Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем
Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем с одним входом и одним выходом характеризуют полученные зависимости для одномерных разностных ядер интегральных уравнений Вольтерры в виде суммы экспоненциальных функций.Предложены способы вычисления этих ядер. Метод відновлення вхід...
Gespeichert in:
| Veröffentlicht in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Datum: | 2009 |
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101507 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 89-98. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859913200463511552 |
|---|---|
| author | Годлевский, В.С. |
| author_facet | Годлевский, В.С. |
| citation_txt | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 89-98. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем с одним входом и одним выходом характеризуют полученные зависимости для одномерных разностных ядер интегральных уравнений Вольтерры в виде суммы экспоненциальных функций.Предложены способы вычисления этих ядер.
Метод відновлення вхідних сигналів лінійних динамічних систем з одним входом і одним виходом характеризують отримані залежності для одновимірних різницевих ядер інтегральних рівнянь Вольтерри у вигляді суми експоненціальних функцій. Запропоновано способи обчислення цих ядер.
The method for restoring the input signals of the linear dynamic systems with one input and one output are characterized by the dependences obtained for one-dimensional difference kernels of the Volterra integral equations in a form of a sum of exponential functions. The methods for calculating those kernels are proposed.
|
| first_indexed | 2025-12-07T16:03:52Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.6
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé, ä-ð òåõí. íàóê
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë: (044)4247162, Å-mail: disit@sivitonline.com)
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ
ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îäíèì âõî-
äîì è îäíèì âûõîäîì õàðàêòåðèçóþò ïîëó÷åííûå çàâèñèìîñòè äëÿ îäíîìåðíûõ ðàçíîñò-
íûõ ÿäåð èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû â âèäå ñóììû ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé.
Ïðåäëîæåíû ñïîñîáû âû÷èñëåíèÿ ýòèõ ÿäåð.
Ìåòîä â³äíîâëåííÿ âõ³äíèõ ñèãíàë³â ë³í³éíèõ äèíàì³÷íèõ ñèñòåì ç îäíèì âõîäîì ³ îäíèì
âèõîäîì õàðàêòåðèçóþòü îòðèìàí³ çàëåæíîñò³ äëÿ îäíîâèì³ðíèõ ð³çíèöåâèõ ÿäåð ³íòå-
ãðàëüíèõ ð³âíÿíü Âîëüòåððè ó âèãëÿä³ ñóìè åêñïîíåíö³àëüíèõ ôóíêö³é. Çàïðîïîíîâàíî
ñïîñîáè îá÷èñëåííÿ öèõ ÿäåð.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: âîññòàíîâëåíèå âõîäíûõ ñèãíàëîâ, ëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñòå-
ìû, ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ, èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ Âîëüòåððû, ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà,
óñòîé÷èâîñòü âû÷èñëåíèé.
Ïðèìåíÿåìûé ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ èíåðöèîí-
íûõ ñèñòåì ïî èçâåñòíûì çíà÷åíèÿì èõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ îñíîâàí íà èñ-
ïîëüçîâàíèè îáðàòíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñèñòåì è èçâåñòåí êàê ìåòîä
îáðàòíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé. Ñóòü åãî çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì.
Ïóñòü ëèíåéíàÿ ôèçè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ñì. ðèñóíîê) ñ îäíèì âõîäíûì
ñèãíàëîì y t( ) (âõîäîì) è îäíèì âûõîäíûì ñèãíàëîì x t( ) (âûõîäîì) èìååò
èçâåñòíóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ:
W p
a p
b p
i
i
i
n
i
i
i
m
( ) �
�
�
�
�
0
0
.
(1)
Íà ðèñóíêå îáîçíà÷åíî: x (t) — ñîñòàâëÿþùàÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà èñõîä-
íîé ñèñòåìû, îáóñëîâëåííàÿ âëèÿíèåì âõîäíîãî ñèãíàëà y t( ); r (t) — øó-
ìîâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ â âûõîäíîì ñèãíàëå, îáóñëîâëåííàÿ âíåøíèìè èñòî÷-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 89
íèêàìè (íàïðèìåð, ýëåêòðîìàãíèòíûìè ïîëÿìè, âèáðàöèÿìè è äð.), à òàêæå
ñîáñòâåííûìè øóìîâûìè èñòî÷íèêàìè ñèñòåìû (íàïðèìåð, òåìïåðàòóðíû-
ìè øóìàìè ýëåìåíòîâ, ýëåêòðîìàãíèòíûìè âçàèìîâëèÿíèÿìè áëîêîâ è äð.);
y t*
( ) — ñîñòàâëÿþùàÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà,
ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíàÿ âõîäíîìó ñèãíàëó y t( ) è îáóñëîâëåííàÿ âëèÿíèåì
ñèãíàëà x t( ); � ( )t — øóìîâàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ, îáóñëîâëåííàÿ âëèÿíèåì øó-
ìîâîãî âõîäíîãî ñèãíàëà r t( ) è ñîáñòâåííûì øóìîì óñòðîéñòâà.
