Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой
Задача дифференциальной диагностики функционального состояния объектов управления, имеющих модульную структуру и конечный набор возможных неисправностей, сведена к двум самостоятельным последовательно решаемым задачам: задаче контроля (установлению критерия наличия неисправности в системе) и задаче...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101495 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 73-90. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860254288739041280 |
|---|---|
| author | Шамолин, М.В. |
| author_facet | Шамолин, М.В. |
| citation_txt | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 73-90. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Задача дифференциальной диагностики функционального состояния объектов управления, имеющих модульную структуру и конечный набор возможных неисправностей, сведена к двум самостоятельным последовательно решаемым задачам: задаче контроля (установлению критерия наличия неисправности в системе) и задаче диагностирования (поиску произошедшей неисправности). Показана принципиальная осуществимость решения задачи дифференциальной диагностики в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой на уровне математических моделей.
Задачу диференціальної діагностики функціонального стану об’єктів управління, які мають модульну структуру та кінцевий набір можливих несправностей, зведено до двох самостійних послідовно розв’язуваних задач: задачі контролю (установленню критерію наявності несправності у системі) та задачі діагностування (пошуку несправності, що відбулась). Показано принципову можливість розв’язання задачі диференціальної діагностики у випадку траєкторних вимірювань і траєкторних вимірювань з помилкою на рівні математичних моделей.
A problem of differential diagnosis of functional state of the control objects possesing a module structure and a finite set of possible failures is reduced to two independent successively decidable problems: a problem of control (establishing the criteria of failures availability in the system) and diagnosis problem (search for a failure). A principal realizability of solution of the problem of differential diagnosis in the case of exact trajectory measurements with an error at the level of mathematical models is shown.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00231-а).
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:47:21Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 531.01+517.9
Ì. Â. Øàìîëèí, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò ìåõàíèêè Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòà èì. Ëîìîíîñîâà
(Ðîññèÿ, 119899, Ìîñêâà, Ìè÷óðèíñêèé ïð., ä. 1,
òåë. (495) 9395143, Å-mail: shamolin@imec.msu.ru)
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ
â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
è òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé *
Çàäà÷à äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè ôóíêöèîíàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòîâ óïðàâëåíèÿ,
èìåþùèõ ìîäóëüíóþ ñòðóêòóðó è êîíå÷íûé íàáîð âîçìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé, ñâåäåíà ê
äâóì ñàìîñòîÿòåëüíûì ïîñëåäîâàòåëüíî ðåøàåìûì çàäà÷àì: çàäà÷å êîíòðîëÿ (óñòàíîâëåíèþ
êðèòåðèÿ íàëè÷èÿ íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå) è çàäà÷å äèàãíîñòèðîâàíèÿ (ïîèñêó ïðîèçîøåä-
øåé íåèñïðàâíîñòè). Ïîêàçàíà ïðèíöèïèàëüíàÿ îñóùåñòâèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà÷è äèôôåðåí-
öèàëüíîé äèàãíîñòèêè â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé è òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ
îøèáêîé íà óðîâíå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé.
Çàäà÷ó äèôåðåíö³àëüíî¿ ä³àãíîñòèêè ôóíêö³îíàëüíîãî ñòàíó îá’ºêò³â óïðàâë³ííÿ, ÿê³ ìàþòü
ìîäóëüíó ñòðóêòóðó òà ê³íöåâèé íàá³ð ìîæëèâèõ íåñïðàâíîñòåé, çâåäåíî äî äâîõ ñàìîñò³éíèõ
ïîñë³äîâíî ðîçâ’ÿçóâàíèõ çàäà÷: çàäà÷³ êîíòðîëþ (óñòàíîâëåííþ êðèòåð³þ íàÿâíîñò³ íåñïðàâ-
íîñò³ ó ñèñòåì³) òà çàäà÷³ ä³àãíîñòóâàííÿ (ïîøóêó íåñïðàâíîñò³, ùî â³äáóëàñü). Ïîêàçàíî
ïðèíöèïîâó ìîæëèâ³ñòü ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷³ äèôåðåíö³àëüíî¿ ä³àãíîñòèêè ó âèïàäêó òðàºêòîð-
íèõ âèì³ðþâàíü ³ òðàºêòîðíèõ âèì³ðþâàíü ç ïîìèëêîþ íà ð³âí³ ìàòåìàòè÷íèõ ìîäåëåé.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íåèñïðàâíîñòü, äèàãíîñòèðîâàíèå, òðàåêòîðíîå èçìåðåíèå.
Êðèòåðèåì íàëè÷èÿ íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå ìîæåò áûòü âûõîä òðàåêòîðèè
îáúåêòà íà íåêîòîðóþ çàðàíåå âûáðàííóþ ïîâåðõíîñòü. Íåèñïðàâíîñòü ìî-
æåò ïðîèçîéòè â ëþáîé çàðàíåå íåèçâåñòíûé ìîìåíò âðåìåíè äâèæåíèÿ
îáúåêòà â ëþáîé òî÷êå âíóòðè äàííîé ïîâåðõíîñòè êîíòðîëÿ [1—3].
Èñõîäíîé èíôîðìàöèåé ïðè ðåøåíèè çàäà÷è êîíòðîëÿ ÿâëÿåòñÿ ìàòå-
ìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü äâèæåíèÿ ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà, îãðàíè÷åííàÿ
îáëàñòü åå íà÷àëüíûõ óñëîâèé è àïðèîðíûé ñïèñîê ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäå-
ëåé äâèæåíèÿ îáúåêòà ñ òîé èëè èíîé âîçìîæíîé íåèñïðàâíîñòüþ. Ïî ýòîé
èíôîðìàöèè ìîæíî âûáðàòü ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ.
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 73
���������
�
��������
� �������
* Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ
èññëåäîâàíèé (ãðàíò 08-01-00231-à).
Çàäà÷ó äèàãíîñòèðîâàíèÿ áóäåì ðåøàòü, âûïîëíÿÿ ïîñëåäóþùåå ñëåæå-
íèå çà òðàåêòîðèåé îáúåêòà ïîñëå åå âûõîäà íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ. Ïðè
ýòîì íåîáõîäèìî, ÷òîáû ïðîöåññ äèàãíîñòèêè îñóùåñòâëÿëñÿ âî âðåìÿ äâè-
æåíèÿ îáúåêòà, áûë âûïîëíåí â òå÷åíèå âåñüìà êðàòêîãî èíòåðâàëà âðåìåíè,
íàïðèìåð çà ïîëóïåðèîä èëè ÷åòâåðòü ïåðèîäà áûñòðûõ êîëåáàíèé îáúåêòà, è
íå òðåáîâàë äîïîëíèòåëüíîãî ïðèáîðíîãî îáåñïå÷åíèÿ. Ýòè îáñòîÿòåëüñòâà
íå ïîçâîëÿþò èñïîëüçîâàòü äîâîëüíî ãðîìîçäêèå àëãîðèòìû òåîðèè èäåíòè-
ôèêàöèè è ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîåíèÿ àëãîðèòìîâ íåïðåðûâíîé
ýêñïðåññ-äèàãíîñòèêè.
Çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðå-
íèé. Ðàññìîòðèì äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñàíî ñèñ-
òåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
� �x f x t0( , ) , (1)
ãäå x t( ), f x t0( , ) — n-ìåðíûå âåêòîð-ôóíêöèè. Íà÷àëüíûå óñëîâèÿ óðàâíå-
íèÿ (1) áóäåì ñ÷èòàòü ïðèíàäëåæàùèìè íåêîòîðîé îãðàíè÷åííîé îáëàñòè.
Êðîìå òîãî, áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ f x t0( , ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì
òåîðåìû ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1) â íåêî-
òîðîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà R x tn�1{ , }[4—6].
Ïóñòü îñóùåñòâëåí ñèíòåç óïðàâëåíèÿ è åãî ñòðóêòóðà, è ïàðàìåòðû
âûáðàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî óðàâíåíèÿ (1) îïèñûâàþò æåëàåìîå äâèæå-
íèå, ò.å. äâèæåíèå x t( ), áëèçêîå ê íåêîòîðîé ïðîãðàììíîé òðàåêòîðèè
x t* ( ). Òàêóþ ñõåìó ïðèíÿòî íàçûâàòü èñïðàâíîé.
Êîíå÷íîìó íàáîðó îïîðíûõ íåâûðîæäåííûõ íåèñïðàâíîñòåé [1] èç
êëàññà âîçìîæíûõ ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå íàáîð îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òîãî æå ïîðÿäêà (òîëüêî êîíå÷íîãî):
� �x f x tj ( , ), j l� 1,..., . (2)
Çäåñü f x tj ( , )— èçâåñòíûå âåêòîð-ôóíêöèè, îòëè÷àþùèåñÿ îäíà îò äðóãîé
òîé èëè èíîé íåèñïðàâíîñòüþ.
