Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике
Выполнен сравнительный анализ характеристик модификаций метода радиальных симметричных функций (RBF) применительно к построению 3D-моделей органов по результатам 2D-и 3D-сканирования. Описана схема построения модели на основе метода компактной RBF и приведены результаты моделирования на примере моде...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101446 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике / Е.А. Башков, В.С. Бабков // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 107-116. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101446 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1014462025-02-23T18:53:37Z Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике Investigation of Possibilities of Using the Method of Radial 3-D Functions and Its Modifications for Construction Surface Computer Models in Medical Practice Башков, Е.А. Бабков, В.С. Применение методов и средств моделирования Выполнен сравнительный анализ характеристик модификаций метода радиальных симметричных функций (RBF) применительно к построению 3D-моделей органов по результатам 2D-и 3D-сканирования. Описана схема построения модели на основе метода компактной RBF и приведены результаты моделирования на примере модели позвонка и головного мозга. Виконано порівняльний аналіз характеристик модифікацій методу радіальних симетричних функцій (RBF) відносно побудови 3D-моделей органів за результатами 2D-і 3D-сканування. Описано схему побудови моделі на основі методу компактної RBF і наведено результати моделювання на прикладі моделі хребця і головного мозку. A comparative analysis of RBF-modification characteristic applied for the construction of 3D-models of organs by 2D and 3D-scanning data is proposed in the work. Outline of the model construction based on compactly supported RBF is described and modeling results for human brain and vertebra are proposed. 2009 Article Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике / Е.А. Башков, В.С. Бабков // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 107-116. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101446 519.711 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования |
| spellingShingle |
Применение методов и средств моделирования Применение методов и средств моделирования Башков, Е.А. Бабков, В.С. Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике Электронное моделирование |
| description |
Выполнен сравнительный анализ характеристик модификаций метода радиальных симметричных функций (RBF) применительно к построению 3D-моделей органов по результатам 2D-и 3D-сканирования. Описана схема построения модели на основе метода компактной RBF и приведены результаты моделирования на примере модели позвонка и головного мозга. |
| format |
Article |
| author |
Башков, Е.А. Бабков, В.С. |
| author_facet |
Башков, Е.А. Бабков, В.С. |
| author_sort |
Башков, Е.А. |
| title |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| title_short |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| title_full |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| title_fullStr |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| title_full_unstemmed |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| title_sort |
исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Применение методов и средств моделирования |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101446 |
| citation_txt |
Исследование возможностей применения метода радиальных симметричных функций и его модификаций для построения поверхностных компьютерных моделей в медицинской практике / Е.А. Башков, В.С. Бабков // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 2. — С. 107-116. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT baškovea issledovanievozmožnostejprimeneniâmetodaradialʹnyhsimmetričnyhfunkcijiegomodifikacijdlâpostroeniâpoverhnostnyhkompʹûternyhmodelejvmedicinskojpraktike AT babkovvs issledovanievozmožnostejprimeneniâmetodaradialʹnyhsimmetričnyhfunkcijiegomodifikacijdlâpostroeniâpoverhnostnyhkompʹûternyhmodelejvmedicinskojpraktike AT baškovea investigationofpossibilitiesofusingthemethodofradial3dfunctionsanditsmodificationsforconstructionsurfacecomputermodelsinmedicalpractice AT babkovvs investigationofpossibilitiesofusingthemethodofradial3dfunctionsanditsmodificationsforconstructionsurfacecomputermodelsinmedicalpractice |
| first_indexed |
2025-11-24T11:56:48Z |
| last_indexed |
2025-11-24T11:56:48Z |
| _version_ |
1849672763824930816 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.711
Å. À. Áàøêîâ, ä-ð òåõí. íàóê, Â. Ñ. Áàáêîâ, àñïèðàíò
Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåò
(Óêðàèíà, 83001, Äîíåöê, óë. Àðòåìà, 58,
òåë. (062) 3010856, Å-mail: victor.babkov@gmail.com)
Èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïðèìåíåíèÿ
ìåòîäà ðàäèàëüíûõ ñèììåòðè÷íûõ ôóíêöèé
è åãî ìîäèôèêàöèé äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîâåðõíîñòíûõ
êîìïüþòåðíûõ ìîäåëåé â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå
Âûïîëíåí ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç õàðàêòåðèñòèê ìîäèôèêàöèé ìåòîäà ðàäèàëüíûõ ñèì-
ìåòðè÷íûõ ôóíêöèé (RBF) ïðèìåíèòåëüíî ê ïîñòðîåíèþ 3D-ìîäåëåé îðãàíîâ ïî ðåçóëü-
òàòàì 2D- è 3D-ñêàíèðîâàíèÿ. Îïèñàíà ñõåìà ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè íà îñíîâå ìåòîäà
êîìïàêòíîé RBF è ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ íà ïðèìåðå ìîäåëè ïîçâîíêà è
ãîëîâíîãî ìîçãà.
