Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии
Численно решена задача однопараметрической минимизации константы устойчивости по критерию В. Б. Андреева для m-стадийных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка с самосопряженным эллиптическим оператором. Оптимизируемые методы р...
Saved in:
| Published in: | Электронное моделирование |
|---|---|
| Date: | 2009 |
| Main Author: | |
| Format: | Article |
| Language: | Russian |
| Published: |
Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
2009
|
| Subjects: | |
| Online Access: | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101519 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Cite this: | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии / С.З. Шихалиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 97-103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| _version_ | 1860187783579041792 |
|---|---|
| author | Шихалиев, С.З. |
| author_facet | Шихалиев, С.З. |
| citation_txt | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии / С.З. Шихалиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 97-103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| collection | DSpace DC |
| container_title | Электронное моделирование |
| description | Численно решена задача однопараметрической минимизации константы устойчивости по критерию В. Б. Андреева для m-стадийных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка с самосопряженным эллиптическим оператором. Оптимизируемые методы реализованы по алгоритму полиномиального ускорения. Оптимизация методов выполнена с помощью уменьшения на единицу максимально возможного порядка аппроксимации операторной экспоненты.
Чисельно розв’язано задачу однопараметричної мінімізації константи стійкості по критерію В. Б. Андрєєва для m-стадійних різницевих методів підвищеної точності розв’язку початково-крайових задач для параболічних рівнянь другого порядку з самосполученим еліптичним оператором. Методи, що оптимізуються, реалізовано за алгоритмом поліноміального прискорення. Оптимізацію методів виконано за допомогою зменшення на одиницю максимально можливого порядку апроксимації операторної експоненти.
A numerical solution is presented for the problem of one-parameter minimization of the stability constant by V.B.Andreyev criterion for m-stage difference methods of high-accuracy solution of initial-boundary problems for the 2nd order parabolic equations with self-conjugated elliptic operator. The optimized methods are realized by the algorithm of polynomial acceleration. The methods optimization is performed at the expense of a decrease by one of the maximum possible approximation order of the operator exponent.
|
| first_indexed | 2025-12-07T18:05:05Z |
| format | Article |
| fulltext |
ÓÄÊ 517.949.8
Ñ. Ç. Øèõàëèåâ
Èí-ò ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ
â ýíåðãåòèêå èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû
(Óêðàèíà, 03164, Êèåâ, óë. Ãåíåðàëà Íàóìîâà, 15,
òåë. (044) 4241063; E-mail: ipme@ipme.kiev.ua)
Îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ
ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ
ìåòîäîâ ïîâûøåííîé òî÷íîñòè ðåøåíèÿ
íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ òèïà äèôôóçèè
×èñëåííî ðåøåíà çàäà÷à îäíîïàðàìåòðè÷åñêîé ìèíèìèçàöèè êîíñòàíòû óñòîé÷èâîñòè ïî
êðèòåðèþ Â. Á. Àíäðååâà äëÿ m-ñòàäèéíûõ ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ïîâûøåííîé òî÷íîñòè
ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà ñ ñàìî-
ñîïðÿæåííûì ýëëèïòè÷åñêèì îïåðàòîðîì. Îïòèìèçèðóåìûå ìåòîäû ðåàëèçîâàíû ïî
àëãîðèòìó ïîëèíîìèàëüíîãî óñêîðåíèÿ. Îïòèìèçàöèÿ ìåòîäîâ âûïîëíåíà ñ ïîìîùüþ
óìåíüøåíèÿ íà åäèíèöó ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè îïåðàòîðíîé
ýêñïîíåíòû.
