Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта
В рамках парето-оптимального подхода решена задача наблюдаемости при условии наличия информации о части элементов вектора характеристик состояния объекта. Учтено, что известные характеристики состояния объекта могут быть искажены погрешностями....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Назва видання: | Электронное моделирование |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101502 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 33-40. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101502 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1015022025-02-23T18:30:33Z Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта Pareto-Optimum Approach to the Problem of Restoring Partially Unknown Characteristics of the Object State Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. Математические методы и модели В рамках парето-оптимального подхода решена задача наблюдаемости при условии наличия информации о части элементов вектора характеристик состояния объекта. Учтено, что известные характеристики состояния объекта могут быть искажены погрешностями. В рамках парето-оптимального підходу розв`язано задачу спостережуваності за умови наявності інформації про частину елементів вектора характеристик стану об`єкту. Враховано, що відомі характеристики стану об`єкту можуть бути збурені похибками. The observation problem for the case of partially known object’s state characteristics vector was solved within the Pareto-optimum approach. It is taken into the account that the known characteristics of the object’s state vector could be distorted by errors. 2009 Article Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 33-40. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101502 519.6 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математические методы и модели Математические методы и модели |
| spellingShingle |
Математические методы и модели Математические методы и модели Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта Электронное моделирование |
| description |
В рамках парето-оптимального подхода решена задача наблюдаемости при условии наличия информации о части элементов вектора характеристик состояния объекта. Учтено, что известные характеристики состояния объекта могут быть искажены погрешностями. |
| format |
Article |
| author |
Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. |
| author_facet |
Заворотный, А.Л. Касьянюк, В.С. |
| author_sort |
Заворотный, А.Л. |
| title |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| title_short |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| title_full |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| title_fullStr |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| title_full_unstemmed |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| title_sort |
парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта |
| publisher |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математические методы и модели |
| url |
https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101502 |
| citation_txt |
Парето-оптимальный подход к задаче восстановления частично неизвестных характеристик состояния объекта / А.Л. Заворотный, В.С. Касьянюк // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 33-40. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. |
| series |
Электронное моделирование |
| work_keys_str_mv |
AT zavorotnyjal paretooptimalʹnyjpodhodkzadačevosstanovleniâčastičnoneizvestnyhharakteristiksostoâniâobʺekta AT kasʹânûkvs paretooptimalʹnyjpodhodkzadačevosstanovleniâčastičnoneizvestnyhharakteristiksostoâniâobʺekta AT zavorotnyjal paretooptimumapproachtotheproblemofrestoringpartiallyunknowncharacteristicsoftheobjectstate AT kasʹânûkvs paretooptimumapproachtotheproblemofrestoringpartiallyunknowncharacteristicsoftheobjectstate |
| first_indexed |
2025-11-24T10:10:58Z |
| last_indexed |
2025-11-24T10:10:58Z |
| _version_ |
1849666104868208640 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
À. Ë. Çàâîðîòíûé, Â. Ñ. Êàñüÿíþê, êàíäèäàòû ôèç.-ìàò. íàóê
Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî
(Óêðàèíà, 03127, Êèåâ, ïð. Ãëóøêîâà, 6, êîðï. 2,
òåë.(044)2590530, E-mail: zal_ua@inbox.ru;)
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûé ïîäõîä ê çàäà÷å
âîññòàíîâëåíèÿ ÷àñòè÷íî íåèçâåñòíûõ
õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð ôèç.-ìàò. íàóê Þ. À. Áåëîâ)
 ðàìêàõ ïàðåòî-îïòèìàëüíîãî ïîäõîäà ðåøåíà çàäà÷à íàáëþäàåìîñòè ïðè óñëîâèè íàëè-
÷èÿ èíôîðìàöèè î ÷àñòè ýëåìåíòîâ âåêòîðà õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà. Ó÷òåíî,
÷òî èçâåñòíûå õàðàêòåðèñòèêè ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà ìîãóò áûòü èñêàæåíû ïîãðåøíîñòÿìè.
