Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь
Дослiджується задача для квазiлiнiйного елiптичного рiвняння другого порядку, заданого в цилiндрi з твiрними, паралельними осi t, де t - часова змiнна, яка пробiгає промiжок (−∞, T ]. Крайова умова на бiчнiй поверхнi цилiндра має вигляд нелiнiйного еволюцiйного рiвняння, що мiстить похiднi шуканої ф...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10117 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь / М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 1-19. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-10117 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Бокало, М.М. Дмитришин, Ю.Б. 2010-07-23T14:30:56Z 2010-07-23T14:30:56Z 2007 Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь / М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 1-19. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. 0236-0497 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10117 Дослiджується задача для квазiлiнiйного елiптичного рiвняння другого порядку, заданого в цилiндрi з твiрними, паралельними осi t, де t - часова змiнна, яка пробiгає промiжок (−∞, T ]. Крайова умова на бiчнiй поверхнi цилiндра має вигляд нелiнiйного еволюцiйного рiвняння, що мiстить похiднi шуканої функцiї за часовою i просторовими змiнними першого порядку. Доводиться iснування єдиного розв’язку та його неперервна залежнiсть вiд вихiдних даних при вiдсутностi умов на зростання вихiдних даних i поведiнку розв’язку при t → −∞. uk Інститут прикладної математики і механіки НАН України Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь Nonlinear dynamical non-initial boundary-value problems for quasilinear elliptic equations Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| spellingShingle |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь Бокало, М.М. Дмитришин, Ю.Б. |
| title_short |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| title_full |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| title_fullStr |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| title_full_unstemmed |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| title_sort |
нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь |
| author |
Бокало, М.М. Дмитришин, Ю.Б. |
| author_facet |
Бокало, М.М. Дмитришин, Ю.Б. |
| publishDate |
2007 |
| language |
Ukrainian |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Nonlinear dynamical non-initial boundary-value problems for quasilinear elliptic equations |
| description |
Дослiджується задача для квазiлiнiйного елiптичного рiвняння другого порядку, заданого в цилiндрi з твiрними, паралельними осi t, де t - часова змiнна, яка пробiгає промiжок (−∞, T ]. Крайова умова на бiчнiй поверхнi цилiндра має вигляд нелiнiйного еволюцiйного рiвняння, що мiстить похiднi шуканої функцiї за часовою i просторовими змiнними першого порядку. Доводиться iснування єдиного розв’язку та його неперервна залежнiсть вiд вихiдних даних при вiдсутностi умов на зростання вихiдних даних i поведiнку розв’язку при t → −∞.
|
| issn |
0236-0497 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/10117 |
| citation_txt |
Нелінійна динамічна крайова задача без початкової умови для квазілінійних еліптичних рівнянь / М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин // Нелинейные граничные задачи. — 2007. — Т. 17. — С. 1-19. — Бібліогр.: 21 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT bokalomm nelíníinadinamíčnakraiovazadačabezpočatkovoíumovidlâkvazílíníinihelíptičnihrívnânʹ AT dmitrišinûb nelíníinadinamíčnakraiovazadačabezpočatkovoíumovidlâkvazílíníinihelíptičnihrívnânʹ AT bokalomm nonlineardynamicalnoninitialboundaryvalueproblemsforquasilinearellipticequations AT dmitrišinûb nonlineardynamicalnoninitialboundaryvalueproblemsforquasilinearellipticequations |
| first_indexed |
2025-11-26T17:35:39Z |
| last_indexed |
2025-11-26T17:35:39Z |
| _version_ |
1850765802401169408 |
| fulltext |
Нелинейные граничные задачи 17, 1-19 (2007) 1
c©2007. М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
НЕЛIНIЙНА ДИНАМIЧНА КРАЙОВА ЗАДАЧА
БЕЗ ПОЧАТКОВОЇ УМОВИ ДЛЯ КВАЗIЛIНIЙНИХ
ЕЛIПТИЧНИХ РIВНЯНЬ
Дослiджується задача для квазiлiнiйного елiптичного рiвняння другого
порядку, заданого в цилiндрi з твiрними, паралельними осi t, де t — часова
змiнна, яка пробiгає промiжок (−∞, T ]. Крайова умова на бiчнiй поверхнi
цилiндра має вигляд нелiнiйного еволюцiйного рiвняння, що мiстить похiд-
нi шуканої функцiї за часовою i просторовими змiнними першого порядку.
Доводиться iснування єдиного розв’язку та його неперервна залежнiсть вiд
вихiдних даних при вiдсутностi умов на зростання вихiдних даних i поведiн-
ку розв’язку при t → −∞.
Ключовi слова: динамiчна крайова задача, динамiчна крайова умова,
квазiлiнiйне елiптичне рiвняння
MSC (2000): 35B30, 35J25, 35J60
Вступ.
Задачi такого типу, якi розглядаються у данiй роботi, вини-
кають при описi багатьох процесiв фiзики i хiмiї [1]-[4]. Модель-
ним прикладом таких задач є вiдшукання функцiї u(x, t), (x, t) ∈
Ω× (T0, T ) (Ω — область в R
n, Γ = ∂Ω, −∞ 6 T0 < T 6 +∞), яка
задовольняє спiввiдношення
△xu = 0, (x, t) ∈ Ω × (T0, T ), (1)
∂u
∂t
+
∂u
∂ν
= f, (x, t) ∈ Γ × (T0, T ), (2)
u
∣∣
Γ
→ u0 при t→ T0, (3)
де △x = ∂2
∂x2
1
+ . . .+ ∂2
∂x2
n
— лапласiан, ∂
∂ν
=
n∑
i=1
νi
∂
∂xi
— символ дифе-
ренцiювання за нормаллю. Узагальнення задачi (1)-(3) у випадку
T0 > −∞ дослiджувалися багатьма авторами [4]-[15]. У роботах
[4]-[7] вивчалася задача
△xu = f(x, t, u,∇u) в Ω × (0, T ), (4)
2 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
∂u
∂t
+
∂u
∂ν
= g(x, t, u) на Γ × (0, T ), (5)
з початковою умовою (3), де T0 = 0, а у роботi [8], поряд з рiв-
нянням (4) i умовою (3) розглядалося рiвняння, яке вiдрiзняється
вiд (5) тим, що замiсть ∂u
∂t
стоїть |∂u
∂t
|m−2 ∂u
∂t
, m > 1. Подiбна за-
дача розглядалася i в [9]. Узагальнення ж задачi (4), (5), (3) на
випадок, коли в головнiй частинi рiвняння типу (4) замiсть опе-
ратора Лапласа стоїть деякий лiнiйний елiптичний оператор, а в
умовi типу (5) замiсть похiдної по нормалi — похiдна по конор-
малi, дослiджувалися в [10]-[13] та iнших роботах. Зокрема, у [11]
розглядався випадок, коли замiсть (4) стоїть параболiчне рiвнян-
ня, а в [12] — коли крайова умова виконується на частинi межi.
