Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии
С помощью метода рандомизации обосновано применение смесей распределений для нахождения возможных несимметричных распределений с нулевым коэффициентом асимметрии. Проанализированы математические модели несимметричных распределений с нулевыми коэффициентами асимметрии, полученные рандомизацией параме...
Збережено в:
| Опубліковано в: : | Электронное моделирование |
|---|---|
| Дата: | 2016 |
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2016
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101332 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 19-33. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859470467777167360 |
|---|---|
| author | Красильников, А.И. |
| author_facet | Красильников, А.И. |
| citation_txt | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 19-33. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | С помощью метода рандомизации обосновано применение смесей распределений для нахождения возможных несимметричных распределений с нулевым коэффициентом асимметрии. Проанализированы математические модели несимметричных распределений с нулевыми коэффициентами асимметрии, полученные рандомизацией параметров сдвига и масштаба базовой функции распределения. Приведены примеры нахождения таких распределений. Полученные результаты позволяют осуществлять математическое и компьютерное моделирование несимметричных распределений с нулевыми коэффициентами асимметрии.
За допомогою методу рандомізації обгрунтовано застосування сумішей розподілів для знаходження можливих несиметричних розподілів з нульовим коефіцієнтом асиметрії.Проаналізовано математичні моделі несиметричних розподілів з нульовими коефіцієнтами асиметрії, які отримані рандомізацією параметрів зсуву та масштабу базової функції розподілу. Наведено приклади знаходження таких розподілів. Отримані результати дозволяють здійснювати математичне та комп’ютерне моделювання несиметричних розподілів з нульовим коефіцієнтом асиметрії.
The use of mixtures of distributions for finding possible asymmetrical distributions with zero asymmetry coefficients has been substantiated as based on the method of randomization. Mathematical models of asymmetric distributions with zero asymmetry coefficients have been analyzed; the models were obtained by the randomization of the shift and scale parameters of the basic distribution function. The examples of finding such distributions are given. The obtained results allow realizing the mathematical and computer modeling of asymmetric distributions with zero asymmetry coefficients.
|
| first_indexed | 2025-11-24T09:04:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.213:621.391
À.È. Êðàñèëüíèêîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, óë. Æåëÿáîâà, 2à,
òåë. (044) 4532857, å-mail: tangorov@voliacable.com)
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè
Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ðàíäîìèçàöèè îáîñíîâàíî ïðèìåíåíèå ñìåñåé ðàñïðåäåëåíèé äëÿ
íàõîæäåíèÿ âîçìîæíûõ íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèì-
ìåòðèè. Ïðîàíàëèçèðîâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ
íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè àñèììåòðèè, ïîëó÷åííûå ðàíäîìèçàöèåé ïàðàìåòðîâ ñäâèãà
è ìàñøòàáà áàçîâîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû íàõîæäåíèÿ òàêèõ
ðàñïðåäåëåíèé. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïîçâîëÿþò îñóùåñòâëÿòü ìàòåìàòè÷åñêîå è
êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûìè êîýôôè-
öèåíòàìè àñèììåòðèè.
Çà äîïîìîãîþ ìåòîäó ðàíäîì³çàö³¿ îáãðóíòîâàíî çàñòîñóâàííÿ ñóì³øåé ðîçïîä³ë³â äëÿ
çíàõîäæåííÿ ìîæëèâèõ íåñèìåòðè÷íèõ ðîçïîä³ë³â ç íóëüîâèì êîåô³ö³ºíòîì àñèìåòð³¿.
Ïðîàíàë³çîâàíî ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ íåñèìåòðè÷íèõ ðîçïîä³ë³â ç íóëüîâèìè êîåô³ö³ºí-
òàìè àñèìåòð³¿, ÿê³ îòðèìàí³ ðàíäîì³çàö³ºþ ïàðàìåòð³â çñóâó òà ìàñøòàáó áàçîâî¿ ôóíêö³¿
ðîçïîä³ëó. Íàâåäåíî ïðèêëàäè çíàõîäæåííÿ òàêèõ ðîçïîä³ë³â. Îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè äîçâî-
ëÿþòü çä³éñíþâàòè ìàòåìàòè÷íå òà êîìï’þòåðíå ìîäåëþâàííÿ íåñèìåòðè÷íèõ ðîçïîä³ë³â
ç íóëüîâèì êîåô³ö³ºíòîì àñèìåòð³¿.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåñèììåòðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ, êóìóëÿíòíûå êîýôôèöèåíòû,
êîýôôèöèåíò àñèììåòðèè, ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé, ñîïðÿæåííûå ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ñîâðåìåííûå ñòàòèñòè÷åñêèå ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûõ ïðèêëàäíûõ
çàäà÷ [1—8] îñíîâàíû íà ïðèìåíåíèè íåãàóññîâñêèõ ìîäåëåé èññëåäóå-
ìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Îäíèì èç ãëàâíûõ âîï-
ðîñîâ ïðè ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ ÿâëÿåòñÿ âûáîð àäåêâàòíûõ ìàòåìàòè-
÷åñêèõ ìîäåëåé, ïðåæäå âñåãî, ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé.  áîëüøèíñòâå
ïðàêòè÷åñêèõ ñëó÷àåâ ïîëó÷åíèå òî÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ
ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé èññëåäóåìûõ íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí,
èëè ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ, íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì. Ïîýòîìó äëÿ
îïèñàíèÿ íåãàóññîâñêèõ ìîäåëåé, êàê ïðàâèëî, èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå
àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé, ñðåäè êîòîðûõ â íàñòîÿùåå âðå-
ìÿ íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ÿâëÿþòñÿ ñèñòåìû ðàñïðåäåëåíèé Ïèð-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 19
� À.È. Êðàñèëüíèêîâ, 2016
ñîíà è Äæîíñîíà [9], îòðåçêè ðÿäîâ ïî îðòîãîíàëüíûì ïîëèíîìàì (÷àùå
âñåãî ïðèìåíÿþò ðÿäû Ãðàìà — Øàðëüå è Ýäæâîðòà) [10], ãàóññîâñêèå
ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé [11].
