Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей

Представлены результаты вычислительного эксперимента по уменьшению объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей (экспонента, тригонометрические и гиперболические функции) по сравнению с их вычислением непосредственно по формулам. Подано результати обчислювального...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Veröffentlicht in:	Электронное моделирование
Datum:	2016
Hauptverfasser:	Калиновский, Я.А., Бояринова, Ю.Е.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2016
Schlagworte:	Применение методов и средств моделирования
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101346
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 83-91. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101346
record_format	dspace
spelling	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. 2016-06-02T17:25:12Z 2016-06-02T17:25:12Z 2016 Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 83-91. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101346 004.94 Представлены результаты вычислительного эксперимента по уменьшению объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей (экспонента, тригонометрические и гиперболические функции) по сравнению с их вычислением непосредственно по формулам. Подано результати обчислювального експерименту по зменьшенню об’єму обчислень при використанні представлень гіперкомплексних нелінійностей (експонента, тригонометричні та гіперболічні функції) в порівнянні з їх обчисленням безпосередньо по формулам. The results of computation experiment have been presented on reducing the amount of computations using representations of hypercomplex nonlinearities, such as exponential curve, trigonometric and hyperbolic functions, as compared to their direct calculation. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей Experimental evaluation of reducing the amount of calculations using representations of hypercomplex nonlinearities Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
spellingShingle	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е. Применение методов и средств моделирования
title_short	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
title_full	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
title_fullStr	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
title_full_unstemmed	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
title_sort	экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей
author	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е.
author_facet	Калиновский, Я.А. Бояринова, Ю.Е.
topic	Применение методов и средств моделирования
topic_facet	Применение методов и средств моделирования
publishDate	2016
language	Russian
container_title	Электронное моделирование
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format	Article
title_alt	Experimental evaluation of reducing the amount of calculations using representations of hypercomplex nonlinearities