Вивчалися такого типу задачi i для квазiлiнiйних рiвнянь, зокре-
ма, в роботi [13], коли рiвняння та динамiчна крайова умова —
еволюцiйнi та лiнiйнi щодо похiдних за просторовими змiнними.
Крiм того, вiдмiтимо, що задачi з динамiчними крайовими умова-
ми у пiвпросторi дослiджувалися в [14] i [15]. У [16] i [17] доведено
iснування та єдинiсть розв’язку задачi типу (1)-(3) з квазiлiнiй-
ним елiптичним рiвнянням замiсть (1) i нелiнiйною динамiчною
умовою замiсть (2) при T0 = 0. У данiй роботi ми розглядаємо
подiбну ситуацiю, але при T0 = −∞ i за вiдсутностi умови ти-
пу (3), тобто, узагальнення задачi (1), (2) з часовим промiжком
(−∞, T ]. Такi задачi виникають, коли початковий момент достат-
ньо вiддалений вiд актуального i початковi умови не впливають
на проходження процесу в даний час.
Вiдмiтимо, що розв’язками задачi (1), (2) при T0 = −∞, f = 0
є будь-яка стала функцiя. Отже, для коректностi цiєї задачi по-
трiбно покласти умову типу (3). Ми ж розглядаємо випадок, коли
за рахунок сильної нелiнiйностi для коректностi нашої задачi не
потрiбно умов на поведiнку розв’язку i зростання вихiдних да-
них (наприклад, функцiї f в аналозi рiвняння (2)) при t → −∞.
Доводимо iснування єдиного розв’язку дослiджуваної задачi та
його неперервну залежнiсть.
Нехай n — натуральне число; Rn — евклiдiв простiр, елемен-
тами якого є впорядкованi набори x = (x1, . . . , xn) з n дiйсних
чисел, зi скалярним добутком (x, y) =
n∑
i=1
xiyi i нормою |x| =
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 3
( n∑
i=1
x2
i
)1/2
; Ω — обмежена область в R
n з межею Γ класу C2
(припускається, що Ω локально лежить по одну сторону вiд Γ);
ν = (ν1, . . . , νn) — одиничний вектор зовнiшньої до Γ нормалi;
T > 0 — дiйсне число.
Нехай p ∈ (1; +∞), а p′ — таке, що 1
p
+ 1
p′
= 1. Через W 1
p (Ω)
позначимо простiр Соболєва, який складається з функцiй про-
стору Lp(Ω), що мають узагальненi похiднi першого порядку з
Lp(Ω), з нормою ‖w‖W 1
p (Ω) =
(∫
Ω
( n∑
i=1
|vxi
|p + |v|p
)
dx
)1/p
, а
◦
W 1
p (Ω)
— пiдпростiр простору W 1
p (Ω), елементи якого мають рiвний ну-
лю слiд на Γ. Пiд W
1/p′
p (Γ) розумiтимемо простiр функцiй з Lp(Γ),
якi мають дробовi похiднi порядку 1/p′ з Lp(Γ) (див., наприклад,
[3], [18]), а W
−1/p′
p′ (Γ) — спряжений до W
1/p′
p (Γ) простiр. Вiдомо,
що простiр W
1/p′
p (Γ) можна ототожнити з простором слiдiв на Γ
функцiй з W 1
p (Ω). Через 〈· , ·〉
Γ
позначимо канонiчний добуток
на W
−1/p′
p′ (Γ) ×W
1/p′
p (Γ).
1. Допомiжнi поняття i твердження.
Нехай P
def
={p ∈ R : p > 1}. Позначимо для p ∈ P через Ap
множину, що складається з впорядкованих наборiв з n + 1 дiйс-
нозначних функцiй, визначених на Ω×R×Rn, будь-який елемент
a = (a0, a1, . . . , an) якої задовольняє умови:
1) для кожного i ∈ {0, . . . , n} функцiя ai є каратеодорiвською,
тобто для майже всiх (м.в.) x ∈ Ω функцiя ai(x, ·, ·) : R ×
Rn → R — неперервна i для всiх s ∈ R, ξ ∈ Rn функцiя
ai(·, s, ξ) : Ω → R — вимiрна;
2) для м. в. x ∈ Ω i довiльних s ∈ R, ξ ∈ R
n
|ai(x, s, ξ)| 6 A(|s|p−1 + |ξ|p−1) + qa(x), i = 0, n,
де A = const > 0, qa ∈ Lp′(Ω);
3) iснують стала K1 > 0 i функцiя ha > 0 з L1(Ω) такi, що для
4 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
м. в. x ∈ Ω
n∑
i=1
ai(x, s, ξ)ξi+
+a0(x, s, ξ)s > K1
(
|s|p + |ξ|p
)
− ha(x) ∀s ∈ R, ξ ∈ Rn;
4) для м. в. x ∈ Ω i будь-яких s, s′ ∈ R, ξ, ξ′ ∈ Rn, s 6= s′ або
ξ 6= ξ′, маємо
n∑
i=1
(
ai(x, s, ξ) − ai(x, s
′, ξ′)
)
(ξi − ξ′i)+
+
(
a0(x, s, ξ) − a0(x, s
′, ξ′)
)
(s− s′) > 0.
Нехай P∗ = {p ∈ P : p > 2} i для кожного p ∈ P∗ позначимо
через A∗
p пiдмножину множини Ap, складену з елементiв a ∈
Ap, якi задовольняють умову:
5) iснують сталi K2 > 0, K3 > 0 такi, що для майже всiх x ∈ Ω
n∑
i=1
(
ai(x, s, ξ)−ai(x, r, η)
)
(ξi − ηi)+
(
a0(x, s, ξ)−a0(x, r, η)
)
(s− r) >
> K2
(
|s− r|p + |ξ − η|p
)
∀s, r ∈ R, ξ, η ∈ R
n.