Ìîäåëè (1) è (2) ïðèíàäëåæàò îäíîìó ôàçîâîìó ïðîñòðàíñòâó è îòëè-
÷àþòñÿ òîëüêî ñòðóêòóðîé. Åñëè â çàðàíåå íåèçâåñòíûé ìîìåíò âðåìåíè
ïðîèñõîäèò îäíà èç âîçìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé, òî òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû
(1) èçìåíÿåòñÿ è íåïðåðûâíî ïðîäîëæàåòñÿ òðàåêòîðèåé îäíîé èç ñèñòåì
(2). Íàáîð ìîäåëåé (1) è (2) íåâûðîæäåí, è èõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü
îáúåäèíåííûìè:
� �x f x tj ( , ), j l� 0,..., . (3)
 ñèñòåìå (1) ìîãóò ïðîèñõîäèòü íåèñïðàâíîñòè, íå ïðåäóñìîòðåííûå
àïðèîðíûì íàáîðîì (2), è âîçíèêàþùèå, íàïðèìåð, â îêðåñòíîñòÿõ îïîð-
íûõ íåèñïðàâíîñòåé. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ôóíêöèè â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé
Ì. Â. Øàìîëèí
74 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
(3) ñîäåðæàò ýëåìåíòû ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé [1, 7]. Íåäîîïðåäåëåí-
íîñòü îïèñàíèÿ âîçíèêàåò â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî çàêîíû èçìåíåíèÿ íåêîòîðûõ
ýëåìåíòîâ â (3) îòëè÷àþòñÿ îò çàêîíîâ, ïðåäóñìîòðåííûõ â êëàññå âîç-
ìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé, è ýòè çàêîíû íåèçâåñòíû.
Äëÿ îïèñàíèÿ ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ íåïîëíîé èíôîðìà-
öèåé, èñïîëüçóþò ñëåäóþùèå äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ [8]:
��x F x t( , ), (4)
ãäå âåêòîð x õàðàêòåðèçóåò îòêëîíåíèå ñèñòåìû (1) îò ñîñòîÿíèÿ, ïðåäïè-
ñàííîãî öåëüþ óïðàâëåíèÿ, à ÷åðåç F x t( , ) îáîçíà÷åíî ìíîæåñòâî ñêî-
ðîñòåé (3):
F x t f x tj( , ) ( , )� , j � 0 1,..., , (5)
è òàêèõ, êîòîðûå àïðèîðè íåèçâåñòíû, íî ìîãóò âîçíèêíóòü è ïðèíàäëå-
æàòü, íàïðèìåð, ñôåðàì âëèÿíèÿ ñêîðîñòåé îïîðíûõ ñèñòåì (3).
Ïîä ðåøåíèåì äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ (4), (5) [9] áóäåì ïîíè-
ìàòü àáñîëþòíî íåïðåðûâíóþ ôóíêöèþ x t( ), óäîâëåòâîðÿþùóþ ñîîòíî-
øåíèþ ��x F x t t( ( ), ) ïðè âñåõ t íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè è
ñîîòíîøåíèþ x t( )0 �� . Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñò-
âåííîñòè òàêèõ ðåøåíèé äëÿ ñèñòåì ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè ïðèâå-
äåíû â [10].
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå (1) ïðîèçîéäåò
íåèñïðàâíîñòü, íå ïðåäóñìîòðåííàÿ àïðèîðíûì ñïèñêîì îïîðíûõ íåèñï-
ðàâíîñòåé (2), òî ýòà íåèñïðàâíîñòü ìîæåò áûòü îáíàðóæåíà, íàïðèìåð,
êàê îäíà èç îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé.
Ïðîöåññ àíàëèçà òðàåêòîðèé ñèñòåì (3) ïîñëå âûõîäà ôàçîâîé òðàåêòî-
ðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ y t( ) íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ� k , ò.å. ïðîöåññ ðåøå-
íèÿ çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ, íàçîâåì àëãîðèòìîì äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âðåìÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ � çàäàíî òàêîå, ÷òî
� �0 0 T . Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ñôîðìóëèðóåì è äîêàæåì òåîðåìó, êîòîðàÿ
äàåò âîçìîæíîñòü ïîñòðîèòü àëãîðèòìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ââåäåì â ðàññìîòðåíèå âåêòîð
z t x x z zd d qq
( ) ( , ..., ) ( , ..., )� �
1 1 , q n�1, ..., , (6)
êîìïîíåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïîäìíîæåñòâîì êîìïîíåíò ôàçîâîãî âåê-
òîðà ñîñòîÿíèÿ x t( ), ïðè÷åì ðàçìåðíîñòü ìíîæåñòâà êîìïîíåíò âåêòîðà
êîíòðîëÿ y t( ) íå ïðåâûøàåò ðàçìåðíîñòü ïîäìíîæåñòâà êîìïîíåíò âåêòî-
ðà z t( ), ò.å. m q
. Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âåêòîð z t( ) ÿâëÿåòñÿ òàêèì, ÷òî
õàðàêòåð ôóíêöèè f x tj ( , ) ïðîÿâëÿåòñÿ â ïîâåäåíèè êîìïîíåíò âåêòîðà
z t( ), êîòîðûé íàçîâåì âåêòîðîì äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ñôîðìóëèðóåì çàäà÷ó äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 75
Ïóñòü èçâåñòíû íåâûðîæäåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ (3),
ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ � k [1, 7], ìîìåíò âðåìåíè � 0 âûõîäà âåêòîðà êîíò-
ðîëÿ íà ïîâåðõíîñòü � k è çíà÷åíèå ôàçîâîãî âåêòîðà x ( )� 0 . Òðåáóåòñÿ ïî
èçìåðåíèþ ôàçîâîãî âåêòîðà x t( )â íåêîòîðûå ïîñëåäóþùèå ïîñëå âûõîäà
íà ïîâåðõíîñòü � k ìîìåíòû âðåìåíè tk íà èíòåðâàëå �� � ��0 0, � (ãäå � —
ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè, � �0 0� T ) ñ ïîìîùüþ âåêòîðà äèàãíîñòèðî-
âàíèÿ z t( ) îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü íîìåð j ôóíêöèè f x tj ( , ) èç (3).
Òàêèì îáðàçîì, ïî èíôîðìàöèè î âûõîäå ñèñòåìû íà ïîâåðõíîñòü
êîíòðîëÿ è â ðåçóëüòàòå ñëåæåíèÿ çà ïîñëåäóþùåé òðàåêòîðèåé îáúåêòà
íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü íîìåð j âîçíèêøåé â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ íå-
èñïðàâíîñòè èç àïðèîðíîãî ñïèñêà â l íåèñïðàâíîñòåé.
Ïåðåéäåì òåïåðü ê áîëåå äåòàëüíîé ôîðìàëèçîâàííîé ïîñòàíîâêå çà-
äà÷è è ðåçóëüòàòàì, âûòåêàþùèì èç ýòîé ïîñòàíîâêè.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé q n� . Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ. Òî÷êó
òðàåêòîðèè j-é ñèñòåìû (3) îáîçíà÷èì x tj ( ). Îáîçíà÷åíèå x t( ) áóäåì ïðè-
ìåíÿòü â ðàññóæäåíèÿõ, îòíîñÿùèõñÿ êî âñåì ñèñòåìàì, èëè êàê îáùåå
îáîçíà÷åíèå òî÷êè òðàåêòîðèè, êîãäà åå ïðèíàäëåæíîñòü òîé èëè èíîé
ñèñòåìå (3) íå óñòàíîâëåíà, ò. å. ïðè îïèñàíèè äåéñòâèòåëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû.
Ïðèìåì çà íà÷àëî îòñ÷åòà âðåìåíè ìîìåíò âûõîäà x t( )íà ïîâåðõíîñòü
� k . Ââåäåì íåêîòîðîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî N. Áóäåì ïðîâîäèòü òðàåêòîð-
íûå èçìåðåíèÿ â ñëåäóþùèå ìîìåíòû âðåìåíè: � 0 0� , t N1 �� / , t2 �
� �2� �/ , ...,N t N . Îáîçíà÷èì x x
j j0 0� ( ), x x N
j j1 � ( / )� , x x N
j j2 2� ( / ),...�
..., ( )x xN jj
� � , x x0 0� ( ), x x N1 � ( / )� , x x N2 2� ( / )� , ..., x xN � ( )� .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçîøëà íåèñïðàâíîñòü, òðàåêòîðèÿ ñèñòåìû
âûøëà íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ� k è äàëåå, â òå÷åíèå âðåìåíè �, ïîëó÷åíû
çíà÷åíèÿ x0, x1, x2, ..., x N . Íàäî ïðîâåðèòü ïîëíóþ ñèñòåìó l ãèïîòåç: j-ÿ
ãèïîòåçà, j l�0,..., , — ýòî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî x t( ) — òðàåêòîðèÿ j-é
ñèñòåìû (3), ò.å. x x j
ïðè óñëîâèè x x
j0 0� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ôóíêöèîíàë îò x0, x1, x2, ..., x N , x
j1 , ..., x N j
:
S x xj
N
i
N
s
n
is ijs� �
� �
��
1 1
2( ) , j l� 0,..., . (7)
Çäåñü x is — s-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ x t( ), èçìåðåííàÿ â ìîìåíò
âðåìåíè ti , i N�1, ..., ; x ijs — s-ÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ â ìîìåíò
âðåìåíè ti , ïîëó÷åííàÿ â ðåçóëüòàòå èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (3) ñ ôóíê-
öèåé f j â ïðàâîé ÷àñòè. Äëÿ êàæäîãî j è N íà èíòåðâàëå [ , ]0 � âåëè÷èíà S j
N
èìååò ñâîå çíà÷åíèå, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííîé âåëè÷èíîé, çàäàííîé íà
ìíîæåñòâå ôóíêöèé.