Ïîëîæèì, ÷òî â (1) m n� (÷òî õàðàêòåðíî äëÿ ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì), à
bm � 1. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a
0
0� . Ïîñêîëüêó èçîáðàæåíèå
ïî Ëàïëàñó äëÿ âûõîäíîãî ñèãíàëà ñèñòåìû èìååò âèä
X p W p Y p( ) ( ) ( )� , (2)
èçîáðàæåíèå ïî Ëàïëàñó äëÿ âõîäíîãî ñèãíàëà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
Y p W p X p( ) ( ) ( )�
�1
.
Îòñþäà âèäíî, ÷òî ìåòîä îáðàòíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé âîññòàíîâ-
ëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ñâîäèòñÿ ê âêëþ÷åíèþ ïîñëåäîâàòåëüíî ñ èññëå-
äóåìîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìîé âû÷èñëèòåëüíîãî ëèíåéíîãî óñòðîéñòâà
(àíàëîãîâîãî èëè àíàëîãî-öèôðîâîãî) ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé V p( ),
áëèçêîé ê ôóíêöèè, îáðàòíîé (1):
V p W p( ) ( )�
�1
. (3)
Ïðè ïîñòóïëåíèè âûõîäíîãî ñèãíàëà èñõîäíîé ñèñòåìû íà âõîä ýòîãî
óñòðîéñòâà íà åãî âûõîäå ãåíåðèðóåòñÿ ñèãíàë, ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíûé
èñêîìîìó âõîäíîìó ñèãíàëó èñõîäíîé ñèñòåìû (ñ ìàñøòàáíûì êîýôôè-
öèåíòîì):
Y Y V p X p �
*
( ) ( ) .
Ïðèìåíåíèå ìåòîäà îáðàòíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ïðèâîäèò ê
áîëüøîé çàøóìëåííîñòè âûõîäíîãî ñèãíàëà âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà
ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé V p( ). Ýòî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî âû÷èñëèòåëü-
íîå óñòðîéñòâî ñîäåðæèò áëîêè, âûïîëíÿþùèå îïåðàöèè ìíîãîêðàòíîãî
äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (â ñëó÷àå, êîãäà çíà÷åíèå m â (1) çíà÷èòåëüíî áîëüøå
çíà÷åíèÿ n). Ïîýòîìó øóìîâîé ñèãíàë r t( ) ñóùåñòâåííî óñèëèâàåòñÿ âû÷èñ-
ëèòåëüíûì óñòðîéñòâîì âñëåäñòâèå ìíîãîêðàòíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
90 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
y t( )
e t( )
V P( )W P( )
y* t t�( ) + ( )x t r t( ) + ( )
Êðîìå òîãî, äèôôåðåíöèðóþùèå áëîêè èìåþò áîëüøèå ñîáñòâåííûå ïî-
ãðåøíîñòè ïðè ïåðåìåííûõ âõîäíûõ ñèãíàëàõ. Â ðåçóëüòàòå øóìîâàÿ ñîñ-
òàâëÿþùàÿ �( )t âûõîäíîãî ñèãíàëà âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà îáû÷íî
ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò ïî óðîâíþ øóìîâóþ ñîñòàâëÿþùóþ r t( ) âõîäíî-
ãî ñèãíàëà.
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíîãî ôèëüòðóþùåãî áëî-
êà íà âõîäå âû÷èñëèòåëüíîãî óñòðîéñòâà äëÿ ôèëüòðàöèè øóìîâîãî ñèãíà-
ëà r t( ) íå ÿâëÿåòñÿ ýôôåêòèâíûì ðåøåíèåì ïðè ïåðåìåííîì ïîëåçíîì
ñèãíàëå x t( ). Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ òåì, ÷òî âñå èçâåñòíûå â íàñòîÿùåå âðåìÿ
ëèíåéíûå ÷àñòîòíûå ôèëüòðû ýôôåêòèâíû ïðè ïîñòîÿííûõ âî âðåìåíè
âõîäíûõ ñèãíàëàõ. Îäíàêî, âûïîëíÿÿ îïåðàöèþ ôèëüòðàöèè øóìîâîãî
ñèãíàëà, îíè îäíîâðåìåííî èñêàæàþò âõîäíîé ïîëåçíûé ñèãíàë, åñëè îí
ÿâëÿåòñÿ ïåðåìåííûì âî âðåìåíè. Èñêàæàþò ïåðåìåííûå âî âðåìåíè
ïîëåçíûå ñèãíàëû è ìåäèàííûå ôèëüòðû, ïîñêîëüêó îíè âíîñÿò çàïàçäû-
âàíèÿ. Îöåíêè äèíàìè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé îáðàáîòêè ïåðåìåííûõ ïîëåç-
íûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûìè äèíàìè÷åñêèìè ñèñòåìàìè (ôèëüòðàìè) ïðèâå-
äåíû â ðàáîòàõ [1, 2 ].
