Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение
Показана принципиальная возможность решения задачи дифференциальной диагностики на уровне математических моделей, алгоритмов и программ с помощью внешнетраекторного контроля вычислительными средствами. Показано принципову можливість розв’язування задачі диференціальної діагностики на рівні математич...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101434 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 97-115. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101434 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Шамолин, М.В. 2016-06-03T14:23:26Z 2016-06-03T14:23:26Z 2009 Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 97-115. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101434 531.01+517.9 Показана принципиальная возможность решения задачи дифференциальной диагностики на уровне математических моделей, алгоритмов и программ с помощью внешнетраекторного контроля вычислительными средствами. Показано принципову можливість розв’язування задачі диференціальної діагностики на рівні математичних моделей, алгоритмів та програм за допомогою зовнішньотраекторного контролю обчислювальними засобами. A principal possibility of solution is shown for the problem of differential diagnosis at the level of mathematical models, algorithms and programs with the help of external trajectory control by computers. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00231-а). ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Точность, надежность, диагностика Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение Extended Problem of Differential Diagnosis and its Possible Solution Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| spellingShingle |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение Шамолин, М.В. Точность, надежность, диагностика |
| title_short |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| title_full |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| title_fullStr |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| title_full_unstemmed |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| title_sort |
расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение |
| author |
Шамолин, М.В. |
| author_facet |
Шамолин, М.В. |
| topic |
Точность, надежность, диагностика |
| topic_facet |
Точность, надежность, диагностика |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Extended Problem of Differential Diagnosis and its Possible Solution |
| description |
Показана принципиальная возможность решения задачи дифференциальной диагностики на уровне математических моделей, алгоритмов и программ с помощью внешнетраекторного контроля вычислительными средствами.
Показано принципову можливість розв’язування задачі диференціальної діагностики на рівні математичних моделей, алгоритмів та програм за допомогою зовнішньотраекторного контролю обчислювальними засобами.
A principal possibility of solution is shown for the problem of differential diagnosis at the level of mathematical models, algorithms and programs with the help of external trajectory control by computers.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101434 |
| citation_txt |
Расширенная задача дифференциальной диагностики и ее возможное решение / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 97-115. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT šamolinmv rasširennaâzadačadifferencialʹnoidiagnostikiieevozmožnoerešenie AT šamolinmv extendedproblemofdifferentialdiagnosisanditspossiblesolution |
| first_indexed |
2025-11-25T18:09:01Z |
| last_indexed |
2025-11-25T18:09:01Z |
| _version_ |
1850521142161309696 |
| fulltext |
ÓÄÊ 531.01+517.9
Ì. Â. Øàìîëèí, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò ìåõàíèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòà èì. Ëîìîíîñîâà
(Ðîññèÿ, 119899, Ìîñêâà, Ìè÷óðèíñêèé ïð., ä. 1,
òåë.: (495) 9395143; E-mail: shamolin@imec.msu.ru)
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé
äèàãíîñòèêè è åå âîçìîæíîå ðåøåíèå *
Ïîêàçàíà ïðèíöèïèàëüíàÿ âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
íà óðîâíå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé, àëãîðèòìîâ è ïðîãðàìì ñ ïîìîùüþ âíåøíåòðàåêòîð-
íîãî êîíòðîëÿ âû÷èñëèòåëüíûìè ñðåäñòâàìè.
Ïîêàçàíî ïðèíöèïîâó ìîæëèâ³ñòü ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷³ äèôåðåíö³àëüíî¿ ä³àãíîñòèêè íà
ð³âí³ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé, àëãîðèòì³â òà ïðîãðàì çà äîïîìîãîþ çîâí³øíüîòðàåêòîð-
íîãî êîíòðîëþ îá÷èñëþâàëüíèìè çàñîáàìè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåèñïðàâíîñòü, óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà, äèàãíîñòè÷åñêîå ïðîñò-
ðàíñòâî.
Ñëîæíîñòü ñîâðåìåííûõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì, çàäà÷, ðåøàåìûõ ýòèìè
ñèñòåìàìè, ìíîãîîáðàçèå ýòèõ çàäà÷, ñíèæåíèå àïïàðàòóðíîé èçáûòî÷-
íîñòè, âûñîêàÿ îòâåòñòâåííîñòü è èíòåíñèâíîñòü ðàáîòû îïåðàòîðîâ, èõ
âûñâîáîæäåíèå òðåáóþò èíòåëëåêòóàëüíîãî ïðèáîðíîãî íàïîëíåíèÿ òà-
êèõ ñèñòåì è, â ÷àñòíîñòè, ýôôåêòèâíîé àâòîìàòè÷åñêîé äèàãíîñòèêè
ôóíêöèîíàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ â ïðîöåññå èõ äâèæåíèÿ. Ïî ðåçóëüòàòàì
äèàãíîñòèêè ìîæíî ïðîâåñòè ðåìîíò ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ (ÑÓ), âûïîë-
íèòü îòêëþ÷åíèå íåèñïðàâíîãî ýëåìåíòà èëè îñóùåñòâèòü êîððåêöèþ çà-
êîíà óïðàâëåíèÿ.
Ìíîãèå òåõíè÷åñêèå îáúåêòû èìåþò ìîäóëüíóþ ñòðóêòóðó è îáëà-
äàþò êîíå÷íûì íàáîðîì íåèñïðàâíîñòåé. Äâèæåíèå òàêèõ îáúåêòîâ è
ýëåìåíòîâ èõ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ, êàê èñïðàâíûõ, òàê è íåèñïðàâíûõ, ñ
âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè àïðèîðè ìîæíî îïèñàòü, èñõîäÿ èç îïûòà è
çàêîíîâ òåîðåòè÷åñêîé ìåõàíèêè, îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè. Èìåííî ïîýòîìó íàïðàâëåíèå èññëåäîâàíèé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 97
���������
�
��������
� �������
*Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ
èññëåäîâàíèé (ãðàíò 08-01-00231-à).
ôóíêöèîíàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì ïîëó÷èëî íàçâàíèå
«äèôôåðåíöèàëüíàÿ äèàãíîñòèêà». Â îñíîâå åå ëåæàò äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå äâèæåíèå èñïðàâíîé è íåèñïðàâíûõ (åñëè îíè
åñòü) ñèñòåì.
Çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè ôóíêöèîíàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ òà-
êèõ îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ ìîæåò áûòü ñâåäåíà ê äâóì ñàìîñòîÿòåëüíûì ïî-
ñëåäîâàòåëüíî ðåøàåìûì çàäà÷àì: êîíòðîëþ, ò.å. óñòàíîâëåíèþ êðèòåðèÿ
íàëè÷èÿ íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå, è äèàãíîñòèðîâàíèþ, ò. å. ïîèñêó ïðîèçî-
øåäøåé íåèñïðàâíîñòè. Êðèòåðèåì íàëè÷èÿ íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå ìîæåò
áûòü âûõîä òðàåêòîðèè îáúåêòà íà íåêîòîðóþ çàðàíåå âûáðàííóþ ïîâåðõ-
íîñòü. Íåèñïðàâíîñòü ìîæåò ïðîèçîéòè â ëþáîé çàðàíåå íåèçâåñòíûé ìîìåíò
âðåìåíè äâèæåíèÿ îáúåêòà â ëþáîé òî÷êå âíóòðè äàííîé êîíòðîëèðóåìîé
ïîâåðõíîñòè.
Èñõîäíîé èíôîðìàöèåé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è êîíòðîëÿ ÿâëÿåòñÿ ìà-
òåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà, îãðàíè÷åííàÿ
îáëàñòü åå íà÷àëüíûõ óñëîâèé è àïðèîðíûé ñïèñîê ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäå-
ëåé äâèæåíèÿ îáúåêòà ñ òîé èëè èíîé âîçìîæíîé íåèñïðàâíîñòüþ. Ïî ýòîé
èíôîðìàöèè ìîæåò áûòü âûáðàíà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ.
Ïðîöåäóðà êîíòðîëÿ âêëþ÷àåò â ñåáÿ ôèêñèðîâàíèå âûõîäà òðàåêòî-
ðèè îáúåêòà íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ íà÷àëîì àëãîðèòìà
êîíòðîëÿ, ò.å. èíôîðìàöèåé î íàëè÷èè íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå, è âûäà÷ó
íà÷àëüíîé èíôîðìàöèè äëÿ àëãîðèòìà äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ðåøåíà ïîñëåäóþùèì ñëåæå-
íèåì çà òðàåêòîðèåé îáúåêòà ïîñëå åå âûõîäà íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ.
Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðîöåññ äèàãíîñòèêè ñîâåðøàëñÿ âî âðåìÿ
äâèæåíèÿ îáúåêòà, áûë îñóùåñòâëåí â òå÷åíèå âåñüìà êðàòêîãî èíòåðâàëà
âðåìåíè, íàïðèìåð çà ïîëóïåðèîä èëè çà ÷åòâåðòóþ ÷àñòü ïåðèîäà áûñò-
ðûõ êîëåáàíèé îáúåêòà, è íå òðåáîâàë äîïîëíèòåëüíîãî ïðèáîðíîãî îáåñ-
ïå÷åíèÿ. Ýòè îáñòîÿòåëüñòâà èíîãäà íå ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü äîâîëüíî
ãðîìîçäêèå àëãîðèòìû òåîðèè èäåíòèôèêàöèè è ïðèâîäÿò ê íåîáõîäè-
ìîñòè ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ íåïðåðûâíîé ýêñïðåññ-äèàãíîñòèêè.
Èñõîäíîé èíôîðìàöèåé äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ ÿâ-
ëÿåòñÿ êîíå÷íûé íàáîð ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé íåèñïðàâíûõ ñèñòåì,
îòëè÷àþùèõñÿ îäíà îò äðóãîé è îò èñõîäíîé ñèñòåìû âîçìîæíîé íåèñ-
ïðàâíîñòüþ, îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü èõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé è èíôîðìàöèÿ ñ
âûõîäà àëãîðèòìà êîíòðîëÿ.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ïîíÿòèå íåèñïðàâíîñòè. Ðàññìîòðèì àâòî-
íîìíóþ óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó, ôóíêöèîíàëüíîå ñîñòîÿíèå êîòîðîé ìî-
æåò áûòü îïèñàíî âåêòîðíûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì, óäîâëåò-
âîðÿþùèì òåîðåìå ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè,
� �x X x( ). (1)
Ì. Â. Øàìîëèí
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Ïóñòü ñèñòåìà èìååò óïðàâëÿþùåå óñòðîéñòâî, ïîçâîëÿþùåå óäåðæè-
âàòü âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) êàê ìîæíî áëèæå ê íåêîòîðîìó ðåøåíèþ x
*
.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âñå êîìïîíåíòû x xn1
,..., âåêòîðà x ìîæíî ðàçäåëèòü íà
äâà ìíîæåñòâà: êîîðäèíàòû ñèñòåìû (îáúåêòà) y y p1
,..., è êîîðäèíàòû
óïðàâëåíèÿ z zq1
,..., , ãäå p q n� � .