Ì. Â. Øàìîëèí
76 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
Ñôîðìóëèðóåì ïðåäåëüíóþ òåîðåìó äëÿ ñëó÷àÿ òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ
èçìåðåíèé.
Òåîðåìà. Äëÿ íåâûðîæäåííîãî êîíå÷íîãî íàáîðà ñèñòåì îáûêíîâåí-
íûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
� �x f x tj ( , ), x t x X( )0 0
0� � , j l� 0,..., , (8)
äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ �� �x F x t f x tj( , ) ( , ) è âñåõ j íàéäóòñÿ òà-
êèå íàáîðû ÷èñåë S j
N , M j , S j è N, ÷òî äëÿ çíà÷åíèÿ N N� ñ ïîìîùüþ
ôóíêöèîíàëà S j
N èç (7), çàïèñàííîãî â âèäå
S x xj
N
i
N
i ij� �
�
�
1
2( ) , j l� 0,..., , (9)
âîçíèêøàÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ â íåèçâåñòíûé ìîìåíò âðåìåíè íà èíòåð-
âàëå [ , ]t T0 0 íåèñïðàâíîñòü, óäîâëåòâîðÿþùàÿ êðèòåðèþ êîíòðîëÿ, áóäåò
äèàãíîñòèðîâàíà îäíîçíà÷íî, êàê îäíà èç ñèñòåì (8) ñ íîìåðîì j, åñëè
S M M N
S
x X x
o
N
j
N
j j
j
N
k
�
� �
� �
�
�
�
�
�: ( )
max
{ : }0
0
0
1
�
èëè åñëè
S S S Sj
N
j j
N� �: min
�
� . (10)
Ïðîöåäóðà äèàãíîñòèðîâàíèÿ íåèñïðàâíîñòè ñâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåìó.
Àëãîðèòì 1. Â ïðîöåññå ôóíêöèîíèðîâàíèÿ îáúåêòà ïîñëå âûõîäà åãî
òðàåêòîðèè íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ � k ôîðìèðóþòñÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ
ôóíêöèîíàëîì äèàãíîñòèðîâàíèÿ (7), (9), ÷èñëà S j
N , è êàæäîå ÷èñëî S j
N
ñðàâíèâàåòñÿ ñ çàðàíåå ïîäîáðàííûìè êîíñòàíòàìè M j . Åñëè S Mj
N
j
,
òî j-ÿ ñèñòåìà (3) âêëþ÷àåòñÿ â àïîñòåðèîðíûé íàáîð l j , â ïðîòèâíîì
ñëó÷àå — èñêëþ÷àåòñÿ èç íåãî. Ñîãëàñíî òåîðåìå, òàêèì îáðàçîì, íîìåð
ôóíêöèîíàëüíîãî ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà (íåèñïðàâíîñòè) èç èçâåñòíîãî ñïèñ-
êà ìîæåò áûòü äèàãíîñòèðîâàí îäíîçíà÷íî, à èìåííî l j �1.
Íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ ïðîöåññ ïðåäâàðèòåëüíîãî âûáîðà N íà óðîâíå
ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé è ïðîãðàìì ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí ïî ñëåäóþ-
ùåìó àëãîðèòìó.
Àëãîðèòì 2. Ïîñëå âûõîäà òðàåêòîðèè îáúåêòà íà ïîâåðõíîñòü êîíò-
ðîëÿ � k äëÿ âîçìîæíûõ j èç ñïèñêà çàðàíåå èçâåñòíûõ íåèñïðàâíîñòåé
îáúåêòà (3) è N �1 ñîñòàâëÿþòñÿ ÷èñëà S j
N , èç êîòîðûõ âûáèðàåòñÿ íàè-
ìåíüøåå çíà÷åíèå S j1
. Íîìåð j1, ñîîòâåòñòâóþùèé íàèìåíüøåìó çíà÷å-
íèþ S j , óêàçûâàåò íîìåð ñëó÷èâøåéñÿ íåèñïðàâíîñòè. Çàòåì âû÷èñëÿåòñÿ
çíà÷åíèå S j
N äëÿ N �2 è îïðåäåëÿåòñÿ j2. Ïðè ðàâåíñòâå j j1 2� íåèñïðàâ-
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 77
íîñòü â îáúåêòå ñ÷èòàåòñÿ ïðàâèëüíî îïðåäåëåííîé, è àëãîðèòì çàêàí÷è-
âàåò ðàáîòó.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå (åñëè j j1 2� ) âû÷èñëÿåòñÿ çíà÷åíèå S j
N
äëÿ N �3 è ïðîâîäèòñÿ ñðàâíåíèå ÷èñåë j2 è j3 è ò.ä.
Åñëè âðåìÿ � íå îãðàíè÷åíî çàðàíåå ñâåðõó, òî ïðè îñóùåñòâëåíèè
ýòîãî ïðîöåññà ìîæåò áûòü îïðåäåëåí ìîìåíò âðåìåíè � �( )� Nh îêîí÷à-
íèÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ.
Ðàññìîòðèì îáîáùåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ óñëîâèÿ òåîðåìû íå íàðóøàþòñÿ.
I. Ïóñòü çàäàíû óðàâíåíèÿ (8) è âåêòîð äèàãíîñòèðîâàíèÿ (6). Â ýòîì
ñëó÷àå âìåñòî ôóíêöèîíàëà (7) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ôóíê-
öèîíàë:
S z zj
N
i
N
s
q
ijs is� �
� �
��
1 1
2( ) , q n . (11)
 ïîâåäåíèè êîìïîíåíò âåêòîðà äèàãíîñòèðîâàíèÿ z t( ) ïðîÿâëÿåòñÿ
õàðàêòåð ôóíêöèé f x tj ( , ), j l�1, ..., , ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî òåîðåìà è
îáóñëîâëåííûå åþ àëãîðèòìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâû-
ìè è ïðè äèàãíîñòèêå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà (11). Ñîîòâåòñòâóþùåå
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ëåãêî ñôîðìóëèðîâàòü.
 ñâÿçè ñ äîêàçàòåëüñòâîì ýòîé ÷àñòè òåîðåìû ñäåëàåì äâà óòî÷íÿþ-
ùèõ çàìå÷àíèÿ.
Çàìå÷àíèå 1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë (11), êîòîðûé çàïèøåì â ñëå-
äóþùåì âèäå (N äëÿ ïðîñòîòû îïóñêàåì):
S z zj
d
i
N
k
q
ijk ik� �
� �
��
1 1
2( ) , j l�1, ..., , q n ,
è àíàëîãè÷íûé ôóíêöèîíàë
S j
i
N
k
q
ijk ik
� � �� �
� �
��
1 1
2( ) ,
â êîòîðîì � ik ik i kz z� � �1 , � ijk ijk i jkz z� � �1 . Ïîñëå âîçâåäåíèÿ â êâàäðàò
è ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì:
S S z z zj j
d
i
N
k
q
i jk i k
i
N
k
q
ijk
� � � � � �
� �
� �
� �
�� ��
1 1
1 1
2
1 1
2( ) z z zik i jk i k� �� �1 1 .
Çäåñü âòîðàÿ è òðåòüÿ ñóììû ïîëîæèòåëüíû, è èç ñõîäèìîñòè âåëè÷èíû
S j
� ñëåäóåò ñõîäèìîñòü è âåëè÷èíû S j
d .
Çàìå÷àíèå 2. Ïóñòü j-ÿ íåèñïðàâíîñòü ìîæåò áûòü äèàãíîñòèðîâàíà ñ
ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà S j
d , ò.å. ñóùåñòâóåò ÷èñëî M j òàêîå, ÷òî S Mj
d
j
Ì. Â. Øàìîëèí
78 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
è S MJ
d
j� äëÿ íåêîòîðîãî J j� . Òîãäà ýòà íåèñïðàâíîñòü ìîæåò áûòü
äèàãíîñòèðîâàíà è ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà S j
� , â êîòîðîì òåïåðü � ik �
� � �z zik i k1 ñ ÷èñëîì M Mj j� 4 .
Òàêèì îáðàçîì, èç ñõîäèìîñòè ôóíêöèîíàëà S j
d ê ÷èñëó, ìåíüøåìó
M j , ñëåäóåò ñõîäèìîñòü ôóíêöèîíàëà S j
� ê ÷èñëó, ìåíüøåìó 4M j , ÷òî è
ÿâëÿåòñÿ äèàãíîñòèðîâàíèåì j-é íåèñïðàâíîñòè.
II. Åñëè âðåìÿ äèàãíîñòèðîâàíèÿ � çàðàíåå íå çàäàíî, òî äëÿ êàæäîé èç
ñèñòåì (3) ïî èçëîæåííîé ïðîöåäóðå ìîæíî âûáðàòü ñâîè ÷èñëà N j , M j è
� j òàêèå, ïðè êîòîðûõ l j �1.  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ëþáûõ N N
j
j�max è
� ��max
j
j âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå l j �1, ò.å. äèàãíîñòèðîâàíèå íåèñïðàâ-
íîñòåé ïðè âûáðàííûõ çíà÷åíèÿõ N è � îñóùåñòâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.
