Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали
Впервые получена система интегро-дифференциальных уравнений для плотности вихревых токов (интегральных по пространственным переменным и дифференциальным по времени) с учетом влияния скорости потоков в расплаве. Эта система уравнений позволяет повысить точность расчета электродинамических усилий в ко...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Authors: | , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101438 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859956046278164480 |
|---|---|
| author | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Петрушенко, Е.И. |
| author_facet | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Петрушенко, Е.И. |
| citation_txt | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Впервые получена система интегро-дифференциальных уравнений для плотности вихревых токов (интегральных по пространственным переменным и дифференциальным по времени) с учетом влияния скорости потоков в расплаве. Эта система уравнений позволяет повысить точность расчета электродинамических усилий в ковш-печи при любых режимах перемешивания.
Вперше отримано систему інтегро-диференціальних рівнянь для густини вихрових струмів (інтегральних по просторовим змінним і диференціальних за часом) з урахуванням впливу швидкості потоків у розплаві. Ця система рівнянь дозволяє підвищити точність розрахунку електродинамічних зусиль у ковші-печі при будь-яких режимах перемішування.
A system of integro-differential equations for eddy currents density (space integration and time differentiation) is first obtained with regard for the effect of flow velocity in the melt. The system of equations allows to increase the calculation accuracy of electrodynamic forces in the ladle in any stirring conditions.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:19:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 621.365.6:621.791.753
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû,
À. Â. Æèëüöîâ, Å. È. Ïåòðóøåíêî, êàíäèäàòû òåõí. íàóê
Èíñòèòóò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
Óêðàèíà, 03164, Êèåâ-164, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà 15,
òåë. 424-91-60, E-mail: azhilt@mail.ru
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ
âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå êîâø-ïå÷ü —
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü íà çàäàííîì ïîëå
ñêîðîñòåé ïîòîêîâ â ðàñïëàâå ñòàëè
Âïåðâûå ïîëó÷åíà ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ïëîòíîñòè âèõðå-
âûõ òîêîâ (èíòåãðàëüíûõ ïî ïðîñòðàíñòâåííûì ïåðåìåííûì è äèôôåðåíöèàëüíûì ïî
âðåìåíè) ñ ó÷åòîì âëèÿíèÿ ñêîðîñòè ïîòîêîâ â ðàñïëàâå. Ýòà ñèñòåìà óðàâíåíèé ïîçâîëÿåò
ïîâûñèòü òî÷íîñòü ðàñ÷åòà ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â êîâø-ïå÷è ïðè ëþáûõ ðåæèìàõ
ïåðåìåøèâàíèÿ.
Âïåðøå îòðèìàíî ñèñòåìó ³íòåãðî-äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü äëÿ ãóñòèíè âèõðîâèõ ñòðó-
ì³â (³íòåãðàëüíèõ ïî ïðîñòîðîâèì çì³ííèì ³ äèôåðåíö³àëüíèõ çà ÷àñîì) ç óðàõóâàííÿì âïëèâó
øâèäêîñò³ ïîòîê³â ó ðîçïëàâ³. Öÿ ñèñòåìà ð³âíÿíü äîçâîëÿº ï³äâèùèòè òî÷í³ñòü ðîçðàõóíêó
åëåêòðîäèíàì³÷íèõ çóñèëü ó êîâø³-ïå÷³ ïðè áóäü-ÿêèõ ðåæèìàõ ïåðåì³øóâàííÿ.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ÌÃÄ ïðîöåññ, èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü, âèõðåâûå òîêè,
êîâø-ïå÷ü, èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêèõ (ÌÃÄ) ïðîöåññîâ â
ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè (êîâø-ïå÷ü ñ
èíäóêöèîííûì ïåðåìåøèâàòåëåì, ìàøèíà íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê
è äð.) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü òðåõìåðíûé õàðàêòåð ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòíîãî ïîëÿ.  ðÿäå ñëó÷àåâ äîïóñòèìî ðåøåíèå çàäà÷è â ïëîñêî-
ïàðàëëåëüíîì èëè îñåñèììåòðè÷íîì ïðèáëèæåíèè. Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
ÌÃÄ ïðîöåññîâ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí îäèí èç ñëåäóþùèõ ìåòîäîâ:
êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé, êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïî-
ñêîëüêó äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâ õà-
ðàêòåðíû ñèëüíûå ìàãíèòíûå ïîëÿ ðàññåèâàíèÿ, ìåòîä èíòåãðàëüíûõ
óðàâíåíèé â äàííîì ñëó÷àå áîëåå ýôôåêòèâåí, òàê êàê èñêîìûå âåëè÷èíû
ðàñïðåäåëåíû òîëüêî â îáúåìå ìàññèâíûõ òåë (âèõðåâûå òîêè), íà èõ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 3
����������� ��
���
��
�
�
����
ãðàíèöå (ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû) è íà ãðàíèöå ôåððîìàãíèòíûõ òåë (òîêè
íàìàãíè÷åííîñòè). Ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü ïîèñêà ðåøåíèÿ ýòèì ìåòîäîì
ñóùåñòâåííî ìåíüøå, ÷åì ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà êîíå÷íûõ ðàçíîñòåé
è êîíå÷íûõ ýëåìåíòîâ, êîãäà íåîáõîäèìî èñêàòü ðåøåíèå âî âñåé, âîîáùå
ãîâîðÿ, íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè.