×èñåëüíî ðîçâ’ÿçàíî çàäà÷ó îäíîïàðàìåòðè÷íî¿ ì³í³ì³çàö³¿ êîíñòàíòè ñò³éêîñò³ ïî êðè-
òåð³þ Â. Á. Àíäðººâà äëÿ m-ñòàä³éíèõ ð³çíèöåâèõ ìåòîä³â ï³äâèùåíî¿ òî÷íîñò³ ðîçâ’ÿçêó
ïî÷àòêîâî-êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü äðóãîãî ïîðÿäêó ç ñàìîñïîëó÷åíèì
åë³ïòè÷íèì îïåðàòîðîì. Ìåòîäè, ùî îïòèì³çóþòüñÿ, ðåàë³çîâàíî çà àëãîðèòìîì ïîë³íî-
ì³àëüíîãî ïðèñêîðåííÿ. Îïòèì³çàö³þ ìåòîä³â âèêîíàíî çà äîïîìîãîþ çìåíøåííÿ íà
îäèíèöþ ìàêñèìàëüíî ìîæëèâîãî ïîðÿäêó àïðîêñèìàö³¿ îïåðàòîðíî¿ åêñïîíåíòè.
Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è, ïàðàáîëè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, ðàçíîñòíûå
ìåòîäû, ïîâûøåííàÿ òî÷íîñòü, óñòîé÷èâîñòü.
Ïðåäâàðèòåëüíûå çàìå÷àíèÿ. Íà÷àëüíî-êðàåâûå çàäà÷è (ÍÊÇ) äëÿ ïàðà-
áîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé 2-ãî ïîðÿäêà âèäà ut = L (u) — îäèí èç ñàìûõ ðàñ-
ïðîñòðàíåííûõ â ïðèëîæåíèÿõ êëàññîâ çàäà÷ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè [1],
à ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èõ ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ âàæ-
íîé ïðèêëàäíîé ïðîáëåìîé. Äëÿ åå ðåøåíèÿ â ðàáîòå [2] ïðåäëîæåí
ñïîñîá ïîâûøåíèÿ ýôôåêòèâíîñòè ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ÍÊÇ, ïðè
èñïîëüçîâàíèè êîòîðîãî òðåáóåòñÿ ñâåäåíèå èñõîäíîé çàäà÷è ê ëèíåéíîé
äëÿ óðàâíåíèÿ u Lut � ñ ïîñòîÿííûì îïåðàòîðîì L : H�H, äåéñòâóþùèì
â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå H ôóíêöèé u u x t� ( , ) ïðîñòðàíñòâåííîé ïå-
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 97
�������
�
����
ðåìåííîé x Rx� ��
3
è âðåìåíè t � �t = [0, T].  ðåçóëüòàòå ïîëó÷åíà
âîçìîæíîñòü ðåøåíèÿ ýòèõ çàäà÷ ìåòîäàìè ïîâûøåííîé òî÷íîñòè îòíîñè-
òåëüíî øàãà äèñêðåòèçàöèè ïî âðåìåíè.
Íåêîòîðûå àâòîðû òðàêòóþò óêàçàííûé ïîäõîä êàê ìåòîä ïðÿìûõ â
óïðîùåííîé èíòåðïðåòàöèè. Íàïðèìåð, â ðàáîòå [3] R. Wait õàðàêòåðèçóåò
ýòîò ìåòîä òàê: «Óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ … ñâîäèòñÿ ê ñèñòåìå
îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïðîñòîé çàìåíîé ïðîèçâîä-
íûõ �/�xi ïî êîîðäèíàòàì êîíå÷íî-ðàçíîñòíûìè àíàëîãàìè ... Îñíîâíîå
ïðåèìóùåñòâî ïðåâðàùåíèÿ óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè â æåñò-
êóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé çàêëþ÷àåòñÿ â
òîì, ÷òî äëÿ íåå ñóùåñòâóþò õîðîøî ðàçðàáîòàííûå àëãîðèòìû. Ïðè ýòîì
îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì ïîëó÷èòü ýôôåêòèâíûé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíå-
íèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ …».