III.  êà÷åñòâå èñõîäíîé òî÷êè íà÷àëà ïðîöåññà äèàãíîñòèðîâàíèÿ
ðàíåå áûëà âûáðàíà òî÷êà âûõîäà òðàåêòîðèè âåêòîðà êîíòðîëÿ íà ïîâåðõ-
íîñòü êîíòðîëÿ, ò.å. ñíà÷àëà ðåøàëàñü çàäà÷à î íàëè÷èè íåèñïðàâíîñòè, à
çàòåì — çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ. Òðàåêòîðèè ñèñòåì ñ íåèñïðàâíîñòÿìè
èç àïðèîðíîãî ñïèñêà íà ðàññìàòðèâàåìîì èíòåðâàëå âðåìåíè âñòðå÷àþò-
ñÿ ñ ïîâåðõíîñòüþ êîíòðîëÿ. Òàêîé ïîäõîä íå âñåãäà áûâàåò ýôôåêòèâíûì
ñïîñîáîì ðåøåíèÿ çàäà÷è î íàëè÷èè íåèñïðàâíîñòè â ñèñòåìå. Ýòî ïðîÿâ-
ëÿåòñÿ â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ðàññìàòðèâàþòñÿ íåèñïðàâíîñòè, íå âåäóùèå ê
íàðóøåíèþ óñòîé÷èâîñòè ñèñòåìû. Òðàåêòîðèè ñèñòåì ñ òàêèìè íåèñïðàâ-
íîñòÿìè ìîãóò íå âûõîäèòü íà ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ äîñòàòî÷íî äëèòåëü-
íîå âðåìÿ èëè íå âûõîäèòü íà íåå âîîáùå.
Ïîýòîìó â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî îòêàçàòüñÿ îò èñïîëüçî-
âàíèÿ ïîâåðõíîñòè êîíòðîëÿ è ñòðîèòü àëãîðèòìû íåïðåðûâíîé ýêñïðåññ-
äèàãíîñòèêè. Ñóòü òàêîé äèàãíîñòèêè ñîñòîèò â òîì, ÷òî àëãîðèòì äèàã-
íîñòèðîâàíèÿ ïåðèîäè÷åñêè âêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåííûå ìîìåíòû âðå-
ìåíè è ðàáîòàåò íà îïðåäåëåííîì âðåìåííîì èíòåðâàëå. Ìîìåíòû âêëþ-
÷åíèÿ àëãîðèòìà äèàãíîñòèðîâàíèÿ è èíòåðâàëû âðåìåíè åãî ðàáîòû ìî-
ãóò áûòü îòðàáîòàíû çàðàíåå èëè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ îáúåêòà.
Ðàññìîòðåííûå âûøå àëãîðèòìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ ïîçâîëÿþò ðåøàòü
çàäà÷ó äèàãíîñòèêè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ïðè íåïðåðûâíîé ýêñïðåññ-äèàãíîñ-
òèêå â ñëó÷àå äèàãíîñòèêè òîëüêî îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé è òàêèõ, êîòî-
ðûå ìîãóò âîçíèêíóòü â èõ îêðåñòíîñòÿõ è íå ïðåäóñìîòðåíû àïðèîðíûì
ñïèñêîì.
IV. Íàáîð ôóíêöèé f x tj ( , ) â (3) ìîæåò ñîäåðæàòü ýëåìåíòû ñ íåïîë-
íîé èíôîðìàöèåé. Íåäîîïðåäåëåííîñòü îïèñàíèÿ âîçíèêàåò â ñâÿçè ñ òåì,
÷òî çàêîíû èçìåíåíèÿ íåêîòîðûõ ýëåìåíòîâ â (3) ìîãóò îòëè÷àòüñÿ îò
çàêîíîâ, ïðåäóñìîòðåííûõ â êëàññå âîçìîæíûõ íåèñïðàâíîñòåé, è ýòè
çàêîíû íåèçâåñòíû.
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 79
 [1] äàíî îïðåäåëåíèå è ïðîâåäåíî ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå
îêðåñòíîñòåé îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé, êîòîðûå áëèçêè ê òðàåêòîðèÿì
âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà ñ îïîðíîé íåèñïðàâíîñòüþ è ñ íåèñïðàâíîñòüþ,
ïðîèçîøåäøåé â îêðåñòíîñòè îïîðíîé íåèñïðàâíîñòè. Åñëè îêðåñòíîñòè
îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé äëÿ äàííîãî äàò÷èêà ïåðåñåêàþòñÿ, òî áîëüøåå
âëèÿíèå íà íåèñïðàâíîñòü, ïðîèçîøåäøóþ â îáëàñòè ïåðåñå÷åíèÿ îêðåñò-
íîñòåé, áóäåò îêàçûâàòü òà îïîðíàÿ íåèñïðàâíîñòü, ó êîòîðîé íàáëþäàåòñÿ
áîëüøàÿ áëèçîñòü òðàåêòîðèé [4, 11].
Ñëåäîâàòåëüíî, íå ïðåäóñìîòðåííûå àïðèîðíûì ñïèñêîì íåèñï-
ðàâíîñòè, ïðîèçîøåäøèå â îêðåñòíîñòÿõ îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé, ñ ïî-
ìîùüþ ðàññìîòðåííûõ àëãîðèòìîâ ìîæíî äèàãíîñòèðîâàòü êàê îïîðíûå
íåèñïðàâíîñòè. Àëãîðèòìû íå ïîçâîëÿò âûÿâèòü êîíêðåòíóþ íåèñïðàâ-
íîñòü, íî äèàãíîñòèðóþò îäíó èç îïîðíûõ íåèñïðàâíîñòåé, â ÷üåé äîñòà-
òî÷íî ìàëîé îêðåñòíîñòè ïðîèçîøëà êîíêðåòíàÿ íåèñïðàâíîñòü.
V. Ðàññìîòðèì äðóãèå ôóíêöèîíàëû, áëèçêèå ê (7) è ïîçâîëÿþùèå
ðåøàòü çàäà÷ó äèàãíîñòèðîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì â
àíàëîãè÷íûõ èëè íåñêîëüêî îòëè÷íûõ îò óæå ðàññìîòðåííûõ óñëîâèÿõ
[12—14].
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîèçîøëà íåèñïðàâíîñòü, òðàåêòîðèÿ âûøëà íà
ïîâåðõíîñòü êîíòðîëÿ� k è äàëåå, â òå÷åíèå âðåìåíè �� ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ
x0, x1, ..., x N . Íàäî ïðîâåðèòü ïîëíóþ ñèñòåìó l âîçìîæíûõ ñèòóàöèé: j-ÿ
ñèòóàöèÿ ( j l�1, ..., ) — ýòî óòâåðæäåíèå î òîì, ÷òî òðàåêòîðèÿ x t( ) åñòü
òðàåêòîðèÿ j-é ñèñòåìû (2), ò.å. x x j
ïðè óñëîâèè x x
j0 0� .
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå l ôóíêöèîíàëîâ (ñì. (10)) îò x0, x1, ..., x N ,
�1x j , ..., � N jx :
S x x xj
N
i
N
k
n
ik i k i jk� � �
� �
���
1 1
1
2� , j l�1, ..., , (12)
ãäå � i jkx — ïðèðàùåíèå ðåøåíèÿ j-é ñèñòåìû (2) îò íà÷àëüíîãî çíà÷åíèÿ
x i�1 íà îòðåçêå âðåìåíè ( ) / /i N t i N�
1 � � .
Ñìûñë ôóíêöèîíàëà (12) ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Âåëè÷èíà S j
N õàðàê-
òåðèçóåò ñðåäíåêâàäðàòè÷íîå îòêëîíåíèå îæèäàåìîé òðàåêòîðèè îò òðàåê-
òîðèè, ðåàëèçóåìîé â äåéñòâèòåëüíîñòè, ò.å. ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà (12)
îñóùåñòâëÿåòñÿ ñðàâíåíèå ïîëåé íàïðàâëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé è îæèäàå-
ìûõ òðàåêòîðèé äèíàìè÷åñêîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû (1).
Ôóíêöèîíàëû (7) è (12) î÷åíü ïîõîæè, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì ïðå-
äåëüíîé òåîðåìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ è ñ ïîìîùüþ âûòåêàþùèõ èç íåå
àëãîðèòìîâ êîíñòðóêòèâíî ðåøàþò çàäà÷ó äèàãíîñòèêè äèíàìè÷åñêèõ
óïðàâëÿåìûõ ñèñòåì â ñëó÷àå äîñòàòî÷íîé ìàëîñòè îøèáîê òðàåêòîðíûõ
Ì. Â. Øàìîëèí
80 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
èçìåðåíèé. Ýòî ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé ìåíüøåé ðàçìåðíîñòè âåê-
òîðà äèàãíîñòèðîâàíèÿ (6), êîãäà
S z zj
N
i
N
k
q
ijk ik� �
� �
��
1 1
2
, q n ,
(13)
èëè
S z z zj
N
i
N
k
q
ik i k i jk� � �
� �
���
1 1
1
2� , q n ,
(14)
ïîñêîëüêó êîìïîíåíòû âåêòîðà äèàãíîñòèðîâàíèÿ íåñóò äîñòàòî÷íóþ èíôîð-
ìàöèþ î õàðàêòåðå ôóíêöèé f j ( j l�1,..., ) â ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé (2).