Зауваження 1. Прикладом елемента множини A∗
p є набiр функ-
цiй a0(x, s, ξ) = |s|p−2s, ak(x, s, ξ) = |ξk|
p−2ξk, k =1, n.
Вiдомо [3], [18], що для довiльного p ∈ P i будь-якої функцiї
v ∈W 1
p (Ω) iснує її слiд v
∣∣
Γ
на Γ та v
∣∣
Γ
∈W
1/p′
p (Γ) i, навпаки, для
довiльної функцiї ϕ ∈W
1/p′
p (Γ) знайдеться (i не одна) функцiя v ∈
W 1
p (Ω) така, що v
∣∣
Γ
= ϕ. Крiм того (див., наприклад, [19]), iснує
лiнiйний неперервний оператор R : W
1/p′
p (Γ) → W 1
p (Ω) такий, що
R(ϕ)
∣∣
Γ
= ϕ.
Нехай p ∈ P i a = (a0, a1, . . . , an) — який-небудь елемент мно-
жини Ap. Визначимо форму ga(· , ·) : W 1
p (Ω) × W 1
p (Ω) → R за
правилом
ga(v, w)=
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, v,∇v)wxi
+a0(x, v,∇v)w
}
dx, v, w∈W 1
p (Ω). (6)
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 5
Покладемо Va
def
=
{
v ∈ W 1
p (Ω) : ga(v, w) = 0 ∀w ∈
◦
W 1
p (Ω)
}
.
Очевидно, що елементами простору Va є не що iнше, як узагаль-
ненi розв’язки з W 1
p (Ω) рiвняння
−
n∑
i=1
d
dxi
ai(x, v,∇v) + a0(x, v,∇v) = 0, x ∈ Ω. (7)
З результатiв [20] легко отримати таке твердження.
Твердження 1. Нехай a ∈ Ap, де p ∈ P. Тодi для будь-якого ϕ ∈
W
1/p′
p (Γ) iснує єдина функцiя v ∈ Va така, що v
∣∣
Γ
= ϕ, i, навпаки,
для кожної функцiї v ∈ Va її слiд v
∣∣
Γ
належить W
1/p′
p (Γ).
З цього твердження випливає, що мiж просторами W
1/p′
p (Γ)
i Va iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть. Позначимо через Ja
оператор, який реалiзує цю вiдповiднiсть, тобто оператор
Ja : W 1/p′
p (Γ) → Va
такий, що для кожного w ∈W
1/p′
p (Γ)
Ja(w)
def
=v,
де v належить до Va i задовольняє граничну умову
v
∣∣
Γ
= w, (8)
тобто, v — узагальнений розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння
(7) з граничною умовою (8).
На пiдставi твердження 1 оператор Ja визначений коректно
i є бiєктивним вiдображенням W
1/p′
p (Γ) на Va.
Лема 1. Нехай a ∈ Ap, де p ∈ P. Тодi iснують сталi Ca > 0,
C̃a > 0 такi, що
∥∥Ja(w)
∥∥
W 1
p (Ω)
6 Ca
∥∥w
∥∥
W
1/p′
p (Γ)
+ C̃a ∀w ∈W 1/p′
p (Γ). (9)
Доведення. Нехай w ∈ W
1/p′
p (Γ), v = Ja(w). Покладемо ṽ =
R(w). З означення оператора Ja маємо
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, v,∇v)(v − ṽ)xi
+ a0(x, v,∇v)(v − ṽ)
}
dx = 0,
6 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
звiдки
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, v,∇v)vxi
+ a0(x, v,∇v)v
}
dx =
=
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai(x, v,∇v)ṽxi
+ a0(x, v,∇v)ṽ
}
dx. (10)
З (10), на пiдставi умов 2), 3) i нерiвностi Гельдера, здобу-
ваємо
K1
∥∥v
∥∥p
W 1
p (Ω)
−
∥∥ha
∥∥
L1(Ω)
6 C1
(∥∥v
∥∥p−1
W 1
p (Ω)
+
∥∥qa
∥∥
Lp′(Ω)
)
·
∥∥ṽ
∥∥
W 1
p (Ω)
,
де C1 — деяка додатна стала.
Звiдси, використовуючи нерiвнiсть Юнга, отримаємо
K1
∥∥v
∥∥p
W 1
p (Ω)
−
∥∥ha
∥∥
L1(Ω)
6
6 ε
∥∥v
∥∥p
W 1
p (Ω)
+ C2(ε)
∥∥qa
∥∥p′
Lp′ (Ω)
+ C3(ε)
∥∥ṽ
∥∥p
W 1
p (Ω)
,
(11)
де ε > 0 — довiльне число, C2(ε), C3(ε) > 0 — сталi, що залежить
вiд ε, 1
p
+ 1
p′
= 1.
З (11), вибравши значення ε досить малим i врахувавши те,
що
∥∥ṽ
∥∥
W 1
p (Ω)
6
∥∥R
∥∥ ·
∥∥w
∥∥
W
1/p′
p (Γ)
, здобудемо (9). 2
Лема 2. Нехай a ∈ A∗
p, де p ∈ P∗. Тодi iснують сталi Ca,1 > 0,
Ca,2 > 0 такi, що правильна нерiвнiсть
∥∥Ja(w1) − Ja(w2)
∥∥
W 1
p (Ω)
6
6 Ca,1
(∥∥w1
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
+
∥∥w2
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
+ Ca,2
)(p−1)/p2
×
×
∥∥w1 − w2
∥∥1/p
W
1/p′
p (Γ)
∀w1, w2 ∈W 1/p′
p (Γ). (12)
Доведення. Нехай w1, w2 ∈ W
1/p′
p (Γ). Покладемо v1
def
=Ja(w1),
v2
def
=Ja(w2).
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 7
З означення оператора Ja маємо для довiльної ϕ̃ ∈
◦
W 1
p (Ω)
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ai(x, v1,∇v1) − ai(x, v2,∇v2)
)
ϕ̃xi
+
+
(
a0(x, v1,∇v1) − a0(x, v2,∇v2)
)
ϕ̃
}
dx = 0. (13)
Нехай ṽ1 = R(w1), ṽ2 = R(w2). Покладемо в (13) ϕ̃ = (v1 −
v2) − (ṽ1 − ṽ2).
