Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний
Поставлена и решена задача создания математической модели процесса флотации, которая по сравнению с существующими точнее отображает реальные физические процессы. Предлагаемая модель содержит уравнение материального баланса, используемое в моделях-прототипах, и полученное автором интегро-дифференциал...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101513 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний / О.А. Погорелов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 29-39. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1859627943973617664 |
|---|---|
| author | Погорелов, О.А. |
| author_facet | Погорелов, О.А. |
| citation_txt | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний / О.А. Погорелов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 29-39. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Поставлена и решена задача создания математической модели процесса флотации, которая по сравнению с существующими точнее отображает реальные физические процессы. Предлагаемая модель содержит уравнение материального баланса, используемое в моделях-прототипах, и полученное автором интегро-дифференциальное уравнение флотации, позволяющее определять флотационную активность различных фракций обогащаемого материала.
Поставлено та розв’язано задачу створення математичної моделі процесу флотації, яка у порівнянні з існуючими точніше відображує реальні фізичні процеси. Запропонована модель містить рівняння матеріального балансу, що використовується у моделях-прототипах, і отримане автором інтегро-дифференціальне рівняння флотації, яке дозволяє визначати флотаційну активність різних фракцій збагачуваного матеріалу.
The problem of flotation circuit modeling with accordance to the real physics of the process was given and solved. A new model contains both the equation of the material balance (used in prototype models) and the integral-differential equation of the flotation process that was formulated by the author. The latter equation helps to determine the flotation activity of different fractions of the enriched material.
|
| first_indexed | 2025-11-29T13:04:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 004.942:622.765
Î. À. Ïîãîðåëîâ, êàíä. òåõí. íàóê
Âîñòî÷íîóêðàèíñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò èì. Â. Äàëÿ
(Óêðàèíà, 91034, Ëóãàíñê, êâ. Ìîëîäåæíûé, 20à,
òåë. (0642) 414267, E-mail: pogorelovoa@yandex.ru)
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè
â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
(Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Ñ. Å. Ñàóõ)
Ïîñòàâëåíà è ðåøåíà çàäà÷à ñîçäàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ïðîöåññà ôëîòàöèè, êîòîðàÿ ïî
ñðàâíåíèþ ñ ñóùåñòâóþùèìè òî÷íåå îòîáðàæàåò ðåàëüíûå ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû. Ïðåäëàãàå-
ìàÿ ìîäåëü ñîäåðæèò óðàâíåíèå ìàòåðèàëüíîãî áàëàíñà, èñïîëüçóåìîå â ìîäåëÿõ-ïðîòîòè-
ïàõ, è ïîëó÷åííîå àâòîðîì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ôëîòàöèè, ïîçâîëÿþùåå
îïðåäåëÿòü ôëîòàöèîííóþ àêòèâíîñòü ðàçëè÷íûõ ôðàêöèé îáîãàùàåìîãî ìàòåðèàëà.
Ïîñòàâëåíî òà ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷ó ñòâîðåííÿ ìàòåìàòè÷íî¿ ìîäåë³ ïðîöåñó ôëîòàö³¿, ÿêà ó ïî-
ð³âíÿíí³ ç ³ñíóþ÷èìè òî÷í³øå â³äîáðàæóº ðåàëüí³ ô³çè÷í³ ïðîöåñè. Çàïðîïîíîâàíà ìîäåëü
ì³ñòèòü ð³âíÿííÿ ìàòåð³àëüíîãî áàëàíñó, ùî âèêîðèñòîâóºòüñÿ ó ìîäåëÿõ-ïðîòîòèïàõ, ³ îòðè-
ìàíå àâòîðîì ³íòåãðî-äèôôåðåíö³àëüíå ð³âíÿííÿ ôëîòàö³¿, ÿêå äîçâîëÿº âèçíà÷àòè ôëîòà-
ö³éíó àêòèâí³ñòü ð³çíèõ ôðàêö³é çáàãà÷óâàíîãî ìàòåð³àëó.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: ìîäåëèðîâàíèå, ôëîòàöèÿ, ãðàíóëîìåòðè÷åñêèé ñîñòàâ, ïðîñò-
ðàíñòâî ñîñòîÿíèé.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Èñòîðèþ ìîäåëèðîâàíèÿ ïðîöåññà ôëîòàöèè óñëîâ-
íî ìîæíî ðàçáèòü íà òðè ýòàïà. Íà ïåðâîì ýòàïå ïîÿâèëèñü äåòåðìè-
íèñòñêèå ìîäåëè [1—4], ñîçäàòåëÿìè êîòîðûõ áûëè ó÷åíûå-òåõíîëîãè, æå-
ëàþùèå ïðèäàòü çíàíèÿì î ïðîöåññå êîëè÷åñòâåííûé õàðàêòåð. Ýòî áûëè
äîñòàòî÷íî ïðîñòûå ìîäåëè, íå ó÷èòûâàþùèå çàâèñèìîñòü ôëîòàöèîííîé
àêòèâíîñòè îáîãàùàåìûõ ÷àñòèö îò èõ ãðàíóëîìåòðè÷åñêîãî ñîñòàâà.
Íà âòîðîì ýòàïå ìîäåëèðîâàíèåì ïðîöåññà ôëîòàöèè çàíÿëèñü ñïå-
öèàëèñòû ïî àâòîìàòè÷åñêîìó óïðàâëåíèþ [5—8]. Îíè îòâåðãëè ìîäåëè
ïðåäøåñòâåííèêîâ êàê íåäîñòàòî÷íî òî÷íûå. Ïîñêîëüêó íà ãëóáîêîå èçó-
÷åíèå ôèçèêè ïðîöåññà íå õâàòàëî âðåìåíè, «àâòîìàò÷èêè» ïðåäïî÷ëè
ñòîõàñòè÷åñêèå ìîäåëè, ïîëó÷àåìûå ìåòîäîì ðåãðåññèîííîãî àíàëèçà.
