Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций
Two techniques of the account of joining conditions arising in bodies, consisting of parts with various physical characteristics, with the use of the R-functions theory are considered in the paper. The preference is given to the technique rather based on representation of structures of solutions by...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101440 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций / К.В. Максименко-Шейко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101440 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
Максименко-Шейко, К.В. 2016-06-03T16:17:46Z 2016-06-03T16:17:46Z 2009 Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций / К.В. Максименко-Шейко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101440 532.5 + 536.24 Two techniques of the account of joining conditions arising in bodies, consisting of parts with various physical characteristics, with the use of the R-functions theory are considered in the paper. The preference is given to the technique rather based on representation of structures of solutions by various analytical expressions in various subareas, than on special transformations of coordinates. Numerical results are given. Рассмотрены две методики учета условий стыковки, возникающих в телах, состоящих из частей с различными физическими характеристиками, с использованием теории R-функций. Отдано предпочтение методике, основанной на представлении структур решений различными аналитическими выражениями в различных подобластях, а не на специальных преобразованиях координат. Приведены численные результаты. Розглянуто дві методики врахування умов стикування, які виникають у тілах, що складаються з частин з різними фізичними характеристиками, з використанням теорії R-функцій. Надано перевагу методиці, яку засновано на представленні структур розв’язків різними аналітичними виразами, а не на спеціальних перетвореннях координат. Наведено чисельні результати. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций Mathematical Modeling of Electrostate Fields in Piecewise-Homogeneous Bodies of Complex Shape by R-Functions Methods Article published earlier |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| title |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций |
| spellingShingle |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций Максименко-Шейко, К.В. Математические методы и модели |
| title_short |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций |
| title_full |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций |
| title_fullStr |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций |
| title_full_unstemmed |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций |
| title_sort |
математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом r-функций |
| author |
Максименко-Шейко, К.В. |
| author_facet |
Максименко-Шейко, К.В. |
| topic |
Математические методы и модели |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| publishDate |
2009 |
| language |
Russian |
| container_title |
Электронное моделирование |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| format |
Article |
| title_alt |
Mathematical Modeling of Electrostate Fields in Piecewise-Homogeneous Bodies of Complex Shape by R-Functions Methods |
| description |
Two techniques of the account of joining conditions arising in bodies, consisting of parts with various physical characteristics, with the use of the R-functions theory are considered in the paper. The preference is given to the technique rather based on representation of structures of solutions by various analytical expressions in various subareas, than on special transformations of coordinates. Numerical results are given.
Рассмотрены две методики учета условий стыковки, возникающих в телах, состоящих из частей с различными физическими характеристиками, с использованием теории R-функций. Отдано предпочтение методике, основанной на представлении структур решений различными аналитическими выражениями в различных подобластях, а не на специальных преобразованиях координат. Приведены численные результаты.
Розглянуто дві методики врахування умов стикування, які виникають у тілах, що складаються з частин з різними фізичними характеристиками, з використанням теорії R-функцій. Надано перевагу методиці, яку засновано на представленні структур розв’язків різними аналітичними виразами, а не на спеціальних перетвореннях координат. Наведено чисельні результати.
|
| issn |
0204-3572 |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101440 |
| citation_txt |
Математическое моделирование электростатических полей в кусочно-однородных телах сложной формы методом R-функций / К.В. Максименко-Шейко // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 33-42. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT maksimenkošeikokv matematičeskoemodelirovanieélektrostatičeskihpoleivkusočnoodnorodnyhtelahsložnoiformymetodomrfunkcii AT maksimenkošeikokv mathematicalmodelingofelectrostatefieldsinpiecewisehomogeneousbodiesofcomplexshapebyrfunctionsmethods |
| first_indexed |
2025-11-26T21:12:00Z |
| last_indexed |
2025-11-26T21:12:00Z |
| _version_ |
1850772941523910656 |
| fulltext |
ÓÄÊ 532.5 + 536.24
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìàøèíîñòðîåíèÿ
èì. À.Í. Ïîäãîðíîãî ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 61046, Õàðüêîâ, óë. Äì. Ïîæàðñêîãî, 2/10,
òåë. (0572) 942774, Å-mail:sheyko@ipmach.kharkov.ua),
Õàðüêîâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â.Í. Êàðàçèíà
(Óêðàèíà, 61077, Õàðüêîâ, ïë. Ñâîáîäû, 4)
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé â êóñî÷íî-îäíîðîäíûõ
òåëàõ ñëîæíîé ôîðìû ìåòîäîì R-ôóíêöèé
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèëà êàíä. òåõí. íàóê Ý. Ï. Ñåìàãèíà)
Ðàññìîòðåíû äâå ìåòîäèêè ó÷åòà óñëîâèé ñòûêîâêè, âîçíèêàþùèõ â òåëàõ, ñîñòîÿùèõ èç
÷àñòåé ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðèè R-ôóíêöèé.