, пiсля простих перетворень, отримаємо
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ai(x, v1,∇v1) − ai(x, v2,∇v2)
)
(v1,xi
− v2,xi
)+
+
(
a0(x, v1,∇v1) − a0(x, v2,∇v2)
)
(v1 − v2)
}
dx =
=
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ai(x, v1,∇v1) − ai(x, v2,∇v2)
)
(ṽ1,xi
− ṽ2,xi
)+
+
(
a0(x, v1,∇v1) − a0(x, v2,∇v2)
)
(ṽ1 − ṽ2)
}
dx.
(14)
Оцiнюючи вiдповiдним чином лiву i праву частину (14) на
пiдставi умов 2), 5), та використовуючи нерiвнiсть Гельдера, здо-
будемо
K2
∫
Ω
{
|v1 − v2|
p + |∇v1 −∇v2|
p
}
dx 6
6
∫
Ω
{(
A
(
|v1|
p−1+|v2|
p−1+|∇v1|
p−1+|∇v2|
p−1
)
+2|qa(x)|
)
×
×
( n∑
i=1
∣∣ṽ1,xi
− ṽ2,xi
∣∣ +
∣∣ṽ1 − ṽ2
∣∣
)}
dx 6
6 C4
(∥∥v1
∥∥p
W 1
p (Ω)
+
∥∥v2
∥∥p
W 1
p (Ω)
+
∥∥qa(x)
∥∥p′
Lp′ (Ω)
)
1/p′
∥∥ṽ1−ṽ2
∥∥
W 1
p (Ω)
,
(15)
де C4 — деяка додатна стала, яка не залежна вiд v1, v2, ṽ1, ṽ2.
8 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
З (15), пiсля простих перетворень, матимемо
∥∥v1 − v2
∥∥p
W 1
p (Ω)
6
6 C5
(∥∥v1
∥∥p
W 1
p (Ω)
+
∥∥v2
∥∥p
W 1
p (Ω)
+
∥∥qa(x)
∥∥p′
Lp′ (Ω)
)1/p′∥∥ṽ1 − ṽ2
∥∥
W 1
p (Ω)
,
де C5 > 0 — деяка стала.
Звiдси та з леми i того, що оператор R є лiнiйним та непе-
рервним, здобудемо (12). 2
Вiдмiтимо, що для довiльного елемента v ∈ Va i будь-яких
w, w̃ ∈W 1
p (Ω) таких, що w− w̃ ∈
◦
W 1
p (Ω) (тобто w
∣∣
Γ
= w̃
∣∣
Γ
) маємо
ga(v, w) = ga(v, w̃), оскiльки ga(v, w− w̃) = 0. Звiдси випливає, що
для довiльного v ∈ Va функцiонал
W 1/p′
p (Γ) ∋ ϕ→ ga(v, ϕ̃) ∈ R, де ϕ̃ ∈W 1
p (Ω), ϕ̃
∣∣
Γ
= ϕ
(
зокрема, ϕ̃ = R(ϕ)
)
, є коректно визначеним.
Легко показати, що цей функцiонал лiнiйний. Доведемо, що
вiн неперервний. Справдi, з означення (див. (6)) та властивостей
форми ga i оператора R, використовуючи нерiвнiсть Гельдера,
маємо
|ga(v, ϕ̃)| = |ga(v, R(ϕ))| 6
6
(∫
Ω
n∑
i=0
∣∣ai(x, v,∇v)
∣∣p′ dx
)1/p′∥∥R(ϕ)
∥∥
W 1
p (Ω)
6
6
∥∥R
∥∥
(∫
Ω
n∑
i=0
∣∣ai(x, v,∇v)
∣∣p′ dx
)1/p′∥∥ϕ
∥∥
W
1/p′
p (Γ)
, ∀ϕ∈W
1/p′
p (Γ).
(16)
Звiдси випливає неперервнiсть даного функцiоналу.
Отож, можна визначити оператор Ga : Va → W
−1/p′
p′ (Γ) за
правилом: для будь-якого v ∈ Va значення Ga(v) таке, що
〈Ga(v), ϕ〉 = ga(v, ϕ̃) ∀ ϕ ∈ W 1/p′
p (Γ), ϕ̃ ∈W 1
p (Ω), ϕ̃
∣∣
Γ
= ϕ. (17)
Згiдно з (16) i (17) на пiдставi умови 2) маємо
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 9
∥∥Ga(v)
∥∥
W
−1/p′
p′
(Γ)
6
∥∥R
∥∥
(∫
Ω
n∑
i=0
∣∣ai(x, v,∇v)
∣∣p′ dx
)1/p′
6
6 (n+ 1)1/p′
∥∥R
∥∥ ∥∥A
(
|v|p−1 + |∇v|p−1
)
+ qa
∥∥
Lp′(Ω)
6
6 C6
(∥∥v
∥∥p−1
W 1
p (Ω)
+
∥∥qa
∥∥
Lp′(Ω)
)
,
(18)
де C6 > 0 — стала, яка вiд v не залежить.
Зауваження 2. Якщо ai
(
·, v(·),∇v(·)
)
∈ W 1
p′(Ω) ∩ C(Ω), i = 1, n,
для деякого v ∈ Va, то
Ga
(
v
)
(x) =
n∑
i=1
ai
(
x, v(x),∇v(x)
)
cos
(
ν(x), xi
)
, x ∈ Γ, (19)
тобто, Ga(v) є похiдною v по конормалi. Справдi, з (6) i (17),
використовуючи формулу Грiна, маємо
〈
Ga(v), ϕ
〉
=
∫
Ω
{ n∑
i=1
ai
(
x, v(x),∇v(x)
)
ϕ̃xi
(x)+
+a0
(
x, v(x),∇v(x)
)
ϕ̃(x)
}
dx =
=
∫
Γ
n∑
i=1
ai
(
x, v(x),∇v(x)
)
· cos
(
ν(x), xi
)
· ϕ(x) dΓ+
+
∫
Ω
{
−
n∑
i=1
d
dxi
ai
(
x, v(x),∇v(x)
)
+
+a0
(
x, v(x),∇v(x)
)}
ϕ̃(x) dx.
(20)
Оскiльки v ∈ Va, то (див. (7)) з (20) в силу довiльностi ϕ ∈
W
1/p′
p (Γ) маємо (19).
