Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I

Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. Наведено метод та алгоритм розв’язування задач динаміки в’язкопружних с...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Опубліковано в: :	Электронное моделирование
Дата:	2009
Автори:	Верлань, А.Ф., Эшматов, Х., Эшматов, Б.Х., Назаров, Ш.П., Кучаров, О.Р., Ходжаев, Д.А.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2009
Теми:	Математические методы и модели
Онлайн доступ:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101490
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Боба-Назаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101490
record_format	dspace
spelling	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Назаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А. 2016-06-03T18:58:45Z 2016-06-03T18:58:45Z 2009 Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Боба-Назаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101490 539.3 Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. Наведено метод та алгоритм розв’язування задач динаміки в’язкопружних систем. З використанням запропонованого методу розв’язано задачі про нелінійні коливання та динамічну стійкість в’язкопружних прямокутних пластин і циліндричних панелей. A method and algorithm are presented to solve the problems of dynamics of viscoelastic systems. The proposed method has helped to solve the problems on nonlinear oscillations and dynamic stability of viscoelastic rectangular plates and cylindrical panels. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I Mathematical Modeling of Nonlinear Oscillations and Study of Dynamic Stability of Viscoelastic Rectangular Plates and Cylindrical Panels. I Article published earlier
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
title	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I
spellingShingle	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Назаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А. Математические методы и модели
title_short	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I
title_full	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I
title_fullStr	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I
title_full_unstemmed	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I
title_sort	математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. i
author	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Назаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А.
author_facet	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Назаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А.
topic	Математические методы и модели
topic_facet	Математические методы и модели
publishDate	2009
language	Russian
container_title	Электронное моделирование
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
format	Article
title_alt	Mathematical Modeling of Nonlinear Oscillations and Study of Dynamic Stability of Viscoelastic Rectangular Plates and Cylindrical Panels. I
description	Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. Наведено метод та алгоритм розв’язування задач динаміки в’язкопружних систем. З використанням запропонованого методу розв’язано задачі про нелінійні коливання та динамічну стійкість в’язкопружних прямокутних пластин і циліндричних панелей. A method and algorithm are presented to solve the problems of dynamics of viscoelastic systems. The proposed method has helped to solve the problems on nonlinear oscillations and dynamic stability of viscoelastic rectangular plates and cylindrical panels.
issn	0204-3572
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101490
citation_txt	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Боба-Назаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 3-19. — Бібліогр.: 22 назв. — рос.
work_keys_str_mv	AT verlanʹaf matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT éšmatovh matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT éšmatovbh matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT nazarovšp matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT kučarovor matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT hodžaevda matematičeskoemodelirovanienelineinyhkolebaniiiissledovaniedinamičeskoiustoičivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpaneleii AT verlanʹaf mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi AT éšmatovh mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi AT éšmatovbh mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi AT nazarovšp mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi AT kučarovor mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi AT hodžaevda mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsi
first_indexed	2025-11-25T20:34:38Z
last_indexed	2025-11-25T20:34:38Z
_version_	1850523451298676736
fulltext	ÓÄÊ 539.3 À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, äîêòîðà òåõí. íàóê, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ, êàíä. òåõí. íàóê, Î. Ð. Êó÷àðîâ, Ä. À. Õîäæàåâ Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15, òåë. (044) 4241063, E-mail: averlan@i.com.ua), Òàøêåíòñêèé èíñòèòóò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè (Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100000, Òàøêåíò, óë. Êàðû Íèÿçîâà, 39, òåë. (99871) 2371948, E-mail: heshmatov@mail.ru; bshp@mail.ru; olimjon_kucharov@mail.ru; dhodjaev@mail.ru ) *Department of Mechanical and Aerospace Engineering,University at Buffalo (318 Jarvis Hall, Buffalo, NY 14260-4400, USA, E-mail: ebkh@mail.ru) Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé è èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. I (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû Â. Â. Âàñèëüåâ) Ïðèâåäåíû ìåòîä è àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ðåøåíû çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷è- âîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. Íàâåäåíî ìåòîä òà àëãîðèòì ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ äèíàì³êè â’ÿçêîïðóæíèõ ñèñòåì. Ç âèêî- ðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ ïðî íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ òà äèíàì³÷íó ñò³éê³ñòü â’ÿçêîïðóæíèõ ïðÿìîêóòíèõ ïëàñòèí ³ öèë³íäðè÷íèõ ïàíåëåé. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà, öèëèíäðè÷åñêàÿ ïàíåëü, òåîðèÿ Êèðõãîôà-Ëÿâà, òåîðèÿ Òèìîøåíêî, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü, ôëàòòåð. Ìåòîä è àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷è äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ. Ìíîãèå äèíàìè- ÷åñêèå çàäà÷è âÿçêîóïðóãîñòè ñâîäÿòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåì íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû âèäà [1—16] �� , , ..., ,x x x X t x xi i i i i i n n� � �� 2 1 1 � � n ,� � 0 1 1 t i n nt x x� � � � � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( )� �� n d( )) � � � � ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 3 �� , , ..., ,� � � � � �� 1 1 2 1 1 1 1i i i i n nt x x� �� n � � 0 1 1 1 t i n nt x x� � � � � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( ) ( ))� �� n d � � � � �� , , ..., ,� � � � � �� 2 2 2 2 2 1 1i i i i n nt x x� �� n � � 0 2 1 1 t i n nt x x� � � � � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( ) ( ))� �� n d � � � � (1) x xi i( )0 0� , � ( ) �x xi i0 0� , � �1 010i i( ) � , � ( ) �� 1 010i i� , � �2 020i i( ) � , � ( ) �� 2 020i i� , i n�1 2, ,..., . Çäåñü x ti ( ),�1i t( ),�2i t( ) — èñêîìûå ôóíêöèè àðãóìåíòà t; X i , �1i , �2i ,� i , � 1i ,� 2i — çàäàííûå íåïðåðûâíûå ôóíêöèè â îáëàñòè èçìåíåíèÿ àðãóìåí- òîâ; � i , �i , �1i , � 2i , i n�1 2, ,..., , — ïîñòîÿííûå ÷èñëà. Äâóêðàòíûì èíòåãðè- ðîâàíèåì ñèñòåìû (1) ïî t ñ ó÷åòîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïîëó÷àåì x t x x t x t x d t x di i i i i i i t i i( ) � ( ) ( ) ( )� � � � � ��0 0 0 0 2� � � � � � � � 0 t � � � �� ( ) , ( ),..., ( ), ( ) ( )t X x x t i n n� � � � � � � �� 0 1 1 ( ) ( )� � �� n � � 0 1 1 t i n ns x s x s s s s� � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( )� �� n s ds d( )) � � � � � � � � � � � � � � �1 01 01 1 2 0 1i i i i t it t t d� � � �� ( ) ( ) � �� ( ) , ( ),..., ( ), ( ) ( )t x x t i n n� � � � � � � �� 0 1 1 1� � � �� ( ) ( )n � � 0 1 1 1 t i n ns x s x s s s s� � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( ) ( ))� �� n s ds d � � � � � � � � � � � � � � �2 02 02 2 2 0 2i i i i t it t t d� � � �� ( ) ( ) � �� ( ) , ( ),..., ( ), ( ) ( )t x x t i n n� � � � � � � �� 0 2 1 1� � � �� ( ) ( )n � � À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 0 2 1 1 t i n ns x s x s s s s� � � � � �� ( , , ( ),..., ( ), ( ) ( ) ( ) ( ))� �� n s ds d � � � � i n�1 2, ,..., . Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû ïðèìåíèì ìåòîä ïðÿìîé çàìåíû âõîäÿùèõ â ñèñòåìó èíòåãðàëîâ êîíå÷íîé ñóììîé ïî êàêîé-ëèáî êâàäðàòóðíîé ôîðìóëå [2,4]. Òîãäà äëÿ ïðèáëèæåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû â óçëàõ t m tm � �( ) ,1 � m�1 2 3, , , ..., ãäå �t — øàã èíòåãðèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó: x B x x x t B xmi i m i i i i m i j ji j m � � � � � � � � � � � �1 1 0 0 0 0 1 � � �( � ) � � � � � � � B t t x X t x xj m j j m i ji i j j jn j( ) , ,..., , 0 1 2 1� � � �� j n j j n1 � � � � C t t x xk i k j j k k kn k k n k� � � �� 1 1 1( , , ,..., , � � k n ) � � �� ! " # $ % &, � � �m i i i mt1 01 01� � �� B t t t x xj m j j m i j i i j j jn j( ) , ,..., , 0 1 2 1 1 1� � � � � � �� j n j j n1 1 � � C t t x xk i k j j k k kn k k n k� � � �� 1 1 1 1 � � ( , , ,..., , �� k n ) � � �� ! " # , � � �m i i i mt2 02 02� � �� B t t t x xj m j j m i j i i j j jn( ) ( , ,..., , 0 1 2 2 2 2 1� �� j j n j j n � �� 1 1 C t t x xk i k j j k k kn k k n k� � � �� 2 1 1 1 � � ( , , ,..., , �� k n ) � � �� ! " # , m�1 2 3, , , ... . (2) Çäåñü B j , C k — ÷èñëîâûå êîýôôèöèåíòû, íåçàâèñÿùèå îò âûáîðà ïîäûí- òåãðàëüíûõ ôóíêöèé è ïðèíèìàþùèå ðàçëè÷íûå çíà÷åíèÿ â çàâèñèìîñòè îò èñïîëüçîâàíèÿ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë [4]. Òåñòîâûé ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôå- ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà �� ( ) ( )w w w q w t w d t � � � � � � � � � � $ % & & �� 1 2 1 1 0 ' Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 5 � � � � � � � � �� ( � ( � ( � � � � �2 1 1 2 2 1 2 1 0 ' ( ) ( )t d t � � $ % & & � � � � � �� ( � � � � � � � �2 3 2 0 3 3 4 3 0 ' '( ) ( ) ( ) ( )t d w t w d t t � $ % & & , �� ( ) ( )� � � � ( � ( � ( ( � � � � �1 2 2 1 1 4 3 1 4 2 5 3 2 1 0 � � � � � � ��p w t d t ' � � � � � � � $ % & & � �( � � � � �( � � �4 3 2 0 5 1 0 ' '( ) ( ) ( ) ( )t d t w d t t , (3) �� ( ) ( )� � � � ( � ( � ( ( � � � � �2 3 2 2 2 5 6 1 7 2 8 6 2 1 0 � � � � � � ��p w t d t ' � � � � � � � $ % & & � �( � � � � �( � � �7 3 2 0 8 1 0 ' '( ) ( ) ( ) ( )t d t w d t t ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè w ( )0 1� , � ( )w 0 1� �) , �1 0 1( ) � , � ( )� )1 20 � � , �2 0 1( ) � , � ( )� )2 30 � � , ãäå '1 1 11 1( )t A e t t� � �) , '2 2 12 2( )t A e t t� � �) * , '3 3 13 3( )t A e t t� � �) * , '4 4 3 11 4( )t A e t t� � �) * , 0 11 2 3 4+ +* * * , , , , q A t e A t t� � � � �� ) �) � � � ( * (* ) * 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 � � � � � �� ) 2 2e t � �� ( * ( � * �* ) * ) 2 3 3 2 2 4 4 3 33 3 4 11 A t e A t e t t , p A t e A t t 1 2 2 2 2 4 3 2 2 4 3 4 3 3 4 2 2� � � �� ) � � ( * � ( ( * (* ) 3 3 4 � � � � � �� ) e t � �� ( ( �* ) 5 1 1 5 4 1 1 A t e t , p A t e A t t 2 3 2 3 2 5 7 3 3 5 7 6 2 2 6 3 3� � � �� ) � � ( * � ( ( * (* ) 2 2 5 � � � � � �� ) e t À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 � �� ( ( �* ) 8 1 1 8 5 1 1 A t e t . Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) èìååò òî÷íîå ðåøåíèå w e t� �)1 ,� ) 1 2� � e t ,� ) 2 3� � e t , óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì. ×èñëîâûå çíà÷åíèÿ w w tn n� ( ), � �1 1n n nt� ( ), � �2 2n n nt� ( ) â óçëàõ t i hi � �( )1 , i �1 2, , ..., àíàëîãè÷íî (2) íàõîäèì èç ðåêóððåíòíûõ ñîîòíîøåíèé w B t B wi i i j j j i � � � � � � � � � � � �1 1 1 1 0 1 � ) � �( ) � � � � � � �� B t t q wj i j j i j j j j( ) ( ) 0 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2� � � ( � � ( � � � �� * � * � ( �) ) 3 3 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2w A C e w A C ej s t j s s t j s s s , � � � � � s j 0 � � � � � $� � � � A C e A C e ws t j s s t j s s s3 3 2 2 3 2 4 4 3 4 3 33 1 * � ( � * �) ) , % & ! " # , � ) � ( � � � ( �1 2 0 1 1 4 3 2 2 1 4 41i i j i j j i j jt B t t p� � � � � � � � � � ( ) ( ) 2 4 5j jw� �� ( � � � �� A C e A C es t j s s j s ts s2 2 4 3 2 1 0 3 3 4 4 3 2 3 * � ( � * � () ) , � * � ( ) 2 1 1 4 5 1 1 , ,j s s t j s A C e ws � � �� $ % & (4) � ) � ( � � � ( �2 3 0 1 2 5 7 3 2 2 5 61i i j i j j i j jt B t t p� � � � � � � � � � ( ) ( ) 1 5 8j jw� �� ( � � � �� A C e A C es t j s s j s ts s2 2 5 6 2 1 0 3 3 5 7 3 2 3 * � ( � * � () ) , � * � ( ) 2 1 1 5 8 1 1 , ,j s s t j s A C e ws � � �� $ % & ãäå B j ,C s1 ,C s2 ,C s3 ,C s4 — êîýôôèöèåíòû êâàäðàòóðíîé ôîðìóëû; B h0 2� / , B hj � , j i�1 2, , ..., ; C h k k 0 2 � * , C h j j kj k k k � � �* * [ ( ) ]1 2 , C h s s ks k k k � � � � * [( ) ( ) ]1 1 2 , s j� �1 2 1, ,..., , k �1 2 3 4, , , . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 7 Â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ, âûïîëíåííûõ ñîãëàñíî (4) â èíòåðâàëå îò 0 äî 1 ñ øàãîì h = 0,001. Ïðè ýòîì èñïîëüçîâàíû ñëåäóþùèå èñõîäíûå äàííûå: A1 001� , ; A2 002� , ; A3 003� , ; A4 004� , ; )1 021� , ; )2 022� , ; )3 023� , ; 1 001� , ; * 2 002� , ; * 3 003� , ; * 4 004� , ; � � 1; �1 1 1� , ; �2 12� , ; �3 13� , ; (1 1 1� , ; (2 12� , ; (3 13� , ; (4 14� , ; (5 15� , ; (6 16� , ; (7 17� , ; (8 18� , ; �1 11� , ; � 2 12� , ; � 3 13� , ; � 4 14� , ; � 5 15� , . Êàê âèäíî èç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòàòîâ, ïîãðåøíîñòü � îïèñàííîãî ìåòîäà ñîâïàäàåò ñ ïîãðåøíîñòüþ èñïîëüçîâàííûõ êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë è èìååò òîò æå ïîðÿäîê ìàëîñòè îòíîñèòåëüíî øàãà èíòåðïîëÿöèè. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí ñ ñî- ñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Ðàññìîòðèì âÿçêîóïðóãóþ ïðÿìîóãîëüíóþ ïëàñòèíó òîëùèíîé h ñî ñòîðîíàìè a è b, èçãîòîâëåííóþ èç îäíîðîäíîãî èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè Mp â òî÷êàõ (xp, yp), p = = 1, 2, …, I (ðèñ. 1). Ñâÿçü ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè, x ,, y ,� xy è äåôîðìàöèÿ- ìè - x , - y , � xy â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè çàïèøåì â âèäå [17] , . - .-x x y E � � � � 1 1 2 ( )( )' , , . - .-y y x E � � � � 1 1 2 ( )( )' , � . �xy xy E � � � 2 1 1 ( ) ( )' . (5) À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 t Òî÷íîå ðåøåíèå Ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå � 0,0 1,000000 1,000000 0 0,1 0,979219 0,979067 0,2 / 10–3 0,2 0,958870 0,958454 0,4 / 10–3 0,3 0,938943 0,937875 1,1 / 10–3 0,4 0,919431 0,917623 1,8 / 10–3 0,5 0,900325 0,897917 2,4 / 10–3 0,6 0,881615 0,878933 2,7 / 10–3 0,7 0,863294 0,860888 2,4 / 10–3 0,8 0,845354 0,843692 1,7 / 10–3 0,9 0,827787 0,826331 1,5 / 10–3 1,0 0,810584 0,809176 1,4 / 10–3 Òàáëèöà 1 Çäåñü Å — ìîäóëü óïðóãîñòè; . — êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà; Ã — èíòå- ãðàëüíûé îïåðàòîð ñ ÿäðîì ðåëàêñàöèè Ã(t), ' '* ( ) ( )� � � � �� t d t 0 . Ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè - x , - y , � xy â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè è ïåðåìåùåíèÿìè òî÷åê ïîâåðõíîñòè u, v, w ïî íàïðàâëåíèÿì x, y, z ïðåä- ñòàâèì â âèäå [17] - 0 0 0 0 x u x w x � � � � � � � 1 2 2 , - 0 0 0 0 y v y w y � � � � � � � 1 2 2 , � 0 0 0 0 0 0 0 0 xy u y v x w x w y � � � . (6) Èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû Mx, My è H âÿçêîóïðóãîé ïðÿìî- óãîëüíîé ïëàñòèíû èìåþò ñëåäóþùèé âèä [4, 17]: M D w x w y x � � � � � � � $ % &( )1 2 2 2 2 ' 0 0 . 0 0 , M D w y w x y � � � � � � � $ % &( )1 2 2 2 2 ' 0 0 . 0 0 , H D w x y � � � �( ) ( )1 1 2 . 0 0 0 ' , (7) ãäå D Eh � � 3 212 1( ). — öèëèíäðè÷åñêàÿ æåñòêîñòü ïëàñòèíû ïðè èçãèáå. Ïðè âûâîäå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýëåìåíòà âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè áóäåì èñõîäèòü èç óðàâíåíèé [17] 0, 0 0� 0 0 0 x xy x x y p h m h u t � � � � 2 2 0 , 0� 0 0, 0 0 0 xy y y x y p h m h v t � � � � 2 2 0, Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 9 a x y b Mp M1 M2 M3 z Ðèñ. 1. Âÿçêîóïðóãàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè 1 2 2 2 2 2 2h M x H x y M y x w x wx y x xy 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 � 0 � � � � � � � � � � 0y � � � � � � � �� 0 0 � 0 0 , 0 0 0 0y w x w y q h m h w t xy y 2 2 0 , 0 - 0 0 - 0 0 � 0 0 2 2 2 2 2 1 2 x y xy y x x y L w w� � � � ( , ), (8) ãäå px , p y , q — èíòåíñèâíîñòü çàäàííûõ âíåøíèõ íàãðóçîê; L w w w x w y w x y ( , ) � � � � � � �� $ % & & 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 . Âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ íà âÿçêîóïðóãóþ ïëàñòèíó èìååò èíåðöèîí- íûé õàðàêòåð è ó÷èòûâàåòñÿ â (8) c ïîìîùüþ (-ôóíêöèè Äèðàêà [18]: m x y h M x x y yp p p p I ( , ) ( ) ( )� � � � � �1 ( ( 1 , (9) ãäå 1 — ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ïëàñòèíû. Ïîäñòàâëÿÿ (5), (6) è (7) â (8) è ââîäÿ ôóíêöèþ íàïðÿæåíèÿ â âèäå [17] , 0 0 x F y � 2 2 , , 0 0 y F x � 2 2 , � 0 0 0 xy F x y � � 2 , (10) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïðîãèáà w = w (x, y, t) è ôóíêöèè íàïðÿæåíèÿ F = F (x, y, t) (áåç ó÷åòà ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ âîëí [17] è ïðè px= p y=0) ñ ó÷åòîì (9) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà Êàðìàíà: D h w L w F q h h M x x y yp p p p I ( ) ( , ) ( ) ( )1 14 1 � 2 � � � � � � � � � � �' 1 ( ( $ % & 0 0 2 2 w t , 1 1 2 14 E F L w w2 �� ( ) ( , )' , (11) ãäå L w F w x F y w y F x w x y F x y ( , ) � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 Ðåøåíèå ñèñòåìû (11), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è (êðàÿ øàðíèðíî îïåðòû), áóäåì èñêàòü â âèäå w x y t w t n x a m y b nm m M n N ( , , ) ( ) sin