Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств

Рассмотрено представление неопределенности, в том числе неопределенности, моделируемой в форме нечетких множеств, в виде главных и присоединенных тензоров четных рангов и их инвариантов. Проведена сравнительная оценка моделирования интервала и нечеткой переменной тензором 2-го и 4-го рангов. Приведе...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2008
Main Authors:	Минаев, Ю.Н., Филимонова, О.Ю.
Format:	Article
Language:	Russian
Published:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2008
Series:	Электронное моделирование
Subjects:	Информационные технологии, защита информации
Online Access:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101551
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Cite this:	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 1. — С. 43-57. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101551
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1015512025-02-09T15:26:46Z Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств Fuzzy Mathematics on the Basic of Uncertainty Tensor Models. I. Tensor-variable in the Fuzzy Set System Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Информационные технологии, защита информации Рассмотрено представление неопределенности, в том числе неопределенности, моделируемой в форме нечетких множеств, в виде главных и присоединенных тензоров четных рангов и их инвариантов. Проведена сравнительная оценка моделирования интервала и нечеткой переменной тензором 2-го и 4-го рангов. Приведены примеры. Розглянуто представлення невизначеності, у тому числі невизначеності, що моделюється у формі нечітких множин, у вигляді головних і приєднаних тензорів парних рангів та їх інваріантів. Проведено порівняльну оцінку моделювання інтервалу і нечіткої змінної тензором 2-го та 4-го рангів. Наведено приклади. The uncertainty presentation is considered as the main and attached tensors of even ranks and their invariants. These uncertainties include also uncertainties which are modeling as a fuzzy sets. Compared estimate is performed for modeling of interval and fuzzy variable and tensor of second and forth ranks. The examples are given. 2008 Article Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 1. — С. 43-57. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101551 512.972 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Информационные технологии, защита информации Информационные технологии, защита информации
spellingShingle	Информационные технологии, защита информации Информационные технологии, защита информации Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств Электронное моделирование
description	Рассмотрено представление неопределенности, в том числе неопределенности, моделируемой в форме нечетких множеств, в виде главных и присоединенных тензоров четных рангов и их инвариантов. Проведена сравнительная оценка моделирования интервала и нечеткой переменной тензором 2-го и 4-го рангов. Приведены примеры.
format	Article
author	Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю.
author_facet	Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю.
author_sort	Минаев, Ю.Н.
title	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств
title_short	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств
title_full	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств
title_fullStr	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств
title_full_unstemmed	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств
title_sort	нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. i. тензор-переменная в системе нечетких множеств
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Информационные технологии, защита информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101551
citation_txt	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 1. — С. 43-57. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT minaevûn nečetkaâmatematikanaosnovetenzornyhmodelejneopredelennostiitenzorperemennaâvsistemenečetkihmnožestv AT filimonovaoû nečetkaâmatematikanaosnovetenzornyhmodelejneopredelennostiitenzorperemennaâvsistemenečetkihmnožestv AT minaevûn fuzzymathematicsonthebasicofuncertaintytensormodelsitensorvariableinthefuzzysetsystem AT filimonovaoû fuzzymathematicsonthebasicofuncertaintytensormodelsitensorvariableinthefuzzysetsystem
first_indexed	2025-11-27T09:17:43Z
last_indexed	2025-11-27T09:17:43Z
_version_	1849934548611104768
fulltext	ÓÄÊ 512.972 Þ. Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-ò Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1, òåë.: (044) 4067678, E-mail: minaev@iit.nau.edu.ua), Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, êàíä. òåõí. íàóê Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû (Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-ò, 31, òåë.: (044) 241-54-52, E-mail: filimonova@nm.ru) Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I. Òåíçîð-ïåðåìåííàÿ â ñèñòåìå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â. Ã. Òîöåíêî) Ðàññìîòðåíî ïðåäñòàâëåíèå íåîïðåäåëåííîñòè, â òîì ÷èñëå íåîïðåäåëåííîñòè, ìîäåëè- ðóåìîé â ôîðìå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, â âèäå ãëàâíûõ è ïðèñîåäèíåííûõ òåíçîðîâ ÷åòíûõ ðàíãîâ è èõ èíâàðèàíòîâ. Ïðîâåäåíà ñðàâíèòåëüíàÿ îöåíêà ìîäåëèðîâàíèÿ èíòåðâàëà è íå÷åòêîé ïåðåìåííîé òåíçîðîì 2-ãî è 4-ãî ðàíãîâ. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû. Ðîçãëÿíóòî ïðåäñòàâëåííÿ íåâèçíà÷åíîñò³, ó òîìó ÷èñë³ íåâèçíà÷åíîñò³, ùî ìîäåëþºòüñÿ ó ôîðì³ íå÷³òêèõ ìíîæèí, ó âèãëÿä³ ãîëîâíèõ ³ ïðèºäíàíèõ òåíçîð³â ïàðíèõ ðàíã³â òà ¿õ ³íâàð³àíò³â. Ïðîâåäåíî ïîð³âíÿëüíó îö³íêó ìîäåëþâàííÿ ³íòåðâàëó ³ íå÷³òêî¿ çì³ííî¿ òåí- çîðîì 2-ãî òà 4-ãî ðàíã³â. Íàâåäåíî ïðèêëàäè. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà, òåíçîð, èíâàðèàíò. Ðåøåíèå çàäà÷ óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êëþ÷åâóþ ïðîáëåìó óïðàâëåíèÿ — îò àâòîìàòè÷åñêîãî äî óïðàâëå- íèÿ â ñîöèàëüíî-ýêîíîìè÷åñêèõ ñèñòåìàõ. Ìíîãîîáðàçèå òèïîâ è ôîðì íå- îïðåäåëåííîñòè çàñòàâëÿåò èñêàòü íîâûå ìåòîäû óïðàâëåíèÿ è ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Óñïåõè â ýòîì íàïðàâëåíèè, î÷åâèä- íî, ìîãóò áûòü äîñòèãíóòû ïðè èñïîëüçîâàíèè èíòåëëåêòóàëüíûõ ìåòîäîâ è òåõíîëîãèé. Â íàñòîÿùåå âðåìÿ ìíîãîîáðàçèå òèïîâ è ôîðì íåîïðåäåëåí- íîñòè ïðàêòè÷åñêè ñâåäåíî ê îäíîìó — íåîïðåäåëåííîñòè, ïðåäñòàâëÿåìîé èíòåðâàëàìè è â âèäå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ (ÍÌ), ïîçâîëÿþùèõ ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ «ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè» (ÔÏ) äàòü îáúåêòèâíîå ïðåäñòàâëåíèå ñóáúåêòèâíûì óòâåðæäåíèÿì è îöåíêàì [1]. Ðàçðàáîòàí àïïàðàò, ïîçâî- ëÿþùèé ðåàëèçîâàòü îïåðàöèè íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè è ëîãèêè [2]. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 43 �� Ðåøåíèå çàäà÷ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè íà îñíîâå èíòåëëåê- òóàëüíûõ òåõíîëîãèé (ÈÒ) â íàñòîÿùåå âðåìÿ ñâÿçûâàþò ñ ìÿãêèìè âû- ÷èñëåíèÿìè (ÌÂ) è âû÷èñëèòåëüíûì èíòåëëåêòîì. Ýòè îáëàñòè íàóêè êàê íàïðàâëåíèå ðàçâèòèÿ èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà òåðìèíîëîãè÷åñêè ñâÿçàíû ñ ðàáîòàìè [1, 2], íî ìíîãèå ôóíäàìåíòàëüíûå ïîëîæåíèÿ ýòîãî íàïðàâëåíèÿ èçëîæåíû â ðàáîòàõ [3—5]. Â ðàáîòå [4] ïðåäëîæåíû ïðèí- öèïû òåíçîðíîãî àíàëèçà ñëîæíûõ îáúåêòîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé îñíîâîïîëàãàþùèå êîíöåïöèè è ïàðàäèãìû èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà. Îáçîð ðåçóëüòàòîâ èññëåäîâàíèé, ñâÿçàííûõ ñ ÌÂ (ðàññìàòðèâàåìûõ â êîìïëåêñå ñ ìÿãêèìè èçìåðåíèÿìè (ÌÈ)) ïðèâåäåí â ðàáîòå [5], â êîòî- ðîé óïîìÿíóòî, ÷òî ãëàâíûé ïðèíöèï ÌÂ ïðåäïîëàãàåò òîëåðàíòíîñòü ê íåäîñòàòî÷íîé òî÷íîñòè, èñòèííîñòè ðàäè âîçìîæíîñòè ïðîçðà÷íîé èíòåð- ïðåòèðóåìîñòè ðåøåíèÿ è åãî íåâûñîêîé ñòîèìîñòè. Ê ýòîìó ñëåäóåò äîáàâèòü øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ïðèíöèïîâ ãàðàíòèðîâàííîãî ðåçóëü- òàòà è ïðàâäîïîäîáíûõ (íå îáÿçàòåëüíî ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíûõ) ðàñ- ñóæäåíèé. ×àñòî ìàòåìàòè÷åñêè êîððåêòíûå ðàññóæäåíèÿ íå âûãëÿäÿò ïðàâäîïîäîáíûìè, â òî âðåìÿ êàê ìàòåìàòè÷åñêè íåêîððåêòíûå ðàññóæäåíèÿ ÷åëîâå÷åñêèé ìîçã âîñïðèíèìàåò êàê àáñîëþòíî ïðàâäîïîäîáíûå. Ãëàâíîé ïðè÷èíîé èñïîëüçîâàíèÿ ÈÒ (â òîì ÷èñëå ÌÂ) ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â ïîäàâëÿþùåì áîëüøèíñòâå ñîâðåìåííûõ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ, ñâÿçàí- íûõ ñ ïðèíÿòèåì ðåøåíèé, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü íàëè÷èå ñëîæíîé èí- ôîðìàöèîííîé ñèòóàöèè, îñîáåííîñòüþ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî âû- ñîêàÿ àïðèîðíàÿ íåîïðåäåëåííîñòü îòíîñèòåëüíî ñâîéñòâ îáúåêòà è âëèÿíèÿ îêðóæàþùåé ñðåäû, íåâîçìîæíîñòü íåïîñðåäñòâåííîãî íàáëþäåíèÿ è èç- ìåðåíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ îáúåêòà, ò.å. áîëüøàÿ íåòî÷íîñòü è íåïîëíîòà àïðèîðíîé èíôîðìàöèè. Ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî ìîäåëü íåîïðåäåëåííîñòè è ñïîñîá åå ïðåîäîëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè êîìïîíåíòàìè, îïðåäåëÿþùèìè ñìûñë è ñîäåðæàíèå ÈÒ. Â ðàáîòå [5] äëÿ ðåàëèçàöèè ÌÂ ïðèìåíåíû ìåòîäû ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé è ðàññóæäåíèé, îñíîâàííûå íà ôóíê- öèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè, ñëó÷àéíîì ïîèñêå è îïòèìèçàöèè, à òàêæå ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü íåéðîííûå ñåòè äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ëîêàëü- íîãî ïîèñêà è ýâîëþöèîííûõ àëãîðèòìîâ äëÿ çàäà÷ ãëîáàëüíîãî ïîèñêà. Êîíöåïòóàëüíî ÌÂ âîñõîäÿò ê òåîðèè ÍÌ, ïîýòîìó íå÷åòêèå çíà÷å- íèÿ (÷èñëåííûå è ëèíãâèñòè÷åñêèå) ïðåäñòàâëÿþò â ôîðìå ÔÏ, îïðåäå- ëåííûõ íà èíòåðâàëå [0, 1]. Äëÿ óìåíüøåíèÿ îáúåìà âû÷èñëèòåëüíûõ ïðî- öåäóð èñïîëüçóþò ïðåèìóùåñòâåííî òðàïåöèåâèäíûå ÔÏ, õîòÿ îíè íå âñåãäà ñîîòâåòñòâóþò ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè. Â îáùåì ñëó÷àå íàèáî- ëåå ðàöèîíàëüíà òðåóãîëüíàÿ ÔÏ, òàê êàê îíà ïîçâîëÿåò îõâàòèòü âñå ôîðìû íåîïðåäåëåííîñòè, êðîìå òîãî, òåíçîðíûå ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñ- òè ìîãóò îáõîäèòüñÿ áåç ÿâíîãî çàäàíèÿ ÔÏ (ñêðûòàÿ ÔÏ). Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 Â [5] èäåò ðå÷ü î íåðàçðûâíîé ñâÿçè ìåæäó ÌÂ (ðàññìàòðèâàåìûìè êàê íå÷åòêèå ñèñòåìû, íåéðîííûå ñåòè, ýâîëþöèîííûå âû÷èñëåíèÿ, ãåíå- òè÷åñêèå àëãîðèòìû è ãåíåòè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå) è ÌÈ. Îäíàêî â äàííîì ñëó÷àå ÌÈ íå ðàññìàòðèâàþòñÿ. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïðåèìóùåñò- âåííî íå÷åòêóþ ìàòåìàòèêó. Ñîâðåìåííàÿ òî÷êà çðåíèÿ íà ýòó ïðîáëåìó ñîñòîèò â òîì, ÷òî íà îñíîâå ÍÌ ñîçäàí íîâûé ìåòîä âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè, êîòîðûé ïîääåðæàí àïïàðàòíûìè ñðåäñòâàìè (íå÷åòêèìè ïðîöåññîðàìè) è â ðÿäå ïðîáëåìíûõ îáëàñòåé ñòàë áîëåå ýôôåêòèâíûì, ÷åì êëàññè÷åñêèå ìåòîäû. Ñíà÷àëà ýòè îáëàñòè âõîäèëè â ïðîáëåìàòèêó èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà, íî ïîñòåïåííî èõ êðóã ñóùåñòâåííî ðàñøè- ðèëñÿ è ñôîðìèðîâàëîñü íàïðàâëåíèå «âû÷èñëèòåëüíûé èíòåëëåêò». Â ýòî íàïðàâëåíèå âêëþ÷àþò: íå÷åòêóþ ìàòåìàòèêó, ëîãèêó, òåîðèþ ÍÌ; íå÷åòêèå ýêñïåðòíûå ñèñòåìû; ñèñòåìû ïðèáëèæåííûõ âû÷èñëåíèé; òåîðèþ õàîñà, ôðàêòàëüíûé àíàëèç, íåëèíåéíûå äèíàìè÷åñêèå ñèñ- òåìû; ãèáðèäíûå ñèñòåìû (íåéðîíå÷åòêèå èëè íåéðîëîãè÷åñêèå, ãåíåòèêî- íåéðîííûå, íå÷åòêî-ãåíåòè÷åñêèå èëè ëîãèêî-ãåíåòè÷åñêèå ñèñòåìû); ñèñòåìû, óïðàâëÿåìûå äàííûìè (íåéðîííûå ñåòè, ýâîëþöèîííûå âû- ÷èñëåíèÿ). Òåíçîðíûé ïîäõîä ê ìîäåëèðîâàíèþ íåîïðåäåëåííîñòåé. Íå÷åòêîå ìíîæåñòâî êàê ìîäåëü íåîïðåäåëåííîñòè â ðÿäå ñëó÷àåâ íå ïîçâîëÿåò îöå- íèòü îáúåêò àäåêâàòíî, òàê êàê íåîïðåäåëåííîñòü — ýòî áîëåå ñëîæíûé îáúåêò, ÷åì åãî ìîäåëü â âèäå ÍÌ. Õàðàêòåðíîé ÷åðòîé ìîäåëèðîâàíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè â âèäå ÍÌ ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îäèí è òîò æå îáúåêò ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí ðàçëè÷íûìè ýêñïåðòàìè ïî-ðàçíîìó. Àïïàðàòà, ïîçâî- ëÿþùåãî óíèôèöèðîâàòü ýòó ñóáúåêòèâíîñòü, íå ñóùåñòâóåò, îäíàêî îòíî- øåíèÿ ñõîäñòâà è ïîäîáèÿ èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ òàêèõ çàäà÷. Â ðàáîòå [4] ïîêàçàíî, ÷òî ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòà èññëåäîâàíèÿ (èçìå- ðåíèÿ) â âèäå òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ áîëåå àäåêâàòíûì, ÷åì ïðåäñòàâëåíèå â âèäå âåëè÷èíû. Òåíçîðíàÿ ìîäåëü, ðàññìàòðèâàåìàÿ êàê ìàòðè÷íàÿ ïðîåê- öèÿ, ïîçâîëÿåò àíàëèçèðîâàòü îáúåêò â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò, ò.å. ýêñïåðòíûå îöåíêè îáúåêòà ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê îäèí è òîò æå îáúåêò â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò. Ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ýòèìè ñèñòåìàìè êîîðäèíàò, õàðàêòåðèçóåìûìè òåíçîðàìè, ìîæåò áûòü óñòàíîâëåíî ïðè ïîìîùè «òåíçîðà ïðèñîåäèíåíèÿ», ïîçâîëÿþùåãî ñîãëàñîâàòü è ñâÿçàòü ðàçëè÷íûå òî÷êè çðåíèÿ. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî ðàçíîîáðàçèå òî÷åê çðåíèÿ — ýòî ðàçíîîáðàçèå ñèñòåì êîîðäèíàò. Áóäó÷è ïðèâåäåííûìè ê îäíîé ñèñ- òåìå ýòè ðàçíîîáðàçíûå, íà ïåðâûé âçãëÿä, òî÷êè çðåíèÿ, îêàæóòñÿ àäåê- Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 45 âàòíûìè. Ìîæíî ïîëàãàòü, ÷òî óñëîâèÿ íåîïðåäåëåííîñòè, ðàçëè÷íûå â ðàçíûõ áàçèñàõ, ìîãóò ïðèâåñòè ê òîìó, ÷òî â îïðåäåëåííîì áàçèñå ñèñ- òåìà ìîæåò áûòü ÷àñòè÷íî (èëè ïîëíîñòüþ) îïðåäåëåííîé. Áàçèñ — ýòî òî÷êà çðåíèÿ èëè ñîñòîÿíèå èññëåäóåìîãî îáúåêòà. Îñîáåííîñòüþ òåíçîðíîé ìîäåëè îáúåêòà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî ïðè èçìå- íåíèè êîîðäèíàò êîìïîíåíòû òåíçîðà èçìåíÿþòñÿ, à ñâîéñòâà òåíçîðà îñòàþòñÿ èíâàðèàíòíûìè. Äëÿ ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà ñóùåñòâóåò âîç- ìîæíîñòü òàêîãî ïîâîðîòà êîîðäèíàò, ïðè êîòîðîì ýëåìåíòû òåíçîðà ñî- êðàùàþòñÿ ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå. Òàêàÿ ôîðìà çíà÷èòåëüíî áîëåå ïðîñòà äëÿ àíàëèçà è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíî èç ñâîéñòâ ÍÌ — åãî äåôàäçèôè- êàöèþ (ïðåäñòàâëåíèå â ÷åòêîé ôîðìå). Ñâîéñòâà òåíçîðà, îñòàþùèåñÿ íåèçìåííûìè ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò, îïðåäåëÿþòñÿ ñèñòåìîé åãî èíâàðèàíòîâ, ïðåäñòàâëÿþùèõ ñî- áîþ êîíñòàíòû, çíà÷åíèÿ êîòîðûõ ñîõðàíÿþòñÿ ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû êîîðäèíàò. Âåëè÷èíû ãëàâíûõ èíâàðèàíòîâ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ÷èñëî ãëàâíûõ èíâàðèàíòîâ äëÿ òåíçîðà ðàíãà r îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì r + 1. Â îáùåì ñëó÷àå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ èíâà- ðèàíòîâ ãîðàçäî áîëüøå. Îíî îïðåäåëÿåòñÿ ðàçëîæåíèåì ãëàâíîãî òåíçî- ðà íà ñèñòåìó ïðèñîåäèíåííûõ òåíçîðîâ: ñèììåòðè÷íûé — êîñîñèììåò- ðè÷íûé, äåâèàòîð — èçîòðîïíûé. Íàïðèìåð, äëÿ òåíçîðà 2-ãî ðàíãà â îáùåì ñëó÷àå ñóùåñòâóåò âîñåìü íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ. Îäíîé èç âàæíûõ èíâàðèàíòíûõ õàðàêòåðèñòèê òåíçîðà ÿâëÿåòñÿ åãî âåëè÷èíà — ìàãíèòóäà, îïðåäåëÿåìàÿ íà îñíîâå ïàðàìåòðîâ ìàòðèöû òåíçîðà. Ñóùåñòâóþò íåêîòîðûå îñîáåííîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ íåîïðåäåëåííîñ- òè íà îñíîâå ÍÌ: íåîáõîäèìîñòü îáÿçàòåëüíîãî çàäàíèÿ ÔÏ äëÿ îòäåëüíîé ÍÏ ïðèâî- äèò ê òîìó, ÷òî íåîäíîçíà÷íîå ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòîâ èçìåðåíèé (âû- ÷èñëåíèé) â âèäå ìíîæåñòâà òðåáóåò äîïîëíèòåëüíî îáÿçàòåëüíîãî ðàíæè- ðîâàíèÿ ñ ïîìîùüþ ÔÏ; íåâîçìîæíîñòü îïðåäåëèòü (âû÷èñëèòü) íåêîòîðûå ñâîéñòâà ÍÏ, â ÷àñòíîñòè îáðàòíàÿ âåëè÷èíà íå îïðåäåëåíà; íåäîñòàòî÷íàÿ îáîñíîâàííîñòü ìåðû íà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâàõ (èñ- ïîëüçóåòñÿ ÷åòêàÿ ìåðà äëÿ íå÷åòêèõ îáúåêòîâ). Ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ â âèäå òåíçîðà (òåíçîð-ïåðåìåííîé). Òåíçîðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôèçè÷åñêîå ñîñòîÿíèå èíôîðìàöèè, çàâèñèìîé îò èçáðàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, â êîòîðîé îíà èçìåðÿåòñÿ èëè âîññîç- äàåòñÿ. Â äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìà êîîðäèíàò íå âñåãäà ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé êîîðäèíàò â ìàòåìàòè÷åñêîì ïîíèìàíèè. Èíîãäà îíà îçíà÷àåò òî÷êó çðå- íèÿ èëè ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ (îáðàáîòêè) èíôîðìàöèè. Â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ, êîòîðûå íóæíî ïîä÷åðêíóòü, òåíçîð ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåí, êàê ìíîæåñòâî êîìïîíåíòîâ, ïîä÷èíÿþùèõñÿ ñïåöèôè÷åñêèì Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 òðàíñôîðìàöèîííûì ïðàâèëàì ïðè èçìåíåíèè ñèñòåìû êîîðäèíàò (òî÷êà çðåíèÿ îòäåëüíîãî èíäèâèäà (ýêñïåðòà), â ÷àñòíîñòè, îáíàðóæèâàåìàÿ â íàçíà÷åíèè ÔÏ), êàê ãåîìåòðè÷åñêèé îáúåêò, èìåþùèé îïðåäåëåííûå ñâîéñòâà, îñòàþùèåñÿ èíâàðèàíòíûìè â ðàçíûõ ñèñòåìàõ êîîðäèíàò, ëèáî êàê ëèíåéíàÿ èëè ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà íà äðóãèõ òåíçîðàõ [7 —16]. Ëþáîå èç ýòèõ îïðåäåëåíèé âçàèìîçàâèñèìî è ÷àñòî íå ìîæåò îáñóæäàòüñÿ â îòäåëüíîñòè. Ðàññìîòðèì ýòè îïðåäåëåíèÿ, èìåÿ â âèäó âîçìîæíîñòè èõ ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå ÍÏ, íå÷åòêèõ ÷èñåë (Í×) èëè óíèâåðñàëüíûõ ìíîæåñòâ. Êîìïîíåíòû. Òåíçîð — ýòî ìíîæåñòâî êîìïîíåíò, ñâÿçàííûõ ñ îïðå- äåëåííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìîé, êîòîðîå òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ñîîòâåòñò- âåòñòâèè ñî ñïåöèàëüíûìè ïðàâèëàìè êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì. Òðåõìåðíûé òåíçîð 2-ãî ðàíãà, ÿâëÿþùèéñÿ áàçîâûì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÏ (Í×), ñîñòîèò èç äåâÿòè êîìïîíåíò, îáúåäèíåííûõ â êâàäðàòíóþ ìàòðèöó. Â ñâîþ î÷åðåäü, ìàòðèöó 3�3 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê íàõîäÿùóþñÿ â ñîñ- òîÿíèè äåôîðìàöèé: ðàñòÿãèâàíèå, îáðàùåíèå è ñìåùåíèå. Âëèÿíèå íå- îïðåäåëåííîñòè â îòäåëüíûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äåôîð- ìàöèè ýòîé ìàòðèöû, ìîäåëèðóþùåé ïåðåìåííóþ. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî, âî-ïåðâûõ, â íàèáîëåå ÷àñòûõ ñëó÷àÿõ ÍÏ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå òðåóãîëüíîé ÔÏ; âî-âòîðûõ, èíòåðâàëü- íàÿ ôîðìà îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííîé ïðåäóñìàòðèâàåò, â ÷àñòíîñòè, íàëè- ÷èå òðåõ çíà÷åíèé — ìàêñèìàëüíîãî, ìèíèìàëüíîãî è ñðåäíåãî; â-òðåòüèõ, îòäåëüíàÿ ïåðåìåííàÿ èëè èíòåðâàë â òåðìèíàõ ÍÌ èìåþò îäèíàêîâîå ïðåäñòàâëåíèå. Íàïðèìåð, äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî a è èíòåðâàë A = [a1, a2] ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ñëåäóþùèõ ÔÏ: �a x x a ( ) , , , � �� 1 0 åñëè èíà å; � À x a x a ( ) , , , � � �� 1 0 1 2 åñëè èíà å. Èíòåðâàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòà ÿâëÿåòñÿ áàçîâûì, òàê êàê ïîç- âîëÿåò îáúåêòèâíî îïðåäåëèòü ÔÏ ïåðåìåííîé, îïèðàþùåéñÿ íà èíòåðâàë. Êðîìå òîãî, èíòåðâàëüíîå ïðåäñòàâëåíèå íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ýêñòðå- ìàëüíîé ýíòðîïèè ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü ðàñïðåäåëåíèÿ, ÿâëÿþùèåñÿ íàè- áîëåå ïëîõèìè ñ òî÷êè çðåíèÿ ýíòðîïèéíûõ õàðàêòåðèñòèê îáúåêòà [4] . Öåëåñîîáðàçíîñòü òåíçîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÏ (Í×) ïîäòâåðæäàåò- ñÿ òåì, ÷òî òåíçîðû âûñîêèõ ðàíãîâ èìåþò ñâîéñòâî ñâåðòêè, à ýòî ïîçâî- ëÿåò èõ ïðåäñòàâëÿòü òåíçîðàìè íèçêèõ ðàíãîâ. Ýòî, âî- ïåðâûõ, óïðîùàåò àíàëèç, âî-âòîðûõ, ðàñøèðÿåò âîçìîæíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ÍÏ è àðèô- ìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íèìè. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ òåíçîðíûõ ìîäåëåé ÍÏ (Í×) ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû îáðàòíûå âåëè÷èíû, ÷òî ïðèíöèïèàëüíî íåâîçìîæíî â íå÷åòêîé ìàòåìàòèêå. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 47 ÷ ÷ Ëèíåéíàÿ ôîðìà. Òåíçîð — ýòî ëèíåéíàÿ èëè ïîëèëèíåéíàÿ ôîðìà. Òåíçîð 2-ãî ðàíãà — ýòî áèëèíåéíàÿ ôîðìà. Èç òåíçîðíîãî èñ÷èñëåíèÿ èçâåñòíî, ÷òî òåíçîð 2-ãî ðàíãà êîëè÷åñòâåííî îïðåäåëÿåòñÿ êàê áèëèíåéíàÿ ôîðìà w v . Òåíçîð 2-ãî ðàíãà ïðèíèìàåòñÿ â ôîðìå êâàäðàòíîé ìàòðèöû è àññîöèèðóåòñÿ ñ äâóìÿ íàïðàâëåíèÿìè â ïðîñòðàíñòâå. Èìåÿ � T t w vij� � , j i, , ,�1 2 3, è îäèí èç âåêòîðîâ, ìîæåì âû÷èñëèòü îäèí âåêòîð ÷åðåç äðóãîé. Â ñâÿçè ñ òåì, ÷òî òåíçîð 2-ãî ðàíãà ïðåäñòàâëÿåòñÿ ìàòðèöåé, åãî òðàíñ- ôîðìàöèè âêëþ÷àþò îáû÷íûå ìàòðè÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ âåêòîðîâ. Â òåíçîðíîì àíàëèçå øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ èíäåêñíàÿ íîòàöèÿ, ïðè ýòîì âñå èíäåêñû ïðåäñòàâëÿþòñÿ ðàçíûìè ëèòåðàìè, è êàæäûé èíäåêñ, íåçàâè- ñèìî îò äðóãèõ, ïðîáåãàåò çíà÷åíèå îò 1 äî n, íàïðèìåð aklm ij èëè bk ij . Ïðèíÿòî ñîãëàøåíèå, åñëè â âûðàæåíèè, êîòîðîå ñîäåðæèò âåðõíèå è íèæíèå èíäåê- ñû, îäèí èëè íåñêîëüêî âåðõíèõ èíäåêñîâ ñîâïàäàþò ñ íèæíèìè èíäåêñàìè, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñóììèðîâàíèå âûïîëíÿåòñÿ ïî âñåì ñîâïàäàþùèì èíäåêñàì, ïðè÷åì ëþáîé èç ñîâïàäàþùèõ èíäåêñîâ íåçàâèñèìî ïðîáå- ãàåò îò 1 äî n. Íàïðèìåð, a akim ij kim ij k n � � � 1 , a b a bklm ij hi ki k n klm ij hi ki l n � � � �� 1 1 . Ñôîðìóëèðîâàííîå ïîëîæåíèå íàçûâàåòñÿ ñîãëàøåíèåì Ýéíøòåéíà î ñóììå. Ï ð è ì å ð. Åñëè a, b, c — òðè âåêòîðà, òî d a b cikl i k l� — òåíçîð òðåòüå- ãî ðàíãà, ÷èñëî êîìïîíåíò êîòîðîãî 3 � 3 � 3 = 27. Íåêîòîðûå âàæíûå ñëåäñòâèÿ, âûòåêàþùèå èç îïðåäåëåíèÿ òåíçîðà: òåíçîð ìîæíî ïîëó÷èòü, èñõîäÿ èç ïðîèçâîëüíîé ñîâîêóïíîñòè np+q ÷èñåë a j j i i p q 1 1 , ..., , ..., ; ëþáîé òåíçîð 2-ãî ðàíãà ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà ñóììó ïîïàðíûõ ïðîèçâåäåíèé êîìïîíåíò òðåõ âåêòîðîâ; ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå çàäàåò äâàæäû êîâàðèàíòíûé òåíçîð èëè äâàæäû êîíòðâàðèàíòíûé òåíçîð, êîòîðûé íàçûâàåòñÿ ìåòðè÷åñêèì äâàæ- äû êîâàðèàíòíûì òåíçîðîì èëè ìåòðè÷åñêèì äâàæäû êîíòðàâàðèàíòíûì òåíçîðîì. Ñâåðòêà òåíçîðîâ. Ïóñòü A — òåíçîð òèïà (p, q), p > 0 è q > 0. Ó êàæ- äîé êîîðäèíàòû ai i k k p q 1 1 , ..., , ..., òåíçîðà A âûäåëèì âåðõíèé èíäåêñ m (1 �m � q) è íèæíèé èíäåêñ n (1 � n � p). Âûïîëíèì ñóììèðîâàíèå (ñâåðòûâàíèå ) êîîðäèíàò òåíçîðà ñ îäèíàêîâûìè âûäåëåííûìè èíäåêñàìè ñ íîìåðàìè m è n, âîñïîëüçîâàâøèñü ñîãëàøåíèåì î ñóììèðîâàíèè. Äîêàçàíî, ÷òî ïîëó- ÷åííûå ÷èñëà ai i k k p q 1 1 , ... , , ... , � �� îáðàçóþò òåíçîð òèïà (p – 1, q – 1), ò. å ñâåðòêà Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 ïîíèçèëà ðàíã òåíçîðà íà äâà. Äëÿ òåíçîðîâ âûñîêèõ ðàíãîâ ñâåðòêà âû- ïîëíÿåòñÿ ïî òàêîìó àëãîðèòìó. 