О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов
Предложен метод совместного решения задач параметрической идентификации параметров математической модели и поиска оптимального режима динамического объекта. Получено субоптимальное решение задачи управления динамическим объектом в окрестности оптимального режима. Приведены расчетные формулы и алгори...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101500 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 3-16. — Бібліогр.: 9назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860238489649414144 |
|---|---|
| author | Кулиев, С.З. |
| author_facet | Кулиев, С.З. |
| citation_txt | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 3-16. — Бібліогр.: 9назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Предложен метод совместного решения задач параметрической идентификации параметров математической модели и поиска оптимального режима динамического объекта. Получено субоптимальное решение задачи управления динамическим объектом в окрестности оптимального режима. Приведены расчетные формулы и алгоритм для реализации предложенного подхода, а также результаты компьютерных экспериментов.
Запропоновано метод сумісного розв’язання задач параметричної ідентифікації параметрів математичної моделі та пошуку оптимального режиму динамічного об’єкту. Отримано субоптимальний розв’язок задачі управління динамічним об’єктом в околі оптимального режиму. Наведено чисельні формули і алгоритми для реалізації запропоно-
An approach is proposed for a decision-making system on controlling the dynamic processes which include the stages of parametric identification of a mathematical model and of optimization of regimes. In this approach the two stages are carried out jointly. Using the approach we obtain a «locally optimal» model in the neighborhood of the optimal regime. The design formulas and an algorithm for the approach implementation are proposed. Results of computer-based experiments are given.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:27:27Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.97:519.876
Ñ. Ç. Êóëèåâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê
Èí-ò êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåðáàéäæàíà
(Àçåðáàéäæàí, AZ1141, Áàêó, óë.Ô.Àãàåâà, 9,
òåë. (99412) 5100523, E-mail: azcopal@gmail.com)
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè è îïòèìèçàöèè äèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ. Å. Ñàóõ)
Ïðåäëîæåí ìåòîä ñîâìåñòíîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ïàðà-
ìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè è ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ðåæèìà äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà.
Ïîëó÷åíî ñóáîïòèìàëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è óïðàâëåíèÿ äèíàìè÷åñêèì îáúåêòîì â îêðåñò-
íîñòè îïòèìàëüíîãî ðåæèìà. Ïðèâåäåíû ðàñ÷åòíûå ôîðìóëû è àëãîðèòì äëÿ ðåàëèçàöèè
ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà, à òàêæå ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
Çàïðîïîíîâàíî ìåòîä ñóì³ñíîãî ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ïàðàìåòðè÷íî¿ ³äåíòèô³êàö³¿ ïàðà-
ìåòð³â ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ òà ïîøóêó îïòèìàëüíîãî ðåæèìó äèíàì³÷íîãî îá’ºêòó. Îòðè-
ìàíî ñóáîïòèìàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ óïðàâë³ííÿ äèíàì³÷íèì îá’ºêòîì â îêîë³ îïòè-
ìàëüíîãî ðåæèìó. Íàâåäåíî ÷èñåëüí³ ôîðìóëè ³ àëãîðèòìè äëÿ ðåàë³çàö³¿ çàïðîïîíî-
âàíîãî ï³äõîäó, à òàêîæ ðåçóëüòàòè êîìï’þòåðíèõ åêñïåðèìåíò³â.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: äèíàìè÷åñêèé îáúåêò, ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, îïòè-
ìàëüíîå óïðàâëåíèå, ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü òåêóùåå ñîñòîÿíèå x t R n
( )� óïðàâëÿåìîãî òåõ-
íîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà èëè äèíàìè÷åñêîãî îáúåêòà îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëü-
íûì ñîñòîÿíèåì x R n
0
� , âåêòîðîì íåðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v R m
� ñ
çàäàííûìè â íà÷àëå ïðîöåññà çíà÷åíèÿìè è âåêòîðîì ðåãóëèðóåìûõ (óïðàâ-
ëÿþùèõ) ïàðàìåòðîâ u R r
� , çíà÷åíèÿ êîòîðûõ íàçíà÷àþòñÿ íà âåñü ïåðèîä
ïðîöåññà t T�[ , ]0 ïðè óñëîâèè ìèíèìèçàöèè çàäàííîãî ôóíêöèîíàëà, îïðå-
äåëÿþùåãî êðèòåðèé îïòèìàëüíîñòè ðåãóëèðîâàíèÿ ïðîöåññîâ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ íà÷àëüíîé çàäà÷åé îòíîñèòåëü-
íî íåêîòîðîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé âèäà
~
( )
~
(
~
( ), , , )x t f x t u v p
�
� , t T�[ , ]0 ,
(1)
~
( )
~x x X0
0 0
� � . (2)
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 3
����������� ��
���
��
�
�
����
Çäåñü X
0
— ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ íà÷àëüíûõ ñîñòîÿíèé ïðîöåññà;
~
( )x t �
�
~
( ;
~
, , )x t x u v
0
— ôóíêöèÿ, îïðåäåëÿþùàÿ ïðîöåññ ïðè çàäàííûõ íà÷àëü-
íûõ óñëîâèÿõ
~x
0
è îïðåäåëåííûõ â íà÷àëå åãî ïðîòåêàíèÿ çíà÷åíèÿõ
íåðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v V R m
� � è íàçíà÷åííûõ (âûáðàííûõ) çíà-
÷åíèÿõ ðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ u U R r
� � ; p P R l
� � — âåêòîð ïàðà-
ìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè; U — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé
óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ; V — ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ çíà÷åíèé íåðåãó-
ëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ; P — ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà.
Ïóñòü ôóíêöèîíàë
J u x v p f x t u v dt x T u v
T
u
( ;
~
, , )
~
(
~
( ), , ) (
~
( ), , ) min
0
0
0
� � �
�U
(3)
îïðåäåëÿåò êà÷åñòâî âûáðàííûõ çíà÷åíèé âåêòîðà óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåò-
ðîâ u â çàâèñèìîñòè îò çàäàííûõ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ
~x
0
è çíà÷åíèé
âåêòîðà íåðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v. Çäåñü
~
,f 0
— çàäàííûå íåïðå-
ðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå ïî ïåðâûì äâóì àðãóìåíòàì ôóíêöèè.
Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè è ðàçðàáîòêå ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðåàëüíûìè òåõ-
íîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè è òåõíè÷åñêèìè îáúåêòàìè âåêòîð-ôóíêöèÿ
~
f ,
îïðåäåëÿþùàÿ äèíàìèêó ïðîöåññà, êàê ïðàâèëî, íå çàäàíà èëè çàäàí òîëü-
êî êëàññ ôóíêöèé ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðîâ, òðåáóþùèõ îöåíêè çíà÷å-
íèé. Ïðîáëåìà ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèè
~
f îòíîñèòñÿ ê ýòàïó ìàòåìàòè÷åñêîãî
ìîäåëèðîâàíèÿ è äëÿ åãî ïðîâåäåíèÿ íåîáõîäèìî íàëè÷èå ðåçóëüòàòîâ
íàáëþäåíèé çà ïðîöåññîì. Ýòîò ýòàï ñîñòîèò èç äâóõ ïîäýòàïîâ. Íà ïåð-
âîì ïîäýòàïå, íàçûâàåìûì ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèåé, îïðåäåëÿåòñÿ
êëàññ ôóíêöèé, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðîâ p R l
� , çíà÷åíèÿ êîòîðîãî îïðå-
äåëÿþòñÿ íà âòîðîì ïîäýòàïå — ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè [1].
Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïåðâûé ïîäýòàï ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà —
çàäà÷à ñòðóêòóðíîé èäåíòèôèêàöèè — ðåøåíà, íàïðèìåð, çà ñ÷åò êàêîé-
ëèáî àïðèîðíîé êà÷åñòâåííîé èíôîðìàöèè î õàðàêòåðå ïðîöåññà, ò. å.
ïðîöåññ âìåñòî (1) îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé:
x t f x t u v p
�
�( ) ( ( ), , , ), t T�[ , ]0 ,
(4)
ãäå f — çàäàííàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïàðàìåòðîâ p n-ìåðíàÿ íåïðåðûâíî-äèô-
ôåðåíöèðóåìàÿ ïî ñâîèì àðãóìåíòàì âåêòîð-ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ÷àùå âñåãî
îòëè÷àåòñÿ îò ðåàëüíî îïèñûâàþùåé ïðîöåññ ôóíêöèè
~
f ; p — âåêòîð ïàðà-
ìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà, çíà÷åíèÿ êîòîðîãî òðåáóåòñÿ
îïðåäåëèòü íà ïîäýòàïå ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè.
Ñ. Ç. Êóëèåâ
4 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
Äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè íåîáõîäèìî ïðîâîäèòü íàáëþ-
äåíèÿ çà ñîñòîÿíèåì òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà, êîòîðûå ìîãóò èìåòü
ðàçëè÷íûé õàðàêòåð [2]. Íàïðèìåð, ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ íåðåãóëèðóå-
ìûõ è ðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v Vi
� è u Ui
� íàáëþäåíèÿ çà ñîñòîÿíèåì
ïðîöåññà ìîãóò ïðîâîäèòüñÿ â çàäàííûå ìîìåíòû âðåìåíè t Tij �[ , ]0 ,
� � ( ; , )x x t u vj
i i
ij
i i
� , t Tij �[ , ]0 , j M i� 0 1, , ..., , i N�1 2, , ..., , (5)
èëè òîëüêî â íà÷àëüíûé è êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè ti 0
0� , t TiM i
� :
� � ( ; , )x x u vi i i i
0
0� , � � ( ; , )x x T u vT
i i i i
� , i N�1 2, , ..., , (6)
ãäå N — ÷èñëî ïðîâåäåííûõ íàáëþäåíèé çà îòäåëüíî ïðîòåêàþùèìè
ïðîöåññàìè; M i — ÷èñëî íàáëþäåíèé çà ñîñòîÿíèåì ïðè êàæäîì ïðîòå-
êàíèè ïðîöåññà, è äëÿ êàæäîãî èç íèõ çàäàí ïîëîæèòåëüíûé âåñîâîé
êîýôôèöèåíò � j , j N�1 2, ,..., , çíà÷åíèÿ êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ñòåïåíüþ
äîñòîâåðíîñòè è òî÷íîñòüþ ðåçóëüòàòîâ ïðîâåäåííûõ íàáëþäåíèé, ïðè-
÷åì, êàê ïðàâèëî, � j � [ , ]0 1 , j N�1 2, ,..., .
Íàáëþäåíèÿ ìîãóò ïðîèñõîäèòü â çàäàííûõ èíòåðâàëàõ âðåìåíè:
� � ( ; , )x x t u vj
i i i i
� ,
�
t t tij ij�
�1
, , j M i�0 1, , ..., , i N�1 2, , ..., , (7)
ãäå
�
t t Tij ij�
�
1
0, [ , ] — çàäàííûå èíòåðâàëû; M i — ÷èñëî íàáëþäàåìûõ
èíòåðâàëîâ ïðè êàæäîì íàáëþäåíèè.
Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ ìîäåëè p (çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè) ñ ïðèìåíåíèåì, íàïðèìåð, êðèòåðèÿ íàèìåíüøèõ êâàä-
ðàòîâ â çàâèñèìîñòè îò âèäà íàáëþäåíèÿ ïðèâîäèò ê ìèíèìèçàöèè ôóíê-
öèîíàëà [3]
S p x t u v p x p
i
N
j
M
i
i
ij
i i
j
i
R R
i
n l1
1 1
2
2
( ) ( ; , , ) �� � �
� �
�� � � (8)
â ñëó÷àå íàáëþäåíèé âèäà (5), à äëÿ íàáëþäåíèé âèäà (6) ôóíêöèîíàë (8)
ïðèíèìàåò ñëåäóþùèé âèä:
S p x T u v p x p
i
N
i
i i i
T
i
R Rn l2
1
2
2
( ) ( ; , , ) �� � �
�
�� � . (9)
Äëÿ íàáëþäåíèé âèäà (7) ìèíèìèçèðóåòñÿ ôóíêöèîíàë
S p x t u v p x t
i
N
j
M
i
t
t
i i i
j
i
R
i
ij
ij
3
1 1
1
( ) ( ; , , ) � ( )� �
� �
��
�
�
n ldt p
R
2
2
�� , (10)
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 5
ãäå x t u v pi i i
( ; , , ) — ðåøåíèå ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4)
ïðè íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ
x u v p xi i i i
( ; , , ) �0
0
� (11)
(ò.å. ïðè ti 0
0� ) è ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ u v pi i
, , ; � — ïàðà-
ìåòð ðåãóëÿðèçàöèè ìèíèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà [4].
Òàêèì îáðàçîì, ïðîáëåìà ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îáåñïå÷åíèÿ óï-
ðàâëåíèÿ èññëåäóåìûì òåõíîëîãè÷åñêèì ïðîöåññîì ñîñòîèò èç äâóõ ïîä-
ýòàïîâ. Íà ïåðâîì ðåøàåòñÿ çàäà÷à (4), (11) ìèíèìèçàöèè îäíîãî èç ôóíê-
öèîíàëîâ (8), (9) èëè (10) è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ìàòåìà-
òè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ íàáëþäå-
íèé (6) èëè (7), à íà âòîðîì — çàäà÷à (3), (4) äëÿ âûáîðà îïòèìàëüíîãî
ðåæèìà ïðîöåññà u u t x v� �( ; , )
0
const ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ íà÷àëüíîãî
ñîñòîÿíèÿ x
0
è çíà÷åíèÿõ âåêòîðà íåóïðàâëÿåìûõ ïàðàìåòðîâ v .
×èñëåííîå ðåøåíèå çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è
óïðàâëåíèÿ. ßñíî, ÷òî ïîñòàíîâêè çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêà-
öèè (4) — (10) è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (3), (4) îòíîñÿòñÿ ê îäíîìó
êëàññó çàäà÷ ïàðàìåòðè÷åñêîãî îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è äëÿ èõ ðåøå-
íèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü ëþáîé èçâåñòíûé ïîäõîä, â ÷àñòíîñòè ïðèìåíå-
íèå ìåòîäîâ îïòèìèçàöèè ïåðâîãî ïîðÿäêà. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ïðîñòîé
ñòðóêòóðû äîïóñòèìûõ îáëàñòåé ïàðàìåòðîâ P è U (ìíîãîìåðíûé ïàðàë-
ëåëåïèïåä, øàð è äð.) ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîä ïðîåêöèè ãðàäèåíòà [5, 6].
