Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах
Выполнен анализ свойств модульных кодов с суммированием единичных информационных разрядов в системах функционального контроля при изменении длины информационного вектора. Установлены зависимости между ошибками различного вида при различных значениях модулей, которые непосредственно связаны с числом...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2016 |
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2016
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101343 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, М.Р. Черепанова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 27-48. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860204505758433280 |
|---|---|
| author | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Черепанова, М.Р. |
| author_facet | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Черепанова, М.Р. |
| citation_txt | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, М.Р. Черепанова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 27-48. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Выполнен анализ свойств модульных кодов с суммированием единичных информационных разрядов в системах функционального контроля при изменении длины информационного вектора. Установлены зависимости между ошибками различного вида при различных значениях модулей, которые непосредственно связаны с числом разрядов контрольных векторов и правилами вычисления их значений. Показано, что модульные коды с суммированием независимо от значения модуля не обнаруживают одинаковый процент ошибок кратностью d от общего числа ошибок данной кратностью при любых длинах информационных векторов. Экспериментально установлено, что уменьшение значения модуля для реальных логических схем во многих случаях не приводит к увеличению числа необнаруживаемых ошибок, возникающих на их выходах.
Проаналізовано властивості кодів з підсумовуванням одиничних інформаційних розрядів в системах функціонального контролю при змінюванні довжини інформаційного вектору. Встановлено залежності між різними похибками при різних значеннях модулів, які безпосередньо пов’язані з кількістю розрядів контрольних векторів і правилами їх обчислення. Показано, що модульні коди з підсумовуванням незалежно від значення модуля не виявляють однаковий процент похибок кратності d від загального числа похибок даної кратності при будь-якій довжині інформаційних векторів. Експериментально встановлено, що зменшення значення модуля для реальних логічних схем в багатьох випадках не приводить до збільшення числа похибок, що не виявляються, на виходах.
The analysis of modulo codes with summation of active bits properties in concurrent error detection systems for the data vector length change was performed. Dependence of errors of different types on different values of modulo, that are connected with the number of bits in data vectors and their calculation rules were determined. It was shown that modulo codes with summation do not detect the same rate of given multiplicity d errors for any data vector length without reference to modulo. It is shown in experiments that reduction of modulo value for real logic circuits does not result in the increase of the number of undetectable errors on its outputs in many cases.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:12:25Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 681.518.5:004.052.32
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, äîêòîðà òåõí. íàóê,
Ä.Â. Åôàíîâ, êàíä. òåõí. íàóê, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå áþäæåòíîå îáðàçîâàòåëüíîå
ó÷ðåæäåíèå âûñøåãî ïðîôåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ
«Ïåòåðáóðãñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
ïóòåé ñîîáùåíèÿ Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I»
(Ðîññèéñêàÿ Ôåäåðàöèÿ, 190031, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ìîñêîâñêèé ïð., 9,
òåë. (+7) 9117092164, (+7) (812) 4578579, e-mail: TrES-4b@yandex.ru)
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ
ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ. I. Ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ
îøèáîê êîäàìè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ
Âûïîëíåí àíàëèç ñâîéñòâ ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì åäèíè÷íûõ èíôîðìàöèîííûõ
ðàçðÿäîâ â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ ïðè èçìåíåíèè äëèíû èíôîðìàöèîííîãî
âåêòîðà. Óñòàíîâëåíû çàâèñèìîñòè ìåæäó îøèáêàìè ðàçëè÷íîãî âèäà ïðè ðàçëè÷íûõ çíà-
÷åíèÿõ ìîäóëåé, êîòîðûå íåïîñðåäñòâåííî ñâÿçàíû ñ ÷èñëîì ðàçðÿäîâ êîíòðîëüíûõ âåêòîðîâ
è ïðàâèëàìè âû÷èñëåíèÿ èõ çíà÷åíèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì
íåçàâèñèìî îò çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ íå îáíàðóæèâàþò îäèíàêîâûé ïðîöåíò îøèáîê êðàòíîñòüþ d
îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê äàííîé êðàòíîñòüþ ïðè ëþáûõ äëèíàõ èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ.
Ýêñïåðèìåíòàëüíî óñòàíîâëåíî, ÷òî óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ äëÿ ðåàëüíûõ ëîãè÷åñ-
êèõ ñõåì âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ íå ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê,
âîçíèêàþùèõ íà èõ âûõîäàõ.
Ïðîàíàë³çîâàíî âëàñòèâîñò³ êîä³â ç ï³äñóìîâóâàííÿì îäèíè÷íèõ ³íôîðìàö³éíèõ ðîçðÿä³â â
ñèñòåìàõ ôóíêö³îíàëüíîãî êîíòðîëþ ïðè çì³íþâàíí³ äîâæèíè ³íôîðìàö³éíîãî âåêòîðó.
Âñòàíîâëåíî çàëåæíîñò³ ì³æ ð³çíèìè ïîõèáêàìè ïðè ð³çíèõ çíà÷åííÿõ ìîäóë³â, ÿê³ áåçïî-
ñåðåäíüî ïîâ’ÿçàí³ ç ê³ëüê³ñòþ ðîçðÿä³â êîíòðîëüíèõ âåêòîð³â ³ ïðàâèëàìè ¿õ îá÷èñëåííÿ.
Ïîêàçàíî, ùî ìîäóëüí³ êîäè ç ï³äñóìîâóâàííÿì íåçàëåæíî â³ä çíà÷åííÿ ìîäóëÿ íå âèÿâëÿþòü
îäíàêîâèé ïðîöåíò ïîõèáîê êðàòíîñò³ d â³ä çàãàëüíîãî ÷èñëà ïîõèáîê äàíî¿ êðàòíîñò³ ïðè
áóäü-ÿê³é äîâæèí³ ³íôîðìàö³éíèõ âåêòîð³â. Åêñïåðèìåíòàëüíî âñòàíîâëåíî, ùî çìåíøåííÿ
çíà÷åííÿ ìîäóëÿ äëÿ ðåàëüíèõ ëîã³÷íèõ ñõåì â áàãàòüîõ âèïàäêàõ íå ïðèâîäèòü äî çá³ëü-
øåííÿ ÷èñëà ïîõèáîê, ùî íå âèÿâëÿþòüñÿ, íà âèõîäàõ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñèñòåìà ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ, ñòðóêòóðíàÿ èçáûòî÷íîñòü,
êîä ñ ñóììèðîâàíèåì, êîä Áåðãåðà, êîä ïàðèòåòà, ìîäóëüíûé êîä ñ ñóììèðîâàíèåì, îáíà-
ðóæåíèå îøèáîê â êîìáèíàöèîííûõ ñõåìàõ.
Äëÿ îðãàíèçàöèè òåõíè÷åñêîãî äèàãíîñòèðîâàíèÿ óñòðîéñòâà àâòîìàòèêè
è âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè áåç îòêëþ÷åíèÿ åãî îò óïðàâëÿåìûõ îáúåêòîâ
èñïîëüçóþòñÿ ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ (ÑÔÊ) [1—4]. Â òàêèõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 27
� Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà, 2016
�������� �
��
�
�� ���������� ��
ñèñòåìàõ êîíòðîëèðóåìîå ëîãè÷åñêîå óñòðîéñòâî F x( ) ñíàáæàåòñÿ ñïå-
öèàëèçèðîâàííûì êîíòðîëüíûì îáîðóäîâàíèåì (áëîêîì êîíòðîëüíîé ëî-
ãèêè G x( ) è òåñòåðîì TSC), ïîçâîëÿþùèì â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ
âñåé ñèñòåìû îáíàðóæèâàòü íåèñïðàâíîñòè åå êîìïîíåíòîâ (ðèñ. 1) [5—
7]. Ýòà çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïîñðåäñòâîì âûÿâëåíèÿ íåñîîòâåòñòâèÿ çíà÷åíèé
âû÷èñëÿåìûõ ôóíêöèé ýòàëîííûì çíà÷åíèÿì, óñòàíàâëèâàåìûì ïðè ïðà-
âèëüíîé ðàáîòå ñèñòåìû íà âñåõ âõîäíûõ âîçäåéñòâèÿõ [8].
Ïðè ïîñòðîåíèè ÑÔÊ ÷àñòî èñïîëüçóþòñÿ ïðèíöèïû ïîìåõîóñòîé-
÷èâîãî êîäèðîâàíèÿ, ò.å. â îñíîâå ÑÔÊ ëåæèò çàðàíåå âûáðàííûé ïîìå-
õîóñòîé÷èâûé êîä, êàê ïðàâèëî, ñ íåáîëüøîé èçáûòî÷íîñòüþ [9—13]. Èñ-
ïîëüçîâàíèå ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäà ñ íåáîëüøîé èçáûòî÷íîñòüþ íåîáõî-
äèìî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ÑÔÊ ñ íåâûñîêîé ñòðóêòóðíîé èçáûòî÷íîñòüþ (îáû÷íî
åå îïðåäåëÿþò â óñëîâíûõ åäèíèöàõ ïëîùàäè, çàíèìàåìîé óñòðîéñòâîì íà
êðèñòàëëå, è îöåíèâàþò ïî îòíîøåíèþ ê ñëîæíîñòè òåõíè÷åñêîé ðåàëè-
çàöèè ñèñòåìû äóáëèðîâàíèÿ).
Âûõîäàì êîíòðîëèðóåìîãî óñòðîéñòâà f f f m1 2, , ..., ñîîòâåòñòâóþò ðàç-
ðÿäû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà, êîòîðûé äîïîëíÿåòñÿ äî êîäîâîãî ñëîâà
âûáðàííîãî ïîìåõîóñòîé÷èâîãî êîäà ñ ïîìîùüþ áëîêà êîíòðîëüíîé ëîãè-
êè, âû÷èñëÿþùåãî ôóíêöèè ðàçðÿäîâ êîíòðîëüíîãî âåêòîðà g g g k1 2, ,..., .
Òåñòåð â ñîñòàâå êîíòðîëüíîãî îáîðóäîâàíèÿ ðåøàåò çàäà÷ó ïðîâåðêè
ñîîòâåòñòâèÿ çíà÷åíèé ðàçðÿäîâ èíôîðìàöèîííîãî è êîíòðîëüíîãî âåê-
òîðîâ êîäó, óñòàíîâëåííîìó íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ ÑÔÊ. Òåñòåð èìååò
âèä ñàìîïðîâåðÿåìîé ñòðóêòóðû è îáíàðóæèâàåò íåèñïðàâíîñòè êàê â
áëîêàõ F x( )èG x( ), òàê è ñîáñòâåííûå íåèñïðàâíîñòè. Åñëè íåèñïðàâíîñòè
îòñóòñòâóþò, â ÑÔÊ íà âûõîäàõ òåñòåðà ôîðìèðóåòñÿ ïàðàôàçíûé ñèãíàë
<01> ëèáî <10> [14, 15].