description	Представлены результаты вычислительного эксперимента по уменьшению объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей (экспонента, тригонометрические и гиперболические функции) по сравнению с их вычислением непосредственно по формулам. Подано результати обчислювального експерименту по зменьшенню об’єму обчислень при використанні представлень гіперкомплексних нелінійностей (експонента, тригонометричні та гіперболічні функції) в порівнянні з їх обчисленням безпосередньо по формулам. The results of computation experiment have been presented on reducing the amount of computations using representations of hypercomplex nonlinearities, such as exponential curve, trigonometric and hyperbolic functions, as compared to their direct calculation.
issn	0204-3572
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101346
citation_txt	Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей / Я.А. Калиновский, Ю.Е. Бояринова // Электронное моделирование. — 2016. — Т. 38, № 2. — С. 83-91. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT kalinovskiiâa éksperimentalʹnaâocenkaumenʹšeniâobʺemavyčisleniipriispolʹzovaniipredstavleniigiperkompleksnyhnelineinostei AT boârinovaûe éksperimentalʹnaâocenkaumenʹšeniâobʺemavyčisleniipriispolʹzovaniipredstavleniigiperkompleksnyhnelineinostei AT kalinovskiiâa experimentalevaluationofreducingtheamountofcalculationsusingrepresentationsofhypercomplexnonlinearities AT boârinovaûe experimentalevaluationofreducingtheamountofcalculationsusingrepresentationsofhypercomplexnonlinearities
first_indexed	2025-11-24T16:02:12Z
last_indexed	2025-11-24T16:02:12Z
_version_	1850850408170258432
fulltext	ÓÄÊ 004.94 ß.À. Êàëèíîâñêèé 1 , ä-ð òåõí. íàóê, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 1,2 , êàíä. òåõí. íàóê 1 Èí-ò ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, óë. Í.Øïàêà, 2, e-mail: kalinovsky@i.ua), 2 Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò Óêðàèíû «Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò» (Óêðàèíà, 03113, Êèåâ, ïð-ò Ïîáåäû, 37, e-mail: ub@ua.fm) Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îöåíêà óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëåíèé ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäñòàâëåíèé ãèïåðêîìïëåêñíûõ íåëèíåéíîñòåé Ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ïî óìåíüøåíèþ îáúåìà âû÷èñ- ëåíèé ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäñòàâëåíèé ãèïåðêîìïëåêñíûõ íåëèíåéíîñòåé (ýêñïîíåíòà, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè) ïî ñðàâíåíèþ ñ èõ âû÷èñëåíèåì íåïîñ- ðåäñòâåííî ïî ôîðìóëàì. Ïîäàíî ðåçóëüòàòè îá÷èñëþâàëüíîãî åêñïåðèìåíòó ïî çìåíüøåííþ îá’ºìó îá÷èñëåíü ïðè âèêîðèñòàíí³ ïðåäñòàâëåíü ã³ïåðêîìïëåêñíèõ íåë³í³éíîñòåé (åêñïîíåíòà, òðèãîíîìåòðè÷í³ òà ã³ïåðáîë³÷í³ ôóíêö³¿) â ïîð³âíÿíí³ ç ¿õ îá÷èñëåííÿì áåçïîñåðåäíüî ïî ôîðìóëàì. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ãèïåðêîìïëåêñíàÿ ÷èñëîâàÿ ñèñòåìà, ýêñïîíåíöèàëüíàÿ ôóíêöèÿ, òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, ãèïåðáîëè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ, îáúåì âû÷èñëåíèé. Â ñâÿçè ñ ðàñøèðåíèåì îáëàñòè ïðèìåíåíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì (Ã×Ñ) òðåáóåòñÿ ñîâåðøåíñòâîâàíèå ìåòîäîâ âû÷èñëåíèé ïðè èõ èñïîëüçîâàíèè. Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé òàêèõ íåëèíåéíîñòåé êàê ýêñïîíåíòà, òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è ãèïåðáîëè÷åñêèå ôóíêöèè ïðè ïîñòðîåíèè ìàòåìà- òè÷åñêèõ ìîäåëåé ðàçëè÷íûõ ïðîöåññîâ â îáëàñòè Ã×Ñ ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü ñåðüåçíûå òðóäíîñòè. Êàê ïîêàçàëè ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé [1, 2], îäíèì èç ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ñîêðàùåíèÿ îáúåìîâ âû÷èñëåíèé ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçî- âàíèå âìåñòî ôîðìóë äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî îïðåäåëåíèÿ óêàçàííûõ ôóíê- öèé èõ ïðåäñòàâëåíèé. Â ðàáîòå [3] ïðåäëîæåíî îïðåäåëÿòü íåêîòîðûå òðàíñöåíäåíòíûå ôóíê- öèè îò ãèïåðêîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ êàê ñóììû ñòåïåííûõ ðÿäîâ ïîäîá- íî ôóíêöèÿì îò âåùåñòâåííîãî ïåðåìåííîãî. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ýòèì îïðå- äåëåíèÿ ýêñïîíåíòû, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé â Ã×Ñ ïðåäñòàâèì â ñëåäóþùåì âèäå. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 83 � ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà, 2016 1. Ýêñïîíåíòà — exp( ) ! M M SS S � � � � 0 . (1) 2. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèíóñ è êîñèíóñ — sin ( ) ( ) ( )! M M SS S S � � �� 0 2 1 1 2 1 , cos ( ) ( ) ( )! M M SS S S � � � � � 0 2 1 2 . (2) 3. Ãèïåðáîëè÷åñêèå ñèíóñ è êîñèíóñ — sh ( ) ( )! M M SS S � �� 0 2 1 2 1 , ch ( ) ( ) ( )! M M SS S S � � � � � 0 2 1 2 . (3) Â ôîðìóëàõ (1) — (3) Ì — ãèïåðêîìïëåêñíîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàùåå íåêîòîðîé Ã×Ñ Ã ðàçìåðíîñòè n ñ áàçèñîì e en1 ,..., , M m ei i n i� � � 1 . Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïî îïðåäåëåíèþ M 0 � �, ãäå � — åäèíè÷íûé ýëå- ìåíò ãèïåðêîìïëåêñíîé ñèñòåìû Ã. Âû÷èñëåíèÿ ñóìì áåñêîíå÷íûõ ñõî- äÿùèõñÿ ðÿäîâ ãðîìîçäêè è ìàëîïðèãîäíû äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ ïîñòðîå- íèé. Ïîýòîìó èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåíèÿ ýòèõ ðÿäîâ â âèäå ãèïåðêîìï- ëåêñíûõ ôóíêöèé. Ãèïåðêîìïëåêñíîé ôóíêöèåé F X( )îò ãèïåðêîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà X x e i n i i� � � 1 Ã íàçûâàþò ôóíêöèþ âèäà F X f x x x e i n i n i( ) ( , , ..., )� � � 1 1 2 , ãäå f x x xi n( , , ..., )1 2 , i n�1, ..., , — âåùåñòâåííûå ôóíêöèè îò n âåùåñòâåí- íûõ àðãóìåíòîâ, äëÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèé êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ýôôåê- òèâíûå àëãîðèòìû. Ïðèìåðîì òàêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà Ýéëåðà exp( ) (cos sin )x iy e x i yx� � � . Ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïîñòðîåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ôóíêöèé îò êâàòåðíèîíîâ ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè îïèñàíû â ðàáîòàõ [4—10]. Â ðàáîòàõ [11, 12] ïîñòðîåíû ïðåäñòàâëåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé, òðèãîíî- ìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé â êîììóòàòèâíûõ Ã×Ñ òðåòüåé è ÷åòâåðòîé ðàçìåðíîñòåé ïîñðåäñòâîì ïðåîáðàçîâàíèÿ ñòåïåííîãî ðÿäà ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàçëè÷íûõ èñêóññòâåííûõ ïðèåìîâ. ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2 Â [1, 2] ïðåäëîæåí óíèâåðñàëüíûé ìåòîä ïîñòðîåíèÿ ïðåäñòàâëåíèé ýêñïîíåíò, òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé îò ãèïåð- êîìïëåêñíûõ ïåðåìåííûõ äëÿ êîììóòàòèâíûõ è íåêîììóòàòèâíûõ Ã×Ñ êîíå÷íûõ ðàçìåðíîñòåé. Ïîïûòàåìñÿ ïîêàçàòü ýôôåêòèâíîñòü èñïîëüçî- âàíèÿ ïðåäñòàâëåíèé íåëèíåéíûõ ôóíêöèé â Ã×Ñ ïî êîëè÷åñòâó íåîáõî- äèìûõ âû÷èñëåíèé. Ìåòîäèêà èññëåäîâàíèÿ. Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî èñ- ñëåäîâàíèÿ áûëî îòîáðàíî 12 Ã×Ñ ðàçìåðíîñòè äâà, òðè è ÷åòûðå [1, 2]. Íàçâàíèÿ, îáîçíà÷åíèÿ è òàáëèöû Êåëè ýòèõ Ã×Ñ çäåñü íå ïðèâîäÿòñÿ. Ïðè- âåäåì òîëüêî ïðèìåðû ïðåäñòàâëåíèé íåëèíåéíîñòåé â íåêîòîðûõ Ã×Ñ. 1. Ïðåäñòàâëåíèå ýêñïîíåíòû â ñèñòåìå äóàëüíûõ ÷èñåë D ðàçìåð- íîñòè äâà, òàáëèöà Êåëè êîòîðîé èìååò âèä exp( ) ( )M e e m em� �1 1 2 2 . 2. Ïðåäñòàâëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñèíóñà â ñèñòåìå òðèïëåêñ- íûõ ÷èñåë Ëþøà Ò ðàçìåðíîñòè òðè, òàáëèöà Êåëè êîòîðîé èìååò âèä sin ( ) (sin ( ) sin ( ) )M m m m m m e� � � � � 1 2 1 3 1 3 2 1ch � � � � � �cos ( ) (sin ( ) sin ( ) )m m m e m m m m m e1 3 2 2 1 3 1 3 2 3 1 2 sh ch . 3. Ïðåäñòàâëåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîãî êîñèíóñà â Ã×Ñ Ã46 ðàçìåðíîñòè ÷åòûðå, òàáëèöà Êåëè êîòîðîé èìååò âèä Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îöåíêà óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 85 e1 e2 e1 e1 e2 e2 e2 0 e1 e2 e2 e1 e1 e2 e3 e2 e2 ( ) /e e3 1 2� – e2 e3 e3 – e2 e1 e1 e2 e3 e4 e1 e1 e2 e3 e4 e2 e2 e4 e4 0 e3 e3 e4 0 0 e4 e4 0 0 0 ch ch sh sh ch( )M m e m m e m m m m e� � � � � � � � �1 1 2 1 2 3 1 2 2 1 3 1 2 � � � � � � �m m m m m m m e4 1 2 3 1 2 3 1 4 1 6 sh ch sh . Äëÿ êàæäîé èç âûáðàííûõ Ã×Ñ áûëî îïðåäåëåíî âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ çíà÷åíèÿ ýêñïîíåíòû è îäíîé èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè ãèïåðáîëè÷åñ- êèõ ôóíêöèé äâóìÿ ñïîñîáàìè: ñ ïîìîùüþ ñòåïåííûõ ðÿäîâ è ñ ïîìîùüþ ïðåäñòàâëåíèé ýòèõ ôóíêöèé äëÿ îäíîãî è òîãî æå ãèïåðêîìïëåêñíîãî àðãóìåíòà. Âû÷èñëåíèÿ âûïîëíÿëèñü â ñðåäå Maple. Maple — ýòî ïàêåò äëÿ àíàëèòè÷åñêèõ âû÷èñëåíèé, ñîäåðæàùèé íå- ñêîëüêî òûñÿ÷ êîìàíä, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ðåøàòü çàäà÷è àëãåáðû, ãåî- ìåòðèè, ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, ñòàòèñòèêè, ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Îñíîâíûå îáúåêòû ïàêåòà — ôîðìóëû, ñîñòîÿùèå èç ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèì- âîëîâ, è âûïîëíÿåìûå íàä íèìè äåéñòâèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëüçîâàòåëü ìîæåò ââîäèòü âûðàæåíèÿ â òðàäèöèîííîé ìàòåìàòè÷åñêîé, ò.å. ñèìâîëü- íîé ôîðìå. ßäðî ñèñòåìû Maple íàïèñàíî íà ÿçûêå Ñ è ðåàëèçóåò ÿçûê Maple. Îñíîâíàÿ ÷àñòü ôóíêöèîíàëüíîñòè ñèñòåìû ðåàëèçîâàíà â äåñÿòêàõ ðàç- ëè÷íûõ áèáëèîòåê, áîëüøèíñòâî èç êîòîðûõ íàïèñàíî íà ÿçûêå Maple. Ñèìâîëüíûå âûðàæåíèÿ õðàíÿòñÿ â ïàìÿòè â âèäå îðèåíòèðîâàííîãî àöèê- ëè÷åñêîãî ãðàôà. Ñòàíäàðòíûé èíòåðôåéñ ðåàëèçîâàí íà ÿçûêå Java, ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò âîçìîæíîñòè åãî ðàñøèðåíèÿ. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëåé ñ èñïîëüçîâàíèåì ãèïåðêîìïëåêñíîãî ïðåä- ñòàâëåíèÿ äàííûõ ðàçðàáîòàí ïàêåò ïðîöåäóð, îáåñïå÷èâàþùèõ âûïîë- íåíèå ñèìâîëüíûõ è ÷èñëåííûõ îïåðàöèé â Ã×Ñ [13]. Èñïîëüçîâàíèå ñèìâîëüíûõ âûðàæåíèé â Maple ïîçâîëÿåò ñîçäàâàòü áîëåå êîìïàêòíûå è ýôôåêòèâíûå àëãîðèòìû äëÿ ðàáîòû ñ ãèïåðêîìïëåêñíûìè ÷èñëàìè. Â ïàêåòå ïðîöåäóð èñïîëüçóåòñÿ ãèïåðêîìïëåêñíîå ïðåäñòàâëåíèå ÷è- ñåë è ïðåäñòàâëåíèå òàáëèöû óìíîæåíèÿ ãèïåðêîìïëåêñíîé ÷èñëîâîé ñèñòåìû â îáùåì âèäå. Òàê, îñíîâíûå ïðîöåäóðû áèáëèîòåêè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ Ã×Ñ ëþáûõ ðàçìåðíîñòåé. Âû÷èñëåíèÿ ìîãóò ïðîâî- äèòüñÿ êàê â ñèìâîëüíîì, òàê è â ÷èñëåííîì âèäå, â çàâèñèìîñòè îò âèäà çàäàííûõ êîýôôèöèåíòîâ. Ïðèìåð ïðîãðàììû äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè âû÷èñëåíèÿ òðèãîíîìåò- ðè÷åñêîãî ñèíóñà â ñèñòåìå êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë K äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1. restart; 2. read(“D:\\Triplex\\HNS_lib.m”); 3. T1:=HNS_lib[Tabl_4order](1,15); ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2 The_table_N E E E E E E E E E E E E E E E E � � � � � � � � � � � � � � � 15 1 2 3 4 2 1 4 3 3 4 1 2 4 3 2 1 � � � � 4. A:=a[1]E[1]+a[2]E[2]+a[3]E[3]+a[4]E[4]; A a E a E a E a E:� � � �1 1 2 2 3 3 4 4 5. f1:=(1/2)((-sin(a[1]-a[4])cosh(a[2]+a[3])+sin(a[1]+a[4])cosh(-a[3]+a[2]))E[1]+ +((cos(a[1]-a[4])sinh(a[2]+a[3])+cos(a[1]+a[4])sinh(-a[3]+a[2]))E[2]+((cos(a[1]- -a[4])sinh(a[2]+a[3])-cos(a[1]+a[4])sinh(-a[3]+a[2]))E[3]-((sin(a[1]-a[4])cosh(a[2]+ +a[3])+sin(a[1]+a[4])cosh(-a[3]+a[2])))E[4]))); f a a a a a a a a1 1 2 1 4 2 3 1 4 3 2: (sin ( ) cosh ( ) sin ( ) cosh (� � � � � � � )) E1 � � � � � � � � 1 2 1 4 2 3 1 4 3 2(cos ( ) sinh ( ) cos ( ) sinh ( ))a a a a a a a a E2 � � � � � � � � 1 2 1 4 2 3 1 4 3 2(cos ( ) sinh ( ) cos ( ) sinh ( ))a a a a a a a a E3 � � � � � � � � � 1 2 1 4 2 3 1 4 3 2( sin ( ) cosh ( ) sin ( ) cosh ( ))a a a a a a a a E4 6. a[1]:=1.;a[2]:=1.;a[3]:=1;a[4]:=1.; a1 1:� . a2 1:� . a3 1:� . a4 1:� . a1 1:� . 7. A; 1 1 11 2 3 4. . .E E E E� � � 8. for k from 1 to 10000 do f[1]; end do: f[1]; 04546487134 1813430204 1813430204 0454641 2 3. . . .E E E� � � 87134 4E 9. for m from 1 to 1000 do sum1:=A; mul1:=A; A2:=HNS_lib[Mult](A,A,T1); for k from 1 to 10 do mul1:=(HNS_lib[Mult](mul1,A2,T1))/((2k)(2k+1)); sum1:=sum1+mul1*(-1)^k; end do: end do:sum1; 04546487136 1813430203 1813430203 0454641 2 3. . . .E E E� � � 87136 4E . Â ñòðîêå îïåðàòîðà 2 îñóùåñòâëÿåòñÿ âûçîâ ïàêåòà ïðîöåäóð äëÿ âû- ïîëíåíèÿ ñèìâîëüíûõ è ÷èñëåííûõ îïåðàöèé â Ã×Ñ, èìÿ êîòîðîãî — HNS_lib.m, à â ñòðîêå îïåðàòîðà 3 âûçûâàåòñÿ òàáëèöà Êåëè äëÿ êâàäðèï- ëåêñíûõ ÷èñåë — HNS_lib[Tabl_4order](1,15). Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îöåíêà óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 87 Â ñòðîêå îïåðàòîðà 4 îïðåäåëÿåòñÿ âèä êâàäðèïëåêñíîãî ÷èñëà â ñèì- âîëüíîé ôîðìå, à â ñòðîêå îïåðàòîðà 6 åìó ïðèñâàèâàåòñÿ êîíêðåòíîå çíà÷åíèå, A E E E E� � � �1 2 3 4, òðèãîíîìåòðè÷åñêèé ñèíóñ êîòîðîãî áóäåò âû÷èñëÿòüñÿ. Â ñòðîêå îïåðàòîðà 5 ââîäèòñÿ ôîðìóëà ïðåäñòàâëåíèÿ òðèãîíîìåòðè- ÷åñêîãî ñèíóñà â ñèñòåìå êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë K . ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2 Ã×Ñ Âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ tp /tô Íîìåð Èìÿ Ðàçìåðíîñòü ïî ïðåäñòàâëåíèÿì, tô, ñ ñ ïîìîùüþ ñóììû ðÿäà, tp, ñ 1 C 2 7 1 10 8 1 10 5 5 , , � � � � 6 0 10 4 0 10 3 3 , , � � � � 84 50 2 D 2 3 3 10 4 7 10 5 5 , , � � � � 4 0 10 3 0 10 3 3 , , � � � � 121 64 3 W 2 7 1 10 4 8 10 5 5 , , � � � � 5 0 10 3 0 10 3 3 , , � � � � 70 62 4 Ã31 3 3 8 10 6 6 10 5 5 , , � � � � 8 0 10 5 0 10 3 3 , , � � � � 210 76 5 Ã32 3 5 5 10 10 0 10 5 5 , , � � � � 10 0 10 6 0 10 3 3 , , � � � � 181 60 6 Ã33 3 21 5 10 40 9 10 5 5 , , � � � � 14 0 10 10 1 10 3 3 , , � � � � 65 25 7 Ã41 4 16 5 10 24 0 10 5 5 , , � � � � 24 0 10 10 1 10 3 3 , , � � � � 84 42 8 Ã42 4 4 0 10 9 4 10 5 5 , , � � � � 15 0 10 9 1 10 3 3 , , � � � � 145 97 9 Ã43 4 6 1 10 12 4 10 5 5 , , � � � � 18 0 10 111 10 3 3 , , � � � � 300 90 10 Ã44 4 7 0 10 9 5 10 5 5 , , � � � � 16 0 10 7 5 10 3 3 , , � � � � 228 79 11 Ã46 4 7 9 10 12 5 10 5 5 , , � � � � 19 0 10 10 