Ðàçðàáîòêå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé äëÿ ðàñ÷åòà ïëîñêîïàðàëëåëü-
íîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ
óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè ïîñâÿùåíû ðàáîòû [1—10]. Â ðà-
áîòàõ [1—4] ïîñòðîåíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà ðàñïðåäåëåíèÿ
ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàë-
ëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ñ øèõòîâàíûì ìàãíèòîïðî-
âîäîì, â [5] — ñ ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì. Â ðàáîòàõ [6, 7] ó÷òåíû
íåëèíåéíûå ìàãíèòíûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ìàãíèòîïðîâîäà è ïîñòðîåíû
ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè èìïóëüñíîãî âîçäåéñòâèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïî-
ëÿ íà æèäêèé ìåòàëë, à â ðàáîòàõ [9, 10] ïîñòðîåíà ìîäåëü ñâÿçàííûõ
ýëåêòðîìàãíèòíûõ è ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.  ðàáîòå [10] äëÿ
ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîì ïðîâîäíèêå óðàâíåíèÿ ãèäðîäèíàìèêè â
ïåðåìåííûõ âèõðü — ôóíêöèÿ òîêà ñâåäåíû ê ñèñòåìå èíòåãðî-äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé, â êîòîðûõ îòñóòñòâóþò ïðîñòðàíñòâåííûå ïðîèç-
âîäíûå îò èñêîìûõ âåëè÷èí, âñëåäñòâèå ÷åãî óñòðàíÿþòñÿ ïîãðåøíîñòè,
âíîñèìûå îò èõ àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íî-ìåðíûìè àíàëîãàìè. Äëÿ îñåñèì-
ìåòðè÷íîãî ïðèáëèæåíèÿ ìàòåìàòè÷åêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî ÌÃÄ
ïðîöåññà ïîñòðîåíà â ðàáîòàõ [11, 12].
Ïðåäëîæåííûå â óêàçàííûõ ðàáîòàõ ìîäåëè ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû
ïðè àíàëèçå êàê ñòàöèîíàðíûõ, òàê è íåñòàöèîíàðíûõ ÌÃÄ ïðîöåññîâ â
ðàçëè÷íûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè
ïðè ïðèíÿòûõ äîïóùåíèÿõ, îäíàêî â íèõ íå ó÷òåí òðåõìåðíûé õàðàêòåð
ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü â ìàãíèòíîì ïîëå, ñîçäàâàåìîì èçìåíÿþ-
ùèìñÿ âî âðåìåíè òîêîì�W M t( , ), t � 0, â îáìîòêå DW , ðàñïîëîæåíî ( )N �1
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ, çàíèìàþùèõ îáúåì D Dq
q
N
�
�
�
1
1
� è îãðàíè÷åííûõ
ãëàäêîé ïîâåðõíîñòüþ S S q
q
N
�
�
�
1
1
� (ñì. ðèñóíîê). Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ïðî-
âîäíèê, çàíèìàþùèé îáúåì D
1
íàõîäèòñÿ â æèäêîé ôàçå è äëÿ íåãî èçâåñ-
òåí çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé V( , )Q t (îïðåäåëÿåòñÿ èç ðåøåíèÿ
ãèäðîäèíàìè÷åñêîé çàäà÷è). Óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü ìàòåðèàëîâ ïðîâîä-
íèêîâ ïîñòîÿííà ïî îáúåìó êàæäîãî ïðîâîäíèêà è ðàâíà ñîîòâåòñòâåííî
�
1
, �
2
, ... ..., � N �1
. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ìàññèâíûå ïðîâîäíèêè íå èìåþò ìåæäó
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
ñîáîé ýëåêòðè÷åñêîãî êîíòàêòà. Óêàçàííàÿ ñèñòåìà ïðîâîäíèêîâ äîïîë-
íÿåòñÿ øèõòîâàííûì ìàãíèòîïðîâîäîì, çàíèìàþùèì îáúåì D N è
îãðàíè÷åííûì ïîâåðõíîñòüþ S N , ñ ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ � �const.
Ïîëàãàåì èçâåñòíûì íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè âèõðåâûõ
òîêîâ ïî ìàññèâíûì ïðîâîäíèêàì � ( , )M 0 , êîòîðîå îáîçíà÷èì �
�
( )M .
Êîíå÷íàÿ çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ïî çàäàííîé ãåîìåòðèè ñèñ-
òåìû, ýëåêòðîôèçè÷åñêèì õàðàêòåðèñòèêàì ìàòåðèàëîâ, èç êîòîðûõ èçãî-
òîâëåíû êîíñòðóêòèâíûå ýëåìåíòû, ýëåêòðè÷åñêîìó ñîåäèíåíèþ ýëåìåí-
òîâ, çàäàííûì òîêàì â ïåðâè÷íûõ îáìîòêàõ íàéòè ïîëå ñêîðîñòåé â æèä-
êîì ïðîâîäíèêå.
