Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field
Определена форма одновиткового соленоида, обеспечивающего заданное распределение импульсного магнитного поля на поверхности расположенного внутри него проводящего цилиндра. Форма центрального участка контура профиля соленоида рассчитана с помощью решения задачи продолжения магнитного потока с цилинд...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101435 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field / О.Я. Коновалов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 117-126. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859479227351433216 |
|---|---|
| author | Коновалов, О.Я. |
| author_facet | Коновалов, О.Я. |
| citation_txt | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field / О.Я. Коновалов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 117-126. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Определена форма одновиткового соленоида, обеспечивающего заданное распределение импульсного магнитного поля на поверхности расположенного внутри него проводящего цилиндра. Форма центрального участка контура профиля соленоида рассчитана с помощью решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, а периферийные участки достроены путем минимизации относительных расхождений заданного и получаемого распределений.
Визначено форму одновиткового соленоїда, що забезпечує заданий розподіл імпульсного магнітного поля на поверхні розташованого усередині нього провідного циліндра. Форму центральної ділянки контуру профілю соленоїда розраховано через розв’язання задачі подовження магнітного потоку з циліндричної поверхні, а периферійні ділянки добудовано через мінімізацію відносних розбіжностей заданого й отримуваного розподілів.
The shape of the single-turn coil providing the given pulse magnetic field distribution on the surface of coaxial interior conductive cylinder is determined. The form of the central section of the coil shape is calculated by solving the problem of the magnetic flow continuation from the cylinder surface, and peripheral sections are completed by minimization of relativity distortions between given and obtained distributions.
|
| first_indexed | 2025-11-24T11:56:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.3:538.3
Î. ß. Êîíîâàëîâ, àñïèðàíò
Íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
«Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò»
(Óêðàèíà, 61002, Õàðüêîâ, óë. Ôðóíçå, 21,
òåë.: (057) 7076052, E-mail: O.Y.Konovalov@gmail.com)
Îïðåäåëåíèå ôîðìû
ñîëåíîèäà ïî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó
ðàñïðåäåëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â. Ä. Ñàìîéëîâ)
Îïðåäåëåíà ôîðìà îäíîâèòêîâîãî ñîëåíîèäà, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå
èìïóëüñíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ðàñïîëîæåííîãî âíóòðè íåãî ïðîâîäÿùåãî
öèëèíäðà. Ôîðìà öåíòðàëüíîãî ó÷àñòêà êîíòóðà ïðîôèëÿ ñîëåíîèäà ðàññ÷èòàíà ñ ïî-
ìîùüþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðîäîëæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîâåðõíîñòè,
à ïåðèôåðèéíûå ó÷àñòêè äîñòðîåíû ïóòåì ìèíèìèçàöèè îòíîñèòåëüíûõ ðàñõîæäåíèé
çàäàííîãî è ïîëó÷àåìîãî ðàñïðåäåëåíèé.
Âèçíà÷åíî ôîðìó îäíîâèòêîâîãî ñîëåíî¿äà, ùî çàáåçïå÷óº çàäàíèé ðîçïîä³ë ³ìïóëüñíîãî
ìàãí³òíîãî ïîëÿ íà ïîâåðõí³ ðîçòàøîâàíîãî óñåðåäèí³ íüîãî ïðîâ³äíîãî öèë³íäðà. Ôîðìó
öåíòðàëüíî¿ ä³ëÿíêè êîíòóðó ïðîô³ëþ ñîëåíî¿äà ðîçðàõîâàíî ÷åðåç ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ ïîäîâ-
æåííÿ ìàãí³òíîãî ïîòîêó ç öèë³íäðè÷íî¿ ïîâåðõí³, à ïåðèôåð³éí³ ä³ëÿíêè äîáóäîâàíî ÷åðåç
ì³í³ì³çàö³þ â³äíîñíèõ ðîçá³æíîñòåé çàäàíîãî é îòðèìóâàíîãî ðîçïîä³ë³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïðîôèëü ñîëåíîèäà, èìïóëüñíîå ìàãíèòíîå ïîëå, çàäà÷à ïðîäîë-
æåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, îòíîñèòåëüíûå ðàñõîæäåíèÿ çàäàííîãî è ïîëó÷àåìîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèé, öåíòðàëüíûé è ïåðèôåðèéíûå ó÷àñòêè.