Àëãîðèòì, ïðèâåäåííûé â ðàáîòå [2] è íàçâàííûé ïîçæå àëãîðèòìîì
ïîëèíîìèàëüíîãî óñêîðåíèÿ (ÀÏÓ) [4] ðåøåíèÿ ïîëóäèñêðåòíûõ ðàçíîñò-
íûõ ÍÊÇ, òàêæå ìîæåò áûòü îòíåñåí ê ìåòîäó ïðÿìûõ, íî ëèøü â òîì
ñìûñëå, ÷òî äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ìåòîäîâ, ðåàëèçóåìûõ ýòèì àëãîðèò-
ìîì, òàê æå êàê è â âûñîêîòî÷íûõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ
äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (ÑÎÄÓ), èñïîëüçóþòñÿ âûñîêîòî÷íûå
àïïðîêñèìàöèè ýêñïîíåíöèàëüíîé ôóíêöèè e� ,
0 . Â îñòàëüíîì ìåòî-
äû, îïèñàííûå â ðàáîòå [2], ïðèíöèïèàëüíî îòëè÷àþòñÿ îò ìåòîäà ïðÿìûõ
â èíòåðïðåòàöèè àâòîðîâ ðàáîòû [3], èáî ðàññ÷èòàíû íà ðåøåíèå çàäà÷
èíîé ïðèðîäû: ðåøåíèÿ ÑÎÄÓ ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè êîíå÷íîìåðíîãî
ïðîñòðàíñòâà, à ðåøåíèÿ ÍÊÇ – ôóíêöèîíàëüíûõ ïðîñòðàíñòâ.
Èìåííî ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ýôôåêòèâíî èñïîëüçîâàíî â ïðèëîæåíèÿõ
ìåòîäà ýêñòðàïîëÿöèè ïî Ðè÷àðäñîíó ê ïðèêëàäíûì çàäà÷àì ìàòåìàòè-
÷åñêîé ôèçèêè [5] è ïîëîæåíî â îñíîâó ìåòîäîâ, ðåàëèçóåìûõ ÀÏÓ.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â ïåðâîì ñëó÷àå â ñèëó òåîðåìû ýêâèâàëåíòíîñòè
äîñòàòî÷íî óñòàíîâèòü ñõîäèìîñòü ìåòîäà â íîðìå êàêîãî-ëèáî îäíîãî
ïðîñòðàíñòâà (íàïðèìåð, â íîðìå åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà En
), à âî âòî-
ðîì — èç ñõîäèìîñòè â ïðîñòðàíñòâå B
h
( )1
íèêîèì îáðàçîì íå ñëåäóåò
ñõîäèìîñòü â B
h
( )2
, åñëè ïîñëåäíåå íå âëîæåíî â ïåðâîå.
 ÷àñòíîñòè, èç ñõîäèìîñòè ñåòî÷íûõ ðåøåíèé â Íh íå ñëåäóåò èõ
ñõîäèìîñòü â ðàâíîìåðíîé ìåòðèêå [6]. Íàïðèìåð èç ñõåì ñ âåñàìè (0 �
� � � 1) ìîíîòîííà ëèøü ñõåìà ñ îïåðåæåíèåì (� = 1) [7], à ìåòîäû,
îïèñàííûå â [2], êàê è ëþáûå äðóãèå ëèíåéíûå ìåòîäû ïîâûøåííîé
òî÷íîñòè, íå ìîãóò áûòü ìîíîòîííûìè â ïðèíöèïå [8].  ñâÿçè ñ ýòèì
î÷åâèäíûé ïðàêòè÷åñêèé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò çàäà÷à îïòèìèçàöèè ìåòîäîâ,
ïðèâåäåííûõ â [2], ñ öåëüþ ïðèáëèçèòü èõ ñòàáèëèçàöèîííûå ñâîéñòâà ê
óïîìÿíóòîìó ñâîéñòâó ñõåìû ñ îïåðåæåíèåì.
Ñ. Ç. Øèõàëèåâ
98 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
Íà äàííîì ýòàïå èññëåäîâàíèé ðåøèòü ýòó çàäà÷ èñ÷åðïûâàþùèì
îáðàçîì íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì ââèäó åå ñëîæíîñòè. Ïîýòîìó èç-
ëîæåíèå îãðàíè÷åíî ôîðìóëèðîâêîé è ÷èñëåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è ëèøü
îäíîïðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ ìåòîäîâ â
óêàçàííîì âûøå ñìûñëå. Äëÿ ýòîãî èñïîëüçîâàí êðèòåðèé óñòîé÷èâîñòè
[9], èñïîëüçóåìûé ïðèìåíèòåëüíî ê ìåòîäàì èç ðàáîòû [2].