2 10 3 3 , , � � � � 240 82 12 K 4 36 0 10 35 0 10 5 5 , , � � � � 18 5 10 13 7 10 3 3 , , � � � � 51 39 Ïðèìå÷àíèå: íàä ÷åðòîé — âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ýêñïîíåíòû, ïîä ÷åðòîé — âðåìÿ âû÷èñ- ëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé; çíà÷åíèå tp/tô — ïðèáëèçè- òåëüíîå. Â ñòðîêå îïåðàòîðà 8 â öèêëå äëèíîé 10 000 âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñèíóñà À ïî ôîðìóëå ïðåäñòàâëåíèÿ. Äëèíà öèêëà îïðåäåëÿåòñÿ òàê, ÷òîáû ñóììàðíîå âðåìÿ ðàáîòû öèêëà áûëî óäîáíûì äëÿ ôèêñàöèè. Ñèñòåìà Maple óäîáíà òåì, ÷òî â íåé ïðåäóñìîòðåíî àâòî- ìàòè÷åñêîå îïðåäåëåíèå âðåìåíè ðàáîòû îïåðàòîðîâ, ðàñïîëîæåííûõ â îä- íîé ñåêöèè. Äåëåíèåì ýòîãî âðåìåíè íà äëèíó öèêëà îïðåäåëÿåòñÿ ñðåäíåå âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñèíóñà ïî ôîðìóëå ïðåäñòàâëåíèÿ, à òàêæå ðåçóëüòàò âû÷èñëåíèÿ. Â ñòðîêå îïåðàòîðà 9 â öèêëå äëèíîé 1000 âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñèíóñà A ïî ñóììå ñòåïåííîãî ðÿäà. Äëèíà âíóòðåí- íåãî öèêëà — ýòî êîëè÷åñòâî âû÷èñëÿåìûõ ÷ëåíîâ ñòåïåííîãî ðÿäà, îïðå- äåëÿåìîå ýêñïåðèìåíòàëüíî òàê, ÷òîáû òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé â îáîèõ ñëó÷àÿõ ñîâïàäàëè. Â ýòîì îïåðàòîðå äâàæäû èñïîëüçóåòñÿ îäíà èç ïðîöå- äóð ïàêåòà HNS_lib.m — ïðîöåäóðà HNS_lib[Mult](A,A,T1) óìíîæåíèÿ äâóõ êâàäðèïëåêñíûõ ÷èñåë, À è À, â ñîîòâåòñòâèè ñ òàáëèöåé Êåëè T1. Âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ òàê æå, êàê è äëÿ îïåðàòîðà 8, à ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñîâïàäàþò. Ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà, ïðåäñòàâëåííûå â òàá- ëèöå, ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììíîãî îáåñïå÷åíèÿ, ðàçðàáîòàííîãî â ñèñòåìå ñèìâîëüíîãî âû÷èñëåíèÿ MAPLE (êîìïüþòåð Pentium IV, 2,8 ÃÃö). Äëÿ ñðàâíåíèÿ â òàáëèöå ïðèâåäåíî âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ ýêñïîíåíòû, à òàêæå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ ïîìîùüþ ôîðìóë ïðåä- ñòàâëåíèé tô è ñ ïîìîùüþ âû÷èñëåíèÿ ñóììû ðÿäà tp äëÿ ðàçëè÷íûõ Ã×Ñ. Êàê âèäíî èç òàáëèöû, âðåìÿ âû÷èñëåíèÿ íåëèíåéíîñòåé îò ãèïåðêîìï- ëåêñíîãî àðãóìåíòà ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóë ïðåäñòàâëåíèÿ ñîêðàùàåòñÿ â 25—300 ðàç ïî ñðàâíåíèþ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåïåííûõ ðÿäîâ. Ïðè âû÷èñëåíèè ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåïåííûõ ðÿäîâ â ïðîãðàììå âû÷èñëåíèé ðÿä îïåðàòîðîâ áûë îïòèìèçèðîâàí. Íàïðèìåð, â îïåðàòîðå 9 ÷ëåíû ðÿäà âû÷èñëÿþòñÿ ðåêóððåíòíî: R R A k k k k� � �1 2 2 2 1( ) . (4) Âû÷èñëåíèå ïî ôîðìóëå (4) ÿâëÿåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûì, ÷åì ïîëíîå âû÷èñëåíèå ÷ëåíà ðÿäà. Â òî æå âðåìÿ, ïðè âû÷èñëåíèè ïî ôîðìóëå ïðåäñòàâëåíèÿ òàêàÿ îïòèìèçàöèÿ íå âûïîëíÿåòñÿ. Òàê, â îïåðàòîðå 8 âû- ÷èñëåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ è ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé îò îäíîãî è òîãî æå âåùåñòâåííîãî àðãóìåíòà ïîâòîðÿþòñÿ. Åñëè èçáåæàòü ïîâòîðå- íèÿ ïîñðåäñòâîì ïðîìåæóòî÷íîãî çàïîìèíàíèÿ, òî óñêîðåíèå âû÷èñëåíèé óâåëè÷èòñÿ. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îöåíêà óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 89 Âûâîäû Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ïîçâîëÿþò ñäå- ëàòü âûâîä î òîì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ïðåäñòàâëåíèé íåëèíåéíîñòåé ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ñ ïðèìåíåíèåì ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñåë ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ñîêðàòèòü âðåìÿ âû÷èñëåíèé. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. Ñèíüêîâ Ì.Â., Êàëèíîâñêèé ß.À., Áîÿðèíîâà Þ.Å. Êîíå÷íîìåðíûå ãèïåðêîìïëåêñíûå ÷èñëîâûå ñèñòåìû. Îñíîâû òåîðèè. Ïðèìåíåíèÿ.— Êèåâ: Èí-ò ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû, 2010. — 389 ñ. 2. Êàë³íîâñüêèé ß.Î. Ìåòîäè êîìï’þòåðíîãî ìîäåëþâàííÿ òà îá÷èñëåíü ç âèêîðèñòàí- íÿì ã³ïåðêîìïëåêñíèõ ÷èñëîâèõ ñèñòåì: Äèñ. … ä-ðà òåõí. íàóê ²í-ò ïðîáë. ðåºñòðàö³¿ ³íôîðìàö³¿ ÍÀÍ Óêðà¿íè. — Êè¿â, 2007. — 417 c. 3. Hamilton W.R. Researches respecting Quaternions: First Series // Transactions of the Royal Irish Academy. — 1848. — Vol. 21, part 1. — P. 199—296. 4. Kahler U. Die Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie auf die Losung partieller Differentialgleichungen. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: www.tu-chemnitz. de /mathematik/ prom_habil/promint.pdf (1998). 5. Brackx F. The Exponential Function of a Quaternion Variable // Applicable Analysis. — 1979. — Vol. 8. — P. 265—276. 6. Scheicher K., Tichy R.F., Tomantschger K.W. Elementary Inequalities in Hypercomplex Numbers // Anzeiger. — 1997. — Abt. II, ¹134. — Ð. 3—10. 7. Holin H. The Quaternionic Exponential and beyond. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: http://www.bigfoot.com/ ~Hubert.Holin. 8. Eberly D. Quaternion Algebra and Calculus. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñ- òóïà: http://www.magic-software. com (1999). 9. Klingener F. Summary of Dual and Quaternion Mathematics for Kinematics. — [Ýëåêò- ðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: www.BrockEng.com/VMech/Quaternions/kinemath. pdf. — P. 23 (2001). 10. Ude A. Filtering in a Unit Quaternion Space for Model-Based Object Tracking.— [Ýëåêò- ðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: www.cns.atr.jp/~aude/ publications /ras99.pdf. 11. Liefke H. Quaternion Calculus for Modeling Rotations in 3D Space. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: www.liefke.com/ hartmut (1998). 12. Olariu S. Complex Numbers in Three Dimensions. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: arXiv: math. CV/0008119 v1 16 Aug (2000). 13. Olariu S. Commutative Complex Numbers in Four Dimensions. — [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ]. — Ðåæèì äîñòóïà: arXiv: math. CV/0008119 v1 16 Aug (2000). 14. Ñ³íüêîâ Ì.Â., Áîÿð³íîâà Þ.ª., Êàë³íîâñüêèé ß.Î. òà ³í. Àëãîðèòì³÷íî-ïðîãðàìíèé ³íñòðóìåíòàð³é àíàë³òè÷íèõ îá÷èñëåíü íàä ã³ïåðêîìïëåêñíèìè ÷èñëàìè â ñèñòåì³ êîìï’þòåðíî¿ ìàòåìàòèêè MAPLE // Ðåºñòðàö³ÿ, çáåð³ãàííÿ ³ îáðîáêà äàíèõ. — 2005. — 7, ¹ 2. — Ñ. 18—24. J.A.Kalinovsky, Y.E.Boyarinova EXPERIMENTAL EVALUATION OF REDUCING THE AMOUNT OF CALCULATIONS USING REPRESENTATIONS OF HYPERCOMPLEX NONLINEARITIES The results of computation experiment have been presented on reducing the amount of computa- tions using representations of hypercomplex nonlinearities, such as exponential curve, trigono- metric and hyperbolic functions, as compared to their direct calculation. ß.À. Êàëèíîâñêèé, Þ.