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (1) â ñëåäóþùåì âèäå:
� �y Y y z( , ), Y ( , )0 0 0� , � �z Z y z( , ), Z ( , )0 0 0� . (2)
Ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ñ íåïðÿìûì óïðàâëåíèåì èëè ñ óïðàâëåíèåì
ïî ïðîèçâîäíûì. Òàêèå ñèñòåìû ïðèìåíèòåëüíî ê óïðàâëåíèþ äâèæåíèåì
êîðàáëÿ âïåðâûå ðàññìàòðèâàëèñü Í. Ìèíîðñêèì [1]. Îáúåêò óïðàâëåíèÿ
îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì � �y Y y( , )0 , à óïðàâëÿþùåå ñâîéñòâî — óðàâíå-
íèåì � �z Z z( , )0 .
Ïðè ïðîâåäåíèè ìàòåìàòè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ ïî äèàãíîñòèêå óïðàâ-
ëÿåìûõ ñèñòåì áûëè èñïîëüçîâàíû ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè òèïà (2). Êëàñ-
ñèôèêàöèÿ íåèñïðàâíîñòåé, îïðåäåëåíèå èõ îêðåñòíîñòåé, îáñóæäåíèå
íåâûðîæäåííîñòè îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé, ââåäåíèå ïîíÿòèÿ äèàãíîñ-
òè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà, à òàêæå ïåðâîíà÷àëüíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è âû-
ïîëíÿþòñÿ íà îñíîâå óðàâíåíèé ëåòàòåëüíîãî àïïàðàòà (ËÀ)
� � �x X x A x( ) ( )�, � �� �� ( ), � � � �Bx ( ), �Cx, (3)
ãäå x — ôàçîâûé n-ìåðíûé âåêòîð ñîñòîÿíèÿ; X x( ), A x( )— îïðåäåëåííûå
íåïðåðûâíûå ìàòðèöû; � — òðåõìåðíûé óïðàâëÿþùèé âåêòîð, ýëåìåíòà-
ìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, óãëû îòêëîíåíèÿ ðóëåé âûñîòû, ýëåðî-
íîâ, íàïðàâëåíèÿ; B bij� ( ), C cij� ( ) (i �1 2 3, , ; j n�1,..., ) — íåïðåðûâíûå
ìàòðèöû. Òðåõìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè� ( )� è� ( ) íåïðåðûâíû ïðè âñåõ
çíà÷åíèÿõ �h è h (h �1 3,..., ) è ïðèíàäëåæàò êëàññó òàê íàçûâàåìûõ äî-
ïóñòèìûõ õàðàêòåðèñòèê:
� �h h� ( )
0 ïðè �h � 0 ; h h� ( )
0 ïðè h � 0 . (4)
Ïîñëåäíèå òðè óðàâíåíèÿ â (3) îïèñûâàþò ÑÓ äâèæåíèåì äèíàìè÷åñêîãî
îáúåêòà. Öåëü óïðàâëåíèÿ — ïðèáëèçèòü òðàåêòîðèþ x t( ) ê íåêîòîðîé
ïðîãðàììíîé òðàåêòîðèè x t
*
( ). Äîïóñòèì, ÷òî òàêîå óïðàâëåíèå ïîñò-
ðîåíî, ò.å. ïîäîáðàíû ôóíêöèè � è �, à òàêæå êîýôôèöèåíòû ìàòðèö B, C,
è èìåííî ýòè çíà÷åíèÿ ��
�, B è C ïðèñóòñòâóþò â (3).
Äîïóñòèì, ÷òî â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ â ÑÓ ìîãóò âîçíèêàòü
íåèñïðàâíîñòè, êîòîðûå ïðèâîäÿò ê òîìó, ÷òî óïðàâëÿþùèé ñèãíàë �,
âûðàáàòûâàåìûé ÑÓ îáúåêòà, ôîðìèðóåòñÿ íåïðàâèëüíî, ò.å. óïðàâëåíèå
îáúåêòîì óæå íå îáåñïå÷èâàåò áëèçîñòè òðàåêòîðèè x t( ) ê x t
*
( ).
Òàêèì íåèñïðàâíîñòÿì ñîîòâåòñòâóþò íåêîòîðûå çíà÷åíèÿ êîýôôè-
öèåíòîâ ìàòðèö B, C è âèäû ôóíêöèé �, �. Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 99
òàêîé íàáîð èç l íåèñïðàâíîñòåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ èìååò ñâîè ìàòðèöû
Bi , C i è ôóíêöèè � i , � i , i l�1,..., , ÷òî ðåøåíèÿ ñèñòåì x t f x ti
i
i�
�( ) ( , ) ñ
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x Xi 0
� (ôóíêöèè f i ïîëó÷àþòñÿ ïîäñòàíîâêîé â
(3) ìàòðèö Bi , C i ) ðàçëè÷íû ìåæäó ñîáîé ïðè îäíèõ è òåõ æå íà÷àëüíûõ
óñëîâèÿõ äëÿ âñåõ f i è îòëè÷íû òàêæå îò ïðîãðàììíîé òðàåêòîðèè x t
*
( ).
Òîãäà ïðè äàííîì íàáîðå íåèñïðàâíîñòåé àêòóàëüíà çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ
íîìåðà i ôóíêöèè f i , i l�1,..., , çàìåíÿþùåé ïðàâóþ ÷àñòü (3) â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè t
0
(ìîìåíò âîçíèêíîâåíèÿ íåèñïðàâíîñòè â ÑÓ îáúåêòà).
 áîëåå îáùåì âèäå çàäà÷ó ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü òàê. Ïóñòü â ìîìåíò
âðåìåíè t
0
ïðîèçîøëà íåèñïðàâíîñòü. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îòîáðàæåíèþ ïðî-
èçîøåäøåé â ñèñòåìå íåèñïðàâíîñòè íà ìíîæåñòâî èç l âîçìîæíûõ íåèñ-
ïðàâíîñòåé è îïðåäåëåíèþ íîìåðà i l�1,..., íåèñïðàâíîñòè èç ýòîãî ìíîæåñò-
âà, íàèáîëåå áëèçêîãî ê ïðîèçîøåäøåé íåèñïðàâíîñòè.
Êëàññèôèêàöèÿ íåèñïðàâíîñòåé. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü êëàññèôè-
êàöèþ íåèñïðàâíîñòåé íà îñíîâå ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîñòðàíñòâåí-
íîãî äâèæåíèÿ ËÀ (3). Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ ïðèìåíèòåëüíî ê ÑÓ,
ðàññìîòðåííîé â ðàáîòå [2], â êîòîðîé èññëåäóåòñÿ ðåæèì ïëàíèðóþùåãî
ñïóñêà ËÀ ñ âûñîò, áëèçêèõ ê îðáèòàëüíûì. Ñîõðàíèâ â ýòèõ óðàâíåíèÿõ
ñòðóêòóðó óïðàâëåíèÿ, çàïèøåì èõ â âèäå
� � �x A x B x( ) ( )� , (5)
� �� �� ( ), � � � �C t u( ) ( ), �E t s( ) , (6)
ãäå A x( ), B x( ) — îïðåäåëåííûå, íåïðåðûâíûå ìàòðèöû-ôóíêöèè; � —
òðåõìåðíûé óïðàâëÿþùèé âåêòîð, ýëåìåíòàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ óãëû
îòêëîíåíèÿ � r (r �1 2 3, , ) ðóëåé âûñîòû, ýëåðîíîâ, íàïðàâëåíèÿ; ñîñòàâ-
ëÿþùèå òðåõìåðíûõ âåêòîðîâ u è s ìîãóò áûòü èçìåðåíû èëè àëãîðèò-
ìè÷åñêè âû÷èñëåíû. Ýëåìåíòû âåêòîð-ôóíêöèé� ( )� è� ( ) ïðèíàäëåæàò
ê êëàññó äîïóñòèìûõ õàðàêòåðèñòèê, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì (4). Çà-
âèñèìîñòü îò âðåìåíè ìàòðèö C, E â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (6) îáóñëîâëåíà òåì,
÷òî ïðîöåññ ðàçâèòèÿ íåèñïðàâíîñòåé ìîæåò çàâèñåòü îò âðåìåíè.
Ïåðåéäåì ê êëàññèôèêàöèè âîçìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé, äàäèì îïðå-
äåëåíèå íåèñïðàâíîñòè è îïèøåì ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä. Êëàññèôèêàöèÿ
âûïîëíÿåòñÿ ïðèìåíèòåëüíî ê íåèñïðàâíîñòÿì, êîòîðûå ìîãóò âîçíèê-
íóòü â ÑÓ äâèæåíèåì ËÀ (5), (6). Îíà äîñòàòî÷íà äëÿ îïèñàíèÿ âîçìîæ-
íûõ â ÑÓ íåèñïðàâíîñòåé è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà äëÿ îïèñàíèÿ ñîîò-
âåòñòâóþùèõ íåèñïðàâíîñòåé â äðóãèõ ÷àñòÿõ ËÀ.
Èíôîðìàöèîííîå ñîäåðæàíèå è ñèëîìîìåíòíûå âîçäåéñòâèÿ ÑÓ â (5),
(6) îáåñïå÷èâàþòñÿ äàò÷èêàìè. Ñîâðåìåííûå ÑÓ èìåþò ìîäóëüíóþ ñòðóêòó-
ðó, ñîñòîÿùóþ èç êîíå÷íîãî íàáîðà äàò÷èêîâ. Äàò÷èêîì íàçîâåì ëþáîé
ïðèáîð èç öåïî÷êè ïðèáîðîâ, ïåðåðàáàòûâàþùèõ èíôîðìàöèþ î òðàåê-
òîðíîì äâèæåíèè ËÀ.