 îáùåì ñëó÷àå ýòî òðåáóåò ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ
ñèñòåìû óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà â íåîãðàíè÷åííîé îáëàñòè è óðàâíåíèé
Íàâüå—Ñòîêñà â æèäêèõ ïðîâîäíèêàõ [13]:
�� �H � , (1)
�� ��E
B
t
,
(2)
�� �B 0 , (3)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 5
Ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèñòåìà êîâø-ïå÷ü — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü: D
1
— ïðîâîäíèê â
æèäêîé ôàçå ( , )� �
0 1
; D
2
— ìàññèâíûé ïðîâîäíèê â òâåðäîé ôàçå ( , )� �
0 2
; D
3
— øèõòî-
âàííûé ìàãíèòîïðîâîä ( , )� �
0 3
0� ; D
ô
— ôóòåðîâêà; D D D DW W W W� � �
1 2 3
— îáìîòêà
�� �� 0 , (4)
B H�� , (5)
� � �� � �E V B[ ] , (6)
� �
V
V V V f
t
= p v� �� � � � �( )
1 1
� ,
(7)
�� �V 0 . (8)
Çäåñü E — âåêòîð íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ (Â/ì); H — âåêòîð
íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (À/ì); B — âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóê-
öèè (Òë); � — âåêòîð ïëîòíîñòè òîêà (À/ì
3
); � — óäåëüíàÿ ïðîâîäèìîñòü
(1/(Îì � ì); �— àáñîëþòíàÿ ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû (Ãí/ì); V —
âåêòîð ñêîðîñòè (ì/ñ), äëÿ ïðîâîäíèêîâ â òâåðäîé ôàçå íåîáõîäèìî ïîëî-
æèòü V �0;�— ïëîòíîñòü ïðîâîäíèêà â æèäêîé ôàçå (êã/ì
3
); t — âðåìÿ (ñ);
p — äàâëåíèå (Ïà); � � �� / — êîýôôèöèåíò êèíåìàòè÷åñêîé âÿçêîñòè (ì
2
/ñ),
� — êîýôôèöèåíò äèíàìè÷åñêîé âÿçêîñòè (Ïà � ñ); f — îáúåìíàÿ ïëîòíîñòü
ñèëû (Í/ì
3
).
Ðåøåíèå ïîëíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (1)—(8) äàæå ïðè èñïîëüçîâàíèè
ñîâðåìåííûõ áûñòðîäåéñòâóþùèõ ÝÂÌ ñâÿçàíî ñ áîëüøèìè òðóäíîñ-
òÿìè. Ïîýòîìó ðàçäåëèì çàäà÷ó íà ýòàïû:
1) ìîäåëèðîâàíèå âèõðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â
ñå÷åíèè ìàãíèòíîé ñèñòåìû íà çàäàííîì ïîëå ñêîðîñòåé â æèäêîé çàãî-
òîâêå (ýëåêòðîìàãíèòíàÿ çàäà÷à íà îñíîâå óðàâíåíèé (1)—(6));
2) ìîäåëèðîâàíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîé çàãîòîâêå ïî çàäàííîìó
ïîëþ ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé (ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ çàäà÷à íà îñíîâå
óðàâíåíèé (7), (8)).
Óðàâíåíèÿ êâàçèñòàöèîíàðíîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïðè
ïðåíåáðåæåíèè òîêàìè ñìåùåíèÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
Ìàêñâåëëà, îïèñûâàþùèõ ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå âíóòðè ìàññèâíûõ ïðî-
âîäíèêîâ, èìååò âèä (1)—(6), à âíå ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ — ñëåäóþ-
ùèé âèä:
�� �H �W , (9)
�� �B 0, (10)
B H�� , (11)
ãäå �W — çàäàííàÿ ïëîòíîñòü òîêà (âíå ïðîâîäíèêîâ ñ çàäàííîé ïëîò-
íîñòüþ òîêîâ�W �0). Ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âíå ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ íàñ
íå èíòåðåñóåò, ïîýòîìó óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå åãî, íå çàïèñûâàåì.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Äëÿ îäíîçíà÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíå-
íèÿì (1)—(6), (9)—(11) ñëåäóåò äîáàâèòü ñëåäóþùèå äîïîëíèòåëüíûå
óñëîâèÿ:
ðàâåíñòâî íóëþ íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ïëîòíîñòè òîêà (�n �0) íà
ïîâåðõíîñòè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ (ñëåäóåò èç ïðåíåáðåæåíèÿ òîêàìè
ñìåùåíèÿ âíå è âíóòðè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ);
íåïðåðûâíîñòü íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èíäóêöèè è êàñàòåëüíîé
ñîñòàâëÿþùåé íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà ïîâåðõíîñòè ìàññèâ-
íûõ ïðîâîäíèêîâ S è ïîâåðõíîñòè S N ìàãíèòîïðîâîäà;
èçâåñòíî íà÷àëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ïëîòíîñòè òîêà �
( )
( )
0 M ïî ìàññèâ-
íûì ïðîâîäíèêàì;
èíäóêöèÿ B ( , )M t ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè M ��, êàê1
2
/ r .