sin� �� 11 3 3 , (12) ãäå w w tnm nm� ( )— íåèçâåñòíûå ôóíêöèè âðåìåíè. Ïîäñòàâëÿÿ (12) â (11) è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà, ñ ó÷åòîì áåçðàçìåðíûõ âåëè- ÷èí àíàëîãè÷íî [4] îòíîñèòåëüíî íåèçâåñòíûõ w w tnm nm� ( ) ïîëó÷àåì ñëå- äóþùóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: B w k l wk m nm m M n N kln �� ( ) �� $ % & � 1 2 2 1 2 1 4 1 � ' l kl kl q� � 48 6 * � �. � 3 � � �� 3 1 2 11 � �. � 3 a w w wk mirjs nm m r s M n i j N irln , ,, , ( )' js, (13) w wkl kl( )0 0� , � ( ) �w wkl kl0 0� , k N�1 2, ,..., ; l M�1 2, ,..., , ãäå B M M k x a n x a l y b m y b k m p I p p p p p ln � � � �1 4 1 0 sin sin sin sin 3 3 3 3 ïðè n = k è m = l; â èíûõ ñëó÷àÿõ B M M k x a n x a l y b m y b k m p I p p p p p ln � � �4 1 0 sin sin sin sin 3 3 3 3 ; M0=ab1h — ìàññà âñåé ïëàñòèíû;� � a b/ ; êîýôôèöèåíò akl ðàâåí åäèíèöå, åñëè k è l íå÷åòíûå, è îí ðàâåí íóëþ, åñëè k èëè l ÷åòíîå; êîýôôèöèåíò ak mirjsln îïðåäåëÿåòñÿ èç [4]. Ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (13) ïðîèíòåãðèðóåì ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìåòîäà, îñíîâàííîãî íà èñïîëü- çîâàíèè êâàäðàòóðíûõ ôîðìóë [4]. Äàëåå â êà÷åñòâå ÿäðà ðåëàêñàöèè Ã (t) â ðàñ÷åòàõ áóäåì èñïîëüçîâàòü ÿäðî Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà [19]: ' ( )t Ae tt� � �) 1, 0 1+ +* . (14) Â ðàáîòå [20] èññëåäîâàíû ðåëàêñàöèîííûå ñâîéñòâà êîíêðåòíûõ ìà- òåðèàëîâ: ñòåêëîïëàñòèêîâ ÊÀÑÒ-Â, ÝÄÔ, ÑÂÀÌ è òåêñòîëèòà ñ ðàçëè÷- íûì íàïðàâëåíèåì âîëîêîí äëÿ ýòîãî ÿäðà ðåëàêñàöèè. Ïàðàìåòðû A, ) è * è ìîäóëü óïðóãîñòè E íàéäåíû ìåòîäîì ëîãàðèôìè÷åñêèõ ñäâèãîâ [19]. Íà ðèñ. 2, à, ïðåäñòàâëåíà çàâèñèìîñòü ïðîãèáà â öåíòðå óïðóãîé (êðèâàÿ 1) è âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí (êðèâûå 2, 3) îò âðåìåíè. Âèäíî, ÷òî Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 11 âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà ïëàñòèíû ïðèâîäÿò ê çàòóõàíèþ êîëå- áàòåëüíîãî ïðîöåññà. Â íà÷àëüíûé ïåðèîä ðåøåíèÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðó- ãîé çàäà÷ ìàëî ðàçëè÷àþòñÿ, îäíàêî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà íà÷èíàþò îêàçûâàòü ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå. Íà ðèñ. 2, á, ïîêàçàíî âëèÿíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà * íà êîëåáà- òåëüíûé ïðîöåññ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû. Àíàëèç ïîëó÷åííûõ ðåçóëüòà- òîâ ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî óìåíüøåíèå ïàðàìåòðà * ïðèâîäèò ê ñäâè- ãó ôàçû âïðàâî è, ñëåäîâàòåëüíî, ê óìåíüøåíèþ ÷àñòîòû êîëåáàíèé. Èç ðèñ. 2, á, òàêæå âèäíî, ÷òî ðåîëîãè÷åñêèé ïàðàìåòð * èãðàåò âàæíóþ ðîëü ïî ñðàâíåíèþ ñ ðåîëîãè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè A è ). Òàê, ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé, ïîëó÷åííûå ïðè * = 0,2 è * = 0,075, t = 9, ðàçëè÷àþòñÿ áîëåå ÷åì íà 30 %, è ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ýòè ðàçëè÷èÿ ïðîäîëæàþò âîçðàñòàòü. Ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì èññëåäîâàíèÿ óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà A è óìåíüøå- íèå ïàðàìåòðà * ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû è ñîîòâåòñòâåííî ÷àñòîòû êîëåáàíèé. Âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû Ì â öåíòðå ïëàñòèíû íà êîëåáà- òåëüíûé ïðîöåññ ïîêàçàíî íà ðèñ. 2, â, èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî óâåëè÷åíèå çíà÷åíèÿ Ì ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèé. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè. Ïóñòü ïëàñòèíà ïîäâåðãàåòñÿ äèíàìè÷åñ- À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 w h/ 0,12 0,06 0,00 0,06 0.12 0,18 � � � 2 4 6 8 0,18 0,12 0,06 0,00 0,06 0,12 � � � 2 4 6 8 t 0,12 0,06 0,00 0,06 0.12 0,18 � � � 2 4 6 8 t 1 1 2 2 3 3 1 2 3 à á ñ Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà ïëàñòèíû îò âðåìåíè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ åå ôèçè- ÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ: à — 1 — óïðóãèé ìàòåðèàë; 2 — ÑÂÀÌ 0°; 3 — ÑÂÀÌ 45°; á — 1 — � = 0,2, 2 — * = 0,1, 3 — � = 0,075, â —1 — Ì1 = 0, 2 — Ì1 = = 0,1, 3 — Ì1 = 0, 2 êîìó íàãðóæåíèþ âäîëü ñòîðîíû b ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêîé P t P( ) � �0 �P t1 cos4 , ãäå P0, P1 = const; � — ÷àñòîòà âíåøíåé ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêè (ðèñ. 3). Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äàííîé çàäà÷è àíàëîãè÷íî çàäà÷å î ïîïå- ðå÷íîì ïðîãèáå è ôóíêöèÿõ íàïðÿæåíèé îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñ- òåìîé óðàâíåíèé: D h w P t w x ( ) ( )1 4 2 2 � 2 � �' 0 0 � � � � � � � $ % & � � � �1 ( ( 0 0 1 1 2 2h M x x y y w t q h L w Fp p p p I ( ) ( ) ( , ), 1 1 2 14 E F L w w2 �� ( ) ( , )' . (15) Ïîëàãàÿ, ÷òî ïëàñòèíà øàðíèðíî çàêðåïëåíà ïî êðàÿì, ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (15), óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, áóäåì èñêàòü íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè âèäà (12). Ïîäñòàâëÿÿ (12) âî âòîðîå óðàâíåíèå (15) è ïðèðàâíèâàÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ êîýôôè- öèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèÿõ, íàõîäèì ôóíê- öèþ óñèëèé: F x y t E w w C i j ir js r s M i j N irjs( , , ) ( ) cos (* ,, � � � �� 1 11 ' �3x a r s y b cos ( �� 3 � � � � � A i j x a r s y b D i j x a r irjs irjscos ( cos ( cos ( cos (�3 �3 �3 � � s y b �3 Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 13 P t( ) P t( ) x y b Mp M1 M2 M3 z a Ðèñ. 3. Âÿçêîóïðóãàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà, ïîäâåðãíóòàÿ ïåðèîäè÷åñêîé íàãðóçêå ïî íàïðàâëåíèþ Oy Î � � � $ %& �B i j x a r s y b P t y irjs cos ( cos ( ( )�3 �3 2 2 , (16) ãäå êîýôôèöèåíòû Cirjs, Airjs, Dirjs, Birjs îïðåäåëÿþòñÿ èç [4]. Ïîäñòàâëÿÿ (12) è (16) â ïåðâîå óðàâíåíèå (15) è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ñâîéñòâà ôóíêöèè Äèðàêà [18] è ââîäÿ áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû, äëÿ îïðåäåëåíèÿ íåèçâåñòíûõ wkl = wkl (t) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó íåëèíåéíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé: B w p t w k lk m nm m M kl kl klln �� ( cos ) � � � � � � � � � � � 1 2 2 1 2 1 4 . 4 � 2 1 2 � � � $ % & � � � n N klw'* � � � � 48 3 6 2 1 * � �. � 3 � �. � 3 kl k mirjs nm m r s M nkl q a wln , ,, i j N ir jsw w , *( ) � � � 1 1 ' , (17) w wkl kl( )0 0� , � ( ) �w wkl kl0 0� , k N�1 2, ,..., ; l M�1 2, ,..., , ãäå p k l k k l kl 2 2 2 2 2 2 2 1 4 1 4 � � � � � � � � � � $ % & � � � � � � � � � � � � � � � � � � $ % & � � 5 5 5 5 ! " 5 5 # 5 5 2 0P Pkp ; . � kl kl kp k p P P � � � � � � 2 2 1 2 ; P E h b kp � � � � � � � 3 . 2 2 2 3 1( ) . Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è. Â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå äëÿ âÿçêîóïðóãèõ êâàäðàòíûõ ïëàñòèí ñ ñîñðåäîòî÷åííîé â öåíòðå ìàññîé ñîîòâåòñòâóþùàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (17) èìååò ñëåäóþùèé âèä: ( ) �� ( cos ) ( ) ( )1 4 1 22 0 � � � � ��M w p t w t w d t . 4 � � �' , (18) ãäå p P Pkp � �1 0 . Äëÿ óäîáñòâà çàïèñè â óðàâíåíèè (18) îïóùåíû èíäåêñû ó êîýôôèöèåíòîâ pkl, �kl è wkl. À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 Óðàâíåíèå (18) áåç ïðàâîé ÷àñòè, áåç ó÷åòà âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ (A = = 0) è áåç ó÷åòà ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû (M = 0) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èç- âåñòíîå óðàâíåíèå Ìàòüå [21]. Îäíî èç íàèáîëåå èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ ýòîãî óðàâíåíèÿ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ ìåæäó åãî êîýôôèöèåíòàìè îíî èìååò íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàþùèå ðå- øåíèÿ [21]. Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèÿ, êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò òà- êèå ðåøåíèÿ, çàïîëíÿþò öåëûå îáëàñòè íà ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ4 ./ ~2p . Ýòè îáëàñòè íàçûâàþòñÿ îáëàñòÿìè äèíàìè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè (ÎÄÍ). Îïðåäåëåíèå òàêèõ îáëàñòåé ñîñòàâëÿåò îäíó èç âàæíåéøèõ çàäà÷ òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè. Ñîãëàñíî [21] îïðåäåëåíèå ãðàíèö ÎÄÍ ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ óñëî- âèé, ïðè êîòîðûõ çàäàííîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (18) èìååò ïåðèîäè÷åñêèå ðåøåíèÿ ñ ïåðèîäàìè T è 2T (T �23 4/ ). Ïåðèî- äè÷åñêîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18) ñ ïåðèîäîì 2T íàõîäèì â âèäå w t a t b t ( ) cos sin� � 4 4 2 2 . (19) Ïîäñòàâëÿÿ (19) â (18) è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðècos 4t 2 è sin 4t 2 , äëÿ îïðåäåëåíèÿ a è b àíàëîãè÷íî [22] ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó àëãåá- ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: � � � � � � � � � � � � � � $ % & & � �( )1 4 2 1 1 1 0 2 2 2 M p p a p bc s 4 . ' ' , � � � � � � � � � � � � � � � � $ % & & � 1 1 4 2 1 1 0 2 2 2p a M p p bs c' '( ) 4 . , (20) ãäå ' 'c t d� 6 � ( ) cos� 4 � 2 0 ; ' 's d� 6 � ( ) sin� 4� � 2 0 ; 0 1+ +' 'c s, . Èçâåñòíî, ÷òî ñèñòåìà îäíîðîäíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (20) èìååò îòëè÷íûå îò íóëÿ ðåøåíèÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà îïðåäåëèòåëü, ñîñ- òàâëåííûé èç êîýôôèöèåíòîâ ýòîé ñèñòåìû, ðàâåí íóëþ. Ïðèðàâíèâàÿ íóëþ îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (20), äëÿ îïðåäåëåíèÿ ãëàâíîé ÎÄÍ ïîëó÷àåì 4 . 