Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе

Рассмотрены проблемы, связанные с выполнением арифметических операций над нечеткими переменными, представленными в виде тензор-переменных (ТП). Показана адекватность операций, выполняемых над ТП и их инвариантами. Приведены примеры....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Минаев, Ю.Н., Филимонова, О.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України 2008
Schriftenreihe:	Электронное моделирование
Schlagworte:	Информационные технологии, защита информации
Online Zugang:	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101560
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 2. — С. 29-54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-101560
record_format	dspace
spelling	nasplib_isofts_kiev_ua-123456789-1015602025-02-09T14:54:48Z Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе Fuzzy Mathematics on the Basic of Uncertainty Tensor Models .II. Fuzzy Mathematics Operations in Tensor Basis Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Информационные технологии, защита информации Рассмотрены проблемы, связанные с выполнением арифметических операций над нечеткими переменными, представленными в виде тензор-переменных (ТП). Показана адекватность операций, выполняемых над ТП и их инвариантами. Приведены примеры. Розглянуто проблеми, пов’язані з виконанням арифметичних операцій з нечіткими змінними, які мають вигляд тензор-змінних (ТЗ). Показано адекватність операцій, які виконуються над ТЗ та їхніми інвариантами. Наведено приклади. Arithmetical operations realization is considered for fuzzy variables which are presented as the tensor variables. The adequacy of operations on the tensor variables and their invariants is shown.The examples are given. 2008 Article Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 2. — С. 29-54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0204-3572 https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101560 512.972 ru Электронное моделирование application/pdf Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Информационные технологии, защита информации Информационные технологии, защита информации
spellingShingle	Информационные технологии, защита информации Информационные технологии, защита информации Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю. Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе Электронное моделирование
description	Рассмотрены проблемы, связанные с выполнением арифметических операций над нечеткими переменными, представленными в виде тензор-переменных (ТП). Показана адекватность операций, выполняемых над ТП и их инвариантами. Приведены примеры.
format	Article
author	Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю.
author_facet	Минаев, Ю.Н. Филимонова, О.Ю.
author_sort	Минаев, Ю.Н.
title	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе
title_short	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе
title_full	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе
title_fullStr	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе
title_full_unstemmed	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе
title_sort	нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. ii. операции нечеткой математики в тензорном базисе
publisher	Інститут проблем моделювання в енергетиці ім. Г.Є. Пухова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Информационные технологии, защита информации
url	https://nasplib.isofts.kiev.ua/handle/123456789/101560
citation_txt	Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе / Ю.Н. Минаев, О.Ю. Филимонова // Электронное моделирование. — 2008. — Т. 30, № 2. — С. 29-54. — Бібліогр.: 19 назв. — рос.
series	Электронное моделирование
work_keys_str_mv	AT minaevûn nečetkaâmatematikanaosnovetenzornyhmodelejneopredelennostiiioperaciinečetkojmatematikivtenzornombazise AT filimonovaoû nečetkaâmatematikanaosnovetenzornyhmodelejneopredelennostiiioperaciinečetkojmatematikivtenzornombazise AT minaevûn fuzzymathematicsonthebasicofuncertaintytensormodelsiifuzzymathematicsoperationsintensorbasis AT filimonovaoû fuzzymathematicsonthebasicofuncertaintytensormodelsiifuzzymathematicsoperationsintensorbasis
first_indexed	2025-11-27T01:25:01Z
last_indexed	2025-11-27T01:25:01Z
_version_	1849904808660566016
fulltext	ÓÄÊ 512.972 Þ. Í. Ìèíàåâ, ä-ð òåõí. íàóê Íàöèîíàëüíûé àâèàöèîííûé óíèâåðñèòåò (Óêðàèíà, 03057, Êèåâ, ïð-ò Êîñìîíàâòà Êîìàðîâà, 1, òåë.: (044) 4067678, E-mail: minaev@iit.nau.edu.ua), Î. Þ. Ôèëèìîíîâà, êàíä. òåõí. íàóê Êèåâñêèé íàöèîíàëüíûé óíèâåðñèòåò ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû (Óêðàèíà, 03037, Êèåâ, Âîçäóõîôëîòñêèé ïð-ò, 31, òåë.: (044) 2415452, E-mail: filimonova@nm.ru) Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. Îïåðàöèè íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè â òåíçîðíîì áàçèñå (Ñòàòüþ ïðåäñòàâèë ä-ð òåõí. íàóê Â.Ã. Òîöåíêî) Ðàññìîòðåíû ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ âûïîëíåíèåì àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íå÷åò- êèìè ïåðåìåííûìè, ïðåäñòàâëåííûìè â âèäå òåíçîð-ïåðåìåííûõ (ÒÏ). Ïîêàçàíà àäåê- âàòíîñòü îïåðàöèé, âûïîëíÿåìûõ íàä ÒÏ è èõ èíâàðèàíòàìè. Ïðèâåäåíû ïðèìåðû. Ðîçãëÿíóòî ïðîáëåìè, ïîâ’ÿçàí³ ç âèêîíàííÿì àðèôìåòè÷íèõ îïåðàö³é ç íå÷³òêèìè çì³í- íèìè, ÿê³ ìàþòü âèãëÿä òåíçîð-çì³ííèõ (ÒÇ). Ïîêàçàíî àäåêâàòí³ñòü îïåðàö³é, ÿê³ âèêî- íóþòüñÿ íàä ÒÇ òà ¿õí³ìè ³íâàðèàíòàìè. Íàâåäåíî ïðèêëàäè. Ê ë þ ÷ å â û å ñ ë î â à: íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà, òåíçîð, èíâàðèàíò. Èíòåëëåêòóàëüíûå âû÷èñëåíèÿ (ÈÂ) — ýòî êîìïüþòåðíûå òåõíîëîãèè, ïðåäíàçíà÷åííûå äëÿ ïðîâåäåíèÿ èíòåëëåêòóàëüíîãî àíàëèçà äàííûõ ñ ïîìîùüþ âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð, â êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ ìåòîäû è ìîäåëè, èìèòèðóþùèå óìñòâåííóþ è ïîâåäåí÷åñêóþ äåÿòåëüíîñòü ÷åëî- âåêà ïðè ðåøåíèè êîíêðåòíîé ïðèêëàäíîé çàäà÷è. Â ðîáîòàõ [1, 2] ãëàâ- íûé ïðèíöèï ÈÂ, íàçûâàåìûõ ìÿãêèìè âû÷èñëåíèÿìè, îïðåäåëÿåòñÿ êàê òåðïèìîñòü ê íåòî÷íîñòè è ÷àñòè÷íîé èñòèííîñòè äëÿ äîñòèæåíèÿ èíòåð- ïðåòèðóåìîñòè, ãèáêîñòè è íèçêîé ñòîèìîñòè ðåøåíèé. Ïî ìíåíèþ àâòîðîâ [1, 2], ÷àñòè÷íàÿ èñòèííîñòü ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì ïðèçíàêîì, ïî êîòîðîìó ÈÂ îòëè÷àþò îò âû÷èñëåíèé íà îñíîâàíèè èñêóññòâåííîãî èíòåë- ëåêòà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî èìèòàöèÿ óìñòâåííîé è ïîâåäåí÷åñêîé äåÿòåëüíîñòè ïðèñóòñòâóåò (ïðÿìî èëè êîñâåííî) âî âñåõ îïðåäåëåíèÿõ, â ÷àñòíîñòè, ýòî ïðîÿâëÿåòñÿ â íàëè÷èè ñàìîîðãàíèçàöèè èëè îáó÷åíèÿ (ýòè ïîíÿòèÿ, äîñòàòî÷íî áëèçêè). ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 29 Èíòåëëåêòóàëüíûå âû÷èñëåíèÿ øèðîêî ïðèìåíÿþòñÿ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ îáðàáîòêè, àíàëèçà è èíòåðïðåòàöèè íå÷åòêîé, íåäîñòîâåðíîé èëè ïðîòèâîðå÷èâîé èíôîðìàöèè. Â [3] ðàññìîòðåíî òåíçîðíîå ìîäåëèðî- âàíèå íåîïðåäåëåííîñòè, ïðåäëîæåíî ïðåäñòàâëåíèå íå÷åòêîé ïåðåìåí- íîé (ÍÏ), èíòåðâàëüíîé ïåðåìåííîé (ÈÏ) â âèäå òåíçîðà (òåíçîð-ïåðå- ìåííàÿ (ÒÏ), òåíçîð-èíòåðâàë (ÒÈ)). Èíòåëëåêòóàëüíûå âû÷èñëåíèÿ, êàê ïðàâèëî, áàçèðóþòñÿ íà òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ, ÍÏ ÿâëÿåòñÿ îñíîâ- íûì îáúåêòîì âû÷èñëèòåëüíûõ ïðîöåäóð èëè îáîáùåííî — ïðîöåäóð êîìïüþòåðíîé îáðàáîòêè. Ïðåäëîæåííàÿ â [3] òåíçîðíàÿ êîíöåïöèÿ â íå÷åòêèõ ìíîæåñòâàõ îñíîâàíà íà òîì, ÷òî òåíçîðû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ôèçè÷åñêîå ñîñòîÿíèå èíôîðìàöèè, çàâèñèìîé îò èçáðàííîé êîîðäèíàòíîé ñèñòåìû, â êîòîðîé îíà èçìåðÿåòñÿ èëè âîñïðîèçâîäèòñÿ. Â äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìà êîîðäèíàò íå ÿâëÿåòñÿ ñèñòåìîé êîîðäèíàò â ìàòåìàòè÷åñêîì ïîíèìàíèè, à îçíà÷àåò òî÷êó çðåíèÿ îòäåëüíîãî èíäèâèäà (ýêñïåðòà), êîòîðàÿ, â ÷àñòíîñòè, ïðî- ÿâëÿåòñÿ â íàçíà÷åíèè ôóíêöèè ïðèíàäëåæíîñòè (ÔÏ) èëè ñïîñîáà ïîëó÷åíèÿ (îáðàáîòêè) èíôîðìàöèè. Â çàâèñèìîñòè îò ñâîéñòâ, êîòîðûå íóæíî ïîä÷åðêíóòü, òåíçîð ìîæåò áûòü ýêâèâàëåíòíî îïðåäåëåí íåñêîëü- êèìè ñïîñîáàìè. Êàæäîå èç îïðåäåëåíèé òåíçîðà åñòü âçàèìîçàâèñèìûì è ÷àñòî íå ìîæåò îáñóæäàòüñÿ îòäåëüíî [1]. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïðèíÿòîé êîìïîíåíòíîé ôîðìîé ïðåäñòàâëåíèÿ, òåíçîð — ýòî ìíîæåñòâî êîìïî- íåíò, ñâÿçàííûõ ñ îïðåäåëåííîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò, êîòîðàÿ òðàíñôîð- ìèðóåòñÿ ñîãëàñíî ñïåöèàëüíûì ïðàâèëàì êîîðäèíàòíûõ ñèñòåì. Òðåõ- ìåðíûé òåíçîð âòîðîãî ïîðÿäêà, âûáðàííûé áàçîâûì äëÿ ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÏ (íå÷åòêîãî ÷èñëà (Í×)), ñîñòîèò èç äåâÿòè êîìïîíåíò, îáúåäèíåííûõ â êâàäðàòíóþ ìàòðèöó. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî áàçîâûì ÿâëÿåòñÿ òåíçîð âòîðîãî ðàíãà, ðàññìàòðèâàåìûé â ìàòðè÷íîì ïðåäñòàâëåíèè. Òàêîé âûáîð áàçèñà îáóñëîâëåí, òåì, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ÍÏ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå òðåóãîëüíîé ÔÏ, âî-âòîðûõ, èíòåðâàëüíàÿ ôîðìà îïðåäåëåíèÿ ïåðåìåííîé ïðåäóñìàòðèâàåò íàëè÷èå òðåõ çíà÷åíèé — ìàêñèìàëüíîãî, ìèíèìàëüíîãî è ñðåäíåãî. Â ïîëüçó òåíçîðíîãî ïðåä- ñòàâëåíèÿ ÍÏ (Í×) ñâèäåòåëüñòâóåò òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî òåíçîðû âûñîêèõ ïîðÿäêîâ èìåþò ñâîéñòâî ñâåðòêè, ñîãëàñíî êîòîðîìó ýòè òåíçîðû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òåíçîðàìè áîëåå íèçêèõ ïîðÿäêîâ. Ýòî, âî-ïåðâûõ, óïðîùàåò àíàëèç, âî-âòîðûõ, ðàñøèðÿåò âîçìîæíîñòè ìîäåëèðîâàíèÿ ÍÏ è àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä íèìè. Â ÷àñòíîñòè, äëÿ òåíçîðíûõ ìîäåëåé ÍÏ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû îáðàòíûå âåëè÷èíû, ÷òî íåâîçìîæíî â íå÷åòêîé ìàòåìàòèêå, ñôîðìóëèðîâàííîé íà íå÷åòêèõ ìíîæåñòâàõ. Ïîëíàÿ îáðàáîòêà òðàíñôîðìàöèîííûõ ïðàâèë äëÿ êîìïîíåíò ÿâëÿåòñÿ êîìïëåêñíîé, ñîäåðæèò ñåëåêöèþ (÷àñòî ïðîèçâîëüíóþ) ãðóïïû êîîðäèíàòíûõ òðàíñôîðìàöèîí- Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 30 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 íûõ ôóíêöèé è ñâÿçàíà êîìïîíåíòíûìè òðàíñôîðìàöèîííûìè ôóíêöèÿ- ìè, êîòîðûå âûäåëÿþò òåíçîðíûå âåëè÷èíû è ñîõðàíÿþò æåëàòåëüíûå èíâàðèàíòû. Äèàäà ÿâëÿåòñÿ îñíîâíûì áàçèñíûì âèäîì ÒÏ. Êàê èçâåñòíî, äèàäà èìååò ïðèñîåäèíåííóþ ìàòðèöó — ýêâèâàëåíò âíåøíåãî ïðîèçâåäåíèÿ âåêòîðîâ. Äèàäû — ýòî îòäåëüíûé âèä òåíçîðîâ. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îïåðàöèè íàä äèàäàìè. Ñóììà äâóõ äèàä — ýòî îáúåêò, îïðåäåëÿåìûé ðàâåíñòâîì ( ) ( ) ( )x y t x t y t� � � �� (�t), òðåõ äèàä, x�, y�, z� — ðà- âåíñòâîì ( ) ( ) ( ) ( )x y z t x t y t z t� � � � � �� . Ìàòðèöà, ñâÿçàííàÿ ñ ñóììîé äâóõ äèàä, îïðåäåëÿåòñÿ ïðîñòûì äîáàâëåíèåì ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàòðèö. Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå äèàä èìååò âèä [ (x�)] � t = x (�)�t [ 4—7]. Òåíçîð 3-ãî ïîðÿäêà H = Hijkeiejek ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê äåéñòâèå ëèíåéíîãî îïåðàòîðà (âåêòîðà) íà òåíçîð 2-ãî ïîðÿäêà. Àíàëîãè÷íî ìîæ- íî îïðåäåëèòü òåíçîð 4-ãî ïîðÿäêà, èñïîëüçóÿ íîâûé îáúåêò — òåòðàäó è òàê äàëåå. Ìàòåìàòè÷åñêèå îïåðàöèè â ñèñòåìå ÒÏ. Òåíçîð-ïåðåìåííóþ, ìî- äåëèðóþùóþ ÍÏ, ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòðèöó (ïðîåêöèþ òåíçîðà) èëè ñîâîêóïíîñòü èíâàðèàíòîâ, îäíîçíà÷íî è àäåêâàòíî ïðåäñòàâëÿþùèõ îáúåêò, ò. å. ÍÏ. Ðàññìîòðèì îñíîâíûå îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè, ïîçâî- ëÿþùèå ñäåëàòü îáîáùåíèå îïåðàöèé íàä ÍÏ [4, 5, 7—9]: òðàíñïîíèðîâàíèå òåíçîðà À â òåíçîð ÀÒ — çàïèñûâàåòñÿ â âèä u � (AT �v) = u � (A � v) (�v) èëè â èíäåêñíîé íîòàöèè uiAij T vj = vmAmnun; óìíîæåíèå (ëåâîñòîðîííåå) âåêòîða u íà òåíçîð u � A= AT � u èëè A�u = = u � AT — ðåçóëüòàòîì ÿâëÿåòñÿ âåêòîð; äâóñòîðîííåå óìíîæåíèå, u A v u A v u A v u A vi ij j � � � � � � � � �( ) ( ) ; Îáîçíà÷èâ âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå ÷åðåç «:», çàïèñûâàåì u�A�v = = A : uv = uv : A, äëÿ îòäåëüíîé êîìïîíåíòû Aij=ei �A � ej = A:ei ej ; êîìïîçèöèÿ òåíçîðîâ A �B èìååò âèä A �B= Aij ei ej �Bkl ek el = Aij Bkl ei ej � �ek el = Aij Bkl �jk ej el, åñëè ej�ek =�jk. Åñëè èçâåñòíî, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ëèíåéíàÿ, òî ñóùåñòâóåò òåíçîð 2-ãî ïîðÿäêà F, íåçàâèñèìûé îò õ, òàê ÷òî ôóíêöèÿ f (x) ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê F x� . Â èíäåêñíîé íîòàöèè óðàâíåíèå y F x� � ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå y F xj ij j� � . Ýòà ôîðìà èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåàëèçàöèè îïåðàöèé íàä ÍÏ (Í×). Òåíçîð, ñâÿçàííûé ñ êîìïîçèöèåé äâóõ ëèíåéíûõ ïðåîáðà- çîâàíèé, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê: äëÿ ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà f (x) = F � x è g (x) = G � x. Äëÿ f (g (x)) âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî f (g (x)) = F�(G � x) = (F �G) � x (�x). Êîìïîíåíòû (F � G) íàõî- äèì êàê (F �G)ij = Fik Gkj, ÷òî ìîæíî ïîëó÷èòü â âèäå ìàòðè÷íîãî ïðîèç- âåäåíèÿ ìàòðèö [F][G]. Îáðàòíûé òåíçîð ê òåíçîðó G îïðåäåëÿåòñÿ èç Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 31 óñëîâèé x = (G –1 � G) �x èëè G –1 �G = I, ãäå ² — åäèíè÷íûé òåíçîð. Ìàòðèöà G –1 ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ìàòðèöåé ê G. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â òåîðèè íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ ÍÏ èëè Í× íå èìåþò îïðåäåëåíèÿ îáðàòíîé âåëè÷èíû. Òåíçîðíûå ôóíêöèè. Èçâåñòíî, ÷òî òåíçîð ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà ñèììåòðè÷íóþ symA = (A +AT )/2 è àñèììåòðè÷íóþ ÷àñòè skwA = (A – AT )/2, A = sym A + skwA = (AS + Aa ). Ñèììåòðè÷íûé è àñèììåòðè÷íûé òåíçîðû èñïîëüçóþò êàê ïðèìèòèâíûå òåíçîðíûå ôóíêöèè P (A) = (A+ AT )/2 è Q (A) = = (A – AT )/2, àðãóìåíòîì êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ òåíçîð. Îïåðàòîð ïðîåêöèè â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì P (P (A)) = P (A). Òåíçîðíûå ôóíê- öèè ðàññìîòðåííîãî òèïà ìîãóò áûòü ñêîíñòðóèðîâàíû íà îñíîâå ðàçëî- æåíèÿ òåíçîðà íà äåâèàòîðíóþ è øàðîâóþ ÷àñòè, A = Adev + Aiso , ãäå äëÿ òåíçîðà 2-ãî ðàíãà Aiso = (trA)/3, trA = Akk = A11 + A22+ A33, Adev = A–((trA I)/3). Â ýòîì ñëó÷àå ñëåäóåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ôóíêöèè îò Í×(ÍÏ) â òåíçîðíîì ïðåäñòàâëåíèè ÿâëÿþòñÿ òåíçîðíûìè. Â ðàáîòå [10] ðàññìîò- ðåíû òåíçîðíûå ôóíêöèè, îïðåäåëåííûå ÷åðåç èíâàðèàíòû. Òåíçîðíûå îïåðàöèè. Âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå äëÿ äâóõ òåíçîðîâ 2-ãî ïîðÿäêà (îáîçíà÷åíèå A:B) îïðåäåëÿåòñÿ òàê: A B A B A BT T : ( ) ( )� � � �tr tr . Ïðåäñòàâëÿåòñÿ âàæíûì ñëó÷àé âíóòðåííåãî ïðîèçâåäåíèÿ äëÿ äâóõ äèàä: ab rs a b r s a r b sm n m n: ( )( )� � � � . Âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå äëÿ òåíçîðîâ 4-ãî ïîðÿäêà ñëåäóåò îïðå- äåëÿòü äîïîëíèòåëüíî, òàê êàê â ðÿäå ñëó÷àåâ, ÍÏ ïðåäñòàâëÿþò òåíçîðîì, ìàòðèöà êîòîðîãî èìååò âèä 9 9. Ýòî ïðîèçâåäåíèå îáîçíà÷àåì êàê X::Y. Îíî ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðîì è îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå X::Y = Xijkl Yijkl. Ñêàëÿð åñòü àíàëîã ñîîòâåòñòâóþùåé îïåðàöèè íàä òåíçîðàìè 2-ãî ïîðÿäêà. Ñëå- äóåò çàìåòèòü, ÷òî âíóòðåííåå ïðîèçâåäåíèå òåíçîðà 4-ãî ïîðÿäêà ìîæåò áûòü òàêæå îïðåäåëåíî äëÿ åãî ñâåðòêè. Êðîìå òîãî, åãî ìîæíî îïðåäå- ëèòü è òàêèì ñïîñîáîì: A B A B A B: : :� �sym sym skw skw , A B A B A B: : :� �dev dev iso iso , Òåíçîðíûå èíâàðèàíòû. Âîçìîæíîñòü àäåêâàòíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òåíçîðà ñâîèìè èíâàðèàíòàìè èìååò ïðèêëàäíîå çíà÷åíèå â ñëó÷àå åãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ ÍÏ èëè Í×. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ èñïîëüçóþò äåôàäçèôèöèðîâàííûå çíà÷åíèÿ ÍÏ(Í×), è òåíçîð- íûå èíâàðèàíòû èãðàþò ðîëü òàêèõ äåôàäçèôèêàöèé. Äëÿ ëþáîãî òåíçîðà ìîæíî îïðåäåëèòü ãëàâíûå è ïðèñîåäèíåííûå (íåçàâèñèìûå) èíâàðèàíòû. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 32 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 Ãëàâíûå èíâàðèàíòû — ìèíèìàëüíîå ìíîæåñòâî èíâàðèàíòîâ òåí- çîðà (ëþáîãî ïîðÿäêà) òàêîå, ÷òî, âî-ïåðâûõ, âñå äðóãèå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç ýòè èíâàðèàíòû è, âî-âòîðûõ, îíè ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà. Ñèììåòðè÷íûé òåíçîð 2-ãî ïîðÿäêà èìååò òðè ãëàâíûõ èíâàðèàíòà, òàê êàê ÷èñëî ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ðàâíÿåòñÿ òðåì. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëî ãëàâíûõ èíâàðèàíòîâ ëþáîãî ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà, ñîâïàäàåò ñ ÷èñëîì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Â ýòîì ñëó÷àå âñå èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà- ÷åíèÿ. Íåñèììåòðè÷íûé òåíçîð èìååò áîëüøåå ÷èñëî èíâàðèàíòîâ, íî íå âñå èç íèõ ìîãóò áûòü îïðåäåëåíû ÷åðåç ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Â îáùåì ñëó÷àå òåíçîð 2-ãî ðàíãà èìååò âîñåìü íåçàâèñèìûõ èíâàðèàíòîâ [5, 6]. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè èíâàðèàíòàìè åñòü òàê íàçûâàåìûå ñëåäû, I T� tr , II T� tr ( 2 ), III T� tr ( 3 ) êîòîðûå ñ ïîìîùüþ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû òàê: I � � �� 1 2 3 , II � � �� 2 3 , III � � �� 3 2 3 3 3 . Ñ ïîìîùüþ êîìïîíåíò òåíçîðà èíâàðèàíòû ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå I T tii i 1 1 3 � � � �tr , I j j 2 1 3 � � �Co , I T 3 �det ( ), ãäå T T T T T T T T T T � � � � � � � � � � � 11 12 13 21 22 23 31 32 33 , Co 1 11 12 21 22 � � � � � � � T T T T , Co 2 22 23 32 33 � � � � � � � T T T T , Co 3 11 13 31 33 � � � � � � � T T T T . Äëÿ T �1 ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå T T I T I I I � � � �1 2 1 2 3 , ãäå ²1, ²2, ²3 — õàðàêòåðèñòè÷åñêèå èíâàðèàíòû, òàê êàê èõ çíà÷åíèÿ ïîëó÷àþò â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ � 3 – I1� 2 � � I2� – I3 = 0. Åñëè ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà èçâåñòíû, òî I 1 1 � �� 2 3 , I 2 1 2 1 3 2 3 � � �� , I 3 1 2 3 �� . Â ñâîþ î÷åðåäü, ñëåäû èìåþò âèä trT I� 1 , tr (T I I2 1 2 2 2) � � , tr (T I I I I3 1 3 1 2 3 3 3) � � � . Ïîñëåäíåå ñîîòíîøå- íèå ñïðàâåäëèâî äëÿ òðåõìåðíûõ òåíçîðîâ. Äëÿ òåíçîðà â ÷åòûðåõìåðíîì èç- ìåðèìîì ïðîñòðàíñòâå õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä � � 4 1 3 � �I � � � �I I I 2 2 3 4 0� � . Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 33 Òàê æå, êàê èñïîëüçóåòñÿ ïîäìíîæåñòâî äåôàäçèôèêàöèé (ìàêñèìàëü- íîå èëè ñðåäíåå çíà÷åíèÿ, öåíòð òÿæåñòè è äð.), ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ïîäìíîæåñòâî èíâàðèàíòîâ òåíçîðà äëÿ óïðîùåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ òåí- çîðà, â äàííîì ñëó÷àå òåíçîð-ïåðåìåííîé, ìîäåëèðóþùåé ÍÏ. Ðàññìîò- ðèì ñâÿçü îïåðàöèé íàä òåíçîðàìè ñ àíàëîãè÷íûìè îïåðàöèÿìè íàä èõ èíâàðèàíòàìè. Çàìåòèì, ÷òî íàä òåíçîðàìè âûïîëíÿþòñÿ àëãåáðàè÷åñêèå îïåðàöèè, à íàä èíâàðèàíòàìè — àðèôìåòè÷åñêèå. Ñóììà äâóõ òåíçîðîâ, T=A+B, ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà ñ ïîìîùüþ èíâà- ðèàíòîâ [4, 5]: A B I A B I IA b A B � � � � � � � 1 1 1 tr tr . Åñëè ó÷åñòü, ÷òî I I T 2 1 2 2 1 2� �/ ( ))tr ( , òî I A B A BA B 2 2 2 1 2 � � � � �/ (( ) ) )tr tr tr ( . Ïîñëå óïðîùåíèÿ ïîëó÷àåì I I I I I A BA B A B A B 2 2 2 1 1 � � � � � �tr ( ). Äëÿ òðåüåãî èíâàðèàíòà ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå: I A B I I A BA B A B c 3 3 3 � � � � � � �det ( ) : �A B c : . Äëÿ äèàäíîãî òåíçîðà B = uv íàõîäèì I u vB 1 � � , I B 2 0� , I B 3 0� . Ýòîò ðåçóëüòàò âàæåí äëÿ íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè, òàê êàê ïåðâûé èíâà- ðèàíò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåôàäçèôèöèðîâàííîå çíà÷åíèå Í×(ÍÏ), ÷òî ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî óïðîñòèòü àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íàä Í× â òåíçîðíîì áàçèñå. Î ïîëíîòå ñèñòåìû òåíçîðíûõ èíâàðèàíòîâ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè òåíçîðíûõ èíâàðèàíòîâ äëÿ ðåàëèçàöèè îïåðàöèé íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè âîçíèêàåò ïðîáëåìà âîññòàíîâëåíèÿ ðåçóëüòàòà, ò. å. íà îñíîâàíèè ðåçóëü- òèðóþùåé ñèñòåìû èíâàðèàíòîâ íóæíî âîññòàíîâèòü ðåçóëüòèðóþùèé òåíçîð. Âîçìîæíî òàêæå óñëîæíåíèå çàäà÷è — âîññòàíîâèòü ðåçóëüòàò â ôîðìå ÍÏ. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü, íàñêîëüêî ïîëíîé äîëæíà áûòü ñèñòåìà èíâàðèàíòîâ, ÷òîáû âîññòàíîâèòü òåíçîð. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé: ðåçóëüòàòîì îïåðàöèè ÿâëÿåòñÿ ñèììåò- ðè÷íûé òåíçîð. Êàê èçâåñòíî, äëÿ ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà T âûïîëíÿþòñÿ òàêèå óñëîâèÿ: t tij ji� � , t tii � , i, j = 1, 2, 3, ò.å. ÷èñëî ïåðåìåííûõ, êîòîðûå íóæíî îïðåäåëèòü, ÷òîáû âîññòàíîâèòü òåíçîð, ðàâíÿåòñÿ ÷åòûðåì. Â äàí- íîì ñëó÷àå ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ÷åòûðå óñëîâèÿ, êîòîðûõ íåäîñòàòî÷- íî äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïîíåíò òåíçîðà tij , tii i, j = 1, 2, 3. Ýòè óñëîâèÿ, êàê èçâåñòíî, îïðåäåëÿþòñÿ ãëàâíûìè èíâàðèàíòàìè. Èçâåñòíî [5], ÷òî ëþáîé òåíçîð ìîæåò áûòü ðàçëîæåí íà ñèììåò- ðè÷íûé Ð è íåñèììåòðè÷íûé W òåíçîðû. Â ýòîì ñëó÷àå ìîæíî ñôîðìó- ëèðîâàòü ìíîæåñòâî èíâàðèàíòîâ. I P 1 � tr , I P 2 2 � tr , I P 3 3 � tr , I W 4 2 � tr , I PW 5 2 � tr , I P W 6 2 2 � tr , I P W PW 7 2 2 � tr . Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 34 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 Åñëè ê ýòîìó ìíîæåñòâó èíâàðèàíòîâ ïðèáàâèòü ìàãíèòóäó I 0 è îäèí èç òàê íàçûâàåìûõ îðòîãîíàëüíûõ èíâàðèàíòîâ [9, 11—13] I T T T Dv Dv 8 2 � � � � � � � � � � � � �� 1 2 tr 1 3 tr 1 2 tr[ ] [ ] [ ] � � � � � � 1 6 (( ) ( ) ( )S S S S S S 1 2 2 1 3 2 3 2 2 ) , ãäå S 1 , S 2 , S 3 — ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ òåíçîðà, òî ïîëó÷èì äåâÿòü óñëîâèé, êîòîðûõ äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îïðåäåëèòü âñå êîìïîíåíòû òåíçîðà ðåçóëüòàòà. Âîññòàíîâëåíèå ïåðâîíà÷àëüíîãî òåíçîðà ïî ðåçóëüòàòàì îïåðàöèè íàä åãî èíâàðèàíòàìè äëÿ îïåðàöèé íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè èìååò âàæíîå çíà÷åíèå, òàê êàê, âî-ïåðâûõ, íàëè÷èå âîññòàíîâëåííîãî òåíçîðà ïîç- âîëÿåò îñóùåñòâèòü äîïîëíèòåëüíóþ ïðîâåðêó ãëàâíûõ òåîðåòè÷åñêèõ ïîëîæåíèé, âî-âòîðûõ, ñóùåñòâåííî ïîâûøàåòñÿ êîíñòðóêòèâíîñòü ðå- çóëüòàòà äëÿ åãî äàëüíåéøåãî èñïîëüçîâàíèÿ. Èòàê, ïîëàãàåì, ÷òî ñóùåñòâóþò äâà òåíçîðà, T A , T B , è òåíçîð TC , ïîëó÷åííûé â ðåçóëüòàòå îïðåäåëåííûõ îïåðàöèé íàä T A , T B , ò. å. TC � �T TA T B * , ãäå T — òåíçîðíàÿ îïåðàöèÿ. Óêàæåì, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîì ñëó÷àå òåíçîð ìîäåëèðóåò ÍÏ (Í×). Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî êàæäûé èç òåíçîðîâ èìååò ñâîþ ñèñòåìó èíâàðèàíòîâ, êîòîðàÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî òåíçîðà ñîñòîèò èç ãëàâíûõ èíâàðèàíòîâ, ïîëó÷åííûõ íà îñíîâàíèè ñîáñò- âåííûõ çíà÷åíèé (ñòàíäàðòíûå è îðòîãîíàëüíûå èíâàðèàíòû) è ìàãíè- òóäû: S TA A ( ), S TB B ( ), S TC C ( ) è S T S T S TA A T B B C C ( ) ( ) ( )� . Ïî çíà÷å- íèÿì S C íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü êîìïîíåíòû T TC ij C � { }, i, j = 1, n. Äëÿ ðåøåíèÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è öåëåñîîáðàçíî ïðèìåíèòü òåîðåìû ïðåäñòàâëåíèÿ, èçëîæåííûå â [4, 14 — 16] . Ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ ïðîâåðêà. Ïðîâåðêà àäåêâàòíîñòè âûïîëíåíèÿ îïå- ðàöèé â ñèñòåìå ÒÏ è èõ èíâàðèàíòîâ áûëà âûïîëíåíà ñ ó÷åòîì ñëåäóþ- ùèõ óñëîâèé: ïàðàëëåëüíîå âûïîëíåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä èíâàðèàí- òàìè ÒÏ è àëãåáðàè÷åñêèõ îïåðàöèé íàä ÒÏ; îïðåäåëåíèå ïðèáëèæåííûõ (óïðîùåííûõ) ìåòîäîâ âûïîëíåíèÿ îïå- ðàöèé íàä ÒÏ; âîññòàíîâëåíèå ðåçóëüòàòà â âèäå «çíà÷åíèå/ôóíêöèÿ ïðèíàäëåæíîñ- òè», åñëè îí ïîëó÷åí â âèäå ÒÏ. Ðàññìîòðèì îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ ÒÏ, òàê êàê òåíçîðíîå ïðîèçâå- äåíèå äâóõ òåíçîðîâ, ïðåäñòàâëåííûõ â âèäå ìàòðèö, è ïðîèçâåäåíèå äâóõ Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 35 ìàòðèö äàþò ðàçëè÷íûå ðåçóëüòàòû. Êðîìå òîãî, òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå óâåëè÷èâàåò ðàíã òåíçîðà è ñóùåñòâóåò îòäåëüíàÿ îïåðàöèÿ — ïðîèç- âåäåíèå ñî ñâåðòêîé. Ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ îïåðàöèé ïîëó÷åíû â ñèñòåìå MatLab. Îäíèì èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ ñïîñîáîâ âûïîëíåíèÿ îïåðà- öèé íå÷åòêîé àðèôìåòèêè ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá, ïðè êîòîðîì àðèôìåòè÷åñêàÿ îïåðàöèÿ âûïîëíÿåòñÿ êàê ÷åòêàÿ íà �-óðîâíå è ïîëó÷åííîìó ðåçóëüòàòó ïðèïèñûâàåòñÿ ìèíèìàëüíàÿ ÔÏ êîìïîíåíò. Ýòîò ñïîñîá ñ íåêîòîðûìè äîïîëíåíèÿìè ðåàëèçîâàí â âèäå òàê íàçûâàåìîãî ìàòðè÷íîãî ïðèíöèïà, êîòîðûé ñîñòîèò â òîì, ÷òî âûïîëíåíèå îïåðàöèé íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè ~ ~ * ~ { / }* { / }z x y x yf x f y� � � � , ãäå * { , ,, /}f � � � — àðèôìåòè÷åñêàÿ îïåðà- öèÿ, âûïîëíÿåòñÿ ïðè óñëîâèè, ÷òî êàæäûé ýëåìåíò ðåçóëüòàòà îïðåäå- ëÿåòñÿ â âèäå zij = xi f yj , à ÔÏ — ñîîòâåòcòâåííî â âèäå � � �z x y�min ( , ) (îäíà êîìïîíåíòà îïåðàöèè ïðåäñòàâëÿåòñÿ êîâàðèàíòíûì âåêòîðîì, âòî- ðàÿ — êîíòðâàðèàíòíûì). Äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ôîðìà ïðåäñòàâëåíèÿ ðåçóëüòàòà äîëæíà ñîâïàäàòü ñ ôîðìîé ïðåä- ñòàâëåíèÿ êîìïîíåíò îïåðàöèè. Íàïðèìåð, åñëè ÷èñëî ýëåìåíòîâ íå÷åò- êîãî ìíîæåñòâà (ÍÌ), ïðåäñòàâëÿþùåãî ïåðåìåííóþ, ðàâíî òðåì, òî ðå- çóëüòàò äîëæåí áûòü àïïðîêñèìèðîâàí äî ýòîãî æå ÷èñëà ýëåìåíòîâ. Íà ðèñ. 1 è â òàáë. 1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âûïîëíåíèÿ îïåðàöèé ~ ~ ~ ~ x y� � �3 5 è ~ * ~ ~ * ~ x y � 3 5. Êàê âèäèì, àïïðîêñèìàöèÿ ðåçóëüòàòîâ â òðå- áóåìîé ôîðìå ìîæåò áûòü âûïîëíåíà ñëåäóþùèìè ñïîñîáàìè: âûäåëåíèåì êðîññ-ìíîæåñòâà, îáðàçóåìîãî ïåðåñå÷åíèåì ñòðîêè è ñòîëáöà, íà ïåðåñå÷åíèè êîòîðûõ ñòîèò ýëåìåíò ñ ìàêñèìàëüíûì çíà- ÷åíèåì ÔÏ, è ïîñëåäóþùèì èñïîëüçîâàíèåì ñòðîêè èëè ñòîëáöà; âûäåëåíèåì äèàãîíàëè ìàòðèöû ðåçóëüòàòà; êîíñòðóèðîâàíèåì ðåøåíèÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòðîêè è ñòîëáöà. Òàêèì îáðàçîì, èìååì ñëåäóþùèå âàðèàíòû àïïðîêñèìàöèé ðåçóëü- òàòîâ: ~ ~ ~ ~ x y� � � �3 5 def { 6/0,25 8/0,9 10/0,1} — ñòðîêà, {6/0,55 8/0,9 10/0,55} — ñòîëáåö, {4/0,25 8/0,9 12/0,1} — äèàãîíàëü; ~ * ~ ~ * ~ x y � �3 5 def {5/0,25 15/0,9 25/0,1} — ñòðîêà, {9/0,55 15/0,9 21/0,55} — ñòîëáåö, {3/0,25 15/0,9 35/0,1} — äèàãîíàëü. