Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II

Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей....

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Authors:	Верлань, А.Ф., Эшматов, Х., Эшматов, Б.Х., Бобаназаров, Ш.П., Кучаров, О.Р., Ходжаев, Д.А.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2009
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Математические методы и модели
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101501
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Бобаназаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 17-32. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101501
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1015012025-02-09T16:24:02Z Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II Mathematical Modeling of Nonlinear Oscillations and Study of Dynamic Stability of Viscoelastic Rectangular Plates and Cylindrical Panels. II Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Бобаназаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А. Математические методы и модели Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. Наведено метод та алгоритм розв’язування задач динаміки в’язкопружних систем. З використанням запропонованого методу розв’язано задачі про нелінійні коливання та динамічну стійкість в’язкопружних прямокутних пластин і циліндричних панелей. A method and algorithm are presented to solve the problems of dynamics of viscoelastic systems. The proposed method has helped to solve the problems on nonlinear oscillations and dynamic stability of viscoelastic rectangular plates and cylindrical panels. 2009 Article Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Бобаназаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 17-32. — Бібліогр.: 33 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101501 539.3 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Математические методы и модели Математические методы и модели
spellingShingle	Математические методы и модели Математические методы и модели Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Бобаназаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А. Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II Электронное моделирование
description	Приведены метод и алгоритм решения задач динамики вязкоупругих систем. С помощью предложенного метода решены задачи о нелинейных колебаниях и динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей.
format	Article
author	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Бобаназаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А.
author_facet	Верлань, А.Ф. Эшматов, Х. Эшматов, Б.Х. Бобаназаров, Ш.П. Кучаров, О.Р. Ходжаев, Д.А.
author_sort	Верлань, А.Ф.
title	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II
title_short	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II
title_full	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II
title_fullStr	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II
title_full_unstemmed	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II
title_sort	математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. ii
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2009
topic_facet	Математические методы и модели
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101501
citation_txt	Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II / А.Ф. Верлань, Х. Эшматов, Б.Х. Эшматов, Ш.П. Бобаназаров, О.Р. Кучаров, Д.А. Ходжаев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 17-32. — Бібліогр.: 33 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT verlanʹaf matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT éšmatovh matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT éšmatovbh matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT bobanazarovšp matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT kučarovor matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT hodžaevda matematičeskoemodelirovanienelinejnyhkolebanijiissledovaniedinamičeskojustojčivostivâzkouprugihprâmougolʹnyhplastinicilindričeskihpanelejii AT verlanʹaf mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii AT éšmatovh mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii AT éšmatovbh mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii AT bobanazarovšp mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii AT kučarovor mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii AT hodžaevda mathematicalmodelingofnonlinearoscillationsandstudyofdynamicstabilityofviscoelasticrectangularplatesandcylindricalpanelsii
first_indexed	2025-11-27T22:31:06Z
last_indexed	2025-11-27T22:31:06Z