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Ðèñ. 1. Ñòðóêòóðíàÿ ñõåìà ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
Ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ îáû÷íî ïîñòðîåíû ñ ó÷åòîì óñ-
ëîâèÿ îáíàðóæåíèÿ âñåõ îäèíî÷íûõ êîíñòàíòíûõ íåèñïðàâíîñòåé íà âû-
õîäàõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ âíóòðåííåé ñòðóêòóðû áëîêà F x( ) [1]. Ñèñ-
òåìà ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ, ïîñòðîåííàÿ â ñîîòâåòñòâèè ñî ñòðóêòóð-
íîé ñõåìîé, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 1, ââèäó ðàçäåëüíîé ðåàëèçàöèè âñåõ åå
áëîêîâ èìååò âàæíóþ îñîáåííîñòü, à èìåííî: â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò
âðåìåíè íåèñïðàâíîñòü ìîæåò âîçíèêíóòü òîëüêî â îäíîì èç åå áëîêîâ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâèå ìåæäó çíà÷åíèÿìè ðàçðÿäîâ êîäîâûõ ñëîâ â
ÑÔÊ ìîæåò áûòü íàðóøåíî òîëüêî â èíôîðìàöèîííîì èëè òîëüêî â êîíò-
ðîëüíîì âåêòîðå. Ýòî ïîçâîëÿåò ðàññìàòðèâàòü ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ
îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ êîäîâ â óñëîâèÿõ áåçîøèáî÷íîñòè
êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ, èññëåäóÿ ïðè ýòîì ñâîéñòâà ñàìîé ÑÔÊ.
Îò ñâîéñòâ êîäà, âûáðàííîãî íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ ÑÔÊ, çàâèñÿò
åå îñíîâíûå õàðàêòåðèñòèêè — ïîêàçàòåëè ñòðóêòóðíîé èçáûòî÷íîñòè è
îáíàðóæåíèÿ îøèáîê â êîíòðîëèðóåìîì îáúåêòå [16—18].
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì. Ïîñòðîåíèå ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ
ñóììèðîâàíèåì, èëè SM (m, k)-êîäîâ, ãäå m — äëèíà èíôîðìàöèîííîãî
âåêòîðà, k — äëèíà êîíòðîëüíîãî âåêòîðà, M — çíà÷åíèå ìîäóëÿ, âûïîë-
íÿåòñÿ ïî ñëåäóþùèì ïðàâèëàì:
1. Äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ m âûáèðàåì è ôèêñèðóåì ìîäóëü M �{ , ,...2 3
..., , }m m �1 .
2. Îïðåäåëÿåì ñóììó åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà —
âåñ r èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà.
3. Îïðåäåëÿåì íàèìåíüøèé íåîòðèöàòåëüíûé âû÷åò ÷èñëà r ïî ìî-
äóëþ M:W r M� (mod ).
4. ×èñëî W ïðåäñòàâëÿåì â äâîè÷íîì âèäå è çàïèñûâàåì â ðàçðÿäû
êîíòðîëüíîãî âåêòîðà.
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû êîíòðîëüíûå âåêòîðû äëÿ âñåõ SM m k( , )-êîäîâ
ïðè äëèíå èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà m = 4. Äëÿ çàäàííîé äëèíû èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà m ìîæíî ïîñòðîèòü m ðàçëè÷íûõ SM m k( , )-êîäîâ. Ýòî
îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ìàêñèìàëüíîãî âåñà r èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà:
r mmax � . Äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ â äâîè÷íîì âèäå çíà÷åíèÿ r mmax � òðåáóåòñÿ
� �k m� �log ( )2 1 , ãäå � �� — öåëîå ñâåðõó îò âû÷èñëÿåìîãî çíà÷åíèÿ áèò,
èëè ðàçðÿäîâ êîíòðîëüíîãî âåêòîðà. Ïîýòîìó, â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ
ìîäóëÿ M, êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì ìîãóò èìåòü � �k m� �{ , , ..., log ( ) }1 2 12
ðàçðÿäîâ â êîíòðîëüíûõ âåêòîðàõ. Êîäû ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì êîíòðîëü-
íûõ ðàçðÿäîâ, èëè S2 (m, 1)-êîäû, íàçûâàþòñÿ êîäàìè ïàðèòåòà [19—21].
Êîäû ñ ìàêñèìàëüíûì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ M = m + 1 èçâåñòíû êàê êîäû Áåð-
ãåðà [11, 15, 22].
Êàê âèäèì, çíà÷åíèå ìîäóëÿ M íåïîñðåäñòâåííî âëèÿåò íà ÷èñëî
ðàçðÿäîâ â êîíòðîëüíîì âåêòîðå, à òàêæå íà ðàñïðåäåëåíèå êîíòðîëüíûõ
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 29
âåêòîðîâ ìåæäó èíôîðìàöèîííûìè âåêòîðàìè. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ÿâ-
ëÿåòñÿ âàæíûì ìîìåíòîì, âëèÿþùèì íà ñëîæíîñòü òåõíè÷åñêîé ðåàëèçà-
öèè êîäèðóþùåãî îáîðóäîâàíèÿ è ÑÔÊ, à òàêæå íà ñâîéñòâà êîäà è ñîîò-
âåòñòâåííî ÑÔÊ ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â êîíòðîëèðóåìûõ ñõåìàõ.
Âûáîð çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ SM m k( , )-êîäà ïðè îðãàíèçàöèè ÑÔÊ èìååò îïðå-
äåëÿþùåå çíà÷åíèå [23].
Îáíàðóæåíèå îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ ìîäóëüíûìè
êîäàìè ñ ñóììèðîâàíèåì. Ïðè îðãàíèçàöèè ÑÔÊ ëîãè÷åñêèõ ñõåì âàæíî
çíàòü ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê êîäàìè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
Ýòè ñâîéñòâà îïðåäåëÿþò è ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê â ðàçðÿäàõ âåêòîðà
ðàáî÷èõ ôóíêöèé â ÑÔÊ. Ñèñòåìû ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ â óñòðîéñòâàõ
óïðàâëåíèÿ îòâåòñòâåííûìè òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè äîëæíû
îáåñïå÷èâàòü 100%-íîå îáíàðóæåíèå îäèíî÷íûõ íåèñïðàâíîñòåé [24].
Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê êîäàìè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòî-
ðàõ, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òðåáîâàíèÿ ê ïîñòðîåíèþ äèñêðåòíûõ ñèñòåì,
îáåñïå÷èâàþùèõ 100%-íîå îáíàðóæåíèå îäèíî÷íûõ íåèñïðàâíîñòåé.
Ðàññìîòðèì ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê SM m k( , )-êîäàìè â èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðàõ. Êðàòíîñòü âîçíèêàþùåé â èíôîðìàöèîííîì âåêòî-
ðå îøèáêè îáîçíà÷èì d m�{ , }1 . Ëþáàÿ îøèáêà õàðàêòåðèçóåòñÿ íå òîëüêî
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Íîìåð
ï.ï.
Èíôîðìàöèîííûé
âåêòîð
r
r M(mod )
Êîíòðîëüíûé âåêòîð
S 2 4 1( , ) S 3 4 2( , ) S 4 4 2( , ) SM M( , ),4 3 5�
f4 f3 f2 f1 2 3 4 �5 g1 g2 g1 g2 g1 g3 g2 g1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 1 1 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 0 1
2 0 0 1 0 1 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 0 1
3 0 0 1 1 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
4 0 1 0 0 1 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 0 1
5 0 1 0 1 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
6 0 1 1 0 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
7 0 1 1 1 3 1 0 3 7 1 0 0 1 1 0 1 1
8 1 0 0 0 1 1 1 1 4 1 0 1 0 1 0 0 1
9 1 0 0 1 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
10 1 0 1 0 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
11 1 0 1 1 3 1 0 3 7 1 0 0 1 1 0 1 1
12 1 1 0 0 2 0 2 2 6 0 1 0 1 0 0 1 0
13 1 1 0 1 3 1 0 3 7 1 0 0 1 1 0 1 1
14 1 1 1 0 3 1 0 3 7 1 0 0 1 1 0 1 1
15 1 1 1 1 4 0 1 0 5 0 0 1 0 0 1 0 0
Òàáëèöà 1
êðàòíîñòüþ, íî è âèäîì, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ îáùèì ÷èñëîì èñêàæåíèé
íóëåâûõ è åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ. Ïóñòü e0 1 — ÷èñëî èñêàæåíèé 0 1 , à
e1 0 — ÷èñëî èñêàæåíèé1 0 . Êðàòíîñòü âîçíèêàþùåé îøèáêè åñòü ñóì-
ìà ÷èñëà èñêàæåíèé íóëåâûõ è åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ:
d e e� � 1 0 0 1. (1)
Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëàìè e0 1 è e1 0 îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò ïðèíàä-
ëåæíîñòü âîçíèêøåé îøèáêè â èíôîðìàöèîííîì âåêòîðå êëàññó îáíàðó-
æèâàåìûõ èëè íåîáíàðóæèâàåìûõ SM m k( , )-êîäàìè îøèáîê.
Ñîãëàñíî òåîðèè ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ âñå îøèáêè â èíôîðìà-
öèîííûõ âåêòîðàõ äåëÿòñÿ íà íåñêîëüêî âèäîâ (ðèñ. 2) [25].
Îïðåäåëåíèå 1. Îøèáêà íàçûâàåòñÿ ìîíîòîííîé, èëè îäíîíàïðàâëåí-
íîé, åñëè åå êðàòíîñòü ñîñòàâëÿåò d e� 1 0 ëèáî d e� 0 1.
Èç äàííîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî ìîíîòîííàÿ îøèáêà âîçíèêàåò
ïðè èñêàæåíèè òîëüêî íóëåâûõ èëè òîëüêî åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ.
Îïðåäåëåíèå 2.  ñëó÷àå, åñëè d e
1 0 èëè d e
0 1, îøèáêà ÿâëÿåòñÿ
íåìîíîòîííîé, èëè ðàçíîíàïðàâëåííîé.
 êëàññå íåìîíîòîííûõ îøèáîê âûäåëÿþòñÿ îñîáåííûå âèäû îøèáîê.
Îïðåäåëåíèå 3. Îøèáêà íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, åñëè e e1 0 0 1 � .
Îïðåäåëåíèå 4. Åñëè e e1 0 0 1
è d e
1 0 èëè d e
0 1, îøèáêà íàçû-
âàåòñÿ àñèììåòðè÷íîé.
Ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷èñëîì ìîíîòîííûõ, ñèììåòðè÷íûõ è àñèììåò-
ðè÷íûõ îøèáîê ïðè ðàçëè÷íûõ äëèíàõ èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ — ðàç-
ëè÷íûå. Íàïðèìåð, ïðè äëèíå èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà m = 10 èìååòñÿ
17,54 % ñèììåòðè÷íûõ îøèáîê, 11,08 % ìîíîòîííûõ è 71,38 % àñèììåò-
ðè÷íûõ îøèáîê. Ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà äîëÿ
ìîíîòîííûõ è ñèììåòðè÷íûõ îøèáîê îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê â èíôîð-
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 31
Ñèììåòðè÷íûå
îøèáêè
Àñèììåòðè÷íûå
îøèáêè
Ìîíîòîííûå
îøèáêè
Ðèñ. 2. Âèäû îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîäîâ
ìàöèîííûõ âåêòîðàõ óìåíüøàåòñÿ, à äîëÿ àñèììåòðè÷íûõ îøèáîê óâåëè-
÷èâàåòñÿ [25].
Òåîðåìà. Îøèáêà êðàòíîñòüþ d â èíôîðìàöèîííîì âåêòîðå SM m k( , )-
êîäà áóäåò íåîáíàðóæèâàåìîé òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
| |e e iM1 0 0 1 � � , (2)
ãäå i = 0, 1, ..., q (qM m� ).