 ðàìêàõ ïàðåòî-îïòèìàëüíîãî ï³äõîäó ðîçâ`ÿçàíî çàäà÷ó ñïîñòåðåæóâàíîñò³ çà óìîâè
íàÿâíîñò³ ³íôîðìàö³¿ ïðî ÷àñòèíó åëåìåíò³â âåêòîðà õàðàêòåðèñòèê ñòàíó îá`ºêòó. Âðà-
õîâàíî, ùî â³äîì³ õàðàêòåðèñòèêè ñòàíó îá`ºêòó ìîæóòü áóòè çáóðåí³ ïîõèáêàìè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ñèñòåìà óïðàâëåíèÿ, íàáëþäàåìîñòü, îïòèìèçàöèÿ ïî Ïàðåòî,
îöåíèâàíèå.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì, ìîäåëü êîòîðîé çàäàíà ñèñòå-
ìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
�x Ax Bu� � , (1)
ãäå x x t x tn� ( ( ),..., ( ))
*
1
— âåêòîð ôóíêöèé, ìîäåëèðóþùèõ õàðàêòåðèñòè-
êè ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà íà îòðåçêå âðåìåíè t T�[ ; ]0 ;
*
— ñèìâîë òðàíñïî-
íèðîâàíèÿ; u u t u tn� ( ( ),..., ( ))
*
1
— âåêòîð ôóíêöèé, ìîäåëèðóþùèõ õàðàê-
òåðèñòèêè óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì íà îòðåçêå âðåìåíè t T�[ ; ]0 ; A è B —
èçâåñòíûå n-ìåðíûå êâàäðàòíûå ñòàöèîíàðíûå âåùåñòâåííûå ìàòðèöû,
çàäàþùèå ñîîòâåòñòâåííî ìîäåëü õàðàêòåðèñòèê îáúåêòà è ìîäåëü õàðàê-
òåðèñòèê ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì; � ( � ( ), ..., � ( ))
*x x t x tn�
1
— âåêòîð
ïðîèçâîäíûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà íà îòðåçêå âðåìåíè t T�[ ; ]0 .
Ïîëîæèì, ÷òî èçâåñòíà n-ìåðíàÿ êâàäðàòíàÿ ñòàöèîíàðíàÿ âåùåñò-
âåííàÿ ìàòðèöà C, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò âûðàçèòü õàðàêòåðèñòèêè óïðàâ-
ëåíèÿ ÷åðåç õàðàêòåðèñòèêè ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà: u Cx� . Îáîçíà÷èâ ìàòðè-
öó A A BC� � , à åå ýëåìåíòû —
A
a a
a a
n
n nn
�
�
�
�
�
11 1
1
,
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 33
ïåðåéäåì îò óðàâíåíèÿ (1) ê óðàâíåíèþ âèäà
�x A x� . (2)
Ðàññìîòðèì çàäà÷ó íàáëþäàåìîñòè õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà
â ñëåäóþùåé ïîñòàíîâêå. Çàôèêñèðóåì íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè
~
[ ; ]t T� 0 è, íå óìåíüøàÿ îáùíîñòè ðàññóæäåíèé, äîïóñòèì, ÷òî â äàííûé
ìîìåíò èçâåñòíû ïåðâûå m ýëåìåíòîâ âåêòîðà x ( x ti (
~
), i m�1, ,1 1� � �m n ),
è ïåðâûå m ýëåìåíòîâ âåêòîðà �x.
 òàêîì âèäå çàäà÷à íàáëþäàåìîñòè ìîæåò âîçíèêíóòü, íàïðèìåð, ïðè
ñîçäàíèè ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ðàçëè÷íûìè ñðåäñòâàìè ïåðåäâèæåíèÿ (êî-
ðàáëè, ñàìîëåòû è äð.). Ïðè ýòîì íà ñàìîì äåëå ïðîèçâîäíûå �x ìîãóò áûòü
íåèçâåñòíûìè, à ÷àñòü ýëåìåíòîâ ýòîãî âåêòîðà âû÷èñëÿþòñÿ íà îñíîâå
èçâåñòíîé ÷àñòè âåêòîðà x â ìîìåíòû âðåìåíè èç íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè
~
t .