Îòäàíî ïðåäïî÷òåíèå ìåòîäèêå, îñíîâàííîé íà ïðåäñòàâëåíèè ñòðóêòóð ðåøåíèé ðàçëè÷-
íûìè àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè â ðàçëè÷íûõ ïîäîáëàñòÿõ, à íå íà ñïåöèàëüíûõ ïðåîáðà-
çîâàíèÿõ êîîðäèíàò. Ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû.
Ðîçãëÿíóòî äâ³ ìåòîäèêè âðàõóâàííÿ óìîâ ñòèêóâàííÿ, ÿê³ âèíèêàþòü ó ò³ëàõ, ùî ñêëàäàþòüñÿ
ç ÷àñòèí ç ð³çíèìè ô³çè÷íèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ç âèêîðèñòàííÿì òåî𳿠R-ôóíêö³é. Íàäàíî
ïåðåâàãó ìåòîäèö³, ÿêó çàñíîâàíî íà ïðåäñòàâëåíí³ ñòðóêòóð ðîçâ’ÿçê³â ð³çíèìè àíàë³òè÷íèìè
âèðàçàìè, à íå íà ñïåö³àëüíèõ ïåðåòâîðåííÿõ êîîðäèíàò. Íàâåäåíî ÷èñåëüí³ ðåçóëüòàòè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìåòîä R-ôóíêöèé, ñòðóêòóðû ðåøåíèé, êóñî÷íî-îäíîðîäíûå
ñðåäû, ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà, ìåòîä Ðèòöà.
×åì îáøèðíåå ïðèëîæåíèÿ òîé èëè èíîé íàó÷íîé äèñöèïëèíû, òåì áîëü-
øåå çíà÷åíèå èìååò ñîâåðøåíñòâîâàíèå è ðàçðàáîòêà åå íàó÷íûõ ìåòîäîâ.
 çàäà÷àõ ñ ðàçðûâàìè ïåðâîãî ðîäà áîëüøîå çíà÷åíèå âñåãäà èìååò
ýêñïåðèìåíò. Îäíàêî â ïîñëåäíèå äåñÿòèëåòèÿ çàìåòíî âîçðîñëà ðîëü
òåîðåòè÷åñêèõ (ìàòåìàòè÷åñêèõ) ìåòîäîâ èññëåäîâàíèÿ. Ýòà òåíäåíöèÿ,
ñâÿçàííàÿ ñ äîñòèæåíèÿìè âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è ðàçâèòèåì âû-
÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, íåñîìíåííî áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ è â äàëüíåéøåì.
Ïëîäîòâîðíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â òåîðèè çàäà÷
ðàñ÷åòà ïîëåé äëÿ òåë, ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ èìåþò ðàçðû-
âû ïåðâîãî ðîäà, îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè: íàëè÷èåì õîðîøî
îáîñíîâàííûõ è äîñòàòî÷íî óíèâåðñàëüíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è
âîçìîæíîñòüþ ïîëó÷èòü ðåøåíèå óêàçàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé è äîâåñ-
òè åãî äî ÷èñëà.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 33
 çàäà÷àõ òåïëîïðîâîäíîñòè, ýëåêòðîñòàòèêè, òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ
òåë, ñîñòîÿùèõ èç ÷àñòåé ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè
(êîýôôèöèåíòû òåïëîïðîâîäíîñòè, äèýëåêòðè÷åñêèå ïðîíèöàåìîñòè, óïðó-
ãèå ïîñòîÿííûå) êðîìå îáû÷íûõ êðàåâûõ óñëîâèé íà ãðàíèöå ðàññìàò-
ðèâàåìîãî òåëà � ïîÿâëÿþòñÿ óñëîâèÿ ñòûêîâêè íà ãðàíèöàõ �� ij ìåæäó
ñîñòàâëÿþùèìè åãî ÷àñòÿìè (ðèñ. 1, ñì. âêëåéêó). Âèä ýòèõ óñëîâèé îïðåäå-
ëÿåòñÿ ôèçè÷åñêîé ïîñòàíîâêîé çàäà÷è [1—8]. Íàïðèìåð, â çàäà÷àõ ýëåêòðî-
ñòàòèêè è òåïëîïðîâîäíîñòè [1, 3] ðàññìàòðèâàþòñÿ óñëîâèÿ âèäà
u ui j
ij ij� �� �� �
�
0 0
, �
�
�
�
�
�
� �
i
i
i
j
j
j
u
n
u
n
ij ij
� �� �
�
0 0
, (1)
ãäå ui , u j — ðåøåíèÿ â ïîäîáëàñòÿõ � i , � j ; � i , � j — èõ ôèçè÷åñêèå
õàðàêòåðèñòèêè.