Ââåäåíèåì ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ A è � óïðîñòèì èñõîä-
íóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé (1)—(6), (9)—(11).  ñèëó òîãî ÷òî �� �B 0,
îïðåäåëÿåì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë:
B A��� , (12)
�� �A 0 . (13)
Ïîäñòàâèì (12) â (2):
�� �� ��E A
t
èëè �� �
�
�
�
�
�
� �E
A
t
0 .
Èç ïîñëåäíåãî ñîîòíîøåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî E
A
�
t
— ïîòåíöèàëüíîå ïîëå è
äëÿ íåãî ñóùåñòâóåò òàêîå ñêàëÿðíîå ïîëå �, ÷òî
E
A
� � ��
�
t
.
(14)
Èç ñîîòíîøåíèÿ (14) ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
E
A
� � ��
�
t
.
(15)
Íàéäåì óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïîòåíöèàëû A è
�. Èç óðàâíåíèÿ (1) ñ ó÷åòîì (5) è (12) íàõîäèì
�� ��� ��� �� �
� �
H B A( ) ( )� � �
1 1
,
ò. å.
�� �� �
�
( )� �
1
A . (16)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 7
Äàëåå, ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèÿ (6) ïðèõîäèì ê óðàâíåíèþ
� � � �
� � ��
A
V B
t
� � � . (17)
Óðàâíåíèÿ (16), (17) îáðàçóþò ñèñòåìó, ýêâèâàëåíòíóþ âñåé ñèñòåìå
óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà. Ïîä ýêâèâàëåíòíîñòüþ ïîíèìàåì ñëåäóþùåå: åñëè
ïîëÿ A, �, � óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (16), (17), òî ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ
B, íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ H è íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî
ïîëÿ E, îïðåäåëÿåìûå âûðàæåíèÿìè
B A��� ; H B�
�
�
1
; E �
�
� �
1
,
ïðè ïîäñòàíîâêå èõ â ñèñòåìó óðàâíåíèé Ìàêñâåëëà óäîâëåòâîðÿþò åé
òîæäåñòâåííî.
Âûâåäåì óðàâíåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïîòåíöèàëû A è �.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñðåäà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, èçîòðîïíîé, áåçãèñòåðåçèñíîé â ñè-
ëó ñäåëàííûõ ðàíåå äîïóùåíèé, èç óðàâíåíèÿ (16) íàõîäèì ���� �A ��.
Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèþ���� �� �� �a a a( ) � , çàïèñûâàåì � �� �� ��A A( )
���. Ó÷èòûâàÿ (13), ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ äëÿ îïðåäåëåíèÿ
âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà:
�A � ���.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèàëà ñ ó÷åòîì (15) íàõîäèì
�� � � �� ����E A
�
t
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
�� ��� � �
�
�
�
�
�
� � �� �� � � �� �E V B V B V B
�
� �
� � �
1
[ ] [ ] è �� �A 0,
íàõîäèì ��� ��� �� [ ]V B , ò. å. äëÿ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåí-
öèàëà ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óðàâíåíèå:
�� �� � ,
ãäå � � ��� �[ ]V B .
Âûâîä èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ ðàñ÷åòà âèõðå-
âûõ òîêîâ. Äëÿ óäîáñòâà âûâîäà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
îáùóþ çàäà÷ó ðàçîáüåì íà äâå ïîäçàäà÷è:
1. Ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêîâ â îáìîòêàõ è âèõðåâûõ òîêîâ â
ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêàõ íàéòè ðàñïðåäåëåíèå ñâÿçàííûõ òîêîâ íàìàãíè-
÷åííîñòè íà ãðàíèöàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
2. Ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ òîêîâ â îáìîòêàõ è òîêîâ íàìàãíè÷åí-
íîñòè íà ãðàíèöàõ ñå÷åíèÿ ìàãíèòîïðîâîäà íàéòè ðàñïðåäåëåíèå âèõðå-
âûõ òîêîâ â ñå÷åíèè ìàññèâíûõ ïðîâîäíèêîâ.
Ñôîðìóëèðóåì êðàåâóþ çàäà÷ó äëÿ ðàñ÷åòà ìàãíèòíîãî ïîëÿ â ìàãíèò-
íîé ñèñòåìå, ñõåìà êîòîðîé èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå:
�A � �� �
0 W , Q DW� ,
�A � �� �
0
, Q D� ,
�A �0, Q D D N� �
�
,
ãäå D �
— âíåøíåå ïî îòíîøåíèþ êî âñåì òåëàì ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèñ-
òåìû ïðîñòðàíñòâî.
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà íà ãðàíèöå S N ìàãíè-
òîïðîâîäà çàïèøåì òàê:
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S N ;
1 1
0
� �
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S N ,
ãäå A
�
, A
�
— ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ âåêòîðíîãî ïîòåíöèàëà â òî÷êå Q ïðè
ñòðåìëåíèè ê íåé ñîîòâåòñòâåííî ñ âíóòðåííåé è âíåøíåé ñòîðîíû ìàãíè-
òîïðîâîäà.
Çàïèøåì êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ ñêàëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåíöèà-
ëà: � �
� �
� íà S. Äàëåå ó÷òåì, ÷òî �n � 0 íà S, ò. å.
� � �
�
�
�n Q
n
Q
Q
A
t n
Q
� � � � � � � � �
�
� �
E n n V B[ ] 0.