1. Âûáèðàåì ïàðó èíäåêñîâ, ïî êîòîðûì ïðåäïîëàãàåòñÿ âûïîëíåíèå ñâåðòêè. 2. Ìàòðèöó êîìïîíåíò òåíçîðà ðàçáèâàåì íà òðîéêè, ñîñòîÿùèå èç êîìïîíåíò, â êîòîðûõ n – 2 èíäåêñà ñîçäàþò íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé äëÿ ýòîé ãðóïïû íàáîð, à âûäåëåííûå äâå èìåþò çíà÷åíèå 1...1, 2...2, 3...3, ò.å îáðàçóþò îäíó èç òðåõ âîçìîæíûõ ïàð îäèíàêîâûõ ÷èñåë. 3. Ïîëó÷åííûå â ï. 2 òðè êîìïîíåíòà ñóììèðóåì è ïîëó÷àåì ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷àåòñÿ n – 2 èíäåêñàìè. Âñåãî òàêèõ ÷èñåë áóäåò ñòîëüêî, ñêîëüêî òðîåê êîìïîíåíò ìîæíî âûäåëèòü, à èìåííî 3 n–2 , ò.å. åñëè âûïîë- íÿåòñÿ ñâåðòêà òåíçîðà À ïî âòîðîìó è n – 1 èíäåêñàì, òî îïðåäåëÿþòñÿ ñóììû B Aik rs ilk rs i ... ... � � � 1 3 . Ï ð è ì å ð. Ïóñòü A — òåíçîð òèïà (p, q), íàïðèìåð ëèíåéíûé îïåðà- òîð, äåéñòâóþùèé â ïðîñòðàíñòâå V. Ïóñòü â áàçèñå v1 ... vn òåíçîðó A ñîîò- âåòñòâóåò ìàòðèöà ( )a j i . Òîãäà â ðåçóëüòàòå îïåðàöèè ñâåðòûâàíèÿ , ïðèìå- íåííîé ê A, ïîëó÷àåì òåíçîð òèïà (0, 0), ÷òî â áàçèñå v1 ... vn çàäàåòñÿ îäíèì ÷èñëîì � � � � �a a a aj i n n 1 1 2 2 ... , êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëåä ìàòðèöû ( )a j i . Òåðìèí «ñâåðòêà òåíçîðîâ» èíîãäà óïîòðåáëÿþò â òàêîì ñëó÷àå. Ïóñòü A è B — äâà òåíçîðà, ïðè÷åì ó îäíîãî èç íèõ åñòü õîòÿ áû îäèí âåðõíèé èíäåêñ j, ó äðóãîãî — îäèí íèæíèé èíäåêñ u. Ñâåðòêà òåíçîðîâ A è B ïî èíäåêñàì u è j — ýòî ñâåðòêà ïðîèçâåäåíèÿ AB ïî èíäåêñàì i è j. Äèàäíîå ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ (Í×). Äèàäà ñîîòâåòñòâóåò ïðåäñòàâëåíèþ Í×(ÍÏ) â ôîðìå çíà÷åíèå (1-é âåêòîð)/ÔÏ (2-é âåêòîð) ~ { / } { / }x x x i i� �� , i n�1 2, , ..., . Íàïðèìåð, òðåóãîëüíàÿ ÔÏ â íîòàöèè MatLab èìååò ôîðìó TRIMF(X, PARAMS), ãäå PARAMS = [A B C] ìîäåëèðóåò (ïðåäñòàâëÿåò) òðåõýëåìåíòíûé âåêòîð, îïðåäåëÿþùèé êðàéíèå òî÷êè ÔÏ: A � B � C. Êàê èçâåñòíî, îáùèé âèä äèàäû õ � �, ãäå ñèìâîë îçíà÷àåò äèàäíîå ïðîèç- âåäåíèå. Äèàäà ìåæäó äâóìÿ âåêòîðàìè, õ è �, — ýòî àáñòðàêòíàÿ ìàòåìà- òè÷åñêàÿ êîíñòðóêöèÿ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ êàê õ � � è èìååò ñîäåð- æàíèå, åñëè îíà èñïîëüçóåòñÿ â îïåðàöèÿõ ñ ëþáûì ïðîèçâîëüíûì âåêòî- ðîì v: (õ �) � v = õ (��v)(� x). Â îáùåì ñëó÷àå äëÿ äèàäû íå ñóùåñòâóåò êîìóòàòèâíîñòè: x x � � � . Îäíàêî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå ýòî íå èìååò ïðèíöèïèàëüíîãî çíà÷åíèÿ, òàê êàê òåíçîðû, ñâÿçàííûå ñ äèàäàìè, èìåþò àáñîëþòíî îäèíàêîâûå èíâàðèàíòû: Inv Inv( ) ( )x x � � � . Äëÿ óïðîùåíèÿ ïðèìåì x x �� . Êàê èçâåñòíî [6], íå÷åòêèì ïîäìíîæåñòâîì À óíèâåðñàëüíîãî ìíî- æåñòâà E íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî óïîðÿäî÷åííûõ ïàð {( ( ))}~x x A � ,� �x E, Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 49 ãäå � ~ ( ) A x — ñòåïåíü ïðèíàäëåæíîñòè x â ~ A. Åñëè � ~ ( ) A x ïðèíèìàåò ñâîè çíà÷åíèÿ â ìíîæåñòâå Ì çíà÷åíèé ÔÏ, òî õ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ Ì ÷åðåç ôóíêöèþ � ~ ( ) A x , êîòîðóþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ ïðèíàäëåæíîñòè íà ìíîæåñòâå Ì = {0, 1}. Ñôîðìèðóåì íîâîå ïîäìíîæåñòâî, êîòîðîå íàçîâåì òåíçîð-ïîäìíî- æåñòâîì À ìíîæåñòâà E, âûïîëíèâ åãî â âèäå ìàòðèöû, ðåàëèçîâàâ òåíçîð- íîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîð-ñòðîêè a a j�{ } è âåêòîð-ñòîëáöà � �~ ~( ) { } A A jx � , j n�1, (ÍÏ ~ { / }a a j i a � � , i n�1, ): T a x A A ~ ~ ( )� �� , ãäå � çíàê òåíçîðíîãî ïðîèç- âåäåíèÿ, T t A i j ~ [ ]� , i, j = 1, n. Òåíçîð, îáðàçîâàííûé óêàçàííûì ñïîñîáîì, ÿâëÿåòñÿ äèàäíûì òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà è èìååò ñëåäóþùèé âèä: ( ... )a a an1 2 ~a a � a a a a a a a a a a a n a a a n a n a n a n 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � n a � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 2 . n � � � � � � � � � � � � � � T a a a a a a a a A a a n a a a n a n a n a ~ � 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � a t t t t t t t tn n a n n n n� � � � � � � � � � � � � � � � 11 12 1 21 22 2 1 2 1 1 � t t nn ij a i n j n � � � � � � � � � � � � � � � [ ] , , , T T t t t t A A D nn ij a ~ ~ [ ]� � � � � � � � � � � � � � � 11 22 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � i n j n � � 1 1 , , , ãäå t aij i j a � � ; T A ~, T A D ~ — ïîëíàÿ è äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöû, ñîîòâåòñòâóþ- ùèå ÍÏ. Òåíçîð-ïåðåìåííóþ äëÿ àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé ìîæíî ðàññìàòðè- âàòü êàê n � n-ìàòðèöó, äëÿ êîòîðîé àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä Í×(ÍÏ) èìåþò ìàòðè÷íûå àíàëîãè, ò.