Ïðè ìàãíèòíî-èìïóëüñíîé îáðàáîòêå ìåòàëëîâ [1] âîçíèêàåò çàäà÷à îïðåäå-
ëåíèÿ ïðîôèëÿ ìàññèâíîãî îäíîâèòêîâîãî ñîëåíîèäà èëè êîíöåíòðàòîðà ìàã-
íèòíîãî ïîëÿ, îáåñïå÷èâàþùåãî çàäàííûå ðàñïðåäåëåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ è
ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé (ÝÄÓ), äåéñòâóþùèõ íà îáðàáàòûâàåìóþ çàãî-
òîâêó. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ ïðîôèëÿ ìàññèâ-
íîãî îäíîâèòêîâîãî ñîëåíîèäà, ñîçäàþùåãî íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ñîîñ-
íîé äëèííîé ïðîâîäÿùåé îáîëî÷êè ðàäèóñà R çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå
îñåâîé ñîñòàâëÿþùåé âåêòîðà èíäóêöèè èìïóëüñíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ Bz (R, z)
(ðèñ. 1). Òîêàìè ñìåùåíèÿ è âëèÿíèåì ðàäèàëüíîãî ðàçðåçà, ïðåäíàçíà÷åí-
íîãî äëÿ òîêîïîäâîäà ê ñîëåíîèäó, ïðåíåáðåãàåì. Ìàãíèòíîå ïîëå ïîëàãàåì
ïëîñêîìåðèäèàííûì, ïðè÷åì â öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìå êîîðäèíàò îñü z
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 117
�������������
�
�
��
���
���
�����
�����
ñîâïàäàåò ñ îñüþ îáîëî÷êè.  ñîëåíîèäå è îáîëî÷êå ðåçêî ïðîÿâëÿåòñÿ
ïîâåðõíîñòíûé ýôôåêò, à âíåøíÿÿ ñðåäà ÿâëÿåòñÿ íåïðîâîäÿùåé è íåìàã-
íèòíîé. ×àñòü êîíòóðà ïðîôèëÿ ñîëåíîèäà, îáðàùåííóþ ê çàãîòîâêå, áó-
äåì íàçûâàòü ãëàâíîé ÷àñòüþ. Ïîñëåäíÿÿ èìååò, êàê ïðàâèëî, ñëîæíóþ
ôîðìó — defgm (ñì. ðèñ. 1), è åe ðàññ÷èòûâàþò. Ó÷àñòîê dsm äîñòðàèâàþò
èñõîäÿ èç êîíñòðóêòèâíûõ ñîîáðàæåíèé.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíîé ÷àñòè êîíòóðà ïðîôèëÿ èñïîëüçóþò ïîñòà-
íîâêó è àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà÷è ïðîäîëæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà
� ( , )r z , à òàêæå ïîñëåäóþùóþ «ìåòàëëèçàöèþ» ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèò-
íîãî ïîëÿ [2—4]. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàçìåð îáëàñòè ñõîäèìîñòè íå-
ñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ âäîëü êîîðäèíàòû r â ýòîì àíàëèòè÷åñêîì ðåøå-
íèè îòíîñèòåëüíî ìàë, ïîýòîìó ïîëó÷àåìûé èç ñèëîâîé ëèíèè ó÷àñòîê
êîíòóðà ìîæåò îêàçàòüñÿ íåäîñòàòî÷íûì äëÿ âîñïðîèçâåäåíèÿ çàäàííûõ
ðàñïðåäåëåíèé ñ äîïóñòèìîé ïîãðåøíîñòüþ. Ïîäîáíûå çàòðóäíåíèÿ ìî-
ãóò âîçíèêíóòü ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïðîäîëæåíèÿ ïîëÿ è äðóãèìè èçâåñò-
íûìè ìåòîäàìè.
Äëÿ ñîëåíîèäà, ïðåäñòàâëåííîãî íà ðèñ. 1, òîëüêî ó÷àñòîê efg ÿâëÿåòñÿ
÷àñòüþ ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îãðàíè÷åíèå äëèíû ñîëåíîèäà
òîðöîâûìè ó÷àñòêàìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç òî÷êè å, g (èõ ïðîåêöèè ïîêà-
çàíû øòðèõîâûìè ëèíèÿìè íà ðèñ. 1), ïðèâîäèò ê ðåçêîìó âîçðàñòàíèþ
Î. ß. Êîíîâàëîâ
118 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Ðèñ. 1. Ñèñòåìà ñîëåíîèä — âíóòðåííÿÿ ñîîñíàÿ îáîëî÷êà
ðàñõîæäåíèé ìåæäó çàäàííûì è ïîëó÷àåìûì ðàñïðåäåëåíèÿìè ïîëÿ ïîä
òîðöàìè ñîëåíîèäà. Ïîêàæåì, êàê ðåàëèçîâàíà èäåÿ äîñòðàèâàíèÿ ïåðèôå-
ðèéíûõ ó÷àñòêîâ ãëàâíîé ÷àñòè êîíòóðà ïðîôèëÿ (ñì. ðèñ. 1, ëèíèè de, gm)
ïóòåì ìèíèìèçàöèè ýòèõ ðàñõîæäåíèé.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôîðìóëèðîâêà è àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå çàäà-
÷è. Çàäà÷à ïðîäîëæåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà ñ ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè
ïðîâîäÿùåé îáîëî÷êè â îêðóæàþùåå ïðîñòðàíñòâî (çàäà÷à Êîøè äëÿ
óðàâíåíèÿ ýëëèïòè÷åñêîãî òèïà) â öèëèíäðè÷åñêèõ êîîðäèíàòàõ [2, 3]
ñîñòîèò èç óðàâíåíèÿ
�
�
�
�
�
�r r r r z
1 1
0
2
2
� ��
�
�
�
�
�
(1)
è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
� ( , )R z �0 , (2)
�
�
�
�
r
RB R z
r R
z
�
� 2 ( , ) .