_version_	1849984464670687232
fulltext	ÓÄÊ 539.3 À. Ô. Âåðëàíü, * Õ. Ýøìàòîâ, äîêòîðà òåõí. íàóê, Á. Õ. Ýøìàòîâ, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ, êàíä. òåõí. íàóê, Î. Ð. Êó÷àðîâ, Ä. À. Õîäæàåâ* Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû (Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15, òåë. (044) 4241063, E-mail: averlan@i.com.ua), Òàøêåíòñêèé èíñòèòóò èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè (Ðåñïóáëèêà Óçáåêèñòàí, 100000, Òàøêåíò, óë. Êàðû Íèÿçîâà, 39, òåë. (99871) 2371948, E-mail: heshmatov@mail.ru) *Department of Mechanical and Aerospace Engineering, University at Buffalo (318 Jarvis Hall, Buffalo, NY 14260-4400, USA E-mail: ebkh@mail.ru) Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé è èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. II (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ÷ë.-êîð. ÍÀÍ Óêðàèíû (Â. Â. Âàñèëüåâ) Ïðèâåäåíû ìåòîä è àëãîðèòì ðåøåíèÿ çàäà÷ äèíàìèêè âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Ñ ïîìîùüþ ïðåäëîæåííîãî ìåòîäà ðåøåíû çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé- ÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. Íàâåäåíî ìåòîä òà àëãîðèòì ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ äèíàì³êè â’ÿçêîïðóæíèõ ñèñòåì. Ç âèêîðèñòàííÿì çàïðîïîíîâàíîãî ìåòîäó ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷³ ïðî íåë³í³éí³ êîëèâàííÿ òà äè- íàì³÷íó ñò³éê³ñòü â’ÿçêîïðóæíèõ ïðÿìîêóòíèõ ïëàñòèí ³ öèë³íäðè÷íèõ ïàíåëåé. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ïðÿìîóãîëüíàÿ ïëàñòèíà, öèëèíäðè÷åñêàÿ ïàíåëü, òåîðèÿ Êèðõ- ãîôà—Ëÿâà, òåîðèÿ Òèìîøåíêî, íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ, äèíàìè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü, ôëàòòåð. Íåëèíåéíûé ôëàòòåð âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ïî óòî÷íåííîé òåîðèè Òèìîøåíêî. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá óñòîé÷èâîñòè òîíêîé âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû ñî ñòîðîíàìè a è b, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà ñî ñêîðîñòüþ V (ðèñ. 6), ïî îáîáùåííîé òåîðèè Òèìîøåíêî [23, 24] â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 17 * À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ, Î. Ð. Êó÷àðîâ, Ä. À. Õîäæàåâ Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé è èññëåäîâàíèå äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. I. — Ýëåêòðîííîå ìîäåëèðîâàíèå, ¹ 3, 2009. Ôèçè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõ- íîñòè � x , � y , � xy è äåôîðìàöèÿìè � x , � y , � xy ïðèìåì â âèäå (5), à ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè � x , � y , � xy è ïåðåìåùå- íèÿìè u, v, w — â âèäå (6). Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äåôîðìà- öèÿìè� x z ,� y z , � xy z è óãëîâûìè ïåðåìåùåíèÿìè� x ,� y ïðåäñòàâèì â ñëåäóþ- ùåì âèäå [17]: � � �� x z x xz x � , (x y ), � � �� xy z xy x xz y x � � � � � � , (21) ãäå � x , � y è � xy îïðåäåëÿþòñÿ èç ñîîòíîøåíèé (6); ñèìâîë (x y ) óêàçû- âàåò, ÷òî îñòàëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ êðóãîâîé ïåðåñòàíîâêîé èíäåêñîâ. Ñ ó÷åòîì (5) è (21) èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû M x , M y , H è ïîïåðå÷íûå ñèëû Qx , Q y èìåþò âèä [8, 12—14]: M D x y x x y � � � � � � �( ) * 1 � �� , (x y ), H D y x x y � � � � � � � � ( ) ( ) 1 2 1 � �� , Q K Eh w x x x� � � � � � � 2 2 1 1 ( ) ( ) � � � �� , (x y ), (22) ãäå K 2 2 12� � / (Ìèíäëèí) [24], K 2 2 3� / (Óôëÿíä) [23] è K 2 5 6� / (Ðåéñ- ñíåð) [17]. Ïîäñòàâèâ (5), (21) è (22) â óðàâíåíèÿ, ïðèâåäåííûå â ðàáîòå [25], ïîëó÷èì �� x xy x y �0, �� xy y x y �0, � � � � � � � � � � � � � � � � � � Q x Q y h x w x w y h y w x x y x xy xy � � � � � y w y p h w t � � � � � � � � � � � �� 0 , À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 18 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 z y V xa b Ðèñ. 6. Âÿçêîóïðóãàÿ ïëàñòèíà, îáòåêàåìàÿ ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà � � � � � � � � � � M x H y Q h t x x x � � � 3 12 0, (x y ), � � � � � � � � � � � � � � � x y xy y x x y L w w � � � 1 2 ( , ) . Çäåñü �p p p� � � — èçáûòî÷íîå äàâëåíèå, ãäå p p V � �� 1 1 2 2 1� � � � — äàâëåíèå íà ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû; p � — äàâëåíèå â íåâîçìóùåííîì ïîòîêå ãàçà; � — ïîêàçàòåëü ïîëèòðîïà ãàçà; V � — ñêîðîñòü â íåâîçìó- ùåííîì ïîòîêå ãàça; � — íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè íà ïîâåðõ- íîñòè ïëàñòèíû. Â ñëó÷àå ëèíåàðèçèðîâàííîãî òå÷åíèÿ ãàçà âäîëü ïëàñòèíû, ïî êîòî- ðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ óïðóãèå âîëíû, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñ- òè ïðèìåò âèä [25] � � � � � � w