å. ~ * ~ ~ ~a b T Tf A f B � (äëÿ ïîëíûõ ìàòðèö) èëè T T A D f B D ~ ~ (äëÿ äèàãîíàëüíûõ), ãäå * { , ,, /}f � � � , è êàê ìíîæåñòâî ýëå- Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 , ìåíòîâ { } { }t aij i j a � � , ïîëó÷åííûõ ÷òåíèåì ìàòðèöû ïî ñòðîêàì èëè ñòîëá- öàì, è òàêèì îáðàçîì ðåàëèçîâàòü òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî àíàëîãè÷íî òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè ìîãóò áûòü ðåàëèçîâàíû íàä ìíîæåñòâàìè, ïîëó÷åííûìè â ðåçóëüòàòå âû÷èñëåíèÿ äèàãîíàëåé òåíçîð-ïåðåìåííûõ, à òàêæå äëÿ äèàäíîãî òåíçî- ðà T A ~ âñå èíâàðèàíòû, êðîìå íóëåâîãî è ïåðâîãî, ðàâíû íóëþ. Òåîðåòèêî-ìíîæåñòâåííûå îïåðàöèè äëÿ òåíçîð-ïåðåìåííûõ âûïîë- íÿþòñÿ íàä ìíîæåñòâàìè, ïðåäñòàâëÿþùèìè ïîñòðî÷íîå èëè ïîñòîëá- öîâîå ðàçëîæåíèå ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö. Îïåðàöèè âëîæåííîñòè äëÿ ÍÌ ~ A, ~ B — ~ ~ A B âûïîëíÿþòñÿ, åñëè � �x E: ,� �~ ~( ) ( ) A B x x� , äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâ T A ~ è T B ~, ïîðîæäåííûõ ÍÌ ~ A, ~ B, — åñëè I IT TA B 0 0 � , ãäå I IT TA B 0 0 , — íóëåâûå èíâàðèàíòû òåíçîðîâ ñîîò- âåòñòâåííî T A ~ è T B ~. Îïåðàöèè ïåðåñå÷åíèÿ ÍÌ ~ A, ~ B — ~ ~ A B� âûïîëíÿþòñÿ, åñëè � ~ ~( ) A B x ! � �min ( ( ), ( ))~ ~� � A B x x :� �x E, äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâ ñîîòâåòñòâåííî T A ~ è T B ~, ïîðîæäåííûõ ÍÌ ~ A, ~ B, òàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü T T T A B A B ~ ~ ~ ~min ( , ) ! � . Îïåðàöèè îáúåäèíåíèÿ ÍÌ ~ A, ~ B — ~ ~ A B� âûïîëíÿþòñÿ, åñëè� ~ ~( ) A B x " � �max ( ( ), ( ))~ ~� � A B x x :� �x E, äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâ T A ~ è T B ~, ïîðîæäåííûõ ÍÌ ~ A, ~ B, T T T A B A B ~ ~ ~ ~max( , ) " � . Ýëåìåíòû x xp A B / ( )~ ~� ! è x x A B 0 / ( )~ ~� " ýêâè- âàëåíòíû T A B ~ ~ ! è T A B ~ ~ " , òàê êàê äëÿ ÍÌ ñ óíèìîäàëüíîé (â ÷àñòíîñòè, òðåóãîëüíîé) ÔÏ T x x A B p A B ~ ~ ~ ~ ( ) ! ! � � è T x x A B A B ~ ~ ~ ~* ( ) " " � 0 � . Îïåðàöèè äîïîëíåíèÿ. Íå÷åòêèå ìíîæåñòâà ~ A, ~ B äîïîëíÿþò îäíî äðó- ãîå, ~ ~ A B� èëè ~ ~ B A� ; åñëè � �x E: � �B A x x( ) ( )~� �1 , òî ýòî äîïîëíåíèå îïðåäåëåíî äëÿ Ì = {0, 1}, äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâ T A ~ è T B ~, ïîðîæäåííûõ ÍÌ ~ A, ~ B, îïðåäåëåíèå äîïîëíåíèÿ ìîæíî ðàñøèðèòü (ïñåâäîäîïîëíåíèÿ) íà äðóãèå óïîðÿäî÷åííûå ìíîæåñòâà Ì, èñïîëüçóÿ ïîäõîäÿùèå îïðåäå- ëåíèÿ, òàê êàê íåïîñðåäñòâåííî îíî íå âûïîëíÿåòñÿ. Çàìåòèì, ÷òî âñå îïðåäåëåíèÿ äîïîëíåíèÿ câÿçàíû ñ îïðåäåëåíèåì ðåøåò÷àòîé ñòðóêòóðû ðàññìàòðèâàåìîãî ìíîæåñòâà. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî òåíçîð-ìíîæåñòâà ïðåä- ñòàâëÿþò ñîáîþ ðåøåòêè, ïîýòîìó óñëîâèÿ äîïîëíåíèÿ ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ ìîãóò áûòü íàéäåíû. Îäíàêî íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü, ÷òî äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâà ìíîæåñòâî âñåõ ïîäìíîæåñòâ #( )x ñîäåðæèò m � n ýëåìåíòîâ, â òî âðåìÿ êàê ÍÌ, îáðàçîâàâøåå òåíçîð-ïåðåìåííóþ, èìååò mn ýëåìåíòîâ. Ñâîéñòâà ÍÌ è òåíçîð-ìíîæåñòâ ôîðìàëüíî ìîæíî ïðåäñòàâèòü â àíàëîãè÷íîì âèäå, èñïîëüçóÿ ïðè ýòîì ðàçâåðíóòûå (ïî ñòðîêàì èëè ñòîëáöàì) ìàòðèöû: Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 51 êîììóòàòèâíîñòü — ~ ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ A B B A T T T T A B B A T T T A B B A A B � � � � � � � � � � � � � B A T� ~; àññîöèàòèâíîñòü — ( ~ ~ ) ~ ( ~ ~ ) ( ) ( ), ( ~ ~ ~ ~ ~ ~A B C A B C T T T T T T A B C A B C � � � � � � � �� ~ ~ ) ~ ~ ( ~ ~ ) ( ) ( );~ ~ ~ ~ ~ ~A B C A B C T T T T T T A B C A B C � � � � � � � �� èäåìïîòåíòíîñòü — ~ ~ ~ , ~ ~ ~ ; ~ ~ ~ ~ ~ ~ A A A T T T A A A T T T A A A A A A � � � � � � � � � � äèñòðèáóòèâíîñòü — ~ ( ~ ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) ( ) ( )~ ~ ~ ~ ~A B C A B A C T T T T T A B C A B � � � � � � � � �� ( ), ~ ( ~ ) ( ~ ~ ) ( ~ ~ ) ( ) ~ ~ ~ ~ ~ T T A B C A B A C T T T A C A B C � � � � � � � �� ( ) ( );~ ~ ~ ~T T T T A B A C � � � ~ A A A�$ �$ , ~ ~ A AA�$ � , ãäå$ A — òåíçîð-ìíîæåñòâî, îáðàçîâàííîå èç ~ A ïðè óñëîâèè, ÷òî� �x E: � ~( ) A x �0 ; ~ ~ A E AA� � , ~ A E EA A� � , ãäå E A — òåíçîð-ìíîæåñòâî, îáðàçîâàííîå èç ~ A ïðè óñëîâèè, ÷òî� �x E: � ~( ) A x �1. Óñëîâèÿ èíâîëþöèè è òåîðåìû Ìîðãàíà äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâ íå èìåþò ïðÿìûõ àíàëîãîâ ñðåäè ÍÌ è â êàæäîì ÷àñòíîì ñëó÷àå òðåáóþò äîïîëíèòåëüíîãî îïðåäåëåíèÿ. Àëãåáðàè÷åñêîå ïðîèçâåäåíèå è ñóììà äâóõ òåíçîð-ìíîæåñòâ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû, åñëè ó÷åñòü, ÷òî� �~ ~( ) ( ) A A x x x x� � � , íî èíâàðèàíòû äëÿ ïðàâîé è ëåâîé ÷àñòåé îäèíàêîâû. Êàê èçâåñòíî, àëãåáðàè÷åñêîå ïðîèç- âåäåíèå ÍÌ ~ ~ A B% îïðåäåëÿåòñÿ êàê � � �~ ~ ~ ~( ) ( ) ( ) A B A B x x x % � : � �x E. Äëÿ òåíçîð-ìíîæåñòâT A ~ èT B ~, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ÍÌ ~ A, ~ B ïðîèçâåäåíèå ~ A ~ B � T A ~ T B ~ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíî ñëåäóþùèì ñïîñîáîì: òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðîâ T A ~, T B ~ — ðåçóëüòàòîì åñòü òåíçîð, ðàíã êîòîðîãî ðàâíÿåòñÿ ñóììå ðàíãîâ òåíçîðîâ T A ~, T B ~; òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðîâ T A ~, T B ~ ñî ñâåðòêîé — ðåçóëüòàòîì åñòü òåíçîð, ðàíã êîòîðîãî íà äâà ìåíüøå ñóììû ðàíãîâ òåíçîðîâT A ~,T B ~; ìàòðè÷íîå ïðîèçâåäåíèå ìàòðèö òåíçîðîâ T A ~, T B ~. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 Ýòè ïðîèçâåäåíèÿ äàþò ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû. Öåëåñîîáðàçíîñòü èñïîëüçîâàíèÿ òîé èëè èíîé ïðîöåäóðû îïðåäåëÿåòñÿ îòäåëüíî. Àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ÍÌ ~ A, ~ B îïðåäåëÿåòñÿ òàê: ~ ~ � � A B� �� x E:� � � � �~ ~ ~ ~ ~ ~( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A B A B A B x x x x x� � � � � . Òåíçîðíîå èñ÷èñëåíèå íå èìååò ñîîòâåòñòâóþùåãî àíàëîãà, íî ïðè óñëîâèè, ÷òî òåíçîðû T A ~, T B ~ èìåþò îäèíàêîâûé ðàíã, ìîæíî îïðåäåëèòü ïðîöåäóðó T T T T T T A B A B A B ~ ~ ~ ~ ~ ~ � � � � � , äîïîëíèòåëüíî íàëîæèâ îãðàíè÷åíèÿ, ñîñòîÿùèå â òîì, ÷òî ïðîèçâåäåíèå T A ~T B ~ äîëæíî áûòü òåíçîðíûì ïðîèç- âåäåíèåì ñî ñâåðòêîé, òàê êàê òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå ãàðàíòèðóåòñÿ îäèíà- êîâîñòü ðàíãîâ âñåõ êîìïîíåíòîâ ïðîöåäóðû. Â ðàáîòå [6] ïîêàçàíî, ÷òî òåîðèþ ÍÌ ìîæíî ïîñòðîèòü äëÿ ëþáîãî òèïà ðåøåòîê (â òîì ÷èñëå äëÿ ïðåäñòàâëÿþùèõ ñîáîþ ìàòðèöû òåíçîð- ìíîæåñòâ), îáðàçîâàííûõ íà îñíîâå ñòàíäàðòíûõ ÍÌ, íå ââîäÿ ïîíÿòèÿ äîïîëíåíèÿ (êàê â ñëó÷àå áóëåâûõ ðåøåòîê) èëè ïñåâäîäîïîâíåííÿ, î êîòîðîì óïîìèíàëîñü âûøå. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ â âèäå òåíçîð-ïåðåìåííîé ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü ìàòðè÷íîå è ìíîæåñòâåííîå ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòà, ðàçëîæèâ ìàòðèöó òåíçîð-ïåðåìåííîé ïî ñòðîêàì èëè ñòîëáöàì, ÷òî ñóùåñòâåííî ðàñ- øèðÿåò âîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ, àíàëèçà è îáðàáîòêè èíôîð- ìàöèè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè â òåíçîðíîì áàçèñå. Ïðèêëàäíàÿ ðåàëèçàöèÿ ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå â ñèñòåìå ìàòåìà- òè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ MatLab. Ðàññìîòðèì òåíçîðíîå ïðåäñòàâëåíèå ÍÏ «ïðèáëèçèòåëüíî ïÿòü», îïðåäåëåííîé íà èíòåðâàëå [1, 9], ~ { / }x x j j x � � , j = 1, 9. Ïðåäñòàâèì åå â âèäå ìíîæåñòâ, ñîñòîÿùèõ ñîîòâåòñòâåííî èç òðåõ è äåâÿòè ïàð «çíà÷åíèå—ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñòè»: x = {1 5 9}, � j x = { 0,15 0,95 0,15}; (1) x ={1 2 3 4 5 6 7 8 9}, � j x ={0,15 0,35 0,55 0,75 0,95 0,75 0,55 0,35 0,15}. (2) Äèàäíûé òåíçîð ïîëó÷åí ñ ïîìîùüþ ñðåäñòâ MatLab — ôóíêöèÿ kron (x, muxÒ ), ãäå Ò — ñèìâîë òðàíñïîíèðîâàíèÿ ÔÏ. Â ðåçóëüòàòå ìîäåëèðîâàíèÿ ïîëó÷åí ãëàâíûé òåíçîð — äèàäà ñîîòâåòñòâåííî äëÿ ñëó÷àåâ (1) è (2): Tx � � � � � � � � � � � 015 0 75 135 0 95 4 75 8 55 015 0 75 135 , , , , , , , , , , Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 53 Tx1 015 0 3 0 45 0 6 0 75 0 9 105 12 135 0 35 0 7 105 1 4 � , , , , , , , , , , , , , 175 21 2 45 2 8 315 0 55 11 165 2 2 2 75 3 3 3 85 4 4 4 95 , , , , , , , , , , , , , , 0 75 15 2 25 3 0 3 75 4 5 5 25 6 0 6 75 0 95 19 2 85 3 8 4 75 , , , , , , , , , , , , , , 5 7 6 65 7 6 8 55 0 75 15 2 25 3 0 3 75 4 5 5 25 6 0 6 75 0 55 , , , , , , , , , , , , , , 11 165 2 2 2 75 3 3 3 85 4 4 4 95 035 0 7 105 14 175 21 2 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 45 28 315 015 03 0 45 06 0 75 09 105 12 135 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Ãðàôè÷åñêè òåçîð-ïåðåìåííûå ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 1. Êàê âèäèì, â ñëó÷àå (1) ÍÏ «ïðèáëèçèòåëüíî ïÿòü» ìîäåëèðóåòñÿ òåíçîðîì 2-ãî ðàíãà, â ñëó÷àå (2) — òåíçîðîì 4-ãî ðàíãà. Â ðåçóëüòàòå ñïåöèàëüíûõ ïðåîáðà- çîâàíèé òåíçîð ìîæåò áûòü ïðèâåäåí ê äèàãîíàëüíîé ôîðìå (ñì. ðèñ. 1). Åñëè ÍÏ èìååò âèä ~ { / }x x j j x � � , òî åå äåôàäçèôèöèðîâàííîå çíà÷åíèå x x j n j j x j n j x � � � � � � � � � � � � � 1 1 1� �/ ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ1 1 / j n j x � �� ñîâïàäàåò ñî ñëå- äîì êàæäîé èç ìàòðèö Tx è Tx1. Íà îñíîâå ãëàâíîãî òåíçîðà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû òàê íàçûâàåìûå ïðèñîåäèíåííûå òåíçîðû [8, 17, 18] — ñèììåòðè÷íûé, àñèììåòðè÷íûé, äåâèàòîð è øàðîâîé (èçîòðîïíûé), õàðàêòåðèçóþùèå äîïîëíèòåëüíûå ñâîéñòâà ÍÏ, êîòîðûå íå âèäíû ïðè åå ñòàíäàðòíîì ïðåäñòàâëåíèè (ðèñ. 2). Øàðîâîé òåíçîð ïðåäñòàâëÿåò «÷åòêèå» ñâîéñòâà ÍÏ è åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïðîñòåéøåé àïïðîêñèìàöèåé ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå, à äåâèàòîð ïðåä- ñòàâëÿåò âàðèàáåëüíîñòü. Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, 2, ãëàâíûé òåíçîð è äåâèàòîð âîññîçäàþò ôîðìó è âèä ÍÏ â òðåõìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Èõ ïðîåêöèè íà îäíó èç ïëîñêîñòåé ïîëíîñòüþ ñîâïàäàþò ñ êðèâîé â êîîðäèíàòàõ (x, � x ). Íà ðèñ. 3 ïðåäñòàâëåíà òåíçîðíàÿ ìîäåëü ÍÏ «ïðèáëèçèòåëüíî ïÿòü», ïîëó÷åííàÿ íà îñíîâå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé (ôóíêöèÿ eig (T)). Ïðè ýòîì ó÷òåíî, ÷òî ðàâåíñòâî [V, D] = eig(X) ïîçâîëÿåò âû÷èñëÿòü äèàãîëüíóþ ìàòðèöó D ñîáñòâåííûõ âåëè÷èí è ïîëíóþ ìàòðèöó V , ñòîëáöû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè, òàêèìè, ÷òî âû- ïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî XV = VD, ãäå Õ — òåíçîð-ïåðåìåííàÿ. Êàê âèäèì, ÍÌ, ðàññìàòðèâàåìîå êàê íàáîð ïàð çíà÷åíèå — ÔÏ èëè ìíîæåñòâî ÍÏ, ìîæåò áûòü ñòðóêòóðèðîâàíî ïðåäñòàâëåíèåì ÍÏ â âèäå òåíçîðà. Öåëåñî- îáðàçíî ïðåäñòàâëÿòü ÍÏ â âèäå ìíîæåñòâà, ñîñòîÿùåãî èç 3 n , n = 1, 2, ..., êîìïîíåíò, â ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì äèàäíûé òåíçîð, ñâîéñòâà êîòîðîãî õî- Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 55 Àñèììåòðè÷íûé òåíçîð Íå÷åòêàÿ ïåðåìåííàÿ Øàðîâîé (èçîòðîïíûé) òåíçîð Ñèììåòðè÷íûé òåíçîð �& 0 0 0 0 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 10 10 1010 10 10 10 1 �'( 1010 0 0 0 10 10 5 5 5 0 0 1 1 0 0 Äåâèàòîð Ãëàâíûé òåíçîð �' �' �' Ðèñ. 2 Ðèñ. 1 ðîøî èññëåäîâàíû. Ãëàâíîå ïðåèìóùåñòâî èñïîëüçîâàíèÿ òåíçîð-ïåðåìåí- íîé êàê ìîäåëè íåîïðåäåëåííîñòè ñîñòîèò â ñëåäóþùåì: âîçìîæíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ îáúåêòà â âèäå 3 n ÷èñåë, n = 1, 2, ..., ïîçâîëÿåò íà îñíîâàíèè ïðèíöèïà ýêñòðåìàëüíîé ýíòðîïèè îïðåäåëèòü ÔÏ, îáúåêòèâíî îòðàæàþùóþ «çíà÷èìîñòü» ýëåìåíòà â ñîñòàâå îáúåêòà; òåíçîðíîå ìîäåëèðîâàíèå íåîïðåäåëåííîñòè ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ðàñøèðèòü ìíîæåñòâî îïðåäåëèìûõ ñâîéñòâ, êîòîðûìè õàðàêòåðèçóåòñÿ îáúåêò, òàê êàê òåíçîð äîïóñêàåò ðàçëîæåíèå íà ìíîæåñòâî ïðèñîåäè- íåííûõ òåíçîðîâ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü ïîëó÷àòü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîð- ìàöèþ îá îáúåêòå; ñâîéñòâà òåíçîðà (íàëè÷èå èíâàðèàíòîâ, îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþ- ùèõ åãî, âîçìîæíîñòü ñâåðòêè òåíçîðà) ïîçâîëÿþò ïîâûñèòü êîíñòðóêòèâ- íîñòü àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, âûïîëíÿåìûõ â ñèñòåìå ÍÏ. Âûâîäû. Â îáùåì ñëó÷àå íåîïðåäåëåííîñòü, ìîäåëèðóåìàÿ â ôîðìå ÍÌ, ÿâëÿåòñÿ áîëåå ñëîæíûì îáúåêòîì, ÷åì åå íå÷åòêàÿ ìîäåëü, è åå ñëåäóåò ïðåäñòàâëÿòü ñ ïîìîùüþ òåíçîðîâ. Òåíçîðíûå ìîäåëè ÍÏ (çíà÷åíèå — ÔÏ) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü äîïîë- íèòåëüíûå õàðàêòåðèñòèêè íåîïðåäåëåííîñòè. Âîçìîæíîñòü ñâåðòîê òåíçîðîâ âûñîêèõ ðàíãîâ è îäíîçíà÷íîå ïðåä- ñòàâëåíèå òåíçîðà c ïîìîùüþ åãî èíâàðèàíòîâ äàþò âîçìîæíîñòü óïðîñ- òèòü ðàáîòó ñ ÍÏ ïðè âûïîëíåíèè îöåíîê. The uncertainty presentation is considered as the main and attached tensors of even ranks and their invariants. These uncertainties include also uncertainties which are modeling as a fuzzy sets. Compared estimate is performed for modeling of interval and fuzzy variable and tensor of second and forth ranks. The examples are given. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 56 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 1 Ðèñ. 3 Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Òåíçîð 4-ãî ðàíãà 1,0 0,5 0 0,5 1 � � 0,4 0,2 0 0,2 0,4 � � 10 5 10 20 3 2 2 1 0 4 6 0 Òåíçîð 2-ãî ðàíãà Òåíçîð 4-ãî ðàíãà �2 8 6 4 2 0 25 20 15 10 5 0 105 10 20 3 2 2 1 0 4 6 �5 0 Äåéñòâèòåëüíûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé òåíçoð-ïåðåìåííîé Ìíèìûå ÷àñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé òåíçoð-ïåðåìåííîé 1. Çàäå Ë. À. Ïîíÿòèå ëèíãâèñòè÷åñêîé ïåðåìåííîé è åãî ïðèìåíåíèå ê ïðèíÿòèþ ïðèáëèæåííûõ ðåøåíèé. — Ì. : Ìèð, 1976. — 165 ñ. 2. Zade L. A. Fuzzy logic, neural networks and soft computing // Communications of the ACM. — 1994. — Vol. 37, ¹ 3. — Ð. 77—84. 3. Øåííîí Ê. Ý. Ðàáîòû ïî òåîðèè èíôîðìàöèè è êèáåðíåòèêå. — Ì. : Ìèð, 1963. — 830 ñ. 4. Êðîí Ã. Òåíçîðíûé àíàëèç ñåòåé. — Ì. : Ìèð, 1978. — 720 ñ. 5. Àâåðêèí À. Í., Ïðîêîï÷èíà Ñ. Â. Ìÿãêèå âû÷èñëåíèÿ è èçìåðåíèÿ// Èíòåëëåêòóàëüíûå ñèñòåìû. — 1997. — 2, âûï. 1— 4. — Ñ. 94— 113. 6. Êîôìàí À. Ââåäåíèå â òåîðèþ íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. — Ì. : Ðàäèî è ñâÿçü. — 1982 . — 432 ñ. 7. Ãåëüôàíä È. Ì. Êóðñ ëåêöèé ïî ëèíåéíîé àëãåáðå. 3-èçä. — Ì. : Íàóêà, 1966. — 280 ñ. 8. Hartmann S. Computational Aspects of the Symmetric Eigenvalue Problem of Second Order Tensors// Technische Mechanik. — 2003. — 23, ¹ 2—4. — Ð. 283— 294. 9. Budiansky B. Tensors. // Handbook of Applied Mathematics. 2nd Ed/ Edited by Carl E. Pearson. Van Nostrand Reinhold, 1990. — 10. Tai Chen-To. Generalized Vector and Dyadic Analysis.— Applied Mathematics in Field Theory. 2-nd Ed. — NY :IEEE Press, 1997. 11. Simmonds J. G. A Brief on Tensor Analysis. — NY: Springer-Verlag, 1994. 12. Brannon R. M. Introduction to Tensor Analysis. — http://me.unm.edu/~rmbrann/ MohrsCircle.pdf 13. Stewart G. W. Introduction to Matrix Computations//Computer Scienceand Applied Mathe- matics. Series of monographs and textbooks. — San Diego: Academic Press, 1973. 14. Arfken G. B. and Weber H. J. Mathematical Methods for Physicists. — San Diego : Aca- demic Press, 1995. 15. Huang Yongnian, Luo Xiongping, Emily.C.Ching. A discussion about scalar invariants for tensor functions // Acta Mech Sinica (English Series). — 2000. — 16, ¹ 1. — Ð. 35— 40. 16. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Òåíçîðíûé áàçèñ â êîíöåïöèè íå÷åòêîñòè è ôîðìàëüíûõ ìåòîäàõ//Ìàòåðèàëû 10-é ìåæäóíàðîäíîé êîíôåðåíöèè ïî àâòîìàòè- ÷åñêîìó óïðàâëåíèþ, Ñåâàñòîïîëü, 15—19 ñåíòÿáðÿ 2003 ã. Ñåâàñòîïîëü : ÑåâÍÃÓ, 2003. — Ñ. 154—156. 17. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Òåíçîðíûé áàçèñ êàê îñíîâà íîâûõ àëãîðèòìîâ ðåøåíèÿ çàäà÷ óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè// Ñá. òðóäîâ VI Âñåðîñ- ñèéñêîé íàó÷íî-òåõíè÷åñêîé êîíôåðåíöèè, Ìîñêâà, 23 — 24 àïðåëÿ 2003 ã. «Íîâûå èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè». Â 2-õ òîìàõ.Ò.1/Ïîä îáù. ðåä. À. Ï. Õíûêèíà. — Ì. : ÌÃÀÏÈ, 2003. — Ñ. 142—147. Ïîñòóïèëà 06.11.06; ïîñëå äîðàáîòêè 27.06.07 ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüþòåðíûõ ñèñòåì è ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû. Â 1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëèòåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõ- íîëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîêòîðàíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû. Â 1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî- ñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûå òåõíîëîãèè îáðà- áîòêè èíôîðìàöèè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 1 57

Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. I. Тензор-переменная в системе нечетких множеств

Institution

Similar Items