(3)
Ïóñòü çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå ïîëÿ èìååò âèä
B R z
b
b a z
b
b a z
z ( , )
( ) ( )
�
2 2 2 2
, (4)
ãäå a, b — ïîñòîÿííûå.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ñîëåíîèäà ïî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó ðàñïðåäåëåíèþ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 119
2 1 0 1 2 z
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
78
p z( ), B R zz ( , )
Ðèñ. 2. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèé B R zz ( , ) è p z( ) ïðè b = 0,5: 1, 5 — à = 0,5; 2, 6 — à = 0,7;
3, 7 — à = 1,5; 4, 8 — à = 2,5
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû êðèâûå ðàñïðåäåëåíèé B R zz ( , ), çàäàííûå áåçðàç-
ìåðíîé ôîðìóëîé (4), à òàêæå ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ÝÄÓ p z( ), äåéñò-
âóþùèõ íà îáîëî÷êó â èìïóëüñíîì ìàãíèòíîì ïîëå (âåëè÷èíó p z( )
óñëîâíî íàçûâàþò äàâëåíèåì ìàãíèòíîãî ïîëÿ, è îíà ñâÿçàíà ñ èíäóêöèåé
èçâåñòíûì ñîîòíîøåíèåì [1]
p z
B R zz
( )
( , )
�
2
0
2�
,
ãäå�
0
— ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ). Èç ðèñ. 2 ñëåäóåò, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå (4)
îáåñïå÷èâàåò êîíöåíòðàöèþ ÝÄÓ íà äâóõ ñèììåòðè÷íî ðàñïîëîæåííûõ
îòíîñèòåëüíî êîîðäèíàòíîé îñè r ó÷àñòêàõ ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, ÷òî áû-
âàåò íåîáõîäèìî, íàïðèìåð, ïðè ìàãíèòíî-èìïóëüñíîé ñáîðêå [1]. Íà ðèñ. 2
ïîêàçàíû òîëüêî ñèììåòðè÷íûå ïîëîâèíû ðàñïðåäåëåíèé, âåëè÷èíà p z( )
áåçðàçìåðíà, ïðè÷åì P z B R zz( ) ( , )�
2
. Çíà÷åíèÿ êîîðäèíàò r, z íà âñåõ ðè-
ñóíêàõ ÿâëÿþòñÿ áåçðàçìåðíûìè è ïîëó÷åíû äåëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðàçìåðíûõ çíà÷åíèé íà âåëè÷èíó R.
Èç (4) ñëåäóåò, ÷òî ôóíêöèÿ B R zz ( , ) — àíàëèòè÷åñêàÿ, ïîýòîìó ñîã-
ëàñíî òåîðåìå Êîâàëåâñêîé [5], ðåøåíèå çàäà÷è (1)—(3) ñóùåñòâóåò è
åäèíñòâåííî. Îïóñêàÿ âûêëàäêè, çàïèñûâàåì èçâåñòíîå ðåøåíèå çàäà÷è
(1) — (3) [2]:
� ( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ) cos ( )r z rR I r K R I R K r F z�
2 2
1 1 1 1
� � � � � � � d�
0
�
�
, (5)
ãäå I r
1
( )� , K r
1
( )� — ìîäèôèöèðîâàííûå ôóíêöèè Áåññåëÿ 1-ãî è 2-ãî ðîäà
ïåðâîãî ïîðÿäêà; F( )� — êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèå Ôóðüå ôóíêöèè B R zz ( , ),
F B R z z dzz( ) ( , ) cos ( )�
�
��
�
�
2
0
. (6)
Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (4) èíòåãðàë (6) áåðåòñÿ àíàëèòè÷åñêè [6]:
F b a( ) exp( ) cos ( )� � � ��
2 . (7)
 ðàáîòå [2] ïîêàçàíî, ÷òî íåñîáñòâåííûé èíòåãðàë ðåøåíèÿ (5) ñõî-
äèòñÿ, åñëè ìîäóëü êîñèíóñ-ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèè B R zz ( , ) ïðè �� �
óáûâàåò êàê exp( )
�� , à ðàäèóñ ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà r
cx
îöåíèâàåòñÿ íåðàâåíñòâîì r R
cx
�
�. Êàê ñëåäóåò èç (7), äëÿ ðàñïðåäåëå-
íèÿ (4) � � b.