Òîãäà
�
� �
� � � � �
n
A
tQ
n
Q
Q
n V B[ ]íà S .
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åíà ñëåäóþùàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à äëÿ îïðåäåëåíèÿ
âåêòîðíîãî ìàãíèòíîãî ïîòåíöèàëà è ñêàëÿðíîãî ýëåêòðè÷åñêîãî ïîòåí-
öèàëà:
�A � �� �
0 W , Q DW� , (18)
�A � �� �
0
, Q D� , (19)
�A �0, Q D D N� �
�
, (20)
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S ; (21)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 9
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S ; (22)
1 1
0
� �
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S N ;
(23)
n A n AQ Q��� � ���
� �
íà S N ; (24)
�� �
�
� � , (25)
�
� �
� � � � �
n
A
tQ
n
Q
Q
n V B[ ]íà S .
(26)
Íàõîäèì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â âèäå
A ( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
r
dV
M t
r
dVW
QMD
M
QMD
M
W
� � �
� �
�
� �
� �
0 0 0
4 4 4
!
S QM
M
N
M t
r
dS
�
( , )
,
(27)
êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèÿì (18)—(20) è êðàåâûì óñëîâèÿì (22) è
(24). Çäåñü! ( , )M t — ìãíîâåííàÿ ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ïðîñòîãî ñëîÿ
òîêà íà ãðàíèöå ìàãíèòîïðîâîäà.
Âûâåäåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå, êîòîðîìó äîëæíà óäîâëåòâîðÿòü
ïîâåðõíîñòíàÿ ïëîòíîñòü ïðîñòîãî ñëîÿ òîêà ! ( , )M t íà ãðàíèöå ôåððî-
ìàãíåòèêà S N ïðè çàìåíå êóñî÷íî-îäíîðîäíîé ñðåäû îäíîðîäíîé ñ ìàã-
íèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ �
0
. Óäîâëåòâîðÿÿ (27) êðàåâîìó óñëîâèþ (23),
ïîëó÷àåì èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé ïëîò-
íîñòè ïðîñòîãî ñëîÿ òîêîâ:
!
"
! "
�
( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
r
dS
M t
S
Q QM
QM
M
Q QM
N
�
� �
�
� �
�
2 2
3
n r n r
r
dV
QMD
M3�
�
� �
� �
�
"
�
2
3
n rQ QM W
QMD
M
M t
r
dV
W
( , )
,
(28)
ãäå " �����
#�� �
0 0
� ; rQM — ðàäèóñ-âåêòîð íàïðàâëåííûé èç òî÷êè Q â
òî÷êó M.
Ðåøåíèå âòîðîé çàäà÷è ìîæåò áûòü íàéäåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîò-
íîøåíèÿ (17), â êîòîðîå ïîäñòàâëÿåì âåêòîðíûé ïîòåíöèàë â âèäå (27):
� �
�
�
�
�
�
( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
t r
dV
M t
t
W
QMD
M
W
� � �
�1
0
1
0
4
1
4
1
r
dV
QMD
M�
�
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
� � � � �
�
�
�
�
!
� � �
1
0
1 1
4
1
S QM
M
N
M t
t r
dS Q t Q t Q
( , )
( , ) ( , ) (V B , )t , Q D�
1
;
� �
�
�
�
�
�
( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
t r
dV
M t
t
q
W
QMD
M q
W
� � �
�
0 0
4
1
4
1
r
dV
QMD
M�
�
� � �
�
�
�
�
!
� �q
S QM
M q
N
M t
t r
dS Q t0
4
1( , )
( , ), Q Dq� , q N� �2 3 1, ,..., .
Îòñþäà ïîëó÷àåì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äëÿ îïðåäåëå-
íèÿ ïëîòíîñòè âèõðåâûõ òîêîâ:
�
�
!
�� �
�
�
1
0
1
0
4
1
4
1
S QM
M
N
M t
t r
dS Q t
M t
t r�
�
( , )
( , )
( , )
QMD
MdV
�
�
� � �� � �
�
�
� � �
�
�
�
1 1
0
1
4
1
( , )
( , )
( , )Q t
M t
t r
dV Q tW
QMD
M
W
V B ( , )Q t , Q D�
1
;
(29)
�
�
!
�� �
�
�
q
S QM
M q
N
M t
t r
dS Q t
M t
t r
0 0
4
1
4
1
�
�
( , )
( , )
( , )
QMD
MdV
�
�
� � ��
�
�
� � �
�
�
q q
W
QMD
MQ t
M t
t r
dV
W
( , )
( , )
0
4
1
, Q Dq� , q N� �2 3 1, ,..., ;
(30)
Âåêòîð ìàãíèòíîé èíäóêöèè îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèåì:
B
r r
( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
r
dV
M t
r
QM W
QMD
M
QM
QM
W
�
�
�
�
�
�
� �
�
0
3
0
4 4
3
D
MdV
�
�
�
�
�
�
!
0
3
4
S
QM
QM
M
N
M t
r
dS
r ( , )
.