Âèêîíàíî ïîð³âíÿëüíèé àíàë³ç õàðàêòåðèñòèê ìîäèô³êàö³é ìåòîäó ðàä³àëüíèõ ñèìåò-
ðè÷íèõ ôóíêö³é (RBF) â³äíîñíî ïîáóäîâè 3D-ìîäåëåé îðãàí³â çà ðåçóëüòàòàìè 2D- ³
3D-ñêàíóâàííÿ. Îïèñàíî ñõåìó ïîáóäîâè ìîäåë³ íà îñíîâ³ ìåòîäó êîìïàêòíî¿ RBF ³ íàâå-
äåíî ðåçóëüòàòè ìîäåëþâàííÿ íà ïðèêëàä³ ìîäåë³ õðåáöÿ ³ ãîëîâíîãî ìîçêó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïðîåêöèîííûå äàííûå, ïîâåðõíîñòü, RBF, ðåêîíñòðóêöèÿ,
3D-ìîäåëü.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè ñóùåñòâóåò
ïðàêòè÷åñêàÿ íåîáõîäèìîñòü â ïîñòðîåíèè òðåõìåðíûõ êîìïüþòåðíûõ
ìîäåëåé ðåàëüíûõ îáúåêòîâ, íàïðèìåð ïðè èññëåäîâàíèè îðãàíîâ ÷åëîâå-
êà â ìåäèöèíå, èçó÷åíèè âíóòðåííåé ñòðóêòóðû îáúåêòîâ ïðè íåðàçðó-
øàþùåì êîíòðîëå, â ðåêîíñòðóêòèâíîé àðõåîëîãèè, êðèìèíàëèñòèêå, ïðè
ñîçäàíèè ñèñòåì âèðòóàëüíîé ðåàëüíîñòè — èìèòàòîðîâ è òðåíàæåðîâ.
Èñõîäíûìè äàííûìè äëÿ ðåêîíñòðóêöèè òàêèõ ìîäåëåé ÿâëÿåòñÿ
èíôîðìàöèÿ, ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå ñêàíèðîâàíèÿ ðåàëüíîãî îáúåêòà ñ
èñïîëüçîâàíèåì îäíîé èç èçâåñòíûõ òåõíîëîãèé 2D- èëè 3D-ñêàíèðî-
âàíèÿ: ðåíòãåíîâñêàÿ êîìïüþòåðíàÿ òîìîãðàôèÿ, ìàãíèòîðåçîíàíñíàÿ òî-
ìîãðàôèÿ, óëüòðàçâóêîâîå èññëåäîâàíèå, ëàçåðíîå òðåõìåðíîå ñêàíèðî-
âàíèå è äð. [1]. Ðåçóëüòàò ñêàíèðîâàíèÿ ïðåäñòàâëåí ïðåèìóùåñòâåííî â
âèäå òî÷å÷íîãî îïèñàíèÿ îáúåêòà (ïîâåðõíîñòè è âíóòðåííåé ñòðóêòóðû).
Ðåçóëüòàòîì ðåêîíñòðóêöèè íà îñíîâå óêàçàííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 107
òðåõìåðíàÿ ìîäåëü â ïîëèãîíàëüíîì, ïîâåðõíîñòíîì èëè èíîì âèäå. Ïî-
ñêîëüêó â ñîâðåìåííûõ ñðåäñòâàõ ñêàíèðîâàíèÿ îáúåêòîâ ÷èñëî òî÷åê íà
âûõîäå ñîñòàâëÿåò îò 10
4
äî 10
6
, ïîëèãîíàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå ñòàíîâèòñÿ
íåðàöèîíàëüíûì. Ïîýòîìó èññëåäîâàòåëè â ïåðâóþ î÷åðåäü óäåëÿþò âíè-
ìàíèå ïîëó÷åíèþ ìîäåëåé íà îñíîâå ïîâåðõíîñòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ, ó÷è-
òûâàÿ òî, ÷òî îíî, ïî îöåíêàì ýêñïåðòîâ, ïîçâîëÿåò ïîëó÷àòü áîëåå ðåàëèñ-
òè÷íûå ìîäåëè è ëåãêî óñòðàíÿòü òàêèå äåôåêòû êàê íåïîëíîòà âõîäíûõ
äàííûõ, èõ ïîâðåæäåíèÿ è äð. [2].
Ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî ìåòîäîâ ïîëó÷åíèÿ ïîäîáíûõ ìîäåëåé. Ïðî-
âåäåì ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ñóùåñòâóþùèõ ìåòîäîâ è îöåíèì âîçìîæ-
íîñòü èõ ïðèìåíåíèÿ â ñîñòàâå ïðîãðàììíîé ñèñòåìû äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ
îáúåêòîâ â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå [3].
Ïîñòðîåíèå ìîäåëè îáúåêòà â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå íà îñíîâå
ïðîåêöèîííûõ äàííûõ. Ìîäåëè îáúåêòîâ â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå èìåþò
ñëåäóþùèå îñîáåííîñòè [3]:
çíà÷èòåëüíîå ÷èñëî ïðîåêöèîííûõ òî÷åê (10
4
—10
6
), ÷òî îáóñëîâëåíî
îñîáåííîñòÿìè ïîëó÷åíèÿ ïðîåêöèîííûõ äàííûõ êàê ñîâîêóïíîñòè òî÷åê
êîíòóðîâ îáúåêòîâ íà 2D-ïðîåêöèÿõ;
ïîâûøåííûå òðåáîâàíèÿ ê òî÷íîñòè ìîäåëè, ÷òî ñâÿçàíî ñ íåîáõî-
äèìîñòüþ ó÷èòûâàòü ìåëêèå ìíîæåñòâåííûå àðòåôàêòû;
âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè â ðåàëüíîì âðåìåíè, ÷òî ñâÿçàíî ñ
íåîáõîäèìîñòüþ ó÷èòûâàòü äèíàìèêó ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà (íàïðèìåð,
â ñèñòåìàõ âèçóàëèçàöèè õèðóðãè÷åñêèõ îïåðàöèé è äð. [4]).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ óêàçàííûõ ìîäåëåé èñïîëüçóþòñÿ ñïëàéíû, êëàññè-
÷åñêàÿ òðèàíãóëÿöèÿ, �-ïîâåðõíîñòè è äðóãèå ìåòîäû(ñðåäñòâà) èíòåðïî-
ëÿöèè. Ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ íà îñíîâå ñïëàéíîâîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ðàñ-
ñìîòðåíû â ðàáîòå [5], à â ðàáîòå [6] óñòàíîâëåíî, ÷òî íàèáîëåå ýôôåêòèâ-
íûì ñðåäñòâîì ìîäåëèðîâàíèÿ ïîâåðõíîñòåé â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå
ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàäèàëüíûõ ñèììåòðè÷íûõ ôóíêöèé (RBF).