Ïîãðåøíîñòè, êîòîðûå ìîãóò âîçíèêíóòü ïðè îöåíêå �x ïî èçâåñòíîé ÷àñòè
x èëè â ïðîöåññå èçìåðåíèÿ �x, ïðîìîäåëèðóåì, äîáàâèâ â ïðàâóþ ÷àñòü (2)
ñëó÷àéíûé âåêòîð v, ðåàëèçàöèè êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ â n-ìåðíîì ïðîñò-
ðàíñòâå äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèé.
Òîãäà çàäà÷ó íàáëþäàåìîñòè ìîæíî ïîñòàâèòü êàê çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ
íåèçâåñòíûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà (x ti (
~
), i m n� �1, ), à ìîäåëü
ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà (2) â òî÷êå
~
t ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó
�~ ~x A x v
t t
� � , (3)
ãäå �~x
t
è x
t
~ — çíà÷åíèÿ âåêòîðîâ �x è x â òî÷êå
~
t ; v v vn� ( , ..., )
*
1
— âåêòîð
ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí.
Ðàññìîòðèì ÷àñòü (3), êîòîðàÿ ñîäåðæèò èçâåñòíûå ýëåìåíòû �~x
t
:
�
~ ~ ~
~ ~x Ax v
t t
� � . (4)
Çäåñü
�
~
( � (
~
), ..., � (
~
)) ;~
*x x t x t
t m�
1
~
( , ..., ) ;
*v v vm�
1
~
A
a a
a a
n
m mn
�
�
�
�
�
11 1
1
.
 ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèÿ ýëåìåíòîâ �
~
~x
t
èçâåñòíû çàðàíåå (íàïðèìåð,
èçìåðåíû ïðèáîðàìè), ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ïàðàìåòðû ñëó÷àéíîãî âåêòîðà
~v , à èìåííî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà, òàêæå
èçâåñòíû, ïðè÷åì M v~ �0, à êîâàðèàöèîííàÿ ìàòðèöà
~ ( ) ( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
v
m
m m m
M v v M v v
M v v M v v
1 1 1
1
—
íåâûðîæäåííàÿ. Ýòî òèïè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ ìíîãèõ ðåàëüíûõ èçìåðåíèé.
À. Ë. Çàâîðîòíûé, Â. Ñ. Êàñüÿíþê
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
Åñëè ýëåìåíòû �
~
~x
t
íåèçâåñòíû, è íåîáõîäèìî èõ îöåíèâàòü íà îñíîâå
èçâåñòíîé ÷àñòè âåêòîðà x, òî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ýëåìåíòû âåêòîðà
~v
ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè ñëó÷àéíûìè âåëè÷èíàìè, ò. å.
~
v — äèàãîíàëü-
íàÿ ìàòðèöà âèäà
~
�
�
�
�
�
v
m
Dv
Dv
1
0
0
ñ äèñïåðñèÿìè ñëó÷àéíûõ ýëåìåíòîâ âåêòîðà
~v íà åå äèàãîíàëè.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ îöåíêè ïðîèçâîäíîé � (
~
)x ti ïî x ti ( ), 1� �i m, ìàòåìà-
òè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè ñîîòâåòñòâóþùåé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû
v i ,1� �i m, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåò ïîãðåøíîñòü ýòîé îöåíêè, ìîæíî âîñïîëü-
çîâàòüñÿ ñëåäóþùèì ïîäõîäîì.
Áóäåì ãåíåðèðîâàòü îöåíêè ïðîèçâîäíîé � (
~
)x ti òàê, ÷òîáû èõ ìîæíî
áûëî ñ÷èòàòü ðåàëèçàöèÿìè íåêîòîðîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. Äëÿ ýòîãî
ñëó÷àéíûì îáðàçîì, èñïîëüçóÿ îäíî è òî æå ðàñïðåäåëåíèå, ñãåíåðèðóåì
îïðåäåëåííîå ÷èñëî ñåòîê, à çàòåì èñïîëüçóåì îäèí èç øèðîêî èçâåñòíûõ
÷èñëåííûõ ìåòîäîâ îöåíèâàíèÿ ïðîèçâîäíîé íåêîòîðîé ôóíêöèè â òî÷êå
ïî òàáóëèðîâàííûì çíà÷åíèÿì ýòîé ôóíêöèè.  ÷àñòíîñòè ýòî ìîæåò áûòü
ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ èëè ìåòîä ïîñòðîåíèÿ èíòåðïîëÿ-
öèîííîãî ïîëèíîìà ñ åãî äàëüíåéøèì äèôôåðåíöèðîâàíèåì [1].