(31)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ�
�
� ñòàâèòñÿ âíóòðåííÿÿ çàäà÷à:
�� �
�
� � , (32)
�
� �
� � � � �
n
A
tQ
n
Q
Q
n V B[ ]íà S . (33)
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 11
Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (32) íàõîäèì â âèäå ñóììû ñêàëÿðíîãî ïîòåíöèà-
ëà îáúåìíûõ çàðÿäîâ � è ïðîñòîãî ñëîÿ ýëåêòðè÷åñêèõ çàðÿäîâ �:
�
�
�
�
� �
� �
( , )
( , ) ( , )
Q t
M t
r
dV
M t
r
dS
QMD
M
S QM
M
1
4
1
4
1
.
(34)
Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ïîòåíöèàëà ïðîñòîãî ñëîÿ
�
�
�
�
�
� �
�
�
�n
Q t
M t
r
dS M t
Q S
Q QM
QM
M
( , )
( , ) ( , )
2
1
4
1
4
3
n r nQ QM
QMD
M
r
dV
�
�
r
3
1
è óäîâëåòâîðÿÿ ðåøåíèå (34) êðàåâîìó óñëîâèþ (33), ïîëó÷àåì
� � � � � �
�
�
�
�
�
A
t
Q t
M t
r
dS
n
Q
S
Q QM
QM
M
Q
n V B
n r
[ ]
( , )
( , )
2
1
4
3
�
�
�
�
1
4
3
1
� ( , )M t
r
dV
Q QM
QMD
M
n r
.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (27) ïðèõîäèì ê èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ:
�
�
�
�
( , ) ( , )
( , )
Q t M t
r
dS
t
M t
r
S
QM Q
QM
M
Q
Q
�
�
�
�
�
1
2 2
3
0
r n n
MD
MdV
�
�
�
�
� �
�
�
�
! �
�
0 0
2 2t
M t
r
dS
t
M t
r
S
Q
QM
M
W Q
QMDN W
( , ) ( , )n n
�
� � � �dV M Q2n V B[ ]
�
�
�
1
2
3
1
� ( , )M t
r
dV
Q QM
QMD
M
n r
. (35)
Çíàÿ ðàñïðåäåëåíèå ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòè ïðîñòîãî ñëîÿ ýëåêòðè÷åñ-
êèõ çàðÿäîâ, îïðåäåëÿåì
� � �
�
�Q
S
QM
QM
M
QM
QMD
Q t M t
r
dS M t
r
�
�
�( , ) ( , ) ( , )
1
4
1
4
3 3
1
r r
�
dV M .
(36)
Ñ ó÷åòîì (35) óðàâíåíèÿ (29), (30) ïåðåïèøåì â âèäå
S QM
M
QMD
M
N
M t
t r
dS
Q t M t
t r
dV
� �
� �
!
�
�
$�
�
( , ) ( , ) ( , )1 1
1
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
� � � �
� �
1 1
0
3
�
�
�
S
QM
QM
M
W
QMD
MM t
r
dS
M t
t r
dV
W
( , )
( , )r
� � �
�
1 1
0
3
1
$ �
�V B
r
( , ) ( , ) ( , )Q t Q t M t
r
dV
QM
QMD
M , Q D�
1
; (37)
S QM
M
q QMD
M
N
M t
t r
dS
Q t M t
t r
dV
� �
� �
!
�
�
$�
�
( , ) ( , ) ( , )1 1
� � � �
� �
1 1 1
0
3
0
�
�
�
�
�
S
QM
QM
M
W
QMD
MM t
r
dS
M t
t r
dV
W
( , )
( , )
(
r
M t
r
dV
QM
QMD
M, )
r
3
1
�
,
Q Dq� , q N� �2 3 1, ,..., , (38)
ãäå $ � �
0
4/ ( ). Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé çàäà÷è ñâî-
äèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (28),
(35), (37), (38).
Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå (37) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ (31) äëÿ âåêòîðà
ìàãíèòíîé èíäóêöèè:
S QM
M
QMD
M
N
M t
t r
dS
Q t M t
t r
dV
� �
� �
!
�
�
$�
�
( , ) ( , ) ( , )1 1
1
� � � �
� �
1 1
0
3
�
�
�
S
QM
QM
M
W
QMD
MM t
r
dS
M t
t r
dV
W
( , )
( , )r
�
� �
�
� �
�
V r V r( , ) ( , ) ( , ) ( , )Q t M t
r
dV
Q t M t
r
QM W
QMD
M
QM
QM
W
� �
3 3
D
MdV
�
�
�
� �
�
� �
S
QM
QM
M
QM
QMDN
Q t M t
r
dS M t
r
dV
V r r( , ) ( , )
( , )
!
�
�
3
0
3
1
1
M ,
Q D�
1
,
èëè
S QM
QM
QM
N
M t
t r
Q t M t
r
dS
�
�
� �%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
!
!( , ) ( , ) ( , )1
3
V r
M
Q t
�
�
$�
( , )
1
�
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 13
� �
� �%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
�
�
�( , ) ( , ) ( , )M t
t r
Q t M t
r
dV
QM
QM
QMD
1
3
V r
M
S
QM
QM
MM t
r
dS� �
�
1
0
3
�
�( , )
r
� � �
� �%
&
'
(
'
)
*
'
+
'
�
�
W
QM
QM W
QMD
M t
t r
Q t M t
r
( , ) ( , ) ( , )1
3
V r
W
dV M�
�
�
�
1
0
3
1
�
� ( , )M t
r
dV
QM
QMD
M
r
, Q D�
1
.