Ä î ê à ç à ò å ë ü ñ ò â î. Äîêàæåì íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû. Äëÿ
ýòîãî ðàññìîòðèì òàáëè÷íóþ ôîðìó çàäàíèÿ ëþáîãî SM m k( , )-êîäà. Òàá-
ëè÷íàÿ ôîðìà çàäàíèÿ ñèñòåìàòè÷åñêîãî êîäà ïðåäïîëàãàåò ïåðå÷èñëåíèå
âñåõ èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ â ñòîëáöàõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì êîíò-
ðîëüíûì âåêòîðàì êîäà [26]. Íàïðèìåð, â òàáë. 2 çàäàí S4 (6, 2)-êîä.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Âåñ r èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ 0, 4 1, 5 2, 6 3,0
Âåñ t r M� (mod ) (íîìåð ãðóïïû) 0 1 2 3
Äâîè÷íûé íîìåð êîíòðîëüíîé ãðóïïû 00 01 10 11
Èíôîðìàöèîííûé âåêòîð 000000 000001 000011 000111
001111 000010 000101 001011
010111 000100 000110 001101
011011 001000 001001 001110
011101 010000 001010 010011
011110 100000 001100 010101
100111 011111 010001 010110
101011 101111 010010 011001
101101 110111 010100 011010
101110 111011 011000 011100
110011 111101 100001 100011
110101 111110 100010 100101
110110 100100 100110
111001 101000 101001
111010 110000 101010
111100 111111 101100
110001
110010
110100
111000
Òàáëèöà 2
Òàáëè÷íàÿ ôîðìà çàäàíèÿ êîäà óäîáíà äëÿ àíàëèçà åãî ñâîéñòâ îáíà-
ðóæåíèÿ îøèáîê. Îøèáêà â èíôîðìàöèîííîì âåêòîðå íå áóäåò îáíàðó-
æåíà êîäîì òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïåðåâåäåò îäèí èíôîðìàöèîííûé
âåêòîð â äðóãîé â ïðåäåëàõ îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïû.
 òàáë. 3 óêàçàíî ÷èñëî èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ ñ âåñîì r â êàæäîé
êîíòðîëüíîé ãðóïïå SM m k( , )-êîäà (ôàêòè÷åñêè, ýòî êîëè÷åñòâî íàèìåíüøèõ
íåîòðèöàòåëüíûõ âû÷åòîâ âåñîâ âñåõ èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ SM m k( , )-
êîäà ïî ìîäóëþ M). Â êîíòðîëüíóþ ãðóïïó ñ íîìåðîì t s M� �{ , ,..., , ..., }0 1 1
ïîìåùåíû âåêòîðû ñ âåñîì r = t (èõ ÷èñëî ñîñòàâëÿåòC m
t ), âåêòîðû ñ âåñîì
M + t (C m
M t� ), âåêòîðû ñ âåñîì iM + t (C m
iM t� , iM t m� � ). Â ðåçóëüòàòå â
ãðóïïå t ðàçìåùàåòñÿ
p C C C Ct m
t
m
M t
m
M t
m
iM t� � � � �� � �2 ... (3)
èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ [27].
Íåîáíàðóæèâàåìàÿ îøèáêà íå ìåíÿåò çíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî âû÷å-
òà âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà. Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè èñêàæå-
íèé èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ âíóòðè îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïû.
1. Ïåðåâîä èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà ñ âåñîì r â èíôîðìàöèîííûé
âåêòîð ñ òàêèì æå âåñîì. Òàêàÿ îøèáêà ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé, òàê êàê
ïðè åå âîçíèêíîâåíèè âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî e e1 0 0 1 � . Ýòà îøèáêà
óäîâëåòâîðÿåò âûðàæåíèþ (2) ïðè i = 0.
2. Ïåðåõîä èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà ñ âåñîì r â èíôîðìàöèîííûé
âåêòîð ñ îòëè÷íûì îò r âåñîì. Ïóñòü äàííûé ïåðåõîä ïðîèñõîäèò âíóòðè
êîíòðîëüíîé ãðóïïû ñ íîìåðîì t. Òîãäà çíà÷åíèå âåñà ëþáîãî èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà, ïðåäñòàâëåííîãî ïî ìîäóëþ M, áóäåò r M t(mod ) � . Â
ðåçóëüòàòå íåîáíàðóæèâàåìîé îøèáêè ÷èñëî t íå èçìåíèòñÿ. Ðàññòîÿíèå
Õýììèíãà ìåæäó èíôîðìàöèîííûìè âåêòîðàìè âíóòðè îäíîé êîíòðîëü-
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 33
Âåñ t äëÿ êîíòðîëüíîé ãðóïïû
0 1
s
M – 1
Cm
0 Cm
1
Cm
s
Cm
M �1
Cm
M Cm
M �1
Cm
M s�
Cm
M2 1�
Cm
M2 Cm
M2 1�
Cm
M s2 �
Cm
M3 1�
Cm
i M Cm
i M �1
Cm
i M s�
Cm
i M( )� �1 1
Òàáëèöà 3
íîé ãðóïïû áóäåò âñåãäà êðàòíî çíà÷åíèþ M, òàê êàê âåñà èíôîðìàöèîí-
íûõ âåêòîðîâ â êîíòðîëüíîé ãðóïïå èìåþò òîëüêî çíà÷åíèÿ r, r + M, ..., r +
+ iM (r + iM � m). Ñëåäîâàòåëüíî, íåîáíàðóæèâàåìàÿ îøèáêà èìååò êðàò-
íîñòü d = iM, ãäå i = 1, ..., q (qM � m). Ïðè e e1 0 0 1 � îøèáêà áóäåò íåîá-
íàðóæèâàåìîé òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè e e iM1 0 0 1 � � . Ïðè e e1 0 0 1 �
îøèáêà áóäåò íåîáíàðóæèâàåìîé òîëüêî â ñëó÷àå, åñëè e e iM0 1 1 0 � � .
Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå òåîðåìû âûïîëíÿåòñÿ.
Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû äîêàçûâàåò òîò ôàêò, ÷òî íèêàêàÿ
äðóãàÿ îøèáêà, êðîìå äâóõ ðàññìîòðåííûõ âûøå âèäîâ, íå ïåðåâîäèò
ïðîèçâîëüíûé èíôîðìàöèîííûé âåêòîð ðàññìàòðèâàåìîé êîíòðîëüíîé ãðóï-
ïû â äðóãîé èíôîðìàöèîííûé âåêòîð òîé æå êîíòðîëüíîé ãðóïïû.
Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà äîêàçàíà.
Èç ýòîé òåîðåìû, â ÷àñòíîñòè, ñëåäóåò, ÷òî íåîáíàðóæèâàåìûå SM m k( , )-
êîäàìè îøèáêè ìîãóò áûòü êàê ìîíîòîííûìè, òàê è ñèììåòðè÷íûìè è
àñèììåòðè÷íûìè.
Ñëåäñòâèå. Ïðèíàäëåæíîñòü íåîáíàðóæèâàåìûõ SM m k( , )-êîäàìè
îøèáîê ê îïðåäåëåííûì ðàíåå âèäàì íàõîäèì ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (2):
1) åñëè d e iM� � 1 0 èëè d e iM� � 0 1 , ãäå i = 1, …, q (qM � m), òî íå-
îáíàðóæèâàåìàÿ îøèáêà áóäåò ìîíîòîííîé;
2) åñëè | |e e1 0 0 1 0 � � , òî íåîáíàðóæèâàåìàÿ îøèáêà áóäåò ñèììåò-
ðè÷íîé;
3) åñëè | |e e iM1 0 0 1 � � , ãäå i = 1, , q (qM � m), òî íåîáíàðóæèâàåìàÿ
îøèáêà áóäåò àñèììåòðè÷íîé.
Ó÷èòûâàÿ ñâîéñòâà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â SM m k( , )-êîäàõ, íå-
òðóäíî ôîðìàëèçîâàòü ïðîöåññ èõ ïîäñ÷åòà [27]. ×èñëî íåîáíàðóæèâàå-
ìûõ îøèáîê â îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïå
N C
p
p
p pm t p
t
t
t tt( )
!
!( )!
( )� �
�
� �2 2
2 2
12 . (4)
Îáùåå ÷èñëî íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ
SM m k( , )-êîäàõ ðàâíî ñóììå âåëè÷èí N m t( ) ïî âñåì êîíòðîëüíûì ãðóïïàì t:
N N p pm
t
t M
m t
t
t M
t t� � � �
�
� �
�
� �
� �
0
1
0
1
1( ) ( )
� � � � � � �
�
� �
� � � ��
t
t M
m
t
m
M t
m
M t
m
iM t
m
t
m
M tC C C C C C
0
1
2( ... ) ( C Cm
M t
m
iM t2 1� �� � �... ). (5)
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 35
m
×
è
ñë
î
í
åî
á
í
àð
ó
æ
è
â
àå
ì
û
õ
î
ø
è
á
î
ê
â
è
í
ô
î
ð
ì
àö
è
î
í
í
û
õ
â
åê
òî
ð
àõ
S
M
m
k
(
,
)-
ê
î
ä
î
â
ï
ð
è
M
2
3
4
5
6
7
8
2
4
2
2
2
2
2
2
3
2
4
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
1
1
2
7
0
5
6
5
4
5
4
5
4
5
4
5
4
8
0
3
1
0
2
4
0
2
2
2
2
2
0
2
2
0
2
2
0
6
1
9
8
4
1
3
0
2
9
9
2
8
8
4
8
6
2
8
6
0
8
6
0
7
8
0
6
4
5
3
3
4
4
0
3
2
3
4
8
6
3
3
3
2
3
3
0
6
3
3
0
4
8
3
2
5
1
2
2
1
5
9
0
1
6
2
5
6
1
3
7
3
4
1
2
8
5
4
1
2
6
4
6
1
2
6
1
6
9
1
3
0
5
6
0
8
6
8
7
0
6
5
2
8
0
5
4
2
2
8
4
9
7
4
0
4
8
4
1
4
4
8
1
4
4
1
0
5
2
3
2
6
4
3
4
8
5
0
2
2
6
1
6
3
2
2
1
4
7
4
2
1
9
3
4
2
2
1
8
6
0
1
2
1
8
4
1
1
2
1
1
2
0
9
5
1
0
4
1
3
9
6
0
5
4
1
0
4
7
5
5
2
8
5
2
6
5
4
7
5
6
0
5
2
7
1
8
0
1
4
7
0
6
4
6
4
1
2
8
3
8
4
5
1
2
5
5
8
8
3
1
0
4
1
9
2
2
5
6
3
3
9
2
8
2
0
2
9
6
9
2
5
4
2
7
8
5
0
6
8
2
7
2
1
3
1
2
1
3
3
3
5
4
6
2
4
0
2
2
3
6
1
4
3
0
1
6
7
7
3
1
2
0
1
3
5
2
2
1
5
8
1
1
7
0
8
0
6
0
1
0
8
5
2
8
6
8
1
0
5
2
3
9
6
8
1
4
1
3
4
2
0
1
3
4
4
8
9
4
6
2
1
0
2
6
7
1
0
0
6
7
2
5
3
9
5
4
9
6
6
4
6
3
1
7
1
8
2
4
2
4
6
8
2
9
8
4
0
8
5
3
6
9
6
1
5
5
3
6
8
3
8
1
4
4
3
5
7
8
8
1
1
7
4
2
6
8
4
1
9
0
7
2
2
1
5
4
5
9
7
9
6
1
8
3
7
0
7
1
7
2
1
6
6
7
9
0
6
6
2
1
5
9
1
5
6
3
5
2
1
6
2
1
4
7
4
1
8
1
1
2
1
4
3
1
5
9
0
2
3
0
1
0
7
3
7
0
9
0
5
6
8
6
0
8
7
6
2
6
2
7
3
0
1
1
1
2
5
4
6
5
7
1
1
3
4
4
6
6
2
2
0
5
1
4
5
6
1
7
8
5
8
9
8
0
3
5
2
0
5
7
2
6
4
9
1
9
9
0
4
2
9
4
9
0
1
7
6
0
3
4
4
0
9
4
3
5
8
2
2
9
0
6
2
2
7
1
8
0
2
5
9
5
7
4
3
3
9
6
2
4
3
8
3
7
7
7
2
8
1
8
3
4
3
5
9
4
7
6
2
2
4
2
2
9
0
6
2
3
0
1
0
2
1
7
1
7
9
7
3
8
1
1
2
1
3
7
5
6
9
8
7
3
1
6
1
1
5
8
2
1
2
4
1
4
2
1
0
2
7
6
6
0
1
5
5
8
9
5
8
3
2
4
8
1
2
8
1
9
1
3
7
4
3
8
4
2
9
1
8
4
9
1
6
2
5
4
4
4
6
9
4
6
8
7
1
9
2
1
4
5
9
2
5
5
0
1
0
0
1
8
6
2
2
4
6
1
9
9
8
8
0
6
9
2
4
0
7
6
0
6
9
3
6
9
2
3
7
7
5
1
4
0
0
9
6
0
2
0
5
4
9
7
5
4
7
6
5
3
1
2
3
6
6
5
0
2
8
2
7
3
5
0
2
7
4
8
7
7
3
8
2
6
5
6
2
1
9
9
9
2
8
0
7
4
3
0
1
8
4
4
1
3
1
5
0
8
5
4
1
6
1
9
1
9
6
0
2
7
6
4
1
4
9
0
1
9
3
6
9
9
8
4
Ò
à
á
ëè
ö
à
4
Íàïðèìåð, äëÿ S4 (6, 2)-êîäà ïîäñ÷åò îáùåãî ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ
îøèáîê ïî ôîðìóëå (5) äàåò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:
N N N N N N C C
t
t
t6
0
4 1
6 6 0 6 1 6 2 6 3 6
0
6
0� � � � � � �
�
� �
� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( � �� � �4
6
0
6
0 4 1) ( )C C
� � � � � � � �� � � �( ) ( ) ( ) ( )C C C C C C C C6
1
6
1 4
6
1
6
1 4
6
2
6
2 4
6
2
6
2 41 1 � � �C C6
3
6
3 1( )
� � � � � � � � � � � � �16 15 12 11 16 15 20 19 240 132 240 380 992 .