 ðàáîòàõ [1—5] ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå òèïû óñëîâèé ñòûêîâêè,
îäíàêî âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïîñëå ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðû ðåøåíèÿ u B� ( )� ,
ó÷èòûâàþùåé êðàåâûå óñëîâèÿ íà âíåøíåé ãðàíèöå ��, âûïîëíÿëîñü ñî-
õðàíÿþùåå ãðàíèöó �� îòîáðàæåíèå:
Q x x x x� � �{ ( ) ( )}
1 2
, x x i
1 1
�{ }, x x i�{ },
�{ }i , i �1 2, ,
ãäå �0 — óðàâíåíèå âíåøíåé ãðàíèöû;
i — íåêîòîðûå ñïåöèàëüíî
âûáèðàåìûå ôóíêöèè â çàâèñèìîñòè îò âèäà óñëîâèé ñòûêîâêè.
Ïåðâîå óñëîâèå (1) áóäåò âûïîëíåíî, åñëè
�{ }i — íåïðåðûâíûå
ôóíêöèè, à äëÿ âûïîëíåíèÿ âòîðîãî óñëîâèÿ (1) íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïî
íîðìàëè ê �� ij ôóíêöèè
�{ }i èìåëè ðàçðûâ ïåðâîãî ðîäà. Èõ ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå [1, 2]
�
�
�
i
ij
ij
ij
ix
�
�
2 2
, �
� �
� �
�
�
�
j i
j i
è ëåãêî îáîáùèòü äëÿ íåñêîëüêèõ ïîäîáëàñòåé:
Q x x
x
s
s
S
s
s
s
s
s
S
s� � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
� �
1
1
2
2 2
2
1
2
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
,
ãäå � s s�
�1
(s S�1, ), �
� �
� �
s
s
s
�
�
�
0
0
, èëè �
� �
� �
s
s s
s s
�
�
�
�
�
1
1
ïðè ðàçëè÷íîì ðàñïîëî-
æåíèè ïîäîáëàñòåé (çäåñü s — íîðìàëèçîâàííîå óðàâíåíèå ãðàíèö ðàç-
äåëà ñðåä).
Îäíàêî ïðè ïðàêòè÷åñêîì èñïîëüçîâàíèè ýòîé ìåòîäèêè íåîáõîäèìî
â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå ïðîâåðÿòü ïðèíàäëåæíîñòü îáðàçà îòîáðà-
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
æåíèÿ Q îáëàñòè� �� � . Äîïîëíèòåëüíûå òðóäíîñòè âîçíèêàþò â ðåçóëü-
òàòå äåôîðìàöèè ñåòêè ñïëàéíîâ ïðè îòîáðàæåíèè Q, ÷òî óñëîæíÿåò îðãà-
íèçàöèþ âû÷èñëåíèÿ êâàäðàòóð. Ýòè ôàêòîðû îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå
âëèÿíèå ïðè ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè çàäà÷ ñ áîëüøèì ðàçáðîñîì çíà÷åíèé
ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ.
Äðóãàÿ ìåòîäèêà ó÷åòà óñëîâèé ñòûêîâêè îñíîâàíà íà ïðåäñòàâëåíèè
ñòðóêòóð ðåøåíèÿ ðàçëè÷íûìè àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè â ðàçëè÷-
íûõ ïîäîáëàñòÿõ [2, 6].
Ìàòåìàòè÷åñêîå è êîìïüþòåðíîå ìîäåëèðîâàíèå. Ïîñòðîèì ìàòå-
ìàòè÷åñêèå ìîäåëè è èññëåäóåì ñ ïîìîùüþ ìåòîäà R-ôóíêöèé çàäà÷ó
ðàñ÷åòà ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé äëÿ òåë, ôèçè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè
êîòîðûõ èìåþò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà.
Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå
div grad( )� i iu �0 (2)
â êîíå÷íîé îáëàñòè � ñ êóñî÷íî-îäíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè ïðè êðàåâûõ
óñëîâèÿõ ñìåøàííîãî òèïà
u
�
�
�
1
1
� , u
�
�
�
2
2
� ,
�
� �
u
n �
3
0�
(3)
è óñëîâèÿõ ñòûêîâêè (1).  äàííîì ñëó÷àå ñòðóêòóðó ðåøåíèÿ ìîæíî
ïðåäñòàâèòü â âèäå
u B D Bi i i
i
� �( ) � ( )
( )
� ��
1
, �
�
�
�i i� , (4)
ãäå
0
0� — óðàâíåíèå âíåøíåé ãðàíèöû; i �0 — íîðìàëèçîâàííûå
óðàâíåíèÿ ãðàíèöû �� i ïîäîáëàñòåé � (äîïóñêàåòñÿ èñêëþ÷åíèå ó÷àñò-
êîâ, ïðèíàäëåæàùèõ ��); � i — ïîñòîÿííûå, îïðåäåëÿåìûå èç (1); B( )� —
ñòðóêòóðà ðåøåíèÿ, â êîòîðîé ó÷òåíû êðàåâûå óñëîâèÿ íà âíåøíåé ãðà-
íèöå �� [5].
Èç (4) ñëåäóåò, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå (1) óäîâëåòâîðÿåòñÿ àâòîìàòè÷åñêè
ââèäó òîãî, ÷òî i �0 íà �� i . ×òîáû óäîâëåòâîðèòü âòîðîìó óñëîâèþ (1),
ïðîäîëæèì
�
�
u
ni
âíóòðü ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîäîáëàñòåé, èñïîëüçóÿ îïåðà-
òîðû D i
1
( )
[5]. Ïîäñòàâèâ (4) â (1), ïîëó÷èì
�
� � � �i
i
i
i
j
i
j
jD B D B D B D B[ ( ) ( )] ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
� � � �� � � ,
D B D Bi j
1 1
( ) ( )
� � .
Îòñþäà
� � � �i i j j(1+ (1+) )� ,
�
�
�
�
i
j
j
i
=
1+
1+
, � �i iM� �1.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 35
Ïîñêîëüêó ïðè óäîâëåòâîðåíèè ñòûêîâî÷íûì óñëîâèÿì èìååò çíà÷åíèå
ëèøü îòíîøåíèå� �i j/ , íà âåëè÷èíû� k ìîæíî íàëîæèòü äîïîëíèòåëüíûå
îãðàíè÷åíèÿ, â ÷àñòíîñòè, âûïîëíåíèå óñëîâèé
� ! � !1 1 1M j� , 0
2
! !M
j�
,
� ! � !1 1 1M i� , 0
2
! !M
i�
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûáîðå � i , � j ñëåäóåò ðóêîâîäñòâîâàòüñÿ îãðàíè-
÷åíèåì
0
2
! !
�
�
�
�
�
�
M
k
min
�
(k = 1, 2, ..., K).
Ñòðóêòóðà (4) ñïðàâåäëèâà ïðè ïðîèçâîëüíîì ðàñïîëîæåíèè ïîäîáëàñòåé
ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè.
Íåîïðåäåëåííàÿ êîìïîíåíòà �, âõîäÿùàÿ â ñòðóêòóðó ðåøåíèÿ [5],
ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
� �
�
�ck k
k
N
"
1
,
ãäå " k — ïîëíàÿ â îáëàñòè � �
# �
$ ñèñòåìà êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé,
" "k k x y� ( , ), k = 1, 2, ..., n. Íåèçâåñòíûå êîýôôèöèåíòû ck ìîæíî îïðåäå-
ëèòü îäíèì èç âàðèàöèîííûõ èëè ïðîåêöèîííûõ ìåòîäîâ.
Äëÿ ðåàëèçàöèè ìåòîäà Ðèòöà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä ê êðàåâîé çàäà-
÷å ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è íà ëèíåàëå ôóíêöèé, èì
óäîâëåòâîðÿþùèõ, ñòðîèòñÿ ôóíêöèîíàë, ýêâèâàëåíòíûé äàííîé êðàåâîé çà-
äà÷å. Äîêàçàâ ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü ñîîòâåòñòâóþùåãî îïåðàòîðà,
ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä Ðèòöà, îáåñïå÷èâ ïðè ýòîì ñõîäèìîñòü ê òî÷íîìó
ðåøåíèþ ïî ýíåðãèè. Ïåðåõîä ê îäíîðîäíûì êðàåâûì óñëîâèÿì îñóùåñòâ-
ëÿåòñÿ çàìåíîé u u u� % �
0
, ãäå u
0
óäîâëåòâîðÿåò êðàåâûì óñëîâèÿì (3).