Îäíàêî ïîñòåïåííî ñòàíîâèëîñü ÿñíî, ÷òî «ìåòîä ÷åðíîãî ÿùèêà» íå
ãàðàíòèðóåò îäíîçíà÷íîñòü è îáúåêòèâíîñòü ðåçóëüòàòîâ. Èññëåäîâàòåëè
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 29
ïðèøëè ê âûâîäó, ÷òî ïîñòðîåíèå óñïåøíûõ ìîäåëåé íåâîçìîæíî áåç
äàëüíåéøåãî èçó÷åíèÿ ôèçèêè ïðîöåññà.
Òðåòèé ýòàï îçíàìåíîâàëñÿ âîçâðàùåíèåì ê äåòåðìèíèñòñêèì ìîäåëÿì
íà íîâîì óðîâíå. Ýòî áûëè ñèñòåìû â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé [9—12]. Â
êà÷åñòâå êîìïîíåíò âåêòîðà ñîñòîÿíèé ðàçðàáîò÷èêè (âñå áåç èñêëþ÷åíèÿ)
èñïîëüçîâàëè êîíöåíòðàöèþ ÷àñòèö îïðåäåëåííîãî ðàçìåðà. Âñëåäñòâèå ýòî-
ãî ìîäåëè íîâîãî òèïà ó÷èòûâàëè èçìåíåíèÿ ãðàíóëîìåòðè÷åñêîãî ñîñòàâà
òâåðäîé ôàçû ôëîòàöèîííîé ïóëüïû ïðè ïåðåõîäå åå èç êàìåðû â êàìåðó.
Îäíàêî ñëàáûì ìåñòîì ýòèõ ìîäåëåé áûë ìåõàíèçì ïðåîáðàçîâàíèÿ ãðàíóëî-
ìåòðè÷åñêîãî ñîñòàâà — ôëîòàöèîííàÿ àêòèâíîñòü ÷àñòèö îïðåäåëåííîãî
ðàçìåðà çàäàâàëàñü â âèäå «êîíñòàíò ôëîòàöèè». Òàêîé ïîäõîä íå ñëåäîâàë èç
ñîîáðàæåíèé ôèçèêè, à èñïîëüçîâàëñÿ âñëåäñòâèå îòñóòñòâèÿ ÷åãî-ëèáî ëó÷-
øåãî — ïðîñòî êàê ãðóáîå ïðèáëèæåíèå. Ïîýòîìó ïîëó÷åííûå ìîäåëè íå
ìîãëè áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ïðîãíîçèðîâàíèÿ ðåçóëüòàòîâ ôëîòàöèè è
îïòèìèçàöèè ïðîöåññà, ÷òî õîðîøî ïîíèìàëè è ñàìè èõ ñîçäàòåëè [10].
Ïîïûòàåìñÿ ðåøèòü çàäà÷ó ñîçäàíèÿ ìîäåëè ïðîöåññà ôëîòàöèè â
ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé, êîòîðàÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ïðîòîòèïàìè áîëåå òî÷-
íî ñîîòâåòñòâîâàëà áû ðåàëüíîé ôèçèêå ïðîöåññà.
Ñõåìà ôëîòàöèè. Ïðîìûøëåííàÿ ôëîòàöèîííàÿ óñòàíîâêà ïðåäñòàâ-
ëÿåò ñîáîé öåïî÷êó òåõíîëîãè÷åñêèõ àãðåãàòîâ, â íà÷àëå êîòîðîé íàõîäèòñÿ
êîíòàêòíûé ÷àí, â êîòîðîì ïèòàíèå ôëîòàöèè ñ ïîìîùüþ âðàùàþùåãîñÿ
èìïåëëåðà ñìåøèâàåòñÿ ñ ôëîòàöèîííûìè ðåàãåíòàìè. Çàòåì ñëåäóþò êà-
ìåðû ôëîòàöèîííîé ìàøèíû, ÷èñëî êîòîðûõ ìîæåò áûòü ðàçíûì.
Îáîçíà÷èì: N — ÷èñëî êàìåð, j — íîìåð êàìåðû. Õàðàêòåðèñòèêè
ïèòàíèÿ — ðàñõîä ïóëüïû, êîíöåíòðàöèÿ â íåé òâåðäîé ôàçû, êîíöåíò-
ðàöèÿ â òâåðäîé ôàçå ìèíåðàëüíûõ ïðèìåñåé, ãðàíóëîìåòðè÷åñêèé ñîñòàâ
òâåðäîé ôàçû — ïîäâåðæåíû ìåäëåííûì ñëó÷àéíûì èçìåíåíèÿì, êîòî-
ðûå îáû÷íî îòíîñÿò ê âîçìóùåíèÿì �.
Ðàñõîäû ïîñòóïàþùèõ â êîíòàêòíûé ÷àí ðåàãåíòîâ è ñêîðîñòü âðà-
ùåíèÿ èìïåëëåðà â ñîâîêóïíîñòè îáðàçóþò âåêòîð óïðàâëåíèÿ u
0
. Âî
ìíîãèõ ôëîòàöèîííûõ îòäåëåíèÿõ êàêóþ-òî ÷àñòü ðåàãåíòîâ ïîäàþò è â
êàìåðû ôëîòàöèîííîé ìàøèíû (òàê íàçûâàåìîå äðîáíîå äîçèðîâàíèå ðåà-
ãåíòîâ). Ïîýòîìó â ìîäåëè ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíûå âåêòîðû
óïðàâëåíèÿ u u
1
,..., N , êîòîðûå âêëþ÷àþò â ñåáÿ è ñêîðîñòè âðàùåíèÿ
èìïåëëåðîâ â êàæäîé èç êàìåð.