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ñîãëàñíî òåîðèè ÍÌ ýòè àïïðîêñèìàöèè ÿâëÿþòñÿ àáñîëþòíî ýêâèâàëåíòíûìè è èìåþò òàêîå æå çíà÷åíèå, êàê, íàïðèìåð, ðàçëè÷íûå ñïîñîáû äåôàäçèôèêàöèè, òàê êàê ñïîñîá äåôàäçèôèêàöèè ïðÿ- ìî çàâèñèò îò ñïîñîáà àïïðîêñèìàöèè ðåçóëüòàòà. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 36 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 Ðåçóëüòàòû àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè ~ ~ 3 5� = {1/0,25 3/0,90 5/0,10} + + {3/0,55 5/0,95 7/0,55} è ~ * ~ 3 5 = {1/0,25 3/0,90 5/0,10}{3/0,55 5/0,95 7/0,55} ïðèâåäåíû íà ðèñ. 2 è 3. Â òàáë. 2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ìîäåëèðîâàíèÿ àðèôìåòè÷åñêîé îïå- ðàöèè ~ ~ 3 5� ñ ïîìîùüþ ÍÏ è ÒÏ, à òàêæå ñîîòâåòñòâóþùèå âåëè÷èíû ñëåäîâ (ïåðâûé èíâàðèàíò) äëÿ êîìïîíåíò îïåðàöèè è ðåçóëüòàòà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàò îïåðàöèè ~ ~ 3 5� â âèäå {4�0,25 8/0,90 12�0,10} ÿâ- ëÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèåé, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÒÏ èìååò âèä Tz 1 = 100 2 00 3 00 3 60 7 20 10 80 0 40 0 80 1 20 , , , , , , , , , � � � � � � � � � � , åå ñëåä ñîñòàâëÿåò 9,40, òàê êàê àïïðîêñèìàöèÿ, ñóùåñòâåííî îòëè÷àåò- ñÿ îò Tz. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 37 ~ { / }x x x� � ~ { / }x x x� � 1/0,25 3/0,9 5/0,1 1/0,25 3/0,9 5/0,1 4/0,25 6/0,55 8/0,1 3/0,55 ~ { / }y y y� � 3/0,25 9/0,55 15/0,1 3/0,55 ~ { / }y y y� �6/0,25 8/0,9 10/0,1 5/0,95 5/0,25 15/0,9 25/0,1 5/0,95 8/0,25 10/0,55 12/0,1 7/0,55 7/0,25 21/0,55 35/0,1 7/0,55 Òàáëèöà 1. Âûïîëíåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé è âûäåëåíèå êðîññ-ìíîæåñòâà àïïðîêñèìàöèé 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0 2 4 6 8 10 � ( )x 1 3 a á 2 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 0 5 10 15 20 25 30 x � ( )x 1 3 2 Ðèñ. 1. Âûïîëíåíèå àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèè ~ ~ ~ ~ x y� � �3 5 (à) è ~ ~ ~ * ~ x y � 3 5 (á): 1— ñòðîêà êðîññ-ìíîæåñòâà ìàòðèöû ðåçóëüòàòà; 2 — ñòîëáåö; 3 — äèàãîíàëü; ---- êîì- ïîíåíòû îïåðàöèè ~ , ~ 3 5; —— ðåçóëüòàò Àïïðîêñèìèðîâàííûé ðåçóëüòàò îïåðàöèè ~ * ~ 3 5 ïðèíèìàåòñÿ â âèäå ÍÏ 1 ~ 5 ={3/0,25 15/0,90 35/0,1}. Ñîîòâåòñòâóþùàÿ ÒÏ èìååò âèä Tz = 0 75 3 75 8 75 2 70 13 50 31 50 0 30 1 50 3 50 , , , , , , , , , � � � � � � � � � � . Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 38 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 5 x a 0 5 10 y 0 8 12 z Íå÷åòêèå ïåðåìåííûå Òåíçîð-ïåðåìåííûå 5 0 3 3 2 2 1 1 10 5 0 3 3 2 2 1 1 40 20 0 3 3 2 2 1 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 5 x á 0 5 10 y 0 20 40 z Íå÷åòêèå ïåðåìåííûå Òåíçîð-ïåðåìåííûå 5 0 3 3 2 2 1 1 10 5 0 3 3 2 2 1 1 40 20 0 3 3 2 2 1 1 Ðèñ. 2. Ñðàâíèòåëüíàÿ âèçóàëèçàöèÿ àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè ~ ~ 3 5� (à) è ~ * ~ 3 5 (á) Òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÒÏ, Tõ è Tó, ïîëó÷àåì â âèäå òåíçîðà ÷åòâåðòîãî ðàíãà: Tz 1,2375 2,0625 2 = 0 4125 0 6875 0 9625 2 0625 2 8875 3 43, , , , , , 75 4 8125 0 7125 11875 16625 3 5625 4 9875 3 5625 , , , , , , ,2,1375 5 9375 8 3125 0 4125 0 6875 0 9625 2 0625 2 8875 2 , , , , , , , ,1,2375 0625 3 4375 4 8125 14850 2 4750 3 4650 7 4250 10 3 , , , , , , ,4,4550 950 7 4250 12 375 17 325 2 5650 4 2750 5 9850 12 82 , , , , , , ,7,6950 5 17 9550 12 8250 21375 29 925 14850 2 4750 3 4650 , , , , , , , 4,4550 7 4250 10 3950 7 4250 12 375 17 325 01650 0 2750 0 3850 , , , , , , , , 0,4950 0 8250 11550 0 8250 13750 19250 0 2850 0 4750 0 , , , , , , , ,6650 14250 19950 14250 2 3750 3 3250 01650 0 27 0,8550 , , , , , , , 50 0 3850 0 8250 11550 0 8250 13750 1925, , , , , ,4,4950 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Ñîîòâåòñòâóþùèå ñëåäû: tr Òz = 5,75, tr Òz2 = 3,94. Äîñòàòî÷íî ñóùåñò- âåííîå ðàçëè÷èå ñëåäîâ ìîæíî îáúÿñíèòü ïðèíÿòîé àïïðîêñèìàöèåé ðå- çóëüòàòà, òàê êàê äåéñòâèòåëüíàÿ ôîðìà ïîâåðõíîñòè ðåçóëüòàòà èìååò çíà÷èòåëüíî áîëüøå ïèêîâ, ÷åì åãî àïïðîêñèìàöèÿ. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 39 T =T +Tz x y 12 10 8 6 4 2 0 3 3 2 2 1 1 12 10 8 6 4 2 0 3 3 2 2 1 1 T =T Tz x y� 40 30 20 10 0 3 3 2 2 1 1 30 25 20 15 10 5 0 3 3 2 2 1 1 à á â ã Ðèñ. 3. Ñðàâíèòåëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà ðåçóëüòàòà: à, â — ïðåîáðàçîâàíèå ÍÏ ðåçóëüòàòà â òåíçîð-ïåðåìåííóþ; á — ñóììà òåíçîð-ïåðåìåííûõ; ã — òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå òåíçîð- ïåðåìåííûõ ~ : (x x �{1 3 5}, � x = {0,25 0,90 0,10}) ~ : (y y ={3 5 7}, � y={0,55 0,95 0,55}) ~ ~ ~ : (z x y z� � � {4 8 12}, � z ={0,25 0,90 0,10}) Tx � � � � � � � � � � � 0 25 0 75 1 25 0 90 2 70 4 50 0 10 0 30 0 50 , , , , , , , , , tr x = 3,45 Ty � � � � � � � � � � � 1 65 2 75 3 85 2 85 4 75 6 65 1 65 2 75 3 85 , , , , , , , , , tr y = 10,25 Tz = Tx + Ty = 1 90 3 50 5 10 3 75 7 45 1115 1 75 3 05 4 35 , , , , , , , , , � � � � � � � � � � tr z = tr x + tr y = 13,70 Òàáëèöà 2. Ìîäåëèðîâàíèe àðèôìåòè÷åñêîé îïåðàöèè ~ ~ 3 5� Íà ðèñ. 4 ïðèâåäåíû ïðèñîåäèíåííûå òåíçîðû ðåçóëüòàòà. Èõ èñïîëü- çîâàíèå ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíóþ èíôîðìàöèþ î ðåçóëüòàòå. Âû÷èñëèòåëüíûå ïðîöåäóðû íà îñíîâå ÒÏ. Èòåðàöèîííûå ïðî- öåññû â ñèñòåìå òåíçîð-ïåðåìåííûõ. Èñõîäíàÿ (÷åòêàÿ) ñèñòåìà óðàâíå- íèé èìååò âèä Ax b a x a x a x b a x a x a x n n n � � � � � � � � � 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 ... , ... n n n nn n n b a x a x a x b � � � � � � � � � � � � 2 1 1 2 2 , ... . � � � Ïîëîæèì, ÷òî êîýôôèöèåíòû ìàòðèöû À è âåêòîðû b è x ÿâëÿþòñÿ íå- ÷åòêèìè ïåðåìåííûìè (÷èñëàìè), ~ ~ a Aij � , ~ : { / }a aij ij k a k ij � � , ~ ~ : { / }b b bj j k b k j � � � , ~ ~ : { / }x x xi i x k i � � � , i, j = 1, n; k = 1, K, è ïðåäñòàâëåíû äèàãîíàëüíûìè ñâåðòêàìè ÒÏ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÍÏ(Í×), ~a T t t t ij ij a a a a ij ij ij � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 0 0 0 0 0 0 , ~ b T t t t j j b b b b j j j � � � � � � � � � � � � � 1 2 3 0 0 0 0 0 0 , x T t t t i i x x x x i i i � � � � � � � � � � � 1 2 3 0 0 0 0 0 0 . Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 40 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 3 3 2 2 1 1 0,5 0 0,5 3 3 2 2 1 1 � � � 10,5 11 11,5� 10 3 3 2 2 1 1 à á â Ðèñ. 4. Ïðèñîåäèíåííûå òåíçîðû ðåçóëüòàòà: à —ñèììåòðè÷íûé òåíçîð; á — àñèì- ìåòðè÷íûé òåíçîð; â — äåâèàòîð Òîãäà èñõîäíóþ ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå AT xT = bT, çàìåíèâ ìàòðèöó êîýôôèöèåíòîâ ( ~aij ) íà (Tij a ). Ïîëó÷àåì áëî÷íóþ ìàòðèöó, ãäå êàæäûé áëîê åñòü ÒÏ— òåíçîð âòîðîãî ðàíãà ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé A a a a a a T t t t t t n n � � � � � � � � � � � 11 11 11 1 1 1 2 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 3 1 2 3 t t t t a a a a n n n n � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � t t t a a a nn nn nn 1 2 3 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � , è âåêòîðû ~ b j è x i , ïðåäñòàâëåííûå â âèäå ÒÏ: b b b b b b b T t t t t t t n n n � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � T , x x x x x x x T t t t t t t n n n � � � � � � � � � � � 1 1 1 1 2 3 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Îïåðàöèè íàä áëî÷íûìè ìàòðèöàìè òðåáóþò îïðåäåëåííûõ ïîÿñ- íåíèé. Èç ëèíåéíîé àëãåáðû èçâåñòíî, ÷òî íàä áëî÷íûìè ìàòðèöàìè äîïóñòèìû ïðàêòè÷åñêè âñå îïåðàöèè, ïðèìåíåííûå äëÿ ñòàíäàðòíûõ ìàòðèö: ñëîæåíèå, âû÷èòàíèå, óìíîæåíèå íà ñêàëÿð, óìíîæåíèå áëî÷íûõ ìàòðèö, òðàíñïîíèðîâàíèå è äðóãèå, åñëè èõ âûïîëíÿòü ïî îïðåäåëåííûì ïðàâèëàì. Ïðè ñëîæåíèè, âû÷èòàíèè è óìíîæåíèè íåîáõîäèìî, ÷òîáû áëî÷íûå ìàòðèöû áûëè ñîãëàñîâàíû ïî ïðàâèëàì, ïðèíÿòûì äëÿ ñòàí- äàðòíûõ ÷èñëîâûõ ìàòðèö. Ðàññìîòðèì ðåàëèçàöèþ èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð â ñèñòåìå ÒÏ ïðèìå- íèòåëüíî ê çàäà÷å íàõîæäåíèÿ ðåøåíèé ëèíåéíîé íå÷åòêîé ñèñòåìû (ËÍÑ). Âî-ïåðâûõ, çàäà÷à ðåøåíèÿ ËÍÑ ñâåäåíà ê ðåøåíèþ áëî÷íûõ ñèñòåì óðàâíåíèé íèçêèõ è ñðåäíèõ ðàçìåðíîñòåé, àëãîðèòìû êîòîðûõ äîñòàòî÷íî õîðîøî ðàçðàáîòàíû. Âî-âòîðûõ, íàëè÷èå â ñîñòàâå ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ äèàãîíàëüíûõ áëîêîâ-ïîäìàòðèö ãàðàíòèðóåò ïîëó÷åíèå ðåøåíèé. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå îñîáåííîñòè èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 41 Ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè. Åñëè ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà èìååò âèä Ax = b, òî äëÿ ïðèìåíåíèÿ èòåðàöèîííûõ ìåòîäîâ îíà äîëæíà áûòü ïðèâå- äåíà ê ýêâèâàëåíòíîìó âèäó x = Bx + d. Çàòåì âûáèðàåì íà÷àëüíîå ïðè- áëèæåíèå ê ðåøåíèþ ñèñòåìû x x x xn ( ) ( ) ( ) ( ) { , ,..., } 0 1 0 2 0 0 � è íàõîäèì ïîñëåäî- âàòåëüíîñòü ïðèáëèæåíèé ê äåéñòâèòåëüíîìó ðåøåíèþ. Êàê èçâåñòíî, äëÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëî âûïîëíåíî óñëîâèå \|\|B\|\| < 1, ãäå \|\|B\|\| — íîðìà ìàòðèöû B. Êðèòåðèé îêîí÷àíèÿ èòåðà- öèé çàâèñèò îò ïðèìåíÿåìîãî èòåðàöèîííîãî ìåòîäà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî äëÿ ïîäìàòðèö Bf� B áëî÷íîé ìàòðèöû ðàññìàòðèâàåìîãî òèïà âñåãäà ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà íîðìà \|\|Bf\|\|, ïîýòîìó âû÷èñëåíèå \|\|B\|\| íå ÿâëÿåòñÿ ïðîáëåìàòè÷íûì. Îäíàêî óêàæåì åãî îñîáåííîñòè. Ðàññìîòðèì ìåòîä ßêîáè, íà îñíîâå êîòîðîãî ðàçðàáîòàí ñàìûé ïðîñ- òîé ñïîñîá ïðèâåäåíèÿ ñèñòåìû ê âèäó, óäîáíîìó äëÿ èòåðàöèè, è ñîñòîÿ- ùèé â òîì, ÷òî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû âûðàæàþò íåèçâåñòíóþ ïåðåìåííóþ — ðåøåíèå x1, èç âòîðîãî — ðåøåíèå x2 è ò. ä. Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþò ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ìàòðèöåé B, â êîòîðîé íà ãëàâíîé äèàãî- íàëè ñòîÿò íóëåâûå ýëåìåíòû, à îñòàëüíûå âû÷èñëÿþò ïî ôîðìóëàì b a aij ij ii� � / , i, j = 1, 2, ..., n. Êîìïîíåíòû âåêòîðà d âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì: d b ai i ii� / , i = 1, 2, ..., n. Ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè èìååò âèä x Bx dk k( ) ( )� � � 1 , èëè â ïîêîîðäèíàòíîé ôîðìå: x b x b x b x d i k i k i k in n k i ( ) ( ) ( ) ( ) ... � � � � � � 1 1 1 2 2 , i = 1, 2, ... , n. Êðèòåðèé îêîí÷àíèÿ èòåðàöèé â ìåòîäå ßêîáè èìååò âèä x xk k( ) ( )� � ! 1 1 " , ãäå " " 1 1 � � B B . Åñëè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå B < 1/2, òî êðèòåðèé îêîí÷à- íèÿ èòåðàöèé óïðîùàåòñÿ äî ôîðìóëû x xk k( ) ( )� � ! 1 ". Ïåðå÷èñëèì ìàòðè÷íûå îñîáåííîñòè ýòîé ïðîöåäóðû: âåëè÷èíû bij , di èìåþò ñëåäóþùèé âèä: T T Tb a aij ij ii � � * ( )inv , Tdi � �T Tb ai ii * ( )inv , ãäå Tbij , Taij , Taii , Tdi , Tbi — ñîîòâåòñòâóþùèå ÒÏ (òåíçîðû 2-ãî ðàíãà); inv( )Taii — îáðàòíûé òåíçîð Taii ; ïîñêîëüêó Taii — äèàãî- íàëüíûé òåíçîð (êàê è âñå îñòàëüíûå áëîêè), òî îáðàòíûé òåíçîð ñóùåñò- âóåò âñåãäà; âåëè÷èíû x k( )�1 , x k( ) , x kT �1 , x kT èìåþò âèä x T t t t i i x x x x i i i � � � � � � � � � � � 1 2 3 0 0 0 0 0 0 ; Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 42 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 óñëîâèå x xk k( ) ( )� � ! 1 " ðàññìàòðèâàåòñÿ â ôîðìå x k x kT T � � ! 1 ". Ïîäñòàâèâ âìåñòî x k( )�1 , x k( ) èõ òåíçîðíûå àíàëîãè, çàïèøåì x x T T t t t k k x k x k k k k ( ) ( )� � � � � � # � � � � � � � 1 1 1 1 1 2 1 3 0 0 0 0 0 0 " � � � � � � � � � � � � � � � � � t t t k k k 1 2 3 0 0 0 0 0 0 � � � � � � � � � � � � � � # � � � t t t t t t k k k k k k 1 1 1 1 2 2 1 3 3 0 0 0 0 0 0 ". Êàê âèäíî èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ, èññëåäîâàíèå ñõîäèìîñòè èòå- ðàöèîííîãî ïðîöåññà äëÿ ÒÏ íå îòëè÷àåòñÿ ïî ñîäåðæàíèþ îò èññëå- äîâàíèÿ ñõîäèìîñòè äëÿ îáû÷íûõ ïåðåìåííûõ. Àíàëîãè÷íûå âûâîäû ìîãóò áûòü ñäåëàíû äëÿ ëþáûõ èòåðàöèîííûõ ñõåì, â ÷àñòíîñòè äëÿ ìåòîäà ïðîñòîé èòåðàöèè è ìåòîäà Çåéäåëÿ. Íåîáõîäèìî çàìåòèòü ñëåäóþùåå. 1. Óñëîâèå îêîí÷àíèÿ èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà, ðàññìàòðèâàåìîå â âèäå x k x kT T � � ! 1 ", ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî äëÿ íóëåâûõ è ïåðâûõ èíâà- ðèàíòîâ, ÷òî ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ïðèáëèæåííîé ãðóáîé îöåíêè. 2. Ðåøåíèå ñèñòåìû AT xT = bT, xT = { xTi }, i = 1, n, ñëåäóåò ïîíèìàòü òàê: ïðè åãî ïîäñòàíîâêå â èñõîäíóþ ñèñòåìó ïîëó÷àåì áëî÷íûé âåêòîð b b j TT T0 0 �{ } , j = 1, n, òàêîé, ÷òî èíòåðâàë, âû÷èñëåííûé äëÿ max-min çíà÷åíèé ãëàâíîé äèàãîíàëè åãî êîìïîíåíòîâ b j b j b j b jT T T T0 0 0 0 � [ , ] min max âêëàäûâàåòñÿ â àíàëîãè÷íûé èíòåðâàë, ïîëó÷åííûé íà îñíîâàíèè áëî÷- íîãî âåêòîðà b j b j b j b j T T T T � [ , ] min max , ò. å. b j b j T T0 $ . Óñëîâèå b j b j T T0 $ ýêâèâàëåíòíî ñëåäóþùåìó J T J Tb j b j 0 0 0 ( ) ( )# , ãäå J 0 ( ) — íóëåâûå èíâàðèàíòû ñîîòâåòñòâóþùèõ ÒÏ. Èíòåðâàëüíàÿ àðèôìåòèêà. Ñòàíäàðòíàÿ èíòåðâàëüíàÿ àðèôìåòèêà îïåðàöèþ äåëåíèÿ èíòåðâàëîâ A = [a b] è A1 = [a1 b1] îïðåäåëÿåò êàê îïåðàöèþ óìíîæåíèÿ èíòåðâàëà A = [a b] íà èíòåðâàë A a b 1 1 1 1 1 îáð � [ / / ], ò. å. A A A A a a b b/ * [ / / ] 1 1 1 1 � � îáð . Åñëè äîïîëíèòåëüíî îïðåäåëèòü äëÿ êàæäîãî èíòåðâàëà ñðåäíåå çíà÷åíèå (sr è sr1) è äëèíó (w è w1), òî òåíçîðû T x 1 è T x 2 , ñîîòâåòñòâóþùèå èíòåðâàëàì A è A1 , ìîæíî çàïèñàòü â âèäå T a w sr b x 1 � � � � � � � , T a w sr b x 2 1 1 1 1 � � � � � � � . Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 43 Òåíçîð-èíòåðâàë äëÿ A a b 1 1 1 1 1 îáð � [ / / ] èìååò âèä A T x 1 2îáð îáð � � � � � � � � � � ( ) / / / / T a w sr b x 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , à îïåðàöèÿ äåëåíèÿ èíòåðâàëîâ íà óðîâíå èõ òåí- çîðíûõ ìîäåëåé — T T T a a w w sr sr b b x x ä îáð � � � � � � � �1 2 1 1 1 1 * / / / / . Ãëàâíàÿ äèàãîíàëü ÒÈ ðåçóëüòàòà d a a b b� [ / / ] 1 1 , êàê âèäíî èç ïðåäûäóùèõ âû÷èñëåíèé, ñîâïà- äàåò ñ ðåçóëüòàòîì A A A A/ * 1 1 � îáð , ïîëó÷åííûì ñ ïîìîùüþ ñòàíäàðòíîé èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè. Íà ðèñ. 5 ïîêàçàíû ÒÈ T x 1 , T x 2 , T x 2îáð è T T Tx x ä îáð � 1 2 * . Îïåðàöèè � �1 è ��, ðåàëèçîâàííûå â ñèñòåìå MatLab, îçíà÷àþò ïîòî÷å÷íóþ (ìàòðè÷íóþ) ðåà- ëèçàöèþ. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî äëÿ òåíçîðà T t t t t � � � � � � � 11 12 21 22 îáúåêòû T % �1èT � �% 1â ñèñòåìå MatLab èìåþò ñîîòâåòñòâåííî âèä 1 0 0 1 � � � � � � è 1 1 1 1 � � � � � � . Êàê óïîìÿíóòî âûøå, ãëàâíàÿ äèàãîíàëü òåíçîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé èñõîäíûé èíòåðâàë. Ýòî ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü âìåñòî èñõîäíîãî òåí- çîðà (ïðèñîåäèíåííûõ òåíçîðîâ) åãî ìîäåëü â âèäå äèàãîíàëüíîé ìàòðè- öû. Äèàãîíàëüíûå ìàòðèöû èíòåðâàëîâ èìåþò âèä: T x 1 3 0 0 8 � � � � � � � , T x 2 5 0 0 10 � � � � � � � , T x 2 0 20 0 0 0 10 îáð � � � � � � � , , . Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 44 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 10 5 1,5 1,5 2 2 1 1 10 5 0 Tx1 1,5 1,5 2 2 1 1 Tx2 1,0 0,8 0,6 1,5 1,5 2 2 1 1 0,2 0,15 0,1 Tx2 1* 1,5 1,5 2 2 1 1 T T T Tx x x x1 2 1 2 / = * 1 Ðèñ. 5. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå îïåðàöèè îïðåäåëåíèÿ èíòåðâàëîâ â òåíçîðíîì áàçèñå Â ðåçóëüòàòå ïðîâåðêè óñòàíîâëåíî, ÷òî T x 2îáð , îïðåäåëåííàÿ ïî ïðàâè- ëàì è òåîðåìàì ëèíåéíîé àëãåáðû, äàåò ðåçóëüòàò T Tx x 2 2 1 0 0 1 îáð � � � � � � � , ñîâïàäàþùèé ñ îïðåäåëåíèåì åäèíè÷íîé ìàòðèöû (òåíçîðà). Ðåçóëüòàò óìíîæåíèÿ èìååò âèä T Tx x 1 2 15 0 0 80 * � � � � � � � , òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå — T Tx x 1 2 15 0 0 0 0 30 0 0 0 0 40 0 0 0 0 80 � � � � � � � � � � � � � � , òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñî ñâåðòêîé — T Tx x 1 2 225 0 0 60 � � � � � � � �sv , , ò. å. ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò (äèàãîíàëü) âêëàäûâàåòñÿ â èñõîäíûé, ÿâëÿåò- ñÿ áîëåå óçêèì è, åñòåñòâåííî, áîëåå òî÷íûì. Ðàññìîòðèì äëÿ ñðàâíåíèÿ êîíêðåòíûå ïðèìåðû, ðåøåíèå êîòîðûõ ìåòîäàìè ñòàíäàðòíîé èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè ïðèâåäåíî â [17], ïàðàë- ëåëüíî ðåøèâ èõ ñ èñïîëüçîâàíèåì òåíçîðíîé ìåòîäîëîãèè. Ïðèìåð 1. Íåîáõîäèìî îöåíèòü ïîëíóþ ïîâåðõíîñòü S ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàë- ëåëåïèïåäà ñî ñòîðîíàìè a, b, c, çàäàííûìè èíòåðâàëüíî: a = 20 & 2, b = 10 & 1, c = 15 & 1, ò. å. a = [18 22], b = [9 11], c = [14 16]. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëíàÿ ïîâåðõíîñòü ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà S = 2(ab + bc + ña). Çàìåíèâ â ýòîé ôîðìóëå òî÷íûå çíà÷åíèÿ a, b, c èíòåð- âàëüíûìè, ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó äèàïàçîíà ws èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû S: ws$ $ � �2 ( ~~ ~~ ~~ )ab bc ca . Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ èíòåðâàëüíûõ ïðîèçâåäåíèé è ñóìì ñîãëàñíî ïðà- âèëàì ñòàíäàðòíîé èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè ïîëó÷àåì îöåíêó ws$ [1080, 1540] èëè 1080 # S # 1540 [8]. Ïîïûòêè íàéòè îöåíêè äëÿ S íà îñíîâå äðóãèõ ôîðìóë, ïîëó÷åííûõ èç ïðèâåäåííîé ïóòåì ýêâèâàëåíòíûõ ïðåîáðàçîâàíèé (âûíåñåíèÿ çà ñêîáêè a, b èëè c) äàþò ðåçóëüòàòû, ëèáî ñîâïàäàþùèå ñ äàííîé îöåíêîé, ëèáî õóæå (ãðàíèöû äëÿ S øèðå). Âûïîëíèì ðåøåíèå óêàçàííîãî ïðèìåðà ñ ïîìîùüþ òåíçîðíîé ìåòîäîëîãèè. 1. Òåíçîð-èíòåðâàëû äëÿ èíòåðâàëüíûõ ïåðåìåííûõ a, b, c èìåþò âèä Ta � � � � � � � 18 20 4 22 , Tb � � � � � � � 9 10 2 11 , Tc � � � � � � � 14 15 2 16 . 2. Îöåíêó äèàïàçîíà 's èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû S â òåíçîðíîé íîòàöèè ïðåäñòàâèì â âèäå 's $ 2(Ta Ò Tb+ Ta Ò Tc+ Tc Ò Tb), ãäå Ò — çíàê òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ cî ñâåðòêîé. Ïîëó÷àåì îáùèé òåíçîð ðåçóëüòàòà (áåç ñâåðòêè) â âèäå Ts � 1080 1180 1190 1300 200 1280 220 1410 220 240 1300 1420 40 260 240 1540 � � � � � � � � � � � � . Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 45 3. Îïðåäåëèì min-max-ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè — min (diag (Òs)), max (diag (Òs)). Îíè ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 1080 è 1540, ò. å. ñîâïàäàþò c îöåíêîé, ïîëó÷åííîé ñ ïîìîùüþ ìåòîäîâ ñòàíäàðòíîé èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè. 4. Âûïîëíèâ ñâåðòêó òåíçîðà Òs, ïîëó÷èì T sv � � � � � � � 1180 1300 240 1420 ; min-max- ýëåìåíòû ãëàâíîé äèàãîíàëè, min (diag (Òs)), max (diag (Òs)), ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû 1180 è 1420, ò. å. ïîëó÷åííàÿ îöåíêà ãîðàçäî óæå (ñóæåíèå â ïðåäåëàõ 53 %), ÷òî íåñîìíåííî ÿâëÿåòñÿ áîëåå òî÷íîé îöåíêîé, ÷åì ïðè ñòàíäàðòíîì èíòåðâàëüíîì ïîäõîäå. Ïðèìåð 2. Îöåíèòü ïëîùàäü S ïðÿìîóãîëüíèêà, ñóììà ñîñåäíèõ ñòîðîí êîòîðîãî ðàâíà åäèíèöå, à ñàìà ñòîðîíà ìîæåò ïðèíÿòü ëþáîå çíà÷åíèå â èíòåðâàëå [0, 1]. Åñëè îäíà èç ñîñåäíèõ ñòîðîí ðàâíà à, òî äðóãàÿ ðàâíà (1 – a). Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ñîîò- âåòñòâåííî ðàâíà S = a (l – a). Çàìåíèâ òî÷íîå çíà÷åíèå à çàäàííûì ïðèáëèæåííûì, ïðåä- ñòàâëåííûì â èíòåðâàëüíîé ôîðìå [0, 1], ïîëó÷èì îöåíêó äèàïàçîíà 'S èçìåíåíèÿ S : ws$ $ �a a( )1 . Ôîðìóëà äëÿ èíòåðâàëüíûõ âû÷èñëåíèé èìååò âèä ws$ [ , ]([ , ] [ , ]) [ , ]0 1 11 0 1 0 1� � , ò. å. 0 # S # 1. Âûïîëíÿÿ ýêâèâàëåíòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äàííîé ôîðìóëû, íàõîäèì äðóãèå îöåíêè: ïðè S = a – a 2 (ws$ a – a 2 = [0, 1] – [0,1] = [–1, 1] èëè – 1 # S # 1, îòêóäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî âñåãäà S ) 0, ïîëó÷àåì 0 # S # 1; ïðè s = 1/4 – (a–1/2) (a–1/2)('s$ �� – ( / )a �1 2 ( / )a �1 2 = 1/4 – ([0,1] � 1/2) ([0,1] – � 1/2) = [0, 1/2] èëè 0 1 2# #S / ; ïðè s = 1/4 – (a – 1/2) 2 ( 's $ 1/4 � �( / )a 1 2 2 = 1/4 – ([0,1] – 1/2) 2 = [0,1/4] èëè 0 1 4# #S / . Â [17] ïîêàçàíî, ÷òî êà÷åñòâî îöåíêè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò âèäà ôîðìóëû äëÿ îïðå- äåëåíèÿ S. Ñàìàÿ óçêàÿ èç ïîëó÷åííûõ îöåíîê 0 1 4# #S / , è îíà íå ìîæåò áûòü óëó÷øåíà, òàê êàê â ðåçóëüòàòå ðåøåíèÿ çàäà÷è max a (1 – a) ïðè 0 # a # 1 ïîëó÷àåì òîò æå ðåçóëüòàò. Âûïîëíèì ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è, èñïîëüçóÿ òåíçîðíóþ íîòàöèþ. Èíòåðâàëüíàÿ ïåðå- ìåííàÿ a = [0 1] â òåíçîðíîé íîòàöèè èìååò âèä Ta � � � � � � � 0 0 5 1 0 1 0 , , , ; ÷èñëî 1 ïðåäñòàâèì â âèäå âûðîæäåííîãî èíòåðâàëà 1= [1 1], åìó ñîîòâåòñòâóåò ÒÈ T 1 1 1 0 1 � � � � � � � . Ôîðìóëà äëÿ îöåíêè ïðèíèìàåò âèä – TaT (Ò1– Ta), ãäå T — òåíçîðíîå ïðîèçâåäåíèå ñî ñâåðòêîé. Ïîëó÷àåì òåíçîð ðåçóëüòàòà â âèäå Ts � � � � � � � � � � � � � 0 0 0 5 0 25 0 0 0 5 0 1 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 1 0 0 , , , , , , , , , � � � . Âûïîëíèì àíàëèç ïîëó÷åííîãî òåíçîðà, îïðåäåëèâ min-max-ýëåìåíòû ãëàâíîé äèà- ãîíàëè — min (diag (Òs)), max (diag (Òs)) è min-max-ýëåìåíòû ïîëó÷åííîé ìàòðèöû ñîîòâåòñòâåííî min (Òs), max (Òs). Â ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì èíòåðâàë [0,1], âî âòîðîì ñëó÷àå — èíòåðâàë [– 1,1]. Ïîñëå ñâåðòêè òåíçîðà ðåçóëüòàòà ïîëó÷àåì T sv � � � � � � � 0 0 25 0 5 0 5 , , , , îòêóäà âèäíî, ÷òî èíòåðâàë îöåíêè ñîñòàâëÿåò [0, 0,5]. Êàê âèäèì, íà îñíîâàíèè îäíîãî âûðàæåíèÿ äëÿ îöåíèâàåìîé âåëè÷èíû ïîëó÷åíû ïðàêòè÷åñêè âñå âîçìîæíûå îöåíêè. Íåóëó÷øàåìóþ îöåíêó òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü ïîñëå ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàñ÷åòíîé ôîðìóëû. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 46 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 Òàêèì îáðàçîì, âñå îïåðàöèè, âûïîëíÿåìûå íàä äèàãîíàëüíûìè ìàòðè÷íûìè ìîäå- ëÿìè èíòåðâàëîâ, ÿâëÿþòñÿ êîððåêòíûìè. Ðåçóëüòàò äåëåíèÿ èíòåðâàëîâ À è À1, ïîëó÷åí- íûé íà óðîâíå äèàãîíàëüíûõ ìàòðèö, ñîñòàâëÿåò T ä � � � � � � � 0 60 0 0 0 80 , , , ò. å. ïîëíîñòüþ ñîâïà- äàåò ñ ðåçóëüòàòîì èíòåðâàëüíîé îïåðàöèè. Èíòåðâàëüíûå ñèñòåìû. Êàê ïîêàçàëè èññëåäîâàíèÿ, ðåøåíèÿ èí- òåðâàëüíûõ ñèñòåì ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé (ÑËÀÓ), ïðåä- ñòàâëåííûõ òåíçîðàìè, ïîëó÷àþòñÿ áîëåå óçêèìè è âñåãäà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå âêëþ÷åíèÿ òåíçîðíîãî ðåøåíèÿ â ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ïîëó- ÷åííûõ èíòåðâàëüíûìè ìåòîäàìè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðûå ïðèìåðû ðåøå- íèÿ èíòåðâàëüíûõ ÑËÀÓ, ïðèìåíèâ ñòàíäàðòíûå èíòåðâàëüíûå ìåòîäû è òåíçîðíûå ìîäåëè. Êàê èçâåñòíî, ïðè ðåøåíèè èíòåðâàëüíûõ ÑËÀÓ èñïîëüçóþò ïðèíöèï èíòåðâàëüíîãî ðàñøèðåíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ñäåëàåì íåêîòîðûå óòî÷íåíèÿ. Âñå èçâåñòíûå ðàñøèðåíèÿ íîñÿò èñêëþ÷èòåëüíî ýâðèñòè÷åñ- êèé õàðàêòåð, ò. å. ÿâëÿþòñÿ íå äîêàçàííûìè. Îäíàêî ïóòåì èíäóêòèâíûõ (ïðàâäîïîäîáíûõ) ðàññóæäåíèé (äîêàçàòåëüñòâ) ìîæíî îïðåäåëèòü óñëî- âèÿ, ïðè êîòîðûõ ïðàâèëüíîñòü ðàñøèðåíèé áóäåò ìàêñèìàëüíîé, èëè îïðåäåëèòü äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ ýòè ðàñøèðåíèÿ áûëè áû ðàáîòîñïîñîáíû. Öåëåñîîáðàçíîñòü äîêàçàòåëüñòâà òåîðåì, îñíîâàí- íûõ íà ýâðèñòè÷åñêèõ ðàñøèðåíèÿõ, â êàæäîì êîíêðåòíîì ñëó÷àå äîëæíà áûòü îáîñíîâàíà. Íàïðèìåð, ñîãëàñíî ïðèíöèïó íå÷åòêîãî ðàñøèðåíèÿ Çàäå âñå îïåðàöèè, îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è ïåðåìåííûõ, ìîãóò áûòü ïåðåíåñåíû íà íå÷åòêèå ÷èñëà è ïåðåìåííûå. Íî, êàê èçâåñòíî, îáðàòíàÿ âåëè÷èíà, îïðåäåëåííàÿ äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë è ïåðåìåííûõ, íå èìååò àíàëîãà äëÿ ÍÏ è ÷èñåë. Ýòî îòíîñèòñÿ òàêæå ê èíòåðâàëüíûì ðàñøèðåíèÿì. Ñîãëàñíî [18] èíòåðâàëüíîå ðàñøèðåíèå ýëåìåíòàðíîãî ôóíêöèîíàëüíîãî âûðàæåíèÿ, ïî- ëó÷åííîãî â ðåçóëüòàòå çàìåíû àðãóìåíòîâ íà èíòåðâàëû, â êîòîðûõ îíè ñî- äåðæàòñÿ, à àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè è ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè íà èõ èíòåð- âàëüíûå àíàëîãè íàçûâàþò åñòåñòâåííûì èíòåðâàëüíûì ðàñøèðåíèåì. Ïóñòü [x] �� n — âåêòîð, ñîñòîÿùèé èç ýëåìåíòîâ-èíòåðâàëîâ (áðóñ èëè ïàðàëëåëîòîï). Åñëè àðèôìåòè÷åñêèå îïåðàöèè åñòåñòâåííûì îáðà- çîì ðàñøèðÿþòñÿ íà âåêòîðû è ìàòðèöû, òî èíòåðâàëüíàÿ ôóíêöèÿ îïðåäå- ëÿåòñÿ êàê f ([x]) = {f {x} \| x�[x]}. Äëÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùèõ ôóíêöèé èíòåðâàëüíàÿ ôóíêöèÿ èìååò âèä f ([x]) = [f (xmin), f(xmax)]. Îïðåäåëåíèå òî÷íîãî îáðàçà èíòåðâàëüíîé ôóíêöèè â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ íåâîç- ìîæíî, ïîýòîìó ðàáîòàþò ñ ôóíêöèÿìè âêëþ÷åíèÿ [ f ]([x]), ò. å. òàêèìè, êîòîðûå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f ([x]) * [f]([x]) � �[ ]x n � . Ñóùåñòâóþò ñïîñîáû ïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé âêëþ÷åíèÿ, ïðèáëèæåííûå ê èñõîäíîé èíòåðâàëüíîé ôóíêöèè ñ êîíòðîëèðóåìîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè [18]. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 47 Äàëåå èñïîëüçóåì èíòåðâàëüíèé ìåòîä Ãàóññà, èëè èíòåðâàëüíîå ðàñ- øèðåíèå ìåòîäà Ãàóññà, îïðåäåëèâ åãî äëÿ èíòåðâàëüíîé ñèñòåìû óðàâ- íåíèé Ax = b êàê çàìåíó âñåõ ðàñ÷åòíûõ âåëè÷èí íà èíòåðâàëüíûå, à àðèô- ìåòè÷åñêèå îïåðàöèè íà îïåðàöèè èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè. Ïðåäñòàâëåíèå èíòåðâàëà â âèäå òåíçîðà ÷åòíûõ ðàíãîâ, à òàêæå â âèäå ïëîñêîãî òåíçîðà 2-ãî ðàíãà ñ äèàãîíàëüíîþ ìàòðèöåé A a a T a a A� � � � � � � �[ , ] min max min max 0 0 ñ äàëüíåéøåé çàìåíîé îïåðàöèé íàä èíòåðâàëàìè îïåðàöèÿìè íàä òåíçî- ðàìè, êîòîðûå ìîäåëèðóþò èíòåðâàë, A B T Ti A T B* * , ãäå * I T — ñîîòâåòñòâóþùèå îïåðàöèè â èíòåðâàëüíîì è òåíçîðíîì áàçèñàõ, ïîç- âîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ýòî ïîëîæåíèå êàê òåíçîðíîå ðàñøèðåíèå èíòåð- âàëüíîãî áàçèñà. Ñîîòâåòñòâåííî, íàïðèìåð, ìåòîä Ãàócñà â òåíçîðíîì áàçèñå àíàëîãè÷íî èíòåðâàëüíîìó ðàñøèðåíèþ, «ðàñøèðÿåòñÿ» òàêèì îáðà- çîì, ÷òî âñå ðàñ÷åòíûå âåëè÷èíû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê òåíçîðû, à îïåðàöèè íàä íèìè — êàê îïåðàöèè òåíçîðíîé àëãåáðû (èíòåðâàëüíîå ðàñøèðåíèå — èíòåðâàëüíûå âåëè÷èíû è îïåðàöèè èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè). Íåîáõîäèìî çàìåòèòü, ÷òî òåíçîðû ìîæíî îäíîçíà÷íî ïðåäñòàâëÿòü ñèñòåìîé ñâîèõ èíâàðèàíòîâ è ôóíêöèè îò òåíçîðîâ ðàññìàòðèâàòü êàê ôóíêöèè îò èíâàðèàíòîâ. Ýòî îòêðûâàåò íîâûå âîçìîæíîñòè ðåøåíèÿ çàäà÷ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Òåîðèÿ èíäóêòèâíûõ ðàññóæäåíèé ïðåäïîëàãàåò íàëè÷èå ïðèìåðîâ è êîíòðïðèìåðîâ, ìàêñèìèçàöèþ ïðàâèëüíûõ âûâîäîâ è ìèíèìèçàöèþ íå- ïðàâèëüíûõ. Ýòî ïîëîæåíèå ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç îñíîâîïîëàãàþùèõ äëÿ èíòåëëåêòóàëüíûõ ñèñòåì è âû÷èñëèòåëüíîãî èíòåëëåêòà. Êîððåêòíîñòü è äîêàçàòåëüíîñòü òåíçîðíûõ ðàñøèðåíèé âûòåêàåò èç ñëåäóþùåãî. Âûïîë- íåííûå èññëåäîâàíèÿ ïîêàçàëè, ÷òî âñå îïåðàöèè ñòàíäàðòíîé èíòåðâàëü- íîé àðèôìåòèêè, áóäó÷è ðåàëèçîâàííûìè â òåíçîðíîì áàçèñå è ïåðåâå- äåííûå â ñòàíäàðòíûå èíòåðâàëû, äàëè èäåíòè÷íûå ðåçóëüòàòû. Ñëåäóåò ïðîÿâèòü îïðåäåëåííóþ îñòîðîæíîñòü ïðè èñïîëüçîâàíèè òåíçîðíîãî ðàñøèðåíèÿ, òàê êàê òåçîðíûå ìîäåëè èíòåðâàëüíûõ ÑËÀÓ äàþò âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü ëèøü îäèí ãàðàíòèðîâàííûé áðóñ ðåøåíèé, â òî âðåìÿ êàê ðàñøèðåííàÿ èíòåðâàëüíàÿ àðèôìåòèêà ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü ìíîæåñòâî òàê íàçûâàåìûõ ÀÅ-ðåøåíèé, îïðåäåëåíèå êîòîðîãî òåíçîð- íûì ðàñøèðåíèåì òðåáóåò îòäåëüíûõ èññëåäîâàíèé. Ðàññìîòðèì èíòåðâàëüíóþ ÑËÀÓ ñ ìàòðèöåé 2 2. Íåñìîòðÿ íà êàæó- ùóþñÿ ïðîñòîòó, ðåøåíèå â äàííîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòîé çàäà÷åé [18]. Îïðåäåëåíèå îáðàòíîé èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû ïî ïðàâèëàì ëèíåé- Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 48 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 íîé àëãåáðû ïðè óñëîâèè, êîãäà a, b, c, d — èíòåðâàëû, èìååò âèä a b c d ad bc d b c a � � � � � � � � � � � � � � � � �1 1 . Ðåøåíèåì èíòåðâàëüíîé ÑËÀÓ [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 2 4 21 12 2 4 1 2 1 2 � � � � � � � � � � � � � � �x ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàëüíûé âåêòîð x = ([–5/6, 4], [–5/3, 3]) T [18], îäíàêî îïòè- ìàëüíîé âíåøíåé îöåíêîé ìíîæåñòâà ðåøåíèé åñòü áîëåå óçêèé áðóñ, äëÿ êîòîðîãî x0 = ([0, 4], [–1, 3]) T . Ïðèìåð 3. Ðåøèì ïðèâåäåííóþ âûøå èíòåðâàëüíóþ ÑËÀÓ, ïðåäñòàâèâ åå â âèäå òåíçîðíîé ìîäåëè: 2 0 0 4 2 0 0 1 1 0 0 2 2 0 0 4 � � � � � � �� x 1 0 0 2 1 0 0 2 . Ðåøåíèå òåíçîðíîé ÑËÀÓ âûïîëíèì ïî ïðàâèëó ðåøåíèÿ ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå- íèé ñ ìàòðèöåé 2 2, äëÿ êîòîðîé a x a x b a x a x b 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 � � � � , , x b a b a a a a a lt lt 1 1 12 2 22 11 12 21 22 1 � � , x a b a b a a a a lt lt 2 11 1 22 2 11 12 21 22 2 � � , ãäå lt, lt1, lt2 — ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëèòåëè, ïðè óñëîâèè, ÷òî âñå ðàñ÷åòíûå êîìïîíåíòû ÿâëÿþòñÿ òåíçîðàìè, â ÷àñòíîì ñëó÷àå — äèàãîíàëüíûìè. À ë ã î ð è ò ì âû÷èñëåíèÿ òåíçîðà ðåøåíèé. 1. Ôîðìèðîâàíèå äèàãîíàëüíûõ òåíçîðîâ, ìîäåëèðóþùèõ èíòåðâàëû: a 11 2 0 0 4 � � � � � � �, a 12 2 0 0 1 � �� , a 21 1 0 0 2 � �� , a 22 2 0 0 4 � � � � � � � , b 1 1 0 0 2 � � � � � � �, b 2 1 0 0 2 � � � � � � �. 2. Âû÷èñëåíèå òåíçîðîâ-îïðåäåëèòåëåé: lt � � � � � � � 2 0 0 14 , lt 1 4 0 0 6 � � � � � � � , lt 2 4 0 0 6 � � � � � � � , lt � � � � � � � � 1 0 5 0 0 0 0714 , , . 3. Âû÷èñëåíèå ÒÈ: x n1 2 0 0 0 0 43 � � � � � � � , , , x n2 1 5 0 0 0 29 � � � � � � � , , . Íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëåíû ðåçóëüòàòû ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Êàê âèäèì, ðåøåíèÿ èíòåð- âàëüíîé ÑËÀÓ x x xn n n1 1 1 �[ , ] min max è x x xn n n2 2 2 �[ , ] min max , ïîëó÷åííûå íà îñíîâàíèè òåíçîðíîãî ïðåäñòàâëåíèÿ èíòåðâàëîâ, ÿâëÿþòñÿ áîëåå óçêèìè, òàê êàê âûïîëíÿåòñÿ âêëþ÷åíèå èíòåð- Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 49 âàëîâ x xn1 1 � è x xn2 2 � , ãäå õ1, õ2 ïîëó÷åíû ìåòîäàìè êîíå÷íîìåðíîãî èíòåðâàëüíîãî àíàëèçà. Òåïåðü îïðåäåëèì îáðàòíóþ ìàòðèöó ñ ïîìîùüþ òåíçîðíûõ ìîäåëåé èíòåðâàëîâ. 1. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòðèöà çàäàíà â âèäå 2 1 5 2 3 � � � � � � � � � [ , ] . 2. Ïðåäñòàâèì ýëåìåíòû èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû â âèäå òåíçîðîâ ñ äèàãîíàëüíîé ìàòðèöåé a 11 2 0 0 2 � � � � � �, a 12 1 0 0 1 � � � � � � � �, a 21 5 0 0 2 � � � � � � � �, a 22 3 0 0 3 � � � � � � . 3. Ñôîðìèðóåì èíòåðâàëüíóþ ìàòðèöó â òåíçîðíîì áàçèñå: È= a a a a 11 12 21 22 2 0 0 2 1 0 0 1 5 0 0 2 � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 3 0 0 3 2 0 1 0 0 2 0 1 5 0 3 0 0 2 0 3 � � � � � � � � . 4. Âû÷èñëÿåì îáðàòíóþ ìàòðèöó (È) �� è ïðåâðàùàåì åå â èíòåðâàëüíóþ ìàòðèöó: È –1 = 3 0 0 1 0 0 0 0 75 0 0 25 5 0 0 2 0 0 0 0 5 0 0 5 , , , , , , , , � � � � � � � � � � � � , Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 50 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 4 3 2 1 0 1� x 1 x 2 1 2 3 Â å ë è ÷ è í à è í ò å ð â à ë à à á â Íîìåð ïåðåìåííîé 4 3 2 1 0 1� � x 1 x 2 1 2 3 4 3 2 1 0 1� x 1 x 2 1 2 3 Ðèñ. 6. Ðåøåíèå èíòåðâàëüíîé ÑËÀÓ [18]: a, á — ðåøåíèÿ, ïîëó÷åííûå âû÷èñëåíèåì îáðàòíîé èíòåðâàëüíîé ìàòðèöû; â — ðåøåíèå, ïîëó÷åííîå òåíçîðíûì ìîäåëèðîâàíèåì èíòåðâàëà È= 3 0 0 0 75 1 0 0 0 25 5 0 0 0 5 2 0 0 0 5 , , , , � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � [ , , ] [ , , ] [ , , ] [ , , ] 0 75 3 0 0 25 1 0 0 5 5 0 0 5 2 0 � � �, [ / , ] [ / , ] [ / , ] [ / , ] 3 4 3 1 4 1 1 2 5 1 2 2 � � � � � �. Íåòðóäíî çàìåòèòü åå ïîëíîå ñîâïàäåíèå ñ ðåçóëüòàòîì, ïîëó÷åííûì íà òåíçîðíûõ ìîäåëÿõ èíòåðâàëîâ. Ðåøåíèå èíòåðâàëüíîãî óðàâíåíèÿ Õàíñåíà [18] èìååò âèä A � � � � � � � � � � 3 5 0 2 0 2 0 2 3 5 0 2 0 2 0 2 3 5 , [ , ] [ , ] [ , ] , [ , ] [ , ] [ , ] , � , B � � � � � � � � � � � � � � [ , ] [ , ] [ , ] 11 11 11 , X � � � � � � � � � � � � � � [ , , ] [ , , ] [ , , ] 1 76 1 76 1 76 1 76 1 76 1 76 . Åãî òåíçîðíî-èíòåðâàëüíûé àíàëîã: AT � 3 5 0 0 0 0 0 0 3 5 0 2 0 2 0 0 3 5 0 0 0 0 2 0 3 5 0 2 0 0 0 0 3 5 0 0 2 0 2 0 3 , , , , , ,5 � � � � � � � � � � � � � � � � � � , BT � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 . Åãî îáðàòíàÿ ìàòðèöà AT �1 : AT � � � � 1 0 2857 0 0 0 0 0 0 0 4889 0 0 1778 0 0 1778 0 0 0 2857 0 0 0 , , , , , 0 0 1778 0 0 4889 0 0 1778 0 0 0 0 0 2857 0 0 0 1778 0 0 1778 � � � � , , , , , , 0 0 4889, � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Òåïåðü ðåøåíèå ïðèíèìàåò âèä X A BT� �1 ; X * ([ , , ]; [ , , ]; [ , , ]; [ , ,� � � � �0 29 0 13 0 29 0 13 0 29 0 13 0 29 0 13]) T . Â ðåçóëüòàòå èòåðàöèîííûõ ïðîöåäóð íà îñíîâå ìåòîäà ßêîáè ñ òåíçîðíî-èíòåð- âàëüíîé ìàòðèöåé ïîëó÷àåì X s � � � � �([ , , ]; [ , , ]; [ , , ]; [ ,0 9667 2 6 0 9667 2 6 0 9667 2 6 0 9667 2 6, ]) T . Èòåðàöèîííûå ïðîöåäóðû íà îñíîâå ðàñøèðåííîé èíòåðâàëüíîé àðèôìåòèêè Êàóõåðà äàþò ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: X 0 11667 2 5 11667 2 5 11667 2 5 1166� � � � �([ , , ]; [ , , ]; [ , , ]; [ , 7 2 5, ]) T . Êàê âèäèì, ðåøåíèÿ Õ s è Õ 0 áëèçêè, ðåøåíèå Õ * ÿâëÿåòñÿ áîëåå óçêèì, ò. å. áîëåå òî÷íûì, ÷åì Õ s , Õ 0 *Õ. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 51 Âûâîäû. 