Òàêèì îáðàçîì, â îáëàñòè � �
# �
$ èùåì ðåøåíèå ñëåäóþùåé ýêâè-
âàëåíòíîé (1)—(3) êðàåâîé çàäà÷è:
Lu Lu% � �
0
,
�
� �
%
�
u
n
H�
0, u
D��
�0, % � %u u
1 2
1 2 1 2
� �� �
, ,
, �
�
�
�
�
�� �
1
1
2
2
1 2 1 2
%
�
%u
n
u
n� �
, ,
.
Äîêàæåì ïîëîæèòåëüíóþ îïðåäåëåííîñòü îïåðàòîðà L íà ëèíåàëå U:
( , )Lu u u u d u u d% % � � % % � % % �
& &
� �
1 1 1 2 2 2 2
2
' � ' �
�
#
�
#
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
� ( % � ( % �
& &
� �
1 1
2
2 2
2
2
2
( ) ( )
�
#
�
#
� �u d u d
� %
%
� %
%
$ $
& &
�
�
�
� �
�
�
� � � �
1 1
1
1
2 2
2
2
2 2 2
� � � �
# # #
�
, ,
u
u
n
d u
u
n
d�� ,
� � �� � � �
#
$
2
, � � �� � �
# # #
� $D H , � � �� � �
2 2 2
� $D H .
Ó÷èòûâàÿ îäíîðîäíûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ Äèðèõëå íà êîíòóðàõ ��
1D ,
��
2D , îäíîðîäíûå óñëîâèÿ Íåéìàíà íà êîíòóðàõ ��
1H , ��
2H è óñëîâèÿ
ñòûêîâêè íà ��
12
, ïîëó÷àåì
( , ) ( ) ( )Lu u u d u d% % � ( % � ( %
& &
� �
1 1
2
2 2
2
2
2
�
#
�
#
� �
ïðè ( )� �
1 2
0 ) , è â ñèëó íåðàâåíñòâà Ôðèäðèõñà [4] ( , )Lu u u% % * �
2 2
.
Ðàññìîòðèì òåñòîâûé ïðèìåð ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è äëÿ îáëàñòè,
èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 2, à (ñì. âêëåéêó).
div grad( )� i u �0, (5)
u
y b��
� �1, u
y b�
�1,
�
�
u
n x a�+
�0,
(6)
u u
1 0 2 0
12 12
� �� �� �
� , �
�
�
�
�
�
� �
1
1
1 0
2
2
2 0
12 12
u
n
u
n
� �� �
� .
(7)
Çäåñü
s
y c y
c
l y, �
�
- � � �
12 0
0
( )
( ) .
Òî÷íîå ðåøåíèå ïðè a �2, b � 4, c �0 5, , l �1èìååò âèä
u u u u u u u u u u ut �
.
/
0
.
/
0 � � � � � � � � �
1
2
1
2
1
2
1
2
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3
( ) ( )
1
2
3� �u
4
�
.
/
0 � � � � � � � � �
1
2
3 �
11
2
1
2
1
2
1 2 1 2 3 1 2 1 2 3 4
( ) ( )u u u u u u u u u u u
2
3 ,
ãäå
u c y c
1 1 1
4 1� � � ; u c y c k
2 2 2
1 3 1� � � �( ) ;
u c y c k
3 3 2
1 3 1� � � �( ) ; u c y c
4 4 2
1 4� � � ;
k �
�
�
2
1
; c
k
k
1
2 2
�
�
; c
k
2
1
2 2
�
�
; c
k
k
3
2 2
�
�
; c
k
4
1
2 2
�
�
.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 37
Ñòðóêòóðà ðåøåíèÿ ñ ó÷åòîì ãëàâíûõ êðàåâûõ óñëîâèé íà âíåøíåé
ãðàíèöå èìååò âèä
B
y
b
b y
b
( )� �� �
�
2 2
2
,
ãäå
u
y
b
0
� ; % �
�
u
b y
b
2 2
2
�.
Çàäà÷à ðåøåíà ìåòîäîì Ðèòöà ïðè �
1
1� , �
2
100� è �
1
100� , �
2
1� , ò. å.
ïðè áîëüøîì ðàçáðîñå çíà÷åíèé ýëåêòðîïðîâîäíîñòè.  êà÷åñòâå àïïðîê-
ñèìèðóþùèõ ôóíêöèé èñïîëüçîâàíû êóáè÷åñêèå ñïëàéíû Øåíáåðãà (ïî-
ðÿäîê àïïðîêñèìèðóþùåãî ïðîñòðàíñòâà 80 4160), à êîýôôèöèåíòû ñèñòå-
ìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé íàéäåíû â âèäå
{ }c E
u
x
u
x
u
y
u
y
dij
i j i j
�
% %
�
% %
.