Пiд Bp, де p ∈ P, розумiтимемо множину функцiй, будь-який
елемент b якої визначений на Γ × R, приймає значення в R та
задовольняє умови:
10 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
6) функцiя b є каратеодорiвською, тобто для м.в. (в сенсi (n−
1)-вимiрної мiри) x ∈ Γ функцiя b(x, ·) : R → R є непере-
рвною i для будь-якого ξ ∈ R функцiя b(·, ξ) : Γ → R —
вимiрна;
7) для м. в. x ∈ Γ i довiльних s ∈ R
|b(x, s)| 6 B|s|p−1 + qb(x),
де B = const > 0, qb ∈ Lp′(Γ);
8) iснують стала K4 > 0 та функцiя hb > 0 з L1(Γ) такi, що
для м. в. x ∈ Γ
b(x, s)s > K4|s|
p − hb(x) ∀s ∈ R;
9) для м. в. x ∈ Γ i будь-яких s, s′ ∈ R
(
b(x, s) − b(x, s′)
)
(s− s′) > 0.
Нехай b — який-небудь елемент простору Bp. Для кожного
ϕ ∈ W
1/p′
p (Γ) визначимо оператор Bb : W
1/p′
p (Γ) → W
−1/p′
p′ (Γ) за
правилом:
〈
Bb(ϕ), ψ
〉
=
∫
Γ
b(x, ϕ)ψ dΓ ∀ψ ∈W 1/p′
p (Γ). (21)
2. Формулювання задачi i основного резуль-
тату.
Введемо ще деякi позначення. Пiд Lq,loc
(
(−∞, T ];X
)
, де X —
банахiв простiр, q ∈ [1,+∞), T ∈ R, розумiтимемо простiр визна-
чених на (−∞, T ) зi значеннями в X функцiй, звуження яких
на будь-який скiнченний iнтервал (t1, t2) ⊂ (−∞, T ) належить
Lq
(
t1, t2;X
)
.
Покладемо
• Fp
def
=Lp′, loc
(
(−∞, T ]; W
−1/p′
p′ (Γ)
)
;
• Up
def
=
{
u : u ∈ Lp, loc
(
(−∞, T ]; W 1
p (Ω)
)
, u
∣∣
Γ
∈ C
(
(−∞, T ];L2(Γ)
)}
;
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 11
• Vp
def
=
{
v : v ∈ Lp, loc
(
(−∞, T ]; W
1/p′
p (Γ)
)
∩ C
(
(−∞, T ];L2(Γ)
)
,
vt ∈ Lp′, loc
(
(−∞, T ]; W
−1/p′
p′ (Γ)
)
, supp v ⊂ (−∞, T ) — компакт
}
.
Сформулюємо задачу, яку будемо дослiджувати. Нехай P̃ ⊂
P i для кожного p ∈ P̃ маємо деякi пiдмножини D̃p, Ũp вiдповiдно
множин Dp
def
=Ap × Bp × Fp та Up.
Задача
DP(D̃p, Ũp : p ∈ P̃)
(a dynamical problem) полягає в такому: для кожних (a, b, f) ∈ D̃p
знайти множину
SDP(a, b, f)
(a set of solutions of the dynamical problem) елементiв u з Ũp таких,
що
• u(· , t) ∈ Va для м. в. t ∈ (−∞, T );
•
T∫
−∞
{
−
〈
vt, u
∣∣
Γ
〉
Γ
+
〈
Ga(u)+Bb(u
∣∣
Γ
)−f, v
〉
Γ
}
dt = 0 для довiльних
v ∈ Vp.
Скажемо, що задача DP(D̃p, Ũp : p ∈ P̃) однозначна (розв’язна,
однозначно розв’язна), якщо для кожних (a, b, f) ∈ D̃p множина
SDP(a, b, f) має не бiльше одного елемента (не порожня, скла-
дається тiльки з одного елемента).
Задача DP(D̃p, Ũp : p ∈ P̃) називається коректною, якщо D̃p,
Ũp є просторами зi збiжнiстю i ця задача однозначно розв’язна та
для будь-якого елемента (a, b, f) класу D̃p i довiльної послiдовно-
стi
{
(ak, bk, fk)
}∞
k=1
елементiв D̃p такої, що
(ak, bk, fk)
k→∞
−→ (a, b, f) в D̃p,
маємо
uk
k→∞
−→ u в Ũp,
де u ∈SDP(a, b, f), uk ∈ SDP(ak, bk, fk), k ∈ N.
Покладемо D∗
p
def
=A∗
p×Bp×Fp. Скажемо, що послiдовнiсть еле-
ментiв з D∗
p збiжна, якщо збiжнi послiдовностi їх компонент вiд-
повiдно в A∗
p, Bp та Fp. Збiжнiсть послiдовностей в просторi Fp
12 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
визначається стандартно. Пояснимо, що означає збiжнiсть послi-
довностей в просторах A
∗
p та Bp.
Скажемо, що послiдовнiсть
{
ak
}∞
k=1
збiжна до a в A∗
p, якщо
елементи ak (k ∈ N) i елемент a задовольняють умову 5) з одними
i тими ж сталими K2 i K3, а також
lim
k→∞
ess sup
x∈Ω
sup
(s,ξ)∈Rn+1
n∑
i=1
∣∣ak
i (x, s, ξ) − ai(x, s, ξ)
∣∣
|s|p−1 + |ξ|p−1 + 1
= 0.
Послiдовнiсть
{
bk
}∞
k=1
збiгається до b в Bp, якщо для елементiв
bk (k ∈ N) i елемента b виконується рiвнiсть
lim
k→∞
ess sup
x∈Γ
sup
s∈R
∣∣bk(x, s) − b(x, s)
∣∣
|s|p−1 + 1
= 0.
Теорема 1. Задача DP(D∗
p,Up : p ∈ P
∗) — коректна.
Доведення. Нехай p ∈ P∗ i (a, b, f) ∈ D∗
p. Зведемо задачу на вiд-
шукання множини SDP(a, b, f) до знаходження розв’язкiв задачi
без початкової умови для деякого операторного диференцiально-
го рiвняння.