Ðàññìîòðèì ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ ñèñ-
òåì ðåøåíèåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðè ðåàëèçàöèè êîòîðîãî îò-
ñóòñòâóåò íåîáõîäèìîñòü ïðèìåíåíèÿ äèôôåðåíöèðóþùèõ áëîêîâ èëè
îïåðàöèé äèôôåðåíöèðîâàíèÿ. Ìåòîä èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé îáóñëîâ-
ëèâàåò íåîáõîäèìîñòü ïåðåõîäà îò îïèñàíèÿ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ïåðå-
äàòî÷íîé ôóíêöèåé (1) â âèäå îäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ âû-
ñîêîãî ïîðÿäêà
b x a yi
i
i
m
i
i
i
n
( ) ( )
� �
� ��
0 0
(4)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè x i( )
( )0 0� ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ. Èçâåñò-
íûé ìåòîä òàêîãî ïåðåõîäà (ñì., íàïðèìåð, [3, 4]) èìååò îãðàíè÷åííîå
ïðèìåíåíèå, òàê êàê ïðè åãî èñïîëüçîâàíèè òðåáóåòñÿ, ÷òîáû â (4) n ðàâ-
íÿëîñü íóëþ. Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó ïðè bm �1 â (4) èíòåãðàëüíîå óðàâ-
íåíèå èìååò âèä
�
� �( )
( )
( )!
( ) ( )t b
t
m i
d y tm
i
i
mt
�
�
�
�
�
�
�
�
1
1
10
, (5)
ãäå
( ) ( )
( )t x tm
� . Îòñþäà
x t
m
t dm
t
( )
( )!
( ) ( )
( )
�
�
�
�
1
1
1
0
�
� �. (6)
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 91
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (5), (6) äàåò âîçìîæíîñòü îïðåäåëÿòü âõîäíîé ñèãíàë
y t( ) ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ïî èçìåðåííûì çíà÷åíèÿì åå âûõîäíîãî ñèã-
íàëà. Îäíàêî ðàçíîñòíûå ñòåïåííûå ÿäðà â (5), (6) ïðè ÷èñëåííîì ðåøå-
íèè ýòèõ óðàâíåíèé ïîðîæäàþò ñóùåñòâåííûå ñëîæíîñòè îáåñïå÷åíèÿ
òî÷íîñòè âû÷èñëåíèé â ñëó÷àå áîëüøèõ çíà÷åíèé m.
Ðàññìîòðèì ìåòîä ñâåäåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4) ïðè
ïðîèçâîëüíîì çíà÷åíèè n m� ê èíòåãðàëüíîìó óðàâíåíèþ ñ ðàçíîñòíûì
ÿäðîì â âèäå ñóììû ýêñïîíåíöèàëüíûõ ôóíêöèé. Ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà
èñïîëüçîâàíèè ìíîãîìåðíûõ ÿäåð òèïà ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò äëÿ âñïîìî-
ãàòåëüíûõ ñèñòåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ñ öåëüþ ïîëó÷åíèÿ âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû èíòåãðàëüíûõ óðàâíå-
íèé çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ èñõîäíîé ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû c
ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé (1) â âèäå ñèñòåìû àëãåáðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, èñïîëüçóÿ äàííûå èç ðàáîòû [5]:
� � �X AX Y t( ), X X( )0 0
0
� � , (7)
x t x t d y t( ) ( ) ( )� �
1 0
, (8)
ãäå X x xm
T
� ( ,..., )
1
— âåêòîð ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7) (âåêòîð âñïîìîãàòåëü-
íûõ ïåðåìåííûõ); y t( ) — âõîäíîé ñèãíàë ñèñòåìû; x t( ) — âûõîäíîé èç-
ìåðÿåìûé ñèãíàë; A aij
m
� ( )
1
— êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà Ôðîáåíèóñà ñ ðàçìåð-
íîñòüþ m; Y t d y t d y tm
T
( ) ( ( ),..., ( ))�
1
. Êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû A â (7)
îïðåäåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ bi â çíàìåíàòåëå (1) ïðè bm �1:
A
b b bm
� �
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
0 1 0 0
0 0 1
0 1 1
.