Ôîðìóëà (5) ñïðàâåäëèâà äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé M.
 òàáë. 4 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ
îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ SM m k( , )-êîäîâ äëÿ äèàïàçîíà çíà-
÷åíèé äëèí èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ m = 2�20 è íåêîòîðûõ ìîäóëåé M.
Êàê âèäèì, ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ äëÿ äàííîé äëèíû èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà ïðîèñõîäèò óìåíüøåíèå îáùåãî ÷èñëà íåîáíàðóæèâàå-
ìûõ îøèáîê. Ïðè ýòîì ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ
ìîäóëÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé m. Íàïðèìåð, ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
îáùåãî ÷èñëà íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê ïðè äëèíå èíôîðìàöèîííîãî
âåêòîðà m = 4 èìååò S5(4, 3)-êîä, à ïðè m = 6 — S7(6, 3)-êîä. Íåòðóäíî óñòà-
íîâèòü ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü.
Ñâîéñòâî 1. SM m k( , )-êîä èìååò ìèíèìàëüíîå îáùåå ÷èñëî íåîáíàðó-
æèâàåìûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ äëèíû m ïðè çíà÷åíèè
ìîäóëÿ M m� �1.
Ýòî ñâîéñòâî ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî
ïðè óêàçàííîì çíà÷åíèè ìîäóëÿ â ñëó÷àå ïîäñ÷åòà íàèìåíüøåãî íåîòðè-
öàòåëüíîãî âû÷åòà âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà â îäíîé êîíòðîëüíîé
ãðóïïå íå îêàæóòñÿ èíôîðìàöèîííûå âåêòîðû ñ ðàçëè÷íûìè âåñàìè t.
Çíà÷åíèå t áóäåò íàõîäèòüñÿ â äèàïàçîíå t m� �{ , , ..., }1 2 1 .
Àáñîëþòíûå âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå îáùåå ÷èñëî íåîáíàðóæè-
âàåìûõ êîäîì îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ, íå î÷åíü óäîáíû äëÿ
ñðàâíåíèÿ ñâîéñòâ êîäîâ. Íàìíîãî óäîáíåå àíàëèçèðîâàòü îòíîñèòåëü-
íûå âåëè÷èíû. Íàïðèìåð, ñâîéñòâà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê â èíôîðìàöèîí-
íûõ âåêòîðàõ SM m k( , )-êîäîâ ìîæíî ñðàâíèâàòü, èñïîëüçóÿ ñïåöèàëüíûé
êîýôôèöèåíò � m, õàðàêòåðèçóþùèé äîëþ íåîáíàðóæèâàåìûõ êîäîì
îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ îò îáùåãî ÷èñëà âîçìîæíûõ â èí-
ôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ îøèáîê (â ïðîöåíòàõ) [23]. ×èñëî íåîáíàðóæè-
âàåìûõ SM m k( , )-êîäàìè îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ îïðåäå-
ëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (5), à îáùåå ÷èñëî îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ —
ïî ôîðìóëå
N m m� �2 2 1( ) . (6)
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Îïðåäåëèì çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà � 6 äëÿ ðàññìîòðåííîãî âûøå
S4(6,2)-êîäà, èñïîëüçóÿ ôîðìóëû (5) è (6). Ïðèìåíèâ ôîðìóëó (6) äëÿ
èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðîâ äëèíû m = 6, ïîëó÷èì N = 4032 è ñîîòâåòñòâåííî
� 6 = 24,6 %. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ïðàêòè÷åñêè êàæäàÿ ÷åòâåðòàÿ
îøèáêà â èíôîðìàöèîííîì âåêòîðå äàííîãî êîäà îáíàðóæåíà íå áóäåò.
Ïðè óâåëè÷åíèè äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà çíà÷åíèå êîýôôè-
öèåíòà � m ñòðåìèòñÿ ê âåëè÷èíå 1/M. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî ÷èñëî êîíò-
ðîëüíûõ ðàçðÿäîâ ìîäóëüíûõ êîäîâ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì âíå çàâèñèìîñ-
òè îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà.  òàáë. 5 ïðèâåäåíû ðàññ÷èòàííûå
çíà÷åíèÿ � m äëÿ ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì M = 2�8 ïðè m = 2�20;
â ïîñëåäíåé ñòðîêå óêàçàíû çíà÷åíèÿ, ê êîòîðûì ñòðåìèòñÿ êîýôôèöèåíò
� m ñ óâåëè÷åíèåì äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà. Êàê âèäèì èç òàáë. 5,
÷åì ìåíüøå çíà÷åíèå M, òåì áûñòðåå äîñòèãàåòñÿ ïðåäåëüíîå çíà÷åíèå � m
äëÿ ìîäóëüíîãî êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì. Íàïðèìåð, äëÿ S2(m, k)-êîäà ìèíè-
ìàëüíîå çíà÷åíèå � m = 50 % äîñòèãàåòñÿ ïðè äëèíå èíôîðìàöèîííîãî
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 37
m
Çíà÷åíèå � m ïðè M
2 3 4 5 6 7 8
2 33,33 16,67 16,67 16,67 16,67 16,67 16,67
3 42,86 25 21,43 21,43 21,43 21,43 21,43
4 46,67 29,17 23,33 22,5 22,5 22,5 22,5
5 48,39 31,25 24,19 22,38 22,18 22,18 22,18
6 49,21 32,29 24,6 21,92 21,38 21,33 21,33
7 49,61 32,81 24,8 21,44 20,5 20,34 20,32
8 49,8 33,07 24,9 21,04 19,69 19,37 19,33
9 49,9 33,2 24,95 20,73 19,01 18,5 18,4
10 49,95 33,27 24,98 20,5 18,46 17,76 17,58
11 49,98 33,3 24,99 20,34 18,03 17,13 16,85
12 49,99 33,32 24,99 20,23 17,7 16,6 16,22
13 49,99 33,33 25 20,15 17,45 16,17 15,68
14 50 33,33 25 20,1 17,26 15,82 15,22
15 50 33,33 25 20,07 17,11 15,53 14,82
16 50 33,33 25 20,04 17 15,3 14,48
17 50 33,33 25 20,03 16,92 15,11 14,19
18 50 33,33 25 20,02 16,85 14,95 13,95
19 50 33,33 25 20,01 16,81 14,83 13,73
20 50 33,33 25 20,01 16,77 14,73 13,55
m � 50 33,33 25 20 16,67 14,29 12,5
Òàáëèöà 5
âåêòîðà m = 14. Ïðè äàííîé äëèíå èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà äëÿ S8(m, k)-
êîäà áóäåò � m = 15,22 %, ÷òî íà 2,72 % áîëüøå, ÷åì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
� m äëÿ S8(m, k)-êîäîâ.
Ðàññìîòðèì îñîáåííîñòè îáíàðóæåíèÿ ðàçëè÷íûõ âèäîâ îøèáîê
SM m k( , )-êîäàìè.
Óòâåðæäåíèå 1. Ëþáîé SM m k( , )-êîä íå îáíàðóæèâàåò 100 % ñèììåò-
ðè÷íûõ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
Óòâåðæäåíèå 1 âûòåêàåò èç òîãî ôàêòà, ÷òî â èíôîðìàöèîííîì âåê-
òîðå SM m k( , )-êîäîì íå áóäåò îáíàðóæåíà ëþáàÿ îøèáêà, â ðåçóëüòàòå âîç-
íèêíîâåíèÿ êîòîðîé ñîõðàíÿåòñÿ çíà÷åíèå âåñà èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà.
Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå â [25] ôîðìóëû äëÿ îïðåäåëåíèÿ îáùåãî ÷èñëà
îøèáîê êðàòíîñòüþ d â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîäîâ è
óòâåðæäåíèå 1, íåòðóäíî äîêàçàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî SM m k( , )-êîäîâ.
Ñâîéñòâî 2. Äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ ñèììåòðè÷íûõ îøèáîê ÷åòíîé
êðàòíîñòüþ d â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ SM m k( , )-êîäîâ îò îáùåãî ÷èñ-
ëà îøèáîê äàííîé êðàòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è íå çàâè-
ñèò îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà è çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ:
� d
m d
m d
d
d
d
N
N
C� � �,
,
/
sym
2 2 .
Óòâåðæäåíèå 2. Ëþáîé SM m k( , )-êîä íå îáíàðóæèâàåò 100 % ìîíî-
òîííûõ îøèáîê êðàòíîñòüþ d = iM, i = 1, ..., q (qM � m), â èíôîðìàöèîííûõ
âåêòîðàõ.
Ñâîéñòâî 2 îáúÿñíÿåòñÿ íàëè÷èåì â îäíîé êîíòðîëüíîé ãðóïïå èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðîâ ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñëà åäèíè÷íûõ ðàçðÿ-
äîâ r, r + M, ..., r + iM (r + iM � m), íî ñ îäèíàêîâûì âåñîì r (modM). Ïåðå-
õîäû ìåæäó èíôîðìàöèîííûìè âåêòîðàìè ñ ðàçëè÷íûìè çíà÷åíèÿìè ÷èñ-
ëà åäèíè÷íûõ ðàçðÿäîâ áóäóò ìîíîòîííûìè ëèáî àñèììåòðè÷íûìè. Ïðè
ýòîì âñå ïåðåõîäû êðàòíîñòüþ d = iM, i = 1, ..., q (qM � m), áóäóò âíóòðè
êîíòðîëüíûõ ãðóïï, à íå ìåæäó íèìè, ÷òî, â ñâîþ î÷åðåäü, îáóñëîâëèâàåò
ïîÿâëåíèå ìîíîòîííûõ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê.