Визначимо оператор Aa,b : W
1/p′
p (Γ) →W
−1/p′
p′ (Γ) за правилом
Aa,b
def
=Ga ◦ Ja +Bb. (22)
Розглянемо задачу : знайти функцiю
w ∈ Lp, loc
(
(−∞, T ]; W 1/p′
p (Γ)
)
∩ C
(
(−∞, T ];L2(Γ)
)
,
яка задовольняє рiвняння
w′ + Aa,bw = f в D′
(
(−∞, T );W
−1/p′
p′ (Γ)
)
. (23)
Вiдзначимо, що в (23) оператор Aa,b дiє на функцiї з
Lp, loc
(
(−∞, T ]; W 1/p′
p (Γ)
)
i приймає значення в Lp′, loc
(
(−∞, T ]; W
−1/p′
p′ (Γ)
)
. Цю задачу далi
коротко називатимемо задачею (23), а функцiю w — її розв’язком.
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 13
Легко переконатися, використовуючи лему 2 та лему 4.1 гла-
ви III монографiї [16], що коли w(x, t), (x, t) ∈ Ω × (0;T ), —
розв’язок задачi (23), то функцiя
u(x, t)
def
=
(
Jaw
)
(x, t), (x, t) ∈ Ω × (−∞, T ),
належить SDP(a, b, f).
Доведемо iснування єдиного розв’язку задачi (23), викори-
ставши теореми 3.1 i 3.2 роботи [21]. Для цього покажемо, що
оператор Aa,b : W
1/p′
p (Γ) → W
−1/p′
p′ (Γ) є рiвномiрно монотонним,
коерцитивним, обмеженим i семiнеперервним.
Зауважимо, що згiдно з [18] для довiльної функцiї w̃ ∈W 1
p (Ω)
такої, що w = w̃
∣∣
Γ
, правильною є така нерiвнiсть
∥∥w̃
∥∥
W 1
p (Ω)
> C7
∥∥w
∥∥
W
1/p′
p (Γ)
, (24)
де C7 > 0 — деяка стала, яка не залежить вiд w̃ .
Доведемо спочатку, що оператор Aa,b — рiвномiрно монотон-
ний. Нехай w1, w2 ∈ W
1/p′
p (Γ). На пiдставi (6), (17), (21), (24) i
умов 5) та 9) маємо
〈
Aa,bw1 − Aa,bw2, w1 − w2
〉
Γ
=
=
〈
Ga
(
Jaw1
)
−Ga
(
Jaw2
)
, w1 − w2
〉
Γ
+
+
〈
Bbw1 − Bbw2, w1 − w2
〉
Γ
=
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ai(x, Jaw1,∇Jaw1)−
−ai(x, Jaw2,∇Jaw2)
)(
Jaw1 − Jaw2
)
xi
+
+
(
a0(x, Jaw1,∇Jaw1) − a0(x, Jaw2,∇Jaw2)
)
×
×
(
Jaw1 − Jaw2
)}
dx+
∫
Γ
(
b(x, w1) − b(x, w2)
)
(w1 − w2) dΓ >
> C8
∥∥Jaw1 − Jaw2
∥∥p
W 1
p (Ω)
> C9
∥∥w1 − w2
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
,
(25)
де C8 i C9 — деякi додатнi сталi.
Коерцитивнiсть оператора Aa,b, врахувавши зауваження 1.4
глави III монографiї [20], випливає з його рiвномiрної монотон-
ностi.
14 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
Доведемо обмеженiсть оператора Aa,b. Врахувавши лему 1,
(18), (21) i (22), на пiдставi умови 7) отримаємо
∥∥Aa,bw
∥∥
W
−1/p′
p′
(Γ)
=
∥∥Ga
(
Jaw
)
+Bbw
∥∥
W
−1/p′
p′
(Γ)
6
6
∥∥Ga
(
Jaw
)∥∥
W
−1/p′
p′
(Γ)
+
∥∥Bbw
∥∥
W
−1/p′
p′
(Γ)
6
6 C10
∥∥w
∥∥p−1
W
1/p′
p (Γ)
+ C11, ∀w ∈W 1/p′
p (Γ),
де C10 > 0, C11 > 0 — деякi сталi.
Тепер покажемо, що оператор Aa,b — семiнеперервний, тобто
функцiя
[0; 1] ∋ s
Ψ
→
〈
Aa,b(v + sw), w
〉
Γ
∈ R
є неперервною для будь-яких v, w ∈W
1/p′
p (Γ).
Нехай v, w ∈W
1/p′
p (Γ) — довiльнi фiксованi елементи. Покла-
демо wsdef
=v+sw, s ∈ [0; 1]. Очевидно, що ws s→0
−→ w0 = v в W
1/p′
p (Γ)
та майже скрiзь на Γ i множина
{
ws : s ∈ [0; 1]
}
— обмежена.
Використовуючи це, на пiдставi умов 6) та 7) i теореми Лебега
про граничний перехiд пiд знаком iнтеграла маємо
∣∣∣∣∣∣
∫
Γ
{
b(x, ws) − b(x, w0)
}
w dS
∣∣∣∣∣∣
s→0
−→ 0. (26)
Покладемо w̃
def
=R(w) i w̃sdef
=Ja(w
s) для довiльного s ∈ [0, 1].
З леми 2 випливає, що w̃s s→0
−→ w̃0 в W 1
p (Ω), коли ws s→0
−→ w0 в
W
1/p′
p (Γ). А тому, використовуючи 1), 2) та теорему Лебега про
мажоруючу збiжнiсть, дiстанемо
∣∣〈Ga
(
Jaw
s
)
−Ga
(
Jaw
0
)
, w
〉
Γ
∣∣ =
=
∣∣∣∣
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ai(x, w̃
s,∇w̃s) − ai(x, w̃
0,∇w̃0)
)
w̃xi
+
+
(
a0(x, w̃
s,∇w̃s) − a0(x, w̃
0,∇w̃0)
)
w̃
}
dx
∣∣∣∣
s→0
−→ 0. (27)
З (26) i (27) легко випливає, що Ψ(s) → Ψ(0) при s → 0, що
i треба було показати.
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 15
Отже, задача (23) має єдиний розв’язок, а тому задача
DP(D∗
p,Up : p ∈ P
∗) є однозначно розв’язною.