. . . . .
. .
. .
.
(9)
Êîýôôèöèåíòû di (i m�1,..., ) âåêòîðà Y t( ) è êîýôôèöèåíò d
0
äëÿ (8) îïðå-
äåëÿþòñÿ ñ ïîìîùüþ êîýôôèöèåíòîâ ÷èñëèòåëÿ è çíàìåíàòåëÿ ôóíêöèè (1):
d bm0
� ; d b a dm m1 1 1 0
� �
� �
; d b a d a dm m m2 2 1 1 2 0
� � �
� � �
,… ,
d b a d a d a dn m m m m� � � � �
� � � �0 1 1 2 2 0 0
... . (10)
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà àëãåáðî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (7),
(8) ïðàêòè÷åñêè âûðîæäàåòñÿ â ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé, åñëè â (1) ñòåïåíü ÷èñëèòåëÿ ìåíüøå ñòåïåíè çíàìåíàòåëÿ.
Èçâåñòåí åùå îäèí ìåòîä ïîëó÷åíèÿ ñèñòåìû îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (7) äëÿ ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû, èìåþùåé ïåðåäà-
òî÷íóþ ôóíêöèþ (1). Ýòî — ìåòîä ðàçëîæåíèÿ (1) íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
92 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
ôóíêöèè (1). Îäíàêî îí èìååò îïðåäåëåííûå ñëîæíîñòè ïðè íàëè÷èè
êðàòíûõ êîðíåé âûñîêîãî ïîðÿäêà ìíîãî÷ëåíà â çíàìåíàòåëå (1) [5].
Ðåøåíèå (3) íà èíòåðâàëå âðåìåíè íàáëþäåíèÿ çà ñèñòåìîé ïðåä-
ñòàâèì â ôîðìå óðaâíåíèÿ Êîøè:
X t e X t e Y d
A t t A t
t
t
( ) ( ) ( )
( ) ( )
� �
� �
0
0
0
�
� �, (11)
ãäå e
A t t( )�
0 , e A t( )��
— ìàòðè÷íûå ýêñïîíåíòû; t
0
— íà÷àëî âðåìåíè íàáëþ-
äåíèÿ çà ñèñòåìîé; X t( )
0
— íà÷àëüíîå çíà÷åíèå âåêòîðà ðåøåíèÿ (7).
Ñèñòåìó (11) èñïîëüçóåì â êà÷åñòâå âñïîìîãàòåëüíîé ñèñòåìû èíòå-
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû ïåðâîãî ðîäà îòíîñèòåëüíî âåêòîðà Y t( )
ñîâìåñòíî ñ àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì (8). Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðè n m�
âñå ýëåìåíòû âåêòîðîâ X t( )
0
è X t( ) â (7) ÿâëÿþòñÿ íåèçâåñòíûìè âåëè-
÷èíàìè, à ïðè n < m äëÿ X t( )
0
è X t( ) èçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ýëå-
ìåíòû x t x t
1 0 0
( ) ( )� è x t x t
1
( ) ( )� (òàê êàê òîëüêî x t( ) — èçìåðÿåìàÿ
ôóíêöèÿ, îñòàëüíûå ýëåìåíòû âåêòîðîâ X t( )
0
è X t( ) ÿâëÿþòñÿ âèðòóàëü-
íûìè è íåèçìåðÿåìûìè). ×òîáû èñêëþ÷èòü âëèÿíèå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî â
(11), âûïîëíèì âîññòàíîâëåíèå âõîäíîãî ñèãíàëà y (t) äëÿ äîñòàòî÷íî
áîëüøîãî çíà÷åíèÿ t:
t t� �
0
�.
Çäåñü � — âåëè÷èíà, äëÿ êîòîðîé ïîä÷èíåííàÿ íîðìà
e A�
� �, (12)
ãäå � — ìàëàÿ âåëè÷èíà. Ñ ó÷åòîì (12) ïðèâåäåì (11) ê âèäó
X t e Y dA t
t
t
( ) ( )
( )
�
�
�
�
� �
0
�
. (13)
Ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà (12) ïðåîáðàçóåì (13) ïðè t t� �
0
� ê âèäó
X t e Y dA t
t
t
( ) ( )
( )
�
�
�
�
� �
�
. (14)
Èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ â (14) ïðèíÿò ìàêñèìàëüíî áîëüøèì, ÷òî ïîç-
âîëÿåò áîëåå ïîëíî èñïîëüçîâàòü ñâîéñòâî îïåðàöèè èíòåãðèðîâàíèÿ â
êà÷åñòâå ôèëüòðà äëÿ ïîäàâëåíèÿ âëèÿíèÿ øóìîâûõ ñîñòàâëÿþùèõ â âû-
õîäíîì ñèãíàëå ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû.