Ì. Â. Øàìîëèí
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Íåèñïðàâíîñòüþ áóäåì íàçûâàòü òàêîå èçìåíåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ â ñèñòåìå äàò÷èêîâ óïðàâëåíèÿ, êîòîðîå îáóñëîâëèâàåò íåäî-
ïóñòèìûå îòêëîíåíèÿ ËÀ (5), (6) îò öåëè óïðàâëåíèÿ.
Îïðåäåëèì âîçìîæíûå íåèñïðàâíîñòè â ÑÓ äâèæåíèåì îáúåêòà, êîòî-
ðîå îïèñàíî äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè (5).
1. Îòêàç — îòñóòñòâèå ñèãíàëà íà âûõîäå äàò÷èêà. Îòêàç ìîæíî
ìîäåëèðîâàòü îáíóëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùåãî êîýôôèöèåíòà ïðè âõîäíîì
ñèãíàëå äàò÷èêà èëè åãî âûõîäíîì ñèãíàëå. Òàê, åñëè â òðåòüåì óðàâíåíèè
(6) ñëàãàåìîå
�
11 11 1
� c t u( ) (7)
ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì íóëþ, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îòêàçàë äàò÷èê, ôîðìè-
ðóþùèé ñèãíàë (7). Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî îòêàç ìîæåò áûòü îáóñëîâëåí:
à) îòêàçîì ïðèáîðà, ôîðìèðóþùåãî îïåðàòîð c t
11
( ) ïðè ñèãíàëå, ïî-
ñòóïèâøåì íà âõîä äàò÷èêà;
á) èñ÷åçíîâåíèåì ñèãíàëà u
1
â äàò÷èêå;
â) íàëè÷èåì «à» è «á» îäíîâðåìåííî.
Òàêèì îáðàçîì, ïîëàãàåì, ÷òî äàò÷èêè íå àáñîëþòíî íàäåæíû.
2. Ñáîé — âûõîä ñèãíàëà äàò÷èêà çà ïðåäåëû äîïóñòèìûõ íîìè-
íàëüíûõ çíà÷åíèé.
*
Ñáîé ìîæíî ìîäåëèðîâàòü âûáîðîì çàêîíà èçìåíåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî ïàðàìåòðà. Åñëè çàêîí èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà çàâèñèò îò
âðåìåíè, òî ýòî çíà÷èò, ÷òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ïåðåñòàåò áûòü àâòî-
íîìíîé. Íàïðèìåð, ñèãíàëó �
11
ñ âûõîäà äàò÷èêà, ôîðìèðóþùåãî âûðà-
æåíèå (7), ïðåäïèñàíî íàõîäèòüñÿ â ïðåäåëàõ � � �
11 11 11
� � , à èçìåíåíèå
êîýôôèöèåíòîâ òàêîâî, ÷òî �
11
âûõîäèò çà ïðåäåëû èíòåðâàëà [ , ]� �
11 11
.
3. Çàêëèíèâàíèå — íåèñïðàâíîñòü, ïðè êîòîðîé çíà÷åíèå âûõîäíîãî
ñèãíàëà äàò÷èêà â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ôèêñèðóåòñÿ è â äàëü-
íåéøåì íå èçìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè. Ñþäà îòíåñåì è íåèñïðàâíîñòè, ïðè
êîòîðûõ îêîëî íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ïîëîæåíèÿ ñîâåðøàþòñÿ íåçà-
òóõàþùèå, íàïðèìåð ñèíóñîèäàëüíûå, êîëåáàíèÿ (ïðîèñõîäèò çàêëèíè-
âàíèå ñ íàëîæåíèåì íåêîòîðûõ êîëåáàíèé).
4. Àêòèâíûé îòêàç — íåèñïðàâíîñòü, ïðè êîòîðîé ñèãíàë äàò÷èêà
ñêà÷êîîáðàçíî èçìåíÿåòñÿ äî îïðåäåëåííîãî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî
çíà÷åíèÿ (íå ðàâíîãî íóëþ) è ôèêñèðóåòñÿ ïî âåëè÷èíå.
5. Íàðóøåíèå ñèììåòðèè — íåèñïðàâíîñòü, ïðè êîòîðîé ïðîèñõîäèò
ñäâèã íà÷àëà îòñ÷åòà ñèãíàëà äàò÷èêà.  ÷àñòíîñòè, ýòî ìîæåò áûòü ñäâèã
äîïóñòèìîé õàðàêòåðèñòèêè èñïîëíèòåëüíîãî îðãàíà, êîòîðàÿ ïåðåñòàåò
ïðèíàäëåæàòü êëàññó ôóíêöèé (4).
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 101
*Äàííîå îïðåäåëåíèå ñáîÿ íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò îïðåäåëåíèÿ, äàííîãî ðàíåå [2—12].
Íåèñïðàâíîñòè 1—5 îáðàçóþò êëàññ âîçìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé. Ñ÷è-
òàåòñÿ, ÷òî ëþáàÿ íåèñïðàâíîñòü èç âûäåëåííîãî êëàññà íå ïðèâîäèò ê
èçìåíåíèþ ôàçîâûõ ïðîñòðàíñòâ ìîäåëåé îáúåêòà, êîòîðûå îòëè÷àþòñÿ
ëèøü ñòðóêòóðîé óðàâíåíèé äâèæåíèÿ. Åñëè â çàðàíåå íåèçâåñòíûé ìî-
ìåíò âðåìåíè ïðîèçîéäåò îäíà èç íåèñïðàâíîñòåé èç êëàññà âîçìîæíûõ,
òî òðàåêòîðèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû èçìåíèòñÿ è áóäåò íåïðåðûâíî ïðîäîë-
æàåìà òðàåêòîðèåé ñèñòåìû ñ ïðîèçîøåäøåé íåèñïðàâíîñòüþ.
Ðàññìîòðèì äâà ëþáûõ ðàçëè÷íûõ äàò÷èêà èç íàáîðà äàò÷èêîâ â ÑÓ
äâèæåíèåì îáúåêòà. Êàæäîìó èç òàêèõ äàò÷èêîâ ìîæíî ïîñòàâèòü â ñîîò-
âåòñòâèå îïðåäåëåííûå íåèñïðàâíîñòè èç âûáðàííîãî êëàññà. Êîíå÷íîìó
íàáîðó ðàçëè÷íûõ äàò÷èêîâ ÑÓ äâèæåíèåì îáúåêòà ìîæíî ïîñòàâèòü â
ñîîòâåòñòâèå êîíå÷íûé íàáîð íåèñïðàâíîñòåé
H H j j
l
�
�1
(8)
èç êëàññà âîçìîæíûõ. Òàêîé àïðèîðíûé íàáîð íåèñïðàâíîñòåé íàçîâåì
îïîðíûì, à íåèñïðàâíîñòè, âõîäÿùèå â ýòîò íàáîð, — îïîðíûìè íå-
èñïðàâíîñòÿìè.
Ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèå, îñíîâàííîå íà òîì, ÷òî ïðîöåññ îáíàðó-
æåíèÿ íåèñïðàâíîñòè îãðàíè÷åí ìàëûì âðåìåíåì.
Ïóñòü ðàñïðåäåëåíèå èíòåðâàëà âðåìåíè ìåæäó ïîñëåäîâàòåëüíûìè
íåèñïðàâíîñòÿìè ñèñòåìû (5), (6) òàêîâî, ÷òî âåðîÿòíîñòü áîëåå ÷åì îäíîé
íåèñïðàâíîñòè íà èíòåðâàëàõ âðåìåíè îáíàðóæåíèÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëà.
Ýòî ïîçâîëèò ïîñòàâèòü çàäà÷ó äèàãíîñòèêè ïðè óñëîâèè, ÷òî ïðîèçî-
øåäøàÿ â ñèñòåìå (5), (6) íåèñïðàâíîñòü ïîïàëà â àïîñòåðèîðíûé ñïèñîê
l l
1
� íåèñïðàâíîñòåé.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé. Îòêàç.
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè îòêàçà ðàññìàòðèâàåòñÿ îáúåäèíåíèå ñëåäóþùèõ âîç-
ìîæíîñòåé:
� i � 0, i �1 2 3, , ; cij � 0, u j � 0, j p�1, ..., ;
eik � 0, sk � 0, k q�1, ..., . (9)
Ñáîé. Çíà÷åíèå îäíîãî èç êîýôôèöèåíòîâ cij , eik â (6) îêàçûâàåòñÿ çà
ïðåäåëàìè îãðàíè÷èâàþùèõ åãî êîíñòàíò, ÷òî âëèÿåò íà âèä îáúåäèíåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùèõ âîçìîæíîñòåé.
Çàêëèíèâàíèå ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ìîäåëèðóåòñÿ â âèäå
� �
�
i i
xt( ) � , i �1 2 3, , ; u t uj j
x
( ) �
�
, j p�1,..., , t t T
0
� � ;
s t sk k
x
( ) �
�
, k q�1,..., . (10)
Ì. Â. Øàìîëèí
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Åñëè íà ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ (10) íàêëàäûâàþòñÿ íåêîòîðûå êîëåáàíèÿ,
òî òàêîå çàêëèíèâàíèå ìîæíî îïèñàòü ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè:
� � � �
�
�
�
�
�
�
�
i i
x x x xt a t
i i i
( ) sin ( )� � � ,
u t u a tj j
x
u
x
u
x
u
x
j j j
( ) sin ( )� � �
� � � �
� � , s t s a tk k
x
s
x
s
x
s
x
k k k
( ) sin ( )� � �
� � � �
� � , (11)
i �1 2 3, , , j p�1, ..., , k q�1, ..., , t t T
0
� � .
Àêòèâíûé îòêàç áóäåì ìîäåëèðîâàòü òàê:
� �i it( )
max
� , i �1 2 3, , ; u t uj j( )
max
� , j p�1,..., , t t T
0
� � ;
s t sk k( )
max
� , k q�1,..., .