Ïðè ïîñòðîåíèè è àíàëèçå àïïðîêñèìèðóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé íàè-
áîëüøåå çíà÷åíèå èìåþò ìîìåíòû è êóìóëÿíòû, â ÷àñòíîñòè êóìóëÿíòíûå
êîýôôèöèåíòû � � �s s
s� / /
2
2, ãäå �s — êóìóëÿíòû ðàñïðåäåëåíèÿ,
�s
s
s s
u
d f u
i du
�
�
ln ( )
0
;
f u( ) — õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ; i � �1.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êóìóëÿíòû ëåæàò â îñíîâå ìîìåíòíî-êóìó-
ëÿíòíûõ ìîäåëåé [12, 13], ïðèìåíåíèå êîòîðûõ ïîçâîëÿåò äîñòàòî÷íî
ïðîñòî è ýôôåêòèâíî èññëåäîâàòü íåãàóññîâñêèå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû è
ñëó÷àéíûå ïðîöåññû.  íàñòîÿùåå âðåìÿ â òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ
íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóþò äâà êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòà — àñèììåò-
ðèè � 3 è ýêñöåññà � 4 [1, 2, 4, 8, 12]. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ � 3 0� îáû÷íî
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì, à ïðè � �3 4 0� � —
ãàóññîâñêèì. Íà îñíîâàíèè êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4 îñóùåñòâëÿåòñÿ âûáîð
àïïðîêñèìèðóþùèõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé èç ñèñòåì ðàñïðåäåëåíèé
Ïèðñîíà è Äæîíñîíà. Ïðè àïïðîêñèìàöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé îòðåç-
êîì ðÿäà Ýäæâîðòà ðåêîìåíäóþò [12] îãðàíè÷èâàòüñÿ ÷åòûðüìÿ ñëàãàåìû-
ìè, êîýôôèöèåíòû êîòîðûõ ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç � 3 è � 4.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè êîíå÷íîãî ÷èñëà êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ
äëÿ àíàëèçà íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ è
ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ ðàñïðåäåëåíèé âîçìîæíû îøèáî÷íûå ðå-
çóëüòàòû è âûâîäû. Ïîýòîìó ïðè ïðàêòè÷åñêîì ïðèìåíåíèè êóìóëÿíòíûõ
ìîäåëåé â òåõíè÷åñêèõ çàäà÷àõ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ðåçóëüòàòû èññëå-
äîâàíèé êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ [12—22].
 ðàáîòå [14] èññëåäîâàí êîýôôèöèåíò ýêñöåññà ñèììåòðè÷íûõ ðàñï-
ðåäåëåíèé. Â ðàáîòå [15] ïðîàíàëèçèðîâàíû êóìóëÿíòû àääèòèâíûõ è
ìóëüòèïëèêàòèâíûõ ìîäåëåé äîïîëíèòåëüíûõ ïîãðåøíîñòåé. Â ðàáîòå
[16] ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà êóìóëÿíòîâ áåçãðàíè÷íî äåëèìûõ ðàñïðåäå-
ëåíèé.  [17] âíèìàíèå ñîñðåäîòî÷åíî íà íåîáõîäèìîñòè ó÷èòûâàòü êëàñ-
ñè÷åñêóþ ïðîáëåìó ìîìåíòîâ, ñîãëàñíî êîòîðîé äàæå ïðè áåñêîíå÷íîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìîìåíòîâ íå âñåãäà âîçìîæíî îäíîçíà÷íîå îïðåäåëå-
íèå ðàñïðåäåëåíèÿ. Â ðàáîòå [18] ïîñòðîåíû ìîäåëè íåãàóññîâñêèõ ïëîò-
íîñòåé âåðîÿòíîñòåé, äëÿ êîòîðûõ êîýôôèöèåíòû àñèììåòðèè è ýêñöåññà
ðàâíû íóëþ.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
Èññëåäîâàíèþ îáëàñòåé äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé êóìóëÿíòíûõ êîýôôè-
öèåíòîâ ïîñâÿùåíû ðàáîòû [12, 13, 19—22]. Íåêîòîðûå íåðàâåíñòâà äëÿ
êóìóëÿíòíûõ êîýôôèöèåíòîâ ïðèâåäåíû â ðàáîòå [12]. Îáëàñòè äîïóñòè-
ìûõ çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ � 3 è � 4 äëÿ ðÿäîâ Ãðàìà — Øàðëüå è
Ýäæâîðòà îïðåäåëåíû â [19, 20], îáëàñòè çíà÷åíèé êîýôôèöèåíòîâ � s äëÿ
íåêîòîðûõ ìîìåíòíî-êóìóëÿíòíûõ ìîäåëåé èññëåäîâàíû â [13], à äëÿ
äâóõêîìïîíåíòíûõ ãàóññîâñêèõ ñìåñåé — â ðàáîòàõ [21, 22].
 ðàáîòå [13] íà îñíîâå êóìóëÿíòíîãî àíàëèçà óñòàíîâëåíî, ÷òî â
êëàññå àñèììåòðè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí âòîðîãî òèïà ñóùåñòâóþò
ðàñïðåäåëåíèÿ, ó êîòîðûõ � 3 0� , à êîýôôèöèåíò � 5 îòëè÷åí îò íóëÿ. Îäíà-
êî îòêðûòûì îñòàåòñÿ âîïðîñ, êàê â îáùåì ñëó÷àå ïîëó÷èòü ôóíêöèþ
ðàñïðåäåëåíèÿ èëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé
ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè?  îòå÷åñòâåííîé è çàðóáåæíîé ëè-
òåðàòóðå ïîñëåäíèõ äåñÿòèëåòèé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ îòñóòñòâóåò.
 ñâÿçè ñ ýòèì ïðåäñòàâëÿåòñÿ öåëåñîîáðàçíûì ïîñòðîåíèå ìàòåìà-
òè÷åñêèõ ìîäåëåé íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôè-
öèåíòîì àñèììåòðèè.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( )ñëó÷àéíîé âåëè÷è-
íû � ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé îòíîñèòåëüíî òî÷êè x0, åñëè îíà óäîâëåò-
âîðÿåò óñëîâèþ [23]
F x x F x x( ) ( )0 01 0� � � � � . (1)
Óñëîâèÿ ñèììåòðèè õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè è ïëîòíîñòè âåðîÿò-
íîñòåé îòíîñèòåëüíî òî÷êè x0 èìåþò ñëåäóþùèé âèä:
e f u e f u
iux iux� � �0 0( ) ( ), (2)
p x x p x x( ) ( )0 0� � � . (3)
Îáû÷íî òî÷êîé ñèììåòðèè x0 ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ÿâëÿåòñÿ ìàòåìà-
òè÷åñêîå îæèäàíèå ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �, êîòîðîå â áîëüøèíñòâå ñëó-
÷àåâ ðàâíî íóëþ. Òàêèå ðàñïðåäåëåíèÿ íàçûâàþò ñèììåòðè÷íûìè. Çàìå-
òèì, ÷òî ó ñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ —
äåéñòâèòåëüíàÿ è ÷åòíàÿ, à ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé — ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ.
Ïðè ýòîì êàæäîå èç òðåõ ñâîéñòâ — ñèììåòðè÷íîñòü ôóíêöèè ðàñïðåäå-
ëåíèÿ, äåéñòâèòåëüíîñòü è ÷åòíîñòü õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè — îáóñ-
ëîâëèâàåò âûïîëíåíèå äâóõ äðóãèõ [24]. Ðàñïðåäåëåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ îäíî
èç óñëîâèé (1)—(3) íå âûïîëíÿåòñÿ, ÿâëÿþòñÿ íåñèììåòðè÷íûìè.
Èç ñèììåòðè÷íîñòè ðàñïðåäåëåíèé âñåãäà ñëåäóåò, ÷òî âñå èõ íå÷åò-
íûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû s ðàâíû íóëþ, îäíàêî îáðàòíîå óòâåðæäåíèå â
îáùåì ñëó÷àå íåâåðíî.  ÷àñòíîñòè, ðàâåíñòâî íóëþ òðåòüåãî öåíòðàëü-
íîãî ìîìåíòà 3 ÿâëÿåòñÿ ëèøü íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñèììåòðè÷íîñòè
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 21
ðàñïðåäåëåíèé, ïîñêîëüêó êîíå÷íîå ÷èñëî ìîìåíòîâ â îáùåì ñëó÷àå íå
ìîæåò îïðåäåëÿòü íè ñàìî ðàñïðåäåëåíèå, íè åãî ñâîéñòâà [23, 24].