t V w x , (23) ãäå V — ñêîðîñòü ïîòîêà íà ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû. Ââåäÿ ôóíêöèþ íàïðÿæåíèé F â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè (10) äëÿ îïðå- äåëåíèÿ ïîïåðå÷íîãî ïðîãèáà w w x y t� ( , , ), ôóíêöèè íàïðÿæåíèé F � � F x y t( , , ) è óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé � �x x x y t� ( , , ), � �y y x y t� ( , , ), ïîëó- ÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà Òèìîøåíêî: K E w x y L w F h p V x y 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( , ) * � � � � � � ! � � � �� w t V w x w t 0, D h x x y y x y x ( ) ( ) ( ) * 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! � � � � � � � ! � � K E w x h t x x 2 2 2 1 1 12 0 ( ) ( ) * � � � � � � � � � � � , (x y ), 1 1 2 1 4 E F L w w� �� ( ) ( , ) * � . (24) Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 19 Óäîâëåòâîðÿÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, âûáåðåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðî- ãèáîâ è óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè â âèäå [8, 12—14] w x y t w t n x a m y bn N m M nm( , , ) ( ) sin sin� � � " " 1 1 � � , � � � � x n N m M xnmx y t t n x a m y b ( , , ) ( ) cos sin� � � " " 1 1 , � � � � y n N m M ynmx y t t n x a m y b ( , , ) ( ) sin cos� � � " " 1 1 . (25) Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâîå âûðàæåíèå (25) â ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (24) è ïðèðàâíèâàÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ãàðìîíèêàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàõîäèì ôóíêöèþ óñèëèé: F x y t E w w C i r i r N j s M ij rs ijrs( , , ) ( ) cos ( ) , , * � � � � " " 1 1 1 � �x a j s y b cos ( ) � � � � � � A i r x a j s y b D i r x a j ijrs ijrscos ( ) cos ( ) cos ( ) cos (� � � s y b )� � � � ! B i r x a j s y b ijrs cos ( ) cos ( )� � . (26) Ïîäñòàâëÿÿ (25) è (26) â (24) è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà ñ ââåäåíèåì áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí w h kl , V t a � , a t V �( ) � è ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ wkl ,� xkl ,� ykl ïîëó÷èì �� ( ) (w M w K M k lkl p kl E � � � � � � � � � ! �#$ � # � # 2 2 2 2 2 2 1 1� � * ) wkl � � � �"2 2 1 1 1 2 2 M M n w K M p n N n k n k nl E* * ( ) ( ) ( )�#$ � � �# $ � � k lxkl ykl # � � � � � � � � � � � ! � � � " " � # $ 2 2 2 1 1 1 M a w w wE n i r N m j s M k mijrs nm ij r , , , , * ( )ln � s �0 , �� ( ) [ ( ) ( )](� � � � # � # $ � � xkl EM k l K � � � 2 1 2 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1� � * )� xkl À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 20 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 � � � � M kl K M k wE ykl E kl � # � � �#$ � 2 2 2 1 1 6 1 1 0 ( ) ( ) ( ) * * � � , �� ( ) [ ( ) ( )](� � � # � � # $ � � ykl EM l k K � � � 2 1 2 1 12 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1� � * )� ykl � � � � M kl K M l wE xkl E kl � # � � �# $ � 2 2 2 2 1 1 6 1 1 0 ( ) ( ) ( ) * * � � , (27) ãäå M V V* /� � — ÷èñëî Ìàõà; M E VE � � / ( )� 2 , M p Vp � � � / ( )� 2 , $ � b h/ — áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (27) ïðîâåäåíî ÷èñëåííûì ìåòîäîì, ïðåä- ëîæåííûì â [2, 4]. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ÿäðà ðåëàêñàöèè èñïîëüçîâàíî ñëàáîñèíãóëÿðíîå ÿäðî Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà âèäà (14). Ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïðÿìî- óãîëüíîé ïëàñòèíû, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà, ïðèâå- äåíû íà ðèñ. 7—10. Ïðè èññëåäîâàíèè ïîâåäåíèÿ âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ñ ðàçëè÷íûìè ôèçè÷åñêèìè è ãåîìåòðè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè, ñêîðîñòü ïîòîêà ãàçà ïðèíÿòà ðàâíîé 400 ì/ñ. Òàêèìè ïðèíÿòû ñëåäóþùèå èñõîä- íûå äàííûå: w0 = 10 –1 ; A = 0,05; % = 0,15; & = 0,05; # = 3; $ = 133; ME = 4,71; Mp = 0,003. Êàê âèäíî èç ðèñ. 7, ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïëàñòèíû ïðèâîäèò ê çàòóõàíèþ êîëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà è ñîîòâåòñòâåííî ê óìåíü- øåíèþ êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè ôëàòòåðà. Ïðè ýòîì ðàçëè÷èÿ ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðóãîé çàäà÷ â íà÷àëüíûé ïåðèîä âðåìåíè íå- çíà÷èòåëüíû, îäíàêî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà îêàçû- âàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïðîöåññ ôëàòòåðà. Àíàëîãè÷íûå ðåçóëü- òàòû íàáëþäàþòñÿ è ïðè èññëåäîâàíèè íàïðÿæåíèé. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñ. 8, ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà %, ïðèâîäèò ê èíòåí- ñèâíîìó óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû è ñäâèãó ôàç âïðàâî, à ñëåäîâàòåëüíî, ê óìåíüøåíèþ ÷àñòîòû êîëåáàíèé è êðèòè÷åñêîé ñêîðîñòè. Èç ãðàôèêîâ òàêæå âèäíî, ÷òî ðåîëîãè÷åñêèé ïàðàìåòð % îêàçûâàåò áîëåå ñóùåñò- âåííîå âëèÿíèå íà ïðîöåññ ôëàòòåðà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ðåîëîãè÷åñ- êèìè ïàðàìåòðàìè A è &. Äàëüíåéøèå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî èçìåíåíèå òðåòüåãî ðåîëîãè÷åñ- êîãî ïàðàìåòðà âÿçêîñòè & (0 < & < 1) íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ïðîöåññ ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû, à ýòî ïîäòâåðæäàåò âûâîä î íåïðèåìëåìîñòè ïðèìåíåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ÿäåð ðåëàêñàöèè ïðè ðàñ- ÷åòàõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 21 Íà ðèñ. 9 âèäíî, ÷òî â íà÷àëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè ðåçóëüòàòû, ïîëó- ÷åííûå äëÿ ýòèõ ÿäåð, ïî÷òè ñîâïàäàþò, íî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íàáëþ- äàåòñÿ èõ ñóùåñòâåííîå ðàçëè÷èå, êîòîðîå â ìîìåíò âðåìåíè t = 10 ñîñ- òàâëÿåò áîëåå 30 % è ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïðîäîëæàåò âîçðàñòàòü. Â òîæå âðåìÿ, çíà÷åíèÿ àìïëèòóä, ïîëó÷åííûå äëÿ âÿçêîóïðóãîé çàäà÷è ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ÿäðå ðåëàêñàöèè, íå ñóùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ðå- çóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ äëÿ çàäà÷è â óïðóãîé ïîñòàíîâêå. Ýòî íàáëþäàåòñÿ íå òîëüêî â íà÷àëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè, íî è íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì âðåìåííîì ïðîìåæóòêå. Èç ðèñ. 10 âèäíî, ÷òî îáëàñòü äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íåëèíåé- íûõ çàäà÷ ïîëíîñòüþ âêëþ÷åíà â îáëàñòü äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíûõ çàäà÷. Ñîãëàñíî ðàáîòå [25], ïîëüçóÿñü ëèíåéíîé òåîðèåé, ìîæ- íî íàéòè íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ñêîðîñòè (êðèòè÷åñêóþ ñêîðîñòü ôëàòòåðà èëè äèâåðãåíöèè), ïðè êîòîðîé íåâîçìóùåííàÿ ôîðìà ïëîñêîé èëè êðèâî- ëèíåéíîé ïàíåëè ïåðåñòàåò áûòü óñòîé÷èâîé. Â òàáë. 2 è 3 ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé Vcr ïîòîêà ãàçà â ñëó÷àå ëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû ïðè åå ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ. Â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ, îïðåäåëÿþùåãî çíà÷åíèÿ Vcr, ïðèíèìàåòñÿ ñêîðîñòü, ïðè êîòîðîé êîíñòðóêöèÿ ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé ïîëó÷åíû ñîãëàñíî ðàçëè÷íûì òåîðèÿì: êëàññè÷åñêîé ëèíåéíîé òåîðèè (Ë), ëèíåéíîé òåîðèè Òèìîøåíêî (Ò), òåîðèè Áåðãåðà (Á), òåîðèè Êèðõãîôà—Ëÿâà (Ê—Ë) è íåëèíåéíîé òåîðèè Òèìîøåíêî (ÍÒ). À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 22 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 A = 00,4 0,2 0 0,2 0,4 � � 0,04 wkl 0,05 0,07 10 20 30 40 t Ðèñ. 7. Çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïðîãèáà ñðåäèííîé òî÷êè óïðóãîé (À = 0) è âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí (À = 0,04; 0,05; 0,07) Èçó÷åíà ÷èñëåííàÿ ñõîäèìîñòü ìåòîäà Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà. Ïðèâå- äåííûå â òàáë. 2 ðåçóëüòàòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ïðè âû÷èñëåíèè êðèòè÷åñ- êèõ ñêîðîñòåé â (25) íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ïî êðàéíåé ìåðå, 11 ïåðâûõ ãàðìîíèê. Êàê âèäíî èç òàáë. 2, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïðè äâóõ÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè, êîòîðûå ñ÷èòàþòñÿ äîñòàòî÷íûì è äëÿ îïèñàíèÿ ðåàëü- Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 23 1 2 3 0,4 0,2 0 0,2 0,4 � � wkl 10 20 30 40 50 t Ðèñ. 9. Ãðàôèêè ðàñ÷åòà äåôîðìèðîâàíèÿ óïðóãîé (êðèâàÿ 1) è âÿçêîóïðóãèõ (êðèâûå 2, 3) ïëàñòèí, îáòåêàåìûõ ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà: 2 — ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ÿäðå ðåëàêñàöèè; 3 — ïðè ÿäðå Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà 1 2 3 4 4 2 0 2 4 � � wkl 20 40 60 t Ðèñ. 8. Âëèÿíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà íà ïðîãèá ñðåäèííîé òî÷êè: 1 — À = 0; 2 — % = = 0,15; 3 — % = 0,1; 4 — % = 0,08 À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 24 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 1 2 0,6 0 0,6 ,4 0,2 0 0,2 0,4 � � � 10 20 30 400 0 0 0 Ðèñ. 10. Ðåçóëüòàòû ðåøåíèÿ ëèíåéíîé (êðèâàÿ 1) è íåëèíåéíîé (êðèâàÿ 2) çàäà÷ äëÿ âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí A % & $ # ME Mp Ë—Ò HT Vcr Vcr Mcr * N = 2 N = 6 N = 9 N = 10 N = 11 N = 11 0,0 — — 133 3 4,71 0,003 883,1 1255 1240 1242 1241 1517,3 4,46 0,04 0,15 0,05 133 3 4,71 0,003 667,1 1162,6 1192,5 1189,1 1191 1369,7 3,5 0,05 0,15 0,05 133 3 4,71 0,003 