(12)
Íàðóøåíèå ñèììåòðèè ìîäåëèðóåòñÿ ñäâèãîì íà÷àëà îòñ÷åòà ñèã-
íàëà â ïðîöåññå åãî ôîðìèðîâàíèÿ äàò÷èêîì â ñîîòâåòñòâóþùåé ïëîñêîñ-
òè îäíîé èç ôóíêöèé � i t( ), u tj ( ), s tk ( ). Íàïðèìåð, íàðóøåíèå ñèììåòðèè â
ðàáîòå èñïîëíèòåëüíûõ îðãàíîâ, äâèæåíèå êîòîðûõ â (5), (6) îïèñàíî
õàðàêòåðèñòèêàìè � è �, ìîäåëèðóåòñÿ íàðóøåíèåì óñëîâèé (4).
Îêðåñòíîñòè îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé. Îïðåäåëåíèå 1. Îêðåñò-
íîñòüþ O j (îáëàñòüþ âëèÿíèÿ) îïîðíîé íåèñïðàâíîñòè Hj (8) íàçîâåì
ìíîæåñòâî òî÷åê òàêèõ, ÷òî åñëè â òî÷êå îêðåñòíîñòè O j , âêëþ÷àÿ òî÷êó
Hj , ïðîèçîéäåò íå ïðåäóñìîòðåííàÿ ñïèñêîì (8) íåèñïðàâíîñòü, òî ðàçëè-
÷èå ìåæäó òðàåêòîðèåé ñèñòåìû (5) ñ ýòîé íåèñïðàâíîñòüþ è òðàåêòîðèåé
ñ íåèñïðàâíîñòüþ Hj áóäåò íåçíà÷èòåëüíûì, è ýòà íåèñïðàâíîñòü áóäåò
ðàñïîçíàâàåìà êàê îäíà èç îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé èç ñïèñêà (8).
Íåèñïðàâíîñòü, íå ïðåäóñìîòðåííàÿ ñïèñêîì (8), íî «áëèçêàÿ» ê ñïè-
ñî÷íîé íåèñïðàâíîñòè Hj èç îêðåñòíîñòè Oj , ò.å. ïðè âîçíèêíîâåíèè
êîòîðîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû íåçíà÷èòåëüíî îòëè÷àþòñÿ îò òðàåêòîðèé
ñèñòåìû ñî ñïèñî÷íîé íåèñïðàâíîñòüþ H j , áóäåò ðàñïîçíàíà àëãîðèòìîì
ïðè ðåøåíèè çàäà÷è îáíàðóæåíèÿ íåèñïðàâíîñòè êàê ñïèñî÷íàÿ íåèñïðàâ-
íîñòü Hj . Åñëè íå ïðåäóñìîòðåííàÿ ñïèñêîì (8) íåèñïðàâíîñòü ïðîè-
çîéäåò â îáëàñòè ïåðåñå÷åíèÿ îêðåñòíîñòåé Oj , îíà ìîæåò áûòü îáíàðó-
æåíà êàê îäíà èç ñïèñî÷íûõ íåèñïðàâíîñòåé, îêðåñòíîñòè êîòîðûõ îáðà-
çóþò îáëàñòü ïåðåñå÷åíèÿ.
Îêðåñòíîñòü îòêàçà — ìíîæåñòâî òî÷åê òàêîå, ÷òî ëþáàÿ âîçíèê-
øàÿ â íåì íåèñïðàâíîñòü, âîçìîæíî âåäóùàÿ ê îòêàçó, ìîæåò áûòü äèàã-
íîñòèðîâàíà êàê îòêàç. Îêðåñòíîñòè îòêàçîâ (9) ìîäåëèðóþòñÿ êàê ïîëîñû
âî âðåìåíè, îãðàíè÷åííûå ñâåðõó è ñíèçó ìàêñèìàëüíî è ìèíèìàëüíî
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 103
âîçìîæíûìè çíà÷åíèÿìè êîîðäèíàò � i , u j , sk , à äëÿ êîýôôèöèåíòîâ cij è
eik — ìàêñèìàëüíî âîçìîæíûìè èõ çíà÷åíèÿìè è îñüþ âðåìåíè t:
� � � �i i i�[ ], � �i i� ; c c cij ij ij�[ , ];
u u uj j j�[ , ]; e e eik ik ik�[ , ]; s s sk k k�[ , ] .
Îêðåñòíîñòü ñáîÿ — ìíîæåñòâî òî÷åê, îõâàòûâàþùåå ìíîæåñòâî
äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé âûõîäíîãî ñèãíàëà äàò÷èêà è òàêîå, ÷òî ëþáàÿ
âîçíèêøàÿ â ýòîì ìíîæåñòâå íåèñïðàâíîñòü ìîæåò áûòü äèàãíîñòèðîâàíà
ïî àïðèîðè ôèêñèðîâàííîìó ñáîþ.
Îêðåñòíîñòü çàêëèíèâàíèÿ ìîæíî âûáðàòü â âèäå ïîëîñû, îãðàíè-
÷åííîé ñâåðõó ïðÿìîé � i t�
( ) (èëè ïðÿìûìè u tj
�
( ), s tk
�
( )) è ñíèçó ïðÿìîé
� i t�
( ) (èëè ïðÿìûìè u tj
�
( ), s tk
�
( )), âêëþ÷àþùåé â ñåáÿ ñîîòâåòñòâóþùèé
ðåæèì (10) èëè (11).
Îêðåñòíîñòü àêòèâíîãî îòêàçà (12) ìîæåò áûòü îïèñàíà êàê ïîëó-
ïîëîñà, îãðàíè÷åííàÿ ñâåðõó îäíèì èç çíà÷åíèé� i
max
, u j
max
, sk
max
, à ñíèçó — íå-
êîòîðîé ïðÿìîé �
i
( )
,
� u
j
( )
,
� s
k
( )
,
�
èëè êàê ïîëóïîëîñà, îãðàíè÷åííàÿ ñíèçó îä-
íèì èç çíà÷åíèé � i
min
, u j
min
, sk
min
, à ñâåðõó — íåêîòîðîé ïðÿìîé �
i
( )
,
� u
j
( )
,
� s
k
( )�
.
Îêðåñòíîñòü íàðóøåíèÿ ñèììåòðèè ìîäåëèðóåòñÿ îêðóæíîñòüþ ñ
öåíòðîì â òî÷êå ñäâèãà ðàäèóñà r
i�
, ruj
èëè rsk
, êîòîðàÿ ïåðåìåùàåòñÿ
âìåñòå ñ òî÷êîé ñäâèãà, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ïîëîñîé ñîîòâåòñòâåííî
øèðèíîé 2r
i�
, 2ruj
èëè 2rsk
.
Äàëåå îêðåñòíîñòè O j îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé H j èç àïðèîðíîãî
ñïèñêà (8) âñåãäà áóäåì ñ÷èòàòü îòêðûòûìè ìíîæåñòâàìè.
Îïðåäåëåíèå 2. Îïîðíûå íåèñïðàâíîñòè (8) èç êëàññà âîçìîæíûõ,
îêðåñòíîñòè êîòîðûõ íå ïåðåñåêàþòñÿ èëè ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî âäîëü
ïðÿìûõ ïî îñè âðåìåíè, íàçîâåì íåâûðîæäåííûìè.
Îïðåäåëåíèå 3. Äèàãíîñòè÷åñêèì ïðîñòðàíñòâîì íàçîâåì ñîâîêóïíîñòü
äàò÷èêîâ, êîòîðîé ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå íàáîð âîçìîæíûõ îïîðíûõ íå-
èñïðàâíîñòåé Hj ñ èõ îêðåñòíîñòÿìè Oj , äèàãíîñòèðóåìûõ ïîñðåäñòâîì
îïîðíûõ íåâûðîæäåííûõ íåèñïðàâíîñòåé èç êëàññà âîçìîæíûõ.
Ðàññìîòðèì ìàòåìàòè÷åñêóþ ñòðóêòóðó âñåãî äèàãíîñòè÷åñêîãî ïðî-
ñòðàíñòâà:
( ; , ,..., ; , , )M O O O A A Al1 2 1 2 3
, (13)
ãäå M — ìíîæåñòâî íåèñïðàâíîñòåé H H l1
,..., èç (8) âìåñòå ñ èõ îêðåñò-
íîñòÿìè O Ol1
,..., . Àêñèîìû A A A
1 2 3
, , îïðåäåëÿþòñÿ òàê:
A H H O H Oj j j j1
: ( )� � � � ; A O H H Oj j j j2
: ( )� � � ;
A H O O O H O O O O O Oj j k j j k j k3
: ( ).� � �� � � � � � �
� � �
Ì. Â. Øàìîëèí
104 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Àêñèîìà A
3
ïîçâîëÿåò îáåñïå÷èòü íåïðåðûâíûé ïðîöåññ ïðèáëèæå-
íèÿ ê ýëåìåíòó H j ,
H O O M M H Oj j� �� �
� �
��
lim ( )
�
� � �
� ,
êàæäàÿ îêðåñòíîñòü O
�
êîòîðîãî ñîäåðæèò ýëåìåíò Hj è áëèçêèå ê Hj
íåïðåäâèäåííûå è íå ñîäåðæàùèåñÿ â íàáîðå (8) íåèñïðàâíîñòè. Ýòè
íåèñïðàâíîñòè ñëåäóåò äèàãíîñòèðîâàòü ïîñðåäñòâîì àïðèîðíîãî íàáîðà
(8). Åñëè ïîä ýëåìåíòîì � ïîíèìàòü íå òîëüêî ñîáûòèå Hj , íî è íåïðåä-
âèäåííîå ñîáûòèå (íå âêëþ÷åííîå â ñïèñîê (8)), êîòîðîå ìîæåò ïðîèçîéòè
â ëþáîé òî÷êå M è êîòîðîå òðåáóåòñÿ äèàãíîñòèðîâàòü ïîñðåäñòâîì ýëå-
ìåíòà H j , òî àêñèîìû ñòðóêòóðû äèàãíîñòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà (13)
ìîãóò áûòü çàïèñàíû â ñëåäóþùåì âèäå:
A M O Oi i1
: ( )� � � �� � — îêðåñòíîñòè ïîêðûâàþò âñå M;
A O Oi i2
: ( )� � �� � — îêðåñòíîñòè íå ïóñòû;
A O O O O O O O O Oi j k k i j k i j3
: ( )� �� � �� � � � � � � — îêðåñòíîñ-
òè ìîæíî èçìåëü÷àòü è îáåñïå÷èâàòü ïðîöåññ ïðèáëèæåíèÿ ê ýëåìåíòó �.