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè (4) — (10) èòå-
ðàöèîííûé ïðîöåññ ñòðîèì ñ ïîìîùüþ ñëåäóþùèõ ôîðìóë:
p p S pk
p
k
k
k�
� �
1
Pr ( ( ))� grad , k �0 1, ,... , (12)
grad S p p
f x t u v p
p
t dtk
v
N T v v v
v
( )
( ( ), , , )
( )� �
�
�
2
1 0
�
�
�
� , (13)
ãäå Prp — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ íà äîïóñòèìóþ îáëàñòü P, èìåþùèé
íåñëîæíûé âèä äëÿ îáëàñòè ïðîñòîé ñòðóêòóðû. Çäåñü x tv
( ) � x t xv v
( ; � ,
0
u vv v
, ) — ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è (4), (6);� k — øàã îäíîìåðíîé ìèíè-
ìèçàöèè; �
v t( ) — ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è, âèä êîòîðîé çàâèñèò îò
ïðîâåäåííûõ íàáëþäåíèé è ôóíêöèîíàëà. Íàïðèìåð äëÿ íàáëþäåíèé (5),
(6) è ôóíêöèîíàëà (8)
�
�
�
�
v
v v v T
vt
f x t u v p
x
t
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( )
( ( ), , , )
( )
Ñ. Ç. Êóëèåâ
6 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
� � �
�
�2
1
� �v
j
M
v v v
j
v
vj
v
x t u v p x t t[ ( ; , , ) � ] ( ) , t T�( , ]0 , (14)
�
v T( ) �0, v N�1 2, ,..., , (15)
ãäå� ( )t tvj� — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Äèðàêà; T — çíàê òðàíñïîíèðîâàíèÿ
ìàòðèöû. Äëÿ íàáëþäåíèé òèïà (7) è ôóíêöèîíàëà (10) ñîïðÿæåííàÿ ñèñ-
òåìà èìååò âèä
�
�
�
�
v
v v v T
vt
f x t u v p
x
t
�
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�( )
( ( ), , , )
( )
� �
�
�2
1i
N
i
v v v v vt x t u v p x t� ( ) [ ( ; , , ) � ( )] , t T�( , ]0 , (16)
ãäå ôóíêöèÿ òèïà Õýâèñàéäà � j
v t( ) â äàííîì ñëó÷àå îïðåäåëåíà òàê:
� j
v
vj vj
j
N
vj vj
j
t
t t t t T
t t t
( )
, [ , ] [ , ],
, [ , ]
�
�
�
�
�
�
0
1
1
1
1
� �
�
�
�
�
�
�
�
1
N
t T� � [ , ].
(17)
Ïðèâåäåííûå ôîðìóëû íåñëîæíî ïîëó÷èòü, èñïîëüçóÿ ìåòîä âàðèà-
öèé îïòèìèçèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ èëè ñîîòâåòñòâóþùèå èçâåñòíûå ôîð-
ìóëû [5— 7], ó÷èòûâàÿ, ÷òî çàäà÷è (4) — (10) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì
îáùåé ïîñòàíîâêè çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ.
Ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è îïðåäå-
ëåíèÿ ïàðàìåòðîâ p ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ, à ñëåäîâàòåëüíî, ïîñòðîåíèÿ
ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ ïðè çàäàííûõ íà÷àëüíîì óñëîâèè x
0
è çíà÷åíèè íåðåãóëè-
ðóåìîãî ïàðàìåòðà v ìîæíî èñïîëüçîâàòü ìåòîäû îïòèìèçàöèè ïåðâîãî
ïîðÿäêà [5, 6]:
u u J uk
u
k
k
k�
� �
1
Pr ( ( ))� grad , k �0 1 2, , , ... , (18)
grad J u
f x t u v p
u
f x t u vk
T k k k k k k
( )
( ( ), , , ) ( ( ), , ,
� � �
0
0
�
�
� p
u
t dtk)
( )
�
!
"
�
#
$
%
�
�
�
�
( ( ), , )x T u v
u
k k
.
(19)
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 7
Çäåñü Pru — îïåðàòîð ïðîåêòèðîâàíèÿ íà äîïóñòèìóþ îáëàñòü U; x tk
( ) �
� x t x u vk k
( ; , , )
0
— ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è îòíîñèòåëüíî (4);� k — øàã
ïî íàïðàâëåíèþ àíòèãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà â ïðîñòðàíñòâå óïðàâëÿþ-
ùèõ ïàðàìåòðîâ u R r
� ;! !
k kt t x u v( ) ( ; , , )�
0
— ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñîïð-
ÿæåííîé çàäà÷è:
!
�
�
�
�
k
k k k k
t
f x t u v p
x
f x t u v p
x
�
� �
�
�
�
�
�
( )
( ( ), , , ) ( ( ), , , )
0
�
�
�
T
k t! ( ), t T�( , ]0 , (20)
!
�
�
k
k k
T
x T u v
x
( )
( ( ), , )
� �
. (21)
Íåäîñòàòîê îïèñàííîãî äâóõýòàïíîãî ïîäõîäà ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ
ïî óïðàâëåíèþ ïðîöåññîì, â êîòîðîì íà ïåðâîì ýòàïå ñòðîèòñÿ ìàòåìà-
òè÷åñêàÿ ìîäåëü ñ èñïîëüçîâàíèåì âñåõ èìåþùèõñÿ íàáëþäåíèé, çàêëþ-
÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïðàâûå ÷àñòè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1),
îïèñûâàþùèõ ðàññìàòðèâàåìûé ïðîöåññ, êàê ïðàâèëî, òî÷íî íå èçâåñòíû,
è ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ïðîöåññà, ò. å. ïðè âûáîðå ôóíêöèè
f â (4), èñïîëüçóþòñÿ â ïåðâóþ î÷åðåäü óïðîùåííûå (ëèíåéíûå, êâàäðà-
òè÷íûå) ôóíêöèè. Ïîýòîìó ïîñëå ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ìàòå-
ìàòè÷åñêîé ìîäåëè ðàñ÷åòíûå çíà÷åíèÿ òðàåêòîðèè íå áóäóò ñîâïàäàòü ñ
ðåàëüíîé òðàåêòîðèåé. ×åì áîëüøå ðàçáðîñ íàáëþäàåìûõ äîïóñòèìûõ
çíà÷åíèé íà÷àëüíûõ óñëîâèé �x j
0
, óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u j
è íåðå-
ãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v j
, òåì áîëüøå áóäóò îòëè÷àòüñÿ ðàñ÷åòíûå çíà-
÷åíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà îò ðåàëüíîé òðàåêòîðèè.