Нехай (ak, bk, fk)
k→∞
−→ (a, b, f) в D∗
p, де u ∈SDP(a, b, f), uk ∈
SDP(ak, bk, fk), k ∈ N. Тодi, очевидно, w(t)
def
=u
∣∣
Γ
(·, t) та
wk(t)
def
=uk
∣∣
Γ
(·, t), t ∈ (−∞, T ), (k ∈ N) є розв’язками вiдповiдних
задач типу (23). На пiдставi (22) з (23) маємо
〈
w′ − w′
k, w − wk
〉
Γ
+
〈(
Gak ◦ Ja
)
w−
−
(
Gak ◦ Jak
)
wk, w − wk
〉
Γ
+
〈
Bbkw − Bbkwk, w − wk
〉
Γ
=
=
〈(
Gak ◦ Ja
)
w −
(
Ga ◦ Ja
)
w,w− wk
〉
Γ
+
+
〈
Bbkw −Bbw,w − wk
〉
Γ
+
〈
f − fk, w − wk
〉
Γ
(28)
майже скрiзь на (−∞, T ).
Аналогiчно, як при доведеннi (25), можна показати, що iснує
стала C12 > 0 така, що
〈(
Gak ◦ Ja
)
w −
(
Gak ◦ Jak
)
wk, w − wk
〉
Γ
+
+
〈
Bbkw −Bbkwk, w − wk
〉
Γ
> C12
∥∥w − wk
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
(29)
майже скрiзь на (−∞, T ).
Тепер, використовуючи нерiвнiсть Гельдера, зробимо таку
оцiнку
〈(
Gak ◦ Ja
)
w −
(
Ga ◦ Ja
)
w,w − wk
〉
Γ
+
+
〈
Bbkw −Bbw,w− wk
〉
Γ
=
=
∫
Ω
{ n∑
i=1
(
ak
i (x, Jaw,∇Jaw) − ai(x, Jaw,∇Jaw)
)
×
×
(
Rw − Rwk
)
xi
+
(
ak
0(x, Jaw,∇Jaw)−
−a0(x, Jaw,∇Jaw)
)(
Rw − Rwk
)}
dx+
(30)
16 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
+
∫
Γ
(
bk(x, w) − b(x, w)
)
(w − wk) dΓ 6
6
(∫
Ω
n∑
i=0
∣∣∣ak
i (x, Jaw,∇Jaw) − ai(x, Jaw,∇Jaw)
∣∣∣
p′
dx
)1/p′
×
×
∥∥Rw −Rwk
∥∥
W 1
p (Ω)
+
(∫
Γ
∣∣∣bk(x, w) − b(x, w)
∣∣∣
p′
dΓ
)1/p′∥∥w − wk
∥∥
Lp(Γ)
майже скрiзь на (−∞, T ).
З (30), використовуючи спочатку лiнiйнiсть та неперервнiсть
оператора R, а тодi нерiвнiсть Юнга, дiстанемо
〈(
Gak ◦ Ja
)
w −
(
Ga ◦ Ja
)
w,w − wk
〉
Γ
+
+
〈
Bbkw − Bbw,w − wk
〉
Γ
6
6 C13(ε)
(
ess sup
x∈Ω
sup
(s,ξ)∈Rn+1
n∑
i=1
∣∣ak
i (x,s,ξ)−ai(x,s,ξ)
∣∣
|s|p−1+|ξ|p−1+1
)p′
×
×
∫
Ω
(∣∣Jaw
∣∣p +
∣∣∇Jaw
∣∣p + 1
)
dx+
(31)
+C14(ε)
(
ess sup
x∈Γ
sup
s∈R
∣∣bk(x,s)−b(x,s)
∣∣
|s|p−1+1
)p′
·
∫
Γ
(∣∣w
∣∣p + 1
)
dΓ+
+ε
∥∥w − wk
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
,
де ε > 0 — довiльне число, C13(ε) > 0, C14(ε) > 0 — сталi, якi
залежать вiд ε i не залежать вiд a, ak, b, bk, w i wk.
Вiдмiтимо, що майже скрiзь на (−∞, T ) (див. [21]) виконуєть-
ся така рiвнiсть
〈
w′(t) − w′
k(t), w(t) − wk(t)
〉
Γ
=
1
2
(∥∥w(t) − wk(t)
∥∥2
L2(Γ)
)′
(32)
i нерiвнiсть
〈
f−fk, w−wk
〉
Γ
6 C15(ε)
∥∥f−fk
∥∥p′
W
−1/p′
p′
(Γ)
+ε
∥∥w−wk
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
, (33)
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 17
де ε > 0 — будь-яке число, C15(ε) > 0 — стала, яка залежать вiд
ε.
Нехай t0 — яке-небудь число з промiжку (−∞, T ), r > p/(p−
2) — довiльне число. Розглянемо функцiю θ(t) визначену за пра-
вилом: θ(t)
def
=(t− t0)
r, якщо t ∈ [t0, T ], i θ(t) = 0 при t ∈ (−∞, t0).
Домножимо лiву i праву частину рiвностi (28) на θ(t), а тодi
проiнтегруємо її по t вiд t0 до τ ∈ (t0, T ], використовуючи при
цьому рiвнiсть (32) i “формулу iнтегрування частинами”. З отри-
маної рiвностi, використавши оцiнки (29), (31), (33) та вибравши
значення ε досить малим, матимемо
θ(τ)
∫
Γ
∣∣w(x, τ) − wk(x, τ)
∣∣2 dΓ+
+C16
τ∫
t0
∥∥w(t) − wk(t)
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
θ(t) dt 6
6 C17
(
ess sup
x∈Ω
sup
(s,ξ)∈Rn+1
n∑
i=1
∣∣ak
i (x,s,ξ)−ai(x,s,ξ)
∣∣
|s|p−1+|ξ|p−1+1
)p′
×
×
τ∫
t0
(∥∥Jaw(t)
∥∥p
W 1
p (Ω)
+1
)
θ(t) dt+C18
(
ess sup
x∈Γ
sup
s∈R
∣∣bk(x,s)−b(x,s)
∣∣
|s|p−1+1
)p′
×
(34)
×
τ∫
t0
(∥∥w(t)
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
+ 1
)
θ(t) dt+
+C19
τ∫
t0
∥∥f(t) − fk(t)
∥∥p′
W
−1/p′
p′
(Γ)
θ(t) dt+
+
τ∫
t0
∫
Γ
∣∣w(x, t) − wk(x, t)
∣∣2θ′(t) dΓ dt
для деяких додатних сталих C16, C17 C18 i C19.