Ïðåäåë ïîñëåäîâàòåëüíîñòè { }Ok îïðåäåëÿåì êàê ýëåìåíò � �
��
lim
k
kO ,
êàæäàÿ îêðåñòíîñòü Oj ( )� êîòîðîãî ñîäåðæèò ýëåìåíò H j è áëèçêèå ê H j
íåïðåäâèäåííûå è íå ñîäåðæàùèåñÿ â (8) íåèñïðàâíîñòè, äèàãíîñòèðóå-
ìûå ïîñðåäñòâîì íàáîðà (8).
Çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü îáúåê-
òû, äâèæåíèå êîòîðûõ ìîæåò áûòü îïèñàíî îáûêíîâåííûìè äèôôåðåí-
öèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè ñëåäóþùåãî âèäà:
� � �x f x u t f x t( , , ) ( , )
0
, (14)
ãäå x — âåêòîð( )n 1 , õàðàêòåðèçóþùèé îòêëîíåíèå îò ðåæèìà, ïðåäïèñàí-
íîãî öåëüþ óïðàâëåíèÿ. Îòíîñèòåëüíî óïðàâëåíèé u t u tv v
m
( ) ( )�
�1
áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî îíè ïðèíèìàþò çíà÷åíèÿ èç íåêîòîðîé êîìïàêòíîé
îáëàñòè U:
u t U( )� . (15)
Öåëü óïðàâëåíèÿ ôîðìàëèçóåì ñëåäóþùèì òîæäåñòâîì:
x t( ) �0 . (16)
Ðàññìîòðèì äàëåå ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà v x t( , )
0 è ïàðó
{ ( , ); ( , )}v x t u x t , (17)
ãäå u x t U( , )� [13]. Ïàðà (17) ïîçâîëÿåò ñèíòåçèðîâàòü äîïóñòèìîå óïðàâ-
ëåíèå (15), äîñòàâëÿþùåå àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèþ (16)
ñèñòåìû (14).
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 105
Ïóñòü èçâåñòåí êîíå÷íûé íàáîð (8) îïîðíûõ íåâûðîæäåííûõ íåèñï-
ðàâíîñòåé â ÑÓ îáúåêòîì, äâèæåíèå êîòîðîãî îïèñàíî óðàâíåíèÿìè (14),
è çíà÷èò, èçâåñòåí ñîîòâåòñòâóþùèé íàáîð ôóíêöèé óïðàâëåíèÿ
u u x tj� ( , ) , j l�1,..., . (18)
Íàáîð ôóíêöèé (18) íå èçìåíÿåò ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ñèñòåìû (14). Ñîñ-
òàâëÿþùèå åãî ôóíêöèè èìåþò òó èëè èíóþ íåèñïðàâíîñòü è íå îáÿçàòåëüíî
óäîâëåòâîðÿþò ïî ïàðàìåòðàì ñèñòåìû (14) óñëîâèÿì àñèìïòîòè÷åñêîé
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ (16), îïðåäåëÿåìûì ôóíêöèåé v x t( , ) â (17).
Êîíå÷íîìó íàáîðó óïðàâëåíèé (18) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñëåäóþ-
ùèé íàáîð ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
� �x f x tj ( , ) , j l�1,..., , (19)
ãäå f x tj ( , ) — ñîîòâåòñòâóþùèå íåèñïðàâíîñòÿì â óïðàâëåíèÿõ (18) èç-
âåñòíûå âåêòîð-ôóíêöèè ðàçìåðîâ ( )n 1 , îòëè÷íûå îäíà îò äðóãîé è îò
ôóíêöèè f x t
0
( , ) â (14).
Ïóñòü èçâåñòíû óðàâíåíèÿ (14), (19) è çíà÷åíèå ôàçîâîãî âåêòîðà â
íà÷àëüíûé ìîìåíò x t( )
0
. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü ôóíêöèîíàë
S x t x t f x tj j� �� ( ( ), ( ), ( , ), )
0 0
! ! ,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ðåøàåòñÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè, ò.å.
çàäà÷à îäíîçíà÷íîãî ðàñïîçíàâàíèÿ âîçíèêøåé â ïðîñòðàíñòâå (13) ñèñòå-
ìû (14) íåèñïðàâíîñòè ïî íàáîðó (8) îïîðíûõ íåâûðîæäåííûõ íåèñïðàâ-
íîñòåé. Äàííàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìèíèìèçàöèåé ïî j, ò.å. îáðàáîòêîé âû-
õîäíîé èíôîðìàöèè ñîãëàñíî (14), (19) ïî âõîäíîé èíôîðìàöèè î ñîñ-
òîÿíèè ñèñòåìû â ìîìåíò t
0
è ïîñëåäóþùèì ñëåæåíèåì çà òðàåêòîðèåé
îáúåêòà (14) íà èíòåðâàëå âðåìåíè[ , ]! !
0
, ãäå! !�
0
— âðåìÿ äèàãíîñòèêè.
Çàäà÷à êîíòðîëÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó (14) ñ ïîëíîñòüþ íàáëþäàå-
ìûì ôàçîâûì âåêòîðîì x íà îòðåçêå[ , ]0 T . Ïóñòü ìíîæåñòâî X 0
íà÷àëüíûõ
çíà÷åíèé x 0
âåêòîðà x îãðàíè÷åíî, è â ìîìåíò âðåìåíè t
0
( )0
0
� �t T
ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (14) çàìåíÿåòñÿ íà íåêîòîðoå f x tj ( , ) èç (19).
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð êîíòðîëÿ y t( ), êîîðäèíàòû êîòîðîãî
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ïîäìíîæåñòâî êîîðäèíàò âåêòîðà x t( ):
y t x xk km
( ) ( , ..., )�
1
. (20)
Äîïóñòèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð y t( ), íàáëþäåíèå çà êîìïîíåí-
òàìè êîòîðîãî ïîçâîëèò ñóäèòü îá èñïðàâíîñòè èëè íåèñïðàâíîñòè ÑÓ
îáúåêòà, ò.å. î íàëè÷èè â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèé ëèáî ôóíêöèè f
0
, ëèáî
îäíîé èç ôóíêöèé f j , j l�1,..., , èç (14). Çàäà÷à êîíòðîëÿ ìîæåò áûòü ðå-
øåíà ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ ïî ìíîæåñòâó êîîðäèíàò âåêòîðîâ êîíòðîëÿ
y t( ). Ïîýòîìó åñòåñòâåííî ñòðåìèòüñÿ ê òîìó, ÷òîáû âåêòîð êîíòðîëÿ áûë
ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè.
Ì. Â. Øàìîëèí
106 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Ïóñòü äàíû óðàâíåíèÿ (14), ìíîæåñòâî X 0
íà÷àëüíûõ óñëîâèé x 0
,
âðåìÿ T è íàáîð ôóíêöèé f j , j l�1,..., , â (19). Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîâåðõ-
íîñòü " k (êîíòðîëÿ) â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàò âåêòîðà y t( ) òàêàÿ, ÷òî
âåêòîð êîíòðîëÿ, ñîñòàâëåííûé èç êîìïîíåíò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14), íå
âûéäåò íà ïîâåðõíîñòü " k , à âåêòîð y t( ), ñîñòàâëåííûé èç ñîîòâåòñòâóþ-
ùèõ êîìïîíåíò ðåøåíèé x ëþáîé èç ñèñòåì (19) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
x x t X0
0
0
� �( ) , âûéäåò íà " k â ìîìåíò âðåìåíè t t t Tk k( )
0
� � . Òàêàÿ
ïîâåðõíîñòü" k ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé íà÷àëüíûõ óñëîâèé x 0
è íàáîðà ôóíê-
öèé f j , j l�1,..., . Åå ïîñòðîåíèå â ñëó÷àå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ
(14), (19) — àíàëèòè÷åñêè òðóäíàÿ çàäà÷à. Îäíàêî ïðè çíàíèè ôóíêöèé f j ,
j l�1,..., , è îòíîñèòåëüíîé ìàëîñòè îáëàñòè X 0
íà÷àëüíûõ óñëîâèé âîç-
ìîæíî ïîñòðîåíèå ïîâåðõíîñòè " k ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêèõ èñïûòàíèé.
Ñôåðà êîíòðîëÿ. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó,
äâèæåíèå êîòîðîé ìîæåò áûòü îïèñàíî îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëü-
íûìè óðàâíåíèÿìè âèäà (14):
� � � �x f x t x t x S
0 0
0 0
( , ), ( ) , t t T
0 0
� � , (21)
ãäå f x t
0
( , )— íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ; S 0
— èçâåñòíàÿ ñôåðà íà÷àëü-
íûõ çíà÷åíèé ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò ðàäèóñà R 0
; T
0
— êîíå÷íîå
âðåìÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà (21) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà â íà÷àëå
êîîðäèíàò è îïèñûâàåò æåëàåìîå äâèæåíèå, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåòñÿ âî
âðåìåíè è ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà ÑÓ u t( ). Ñòðóêòóðó ÑÓ
( ( ))u t è åå ïàðàìåòðû âûáèðàåì, èñõîäÿ èç öåëè óïðàâëåíèÿ (16) è óñëîâèé
óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû (21), ïîëó÷åííûõ, íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè
Ëÿïóíîâà v x t( , )
0. Ñèñòåìó (21), óäîâëåòâîðÿþùóþ ïåðå÷èñëåííûì
óñëîâèÿì, îáû÷íî íàçûâàþò èñïðàâíîé.
Ïóñòü â ÑÓ äâèæåíèåì îáúåêòà (6) ìîæåò ïðîèçîéòè l íåèñïðàâíîñòåé.
Ôîðìàëüíî îïðåäåëÿåì íåèñïðàâíîñòü òàê. Àïðèîðè èçâåñòíî, ÷òî â íåêî-
òîðûé ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè t ïðàâàÿ ÷àñòü ñèñòåìû (21) èçìåíÿåòñÿ
êàêèì-ëèáî èç l ñïîñîáîâ. Ïðè ýòîì îíà çàìåíÿåòñÿ îäíîé èç ñèñòåì
ñëåäóþùåãî âèäà:
� � � �x f x t x t x Sj ( , ), ( ) ,
0
0 0 t t T
0 0
� � , j l�1,..., . (22)
Òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû (21) ïîñëå âîçíèêíîâåíèÿ íåèñïðàâíîñòè íåïðåðûâ-
íî ïðîäîëæàåòñÿ òðàåêòîðèåé îäíîé èç ñèñòåì (22).