Èç óòâåðæäåíèÿ 2 âûòåêàåò ñëåäóþùåå ñâîéñòâî SM m k( , )-êîäîâ.
Ñâîéñòâî 3. Äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ ìîíîòîííûõ îøèáîê êðàòíîñòüþ d
â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ SM m k( , )-êîäîâ îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê
äàííîé êðàòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è íå çàâèñèò îò äëèíû
èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà è çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ:
�d
m d
m d
dN
N
� � �,
,
uni
21 .
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 39
M
Ä
î
ë
ÿ
í
åî
á
í
àð
ó
æ
è
â
àå
ì
û
õ
î
ø
è
á
î
ê
�
d
î
ò
î
á
ù
åã
î
÷
è
ñë
à
î
ø
è
á
î
ê
ä
àí
í
î
é
ê
ð
àò
í
î
ñò
üþ
,
%
,
ï
ð
è
d
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
2
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
3
0
5
0
2
5
3
7
,5
3
1
,2
5
3
4
,3
8
3
2
,8
1
3
3
,5
9
3
3
,2
3
3
,4
3
3
,3
3
3
,3
5
3
3
,3
3
3
3
,3
4
3
3
,3
3
3
3
,3
3
4
0
5
0
0
5
0
0
5
0
0
5
0
0
5
0
0
5
0
0
5
0
0
5
0
5
0
5
0
0
3
7
,5
6
,2
5
3
1
,2
5
1
0
,9
4
2
7
,3
4
1
4
,0
6
2
4
,8
1
6
,1
1
2
3
,1
4
1
7
,4
6
2
2
,0
6
1
8
,3
3
2
1
,3
5
6
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
4
,3
8
0
3
3
,5
9
0
3
3
,4
0
3
3
,3
5
0
3
3
,3
4
0
3
3
,3
3
7
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
1
,5
6
2
7
,3
4
3
,5
2
2
4
,6
1
5
,3
7
2
2
,5
6
6
,9
8
2
0
,9
6
8
,3
3
1
9
,6
9
8
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
8
,1
3
0
2
6
,5
6
0
2
5
,7
8
0
2
5
,3
9
0
2
5
,2
9
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
,3
9
2
4
,6
1
1
,0
7
2
2
,5
6
1
,9
2
0
,9
5
2
,7
8
1
9
,6
4
1
0
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,8
0
2
3
,1
4
0
2
2
,0
6
0
2
1
,3
5
1
1
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
,1
2
2
,5
6
0
,3
2
2
0
,9
5
0
,6
4
1
9
,6
4
1
2
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,6
1
0
2
1
,1
2
0
2
0
1
3
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,5
6
0
,0
2
2
0
,9
5
0
,0
9
1
9
,6
4
1
4
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,5
6
0
2
0
,9
6
0
1
9
,6
9
1
5
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,5
6
0
2
0
,9
5
0
,0
1
1
9
,6
4
1
6
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,5
6
0
2
0
,9
5
0
,0
1
1
9
,6
4
M
m
ax
0
5
0
0
3
7
,5
0
3
1
,2
5
0
2
7
,3
4
0
2
4
,6
1
0
2
2
,5
6
0
2
0
,9
5
0
,0
1
1
9
,6
4
Ò
à
á
ëè
ö
à
6
Ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîãî ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, ðåàëèçóþùå-
ãî àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ SM m k( , )-êîäîâ, áûëî ðàññ÷èòàíî ÷èñëî íåîáíà-
ðóæèâàåìûõ èìè îøèáîê ðàçëè÷íîé êðàòíîñòè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòî-
ðàõ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîäòâåðæäàþò ñëåäóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü.
Ñâîéñòâî 4. Äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ àñèììåòðè÷íûõ îøèáîê êðàò-
íîñòüþ d â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ SM m k( , )-êîäîâ îò îáùåãî ÷èñëà
îøèáîê äàííîé êðàòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé è íå çàâèñèò
îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà è çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ.
Èñõîäÿ èç òîãî ôàêòà, ÷òî âñå îøèáêè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ
êëàññèôèöèðîâàíû êàê ìîíîòîííûå, àñèììåòðè÷íûå è ñèììåòðè÷íûå, íà
îñíîâàíèè ñâîéñòâ 2—4 ñ ó÷åòîì ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ ìîæíî
ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùåå ñâîéñòâî.
Ñâîéñòâî 5. Äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê êðàòíîñòüþ d â èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðàõ ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì îò îáùåãî ÷èñëà
îøèáîê äàííîé êðàòíîñòüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé âíå çàâèñè-
ìîñòè îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà äëÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ
M: �d �const.
 òàáë. 6 ïðèâåäåíû îòíîñèòåëüíûå âåëè÷èíû �d , õàðàêòåðèçóþùèå
ñïîñîáíîñòü SM m k( , )-êîäîâ îáíàðóæèâàòü îøèáêè â èíôîðìàöèîííûõ
âåêòîðàõ. Çíà÷åíèå M mmax � �1ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ ìîäóëÿ êîäà Áåð-
ãåðà. Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ �d ìîæíî ñðàâíèâàòü ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè
çíà÷åíèÿìè �d äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì, òàê êàê
äëÿ êîäà Áåðãåðà � �d d� , à ðàçíèöà ìåæäó çíà÷åíèÿìè îïðåäåëÿåò äîëè
íåîáíàðóæèâàåìûõ èì ìîíîòîííûõ è àñèììåòðè÷íûõ îøèáîê.
Ïðîàíàëèçèðîâàâ äàííûå òàáë. 6, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèå
îñîáåííîñòè SM m k( , )-êîäîâ â ÑÔÊ:
1. SM m k( , )-êîäû, â êîòîðûõ M = m + 1 (êîäû Áåðãåðà), îáíàðóæèâàþò
ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ ïðè äàííîì
çíà÷åíèè m ïî ñðàâíåíèþ ñ îñòàëüíûìè ìîäóëüíûìè êîäàìè.
2. SM m k( , )-êîäû ñ ÷åòíûìè çíà÷åíèÿìè M îáíàðóæèâàþò 100 % îøè-
áîê íå÷åòíîé êðàòíîñòüþ â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
3.  SM m k( , )-êîäàõ ñ íå÷åòíûìè çíà÷åíèÿìè M ïðèñóòñòâóþò îøèáêè
ñ íå÷åòíûìè êðàòíîñòÿìè, ïðè ýòîì d M� ; èìè îáíàðóæèâàþòñÿ âñå îøèáêè
ñ íå÷åòíûìè êðàòíîñòÿìè d < M â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
4. S2 (m, k)-êîäû, èëè êîäû ïàðèòåòà, íå îáíàðóæèâàþò 100 % îøèáîê
ñ ÷åòíûìè êðàòíîñòÿìè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
5. S4 (m, k)-êîäû íå îáíàðóæèâàþò 50 % îøèáîê ñ ÷åòíûìè êðàòíîñ-
òÿìè â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
6. Ëþáîé SM m k( , )-êîä íå îáíàðóæèâàåò îäèíàêîâóþ äîëþ îøèáîê
êðàòíîñòüþ d â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê äàí-
íîé êðàòíîñòüþ ïðè óñëîâèè, ÷òî d < M.
7. Äëÿ ëþáûõ SM m k( , )-êîäîâ ñ óâåëè÷åíèåì çíà÷åíèÿ M çíà÷åíèå
êîýôôèöèåíòà �d ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ � d .
8. Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì èìåþò ïëîõóþ îáíàðóæèâàþ-
ùóþ ñïîñîáíîñòü ïðè ìàëîé êðàòíîñòè îøèáîê: ïðè M > 2 íå îáíàðóæè-
âàåòñÿ 50 % äâóêðàòíûõ îøèáîê, ïðè M > 4 íå îáíàðóæèâàåòñÿ 37,5 %
÷åòûðåõêðàòíûõ îøèáîê, ïðè M > 6 — 31,25 % øåñòèêðàòíûõ îøèáîê è
òàê äàëåå.
 ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé SM m k( , )-êîäîâ ñî
çíà÷åíèÿìè m � 24 ïîäòâåðæäåíû ñôîðìóëèðîâàííûå âûøå ñâîéñòâà, à
òàêæå óñòàíîâëåíû íîâûå ñâîéñòâà SM m k( , )-êîäîâ ïî îáíàðóæåíèþ ðàç-
ëè÷íûõ âèäîâ îøèáîê â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ.
9. SM m k( , )-êîäû, âêëþ÷àÿ êîä Áåðãåðà, íå îáíàðóæèâàþò îäèíàêîâîå
÷èñëî ñèììåòðè÷íûõ îøèáîê ÷åòíûõ êðàòíîñòåé d äëÿ äàííîãî çíà÷åíèÿ
m è ëþáîãî M.
10.  SM m k( , )-êîäàõ äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ àñèììåòðè÷íûõ îøè-
áîê ÷åòíîé êðàòíîñòüþ d > M îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê äàííîé êðàòíîñòüþ
íå çàâèñèò îò äëèíû èíôîðìàöèîííîãî âåêòîðà è ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé
âåëè÷èíîé.
11. SM m k( , )-êîä íå èìååò íåîáíàðóæèâàåìûõ àñèììåòðè÷íûõ îøèáîê
êðàòíîñòåé d � M +1.
12. S m k2( , )-êîäû íå îáíàðóæèâàþò 100 % àñèììåòðè÷íûõ îøèáîê
÷åòíîé êðàòíîñòüþ d > M ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ m.
13.  SM m k( , )-êîäàõ äîëÿ íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê ÷åòíîé êðàò-
íîñòüþ d â èíôîðìàöèîííûõ âåêòîðàõ îò îáùåãî ÷èñëà îøèáîê â èíôîð-
ìàöèîííûõ âåêòîðàõ äàííîé êðàòíîñòüþ íå çàâèñèò îò äëèíû èíôîðìà-
öèîííîãî âåêòîðà è ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé.
Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ. Èñïîëüçóÿ ñèñòåìó êîíòðîëüíûõ ïðè-
ìåðîâ, ìîæíî äàòü îöåíêó ïðàêòè÷åñêîé ïðèìåíèìîñòè óñòàíîâëåííûõ
ïðè èññëåäîâàíèè ñâîéñòâ SM m k( , )-êîäîâ.  ÑÔÊ âìåñòî êëàññè÷åñêîãî
êîäà Áåðãåðà (M = m + 1) äëÿ êîíòðîëÿ ðåàëüíûõ êîìáèíàöèîííûõ ñõåì
ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ìîäóëüíûé êîä ñ ìåíüøèì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ. Ýòî
äàåò âîçìîæíîñòü óìåíüøàòü ÷èñëî êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ êîäà, à òàêæå
ìåíÿòü ôóíêöèè âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé ðàçðÿäîâ êîíòðîëüíûõ âåêòîðîâ è
òàêèì îáðàçîì âëèÿòü íà çíà÷åíèå ïîêàçàòåëÿ ñòðóêòóðíîé èçáûòî÷íîñòè
ñèñòåìû òåõíè÷åñêîãî äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ñîãëàñíî îñîáåííîñòè 9 ÷èñëî íåîáíàðóæèâàåìûõ ñèììåòðè÷íûõ
îøèáîê ïî ñðàâíåíèþ ñ êîäîì Áåðãåðà ïðè óìåíüøåíèè çíà÷åíèÿ Ì íå
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 41
ìîæåò áûòü óìåíüøåíî. Îäíàêî ñîãëàñíî ïóíêòàì 2 è 11 îñîáåííîñòè
ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì ïîçâîëÿþò ïîäîáðàòü òàêîå çíà÷åíèå
M, ïðè êîòîðîì áóäóò îòñóòñòâîâàòü íåîáíàðóæèâàåìûå ìîíîòîííûå è
àñèììåòðè÷íûå îøèáêè.