Ñóììèðóåìûå ðàçíîñòè â ôóíêöèîíàëàõ (7) è (12)—(14) â ñëó÷àå
äîñòàòî÷íî ìàëûõ ðàñõîæäåíèé äåéñòâèòåëüíîé è îæèäàåìîé òðàåêòîðèé
ìîãóò îêàçàòüñÿ ìàëûìè.  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçî-
âàòü âèäîèçìåíåííûé ôóíêöèîíàë. Çàïèøåì òàêîé ôóíêöèîíàë äëÿ ñëó-
÷àÿ (12), ñîõðàíèâ ïðåæíåå îáîçíà÷åíèå:
S x x xj
N
i
N
k
n
ijk i k i jk� � �
� �
���
1 1
1
2� , j l�1,..., .
(15)
Äëÿ ôóíêöèîíàëà (15) ñïðàâåäëèâà ñôîðìóëèðîâàííàÿ âûøå òåîðåìà
äèàãíîñòèðîâàíèÿ è âûòåêàþùèå èç íåå àëãîðèòìû. Îäíàêî â (15) ôàê-
òè÷åñêè îñóùåñòâëÿåòñÿ ÷èñëåííîå äèôôåðåíöèðîâàíèå èçìåðåííûõ çíà-
÷åíèé íà êàæäîì øàãå è ñóììèðîâàíèå ìîäóëåé îòêëîíåíèé. Äàæå åñëè
îøèáêè èçìåðåíèé (øóìû) ìàëû, ïðè ñóììèðîâàíèè ìîäóëåé îòêëîíåíèé
ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ çíà÷èòåëüíàÿ ñëó÷àéíàÿ îøèáêà.
Âìåñòî ñóììèðîâàíèÿ â (15) ìîäóëåé ïîëåé íàïðàâëåíèé, ðàññìîòðèì
ñóììû ñàìèõ îòêëîíåíèé:
i
N
k
n
ik i k i jkx x x
� �
��� � �
1 1
1( )� ,
(16)
ãäå x — èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè äèíàìè÷åñêîé
óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû. Ôóíêöèîíàë (16) ñ òî÷íîñòüþ äî ìàëûõ îøèáîê
ñâîäèòñÿ ê èíòåãðàëó ïî òðàåêòîðèÿì
J f x t f x t dtgj g j� �� ( ( ( )) ( ( )))
�
�
0
,
ãäå èíäåêñîì g îáîçíà÷åíû èçìåðåííûå çíà÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòî-
ðèè, è ðàçäåëåíèå òðàåêòîðèé ñ ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà (16) îñóùåñòâëÿåòñÿ
îäíîçíà÷íî.
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 81
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ôóíêöèîíàëàõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü íîðìèðî-
âàííûå âåëè÷èíû, íàïðèìåð,
S z z
z
j
N
i
N
k
q
ijk ik
ik
� �
� �
��
1 1
2
2
1
.
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ðàñøèðåííóþ ïîñòàíîâêó çà-
äà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ, ðåøåíèå êîòîðîé îñóùåñòâèìî ñ ïîìîùüþ ïðåä-
ëîæåííûõ àëãîðèòìîâ [1, 7].
Çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèá-
êîé [15, 16]. Íà ïðàêòèêå ðåøåíèå çàäà÷è êîíòðîëÿ è ïîèñêà íåèñïðàâ-
íîñòåé ñîïðîâîæäàåòñÿ íàëè÷èåì ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé è, â ÷àñòíîñòè,
ñëó÷àéíûõ âîçìóùåíèé, íàêëàäûâàåìûõ íà âåêòîð äèàãíîñòèðîâàíèÿ, êî-
òîðûé ôîðìèðóåòñÿ èç èçìåðÿåìûõ êîîðäèíàò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ. Çàäà÷à
êîíòðîëÿ äëÿ ñëó÷àÿ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé ñôîðìóëèðîâàíà è
ðåøåíà ðàíåå ñ äîñòàòî÷íîé ïîëíîòîé [7]. Ñôîðìóëèðóåì íåêîòîðûå ïðîìå-
æóòî÷íûå ðåçóëüòàòû, ïîêàçûâàþùèå, ÷òî è çàäà÷à äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó-
÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíîçíà÷íî.
Ñíà÷àëà â ðàìêàõ òåîðåìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ äàäèì îöåíêó ïîãðåøíîñòè
â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé, îãðàíè÷åííîé ïî ìîäóëþ.
Ïîëó÷åííûå îöåíêè ñïðàâåäëèâû è â ñëó÷àå, åñëè â ðàññìîòðåíèå
ââîäèòñÿ âåêòîð äèàãíîñòèðîâàíèÿ z t( ), ñîñòàâëåííûé èç èçìåðÿåìûõ
êîîðäèíàò âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ. Íà äîêàçàòåëüñòâå ïîëó÷åííûõ îöåíîê ïðè
âûáîðå ÷èñëà èçìåðåíèé ôàçîâûõ òðàåêòîðèé íà èíòåðâàëå âðåìåíè [ , ]0 �
îñòàíàâëèâàòüñÿ íå áóäåì, òàê êàê ýòî ìîæíî ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî ñäåëàòü
â ðàìêàõ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû äèàãíîñòèðîâàíèÿ. Ïåðåéäåì ê ðàññìîò-
ðåíèþ îáùåãî ïîäõîäà ê äèàãíîñòèêå â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ
îøèáêîé.
Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî âèäîèçìåíåííûé ôóíêöèîíàë (14), êîòîðûé
äëÿ ïðîñòîòû çàïèøåì â âèäå
S x x x
gj
i
N
i i i j� � �
�
��
1
1 � , j l�0,..., ,
(17)
ãäå � i jx îïèñûâàåòñÿ îáùåé îäíîøàãîâîé ôîðìóëîé
� �i j j ix h x h� �( , )1 (18)
è ôîðìóëîé Ýéëåðà, êàê íàèáîëåå ïðîñòîé:
� j i j ix h f x( , ) ( )� ��1 1 . (19)
Äëÿ èçìåðåííûõ çíà÷åíèé ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ
x t x t t( ) ( ) ( )� � � , (20)
Ì. Â. Øàìîëèí
82 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
ãäå x t( ) — äåéñòâèòåëüíîå ïîëîæåíèå ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè t;
� ( )t — îøèáêè èçìåðåíèé, îãðàíè÷åííûå ïî ìîäóëþ
� �( ) ( )t t
(21)
çàäàííûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè � ( )t .
 ñîîòâåòñòâèè ñ (18)—(20) ñîñòàâèì ñóììû (17) â âèäå
S x x hf x
gj
i
N
i i i i j i i� � � � � �
�
� � � ��
1
1 1 1 1� � �( ) . (22)
Ðàçëîæåíèå ôóíêöèè f j , j l�0,..., , èç (22) ïðåäñòàâèì â âèäå
f x f x
f
x
j i i j i
j
i
i
( ) ( )
*
� � � �� � �
�
1 1 1 1
1
�
�
�
�
�
, (23)
ãäå çíà÷åíèå �
i�1
* ëåæèò íà îòðåçêå ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè x i�1 è
x i i� ��1 1� . Ñóììó (22) ñ ó÷åòîì (23) çàïèøåì â ñëåäóþùåì âèäå:
S x x hf x E h
f
x
gj
i
N
i i j i i
j
i
� � � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
� ��
�1
1 1
1
( )
*
�
�
� �
� �� i 1 , (24)
ãäå E — åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ó÷òåì ñëåäóþùåå ïðèáëèæåíèå â ðàçëîæå-
íèè è îöåíèì åãî âëèÿíèå íà ñóììó (24), ò.å. îöåíèì äîëþ âûïîëíåííîãî
óñå÷åíèÿ:
x x hf x
h
f x ti i g i g t ti
� � � �� � �1 1
2
2
( ) ( ( )) * , (25)
ãäå t
i
* — íåêîòîðàÿ òî÷êà ìåæäó çíà÷åíèÿìè ti�1 è ti . Ïîäñòàâèâ (25) â (24),
ïîëó÷èì
S h f x f x
h
f x t E
gj
i
N
g i j i g t i
i
� � � � � �
�
� ��
1
1 1
2
2
( ( ) ( )) ( ( )) * � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�h
f
x
j
i
i
�
�
�
� 1
1
*
.
(26)
Ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.
1. Ïóñòü j ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèòåëüíûì ôóíêöèîíàëüíûì ñîñòîÿíèåì
ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà, ò.å. j g� .  ýòîì ñëó÷àå
S
h
f x t E h
f
x
gj
i
N
g t i
j
i
i
� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�1
2
2
1
( ( )) *
*
�
�
�
�
�
i�1 .