Ïðîàíàëèçèðóåì âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ìîäèôèêàöèé
ìåòîäà RBF ïðèìåíèòåëüíî ê îáúåêòàì, èìåþùèì ïåðå÷èñëåííûå âûøå
îñîáåííîñòè (áîëüøîå ÷èñëî ïðîåêöèîííûõ òî÷åê, âûñîêàÿ òî÷íîñòü,
ðåàëüíîå âðåìÿ).
Ñîãëàñíî ìåòîäó RBF îáúåêò (ïîâåðõíîñòü) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â ñëåäóþ-
ùåì âèäå:
f x x ci i
i
N
( ) ( , )�
�
� � �
1
, (1)
ãäå �
1... N — êîýôôèöèåíòû; � — RBF, âû÷èñëåííàÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîé
òî÷êè ïðîñòðàíñòâà; c N1...
— çàäàííûå òî÷êè ïîâåðõíîñòè (ïðîåêöèîííûå
äàííûå).
Å. À. Áàøêîâ, Â. Ñ. Áàáêîâ
108 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Îïðåäåëÿåì � i êàê âåêòîð-ñòîëáåö, ÿâëÿþùèéñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû
óðàâíåíèé âèäà
� � �
� � �
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
c c c c c c
c c c c c c
N
N
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
�
�
� � � �
�
�
� � �
�
�
�( , ) ( , ) ( , )c c c c c cN N N N1 2
1
2
3
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
h
h
hN
1
2
�
,
ãäå hi — çíà÷åíèå èíòåðïîëÿíòà â çàäàííûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè.
 ìåòîäàõ ïîëó÷åíèÿ 2D-ìîäåëåé, íàïðèìåð â ìåòîäå ìîäåëèðîâàíèÿ
ðåëüåôà ïî èçîëèíèÿì [7], çíà÷åíèÿ âåêòîðà-ñòîëáöà ñâîáîäíûõ ÷ëåíîâ —
ýòî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ïðèíèìàåò èñêîìàÿ ìîäåëü â çàäàííûõ òî÷êàõ
ìíîæåñòâà
P c x y Ri i i i
N
� � �
�
{ ( , )| }
1
2
.
 ñëó÷àå òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà ìíîæåñòâî P ïðèíèìàåò âèä
P c x y z Ri i i i i
N
� � �
�
{ ( , , )| }
1
3
.
 ýòîì ñëó÷àå ìîäåëü îáúåêòà (ïîâåðõíîñòü) çàäàåòñÿ íåÿâíî â âèäå
ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé íåêîòîðîå óñòàíîâëåííîå çíà÷åíèå â êàæäîé òî÷-
êå ïîâåðõíîñòè: F c( ) �const.  êà÷åñòâå RBF ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷-
íûå ôóíêöèè, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ îïðåäåëÿþòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó äâóìÿ
òî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà [8], ãäå r x c� � — ðàäèóñ ôóíêöèè RBF (òàáë. 1).
Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè îáúåêòà çàêëþ÷àåòñÿ â
ñëåäóþùåì:
ðàñ÷åò ìàòðèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè RBF äëÿ çàäàííûõ òî÷åê;
Èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 109
Òèï ôóíêöèè Âèä ôóíêöèè
Ïîëèãàðìîíè÷åñêèé ñïëàéí
� ( )r r
n
�
� ( ) lnr r n
n
�
Ìóëüòèêâàäðèê � �( ) ( )r r� �1
2
Èíâåðñíûé ìóëüòèêâàäðèê
�
�
( )
( )
r
r
�
�
1
1
2
Èíâåðñíûé êâàäðèê
�
�
( )
( )
r
r
�
�
1
1
2
Òàáëèöà 1
ðåøåíèå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôè-
öèåíòîâ �;
ðàñ÷åò ôóíêöèè (1) äëÿ èñêîìûõ òî÷åê ïðîñòðàíñòâà è âûäåëåíèå
ìíîæåñòâà òî÷åê, äëÿ êîòîðûõ f x( ) �const ñ ó÷åòîì òî÷íîñòè �.
Íåäîñòàòêîì ïðÿìîãî ìåòîäà RBF ÿâëÿåòñÿ çíà÷èòåëüíàÿ âû÷èñëè-
òåëüíàÿ ñëîæíîñòü, îáóñëîâëåííàÿ íåîáõîäèìîñòüþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû áîëü-
øîé ðàçìåðíîñòè è ñîõðàíåíèÿ áîëüøèõ îáúåìîâ äàííûõ. Îáîáùåííûå
õàðàêòåðèñòèêè âðåìåííîé è ïðîñòðàíñòâåííîé ñëîæíîñòè äàííîãî àëãî-
ðèòìà ïðèâåäåíû â òàáë. 2.
Ïðåäëîæåííîå â ðàáîòå [9] óìåíüøåíèå ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé äî-
ñòèãíóòî â ðåçóëüòàòå óìåíüøåíèÿ ÷èñëà ïðîåêöèîííûõ òî÷åê, ò. å. îòáðà-
ñûâàíèÿ òî÷åê, íå âëèÿþùèõ íà ðåçóëüòàò. Äëÿ îòáðàñûâàíèÿ èñïîëüçîâàí
èòåðàöèîííûé àëãîðèòì [9]. Â ñîîòâåòñòâèè ñ àëãîðèòìîì ôîðìèðóåòñÿ
ìíîæåñòâî òî÷åê, ïðè èñïîëüçîâàíèè êîòîðûõ îøèáêà â îïðåäåëåíèè ïî-
âåðõíîñòè íå ïðåâûøàåò çàäàííûé ïàðàìåòð òî÷íîñòè �.