Óñòîé÷èâîñòü ïî Â. Á. Àíäðååâó [9]. Ïóñòü ðåøåíèþ ïîäëåæèò ÍÊÇ
u ut xx� , x x� �� [ , ]0 1 , t Tt� �� [ , ]0 ,
u x u x( , ) ( )0
0
� , u t u t( , ) ( , )0 1 0� �
(1)
è äëÿ åå ðåøåíèÿ ïðèìåíÿåòñÿ óñòîé÷èâûé â Í m-ñòàäèéíûé ìåòîä [2]:
u r u
h
j
m h h
j
�
1
( )A , (2)
ãäå u
h
j
— ñåòî÷íîå ðåøåíèå çàäà÷è (1), îïðåäåëåííîå íà ñåòêå�h i ix x� �{ |
� � �ih i n nh, , ; }0 1 â ìîìåíò âðåìåíè t t t j j N N Tj j j� � � � �� � �
�
{ | , , ; }0 ,
( ~ ( , ))u u x t
h
j
i j , A Ah h�� , ( ) ( ) /Ah h i i i iu u u u h� �
�
1 1
2
2 .
Ôóíêöèÿ ñïåêòðàëüíîé óñòîé÷èâîñòè [10] ìåòîäà (2) èìååò âèä
r a rm s
m s
s
m
( ) ( )
( )
�
�
� 1
1
, ��� , ��Sp( )Ah ,
(3)
ãäå r
1
1 1( ) / ( ) �
— ñèìâîë íåÿâíîãî áàçîâîãî ìåòîäà («ñõåìû ñ îïåðå-
æåíèåì»), � � �
; � — âåùåñòâåííûé ïîëîæèòåëüíûé ïàðàìåòð, îïðå-
äåëÿåìûé, êàê è âåñîâûå êîýôôèöèåíòû as
m( )
(s m�1, , m =1, 2, …), â ñîîò-
âåòñòâèè ñ âûáðàííûì ïðèíöèïîì àïïðîêñèìàöèè ýêñïîíåíöèàëüíîé
ôóíêöèè e� ( � 0) — ñèìâîëà òî÷íîãî ðåøåíèÿ ïîëóäèñêðåòíîãî àíàëîãà
çàäà÷è (1).
 ñîîòâåòñòâèè ñ êðèòåðèåì óñòîé÷èâîñòè [9] ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ôóíêöèè u u x t� ( , ) è u0
(x) â (1) ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâàì ñîîòâåòñò-
âåííî W
x t xt, ; ;*
,
( )
2
2 1
� , � � �xt x t� � è W x2
1
( )� . Òîãäà ñõåìà (2) îáúÿâëÿåòñÿ óñ-
òîé÷èâîé ñîãëàñíî [9] (Ì-óñòîé÷èâîé [11]), åñëè åå ðåøåíèå óäîâëåò-
âîðÿåò îöåíêå
u M u
h
j
h
2 1
2
2 0
1
2
, ;*
� , (4)
ãäå íîðìû â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâà — ñåòî÷íûå àíàëîãè íîðì
ñîîòâåòñòâåííî â ïðîñòðàíñòâàõ W
x t xt, ; ;*
,
( )
2
2 1
� è W x2
1
( )� . Ïåðâàÿ èç íèõ
çàïèñûâàåòñÿ â ñëåäóþùåì âèäå [9]:
u u u u
h
t
T
h h t h t
2 1
2
2
2
0
2
1
2
, ;*
( ) ( )�
�
��
�
��
�
�� �
�
.
Îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 99
Ïîñòîÿííóþ Ì èç (4) ñ ó÷åòîì ïðèíÿòûõ âûøå îáîçíà÷åíèé, ìîæíî
âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
M F2
0
�
sup ( )
, (5)
ãäå
F
q q
q
( )
( ) ( ) ( )
( )
�
�
�
2 2
2
1 1
1
, q rm� ( ) .