Âûâîä. Ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
äëÿ âèõðåâûõ òîêîâ â ñèñòåìå êîâø-ïå÷ü — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøè-
âàòåëü, â êîòîðîé ó÷òåíî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé â ðàñïëàâå, ìîæåò áûòü
ïðèìåíåíà ïðè ìîäåëèðîâàíèè íåñòàöèîíàðíûõ ÌÃÄ ïðîöåññîâ â ðàçëè÷-
íûõ ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîäíèêàìè.
A system of integro-differential equations for eddy currents density (space integration and time
differentiation) is first obtained with regard for the effect of flow velocity in the melt. The system
of equations allows to increase the calculation accuracy of electrodynamic forces in the ladle in
any stirring conditions.
1. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü
ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñ-
òàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2006. —
28, ¹ 2. — Ñ. 3 —16.
2. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Áëî÷íûé àëãîðèòì êîìïüþòåðíîé
ðåàëèçàöèè äâóìåðíîé èíòåãðàëüíîé ìîäåëè ðàñïðåäåëåíèÿ ñèíóñîèäàëüíûõ âèõ-
ðåâûõ òîêîâ è ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîí-
íûé ïåðåìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ áëþìîâ è ñëÿáîâ // Çá. íàóê. ïðàöü
²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. Ìîäåëþâàííÿ òà ³íôîðìàö³éí³ òåõíîëî㳿. —
2006. — Âûï. 36. — Ñ. 30 — 39.
3. Åâäîêèìîâ Â.Ô., Æèëüöîâ À.Â., Ïåòðóøåíêî Å.È., Ôèëèïïîâà Ã.À. Äâóìåðíàÿ èíòå-
ãðàëüíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíî-ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðîäèíàìè-
÷åñêèõ óñèëèé è ñêîðîñòåé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð – èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü
ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê. ×. 1 //Òàì æå. — 2007. — Âûï. 40. — Ñ. 3 —16.
4. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È., Ôèëèïïîâà Ã. À. Äâóìåðíàÿ
èíòåãðàëüíàÿ ýëåêòðîìàãíèòíî-ãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðî-
äèíàìè÷åñêèõ óñèëèé è ñêîðîñòåé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð — èíäóêöèîííûé ïåðå-
ìåøèâàòåëü ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê. ×. 2 //Òàì æå. — 2007. — Âûï. 41. —
Ñ. 7 — 24.
5. Åâäîêèìîì Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Êîíäðàòåíêî È. Ï., Ïåòðóøåíêî Å. È., Ðàùåïêèí
À. Ï. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ è
ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð—èíäóêöèîííûé ïåðåìåøè-
âàòåëü ñ ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì ìàøèíû íåïðåðûâíîãî ëèòüÿ çàãîòîâîê //
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2007. — 29, ¹ 2. — Ñ. 3 — 15.
Â. Ô. Åâäîêèìîâ, À.Â. Æèëüöîâ, Å.È. Ïåòðóøåíêî
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
6. Æèëüöîâ À. Â. Äâóìåðíàÿ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà âèõðåâûõ
òîêîâ â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð – èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü ñ íåëèíåéíûì
ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì // Òàì æå. — 2007. — 29, ¹ 6. — Ñ. 37 — 46.
7. Æèëüöîâ À. Â. Ìîäåëèðîâàíèå ïåðåõîäíûõ ÌÃÄ ïðîöåññîâ â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ
óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèì ïðîâîäíèêîì è íåëèíåéíûì ìàññèâíûì ìàãíèòîïðîâîäîì íà
îñíîâå ñóììàðíûõ ñõåì // Çá. íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. —
2007. — Âûï. 42. — Ñ. 3 — 22.
8. Åâäîêèìîâ Â. Ô., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. Äâóìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ýëåêòðî-
ìàãíèòîãèäðîäèíàìè÷åñêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ æèäêîé ñòàëè â ñèñòåìå êðèñòàëëèçàòîð —
èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàèå. — 2006. — 28, ¹ 6. —
Ñ. 105 — 114.
9. Äóáîäåëîâ Â. È., Êó÷àåâ À. À., Æèëüöîâ À. Â., Ïåòðóøåíêî Å. È. ×èñëåííîå ìîäåëè-
ðîâàíèå äâóìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé â æèäêîé ñòàëè â ñèñòåìå êðè-
ñòàëëèçàòîð ÌÍËÇ — äâóõîáìîòî÷íûé èíäóêöèîííûé ïåðåìåøèâàòåëü // Ìåòàëë è
ëèòüå Óêðàèíû. — 2007. — ¹ 5. — Ñ. 50 — 54.
10. Æèëüöîâ À. Â. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü íåñòàöèîíàðíîãî ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ïðîöåñ-
ñà â êðèñòàëëèçàòîðå ÌÍËÇ íà îñíîâå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Çá.