(27)
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 83
Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ôóíêöèè f j äèôôåðåíöèðóåìû è èìåþò âñå íåïðåðûâíûå
÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ïðè ëþáîì j l�0,..., . Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ òåîðåìó î
äèôôåðåíöèðîâàíèè ñëîæíîé ôóíêöèè è ó÷èòûâàÿ îïðåäåëåíèå íîðìû
ìàòðèöû è ëèíåéíîñòü îòîáðàæåíèÿ, çàäàâàåìîãî ìàòðèöåé, ïîëó÷àåì
ñëåäóþùóþ îöåíêó äëÿ âåëè÷èíû �f x tg ( ( )) :
df x t
dt
f
t
f
x
f x
fg
t
g
x
g
x
g i
x D
g
i
i i
( ( ))
( ) max*
* * *
*� �
�
�
�
�
�
�
�x
f x L
x
g g( )
�
�
��
�
�
��
è îöåíêó äëÿ ÷ëåíà, ïðåäñòàâëÿþùåãî îøèáêó óñå÷åíèÿ:
h
f x t
h
Lg t g
i
2 2
2 2
�
( ( )) * . (28)
Çäåñü x i
* — íåêîòîðàÿ òî÷êà òðàåêòîðèè, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìîìåíòó âðå-
ìåíè t ti� *; D* — çàìêíóòàÿ îáëàñòü, ñîäåðæàùàÿ âñå îòðåçêè òðàåêòîðèè
îò � 0 äî �! L f xg
x D
g� �
�
max ( )
*
.
Äàäèì òåïåðü îöåíêó îøèáêè èçìåðåíèÿ. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíû f g è
�
�
f
x
g
îãðàíè÷åíû â îáëàñòè D*, îøèáêà èçìåðåíèÿ îöåíèâàåòñÿ òàê:
h
f
x
h
f
x
hl
g
i
g
D
i g
i
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
� �
�
1
1 1
0* *
max max
[ , ]
, max� ( )t . (29)
Ìàêñèìóì l
f
x
g
x D
g�
�
max
*
�
�
ñóùåñòâóåò, òàê êàê D* — çàìêíóòàÿ îáëàñòü
è f g — ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ. Ïî êðàéíåé ìåðå, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî
�
�
�
�
"
"
f
x
f
x
g g
pp
�
2
,
.
 ñèëó (29) áóäåò îãðàíè÷åííîé îøèáêà îäíîãî øàãà èçìåðåíèÿ:
�
�
�
� �
�
�� �
i
g
i i
g
E h
f
x
E h
f
x
i i
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
� �
�
1 1
1
* * �
�
�
�
� �� � � � �i i i ghl1 1 max
�2� �max maxhlg . (30)
 ñèëó (28) è (30) ïîëó÷èì îöåíêó ñóììû (27) (òàê êàê Nh ��):
S N
h
L N Nhl L h
h
l
gj g g g g
� � � � �
2
2
2
2
2
1
� �
�
�� � �max max max max . (31)
Ì. Â. Øàìîëèí
84 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
Èç (31) ñëåäóåò, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå S gj # ïðè h#
âñëåäñòâèå íàêîïëåíèÿ ìîäóëåé îøèáêè èçìåðåíèÿ. À ñëàãàåìîå � �lg max
îøèáêè èçìåðåíèÿ ïðè h# ñîñòàâëÿåò âñå ìåíüøóþ è ìåíüøóþ ÷àñòü
âåëè÷èíû S gj .
2. Ïóñòü íîìåð ñèñòåìû j íå ñîâïàäàåò ñ äåéñòâèòåëüíûì ôóíêöèî-
íàëüíûì ñîñòîÿíèåì îáúåêòà, ò.å. j g� .  ýòîì ñëó÷àå â ñîîòâåòñòâèè ñ (26)
h f x f x
h
f x hL
h
Lg i j i g t gj g
i
( ( ) ( )) ( ) *� �� � �
�1 1
2 2
2 2
è, çíà÷èò,
S NhL N
h
L N Nhl L L h
gj gj g g gj g
� � � � � �
2
2
2
2
� � �
�
max max
� �2
1
�� � �max max
h
lg , (32)
ãäå L f x f xgj
x D
g j� �
�
max ( ) ( )
*
. Òàêèì îáðàçîì, è â ýòîì ñëó÷àå çàñ÷åò íàêîï-
ëåíèÿ îøèáêè èçìåðåíèÿ â (32) S gj # ïðè h# . Îøèáêà óñå÷åíèÿ â
ñëó÷àå j g� ñòðåìèòñÿ ê � �( )maxL lgj g� .
Ïîñêîëüêó îøèáêà èçìåðåíèÿ ñòðåìèòñÿ ê ïðè N # , à îøèáêà
óñå÷åíèÿ ïðè N # ñîñòàâëÿåò âñå ìåíüøóþ è ìåíüøóþ ÷àñòü âåëè÷èíû
S gj , ïðè h# 0 âåðîÿòíîñòü ðàçäåëåíèÿ äåéñòâèòåëüíîé òðàåêòîðèè îáúåêòà ñ
ïðîèçîøåäøåé íåèñïðàâíîñòüþ è òðàåêòîðèé j-é ñèñòåìû ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Âîçíèêàåò çàäà÷à î âûáîðå òàêîãî íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ h h� * , ïðè
êîòîðîì åùå âîçìîæíî ðàçäåëåíèå òðàåêòîðèé. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (31)
ìèíèìóì
min min max
max
max
h
gj
h
g g
g
g
S L h
h
l
L
L
� � ��
�
�
�
�
� � ��
�
� �
�
�
1
2
2
max
max�
�
�
�
�
�
�
�
�lg�
äîñòèãàåòñÿ ïðè h h Lg� �2 �max / . Çíà÷åíèå íàèëó÷øåãî íîìåðà N N� *
ñîîòâåòñòâåííî áóäåò N N Lg� �2� $�max .
Òàêèì îáðàçîì, è â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé, îãðàíè-
÷åííîé ïî ìîäóëþ èçâåñòíîé ôóíêöèåé âðåìåíè, ìîæíî äëÿ êàæäîãî
j l�1, ..., â ñîîòâåòñòâèè ñ (17) íàéòè òàêèå âåëè÷èíû S
gj
, M Sj
x
gjj
k
j
* max�
�
0
�
,
h Sj
h
hj
* min� , N j
* , � j
* , ÷òî òðàåêòîðèè ñèñòåì ñ íîìåðàìè j l�1, ..., ñ ïîìîùüþ
àëãîðèòìîâ äèàãíîñòèðîâàíèÿ áóäóò ðàçäåëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 85
Âìåñòî ñóìì (17) ðàññìîòðèì ñóììû ñàìèõ îòêëîíåíèé. Ñîñòàâèì
ñëåäóþùèå ñóììû:
S x x hf x x x hf x
gj
i
N
i i j i N j i
i
� � � � � � �
�
� � �
�
�
1
1 1 0 1
1
( ( )) ( ) ( )
N
�
� � � � � �
�
�
�
�
�
� ��
�
( ) ( ) ( )
*
x x h f x
f
x
N N
i
N
j i
j
x
i
i
0 0
1
1 1
1
� �
�
�
�
�
�
�
� �
� � �
�
�
��
�
�
�� � � ��
� �
� �
�
x x hf x h
f
x
N j i
i
N
N
i
N
j
xi
0 1
1
0
1
( ) � �
�
�
1
1
*
� i�
�
�
�
�
�
�
�
� . (33)
Âåëè÷èíà hf xj i
i
N
( )�
�
� 1
1
â (33) åñòü èíòåãðàëüíàÿ ñóììà. Ðàçëàãàÿ åå íà êàæäîì
èç èíòåðâàëîâ âðåìåíè [ , ]t ti i�1 â ðÿä Òåéëîðà è çàòåì ñóììèðóÿ, ïîëó÷àåì
hf x f x t dt
h f
x
fj i
i
N
j
i
N
j
xi
( ) ( ( ))
**
�
� �
� � �� �
�
1
1 1
2
0 1
2
�
� �
�
j ix% �1
* ),
ãäå x i�1
** — íàáîð N íåêîòîðûõ «ñðåäíèõ òî÷åê». Ñëåäîâàòåëüíî, âîçâðà-
ùàÿñü ê (33), òàêæå ïîëó÷àåì
S x x f x t dt
h f
x
f x
gj N j
i
N
j
x
j i
i
� � � �� �
�
�
�
0
1
2
0 1
2
( ( ))
**
�
� �
�
% 1
* )
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�
�
�
�
�
�
� � �
�
��
�
� �
�
�
�N
i
N
j
x
i g jh
f
x
f x t f x
i
0
1
1
1
*
( ( ( )) ( ( )))t dt
�
�
0
� �
� � � �
�
�
�
� �
� �i
N
j
x
j i N
i
N
j
x
h f
x
f x h
f
x
i i1
2
1 0
12
1
�
�
% � �
�
�**
* )
1
1
*
� i�
�
�
�
�
�
�
�
�.