Ïîñêîëüêó ñèìâîë ìåòîäîâ (2) è, ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ F( ) çàâèñÿò
îò ïàðàìåòðà �� â ýòèõ ìåòîäàõ ïðè m
2 ìîæíî âûáðàòü òàêîå çíà÷åíèå
ïàðàìåòðà �, êîòîðîå áû ìèíèìèçèðîâàëî ïîñòîÿííóþ Ì.  îáùåì ñëó÷àå
èíòåðâàë îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíîãî â óêàçàííîì ñìûñëå ïàðàìåòðà � ìî-
æåò áûòü îãðàíè÷åí ïîëîæèòåëüíûìè ÷èñëàìè èç èíòåðâàëà (0,�], ãäå 0 <
�� <�. Îäíàêî äëÿ Ò-ñîãëàñîâàííîñòè [12] ìåòîäîâ (2) ïðàâóþ ÷àñòü ýòîãî
èíòåðâàëà ñëåäóåò îãðàíè÷èòü âåëè÷èíîé � = 1/m.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ïðèáëèæåíèÿ ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ ìíî-
ãîñòàäèéíûõ ìåòîäîâ (2) ê ñâîéñòâàì ñõåìû ñ îïåðåæåíèåì, äëÿ êîòîðîé
Ì = 1, ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà â âèäå ñëåäóþùåé çàäà÷è îäíîïà-
ðàìåòðè÷åñêîé îïòèìèçàöèè ( �M
1
-îïòèìèçàöèè).
Äëÿ êàæäîãî m òàêîãî, ÷òî 2 � m � m < �, íàéòè çíà÷åíèå ïàðàìåòðà �
èç èíòåðâàëà0 1� �� / mè ñîîòâåòñòâåííî âåñîâ ìåòîäîâ (2), ñèìâîëû êîòî-
Ñ. Ç. Øèõàëèåâ
100 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
0,50
0,25
0 25 50 75
1
2 4
3
5
6
0,75
rm
Ãðàôèêè ñèìâîëîâ � ( )M m
1
-ìåòîäîâ (m�1 6, )
ðûõ àïïðîêñèìèðîâàëè áû ýêñïîíåíöèàëüíóþ ôóíêöèþ m-ãî ïîðÿäêà è
óäîâëåòâîðÿëè êðèòåðèþ óñòîé÷èâîñòè [9] ïðè ïîñòîÿííîé M M m
�
1
( ,*)
â
(4) òàêîé, ÷òî
[ ] min sup ( )
( ,*)
/
M Fm
m
1
2
0 1 0
�
� �
�
.
Äëÿ òîãî ÷òîáû ñèìâîëû â (3) àïïðîêñèìèðîâàëè ôóíêöèþ e� ,
0,
ïðè � 0 m-ãî ïîðÿäêà, ïàðàìåòðû ìåòîäîâ (2) äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü
ñèñòåìå àïïðîêñèìàöèîííûõ óðàâíåíèé
a ks
m
k s
m
m
k
s
m
( )
,
( )
/ !� ��
�
�
1
, k m� �0 1, , � �m m�1/ ,
èëè â «ïîëóëèíåéíîé» âåêòîðíî-ìàòðè÷íîé ôîðìå,
K =m m mA B , (6)
ãäå K m — êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ ýëåìåíòàìè �
k s
m s k
s k
,
( ) ( )!
( )! !
�
�
�
1
1
; B km
k
�� / ! ,
k m� �0 1, , s m�1, ; A a a a am
m m m
m
m T
� ( , , , ..., )
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3
— âåêòîð âåñîâ ìåòîäîâ (2).