Âûáîð êîíêðåòíîãî ìåòîäà çàâèñèò îò êîíêðåòíîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è.
Íàïðèìåð â àýðîäèíàìèêå êîëåáàòåëüíûé õàðàêòåð ôóíêöèè x ti (
~
) ïðèâî-
äèò ê ìûñëè î òîì, ÷òî íàèáîëåå ïðèåìëåìûå ðåçóëüòàòû ñëåäóåò îæèäàòü
îò äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èíòåðïîëÿöèîííîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ïîëè-
íîìà. Îäíàêî ýòîò âîïðîñ òðåáóåò äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ äëÿ
êàæäîé êîíêðåòíîé çàäà÷è.
Èñõîäÿ èç îñîáåííîñòåé ïðèêëàäíîé çàäà÷è è âûáðàííîãî ìåòîäà
÷èñëåííîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ìîæíî ñäåëàòü îïðåäåëåííûå äîïóùå-
íèÿ îòíîñèòåëüíî òîãî, êàêèå âðåìåííûå ñåòêè â îêðåñòíîñòè
~
t áîëåå
ïðåäïî÷òèòåëüíû. Ìîæíî âûáèðàòü ïàðàìåòðû ñåòîê â âèäå ñëó÷àéíûõ
âåëè÷èí ñ îïðåäåëåííûì ðàñïðåäåëåíèåì. Íàïðèìåð, çàäàåì ñëó÷àéíûå
ïàðàìåòðû òàê, ÷òîáû áîëüøåé áûëà âåðîÿòíîñòü ïîëó÷èòü ñåòêó, ñèì-
ìåòðè÷íóþ îòíîñèòåëüíî
~
t , ñ íå÷åòíûì ÷èñëîì òî÷åê, ñ ïðåîáëàäàíèåì
òî÷åê, áëèçêèõ ê
~
t , ñ ÷èñëîì òî÷åê 5 èëè 7, ñ íóëåâîé âåðîÿòíîñòüþ
ïîëó÷èòü ìîìåíò
~
t âíå ñåòêè è òàê äàëåå.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî ïîëó÷åííàÿ ñåòêà è, ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷åííàÿ íà ýòîé ñåòêå îöåíêà
ïðîèçâîäíîé — ðåçóëüòàò äåéñòâèÿ îïðåäåëåííûõ äåòåðìèíèðîâàííûõ
ôóíêöèé íà íà÷àëüíóþ âåêòîðíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïîëó÷åííûå îöåíêè ïðîèçâîäíîé � (
~
)x ti áóäóò ðåàëèçàöèÿìè îïðåäåëåííîé
ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ñ íåèçâåñòíûì ðàñïðåäåëåíèåì.
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûé ïîäõîä ê çàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 35
Äàëåå, âû÷èñëèâ ïî N ñëó÷àéíî ñãåíåðèðîâàííûì ñåòêàì îöåíêè
ïðîèçâîäíîé �� (
~
)x t
i
j
, j N�1, , ìîæåì ïîñòðîèòü îöåíêó ïðîèçâîäíîé â âèäå
� (
~
)
�� (
~
)
x t
x t
N
vi
i
j
j
N
i� �
�
�
1
,
ãäå v i — ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, äëÿ êîòîðîé Mvi �0 è
Dv
x t M x t
N
i
i
j
i
j
N
�
�
�
�
�( �� (
~
) ( � (
~
)))
2
1
1
.