 çàâèñèìîñòè îò âûáðàííîãî ïàðàìåòðà òî÷íîñòè � è íàáîðà âõîäíûõ
äàííûõ íàáëþäàåòñÿ ðàçëè÷íàÿ ñòåïåíü óìåíüøåíèÿ ñëîæíîñòè âû÷èñëåíèé.
Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì [9] ñòåïåíü óìåíüøåíèÿ íàõîäèòñÿ â
ïðåäåëàõ 0,14—0,92, ïðè ýòîì ëþáàÿ çàêîíîìåðíîñòü îòñóòñòâóåò.
Îáùåå óìåíüøåíèå âðåìåíè îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïðè ðàáîòå èòåðà-
öèîííîãî àëãîðèòìà è íåçíà÷èòåëüíîì ÷èñëå ïðîåêöèîííûõ òî÷åê íà êàæ-
äîì øàãå ðåøàåòñÿ ñèñòåìà ìàëåíüêîé ðàçìåðíîñòè. Òàêèì îáðàçîì, äàííûé
àëãîðèòì íå ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì, òàê êàê íå îáåñïå÷èâàåò ãàðàíòèðîâàí-
íîãî óìåíüøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò äëÿ ïðîèçâîëüíûõ îáúåêòîâ.
Óñîâåðøåíñòâîâàííûé ìåòîä, ïðåäëîæåííûé â [10], ïðåäïîëàãàåò
óìåíüøåíèå ÷èñëà îïåðàöèé â ðåçóëüòàòå èñïîëüçîâàíèÿ òàê íàçûâàåìûõ
êîìïàêòíûõ RBF. Òàêèå RBF îáëàäàþò ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì: ôóíêöèÿ
ìåíüøå èëè ðàâíà åäèíèöå â îêðåñòíîñòè èñõîäíîé òî÷êè è áîëüøå åäè-
íèöû ïðè óäàëåíèè îò íåå. Âû÷èñëåíèå äàííîé ôóíêöèè äî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óìåíüøèòü åå ðàçìåð îòáðàñûâàíèåì òî-
÷åê, óäàëåííûõ îò çàäàííîé è ìèíèìàëüíî âëèÿþùèõ íà ðåçóëüòàò. Â
çàâèñèìîñòè îò ïðîñòðàíñòâåííîãî ðàñïîëîæåíèÿ çàäàííûõ òî÷åê íàáëþ-
äàåòñÿ ðàçëè÷íàÿ ñòåïåíü óìåíüøåíèÿ âû÷èñëèòåëüíîé ñëîæíîñòè, à ïðå-
Å. À. Áàøêîâ, Â. Ñ. Áàáêîâ
110 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Ýòàï îáðàáîòêè
Àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ìîäåëè ìåòîäîì RBF
îáû÷íûì ñ ìèíèìèçàöèåé êîìïàêòíûì áûñòðûì
Ðàñ÷åò RBF O n( )
2 O n( )
2 O n n( log ) O n( )
2
Ðåøåíèå ñèñòåìû O n( )
2 O n( )
2 O n( )
, ... ,1 2 1 5 O n n( log )
Ðàñ÷åò ïîâåðõíîñòè O mn( ) O mn( ) O m n( log ) O m n n( log )�
Òàáëèöà 2
îáëàäàíèå â ìàòðèöå ñèñòåìû íóëåâûõ ýëåìåíòîâ ïîçâîëÿåò ñîõðàíÿòü åå â
áîëåå êîìïàêòíîé ôîðìå.
Íà ýòàïå ïîñòðîåíèÿ ìàòðèöû è âû÷èñëåíèÿ ïîâåðõíîñòè óäîáíîé è
ýôôåêòèâíîé ñòðóêòóðîé äëÿ îðãàíèçàöèè õðàíåíèÿ äàííûõ ÿâëÿåòñÿ
k-äåðåâî [11]. Êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 1, ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ
ñèëüíî ðàçðåæåííîé ïî ñðàâíåíèþ ñ ìàòðèöåé, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ
îáû÷íîãî ìåòîäà RBF. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå
ìîæíî èñïîëüçîâàòü óñêîðåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì [12].
Ñëåäîâàòåëüíî, ñïîñîáîì ñîêðàùåíèÿ âû÷èñëèòåëüíûõ çàòðàò ïðè
ïîñòðîåíèè ìîäåëåé ìåòîäîì êîìïàêòíîé RBF ÿâëÿåòñÿ ïðèìåíåíèå ýô-
ôåêòèâíîé äðåâîâèäíîé ñòðóêòóðû äàííûõ è èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ óñêî-
ðåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåì ñ ðàçðåæåííûìè ìàòðèöàìè.
Åùå îäèí èçâåñòíûé ìåòîä áûñòðîãî âû÷èñëåíèÿ ìíîæåñòâà ïîòåí-
öèàëîâ áûë àäàïòèðîâàí äëÿ ðåøåíèÿ äàííîé çàäà÷è â ðàáîòå [13]. Ýòîò
ìåòîä òàêæå ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî ñíèçèòü âðåìåííûå è ïðîñòðàíñò-
âåííûå õàðàêòåðèñòèêè àëãîðèòìà çà ñ÷åò èñïîëüçîâàíèÿ äðåâîâèäíûõ
ñòðóêòóð äàííûõ è àïïðîêñèìàöèè ìîäåëè ñ ïîìîùüþ, íàïðèìåð, ðàçëî-
æåíèÿ â ðÿä Òåéëîðà.