Ýòè óòâåðæäåíèÿ ñôîðìóëèðîâàíû íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííûõ ýêñïå-
ðèìåíòîâ ñ êîíòðîëèðóåìîé ëîãè÷åñêîé ñõåìîé, â ðåçóëüòàòå êîòîðûõ
îïðåäåëåíî çíà÷åíèå dmax, âîçìîæíîå íà âûõîäàõ ñõåìû ïðè âíåñåíèè â
íåå îäèíî÷íûõ íåèñïðàâíîñòåé ýëåìåíòîâ.
Çíà÷åíèå ìîäóëÿ M âûáèðàåì, èñõîäÿ èç ñëåäóþùèõ óñëîâèé:
1. M pd
max , p = 1, 2, 3, ... .
2. M d� �max 1.
Ïðàêòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðèìåíåíèÿ SM m k( , )-êîäîâ ïðè îðãàíèçà-
öèè êîíòðîëÿ ëîãè÷åñêèõ óñòðîéñòâ ïîëó÷åíû â ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòîâ
ñ ñèñòåìîé êîíòðîëüíûõ ïðèìåðîâ LGSynth’89 [28]. Êîíòðîëüíûå ñõåìû
äàííîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôàéëû â ôîðìàòå*.netblif, îïèñûâàþ-
ùèå ñòðóêòóðó îïðåäåëåííîé êîìáèíàöèîííîé ñõåìû â âèäå net-ëèñòà.
Êàæäàÿ êîíòðîëüíàÿ ñõåìà çàïèñàíà â áàçèñå nor (ÈËÈ-ÍÅ). Ïðè ïîñòà-
íîâêå ýêñïåðèìåíòîâ ñòàâèëàñü çàäà÷à ìîäåëèðîâàíèÿ îäèíî÷íûõ êîíñ-
òàíòíûõ íåèñïðàâíîñòåé 0 1 è1 0 íà âûõîäàõ âñåõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåí-
òîâ âî âíóòðåííåé ñòðóêòóðå êîíòðîëüíûõ ñõåì è îïðåäåëåíèÿ ÷èñëà íåîá-
íàðóæèâàåìûõ îøèáîê.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
Íîìåð
ï.ï.
Êîíò-
ðîëüíûé
ïðèìåð
×èñëî
âûõîäîâ
ñõåìû
dmax
Êîä
Êîäîâàÿ ñêîðîñòü
R m m k� �/ ( )
R
R
SM m k
SM m k
( , )
( , )
*
maxSM m kmax ( , ) SM m k( , )* SM m kmax ( , ) SM m k( , )*
1 cmb 4 2 S8 (4,3) S3 (4,2) 0,571 0,667 1,168
2 z4ml 4 3 S8 (4,3) S4 (4,2) 0,571 0,667 1,168
3 alu2 6 5 S8 (6,3) S6 (6,3) 0,667 0,667 1
4 x2 7 5 S8 (7,3) S6 (7,3) 0,7 0,7 1
5 cm138a 8 1 S16 (8,4) S3 (8,2) 0,667 0,8 1,199
6 f51m 8 4 S16 (8,4) S5 (8,3) 0,667 0,727 1,09
7 alu4 8 6 S16 (8,4) S7 (8,3) 0,667 0,727 1,09
8 plce 9 8 S16 (9,4) S9 (9,4) 0,692 0,692 1
9 cm42a 10 2 S16 (10,4) S3 (10,2) 0,714 0,833 1,167
10 cu 11 4 S16 (11,4) S5 (11,3) 0,733 0,786 1,072
11 pm1 13 4 S16 (13,4) S5 (13,3) 0,765 0,813 1,063
12 sct 15 10 S16 (15,4) S11 (15,4) 0,789 0,789 1
13 ldd 19 10 S32 (19,5) S11 (19,4) 0,792 0,826 1,043
14 cc 20 10 S32 (20,5) S11 (20,4) 0,8 0,833 1,041
15 ttt2 21 7 S32 (21,5) S8 (21,3) 0,808 0,875 1,083
Òàáëèöà 7
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
Êîä
Ðàñïðåäåëåíèå íåîáíàðóæèâàåìûõ îøèáîê ïî êðàòíîñòÿì d ×èñëî
íåîáíàðó-
æèâàåìûõ
îøèáîê1 2 3 4 5 6 7
Îáùåå ÷èñëî îøèáîê
S8(21,3) —
S32(21,5)
0 11626352 0 2325168 0 32496 0 755063504
S7(21,3) 0 11626352 0 2325168 0 32496 5120 13989136
S6(21,3) 0 11626352 0 2325168 0 35568 0 13987088
S5(21,3) 0 11626352 0 2325168 120832 32496 5120 14109968
S4(21,2) 0 11626352 0 2700720 0 45808 0 14372880
S3(21,2) 0 11626352 319200 2325168 169984 32496 0 14473200
S2(21,1) 0 30023056 0 3484496 0 48880 0 33556432
 ñ å ã î 712909472 30023056 7437760 3860048 757664 65264 10240 755063504
Ìîíîòîííûå îøèáêè
S8(21,3) —
S32(21,5)
0 0 0 0 0 0 0 0
S7(21,3) 0 0 0 0 0 0 5120 5120
S6(21,3) 0 0 0 0 0 3072 0 3072
S5(21,3) 0 0 0 0 120832 0 0 120832
S4(21,2) 0 0 0 375552 0 0 0 375552
S3(21,2) 0 0 319200 0 0 0 0 319200
S2(21,1) 0 18396704 0 0 0 0 0 18396704
 ñ å ã î 712909472 18396704 319200 375552 120832 3072 5120 732129952
Àñèììåòðè÷íûå îøèáêè
S8(21,3)—
S32(21,5)
0 0 0 0 0 0 0 0
S7(21,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
S6(21,3) 0 0 0 0 0 0 0 0
S5(21,3) 0 0 0 0 0 0 5120 5120
S4(21,2) 0 0 0 0 0 13312 0 13312
S3(21,2) 0 0 0 0 169984 0 0 169984
S2(21,1) 0 0 0 1159328 0 16384 0 1175712
 ñ å ã î 0 0 7118560 1159328 636832 29696 5120 8949536
Ñèììåòðè÷íûå îøèáêè
S2(21,1) —
S32(21,5)
0 11626352 0 2325168 0 32496 0 13984016
 ñ å ã î 0 11626352 0 2325168 0 32496 0 13984016
Òàáëèöà 8
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 43
 ðåçóëüòàòå ýêñïåðèìåíòà ðàññ÷èòàíû ÷èñëî è êðàòíîñòè íåîáíàðó-
æèâàåìûõ îøèáîê ðàçëè÷íûõ âèäîâ äëÿ ðÿäà ëîãè÷åñêèõ ñõåì èç ñèñòåìû
êîíòðîëüíûõ ïðèìåðîâ LGSynth`89 è îïðåäåëåíû çíà÷åíèÿ d max äëÿ äàí-
íûõ ëîãè÷åñêèõ ñõåì (òàáë. 7). Êàê óêàçàíî âûøå, d max îïðåäåëÿåò çíà-
÷åíèå ìîäóëÿ êîäà, ïðèìåíåíèå êîòîðîãî ïîçâîëÿåò èäåíòèôèöèðîâàòü
âñå ìîíîòîííûå è àñèììåòðè÷íûå îøèáêè â ñõåìå. Íàïðèìåð, äëÿ ñõåìû
ttt2 d max = 7. Òîãäà óñëîâèÿì 1 è 2 óäîâëåòâîðÿåò çíà÷åíèå M = 8, òàê êàê M
= 8 � d max + 1 = 7 + 1 = 8 è M = 8
p 7 (p = 1, 2, 3, ...). Â òàáë. 7 äëÿ SM m k( , )-êî-
äîâ ïðèâåäåíî òàêæå çíà÷åíèå êîäîâîé ñêîðîñòè, êîòîðàÿ êîñâåííî âëèÿåò
íà ïîêàçàòåëè ñòðóêòóðíîé èçáûòî÷íîñòè ÑÔÊ.
Äëÿ áîëüøèíñòâà ëîãè÷åñêèõ ñõåì áîëåå ýôôåêòèâíûì âàðèàíòîì
êîäèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì
âìåñòî êîäîâ Áåðãåðà, òàê êàê ÷èñëî êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäîâ â íèõ óìåíü-
øåíî. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â 11 ñëó÷àÿõ èç 15 ðàññìîòðåííûõ êîíòðîëü-
íûõ ïðèìåðîâ íàèëó÷øèì âàðèàíòîì êîäèðîâàíèÿ îêàçàëñÿ ìîäóëüíûé
êîä ñ íå÷åòíûì çíà÷åíèåì ìîäóëÿ M.
 òàáë. 8 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ îäèíî÷íûõ íåèñïðàâ-
íîñòåé íà âñåõ âõîäíûõ íàáîðàõ êîíòðîëüíîãî ïðèìåðà ttt2, èìåþùåãî 24
âõîäà è 21 âûõîä. Ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ ïîäòâåðæäàþò óñòàíîâëåííûå
ðàíåå ñâîéñòâà SM m k( , )-êîäîâ ïî îáíàðóæåíèþ îøèáîê â èíôîðìàöèîí-
íûõ âåêòîðàõ. Íàïðèìåð, ëþáîé SM m k( , )-êîä, âûáðàííûé äëÿ îðãàíè-
çàöèè êîíòðîëÿ ñõåìû ttt2, íå îáíàðóæèâàåò âñå 100 % ñèììåòðè÷íûõ
îøèáîê; â ëþáûõ SM m k( , )-êîäàõ íåò íåîáíàðóæèâàåìûõ ìîíîòîííûõ
îøèáîê êðàòíîñòåé d < M è òàê äàëåå. Ñëåäóåò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî ñâîéñò-
âà îáíàðóæåíèÿ îøèáîê ó âñåõ êîäîâ ñî çíà÷åíèÿìè M = 8 � 32 ñîâïàäàþò,
è ïðè îðãàíèçàöèè êîíòðîëÿ äàííîé êîìáèíàöèîííîé ñõåìû öåëåñîîá-
ðàçíî âûáðàòü S8(21, 3)-êîä, èìåþùèé íà äâà êîíòðîëüíûõ ðàçðÿäà ìåíü-
øå, ÷åì êîä Áåðãåðà S32(21, 5).