/
0
1
2
3
&&
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
,
{ }b E
u
x
u
x
u
y
u
y
di
i i
� �
%
�
%.
/
0
1
2
3
&&
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 0
,
ãäå
E s
s
s
S
� �
�
�
�
2
1
1
( ).
Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 2, á, â (ñì. âêëåéêó) è ðèñ. 3.
Ìàêñèìàëüíàÿ íîðìèðîâàííàÿ ïîãðåøíîñòü ïî îáëàñòè íå ïðåâûøàåò 1 % .
Çàäà÷à (5)—(7) ðåøåíà òàêæå äëÿ îáëàñòè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 4.
Îïèøåì ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ñòðóêòóðû ðåøåíèÿ è ôóíêöèé ãðàíèö
f
a x
a
1
2 2
2
�
�
; f
b x
a
2
2 2
2
�
�
;
0 1 0 2
� f f ;
f
m x d
m
m y c
m
3
2 2
0
2 2
2 2
�
� �.
/
0
0
1
2
3
3
� �.
/
0
0
1
2
3
3
( ) ( ) )
;
f
k x d
k
k y c
k
4
2 2
0
2 2
2 2
�
� �.
/
0
0
1
2
3
3
-
� �.
/
0
0
1
2
3
3
( ) ( ) )
;
b b y� � ; n b y� � ; s f f�
3 0 4
; ss s�
0
2
0
;
E sign w sign ws s� � � �
� �
1 2
2
1
2
1( ) ( ) ;
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
u n b
n b
01
�
�
�
; u
u
sign
u D u
signs
ss
s
s
0
01 01 1 01
2
1
2
1� � �
�
�( )
( )
( )
( )
�
;
u f
11 2
� �; u
u
sign
u D u
signs
ss
s
s
1 11 11 1 11
2
1
2
1� � �
�
�( )
( )
( )
( )
�
.
Çàäàíèå ãåîìåòðè÷åñêîé è ôèçè÷åñêîé èíôîðìàöèè ñ áóêâåííûìè
ïàðàìåòðàìè ïîçâîëÿåò â ðàìêàõ îäíîé ïðîãðàììû ïðîâîäèòü ìíîãîâà-
ðèàíòíûå ðàñ÷åòû, èçìåíÿÿ êàê ðàñïîëîæåíèå è êîíôèãóðàöèþ ñðåä, òàê è
çíà÷åíèÿ èõ ôèçè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Ïðèâåäåì òåêñò ïðîãðàììû íà
âõîäíîì ÿçûêå ñèñòåìû ÏÎËÅ-RL:
declare
spli p;
pol0 a,b,c,d,m,k,e1,e2;
omega
f1=(a*a-x*x)/2/a; f2=(b*b-y*y)/2/b;
x1=x-d; y1=y-c;
f3=((m*m-x1*x1)/2/m)&((m*m-y1*y1)/2/m);
f4=((k*k-x1*x1)/2/k)!((k*k-y1*y1)/2/k);
w1=b-y;w2=b+y;
ws=f3&f4;wo=f1&f2;
wss=(wo*wo)&ws;
w=wo;
function
om=w; del=0.5;
E=e1*(1+signum(ws))/2+e2*(1-signum(ws))/2;
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 39
Ðèñ. 3. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ â ñå÷åíèè
x � 0 ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ �i: 1 — � �
1 2
: �
�100 1: ; 2 — � �
1 2
1 100: :�
Ðèñ. 4. Ñõåìà ðàñïîëîæåíèÿ êóñî÷íî-
îäíîðîäíûõ ñðåä
�
�
u
n
� 0
u �1
�
�
u
n
� 0
u ��1
2
1
1, 0000
�1, 0000
�4, 0000 �4, 0000
u0=(w2-w1)/(w1+w2);dovu0=u0+del*wss*d1(ws,u0);
u01=dovu0*(1+signum(ws))/2+u0*(1-signum(ws))/2;
u1=f2*p; dovu1=u1+del*wss*d1(ws,u1);
u11=dovu1*(1+signum(ws))/2+u1*(1-signum(ws))/2;
function
u=sum(1,u01,u11);
program
filexy(pp,fs);
inspli(s1,fa1,fb1);pro;
filexy(pp,fu); filex(pt1,fu);>filex(pt2,fu);
fa1(u11)=E*(u11(i,2)*u11(j,2)+u11(i,3)*u11(j,3));
fb1(u11)=E*(-u01(2)*u11(i,2)-u01(3)*u11(i,3));
aa=ai(1); bb=bi(1);
fu(u)=u; fs(u11)=E;
end
value
const=1,1,1, 3, 1000,1,1;
tabl=4,160,320,0,0, 2,1,1,1,1;
pp1=-2,-4,2,4; s1=6,pp1; p=1,pp1;