Ñóòü ìåòîäà áûñòðîãî âû÷èñëåíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïðîñòðàíñò-
âî, â êîòîðîì ðàñïîëîæåíû çàäàííûå òî÷êè, èåðàðõè÷åñêè äåëèòñÿ íà
ýëåìåíòàðíûå ïîäïðîñòðàíñòâà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî îáðàçóåòñÿ äåðåâî. Äëÿ
ëþáîãî ïîäïðîñòðàíñòâà íà ïîñëåäíåì óðîâíå îïðåäåëÿåòñÿ äâà ìíîæåñò-
âà ïîäïðîñòðàíñòâ: ïðèáëèæåííîå è îòäàëåííîå. Ïðèáëèæåííîå ñîäåðæèò
ïîäïðîñòðàíñòâà, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû íà òîì æå óðîâíå, ÷òî è èñêîìîå,
è èìåþò òîò æå ðîäèòåëüñêèé óçåë. Âñå äðóãèå ïîäïðîñòðàíñòâà ñîñòàâ-
ëÿþò îòäàëåííîå ìíîæåñòâî.
Ïðîöåññ ôîðìèðîâàíèÿ ìîäåëè ïîâåðõíîñòè ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè âè-
äà (1) äåëèòñÿ íà äâà ýòàïà: ýòàï ïîäãîòîâêè, âûïîëíÿåìûé îäèí ðàç, è ýòàï
âû÷èñëåíèÿ, ïîâòîðÿåìûé äëÿ êàæäîé èñêîìîé òî÷êè.
Èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 111
a á
Ðèñ. 1. Ðåçóëüòèðóþùàÿ ìàòðèöà (à) è ìàòðèöà, ïîëó÷åííàÿ ìåòîäîì RBF (á)
Å. À. Áàøêîâ, Â. Ñ. Áàáêîâ
112 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Ðèñ. 2. Ñõåìà ïîñòðîåíèÿ 3D-ìîäåëè
a á
Ðèñ. 3. Ìîäåëè, ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ñõåìû (ñì. ðèñ. 2): à — ïîçâîíîê;
á — ãîëîâà áåç êðûøêè ÷åðåïíîé êîðîáêè
Íà ýòàïå âû÷èñëåíèÿ ÷àñòü ôóíêöèè (1), êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êà-
ìè èç ïðèáëèæåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, âû÷èñëÿåòñÿ íåïîñðåäñòâåííî, à
÷àñòü, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êàìè â îòäàëåííûõ ïîäïðîñòðàíñòâàõ — ñ
ïîìîùüþ àïïðîêñèìàöèè. Â çàâèñèìîñòè îò âèäà èñïîëüçóåìîé RBF ïðè-
ìåíÿþòñÿ ðàçëè÷íûå ñðåäñòâà àïïðîêñèìàöèè [13]. Îäíàêî ìåòîä RBF íå
ÿâëÿåòñÿ óíèâåðñàëüíûì, è âûáîð ðàçëè÷íûõ ôóíêöèé òðåáóåò ðàçëè÷íûõ
ïîäõîäîâ ê àïïðîêñèìàöèè.
Òåîðåòè÷åñêèå îöåíêè ðàññìîòðåííûõ ìåòîäîâ, ïîëó÷åííûå â ðåçóëü-
òàòå àíàëèçà ñîîòâåòñòâóþùèõ àëãîðèòìîâ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäî-
âàíèé íà íàáîðàõ òåñòîâûõ îáúåêòîâ [14], ïðèâåäåíû â òàáë. 2. Àíàëèçèðóÿ
äàííûå òàáë. 2, ìîæíî ñäåëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû î òîì, ÷òî íàèìåíüøóþ
âû÷èñëèòåëüíóþ ñëîæíîñòü íà ýòàïå ðàñ÷åòà ìàòðèöû çíà÷åíèé ôóíêöèè
èìååò ìåòîä êîìïàêòíîé RBF, íà ýòàïå ðåøåíèÿ ñèñòåìû — ìåòîä áûñò-
ðîé RBF, íà ýòàïå ðàñ÷åòà ïîâåðõíîñòè — ìåòîä êîìïàêòíîé RBF.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ñ÷èòàòü ïðîöåññ ðåêîíñòðóêöèè ïîñëåäîâàòåëü-
íûì ïðèìåíåíèåì ðàññìîòðåííûõ ðàíåå ýòàïîâ, òî ëó÷øèå ðåçóëüòàòû ñ
òî÷êè çðåíèÿ ìèíèìàëüíîãî âðåìåíè ðåêîíñòðóêöèè ïðè áîëüøèõ çíà÷å-
íèÿõ N ñëåäóåò îæèäàòü îò ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà êîìïàêòíîé RBF. Ïîýòîìó
öåëåñîîáðàçíî èìåííî åãî èñïîëüçîâàòü â ñîñòàâå ïðîãðàììíîé ñèñòåìû
äëÿ ðåêîíñòðóêöèè ìîäåëåé îðãàíîâ ïî ðåçóëüòàòàì òîìîãðàôè÷åñêèõ
èññëåäîâàíèé, ñòðóêòóðà êîòîðîé ïðåäëîæåíà â [15].