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàáëþäåíèå çà êîìïîíåíòàìè âåêòîðà (20) äàåò
âîçìîæíîñòü ñóäèòü î òîì, èñïðàâíà ñèñòåìà (22) èëè â íåé ïðîèçîøëà
íåèñïðàâíîñòü. Çàäà÷ó êîíòðîëÿ ñôîðìóëèðóåì òàê.
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 107
 ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ) òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü
ñôåðó S R ðàäèóñà R òàêóþ, ÷òîáû ôàçîâûå òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ
ïðè èíòåãðèðîâàíèè ñèñòåìû (21) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè èç âûáðàííîé
ñôåðû S 0
â òå÷åíèå âðåìåíè t T�
0
ëåæàëè âíóòðè ñôåðû S R , à òðàåêòîðèè
ñèñòåì (22) ïåðåñåêàëèñü ñî ñôåðîé S R .
Ïóñòü ñèñòåìà (21) íàõîäèòñÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò,
à íåèñïðàâíîñòè òàêîâû, ÷òî äåëàþò ñèñòåìó (21) íåóñòîé÷èâîé [3]. Â
ñëó÷àéíûé ìîìåíò âðåìåíè ïðîèñõîäèò íåèñïðàâíîñòü, ò.å. íåïðåðûâíûé
ïåðåõîä íà òðàåêòîðèþ îäíîé èç ñèñòåì (22), êîòîðàÿ âûõîäèò èç îêðåñò-
íîñòè íà÷àëà êîîðäèíàò.
 ýòîì ñëó÷àå, ïðîâîäÿ ðîçûãðûø íà÷àëüíûõ óñëîâèé x 0
èç îãðàíè-
÷åííîãî ìíîæåñòâà S 0
è ñ ýòèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè èíòåãðèðóÿ íà
èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]t T
0 0
ñèñòåìó (21), ìîæíî ïîñòðîèòü m àíñàìáëåé
ôàçîâûõ ïîðòðåòîâ êîîðäèíàò âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ). Ñôåðîé êîíòðîëÿ S R
ìîæíî âûáðàòü ñôåðó, îõâàòûâàþùóþ îáúåì àíñàìáëåé.
Èçëîæåííûé ïîäõîä ïîçâîëÿåò ðåøàòü çàäà÷ó êîíòðîëÿ è â ñëó÷àå, êîãäà
ñðåäè ñèñòåì (22) èìåþòñÿ óñòîé÷èâûå ñèñòåìû. Òðàåêòîðèè y t( ) òàêèõ
ñèñòåì, âûõîäÿùèå èç ñôåðû S 0
, òàêæå äîëæíû ïåðåñåêàòü ñôåðó S R .
Ðàññìîòðèì ñôåðó êîíòðîëÿ S R è êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ( , )y y � �0.
Ýòèì óðàâíåíèåì äëÿ êàæäîé èç ñèñòåì (22) îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðûé
îáúåì òðàåêòîðèé âåêòîðà êîíòðîëÿ. Ãðàíèöó ýòîãî îáúåìà èçíóòðè
àïïðîêñèìèðóåì êîíè÷åñêîé ïîâåðõíîñòüþ, ïåðåñå÷åíèå êîòîðîé ñî ñôå-
ðîé S R îáîçíà÷èì S
R
j
, j l�1,..., . Ôàçîâûå òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ),
ïîëó÷åííûå èíòåãðèðîâàíèåì j-é ñèñòåìû (22) ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
èç ñôåðû S 0
ðàäèóñà R 0
(R R0
� ), áóäóò âûõîäèòü èç S R ÷åðåç îáëàñòü S
R
j
.
Òå îáëàñòè S
R
j
, êîòîðûå íå ïåðåñåêàþòñÿ ñ äðóãèìè ïðè ïîïàäàíèè â íèõ
ôàçîâîé òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ, îïðåäåëÿþò íîìåð íåèñïðàâíîñòè.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå j-ÿ ãèïîòåçà îòáðàñûâàåòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ðåøåíèè çàäà÷è êîíòðîëÿ ìîæíî óìåíüøèòü ñïè-
ñîê (22) è äàæå äèàãíîñòèðîâàòü íåêîòîðûå íåèñïðàâíîñòè.
Ýëëèïñîèä êîíòðîëÿ. Îäíîé èç îñíîâíûõ çàäà÷ êîíòðîëÿ äâèæåíèÿ
óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ñîêðàùåíèå èçáûòî÷íîé èíôîðìàöèè è
ïîëó÷åíèå òàêîé èíôîðìàöèè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò íå ïðîïóñêàòü íåäîïóñ-
òèìîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû. Â ýòîé ñâÿçè ðàññìîòðèì äðóãîé âîçìîæíûé
ïîäõîä ïðè ðåøåíèè çàäà÷è âíåøíåòðàåêòîðíîãî êîíòðîëÿ.
Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, äâèæåíèå êîòîðîé
îïèñûâàåòñÿ íåëèíåéíûìè óðàâíåíèÿìè:
� � �x Ax b �, � �� � ( ), ��� �C xT
, (23)
ãäå A — óñòîé÷èâàÿ ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè; b, C, � —
ïîñòîÿííûå ìàòðèöû; � — óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå; � ïðèíàäëåæèò
êëàññó äîïóñòèìûõ ôóíêöèé (4).
Ì. Â. Øàìîëèí
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Óðàâíåíèÿ (23) ïðåîáðàçóåì ê âèäó
� � �# # � A b ( ), � � � # �� C T
( ). (24)
Ïðè ýòîì äëÿ íåâûðîæäåííîñòè ïðåîáðàçîâàíèÿ # �� �Ax b , ��� �C xT
íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïðåäåëèòåëü
A b
C T
��
íå áûë ðàâåí
íóëþ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà êîîðäèíàòû âåêòîðà êîíòðîëÿ (20) íàëîæåíî
ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå íà èíòåðâàëå t t T�[ , ]
0 0
äâèæåíèÿ ñèñòåìû:
( ,..., ) ( ( ),..., ( ))x x t tk k mm1
1
� $ $ , (25)
ãäå $ $
1
( ),..., ( )t tm — íåïðåðûâíûå ïîëîæèòåëüíûå ôóíêöèè.
Òðåáóåòñÿ â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå R xn
{ } íàéòè îáëàñòü, â êîòîðîé
ìîæåò íàõîäèòüñÿ âåêòîð ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (24), òàêóþ, ÷òî äâèæåíèå
ñèñòåìû, íà÷àâøååñÿ â ëþáîé òî÷êå ýòîé îáëàñòè, ãàðàíòèðóåò âûïîë-
íåíèå óñëîâèÿ (25), ïðè ýòîì äëÿ êàæäîé êîîðäèíàòû, íå âõîäÿùåé â
âåêòîð êîíòðîëÿ (20), â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè t t T�[ , ]
0 0
ìîæíî íàéòè
èíòåðâàë èçìåíåíèÿ, òàêæå ãàðàíòèðóþùèé âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (24).
Ïîñòàâëåííàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ïîñòðîåíèÿ äëÿ ñèñòåìû (24)
ôóíêöèè Ëÿïóíîâà â ôîðìå Ëóðüå,
V x Bx dT
� �
%
� & &
&
( )
0
,
(26)
ñ ìàòðèöåé B, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
Ëÿïóíîâà A B BA CT
� � �
0
, ãäå C
0
— íåêîòîðàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ïîëîæè-
òåëüíî îïðåäåëåííàÿ ìàòðèöà.
Çíà÷åíèå êâàäðàòè÷íîé ôîðìû
x Bx DT
� (27)
íà íåêîòîðîé ïîëîæèòåëüíîé ïîñòîÿííîé D îïðåäåëÿåòñÿ â ôàçîâîì
ïðîñòðàíñòâå ýëëèïñîèäîì. Ìàòðèöà B çàäàåò ôîðìó ýëëèïñîèäà, à ïî-
ñòîÿííàÿ D — åãî ðàçìåð. Çíà÷åíèÿ ïîëóîñåé dk ýòîãî ýëëèïñîèäà îïðå-
äåëÿþòñÿ âåëè÷èíàìè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ' k ìàòðèöû B, d Dk k� /' , à
íàïðàâëåíèÿ ãëàâíûõ îñåé ñîâïàäàþò ñ ñîáñòâåííûìè åå âåêòîðàìè.
Âåëè÷èíó D ðàçìåðà ýëëèïñîèäà (27) âûáåðåì òàê, ÷òîáû èçìåíÿþ-
ùàÿñÿ ïîâåðõíîñòü ôóíêöèè Ëÿïóíîâà (26) ëåæàëà âíóòðè ýëëèïñîèäà
(27). Âûáðàííûé òàêèì îáðàçîì ýëëèïñîèä (27) áóäåò îáëàñòüþ ôóíêöèî-
íèðîâàíèÿ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû (23), è îí ìîæåò áûòü âûáðàí â
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 109
êà÷åñòâå ýëëèïñîèäà êîíòðîëÿ. Âàðèàíò ïîñòðîåíèÿ îáëàñòåé äîïóñòèìûõ
îòêëîíåíèé â çàäà÷å êîíòðîëÿ äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé îïèñàí â [4].
Òðóáêà êîíòðîëÿ. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ ñèñòåìó (21). Ìíîæåñò-
âî íà÷àëüíûõ óñëîâèé ñèñòåìû (21) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñôåðó S
0
ðàäèóñà
R
0
â ïðîñòðàíñòâå ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ ñ öåíòðîì â (íåîñîáîé) òî÷êå x
0
.
Âûïîëíÿÿ ðîçûãðûø íà÷àëüíûõ óñëîâèé è èíòåãðèðóÿ ñ ýòèìè íà-
÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ñèñòåìû (21) è (22) â ïðîñòðàíñòâå âåêòîðà êîíòðîëÿ
(20) âîêðóã ïðîãðàììíîé òðàåêòîðèè, ìîæíî ïîñòðîèòü òðóáêó òàêóþ, ÷òî
òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ) íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]t T
0 0
ñèñòåìû
(21) áóäóò ëåæàòü âíóòðè òðóáêè, à äëÿ ñèñòåì (22) — ïåðåñåêàòüñÿ ñ åå
ïîâåðõíîñòüþ. Âûõîä òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ ñèñòåìû íà ïîâåðõ-
íîñòü òðóáêè êîíòðîëÿ áóäåò îçíà÷àòü, ÷òî â äèàãíîñòè÷åñêîì ïðîñòðàíñò-
âå ðàññìàòðèâàåìîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ïðîèçîøëà íåèñïðàâíîñòü. Ïî-
ñòðîåíèå òðóáêè äëÿ êîíòðîëÿ ïðè äâèæåíèè ïî ãëèññàäå îïèñàíî â [4].
Ðàñøèðåííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è êîíòðîëÿ. Ðàññìîòðèì äèàãíîñòè-
÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî (13), â êîòîðîì ïðîòåêàþò ïðîöåññû, îïèñûâàåìûå
óðàâíåíèÿìè (14) è (19), à òàêæå óðàâíåíèÿìè
� �x F x t( , ), (28)
îáóñëîâëåííûìè íåèñïðàâíîñòÿìè íå èç àïðèîðíîãî ñïèñêà, íî áëèçêèìè
ê íèì, ïðîèçîøåäøèìè â èõ îêðåñòíîñòÿõ O Ol1
,..., ïðîñòðàíñòâà (13).
Äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (28) ñîäåðæèò ýëåìåíòû ñ íåïîëíîé èíôîðìà-
öèåé, è äëÿ åå îïèñàíèÿ èñïîëüçóþò äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ
��x F x t( , ), F x t f x t( , ) ( , )� , (29)
ãäå F x t( , ) — îáóñëîâëåííîå âîçíèêíîâåíèåì íåèñïðàâíîñòåé íå èç
àïðèîðíîãî ñïèñêà ìíîæåñòâî ñêîðîñòåé, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü â
ñôåðàõ âëèÿíèÿ îïîðíûõ ñèñòåì (19), ò.å. â îêðåñòíîñòÿõO Ol1
,..., îïîðíûõ
íåèñïðàâíîñòåé ïðîñòðàíñòâà (13).
Ñôîðìóëèðóåì ðàñøèðåííóþ ïîñòàíîâêó çàäà÷è êîíòðîëÿ.
Ïóñòü äàíû óðàâíåíèÿ (14), îãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî X 0
íà÷àëüíûõ
óñëîâèé, âðåìÿ T, íàáîð ôóíêöèé f x tj ( , ) , j l�1,..., , è äèàãíîñòè÷åñêîå
ïðîñòðàíñòâî (13).
Òðåáóåòñÿ íàéòè âåêòîð êîíòðîëÿ (20) òàêîé, ÷òîáû îí ñîäåðæàë
ìèíèìàëüíîå ïîäìíîæåñòâî êîîðäèíàò ôàçîâîãî âåêòîðà x t( ) ñîñòîÿíèÿ
ñèñòåìû è ïîçâîëÿë ïîñòðîèòü âûïóêëóþ ïîâåðõíîñòü " k ìèíèìàëüíîãî
îáúåìà â ïðîñòðàíñòâå êîîðäèíàò íàéäåííîãî âåêòîðà y t( ) òàêóþ, ÷òî
âåêòîð y t( ), ñîñòàâëåííûé èç êîìïîíåíò ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14) íà îòðåç-
êå [ , ]t T
0
, íå âûéäåò íà ïîâåðõíîñòü " k , à âåêòîðû êîíòðîëÿ y t( ), ñîñòàâ-
Ì. Â. Øàìîëèí
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
ëåííûå èç ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ðåøåíèé ëþáîé èç ñèñòåì (19),
(28), (29), îáóñëîâëåííîé íåèñïðàâíîñòüþ íå èç àïðèîðíîãî ñïèñêà, íî
ïðèíàäëåæàùåé îêðåñòíîñòÿì O Ol1
, ..., äèàãíîñòè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà
(13) è ïðèâîäÿùåé ê íåäîïóñòèìûì îòêëîíåíèÿì ñèñòåìû (14) ñ íà÷àëü-
íûìè óñëîâèÿìè x x t X0
0
0
� �( ) , âûéäóò íà ïîâåðõíîñòü " k â ìîìåíò
âðåìåíè t t Tk �[ , ]
0
.
Òàêèì îáðàçîì, êðèòåðèåì íàëè÷èÿ íåèñïðàâíîñòè â äèàãíîñòè÷åñêîì
ïðîñòðàíñòâå îáúåêòà, äâèæåíèå êîòîðîãî îïèñàíî óðàâíåíèÿìè (14), áó-
äåò âûõîä âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ) íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ" k â íåêîòîðûé
ìîìåíò âðåìåíè t Tk � .
Çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ (òî÷íûå òðàåêòîðíûå èçìåðåíèÿ). Ðàñ-
ñìîòðèì ñèñòåìó, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñàíî ñèñòåìîé óðàâíåíèé (14).
Ïóñòü îñóùåñòâëåí ñèíòåç óïðàâëåíèÿ è ïàðàìåòðû âûáðàíû òàê, ÷òî
óðàâíåíèÿ (14) îïèñûâàþò æåëàåìîå äâèæåíèå. Òàêóþ ñõåìó, êàê óêàçàíî
âûøå, ïðèíÿòî íàçûâàòü èñïðàâíîé.
Íàáîð ìîäåëåé (14), (19) íåâûðîæäåí, è èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
îáúåäèíåííûìè:
� �x f x tj ( , ), j l�0,..., . (30)
Äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ íåïîëíîé èíôîðìà-
öèåé, èñïîëüçóþò äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ [3]:
��x F x t( , ), (31)
ãäå âåêòîð x õàðàêòåðèçóåò îòêëîíåíèå ñèñòåìû îò ñîñòîÿíèÿ, ïðåäïèñàí-
íîãî öåëüþ óïðàâëåíèÿ, à ÷åðåç F x t( , )îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî ñêîðîñòåé,
F x t f x tj( , ) ( , )� , j l�0,..., . (32)
Ìíîæåñòâî F x t( , ) ôóíêöèé f x tj ( , ) äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ
(31), (32), íàïðèìåð äëÿ ñèñòåì (5), (6), ôîðìèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè
� ( )t , ìîäåëèðóþùåò âîçäåéñòâèå ÑÓ, â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàññìîòðåííîé
êëàññèôèêàöèåé íåèñïðàâíîñòåé.
Ïîä ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ (31), (32) [6] ïîíè-
ìàåòñÿ àáñîëþòíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ x t( ), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ñîîòíî-
øåíèþ ��x F x t t( ( ), ) ïðè âñåõ t íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå è ñîîòíî-
øåíèþ x t( )
0
�(. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè
òàêèõ ðåøåíèé äëÿ ñèñòåì ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïðèâåäåíû â [14].
Ïðîöåññ àíàëèçà òðàåêòîðèè ñèñòåì (30) ïîñëå âûõîäà ôàçîâîé òðàåê-
òîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ) íà ïîâåðõíîñòü" k íàçîâåì àëãîðèòìîì äèàã-
íîñòèðîâàíèÿ. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âðåìÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ ! çàäàíî òàêèì,
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 111
÷òî ! !
0 0
� � T . Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ñôîðìóëèðóåì òåîðåìó, êîòîðàÿ äàåò
âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü àëãîðèòìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð
z t x x z zd d qq
( ) ( , ..., ) ( , ..., )� �
1
1
, q n�1, ..., , (33)
êîìïîíåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâîì êîìïîíåíò âåêòîðà x t( ),
ïðè÷åì m q� . Ïðåäïîëîæèì, âåêòîð z t( ) òàêîé, ÷òî õàðàêòåð ôóíêöèè
f x tj ( , )ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîâåäåíèè êîìïîíåíò âåêòîðà z t( ), êîòîðûé íàçîâåì
âåêòîðîì äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Çàäà÷ó äèàãíîñòèðîâàíèÿ ñôîðìóëèðóåì òàê.
Ïóñòü èçâåñòíû íåâûðîæäåííûå óðàâíåíèÿ (30), ïîâåðõíîñòü " k , ìî-
ìåíò âðåìåíè !
0
âûõîäà âåêòîðà êîíòðîëÿ íà " k è çíà÷åíèå ôàçîâîãî
âåêòîðà x ( )!
0
. Òðåáóåòñÿ ïî èçìåðåíèþ ôàçîâîãî âåêòîðà x t( ) â íåêîòîðûå
ïîñëåäóþùèå ïîñëå âûõîäà íà" k ìîìåíòû âðåìåíè tk íà èíòåðâàëå )! !
0
, ]
ñ ïîìîùüþ âåêòîðà äèàãíîñòèðîâàíèÿ z t( )îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íîìåð j
ôóíêöèè f x tj ( , ) èç (30) (!� T
0
).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé q n� . ×åðåç x tj ( ) îáîçíà÷èì òî÷êó òðàåêòîðèè j-é
ñèñòåìû (30). Ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè ìîìåíò âûõîäà x t( ) íà
ïîâåðõíîñòü" k . Ââåäåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî N. Áóäåì ïðîâîäèòü èçìåðåíèÿ
â ñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè:
!
0
0� , t N
1
�! / , t N
2
2� ! / , ..., t N �!.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
x xj j0
0� ( ), x x Nj j1
� ( / )! ,
x x Nj j2
2� ( / )! , ..., x xNj j� ( ),!
x x
0
0� ( ), x x N
1
� ( / )! , x x N
2
2� ( / )! , ..., x xN � ( )! .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçîøëà íåèñïðàâíîñòü, òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû âûø-
ëà íà ïîâåðõíîñòü " k è äàëåå ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ x x x x N0 1 2
, , ,..., . Íåîáõî-
äèìî ïðîâåðèòü ïîëíóþ ñèñòåìó l ãèïîòåç: j-ÿ ãèïîòåçà — ýòî óòâåðæ-
äåíèå î òîì, ÷òî x t( ) åñòü òðàåêòîðèÿ j-é ñèñòåìû (30), ò. å. x x j� ïðè
óñëîâèè x xj0 0
� .
Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë
S x xj
N
i
N
s
n
is ijs� �
� �
**
1 1
2
( ) , j l�0,..., .