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 93
Ïðåäñòàâèì (14) â âèäå
X t e Y dk
j
k
A t
t jh h
t jh
k
k
k
( ) ( )
( )
�
�
�
� � �
� �
�
1
�
� �
�
�
. (15)
Ïðèìåíèâ â (15) äëÿ êàæäîãî j-ãî ñëàãàåìîãî àïïðîêñèìàöèþ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà òî÷íîñòè, çàïèøåì
X t e Y t jhk
A jh h
k
j
k
( ) ( )
( )
� � �
� �
�
�
�
�
1
.
(16)
Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â (15), (16) � � kh è ïðè j k�
e eA jh h Ah( )�� �
� , Y t jh Y tk k( ) ( )� � �� ,
ò. å. ïðè ïåðåõîäå îò (13) ê (16) äëÿ èñêëþ÷åíèÿ âûðîæäåííîñòè ìàòðè÷-
íîé ýêñïîíåíòû (ïîòåðè â íåé èíôîðìàöèè î ìàòðèöå A) íà ïîñëåäíåì
øàãå èíòåãðèðîâàíèÿ â (16) èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåí-
òû è âåêòîðà Y ( )� ïðè j k� .
 ñèñòåìå (16) áóäåì ó÷èòûâàòü òîëüêî îäíî óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå
ýëåìåíò x tk1
( ), âõîäÿùèé â óðàâíåíèå (8) ñ âûõîäíûì èçìåðÿåìûì ñèãíà-
ëîì x t( ) ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû:
x t e jh h d y t jhk i i k
j
k
i
m
1 1
11
( ) ( ) ( )� � � �
��
�� � � � , (17)
ãäå e jh hi1
( )� � � — ýëåìåíòû ïåðâîé ñòðîêè ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû
e A jh h( )�� �
. Ñ ó÷åòîì (8) ïåðåéäåì îò (17) ê óðàâíåíèþ
x t e jh h d y t jh d y tk
i
m
i i k
j
k
k( ) ( ) ( ) ( )� � � � � �
� �
� �
1
1
1
0
� �
è çàòåì ê óðàâíåíèþ
x t y t jh e jh h d d yk k i i
i
m
j
k
( ) ( ) ( ) (� � � � �
�
�
�
�
�
�
�
��
�� � �
1
11
0
tk ) , (18)
èç êîòîðîãî ìîæíî îïðåäåëèòü èñêîìîå çíà÷åíèå y tk( ) âõîäíîãî ñèãíàëà
ôèçè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè óñëîâèè, ÷òî ðàíåå áûëè îïðåäåëåíû y t jhk( )� �� ,
j k� �1 1,..., .
Ðàññìîòðèì âîçìîæíîñòü ðåêóððåíòíîãî îïðåäåëåíèÿ y t jhk( )� �� ,
íà÷èíàÿ ñ ìîìåíòà âðåìåíè t t� �
0
�. Íà ïåðâîì øàãå ïðèìåì â (13) èíòåð-
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
94 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
âàë èíòåãðèðîâàíèÿ ìèíèìàëüíûì, ïîëîæèâ t t h� � �
0
� . Ïðè ýòîì (15)
ïðèíèìàåò âèä
X t h e Y d
A t h
t
t h
( ) ( )
( )
0
0
0
0
� � �
� � �
�
� �
�
�
�
�
�
� �,
èëè
X t h e Y t hAh
( ) ( )
0 0
� � � � �� � . (19)
Èç (19) ñëåäóåò óðàâíåíèå òèïà (18):
x t h y t h e Ah d d y t hi i
i
m
( ) ( ) ( ) (
0 0 1
1
0 0
� � � � �
�
�
�
�
�
�
� � �
�
�� � � ) .
Íà âòîðîì øàãå èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ â äâà ðàçà:
( , )t t h
0 0
2� � �� � . Ñèñòåìà (15) ïðè ýòîì ïðèíèìàåò âèä
X t h e Y t jhA h jh
j
k
( ) ( )
( )
0
3
0
1
2� � � � �
�
�
�� � ,
à óðàâíåíèå (18), ñîîòâåòñòâåííî, ñëåäóþùèé âèä:
x t h y t jh e jh h d
j
i i
i
m
( ) ( ) ( )
0
1
2
0 1
1
2� � � � � � �
�
�
�
�
�
�
� �
� �� � � � � �d y t h
0 0
2( )� .