Ïðàêòè÷åñêàÿ ðåàëèçàöèÿ ìåòîäà êîìïàêòíîé RBF. Äëÿ îñóùåñòâëå-
íèÿ òðåõìåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îáúåêòîâ ïðåäëàãàåòñÿ ñõåìà, ïðåäñòàâ-
ëåííàÿ íà ðèñ. 2. Â ñîîòâåòñòâèè ñ äàííîé ñõåìîé ïðåäïîëàãàåòñÿ ñîâìåñò-
íîå ïðèìåíåíèå ìåòîäà RBF è ìåòîäà äåôîðìàöèîííîãî ñîïîñòàâëåíèÿ
òðåõìåðíûõ ìîäåëåé íà îñíîâå èññëåäîâàíèé, èçëîæåííûõ â [16]. Ïðè-
ìåðû ìîäåëåé, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîé ñõåìû è êîìïàêò-
íîãî ìåòîäà RBF, ïîêàçàíû íà ðèñ. 3.
 òàáë. 3 ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ ïî ïîñò-
ðîåíèþ ìîäåëåé, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 3. Ïðè ìîäåëèðîâàíèè èñïîëü-
çîâàíà ñèñòåìà Intel Core 2 Duo 3.0 ÃÃö, 2 Ãá RAM. Êàê âèäíî èç òàáë. 3,
ïðè ÷èñëå òî÷åê, äîñòèãàþùåì 10
6
...10
7
, ñóììàðíîå âðåìÿ ïîñòðîåíèÿ
ìîäåëè ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ìåòîäà êîìïàêòíîé
RBF ïîçâîëÿåò ïðèáëèçèòüñÿ ê ðåàëüíîìó âðåìåíè è ïîëó÷èòü ëó÷øèé
ðåçóëüòàò ïî ñðàâíåíèþ, íàïðèìåð, c îïèñàííûì â ðàáîòå [17].
Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü, êàê âëèÿåò óìåíüøåíèå ÷èñëà öåíòðîâ
èíòåðïîëÿöèè, çàäåéñòâîâàííûõ ïðè ðàñ÷åòå êàæäîé òî÷êè ïîâåðõíîñòè,
íà òî÷íîñòü ðåêîíñòðóêöèè, áûëà ïðîâåäåíà îöåíêà ïîãðåøíîñòè.  êà-
÷åñòâå ýòàëîííîé èñïîëüçîâàíà ìîäåëü îáúåêòà, ïîëó÷åííàÿ ñ ïîìîùüþ
îáû÷íîãî ìåòîäà RBF.  êà÷åñòâå àáñîëþòíîé ïîãðåøíîñòè ïðèíÿòà âåëè-
Èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 113
÷èíà � ( ) ( )x F x� �1 , ãäå F x( ) — çíà÷åíèå èíòåðïîëÿíòà (1), âû÷èñëåí-
íîãî ìåòîäîì êîìïàêòíîé RBF â òî÷êå x. Ïðè ýòîì x X� — ìíîæåñòâî
òî÷åê, îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòü ýòàëîííîé ìîäåëè.
 òàáë. 4 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ � ( )x äëÿ ìîäåëåé äâóõ îáúåêòîâ [16],
ïîëó÷åííûå ïðè ðàçëè÷íîì ÷èñëåå öåíòðîâ èíòåðïîëÿöèè. Àíàëèçèðóÿ
òàáë. 4, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ÷èñëà öåíòðîâ
èíòåðïîëÿöèè ïîãðåøíîñòü óìåíüøàåòñÿ. Ýòî îáóñëîâëåíî ïðîïîðöèî-
íàëüíûì óâåëè÷åíèåì ÷èñëà òî÷åê, ïîïàäàþùèõ â ðàäèóñ äåéñòâèÿ êàæ-
äîé RBF, ò. å. ïðè N � � íàáëþäàåòñÿ òåíäåíöèÿ � ( )x � 0.
 ðàáîòå [9] ïîêàçàíî, ÷òî ïîãðåøíîñòü ðåêîíñòðóêöèè â ïðåäåëàõ
10 10
3 5� �
... ÿâëÿåòñÿ âïîëíå äîïóñòèìîé, òàê êàê âèçóàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå
3D-ìîäåëè â ýòîì ñëó÷àå ñóáúåêòèâíî íå îòëè÷àåòñÿ îò ðåçóëüòàòà ðå-
êîíñòðóêöèè ñ ïîìîùüþ îáû÷íîãî ìåòîäà RBF. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåçóëü-
òàò, ïîëó÷åííûé ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîé ñõåìû ìîäåëèðîâàíèÿ ìîæíî
ñ÷èòàòü óäîâëåòâîðèòåëüíûì. Ñëåäóåò òàêæå çàìåòèòü, ÷òî äëÿ òåñòîâîãî
îáúåêòà «ïîçâîíîê» íàáëþäàåòñÿ óâåëè÷åíèå ïîãðåøíîñòè ïðè ïðî÷èõ
ðàâíûõ óñëîâèÿõ. Îáîñíîâàíèåì äàííîãî ôàêòà ìîæåò áûòü òî, ÷òî îáúåêò
Å. À. Áàøêîâ, Â. Ñ. Áàáêîâ
114 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
Îáúåêò
Ïîãðåøíîñòü �( )x ïðè ÷èñëå òî÷åê
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
Ìîçã (7,1±0,2)
10
–3
(3,2±0,1)
10
–3
(1,7±0,1)
10
–3
(1,10±0,08)
10
–3
(8,7±0,5)
10
–4
Ïîçâîíîê (10,0±0,5)
10
–3
(6,8±0,2)
10
–3
(4,5±0,1)
10
–3
(2,80±0,09)
10
–3
(1,63±0,06)
10
–3
Òàáëèöà 4
Îáúåêò ×èñëî òî÷åê
Âðåìÿ, ñ Ñóììàðíîå
âðåìÿ
ïîñòðîåíèÿ
ìîäåëè, ñ
ïîñòðîåíèÿ
äåðåâà
ðåøåíèÿ
ñèñòåìû
ðàñ÷åòà
ïîâåðõíîñòè
Ìîçã 10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
0,12
0,34
1,05
4,24
24,6
0,20
0,97
3,65
12,3
67,2
0,15
0,45
1,34
4,96
26,5
0,47
1,76
6,04
21,50
118,3
Ïîçâîíîê 10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
0,16
0,45
1,24
5,48
35,7
0,31
1,07
5,06
14,6
76,5
0,18
0,51
2,04
6,12
30,4
0,65
2,04
8,34
26,2
142,6
Òàáëèöà 3
«ïîçâîíîê» îáëàäàåò áîëüøèì ÷èñëîì ìàëûõ àðòåôàêòîâ, îïðåäåëÿþùèõ
åãî âíåøíèé âèä. Ýòî, â ñâîþ î÷åðåäü, ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî óìåíüøåíèå
÷èñëà òî÷åê, ó÷àñòâóþùèõ â ïîñòðîåíèè ìîäåëè, ïðèâîäèò ê óòðàòå ìåë-
êèõ äåòàëåé è ñîîòâåòñòâåííî ê óâåëè÷åíèþ ïîãðåøíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî,
ìåòîä êîìïàêòíîé RBF, â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî ìåòîäà, ÷óâñòâèòåëåí ê
ôîðìå ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà.