2 1 1 4 1 2 2 4 2 p M p pc s� � � 7 �� ' ' . Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 15 Â ÷àñòíîñòè, èç ýòîé ôîðìóëû äëÿ óïðóãèõ ñèñòåì áåç ó÷åòà ñîñðåäîòî- ÷åííûõ ìàññ ïîëó÷àåì èçâåñòíóþ ôîðìóëó Â.Â.Áîëîòèíà [21] 4 . 2 1 p � 7 , à äëÿ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì áåç ó÷åòà ñîñðåäîòî÷åííûõ ìàññ — ôîðìóëó Â. È. Ìàòÿøà [22]: 4 . 2 1 2 2 4 2 p p pc s� � 7 �� ' ' . À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 4/2p 1,5 1,0 0,5 0,2 0, 4 0,6 0,2 0, 4 0,6 . 1 2 3 1 2 3 à á Ðèñ. 4. Âëèÿíèå íà ÎÄÍ ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà A (à) è ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû (á): à — 1 — À= 0; 2 — À = 0, 05; 3 — À= 0,1; á — 1 — Ì = 0; 2 — Ì = 0, 1; 3 — Ì = 0,2 w 2 1 0,0 1 2 ,0 ,0 � � 27 54 81 108 135 t 1 2 3 3,9 2,6 1,3 0 1,3� 27 54 81 108 135 t 1 2 3 à á Ðèñ. 5. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè ñðåäèííîé òî÷êè óïðóãîé (1) è âÿçêîóïðóãèõ (2, 3) ïëàñòèí (à) è âëèÿíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû íà êîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ (á): à — 1 — À = 0; 2 — À = 0,01; 3 — À = 0,05; á — 1 — Ì1 = 0; 2 — Ì1 = 0,1; 3 — Ì1 = 0,2 Íà ðèñ. 4, à, ïîêàçàíû ãëàâíûå îáëàñòè äèíàìè÷åñêîé íåóñòîé÷èâîñòè óïðóãèõ è âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí, ïîñòðîåííûå äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà A. Êàê âèäèì, ñ óâåëè÷åíèåì ýòîãî ïàðàìåòðà ÎÄÍ ïëàñòèíû ñìåùàåòñÿ âíèç. Àíàëîãè÷íî ñìåùåíèå âíèç ïðîèñõîäèò ïîä âëèÿíèåì ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû íà ÎÄÍ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû (ðèñ. 4, á). Èíòåãðèðîâàíèå óðàâíåíèé (17), ïîëó÷åííûõ íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè ïðîãèáà ñ ó÷åòîì ðàçëè÷íûõ ôàêòîðîâ, âûïîëíÿëîñü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìåòîäà, ïðåäëîæåííîãî â ðàáîòàõ [2, 4]. Â êà÷åñòâå ÿäðà èñïîëüçîâàíî ÿäðî Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà (14). Ðåçóëüòàòû âû÷èñ- ëåíèé, âûïîëíåííûõ ñ ïîìîùüþ ÝÂÌ íà ÿçûêå Delphi, ãðàôè÷åñêè ïðåä- ñòàâëåíû íà ðèñ. 5, èç êîòîðîãî âèäíî, ÷òî âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ â íà÷àëüíîé ñòàäèè êîëåáàíèÿ ïðîèñõîäÿò âáëèçè íà÷àëüíîãî ðàâíîâåñ- íîãî ñîñòîÿíèÿ. Ñ òå÷åíèåì âðåìåíè àìïëèòóäà ìåäëåííî âîçðàñòàåò è, äîõîäÿ äî óðîâíÿ òîëùèíû ïëàñòèíû, íà÷èíàåòñÿ óñòîé÷èâûé êîëåáàòåëü- íûé ïðîöåññ. Íà ðèñ. 5, á, ïîêàçàíî, ÷òî óâåëè÷åíèå ñîñðåäîòî÷åííîé ìàññû ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû è ÷àñòîòû êîëåáàíèé. (Ïðîäîëæåíèå ñòàòüè ñì. â ñëåäóþùåì íîìåðå). A method and algorithm are presented to solve the problems of dynamics of viscoelastic systems. The proposed method has helped to solve the problems on nonlinear oscillations and dynamic stability of viscoelastic rectangular plates and cylindrical panels. 1. Êàðíàóõîâ Â. Ã., Ñåí÷åíêîâ È. Ê., Ãóìåíþê Á. Ï. Òåðìîìåõàíè÷åñêîå ïîâåäåíèå âÿçêî- óïðóãèõ òåë ïðè ãàðìîíè÷åñêîì íàãðóæåíèè. — Êèåâ : Íàóê. äóìêà, 1985. — 288 ñ. 2. Áàäàëîâ Ô. Á., Ýøìàòîâ Õ., Þñóïîâ Ì. Î íåêîòîðûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ ñèñòåì èíòåãðî- äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, âñòðå÷àþùèõñÿ â çàäà÷àõ âÿçêîóïðóãîñòè // ÏÌÌ. — 1987. — 51, ¹ 5. — Ñ. 867—871. 3. Áàäàëîâ Ô. Á., Ýøìàòîâ Õ. Êðàòêèé îáçîð è ñðàâíåíèå èíòåãðàëüíûõ ìåòîäîâ ìàòåìà- òè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ â çàäà÷àõ íàñëåäñòâåííîé ìåõàíèêè òâåðäûõ òåë // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1989. — 11, ¹ 2. — Ñ. 81—90. 4. Ýøìàòîâ Õ. Èíòåãðàëüíûé ìåòîä ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì //Àâòîðåô. äèñ... ä-ðà òåõí. íàóê. — Êèåâ, 1991. — 37ñ. 5. Âåðëàíü À. Ô., Ýøìàòîâ Õ., Õóäàÿðîâ Á. À., Áîáàíàçàðîâ Ø.Ï. ×èñëåííîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2004. — 26, ¹ 3. — Ñ. 3—14. 6. Potapov V. D. Stability of Elastic and Viscoelastic Plates in a Gas Flow Taking into Account Shear Strains // J. of Sound and Vibration. — 2004. — Vol. 276. — P. 615—626. 7. Âåðëàíü À. Ô., Ýøìàòîâ Á. Õ. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå êîëåáàíèé îðòîòðîï- íûõ âçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ñ ó÷åòîì ãåîìåòðè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè // Ýëåêòðîí. ìîäå- ëèðîâàíèå. — 2005. — 27, ¹ 4. — Ñ. 3—17. 8. Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibration Analysis of Viscoelastic Plates Based on a Refined Timoshenko Theory // Intern. Applied Mechanics. — 2006. — Vol. 42, ¹ 5. — P. 596— 605. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 17 9. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Non-linear Vibration and Dynamic Stability of a Vis- coelastic Cylindrical Panel with Concentrated Mass // Acta Mechanica. — 2007. — ¹ 1-4 (190). — P. 165—183. 10. Õîäæàåâ Ä. À., Ýøìàòîâ Á. Õ. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ñ ñî- ñðåäîòî÷åííûìè ìàññàìè // Ïðèêëàäíàÿ ìåõàíèêà è òåõíè÷åñêàÿ ôèçèêà. — 2007. — ¹ 6 (48). — Ñ. 158—169 (Íîâîñèáèðñê). 11. Eshmatov B. Kh., Mukherjee S. Nonlinear Vibrations of Viscoelastic Composite Cylindrical Panels // J. of Vibration and Acoustics. — 2007. — ¹ 3 (129). — P. 285—296. 12. Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibrations and Dynamic Stability of Viscoelastic Orthotropic Rectangular Plates // J. of Sound and Vibration. — 2007. — ¹ 300. —P. 709—726. 13. Eshmatov B. Kh. Dynamic Stability of Viscoelastic Circular Cylindrical Shells Taking into Account Shear Deformation and Rotatory Inertia // Apllied Mathematics and Mechanics. — 2007. — ¹ 28 (10). — P. 1319—1330. 14. Eshmatov B. Kh. Nonlinear Vibrations of Viscoelastic Cylindrical Shells Taking Into Account Shear Deformation and Rotatory Inertia // J. of Nonlinear Dynamics. — 2007. — ¹ 2. — P. 43—53. 15. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Dynamic Stability of a Viscoelastic Plate with Concen- trated Masses // Intern. Applied Mechanics. — 2008. —¹ 2 (44). — P. 208—216 (USA). 16. Eshmatov B. Kh., Khodjaev D. A. Dynamic Stability of a Viscoelastic Cylindrical Panel with Concentrated Masses // Strength of Materials. — 2008. — ¹ 4 (40). — P. 491— 502 (USA). 17. Âîëüìèð À.Ñ. Íåëèíåéíàÿ äèíàìèêà ïëàñòèíîê è îáîëî÷åê. —Ì.: Íàóêà, 1972. — 432 ñ. 18. Amba-Rao C.L. On the Vibration of a Rectangular Plate Carrying a Concentrated Mass // J. Applied Mechanics.. — 1964. — Vol. 31. — P. 550 — 551. 19. Êîëòóíîâ Ì.À. Ê âîïðîñó âûáîðà ÿäåð ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñ ó÷åòîì ïîëçó÷åñòè è ðåëàêñàöèè // Ìåõàíèêà ïîëèìåðîâ. — 1966. — ¹4. — Ñ. 483—497. 20. Òþíååâà È.Ì. Ðåëàêñàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè ñòåêëîïëàñòèêîâ // Òàì æå. — 1970. — ¹3. — Ñ. 560—562. 21. Áîëîòèí Â.Â. Äèíàìè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü óïðóãèõ ñèñòåì. —Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1956. — 600 ñ. 22. Ìàòÿø Â.È. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ âÿçêîóïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé îáîëî÷êè // Ìåõàíèêà ïîëèìåðîâ. — 1974. —¹ 3. — Ñ. 479—483. Ïîñòóïèëà 16.12.08; ïîñëå äîðàáîòêè 08.04.09 ÂÅÐËÀÍÜ Àíàòîëèé Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1956 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî- âàíèÿ â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé; ÷èñëåííûå ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. ÝØÌÀÒÎÂ Õàñàí, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé «Èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé» Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1969 ã. îêîí÷èë Ñàìàðêàíäñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÝØÌÀÒÎÂ Áàõòè¸ð Õàñàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè è êîñìè- ÷åñêîé òåõíèêè óíèâåðñèòåòà Áóôôàëî, ÑØÀ. Â 1997 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåð- ñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ è äð. 18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3 ÁÎÁÀÍÀÇÀÐÎÂ Øàðîô Ïóëàòîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû «Èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé» Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1992 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÊÓ×ÀÐÎÂ Îëèìæîí Ðóçèìóðàòîâè÷, ñò. ïðåïîä. êàôåäðû «Âûñøåé ìàòåìàòèêè» Òàøêåíòñ- êîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1994 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÕÎÄÆÀÅÂ Äàäàõàí Àêìàðõàíîâè÷, àññèñòåíò êàôåäðû «Èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé» Òàø- êåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1996 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåõàíèêà äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 19

Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. I

Репозитарії

Схожі ресурси