Çäåñü x is — s-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ x t( ), èçìåðåííàÿ â ìîìåíò
âðåìåíè ti , i N�1,..., ; x ijs — s-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò
Ì. Â. Øàìîëèí
112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
âðåìåíè ti , ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (32) ñ f j â
ïðàâîé ÷àñòè. Äëÿ êàæäûõ j è N âåëè÷èíà S j
N
èìååò ñâîå çíà÷åíèå, ò.å.
ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé, çàäàííîé íà ìíîæåñòâå ôóíêöèé.
Òåîðåìà. Äëÿ íåâûðîæäåííîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ñèñòåì (32), äèô-
ôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ �� �x F x t f x tj( , ) ( , ) è âñåõ j íàéäóòñÿ òàêèå
S j
N
, Mj, S
j
è N, ÷òî äëÿ N N
ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà S j
N
íåèñïðàâ-
íîñòü, âîçíèêøàÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ â íåèçâåñòíûé ìîìåíò âðåìåíè íà
èíòåðâàëå [ , ]t T
0 0
è óäîâëåòâîðÿþùàÿ êðèòåðèþ êîíòðîëÿ, áóäåò äèàã-
íîñòèðîâàíà îäíîçíà÷íî êàê îäíà èç ñèñòåì (30), åñëè
1. S Mj
N
j� (÷èñëà M j ïîñòðîåíû ïî max ( / )
j
j
NS o N� 1 ),
2. S Sj
N
j� (÷èñëà S j ïîñòðîåíû ïî min
j
j
NS ).
Ðàñøèðåííàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ [12, 15—17].
Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìûé îáúåêò, îïèñûâàåìûé óðàâíåíèÿìè (14), è ââå-
äåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð äèàãíîñòèðîâàíèÿ (33) è ôóíêöèîíàë
S z zj
i
N
s
q
ijs is
j
� �
� �
**
1 1
2
( ) , q n�1,..., , j l�0,..., , (34)
ãäå z ijs — çíà÷åíèå s-é êîìïîíåíòû âåêòîðà z t( ) â ìîìåíò t Ni j�1,..., ,
ïîëó÷åííîå â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (30) ñ f j ; z is — çíà÷åíèå
s-é êîìïîíåíòû âåêòîðà z t( ), èçìåðåííîå â ìîìåíò âðåìåíè ti ; N j —
ìèíèìàëüíîå ÷èñëî èçìåðåíèé êîìïîíåíò âåêòîðà z t( ), íåîáõîäèìîå è
äîñòàòî÷íîå äëÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ j-é íåèñïðàâíîñòè.
Ðàñøèðåííóþ çàäà÷ó äèàãíîñòèðîâàíèÿ ñôîðìóëèðóåì òàê.
Ïóñòü èçâåñòíû íåâûðîæäåííûå óðàâíåíèÿ (19), ïîâåðõíîñòü" k , ôóíê-
öèîíàëüíîå ñîñòîÿíèå ñèñòåìû x ( )!
0
â ìîìåíò !
0
âûõîäà åå òðàåêòîðèè íà
ïîâåðõíîñòü " k , ñòðóêòóðà âåêòîðà (33) è ôóíêöèîíàëà (34). Òðåáóåòñÿ
âûáðàòü âåêòîð z t( ), ñîäåðæàùèé ìèíèìàëüíîå ïîäìíîæåñòâî èçìåðÿå-
ìûõ êîìïîíåíò ôàçîâîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ x t( ) è òàêîé, ÷òîáû ñ ïî-
ìîùüþ ôóíêöèîíàëà
S z zj
i
N
s
q
ijs is� �
� �
**
1 1
2
( ) , N N
j
j�max ,
(35)
ëþáàÿ âîçíèêøàÿ íåèñïðàâíîñòü èç àïðèîðíîãî ñïèñêà (8) èëè ïðîèçî-
øåäøàÿ â åå îêðåñòíîñòè è îáóñëîâèâøàÿ âûõîä âåêòîðà êîíòðîëÿ z t( ) íà
ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ " k áûëà îäíîçíà÷íî äèàãíîñòèðîâàíà êàê îäíà èç
ôóíêöèé f j â (30), ò.å. íîìåð j (âíå çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêàÿ íåèñïðàâíîñòü
ïðîèçîøëà: ïðåäóñìîòðåííàÿ îïîðíûì ñïèñêîì èëè â åãî îêðåñòíîñòè) áûë
îäíîçíà÷íî îïðåäåëåí çà ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå âðåìÿ ! �!
0
.
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 113
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå âûõîäà ôàçîâîé òðàåêòîðèè ñèñòåìû â ìîìåíò
âðåìåíè !
0
íà ïîâåðõíîñòü " k â ïðîöåññå ñëåæåíèÿ çà âíåøíåé òðàåê-
òîðèåé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà (35) âîçíèêøèå íåèñïðàâíîñòè
èç çàäàííîãî ñïèñêà è èõ îêðåñòíîñòåé äîëæíû áûòü îäíîçíà÷íî äèàãíîñ-
òèðîâàíû çà ìèíèìàëüíî âîçìîæíîå âðåìÿ ! �!
0
[17].
A principal possibility of solution is shown for the problem of differential diagnosis at the level of
mathematical models, algorithms and programs with the help of external trajectory control by
computers.
1. Minorsky N. Directional Stability of Automatically Steering Bodies // J. Amer. Soc. Navel
Engineers. — 1922. — Vol. 34, ¹3. — Ð. 113.
2. Îêóíåâ Þ. Ì., Ïàðóñíèêîâ Í. À. Ñòðóêòóðíûå è àëãîðèòìè÷åñêèå àñïåêòû ìîäåëè-
ðîâàíèÿ äëÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1983. — 187 ñ.
3. Áîðèñåíîê È. Ò. Ê âîïðîñó î äèôôåðåíöèàëüíîé òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ. Íåêîòîðûå
âîïðîñû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì// Íàó÷í. òð. Èí-òà ìåõà-
íèêè ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1973. — ¹ 22. — Ñ. 101—108.
4. Áîðèñåíîê È. Ò., Áåëÿêîâ Â. È. Ïîñòðîåíèå îáëàñòåé äîïóñòèìûõ îòêëîíåíèé äëÿ
çàäà÷è êîíòðîëÿ // Òåç. äîêë. IV Âñåñîþçíîãî ñîâåùàíèÿ ïî òåõíè÷åñêîé äèàãíîñòèêå.
×åðêàññû, 1979. ×. 2. — Ì. : Íàóêà, 1979. — Ñ. 24—26.
5. Áëàãîäàòñêèõ Â. È., Ôèëèïïîâ À. Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ è îïòèìàëüíîå
óïðàâëåíèå//Ñá. îáç. ñòàòåé ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ «Òîïîëîãèÿ, îáûêíîâåííûå äèôôå-
ðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû». ×. 2. Ò. 169. — Ì. : Íàóêà, 1985. —
Ñ. 194—252.
6. Êîðíîóøåíêî Å. Ê., Ïûëàåâ Í. Ê. Ïåðåäàòî÷íûå ÷èñëà è äèàãíîñòèðîâàíèå ëèíåéíûõ
ñèñòåì / ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — Ò. 300, ¹ 3. — Ñ. 559—561.
7. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Äèàãíîñòèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ çâåíüåâ ÃÏÑ // Ñóäîñòðîèòåëü-
íàÿ ïðîìûøëåííîñòü. Ñåð. Ñèñòåìû àâòîìàòèçàöèè ïðîåêòèðîâàíèÿ, ïðîèçâîäñòâà è
óïðàâëåíèÿ. — 1987. — Âûï. 8. — Ñ. 23—31.
8. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Âçàèìîñâÿçü ïàðàëëåëüíîé è ñáàëàíñèðîâàííîé êàíîíè÷åñêèõ
ôîðì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1989. — ¹ 6. — Ñ. 8—10.
9. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Ôóíêöèîíàëüíîå äèàãíîñòèðîâàíèå ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1979. — ¹ 8. — Ñ. 120—128.
10. Øóìñêèé À. Å. Ïîèñê äåôåêòîâ â íåëèíåéíûõ ñèñòåìàõ ìåòîäîì ôóíêöèîíàëüíîãî
äèàãíîñòèðîâàíèÿ íà îñíîâå àëãåáðàè÷åñêèõ èíâàðèàíòîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðî-
âàíèå. — 1992. — 14, ¹ 1. — Ñ. 70—76.
11. Frank Ð. Ì. Advances in Observer-based Fault Diagnosis in Dynamic Systems // Òàì æå. —
1995. — 17, ¹ 5. — Ñ. 5—25.
12. Øàìîëèí Ì. Â. Íåêîòîðûå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé è òîïîëîãè÷åñêîé äèàãíîñòè-
êè. Èçä. 2-å. — Ì. : Ýêçàìåí, 2007. — 320 ñ.
13. Æóêîâ Â. Ï. Î äîñòàòî÷íûõ è íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè
íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1994. — ¹ 3. —
Ñ. 24—36.
14. ×èêèí Ì. Ã. Ñèñòåìû ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè //Òàì æå. — 1987. — ¹ 10. — Ñ. 38—
46.
15. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé
äèàãíîñòèêè // Òåç. äîêë. ìàòåì. êîíô. «Åðóãèíñêèå ÷òåíèÿ — III». Áðåñò, 14—
16.05.1996. — Áðåñò : 1996. — Ñ. 102.
Ì. Â. Øàìîëèí
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
16. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáùåé
çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè // Òåç. äîêë. 5-ãî Ìåæäóíàð. ñîâåùàíèÿ-
ñåìèíàðà «Èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèå ïðîáëåìû íîâîé òåõíèêè». Ìîñêâà, 19—
22.05.1998. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÒÓ, 1998. — Ñ. 6—7.
17. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Ðåøåíèå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè //
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. — 1999. — Ò. 5. — Âûï. 3. — Ñ. 775— 790.
Ïîñòóïèëà 21.12.07;
ïîñëå äîðàáîòêè 17.07.08
ØÀÌÎËÈÍ Ìàêñèì Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà
ìåõàíèêè ÌÃÓ èì. Ëîìîíîñîâà.  1988 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, äèôôåðåíöèàëüíàÿ è òîïîëîãè÷åñêàÿ äèàã-
íîñòèêà, êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, àëãåáðàè÷åñêàÿ è äèôôåðåíöèàëüíàÿ
òîïîëîãèÿ, ãåîìåòðèÿ.
Ðàñøèðåííàÿ çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 115
|