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèåìëåìîãî ðåçóëüòàòà âûáèðàåì N = 10 � 30. Ýòîò ïðî-
öåññ ïîâòîðÿåì äëÿ âñåõ i m�1, .
Óðàâíåíèå (4) ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé èç m óðàâíåíèé è èìååò n m� íåèç-
âåñòíûõ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ:
x x t x t
t
n m
m n~
*
( (
~
),..., (
~
))
�
�
�
1
;
~
A
a a
a an m
m n
m m mn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
1
; y x A x
t m t
m
� ��
~ ~
~ ~ ,
ãäå
~
A
a a
a a
m
m
m mm
�
�
�
�
�
11 1
1
, x x t x t
t
m
m~
*
( (
~
),..., (
~
)) .�
1
Ñ ó÷åòîì äàííûõ îáîçíà÷åíèé ïåðåõîäèì îò ñèñòåìû (4) ê ñèñòåìå
y A x vn m t
n m
� �
�
�~ ~
~ . (5)
Äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ x
t
n m
~
�
èç (5) èñïîëüçóåì ïîäõîä, ðàçðàáîòàííûé â [2]
äëÿ áîëåå øèðîêîãî êëàññà çàäà÷. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî ýòîìó
ïîäõîäó ìîæíî ïîëó÷èòü íå òîëüêî îöåíêó � ~x
t
n m�
, à è îöåíêó íåêîòîðîãî åãî
ïðåîáðàçîâàíèÿ �x
t
n m
~
�
, ãäå � — îïåðàòîð Ãèëüáåðòà—Øìèäòà, äåéñò-
âóþùèé èç (n m� )-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà âåùåñòâåííûõ ÷èñåë (â äàííîì
ñëó÷àå) â íåêîòîðîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.  ÷àñòíîñòè � ìîæåò áûòü
ìàòðèöåé, îáåñïå÷èâàþùåé îöåíêó íåêîòîðûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ
îáúåêòà â äðóãèå ìîìåíòû âðåìåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ âîññòàíîâëåíèÿ
x
t
n m
~
�
íóæíî çàäàòü � êàê òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå, ò. å. êàê (n m� )-
ìåðíóþ åäèíè÷íóþ ìàòðèöó, êîòîðóþ îáîçíà÷èì I.
Èòàê, äëÿ ïîñòðîåíèÿ îöåíêè � ~x
t
n m�
áóäåì èñêàòü ïðåîáðàçîâàíèå B
èçâåñòíîãî âåêòîðà y, êîòîðîå îáåñïå÷èò îïòèìàëüíóþ, â îïðåäåëåííîì
ñìûñëå, îöåíêó èñêîìûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà � ~x By
t
n m�
� . Äëÿ
ýòîãî ïîñòàâèì çàäà÷ó îäíîâðåìåííîé äâóêðèòåðèàëüíîé ìèíèìèçàöèè:
À. Ë. Çàâîðîòíûé, Â. Ñ. Êàñüÿíþê
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
ïåðâûé êðèòåðèé — ìèíèìèçàöèÿ äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè, êîòîðàÿ
ñîäåðæèòñÿ â îöåíêå � ~x
t
n m�
;
âòîðîé êðèòåðèé — ìèíèìèçàöèÿ îïåðàòîðíîé íåâÿçêè, õàðàêòåðè-
çóþùåé ñìåùåíèå îöåíêè � ~x
t
n m�
.
Äàííîå ñìåùåíèå ïîëó÷åíî âñëåäñòâèå ïðèìåíåíèÿ èñêîìîãî ïðåîá-
ðàçîâàíèÿ B ê y âìåñòî ïðèìåíåíèÿ ê � ~x
t
n m�
òîæäåñòâåííîãî ïðåîáðà-
çîâàíèÿ
h B M Bv
B
( )
~
min� �
2
,
� ( )
~
minB BA In m
B
� � �
�
2
.