Å. Áîÿðèíîâà 90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2016. V. 38. ¹ 2 K e y w o r d s: hypercomplex number system, the exponential function, trigonometric function, hyperbolic function, the amount of computation. REFERENCES 1. Sinkov, M.V., Boyarinova, J.E. and Kalinovsky, J.A. (2010), Konechnomernye giperkom- pleksnye chislovye sistemy. Osnovy teorii. Primeneniya. [Finite-dimensional hypercomplex number systems. Fundamentals of the theory. Applications], IPRI, Kyiv, Ukraine. 2. Kalinovsky, J.A. (2007), “Development of methods of HNS theory for mathematical model- ing and computer calculations”, Dr Sci. (Tech.) dissertation, Institute for Information Re- cording of NAS of Ukraine, Êyiv, Ukraine. 3. Hamilton, W.R. (1848), “Researches respecting quaternions: First series”, Transactions of the Royal Irish Academy, Vol. 21, part1, pp.199-296. 4. K��àhler, U. (1998), “Die Anwendung der hyperkomplexen Funktionentheorie auf die Losung partieller Differentialgleichungen”, available at: www.tu-chemnitz.de /mathematik/prom_ habil/promint.pdf 5. Brackx, F. (1979), “The exponential function of a quaternion variable”, Applicable Analysis, Vol. 8, pp. 265-276. 6. Scheicher, K., Tichy, R.F. and Tomantschger, K.W. (1997), “Elementary Inequalities in hypercomplex numbers”, Anzeiger, Vol. II, no. 134, pp. 3-10. 7. Holin, H. “The quaternionic exponential and beyond”, available at: http://www.bigfoot. com/ ~Hubert.Holin. 8. Eberly, D. (1999), “Quaternion algebra and calculus”, available at: http://www.magic-soft- ware. com 9. Klingener, F. (2001), “Summary of dual and quaternion mathematics for kinematics”, avail- able at: www.BrockEng.com/VMech /Quaternions/ kinemath.pdf. 10. Ude, A. “Filtering in a unit quaternion space for model-based object tracking”, available at: www.cns.atr.jp/~aude/ publications /ras99.pdf 11. Liefke, H. (1998), “Quaternion calculus for modeling rotations in 3D space”, available at: www.liefke.com/ hartmut 12. Olariu, S. (2000), “Complex numbers in three dimensions”, available at: arXiv: math. CV/0008119 v1 (accessed Aug. 16, 2000). 13. Olariu, S. (2000), “Commutative complex numbers in four dimensions”, available at: arXiv: math. CV/0008119 v1 (accessed August 16, 2000). 14. Sinkov, M.V., Boyarinova, J.E., Kalinovsky, J.A., Postnikova, T.G. and Sinkova, T.V. (2005), “Algorithm-software tools for analytical computations over hypercomplex numbers in computer mathematical system MAPLE”, Data Recording, Storage and Processing, Vol. 7, no. 2, pp. 18-24. Ïîñòóïèëà 27.01.16 ÊÀËÈÍÎÂÑÊÈÉ ßêîâ Àëåêñàíäðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðå- ãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1965 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îá- ëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè. ÁÎßÐÈÍÎÂÀ Þëèÿ Åâãåíüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ðåãèñòðàöèè èíôîðìàöèè ÍÀÍ Óêðàèíû, äîöåíò Íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû «Êèåâñ- êèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», êîòîðûé îêîí÷èëà â 1997 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðèÿ ãèïåðêîìïëåêñíûõ ÷èñëîâûõ ñèñòåì è èõ ïðèìåíåíèå â ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ îöåíêà óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëåíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2016. Ò. 38. ¹ 2 91

Экспериментальная оценка уменьшения объема вычислений при использовании представлений гиперкомплексных нелинейностей

Institution

Ähnliche Einträge