Îïðåäåëåíèå øàãà ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ h� ïî ïàðàìåòðó
ïðåîáðàçîâàíèÿ. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ðåøåíèÿ (5)
èñïîëüçóåì êâàäðàòóðíóþ ôîðìóëó Ñèìïñîíà. Îñîáåííîñòüþ (5) ÿâëÿåòñÿ
Î. ß. Êîíîâàëîâ
120 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
îñöèëëÿöèÿ çíà÷åíèé ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ F r z( , , )� , îáóñëîâ-
ëåííàÿ ìíîæèòåëÿìè F ( )� è cos ( )�z . ×àñòîòà ýòèõ îñöèëëÿöèé, â ñëó÷àå
îòñóòñòâèÿ èëè ïðè ñðàâíèòåëüíî íèçêîé ÷àñòîòå îñöèëëÿöèé F ( )� , îïðåäå-
ëÿåòñÿ çíà÷åíèåì êîîðäèíàòû z òî÷êè íàáëþäåíèÿ ïîëÿ, â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå — ÷àñòîòîé îñöèëëÿöèé F ( )� .
 ñëó÷àå ãðàíè÷íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ (4) âèäèì, ÷òî ïðè z a� ÷àñòîòà
îñöèëëÿöèé F r z( , , )� ðàâíà ïàðàìåòðó ðàñïðåäåëåíèÿ à, à êîîðäèíàòà z
îïðåäåëÿåò ÷àñòîòó áèåíèé ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè (ðèñ. 3, êðèâàÿ 2).
Ïðè z a� ÷àñòîòà îñöèëëÿöèé îïðåäåëÿåòñÿ êîîðäèíàòîé z òî÷êè íàáëþäåíèÿ
ïîëÿ, à ïàðàìåòð a îïðåäåëÿåò áèåíèÿ (ñì. ðèñ. 3, êðèâàÿ 3). Äëÿ èñêëþ÷åíèÿ
ïîãðåøíîñòåé, âûçâàííûõ ÷ðåçìåðíî áîëüøèì øàãîì èíòåãðèðîâàíèÿ, íåîá-
õîäèìî, ÷òîáû ïðîèçâåäåíèÿ h a
�
è h z
�
áûëè çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ðàññòîÿ-
íèé ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíèìè íóëÿìè F r z( , , )� , ò. å. h a
�
��� èëè h z
�
��� .
Èç ïîñëåäíèõ íåðàâåíñòâ ñëåäóþò ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âûáîðà øàãà:
h
a
�
�
�� ïðè z a� ,
h
z
�
�
�� ïðè z a� .
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ñîëåíîèäà ïî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó ðàñïðåäåëåíèþ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 121
2 4 6 8 10 12 14 �
1 2
2
1
0
�
�
3
F ( ),� F r z( , , )�
Ðèñ. 3. Ãðàôèêè ôóíêöèè F ( )� (êðèâàÿ 1) è ïîäûíòåãðàëüíîãî âûðàæåíèÿ F r z( , , )�
(êðèâûå 2, 3) ðåøåíèÿ (5) ïðè à = 0,7, b = 0,5, r = 1,45: 2 — z = 0,5; 3 — z = 20
Êîíå÷íîå çíà÷åíèå âåðõíåãî ïðåäåëà èíòåãðàëà (5) �m ïîäáèðàåì ñ
ïîìîùüþ îöåíêè ïîãðåøíîñòè, âíîñèìîé èñêëþ÷åíèåì ó÷àñòêà èíòåãðè-
ðîâàíèÿ [�m, �).
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ
äëÿ F ( )� âîçíèêàåò òàêæå íåîáõîäèìîñòü êîððåêòíîãî âûáîðà øàãà hz
÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ âûðàæåíèÿ (6). Èñïîëüçóÿ ðàññóæäåíèÿ,
àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì â [7], ïîëó÷àåì hz �� � �/ .