Îòñþäà îïðåäåëÿåì çíà÷åíèå âõîäíîãî ñèãíàëà y t h( )
0
2� �� . Ïîñëåäî-
âàòåëüíî óâåëè÷èâàÿ èíòåðâàë èíòåãðèðîâàíèÿ íà êàæäîì øàãå, ðåêóð-
ðåíòíî íàõîäèì çíà÷åíèÿ y t ih( )
0
� �� äî k-ãî èçìåðåíèÿ, ïðè êîòîðîì
kh � �. Ïîñëå ýòîãî âîçìîæåí ïåðåõîä ê èñïîëüçîâàíèþ (18).
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà (1) èìååò âèä
W p
a p
b p
p
i
i
i
n
i
i
i
m
( ) �
�
�
�
�
0
0
,
(20)
ãäå bm �1(êàê è â (1)), n m� �1. Ïðèìåðàìè ôèçè÷åñêèõ ñèñòåì, èìåþùèõ
ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè òèïà (20), ìîãóò áûòü ëèíåéíûå ôèëüòðû, ýëåêòðî-
èçìåðèòåëüíûå òðàíñôîðìàòîðû òîêà [6], òðàíñôîðìàòîðû íàïðÿæåíèÿ.
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (7), (8) äëÿ ôèçè÷åñêîãî îáúåêòà ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíê-
öèåé (20) èìååò âèä
� � � �X AX Y t( ), X t( )
0
0� ,
x t x t
1
( ) ( )� , (21)
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 95
ãäå ìàòðèöà A è âåêòîðû X, Y îïðåäåëåíû â (7) — (10). Èñïîëüçóÿ äëÿ
ðåøåíèÿ (21) çàâèñèìîñòü
X t e Y dA t
t
t
( ) ( )
( )
� �
�
�
� �
0
,
(22)
ìîæíî ïîëó÷èòü èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððû ïåðâîãî ðîäà îòíî-
ñèòåëüíî y t( ). Îäíàêî çàäà÷à âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà y t( ) íåïî-
ñðåäñòâåííûì ðåøåíèåì èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé âèäà (22) ñ ïîñëåäóþ-
ùèì èíòåãðèðîâàíèåì ðåçóëüòàòà ðåøåíèÿ îòíîñèòñÿ ê óñëîâíî íåêîð-
ðåêòíûì çàäà÷àì âñëåäñòâèå âëèÿíèÿ îïåðàöèè äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ïðè
âîññòàíîâëåíèè y t( ).
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî y tk( ) , èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì
(22), ïåðåõîäèì ê ñèñòåìå èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé Âîëüòåððû âòîðîãî ðîäà:
X t A e Y d Y tA t
t
t
( ) ( ) ( )
( )
� � �
�
�
�
� �
0
�
. (23)
Òî÷íî òàê æå îò (23) ïåðåõîäèì ê ñèñòåìå
X t A e Y d Y tk
j
k
A t
t jh h
t jh
k
k
k
k
( ) ( ) ( )
( )
� � �
�
�
� � �
� �
�
1
�
� �
�
�
. (24)
Ïðè àïïðîêñèìàöèè èíòåãðàëîâ â (24) ïîëó÷àåì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ
óðàâíåíèé
X t A e Y t jh Y tk
A jh h
k
j
k
k( ) ( ) ( )
( )
� � � � �
�
�
�
��
�
1
,
îòêóäà ñëåäóåò èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå òèïà (16) îòíîñèòåëüíî y tk( ).
Ðàññìîòðèì ñïîñîáû óâåëè÷åíèÿ òî÷íîñòè ïåðåõîäà îò ñèñòåìû èíòå-
ãðàëüíûõ óðàâíåíèé ê ñèñòåìå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ò. å. ñïîñîáû
óìåíüøåíèÿ ïîãðåøíîñòåé ïðè çàìåíå èíòåãðàëîâ â ñèñòåìàõ (15) è (24)
êîíå÷íûìè ñóììàìè. Îäèí èç âîçìîæíûõ ñïîñîáîâ çàêëþ÷àåòñÿ â ïðèìå-
íåíèè ÷àñòè÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ â ñèñòåìàõ (15) è (24).
Íàïðèìåð äëÿ (15) ìîæíî çàïèñàòü
X t e e Y dk
At
j
k
A
t jh
t jh h
k
k
k
( ) ( )� �
�
�
�
� �
� � �
�
0
1
�
� �
�
�
� � � � �
� �
�
�
�A e e Y t jhA jh h A jh
j
j
k
1
0
1
( ) ( )
( ) ( )�� ��
� .