Âûâîäû
Óñòàíîâëåííûå íîâûå ñâîéñòâà ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ ñóììèðîâàíèåì ïîç-
âîëÿþò ñôîðìóëèðîâàòü êðèòåðèè èõ ïðèìåíèìîñòè äëÿ îðãàíèçàöèè
ÑÔÊ ðåàëüíûõ êîìáèíàöèîííûõ ëîãè÷åñêèõ ñõåì. Ïðè ýòîì èçâåñòíûå
àëãîðèòìû ïîñòðîåíèÿ ñõåì, îáåñïå÷èâàþùèå 100%-íîå îáíàðóæåíèå
îäèíî÷íûõ íåèñïðàâíîñòåé íà âûõîäàõ ëîãè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ âíóòðåííåé
ñòðóêòóðû ëîãè÷åñêèõ ñõåì, ðåêîíôèãóðàöèþ èõ ñòðóêòóðû è âíåñåíèå â
íåå èçáûòî÷íîñòè, ìîãóò áûòü óñîâåðøåíñòâîâàíû ñ ó÷åòîì îñîáåííîñòåé
îáíàðóæåíèÿ îøèáîê SM m k( , )-êîäàìè [24, 29]. Ìîæíî ýôôåêòèâíî èñ-
ïîëüçîâàòü SM m k( , )-êîäû ñ ìîäóëÿìè M q
2 , � �q m� � �{ , ,..., log ( ) }1 2 1 12
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
äëÿ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíûõ ÑÔÊ, àíàëèçèðóÿ òîïîëîãèþ êîíòðîëèðóå-
ìûõ ñõåì è âëèÿíèå óñòàíîâëåííîãî çíà÷åíèÿ ìîäóëÿ íà ñëîæíîñòü òåõ-
íè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ÑÔÊ. Ìåòîäû óìåíüøåíèÿ ñëîæíîñòè òåõíè÷åñêîé
ðåàëèçàöèè ÑÔÊ, îðãàíèçîâàííûõ ñ èñïîëüçîâàíèåì SM m k( , )-êîäîâ, ðàñ-
ñìîòðåíû âî âòîðîé ÷àñòè ñòàòüè.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ïàðõîìåíêî Ï.Ï., Ñîãîìîíÿí Å.Ñ. Îñíîâû òåõíè÷åñêîé äèàãíîñòèêè (îïòèìèçàöèÿ
àëãîðèòìîâ äèàãíîñòèðîâàíèÿ, àïïàðàòóðíûå ñðåäñòâà). — Ì. : Ýíåðãîàòîìèçäàò,
1981, 320 ñ.
2. McCluskey E.J. Logic Design Principles: With Emphasis on Testable Semicustom Circuits. —
N.J. : Prentice Hall PTR, 1986. — 549 p.
3. Goessel M., Graf S. Error Detection Circuits. — London: McGraw-Hill, 1994. — 261 p.
4. Äðîçä À.Â., Õàð÷åíêî Â.Ñ., Àíòîùóê Ñ.Ã. è äð. Ðàáî÷åå äèàãíîñòèðîâàíèå áåçîïàñíûõ
èíôîðìàöèîííî-óïðàâëÿþùèõ ñèñòåì. Ïîä ðåä. À.Â. Äðîçäà è Â.Ñ. Õàð÷åíêî. —
Õàðüêîâ : Íàöèîíàëüíûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. Í.Å. Æóêîâñêîãî «ÕÀÈ»,
2012. — 614 ñ.
5. Touba N.A., McCluskey E.J. Logic Synthesis of Multilevel Circuits with Concurrent Error
Detection // IEEE Trans. Computer-Aided Design of Integrated Circuits and System. —
1997, Jul. — Vol. 16. — Ð. 783—789.
6. Nicolaidis M., Zorian Y. On-Line Testing for VLSI — À Compendium of Approaches //
Journal of Electronic Testing: Theory and Applications. — 1998. — ¹ 12. — P. 7—20.
7. Mitra S., McClaskey E.J. Which Concurrent Error Detection Scheme to Ñhoose? // Proc. of Intern.
Test Conf., 03—05 October, 2000. — USA, Atlantic City, NJ, 2000. — Ð. 985—994.
8. Äðîçä À.Â. Íåòðàäèöèîííûé âçãëÿä íà ðàáî÷åå äèàãíîñòèðîâàíèå âû÷èñëèòåëüíûõ
óñòðîéñòâ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ. — 2008. — ¹ 2. — Ñ. 48—56.
9. Ñëàáàêîâ Å.Â., Ñîãîìîíÿí Å.Ñ. Ñàìîïðîâåðÿåìûå âû÷èñëèòåëüíûå óñòðîéñòâà è ñèñ-
òåìû (îáçîð) // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1981. — ¹ 11. — Ñ. 147—167.
10. Rao T.R., Fujiwara E. Error Control Coding for Computer Systems. — NY : Prentice Hall,
1989. — 584 p.
11. Ñîãîìîíÿí Å.Ñ., Ñëàáàêîâ Å.Â. Ñàìîïðîâåðÿåìûå óñòðîéñòâà è îòêàçîóñòîé÷èâûå
ñèñòåìû. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü, 1989. — 208 ñ.
12. Fujiwara E. Code Design for Dependable Systems: Theory and Practical Applications. —
NJ : John Wiley & Sons, 2006. — 720 p.
13. Lala P.K. Principles of Modern Digital Design. — N J : John Wiley & Sons, 2007. — 419 p.
14. Jha N.K. Totally Self-Checking Checker Designs for Bose-Lin, Bose and Blaum Codes //
IEEE Trans. Computer-Aided Design. — 1991. — Vol. CAD-10. — Ð. 136—143.
15. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Ñàìîïðîâåðÿåìûå äèñêðåòíûå óñòðîéñòâà. —
ÑÏá: Ýíåðãîàòîìèçäàò, 1992. — 224 ñ.
16. Bose B., Lin D.J. Systematic Unidirectional Error-Detection Codes // IEEE Trans. Comput. —
1985. — Vol. C-34. — Ð. 1026—1032.
17. Das D., Touba N.A. Synthesis of Circuits with Low-Cost Concurrent Error Detection Based
on Bose-Lin Codes // J. of Electronic Testing: Theory and Applications. — 1999. — Vol. 15,
Issue 1-2. — P. 145—155.
18. Piestrak S.J. Design of Self-Testing Checkers for Unidirectional Error Detecting Codes. —
Wroc�aw: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc�avskiej, 1995. — 111 p.
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 45
19. Àêñ¸íîâà Ã.Ï. Íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïîñòðîåíèÿ ïîëíîñòüþ ïðîâåðÿå-
ìûõ ñõåì ñâåðòêè ïî ìîäóëþ äâà // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1979. — ¹ 9. —
Ñ. 126—135.
20. Ghosh S., Basu S., Touba N.A. Synthesis of Low Power CED Circuits Based on Parity Codes //
Proc. of 23rd IEEE VLSI Test Symposium (VTS’05), 1—5 May 2005. — Palm Springs
Califonia, USA. — Ð. 315—320.
21. Àêñåíîâà Ã.Ï. Î ôóíêöèîíàëüíîì äèàãíîñòèðîâàíèè äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ â óñëîâèÿõ ðà-
áîòû ñ íåòî÷íûìè äàííûìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ. — 2008. — ¹ 5. — Ñ. 62—66.
22. Berger J.M. À Note on Error Detecting Codes for Asymmetric Channels // Information and
Control. — 1961. — Vo l. 4, Issue 1. — P. 68—73.
23. Sapozhnikov V., Sapozhnikov Vl., Efanov D. Modular Sum Code in Building Testable Disc-
rete Systems // Proc. of 13th IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS’2015). —
Batumi, Georgia, September 26—29, 2015. — P. 181—187.
24. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â., Åôàíîâ Ä.Â. Ïðèìåíåíèå êîäîâ ñ ñóììèðîâà-
íèåì ïðè ñèíòåçå ñèñòåì æåëåçíîäîðîæíîé àâòîìàòèêè è òåëåìåõàíèêè íà ïðîãðàì-
ìèðóåìûõ ëîãè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ ñõåìàõ // Àâòîìàòèêà íà òðàíñïîðòå. — 2015. —
1, ¹ 1. — Ñ. 84—107.
25. Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â., Åôàíîâ Ä.Â. Êëàññèôèêàöèÿ îøèáîê â èíôîðìà-
öèîííûõ âåêòîðàõ ñèñòåìàòè÷åñêèõ êîäîâ // Èçâ. âóçîâ. Ïðèáîðîñòðîåíèå. — 2015. —
58, ¹5.— Ñ. 333—343.
26. Åôàíîâ Ä.Â., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Î ñâîéñòâàõ êîäà ñ ñóììèðîâàíèåì
â ñõåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 2010. — ¹ 6. —
Ñ. 155—162.
27. Åôàíîâ Ä.Â., Ñàïîæíèêîâ Â.Â., Ñàïîæíèêîâ Âë.Â. Ïðèìåíåíèå ìîäóëüíûõ êîäîâ ñ
ñóììèðîâàíèåì äëÿ ïîñòðîåíèÿ ñèñòåì ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ êîìáèíàöèîííûõ
ëîãè÷åñêèõ ñõåì // Òàì æå. — 2015. — ¹ 10. — Ñ. 152—169.
28. Collection of Digital Design Benchmarks. [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. —Ðåæèì äîñòóïà:
http://ddd.fit.cvut.cz/prj/Benchmarks/.
29. Sapozhnikov V., Sapozhnikov Vl., Efanov D., Blyudov A. On the Synthesis of Unidirectional
Combinational Circuits Detecting All Single Faults // Proc. of 12th IEEE East-West Design &
Test Symposium (EWDTS`2014). — Kiev, Ukraine, September 26—29, 2014. — Ð. 116—
125.
V.V. Sapozhnikov, Vl.V. Sapozhnikov, D.V. Efanov, M.R. Cherepanova
MODULO CODES WITH SUMMATION
IN CONCURRENT ERROR DETECTION SYSTEMS. I. ABILITY
TO DETECT ERRORS BY MODULO CODES IN DATA VECTORS
The analysis of modulo codes with summation of active bits properties in concurrent error detec-
tion systems for the data vector length change was performed. Dependence of errors of different
types on different values of modulo, that are connected with the number of bits in data vectors and
their calculation rules were determined. It was shown that modulo codes with summation do not
detect the same rate of given multiplicity d errors for any data vector length without reference to
modulo. It is shown in experiments that reduction of modulo value for real logic circuits does not
result in the increase of the number of undetectable errors on its outputs in many cases.
K e y w o r d s: concurrent error detection system, hardware redundancy, code with summation,
Berger code, parity code, modulo code with summation, detection of errors in combinational circuits.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
REFERENCES
1. Parkhomenko, P.P. and Sogomonyan, E.S. (1981), Osnovy tekhnicheskoy diagnostiki (opti-
mizatsiya algoritmov diagnostirovaniya, apparaturnye sredstva) [Basics of technical diag-
nostics (optimization of diagnostic algorithms and equipment)], Energoatomizdat, Moscow,
Russia.
2. McCluskey, E.J. (1986), Design logic principles: with emphasis on testable demicustom cir-
cuits, Prentice Hall PTR, New Jersey, USA.
3. Goessel, M. and Graf, S. (1994), Error detection circuits, McGraw-Hill, London, UK.
4. Drozd, A.V., Kharchenko, V.S., Antoshchuk, S.G., and et al. (2012), Rabochee diagnostirovanie
bezopasnykh informatsionno-upravlyayuschikh sistem [On-line testing for safe instrumentation
and control systems], National Aerospace University «KhAI», Kharkov, Ukraine.
5. Touba, N.A. and McCluskey, E.J. (1997), “Logic synthesis of multilevel circuits with con-
current error detection”, IEEE Transactions on Computer-Aided Design of Integrated
Circuits and Systems, Vol. 16, pp. 783-789.
6. Nicolaidis, M. and Zorian, Y. (1998), “On-line testing for VLSI – À compendium of ap-
proaches”, Journal of Electronic Testing: Theory and Applications, no. 12, pp. 7-20.