Ðåøåíèå ñôîðìóëèðîâàíîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò, ïîñêîëüêó ôóíêöèî-
íàë (5) îãðàíè÷åí ñíèçó çíà÷åíèåì Ì =1 [9] è ñèñòåìà ëèíåéíûõ àëãåá-
ðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (6) ïðè ôèêñèðîâàííûõ çíà÷åíèÿõ � �� m êîððåêòíî
ðàçðåøèìà, èáî ñòðîêè è ñòîëáöû ìàòðèöû K m ëèíåéíî íåçàâèñèìû (èõ
ýëåìåíòû ñóòü áèíîìèàëüíûå êîýôôèöèåíòû).
Ìåòîäû, ïîëó÷åííûå ðåøåíèåì çàäà÷è �M
1
-îïòèìèçàöèè, íàçîâåì
� ( )M m
1
-ìåòîäàìè, èëè �M
1
-ìåòîäàìè, åñëè óêàçàíèå ÷èñëà ñòàäèé èçëèøíå.
Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è. ×èñëåííûå ðàñ÷åòû ïàðà-
ìåòðîâ �M
1
-ìåòîäîâ îãðàíè÷åíû øåñòèñòàäèéíûìè ìåòîäàìè â ñâÿçè ñ
òåì, ÷òî òåñòèðîâàíèå ðåøåíèåì ïðîñòåéøåé îäíîìåðíîé ÍÊÇ âèäà (1)
ïîêàçàëî èõ íåâûñîêóþ ýôôåêòèâíîñòü ïðè áîëüøåì ÷èñëå ñòàäèé.
Îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 101
m �m
� ( ,*)
M
m
1
1 1 1
2 0,5 1,026132
3 0,185036 1,127087
4 0,128032 1,080367
5 0,184277 1,090655
6 0,116500 1,155671
Òàáëèöà 1
 òàáë. 1 ïðèâåäåíû îïòèìàëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà� m è ñîîòâåòñò-
âóþùèå èì çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííîé M M m
�
� ( ,*)
1
äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé m, à
â òàáë. 2 — âåñà � ( )M
1
1 6
-ìåòîäîâ. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ñèìâî-
ëîâ ýòèõ ìåòîäîâ, ñâèäåòåëüñòâóþùèå î êîððåêòíîñòè êàê çàäà÷è �M
1
-îïòè-
ìèçàöèè, òàê è âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð, èñïîëüçîâàííûõ äëÿ åå ÷èñëåí-
íîãî ðåøåíèÿ.
Òàêèì îáðàçîì, èç òàáë. 1 è 2 âèäíî, ÷òî � ( )M
1
2
-ìåòîä ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé ñõåìó ñ îïåðåæåíèåì ( � ( )M
1
1
-ìåòîä) ñ ïîëîâèííûì øàãîì èíòåãðè-
ðîâàíèÿ, è åñëè äëÿ � ( )M
1
1
-ìåòîäà ïîñòîÿííàÿ â óñëîâèè Ì-óñòîé÷èâîñòè
ðàâíà åäèíèöå, òî äëÿ � ( )M
1
2
-ìåòîäà ýòà ïîñòîÿííàÿ íå íàìíîãî, íî âñå-òàêè
áîëüøe åäèíèöû.
Ñ. Ç. Øèõàëèåâ
102 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2009. V. 31. ¹ 5
m s as
m( .*)
1 1 1,0000000 (00)
2 1 0,0000000 (00)
2 1,0000000 (00)
3 1 0,1390409 (01)
2 �0,5185152 (01)
3 0,4794743 (01)
4 1 0,9378645 (00)
2 0,6061139 (01)
3 �0,1513162 (02)
4 0,1033753 (02)
5 1 0,9378645 (00)
2 �0,1031203 (01)
3 0,4942578 (01)
4 0,8800697 (01)
5 �0,2764780 (01)
6 1 0,1769099 (01)
2 �0,1915633 (02)
3 0,6581148 (02)
4 �0,9985461 (02)
5 0,6747279 (02)
6 �0,1504243 (02)
Òàáëèöà 2
A numerical solution is presented for the problem of one-parameter minimization of the stability
constant by V.B.Andreyev criterion for m-stage difference methods of high-accuracy solution of
initial-boundary problems for the 2nd order parabolic equations with self-conjugated elliptic ope-
rator. The optimized methods are realized by the algorithm of polynomial acceleration. The
methods optimization is performed at the expense of a decrease by one of the maximum possible
approximation order of the operator exponent.