Âûõîäîì ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ õàðàêòåðèñòèêè êîíöåíòðàòà y
1
è îòõîäîâ
y
2
. Òàêèì îáðàçîì, ïðîöåññ ôëîòàöèè — äèñêðåòíàÿ ðàñïðåäåëåííàÿ ñèñ-
òåìà. Âñëåäñòâèå âðàùåíèÿ èìïåëëåðà êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö ïðîèçâîëü-
íîãî ðàçìåðà îäèíàêîâà âî âñåõ òî÷êàõ âíóòðè îòäåëüíîé êàìåðû, ÷òî
ïîäòâåðæäåíî ýêñïåðèìåíòàëüíûìè èññëåäîâàíèÿìè [13]. Ïîýòîìó îòäåëü-
íàÿ êàìåðà ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè.
Î. À. Ïîãîðåëîâ
30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
Óðàâíåíèå ïåðåíîñà. Ðàçîáüåì ÷àñòèöû òâåðäîé ôàçû íà n êëàññîâ.
×àñòèöû îäíîãî êëàññà èìåþò ïðèáëèçèòåëüíî îäèíàêîâûé ðàçìåð d, êî-
òîðûé íå âûõîäèò çà ðàìêè çàäàííîãî äèàïàçîíà [ , ]
min max
d d (äèàïàçîíû
âñåõ êëàññîâ îäèíàêîâû: �d d d� �
max min
), è îòíîñÿòñÿ ëèáî ê îáîãàùàå-
ìîìó èñêîïàåìîìó, ëèáî ê ïóñòîé ïîðîäå (íàïðèìåð, óãëþ è ÷àñòèöàì
ìèíåðàëüíûõ ïðèìåñåé). Îñíîâîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè ôëîòàöèè â
ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèå ïåðåíîñà ìàòåðèàëüíûõ ïîòî-
êîâ (ò. å. ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà) [9—
12], êîòîðîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dC t
dt
Q t C t C t
V
t C t
ij ij ij
ij ij
( ) ( )[ ( ) ( )]
( ) ( )�
�
�
�1
� ,
ãäå C tij ( ) — ìàññîâî-îáúåìíàÿ êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö i-ãî êëàññà â j-é
êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû; Q t( ) — îáúåìíûé ðàñõîä ïóëüïû, ïîñòó-
ïàþùåé íà ôëîòàöèþ; V — îáúåì ôëîòàöèîííîé êàìåðû; � ij t( ) — ôëîòà-
öèîííàÿ àêòèâíîñòü i-ãî êëàññà â j-é êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû, ôîð-
ìàëüíî îïðåäåëÿåìàÿ òàê [10]:
� ij
ij
C
ij
t
dm
m t dt
( )
( )
( )
� ,
ãäå m tij ( ) — îáùàÿ ìàññà ÷àñòèö i-ãî êëàññà â j-é êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìà-
øèíû;
dm
dt
ij
C( )
— ñêîðîñòü ïåðåõîäà ÷àñòèö i-ãî êëàññà â j-é êàìåðå ôëîòà-
öèîííîé ìàøèíû â êîíöåíòðàò. ×åì áîëüøåå ÷èñëî êëàññîâ êðóïíîñòè
áóäåò èìåòü òâåðäàÿ ôàçà ïóëüïû â êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû, òåì
òî÷íåå áóäåò ñîîòâåòñòâèå åå ðåàëüíîìó ãðàíóëîìåòðè÷åñêîìó ñîñòàâó.
Ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ èíòåðâàëà äèñêðåòèçàöèè ñîîòâåòñòâåííî óìåíü-
øàåòñÿ çíà÷åíèå êîíöåíòðàöèè i-é êîìïîíåíòû, â ïðåäåëå ñòàíîâÿñü ðàâ-
íûì íóëþ. Ïîýòîìó ââåäåì ïîíÿòèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ êîíöåíò-
ðàöèè �( )d â çàâèñèìîñòè îò ðàçìåðà ÷àñòèö d:
� j
d
ij j
d
C
d
dC d
dd
( ) lim
( )
� �
�� �0
.
Òåïåðü óðàâíåíèå ïåðåíîñà ìàòåðèàëüíûõ ïîòîêîâ ìîæíî çàïèñàòü â ñëå-
äóþùåì âèäå:
��
�
� �
� �
j j j
j j
d t
t
Q t d t d t
V
d t d t
( , ) ( )[ ( , ) ( , )]
( , ) ( , )�
�
�
�1
,
ãäå � j d t( , ) — íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ ôëîòàöèîííîé àêòèâíîñòè â j-é
êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 31
Íà ïðàêòèêå óñòàíîâëåíî, ÷òî õàðàêòåðèñòèêè ïèòàíèÿ ìåíÿþòñÿ äî-
ñòàòî÷íî ìåäëåííî. Êðîìå òîãî, ïîñêîëüêó ôëîòàöèÿ ÿâëÿåòñÿ óñòîé÷è-
âûì ïðîöåññîì, ýòîò ïðîöåññ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïî÷òè ñòàòè÷åñ-
êèé:
��
�
j d t
t
( , )
�0.  ýòîì ñëó÷àå ïëîòíîñòü êîíöåíòðàöèè â j-é êàìåðå
îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
�
�
�
j
j
j
d
d
V d Q
( )
( )
( ) /
�
�1
1
.