Òàêèì îáðàçîì, âîçíèêàåò ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. Ïóñòü èìååòñÿ ñëó÷àé-
íàÿ âåëè÷èíà � ñ íåèçâåñòíûì íåñèììåòðè÷íûì ðàñïðåäåëåíèåì. Èçâåñò-
íî, ÷òî ó ðàññìàòðèâàåìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñóùåñòâóåò, êàê ìèíè-
ìóì, íà÷àëüíûé ìîìåíò
5. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî öåíòðàëüíûå ìîìåíòû 3 è
5 îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì
�3 3 0� � , (4)
5 0� . (5)
Íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü îäíó èç õàðàêòåðèñòèê ýòîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû,
à èìåííî ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ), õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ
f u( ) èëè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé p x( ), êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî óäîâëåò-
âîðÿåò óñëîâèÿì (4) è (5).
Îáùèé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ ìîäåëåé. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âîçìîæíûõ
íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè
âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ðàíäîìèçàöèè [24], ñóòü êîòîðîãî çàêëþ÷àåòñÿ â
ñëåäóþùåì.
Ïóñòü �0 — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ),
êîòîðàÿ çàâèñèò îò ïàðàìåòðà Q. Ýòèì ïàðàìåòðîì ìîæåò áûòü ïàðàìåòð
ñäâèãà, ìàñøòàáà èëè ôîðìû. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðàìåòð Q — ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F y1( ), è áóäåì ñ÷èòàòü ñëó÷àéíûå
âåëè÷èíû �0 è Q íåçàâèñèìûìè. Òîãäà ôóíêöèÿ F x Q y y dy0( | [ , ])� � ÿâ-
ëÿåòñÿ óñëîâíîé ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ íîâîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �,
çàâèñÿùåé îò �0 è âåðîÿòíîñòè ïîïàäàíèÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà Q â îáëàñòü
[ , ]y y dy� . Íà îñíîâàíèè èíòåãðàëüíîé ôîðìóëû ïîëíîé âåðîÿòíîñòè áå-
çóñëîâíàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F x( ) ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû � èìååò âèä
F x F x y dF y( ) ( , ) ( )�
�
� 0 1 , (6)
ãäå F x y0( , )— ñåìåéñòâî ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ, çàâèñÿùèõ îò ïàðàìåòðà y.
Ôóíêöèè, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèåì (6), íàçûâàþòñÿ ñìåñÿìè ðàñï-
ðåäåëåíèé ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( ) è F y1( ) [24]. Ñëó÷àéíóþ âåëè-
÷èíó �0 áóäåì íàçûâàòü áàçîâîé, ôóíêöèþ F x0( ) — áàçîâîé ôóíêöèåé
ðàñïðåäåëåíèÿ, à ôóíêöèþ F y1( ) — ñìåøèâàþùåé ôóíêöèåé ðàñïðåäå-
ëåíèÿ. Ôîðìóëà (6) ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü ðàñïðåäåëåíèÿ ëþáîãî òèïà —
äèñêðåòíûå, íåïðåðûâíûå è ñìåøàííûå.
Ðàññìîòðèì ÷àñòíûå ñëó÷àè ôîðìóëû (6). Ïóñòü áàçîâàÿ ôóíêöèÿ ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíà, ò.å. ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �0 íåïðåðûâ-
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
íà è èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé p x0( ).  ýòîì ñëó÷àå ïðè ëþáûõ ñìå-
øèâàþùèõ ðàñïðåäåëåíèÿõ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (6) ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî
íåïðåðûâíîé è äëÿ íåå ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé p x( ).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïàðàìåòð Q ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíîé ñëó÷àéíîé âåëè-
÷èíîé, êîòîðàÿ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ qk ñ âåðîÿòíîñòÿìè p P Q qk k� �( ).
Òîãäà ñìåøèâàþùåå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòíûì è åãî ôóíêöèÿ
ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
F y p E y q
k
k k1( ) ( )� �� ,
ãäå E x( ) — åäèíè÷íàÿ ôóíêöèÿ.  ýòîì ñëó÷àå èç ôîðìóëû (6) ïîëó÷àåì
ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñìåñè:
p x p p x q
k
k k( ) ( , )�� 0 . (7)
Åñëè ñìåøèâàþùåå ðàñïðåäåëåíèå àáñîëþòíî íåïðåðûâíî è èìååò ïëîò-
íîñòü âåðîÿòíîñòåé p y1( ), òî èç (6) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ïëîòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòåé:
p x p x y p y dy( ) ( , ) ( )�
�
� 0 1 . (8)
Èñïîëüçîâàíèå ôîðìóë (6)—(8) äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü ìíîæåñò-
âî ìîäåëåé ðàñïðåäåëåíèé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü íåñèììåòðè÷íûå ðàñï-
ðåäåëåíèÿ, öåíòðàëüíûå ìîìåíòû 3 è 5 êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óñëî-
âèÿì (4) è (5). Äëÿ íàõîæäåíèÿ öåíòðàëüíûõ ìîìåíòîâ s ñìåñè â îáùåì
ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü åå íà÷àëüíûå ìîìåíòû
s, êîòîðûå íà
îñíîâàíèè (6) èìåþò âèä
s
sx dF x y dF y�
�
�
� � 0 1( , ) ( ) . (9)
 ÷àñòíîñòè,
3 3 2 1 1
33 2� � � , (10)
5 5 4 1 3 1
2
2 1
3
1
55 10 10 4� � � � � . (11)
Òàêèì îáðàçîì, â îáùåì ñëó÷àå ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñ èñ-
ïîëüçîâàíèåì ñìåñè (6) ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ òàêèõ ôóíêöèé ðàñïðå-
äåëåíèÿ F x0( )è F y1( ), äëÿ êîòîðûõ îäíîâðåìåííî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ (4) è
(5). Äëÿ ïðîâåðêè íåñèììåòðè÷íîñòè ïîëó÷åííîé õàðàêòåðèñòèêè â îáùåì
ñëó÷àå íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü îäíî èç ñîîòíîøåíèé (1)—(3), îäíàêî â
áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïðîâåðêîé óñëîâèÿ (5).
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 23
Êîíêðåòèçèðóåì ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó, îñóùåñòâëÿÿ ðàíäîìèçà-
öèþ ïàðàìåòðîâ ñäâèãà è ìàñøòàáà áàçîâîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
Ìîäåëè, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ðàíäîìèçàöèè ïàðàìåòðà ñäâèãà.