Âûâîäû. Â ðåçóëüòàòå àíàëèçà âðåìåííûõ è ïðîñòðàíñòâåííûõ õàðàê-
òåðèñòèê ìåòîäîâ ïîñòðîåíèÿ òðåõìåðíûõ ìîäåëåé, îñíîâàííûõ íà èñ-
ïîëüçîâàíèè RBF è ïîâåðõíîñòíîì ïðåäñòàâëåíèè ðåçóëüòàòà, óñòàíîâëå-
íî, ÷òî ïðè ðåêîíñòðóêöèè ìîäåëåé ñ áîëüøèì ÷èñëîì òî÷åê ( )N �10
4
íàèáîëåå ýôôåêòèâåí îòíîñèòåëüíî ìèíèìèçàöèè âðåìåííûõ çàòðàò ìåòîä
êîìïàêòíîé RBF. Ýòîò ìåòîä îáåñïå÷èâàåò óäîâëåòâîðèòåëüíóþ òî÷íîñòü,
íî ÷óâñòâèòåëåí ê âèäó ìîäåëèðóåìîãî îáúåêòà. Ïðè ïðî÷èõ ðàâíûõ óñëî-
âèÿõ íàëè÷èå ìåëêèõ äåòàëåé óâåëè÷èâàåò ïîãðåøíîñòü ïðè ïîñòðîåíèè
3D-ìîäåëè. Àëãîðèòì, ðåàëèçóþùèé ìåòîä êîìïàêòíîé RBF, áûë ðåàëèçîâàí
â ñîñòàâå ïðîãðàììíîé ñèñòåìû äëÿ ðåêîíñòðóêöèè òðåõìåðíûõ ìîäåëåé
îðãàíîâ. Ðåçóëüòàòû ýêñïåðèìåíòîâ ïîäòâåðæäàþò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâà-
íèÿ ìåòîäà êîìïàêòíîé RBF ïðè ïîñòðîåíèè 3D-ìîäåëåé îáúåêòîâ â
ðåàëüíîì âðåìåíè.
Íàèáîëåå àêòóàëüíîé çàäà÷åé äëÿ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé ÿâëÿåòñÿ
èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè àäàïòàöèè ìåòîäà ïîñòðîåíèÿ 3D-ìîäåëåé íà
îñíîâå RBF ê ïàðàëëåëüíîé ðåàëèçàöèè, ÷òî òåîðåòè÷åñêè ïîçâîëèò ñîêðà-
òèòü âðåìåííûå çàòðàòû íà ìîäåëèðîâàíèå ñëîæíûõ äèíàìè÷åñêè èçìå-
íÿþùèõñÿ âî âðåìåíè îáúåêòîâ.
A comparative analysis of RBF-modification characteristic applied for the construction of
3D-models of organs by 2D and 3D-scanning data is proposed in the work. Outline of the model
construction based on compactly supported RBF is described and modeling results for human
brain and vertebra are proposed.
1. Farrell E.J. et al. Graphical 3D Medical Image Registration and Quantification // J-Med-Sys.—
1997. — ¹ 21 (3). — P. 155—172.
2. Morse B. S. et al. Interpolating Implicit Surfaces from Scattered Surface Data Using Com-
pactly Supported Radial Basis Functions // SMI 2001. Intern. Conf., May, 2001. — IEEE
Computer Society Press. — P. 89—98.
3. Áàáêîâ Â. Ñ. Ðåêîíñòðóêö³ÿ 3D-ìîäåëåé îðãàí³â â êîìï’þòåðí³é òîìîãðàô³¿ ïðè
îáìåæåíîìó îá’ºì³ âõ³äíèõ äàíèõ // Íàóê. ïðàö³ Äîíåöüêîãî íàö³îíàëüíîãî òåõí³÷-
íîãî óí³âåðñèòåòó. Ñåð³ÿ «Ïðîáëåìè ìîäåëþâàííÿ òà àâòîìàòèçàö³¿ ïðîåêòóâàííÿ
äèíàì³÷íèõ ñèñòåì». Âèï. 52. — Äîíåöüê : ÄîíÍÒÓ, 2002. — C. 100—105.
4. Xu F., Mueller K. Real-time 3D Computed Tomographic Reconstruction Using Commodity
Graphics Hardware // Phys. Med. Biol. — 2007. — Vol 52, ¹ 12. P. 3405—3419.