Îñíîâíûìè êîíòðîëèðóåìûìè âûõîäíûìè ïåðåìåííûìè ïðîöåññà
ôëîòàöèè ÿâëÿþòñÿ âûõîä êîíöåíòðàòà
( )t è åãî êà÷åñòâî A tc ( ), ò.å. îòíî-
ñèòåëüíîå ñîäåðæàíèå â êîíöåíòðàòå ìèíåðàëüíûõ ïðèìåñåé. Âåëè÷èíû
ýòèõ ñèãíàëîâ ìîæíî îïðåäåëèòü ïî ôîðìóëàì
� � � �( ) [ ( , ) ( , ) ( , ) ( , )]t V d t d t d t d t dd
j
n
jc jc ja ja�
�
�
�
1 0
, (1)
A t
V d t d t dd
t
c
j
n
ja jc
( )
( , ) ( , )
( )
�
�
�
�
1 0
� �
, (2)
ãäå � jc d t( , ) è � ja d t( , ) — ôóíêöèè ôëîòàöèîííîé àêòèâíîñòè ïîëåçíîãî
êîìïîíåíòà è ìèíåðàëüíûõ ïðèìåñåé â j-é êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû.
Óðàâíåíèÿ (1) è (2) äëÿ äàííîé ñèñòåìû ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèÿìè íàá-
ëþäåíèÿ. Îíè îïðåäåëÿþò çàâèñèìîñòü âûõîäíûõ ñèãíàëîâ îò êîìïîíåíò
âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû. Â ñóùåñòâóþùèõ ìîäåëÿõ ôëîòàöèè ôóíêöèè
� jc d t( , ) è � ja d t( , ) çàâèñÿò òîëüêî îò êðóïíîñòè ÷àñòèö è íå èçìåíÿþòñÿ
ïðè ïåðåõîäå èç êàìåðû â êàìåðó, õîòÿ êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö è âåëè÷èíà
óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé â êàæäîé êàìåðå ðàçëè÷íû. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî èõ
ìîæíî îïðåäåëèòü ýêñïåðèìåíòàëüíî â îäíîé èç êàìåð, à çàòåì ðåçóëüòàòû
èçìåðåíèé èñïîëüçîâàòü ïðè ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòàõ â äðóãèõ êàìåðàõ. Â
ïðåäëàãàåìîé ìîäåëè äëÿ îïðåäåëåíèÿ óêàçàííûõ ôóíêöèé èñïîëüçóåòñÿ
ïîëó÷åííîå ñ ó÷åòîì ôèçè÷åñêèõ ïðîöåññîâ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå
óðàâíåíèå ôëîòàöèè.
Óðàâíåíèå ôëîòàöèè. Ôóíêöèè ôëîòàöèîííîé àêòèâíîñòè� jc d t( , ) è
� ja d t( , ) íàõîäÿòñÿ â ñëîæíîé çàâèñèìîñòè îò âåêòîðà óïðàâëÿþùèõ âîç-
äåéñòâèé u. Åñëè ôëîòàöèÿ ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïðîöåññ ñòàòè÷åñêèé, òî
ìîæíî çàïèñàòü
�
�
�
jx
a j x b
j j x
d
Q d T
r V d
( )
( , )
( )
�
3
4
3
�
,
Î. À. Ïîãîðåëîâ
32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
ãäå Qa — ðàñõîä âîçäóõà, ïîñòóïàþùåãî â êàìåðó ôëîòàöèîííîé ìàøè-
íû; r j — ñðåäíèé ðàäèóñ âîçäóøíûõ ïóçûðüêîâ â j-é êàìåðå ôëîòàöèîí-
íîé ìàøèíû; � j x bd T( , ) — îòíåñåííàÿ ê ýëåìåíòó äèàìåòðà dd ìàññà
çàêðåïëåííûõ íà ïóçûðüêå ÷àñòèö, ðàçìåð êîòîðûõ íàõîäèòñÿ â äèàïàçîíå
îò d äî d + dd, â j-é êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû â ìîìåíò ïåðåõîäà
ïóçûðüêà â ïåíó; x — ëèáî ïîëåçíûå èñêîïàåìûå (c), ëèáî ìèíåðàëüíûå
ïðèìåñè (a); Tb — âðåìÿ ïîäúåìà ïóçûðüêîâ íà ïîâåðõíîñòü.
Ôóíêöèÿ � j x bd T( , ) ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ôóíêöèè � j x d t( , ),
îïèñûâàþùåé ðàñïðåäåëåíèå ìàññ çàêðåïëåííûõ íà ïóçûðüêå ÷àñòèö íà
ïðîèçâîëüíîé ãëóáèíå â êàìåðå ôëîòàöèîííîé ìàøèíû. Ñàìûé íèæíèé
ñëîé èìååò ðàñïðåäåëåíèå � j x d( , )0 0� . Ôóíêöèþ �x d t( , ) ìîæíî íàéòè,
ðåøèâ èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ôëîòàöèè (äëÿ ïðîñòîòû
îïóùåí èíäåêñ j)
��
�
�
� �x
x x x x
cd t
t
K d K d d t K d
t( , )
( ) ( ) ( , ) ( )
( , )
� � �
�
0 1 2
0
3
2 �
� �
�
�
�c
a
a
t d
�
�
�
�
�
�
( , )
.