630,9 1059 1086,4 1082,9 1084,8 1258,4 3,19 0,07 0,15 0,05 133 3 4,71 0,003 584,5 860,6 871 869,8 870,5 1018,5 2,56 0,05 0,1 0,05 133 3 4,71 0,003 498,7 792,5 807,3 805,5 806,5 919,4 2,37 0,05 0,08 0,05 133 3 4,71 0,003 405,4 593,8 598,8 598,3 598,5 691,3 1,76 0,05 0,15 0,03 133 3 4,71 0,003 636,5 1060,9 1088 1084,5 1086,4 1265,7 3,2 0,05 0,15 0,07 133 3 4,71 0,003 625,7 1057,4 1085 1081,5 1083,5 1273,1 3,19 0,05 0,15 0,05 100 3 4,71 0,003 1489 2498,4 2582,5 2570 2577 2950,7 7,58 0,05 0,15 0,05 150 3 4,71 0,003 440,2 734,5 748,3 746,9 747,6 859,7 2,2 0,05 0,15 0,05 133 4 4,71 0,003 516,8 730,5 841,2 846 843 973,7 2,48 0,05 0,15 0,05 133 3 6 0,003 1032,8 1738,3 1792,1 1784,6 1788,8 2075,0 5,26 0,05 0,15 0,05 133 3 4 0,003 452,6 756,5 772,5 770,7 771,7 883,6 2,27 0,05 0,15 0,05 133 3 4,71 0,004 449,9 748,3 759,6 758,6 759,1 870,7 2,23 0,05 0,15 0,05 133 3 4,71 0,005 295,4 475,1 475,5 475,8 475,6 546,0 1,4 Òàáëèöà 2 íûõ ïðîöåññîâ, ïðîèñõîäÿùèõ â ïëàñòèíàõ ïðè ôëàòòåðå, â äåéñòâèòåëü- íîñòè íå äàþò îæèäàåìûõ ðåçóëüòàòîâ [6]. Çíà÷åíèÿ êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñ- òåé, ïîëó÷åííûå ïðè äâóõ÷ëåííîé è ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè (N = =11), ðàçëè÷àþòñÿ äëÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðóãîé çàäà÷ áîëåå ÷åì íà 30—35 %. Êðîìå òîãî, èç òàáë. 2 âèäíî, ÷òî ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïëàñòèíû îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà èçìåíåíèå êðèòè÷åñêèõ ñêîðîñòåé. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå äëÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðóãîé çàäà÷, ðàçëè÷àþòñÿ íà áîëåå ÷åì 50 %. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî óâåëè÷åíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà A è óìåíü- øåíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà % ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ çíà÷åíèéVcr . Èçìåíåíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà âÿçêîñòè A â äèàïàçîíå îò 0,04 äî 0,07 ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ çíà÷åíèé Vcr áîëåå ÷åì íà 27 %. Èçìåíåíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà % â äèàïàçîíå 0,08 äî 0,15 ïðèâîäèò ê óâåëè- ÷åíèþ çíà÷åíèé Vcr áîëåå ÷åì íà 45 %. Ýòî ïîäòâåðæäàåò òîò ôàêò, ÷òî âëèÿíèå èçìåíåíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà äîñòàòî÷íî ñóùåñòâåííî ïî ñðàâ- íåíèþ ñ èçìåíåíèÿìè äðóãèõ ðåîëîãè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Â òî âðåìÿ, êàê èçìåíåíèå ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà & íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿ- íèÿ íà ïîâåäåíèå âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû. Èçìåíåíèå áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà æåñòêîñòè ME îêàçûâàåò ñóùåñò- âåííîå âëèÿíèå íà ïîâåäåíèå âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû. Êàê ïîêàçûâàþò ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, óâåëè÷åíèå ýòîãî ïàðàìåòðà ïðèâîäèò ê èíòåí- ñèâíîìó óâåëè÷åíèþ Vcr . Â ñëó÷àå óïðóãîé çàäà÷è, óâåëè÷åíèå áåçðàçìåðíîãî ïàðàìåòðà äàâëå- íèÿ Mp ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíîìó óìåíüøåíèþ Vcr . Êàê ñâèäåòåëüñòâóþò ìíîãî÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ, îñíîâíûì ôàêòî- ðîì, âëèÿþùèì íà ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ðàçëè÷íûõ òåîðèé, ÿâëÿåòñÿ ïàðàìåòð $. Êàê âèäíî èç òàáë. 3, ïðè óâåëè÷åíèè ýòîãî ïàðàìåòðà óâåëè÷èâàåòñÿ ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ ïî ýòèì òåîðèÿì. Íåëèíåéíûé ôëàòòåð âÿçêîóïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé ïàíåëè ïî óòî÷íåííîé òåîðèè Òèìîøåíêî. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá óñòîé÷èâîñòè Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 25 $ Mp Vcr Ë Ë—Ò Á Ê—Ë ÍÒ 133 0,003 1085 1084,8 1616,7 1578,9 1410,7 150 0,005 757,4 756,2 1262,6 1220,4 984,8 175 0,006 600,6 599,3 1030,5 1002,9 780,9 200 0,007 409,7 409,5 827 788,4 531,6 250 0,008 225,8 225,7 371,3 353,6 293,2 Òàáëèöà 3 òîíêîé âÿçêîóïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé ïàíåëè ñî ñòîðîíàìè a è b, ïî- ñòîÿííîé òîëùèíû h è ðàäèóñîì ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè R, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà ñî ñêîðîñòüþ V, ïî îáîáùåííîé òåîðèè Òè- ìîøåíêî â ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíîé ïîñòàíîâêå. Ôèçè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó íàïðÿæåíèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõ- íîñòè � x , � y , � xy è äåôîðìàöèÿìè � x , � y , � xy ïðåäñòàâèì â âèäå (5), à ãåî- ìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó äåôîðìàöèÿìè � x z , � y z , � xy z è óãëîâûìè ïåðåìåùåíèÿìè � x , � y — â âèäå (21). Òîãäà ñâÿçü ìåæäó äåôîðìàöèÿìè â ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè � x , � y , � xy è ïåðåìåùåíèÿìè u, v, w çàïèøåì â âèäå [17] � � � � � x u x w x � � � � � � 1 2 2 , � � � � � y v y R w w y � � � � � � � 1 1 2 2 , � � � � � � � � � xy u y v x w x w y � . (28) Ñ ó÷åòîì (5) è (21) èçãèáàþùèå è êðóòÿùèå ìîìåíòû M x , M y , H è ïîïåðå÷íûå ñèëû Qx , Q y èìåþò âèä (22).