1. Òèõîíîâ À. Í., Ñàìàðñêèé À. À. Óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. — Ì. : Íàóêà,
1972. — 736 ñ.
2. Øèõàëèåâ Ñ. Ç. Î ïðèìåíåíèè îäíîãî êëàññà ìåòîäîâ òèïà Ðîçåíáðîêà ê ðåøåíèþ
óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè /Ðåäêîë. æóðí. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — Êèåâ,
1986. — 20 ñ. — Äåï. ÂÈÍÈÒÈ ¹ 6440-Â86 03.09.86. — Ðåô. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðî-
âàíèå. — 1987. — 9, ¹ 2.
3. Ñîâðåìåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé/ Ïîä
ðåä. Äæ. Õîëë è Äæ. Óàòò. Ïåð. ñ àíãë. ïîä ðåä. À. Ä. Ãîðáóíîâà. — Ì. : Ìèð, 1979. —
312 ñ.
4. Øèõàëèåâ Ñ. Ç. Îá èñïîëüçîâàíèè ÷åáûøåâñêèõ îäíîïîëþñíûõ àïïðîêñèìàöèé ýêñ-
ïîíåíòû â ìåòîäàõ ðåøåíèÿ íà÷àëüíî-êðàåâûõ çàäà÷ äèôôóçèè. — Êèåâ : Ýíåðãåòèêà
è ýëåêòðèôèêàöèÿ, 2005. — 48 ñ.
5. Ìàð÷óê Ã. È. Ìåòîäû âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè. — Íîâîñèáèðñê : Íàóêà ÑÎ, 1973. —
352 ñ.
6. Òðåíîãèí Â. À. Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç. — Ì. : Íàóêà, 1980. — 496 ñ.
7. Ñàìàðñêèé À. À. Òåîðèÿ ðàçíîñòíûõ ñõåì. Ó÷åá. ïîñîáèå. — Ì. : Íàóêà, 1977. — 656 ñ.
8. Ãîäóíîâ Ñ. Ê. Ðàçíîñòíûé ìåòîä ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà ðàçðûâíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé
ãèäðîäèíàìèêè// Ìàò. ñáîðíèê. — 1959. Ò. 47 (89), ¹ 3. — Ñ. 271—306.
9. Àíäðååâ Â. Á. Îá óñòîé÷èâîñòè ïî íà÷àëüíûì äàííûì ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ïàðàáî-
ëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåì. è ìàòåì. ôèçèêè. — 1971. — 11, ¹ 6. —
Ñ. 1462— 1475.
10. Àðòåìüåâ Ñ. Ñ., Äåìèäîâ Ã. Â. À-óñòîé÷èâûé ìåòîä òèïà Ðîçåíáðîêà ÷åòâåðòîãî
ïîðÿäêà òî÷íîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ æåñòêèõ ñèñòåì îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé // Íåêîòîðûå âîïðîñû âû÷èñëèòåëüíîé è ïðèêëàäíîé ìàòå-
ìàòèêè. — Íîâîñèáèðñê, 1975. — Ñ. 214 — 220.
11. Øèõàëèåâ Ñ. Ç. Îá óñòîé÷èâîñòè ïî Â. Á. Àíäðååâó ìåòîäîâ ïðîèçâîëüíîãî ïîðÿäêà
àïïðîêñèìàöèè ðåøåíèÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé /Ðåäêîë. æóðí. Ýëåêòðîí. ìîäå-
ëèðîâàíèå. — Êèåâ, 1988. — 25 ñ. — Äåï. ÂÈÍÈÒÈ ¹ 308-Â88 14.01.88. — Ðåô.
Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 1988. — 10, ¹ 3.
12. Øòåòòåð X. Àíàëèç ìåòîäîâ äèñêðåòèçàöèè äëÿ îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé / Ïåð. ñ àíãë. Ñ.Ñ. Àðòåìüåâà, Ã.Â. Äåìèäîâà, Â. Ï. Èëüèíà è Þ. È.