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
96 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
Îòñþäà
X t A e e Y t jhk
A jh h A jh
j
j
k
( ) ( ) ( )
( ) ( )
� � � � �
� �
�
�
�
1
0
1
�� ��
� . (25)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íûõ ýêñïîíåíò öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü
ðåêóððåíòíóþ ôîðìóëó [7]
e e eAjh A j h Ah
�
( )
,
�1 j k�1,..., . (26)
Âû÷èñëåíèå áàçîâîé ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû e Ah
â [7] ïðîâîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ
êîíå÷íîãî ñòåïåííîãî ðÿäà:
e A h iAh i i
i
r
�
�
� / !
0
.
(27)
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, íàïðèìåð â ñëó÷àå æåñòêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (7),
ðàçëîæåíèå (27) ìîæåò ïðèâîäèòü ê íåóñòîé÷èâîñòè âû÷èñëåíèé â (26)
ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ øàãà h è â èòîãå — ê íåäîïóñòèìûì ïîãðåø-
íîñòÿì ðàñ÷åòîâ. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ óñòîé÷èâîñòè âû÷èñëåíèé â (26) âìåñ-
òî (27) öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó
e E Ah E AhAkh
� � �
�
( , ) ( , )0 5 0 5
1
. (28)
Àïïðîêñèìàöèþ (28) ìîæíî íàçâàòü À-óñòîé÷èâîé ôîðìóëîé äëÿ ðåêêó-
ðåíòíîãî âû÷èñëåíèÿ (26), ïîñêîëüêó îíà ñîîòâåòñòâóåò íåÿâíîìó ìåòîäó
òðàïåöèé ðåøåíèÿ ñèñòåì îäíîðîäíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
� �X AX , X X( )0
0
� .
Òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè (28) îïðåäåëÿåòñÿ ãëàâíûì ÷ëåíîì ïîãðåøíîñòè
�( ) /h A h�
3 3
24 .
 ñëó÷àå, êîãäà èñïîëüçóåìûé öèôðîâîé êîíòðîëëåð èìååò äîñòàòî÷-
íî áîëüøîé îáúåì îïåðàòèâíîé ïàìÿòè, öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíÿòü èíîé
ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû, ñóòü êîòîðîãî ñîñòîèò â ñëå-
äóþùåì.
Êàæäûé w-é ñòîëáåö ìàòðè÷íîé ýêñïîíåíòû e At
ìîæíî ïðåäñòàâèòü â
âèäå ðåøåíèÿ ñèñòåìû îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé
� �X AXw w (29)
ñ âåêòîðîì íà÷àëüíûõ óñëîâèé
X x xw w wm
T
( ) ( ( ), ..., ( ))0 0 0
1
� , (30)
âñå ýëåìåíòû êîòîðîãî xwj ( )0
0� ïðè j w� è xww( )0 1� . Âñå ñòîëáöû ìàò-
ðè÷íîé ýêñïîíåíòû äëÿ (16) è (25) íà èíòåðâàëå âðåìåíè ( , )0 � ìîæíî
Ìåòîä âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 4 97
ïðåäâàðèòåëüíî âû÷èñëèòü ïîñëåäîâàòåëüíûì ðåøåíèåì ñèñòåìû (29) ñ
âåêòîðîì íà÷àëüíûõ çíà÷åíèé (30) ïðè w m�1,..., . Âû÷èñëåííàÿ òàêèì ñïî-
ñîáîì ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà ñîõðàíÿåòñÿ â òðåõìåðíîì ìàññèâå, êîòîðûé
èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà (18), (24).
Ïîëîæèòåëüíûì ñâîéñòâîì èçëîæåííîãî ìåòîäà âîññòàíîâëåíèÿ âõîä-
íûõ ñèãíàëîâ ëèíåéíûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì ñ îäíèì âõîäîì è îäíèì
âûõîäîì ÿâëÿåòñÿ åãî åñòåñòâåííîå îáîáùåíèå íà ìíîãîñâÿçíûå äèíàìè-
÷åñêèå ñèñòåìû ñî ìíîãèìè âõîäíûìè ñèãíàëàìè. Îãðàíè÷åíèåì ïðè ýòîì
ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå, ñîñòîÿùåå â òîì, ÷òî ÷èñëî îïðåäåëÿåìûõ âõîäíûõ
ñèãíàëîâ äîëæíî áûòü íå áîëüøå ÷èñëà èçìåðÿåìûõ âûõîäíûõ ñèãíàëîâ.