Ïîäñòàâèì (5), (21) è (22) â ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ [25]: �� x xy x y �0, �� xy y x y �0, � � � � � � � � � � � � � Q x Q y h R h x w x w y x y y x xy � � � � � � � � � �� h y w x w y p h w t xy y � � � � � � � � � � � � � � 0, � � � � � � � � � � M x H y Q h t x x x � � � 3 12 0, (x y ), � � � � � � � � � � � � � � � � � � � x y xy y x x yb L w w R w x � � � � 1 2 1 ( , ) . Â ñëó÷àå ëèíåàðèçèðîâàííîãî òå÷åíèÿ ãàçà âäîëü ïàíåëè, ïî êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ óïðóãèå âîëíû, íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ïðèìåò âèä (23). Äàëåå, ââåäÿ ôóíêöèþ íàïðÿæåíèÿ F (10) äëÿ ïîïåðå÷íîãî ïðîãèáà w w x y t� ( , , ), ôóíêöèè íàïðÿæåíèé F F x y t� ( , , ) è óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé � �x x x y t� ( , , ), � �y y x y t� ( , , ), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé òèïà Òèìîøåíêî: K E w x y L w Fx y 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( , ) * � � � � � � ! � �� À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 26 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 � � � � � �� 1 1 0 2 R F x h p V w t V w x w t � � � � � � � � � � � � � , D h x x y y x y x ( ) ( ) ( ) * 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ! ! � � � � � � � ! � � K E w x h t x x 2 2 2 1 1 12 0 ( ) ( ) * � � � � � � � � � � � , (x y ), (29) 1 1 1 2 14 2 E F L w w R w x � �� ' ( ) * + , ( ) ( , ) * � � � � . Óäîâëåòâîðÿÿ ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì çàäà÷è, âûáåðåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðî- ãèáîâ è óãëîâûõ ïåðåìåùåíèé íà îñíîâå ìíîãî÷ëåííîé àïïðîêñèìàöèè â âèäå (25). Ïîäñòàâëÿÿ ïåðâîå âûðàæåíèå (25) â ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (29) è ïðèðàâíèâàÿ â îáåèõ ÷àñòÿõ ýòîãî óðàâíåíèÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíà- êîâûõ ãàðìîíèêàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íàõîäèì ôóíêöèþ óñèëèé: F x y t E w w C i r i r N j s M ij rs ijrs( , , ) ( ) cos ( ) , , * � � � � " " 1 1 1 � �x a j s y b cos ( ) � � � � � � A i r x a j s y b D i r x a j ijrs ijrscos ( ) cos ( ) cos ( ) cos (� � � s y b )� � � � ! � � ""B i r x a j s y b hE Eijrs i N j M ijcos ( ) cos ( ) ( � � - 1 1 1�� * ) sin sinw i x a j y b ij � � , (30) ãäå E i i j ij � 2 2 2 2 2 2 2 # � . # ) , - � b Rh 2 . Ïîäñòàâëÿÿ (25) è (30) â (29), è âûïîëíÿÿ ïðîöåäóðó Áóáíîâà—Ãàëåðêèíà ñ ââåäåíèåì áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåé çàäà÷å è ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì ïðåæíèå îáîçíà÷åíèÿ, îòíîñèòåëüíî áåçðàçìåðíûõ wkl , � xkl , � ykl ïîëó÷àåì �� ( ) w M w M k lkl p kl E � � � � � � � � � �#$ � # $ � $ # 2 2 2 2 2 2 12 1 5 ! � � � � � ' ( ) * + , � 12 1 1 2 2 - � # ( ) ( ) k E wkl kl� � � � �"2 5 12 1 1 1 2 M M n w M p n N n k n k nl E * ( ) ( ) ( )�#$ � � �# $ � � k lxkl ykl # � � � � � � � � � � � ! � Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 27 � � ' ( ) � � " " M F w wE n i N m j M k mij nm ij � # $ - # 2 2 2 2 1 1 1 , , * ( )ln � � � � � � " " " 4 1 2 2 1 1 1 - � # n i N m j M k mij nm ij n i r N K w w , , * , , ( )ln � m j s M k mijrs nm ij rsa w w w , , * ( ) , � " � * + , � 1 1 0ln � �� ( ) [ ( ) ( )](� � � � # � # $ � � xkl EM k l � � � � 2 1 2 1 10 1 1 2 2 2 2 2 2 2 � * )� xkl (31) � � � � M kl M k wE ykl E kl � # � � �#$ � 2 2 1 1 5 1 1 0 ( ) ( ) ( ) * * � � , �� ( ) [ ( ) ( )](� � � # � � # $ � � ykl EM l k � � � � 2 1 2 1 10 1 1 2 2 2 2 2 2 2 � * )� ykl � � � � M kl M l wE xkl E kl � # � � �# $ � 2 2 2 1 1 5 1 1 0 ( ) ( ) ( ) * * � � . Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (31) ïðîâåäåíî ÷èñëåííûì ìåòîäîì, ïðåäëîæåí- íûì â [2, 4]. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ÿäðà ðåëàêñàöèè èñïîëüçîâàíî ñëàáîñèí- ãóëÿðíîå ÿäðî Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà âèäà (14). Ïðè ðàçëè÷íûõ ôèçèêî-ìåõàíè÷åñêèõ è ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðàõ âÿçêîóïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé ïàíåëè íàéäåì êðèòè÷åñêèå ñêîðîñòè ïî- À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 28 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 1 à á 2 3 4 0,8 0,4 0 0,4� wkl 10 20 30 40 1 2 3 0,8 0,4 0 0,4� 20 40 t Ðèñ. 11. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà îò âðåìåíè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà A (à) è ðàçëè÷íûõ ÿäðàõ ðåëàêñàöèè (á) äëÿ óïðóãîé (êðèâàÿ 1) è âÿçêîóïðóãîé (êðèâûå 2, 3) ïàíåëåé: à —1 — A = 0; 2 — A = 0,03; 3 — A = 0,05; 4 — A = 0,07; á —1 — A = 0; 2 — ýêñïîíåíöèàëüíîå ÿäðî; 3 — ÿäðî Êîëòóíîâà—Ðæàíèöûíà òîêà ãàçà è ðàññìîòðèì ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé öèëèíäðè÷åñêîé ïàíåëè, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì ïîòî- êîì ãàçà. Ñêîðîñòü ïîòîêà ãàçà ïðèíÿòà ðàâíîé 400 ì/ñ. Â êà÷åñòâå èñõîä- íûõ ïðèíÿòû ñëåäóþùèå äàííûå: w0 = 10 –1 ; A = 0,05; % = 0,15; & = 0,05; # = = 3; $ = 133; - = 6; ME = 4,71; Mp = 0,003. Âëèÿíèå âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïàíåëè íà äèíàìèêó åå ïî- âåäåíèÿ ãðàôè÷åñêè ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ. 11. Êàê âèäíî èç ðèñ. 11, à, ó÷åò âÿçêîóïðóãèõ ñâîéñòâ ìàòåðèàëà ïàíåëè ïîçâîëÿåò âûÿâèòü çàòóõàíèå êî- ëåáàòåëüíîãî ïðîöåññà. Ïðè ýòîì â íà÷àëüíûé ïåðèîä âðåìåíè ðàçëè÷èå ðåçóëüòàòîâ ðåøåíèÿ óïðóãîé è âÿçêîóïðóãîé çàäà÷ íåçíà÷èòåëüíî, îäíà- êî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè âÿçêîóïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà îêàçûâàþò ñó- ùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ïðîöåññ íåëèíåéíîãî ôëàòòåðà. Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ ðåîëîãè÷åñêîãî ïàðàìåòðà % â äàííîì ñëó÷àå ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî óìåíüøåíèå çíà÷åíèÿ ýòîãî ïàðàìåòðà, êàê è äëÿ âÿçêîóïðóãîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíû, ïðèâîäèò ê èíòåíñèâíîìó óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû è ñäâèãó ôàç âïðàâî, à ñëåäî- âàòåëüíî, ê óìåíüøåíèþ ÷àñòîòû êîëåáàíèé. Äàëüíåéøèå ðàñ÷åòû ïîêàçàëè, ÷òî èçìåíåíèå òðåòüåãî ðåîëîãè÷åñ- êîãî ïàðàìåòðà âÿçêîñòè & (0 < & < 1) íå îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ íà ïðîöåññ ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïàíåëè, ïîäòâåðæäàÿ âûâîä î íåïðèåì- ëåìîñòè ïðèìåíåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ÿäåð ðåëàêñàöèè ïðè ðàñ÷åòàõ äèíàìè÷åñêèõ çàäà÷ âÿçêîóïðóãèõ ñèñòåì. Íà ðèñ. 11, á ïðèâåäåíû ãðàôèêè ðàñ÷åòà ôëàòòåðà âÿçêîóïðóãîé ïàíå- ëè, îáòåêàåìîé ñâåðõçâóêîâûì ïîòîêîì ãàçà, ïðè ðàçëè÷íûõ ÿäðàõ ðå- ëàêñàöèè. Èç ðèñ. 11, á âèäíî, ÷òî â íà÷àëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïðè ðàçëè÷íûõ ÿäðàõ, ïî÷òè ñîâïàäàþò, íî çàòåì íàáëþäàåòñÿ èõ ñóùåñòâåííîå ðàñõîæäåíèå; â ìîìåíò âðåìåíè t = 10 ðàçëè÷èå ðåçóëü- òàòîâ ñîñòàâëÿåò áîëåå 35 % è ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îíî ïðîäîëæàåò âîçðàñ- òàòü. Â òîæå âðåìÿ, ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå ïî àìïëèòóäíûì çíà÷åíèÿì ïðè ýêñïîíåíöèàëüíîì ÿäðå ðåëàêñàöèè äëÿ âÿçêîóïðóãîé çàäà÷è íåñó- ùåñòâåííî îòëè÷àþòñÿ îò ðåçóëüòàòîâ, ïîëó÷åííûõ äëÿ çàäà÷è â óïðóãîé ïîñòàíîâêå. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî íàáëþäàåòñÿ íå òîëüêî â íà÷àëüíûå ìî- ìåíòû âðåìåíè, íî è íà äîñòàòî÷íî áîëüøîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè. Íà ðèñ. 12 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ íà ïðîãèá âÿçêîóïðóãîé ïàíåëè åå ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ: ME (ðèñ. 12, à) è Mp (ðèñ. 12, á). Êàê âèäèì, èçìåíåíèå ýòèõ ïàðàìåòðîâ ïðèâîäèò ê ïðîòèâîïîëîæ- íûì ðåçóëüòàòàì. Â ÷àñòíîñòè, óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà ME ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ àìïëèòóäû êîëåáàíèÿ, à óâåëè÷åíèå ïàðàìåòðà Mp — ê åå óâåëè÷åíèþ. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 29 Â òàáë. 4 ïðèâåäåíû çíà÷åíèÿ Vcr, ïîëó÷åííûå ïî ðàçëè÷íûì òåîðèÿì. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî ñ óâåëè÷åíèåì ïàðàìåòðà $ íàáëþäàåòñÿ ðàñ- õîæäåíèå â ðåçóëüòàòàõ, ïîëó÷åííûõ ïî ýòèì òåîðèÿì. Çàäà÷è î ôëàòòåðå âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí â ðàçëè÷íûõ ïîñòàíîâêàõ áûëè èññëåäîâàíû â ðàáîòàõ [26—33]. Òàêèì îáðàçîì, ïåðâûì ýòàïîì ê ýôôåêòèâíîé êîìïüþòåðíîé ðåàëè- çàöèè ñëîæíûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé çàäà÷è î íåëèíåéíûõ êîëåáàíèÿõ è äèíàìè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí è öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé ÿâëÿåòñÿ äèñêðåòèçàöèÿ èñõîäíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèç- âîäíûõ è ñâåäåíèå èõ ê ñèñòåìàì ñêàëÿðíûõ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Ïîñëåäóþùåå ýêâèâàëåíòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äàííûõ ñèñòåì ê ýêâèâàëåíòíûì èíòåãðàëüíûì óðàâíåíèÿì Âîëüòåððû ïîçâîëèëî ïðåäëî- æèòü ýôôåêòèâíûé êâàäðàòóðíûé àëãîðèòì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåìîãî êëàññà, îáåñïå÷èâàþùèé