Ïóñòü áàçîâàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �0 ñ ôóíêöèåé ðàñïðåäåëåíèÿ F x0( )
ïîäâåðãàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ z x a� � , ãäå a — íåêî-
òîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî. Ðåçóëüòàòîì òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà � ��0 �a, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò
âèä
F x F x a( ) ( )� �0 . (12)
Èç ôîðìóëû (12) âèäíî, ÷òî ÷èñëî a ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòðîì ñäâèãà áàçîâîé
ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàíäîìèçèðóåì ýòîò ïàðàìåòð, çàìåíÿÿ åãî ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíîé �1, êîòîðàÿ íåçàâèñèìà îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �0 è
èìååò ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ F y1( ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëó÷àéíóþ
âåëè÷èíó
� �� �0 1� , (13)
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ñ ó÷åòîì (6) è (12) èìååò âèä
F x F x y dF y( ) ( ) ( )� �
�
� 0 1 . (14)
Âûðàæåíèå (14) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñâåðòêó ôóíêöèé F x0( ) è F y1( ) è
ÿâëÿåòñÿ îáùåé ôîðìóëîé äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ñóì-
ìû íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �0 è �1. Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (7) è
(8), èç (14) íåñëîæíî ïîëó÷èòü ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîòíîñòè âå-
ðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (13).
Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ðàíäîìèçàöèè ïàðàìåòðà ñäâèãà ïîëó-
÷àåì ñåìåéñòâî ìîäåëåé ðàñïðåäåëåíèé (14), èç êîòîðûõ, âûáðàâ áàçîâóþ
è ñìåøèâàþùóþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü íåñèììåò-
ðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (4) è (5).
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû �0 è �1 íåçàâèñèìû, â ðàññìàòðè-
âàåìîì ñëó÷àå âìåñòî ãðîìîçäêèõ âû÷èñëåíèé ïî ôîðìóëàì (9)—(11)
öåíòðàëüíûå ìîìåíòû s ñìåñè (14) ìîæíî íåïîñðåäñòâåííî âûðàçèòü
÷åðåç öåíòðàëüíûå ìîìåíòû s, 0 è s,1 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �0 è �1. Íà-
ïðèìåð óñëîâèþ (4) â äàííîì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóåò óðàâíåíèå
3 3 0 3 1 0� � �, , , (15)
à ôîðìóëà (11) ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (15) ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
5 5 0 3 0 2 1 2 0 5 110� � � �, , , , ,( ) , (16)
ãäå 2 0, è 2 1, — äèñïåðñèè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �0 è �1.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
Èç ôîðìóë (14) è (15) ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü òîëüêî íåñèììåòðè÷íûå áàçîâûå è ñìåøèâàþ-
ùèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ó êîòîðûõ öåíòðàëüíûå ìîìåíòû 3 0, è 3 1,
äîëæíû èìåòü ðàçíûå çíàêè.
Ïðèìåð 1. Ïóñòü áàçîâûì ÿâëÿåòñÿ ïîêàçàòåëüíîå ðàñïðåäåëåíèå, ó
êîòîðîãî ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé [25] èìååò âèä
p x x E x0( ) exp( ) ( )� �� � , � � 0 . (17)
Öåíòðàëüíûå ìîìåíòû áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ñëåäóþùèå:
�2 0
2
, � � , �3 0
32, � � , �5 0
544, � � . (18)
Èç (15) è (18) ïîëó÷àåì ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ïàðàìåòðà �:
� � � �( ),
/2 3 1
1 1 3. (19)
 êà÷åñòâå ñìåøèâàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ âûáåðåì ñòåïåííîå ðàñïðå-
äåëåíèå, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì [25]
p y
cy y
y
c
1
1 0 1
0 0 1
( )
, [ , ],
, [ , ],
�
�
�
�
�
�
�
(20)
ãäå c�0 — ïàðàìåòð ôîðìû. Íà÷àëüíûå ìîìåíòû ðàñïðåäåëåíèÿ (20)
èìåþò âèä
s
c
c s
,1 �
�
. (21)
Ïðè c�1ìîìåíò 3 1 0, � [25]. Çàäàäèì çíà÷åíèå c �2. Òîãäà äèñïåðñèÿ ñìå-
øèâàþùåãî ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåò
2 1 2 1 1 1
2 00556, , , ,� � � . Èñïîëüçóÿ ôîð-
ìóëû (10), (11) è (21), ïîëó÷àåì åãî öåíòðàëüíûå ìîìåíòû: 3 1 00074, ,� � ,
5 1 00024, ,� � .
Ïî ôîðìóëå (19) íàõîäèì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
� �6 466, . Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â (18), ïîëó÷èì öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ: 2 0 00239, ,� , 3 0 00074, ,� , 5 0 00039, ,� . Ïîäñòàâ-
ëÿÿ ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ s, 0 è s,1 â ôîðìóëó (16), íàõîäèì
çíà÷åíèå ìîìåíòà 5 000386� , . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå (14) â
äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ íåñèììåòðè÷íûì.
Èñêîìîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíûì. Åãî ïëîò-
íîñòü âåðîÿòíîñòåé íà îñíîâàíèè (8) è (14) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
p x p x y p y dy( ) ( ) ( )� �
�
� 0 1 . (22)
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 25
Ïîäñòàâëÿÿ â (22) ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (17) ïðè � �6 466, è (20) ïðè
c �2, ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíîå âûðàæåíèå äëÿ èñêîìîé ïëîòíîñòè âåðîÿò-
íîñòåé (ðèñ. 1):
p x
x
x e x
e
x
x
( )
, ,
, ( ), ( , ] ,
,
,
,
�
�
� � �
�
�
�
0 0
2 031 1 0 1
031
6 47
6 47 169 16 47 1, , ., ( )e xx� � �
�
�
�
�
�
Ìîäåëè, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ðàíäîìèçàöèè ïàðàìåòðà ìàñø-
òàáà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî áàçîâàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà �0 ñ ôóíêöèåé ðàñïðå-
äåëåíèÿ F x0( )ïîäâåðãàåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîìó ïðåîáðàçîâàíèþ z bx� , ãäå
b — íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ïàðàìåòðîì ìàñøòàáà.
 ðåçóëüòàòå òàêîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ïîëó÷àåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà
� �� b 0, ó êîòîðîé ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ èìååò âèä
F x
F
x
b
b
F
x
b
b
( )
, ,
, .
�
�
�
� �
�
� �
� ��
�
� �
�
� �
�
�
�
�
�
0
0
0
1 0 0
(23)
Ðàíäîìèçèðóåì ïàðàìåòð ìàñøòàáà, ñ÷èòàÿ åãî ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé �1,
êîòîðàÿ íåçàâèñèìà îò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �0 è èìååò ôóíêöèþ ðàñïðå-
äåëåíèÿ F y1( ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó
� � �� 0 1, (24)
ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ êîòîðîé ñ ó÷åòîì (6) è (23) èìååò âèä
F x F
x
y
dF y F
x
y
( ) ( )� � ��
�
�
�
�
�
�
!
"
#$
� �
�
�
�
�
�
�
�
� �
0
0 1
0
01 0 dF y1( ). (25)
Çàìåòèì, ÷òî (25) ÿâëÿåòñÿ îáùåé ôîðìóëîé äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè
ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �0 è �1.
Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ðàíäîìèçàöèè ïàðàìåòðà ìàñøòàáà ïî-
ëó÷åíî ñåìåéñòâî ìîäåëåé ðàñïðåäåëåíèé (25), èç êîòîðûõ, âûáðàâ áàçîâóþ è
ñìåøèâàþùóþ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ, ìîæíî ïîëó÷èòü èñêîìûå íåñèì-
ìåòðè÷íûå ðàñïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (4) è (5). Íåïîñðåäñò-
âåííîé ïðîâåðêîé íåñëîæíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî íåîáõîäèìûì òðåáîâàíèåì
äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå òîëüêî íåñèììåò-
ðè÷íûõ áàçîâûõ è ñìåøèâàþùèõ ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ.
Êîíêðåòèçèðóåì ðàññìàòðèâàåìóþ çàäà÷ó. Ïóñòü áàçîâàÿ ñëó÷àéíàÿ
âåëè÷èíà �0 èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé p x0( ). Òîãäà ó ñëó÷àéíîé
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
âåëè÷èíû (24) ñóùåñòâóåò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé, äëÿ íàõîæäåíèÿ êîòî-
ðîé ïîëó÷àåì âûðàæåíèå íåïîñðåäñòâåííî èç ôîðìóëû (25):
p x
y
p
x
y
dF y( )
| |
( )� �
�
�
�
�
�
�
�
1
0 1 . (26)
Âûáåðåì ñìåøèâàþùåå ðàñïðåäåëåíèå â êà÷åñòâå äèñêðåòíîãî è îïðå-
äåëèì åãî ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ â âèäå
F y qE y b pE y b1( ) ( ) ( )� � � � , (27)
ãäå b�0; p q, �0, p q� �1. Òîãäà íà îñíîâàíèè (26) è (27) çàïèøåì
p x b qp
x
b
pp
x
b
( ) � ��
�
� �
�
�� �
�
� �
�
��
!
"
#$
�1
0 0 . (28)
Çàìåòèì, ÷òî ïðè p q� �05, ðàñïðåäåëåíèå (28) ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íûì,
ïîñêîëüêó óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (3).
Êîíêðåòèçèðóåì ôîðìóëû (10) è (11) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ñëó÷àÿ.
Ïîñêîëüêó ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû �0 è �1 íåçàâèñèìû, íà÷àëüíûå ìîìåíòû
s ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû (24) âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå
s s s� , ,0 1, (29)
ãäå
s, 0 è
s,1 — íà÷àëüíûå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí �0 è�1. Ìîìåíòû
s,1 ïîëó÷àåì ñ èñïîëüçîâàíèåì (27):
s
s
s
b p q s k
b s k k
,
( ), ,
, , , , ...
1
2 1
2 1 2
�
� � �
� �
�
�
�
(30)
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 27
p x( )
1,5
1,0
0,5
0
0,5 1,0 1,5 x
Ðèñ. 1
p x( )
1,0
0,5
0
� �2 1 0 1 x
Ðèñ. 2
Ïîäñòàâëÿÿ (29) è (30) â âûðàæåíèå (10) è âûïîëíÿÿ íåîáõîäèìûå ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, ñîîòâåòñòâóþùåå â äàííîì ñëó÷àå óñ-
ëîâèþ (4):
3
3
3 0 1 0
38 0� � � �b p q pq( ) ( ), , . (31)
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (31), îïðåäåëÿåì óñëîâèÿ äëÿ ìîìåíòîâ
1 0, è
3 0, áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ðàñïðåäåëåíèå (28)
óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (4). Èç âûðàæåíèÿ
3 0 1 0
38 0, ,� �pq ïîëó÷àåì
óðàâíåíèå
p p2 3 0
1 0
28
0� � �
,
,
, (32)
êîðíè êîòîðîãî ðàâíû:
p1 2
3 0
1 0
3
05 1 1
2
,
,
,
,� % �
�
�
�
�
�
�
�
�
. (33)
Èç (33) ñëåäóåò, ÷òî êîðíè óðàâíåíèÿ (32) ÿâëÿþòñÿ äåéñòâèòåëüíûìè
è íàõîäÿòñÿ â èíòåðâàëå (0, 1), åñëè ìîìåíòû
1 0, è 3 0, óäîâëåòâîðÿþò
óñëîâèþ
0
2
1
3 0
1 0
3
� �
,
,
. (34)
Èç íåðàâåíñòâà (34) ñëåäóåò, ÷òî ìîìåíòû
1 0, è 3 0, áàçîâîãî ðàñïðå-
äåëåíèÿ äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûå çíàêè.  ýòîì ñëó÷àå ëåâàÿ ÷àñòü
íåðàâåíñòâà (34) âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà, à ïðàâàÿ ÷àñòü ñïðàâåäëèâà ïðè
âûïîëíåíèè óñëîâèé
3 0 1 0
3
1 0 3 02 0 0, , , ,, ,� � � ;
3 0 1 0
3
1 0 3 02 0 0, , , ,, ,� � � .
(35)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (35) ïî ôîðìóëå (33) ïî-
ëó÷àåì äâå ïàðû êîðíåé óðàâíåíèÿ (32), ( , )p q1 1 è ( , )p q2 2 , ñâÿçàííûå
ñîîòíîøåíèåì p q1 2� , q p1 2� . Ïðè ïîäñòàíîâêå ýòèõ ïàð â âûðàæåíèå (28)
ïîëó÷àåì äâà ñîïðÿæåííûõ íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ïðè ýòîì
êîðíè ( , )p q1 1 è ( , )p q2 2 íå çàâèñÿò îò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b.
Ïîäñòàâëÿÿ (29) è (30) â âûðàæåíèå (11) è âûïîëíÿÿ íåîáõîäèìûå
ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷àåì ìîìåíò 5 ðàñïðåäåëåíèÿ (28) ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèÿ (31):
5
5
5 0 1 0
2
3 0 1 0 2 016 2� � � �b p q pq( ) [ ( )], , , , , . (36)
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
Ïðèìåð 2. Çàäàäèì áàçîâîå ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþ âå-
ðîÿòíîñòåé [25]
p x
c
x e E xc x
0
11
( )
( )
( )� � �
&
, (37)
ãäå c�0 — ïàðàìåòð ôîðìû; & ( )x — ãàììà-ôóíêöèÿ. Ìîìåíòû ðàñïðåäå-
ëåíèÿ (37) ñëåäóþùèå:
1 0 3 0 1 2
, ,, ( ) ( )� � � �c c c c ;
2 0 3 0 5 0
22 24 20, , ,, ,� � � �c c c c .
(38)
Ïîäñòàâëÿÿ ìîìåíòû
1 0, è 3 0, â (35), íàõîäèì, ÷òî êîðíè ( , )p q1 1
ñóùåñòâóþò ïðè c�1. Çàäàâ çíà÷åíèå c �2 , ïî ôîðìóëàì (38) íàéäåì ìî-
ìåíòû áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
1 0 2, � ,
3 0 24, � , 2 0 2, � , 3 0 4, � , 5 0 128, � ,
à ïî ôîðìóëå (33) — êîðíè p1 0933� , è q1 0067� , . Ïîäñòàâëÿÿ â (36) ïî-
ëó÷åííûå ÷èñëîâûå çíà÷åíèÿ ìîìåíòîâ, íàõîäèì çíà÷åíèå 5
54159� � , b ,
îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî èñêîìîå ðàñïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ íåñèììåòðè÷íûì.
Ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå (28) çíà÷åíèÿ p1 0933� , , q1 0067� , è ïëîò-
íîñòü âåðîÿòíîñòåé (37), â êîòîðîé c �2 è & ( )2 1� , ïîëó÷àåì ïëîòíîñòü
âåðîÿòíîñòåé èñêîìîãî ðàñïðåäåëåíèÿ:
p x
b x e x
b x e x
x b
x b
( )
, , ,
, , .
/
/
�
� �
�
�
�
�
�
� �
0067 0
0933 0
2
2
(39)
Íà ðèñ. 2 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé (39) ïðè b �025, .
Âûâîäû
1. Îïðåäåëåíû äâà êëàññà íåñèììåòðè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ íó-
ëåâûì êîýôôèöèåíòîì àñèììåòðèè, ó êîòîðûõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé ñ ðàíäîìèçèðîâàííûìè ïàðàìåò-
ðàìè ñäâèãà (14) èëè ìàñøòàáà (25) áàçîâîé ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ.
2. Ñìåñè ðàñïðåäåëåíèé áóäóò íåñèììåòðè÷íûìè ñ íóëåâûì êîýôôè-
öèåíòîì àñèììåòðèè, åñëè áàçîâûå è ñìåøèâàþùèå ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ
íåñèììåòðè÷íû. Ó ñìåñè ñ ïàðàìåòðîì ñäâèãà (14) öåíòðàëüíûå ìîìåíòû
3 0, è 3 1, äîëæíû èìåòü ðàçíûå çíàêè è óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (15), à ó ñìå-
ñè ñ ïàðàìåòðîì ìàñøòàáà (28) ìîìåíòû
1 0, è 3 0, áàçîâîãî ðàñïðåäåëåíèÿ
äîëæíû èìåòü îäèíàêîâûå çíàêè è óäîâëåòâîðÿòü óñëîâèþ (35).
3. Êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå íåñèììåòðè÷íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè-
÷èí ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòàìè àñèììåòðèè íà îñíîâå ïðåäëîæåííûõ
ìîäåëåé ñâîäèòñÿ ê ìîäåëèðîâàíèþ èçâåñòíûìè ìåòîäàìè ñóììû (13)
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 29
ëèáî ïðîèçâåäåíèÿ (24) íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, ìîìåíòû êîòî-
ðûõ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòâåòñòâóþùèì óñëîâèÿì.
4. Ó÷åò ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ â òåõíè÷åñêèõ ïðèëîæåíèÿõ ïîçâî-
ëèò èçáåæàòü îøèáî÷íûõ ðåøåíèé ïðè âûáîðå àïïðîêñèìèðóþùèõ ðàñï-
ðåäåëåíèé íåãàóññîâñêèõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, à òàêæå ïîâûñèòü äîñòîâåð-
íîñòü ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ èçìåðåíèé, îáíàðóæåíèÿ è êëàññèôèêàöèè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Íîâèöêèé Ï.Â., Çîãðàô È.À. Îöåíêà ïîãðåøíîñòåé ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé. — Ë. :
Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1991. — 304 ñ.
2. Alexandrou D., De Moustier C., Haralabus G. Evaluation and verification of bottom acous-
tic reverberation statistics predicted by the point scattering model // J. Acoust. Soc. Am. —
1992. — Vol. 91, No. 3. — P. 1403—1413.
3. Øåëóõèí Î.È. Íåãàóññîâñêèå ïðîöåññû â ðàäèîòåõíèêå. — Ì.: Ðàäèî è ñâÿçü, 1999. —
287 ñ.
4. Ìàð÷åíêî Á.Ã., Ìàöþê Î.Â., Ôðèç Ì.ª. Ìàòåìàòè÷í³ ìîäåë³ é îáðîáêà ñèãíàë³â â
îôòàëüìîëî㳿. — Òåðíîï³ëü: Òåðíîï³ëüñüêèé äåðæàâíèé òåõí. óí-ò, 2005. — 184 ñ.
5. Ïîòàïîâ À.À., Ãèëüìóòäèíîâ À.Õ., Óøàêîâ Ï.À. Ñèñòåìíûå ïðèíöèïû è ýëåìåíòíàÿ
áàçà ôðàêòàëüíîé ðàäèîýëåêòðîíèêè. ×. 2. Ìåòîäû ñèíòåçà, ìîäåëè è ïåðñïåêòèâû
ïðèìåíåíèÿ // Ðàäèîòåõíèêà è ýëåêòðîíèêà. — 2008. — 53, ¹ 11. — Ñ. 1347—1394.
6. Ïàëàãèí Â.Â. Àäàïòàöèÿ ìîìåíòíîãî êðèòåðèÿ êà÷åñòâà äëÿ ìíîãîàëüòåðíàòèâíîé
çàäà÷è ïðîâåðêè ãèïîòåç ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîëèíîìèàëüíûõ ðåøàþùèõ ïðàâèë //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2010. — 32, ¹ 4. — Ñ. 17—33.
7. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ìîäåëè øóìîâûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ äèàãíîñòèêè òåïëîýíåðãå-
òè÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ. — Êèåâ: Èí-ò òåõí. òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2014. —
112 ñ.
8. Áàáàê Ñ.Â., Ìûñëîâè÷ Ì.Â., Ñûñàê Ð.Ì. Ñòàòèñòè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà ýëåêòðîòåõíè-
÷åñêîãî îáîðóäîâàíèÿ. — Êèåâ: Èí-ò ýëåêòðîäèíàìèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2015. — 456 ñ.
9. Áîñòàíäæèÿí Â.À. Ðàñïðåäåëåíèå Ïèðñîíà, Äæîíñîíà, Âåéáóëëà è îáðàòíîå íîð-
ìàëüíîå. Îöåíèâàíèå èõ ïàðàìåòðîâ. — ×åðíîãîëîâêà: Èí-ò ïðîáëåì õèìè÷åñêîé
ôèçèêè ÐÀÍ, 2009. — 240 ñ.
10. Ñåíàòîâ Â.Â. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà: òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè è àñèìïòî-
òè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ. — Ì.: Êíèæíûé äîì «Ëèáðîêîì», 2009. — 352 ñ.
11. Êîðîëåâ Â.Þ. Ñìåøàííûå ãàóññîâñêèå âåðîÿòíîñòíûå ìîäåëè ðåàëüíûõ ïðîöåññîâ. —
Ì. : Ìàêñ Ïðåññ, 2004. — 124 ñ.
12. Ìàëàõîâ À.Í. Êóìóëÿíòíûé àíàëèç ñëó÷àéíûõ íåãàóññîâûõ ïðîöåññîâ è èõ ïðåîáðà-
çîâàíèé. — Ì. : Ñîâ. ðàäèî, 1978. — 376 ñ.