 ðàçâèòèå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ â ðàáîòàõ [8, 9] îòíîñèòåëüíî ñòà-
òè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ïðåäëàãàåòñÿ ñîâìåñòèòü ýòàïû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäå-
ëèðîâàíèÿ, òî÷íåå, ýòàï ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ p è
ýòàï îïòèìèçàöèè óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u, íî ëèøü ïîñëå òîãî, êàê áóäóò
çàäàíû çíà÷åíèÿ íà÷àëüíûõ óñëîâèé x
0
è íåðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v.
Ïàðàìåòðè÷åñêóþ èäåíòèôèêàöèþ ìîäåëè ñëåäóåò ïðîâîäèòü ïîñëå êàæäîé
èòåðàöèè (18) ïî îïòèìèçàöèè óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u. Ïðè ýòîì î÷åíü
âàæíî, ÷òîáû âñåì èìåþùèìñÿ íàáëþäåíèÿì, èñïîëüçóåìûì äëÿ çàäà÷è
ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè, áûëè íàçíà÷åíû âåñà &
j j j jx v u( � , , ;
0
x v uk
0
, , ), j N�1 2, ,..., , êîòîðûå îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî çàâèñÿò îò ðàñ-
ñòîÿíèÿ íàáëþäàåìûõ ïàðàìåòðîâ � , ,x v uj j j
0
ïðîöåññà, çàäàííûõ çíà÷åíèé
íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ x
0
, íåðåãóëèðóåìîãî ïàðàìåòðà v è òåêóùåãî çíà÷åíèÿ
èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà (18) îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðà uk
.  ýòîì ñëó÷àå,
íàïðèìåð, ôóíêöèîíàë (8), èñïîëüçóåìûé â çàäà÷å ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåí-
Ñ. Ç. Êóëèåâ
8 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
òèôèêàöèè íà k-é èòåðàöèè ïðîöåññà îïòèìèçàöèè óïðàâëÿþùåãî ïàðà-
ìåòðà uk
, áóäåò èìåòü âèä
S p x v u x v u x t u vk k
i
N
i k
i
j
M
i
ij
i
i
1 0
1
0
1
( ; , , ) ( , , ) ( ; ,�
� �
� �& �
i
j
i
R R
p x p
n l, ) �� �
2
2
� ,
(22)
à ïðè M i �1è t TiM i
� ôóíêöèîíàë (9) ïðèìåò âèä
S p x v u x v u x T u v p xk k
i
N
i k
i
i i i
T2 0
1
0
( ; , , ) ( , , ) ( ; , , ) �� �
�
�& �
i
R Rn lp
2
2
� � .
(23)
Àíàëîãè÷íî èçìåíèòñÿ è ôóíêöèîíàë (11).
 êà÷åñòâå âåñîâûõ ôóíêöèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü, íàïðèìåð, ôóíê-
öèþ âèäà
& & & &
j
x
j
v
j
u
jx v u x v u( , , ) ( ) ( ) ( )
0 0
� � � ,
& x
j k x x
x e
j
( )
�
0
1 0 0
�
� �
, & v
j k v v
v e
j
( ) �
� �
2
, & u
j k k u u
u e
j k
( ) �
� �
3
. (24)
ßñíî, ÷òî çíà÷åíèÿ& x
j x( )
0
,& v
j v( ) , j M�1 2, ,..., , íå áóäóò ìåíÿòüñÿ â ïðîöåñ-
ñå ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ (êàê äëÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè, òàê è äëÿ
çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ). Îíè îïðåäåëÿþòñÿ, êàê òîëüêî ñòàíî-
âÿòñÿ èçâåñòíû íà÷àëüíûå óñëîâèÿ x
0
è çíà÷åíèÿ íåðåãóëèðóåìûõ ïàðà-
ìåòðîâ v. Â èòåðàöèîííîì ïðîöåññå îïòèìèçàöèè (18) ïàðàìåòðû ìàòåìà-
òè÷åñêîé ìîäåëè p áóäóò ìåíÿòüñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ & u
j ku( ), j N�1 2, ,..., ,
k �1 2 3, , ,... .
Çàìå÷àíèå 1. Âìåñòî (24) ìîæíî èñïîëüçîâàòü òàêæå ïðîèçâåäåíèå
âåñîâûõ ôóíêöèé âèäà
& & & &
j j j j
x
j
v
j
u
jx v u x v u x v u( � , , ; , , ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
�
èëè êàêóþ-ëèáî äðóãóþ ôóíêöèþ ñ óêàçàííûì ñâîéñòâîì ìîíîòîííîãî
óáûâàíèÿ â çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèÿ ìîäóëåé ðàçíîñòè àðãóìåíòîâ
�x xj
0 0
� , v vj
� , u uj k
� .
Çàìå÷àíèå 2. Äðóãîé ðåàëèçàöèåé ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê ñîâìå-
ùåíèþ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ ìîæåò áûòü îòñå÷åíèå èç ìíîæåñòâà íàáëþäàåìûõ çíà÷åíèé
ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà òåõ íàáëþäåíèé, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ óäàëåíû îò òåêó-
ùåãî âåêòîðà ( , , )x v uk
0
íà ðàññòîÿíèå áîëüøåå, ÷åì íåêîòîðàÿ çàäàííàÿ
âåëè÷èíà. Ïðè ýòîì âåñîâûå ôóíêöèè íå èñïîëüçóþòñÿ; íà êàæäîé èòåðà-
öèè îïòèìèçàöèè (19) ïàðàìåòðè÷åñêàÿ èäåíòèôèêàöèÿ ïðîâîäèòñÿ ñ èñïîëü-
çîâàíèåì ëèøü óñå÷åííîãî ìíîæåñòâà íàáëþäåíèé [9].
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 9
 ïðåäëàãàåìîì ïîäõîäå ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è ïðèíÿ-
òèþ ðåøåíèÿ ïî óïðàâëåíèþ òåõíîëîãè÷åñêèì ïðîöåññîì çàäà÷è ïàðàìåò-
ðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ çàìåíÿþòñÿ îäíîé
çàäà÷åé, êîòîðóþ ìîæíî çàïèñàòü â ôîðìå
J u x v S p x v u
p P u U
( ; , , arg min ( ; , , )) min
0 0
� �
� , (25)
èëè
J u x v p u
u U
( ; , , ( )) min
*
0
�
�
, (26)
p u S p x v u
p P
*
( ) arg min ( ; , , )�
�
0
, (27)
ñ ó÷åòîì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (4). Çíà÷åíèÿ ( , )x v
0
â (25) — (27)
çàäàíû, ôóíêöèîíàëû J ( )' è S ( )' îïðåäåëåíû ôîðìóëàìè òèïà (3) è (22)
èëè (23).
Îïòèìàëüíàÿ ïàðà ( , ( ))
* *u p u , ÿâëÿþùàÿñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è (25) èëè
(26), (27), õàðàêòåðèçóåòñÿ òåì, ÷òî ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ìîäåëè (4) íàáëþäåíèÿ (5) — (7), ïðîâåäåííûå â áîëåå áëèçêîé îêðåñòíîñòè
îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ u*
, èìåþò áîëüøèé âåñ, ò. å. ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
«ëîêàëüíî îïòèìàëüíà» â îêðåñòíîñòè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ( , ( ))
* *u p u .
Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé
àëãîðèòì.
1. Ïðè çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ x
0
è íåðåãóëèðóå-
ìîãî ïàðàìåòðà v ïî âñåì èìåþùèìñÿ íàáëþäåíèÿì (5), (6) èëè (7) âû÷èñ-
ëÿåì çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ & x
j x( )
0
, & v
j v( ) , à çíà÷åíèÿ âåñîâ
& u
j u( ), j N�1 2, , ..., , ïðèíèìàåì ðàâíûìè åäèíèöå.
2. Ðåøàÿ çàäà÷ó (12) — (17), ïðîâîäèì ïàðàìåòðè÷åñêóþ èäåíòèôè-
êàöèþ è îïðåäåëÿåì âåêòîð ïàðàìåòðîâ ìîäåëè p*0
.
3. Ñ èñïîëüçîâàíèåì èòåðàöèîííîãî ìåòîäà (18) — (21) ðåøàåì çàäà÷ó
îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ (3), (4) è îïðåäåëÿåì âåêòîð u*0
.
4. Âû÷èñëÿåì çíà÷åíèÿ âåñîâûõ êîýôôèöèåíòîâ & u
j u( )
*0
, j N�1 2, ,..., .
5. Âûïîëíÿåì îäèí øàã èòåðàöèîííîãî ìåòîäà (18) — (21) è îïðåäå-
ëÿåì íîâûé âåêòîð ïàðàìåòðîâ u*1
.
6. Åñëè u u* *1 0
� (�, òî, ïîëîæèâ u u* *0 1
� , ïåðåõîäèì ê øàãó 4; â ïðî-
òèâíîì ñëó÷àå çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è îïòèìàëüíîãî
óïðàâëåíèÿ ðåøåíà ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ � (0 .
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäëîæåííîãî àëãîðèòìà â àâòîìàòèçèðîâàííûõ
ñèñòåìàõ óïðàâëåíèÿ òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè íåîáõîäèìîñòü çàïî-
ìèíàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè çàìåíÿåòñÿ íåîáõîäèìîñòüþ ñîõðàíåíèÿ
òàê íàçûâàåìîé èíôîðìàöèîííîé ìîäåëè ïðîöåññà, ñîñòîÿùåé èç äèôôåðåí-
öèàëüíûõ óðàâíåíèé (4), îïòèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà (3) è çíà÷åíèé íàá-
ëþäåíèé çà ïàðàìåòðàìè ñîñòîÿíèÿ ïðîöåññà (5), (6) èëè (7).
Ñ. Ç. Êóëèåâ
10 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
ßñíî, ÷òî îáúåì âû÷èñëåíèé â ïðåäëàãàåìîì ïîäõîäå ïðåâûøàåò îáúåì
âû÷èñëåíèé ïðè èñïîëüçîâàíèè êëàññè÷åñêîãî ðàçäåëüíîãî äâóõýòàïíîãî
ïîäõîäà ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ.
Íî â ïðåäëàãàåìîé ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëè äëÿ ïðèíÿòèÿ îïòèìàëüíîãî ðå-
øåíèÿ ó÷èòûâàþòñÿ êîíêðåòíî çàäàííûå çíà÷åíèÿ íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ è
íåðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ïðîöåññà, à êðîìå òîãî, îíà ëîêàëüíî îïòè-
ìàëüíà â îêðåñòíîñòè u U*
� . Îäíàêî ñëåäóåò ó÷èòûâàòü, ÷òî ìîùíîñòè
ñîâðåìåííûõ âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåì ïîçâîëÿþò ðåøàòü çàäà÷è ïðèíÿòèÿ
ðåøåíèÿ ïî óïðàâëåíèþ ìíîãèìè ðåàëüíûìè òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè
è òåõíè÷åñêèìè îáúåêòàìè ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà â
ðåàëüíîì ìàñøòàáå âðåìåíè è ïîëó÷àòü áîëåå òî÷íûå îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ.
Çàìå÷àíèå 3. Ïðåäëîæåííûé ïîäõîä íåñëîæíî ðàñïðîñòðàíèòü íà
ñëó÷àé äèñêðåòíûõ äèíàìè÷åñêèõ îáúåêòîâ, îïèñûâàåìûõ ñèñòåìàìè âè-
äà x f x u v pk k�
�
1
( , , , ), k M�0 1, , ..., , äëÿ êîòîðûõ ñòàâèòñÿ çàäà÷à ïàðà-
ìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè ïàðàìåòðîâ p R l
� ïðè èìåþùèõñÿ íàáëþäå-
íèÿõ çà ñîñòîÿíèåì ïðîöåññà â êàêèå-ëèáî äèñêðåòíûå ìîìåíòû âðåìåíè è
îïòèìèçàöèè ðåæèìíîãî âåêòîðà ïàðàìåòðîâ u R r
� îòíîñèòåëüíî êàêîãî-
ëèáî çàäàííîãî öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà äëÿ îöåíêè êà÷åñòâà óïðàâëåíèÿ.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû ðå-
øåíèÿ òåñòîâîé çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà. Ïðåä-
ïîëîæèì, ÷òî èññëåäóåìûé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùåé íà÷àëüíîé
çàäà÷åé îòíîñèòåëüíî àâòîíîìíîé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé âèäà
~
( )
~
( ) /
~
( )x t x t x t vu
1 2
2
2 1
2 1
�
� � � � ,
~
( )
~
( )x t x t u
2 1 1
1
�
� � � ,
~
( )
~
( )
~
( )
~
( )x t x t x t x t vu
3 4
2
4 3 2
2 2
�
� � � � � ,
~
( )
~
( )x t x t u
4 3 2
1
�
� � � � , t T�( , ]0 ,
~
( ) {
~
( ) :
~
( ) , , , , }x X x x ii0 0 3 0 3 1 2 3 4
0
� � � ) ) � . (28)
Çäåñü v V R� � � �[ , ]3 3 — çíà÷åíèå íåðåãóëèðóåìîãî ïàðàìåòðà; u �
� � *( , )u u U R
1 2
2
— íàçíà÷àåìûå çíà÷åíèÿ ðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ;
T �2 — âðåìÿ ôóíêöèîíèðîâàíèÿ ïðîöåññà. Ôóíêöèîíàë
J u x v p x T x u v x
i
i i
T
u U
( ;
~
, , ) [
~
( ;
~
, , )
~
] min
0
1
4
0
2
� � �
�
�
� , (29)
ãäå
~
( , ; , ; , ; , )xT � � �20589 43317 19177 12578 , îïðåäåëÿåò êà÷åñòâî âûáðàííûõ
çíà÷åíèé âåêòîðà óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u ïðè óæå îïðåäåëåííî çà-
äàííûõ íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè
~x
0
è çíà÷åíèè íåðåãóëèðóåìîãî ïàðàìåòðà v.
×èñëåííî ìîæíî ïðîâåðèòü, ÷òî ðåçóëüòàòîì ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìèçà-
öèè ïðîöåññà (28) ïðè x ( ) ( , ; , ; , ; , )0 2 35 2 35 215 215� � � è v � �195, ÿâëÿåòñÿ
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 11
âåêòîð u*
( , ; , )� �2 25 2 25 , ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàë (29) ïðèíèìàåò çíà-
÷åíèå J *
�0 .