ïîëó÷åíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäå- ëèðîâàíèÿ ñ íåîáõîäèìîé òî÷íîñòüþ. À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4 1 à á 230,2 0 0,2 0,4 0,6 � � � wkl 20 40 60 80 1 2 3 20 40 60 t 0,2 0 0,2 0,4 0,6 � � � Ðèñ. 12. Çàâèñèìîñòü ïðîãèáà âÿçêîóïðóãîé ïàíåëè îò âðåìåíè ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ME (à) è Mp (á): à — 1 — ME = 4; 2 — ME = 5; 3 — ME = 6; á — 1 — Mp = 0,002; 2 — Mp = = 0,003; 3 — Mp = 0,004 - $ Mp Vcr Ë Ë—Ò Á Ê—Ë ÍÒ 6 133 0,003 1265,2 1271,3 1885,2 1841,1 1645 9 150 0,005 883,2 887,4 1472,3 1423,1 1148,3 12 175 0,006 700,4 703,8 1201,6 1170,2 910,6 15 200 0,007 477,7 480 964,4 919,4 621,1 18 250 0,008 263,3 264,6 433 412,3 342,4 Òàáëèöà 4 A method and algorithm are presented to solve the problems of dynamics of viscoelastic systems. The proposed method has helped to solve the problems on nonlinear oscillations and dynamic stability of viscoelastic rectangular plates and cylindrical panels. 23. Uflyand Ya. S. Distribution of Waves at Transverse Vibrations of Cores and Plates // J. Appl. Mech. — 1948. — 12 (3). — Ð. 287—300. 24. Mindlin R. D. Influence of Rotatory Inertia and Shear on Flexural Motions of Isotropic Elas- tic Plates // Ibid. — 1951. — 19 (1). — P. 31—38 . 25. Áîëîòèí B. Â. Íåêîíñåðâàòèâíûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîé óñòîé÷èâîñòè. — Ì. : Ôèçìàòãèç, 1961. — 270 ñ. 26. Evensen D. A., Olson M. D. Nonlinear Flutter of a Circular Cylindrical Shell in Supersonic Flow // NASA TN D-4265.1967. 27. Dowell E. H. Aeroelasticity of Plates and Shells. — Leyden : Noordhoff international pub- lishing, 1975. 28. Bolotin V. V., Grishko A. A., Kounadis A. N., Gantes C. J. Non-linear Panel Flutter in Re- mote Post-critical Domains // Intern. J. of Non-linear Mechanics. — 1998. — Vol. 33, ¹ 5. — P. 753—764. 29. Bismarck–Nasr M. N., Bones C. A. Damping Effects in Nonlinear Panel Flutter // AIAA J. — 2000. — Vol. 38, ¹ 4. — P. 711—713. 30. Ariaratnam S. T., Abdelrahman N. M. Almost-sure Stochastic Stability of Viscoelastic Plates in Supersonic Flow // Ibid. — 2001. — Vol. 39, ¹ 3. — P. 465—472. 31. Beldica C. E., Hilton H. H., Kubair D. Viscoelastic Panel Flutter — Stability, Probabilities of Failure and Survival Times // Proc.42nd AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conf. — Seattle. — 2001. — P. 3423—3433. 32. Gordnier R. E., Visbal M. R. Computation of a 3-D Nonlinear Panel Flutter// J. of Aerospace Engineering. — 2003. — Vol. 16, ¹ 4. — P. 155—166. 33. Pourtakdoust S. H., Fazelzadeh S. A. Chaotic Analysis of Nonlinear Viscoelastic Panel Flut- ter in Supersonic Flow // J. of Nonlinear Dynamics. — 2003. — ¹ 32. — P. 387—404. Ïîñòóïèëà 16.12.08; ïîñëå äîðàáîòêè 08.04.09 ÂÅÐËÀÍÜ Àíàòîëèé Ôåäîðîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. îòäåëîì Èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû. Â 1956 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ìàòåìàòè÷åñêîãî è êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðî- âàíèÿ â çàäà÷àõ èññëåäîâàíèÿ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé; ÷èñëåííûå ìåòîäû è àëãîðèòìû ðåøåíèÿ èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé. ÝØÌÀÒÎÂ Õàñàí, ä-ð òåõí. íàóê, çàâ. êàôåäðîé èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1969 ã. îêîí÷èë Ñàìàðêàíäñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÝØÌÀÒÎÂ Áàõòè¸ð Õàñàíîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîô. ôàêóëüòåòà ìåõàíèêè è êîñìè- ÷åñêîé òåõíèêè óíèâåðñèòåòà Áóôôàëî, ÑØÀ. Â 1997 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåð- ñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. Ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 31 ÁÎÁÀÍÀÇÀÐÎÂ Øàðîô Ïóëàòîâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1992 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÊÓ×ÀÐÎÂ Îëèìæîí Ðóçèìóðàòîâè÷, ñò. ïðåïîä. êàôåäðû âûñøåé ìàòåìàòèêè Òàøêåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1994 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìàòåìàòè÷åñêîå ìîäåëèðîâàíèå. ÕÎÄÆÀÅÂ Äàäàõàí Àêìàðõàíîâè÷, àññèñòåíò êàôåäðû èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé Òàø- êåíòñêîãî èí-òà èððèãàöèè è ìåëèîðàöèè. Â 1996 ã. îêîí÷èë Òàøêåíòñêèé ãîñóíèâåðñèòåò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåõàíèêà äåôîðìèðóåìîãî òâåðäîãî òåëà. À. Ô. Âåðëàíü, Õ. Ýøìàòîâ, Á. Õ. Ýøìàòîâ, Ø. Ï. Áîáàíàçàðîâ è äð. 32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4

Математическое моделирование нелинейных колебаний и исследование динамической устойчивости вязкоупругих прямоугольных пластин и цилиндрических панелей. II

Institution

Similar Items