13. Êóí÷åíêî Þ.Ï. Ïîëèíîìèàëüíûå îöåíêè ïàðàìåòðîâ áëèçêèõ ê ãàóññîâñêèì ñëó÷àé-
íûõ âåëè÷èí. ×. 1. Ñòîõàñòè÷åñêèå ïîëèíîìû, èõ ñâîéñòâà è ïðèìåíåíèÿ äëÿ íàõîæ-
äåíèÿ îöåíîê ïàðàìåòðîâ. — ×åðêàññû: ×ÈÒÈ, 2001. — 133 ñ.
14. De Carlo L.T. On the meaning and use of kurtosis // Psychological Methods. — 1997. —
Vol. 2, No. 3. — Ð. 292—307.
15. Êóçíåöîâ Á.Ô., Áîðîäêèí Ä.Ê., Ëåáåäåâà Ë.Â. Êóìóëÿíòíûå ìîäåëè äîïîëíèòåëüíûõ
ïîãðåøíîñòåé // Ñîâðåìåííûå òåõíîëîãèè. Ñèñòåìíûé àíàëèç. Ìîäåëèðîâàíèå. —
2013. — ¹ 1 (37). — Ñ. 134—138.
16. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Ïóàññîíîâñêèå ìîìåíòû áåçãðàíè÷íî äåëèìûõ ðàñïðåäåëåíèé //
Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2002. — ¹ 15. — Ñ. 84—88.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
17. Ìàð÷åíêî Á.Ã., Ùåðáàê Ë.Í. Ïðîáëåìà ìîìåíòîâ è êóìóëÿíòíûé àíàëèç // Îòáîð è
îáðàáîòêà èíôîðìàöèè. — 1993. — Âûï. 9 (85). — Ñ. 12—20.
18. Êðàñèëüíèêîâ À.È. Êëàññ íåãàóññîâñêèõ ðàñïðåäåëåíèé ñ íóëåâûìè êîýôôèöèåíòà-
ìè àñèììåòðèè è ýêñöåññà // Èçâ. âóçîâ. Ðàäèîýëåêòðîíèêà. — 2013. — 56, ¹ 6. —
Ñ. 56—63.
19. Jondeau E., Rockinger M. Gram-Charlier densities // Journal of Economic Dynamics &
Control. — 2001. — Vol. 25. — P. 1457—1483.
20. Jondeau E., Rockinger M. Conditional volatility, skewness, and kurtosis: existence, persis-
tence, and comovements // Ibid. — 2003. — Vol. 27. — P. 1699—1737.
21. Êðàñèëüíèêîâ À.È., Ïèëèïåíêî Ê.Ï. Îäíîâåðøèííàÿ äâóõêîìïîíåíòíàÿ ãàóññîâñêàÿ
ñìåñü. Êîýôôèöèåíò ýêñöåññà // Ýëåêòðîíèêà è ñâÿçü. — 2007. — ¹ 2 (37). — Ñ. 32—38.
22. ×åïèíîãà À.Â. Îáëàñò³ ðåàë³çàö³¿ á³ãàóñîâèõ ìîäåëåé àñèìåòðè÷íî-åêñöåñíèõ âèïàä-
êîâèõ âåëè÷èí ç ïåðôîðîâàíèì ìîìåíòíî-êóìóëÿíòíèì îïèñîì // ³ñíèê ×ÄÒÓ. —
2010. — ¹ 2. — Ñ. 91—95.
23. Øìåòòåðåð Ë. Ââåäåíèå â ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòàòèñòèêó / Ïåð. ñ íåì. ïîä ðåä. Þ.Â.
Ëèííèêà. — Ì.: Íàóêà, 1976. — 520 ñ.
24. Ôåëëåð Â. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Â 2-õ òîìàõ. Ò. 2. / Ïåð. ñ
àíãë. Þ.Â.Ïðîõîðîâà. — Ì. : Ìèð, 1984. — 738 ñ.
25. Âàäçèíñêèé Ð.Í. Ñïðàâî÷íèê ïî âåðîÿòíîñòíûì ðàñïðåäåëåíèÿì. — ÑÏá. : Íàóêà,
2001. — 295 ñ.
A.I. Krasilnikov
MODELS OF ASYMMETRICAL DISTRIBUTIONS
OF RANDOM VARIABLES WITH ZERO ASYMMETRY COEFFICIENT
The use of mixtures of distributions for finding possible asymmetrical distributions with zero
asymmetry coefficients has been substantiated as based on the method of randomization. Mathe-
matical models of asymmetric distributions with zero asymmetry coefficients have been ana-
lyzed; the models were obtained by the randomization of the shift and scale parameters of the ba-
sic distribution function. The examples of finding such distributions are given. The obtained re-
sults allow realizing the mathematical and computer modeling of asymmetric distributions with
zero asymmetry coefficients.
K e y w o r d s: asymmetric distributions, cumulant coefficients, coefficient of skewness, mixtures
of distributions, conjugate distributions.
REFERENCES
1. Novitskii, P.V. and Zograf, I.A. (1991), Otsenka pogreshnostei rezultatov izmerenii [Error
estimation in measurement results], Energoatomizdat, St. Petersburg, Russia.
2. Alexandrou, D., De Moustier, C. and Haralabus, G. (1992), “Evaluation and verification of
bottom acoustic reverberation statistics predicted by the point scattering model”, J. Acoust.
Soc. Am., Vol. 91, no. 3, pp. 1403-1413.
3. Shelukhin, O.I. (1998), Negaussovskie protsessy v radiotekhnike [Non-Gaussian processes
in radio engineering], Radio i svyaz, Moscow, Russia.
4. Marchenko, B.G., Matsiuk, O.V. and Fryz, M.Ye. (2005), Matematychni modeli y obrobka
sygnaliv v oftalmolohii [Mathematical models and processing of signals in ophthalmology],
Ternopil Ivan Pul’uj National Technical University, Ternopil, Ukraine.
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 31
5. Potapov, A.A., Gilmutdinov, A.Kh. and Ushakov, P.A. (2008), “System principles and ele-
ment base of fractal radioelectronics. Part 2. Methods of synthesis, models and application
prospect”, Radiotekhnika i elektronika, Vol. 53, no. 11, pp. 1347-1394.
6. Palagin, V.V. (2010), “Adaptation of moment quality criterion for the multiple-choice task
of verification of hypotheses when using the polynomial decision rules”, Elektronnoe
modelirovanie, Vol. 32, no. 4, pp. 17-33.
7. Krasilnikov, A.I. (2014), Modeli shumovykh signalov v sistemakh diagnostiki teploenerge-
ticheskogo oborudovaniya [Models of noise signals in the systems of diagnostics of heat-
and-power producing equipment], Institute of Engineering Thermophysics of NAS of
Ukraine, Kyiv, Ukraine.
8. Babak, S.V., Myslovich, M.V. and Sysak, R.M. (2015), Statisticheskaya diagnostika
elektrotekhnicheskogo oborudovaniya [Statistical diagnostics of the electrotechnical equip-
ment], Institute of Electrodynamics of NAS of Ukraine, Kyiv, Ukraine.
9. Bostandzhiyan, V.A. (2009), Raspredelenie Pirsona, Dzhonsona, Veibulla i obratnoe nor-
malnoe. Otsenivanie ikh parametrov [Pearson, Johnson, Weibull distribution and the reverse
normal. Estimation of their parameters], Institute for Problems of Chemical Physics of RAS,
Chernogolovka, Russia.