7. Mitra, S. and McClaskey, E.J. (2000), “Which concurrent error detection scheme to choose?”,
Proceedings of International Test Conference, Atlantic City, NJ, USA, October 3-5, 2000,
pp. 985-994.
8. Drozd, A.V. (2008), “Untraditional view on operational diagnostics of computing devices”,
Control sciences, no. 2, pp. 48-56.
9. Slabakov, E.V. and Sogomonyan, E.S. (1981), “Self-checking computing devices and sys-
tems (review)”, Avtomatika i telemekhanika, no. 11, pp. 147-167.
10. Rao, T.R. and Fujiwara, E. (1989), Error control coding for computer systems, Prentice Hall,
New York, USA.
11. Sogomonyan, E.S. and Slabakov, E.V. (1989), Samoproveryaemye ustroystva i otkazous-
toychivye sistemy [Self-checking devices and failover systems], Radio i svyaz, Moscow,
Russia.
12. Fujiwara, E. (2006), Code design for dependable systems: Theory and practical applications,
John Wiley & Sons, New Jersey, USA.
13. Lala, P.K. (2007), Principles of modern digital design, John Wiley & Sons, New Jersey, USA.
14. Jha, N.K. (1991), “Totally self-checking checker designs for Bose-Lin, Bose and Blaum
Codes”, IEEE Trans. Computer-Aided Design, Vol. CAD-10, pp.136-143.
15. Sapozhnikov, V.V. and Sapozhnikov, Vl.V. (1992), Samoproveryaemye diskretnye ustroystva
[Self-checking digital devices], Energoatomizdat, St. Petersburg, Russia.
16. Bose, B. and Lin, D.J. (1985), “Systematic unidirectional error-detection codes”, IEEE
Trans. Comput., Vol. C-34, pp. 1026-1032.
17. Das, D. and Touba, N.A. (1999), “Synthesis of circuits with low-cost concurrent error
detection based on Bose-Lin codes”, Journal of Electronic Testing: Theory and Applications,
Vol. 15, Iss. 1-2, pp. 145-155.
18. Piestrak, S.J. (1995), Design of self-testing checkers for unidirectional error detecting codes,
Oficyna Wydawnicza Politechniki Wroc�avskiej, Wroc�aw, Poland.
19. Aksyonova, G.P. (1979), “Necessary and sufficient conditions for the design of totally checking
circuits of compression by modulo 2”, Avtomatika i telemekhanika, no. 9, pp. 126-135.
20. Ghosh, S., Basu, S. and Touba, N.A. (2005), “Synthesis of low power CED circuits based on
parity codes”, Proceedings of 23rd IEEE VLSI Test Symposium (VTS’05), Palm Springs,
California, USA, May 1-5, 2005, pp. 315-320.
21. Aksyonova, G.P. (2008), “On functional diagnosis of discrete devices under imperfect data
processing conditions”, Problemy upravleniya, no. 5, pp. 62-66.
22. Berger, J.M. (1961), “À note on error detecting codes for asymmetric channels”, Information
and Control, Vol. 4, Iss. 1, pp. 68-73.
Ìîäóëüíûå êîäû ñ ñóììèðîâàíèåì â ñèñòåìàõ ôóíêöèîíàëüíîãî êîíòðîëÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 47
23. Sapozhnikov, V., Sapozhnikov, Vl. and Efanov, D. (2015), “Modular Sum Code in Building
Testable Discrete Systems”, Proceedings of 13th IEEE East-West Design & Test Symposium
(EWDTS`2015), Batumi, Georgia, September 26-29, 2015, pp. 181-187.
24. Sapozhnikov, V.V., Sapozhnikov, Vl.V. and Efanov, D.V. (2015), “Application of sum
codes for synthesis of railway automation and remote control systems using programmable
logic integrated circuits”, Avtomatika na transporte, Vol. 1, no. 1, pp. 84-107.
25. Sapozhnikov, V.V., Sapozhnikov, Vl.V. and Efanov, D.V. (2015), “Errors classification in
information vectors of systematic codes”, Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Pribo-
rostroenie, Vol. 58, no. 5, pp. 333-343.
26. Efanov, D.V., Sapozhnikov, V.V. and Sapozhnikov, Vl.V. (2010), “On sum code properties
in concurrent error detection systems", Avtomatika i telemekhanika, no. 6, pp. 155-162.
27. Efanov, D.V., Sapozhnikov, V.V. and Sapozhnikov, Vl.V. (2015), “Applications of modular
summation codes to concurrent error detection systems for combinational Boolean circuits”,
Avtomatika i telemekhanika, no. 10, pp. 152-169.
28. Collection of digital design Benchmarks, available at: http://ddd.fit.cvut.cz/prj/Benchmarks/.
29. Sapozhnikov, V., Sapozhnikov, Vl., Efanov, D. and Blyudov, A. (2014), “On the synthesis
of unidirectional combinational circuits detecting all single faults”, Proceedings of the 12th
IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS`2014), Kyiv, Ukraine, September
26-29, 2014, pp. 116-125.
Ïîñòóïèëà 21.12.15
ÑÀÏÎÆÍÈÊÎÂ Âàëåðèé Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû «Àâòîìàòèêà è
òåëåìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé
ñîîáùåíèÿ Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I.  1963 ã. îêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé èí-ò èíæåíåðîâ
æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íàäåæíîñòíûé ñèíòåç
äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ, ñèíòåç áåçîïàñíûõ ñèñòåì, ñèíòåç ñàìîïðîâåðÿåìûõ ñõåì, òåõíè-
÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
ÑÀÏÎÆÍÈÊÎÂ Âëàäèìèð Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû «Àâòîìàòèêà è
òåëåìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé
ñîîáùåíèÿ Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I.  1963 ã. îêîí÷èë Ëåíèíãðàäñêèé èí-ò èíæåíåðîâ
æåëåçíîäîðîæíîãî òðàíñïîðòà. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íàäåæíîñòíûé ñèíòåç
äèñêðåòíûõ óñòðîéñòâ, ñèíòåç áåçîïàñíûõ ñèñòåì, ñèíòåç ñàìîïðîâåðÿåìûõ ñõåì, òåõíè-
÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
ÅÔÀÍÎÂ Äìèòðèé Âèêòîðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû «Àâòîìàòèêà è òåëå-
ìåõàíèêà íà æåëåçíûõ äîðîãàõ» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé ñîîá-
ùåíèÿ Èìïåðàòîðà Àëåêñàíäðà I, êîòîðûé îêîí÷èë â 2007 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé —
äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà, íàäåæíîñòü è òåõíè÷åñêàÿ äèàãíîñòèêà äèñêðåòíûõ ñèñòåì.
×ÅÐÅÏÀÍÎÂÀ Ìàðèÿ Ðîäèîíîâíà, ñòóäåíòêà ôàêóëüòåòà «Àâòîìàòèçàöèÿ è èíòåëëåêòóàëü-
íûå òåõíîëîãèè» Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà ïóòåé ñîîáùåíèÿ Èìïåðàòîðà
Àëåêñàíäðà I. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — àâòîìàòèêà è äèñêðåòíàÿ ìàòåìàòèêà.
Â.Â. Ñàïîæíèêîâ, Âë.Â. Ñàïîæíèêîâ, Ä.Â. Åôàíîâ, Ì.Ð. ×åðåïàíîâà
48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101343 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:12:25Z |
| publishDate | 2016 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Черепанова, М.Р. 2016-06-02T17:15:06Z 2016-06-02T17:15:06Z 2016 Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах / В.В. Сапожников, Вл.В. Сапожников, Д.В. Ефанов, М.Р. Черепанова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 27-48. — Бібліогр.: 29 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101343 681.518.5:004.052.32 Выполнен анализ свойств модульных кодов с суммированием единичных информационных разрядов в системах функционального контроля при изменении длины информационного вектора. Установлены зависимости между ошибками различного вида при различных значениях модулей, которые непосредственно связаны с числом разрядов контрольных векторов и правилами вычисления их значений. Показано, что модульные коды с суммированием независимо от значения модуля не обнаруживают одинаковый процент ошибок кратностью d от общего числа ошибок данной кратностью при любых длинах информационных векторов. Экспериментально установлено, что уменьшение значения модуля для реальных логических схем во многих случаях не приводит к увеличению числа необнаруживаемых ошибок, возникающих на их выходах. Проаналізовано властивості кодів з підсумовуванням одиничних інформаційних розрядів в системах функціонального контролю при змінюванні довжини інформаційного вектору. Встановлено залежності між різними похибками при різних значеннях модулів, які безпосередньо пов’язані з кількістю розрядів контрольних векторів і правилами їх обчислення. Показано, що модульні коди з підсумовуванням незалежно від значення модуля не виявляють однаковий процент похибок кратності d від загального числа похибок даної кратності при будь-якій довжині інформаційних векторів. Експериментально встановлено, що зменшення значення модуля для реальних логічних схем в багатьох випадках не приводить до збільшення числа похибок, що не виявляються, на виходах. The analysis of modulo codes with summation of active bits properties in concurrent error detection systems for the data vector length change was performed. Dependence of errors of different types on different values of modulo, that are connected with the number of bits in data vectors and their calculation rules were determined. It was shown that modulo codes with summation do not detect the same rate of given multiplicity d errors for any data vector length without reference to modulo. It is shown in experiments that reduction of modulo value for real logic circuits does not result in the increase of the number of undetectable errors on its outputs in many cases. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Вычислительные процессы и системы Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах Modulo codes with summation in concurrent error detection systems. I. Ability to detect errors by modulo codes in data vectors Article published earlier |
| spellingShingle | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах Сапожников, В.В. Сапожников, Вл.В. Ефанов, Д.В. Черепанова, М.Р. Вычислительные процессы и системы |
| title | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| title_alt | Modulo codes with summation in concurrent error detection systems. I. Ability to detect errors by modulo codes in data vectors |
| title_full | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| title_fullStr | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| title_full_unstemmed | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| title_short | Модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. I. Свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| title_sort | модульные коды с суммированием в системах функционального контроля. i. свойства обнаружения ошибок кодами в информационных векторах |
| topic | Вычислительные процессы и системы |
| topic_facet | Вычислительные процессы и системы |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101343 |
| work_keys_str_mv | AT sapožnikovvv modulʹnyekodyssummirovaniemvsistemahfunkcionalʹnogokontrolâisvoistvaobnaruženiâošibokkodamivinformacionnyhvektorah AT sapožnikovvlv modulʹnyekodyssummirovaniemvsistemahfunkcionalʹnogokontrolâisvoistvaobnaruženiâošibokkodamivinformacionnyhvektorah AT efanovdv modulʹnyekodyssummirovaniemvsistemahfunkcionalʹnogokontrolâisvoistvaobnaruženiâošibokkodamivinformacionnyhvektorah AT čerepanovamr modulʹnyekodyssummirovaniemvsistemahfunkcionalʹnogokontrolâisvoistvaobnaruženiâošibokkodamivinformacionnyhvektorah AT sapožnikovvv modulocodeswithsummationinconcurrenterrordetectionsystemsiabilitytodetecterrorsbymodulocodesindatavectors AT sapožnikovvlv modulocodeswithsummationinconcurrenterrordetectionsystemsiabilitytodetecterrorsbymodulocodesindatavectors AT efanovdv modulocodeswithsummationinconcurrenterrordetectionsystemsiabilitytodetecterrorsbymodulocodesindatavectors AT čerepanovamr modulocodeswithsummationinconcurrenterrordetectionsystemsiabilitytodetecterrorsbymodulocodesindatavectors |