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Èñïîëü-
çóåì àëãîðèòì, àíàëîãè÷íûé àëãîðèòìó ïîñòðîåíèÿ ýêâèïîòåíöèàëüíûõ
ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ [7]. Óðàâíåíèå ñèëîâîé ëèíèè ïðåäñòàâèì â
âèäå
� �( , )r z �
0
, (8)
ãäå�
0
— çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ñîîòâåòñòâóþùåå ñèëîâîé ëèíèè.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ íàéòè ïîëîæåíèå N òî÷åê ñèëîâîé ëèíèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ ñ êîîðäèíàòàìè ri , z i , i N�1, . Çàäàåì ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ êîîð-
äèíàò z i è ïîäñòàâëÿåì èõ â (8) ñ ó÷åòîì (5). Äëÿ êàæäîãî ôèêñèðîâàííîãî
çíà÷åíèÿ z i èç (8) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå äëÿ íàõîæäåíèÿ íåèçâåñòíîé êîîð-
äèíàòû ri , êîòîðîå ðåøàåì ìåòîäîì õîðä [8].
 èòåðàöèîííîì àëãîðèòìå ïðåäóñìîòðåí áëîê ëîêàëèçàöèè êîðíåé ri ,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî íàõîäèì ñåãìåíò (r s
1
( )
, r s
2
( )
) ñ êîðíåì r
i
s( )
(s — íîìåð
ïðèáëèæåíèÿ, s = 0, 1, 2, …). Ïðè s = 0, èñïîëüçóÿ óðàâíåíèå ïðÿìîé,
Î. ß. Êîíîâàëîâ
122 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 z
�
0
=3,8 g
3,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
3,0
r
f
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
0,25
Ðèñ. 4. Ñèëîâûå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïðîäîëæåííîãî ñ öèëèíäðè÷åñêîé ãðàíè÷íîé
ïîâåðõíîñòè
ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êè (r
1
0( )
, �( , )
( )r z i1
0
), (r
2
0( )
, �( , )
( )r z i2
0
), íàõîäèì ïåð-
âîå ïðèáëèæåíèå êîðíÿ r
i
( )1
. Ïîñëå ñðàâíåíèÿ �( , )
( )r z
i i
0
è �
0
óòî÷íÿåì
ãðàíèöû ñåãìåíòà ñ èñêîìûì çíà÷åíèåì êîðíÿ è íàõîäèì ñëåäóþùåå åãî
ïðèáëèæåíèå. Èòåðàöèîííàÿ ôîðìóëà èìååò òàêîé âèä:
r
r r r z
r z
i
s
s s s
i
s
i
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( ( , ))
( , )
�
1 2 1 0 1
2
� �
� � ( , )
( )
( )
r z
r
s
i
s
1
1
.
Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ
r r
i
s
i
s( ) ( )
�
1
�,
ãäå � > 0 — çàäàííàÿ ïîãðåøíîñòü.
Îãðàíè÷åííûå ó÷àñòêè ñèëîâûõ ëèíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ, ïîñòðîåííûå
ñ ïîìîùüþ ýòîãî àëãîðèòìà è ñîîòâåòñòâóþùèå çàäàííîìó ðàñïðåäå-
ëåíèþ (4) ïðè b = 0,5, à = 0,7 (ñì. ðèñ. 2, êðèâàÿ 2), ïîêàçàíû íà ðèñ. 4, ãäå
äëÿ âñåõ êðèâûõ r
cx
�15, .
Àíàëèçèðóÿ çàäàííîå ðàñïðåäåëåíèå, íàõîäèì êîîðäèíàòó z òî÷êè
ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè, â êîòîðîé çíà÷åíèå B R zz ( , ) íà ïîðÿäîê ìåíüøå
íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî äàâëåíèå ìàãíèòíîãî
ïîëÿ â ýòîé òî÷êå ïðåíåáðåæèìî ìàëî, îãðàíè÷èâàåì äëèíó ñîëåíîèäà
óäâîåííûì çíà÷åíèåì ýòîé êîîðäèíàòû.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ñîëåíîèäà ïî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó ðàñïðåäåëåíèþ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 123
0 0,5 1,0 1,5 2,0 z
�4
3
2
1
0
r
s
g
1 4
3
2
5
m
6
f
16
12
8
4
Ðèñ. 5. Îòíîñèòåëüíûå ðàñõîæäåíèÿ çàäàííîãî è ïîëó÷àåìûõ ðàñïðåäåëåíèé ïðè ðàçëè÷-
íûõ ôîðìàõ ïåðèôåðèéíûõ ó÷àñòêîâ
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ïåðèôåðèéíûõ ó÷àñòêîâ. Öåíòðàëüíûé ó÷àñ-
òîê ãëàâíîé ÷àñòè êîíòóðà ïðîôèëÿ âûïîëíÿåì ïî ôîðìå îäíîé èç ñèëî-
âûõ ëèíèé.  òî÷êå öåíòðàëüíîãî ó÷àñòêà, ðàñïîëîæåííîé âáëèçè ãðàíèöû
îáëàñòè ñõîäèìîñòè íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ðåøåíèÿ ïðîâîäèì êàñà-
òåëüíóþ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îáðàçóþùåé òîðöîâîé ÷àñòè è ïîëó÷àåì êîíòóð
ïåðèôåðèéíîãî ó÷àñòêà ïðîôèëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ (ðèñ. 5, êðèâàÿ 2).
Íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ïîä ïåðèôåðèéíûì ó÷àñòêîì íàíî-
ñèì ðàâíîìåðíóþ ñåòêó ñ êîîðäèíàòàìè óçëîâûõ òî÷åê:
z z hi i z�
1
, i N�1,...,
ï
,
ãäå hz — øàã ñåòêè; èíäåêñ «ï» îçíà÷àåò ïðèíàäëåæíîñòü òî÷åê ê ïåðèôå-
ðèéíîìó ó÷àñòêó. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óçëîâûõ òî÷åê íà êîí-
òóðå ïðîôèëÿ ñîëåíîèäà â êàæäîé i-é òî÷êå ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè îáî-
ëî÷êè âîññòàíàâëèâàåì ïåðïåíäèêóëÿðû äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïåðèôåðèéíûì
ó÷àñòêîì. Ðàäèàëüíûå êîîðäèíàòû òî÷åê ïåðèôåðèéíîãî ó÷àñòêà s-ãî
ïðèáëèæåíèÿ r s
i
s( )
( , , ...)�1 2 íàõîäèì òàê:
r r h
i
s
i
s
i
s( ) ( ) ( )
,�
1
h h h
i
s
i
s s
i
( ) ( ) ( ) ( )
,�
1
1
� i N�1,...,
ï
, (9)
ãäå h
i
s( )
— ïðèðàùåíèå ðàäèàëüíîé êîîðäèíàòû ìåæäó ñîñåäíèìè óçëîâû-
ìè òî÷êàìè ïåðèôåðèéíîãî ó÷àñòêà ïðîôèëÿ s-ãî ïðèáëèæåíèÿ; �
(s)
—
âàðüèðóåìûé ïàðàìåòð.
Äëÿ ïðîôèëÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ ( )s �1 �
� �s
� 0, à âåëè÷èíà h
i
( )1
îäèíàêîâà äëÿ âñåõ òî÷åê. Íàõîäèì ïîëó÷àåìîå ñ ïîìîùüþ ñîëåíîèäà
ýòîãî ïðîôèëÿ ðàñïðåäåëåíèå îñåâîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî
ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè, èñïîëüçóÿ èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå ïåð-
âîãî ðîäà [2]
B M r K Q M dl r
Q l
Q l
M M
l
Q�
( ) ( , )
, ;
, ,
�
�
�
�
!
"
#
"
Ô
0
1
2
0
(10)
ãäå l
1
, l
2
— êîíòóðû ñîîòâåòñòâåííî ìåðèäèàííîãî ñå÷åíèÿ ñîëåíîèäà è
îáðàçóþùåé âíåøíåé ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè; l — ñóììàðíûé êîíòóð,
l l l�
1 2
; dl M — ýëåìåíò êîíòóðà ñ öåíòðîì â òåêóùåé òî÷êå Ì; Q — òî÷êà
íàáëþäåíèÿ; K Q M( , ) — ÿäðî; rM , rQ —ðàäèàëüíûå êîîðäèíàòû òî÷åê,
óêàçàííûõ â èíäåêñàõ.
Èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå (10) ïðåîáðàçóåì â ñèñòåìó ëèíåéíûõ àëãåá-
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ðåøàåì ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîé ïîäïðîãðàììû
LSARG ìàòåìàòè÷åñêîé áèáëèîòåêè FORTRAN IMSL [9].
Î. ß. Êîíîâàëîâ
124 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
Îòíîñèòåëüíûå ðàñõîæäåíèÿ ìåæäó ïîëó÷àåìûì è çàäàííûì ðàñïðå-
äåëåíèÿìè ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè îáîëî÷êè íàõîäèì ïî ôîðìóëå
� i
z i z i
z i
B R z B R z
B R z
�
( , )| ( , )|
( , )|
%
ç ï
ç
100 ,
ãäå èíäåêñû «ç» è «ï» ñîîòâåòñòâóþò çàäàííîìó è ïîëó÷àåìîìó ðàñïðå-
äåëåíèÿì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ â i-é òî÷êå ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè.