a=2;b=4; c=(-2,1,2,0);d=(0,0,0,2);m=(1.5,1.5,1.5,3);
k=(0.5,0.5,1.5,0.5); e1=(1,100,100,1);e2=(100,1,1,100);
pp=100,pp1; pt1=10,10,pp1,0; pt2=10,10,pp1,-1;
end
Íà ðèñ. 5 (ñì. âêëåéêó) ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû äàííîé ïðî-
ãðàììû ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ áóêâåííûõ ïàðàìåòðîâ, îòìå÷åííûõ â
ëèñòèíãå æèðíûì øðèôòîì. ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ ïðîâîäèëàñü ñ òåìè æå
àïïðîêñèìàöèîííûìè ñðåäñòâàìè, ÷òî è â ïðåäûäóùåé çàäà÷å (ïîðÿäîê
àïïðîêñèìèðóþùåãî ïðîñòðàíñòâà 160 4 320). Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èçìå-
íåíèå áóêâåííûõ ïàðàìåòðîâ ïîçâîëÿåò íå òîëüêî èçìåíÿòü ïîëîæåíèå è
ðàçìåðû âñòàâêè, íî è åå âèä: â äàííîì ïðèìåðå ýòî ìîæåò áûòü êðåñò,
êâàäðàò è ïðÿìîóãîëüíèê.
Çàäà÷à (5)—(6) áûëà ðåøåíà òàêæå äëÿ îáëàñòè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ.6, à (ñì. âêëåéêó) ïðè óñëîâèÿõ
u u
1 0 2 0
12 12
� �� �� �
� , �
�
�
�
�
�
� �
1
1
1 0
2
2
2 0
12 12
u
n
u
n
� �� �
� ,
u u
2 0 3 0
23 23
� �� �� �
� , �
�
�
�
�
�
� �
2
2
2 0
3
3
3 0
23 23
u
n
u
n
� �� �
� .
(8)
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Çäåñü
s
x y R
R
1
2 2 2
2
�
� �
; s
R x y
R
x y r
r
2
2 2 2
0
2 2 2
2 2
�
� �.
/
0
0
1
2
3
3
� �.
/
0
0
1
2
3
3
;
s
r x y
r
3
2 2 2
2
�
� �
;
0 1 0 2 0 0
2 05� � - �( ) (( ) ( , ))f f y x ;
E w w ws s s� � � � � �
� � �
1
1
2
2
3
2
1
2
1
2
1( ) ( ) (signum signum signum
3
) .
Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 6, á, â (ñì. âêëåéêó) è íà ðèñ. 7.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ îöåíêè äîñòîâåðíîñòè ðåçóëüòàòîâ âñå ðàñ-
ñìîòðåííûå çàäà÷è áûëè òàêæå ðåøåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòðóêòóð, óäîâ-
ëåòâîðÿþùèõ ëèøü ãëàâíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì êàê íà âíåøíåé ãðàíè-
öå, òàê è íà ãðàíèöàõ ðàçäåëà ñðåä.  ýòîì ñëó÷àå ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü
èñïîëüçîâàòü ëèíåéíûå ñïëàéíû, îäíàêî äëÿ äîñòèæåíèÿ òðåáóåìîé òî÷-
íîñòè ïðèøëîñü ñóùåñòâåííî óâåëè÷èòü ðàçìåðíîñòü àïïðîêñèìàöèîí-
íîãî ïðîñòðàíñòâà.
Âûâîäû. Òàêèì îáðàçîì, ìåòîäèêà, îñíîâàííàÿ íà ïðåäñòàâëåíèè
ñòðóêòóð ðåøåíèé ðàçëè÷íûìè àíàëèòè÷åñêèìè âûðàæåíèÿìè â ðàçëè÷-
íûõ ïîäîáëàñòÿõ, ïîçâîëÿåò áåç äîïîëíèòåëüíûõ èññëåäîâàíèé ïðîâîäèòü
âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ñ èñïîëüçîâàíèåì ñïëàéí-àïïðîêñèìàöèè
ïðè áîëüøèõ ðàçáðîñàõ çíà÷åíèé ôèçè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåò-
ðîâ ñðåä. Ìåòîä R-ôóíêöèé ñ èñïîëüçîâàíèåì áóêâåííûõ ïàðàìåòðîâ
ïîçâîëÿåò â ðàìêàõ îäíîé ïðîãðàììû íå òîëüêî èçìåíÿòü ïîëîæåíèå è
ðàçìåðû ñðåä-âñòàâîê, íî è èõ âèä. Ðåøåíèÿ ïîëó÷åíû íà îñíîâå ìåòîäà
Ðèòöà.
Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ïîëåé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 41
Ðèñ. 7. Ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëÿ â ñå÷åíèè x � 0 äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé �i: 1 —
� � �
1 2 3
20 1 100: : : :� ; 2 — � � �
1 2 3
100 5 1: : : :�
1
2
1, 0000
�1, 0000
�4, 0000 �4, 0000
Two techniques of the account of joining conditions arising in bodies, consisting of parts with
various physical characteristics, with the use of the R-functions theory are considered in the
paper. The preference is given to the technique rather based on representation of structures of
solutions by various analytical expressions in various subareas, than on special transformations
of coordinates. Numerical results are given.
1. Ìàíüêî Ã. Ï., Ðâà÷åâ Â. Ë. Êîíñòðóèðîâàíèå ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ ñ ðàçðûâíûìè
ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè è óñëîâèÿìè ñîïðÿæåíèÿ äëÿ îáëàñòåé ñëîæíîé ôîðìû //
Òåîðåòè÷åñêàÿ ýëåêòðîòåõíèêà. Âûï. 13. — Ëüâîâ : Èçä-âî Ëüâîâñêîãî óí-òà, 1972. —
Ñ. 124—128.
2. Ðâà÷åâ Â. Ë., Ñëåñàðåíêî À. Ï. Àëãåáðà ëîãèêè è èíòåãðàëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ â
êðàåâûõ çàäà÷àõ. — Ê. : Íàóê. äóìêà, 1976. — 287 ñ.
3. Ðâà÷åâ Â. Ë., Ñëåñàðåíêî À. Ï., Ëèòâèí Í. Í. Ðàñ÷åò òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ êóñî÷íî-
îäíîðîäíûõ òåë ñëîæíîé ôîðìû //Òåïëîôèçèêà è òåïëîòåõíèêà. Âûï. 32. — Ê. : Íàóê.
äóìêà, 1977. — Ñ. 18—22.
4. Øåéêî Ò. È. Ìåòîä R-ôóíêöèé â çàäà÷å î ïðîâîäèìîñòè íåîäíîðîäíîé ñðåäû â
ìàãíèòíîì ïîëå // Æóðíàë òåõíè÷åñêîé ôèçèêè. — 1979. — 49, âûï. 12. — Ñ. 2527—
2534.
5. Ðâà÷åâ Â. Ë. Òåîðèÿ R-ôóíêöèé è íåêîòîðûå åå ïðèëîæåíèÿ. — Ê. : Íàóê.äóìêà, 1982. —
551 ñ.
6. Ðâà÷åâ Â. Ë., Øåéêî Ò. È. Ìåòîä R-ôóíêöèé â çàäà÷àõ ðàñ÷åòà ïîëåé äëÿ òåë, ôèçè-
÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðûõ èìåþò ðàçðûâû ïåðâîãî ðîäà //Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìà-
òèêà è ìåõàíèêà. — 1984. — 48, ¹ 5.— Ñ. 873—877.
7. Ðâà÷åâ Â. Ë., Ñëåñàðåíêî À. Ï. Àëãåáðî-ëîãè÷åñêèå è ïðîåêöèîííûå ìåòîäû â çàäà÷àõ
òåïëîîáìåíà. — Ê. : Íàóê. äóìêà, 1978. — 138 ñ.
8. Åìåö Þ. Ï. Î ïðîâîäèìîñòè ñðåäû ñ íåîäíîðîäíûìè âêëþ÷åíèÿìè â ìàãíèòíîì ïîëå. —
Æóðíàë òåõíè÷. ôèçèêè. — 1974. — 44, âûï. 5. — Ñ. 916—921.
Ïîñòóïèëà 08.09.08
ÌÀÊÑÈÌÅÍÊÎ-ØÅÉÊÎ Êèðèëë Âëàäèìèðîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ñò. íàó÷. ñîòð. Èí-òà
ïðîáëåì ìàøèíîñòðîåíèÿ èì. À. Í. Ïîäãîðíîãî ÍÀÍ Óêðàèíû, äîöåíò Õàðüêîâñêîãî íàöèî-
íàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. À. Í. Êàðàçèíà, êîòîðûé îêîí÷èë â 2001 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå, òåîðèÿ R-ôóíêöèé.
Ê. Â. Ìàêñèìåíêî-Øåéêî
42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
|