(34)
Ïîñêîëüêó f j è
�
�
f
x
j
îãðàíè÷åíû, îøèáêà óñå÷åíèÿ (â ñëó÷àå j g� ) â
(34) ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè h# 0, à îøèáêà èçìåðåíèÿ îãðàíè÷åíà. Îøèáêà
èçìåðåíèÿ ïðè óìåíüøåíèè âåëè÷èíû h, òàêæå êàê è ïðè óìåíüøåíèè
íîìåðà N, áóäåò óìåíüøàòüñÿ. Ïðè j g� îøèáêà èçìåðåíèÿ îñòàåòñÿ òàêîé
æå, à îøèáêà óñå÷åíèÿ ïðè h# 0 ñòðåìèòñÿ ê çíà÷åíèþ
I f x t f x t dtgj g j� �� ( ( ( )) ( ( )))
�
�
0
. (35)
Ì. Â. Øàìîëèí
86 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
Òàêèì îáðàçîì, S Igj gj� � �. Åñëè I gj �� �, òî ðàçäåëåíèå òðàåêòîðèé ñ
ïîìîùüþ ôóíêöèîíàëà (35) è ïðèâåäåííûõ âûøå àëãîðèòìîâ áóäåò îñó-
ùåñòâëÿòüñÿ îäíîçíà÷íî.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ øóìîì. Äî ñèõ ïîð ïðåäïî-
ëàãàëîñü, ÷òî îøèáêà èçìåðåíèÿ �( )t â (20) îãðàíè÷åíà ïî ìîäóëþ çàäàííîé
ôóíêöèåé âðåìåíè (21). Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ýòà îøèáêà ÿâëÿåòñÿ ñëó-
÷àéíîé âåëè÷èíîé, ðàñïðåäåëåííîé ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ äèñïåðñèåé& 2.
Îöåíèì äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé îøèáêè èçìåðåíèÿ:
D E h
f
x
D D E h
f
i
g
i i
g
i
�
�
�
� �
�
��
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� � � �
�
�
1
1
* x
i
i
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
*
� '& �& &2 2 2 21 2( )hlg . (36)
Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ îøèáêà îäíîãî øàãà èçìåðåíèÿ èìååò ïîðÿäîê
& 2. Ó÷èòûâàÿ (28) è (36), ìîæíî ïðîâåñòè ñëåäóþùóþ îöåíêó:
S x x hf x E h
f
x
gg
i
N
i i g i
i
N
i
g
i
� � � � �
�
��
� �
�
� �
�1
1 1
1 1
( )
*
�
�
� �
�
�
�
�
�
� (�� i 1
( �
�
�
��
�
�
�� � ��
�
�
�
�
�N
h
L L h
h
g g
2
2
2
1
2
1
2& � & . (37)
Êàê âèäíî èç âûðàæåíèÿ (37), S gg # ïðè h# 0.
 ñëó÷àå j g� â ñîîòâåòñòâèè ñ (26) ìîæíî ïðîâåñòè îöåíêó ñëåäóþ-
ùåãî âèäà:
S NhL N
h
L N hl h l L hLgj gj g g g gj g( � � � � � � �
2
2 2
2
2 2
1
2
& � �
� � �
1
2 2 2 2
h
hl h lg g�& .
Ñëåäîâàòåëüíî, è â ýòîì ñëó÷àå çà ñ÷åò íàêîïëåíèÿ ñëó÷àéíîé îøèáêè
èçìåðåíèÿ S gj # ïðè h# 0. Îøèáêà óñå÷åíèÿ ïðè ýòîì ñòðåìèòñÿ ê
�Lgj . Ïîñêîëüêó ñðåäíÿÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè
ïðè N # , à îøèáêà óñå÷åíèÿ ïðè N # ñîñòàâëÿåò âñå ìåíüøóþ è
ìåíüøóþ ÷àñòü âåëè÷èíû S gj , ïðè h# 0 âåðîÿòíîñòü ðàçäåëåíèÿ òðàåêòî-
ðèé ñèñòåì ñòðåìèòñÿ ê íóëþ.
Âûáåðåì òàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå h h� * , ïðè êîòîðîì åùå âîçìîæ-
íî ðàçäåëåíèå òðàåêòîðèé. Îöåíèì ïîðÿäîê íàèëó÷øåãî çíà÷åíèÿ h h� * .
Ìèíèìóì âåëè÷èíû
S
h
L
h
Lgg
h
g g( ��
�
�
�
�
� �min� & � &
2
1
2 2 2
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 87
äîñòèãàåòñÿ ïðè h h Lg� (* /2 2& . Ñîîòâåòñòâåííî, ïîðÿäîê íàèëó÷øåãî
íîìåðà N òàêîâ: N N Lg� (* /� &2 2 .
Òàêèì îáðàçîì, äàíà îöåíêà íàèëó÷øèõ çíà÷åíèé h h� * , N N� * è,
çíà÷èò, � �� * . Åñëè ïðè ýòèõ íàèëó÷øèõ çíà÷åíèÿõ îøèáêà óñå÷åíèÿ
äîñòàòî÷íî ìàëà, òî äèàãíîñòèêà íåèñïðàâíîñòåé ñ ïîìîùüþ ôóíêöèî-
íàëîâ (17) è, çíà÷èò, ôóíêöèîíàëîâ (24), â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ñ îøèáêîé, ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü â íåêîòîðîì ñìûñëå íàèëó÷øèé àïîñòå-
ðèîðíûé íàáîð âîçíèêøèõ íåèñïðàâíîñòåé. Åñëè â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåê-
òîðíûõ èçìåðåíèé, ïîëüçóÿñü â àëãîðèòìàõ äèàãíîñòèðîâàíèÿ êîíñòàíòà-
ìè M j èëè S g , íåâîçìîæíî áûëî îòáðîñèòü âåðíóþ ãèïîòåçó, òî â ñëó÷àå
òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé ïðè ëþáîì âûáîðå êîíñòàíò àëãîðèòìà
äèàãíîñòèðîâàíèÿ âñåãäà áóäåò ñóùåñòâîâàòü òàêàÿ âîçìîæíîñòü.
Çàäàäèìñÿ äîñòàòî÷íî ìàëîé íåíóëåâîé äîïóñòèìîé âåðîÿòíîñòüþ ).
Äëÿ ðàçäåëåíèÿ òðàåêòîðèé âûáåðåì êîíñòàíòû M j òàêèå, ÷òî äëÿ ëþáîé
òðàåêòîðèè j-é ñèñòåìû âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî P S Mjj j{ }' ), ò.å. âå-
ðîÿòíîñòü ëîæíîãî ñðàáàòûâàíèÿ äîëæíà íàõîäèòüñÿ â äîïóñòèìûõ ãðàíè-
öàõ. Ïðè ýòîì â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ îøèáêîé áóäåì ïîëüçî-
âàòüñÿ òåìè æå àëãîðèòìàìè äèàãíîñòèðîâàíèÿ, ÷òî è â ñëó÷àå òî÷íûõ
òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ìåòîä èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå òðàåêòîðíûõ èçìåðå-
íèé ñ îøèáêîé. Êàê áûëî óêàçàíî âûøå, îøèáêà óñå÷åíèÿ â (34) ( j g� ) íå
ïðåâîñõîäèò � L hg /2, è ýòà îøèáêà ñòðåìèòñÿ ê íóëþ ïðè h# 0. Ñðåäíÿÿ
îøèáêà îáóñëîâëåíà ñóììîé h
f
xi
N
g
i
i�
��
�1
1
1
�
�
�
�*
è, ñîãëàñíî òåîðåìå î ñëîæå-
íèè äèñïåðñèé íåçàâèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, áóäåò ìåíüøå èëè ðàâíà
h Nlg& , à ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ íå áóäåò ïðåâûøàòü
âåëè÷èíû
& & & & �2 2� � �h Nl hlg g (38)
è áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê & 2 ïðè h# 0.
Èç ôîðìóëû (38) âèäíî, ÷òî ñðåäíÿÿ îøèáêà èçìåðåíèÿ çàâèñèò îò
ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî & 2 è îò âåëè÷èíû & �hlg . Ñ óìåíüøåíèåì çíà-
÷åíèÿ h îøèáêà, îáóñëîâëåííàÿ øóìîì, óìåíüøàåòñÿ, è ìîæíî îæèäàòü,
÷òî ïðè h lg 1 2/� áóäóò äîñòèãíóòû äîñòàòî÷íî õîðîøèå ðåçóëüòàòû ïî
ðàçäåëåíèþ ñèñòåì.
 ñëó÷àå j g� , êàê ñëåäóåò èç âûðàæåíèÿ (34), äëÿ âåëè÷èíû S gj îøèáêà
èçìåðåíèÿ îñòàåòñÿ òàêîé æå, à îøèáêà óñå÷åíèÿ ïðè h# 0 ñòðåìèòñÿ ê
Ì. Â. Øàìîëèí
88 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
èíòåãðàëó (35). Ïðè N # 0 áóäåò S gg # � , ãäå � — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà,
ðàñïðåäåëåííàÿ ïî íîðìàëüíîìó çàêîíó ñ äèñïåðñèåé 2 2& , à S Igj gj# ��.
Åñëè âåëè÷èíà I gj çíà÷èòåëüíî áîëüøå äèñïåðñèè ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû �,
òî ðàçäåëåíèå òðàåêòîðèé ñèñòåì ñ ïîìîùüþ èíòåãðàëà (35), â ñëó÷àå
òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé ñ øóìîì, áóäåò îñóùåñòâëÿòüñÿ ñ âûñîêîé òî÷-
íîñòüþ. Êîíñòàíòû M j ìîãóò áûòü íàéäåíû ïðè óñëîâèè P S Mjj j{ }' ) .