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî âìåñòî ïðîöåññà (28), òî÷íûé âèä êîòîðîãî áóäåì
ñ÷èòàòü íå çàäàííûì, ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü ïðîöåññà îïðåäåëÿåò ñëå-
äóþùàÿ ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
x t p x t v u
1 1 2
2
1
�
� �( ) ( ) , x t p x t p u
2 2 1 2 1
�
� � �( ) ( ) ,
x t p x t p x t p v u
3 3 4
2
4 3 4 2
�
� � � �( ) ( )
~
( ) ,
~
( ) ( )x t x t u
4 3 2
1
�
� � � � , t T�( , ]0 ,
(30)
ãäå p p p p p P R� � *( , , , )
1 2 3 4
4
— âåêòîð ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé
ìîäåëè.
Ïóñòü ïðè ðàçëè÷íûõ çàäàííûõ çíà÷åíèÿõ íåðåãóëèðóåìûõ è ðåãó-
ëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ v Vi
� è u Ui
� , i N�1 2, ,..., , èìåþòñÿ ðåçóëüòàòû
íàáëþäåíèÿ çà ñîñòîÿíèåì òåõíîëîãè÷åñêîãî ïðîöåññà (28) â íà÷àëüíûé è
êîíå÷íûé ìîìåíòû âðåìåíè ti 0
0� , tiM � 2:
� � ( ; , )x x u vi i i i
0
0� , � � ( ; , )x x u vT
i i i i
� 2 , i N�1 2, , ..., ,
ãäå N �60— ÷èñëî ïðîâåäåííûõ íàáëþäåíèé çà îòäåëüíî ïðîòåêàþùèìè
ïðîöåññàìè. Çàïèøåì íàáëþäàåìûå íà÷àëüíûå ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà,
� ( ) ( )x i
N
j
i
0 3 1
6
� � � � , j �1 2 3 4, , , , i N�1 2, , ..., ,
(31)
ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ åãî ðåãóëèðóåìûõ è íåðåãóëèðóåìûõ ïàðà-
ìåòðîâ:
u i
N
j
i
� � � �3 1
6
( ) , j �1 2, , v i
N
i
� � � �3 1
6
( ) , i N�1 2, ,..., .
 òàáëèöå ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ òðàåêòîðèè ñèñòåìû (28) â êîíå÷íûé
ìîìåíò âðåìåíè T �2 , ïîëó÷åííûå â ðåçóëüòàòå íàáëþäåíèé.
Îïðåäåëåíèå ïàðàìåòðîâ ìîäåëè p (çàäà÷à ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòè-
ôèêàöèè) ïðèâîäèò ê ìèíèìèçàöèè ñëåäóþùåãî ôóíêöèîíàëà:
S p x T u v p x p
i
N
i
i i i
T
i
R R
( ) ( ; , , ) �� � �
�
�
1
2
2
4
4� � .
Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî òî÷íîñòü âñåõ ïðîâîäèìûõ íàáëþäåíèé îäèíàêîâà, ïðè-
íèìàåì � i �1, i N�1 2, ,..., . Ïðè óñëîâèè, ÷òî P R*
4
, ò. å. îãðàíè÷åíèÿ íà
ïàðàìåòðû íå íàëîæåíû, èòåðàöèîííûé ïðîöåññ (12), (13) îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëàì
p p S pk k
k
k�
� �
1
� grad ( ), k �0 1, ,... ,
Ñ. Ç. Êóëèåâ
12 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 13
i �xT
i i �xT
i
1 (7,4129; 0,4487; 4,7353; 0,6380) 31 (2,3696; 05693; 0,4448; 1,4252)
2 (7,4552; 0,4706; 4,4697; 0,8441) 32 (2,0873; 0,6519; 0,4748; 1,2485)
3 (7,4803; 0,4875; 4,1933; 1,0452) 33 (1,8159; 0,7507; 0,4974; 1,0665)
4 (7,4881; 0,4997; 3,9085; 1,2400) 34 (1,5597; 0,8677; 0,5103; 0,8803)
5 (7,4788; 0,5075; 3,6179; 1,4275) 35 (1,3233; 1,0048; 0,5117; 0,6911)
6 (7,4526; 0,5112; 3,3243; 1,6065) 36 (1,1125; 1,1642; 0,5000; 0,5000)
7 (7,4096; 0,5111; 3,0306; 1,7759) 37 (0,9338; 1,3483; 0,4737; 0,3080)
8 (7,3500; 0,5075; 2,7397; 1,9344) 38 (0,7946; 1,5598; 0,4320; 0,1161)
9 (7,2741; 0,5007; 2,4546; 2,0812) 39 (0,7039; 1,8017; 0,3742; –0,0746)
10 (7,1820; 0,4912; 2,1782; 2,2150) 40 (0,6719; 2,0771; 0,2998; –0,2635)
11 (7,0740; 0,4792; 1,9134; 2,3351) 41 (0,7105; 2,3896; 0,2087; –0,4497)
12 (6,9505; 0,4652; 1,6626; 2,4404) 42 (0,8337; 2,7431; 0,1012; –0,6325)
13 (6,8116; 0,4497; 1,4284; 2,5304) 43 (1,0580; 3,1420; –0,0222; –0,8113)
14 (6,6578; 0,4329; 1,2128; 2,6043) 44 (1,4023; 3,5913; –0,1612; –0,9856)
15 (6,4894; 0,4155; 1,0174; 2,6616) 45 (1,8891; 4,0963; –0,3146; –1,1548)
16 (6,3069; 0,3979; 0,8437; 2,7020) 46 (2,5447; 4,6630; –0,4815; –1,3186)
17 (6,1106; 0,3807; 0,6924; 2,7251) 47 (3,4000; 5,2981; –0,6608; –1,4767)
18 (5,9012; 0,3643; 0,5642; 2,7309) 48 (4,4912; 6,0094; –0,8511; –1,6289)
19 (5,6791; 0,3494; 0,4588; 2,7194) 49 (5,8612; 6,8051; –1,0510; –1,7748)
20 (5,4450; 0,3367; 0,3760; 2,6908) 50 (7,5604; 7,6949; –1,2591; –1,9146)
21 (5,1997; 0,3267; 0,3147; 2,6454) 51 (9,6486; 8,6894; –1,4739; –2,0480)
22 (4,9438; 0,3203; 0,2737; 2,5837) 52 (12,1965; 9,8008; –1,6939; –2,1751)
23 (4,6784; 0,3181; 0,2511; 2,5063) 53 (15,2882; 11,0428; –1,9176; –2,2959)
24 (4,4044; 0,3211; 0,2449; 2,4138) 54 (19,0237; 12,4309; –2,1435; –2,4105)
25 (4,1230; 0,3301; 0,2529; 2,3071) 55 (23,5222; 13,9828; –2,3703; –2,5191)
26 (3,8355; 0,3460; 0,2724; 2,1871) 56 (28,9265; 15,7188; –2,5964; –2,6218)
27 (3,5435; 0,3699; 0,3006; 2,0549) 57 (35,4076; 17,6618; –2,8206; –2,7189)
28 (3,2488; 0,4030; 0,3348; 1,9114) 58 (43,1713; 19,8382; –3,0417; –2,8105)
29 (2,9533; 0,4463; 0,3721; 1,7579) 59 (52,4658; 22,2786; –3,2583; –2,8969)
30 (2,6593; 0,5013; 0,4097; 1,5954) 60 (63,5918; 25,0179; –3,4695; –2,9783)
grad S p p t x t dt pk
i
N T
i i