The method for restoring the input signals of the linear dynamic systems with one input and one
output are characterized by the dependences obtained for one-dimensional difference kernels of
the Volterra integral equations in a form of a sum of exponential functions. The methods for
calculating those kernels are proposed.
1. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ. Îá îöåíêå äèíàìè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ëèíåéíûõ áëîêîâ ÀÂÌ //
Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1970. — ¹ 3. — Ñ. 155—161.
2. Ãîäëåâñêèé Â. Ñ. Ê âû÷èñëåíèþ è îöåíêå äèíàìè÷åñêèõ ïîãðåøíîñòåé ëèíåéíûõ
ìíîãîñâÿçíûõ ñëåäÿùèõ ñèñòåì // Èçâ. âóçîâ. Ýëåêòðîìåõàíèêà. — 1977. — ¹ 3. —
Ñ. 322—337.
3. Ãîëóáåíöåâ À. Í. Èíòåãðàëüíûå ìåòîäû â äèíàìèêå. — Êèåâ : Òåõíiêà, 1967. — 350 ñ.
4. Êðàñíîâ Ì. Ï. Èíòåãðàëüíûå óðàâíåíèÿ. — Ì. : Íàóêà, 1975. — 301 ñ.
5. Äåðóññî Ï., Ðîé Ð., Êëîóç ×. Ïðîñòðàíñòâî ñîñòîÿíèé â òåîðèè óïðàâëåíèÿ. — Ì. :
Íàóêà, 1970. — 620 ñ.
6. Ñòîãíèé Á. Ñ., Ãîäëåâñêèé Â. Ñ., Äåìèí À. Å., Êèðèëåíêî À. Â. Ñòðóêòóðíûå ìåòîäû
âîññòàíîâëåíèÿ âõîäíîãî ñèãíàëà ýëåêòðîèçìåðèòåëüíîãî ïðåîáðàçîâàòåëÿ òîêà //
Òåõíè÷åñêàÿ ýëåêòðîäèíàìèêà. — 1985. — ¹ 1, — Ñ.
7. Ðàêèòñêèé Þ. Â., Óñòèíîâ Ñ. Ì., ×åðíîðóöêèé Í. Ã. ×èñëåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ
æåñòêèõ ñèñòåì. — Ì. : Íàóêà, 1979. — 281 ñ.
Ïîñòóïèëà 19.02.09
ÃÎÄËÅÂÑÊÈÉ Âèòàëèé Ñòàíèñëàâîâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, âåä. íàó÷. ñîòð. Èí-òà ïðîáëåì
ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå èì. Ã.Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû, äèðåêòîð ÌÏ «ÄÈÑÈÒ» ÍÀÍ
Óêðàèíû.  1966 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâà-
íèé — òåîðèÿ òî÷íîñòè è äèàãíîñòèêà òåõíè÷åñêèõ ñèñòåì.
Â. Ñ. Ãîäëåâñêèé
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 4
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101507 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T16:03:52Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Годлевский, В.С. 2016-06-04T08:42:26Z 2016-06-04T08:42:26Z 2009 Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем / В.С. Годлевский // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 4. — С. 89-98. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101507 519.6 Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем с одним входом и одним выходом характеризуют полученные зависимости для одномерных разностных ядер интегральных уравнений Вольтерры в виде суммы экспоненциальных функций.Предложены способы вычисления этих ядер. Метод відновлення вхідних сигналів лінійних динамічних систем з одним входом і одним виходом характеризують отримані залежності для одновимірних різницевих ядер інтегральних рівнянь Вольтерри у вигляді суми експоненціальних функцій. Запропоновано способи обчислення цих ядер. The method for restoring the input signals of the linear dynamic systems with one input and one output are characterized by the dependences obtained for one-dimensional difference kernels of the Volterra integral equations in a form of a sum of exponential functions. The methods for calculating those kernels are proposed. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Применение методов и средств моделирования Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем Method for Restoring the Input Signals of Linear Dynamic Systems Article published earlier |
| spellingShingle | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем Годлевский, В.С. Применение методов и средств моделирования |
| title | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| title_alt | Method for Restoring the Input Signals of Linear Dynamic Systems |
| title_full | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| title_fullStr | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| title_full_unstemmed | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| title_short | Метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| title_sort | метод восстановления входных сигналов линейных динамических систем |
| topic | Применение методов и средств моделирования |
| topic_facet | Применение методов и средств моделирования |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101507 |
| work_keys_str_mv | AT godlevskiivs metodvosstanovleniâvhodnyhsignalovlineinyhdinamičeskihsistem AT godlevskiivs methodforrestoringtheinputsignalsoflineardynamicsystems |