mismatch in nonhomogeneous beams”, J. Eng. Math., Vol. 61, no. 2-4, pp. 371-384. 2. Noda, N. (1991), “Thermal stresses in materials with temperature-dependent properties”, Appl. Mech. Rev., Vol. 44, pp. 383-397. 3. Otao, Y., Tanigawa, O. and Ishimaru, O. (2000), “Optimization of material composition of functionality graded plate for thermal stress relaxation using a genetic algorithm”, J. Therm. Stresses, Vol. 23, pp. 257-271. Ìîäåëèðîâàíèå òåìïåðàòóðíûõ ðåæèìîâ â íåîäíîðîäíûõ ýëåìåíòàõ ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2015. Ò. 37. ¹ 4 117 4. Tanigawa, Y., Akai, T. and Kawamura, R. (1996), “Transient heat conduction and thermal stress problems of a nonhomogeneous plate with temperature-dependent material proper- ties”, J. Therm. Stresses, Vol. 19, no. 1, pp. 77-102. 5. Tanigawa, Y. and Otao, Y. (2002), “Transient thermoelastic analysis of functionally graded plate with temperature-dependent material properties taking into account the thermal radia- tion”, Nihon Kikai Gakkai Nenji Taikai Koen Ronbunshu, Vol. 2, pp. 133-134. 6. Yangian, Xu. and Daihui, Tu. (2009), “Analysis of steady thermal stress in a ZrO2/FGM/Ti- 6Al-4V composite ECBF plate with temperature-dependent material properties by NFEM”, 2009-WASE Int. Conf. on Inform. Eng., Vol. 2-2, pp. 433-436. 7. Golitsyna, E.V. and Osipov, Yu.P. (2007), “Quasi-stationary three-dimensional heat con- duction problem in a rotatable continuous cylinder of composition material with nonlinear boundary conditions”, Kînstruktsii iz kompozitsionnykh materialov , no. 4, pp. 47-58. 8. Kudryashov, N.A. and Chmykhov, M.A. (2007), “Approximate solutions of the first and second boundary value problems of nonlineat heat conduction on semi-infinite line”, Inzhenernaya fizika, no. 3, pp. 12-15. 9. Kudinov, V.A., Averin, B.V., Stefanyuk, E.V. and Nazarenko, S.A. (2006), “Analysis of nonlinear heat conduction based on determining the front of temperature perturbation”, High Temperature, Vol. 44, no. 4, pp. 4-83. 10. Popovych, V.S. and Ivankiv, K.S. (2002), “Nonlinear heat conduction problem for a sphere with heat exchange”, Visnyk Lvivskoho un-tu, Ser. Prykladna matematyka ta informatyka, no. 5, pp. 136-144. 11. Savula, Ya.G. and Dyakonyuk, L.M. (2000) “Study of variation heat conduction problem in multilayer media with fine inclusions”, Visnyk Lvivskoho un-tu, Ser. Prykladna matematyka ta informatyka, no. 3, pp. 125-130. 12. Havrysh, V.I. and Kosach, A.I. (2012), “Boundary-value problem of heat conduction for a piecewise homogeneous with foreign inclusion”, Material Science, Vol. 47, no 6, pp. 773- 782. 13. Havrysh, V.I., Fedasyuk, D.V. and Kosach, A.I. (2011) “Boundary-value problem of heat conduction for a layer with foreign cylindrical inclusion”, Material Science, Vol. 46, no 5, pp. 702-708. 14. Havrysh, V.I. and Fedasyuk, D.V. (2012), Modelyuvannya temperaturnykh rezhymiv u kuskovo-odnoridnykh strukturakh [Modeling of temperature conditions in piecewise-homo- geneous structures], Vydavnytstvo Nat. Un-tu “Lvivska politekhnika”, Lviv, Ukraine. 15. Kolyano, Yu.M. (1992), Metody teploprovodnosti I termouprugosti neodnorodnogo tela [Methods of heat conduction and thermoelasticity of inhomogeneous body], Naukova dumka, Kiev, Ukraine. 16. Podstrigach, Ya.S., Lomakin, V.A. and Kolyano, Yu.M. (1984), Termouprugost tel neodno- rodnoi struktury [Thermoelasticity of bodies with inhomogeneous structure], Nauka, Mos- cow, Russia. 17. Korn, G. and Korn, T. (1977), Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Reference book for scientific workers and engineers], Nauka, Moscow, Russia. Ïîñòóïèëà 26.12.14 ÃÀÂÐÛØ Âàñèëèé Èâàíîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, äîöåíò, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà «Ëüâîâñêàÿ ïîëèòåõíèêà». Â 1982 ã. îêîí÷èë Ëüâîâñêèé îðäåíà Ëåíèíà ãîñóäàðñòâåííûé óíè- âåðñèòåò èì. È. Ôðàíêî. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå ïðîöåññîâ òåïëî- ïðîâîäíîñòè â òåëàõ êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñòðóêòóðû è ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåé- íûõ è íåëèíåéíûõ ãðàíè÷íûõ çàäà÷ òåïëîïðîâîäíîñòè. Â.È. Ãàâðûø 118 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2015. V. 37. ¹ 4

Моделирование температурных режимов в неоднородных элементах электронных устройств со сквозными инородными включениями

Institution

Similar Items