Оцiнимо тепер останнiй доданок в (34), використовуючи нерiв-
нiсть Юнга
τ∫
t0
∫
Γ
∣∣w(x, t) − wk(x, t)
∣∣2θ′(t) dΓ dt 6
6 ε
τ∫
t0
∥∥w(t) − wk(t)
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
θ(t) dt+ C20(ε)(τ − t0)
r−2/(p−2),
(35)
де ε > 0 -деяке число, C20(ε) -додатна стала, яка залежить вiд ε.
18 М.М. Бокало, Ю.Б. Дмитришин
З (34), використовуючи при цьому (35) з достатньо малим ε,
для довiльного t1 ∈ (t0, T ) матимемо
max
τ∈[t1,T ]
∫
Γ
∣∣w(x, τ) − wk(x, τ)
∣∣2 dΓ +
T∫
t1
∥∥w(t) − wk(t)
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
dt 6
6
(
T−t0
t1−t0
)r{
C21
(
ess sup
x∈Ω
sup
(s,ξ)∈Rn+1
n∑
i=1
∣∣ak
i (x,s,ξ)−ai(x,s,ξ)
∣∣
|s|p−1+|ξ|p−1+1
)p′
×
×
T∫
t0
(∥∥Jaw(t)
∥∥p
W 1
p (Ω)
+ 1
)
dt+ (36)
+C22 ess sup
x∈Γ
sup
s∈R
τ∫
t0
(∥∥w(t)
∥∥p
W
1/p′
p (Γ)
+ 1
)
dt+
+C23
T∫
t0
∥∥f(t) − fk(t)
∥∥p′
W
−1/p′
p′
(Γ)
dt+ C24(T − t0)
−2/(p−2)
}
,
де C21, C22, C23 i C24 — деякi додатнi сталi.
На пiдставi (36), з довiльностi t0 i t1, та того, що 2/(p− 2) >
0 i (ak, bk, fk)
k→∞
−→ (a, b, f) в D∗
p, випливає збiжнiсть wk до w в
просторi Lp, loc
(
(−∞, T ]; W
1/p′
p (Γ)
)
∩C
(
(−∞, T ];L2(Γ)
)
, а згiдно з
лемою 2 i збiжнiсть uk до u в Lp, loc
(
(−∞, T ]; W 1
p (Ω)
)
. Отже, ми
показали, що uk
k→∞
−→ u в просторi Up, а це i завершує доведення
коректностi задачi DP(D∗
p,Up : p ∈ P∗). 2
1. Friedman A., Shinbort M. The initial value problem for the lianerized
equations of water-waves // J. Math. Mech. - 1967. - 17. - P. 107-180.
2. Garipov R. M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence
and uniqueness // Archive Rat. Mech. Anal. -1967. - 14. - P. 352-362.
3. Лионс Ж.-Л., Мадженес Е. Неоднородные граничные задачи и их при-
ложения. - М.: Мир, 1967. - 372 с.
4. Bejenaru I., Diaz J. I. and Vrabie I. I. An abstract approximate controllabi-
lity result and applications to elliptic and parabolic systems with dynamic
boundary conditions // Electron. J. Differential Equations. -2001. - No. 50.
- P. 1-19.
5. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. -
М.: Мир, 1972. - 588 с.
6. Fila M., Quittner P. Global solutions of the Laplace equation with a nonlinear
dynamical boundary condition // Math. Methods Appl. Sci. - 1997. - 20. -
P. 1325-1333.
Динамiчна задача для елiптичних рiвнянь 19
7. Igbida N., Kirane M. A degenerate diffusion problem with dynamical boun-
dary conditions // Math. Ann. - 2002. - 323. - P. 377-396.
8. Vitillaro E. On the Laplace equation with nonlinear dynamical boundary
conditions // Proc. London Math. Soc. (3) - 2006. - 93. - P. 418-446.
9. Vitillaro E. Global existence for the heat equation with nonlinear dynamical
boundary conditions // Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A. - 2005. - 135. -
P. 1-33.
10. Grobbelarr-Van Dalsen M. On B-evolution theory and dynamic boundary
conditions on a partion of the boundary // Appl. Anal. -1991. - 40. - P.
151-172.
11. Arrieta J. M., Quittner P. and Rodriguez-Bernaul A. Parabolic problems
with nonlinear dynamical boundary conditions and singular initial data //
Differential Integral Equations. - 2001. - 14. - P. 1487-1510.
12. Escher J. Nonlinear elliptic systems with dynamic boundary conditions //
Math. Z. -1992. - 210. - P. 413-439.
13. Hintermann T. Evolution equations with dynamic boundary conditions //
Proc. Roy. Soc. Edinburg Sect. A. - 1989. - 113. - P. 43-60.
14. Amann H., Fila M. A Fujita-type theorem for the Laplace equation with a
dynamical boundary condition // Acta. Math. Univ. Comenianae Vol. LXVI
- 1997. - 2. - P. 321-328.
15. Kirane M., Nabana E. and Pohozaev S. I. Nonexistence of global solutions
to an elliptic equation with a dynamical boundary condition // Bol. Soc.
Paran. Mat. - 2004. - 22. - P. 9-16.
16. Showalter R. E. Monotone operators in Banach space and nonlinear partial
differential equations. vol 49, Amer. Math. Soc., Providence, 1997. - 278 p.
17. Andreu F., Igbida N., Mazon J. M., Toledo J. A degenerate elliptic-parabolic
problem with nonlinear dynamical boundary conditions // Interfaces Free
Bound. 8 - 2006. - 4. - P. 447-479.
18. Adams R. A. Sobolev spaces. New York; San Francisco; London, 1975. - 278
p.
19. Gagliardo E. Caratterizzazione delle tracce sulla frontiera relative ad alcune
classi di funzioni in n variabili // Rend. Sem Mat. Padova. - 1957. - 27. - p.
284—305.
20. Гаевский Х., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения
и операторные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1978. - 336 с.
21. Бокало Н. М. О задаче без начальных условий для некоторых классов
нелинейных нараболических уравнений // Труды семинара им. И. Г.
Петровского. - 1989. - Вып. 14. - С. 3-44.
Львiвський нацiональний унiверситет
iменi Iвана Франка
вул. Унiверситетська, 1,
79000, Львiв, Україна
mm_bokalo@franko.lviv.ua
Отримано 1.03.07
|