(3)
Çäåñü
K d r K dx j x0
2
2
4( ) ( )� � ; K d
v L d
x
b j x
t
1
( )
( )
�
�
;
K d u d P d dx r jx jx
f
2
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
� � ;
�
jx
f[ ]
— ôóíêöèÿ, îïèñûâàþùàÿ êîíöåíòðàöèþ ñâîáîäíûõ (íå çàêðåïëåí-
íûõ íà ïóçûðüêàõ) ÷àñòèö â ïóëüïå; vb — ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ïîäúåìà
ïóçûðüêîâ íà ïîâåðõíîñòü; � t — ïðîñòðàíñòâåííûé ìèêðîìàñøòàá òóð-
áóëåíòíîñòè; L a aj x x p� � � �ln ( exp( / ))1 , ãäå ax — êðèòè÷åñêîå óñêîðåíèå,
ïðè êîòîðîì ÷àñòèöà ðàçìåðîì d è ïëîòíîñòüþ� x îòîðâåòñÿ îò ïóçûðüêà,
a
d
x
x
x
�
�3 1
2
�
�
( cos )�
;
�x — êðàåâîé óãîë ñìà÷èâàíèÿ ïîâåðõíîñòè ÷àñòèöû; � — âåëè÷èíà ïî-
âåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ âîäû; a up t� 4
2
/� ; u — ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ñêî-
ðîñòü ïóëüñàöèé æèäêîñòè; u dr ( ) — ñðåäíåêâàäðàòè÷íàÿ ñêîðîñòü ïóëü-
ñàöèé ÷àñòèö îòíîñèòåëüíî ïóçûðüêà;
P d
v
u
jx
x
r
( ) exp� �
�
�
�
�
�
�
�
�
1
6
3
2
2
2
�
;
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 33
v
d
x
x
x
��
�
�
12
3
� �( )
— êðèòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü, ïðè ïðåâûøåíèè êîòîðîé
÷àñòèöà ñïîñîáíà ðàçðóøèòü ãèäðàòíóþ îáîëî÷êó ïóçûðüêà; � — òîëùèíà
ãèäðàòíîé îáîëî÷êè;
� �
� � � � � � �
( )
[ sin cos sin cos ( cos ) ]
(
x
x x x x x x x
�
� � �
2 2 2
2 2 1
1
3
�cos )�x
.
Èíòåãðàë â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (3), óìíîæåííûé íà êîýôôèöèåíò
3/2, ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ïóçûðüêà, çàíÿòîé ïðèêðåïèâ-
øèìèñÿ ÷àñòèöàìè. Ôîðìóëà (3) ïîëó÷åíà íà îñíîâàíèè ñëåäóþùèõ ñîîá-
ðàæåíèé. Ýëåìåíòàðíîå èçìåíåíèå ìàññû çàêðåïëåííûõ íà ïóçûðüêàõ
÷àñòèö çàäàííîãî äèàìåòðà ïðîïîðöèîíàëüíî ðàçíîñòè ÷èñëà ÷àñòèö ýòîãî
äèàìåòðà, ïðèêðåïèâøèõñÿ ê ïóçûðüêàì ýëåìåíòàðíîãî ñëîÿ è îòîðâàâ-
øèõñÿ îò ïóçûðüêîâ çà âðåìÿ dt. Ñâîáîäíàÿ îò ÷àñòèö ïîâåðõíîñòü ïóçûðü-
êà â ìîìåíò âðåìåíè t ðàâíà
4
3
2
2
0
�
� �
�
� �
�
�
�
r
t t dc
c
a
a
�
�
�
�
�
�
�
�
( , ) ( , )
.
Ìàññà ÷àñòèö ðàçìåðà d, çàêðåïèâøèõñÿ íà ïóçûðüêå çà âðåìÿ dt, îòíå-
ñåííàÿ ê ýëåìåíòó äèàìåòðà dd, ïðîïîðöèîíàëüíà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòè
ïóçûðüêà:
4
3
2
2
0
�
� �
�
� �
�
�
�
r
t t d
u dj
c
c
a
a
r�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
!
"
�
( , ) ( , )
( ) P d d dtj j
f
( ) ( )
[ ]
� .
Ìàññà ÷àñòèö (ïðèâåäåííàÿ ê ýëåìåíòó dd), êîòîðàÿ îòîðâåòñÿ îò ïóçûðüêà
çà âðåìÿ dt, ðàâíà
�
�
j
b j
t
d t
v L d dt
( , )
( )
.
Âû÷èòàÿ óáûëü èç ïðèáûëè, ïîëó÷àåì èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâ-
íåíèå (3).
Óïðàâëÿþùèå âîçäåéñòâèÿ êîñâåííûì îáðàçîì âõîäÿò â óðàâíåíèå
ôëîòàöèè. Êðàåâîé óãîë ñìà÷èâàíèÿ ÷àñòèö �x çàâèñèò îò ðàñõîäà ðåàãåíòà-
ñîáèðàòåëÿ, à âåëè÷èíà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ � — îò ðàñõîäà ðåà-
ãåíòà-ïåíîîáðàçîâàòåëÿ. Ñêîðîñòü âðàùåíèÿ èìïåëëåðîâ âëèÿåò íà ðàñõîä
âîçäóõàQa è õàðàêòåðèñòèêè òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ ïóëüïû� t , u, u dr ( ).
Î. À. Ïîãîðåëîâ
34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
Èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ôëîòàöèè (3) ìîæíî ïðåîáðà-
çîâàòü â èíòåãðàëüíîå óðàâíåíèå Âîëüòåððû ñ ðåãóëÿðíûì ðàçíîñòíûì
ÿäðîì:
� � #
�
�
�
� #
x
t
x
c
K t
c
ad t d
K e Kc
( , ) ( , )
( ) (
( )( )
� � �
0 0
2 23
2
1 )
( )( )
e d
d
K t
a
a� �
�
�
�
!
"
�
�
�
!
"
�
1
� #
�
�
�
#
�
�
�
K d e
K d
x
K d t
x
x
0
1
1 1( )( )
( )
( )
.
Ðåøèòü åãî ìîæíî òîëüêî ÷èñëåííî, ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ �
jx
f d[ ]
( ), âõîäÿùàÿ
â âûðàæåíèå äëÿ K dx2
( ), ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîëüíûì ðàñïðåäåëåíèåì è çàðà-
íåå íåèçâåñòíà.