( ) ( )[ ( )] ,� �
�
�
�
�
�
�
�
2 2
1
1 0
1 2
2
2
� � �
k
i
N T
i it x t dt� �
�
�
1 0
2 1
� ( ) ( ) ,
2 2
3
1 0
3 4
2
4
1 0
3
� � � �p t x t dt pk
i
N T
i i k
i
N T
i
� � �
� �
� �
( )[ ( )] , ( ) ( )t x t dti
3
�
�
�
�
,
ãäå x t x t x u vi i i i i
( ) ( ; � , , )�
0
— ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è (30), (31);�
i t( ) —
ðåøåíèå ñëåäóþùåé ñîïðÿæåííîé çàäà÷è, ïîëó÷åííîé èç (14), (15):
� �
+
i it t p
�
�( ) ( )
2 2
, � �
+2 1 2
2
i i it t p x t
�
� �( ) ( ) ( ),
� � �
3 3 4 4
i i it t p t
�
� �( ) ( ) ( ), � �
4 3 3 4
2
i i it t p x t
�
� �( ) ( ) ( ), t T�[ , )0 ,
� � �
i
i
i i i k
T
i
i
i iT x T u v p x x T u v( ) ( [ ( ; , , ) � ], [ ( ; ,� � � �2 2
1 1 2
i k
T
ip x, ) � ],�
2
� � � �2 2
3 3 4
� �i
i i i k
T
i
i
i i i kx T u v p x x T u v p[ ( ; , , ) � ], [ ( ; , , ) �x T
i
4
]), i N�1 2, ,..., .
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ïðè çàäàííûõ íà÷àëü-
íîì óñëîâèè x
0
è çíà÷åíèè íåðåãóëèðóåìîãî ïàðàìåòðà v èñïîëüçóåì
ïðîöåäóðó (18), (19) ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî U R*
4
:
u u J uk k
k
k�
� �
1
� grad ( ), k �0 1, , ... ,
grad J u t v t dt t v t dtk
T T
( ) [ ( ) ( )] , [ ( ) ( )]� � � �
0
1 2
0
3 4
! ! ! !
�
�
�
�
�
�
�
�
,
ãäå x t x t x u vk k k
( ) ( ; , , )�
0
— ðåøåíèå íà÷àëüíîé çàäà÷è îòíîñèòåëüíî (30);
! !
k kt t x u v( ) ( ; , , )�
0
— ðåøåíèå ñîïðÿæåííîé çàäà÷è,
! !
1 2 2
�
�( ) ( )t t p , ! !
2 1 1 2
2
�
� �( ) ( ) ( )t t p x t ,
! ! !
3 3 4 4
�
� �( ) ( ) ( )t t p t , ! !
4 3 3 4
2
�
� �( ) ( ) ( )t t p x t , t T�[ , ),0
�
�
!( ) ( ( ; , , ) , ( ; , , ) ,T x T x u v x x T x u v xk
T
k
T
� � � � �2 2
1 0 1 2 0 2
�
�
� � � �2 2
3 0 3 4 0 4
x T x u v x x T x u v xk
T
k
T
( ; , , ) , ( ; , , ) ) .
 ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì êëàññè-
÷åñêîãî ðàçäåëüíîãî äâóõýòàïíîãî ïîäõîäà ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëè-
ðîâàíèþ è îïòèìàëüíîìó óïðàâëåíèþ ðàññìàòðèâàåìûì ïðîöåññîì áûëè
Ñ. Ç. Êóëèåâ
14 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëè p*
( , ; , ; , ; , )� � �0 6104 1 4495 2 0522 2 0037 è îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ñîîò-
âåòñòâóþùèõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u*
( , ; , )� �2 3918 2 4929 ïðè îïòè-
ìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ S p( ) ,
*
� 1195 47, J u( ) ,
*
�14 53.
 ðåçóëüòàòå ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäëî-
æåííîãî ïîäõîäà ê ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ ïî óïðàâëåíèþ ïðîöåññîì áûëè
ïîëó÷åíû çíà÷åíèÿ èäåíòèôèöèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ ìàòåìàòè÷åñêîé ìî-
äåëè p*
( , ; , ; , ; , )� � �0 5148 2 2775 2 2108 16383 è îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ñîîò-
âåòñòâóþùèõ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ u*
( , ; , )� �21678 2 2651 ïðè îïòè-
ìàëüíûõ çíà÷åíèÿõ öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ S p( )
*
� '
�
7 10
4
, J u( ) ,
*
� 7 86.
Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ îñíîâíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè îòíîñèòåëüíî îïòè-
ìèçàöèè ðåãóëèðóåìûõ ïàðàìåòðîâ �
1
3
10
u
�
�
, à òî÷íîñòü ðåøåíèÿ âñïîìî-
ãàòåëüíîé îäíîìåðíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè �
2
4
10
u
�
�
. Òî÷íîñòü ðåøåíèÿ
îñíîâíîé çàäà÷è îïòèìèçàöèè îòíîñèòåëüíî îïòèìèçàöèè ïàðàìåòðîâ ìî-
äåëè �
1
4
10
p
�
�
, à òî÷íîñòü ðåøåíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé îäíîìåðíîé çàäà÷è
îïòèìèçàöèè �
2
5
10
p
�
�
. Äëÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ íà÷àëüíîé çàäà÷è äëÿ
ïðÿìîé è ñîïðÿæåííîé ñèñòåì èñïîëüçîâàí ìåòîä Ðóíãå—Êóòòà ÷åòâåð-
òîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè ñ øàãîì h �0 02, . Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ ki , i �
�1 2 3, , â âûðàæåíèè âåñîâûõ ôóíêöèé & x
j k x x
x e
j
( )
�
0
1 0 0
�
� �
,& v
j k v v
v e
j
( ) �
� �
2
,
& u
j k k u u
u e
j k
( ) �
� �
3
ïðèíÿòû k k
1 2
100� � , , k
3
2 50� , .
Ïðè ñðàâíåíèè îïèñàííûõ ìîäåëåé âèäíî äîñòàòî÷íî ñóùåñòâåííîå
ðàçëè÷èå çíà÷åíèé èõ ïàðàìåòðîâ, îòêóäà, â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäóåò ðàçëè-
÷èå ïîëó÷åííûõ îïòèìàëüíûõ çíà÷åíèé óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ. Ïðè
ýòîì îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ óïðàâëÿþùèõ ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûå ïðåäëî-
æåííûì ìåòîäîì, áëèæå ê ðåàëüíî îïòèìàëüíîìó âåêòîðó u*
( , ; , )� �2 25 2 25 ,
÷åì ïîëó÷åííûå äâóõýòàïíûì ìåòîäîì.