Çíà÷åíèÿ� i äëÿ ïðîôèëÿ ñîëåíîèäà ñ ïåðèôåðèéíûì ó÷àñòêîì ïåðâîãî ïðèá-
ëèæåíèÿ äîñòèãàþò 11 % (ñì. ðèñ. 5, êðèâàÿ 5). Äëÿ óìåíüøåíèÿ ýòîé âåëè-
÷èíû èñïîëüçóåì èòåðàöèîííûé àëãîðèòì, îñíîâàííûé íà ìåòîäå ïîëî-
âèííîãî äåëåíèÿ [8]. Ïðè ýòîì, èçìåíÿÿ ïàðàìåòð �
(s)
â ôîðìóëå (9) âáëèçè
íóëÿ, äîáèâàåìñÿ ìèíèìóìà � i
i
i N
�
�
$
1
ï
.
Ïðè ðåàëèçàöèè àëãîðèòìà â êà÷åñòâå öåíòðàëüíîãî ó÷àñòêà ãëàâíîé
÷àñòè êîíòóðà áûëà âûáðàíà êðèâàÿ�
0
= 3,5 íà ðèñ. 4. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ
ïîêàçàëè, ÷òî èçìåíåíèå ôîðìû ïåðèôåðèéíûõ ó÷àñòêîâ íåñóùåñòâåííî
âëèÿåò íà çíà÷åíèÿ � i ïîä öåíòðàëüíûì ó÷àñòêîì (ñì. ðèñ. 5, êðèâûå 4 —
6).  ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ àëãîðèòìà ïîëó÷åí ïåðèôåðèéíûé ó÷àñòîê,
ïðåäñòàâëåííûé êðèâîé 3 íà ðèñ. 5. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà �
(s)
, îáåñïå÷èâàþ-
ùåå ìèíèìóì � i
i
i N
�
�
$
1
, ñîñòàâèëî 0,016503, à ñîîòâåòñòâóþùèå òàêîìó êîí-
òóðó ïðîôèëÿ ñîëåíîèäà çíà÷åíèÿ � i íå ïðåâîñõîäÿò äîëåé ïðîöåíòà (ñì.
ðèñ. 5, êðèâàÿ 6).
Âûâîäû. 1. Ïðè íåäîñòàòî÷íîì ðàçìåðå îáëàñòè ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ
çàäà÷è ïðîäîëæåíèÿ ïîëÿ ñ ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ïîãðåøíîñòè âîñïðîèç-
âåäåíèÿ çàäàííîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ìîãóò áûòü çíà÷èòåëüíî óìåíüøåíû
ïðè âûáîðå ôîðìû ïåðèôåðèéíûõ ó÷àñòêîâ.
2. Ôîðìà ïåðèôåðèéíûõ ó÷àñòêîâ ãëàâíîé ÷àñòè êîíòóðà ïðîôèëÿ
ìàññèâíîãî îäíîâèòêîâîãî ñîëåíîèäà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ìèíèìè-
çàöèåé ñóìì îòíîñèòåëüíûõ ðàñõîæäåíèé çàäàííîãî è ïîëó÷àåìîãî ðàñ-
ïðåäåëåíèé ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ñîâîêóïíîñòè òî÷åê ãðàíè÷íîé ïîâåðõ-
íîñòè ïîä ýòèìè ó÷àñòêàìè îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî ïàðàìåòðà, ñ ïî-
ìîùüþ êîòîðîãî îíà âàðüèðóåòñÿ.
The shape of the single-turn coil providing the given pulse magnetic field distribution on the
surface of coaxial interior conductive cylinder is determined. The form of the central section of
the coil shape is calculated by solving the problem of the magnetic flow continuation from the
cylinder surface, and peripheral sections are completed by minimization of relativity distortions
between given and obtained distributions.
Îïðåäåëåíèå ôîðìû ñîëåíîèäà ïî çàäàííîìó ãðàíè÷íîìó ðàñïðåäåëåíèþ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 1 125
1. Áåëûé È. Â., Ôåðòèê Ñ. Ì., Õèìåíêî Ë. Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàãíèòíî-èìïóëüñíîé
îáðàáîòêå ìåòàëëîâ. — Õàðüêîâ : Âèùà øêîëà, 1977. — 168 ñ.
2. Ìèíàêîâ Ý. À., Ìèõàéëîâ Â. Ì. Ïðîäîëæåíèå ïîòîêà ñ ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ïî çàäàí-
íîé èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ // Òåõíè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — 1994. — ¹ 5 — 6. —
Ñ. 6 — 9.
3. Ìèõàéëîâ Â. Ì. Îïðåäåëåíèå ïðîôèëåé ýëåêòðîäîâ è ñîëåíîèäîâ äëÿ ñîçäàíèÿ çàäàí-
íûõ ðàñïðåäåëåíèé ïîëÿ // Òåõí³÷íà åëåêòðîäèíàì³êà. Òåìàòè÷íèé âèïóñê «Ïðîáëåìè
ñó÷àñíî¿ åëåêòðîòåõí³êè». ×. 6.— 2000. — Ñ. 13—16.