Âåðèôèêàöèÿ ìîäåëè. Äëÿ ïðîâåðêè ìîäåëè áûëà ñîçäàíà êîìïüþ-
òåðíàÿ ïðîãðàììà, ïîçâîëèâøàÿ ÷èñëåííî ðàññ÷èòàòü ðåçóëüòàòû ôëîòà-
öèè óãëÿ ïî çàäàííûì âõîäíûì õàðàêòåðèñòèêàì ïèòàíèÿ, ÷òîáû çàòåì
ñðàâíèòü èõ ñ äàííûìè, ïîëó÷åííûìè ýêñïåðèìåíòàëüíî.  ðàáîòå [14]
ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèé ïðîöåññà ôëîòàöèè íà ôëîòàöèîí-
íîé ìàøèíå ÌÔÓ2-63 ïðè ñëåäóþùèõ õàðàêòåðèñòèêàõ ïèòàíèÿ: ðàñõîä
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 35
2
4
6
8
Ac
Ac1 x( )
2$10
4
4$10
4
6$10
4
8$10
4
0,001
40
60
80
At1 x( )
Qf x%
Ac
At
At
à
á
Ðèñ. 1. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ (ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ) è ñìîäåëèðîâàííàÿ (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ)
çàâèñèìîñòè çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà (a) è îòõîäîâ (á) îò ðàñõîäà ïåíîîáðàçîâàòåëÿ
èñõîäíîé ïóëüïû Q
0
01� , ì
3
/ñ; çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà A �17 7, %; êîíöåíò-
ðàöèÿ òâåðäîãî â ïèòàíèè C �101 êã/ì
3
. Ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â âèäå
óðàâíåíèé ðåãðåññèè, îïèñûâàþùèõ çàâèñèìîñòè çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà
Ac è îòõîäîâ At (%) îò ðàñõîäîâ ðåàãåíòà-ïåíîîáðàçîâàòåëÿ Q f è ðåàãåíòà-
ñîáèðàòåëÿ Qk (êã/c):
A Q Q Qc f f f( ) ,� �2 67 5820 1070000
2
; (4)
A Q Q Qt f f f( ) ,� �50 4 12460 1600000
2
; (5)
A Q Q Qc k k k( ) ,� �522 350 11200
2
; (6)
A Q Q Qt k k k( ) , ,� �5299 405 7 3678
2
. (7)
Íà ðèñ. 1 è 2 ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé (4) — (7) è ñîîò-
âåòñòâóþùèå èì êðèâûå, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðíîé ìîäåëè
ïðè îäèíàêîâûõ õàðàêòåðèñòèêàõ ïèòàíèÿ. Ïîñêîëüêó äåòàëüíîé èíôîð-
ìàöèè î ãðàíóëîìåòðè÷åñêîì ñîñòàâå èñõîäíîãî øëàìà â ðàáîòå [14] íå
ïðèâåäåíî, ïðè ðàñ÷åòàõ ïðèíÿò ëîãàðèôìè÷åñêè-íîðìàëüíûé çàêîí ðàñ-
ïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè dg �5 ìêì, ln� �1, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íåêîòî-
ðîìó ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêîìó ðàñïðåäåëåíèþ.
Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, 2, ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ äîñòàòî÷íî õîðîøî
ñîãëàñóþòñÿ ñ äàííûìè èññëåäîâàíèé. Îäíàêî ïðåäñòàâëåííàÿ íà ðèñ. 2, à
Î. À. Ïîãîðåëîâ
36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
4
6
Ac
Ac
x( )
40
60
At1 x( )
Qk x%
Ac1
At
At
à
á
0 0,005 0,01 0,015
Ðèñ. 2. Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ (ïóíêòèðíàÿ êðèâàÿ) è ñìîäåëèðîâàííàÿ (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ)
çàâèñèìîñòè çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà (a) è îòõîäîâ (á) îò ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ
çàâèñèìîñòü çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà Àñ îò ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ Qk íåìíîãî
îòëè÷àåòñÿ îò äðóãèõ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàííûå ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì,
÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà âîçðàñòàåò
äàæå ïðè ñàìûõ íåçíà÷èòåëüíûõ ðàñõîäàõ ñîáèðàòåëÿ. Ìîäåëèðóåìàÿ
êðèâàÿ íå îòëè÷àåòñÿ ïîäîáíîé ìîíîòîííîñòüþ. Ñ óâåëè÷åíèåì ðàñõîäà ñî-
áèðàòåëÿ çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà âíà÷àëå íåìíîãî óìåíüøàåòñÿ, à çàòåì, äîñ-
òèãíóâ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ, íà÷èíàåò ìåäëåííî âîçðàñòàòü (íà ðèñ. 2, à
ýòîãî íå âèäíî, ïîñêîëüêó äèàïàçîí èçìåíåíèÿ ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ íåäî-
ñòàòî÷íî âåëèê). Îäíàêî ðàçíîñòü ìîäåëèðóåìûõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ
çíà÷åíèé çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà â ëþáîì ñå÷åíèè íå ïðåâûøàåò äâóõ
ïðîöåíòîâ.