íàóê. ïðàöü ²ÏÌÅ ³ì. Ã. ª. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðà¿íè. — 2007. — Âûï. 43. — Ñ. 3 — 14
11. Æèëüöîâ À. Â. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà âèõðåâûõ òîêîâ è
ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèõ óñèëèé â ýëåêòðîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ ñ æèäêèìè ïðîâîä-
íèêàìè, ñîñòîÿùèìè èç ñîîñíî ðàñïîëîæåííûõ òåë âðàùåíèÿ // Òàì æå. — 2007. —
Âûï. 39. — Ñ. 3 — 12.
12. Æèëüöîâ À. Â. Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíàÿ ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà ïîëÿ ñêîðîñòåé â
æèäêîì ïðîâîäíèêå ýëåêòðîòåõíè÷åñêîãî óñòðîéñòâà, ñîñòîÿùåãî èç ñîîñíî ðàñïîëî-
æåííûõ òåë âðàùåíèÿ // Òàì æå. — 2007. — Âûï. 38. — Ñ. 3 — 9.
13. Øåðêëèô Äæ. Êóðñ ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè. — Ì. : Ìèð, 1967. — 320 ñ.
Ïîñòóïèëà 18.11.08
ÅÂÄÎÊÈÌΠÂèêòîð Ôåäîðîâè÷, ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëè-
ðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè-
÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû è óñòðîéñòâà äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ, ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå ýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåì.
ÆÈËÜÖÎÂ Àíäðåé Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì ìîäå-
ëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1997 ã. îêîí÷èë Ñèìôåðîïîëüñêèé
ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì. Â. Ôðóíçå (Òàâðè÷åñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì.
Â. È. Âåðíàäñêîãî). Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû ýëåêòðîòåõíèêè,
ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîìàãíèòíûõ, ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ.
ÏÅÒÐÓØÅÍÊÎ Åâãåíèé Èâàíîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð., çàâ. îòäåëîì Èí-òà
ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1963 ã. îêîí÷èë
Ðîñòîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå
ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïîëåé.
Òðåõìåðíàÿ èíòåãðàëüíàÿ ìîäåëü ðàñïðåäåëåíèÿ âèõðåâûõ òîêîâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 15
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101438 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:19:36Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Петрушенко, Е.И. 2016-06-03T16:14:49Z 2016-06-03T16:14:49Z 2009 Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали / В.Ф. Евдокимов, А.В. Жильцов, Е.И. Петрушенко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 3-15. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101438 621.365.6:621.791.753 Впервые получена система интегро-дифференциальных уравнений для плотности вихревых токов (интегральных по пространственным переменным и дифференциальным по времени) с учетом влияния скорости потоков в расплаве. Эта система уравнений позволяет повысить точность расчета электродинамических усилий в ковш-печи при любых режимах перемешивания. Вперше отримано систему інтегро-диференціальних рівнянь для густини вихрових струмів (інтегральних по просторовим змінним і диференціальних за часом) з урахуванням впливу швидкості потоків у розплаві. Ця система рівнянь дозволяє підвищити точність розрахунку електродинамічних зусиль у ковші-печі при будь-яких режимах перемішування. A system of integro-differential equations for eddy currents density (space integration and time differentiation) is first obtained with regard for the effect of flow velocity in the melt. The system of equations allows to increase the calculation accuracy of electrodynamic forces in the ladle in any stirring conditions. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали Three-Dimensional Model of Eddy Flows Distribution in the Ladle-Furnace System – the Induction Stirrer in the Preset Field of Flow Velocities in the Steel Melt Article published earlier |
| spellingShingle | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали Евдокимов, В.Ф. Жильцов, А.В. Петрушенко, Е.И. Математические методы и модели |
| title | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| title_alt | Three-Dimensional Model of Eddy Flows Distribution in the Ladle-Furnace System – the Induction Stirrer in the Preset Field of Flow Velocities in the Steel Melt |
| title_full | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| title_fullStr | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| title_full_unstemmed | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| title_short | Трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| title_sort | трехмерная интегральная модель распределения вихревых токов в системе ковш-печь — индукционный перемешиватель на заданном поле скоростей потоков в расплаве стали |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101438 |
| work_keys_str_mv | AT evdokimovvf trehmernaâintegralʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvsistemekovšpečʹindukcionnyiperemešivatelʹnazadannompoleskorosteipotokovvrasplavestali AT žilʹcovav trehmernaâintegralʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvsistemekovšpečʹindukcionnyiperemešivatelʹnazadannompoleskorosteipotokovvrasplavestali AT petrušenkoei trehmernaâintegralʹnaâmodelʹraspredeleniâvihrevyhtokovvsistemekovšpečʹindukcionnyiperemešivatelʹnazadannompoleskorosteipotokovvrasplavestali AT evdokimovvf threedimensionalmodelofeddyflowsdistributionintheladlefurnacesystemtheinductionstirrerinthepresetfieldofflowvelocitiesinthesteelmelt AT žilʹcovav threedimensionalmodelofeddyflowsdistributionintheladlefurnacesystemtheinductionstirrerinthepresetfieldofflowvelocitiesinthesteelmelt AT petrušenkoei threedimensionalmodelofeddyflowsdistributionintheladlefurnacesystemtheinductionstirrerinthepresetfieldofflowvelocitiesinthesteelmelt |