Êóçíåöîâà ïîä ðåä. Ã. È. Ìàð÷óêà. — Ì. : Ìèð, 1978. — 463 ñ.
Ïîñòóïèëà 13.02.09
ØÈÕÀËÈÅÂ Ñàáèð Çàâóðîâè÷ , íàó÷. ñîòð. èí-òà ïðîáëåì ìîäåëèðîâàíèÿ â ýíåðãåòèêå
èì. Ã. Å. Ïóõîâà ÍÀÍ Óêðàèíû.  1967 ã. îêîí÷èë Êèåâñêèé èí-ò èíæåíåðîâ ãðàæäàíñêîé
àâèàöèè. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — âû÷èñëèòåëüíàÿ ôèçèêà.
Îäíîïàðàìåòðè÷åñêàÿ îïòèìèçàöèÿ ñòàáèëèçàöèîííûõ ñâîéñòâ
ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2009. Ò. 31. ¹ 5 103
|
| id | nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101519 |
| institution | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| issn | 0204-3572 |
| language | Russian |
| last_indexed | 2025-12-07T18:05:05Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України |
| record_format | dspace |
| spelling | Шихалиев, С.З. 2016-06-04T10:22:31Z 2016-06-04T10:22:31Z 2009 Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии / С.З. Шихалиев // Электронное моделирование. — 2009. — Т. 31, № 5. — С. 97-103. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101519 517.949.8 Численно решена задача однопараметрической минимизации константы устойчивости по критерию В. Б. Андреева для m-стадийных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач для параболических уравнений 2-го порядка с самосопряженным эллиптическим оператором. Оптимизируемые методы реализованы по алгоритму полиномиального ускорения. Оптимизация методов выполнена с помощью уменьшения на единицу максимально возможного порядка аппроксимации операторной экспоненты. Чисельно розв’язано задачу однопараметричної мінімізації константи стійкості по критерію В. Б. Андрєєва для m-стадійних різницевих методів підвищеної точності розв’язку початково-крайових задач для параболічних рівнянь другого порядку з самосполученим еліптичним оператором. Методи, що оптимізуються, реалізовано за алгоритмом поліноміального прискорення. Оптимізацію методів виконано за допомогою зменшення на одиницю максимально можливого порядку апроксимації операторної експоненти. A numerical solution is presented for the problem of one-parameter minimization of the stability constant by V.B.Andreyev criterion for m-stage difference methods of high-accuracy solution of initial-boundary problems for the 2nd order parabolic equations with self-conjugated elliptic operator. The optimized methods are realized by the algorithm of polynomial acceleration. The methods optimization is performed at the expense of a decrease by one of the maximum possible approximation order of the operator exponent. ru Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України Электронное моделирование Краткие сообщения Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии One-parameter Optimization of Stabilization Properties of Implicit Difference Methods of High-accuracy Solution of Initial-boundary Problems of the Diffusion Type Article published earlier |
| spellingShingle | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии Шихалиев, С.З. Краткие сообщения |
| title | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| title_alt | One-parameter Optimization of Stabilization Properties of Implicit Difference Methods of High-accuracy Solution of Initial-boundary Problems of the Diffusion Type |
| title_full | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| title_fullStr | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| title_full_unstemmed | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| title_short | Однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| title_sort | однопараметрическая оптимизация стабилизационных свойств неявных разностных методов повышенной точности решения начально-краевых задач типа диффузии |
| topic | Краткие сообщения |
| topic_facet | Краткие сообщения |
| url | https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101519 |
| work_keys_str_mv | AT šihalievsz odnoparametričeskaâoptimizaciâstabilizacionnyhsvoistvneâvnyhraznostnyhmetodovpovyšennoitočnostirešeniânačalʹnokraevyhzadačtipadiffuzii AT šihalievsz oneparameteroptimizationofstabilizationpropertiesofimplicitdifferencemethodsofhighaccuracysolutionofinitialboundaryproblemsofthediffusiontype |