(6)
Ñîãëàñíî òåîðåìå, äîêàçàííîé â [2], ðåøåíèå çàäà÷è (6) ïðèâîäèò ê êîí-
òèíóóìó îöåíîê, êîòîðûé ìîæíî âûðàçèòü ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìóëîé
By x A A A y
t
n m
n m n m n m v� � �
�
� � �
��
~
(
~ ~ ~
)~
* *
�
1
, �� ��( ; )0 . (7)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî ðåçóëüòàòàì, ïðèâåäåííûì â ðàáîòå
[2], êðèòåðèè îïòèìèçàöèè çàäà÷è (6) èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå òåíäåíöèè
ê èçìåíåíèþ ïðè èçìåíåíèè ïàðàìåòðà � îò íóëÿ äî +�, à èìåííî: ïðè
óâåëè÷åíèè ïàðàìåòðà � äèñïåðñèÿ ïîãðåøíîñòè â îöåíêå óìåíüøàåòñÿ, â
òî âðåìÿ êàê îïåðàòîðíàÿ íåâÿçêà ñòðåìèòñÿ ê ïðåäåëó �
2
(â äàííîì
ñëó÷àå ê I
2
1� ). Âçàèìîñâÿçü êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè çàäà÷è (6) ãðàôè÷åñ-
êè ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1, à çàâèñèìîñòü çíà÷åíèé êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè
îò çíà÷åíèÿ � — íà ðèñ. 2.
Äëÿ âûáîðà êîíêðåòíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà � ìîæíî èñïîëüçîâàòü
ãðàôèêè êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè (ñì. ðèñ. 2), ïîñòðîåííûå ïî ñîîòâåòñò-
âóþùèì ôîðìóëàì èç [2]:
h B Bv( )
~ *
� �
tr , � �( ) {
~ ~ ~
}
* *
� � �
� � �
tr BA A B BA In m n m n m2 , (8)
ãäå B A A An m n m n m v� �
� � �
�~
(
~ ~ ~
)
* *
�
1
; tr — îïåðàòîð ñëåäà.  ÷àñòíîñòè ãðàôèêè,
ïîñòðîåííûå ïî ôîðìóëàì (8), ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïîèñêà çíà-
÷åíèÿ �, îòâå÷àþùåãî ïðèíöèïó ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëüòàòà:
� � � � �
� �
arg min max ( ( ), ( ))
( , )h
h .
Âñëåäñòâèå ìîíîòîííîñòè êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè îòíîñèòåëüíî � [2] è
ïðîòèâîïîëîæíîñòè òåíäåíöèé ê èçìåíåíèþ ýòèõ êðèòåðèåâ òàêîå çíà÷å-
íèå ïàðàìåòðà áóäåò åäèíñòâåííûì. Äëÿ ðåàëèçàöèè îïðåäåëåííîãî êîì-
ïðîìèññà ìåæäó êðèòåðèÿìè îïòèìèçàöèè ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è äðó-
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûé ïîäõîä ê çàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 37
ãèìè îáùèìè ïðèíöèïàìè ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, à èìåííî
ïðèíöèïîì ðàâíîìåðíîé îïòèìàëüíîñòè
� � � � �
�
arg min ( ( ) ( ))�h ,
ïðèíöèïîì «ýëüäîðàäî»
� � � � �
�
arg min ( ( ) ( ))
2 2
�h ,
ïðèíöèïîì ñïðàâåäëèâîãî êîìïðîìèññà
� � � � �
�
arg min ( ( ) ( ))h .
Íà âûáîð ïàðàìåòðà � ìîæåò òàêæå âëèÿòü ïðåäìåòíàÿ îáëàñòü, ê êîòîðîé
îòíîñèòñÿ çàäà÷à, è äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ ÷àñòüþ óñëî-
À. Ë. Çàâîðîòíûé, Â. Ñ. Êàñüÿíþê
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
� �( )
h ( )�
� (+0)
h (+0)0
| || =1|I
2
Ðèñ. 1. Âçàèìîñâÿçü êðèòåðèåâ îïòèìèçàöèè h ( )� è � �( )
h ( )�
0 a á
�
| || =1| I
2
� �( )
0 �
Ðèñ. 2. Çàâèñèìîñòü äèñïåðñèè ïîãðåøíîñòè (à) è îïåðàòîðíîé íåâÿçêè (á) îöåíêè �~x
t
n m�
îò
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà �
âèÿ çàäà÷è. Îäíàêî ïðèíÿòèå ðåøåíèÿ îñòàåòñÿ çà ýêñïåðòîì â ïðåäìåòíîé
îáëàñòè, êîòîðûé îòâå÷àåò çà âûáîð æåëàòåëüíûõ çíà÷åíèé êðèòåðèåâ
îïòèìèçàöèè.