Âèä ìîäåëüíîé êðèâîé ìîæíî îáúÿñíèòü òåîðåòè÷åñêè. Ïðè ìàëûõ
ðàñõîäàõ ñîáèðàòåëÿ êàïåëüêè ðåàãåíòà çàêðåïëÿþòñÿ ïðåèìóùåñòâåííî
íà ïëîõî ñìà÷èâàåìûõ âîäîé óãîëüíûõ ÷àñòèöàõ. Âñëåäñòâèå ýòîãî êðàå-
âîé óãîë ñìà÷èâàíèÿ ïîâåðõíîñòè ýòèõ ÷àñòèö åùå áîëåå âîçðàñòàåò è èõ
îòíîñèòåëüíîå êîëè÷åñòâî â êîíöåíòðàòå óâåëè÷èâàåòñÿ. Ýòî äîëæíî ïðè-
âîäèòü ê ñíèæåíèþ çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà ïðè óâåëè÷åíèè ðàñõîäà ñîáè-
ðàòåëÿ. Ïîêà ïðîèñõîäèò ïðîöåññ óâåëè÷åíèÿ êðàåâîãî óãëà ñìà÷èâàíèÿ
óãîëüíûõ ÷àñòèö, çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà óìåíüøàåòñÿ. Êîãäà ïîâåðõíîñòü
êðóïíûõ óãîëüíûõ ÷àñòèö ïîëíîñòüþ ïîêðûâàåòñÿ ðåàãåíòîì (ìåëêèå ÷àñ-
òèöû õóæå âçàèìîäåéñòâóþò ñ íèì âñëåäñòâèå ëåãêîñòè è ñëàáîé èíåð-
öèîííîñòè), çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà ïðè óâåëè÷åíèè ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ
âíà÷àëå ñòàáèëèçèðóåòñÿ, à çàòåì ìåäëåííî âîçðàñòàåò âñëåäñòâèå çàêðåï-
ëåíèÿ íåêîòîðîãî êîëè÷åñòâà ñîáèðàòåëÿ íà çîëîîáðàçóþùèõ ÷àñòèöàõ â
óñëîâèÿõ ïîâûøåííîé êîíöåíòðàöèè ñîáèðàòåëÿ â ïóëüïå.
Ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñâèäåòåëüñòâóåò îá îòñóòñò-
âèè èçáèðàòåëüíîãî âîçäåéñòâèÿ ñîáèðàòåëÿ äàæå â îáëàñòè ìàëûõ çíà-
÷åíèé ðàñõîäîâ ýòîãî ðåàãåíòà. Ïî-âèäèìîìó, ðàçëè÷èå ìåæäó òåîðåòè-
÷åñêèìè è ýêñïåðèìåíòàëüíûìè ðåçóëüòàòàìè ìîæíî îáúÿñíèòü òåì, ÷òî
èññëåäîâàíèÿ íà îáîãàòèòåëüíûõ ôàáðèêàõ îñóùåñòâëÿþòñÿ â îñíîâíîì
ïàññèâíûì ìåòîäîì, ïðè ýòîì ðàñõîä ðåàãåíòà è çîëüíîñòü êîíöåíòðàòà
ìîãóò èçìåíÿòüñÿ â î÷åíü óçêèõ ïðåäåëàõ. Òî, ÷òî ïðîèñõîäèò çà ïðåäå-
ëàìè ýòîãî äèàïàçîíà, íåäîñòóïíî èññëåäîâàíèþ. Êðîìå òîãî, äèñïåðñèÿ
ðåãèñòðèðóåìûõ çíà÷åíèé çîëüíîñòè ñîèçìåðèìà ñ äèàïàçîíîì íàáëþ-
äåíèÿ, à ýòî ïðèâîäèò ê íåóñòîé÷èâîñòè ïîëó÷àåìûõ ðåçóëüòàòîâ.
Âûâîä. Ïîëó÷åííîå èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå ôëîòàöèè
ïîçâîëÿåò îáîñíîâàííî îïðåäåëÿòü ôóíêöèè ôëîòàöèîííîé àêòèâíîñòè
÷àñòèö â ðàçëè÷íûõ êàìåðàõ ôëîòàöèîííîé ìàøèíû.  ïðåäëîæåííîé
ìîäåëè ïåðåìåííûìè ñîñòîÿíèÿ ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî êîíöåíòðàöèè ÷àñòèö
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 37
îïðåäåëåííîãî ìàòåðèàëà è ðàçìåðà, íî è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôëîòà-
öèîííûå àêòèâíîñòè, êîòîðûå çàâèñÿò êàê îò óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé,
òàê è îò ãðàíóëîìåòðè÷åñêîãî ñîñòàâà òâåðäîé ôàçû.
Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ìîäåëüíûõ ðàñ÷åòîâ ñ ðåçóëüòàòàìè ýêñïåðè-
ìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ñâèäåòåëüñòâóåò î äîñòàòî÷íî òî÷íîì ñîîò-
âåòñòâèè çàâèñèìîñòåé çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà è îòõîäîâ îò ðàñõîäà ïåíî-
îáðàçîâàòåëÿ, à òàêæå çîëüíîñòè îòõîäîâ îò ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ. Íàèáîëüøåå
ðàñõîæäåíèå îáíàðóæèâàåòñÿ â ñëó÷àå çàâèñèìîñòè çîëüíîñòè êîíöåíòðàòà
îò ðàñõîäà ñîáèðàòåëÿ. Âîçìîæíî, ïðè÷èíîé ðàñõîæäåíèÿ ÿâëÿþòñÿ êàêèå-òî
òîíêèå ôèçè÷åñêèå (èëè õèìè÷åñêèå) ïðîöåññû, êîòîðûå íå ó÷òåíû òåîðå-
òè÷åñêè íà äàííîé ñòàäèè ìîäåëèðîâàíèÿ.
The problem of flotation circuit modeling with accordance to the real physics of the process was
given and solved. A new model contains both the equation of the material balance (used in proto-
type models) and the integral-differential equation of the flotation process that was formulated by
the author. The latter equation helps to determine the flotation activity of different fractions of the
enriched material.
1. Zuniga G. H. Flotation Recovery as an Exponential Function of its Rate // «Boletin Minera-
logico Sociedad: Nàcional Mineria». — 1935. — N 47. — P. 83—86.
2. Áåëîãëàçîâ Ê. Ô. Êèíåòèêà ôëîòàöèîííîãî ïðîöåññà//Òåç. äîêë. ñåññèè ïî ôèçèêî-
õèìè÷åñêèì ïðîáëåìàì îáîãàùåíèÿ. — Ì. : 1938. — Ñ. 12–13.