Âûâîäû. Îñíîâíûì ïðåèìóùåñòâîì ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ÿâëÿåòñÿ
òî, ÷òî ïðèíÿòîå ðåøåíèå îïòèìàëüíî äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè, ïîñò-
ðîåííîé ñ ó÷åòîì íàáëþäåíèé ðàññìàòðèâàåìîé èíôîðìàöèîííîé ìîäå-
ëè, íàèáîëåå ïðèáëèæåííûõ ê îïòèìàëüíîìó ðåøåíèþ, ò.å. ìàòåìàòè-
÷åñêóþ ìîäåëü îáúåêòà ìîæíî ñ÷èòàòü ëîêàëüíî îïòèìàëüíîé îòíîñèòåëüíî
ïðèíÿòîãî ðåøåíèÿ.  îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîãî äâóõýòàïíîãî ïîäõîäà ê
ïðèíÿòèþ ðåøåíèÿ ïðåäëàãàåìûé ïîäõîä òðåáóåò áîëüøåãî îáúåìà êîìïüþ-
òåðíûõ âû÷èñëåíèé âñëåäñòâèå íåîáõîäèìîñòè ïðîâåäåíèÿ ïàðàìåòðè÷åñêîé
èäåíòèôèêàöèè ìîäåëè íà êàæäîé èòåðàöèè îïòèìèçàöèîííîãî ìåòîäà.
Ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííûõ ÷èñëåííûõ ýêñïåðèìåíòîâ ïîäòâåðæäàþò
ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê ðåøåíèþ ïîñòàâëåííûõ çàäà÷.
Ïðè ýòîì íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî ïîëó÷àåìûå â õîäå ðåøåíèÿ îïòèìàëü-
Î ñîâìåùåíèè ýòàïîâ ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 15
íûå óïðàâëåíèÿ ìîãóò ñóùåñòâåííî îòëè÷àòüñÿ îò óïðàâëåíèé, ïîëó÷àå-
ìûõ ñ ïðèìåíåíèåì êëàññè÷åñêîãî ïîñëåäîâàòåëüíîãî äâóõýòàïíîãî ìå-
òîäà ïàðàìåòðè÷åñêîé èäåíòèôèêàöèè è îïòèìèçàöèè.
An approach is proposed for a decision-making system on controlling the dynamic processes
which include the stages of parametric identification of a mathematical model and of optimiza-
tion of regimes. In this approach the two stages are carried out jointly. Using the approach we ob-
tain a «locally optimal» model in the neighborhood of the optimal regime. The design formulas
and an algorithm for the approach implementation are proposed. Results of computer-based
experiments are given.
1. Ýéêõîôô Ï. Îñíîâû èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. — Ì. : Ìèð, 1975. — 495 ñ.
2. Àéäà-çàäå Ê. Ð., Êóëèåâ Ñ. Ç. Îá îäíîì êëàññå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè äèíàìè÷åñêèõ
îáúåêòîâ // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 30, ¹ 5. — Ñ. 105—116.
3. Äåìèäåíêî Å. Ç. Ëèíåéíàÿ è íåëèíåéíàÿ ðåãðåññèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1981. — 264 ñ.
4. Òèõîíîâ À. Í., Àðñåíèí Â. À. Ìåòîäû ðåøåíèÿ íåêîððåêòíûõ çàäà÷. — Ì. : Íàóêà,
1979. — 284 ñ.
5. Åâòóøåíêî Þ. Ã. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ýêñòðåìàëüíûõ çàäà÷ è èõ ïðèìåíåíèå â ñèñòåìàõ
îïòèìèçàöèè. — Ì. : Íàóêà, 1982. — 264 ñ.
6. Âàñèëüåâ Ô. Ï. Ìåòîäû îïòèìèçàöèè. — Ì. : Ôàêòîðèàë Ïðåññ, 2002. — 824 ñ.
7. Ãàáàñîâ Ð., Êèðèëîâà Ô. Ì. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà â òåîðèè îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ. —
Ìèíñê : Íàóêà è òåõíèêà, 1974. — 272 ñ.
8. Ñòàðîñòåíêî Â. È. Óñòîé÷èâûå ÷èñëåííûå ìåòîäû â çàäà÷àõ ãðàâèìåòðèè. — Êèåâ :
Íàóê. äóìêà, 1978. — 224 ñ.
9. Àéäà-çàäå Ê. Ð., Õîðîøêî Ì. Í. Ïîäõîä ê ìàòåìàòè÷åñêîìó ìîäåëèðîâàíèþ è óïðàâëå-
íèþ òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 30, ¹ 4. —
Ñ. 37— 47.
Ïîñòóïèëà 09.02.09;
ïîñëå äîðàáîòêè 31.03.09
ÊÓËÈÅÂ Ñàìèð Çàêèð, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, íàó÷. ñîòð. Èí-òà êèáåðíåòèêè ÍÀÍ Àçåðáàéä-
æàíà.  2005 ã. îêîí÷èë Áàêèíñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ÷èñ-
ëåííûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå.
Ñ. Ç. Êóëèåâ
16 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101500 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:27:27Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Кулиев, С.З. 2016-06-04T08:23:51Z 2016-06-04T08:23:51Z 2009 О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов / С.З. Кулиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 3-16. — Бібліогр.: 9назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101500 517.97:519.876 Предложен метод совместного решения задач параметрической идентификации параметров математической модели и поиска оптимального режима динамического объекта. Получено субоптимальное решение задачи управления динамическим объектом в окрестности оптимального режима. Приведены расчетные формулы и алгоритм для реализации предложенного подхода, а также результаты компьютерных экспериментов. Запропоновано метод сумісного розв’язання задач параметричної ідентифікації параметрів математичної моделі та пошуку оптимального режиму динамічного об’єкту. Отримано субоптимальний розв’язок задачі управління динамічним об’єктом в околі оптимального режиму. Наведено чисельні формули і алгоритми для реалізації запропоно- An approach is proposed for a decision-making system on controlling the dynamic processes which include the stages of parametric identification of a mathematical model and of optimization of regimes. In this approach the two stages are carried out jointly. Using the approach we obtain a «locally optimal» model in the neighborhood of the optimal regime. The design formulas and an algorithm for the approach implementation are proposed. Results of computer-based experiments are given. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов On Combining the Stages of Parametrical Identification and Optimization of DynamicProcesses Article published earlier |
| spellingShingle | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов Кулиев, С.З. Математические методы и модели |
| title | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| title_alt | On Combining the Stages of Parametrical Identification and Optimization of DynamicProcesses |
| title_full | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| title_fullStr | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| title_full_unstemmed | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| title_short | О совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| title_sort | о совмещении этапов параметрической идентификации и оптимизации динамических процессов |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101500 |
| work_keys_str_mv | AT kulievsz osovmeŝeniiétapovparametričeskoiidentifikaciiioptimizaciidinamičeskihprocessov AT kulievsz oncombiningthestagesofparametricalidentificationandoptimizationofdynamicprocesses |