Ðàññìîòðèì ïîëó÷åííûå îöåíêè. Îáîçíà÷èì � ~x
t
îöåíêó âåêòîðà õàðàê-
òåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà â ìîìåíò
~
t . Ïåðâûå m åãî ýëåìåíòîâ áûëè
èçâåñòíû çàðàíåå, à îñòàëüíûå — ýòî ýëåìåíòû âåêòîðà � ~x
t
n m�
(ñì. (7),
�� ��( ; )0 ):
� ( (
~
),..., (
~
)~x x t x t
t m�
1
, � (
~
),..., � (
~
))
*x t x tm n�1
.
Êàê âèäèì, òåïåðü ëåãêî ïîëó÷èòü îöåíêè íåèçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ âåêòîðà
�~x
t
â òî÷êå
~
t :
�� �~ ~x A x
t t
� .
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî åñëè ïðîèçâîäíûå õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ
îáúåêòà íå áûëè âû÷èñëåíû íà îñíîâå èçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ âåêòîðà õà-
ðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà, à èçìåðÿëèñü ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ ñ
ïîìîùüþ ñóùåñòâóþùèõ ïðèáîðîâ, òî îöåíêó �� ~x
t
ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ
äîïîëíèòåëüíîãî àíàëèçà êà÷åñòâà îöåíèâàíèÿ � ~x
t
n m�
. Ýòî âàæíî, ïîñêîëü-
êó ïðåäëàãàåìûé ìåòîä ïîçâîëÿåò íàõîäèòü îïòèìàëüíûå îöåíêè íå äëÿ
ìèíèìèçàöèè ïîãðåøíîñòè îöåíèâàíèÿ, à äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (6), êðè-
òåðèè êîòîðîé èìåþò îïðåäåëåííûé ôèçè÷åñêèé ñìûñë è ìèíèìèçàöèÿ
êîòîðûõ óëó÷øàåò èñêîìûå îöåíêè.
Íåîáõîäèìî òàêæå çàìåòèòü, ÷òî åñëè çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíûõ õàðàêòå-
ðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà, ñîîòâåòñòâóþùèå íåèçâåñòíûì ýëåìåíòàì âåê-
òîðà x
t
~, ñ îïðåäåëåííîé òî÷íîñòüþ èçìåðÿþòñÿ ïðèáîðàìè (èëè èõ çíà-
÷åíèÿ èçâåñòíû èç äðóãèõ èñòî÷íèêîâ), òî â óðàâíåíèè (4) ñëåäóåò íå
îãðàíè÷èâàòü ðàçìåðíîñòü �
~
~x
t
÷èñëîì èçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ âåêòîðà x, à
ïðèíÿòü åå ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé.
Äîïóñòèì, ÷èñëî èçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ âåêòîðà �
~
~x
t
(èçìåðåííûõ èëè
âû÷èñëåííûõ îïîñðåäîâàííî) ðàâíÿåòñÿ k, m k n� � . Òîãäà, î÷åâèäíî,
èçìåíÿþòñÿ ðàçìåðíîñòè ìàòèö
~
A
a a
a a
n
k kn
�
�
�
�
�
11 1
1
,
~
A
a a
a an m
m n
k m kn
�
�
�
�
�
�
�
�
�
1 1 1
1
,
~ ( ) ( )
( ) ( )
�
�
�
�
�
v
k
k k k
M v v M v v
M v v M v v
1 1 1
1
,
~
A
a a
a a
m
m
k km
�
�
�
�
�
11 1
1
,
è âåêòîðîâ �
~
( � (
~
),..., � (
~
))~
*x x t x t
t k�
1
,
~
( ,..., )
*v v vk�
1
. Ïðè ýòîì ôîðìóëà äëÿ
ïîñòðîåíèÿ îöåíêè íåèçâåñòíîé ÷àñòè âåêòîðà õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ
îáúåêòà � ~x
t
n m�
, î÷åâèäíî, ñîõðàíÿåò âèä (7).