10. Senatov, V.V. (2009), Tsentralnaya predelnaya teorema: Tochnost approksimatsii i
asimptoticheskie razlozheniya [Central limit theorem: Approximation accuracy and asymp-
totic decompositions], Knizhnyi dom «Librokom», Moscow, Russia.
11. Korolev, V.Yu. (2004), Smeshannye gaussovskie veroyatnostnye modeli realnykh protses-
sov [The mixed Gaussian probabilistic models of real processes], Maks Press, Moscow, Russia.
12. Malakhov, A.N. (1978), Kumulyantnyi analiz sluchainykh negaussovykh protsessov i ikh
preobrazovanii [Cumulant analysis of random non-Gaussian processes and their transforma-
tions], Sovetskoe radio, Moscow, Russia.
13. Kunchenko, Yu.P. (2001), Polinomialnye otsenki parametrov blizkikh k gaussovskim slu-
chainyh velichin. Ch. I. Stokhasticheskie polinomy, ikh svoistva i primenenie dlya nakhozh-
deniya otsenok parametrov [Parameter polynomial estimations of random variables close to
Gaussian. Part I. Stochastic polynomials, their properties and application for finding the pa-
rameter estimations], ChITI, Cherkassy, Ukraine.
14. De Carlo, L.T. (1997), “On the meaning and use of kurtosis”, Psychological Methods, Vol. 2,
no. 3, pp. 292-307.
15. Kuznetsov, B.F., Borodkin, D.K. and Lebedeva, L.V. (2013), “Cumulant models of additio-
nal errors”, Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie, no. 1 (37), pp. 134-138.
16. Krasilnikov, A.I., (2002), “Poisson moments of infinitely divisible distributions”, Elektro-
nika i svyaz, no. 15, pp. 84-88.
17. Marchenko, B.G. and Shcherbak, L.N. (1993), “Moment problem and cumulant analysis”,
Otbor i obrabotka informatsii, Vol. 9 (85), pp. 12-20.
18. Krasilnikov, A.I. (2013), “Class of non-Gaussian distributions with zero skewness and kur-
tosis”, Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Radioelektronika, Vol. 56, no. 6, pp. 56-63.
19. Jondeau, E. and Rockinger, M. (2001), “Gram-Charlier densities”, Journal of Economic
Dynamics and Control, Vol. 25, pp. 1457-1483.
20. Jondeau, E. and Rockinger, M. (2003), “Conditional volatility, skewness, and kurtosis: exis-
tence, persistence, and comovements”, Journal of Economic Dynamics and Control, Vol. 27,
pp. 1699-1737.
21. Krasilnikov, A.I. and Pilipenko, K.P (2007), “Unimodal two-component Gaussian mixture.
Excess kurtosis”, Elektronika i svyaz, no. 2 (37), pp. 32-38.
22. Chepynoha, A.V. (2010), “Areas of realization of bi-Gaussian models of skewness-excess
random variables with the punched moment-cumulant description”, Visnyk ChDTU, no. 2,
pp. 91-95.
À.È. Êðàñèëüíèêîâ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 1
23. Shmetterer, L. (1976), Vvedenie v matematicheskuyu statistiku [Einf��uhrung in die mathe-
matishe Statistik], Translated by Linnik, Yu.V., Nauka, Moscow, Russia.
24. Feller, V. (1984), Vvedenie v teoriyu veroyatnostei i yeyo prilozheniya [Introduction to Prob-
ability Theory and Its Applications], Vol. 2. Translated by Prokhorov, Yu.V., Mir, Moscow,
Russia.
25. Vadzinskii, R.N. (2001), Spravochnik po veroyatnostnym raspredeleniyam [Reference Book
on Probabilistic Distributions], Nauka, St. Petersburg, Russia.
Ïîñòóïèëà 01.12.15;
ïîñëå äîðàáîòêè 30.12.15
ÊÐÀÑÈËÜÍÈÊÎÂ Àëåêñàíäð Èâàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà
òåõíè÷åñêîé òåïëîôèçèêè ÍÀÍ Óêðàèíû.  1973 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè, âåðîÿòíîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè
è ìåòîäû ñòàòèñòè÷åñêîé îáðàáîòêè ôëóêòóàöèîííûõ ñèãíàëîâ â ñèñòåìàõ øóìîâîé äèàã-
íîñòèêè.
Ìîäåëè íåñèììåòðè÷íûõ ðàñïðåäåëåíèé ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 1 33
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101332 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T09:04:13Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Красильников, А.И. 2016-06-02T15:18:27Z 2016-06-02T15:18:27Z 2016 Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии / А.И. Красильников // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 1. — С. 19-33. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101332 519.213:621.391 С помощью метода рандомизации обосновано применение смесей распределений для нахождения возможных несимметричных распределений с нулевым коэффициентом асимметрии. Проанализированы математические модели несимметричных распределений с нулевыми коэффициентами асимметрии, полученные рандомизацией параметров сдвига и масштаба базовой функции распределения. Приведены примеры нахождения таких распределений. Полученные результаты позволяют осуществлять математическое и компьютерное моделирование несимметричных распределений с нулевыми коэффициентами асимметрии. За допомогою методу рандомізації обгрунтовано застосування сумішей розподілів для знаходження можливих несиметричних розподілів з нульовим коефіцієнтом асиметрії.Проаналізовано математичні моделі несиметричних розподілів з нульовими коефіцієнтами асиметрії, які отримані рандомізацією параметрів зсуву та масштабу базової функції розподілу. Наведено приклади знаходження таких розподілів. Отримані результати дозволяють здійснювати математичне та комп’ютерне моделювання несиметричних розподілів з нульовим коефіцієнтом асиметрії. The use of mixtures of distributions for finding possible asymmetrical distributions with zero asymmetry coefficients has been substantiated as based on the method of randomization. Mathematical models of asymmetric distributions with zero asymmetry coefficients have been analyzed; the models were obtained by the randomization of the shift and scale parameters of the basic distribution function. The examples of finding such distributions are given. The obtained results allow realizing the mathematical and computer modeling of asymmetric distributions with zero asymmetry coefficients. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математическое моделирование и вычислительные методы Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии Models of asymmetrical distributions of random variables with zero asymmetry coefficient Article published earlier |
| spellingShingle | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии Красильников, А.И. Математическое моделирование и вычислительные методы |
| title | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| title_alt | Models of asymmetrical distributions of random variables with zero asymmetry coefficient |
| title_full | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| title_fullStr | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| title_full_unstemmed | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| title_short | Модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| title_sort | модели несимметричных распределений случайных величин с нулевым коэффициентом асимметрии |
| topic | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| topic_facet | Математическое моделирование и вычислительные методы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101332 |
| work_keys_str_mv | AT krasilʹnikovai modelinesimmetričnyhraspredeleniislučainyhveličinsnulevymkoéfficientomasimmetrii AT krasilʹnikovai modelsofasymmetricaldistributionsofrandomvariableswithzeroasymmetrycoefficient |