4. Ìèõàéëîâ Â. Ì. Ïðîäîëæåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ïîòåíöèàëà ïëîñêîìåðèäèàííûõ
ïîëåé ñ ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè // Ýëåêòðè÷åñòâî. — 2002. — ¹ 10. — Ñ. 58—64.
5. Ñìèðíîâ Â. È. Êóðñ âûñøåé ìàòåìàòèêè. Ò. 4. — Ì. -Ë. : ÃÈÒÒË, 1951. — 804 ñ.
6. Áðîíøòåéí È. Í., Ñåìåíäÿåâ Ê. À. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ èíæåíåðîâ è
ó÷àùèõñÿ âòóçîâ. — Ì. : Íàóêà, 1986. — 544 ñ.
7. Êîíîâàëîâ Î. ß., Ìèõàéëîâ Â. Ì. Îïðåäåëåíèå ôîðìû ýëåêòðîäà ïî äèñêðåòíî çà-
äàííîìó ãðàíè÷íîìó ðàñïðåäåëåíèþ ïîëÿ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2007. — 29,
¹ 3. — Ñ. 71—81.
8. Ðàêèòêèí Â. È., Ïåðâóøèí Â. Å. Ïðàêòè÷åñêîå ðóêîâîäñòâî ïî ìåòîäàì âû÷èñëåíèé ñ
ïðèëîæåíèåì ïðîãðàìì äëÿ ïåðñîíàëüíûõ êîìïüþòåðîâ: Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì. :
Âûñø. øêîëà, 1998. — 383 ñ.
9. Áàðòåíüåâ Î. Â. Ôîðòðàí äëÿ ïðîôåññèîíàëîâ. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèáëèîòåêà IMSL:
×. 1. — Ì. : Äèàëîã-ÌÈÔÈ, 2000. — 448 ñ.
Ïîñòóïèëà 01.08.08
ÊÎÍÎÂÀËÎÂ Îëåã ßðîñëàâè÷, àñïèðàíò êàôåäðû èíæåíåðíîé ýëåêòðîôèçèêè Íàöèîíàëü-
íîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà «Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò», ìàãèñòðàòóðó êîòî-
ðîãî îêîí÷èë â 2006 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé, ðåøåíèå íåêîððåêòíûõ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé
ôèçèêè, òåõíèêà ñèëüíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ ïîëåé.
Î. ß. Êîíîâàëîâ
126 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 1
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101435 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-24T11:56:04Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Коновалов, О.Я. 2016-06-03T14:24:39Z 2016-06-03T14:24:39Z 2009 Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field / О.Я. Коновалов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 1. — С. 117-126. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101435 621.3:538.3 Определена форма одновиткового соленоида, обеспечивающего заданное распределение импульсного магнитного поля на поверхности расположенного внутри него проводящего цилиндра. Форма центрального участка контура профиля соленоида рассчитана с помощью решения задачи продолжения магнитного потока с цилиндрической поверхности, а периферийные участки достроены путем минимизации относительных расхождений заданного и получаемого распределений. Визначено форму одновиткового соленоїда, що забезпечує заданий розподіл імпульсного магнітного поля на поверхні розташованого усередині нього провідного циліндра. Форму центральної ділянки контуру профілю соленоїда розраховано через розв’язання задачі подовження магнітного потоку з циліндричної поверхні, а периферійні ділянки добудовано через мінімізацію відносних розбіжностей заданого й отримуваного розподілів. The shape of the single-turn coil providing the given pulse magnetic field distribution on the surface of coaxial interior conductive cylinder is determined. The form of the central section of the coil shape is calculated by solving the problem of the magnetic flow continuation from the cylinder surface, and peripheral sections are completed by minimization of relativity distortions between given and obtained distributions. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field Article published earlier |
| spellingShingle | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field Коновалов, О.Я. Применение методов и средств моделирования |
| title | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field |
| title_full | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field |
| title_fullStr | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field |
| title_full_unstemmed | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field |
| title_short | Определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля Determination of the Coil Shape by the Preset Boundary Distribution of the Magnetic Field |
| title_sort | определение формы соленоида по заданному граничному распределению магнитного поля determination of the coil shape by the preset boundary distribution of the magnetic field |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101435 |
| work_keys_str_mv | AT konovalovoâ opredelenieformysolenoidapozadannomugraničnomuraspredeleniûmagnitnogopolâdeterminationofthecoilshapebythepresetboundarydistributionofthemagneticfield |