A problem of differential diagnosis of functional state of the control objects possesing a module
structure and a finite set of possible failures is reduced to two independent successively decidable
problems: a problem of control (establishing the criteria of failures availability in the system) and
diagnosis problem (search for a failure). A principal realizability of solution of the problem of
differential diagnosis in the case of exact trajectory measurements with an error at the level of
mathematical models is shown.
1. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Ðåøåíèå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè //
Ôóíäàìåíòàëüíàÿ è ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. — 1999. — 5. — Âûï. 3. — Ñ. 775—790.
2. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Àëãîðèòìû ðåøåíèÿ çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàã-
íîñòèêè // Òåç. äîêë. ìàòåì. êîíô. «Åðóãèíñêèå ÷òåíèÿ—III» (Áðåñò, 14—
16.05.1996). — Áðåñò, 1996. — Ñ. 102.
3. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ îáùåé
çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè // Òåç. äîêë. V Ìåæäóíàð. ñîâåù.-ñåìèíàðà
«Èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêèå ïðîáëåìû íîâîé òåõíèêè» (Ìîñêâà, 19—22.5.1998). — Ì. :
Èçä-âî ÌÃÒÓ, 1998. — Ñ. 6, 7.
4. Îêóíåâ Þ. Ì., Ïàðóñíèêîâ Í. À. Ñòðóêòóðíûå è àëãîðèòìè÷åñêèå àñïåêòû ìîäåëèðî-
âàíèÿ äëÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1983.
5. Áîðèñåíîê È. Ò. Ê âîïðîñó î äèôôåðåíöèàëüíîé òåîðèè âîññòàíîâëåíèÿ. Íåêîòîðûå
âîïðîñû óïðàâëåíèÿ è óñòîé÷èâîñòè ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì // Íàó÷. òð. ¹ 22 Èí-òà
ìåõàíèêè ÌÃÓ èì. Ì. Â. Ëîìîíîñîâà. — Ì. : Èçä-âî ÌÃÓ, 1973. — Ñ. 101—108.
6. Áîðèñåíîê È. Ò., Áåëÿêîâ Â. È. Ïîñòðîåíèå îáëàñòåé äîïóñòèìûõ îòêëîíåíèé äëÿ
çàäà÷è êîíòðîëÿ // Òåç. äîêë. IV Âñåñ. ñîâåù. ïî òåõíè÷. äèàãíîñòèêå. ×. 2. —
×åðêàññû, 1979; Ì. : Íàóêà, 1979. — Ñ. 24—26.
7. Áîðèñåíîê È. Ò., Øàìîëèí Ì. Â. Ðåøåíèå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé äèàãíîñòèêè
ìåòîäîì ñòàòèñòè÷åñêèõ èñïûòàíèé // Âåñòí. Ìîñê. óí-òà. Ñåð. 1. Ìàòåìàòèêà. Ìåõà-
íèêà. — 2001. — ¹ 1. — Ñ. 29—31.
8. Æóêîâ Â. Ï. Î äîñòàòî÷íûõ è íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè
íåëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1994. — ¹ 3. —
Ñ. 24—36.
9. Áëàãîäàòñêèõ Â. È., Ôèëèïïîâ À. Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ è îïòèìàëüíîå
óïðàâëåíèå // Ñá. îáçîðíûõ ñòàòåé «Òîïîëîãèÿ, îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå
óðàâíåíèÿ, äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû». —Òð. ÌÈÀÍ ÑÑÑÐ. ×. 2. — 169. — Ì. : Íàóêà,
1985. — Ñ. 194—252.
10. ×èêèí Ì. Ã. Ñèñòåìû ñ ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. —
1987. — ¹ 10. — Ñ. 38—46.
11. Êîðíîóøåíêî Å. Ê., Ïûëàåâ Í. Ê. Ïåðåäàòî÷íûå ÷èñëà è äèàãíîñòèðîâàíèå ëèíåéíûõ
ñèñòåì // ÄÀÍ ÑÑÑÐ. — 1988. — 300, ¹ 3. — Ñ. 559—561.
Ðåøåíèå çàäà÷è äèàãíîñòèðîâàíèÿ â ñëó÷àå òî÷íûõ òðàåêòîðíûõ èçìåðåíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 3 89
12. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Äèàãíîñòèðîâàíèå äèíàìè÷åñêèõ çâåíüåâ ÃÏÑ // Ñóäîñòðîèòåëü-
íàÿ ïðîìûøëåííîñòü. Ñåð. Ñèñòåìû àâòîìàòèçàöèè ïðîåêòèðîâàíèÿ, ïðîèçâîäñòâà è
óïðàâëåíèÿ. Âûï. 8. — Ì. : Íàóêà, 1987. — Ñ. 23—31.
13. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Âçàèìîñâÿçü ïàðàëëåëüíîé è ñáàëàíñèðîâàííîé êàíîíè÷åñêèõ
ôîðì // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1989. — ¹ 6. — Ñ. 8—10.
14. Ìèðîíîâñêèé Ë. À. Ôóíêöèîíàëüíîå äèàãíîñòèðîâàíèå ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñ-
òåì // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1979. — ¹ 8. — Ñ. 120—128.
15. Øàìîëèí Ì. Â. Íåêîòîðûå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé è òîïîëîãè÷åñêîé äèàãíîñòèêè.
Ì. : Èçä-âî «Ýêçàìåí», 2003. — 256 ñ.
16. Øàìîëèí Ì. Â. Íåêîòîðûå çàäà÷è äèôôåðåíöèàëüíîé è òîïîëîãè÷åñêîé äèàãíîñòèêè.
Èçäàíèå 2-å, ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîå. — Ì. : Èçä-âî «Ýêçàìåí», 2007. — 320 ñ.
Ïîñòóïèëà 22.07.08;
ïîñëå äîðàáîòêè 02.02.09
ØÀÌÎËÈÍ Ìàêñèì Âëàäèìèðîâè÷, ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà
ìåõàíèêè ÌÃÓ èì. Ëîìîíîñîâà.  1988 ã. îêîí÷èë Ìîñêîâñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü
íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — êëàññè÷åñêàÿ ìåõàíèêà, äèôôåðåíöèàëüíàÿ è òîïîëîãè÷åñêàÿ äèàã-
íîñòèêà, êà÷åñòâåííàÿ òåîðèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, àëãåáðàè÷åñêàÿ è äèôôåðåíöèàëüíàÿ
òîïîëîãèÿ, ãåîìåòðèÿ.
Ì. Â. Øàìîëèí
90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 3
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101495 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:47:21Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шамолин, М.В. 2016-06-03T19:06:55Z 2016-06-03T19:06:55Z 2009 Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой / М.В. Шамолин // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 3. — С. 73-90. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101495 531.01+517.9 Задача дифференциальной диагностики функционального состояния объектов управления, имеющих модульную структуру и конечный набор возможных неисправностей, сведена к двум самостоятельным последовательно решаемым задачам: задаче контроля (установлению критерия наличия неисправности в системе) и задаче диагностирования (поиску произошедшей неисправности). Показана принципиальная осуществимость решения задачи дифференциальной диагностики в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой на уровне математических моделей. Задачу диференціальної діагностики функціонального стану об’єктів управління, які мають модульну структуру та кінцевий набір можливих несправностей, зведено до двох самостійних послідовно розв’язуваних задач: задачі контролю (установленню критерію наявності несправності у системі) та задачі діагностування (пошуку несправності, що відбулась). Показано принципову можливість розв’язання задачі диференціальної діагностики у випадку траєкторних вимірювань і траєкторних вимірювань з помилкою на рівні математичних моделей. A problem of differential diagnosis of functional state of the control objects possesing a module structure and a finite set of possible failures is reduced to two independent successively decidable problems: a problem of control (establishing the criteria of failures availability in the system) and diagnosis problem (search for a failure). A principal realizability of solution of the problem of differential diagnosis in the case of exact trajectory measurements with an error at the level of mathematical models is shown. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00231-а). ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Точность, надежность, диагностика Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой Solution of Diagnosis Problems in the Case of Exact Trajectory Measurements and Trajectory Measurements with an Error Article published earlier |
| spellingShingle | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой Шамолин, М.В. Точность, надежность, диагностика |
| title | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| title_alt | Solution of Diagnosis Problems in the Case of Exact Trajectory Measurements and Trajectory Measurements with an Error |
| title_full | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| title_fullStr | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| title_full_unstemmed | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| title_short | Решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| title_sort | решение задачи диагностирования в случае точных траекторных измерений и траекторных измерений с ошибкой |
| topic | Точность, надежность, диагностика |
| topic_facet | Точность, надежность, диагностика |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101495 |
| work_keys_str_mv | AT šamolinmv rešeniezadačidiagnostirovaniâvslučaetočnyhtraektornyhizmereniiitraektornyhizmereniisošibkoi AT šamolinmv solutionofdiagnosisproblemsinthecaseofexacttrajectorymeasurementsandtrajectorymeasurementswithanerror |