3. Grunder W., Kadur E. The Relation Between Froth Surface and Volume in Flotation Cells//
Metallurgie und Erzaufbereitung. — 1940. — V. 37. — P. 367—372.
4. Ïîãîðåëûé À. Ä. Ãðàíèöû èñïîëüçîâàíèÿ êèíåòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ôëîòàöèè
Ê.Ô. Áåëîãëàçîâà // Èçâ. âóçîâ. Öâåòíàÿ ìåòàëëóðãèÿ. — 1962. — ¹ 1. — C. 34—40.
5. Pitt J. Ñ. The Development of Systems for Continuous Optimal Control of Flotation Plants
by Computer//Electronic Engineering (Transaction of the Australian Engineers Institute). —
1969. — V. 5, N 1. — P. 229—235.
6. Amsden M.P., Chapman C., Reading M.G. Computer Control of Flotation at Ecstail//Cana-
dian Mining Journal. — 1973. — V. 94, N 6. — P. 46—57.
7. Konigsmann K. V., Hendriks D. W., Daoust C. Computer Control of Flotation at Matta-
gami Lake Mines // Canadian Mining and Bulldoze. — 1976. — V. 69, ¹ 767. — P. 117—
121.
8. Áëàãîâ È. Ñ., Äåáåðäååâ È. Õ. Ðåàãåíòû äëÿ ôëîòàöèè óãëåé//Ñá. «Ôëîòàöèîííûå
ðåàãåíòû». — Ì. : Íàóêà, 1986. — 248 c.
9. Êðîõèí Ñ. È. Î ôëîòàöèîííîé àêòèâíîñòè ìèíåðàëüíûõ ÷àñòèö // Èçâ. âóçîâ. Öâåòíàÿ
ìåòàëëóðãèÿ. — 1963. — ¹ 6. — C. 41—50.
10. Ðóáèíøòåéí Þ. Á., Ôèëèïïîâ Þ. À. Êèíåòèêà ôëîòàöèè. — Ì. : Íåäðà, 1980. —
375 ñ.
11. Adel G.T., Luttrell G.H. An Advanced Control System for Fine Coal Flotation. — Vir-
ginia: Department of Mining and Minerals Engineering Polytechnic Institute and State Uni-
versity Blacksburg, 2000. — 6 p.
Î. À. Ïîãîðåëîâ
38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
12. Runge K.C., Franzidis J.P., Manlapig E.V., Harris M.C. Structuring a Flotation Model for
Robust Prediction of Flotation Circuit Performance // XXII International Mineral Processing
Congress. 29 September — 3 October 2003. — Cape Town, South Africa, 2003 — P. 973—
984.
13. Jowett A. The Development of Sludge in Froth Flotation//De Ingenieur (Nederlands). —
1969. — V. 81, N 38. — P. M11–M17.
14. Âëàñîâ Ê.Ï. Îñíîâû àâòîìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ òåõíîëîãè÷åñêèìè ïðîöåññàìè îáî-
ãàùåíèÿ óãëÿ. – Ì.: Íåäðà, 1985. – 188 ñ.
Ïîñòóïèëà 06.10.08;
ïîñëå äîðàáîòêè 18.05.09
ÏÎÃÎÐÅËΠÎëåã Àëåêñååâè÷, êàíä. òåõí. íàóê, äîöåíò êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ íàóê Âîñòî÷íî-
óêðàèíñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà èì. Â. Äàëÿ.  1979 ã. îêîí÷èë Âîðîøèëîâãðàäñêèé
ìàøèíîñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ìîäåëèðîâàíèå òåõíîëîãè÷åñêèõ
ïðîöåññîâ îáîãàùåíèÿ ïîëåçíûõ èñêîïàåìûõ, ñîçäàíèå ñèñòåì óïðàâëåíèÿ ýòèìè ïðîöåññàìè.
Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ïðîöåññà ôëîòàöèè â ïðîñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 39
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101513 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-11-29T13:04:41Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Погорелов, О.А. 2016-06-04T10:13:45Z 2016-06-04T10:13:45Z 2009 Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний / О.А. Погорелов // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 29-39. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101513 004.942:622.765 Поставлена и решена задача создания математической модели процесса флотации, которая по сравнению с существующими точнее отображает реальные физические процессы. Предлагаемая модель содержит уравнение материального баланса, используемое в моделях-прототипах, и полученное автором интегро-дифференциальное уравнение флотации, позволяющее определять флотационную активность различных фракций обогащаемого материала. Поставлено та розв’язано задачу створення математичної моделі процесу флотації, яка у порівнянні з існуючими точніше відображує реальні фізичні процеси. Запропонована модель містить рівняння матеріального балансу, що використовується у моделях-прототипах, і отримане автором інтегро-дифференціальне рівняння флотації, яке дозволяє визначати флотаційну активність різних фракцій збагачуваного матеріалу. The problem of flotation circuit modeling with accordance to the real physics of the process was given and solved. A new model contains both the equation of the material balance (used in prototype models) and the integral-differential equation of the flotation process that was formulated by the author. The latter equation helps to determine the flotation activity of different fractions of the enriched material. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Математические методы и модели Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний Mathematical Model of Flotation Process in the Space of States Article published earlier |
| spellingShingle | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний Погорелов, О.А. Математические методы и модели |
| title | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| title_alt | Mathematical Model of Flotation Process in the Space of States |
| title_full | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| title_fullStr | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| title_full_unstemmed | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| title_short | Математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| title_sort | математическая модель процесса флотации в пространстве состояний |
| topic | Математические методы и модели |
| topic_facet | Математические методы и модели |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101513 |
| work_keys_str_mv | AT pogorelovoa matematičeskaâmodelʹprocessaflotaciivprostranstvesostoânii AT pogorelovoa mathematicalmodelofflotationprocessinthespaceofstates |