Ïàðåòî-îïòèìàëüíûé ïîäõîä ê çàäà÷å âîññòàíîâëåíèÿ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 39
Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷åí ìåòîä ïîñòðîåíèÿ îöåíêè íåèçâåñòíîé ÷àñòè
âåêòîðà õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ îáúåêòà äëÿ ñòàöèîíàðíîé ñèñòåìû
óïðàâëåíèÿ, çàäàííîé ñèñòåìîé ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé,
ïðè íàëè÷èè èçâåñòíîé äðóãîé ÷àñòè âåêòîðà õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ
îáúåêòà. Ïðè ýòîì â îòëè÷èå îò êëàññè÷åñêîé ïîñòàíîâêè çàäà÷è íàáëþ-
äàåìîñòè ó÷òåíà âîçìîæíîñòü íàëè÷èÿ ïîãðåøíîñòåé â çíà÷åíèÿõ ïðîèç-
âîäíûõ õàðàêòåðèñòèê ñîñòîÿíèÿ óïðàâëÿåìîãî îáúåêòà.
The observation problem for the case of partially known object’s state characteristics vector was
solved within the Pareto-optimum approach. It is taken into the account that the known character-
istics of the object’s state vector could be distorted by errors.
1. Êàëèòêèí Ì. Ì. ×èñëåííûå ìåòîäû. — Ì. : Íàóêà, 1982. — 511 ñ.
2. Çàâîðîòíèé À. Ë. Ðîçâ’ÿçóâàííÿ çàäà÷ ìîäåëþâàííÿ ÂÎÑ íàäâèñîêî¿ ðîçä³ëüíî¿ çäàò-
íîñò³ íà îñíîâ³ áàãàòîêðèòåð³àëüíî¿ îïòèì³çàö³¿ // ³ñí. Êè¿âñüêîãî óí³âåðñèòåòó.
Ñåð³ÿ ô³ç.-ìàò. íàóê. — 2004. — ¹ 3. — Ñ. 198—205.
Ïîñòóïèëà 06.02.09
ÇÀÂÎÐÎÒÍÛÉ Àíäðåé Ëåîíèäîâè÷, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, ìë. íàó÷. ñîòð. ôàêóëüòåòà êèáåð-
íåòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Òàðàñà Øåâ÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èë â 1999 ã.
Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — íåêîððåêòíûå çàäà÷è, ìåòîäû âîññòàíîâëåíèÿ ôóíêöèî-
íàëüíûõ çàâèñèìîñòåé, òåîðèÿ âîçìîæíîñòè, ÷èñëåííûå ìåòîäû, ïðîåêòèðîâàíèå èçìåðè-
òåëüíî-âû÷èñëèòåëüíûõ ñèñòåì ñâåðõâûñîêîãî ðàçðåøåíèÿ.
ÊÀÑÜßÍÞÊ Âåäà Ñòàíèñëàâîâíà, êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê, çàâ. ñåêòîðîì òåîðåòè÷åñêîé êèáåð-
íåòèêè ôàêóëüòåòà êèáåðíåòèêè Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Òàðàñà Øåâ-
÷åíêî, êîòîðûé îêîí÷èëà â 1983 ã. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìåòîäû ðåãóëÿðèçàöèè
íåêîððåêòíûõ çàäà÷, ìåòîäû ìíîãîêðèòåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè, ìàòåìàòè÷åñêèå ìåòîäû
îáðàáîòêè è èíòåðïðåòàöèè èçìåðåíèé, èçìåðèòåëüíî-âû÷èñëèòåëüíûå ñèñòåìû ñâåðõâûñî-
êîãî ðàçðåøåíèÿ.
À. Ë. Çàâîðîòíûé, Â. Ñ. Êàñüÿíþê
40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
|