1. Íå÷åòêàÿ ïåðåìåííàÿ (íå÷åòêîå ÷èñëî) ìîæåò áûòü ïðåä- ñòàâëåíà êàê òåíçîð, â ïðîñòåéøåì âèäå 2-ãî ðàíãà, åñëè ÍÏ èìååò òðå- óãîëüíóþ ôîðìó, â ÷àñòíîñòè â âèäå äèàäû, îáðàçîâàííîé íà îñíîâå òåíçîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ çíà÷åíèÿ è ÔÏ. 2. Öåëåñîîáðàçíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå îáóñëîâ- ëåíà ñëåäóþùèìè ïðè÷èíàìè. Íåîïðåäåëåííîñòü, ìîäåëèðóåìàÿ â âèäå íå÷åòêîñòè (çíà÷åíèå — ÔÏ) — äîñòàòî÷íî ñëîæíîå ïîíÿòèå. Åå îïðåäåëåíèå â âèäå «çíà÷åíèå — ÔÏ» íå âñåãäà óäîâëåòâîðÿåò ïîëüçîâàòåëÿ. Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî â òåîðèè ÍÌ íå îïðåäåëåíà îáðàòíàÿ âåëè÷èíà, íàêëàäûâàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ôîðìèðîâàíèå îïåðàöèé íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè. Îäíîé èç ôîðì ïðåäñòàâëåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè åñòü ïðåäñòàâëåíèå îáúåêòà àíàëèçà (óïðàâëåíèÿ) â âèäå ìíîæåñòâà çíà÷åíèé, íà êîòîðûå íà îïðåäåëåííîì ýòàïå çíà÷åíèÿ ÔÏ íå ìîãóò áûòü íàëîæåíû. Â ÷àñòíîñòè, ïðè èíòåðâàëüíîì ïðåäñòàâëåíèè èìååì òðîéêó çíà÷åíèé (ìàêñèìàëüíîå, ìèíèìàëüíîå è ñðåäíåå), êàæäîå èç êîòîðûõ òàêæå ìîæåò áûòü ïðåä- ñòàâëåíî òðîéêîé. 3. Òåíçîðíàÿ ìîäåëü ÍÏ ïîçâîëÿåò ñóùåñòâåííî ïîâûñèòü èíôîðìà- òèâíîñòü ïðåäñòàâëåíèÿ íåîïðåäåëåííîñòè îáúåêòà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî òåíçîð (ãëàâíûé), ìîäåëèðóþùèé ÍÏ, èìååò ïðèñîåäèíåííûå òåíçîðû. Ñâîéñòâà ïðèñîåäèíåííûõ òåíçîðîâ âîññòàíàâëèâàòü îïðåäåëåííûå õàðàêòåðèñòèêè íåîïðåäåëåííîñòè îáúåêòà (äåâèàòîð — âàðèàáåëüíîñòü, èçîòðîïíûé òåí- çîð — áàçîâóþ îòíîñèòåëüíî ñòàáèëüíóþ ÷àñòü) äàþò âîçìîæíîñòü ïîâû- ñèòü îáúåêòèâíîñòü ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿ. 4. Îïåðàöèè íå÷åòêîé ìàòåìàòèêè â òåíçîðíîì áàçèñå ôîðìóëèðóþòñÿ êàê îïåðàöèè òåíçîðíîé àëãåáðû. Â çàâèñèìîñòè îò ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ýòè îïåðàöèè ìîæíî âûïîëíÿòü, èñïîëüçóÿ êàê ãëàâíûé òåíçîð, òàê è ïðèñîåäèíåííûå òåíçîðû. Ñâîéñòâî èçîòðîïíîãî òåíçîðà âñåãäà èìåòü îáðàòíûé òåíçîð, ïîçâîëÿåò ñîçäàòü ðàñøèðåííóþ ñèñòåìó ìàòåìàòè÷åñ- êèõ îïåðàöèé íàä ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå. 5. Ñâîéñòâà òåíçîðà èìåòü èíâàðèàíòû (êîíñòàíòû, êîòîðûå íå èçìå- íÿþòñÿ ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò) ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü îïåðàöèè íàä ÍÏ â òåíçîðíîì áàçèñå êàê îïåðàöèè íàä èíâàðèàíòàìè. Â ñâîþ î÷åðåäü, èíâàðèàíòû òåíçîðà, ìîäåëèðóþùåãî ÍÏ, ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû êàê íà îñíîâàíèè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû, ÿâëÿþùåéñÿ ïðîåêöèåé ñîîò- âåòñòâóþùåãî òåíçîðà, òàê è íà îñíîâàíèè ýëåìåíòîâ òåíçîðà (ìàòðèöû). 6. Ñâîéñòâî òåíçîðà îáðàçîâûâàòü ñâåðòêè äàåò âîçìîæíîñòü ñóùåñò- âåííî ïîíèçèòü ðàíã òåíçîðà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ðåçóëüòàò èëè îòäåëüíóþ êîìïîíåíòó îïåðàöèè, è òåì ñàìûì äàåò âîçìîæíîñòü óìåíüøèòü ðàçìåð- íîñòü çàäà÷è ñî âñåìè âûòåêàþùèìè îòñþäà ïðåèìóùåñòâàìè. Ñëåä òåí- çîðà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ äåôàäçè- Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 52 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2 ôèöèðîâàííîå çíà÷åíèå ÍÏ, ÷òî ïîçâîëÿåò ðåçóëüòàò, ïîëó÷åííûé â òåí- çîðíîé ôîðìå, ïðåäñòàâèòü â ñòàíäàðòíîì âèäå: çíà÷åíèå — ÔÏ. 7. Òåíçîðíàÿ ìåòîäîëîãèÿ ïîçâîëÿåò ñîãëàñîâàòü îáúåêòû èññëåäî- âàíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè, ïðåäñòàâëåííûõ ýêñïåðòàìè â âèäå ìíîæåñòâ ÍÏ, îäíîé ÒÏ, ìîäåëèðóþùåé ÍÏ è òåíçîðà ïðèñîåäèíåíèÿ. Arithmetical operations realization is considered for fuzzy variables which are presented as the tensor variables. The adequacy of operations on the tensor variables and their invariants is shown. The examples are given. 1. Àâåðêèí À. Í., Áàòûðøèí È. Ï. Ìÿãêèå âû÷èñëåíèÿ //Íîâîñòè èñêóññòâåííîãî èíòåë- ëåêòà. — 1996. — ¹ 3. — Ñ. 161—164. 2. Àâåðêèí À. Í. Ìÿãêèå âû÷èñëåíèÿ - îñíîâà íîâûõ èíôîðìàöèîííûõ òåõíîëîãèé. // Ñá. íàó÷í. òð. ïÿòîé íàöèîíàëüíîé êîíôåðåíöèè ñ ìåæäóíàðîäíûì ó÷àñòèåì «Èñêóññò- âåííûé èíòåëëåêò—96». — Êàçàíü, 1996. — Ò. 2. — Ñ. 237—239 3. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Ìÿãêèå âû÷èñëåíèÿ íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. I. Tåíçîð-ïåðåìåííàÿ â ñèñòåìå íå÷åòêèõ ìíîæåñòâ. // Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. — 2008. — 30, ¹ 1. — Ñ. 43—57. 4. Brannon R. M. Introduction to Tensor Analysis. —http://me. unm. edu/ ~rmbrann/ MohrsCircle.pdf 5. Arfken G. B., Weber H.J. Mathematical Methods for Physicists. — San Diego : Academic Press, 1995. 6. Yongnian H., Xiongping L., Ching E. C. A discussion about scalar invariants for tensor func- tions. //Acta Mech Sinica (English Series). — 2003. — Vol. 20, ¹ 16. — Ð. 35—40. 7. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Òåíçîðíûé áàçèñ êàê îñíîâà íîâûõ àëãîðèòìîâ óïðàâëåíèÿ â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè // Øåñòàÿ Âñåðîññèéñêàÿ íàó÷.-òåõíè÷åñêàÿ êîíô. «Íîâûå èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè», Ìîñêâà, 23, 24 àïð. 2003 ã. — Ì: èçä. ÌÃÀÏÈ, 2003. — Ñ. 141—147. 8. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Òåíçîðíûé áàçèñ êàê îñíîâà ôîðìàëèçàöèè ìÿãêèõ èçìåðåíèé è âû÷èñëåíèé // Òð. II Ìåæäóíàðîäíîãî íàó÷íî-ïðàêòè÷åñêîãî ñåìèíàðà «Èíòåãðèðîâàííûå ìîäåëè è ìÿãêèå âû÷èñëåíèÿ â èñêóññòâåííîì èíòåëëåêòå». Ðîñ- ñèÿ, Êîëîìíà, 15—17 ìàÿ 2003 ã. — Ñ. 31—39. 9. Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Óí³âåðñàëüí³ àëãîðèòìè åêîëîã³÷íîãî ìîíèòîð³íãó â ³íòåëåêòóàëü- íèõ ñèñòåìàõ íà ï³äñòàâ³ ìåòîä³â íå÷³òêî — ìàòåìàòèêè â òåíçîðíîìó ëîã³÷íîìó áà- çèñ³ //Íàóê-òåõí. çá. «Ì³ñòîáóäóâàííÿ òà òåðèòîð³àëüíå ïëàíóâàííÿ».— 2006. — ¹ 13, 23, — Êè¿â: ÊÍÓÁÀ, 2006. — Ñ. 49 —61. 11. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Òåíçîðíûé áàçèñ êàê îñíîâà ìÿãêèõ âû÷èñëåíèé â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè // Ìàòåð³àëè V Ì³æíàðîäíî— íàóêîâî-òåõí³÷íî— êîí- ôåðåíö³— «ÀÂ²À-2003», Êè¿â, 23—25 êâ³òíÿ 2003 ð. — Êè¿â: èçä. ÍÀÓ, 2003. — Ñ.155—159. 12. Ìèíàåâ Þ. Í., Ôèëèìîíîâà Î. Þ. Èíôîðìàöèîííûå òåõíîëîãèè ôîðìàëèçàöèè ìÿã- êèõ èçìåðåíèé ïðè ïîìîùè òåíçîðíûõ ìîäåëåé // Ïðîáëåìè ³íôîðìàòèçàö³¿ — òà óïðàâë³ííÿ. — 2004. —¹ 10. — Ñ.18—29. 13. Minaev Yu. M., Filimonova O. Yu. Fuzzy inferences in the system a tensor-variable. // Proc. of The Second World Congress «Àviation in the XXI-st century» «Safety in Aviation», Kiev, September 19—21, 2005. — Kiev: NAU, 2005. — P. 31—37 14. Budiansky B. Tensors.//Handbook of Applied Mathematics. 2nd Ed. Edited by Carl E. Pear- son. — NY: Van Nostrand Reinhold, 1990. Íå÷åòêàÿ ìàòåìàòèêà íà îñíîâå òåíçîðíûõ ìîäåëåé íåîïðåäåëåííîñòè. II. ISSN 0204–3572. Ýëåêòðîí. ìîäåëèðîâàíèå. 2008. Ò. 30. ¹ 2 53 15. Tai C. Generalized Vector and Dyadic Analysis. // Applied Mathematics in Field Theory. 2nd Ed. — NY : IEEE Press, 1997. 16. Simmonds J. A Brief on Tensor Analysis. — NY : Springer-Verlag, 1994. 17. Ëåâèí Â. È. Èíòåðâàëüíàÿ ìàòåìàòèêà è èçó÷åíèå íåîïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Èíòåë- ëåêòóàëüíûå ñèñòåìû. // Ýëåêòðîííûé æóðíàë «Èíæåíåðíîå îáðàçîâàíèå».— 2005. — ¹ 5. — Ñ. 1—11. 18. Øàðûé Ñ. Ï. Êîíå÷íîìåðíûé èíòåðâàëüíûé àíàëèç. — Íîâîñèáèðñê : Èçä-âî «XYZ-2008». — 726 ñ. 19. Ãåîðãèåâñêèé Ä. Â. Òåíçîðíî-íåëèíåéíûå ýôôåêòû ïðè èçîòåðìè÷åñêîì äåôîðìèðî- âàíèè ñïëîøíûõ ñðåä // Óñïåõè ìåõàíèêè (ÌÃÓ). — 2002, ¹ 2. — Ñ. 150—176. Ïîñòóïèëà 06.11.06; ïîñëå äîðàáîòêè 27.06.07 ÌÈÍÀÅÂ Þðèé Íèêîëàåâè÷, ä-ð òåõí. íàóê, ïðîôåññîð êàôåäðû êîìïüòåðíûõ ñèñòåì è ñåòåé Íàöèîíàëüíîãî àâèàöèîííîãî óíèâåðñèòåòà Óêðàèíû. Â 1959 ã. îêîí÷èë Õàðüêîâñêèé ïîëè- òåõíè÷åñêèé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — ïðèìåíåíèå èíòåëëåêòóàëüíûõ òåõíî- ëîãèé â ñèñòåìàõ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé. ÔÈËÈÌÎÍÎÂÀ Îêñàíà Þðüåâíà, êàíä. òåõí. íàóê, äîêòîðàíò Êèåâñêîãî íàöèîíàëüíîãî óíèâåðñèòåòà ñòðîèòåëüñòâà è àðõèòåêòóðû. Â 1989 ã. îêîí÷èëà Êèåâñêèé èíæåíåðíî- ñòðîèòåëüíûé èí-ò. Îáëàñòü íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé — èíòåëëåêòóàëüíûå òåõíîëîãèè îáðà- áîòêè èíôîðìàöèè â óñëîâèÿõ íåîïðåäåëåííîñòè. Þ. Í. Ìèíàåâ, Î. Þ. Ôèëèìîíîâà 54 ISSN 0204–3572. Electronic Modeling. 2008. V. 30. ¹ 2

Нечеткая математика на основе тензорных моделей неопределенности. II. Операции нечеткой математики в тензорном базисе

Institution

Ähnliche Einträge