5. Áàáêîâ Â.Ñ. Çàñòîñóâàííÿ ñïëàéí³â äëÿ ïîäàííÿ êîíòóð³â â ìåòîäàõ îáðîáêè òîìîãðà-
ô³÷íèõ çîáðàæåíü // Íàóê. ïðàö³ Äîíåöüêîãî íàö³îíàëüíîãî òåõí³÷íîãî óí³âåðñèòåòó.
Ñåð³ÿ «²íôîðìàòèêà, ê³áåðíåòèêà òà îá÷èñëþâàëüíà òåõí³êà». Âèï. 70. — Äîíåöüê :
ÄîíÍÒÓ, 2003. — Ñ. 30—38.
Èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòåé ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 2 115
6. Duchon J. Splines Minimizing Rotation-invariant Semi-norms in Sobolev Spaces // Const-
ructive Theory of Functions of Several Variables. / Åd. W. Schempp and K. Zeller. — Berlin :
Springer-Verlag, 1977. — ¹ 571. — P. 85—100.
7. Pouderox J. Adaptive hierarchical RBF interpolation for creating smooth digital elevathion
models // Proc. 12-th ACM Int. Symp. Advances in Geographical information Systems 2004. —
ACP Press, 2004. — P. 232—240.
8. Larsson E., Fornberg B. A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution
Methods for Elliptic PDEs // Computers and Mathematics with Applications. — 2003. —
¹ 46. — P. 891—902.
9. Carr J. C. et al. Reconstruction and Representation of 3D Objects with Radial Basis Func-
tions // ACM SIGGRAPH 2001, 12-17 August 2001. — P. 67—76.
10. Kojekine N. et al. Software Tools Using CSRBFs for Processing Scattered Data // Computers
& Graphics. — 2003. — Vol. 27, ¹ 2. — P. 311—319.
11. Bentley J.L. Multidimensional Binary Search Trees Used for Associative Searching //
CACM. — 1975. — ¹ 18 (9). — P. 509—517.
12. Ñàóõ Ñ. Å. Ìåòîä CR-ôàêòîðèçàöèè íåóïîðÿäî÷åííûõ ìàòðèö // Ñá. òð. ìåæäóíàð.
êîíô. «Ìîäåëèðîâàíèå-2008», 14—16 ìàÿ 2008 ã. Ò. 1. — Êèåâ : Èíñòèòóò ïðîáëåì
ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà, 2008. — Ñ. 3—10.
13. Beatson R. K. et al. Fast Fitting of Radialbasis Functions: Methods Based on Preconditioned
GMRES Iteration // Advances in Computational Math. — 1999. — ¹ 11. — P. 253—270.
14. Level of Detail for 3D Graphics [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ], 2008. — http://lodbook.com/mod-
els/.
15. Áàáêîâ Â. Ñ., Èâàøêîâåö Å. Â. Ïðîåêòèðîâàíèå ìíîãîôóíêöèîíàëüíîé ïðîãðàììíîé
ñèñòåìû äëÿ ðåêîíñòðóêöèè òðåõìåðíûõ îáúåêòîâ â ìåäèöèíñêîé ïðàêòèêå // Ñá. òð.
Òðåòüåé ìåæäóíàð. íàó÷.-òåõ. êîíô. ìîëîäûõ ó÷åíûõ è ñòóäåíòîâ «Èíôîðìàòèêà è
êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè», 11—13 äåêàáðÿ 2007 ã. — Äîíåöê : ÄîíÍÒÓ, Ìèí.
îáðàçîâàíèÿ è íàóêè, 2007. — Ñ. 285—287.
16. Áàáêîâ Â. Ñ. Ñï³ââ³äíåñåííÿ ù³ëüíèõ 3D-ìîäåëåé îðãàí³â â êîìï’þòåðí³é òîìîãðàô³¿ //
³ñí. Ñåâàñòîïîëüñüêîãî íàö³îíàëüíîãî òåõí³÷íîãî óí³âåðñèòåòó. Ñïåö³àëüíèé âè-
ïóñê çà ìàòåð³àëàìè ̳æíàðîäíî¿ íàóê.-òåõ. êîíô. «²ÍÔÎÒÅÕ-2004». — Ñåâàñòî-
ïîëü: Âèä-âî ÑåâÍÒÓ, 2004. — Ñ. 87—88.
17. Qiang W., Pan Z., Chun C., Jiajun B. Surface Rendering for Parallel Slice of Contours from
Medical Imaging // Computing in Science & Engineering, January-February 2007. — 2007. —
Vol. 9, ¹ 1. — P. 32—37.
Ïîñòóïèëà 28.08.08;
ïîñëå äîðàáîòêè 01.12.08
ÁÀØÊÎÂ Åâãåíèé Àëåêñàíäðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð, çàâ. êàôåäðîé «Ïðèêëàäíàÿ
ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà», ïðîðåêòîð ïî íàó÷íîé ðàáîòå Äîíåöêîãî íàöèîíàëüíîãî òåõ-
íè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà.  1969 ã. îêîí÷èë Äîíåöêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ
èññëåäîâàíèé — âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûå ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé ãðàôèêè, ñïåöèàëèçèðî-
âàííûå âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû.
ÁÀÁÊÎÂ Âèêòîð Ñâåòîçàðîâè÷, àñïèðàíò, àññèñòåíò êàôåäðû «Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è
èíôîðìàòèêà» Äîíåöêîãî íàöèîíàëüíîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà, êîòîðûé îêîí÷èë â
2001 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âûñîêîïðîèçâîäèòåëüíûå ñèñòåìû êîìïüþòåðíîé
ãðàôèêè, öèôðîâàÿ îáðàáîòêà ñèãíàëîâ.
Å. À. Áàøêîâ, Â. Ñ. Áàáêîâ
116 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 2
|